Slovní úlohy z finanční matematiky (úroky, půjčky, splátky)

Řešení příkladu:

Máme počáteční vklad \( P = 50\,000 \) Kč, roční úrokovou sazbu \( r = 0{,}03 \) a dobu spoření \( n = 5 \) let. Použijeme vzorec pro složené úročení:

\[ A = P \cdot (1 + r)^n \]

Dosadíme:

\[ A = 50\,000 \cdot (1 + 0{,}03)^5 = 50\,000 \cdot (1{,}03)^5 \]

\[ A = 50\,000 \cdot 1{,}159274 = 57\,963{,}70 \]

Po \(5\) letech bude mít pan Novák na účtu přibližně \(57 963,70\) Kč.

Řešení příkladu:

Použijeme vzorec pro výpočet anuity:

\[ A = P \cdot \frac{r(1 + r)^n}{(1 + r)^n – 1} \]

Kde \( P = 100\,000 \), \( r = 0{,}06 \), \( n = 4 \):

\[ A = 100\,000 \cdot \frac{0{,}06(1{,}06)^4}{(1{,}06)^4 – 1} \]

\[ A = 100\,000 \cdot \frac{0{,}06 \cdot 1{,}262476}{1{,}262476 – 1} = 100\,000 \cdot \frac{0{,}07574856}{0{,}262476} \]

\[ A = 100\,000 \cdot 0{,}288591 \Rightarrow A \approx 28\,859{,}10 \]

Výše každé roční splátky bude přibližně \(28 859,10\) Kč.

Řešení příkladu:

Měsíční úroková sazba je \( r = 0{,}002 \), počet měsíců \( n = 3 \cdot 12 = 36 \), měsíční splátka \( S = 1\,500 \). Použijeme vzorec pro budoucí hodnotu anuity:

\[ FV = S \cdot \frac{(1 + r)^n – 1}{r} \]

Dosadíme:

\[ FV = 1\,500 \cdot \frac{(1{,}002)^{36} – 1}{0{,}002} = 1\,500 \cdot \frac{1{,}077396 – 1}{0{,}002} \]

\[ FV = 1\,500 \cdot \frac{0{,}077396}{0{,}002} = 1\,500 \cdot 38{,}698 \Rightarrow FV \approx 58\,047 \]

Petr bude mít po \( 3 \) letech přibližně \( 58\,047 \) Kč.

Řešení příkladu:

Jedná se o složené úročení bez mezičasových splátek. Použijeme vzorec:

\[ A = P \cdot (1 + r)^n \]

Kde \( P = 200\,000 \), \( r = 0{,}04 \), \( n = 5 \):

\[ A = 200\,000 \cdot (1{,}04)^5 = 200\,000 \cdot 1{,}2166529 \Rightarrow A \approx 243\,330{,}58 \]

Firma zaplatí po \( 5 \) letech částku přibližně \( 243\,330{,}58 \) Kč.

Řešení příkladu:

Použijeme vzorec pro jednoduché úročení:

\[ U = P \cdot r \cdot n \]

Kde \( P = 150\,000 \), \( r = 0{,}05 \), \( n = 3 \):

\[ U = 150\,000 \cdot 0{,}05 \cdot 3 = 22\,500 \]

Celková částka k zaplacení:

\[ A = P + U = 150\,000 + 22\,500 = 172\,500 \]

Úrok činí \( 22\,500 \) Kč, celkem Alena zaplatí \( 172\,500 \) Kč.

Řešení příkladu:

Složené úročení, \( P = 80\,000 \), \( r = 0{,}025 \), \( n = 2 \):

\[ A = P \cdot (1 + r)^n = 80\,000 \cdot (1{,}025)^2 = 80\,000 \cdot 1{,}050625 \Rightarrow A \approx 84\,050 \]

Výsledná částka bude přibližně \( 84\,050 \) Kč.

Řešení příkladu:

Měsíční úrok \( r = \frac{0{,}05}{12} = 0{,}004167 \), počet měsíců \( n = 120 \). Použijeme anuity:

\[ A = P \cdot \frac{r(1 + r)^n}{(1 + r)^n – 1} \]

Dosadíme:

\[ A = 250\,000 \cdot \frac{0{,}004167(1{,}004167)^{120}}{(1{,}004167)^{120} – 1} \]

\[ A = 250\,000 \cdot \frac{0{,}004167 \cdot 1{,}647009}{0{,}647009} = 250\,000 \cdot 0{,}0106 \Rightarrow A \approx 2\,650 \]

Měsíční splátka bude přibližně \( 2\,650 \) Kč.

Řešení příkladu:

Měsíční úrok \( r = \frac{0{,}03}{12} = 0{,}0025 \), \( n = 6 \cdot 12 = 72 \), \( S = 2\,000 \):

\[ FV = S \cdot \frac{(1 + r)^n – 1}{r} = 2\,000 \cdot \frac{(1{,}0025)^{72} – 1}{0{,}0025} \]

\[ FV = 2\,000 \cdot \frac{1{,}197 – 1}{0{,}0025} = 2\,000 \cdot 78{,}8 = 157\,600 \]

Martin bude mít přibližně \( 157\,600 \) Kč.

Řešení příkladu:

Složené úročení, \( P = 500\,000 \), \( r = 0{,}06 \), \( n = 4 \):

\[ A = 500\,000 \cdot (1{,}06)^4 = 500\,000 \cdot 1{,}262476 \Rightarrow A \approx 631\,238 \]

Zisk \( = A – P = 631\,238 – 500\,000 = 131\,238 \) Kč.

Řešení příkladu:

Počítáme současnou hodnotu:

\[ P = \frac{A}{(1 + r)^n} = \frac{300\,000}{(1{,}04)^{10}} = \frac{300\,000}{1{,}48024} \Rightarrow P \approx 202\,626 \]

Karel musí uložit přibližně \( 202\,626 \) Kč.

Řešení příkladu:

Jistina je \( 300\,000 \) Kč, roční úrok je \( 8\,\% \).

První rok úrok vypočítáme z celé jistiny:

\( U_1 = 300\,000 \cdot \frac{8}{100} = 24\,000 \)

Petr splácí polovinu úroků a třetinu jistiny:

\( \text{splátka úroku} = \frac{24\,000}{2} = 12\,000 \)

\( \text{splátka jistiny} = \frac{300\,000}{3} = 100\,000 \)

Celková splátka prvního roku je \( 12\,000 + 100\,000 = 112\,000 \) Kč.

Po první splátce jistiny zůstává:

\( 300\,000 – 100\,000 = 200\,000 \) Kč.

Druhý rok úrok vypočítáme z nového zůstatku:

\( U_2 = 200\,000 \cdot \frac{8}{100} = 16\,000 \)

Splátka úroku druhého roku je \( \frac{16\,000}{2} = 8\,000 \) Kč, splátka jistiny stále \( 100\,000 \).

Celková splátka druhého roku: \( 8\,000 + 100\,000 = 108\,000 \) Kč.

Zůstatek jistiny po druhém roce:

\( 200\,000 – 100\,000 = 100\,000 \) Kč.

Třetí rok úrok z \( 100\,000 \) Kč:

\( U_3 = 100\,000 \cdot \frac{8}{100} = 8\,000 \)

Splátka úroku třetího roku: \( \frac{8\,000}{2} = 4\,000 \) Kč, splátka jistiny stále \( 100\,000 \), ale protože zůstatek jistiny je pouze \( 100\,000 \), celou jistinu splatí.

Celková splátka třetího roku: \( 4\,000 + 100\,000 = 104\,000 \) Kč.

Po třetím roce je půjčka plně splacena.

Celkem zaplatí:

\( 112\,000 + 108\,000 + 104\,000 = 324\,000 \) Kč.

Petr zaplatí za \( 3 \) roky celkem \( 324\,000 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 7\,\% \), měsíční úroková sazba je tedy:

\( i = \frac{7}{12 \cdot 100} = 0{,}0058333 \)

Počet splátek je:

\( n = 4 \cdot 12 = 48 \)

Vzorec pro měsíční anuitní splátku je:

\( A = \frac{K \cdot i}{1 – (1 + i)^{-n}} \)

Dosadíme:

\( K = 450\,000, \quad i = 0{,}0058333, \quad n = 48 \)

Nejprve spočítáme jmenovatel:

\( (1 + i)^{-n} = (1{,}0058333)^{-48} \approx \frac{1}{(1{,}0058333)^{48}} \)

\( (1{,}0058333)^{48} \approx 1{,}319 \Rightarrow (1{,}0058333)^{-48} \approx 0{,}7586 \)

Jmenovatel je tedy:

\( 1 – 0{,}7586 = 0{,}2414 \)

Čitatel:

\( 450\,000 \cdot 0{,}0058333 = 2\,625 \)

Splátka:

\( A = \frac{2\,625}{0{,}2414} \approx 10\,869{,}22 \)

Měsíční splátka bude přibližně \( 10\,869 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 3\,\% \), úročení čtvrtletní, tj. \( 4 \) úročení za rok.

Úroková sazba za jedno čtvrtletí je:

\( i = \frac{3}{4 \cdot 100} = 0{,}0075 \)

Celkový počet úročení za \( 3 \) roky je:

\( n = 3 \cdot 4 = 12 \)

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 \cdot (1 + i)^n \)

Dosadíme:

\( K = 120\,000 \cdot (1 + 0{,}0075)^{12} = 120\,000 \cdot (1{,}0075)^{12} \)

Vypočítáme:

\( (1{,}0075)^{12} \approx 1{,}0934 \)

\( K \approx 120\,000 \cdot 1{,}0934 = 131\,208 \)

Michal bude mít po \( 3 \) letech přibližně \( 131\,208 \) Kč.

Řešení příkladu:

Úrok za celý rok je vypočítán z počáteční jistiny, protože se jedná o jednoduché úročení.

\( \text{Roční úrok} = 250\,000 \cdot \frac{9}{100} = 22\,500 \)

Jistina se splácí rovnoměrně po \( 5 \) letech, takže roční splátka jistiny je:

\( \frac{250\,000}{5} = 50\,000 \)

První rok tedy Eva zaplatí:

\( 22\,500 + 50\,000 = 72\,500 \)

Každý další rok úrok zůstává stejný, protože je jednoduchý, celková úhrada za \( 5 \) let je:

\( 5 \cdot (22\,500 + 50\,000) = 5 \cdot 72\,500 = 362\,500 \)

Eva zaplatí celkem \( 362\,500 \) Kč.

Řešení příkladu:

Jedná se o spoření s pravidelnou měsíční splátkou, vzorec pro budoucí hodnotu anuity je:

\( S = R \cdot \frac{(1 + i)^n – 1}{i} \)

Kde:

\( R = 1\,500, \quad i = 0{,}004, \quad n = 3 \cdot 12 = 36 \)

Vypočítáme:

\( (1{,}004)^{36} \approx 1{,}1616 \)

\( S = 1\,500 \cdot \frac{1{,}1616 – 1}{0{,}004} = 1\,500 \cdot \frac{0{,}1616}{0{,}004} = 1\,500 \cdot 40{,}4 = 60\,600 \)

Lukáš bude mít naspořeno přibližně \( 60\,600 \) Kč.

Řešení příkladu:

Jistina je \(800000\) Kč, splácí se po třech stejných částkách, tedy každý rok:

\(\frac{800000}{3} \approx 266666{,}67\)

Úroky se počítají z aktuální jistiny na začátku roku.

První rok úrok:

\(800000 \cdot 0{,}06 = 48000\)

Splátka prvního roku je tedy:

\(48000 + 266666{,}67 = 314666{,}67\)

Zůstatek jistiny po prvním roce:

\(800000 – 266666{,}67 = 533333{,}33\)

Druhý rok úrok:

\(533333{,}33 \cdot 0{,}06 = 32000\)

Splátka druhého roku:

\(32000 + 266666{,}67 = 298666{,}67\)

Zůstatek jistiny po druhém roce:

\(533333{,}33 – 266666{,}67 = 266666{,}66\)

Třetí rok úrok:

\(266666{,}66 \cdot 0{,}06 = 16000\)

Splátka třetího roku:

\(16000 + 266666{,}66 = 282666{,}66\)

Celkem firma zaplatí:

\(314666{,}67 + 298666{,}67 + 282666{,}66 = 896000\)

Firma zaplatí za \(3\) roky celkem \(896\,000\) Kč.

Řešení:

Máme jistinu \(P = 1\,200\,000\) Kč, úrokovou sazbu \(r = 0{,}08\), dobu \(n = 4\) roky.

Splátky jsou roční a konstantní, tedy anuitní splátky. Použijeme vzorec pro anuitní splátku \(A\):

\(A = P \cdot \frac{r (1+r)^n}{(1+r)^n – 1}\)

Dosadíme hodnoty:

\(A = 1\,200\,000 \cdot \frac{0{,}08 \cdot (1{,}08)^4}{(1{,}08)^4 – 1}\)

Vypočítáme mocniny:

\((1{,}08)^4 = 1{,}36049\)

Dosadíme:

\(A = 1\,200\,000 \cdot \frac{0{,}08 \cdot 1{,}36049}{1{,}36049 – 1} = 1\,200\,000 \cdot \frac{0{,}108839}{0{,}36049}\)

\(A = 1\,200\,000 \cdot 0{,}30209 = 362\,508\)

Roční splátka je přibližně \(362\,508\) Kč.

Celková částka zaplacená za \(4\) roky je:

\(4 \cdot 362\,508 = 1\,450\,032\)

Firma tedy za \(4\) roky zaplatí přibližně \(1\,450\,032\) Kč.

Pro kontrolu můžeme spočítat postupně jistinu a úroky:

Rok 1:

Úrok z jistiny: \(1\,200\,000 \cdot 0{,}08 = 96\,000\)

Splátka jistiny: \(362\,508 – 96\,000 = 266\,508\)

Zůstatek po roce 1: \(1\,200\,000 – 266\,508 = 933\,492\)

Rok 2:

Úrok: \(933\,492 \cdot 0{,}08 = 74\,679{,}36\)

Splátka jistiny: \(362\,508 – 74\,679{,}36 = 287\,828{,}64\)

Zůstatek: \(933\,492 – 287\,828{,}64 = 645\,663{,}36\)

Rok 3:

Úrok: \(645\,663{,}36 \cdot 0{,}08 = 51\,653{,}07\)

Splátka jistiny: \(362\,508 – 51\,653{,}07 = 310\,854{,}93\)

Zůstatek: \(645\,663{,}36 – 310\,854{,}93 = 334\,808{,}43\)

Rok 4:

Úrok: \(334\,808{,}43 \cdot 0{,}08 = 26\,784{,}68\)

Splátka jistiny: \(362\,508 – 26\,784{,}68 = 335\,723{,}32\)

Zůstatek: \(334\,808{,}43 – 335\,723{,}32 \approx 0\)

Tímto je potvrzeno, že výpočet splátky je správný a úvěr je plně splacen.

Řešení:

Jistina \( P = 300\,000 \), úroková sazba \( r = 0{,}05 \), doba \( n = 5 \) let.

Jan splácí každý rok pouze úroky, což znamená, že každý rok zaplatí:

\( 300\,000 \cdot 0{,}05 = 15\,000 \)

Za \( 5 \) let tedy zaplatí úroky:

\( 5 \cdot 15\,000 = 75\,000 \)

Na konci \( 5. \) roku splatí jistinu:

\( 300\,000 \)

Celkem tedy Jan zaplatí:

\( 75\,000 + 300\,000 = 375\,000 \)

Jan tedy za \( 5 \) let zaplatí celkem \( 375\,000 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 500\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}07 \), doba \( n = 3 \) roky, počet splátek měsíčně \( m = 12 \), celkem splátek \( N = 3 \cdot 12 = 36 \).

Měsíční úroková sazba je:

\( r = \frac{0{,}07}{12} = 0{,}0058333 \)

Vzorec pro anuitní splátku je:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme mocniny:

\( (1+r)^N = (1{,}0058333)^{36} \)

Pro výpočet použijeme aproximaci:

\( (1{,}0058333)^{36} \approx e^{36 \cdot \ln(1{,}0058333)} \)

\( \ln(1{,}0058333) \approx 0{,}005816 \)

\( 36 \cdot 0{,}005816 = 0{,}20938 \)

\( e^{0{,}20938} \approx 1{,}2327 \)

Dosadíme:

\( A = 500\,000 \cdot \frac{0{,}0058333 \cdot 1{,}2327}{1{,}2327 – 1} = 500\,000 \cdot \frac{0{,}007188}{0{,}2327} \)

\( A = 500\,000 \cdot 0{,}0309 = 15\,450 \)

Měsíční splátka je přibližně \( 15\,450 \) Kč.

Celkem zaplatí za \( 3 \) roky:

\( 36 \cdot 15\,450 = 556\,200 \)

Celkem tedy společnost zaplatí \( 556\,200 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 2\,500\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}04 \), doba \( n = 5 \) let, počet čtvrtletí za rok \( m = 4 \), celkem splátek \( N = 5 \cdot 4 = 20 \).

Čtvrtletní úroková sazba je:

\( r = \frac{0{,}04}{4} = 0{,}01 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}01)^{20} \):

\( (1{,}01)^{20} = e^{20 \cdot \ln(1{,}01)} \)

\( \ln(1{,}01) \approx 0{,}00995 \)

\( 20 \cdot 0{,}00995 = 0{,}199 \)

\( e^{0{,}199} \approx 1{,}22 \)

Dosadíme:

\( A = 2\,500\,000 \cdot \frac{0{,}01 \cdot 1{,}22}{1{,}22 – 1} = 2\,500\,000 \cdot \frac{0{,}0122}{0{,}22} \)

\( A = 2\,500\,000 \cdot 0{,}05545 = 138\,625 \)

Čtvrtletní splátka je přibližně \( 138\,625 \) Kč.

Celkově rodina zaplatí:

\( 20 \cdot 138\,625 = 2\,772\,500 \)

Celkem tedy zaplatí \( 2\,772\,500 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 800\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}06 \), doba \( n = 4 \) roky, počet pololetí za rok \( m = 2 \), celkem splátek \( N = 4 \cdot 2 = 8 \).

Pololetní úroková sazba je:

\( r = \frac{0{,}06}{2} = 0{,}03 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}03)^8 \):

\( (1{,}03)^8 = e^{8 \cdot \ln(1{,}03)} \)

\( \ln(1{,}03) \approx 0{,}02956 \)

\( 8 \cdot 0{,}02956 = 0{,}2365 \)

\( e^{0{,}2365} \approx 1{,}267 \)

Dosadíme:

\( A = 800\,000 \cdot \frac{0{,}03 \cdot 1{,}267}{1{,}267 – 1} = 800\,000 \cdot \frac{0{,}03801}{0{,}267} \)

\( A = 800\,000 \cdot 0{,}1423 = 113\,840 \)

Pololetní splátka je přibližně \( 113\,840 \) Kč.

Celková zaplacená částka je:

\( N \cdot A = 8 \cdot 113\,840 = 910\,720 \)

Jana zaplatí celkem \( 910\,720 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 250\,000 \), roční úrok \( r = 0{,}05 \), doba \( n = 3 \) roky.

Jednoduchý úrok se počítá podle vzorce:

\( U = P \cdot r \cdot n \)

Dosadíme:

\( U = 250\,000 \times 0{,}05 \times 3 = 37\,500 \)

Celková částka k vrácení je:

\( S = P + U = 250\,000 + 37\,500 = 287\,500 \)

Tomáš zaplatí po \( 3 \) letech celkem \( 287\,500 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 1\,200\,000 \), roční úrok \( r_{year} = 0{,}07 \), doba \( n = 5 \) let, počet měsíců za rok \( m = 12 \), celkem splátek \( N = 5 \cdot 12 = 60 \).

Měsíční úroková sazba je:

\( r = \frac{0{,}07}{12} \approx 0{,}0058333 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}0058333)^{60} \):

\( (1{,}0058333)^{60} = e^{60 \cdot \ln(1{,}0058333)} \)

\( \ln(1{,}0058333) \approx 0{,}005816 \)

\( 60 \cdot 0{,}005816 = 0{,}34896 \)

\( e^{0{,}34896} \approx 1{,}4177 \)

Dosadíme:

\( A = 1\,200\,000 \cdot \frac{0{,}0058333 \cdot 1{,}4177}{1{,}4177 – 1} = 1\,200\,000 \cdot \frac{0{,}00827}{0{,}4177} \)

\( \frac{0{,}00827}{0{,}4177} \approx 0{,}0198 \)

Tedy

\( A = 1\,200\,000 \times 0{,}0198 = 23\,760 \)

Měsíční splátka je přibližně \( 23\,760 \) Kč.

Celková zaplacená částka je:

\( N \cdot A = 60 \cdot 23\,760 = 1\,425\,600 \)

Klára tedy zaplatí celkem \( 1\,425\,600 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 400\,000 \), roční úrok \( r = 0{,}045 \), doba splácení předčasně po \( t = 3 \) letech.

Úrok za \( 3 \) roky:

\( U = P \cdot r \cdot t = 400\,000 \times 0{,}045 \times 3 = 54\,000 \)

Celkem Marek zaplatí:

\( S = P + U = 400\,000 + 54\,000 = 454\,000 \)

Marek tedy při předčasném splacení po \( 3 \) letech zaplatí \( 454\,000 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 1\,000\,000 \), roční úrok \( r_{year} = 0{,}05 \), doba \( n = 8 \) let, počet pololetí za rok \( m = 2 \), celkem splátek \( N = 8 \times 2 = 16 \).

Pololetní úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}025)^{16} \):

\( (1{,}025)^{16} = e^{16 \cdot \ln(1{,}025)} \)

\( \ln(1{,}025) \approx 0{,}0247 \)

\( 16 \cdot 0{,}0247 = 0{,}395 \)

\( e^{0{,}395} \approx 1{,}485 \)

Dosadíme do vzorce:

\( A = 1\,000\,000 \cdot \frac{0{,}025 \times 1{,}485}{1{,}485 – 1} = 1\,000\,000 \cdot \frac{0{,}03713}{0{,}485} \)

\( \frac{0{,}03713}{0{,}485} \approx 0{,}07656 \)

\( A = 1\,000\,000 \times 0{,}07656 = 76\,560 \)

Pololetní splátka je přibližně \( 76\,560 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 150\,000 \), roční úrok \( r = 0{,}06 \), doba \( n = 4 \) roky.

Úrok celkem:

\( U = P \cdot r \cdot n = 150\,000 \times 0{,}06 \times 4 = 36\,000 \)

Pavel tedy zaplatí úroky ve výši \( 36\,000 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 300\,000 \), roční úrok \( r = 0{,}08 \), doba \( n = 5 \), počet splátek \( N = 5 \).

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}08)^5 \):

\( (1{,}08)^5 = e^{5 \cdot \ln(1{,}08)} \)

\( \ln(1{,}08) \approx 0{,}07696 \)

\( 5 \cdot 0{,}07696 = 0{,}3848 \)

\( e^{0{,}3848} \approx 1{,}4693 \)

Dosadíme:

\( A = 300\,000 \cdot \frac{0{,}08 \times 1{,}4693}{1{,}4693 – 1} = 300\,000 \cdot \frac{0{,}11754}{0{,}4693} \)

\( \frac{0{,}11754}{0{,}4693} \approx 0{,}2505 \)

\( A = 300\,000 \times 0{,}2505 = 75\,150 \)

Roční splátka je přibližně \( 75\,150 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 500\,000 \), roční úrok \( r = 0{,}07 \), doba \( n = 3 \), počet splátek \( N = 3 \).

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}07)^3 \):

\( (1{,}07)^3 = e^{3 \cdot \ln(1{,}07)} \)

\( \ln(1{,}07) \approx 0{,}06766 \)

\( 3 \cdot 0{,}06766 = 0{,}20298 \)

\( e^{0{,}20298} \approx 1{,}225 \)

Dosadíme:

\( A = 500\,000 \cdot \frac{0{,}07 \times 1{,}225}{1{,}225 – 1} = 500\,000 \cdot \frac{0{,}08575}{0{,}225} \)

\( \frac{0{,}08575}{0{,}225} \approx 0{,}3811 \)

\( A = 500\,000 \times 0{,}3811 = 190\,550 \)

Roční splátka je přibližně \( 190\,550 \) Kč.

Celková zaplacená částka je:

\( 3 \times 190\,550 = 571\,650 \)

Řešení:

Jistina \( P = 750\,000 \), roční úrok \( r = 0{,}055 \), doba \( n = 7 \) let.

Úrok:

\( U = P \cdot r \cdot n = 750\,000 \times 0{,}055 \times 7 = 288\,750 \)

Celková částka k úhradě:

\( S = P + U = 750\,000 + 288\,750 = 1\,038\,750 \)

Řešení:

Jistina \( P = 900\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}06 \), doba \( n = 5 \), počet měsíců za rok \( m = 12 \), celkem splátek \( N = 5 \times 12 = 60 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}06}{12} = 0{,}005 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}005)^{60} \):

\( (1{,}005)^{60} = e^{60 \cdot \ln(1{,}005)} \)

\( \ln(1{,}005) \approx 0{,}004987 \)

\( 60 \times 0{,}004987 = 0{,}2992 \)

\( e^{0{,}2992} \approx 1{,}348 \)

Dosadíme:

\( A = 900\,000 \cdot \frac{0{,}005 \times 1{,}348}{1{,}348 – 1} = 900\,000 \cdot \frac{0{,}00674}{0{,}348} \)

\( \frac{0{,}00674}{0{,}348} \approx 0{,}01936 \)

\( A = 900\,000 \times 0{,}01936 = 17\,424 \)

Měsíční splátka je přibližně \( 17\,424 \) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( N \times A = 60 \times 17\,424 = 1\,045\,440 \)

Řešení:

Jistina \( P = 250\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}07 \), doba \( n = 6 \) let, počet pololetí za rok \( m = 2 \), celkem splátek \( N = 6 \times 2 = 12 \).

Pololetní úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}07}{2} = 0{,}035 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \times \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}035)^{12} \):

\( \ln(1{,}035) \approx 0{,}03439 \)

\( 12 \times 0{,}03439 = 0{,}4127 \)

\( e^{0{,}4127} \approx 1{,}511 \)

Dosadíme:

\( A = 250\,000 \times \frac{0{,}035 \times 1{,}511}{1{,}511 – 1} = 250\,000 \times \frac{0{,}05289}{0{,}511} \)

\( \frac{0{,}05289}{0{,}511} \approx 0{,}1035 \)

\( A = 250\,000 \times 0{,}1035 = 25\,875 \)

Pololetní splátka je přibližně \( 25\,875 \) Kč.

Celkově Jana zaplatí:

\( 12 \times 25\,875 = 310\,500 \)

Řešení:

Jistina \( P = 1\,200\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}05 \), doba \( n = 10 \) let, počet měsíců za rok \( m = 12 \), celkem splátek \( N = 10 \times 12 = 120 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}05}{12} = 0{,}0041667 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \times \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}0041667)^{120} \):

\( \ln(1{,}0041667) \approx 0{,}004158 \)

\( 120 \times 0{,}004158 = 0{,}4989 \)

\( e^{0{,}4989} \approx 1{,}646 \)

Dosadíme:

\( A = 1\,200\,000 \times \frac{0{,}0041667 \times 1{,}646}{1{,}646 – 1} = 1\,200\,000 \times \frac{0{,}006861}{0{,}646} \)

\( \frac{0{,}006861}{0{,}646} \approx 0{,}01062 \)

\( A = 1\,200\,000 \times 0{,}01062 = 12\,744 \)

Měsíční splátka je přibližně \( 12\,744 \) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( 120 \times 12\,744 = 1\,529\,280 \)

Řešení:

Počáteční částka \( P = 800\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}045 \), doba \( n = 5 \), počet období pololetně \( m = 2 \), celkem \( N = 5 \times 2 = 10 \).

Pololetní úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}045}{2} = 0{,}0225 \)

Výsledná částka po \( 10 \) pololetích:

\( K = P (1+r)^N = 800\,000 \times (1{,}0225)^{10} \)

Vypočítáme \( (1{,}0225)^{10} \):

\( \ln(1{,}0225) \approx 0{,}02226 \)

\( 10 \times 0{,}02226 = 0{,}2226 \)

\( e^{0{,}2226} \approx 1{,}249 \)

Dosadíme:

\( K = 800\,000 \times 1{,}249 = 999\,200 \)

Výsledná částka je přibližně \( 999\,200 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 500\,000 \), roční úrok \( r = 0{,}06 \), doba \( n = 7 \), počet splátek \( N = 7 \).

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \times \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}06)^7 \):

\( \ln(1{,}06) \approx 0{,}05827 \)

\( 7 \times 0{,}05827 = 0{,}4079 \)

\( e^{0{,}4079} \approx 1{,}503 \)

Dosadíme:

\( A = 500\,000 \times \frac{0{,}06 \times 1{,}503}{1{,}503 – 1} = 500\,000 \times \frac{0{,}0902}{0{,}503} \)

\( \frac{0{,}0902}{0{,}503} \approx 0{,}1793 \)

\( A = 500\,000 \times 0{,}1793 = 89\,650 \)

Roční splátka je přibližně \( 89\,650 \) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( 7 \times 89\,650 = 627\,550 \)

Řešení:

Počáteční částka \( P = 300\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}03 \), doba \( n = 8 \), počet čtvrtletí za rok \( m = 4 \), celkem \( N = 8 \times 4 = 32 \).

Čtvrtletní úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}03}{4} = 0{,}0075 \)

Výsledná částka po \( 32 \) čtvrtletích:

\( K = P (1+r)^N = 300\,000 \times (1{,}0075)^{32} \)

Vypočítáme \( (1{,}0075)^{32} \):

\( \ln(1{,}0075) \approx 0{,}00747 \)

\( 32 \times 0{,}00747 = 0{,}239 \)

\( e^{0{,}239} \approx 1{,}270 \)

Dosadíme:

\( K = 300\,000 \times 1{,}270 = 381\,000 \)

Eva bude mít přibližně \( 381\,000 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 750\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}055 \), doba \( n = 4 \), počet měsíců v roce \( m = 12 \), celkem splátek \( N = 4 \times 12 = 48 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}055}{12} = 0{,}0045833 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \times \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}0045833)^{48} \):

\( \ln(1{,}0045833) \approx 0{,}004573 \)

\( 48 \times 0{,}004573 = 0{,}2195 \)

\( e^{0{,}2195} \approx 1{,}245 \)

Dosadíme do vzorce:

\( A = 750\,000 \times \frac{0{,}0045833 \times 1{,}245}{1{,}245 – 1} = 750\,000 \times \frac{0{,}0057}{0{,}245} \)

\( \frac{0{,}0057}{0{,}245} \approx 0{,}0233 \)

\( A = 750\,000 \times 0{,}0233 = 17\,475 \)

Měsíční splátka je přibližně \( 17\,475 \) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( 48 \times 17\,475 = 838\,800 \)

Řešení:

Jistina \( P = 400\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}08 \), doba \( n = 3 \), počet měsíců v roce \( m = 12 \), celkem splátek \( N = 3 \times 12 = 36 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}08}{12} = 0{,}0066667 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \times \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}0066667)^{36} \):

\( \ln(1{,}0066667) \approx 0{,}006645 \)

\( 36 \times 0{,}006645 = 0{,}2392 \)

\( e^{0{,}2392} \approx 1{,}270 \)

Dosadíme do vzorce:

\( A = 400\,000 \times \frac{0{,}0066667 \times 1{,}270}{1{,}270 – 1} = 400\,000 \times \frac{0{,}00847}{0{,}270} \)

\( \frac{0{,}00847}{0{,}270} \approx 0{,}03137 \)

\( A = 400\,000 \times 0{,}03137 = 12\,548 \)

Měsíční splátka je přibližně \( 12\,548 \) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( 36 \times 12\,548 = 451\,728 \)

Řešení:

Počáteční částka \( P = 150\,000 \), roční úrok \( r = 0{,}04 \), doba \( n = 10 \), úroky připisované ročně.

Výsledná částka podle vzorce složeného úročení:

\( K = P (1+r)^n = 150\,000 \times (1{,}04)^{10} \)

Vypočítáme \( (1{,}04)^{10} \):

\( \ln(1{,}04) \approx 0{,}03922 \)

\( 10 \times 0{,}03922 = 0{,}3922 \)

\( e^{0{,}3922} \approx 1{,}480 \)

Dosadíme:

\( K = 150\,000 \times 1{,}480 = 222\,000 \)

Lukáš bude mít na účtu přibližně \( 222\,000 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 350\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}09 \), doba \( n = 5 \), počet měsíců \( m = 12 \), celkem splátek \( N = 5 \times 12 = 60 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}09}{12} = 0{,}0075 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \times \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}0075)^{60} \):

\( \ln(1{,}0075) \approx 0{,}00747 \)

\( 60 \times 0{,}00747 = 0{,}4482 \)

\( e^{0{,}4482} \approx 1{,}565 \)

Dosadíme do vzorce:

\( A = 350\,000 \times \frac{0{,}0075 \times 1{,}565}{1{,}565 – 1} = 350\,000 \times \frac{0{,}0117}{0{,}565} \)

\( \frac{0{,}0117}{0{,}565} \approx 0{,}0207 \)

\( A = 350\,000 \times 0{,}0207 = 7\,245 \)

Měsíční splátka je přibližně \( 7\,245 \) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( 60 \times 7\,245 = 434\,700 \)

Řešení:

Počáteční částka \( P = 200\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}05 \), doba \( n = 6 \), počet pololetí za rok \( m = 2 \), celkem \( N = 6 \times 2 = 12 \).

Pololetní úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025 \)

Výsledná částka po \( 12 \) pololetích:

\( K = P (1+r)^N = 200\,000 \times (1{,}025)^{12} \)

Vypočítáme \( (1{,}025)^{12} \):

\( \ln(1{,}025) \approx 0{,}0247 \)

\( 12 \times 0{,}0247 = 0{,}2964 \)

\( e^{0{,}2964} \approx 1{,}345 \)

Dosadíme:

\( K = 200\,000 \times 1{,}345 = 269\,000 \)

Jana bude mít na účtu přibližně \( 269\,000 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 300\,000 \), roční úroková sazba \( r_{\text{year}} = 0{,}05 \), doba \( n = 4 \) roky, úroky se připisují pololetně, tedy \( m = 2 \) období za rok, celkem splátek \( N = 4 \).

Pololetní úroková sazba je:

\( r = \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025 \)

Pro výpočet anuitní splátky ročně převedeme pololetní sazbu na roční efektivní sazbu:

\( (1 + r)^m – 1 = (1 + 0{,}025)^2 – 1 = 1{,}050625 – 1 = 0{,}050625 \approx 0{,}0506 \)

Tato sazba je blízká zadané roční sazbě, proto použijeme \( r_{\text{year}} = 0{,}0506 \).

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r_{\text{year}} (1 + r_{\text{year}})^N}{(1 + r_{\text{year}})^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1 + r_{\text{year}})^N = (1{,}0506)^4 \):

\( \ln(1{,}0506) \approx 0{,}0494 \)

\( 4 \times 0{,}0494 = 0{,}1976 \)

\( e^{0{,}1976} \approx 1{,}218 \)

Dosadíme:

\( A = 300\,000 \times \frac{0{,}0506 \times 1{,}218}{1{,}218 – 1} = 300\,000 \times \frac{0{,}0616}{0{,}218} \)

\( \frac{0{,}0616}{0{,}218} \approx 0{,}282 \)

\( A = 300\,000 \times 0{,}282 = 84\,600 \)

Roční splátka je přibližně \( 84\,600 \) Kč.

Celková zaplacená částka za 4 roky je:

\( 4 \times 84\,600 = 338\,400 \)

Jana tedy zaplatí celkem \( 338\,400 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 1\,200\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}07 \), doba \( n = 6 \) let, počet měsíců za rok \( m = 12 \), celkem splátek \( N = 6 \times 12 = 72 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}07}{12} \approx 0{,}0058333 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}0058333)^{72} \):

\( \ln(1{,}0058333) \approx 0{,}005816 \)

\( 72 \times 0{,}005816 = 0{,}4188 \)

\( e^{0{,}4188} \approx 1{,}520 \)

Dosadíme do vzorce:

\( A = 1\,200\,000 \times \frac{0{,}0058333 \times 1{,}520}{1{,}520 – 1} = 1\,200\,000 \times \frac{0{,}00886}{0{,}52} \)

\( \frac{0{,}00886}{0{,}52} \approx 0{,}01704 \)

\( A = 1\,200\,000 \times 0{,}01704 = 20\,448 \)

Měsíční splátka je přibližně \( 20\,448 \) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( 72 \times 20\,448 = 1\,471\,056 \)

Martin tedy zaplatí celkem \( 1\,471\,056 \) Kč.

Řešení:

Měsíční vklad \( A = 5\,000 \), roční úroková sazba \( r_{\text{year}} = 0{,}03 \), doba \( n = 10 \) let, počet měsíců za rok \( m = 12 \), celkem měsíců \( N = 10 \times 12 = 120 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}03}{12} = 0{,}0025 \)

Vzorec pro konečnou hodnotu anuity (spoření):

\( FV = A \cdot \frac{(1+r)^N – 1}{r} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}0025)^{120} \):

\( \ln(1{,}0025) \approx 0{,}002498 \)

\( 120 \times 0{,}002498 = 0{,}2998 \)

\( e^{0{,}2998} \approx 1{,}349 \)

Dosadíme do vzorce:

\( FV = 5\,000 \times \frac{1{,}349 – 1}{0{,}0025} = 5\,000 \times \frac{0{,}349}{0{,}0025} = 5\,000 \times 139{,}6 = 698\,000 \)

Eva tedy po \( 10 \) letech naspoří přibližně \( 698\,000 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 500\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}09 \), doba \( n = 4 \) roky, počet měsíců za rok \( m = 12 \), celkem splátek \( N = 4 \times 12 = 48 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}09}{12} = 0{,}0075 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}0075)^{48} \):

\( \ln(1{,}0075) \approx 0{,}007472 \)

\( 48 \times 0{,}007472 = 0{,}3586 \)

\( e^{0{,}3586} \approx 1{,}431 \)

Dosadíme do vzorce:

\( A = 500\,000 \times \frac{0{,}0075 \times 1{,}431}{1{,}431 – 1} = 500\,000 \times \frac{0{,}01073}{0{,}431} \approx 500\,000 \times 0{,}0249 = 12\,450 \)

Měsíční splátka je přibližně \( 12\,450 \) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( 48 \times 12\,450 = 597\,600 \)

Karel tedy zaplatí celkem \( 597\,600 \) Kč.

Řešení:

Měsíční vklad \( A = 3\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}04 \), měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}04}{12} = 0{,}0033333 \)

Chceme najít \( N \), počet měsíců, tak aby platilo:

\( FV = A \cdot \frac{(1+r)^N – 1}{r} = 200\,000 \)

Odtud:

\( (1+r)^N = 1 + \frac{200\,000 \times r}{A} = 1 + \frac{200\,000 \times 0{,}0033333}{3\,000} = 1 + \frac{666{,}67}{3\,000} = 1 + 0{,}2222 = 1{,}2222 \)

Pro výpočet \( N \) použijeme logaritmus:

\( N = \frac{\ln(1{,}2222)}{\ln(1+r)} \)

\( \ln(1{,}2222) \approx 0{,}2007 \)

\( \ln(1{,}0033333) \approx 0{,}003327 \)

\( N = \frac{0{,}2007}{0{,}003327} \approx 60{,}34 \)

Počet měsíců je přibližně \( 60{,}34 \), což odpovídá přibližně \( 5 \) letům.

Řešení:

Jistina \( P = 800\,000 \), roční úrok \( r_{\text{year}} = 0{,}06 \), doba \( n = 5 \) let, splátky jsou pololetní, tedy \( m = 2 \) splátky za rok, celkem splátek \( N = 5 \times 2 = 10 \).

Pololetní úroková sazba je:

\( r = \frac{0{,}06}{2} = 0{,}03 \)

Vzorec pro výpočet anuitní splátky:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}03)^{10} \):

\( \ln(1{,}03) \approx 0{,}02956 \)

\( 10 \times 0{,}02956 = 0{,}2956 \)

\( e^{0{,}2956} \approx 1{,}3439 \)

Dosadíme do vzorce:

\( A = 800\,000 \times \frac{0{,}03 \times 1{,}3439}{1{,}3439 – 1} = 800\,000 \times \frac{0{,}04032}{0{,}3439} \approx 800\,000 \times 0{,}1173 = 93\,840 \)

Pololetní splátka je přibližně \( 93\,840 \) Kč.

Řešení:

Počáteční částka \( P = 100\,000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}055 \), doba \( n = 8 \) let.

Hodnota investice po 8 letech je dána vzorcem složeného úroku:

\( FV = P (1+r)^n \)

Vypočítáme:

\( (1 + 0{,}055)^8 = 1{,}055^8 \)

\( \ln(1{,}055) \approx 0{,}05357 \)

\( 8 \times 0{,}05357 = 0{,}4285 \)

\( e^{0{,}4285} \approx 1{,}535 \)

Dosadíme:

\( FV = 100\,000 \times 1{,}535 = 153\,500 \)

Po \(8\) letech bude hodnota investice přibližně \( 153\,500 \) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 250\,000\), roční úroková sazba \(r = 0{,}10\), doba \(n = 3\) roky.

Úroky se připisují ročně, tedy použijeme vzorec pro složený úrok:

\(FV = P (1+r)^n = 250\,000 \times (1{,}10)^3\)

\((1{,}10)^3 = 1{,}331\)

Dosadíme:

\(FV = 250\,000 \times 1{,}331 = 332\,750\)

David tedy zaplatí na úrocích:

\(332\,750 – 250\,000 = 82\,750\)

Celkově zaplatí \(332\,750\) Kč.

Řešení:

Měsíční vklad \(A = 4\,000\), roční úroková sazba \(r_{year} = 0{,}06\), doba \(n = 15\) let, měsíčních období \(N = 15 \times 12 = 180\).

Měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}06}{12} = 0{,}005\)

Vzorec pro konečnou hodnotu anuity:

\(FV = A \cdot \frac{(1+r)^N – 1}{r}\)

Vypočítáme \((1+r)^N = (1{,}005)^{180}\):

\(\ln(1{,}005) \approx 0{,}004987\)

\(180 \times 0{,}004987 = 0{,}8977\)

\(e^{0{,}8977} \approx 2{,}453\)

Dosadíme:

\(FV = 4\,000 \times \frac{2{,}453 – 1}{0{,}005} = 4\,000 \times \frac{1{,}453}{0{,}005} = 4\,000 \times 290{,}6 = 1\,162\,400\)

Po \(15\) letech bude hodnota účtu přibližně \(1\,162\,400\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 600\,000\), roční úroková sazba \(r = 0{,}07\), doba \(n = 6\) let, splátky roční, počet splátek \(N = 6\).

Vzorec pro anuitní splátku:

\(A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1}\)

Vypočítáme \((1+r)^N = (1{,}07)^6\):

\(\ln(1{,}07) \approx 0{,}06766\)

\(6 \times 0{,}06766 = 0{,}40596\)

\(e^{0{,}40596} \approx 1{,}5\)

Dosadíme:

\(A = 600\,000 \times \frac{0{,}07 \times 1{,}5}{1{,}5 – 1} = 600\,000 \times \frac{0{,}105}{0{,}5} = 600\,000 \times 0{,}21 = 126\,000\)

Roční splátka je přibližně \(126\,000\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 1\,200\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}058\), doba \(n = 6\), počet měsíců za rok \(m = 12\), celkem splátek \(N = 6 \times 12 = 72\).

Měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}058}{12} = 0{,}0048333\)

Vzorec pro anuitní splátku:

\(A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1}\)

Vypočítáme \((1+r)^N = (1{,}0048333)^{72}\):

\((1{,}0048333)^{72} = e^{72 \cdot \ln(1{,}0048333)}\)

\(\ln(1{,}0048333) \approx 0{,}004821\)

\(72 \cdot 0{,}004821 = 0{,}347\)

\(e^{0{,}347} \approx 1{,}415\)

Dosadíme:

\(A = 1\,200\,000 \cdot \frac{0{,}0048333 \times 1{,}415}{1{,}415 – 1} = 1\,200\,000 \cdot \frac{0{,}00684}{0{,}415}\)

\(\frac{0{,}00684}{0{,}415} \approx 0{,}01648\)

\(A = 1\,200\,000 \times 0{,}01648 = 19\,776\)

Měsíční splátka je přibližně \(19\,776\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\(N \times A = 72 \times 19\,776 = 1\,423\,872\)

Řešení:

Počáteční částka \(P = 500\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}04\), připisování úroků kvartálně, tj. \(m = 4\) období ročně, doba \(n = 3\) roky.

Kvartální úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}04}{4} = 0{,}01\)

Celkový počet období:

\(N = 3 \times 4 = 12\)

Výpočet hodnoty investice:

\(S = P \times (1 + r)^N = 500\,000 \times (1{,}01)^{12}\)

Vypočítáme \((1{,}01)^{12} = e^{12 \cdot \ln(1{,}01)}\)

\(\ln(1{,}01) \approx 0{,}00995\)

\(12 \times 0{,}00995 = 0{,}1194\)

\(e^{0{,}1194} \approx 1{,}127\)

Dosadíme:

\(S = 500\,000 \times 1{,}127 = 563\,500\)

Po \(3\) letech bude hodnota investice přibližně \(563\,500\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 750\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}08\), doba \(n = 3\) roky, úroky připisovány jednou ročně, splácení na konci.

Celková částka s úroky při jednoduchém úročení:

\(S = P (1 + r_{year} \times n) = 750\,000 \times (1 + 0{,}08 \times 3) = 750\,000 \times 1{,}24 = 930\,000\)

Alena zaplatí na konci \(3\) let \(930\,000\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 800\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}07\), doba \(n = 5\), splácení pololetní, počet splátek \(N = 5 \times 2 = 10\).

Pololetní úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}07}{2} = 0{,}035\)

Vzorec pro anuitní splátku:

\(A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1}\)

Vypočítáme \((1+r)^N = (1{,}035)^{10}\):

\((1{,}035)^{10} = e^{10 \cdot \ln(1{,}035)}\)

\(\ln(1{,}035) \approx 0{,}03439\)

\(10 \times 0{,}03439 = 0{,}3439\)

\(e^{0{,}3439} \approx 1{,}410\)

Dosadíme:

\(A = 800\,000 \times \frac{0{,}035 \times 1{,}410}{1{,}410 – 1} = 800\,000 \times \frac{0{,}04935}{0{,}410}\)

\(\frac{0{,}04935}{0{,}410} \approx 0{,}1203\)

\(A = 800\,000 \times 0{,}1203 = 96\,240\)

Pololetní splátka je přibližně \(96\,240\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\(N \times A = 10 \times 96\,240 = 962\,400\)

Řešení:

Počáteční částka \(P = 300\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}035\), měsíční připisování, počet měsíců za rok \(m = 12\), doba \(n = 4\) roky.

Měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}035}{12} = 0{,}0029167\)

Celkový počet období:

\(N = 4 \times 12 = 48\)

Výpočet konečné částky:

\(S = P \times (1 + r)^N = 300\,000 \times (1{,}0029167)^{48}\)

Vypočítáme \((1{,}0029167)^{48} = e^{48 \cdot \ln(1{,}0029167)}\)

\(\ln(1{,}0029167) \approx 0{,}002913\)

\(48 \times 0{,}002913 = 0{,}1398\)

\(e^{0{,}1398} \approx 1{,}150\)

Dosadíme:

\(S = 300\,000 \times 1{,}150 = 345\,000\)

Po \(4\) letech bude hodnota účtu přibližně \(345\,000\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 1\,500\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}05\), doba \(n = 10\), počet měsíců za rok \(m = 12\), celkem splátek \(N = 10 \times 12 = 120\).

Měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}05}{12} = 0{,}0041667\)

Vzorec pro anuitní splátku:

\(A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1}\)

Vypočítáme \((1+r)^N = (1{,}0041667)^{120}\):

\((1{,}0041667)^{120} = e^{120 \cdot \ln(1{,}0041667)}\)

\(\ln(1{,}0041667) \approx 0{,}004158\)

\(120 \times 0{,}004158 = 0{,}4989\)

\(e^{0{,}4989} \approx 1{,}647\)

Dosadíme:

\(A = 1\,500\,000 \times \frac{0{,}0041667 \times 1{,}647}{1{,}647 – 1} = 1\,500\,000 \times \frac{0{,}00687}{0{,}647}\)

\(\frac{0{,}00687}{0{,}647} \approx 0{,}01061\)

\(A = 1\,500\,000 \times 0{,}01061 = 15\,915\)

Měsíční splátka je přibližně \(15\,915\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\(N \times A = 120 \times 15\,915 = 1\,909\,800\)

Řešení:

Počáteční vklad \(P = 200\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}07\), doba \(n = 5\) let.

Výpočet konečné částky při ročním připisování úroků:

\(S = P \times (1 + r_{year})^n = 200\,000 \times (1{,}07)^5\)

Vypočítáme \((1{,}07)^5 = e^{5 \cdot \ln(1{,}07)}\)

\(\ln(1{,}07) \approx 0{,}06766\)

\(5 \times 0{,}06766 = 0{,}3383\)

\(e^{0{,}3383} \approx 1{,}403\)

Dosadíme:

\(S = 200\,000 \times 1{,}403 = 280\,600\)

Po \(5\) letech bude Eva mít přibližně \(280\,600\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 600\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}09\), doba \(n = 4\) roky.

Roční rovnoměrná splátka jistiny:

\(\frac{P}{n} = \frac{600\,000}{4} = 150\,000\)

První rok úroky z celé jistiny:

\(I_1 = 600\,000 \times 0{,}09 = 54\,000\)

První splátka:

\(S_1 = 150\,000 + 54\,000 = 204\,000\)

Druhý rok úroky z nesplacené jistiny \(600\,000 – 150\,000 = 450\,000\):

\(I_2 = 450\,000 \times 0{,}09 = 40\,500\)

…

Poslední rok úroky z nesplacené jistiny \(150\,000\):

\(I_4 = 150\,000 \times 0{,}09 = 13\,500\)

Poslední splátka:

\(S_4 = 150\,000 + 13\,500 = 163\,500\)

První splátka je \(204\,000\) Kč, poslední splátka je \(163\,500\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 400\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}08\), doba \(n = 3\), počet měsíců \(N = 3 \times 12 = 36\), měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}08}{12} = 0{,}0066667\)

Vzorec pro anuitní splátku:

\(A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1}\)

Vypočítáme \((1+r)^N = (1{,}0066667)^{36}\):

\(\ln(1{,}0066667) \approx 0{,}006645\)

\(36 \times 0{,}006645 = 0{,}2392\)

\(e^{0{,}2392} \approx 1{,}270\)

Dosadíme:

\(A = 400\,000 \times \frac{0{,}0066667 \times 1{,}270}{1{,}270 – 1} = 400\,000 \times \frac{0{,}00847}{0{,}270}\)

\(\frac{0{,}00847}{0{,}270} \approx 0{,}03137\)

\(A = 400\,000 \times 0{,}03137 = 12\,548\)

Měsíční splátka je přibližně \(12\,548\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\(36 \times 12\,548 = 451\,728\)

Řešení:

Počáteční investice \(P = 100\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}04\), měsíční připisování úroků, počet měsíců \(N = 3 \times 12 = 36\).

Měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}04}{12} = 0{,}0033333\)

Výpočet konečné hodnoty investice:

\(S = P \times (1 + r)^N = 100\,000 \times (1{,}0033333)^{36}\)

Vypočítáme \((1{,}0033333)^{36} = e^{36 \cdot \ln(1{,}0033333)}\)

\(\ln(1{,}0033333) \approx 0{,}003327\)

\(36 \times 0{,}003327 = 0{,}1197\)

\(e^{0{,}1197} \approx 1{,}127\)

Dosadíme:

\(S = 100\,000 \times 1{,}127 = 112\,700\)

Po \(3\) letech bude hodnota investice přibližně \(112\,700\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 150\,000\), roční úroková sazba \(r = 0{,}07\), doba \(t = 5\) let.

Protože úroky se připisují ročně a Eva splatí jednorázově na konci, použijeme vzorec pro složené úročení:

\(S = P \times (1 + r)^t\)

Dosadíme hodnoty:

\(S = 150\,000 \times (1 + 0{,}07)^5 = 150\,000 \times (1{,}07)^5\)

Vypočítáme \((1{,}07)^5\):

\((1{,}07)^2 = 1{,}1449\)

\((1{,}07)^3 = 1{,}1449 \times 1{,}07 = 1{,}2250\)

\((1{,}07)^4 = 1{,}2250 \times 1{,}07 = 1{,}3107\)

\((1{,}07)^5 = 1{,}3107 \times 1{,}07 = 1{,}4026\)

Celková částka je tedy:

\(S = 150\,000 \times 1{,}4026 = 210\,390\)

Eva zaplatí po \(5\) letech částku přibližně \(210\,390\) Kč.

Řešení:

Počáteční investice \(P = 200\,000\), roční úroková sazba \(r = 0{,}06\), doba \(t = 4\) roky.

Úroky se připisují pololetně, tj. dvakrát ročně, takže počet období je:

\(N = 4 \times 2 = 8\)

Úroková sazba na jedno období je:

\(r_p = \frac{0{,}06}{2} = 0{,}03\)

Vzorec pro složené úročení:

\(S = P \times (1 + r_p)^N = 200\,000 \times (1 + 0{,}03)^8\)

Vypočítáme \((1{,}03)^8\):

\((1{,}03)^2 = 1{,}0609\)

\((1{,}03)^4 = (1{,}0609)^2 = 1{,}1262\)

\((1{,}03)^8 = (1{,}1262)^2 = 1{,}2682\)

Dosadíme:

\(S = 200\,000 \times 1{,}2682 = 253\,640\)

Hodnota investice po \(4\) letech bude přibližně \(253\,640\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 300\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}09\), počet měsíců \(N = 2 \times 12 = 24\).

Měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}09}{12} = 0{,}0075\)

Vzorec pro výpočet měsíční anuitní splátky:

\(A = P \times \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1}\)

Vypočítáme \((1+r)^N = (1{,}0075)^{24}\):

Pro přibližný výpočet použijeme přirozený logaritmus:

\(\ln(1{,}0075) \approx 0{,}007472\)

\(24 \times 0{,}007472 = 0{,}1793\)

\(e^{0{,}1793} \approx 1{,}1963\)

Dosadíme:

\(A = 300\,000 \times \frac{0{,}0075 \times 1{,}1963}{1{,}1963 – 1} = 300\,000 \times \frac{0{,}00897}{0{,}1963}\)

\(\frac{0{,}00897}{0{,}1963} \approx 0{,}0457\)

\(A = 300\,000 \times 0{,}0457 = 13\,710\)

Měsíční splátka je přibližně \(13\,710\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\(24 \times 13\,710 = 329\,040\)

Řešení:

Počáteční investice \(P = 500\,000\), roční úroková sazba \(r = 0{,}05\), doba \(t = 3\) roky.

Úroky se připisují čtvrtletně, tj. 4x ročně:

\(N = 3 \times 4 = 12\)

Úroková sazba na jedno období:

\(r_q = \frac{0{,}05}{4} = 0{,}0125\)

Vzorec složeného úročení:

\(S = P \times (1 + r_q)^N = 500\,000 \times (1{,}0125)^{12}\)

Vypočítáme \((1{,}0125)^{12}\):

\((1{,}0125)^2 = 1{,}02516\)

\((1{,}0125)^4 = (1{,}02516)^2 = 1{,}0514\)

\((1{,}0125)^8 = (1{,}0514)^2 = 1{,}1054\)

\((1{,}0125)^{12} = 1{,}1054 \times 1{,}0514 = 1{,}1616\)

Dosadíme:

\(S = 500\,000 \times 1{,}1616 = 580\,800\)

Hodnota investice po \(3\) letech bude přibližně \(580\,800\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 250\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}10\), počet měsíců \(N = 4 \times 12 = 48\).

Měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}10}{12} = 0{,}0083333\)

Vzorec pro anuitní splátku:

\(A = P \times \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1}\)

Vypočítáme \((1+r)^N = (1{,}0083333)^{48}\):

\(\ln(1{,}0083333) \approx 0{,}0083\)

\(48 \times 0{,}0083 = 0{,}398\)

\(e^{0{,}398} \approx 1{,}488\)

Dosadíme:

\(A = 250\,000 \times \frac{0{,}0083333 \times 1{,}488}{1{,}488 – 1} = 250\,000 \times \frac{0{,}0124}{0{,}488}\)

\(\frac{0{,}0124}{0{,}488} \approx 0{,}02541\)

\(A = 250\,000 \times 0{,}02541 = 6\,352\)

Měsíční splátka je přibližně \(6\,352\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\(48 \times 6\,352 = 304\,896\)

Řešení:

Jistina \(P = 120\,000\), roční úroková sazba \(r_{year} = 0{,}08\), doba \(t = 3\) roky, pololetní splátky, tedy 2× ročně.

Počet splátek:

\(N = 3 \times 2 = 6\)

Úroková sazba na jedno období:

\(r = \frac{0{,}08}{2} = 0{,}04\)

Vzorec pro anuitní splátku:

\(A = P \times \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1}\)

Vypočítáme \((1+r)^N = (1{,}04)^6\):

\((1{,}04)^2 = 1{,}0816\)

\((1{,}04)^4 = (1{,}0816)^2 = 1{,}1699\)

\((1{,}04)^6 = 1{,}1699 \times 1{,}0816 = 1{,}2653\)

Dosadíme:

\(A = 120\,000 \times \frac{0{,}04 \times 1{,}2653}{1{,}2653 – 1} = 120\,000 \times \frac{0{,}0506}{0{,}2653}\)

\(\frac{0{,}0506}{0{,}2653} \approx 0{,}1908\)

\(A = 120\,000 \times 0{,}1908 = 22\,896\)

Pololetní splátka je přibližně \(22\,896\) Kč.

Řešení:

Pravidelná měsíční vkladová částka \(P = 1\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}03\), počet měsíců \(N = 5 \times 12 = 60\), měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}03}{12} = 0{,}0025\)

Hodnota spoření po \(N\) měsících je dána vzorcem pro budoucí hodnotu anuity:

\(S = P \times \frac{(1 + r)^N – 1}{r}\)

Vypočítáme \((1 + r)^N = (1{,}0025)^{60}\):

\(\ln(1{,}0025) \approx 0{,}002496\)

\(60 \times 0{,}002496 = 0{,}1498\)

\(e^{0{,}1498} \approx 1{,}1616\)

Dosadíme:

\(S = 1\,000 \times \frac{1{,}1616 – 1}{0{,}0025} = 1\,000 \times \frac{0{,}1616}{0{,}0025} = 1\,000 \times 64{,}64 = 64\,640\)

Hodnota účtu na konci \(5\) let bude přibližně \(64\,640\) Kč.

Řešení:

Cena auta je \(360\,000\) Kč, počáteční vklad 20 % znamená, že paní Nováková zaplatí ihned:

\(0{,}20 \times 360\,000 = 72\,000\) Kč.

Zbývající částka k úhradě formou splátek je tedy:

\(360\,000 – 72\,000 = 288\,000\) Kč.

Jde o půjčku na \(n = 4\) roky, s roční úrokovou sazbou \(r = 0{,}06\).

Vzorec pro výpočet roční anuitní splátky je:

\(S = P \cdot \frac{r (1 + r)^n}{(1 + r)^n – 1}\)

Nejprve spočítáme \((1 + r)^n = (1{,}06)^4\):

\((1{,}06)^4 = e^{4 \cdot \ln(1{,}06)}\)

\(\ln(1{,}06) \approx 0{,}05827\)

\(4 \times 0{,}05827 = 0{,}23308\)

\(e^{0{,}23308} \approx 1{,}2625\)

Dosadíme do vzorce:

\(S = 288\,000 \times \frac{0{,}06 \times 1{,}2625}{1{,}2625 – 1} = 288\,000 \times \frac{0{,}07575}{0{,}2625}\)

\(\frac{0{,}07575}{0{,}2625} \approx 0{,}2885\)

\(S = 288\,000 \times 0{,}2885 = 83\,088\)

Roční splátka je tedy přibližně \(83\,088\) Kč.

Řešení:

Počáteční vklad \(P = 50\,000\) Kč, úroková sazba \(r = 0{,}035\), budoucí hodnota \(FV = 70\,000\) Kč.

Vzorec pro složené úročení je:

\(FV = P \cdot (1 + r)^n\)

Potřebujeme najít \(n\), tedy počet let:

\(70\,000 = 50\,000 \times (1{,}035)^n \Rightarrow (1{,}035)^n = \frac{70\,000}{50\,000} = 1{,}4\)

Vypočítáme \(n\) pomocí logaritmu:

\(n = \frac{\ln(1{,}4)}{\ln(1{,}035)}\)

\(\ln(1{,}4) \approx 0{,}33647\)

\(\ln(1{,}035) \approx 0{,}03439\)

\(n = \frac{0{,}33647}{0{,}03439} \approx 9{,}78\)

Protože počet let musí být celé číslo a úročení probíhá jednou ročně, bude potřeba cca \(10\) let, aby hodnota na účtu přesáhla \(70\,000\) Kč.

Řešení:

Počáteční jistina \(P = 1\,200\,000\) Kč, roční úroková sazba \(r = 0{,}05\), úroky se připisují čtvrtletně, tedy 4× ročně, celkem \(n = 3 \times 4 = 12\) období.

Úroková sazba za jedno čtvrtletí je:

\(i = \frac{r}{4} = \frac{0{,}05}{4} = 0{,}0125\)

Vzorec pro složené úročení s více obdobími za rok:

\(FV = P \times (1 + i)^n\)

Dosadíme hodnoty:

\(FV = 1\,200\,000 \times (1 + 0{,}0125)^{12} = 1\,200\,000 \times (1{,}0125)^{12}\)

Spočítáme \((1{,}0125)^{12}\):

\(\ln(1{,}0125) \approx 0{,}01242\)

\(12 \times 0{,}01242 = 0{,}14904\)

\(e^{0{,}14904} \approx 1{,}1607\)

Dosadíme zpět:

\(FV = 1\,200\,000 \times 1{,}1607 = 1\,392\,840\)

Konečná dlužná částka po \(3\) letech bude přibližně \(1\,392\,840\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 800\,000\) Kč, roční úroková sazba \(r = 0{,}07\), splátky měsíční, počet měsíců \(n = 5 \times 12 = 60\).

Úroková sazba za měsíc je:

\(i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}07}{12} \approx 0{,}0058333\)

Vzorec pro výpočet měsíční anuitní splátky je:

\[ S = P \cdot \frac{i (1 + i)^n}{(1 + i)^n – 1} \]

Spočítáme \((1 + i)^n = (1{,}0058333)^{60}\):

\(\ln(1{,}0058333) \approx 0{,}005816\)

\(60 \times 0{,}005816 = 0{,}34896\)

\(e^{0{,}34896} \approx 1{,}4177\)

Dosadíme do vzorce:

\[ S = 800\,000 \times \frac{0{,}0058333 \times 1{,}4177}{1{,}4177 – 1} = 800\,000 \times \frac{0{,}00827}{0{,}4177} \]

\(\frac{0{,}00827}{0{,}4177} \approx 0{,}0198\)

\(S = 800\,000 \times 0{,}0198 = 15\,840\)

Měsíční splátka je přibližně \(15\,840\) Kč.

Řešení:

Pravidelná měsíční platba \( P = 2\,000 \) Kč, roční úroková sazba \( r = 0{,}04 \), úročení měsíční, počet měsíců \( n = 20 \times 12 = 240 \).

Měsíční úroková sazba je:

\( i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}04}{12} = 0{,}0033333 \)

Vzorec pro budoucí hodnotu anuity při měsíčních vkladech je:

\( FV = P \times \frac{(1 + i)^n – 1}{i} \)

Spočítáme \( (1 + i)^n = (1{,}0033333)^{240} \):

\( \ln(1{,}0033333) \approx 0{,}003327 \)

\( 240 \times 0{,}003327 = 0{,}79848 \)

\( e^{0{,}79848} \approx 2{,}222 \)

Dosadíme do vzorce:

\( FV = 2\,000 \times \frac{2{,}222 – 1}{0{,}0033333} = 2\,000 \times \frac{1{,}222}{0{,}0033333} \)

\( \frac{1{,}222}{0{,}0033333} \approx 366{,}6 \)

\( FV = 2\,000 \times 366{,}6 = 733\,200 \)

Po \( 20 \) letech bude mít pan Marek na účtu přibližně \( 733\,200 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 2\,500\,000 \) Kč, roční úroková sazba \( r = 0{,}08 \), úroky se připisují pololetně, tedy \( 2 \times \) ročně, počet období \( n = 3 \times 2 = 6 \).

Úroková sazba za pololetí je:

\( i = \frac{r}{2} = \frac{0{,}08}{2} = 0{,}04 \)

Vzorec pro složené úročení:

\( FV = P \times (1 + i)^n \)

Spočítáme:

\( (1{,}04)^6 = e^{6 \cdot \ln(1{,}04)} \)

\( \ln(1{,}04) \approx 0{,}03922 \)

\( 6 \times 0{,}03922 = 0{,}2353 \)

\( e^{0{,}2353} \approx 1{,}265 \)

Dosadíme:

\( FV = 2\,500\,000 \times 1{,}265 = 3\,162\,500 \)

Celková dlužná částka po \( 3 \) letech bude přibližně \( 3\,162\,500 \) Kč.

Řešení:

Cena bytu je \( 3\,200\,000 \) Kč, paní Jitka zaplatí počáteční vklad \( 600\,000 \) Kč, takže výše úvěru je:

\( P = 3\,200\,000 – 600\,000 = 2\,600\,000 \) Kč.

Doba splácení je \( n = 15 \) let, měsíčně, tedy počet splátek:

\( N = 15 \times 12 = 180 \)

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}045 \), měsíční úroková sazba je:

\( i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}045}{12} = 0{,}00375 \)

Vzorec pro výpočet měsíční anuitní splátky:

\( S = P \times \frac{i (1 + i)^N}{(1 + i)^N – 1} \)

Spočítáme \( (1 + i)^N = (1{,}00375)^{180} \):

Nejprve spočítáme přirozený logaritmus:

\( \ln(1{,}00375) \approx 0{,}003743 \)

\( 180 \times 0{,}003743 = 0{,}6737 \)

\( e^{0{,}6737} \approx 1{,}961 \)

Dosadíme do vzorce:

\( S = 2\,600\,000 \times \frac{0{,}00375 \times 1{,}961}{1{,}961 – 1} = 2\,600\,000 \times \frac{0{,}00735}{0{,}961} \)

\( \frac{0{,}00735}{0{,}961} \approx 0{,}00765 \)

\( S = 2\,600\,000 \times 0{,}00765 = 19\,890 \)

Výše měsíční anuitní splátky bude přibližně \( 19\,890 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 200\,000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}06 \), počet let \( n = 8 \).

Vzorec pro anuitní splátku:

\( S = P \cdot \frac{r (1 + r)^n}{(1 + r)^n – 1} \)

Nejdříve spočítáme \( (1 + r)^n = (1{,}06)^8 \):

\( (1{,}06)^8 = e^{8 \cdot \ln(1{,}06)} \)

\( \ln(1{,}06) \approx 0{,}05827 \)

\( 8 \cdot 0{,}05827 = 0{,}4662 \)

\( e^{0{,}4662} \approx 1{,}59385 \)

Dosadíme do vzorce:

\( S = 200\,000 \cdot \frac{0{,}06 \times 1{,}59385}{1{,}59385 – 1} = 200\,000 \cdot \frac{0{,}09563}{0{,}59385} \)

\( \frac{0{,}09563}{0{,}59385} \approx 0{,}161 \)

\( S = 200\,000 \times 0{,}161 = 32\,200 \)

Výše roční splátky je přibližně \( 32\,200 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 150\,000 \), úroková sazba \( r = 0{,}07 \), doba \( t = 5 \) let.

Jednoduchý úrok se vypočítá jako:

\( I = P \cdot r \cdot t = 150\,000 \times 0{,}07 \times 5 = 52\,500 \)

Celková zaplacená částka je jistina plus úroky:

\( 150\,000 + 52\,500 = 202\,500 \)

Paní Novotná tedy zaplatí celkem \( 202\,500 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 120\,000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}05 \), doba \( 3 \) roky, splácení pololetně, tedy počet splátek:

\( n = 3 \times 2 = 6 \)

Pololetní úroková sazba je:

\( i = \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025 \)

Vzorec pro výpočet splátky:

\( S = P \cdot \frac{i (1+i)^n}{(1+i)^n – 1} \)

Nejdříve spočítáme \( (1+i)^n = (1{,}025)^6 \):

\( (1{,}025)^6 = e^{6 \cdot \ln(1{,}025)} \)

\( \ln(1{,}025) \approx 0{,}0247 \)

\( 6 \cdot 0{,}0247 = 0{,}1482 \)

\( e^{0{,}1482} \approx 1{,}1597 \)

Dosadíme do vzorce:

\( S = 120\,000 \times \frac{0{,}025 \times 1{,}1597}{1{,}1597 – 1} = 120\,000 \times \frac{0{,}02899}{0{,}1597} \)

\( \frac{0{,}02899}{0{,}1597} \approx 0{,}1815 \)

\( S = 120\,000 \times 0{,}1815 = 21\,780 \)

Výše jedné splátky je přibližně \( 21\,780 \) Kč.

Celková zaplacená částka je:

\( 6 \times 21\,780 = 130\,680 \)

Řešení:

Jistina \( P = 500\,000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}08 \), doba \( t = 10 \) let.

Vzorec pro složené úročení:

\( A = P (1 + r)^t \)

Spočítáme \( (1 + r)^t = (1{,}08)^{10} \):

\( (1{,}08)^{10} = e^{10 \cdot \ln(1{,}08)} \)

\( \ln(1{,}08) \approx 0{,}07696 \)

\( 10 \times 0{,}07696 = 0{,}7696 \)

\( e^{0{,}7696} \approx 2{,}1589 \)

Dosadíme:

\( A = 500\,000 \times 2{,}1589 = 1\,079\,450 \)

Firma tedy zaplatí přibližně \( 1\,079\,450 \) Kč.

Řešení:

Měsíční úložka \( P = 3\,000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}03 \), měsíční úroková sazba:

\( i = \frac{0{,}03}{12} = 0{,}0025 \)

Počet měsíců:

\( n = 5 \times 12 = 60 \)

Vzorec pro budoucí hodnotu anuity:

\( FV = P \cdot \frac{(1 + i)^n – 1}{i} \)

Spočítáme \( (1 + i)^n = (1{,}0025)^{60} \):

\( (1{,}0025)^{60} = e^{60 \cdot \ln(1{,}0025)} \)

\( \ln(1{,}0025) \approx 0{,}002498 \)

\( 60 \times 0{,}002498 = 0{,}1499 \)

\( e^{0{,}1499} \approx 1{,}1618 \)

Dosadíme:

\( FV = 3\,000 \times \frac{1{,}1618 – 1}{0{,}0025} = 3\,000 \times \frac{0{,}1618}{0{,}0025} \)

\( \frac{0{,}1618}{0{,}0025} = 64{,}72 \)

\( FV = 3\,000 \times 64{,}72 = 194\,160 \)

Hodnota úspor po \( 5 \) letech bude přibližně \( 194\,160 \) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 250\,000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}04 \), počet let \( n = 6 \).

Vzorec pro anuitní splátku:

\( S = P \cdot \frac{r (1 + r)^n}{(1 + r)^n – 1} \)

Spočítáme \( (1 + r)^n = (1{,}04)^6 \):

\( (1{,}04)^6 = e^{6 \cdot \ln(1{,}04)} \)

\( \ln(1{,}04) \approx 0{,}03922 \)

\( 6 \times 0{,}03922 = 0{,}2353 \)

\( e^{0{,}2353} \approx 1{,}265 \)

Dosadíme:

\( S = 250\,000 \times \frac{0{,}04 \times 1{,}265}{1{,}265 – 1} = 250\,000 \times \frac{0{,}0506}{0{,}265} \)

\( \frac{0{,}0506}{0{,}265} \approx 0{,}1909 \)

\( S = 250\,000 \times 0{,}1909 = 47\,725 \)

Roční splátka je přibližně \( 47\,725 \) Kč.

Řešení:

Výše půjčky je \( P = 750\,000 \) Kč.

Doba splácení je \( n = 8 \) let, čtvrtletně, tedy počet splátek je:

\( N = 8 \times 4 = 32 \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}05 \), čtvrtletní úroková sazba je:

\( i = \frac{r}{4} = \frac{0{,}05}{4} = 0{,}0125 \).

Vzorec pro čtvrtletní anuitní splátku:

\( S = P \times \frac{i (1 + i)^N}{(1 + i)^N – 1} \).

Spočítáme \( (1 + i)^N = (1{,}0125)^{32} \):

\( \ln(1{,}0125) \approx 0{,}01242 \)

\( 32 \times 0{,}01242 = 0{,}39744 \)

\( e^{0{,}39744} \approx 1{,}4884 \)

Dosadíme do vzorce:

\( S = 750\,000 \times \frac{0{,}0125 \times 1{,}4884}{1{,}4884 – 1} = 750\,000 \times \frac{0{,}0186}{0{,}4884} \)

\( \frac{0{,}0186}{0{,}4884} \approx 0{,}03807 \)

\( S = 750\,000 \times 0{,}03807 = 28\,553 \)

Čtvrtletní splátka je přibližně \( 28\,553 \) Kč.

Řešení:

Počáteční částka je \( P = 120\,000 \) Kč.

Cílová částka je \( K = 130\,000 \) Kč.

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}03 \), měsíční úroková sazba je:

\( i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}03}{12} = 0{,}0025 \).

Složené úročení vyjadřuje vztah:

\( K = P \times (1 + i)^m \), kde \( m \) je počet měsíců.

Vyjádříme \( m \):

\( 130\,000 = 120\,000 \times (1{,}0025)^m \Rightarrow (1{,}0025)^m = \frac{130\,000}{120\,000} = 1{,}0833 \).

Logaritmováním získáme:

\( m \times \ln(1{,}0025) = \ln(1{,}0833) \Rightarrow m = \frac{\ln(1{,}0833)}{\ln(1{,}0025)} \).

\( \ln(1{,}0833) \approx 0{,}0800 \), \( \ln(1{,}0025) \approx 0{,}002498 \).

\( m = \frac{0{,}0800}{0{,}002498} \approx 32{,}05 \).

Po \( 33 \) měsících dosáhne Marie na účtu minimálně \( 130\,000 \) Kč.

Řešení:

Výše půjčky je \( P = 400\,000 \) Kč.

Doba splácení je \( n = 6 \) let, pololetně, tedy počet splátek je:

\( N = 6 \times 2 = 12 \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}07 \), pololetní úroková sazba je:

\( i = \frac{r}{2} = \frac{0{,}07}{2} = 0{,}035 \).

Vzorec pro pololetní anuitní splátku:

\( S = P \times \frac{i (1 + i)^N}{(1 + i)^N – 1} \).

Spočítáme \( (1 + i)^N = (1{,}035)^{12} \):

\( \ln(1{,}035) \approx 0{,}03439 \)

\( 12 \times 0{,}03439 = 0{,}4127 \)

\( e^{0{,}4127} \approx 1{,}5116 \)

Dosadíme do vzorce:

\( S = 400\,000 \times \frac{0{,}035 \times 1{,}5116}{1{,}5116 – 1} = 400\,000 \times \frac{0{,}0529}{0{,}5116} \)

\( \frac{0{,}0529}{0{,}5116} \approx 0{,}1035 \)

\( S = 400\,000 \times 0{,}1035 = 41\,400 \)

Pololetní splátka je přibližně \( 41\,400 \) Kč.

Celková zaplacená částka je:

\( 12 \times 41\,400 = 496\,800 \) Kč.

Řešení:

Počáteční částka je \( P = 200\,000 \) Kč.

Doba spoření je \( n = 3 \) roky, kvartálně, tedy počet období je:

\( N = 3 \times 4 = 12 \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}028 \), kvartální úroková sazba je:

\( i = \frac{r}{4} = \frac{0{,}028}{4} = 0{,}007 \).

Složené úročení dává konečnou částku:

\( K = P \times (1 + i)^N \).

Spočítáme \( (1 + i)^N = (1{,}007)^{12} \):

\( \ln(1{,}007) \approx 0{,}00697 \)

\( 12 \times 0{,}00697 = 0{,}0836 \)

\( e^{0{,}0836} \approx 1{,}0872 \)

Dosadíme do vzorce:

\( K = 200\,000 \times 1{,}0872 = 217\,440 \) Kč.

Po 3 letech bude na účtu částka přibližně \( 217\,440 \) Kč.

Řešení:

Výše půjčky je \( P = 500\,000 \) Kč.

Doba splácení je \( n = 10 \) let, měsíčně, počet splátek je:

\( N = 10 \times 12 = 120 \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}06 \), měsíční úroková sazba je:

\( i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}06}{12} = 0{,}005 \).

Vzorec pro měsíční anuitní splátku:

\( S = P \times \frac{i (1 + i)^N}{(1 + i)^N – 1} \).

Spočítáme \( (1 + i)^N = (1{,}005)^{120} \):

\( \ln(1{,}005) \approx 0{,}004987 \)

\( 120 \times 0{,}004987 = 0{,}5984 \)

\( e^{0{,}5984} \approx 1{,}819 \)

Dosadíme do vzorce:

\( S = 500\,000 \times \frac{0{,}005 \times 1{,}819}{1{,}819 – 1} = 500\,000 \times \frac{0{,}009095}{0{,}819} \)

\( \frac{0{,}009095}{0{,}819} \approx 0{,}0111 \)

\( S = 500\,000 \times 0{,}0111 = 5\,550 \)

Výše měsíční splátky je přibližně \( 5\,550 \) Kč.

Řešení:

Počáteční částka je \( P = 100\,000 \) Kč.

Cílová částka pro zdvojnásobení je \( K = 2 \times P = 200\,000 \) Kč.

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}045 \), pololetní úroková sazba je:

\( i = \frac{r}{2} = \frac{0{,}045}{2} = 0{,}0225 \).

Složené úročení je dáno vztahem:

\( K = P \times (1 + i)^N \), kde \( N \) je počet pololetí.

Vyjádříme \( N \):

\( 200\,000 = 100\,000 \times (1{,}0225)^N \Rightarrow (1{,}0225)^N = 2 \).

Logaritmováním:

\( N \times \ln(1{,}0225) = \ln(2) \Rightarrow N = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}0225)} \).

\( \ln(2) \approx 0{,}6931 \), \( \ln(1{,}0225) \approx 0{,}0223 \).

\( N = \frac{0{,}6931}{0{,}0223} \approx 31{,}1 \).

Počet pololetí je přibližně \( 31{,}1 \), tedy doba v letech:

\( t = \frac{N}{2} = \frac{31{,}1}{2} = 15{,}55 \) let.

Vklad se zdvojnásobí přibližně za \( 15{,}55 \) let.

Řešení:

Výše půjčky je \( P = 300\,000 \) Kč.

Doba splácení je \( n = 5 \) let, měsíčně, počet splátek:

\( N = 5 \times 12 = 60 \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}09 \), měsíční úroková sazba:

\( i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}09}{12} = 0{,}0075 \).

Vzorec pro měsíční splátku:

\( S = P \times \frac{i (1 + i)^N}{(1 + i)^N – 1} \).

Spočítáme \( (1 + i)^N = (1{,}0075)^{60} \):

\( \ln(1{,}0075) \approx 0{,}00747 \)

\( 60 \times 0{,}00747 = 0{,}448 \)

\( e^{0{,}448} \approx 1{,}565 \)

Dosadíme:

\( S = 300\,000 \times \frac{0{,}0075 \times 1{,}565}{1{,}565 – 1} = 300\,000 \times \frac{0{,}01174}{0{,}565} \)

\( \frac{0{,}01174}{0{,}565} \approx 0{,}02078 \)

\( S = 300\,000 \times 0{,}02078 = 6\,234 \)

Výše měsíční splátky je přibližně \( 6\,234 \) Kč.

Řešení:

Pravidelná měsíční splátka je \( R = 2\,000 \) Kč.

Doba spoření je \( n = 10 \) let, počet měsíců:

\( N = 10 \times 12 = 120 \).

Roční úroková sazba \( r = 0{,}035 \), měsíční úroková sazba:

\( i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}035}{12} = 0{,}0029167 \).

Vzorec pro konečnou hodnotu anuitního spoření:

\( K = R \times \frac{(1 + i)^N – 1}{i} \).

Spočítáme \( (1 + i)^N = (1{,}0029167)^{120} \):

\( \ln(1{,}0029167) \approx 0{,}002913 \)

\( 120 \times 0{,}002913 = 0{,}3496 \)

\( e^{0{,}3496} \approx 1{,}418 \)

Dosadíme:

\( K = 2\,000 \times \frac{1{,}418 – 1}{0{,}0029167} = 2\,000 \times \frac{0{,}418}{0{,}0029167} \)

\( \frac{0{,}418}{0{,}0029167} \approx 143{,}4 \)

\( K = 2\,000 \times 143{,}4 = 286\,800 \) Kč.

Po 10 letech bude na účtu přibližně \( 286\,800 \) Kč.

Řešení:

Výše půjčky je \( P = 250\,000 \) Kč.

Doba splácení je \( n = 6 \) let, roční úroková sazba \( r = 0{,}07 \).

Úroková sazba pro jednu splátku za rok je \( i = 0{,}07 \).

Počet splátek je \( N = 6 \).

Vzorec pro roční anuitní splátku:

\( S = P \times \frac{i (1 + i)^N}{(1 + i)^N – 1} \).

Spočítáme \( (1 + i)^N = (1{,}07)^6 \):

\( \ln(1{,}07) \approx 0{,}06766 \)

\( 6 \times 0{,}06766 = 0{,}40596 \)

\( e^{0{,}40596} \approx 1{,}500 \)

Dosadíme do vzorce:

\( S = 250\,000 \times \frac{0{,}07 \times 1{,}5}{1{,}5 – 1} = 250\,000 \times \frac{0{,}105}{0{,}5} \)

\( \frac{0{,}105}{0{,}5} = 0{,}21 \)

\( S = 250\,000 \times 0{,}21 = 52\,500 \)

Roční splátka je tedy přibližně \( 52\,500 \) Kč.

Řešení:

Výše půjčky je \( P = 400\,000 \) Kč.

Doba splácení je \( n = 8 \) let, roční úroková sazba \( r = 0{,}05 \).

Počet splátek \( N = 8 \).

Vzorec pro roční anuitní splátku:

\( S = P \times \frac{i (1 + i)^N}{(1 + i)^N – 1} \), kde \( i = r = 0{,}05 \).

Spočítáme \( (1 + i)^N = (1{,}05)^8 \):

\( \ln(1{,}05) \approx 0{,}04879 \)

\( 8 \times 0{,}04879 = 0{,}3903 \)

\( e^{0{,}3903} \approx 1{,}477 \)

Dosadíme do vzorce:

\( S = 400\,000 \times \frac{0{,}05 \times 1{,}477}{1{,}477 – 1} = 400\,000 \times \frac{0{,}07385}{0{,}477} \)

\( \frac{0{,}07385}{0{,}477} \approx 0{,}1548 \)

\( S = 400\,000 \times 0{,}1548 = 61\,920 \)

Roční splátka je přibližně \(61\,920\) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 150\,000 \) Kč, doba splácení \( n = 5 \) let, roční úroková sazba \( r_{year} = 0{,}06 \), počet měsíců v roce \( m = 12 \), počet splátek celkem \( N = n \times m = 60 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}06}{12} = 0{,}005 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}005)^{60} \):

\( (1{,}005)^{60} = e^{60 \cdot \ln(1{,}005)} \)

\( \ln(1{,}005) \approx 0{,}004987 \)

\( 60 \cdot 0{,}004987 = 0{,}2992 \)

\( e^{0{,}2992} \approx 1{,}348 \)

Dosadíme do vzorce:

\( A = 150\,000 \cdot \frac{0{,}005 \times 1{,}348}{1{,}348 – 1} = 150\,000 \cdot \frac{0{,}00674}{0{,}348} \)

\( \frac{0{,}00674}{0{,}348} \approx 0{,}01936 \)

\( A = 150\,000 \times 0{,}01936 = 2\,904 \)

Měsíční splátka je přibližně \(2\,904\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( N \times A = 60 \times 2\,904 = 174\,240 \)

Řešení:

Počáteční vklad \( P = 80\,000 \) Kč, roční úroková sazba \( r_{year} = 0{,}04 \), doba \( n = 3 \) roky.

Úroky se připisují čtvrtletně, tedy \( m = 4 \) období za rok, úroková sazba za čtvrtletí je:

\( r = \frac{0{,}04}{4} = 0{,}01 \)

Celkový počet úročních období:

\( N = n \times m = 3 \times 4 = 12 \)

Výpočet konečné částky s využitím složeného úročení:

\( K = P \times (1 + r)^N = 80\,000 \times (1{,}01)^{12} \)

Vypočítáme \( (1{,}01)^{12} = e^{12 \cdot \ln(1{,}01)} \):

\( \ln(1{,}01) \approx 0{,}00995 \)

\( 12 \times 0{,}00995 = 0{,}1194 \)

\( e^{0{,}1194} \approx 1{,}127 \)

Dosadíme:

\( K = 80\,000 \times 1{,}127 = 90\,160 \)

Po \(3\) letech bude mít Jana na účtu přibližně \(90\,160\) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 200\,000 \) Kč, doba splácení \( n = 4 \) roky, roční úrok \( r_{year} = 0{,}055 \), počet měsíců v roce \( m = 12 \), celkový počet splátek \( N = 48 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}055}{12} \approx 0{,}0045833 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}0045833)^{48} \):

\( \ln(1{,}0045833) \approx 0{,}004572 \)

\( 48 \times 0{,}004572 = 0{,}2195 \)

\( e^{0{,}2195} \approx 1{,}245 \)

Dosadíme:

\( A = 200\,000 \cdot \frac{0{,}0045833 \times 1{,}245}{1{,}245 – 1} = 200\,000 \cdot \frac{0{,}005704}{0{,}245} \)

\( \frac{0{,}005704}{0{,}245} \approx 0{,}02327 \)

\( A = 200\,000 \times 0{,}02327 = 4\,654 \)

Měsíční splátka je přibližně \(4\,654\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( N \times A = 48 \times 4\,654 = 223\,392 \)

Řešení:

Počáteční investice \( P = 50\,000 \) Kč, roční úrok \( r_{year} = 0{,}07 \), doba \( n = 2 \) roky, počet úrokových období za rok \( m = 2 \), úroková sazba za období:

\( r = \frac{0{,}07}{2} = 0{,}035 \)

Celkový počet úročních období:

\( N = n \times m = 2 \times 2 = 4 \)

Konečná částka podle vzorce složeného úročení:

\( K = P \times (1 + r)^N = 50\,000 \times (1{,}035)^4 \)

Vypočítáme \( (1{,}035)^4 = e^{4 \cdot \ln(1{,}035)} \):

\( \ln(1{,}035) \approx 0{,}03439 \)

\( 4 \times 0{,}03439 = 0{,}1376 \)

\( e^{0{,}1376} \approx 1{,}147 \)

Dosadíme:

\( K = 50\,000 \times 1{,}147 = 57\,350 \)

Eva získá po dvou letech přibližně \(57\,350\) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 120\,000 \) Kč, doba splácení \( n = 3 \) roky, roční úrok \( r_{year} = 0{,}05 \), počet měsíců v roce \( m = 12 \), celkový počet splátek \( N = 36 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}05}{12} \approx 0{,}004167 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}004167)^{36} \):

\( \ln(1{,}004167) \approx 0{,}004159 \)

\( 36 \times 0{,}004159 = 0{,}1497 \)

\( e^{0{,}1497} \approx 1{,}1615 \)

Dosadíme:

\( A = 120\,000 \cdot \frac{0{,}004167 \times 1{,}1615}{1{,}1615 – 1} = 120\,000 \cdot \frac{0{,}004841}{0{,}1615} \)

\( \frac{0{,}004841}{0{,}1615} \approx 0{,}02999 \)

\( A = 120\,000 \times 0{,}02999 = 3\,599 \)

Měsíční splátka je přibližně \(3\,599\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( N \times A = 36 \times 3\,599 = 129\,564 \)

Řešení:

Počáteční vklad \( P = 100\,000 \) Kč, roční úrok \( r_{year} = 0{,}035 \), doba \( n = 1 \) rok, počet úrokových období za rok \( m = 12 \), úrok za měsíc:

\( r = \frac{0{,}035}{12} \approx 0{,}0029167 \)

Celkový počet období:

\( N = n \times m = 1 \times 12 = 12 \)

Výpočet konečného stavu účtu:

\( K = P \times (1 + r)^N = 100\,000 \times (1{,}0029167)^{12} \)

Vypočítáme \( (1{,}0029167)^{12} = e^{12 \cdot \ln(1{,}0029167)} \):

\( \ln(1{,}0029167) \approx 0{,}002913 \)

\( 12 \times 0{,}002913 = 0{,}03496 \)

\( e^{0{,}03496} \approx 1{,}0356 \)

Dosadíme:

\( K = 100\,000 \times 1{,}0356 = 103\,560 \)

Po \(1\) roce bude mít Hana na účtu přibližně \(103\,560\) Kč.

Řešení:

Jistina \( P = 300\,000 \) Kč, doba splácení \( n = 7 \) let, roční úrok \( r_{year} = 0{,}07 \), počet měsíců v roce \( m = 12 \), celkem splátek \( N = 7 \times 12 = 84 \).

Měsíční úroková sazba:

\( r = \frac{0{,}07}{12} \approx 0{,}0058333 \)

Vzorec pro anuitní splátku:

\( A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1} \)

Vypočítáme \( (1+r)^N = (1{,}0058333)^{84} \):

\( \ln(1{,}0058333) \approx 0{,}005816 \)

\( 84 \times 0{,}005816 = 0{,}488 \)

\( e^{0{,}488} \approx 1{,}629 \)

Dosadíme:

\( A = 300\,000 \cdot \frac{0{,}0058333 \times 1{,}629}{1{,}629 – 1} = 300\,000 \cdot \frac{0{,}0095}{0{,}629} \)

\( \frac{0{,}0095}{0{,}629} \approx 0{,}0151 \)

\( A = 300\,000 \times 0{,}0151 = 4\,530 \)

Měsíční splátka je přibližně \(4\,530\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\( N \times A = 84 \times 4\,530 = 380\,520 \)

Řešení:

Počáteční kapitál \(P = 60\,000\) Kč, roční úrok \(r_{year} = 0{,}05\), doba \(n = 3\) roky, počet úrokových období za rok \(m = 12\), měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}05}{12} \approx 0{,}004167\)

Celkový počet období:

\(N = n \times m = 36\)

Výpočet konečného stavu účtu podle vzorce složeného úročení:

\(K = P \times (1 + r)^N = 60\,000 \times (1{,}004167)^{36}\)

Vypočítáme \((1{,}004167)^{36} = e^{36 \cdot \ln(1{,}004167)}\):

\(\ln(1{,}004167) \approx 0{,}004159\)

\(36 \times 0{,}004159 = 0{,}1497\)

\(e^{0{,}1497} \approx 1{,}1615\)

Dosadíme:

\(K = 60\,000 \times 1{,}1615 = 69\,690\)

Po \(3\) letech bude mít Klára na účtu přibližně \(69\,690\) Kč.

Řešení:

Jistina \(P = 80\,000\), doba splácení \(n = 4\) roky, roční úrok \(r_{year} = 0{,}06\), počet měsíců v roce \(m = 12\), celkem splátek \(N = 48\).

Měsíční úroková sazba:

\(r = \frac{0{,}06}{12} = 0{,}005\)

Vzorec pro anuitní splátku:

\(A = P \cdot \frac{r (1+r)^N}{(1+r)^N – 1}\)

Vypočítáme \((1+r)^N = (1{,}005)^{48}\):

\(\ln(1{,}005) \approx 0{,}004987\)

\(48 \times 0{,}004987 = 0{,}2394\)

\(e^{0{,}2394} \approx 1{,}271\)

Dosadíme:

\(A = 80\,000 \cdot \frac{0{,}005 \times 1{,}271}{1{,}271 – 1} = 80\,000 \cdot \frac{0{,}006355}{0{,}271}\)

\(\frac{0{,}006355}{0{,}271} \approx 0{,}02345\)

\(A = 80\,000 \times 0{,}02345 = 1\,876\)

Měsíční splátka je přibližně \(1\,876\) Kč.

Celková zaplacená částka:

\(N \times A = 48 \times 1\,876 = 90\,048\)

Řešení:

Počáteční kapitál \(P = 150\,000\), roční úrok \(r_{year} = 0{,}045\), doba \(n = 5\) let, počet období za rok \(m = 12\), měsíční úrok:

\(r = \frac{0{,}045}{12} = 0{,}00375\)

Celkový počet období:

\(N = n \times m = 60\)

Výpočet konečného stavu účtu:

\(K = P \times (1 + r)^N = 150\,000 \times (1{,}00375)^{60}\)

Vypočítáme \((1{,}00375)^{60} = e^{60 \cdot \ln(1{,}00375)}\):

\(\ln(1{,}00375) \approx 0{,}003743\)

\(60 \times 0{,}003743 = 0{,}2246\)

\(e^{0{,}2246} \approx 1{,}252\)

Dosadíme:

\(K = 150\,000 \times 1{,}252 = 187\,800\)

Po \(5\) letech bude mít Jana na účtu přibližně \(187\,800\) Kč.