Slovní úlohy z fyziky (pohyb, síla, práce)

Řešení příkladu:

Nejprve si stanovme známé hodnoty:

počáteční rychlost \( v_0 = 20 \, m/s \), zrychlení \( a = -4 \, m/s^2 \), konečná rychlost \( v = 0 \, m/s \) (auto zastaví), čas brzdění je neznámý.

Nejprve vypočítáme dobu brzdění \( t \) pomocí vzorce pro rychlost při rovnoměrně zrychleném pohybu:

\( v = v_0 + at \Rightarrow 0 = 20 + (-4) t \Rightarrow 4t = 20 \Rightarrow t = 5 \, s \)

Auto tedy brzdí 5 sekund, než zastaví.

Dále vypočítáme dráhu během brzdění \( s \) pomocí vzorce:

\( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \)

\( s = 20 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (-4) \cdot 5^2 = 100 – 2 \cdot 25 = 100 – 50 = 50 \, m \)

Odpověď: Auto ujede \(50\) metrů od začátku brzdění do úplného zastavení.

Řešení příkladu:

Nejdříve zjistíme zrychlení tělesa pomocí druhého Newtonova zákona:

\( F = m a \Rightarrow a = \frac{F}{m} = \frac{30}{10} = 3 \, m/s^2 \)

Těleso začíná z klidu, tedy počáteční rychlost \( v_0 = 0 \).

Rychlost po čase \( t = 4 \, s \) je:

\( v = v_0 + a t = 0 + 3 \cdot 4 = 12 \, m/s \)

Dráha, kterou těleso urazí, je:

\( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4^2 = \frac{3}{2} \cdot 16 = 24 \, m \)

Odpověď: Těleso získá rychlost \(12\) m/s a urazí \(24\) metrů.

Řešení příkladu:

Jelikož není tření, zrychlení tělesa je způsobeno pouze složkou tíhové síly po nakloněné rovině.

Síla \( F = m g \sin \alpha \), kde \( g = 9{,}81 \, m/s^2 \), \( \alpha = 30° \).

Zrychlení \( a = \frac{F}{m} = g \sin \alpha = 9{,}81 \cdot \frac{1}{2} = 4{,}905 \, m/s^2 \).

Začínáme z klidu, tedy \( v_0 = 0 \), dráha \( s = 5 \, m \).

Pro výpočet rychlosti na konci roviny použijeme vzorec:

\( v^2 = v_0^2 + 2 a s \Rightarrow v = \sqrt{2 \cdot 4{,}905 \cdot 5} = \sqrt{49{,}05} \approx 7{,}0 \, m/s \)

Odpověď: Rychlost tělesa na konci nakloněné roviny je přibližně \(7,0\) m/s.

Řešení příkladu:

Nejdříve převedeme čas na sekundy:

\( t = 5 \, min = 5 \cdot 60 = 300 \, s \)

Výkon \( P \) je práce za jednotku času:

\( P = \frac{W}{t} = \frac{1500}{300} = 5 \, W \)

Převedeme na kilowatty:

\( 5 \, W = 0{,}005 \, kW \)

Odpověď: Výkon stroje je \(0,005\) kW.

Řešení příkladu:

Práce potřebná k zvednutí bedny je rovna změně potenciální energie:

\( W = m g h = 20 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}5 = 490{,}5 \, J \)

Čas zvedání je \( t = 4 \, s \), výkon je tedy:

\( P = \frac{W}{t} = \frac{490{,}5}{4} = 122{,}625 \, W \)

Odpověď: Vykonáte práci \(490,5\) J a minimální výkon je \(122,625\) W.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme čas pádu volným pádem z výšky \( h = 45 \, m \):

\( h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{9{,}81}} \approx \sqrt{9{,}18} = 3{,}03 \, s \)

Vodorovná rychlost je konstantní \( v_x = 10 \, m/s \).

Dráha vodorovná je:

\( s = v_x t = 10 \cdot 3{,}03 = 30{,}3 \, m \)

Odpověď: Kámen dopadne přibližně \(30,3\) metru od paty stěny.

Řešení příkladu:

Nejdříve vypočítáme složku tíhové síly po nakloněné rovině:

\( F_g = m g \sin \alpha = 25 \cdot 9{,}81 \cdot \sin 15° \approx 25 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}2588 = 63{,}4 \, N \)

Celková síla působící ve směru pohybu je:

\( F_{celk} = F – F_g – F_{tření} = 40 – 63{,}4 – 5 = -28{,}4 \, N \)

Jelikož výsledná síla je záporná, vozík nezrychluje, ale zpomaluje.

Odpověď: Vozík se nezrychluje, ale zpomaluje kvůli převaze tíhové a třecí síly.

Řešení příkladu:

Tuhost pružiny \( k \) vypočteme podle Hookeova zákona:

\( F = k x \Rightarrow k = \frac{F}{x} = \frac{15}{0{,}03} = 500 \, N/m \)

Práce při prodloužení pružiny je polovina síly krát prodloužení:

\( W = \frac{1}{2} F x = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 0{,}03 = 0{,}225 \, J \)

Odpověď: Tuhost pružiny je \(500\) N/m a vykonaná práce \(0,225\) J.

Řešení příkladu:

Výkon je definován jako síla krát rychlost ve směru síly:

Síla nutná k zvedání je rovna tíze nákladu:

\( F = m g = 500 \cdot 9{,}81 = 4905 \, N \)

Výkon je tedy:

\( P = F v = 4905 \cdot 0{,}2 = 981 \, W \)

Odpověď: Potřebný výkon jeřábu je \(981\) W.

Řešení příkladu:

Kinetická energie je:

\( E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 70 \cdot 5^2 = 35 \cdot 25 = 875 \, J \)

Práce potřebná k zastavení je rovna ztrátě kinetické energie, tedy také 875 J.

Odpověď: Kinetická energie je \(875\) J a k zastavení je třeba vykonat práci \(875\) J.

Řešení příkladu:

Nejprve si vyjasníme, co máme vypočítat a jaké fyzikální vztahy použijeme. Auto začíná z klidu, tedy počáteční rychlost \( v_0 = 0 \, \mathrm{m/s} \). Konečná rychlost je \( v = 20 \, \mathrm{m/s} \) a čas zrychlování je \( t = 8 \, \mathrm{s} \).

1. Výpočet zrychlení \( a \):
Z rovnoměrného zrychlení platí vztah \[ a = \frac{v – v_0}{t} = \frac{20 – 0}{8} = 2.5 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet dráhy \( s \):
Použijeme vztah pro dráhu při rovnoměrném zrychlení z klidu: \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 2.5 \cdot 8^2 = \frac{1}{2} \cdot 2.5 \cdot 64 = 80 \, \mathrm{m}. \]

3. Výpočet síly \( F \):
Síla, která působí na auto, je určena druhým Newtonovým zákonem: \[ F = m a = 1200 \cdot 2.5 = 3000 \, \mathrm{N}. \]

Pro lepší pochopení si shrňme, co se stalo: Auto se z klidového stavu rozjelo za \(8\) sekund na rychlost \(20\) m/s s konstantním zrychlením. Během této doby urazilo vzdálenost \(80\) metrů a působila na něj síla \(3000\) N, která způsobila toto zrychlení.

Tato síla je výsledkem součtu všech sil působících na auto v daném směru – může to být motorická síla minus odporové síly, ale v tomto příkladu považujeme sílu za konstantní a rovnou této hodnotě.

Řešení příkladu:

Máme kuličku o hmotnosti \( m = 0.2 \, \mathrm{kg} \), výška pádu \( h = 1.5 \, \mathrm{m} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \).

Gravitační zrychlení bereme jako \( g = 9.81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet rychlosti těsně před dopadem \( v \):
Použijeme zákon zachování mechanické energie nebo rovnice pohybu volného pádu: \[ v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 1.5} = \sqrt{29.43} \approx 5.43 \, \mathrm{m/s}. \]

2. Výpočet doby pádu \( t \):
Použijeme vztah pro volný pád z klidu: \[ h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.5}{9.81}} \approx \sqrt{0.306} \approx 0.55 \, \mathrm{s}. \]

3. Výpočet práce gravitační síly \( W \):
Práce je definována jako síla krát dráha v směru síly: \[ W = F \cdot s \cdot \cos \alpha, \] kde \( F = mg \), \( s = h \), a úhel \( \alpha = 0^\circ \) protože síla a posunutí jsou ve stejném směru: \[ W = m g h = 0.2 \cdot 9.81 \cdot 1.5 = 2.943 \, \mathrm{J}. \]

Práce gravitační síly se rovná změně potenciální energie a odpovídá kinetické energii kuličky těsně před dopadem. To potvrzuje zákon zachování mechanické energie.

Řešení příkladu:

Máme sílu \( F = 100 \, \mathrm{N} \), práci \( W = 500 \, \mathrm{J} \), čas \( t = 10 \, \mathrm{s} \), hmotnost \( m = 25 \, \mathrm{kg} \), a počáteční rychlost \( v_0 = 0 \).

1. Výpočet dráhy \( s \):
Práce je definována jako \[ W = F \cdot s, \] proto \[ s = \frac{W}{F} = \frac{500}{100} = 5 \, \mathrm{m}. \]

2. Výpočet zrychlení \( a \) tělesa podle Newtonova druhého zákona: \[ a = \frac{F}{m} = \frac{100}{25} = 4 \, \mathrm{m/s^2}. \]

3. Výpočet rychlosti \( v \) na konci dráhy:
Z rovnoměrně zrychleného pohybu z klidu platí \[ v^2 = v_0^2 + 2 a s = 0 + 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40, \] tedy \[ v = \sqrt{40} \approx 6.32 \, \mathrm{m/s}. \]

4. Kontrola rychlosti pomocí doby: Známe čas a zrychlení, proto \[ v = v_0 + a t = 0 + 4 \cdot 10 = 40 \, \mathrm{m/s}, \] což je v rozporu s předchozím výpočtem. Tento rozpor ukazuje, že těleso s danou konstantní silou a hmotností nemohlo urazit pouze \(5\) metrů za \(10\) sekund, ale více. Znamená to, že práce \(500\) J byla vykonána za méně než \(10\) sekund nebo nejsou splněny všechny předpoklady.

Řešení dále upřesníme, protože čas je \(10\) s a rychlost by měla odpovídat: Dráha při rovnoměrném zrychlení za \(10\) s je \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10^2 = 200 \, \mathrm{m}, \] tedy práce je \[ W = F s = 100 \cdot 200 = 20\,000 \, \mathrm{J}, \] což je více než \(500\) J.

Z toho vyplývá, že práce \(500\) J byla vykonána během kratšího času, než \(10\) sekund, nebo že práce neodpovídá pohybu po celé době \(10\) sekund. Pro přesné řešení lze postupovat takto:

Nejprve určíme dráhu z práce: \[ s = \frac{W}{F} = 5 \, \mathrm{m}. \] Dále spočítáme čas, za který těleso urazí tuto dráhu se zrychlením \( a = 4 \, \mathrm{m/s^2} \): \[ s = \frac{1}{2} a t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 s}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{4}} = \sqrt{2.5} \approx 1.58 \, \mathrm{s}. \] Rychlost na konci dráhy je pak \[ v = a t = 4 \cdot 1.58 = 6.32 \, \mathrm{m/s}. \]

Protože je síla konstantní, výkon stroje je \[ P = \frac{W}{t} = \frac{500}{1.58} \approx 316.5 \, \mathrm{W}. \]

Souhrnně: Těleso vykonalo práci \(500\) J za cca \(1,58\) s, během níž urazilo \(5\) metrů a zrychlilo na rychlost cca \(6,32\) m/s. V uvedených \(10\) sekundách tedy bylo zapotřebí buď jiné síly, nebo jiné práce.

Řešení příkladu:

Údaje: síla tahové lokomotivy \( F_\text{tah} = 400 \, \mathrm{kN} = 400\,000 \, \mathrm{N} \), odporové síly \( F_\text{odpor} = 50 \, \mathrm{kN} = 50\,000 \, \mathrm{N} \), hmotnost vlaku \( m = 2000 \, \mathrm{t} = 2\,000\,000 \, \mathrm{kg} \), čas \( t = 5 \, \mathrm{min} = 300 \, \mathrm{s} \).

1. Výpočet výsledné síly \( F_\text{vysl} \):
Síla, která způsobuje zrychlení, je rozdíl tahové síly a odporové síly: \[ F_\text{vysl} = F_\text{tah} – F_\text{odpor} = 400\,000 – 50\,000 = 350\,000 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet zrychlení \( a \): \[ a = \frac{F_\text{vysl}}{m} = \frac{350\,000}{2\,000\,000} = 0.175 \, \mathrm{m/s^2}. \]

3. Výpočet dráhy \( s \) za dobu 5 minut (počáteční rychlost je 0, vlak zrychluje rovnoměrně): \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 0.175 \cdot 300^2 = 0.0875 \cdot 90\,000 = 7\,875 \, \mathrm{m}. \]

4. Výpočet práce vykonané lokomotivou: Práce se rovná síle krát dráha v jejím směru: \[ W = F_\text{tah} \cdot s = 400\,000 \cdot 7\,875 = 3.15 \times 10^9 \, \mathrm{J}. \]

Pro úplnost můžeme ověřit kinetickou energii vlaku na konci pohybu: Konečná rychlost \[ v = v_0 + a t = 0 + 0.175 \cdot 300 = 52.5 \, \mathrm{m/s}. \] Kinetická energie \[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 2\,000\,000 \cdot (52.5)^2 = 1\,000\,000 \cdot 2\,756.25 = 2.75625 \times 10^9 \, \mathrm{J}. \] Rozdíl mezi vykonanou prací a kinetickou energií představuje práci vykonanou proti odporovým silám: \[ W_\text{odpor} = W – E_k = 3.15 \times 10^9 – 2.75625 \times 10^9 = 3.9375 \times 10^8 \, \mathrm{J}. \]

Lokomotiva tedy celkově vykonala práci \(3.15\) miliard joulů, z čehož část šla na zvýšení kinetické energie vlaku a část na překonání odporových sil.

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 0,2 \, \mathrm{kg} \), \( F = 1,6 \, \mathrm{N} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \), čas \( t = 3 \, \mathrm{s} \).

1. Výpočet zrychlení \( a \) podle druhého Newtonova zákona:
\[ a = \frac{F}{m} = \frac{1,6}{0,2} = 8 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet dráhy \( s \) za čas \( t \) z rovnoměrně zrychleného pohybu z klidu: \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \, \mathrm{m}. \]

3. Výpočet rychlosti na konci dráhy: \[ v = v_0 + a t = 0 + 8 \cdot 3 = 24 \, \mathrm{m/s}. \]

Závěr: Kulička zrychluje rychlostí \( 8 \, \mathrm{m/s^2} \), za \(3\) sekundy urazí \(36\) metrů a její rychlost na konci bude \(24\) m/s.

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 3 \, \mathrm{kg} \), \( F = 15 \, \mathrm{N} \), úhel \( \alpha = 30^\circ \), koeficient tření \( \mu = 0,1 \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \), čas \( t = 5 \, \mathrm{s} \).

1. Rozložení síly na složky:
Vodorovná složka síly: \[ F_x = F \cos \alpha = 15 \cos 30^\circ = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 12,99 \, \mathrm{N}. \] Svislá složka síly: \[ F_y = F \sin \alpha = 15 \sin 30^\circ = 15 \cdot 0,5 = 7,5 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet normálové síly \( N \):
Těleso je na vodorovné ploše, působí gravitační síla \( mg = 3 \cdot 9,81 = 29,43 \, \mathrm{N} \). Normálová síla je rovna gravitační síle minus svislá složka tahové síly (protože tahová síla částečně těleso nadzvedává): \[ N = mg – F_y = 29,43 – 7,5 = 21,93 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet třecí síly \( F_\text{tření} \): \[ F_\text{tření} = \mu N = 0,1 \cdot 21,93 = 2,193 \, \mathrm{N}. \]

4. Výpočet výsledné síly ve směru pohybu: \[ F_\text{vysl} = F_x – F_\text{tření} = 12,99 – 2,193 = 10,797 \, \mathrm{N}. \]

5. Výpočet zrychlení: \[ a = \frac{F_\text{vysl}}{m} = \frac{10,797}{3} \approx 3,599 \, \mathrm{m/s^2}. \]

6. Výpočet dráhy \( s \) za 5 sekund: \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 3,599 \cdot 5^2 = 0,5 \cdot 3,599 \cdot 25 = 44,9875 \, \mathrm{m}. \]

7. Výpočet rychlosti na konci dráhy: \[ v = v_0 + a t = 0 + 3,599 \cdot 5 = 17,995 \, \mathrm{m/s}. \]

Závěr: Těleso se pohybuje se zrychlením přibližně \(3,6\) m/s², za \(5\) sekund urazí přibližně \(44,99\) m a jeho rychlost na konci bude téměř \(18\) m/s.

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 1200 \, \mathrm{kg} \), počáteční rychlost \( v_0 = 20 \, \mathrm{m/s} \), brzdná síla \( F = 4800 \, \mathrm{N} \).

1. Výpočet zrychlení (zde záporného, tedy zpomalování):
\[ a = \frac{F}{m} = \frac{4800}{1200} = 4 \, \mathrm{m/s^2}. \] Zrychlení bude záporné, protože síla působí proti směru pohybu: \[ a = -4 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet doby brzdění \( t \) do zastavení (když \( v = 0 \)):
\[ v = v_0 + a t \Rightarrow 0 = 20 – 4 t \Rightarrow t = \frac{20}{4} = 5 \, \mathrm{s}. \]

3. Výpočet dráhy \( s \) ujeté během brzdění:
\[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 20 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (-4) \cdot 5^2 = 100 – 0.5 \cdot 4 \cdot 25 = 100 – 50 = 50 \, \mathrm{m}. \]

Závěr: Auto zastaví za \(5\) sekund a ujede během brzdění dráhu \(50\) metrů.

Řešení příkladu:

Údaje: \( k = 200 \, \mathrm{N/m} \), stlačení \( x = 0{,}15 \, \mathrm{m} \), hmotnost \( m = 0{,}5 \, \mathrm{kg} \).

1. Výpočet práce vykonané stlačením pružiny (tato práce se uloží jako potenciální energie pružiny):
\[ W = E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0{,}15)^2 = 100 \cdot 0{,}0225 = 2{,}25 \, \mathrm{J}. \]

2. Po uvolnění se veškerá potenciální energie pružiny přemění na kinetickou energii tělesa:
\[ E_k = E_p = 2{,}25 \, \mathrm{J}. \]

3. Výpočet maximální rychlosti tělesa:
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2{,}25}{0{,}5}} = \sqrt{9} = 3 \, \mathrm{m/s}. \]

Závěr: Práce při stlačení pružiny je \(2{,}25\) J, která se při uvolnění přemění na kinetickou energii tělesa, jež dosáhne maximální rychlosti \(3\) m/s.

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 4 \, \mathrm{kg} \), výška \( h = 20 \, \mathrm{m} \), tíhové zrychlení \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \).

1. Výpočet rychlosti těsně před dopadem (pomocí zákona zachování energie nebo kinematické rovnice):
Z rovnoměrně zrychleného pohybu:
\[ v^2 = v_0^2 + 2 g h = 0 + 2 \cdot 9{,}81 \cdot 20 = 392{,}4, \] tedy \[ v = \sqrt{392{,}4} \approx 19{,}81 \, \mathrm{m/s}. \]

2. Výpočet doby pádu:
\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{9{,}81}} = \sqrt{4{,}078} \approx 2{,}02 \, \mathrm{s}. \]

Závěr: Těleso padá \(2{,}02\) sekundy a těsně před dopadem má rychlost přibližně \(19{,}81\) m/s.

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 50 \, \mathrm{kg} \), síla \( F = 120 \, \mathrm{N} \), úhel \( \alpha = 45^\circ \), koeficient tření \( \mu = 0{,}3 \), dráha \( s = 8 \, \mathrm{m} \).

1. Rozložení síly na složky:
Vodorovná složka:
\[ F_x = F \cos \alpha = 120 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 84{,}85 \, \mathrm{N}. \] Svislá složka:
\[ F_y = F \sin \alpha = 120 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 84{,}85 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet normálové síly:
\[ N = mg – F_y = 50 \cdot 9{,}81 – 84{,}85 = 490{,}5 – 84{,}85 = 405{,}65 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet třecí síly:
\[ F_\text{tření} = \mu N = 0{,}3 \cdot 405{,}65 = 121{,}7 \, \mathrm{N}. \]

4. Výpočet výsledné síly ve směru pohybu:
\[ F_\text{vysl} = F_x – F_\text{tření} = 84{,}85 – 121{,}7 = -36{,}85 \, \mathrm{N}. \] Síla je záporná, tedy bedna by se nehnula. Pro pohyb by bylo třeba větší síly nebo menší tření.

Předpokládejme, že bedna se již pohybuje, a vypočteme zrychlení:

Zrychlení:
\[ a = \frac{F_\text{vysl}}{m} = \frac{-36{,}85}{50} = -0{,}737 \, \mathrm{m/s^2}. \] Negativní zrychlení značí zpomalení.

5. Výpočet práce vykonané silou \( F \):
\[ W = F \cdot s \cdot \cos 0^\circ = 120 \cdot 8 = 960 \, \mathrm{J}. \] Práce je počítána podle směru síly a posunu.

Závěr: Síla nestačí na překonání tření, bedna by se nepohnula z klidu, případně zpomalila, pokud už by byla v pohybu. Práce vykonaná touto silou je \(960\) J.

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 500 \, \mathrm{kg} \), tahová síla \( F = 1000 \, \mathrm{N} \), koeficient odporu \( \mu = 0,02 \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \), čas \( t = 10 \, \mathrm{s} \).

1. Výpočet odporové síly: \[ F_\text{odpor} = \mu m g = 0,02 \cdot 500 \cdot 9,81 = 98,1 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet výsledné síly: \[ F_\text{vysl} = F – F_\text{odpor} = 1000 – 98,1 = 901,9 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet zrychlení: \[ a = \frac{F_\text{vysl}}{m} = \frac{901,9}{500} = 1,8038 \, \mathrm{m/s^2}. \]

4. Výpočet rychlosti po \( 10 \) sekundách: \[ v = v_0 + a t = 0 + 1,8038 \cdot 10 = 18,038 \, \mathrm{m/s}. \]

Závěr: Loď se pohybuje se zrychlením přibližně \( 1,8 \, \mathrm{m/s^2} \) a po \( 10 \) sekundách dosahuje rychlosti asi \( 18 \, \mathrm{m/s} \).

Řešení příkladu:

Údaje: poloměr \( r = 0,3 \, \mathrm{m} \), frekvence otáček \( f = 10 \, \mathrm{Hz} \), čas \( t = 6 \, \mathrm{s} \).

1. Výpočet úhlové rychlosti \( \omega \): \[ \omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 10 = 20 \pi \approx 62,83 \, \mathrm{rad/s}. \]

2. Výpočet lineární rychlosti \( v \) okraje kola: \[ v = r \omega = 0,3 \cdot 62,83 \approx 18,85 \, \mathrm{m/s}. \]

3. Výpočet dráhy \( s \) za \( 6 \) sekund: \[ s = v t = 18,85 \cdot 6 = 113,1 \, \mathrm{m}. \]

Závěr: Okraj kola se pohybuje rychlostí cca \( 18,85 \, \mathrm{m/s} \) a za \( 6 \) sekund ujede \( 113,1 \, \mathrm{m} \).

Řešení příkladu:

Údaje: hmotnost \( m = 1000 \, \mathrm{kg} \), rychlost \( v = 25 \, \mathrm{m/s} \), odporová síla \( F_\text{odpor} = 500 \, \mathrm{N} \).

Pro udržení konstantní rychlosti musí motor vyvinout sílu přesně vyrovnávající odporovou sílu, tedy: \[ F_\text{motor} = F_\text{odpor} = 500 \, \mathrm{N}. \]

Závěr: K udržení rychlosti \( 25 \, \mathrm{m/s} \) je třeba, aby motor vyvinul sílu \( 500 \, \mathrm{N} \).

Řešení příkladu:

Údaje: tahová síla \( F = 100\,000 \, \mathrm{N} \), hmotnost \( m = 20\,000 \, \mathrm{kg} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \, \mathrm{m/s} \), čas \( t = 10 \, \mathrm{s} \).

1. Výpočet zrychlení: \[ a = \frac{F}{m} = \frac{100\,000}{20\,000} = 5 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet dráhy za \( 10 \) sekund: \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10^2 = 0{,}5 \cdot 5 \cdot 100 = 250 \, \mathrm{m}. \]

Závěr: Raketě vzniká zrychlení \( 5 \, \mathrm{m/s^2} \) a za \( 10 \) sekund urazí dráhu \( 250 \, \mathrm{m} \).

Řešení příkladu:

Údaje: hmotnost vozíku \( m = 20 \, \mathrm{kg} \), síla \( F = 50 \, \mathrm{N} \), úhel \( \alpha = 30^\circ \), koeficient tření \( \mu = 0{,}1 \), dráha \( s = 5 \, \mathrm{m} \).

1. Rozklad síly na složky ve směru vodorovném a svislém: \[ F_x = F \cos \alpha = 50 \cdot \cos 30^\circ = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 43{,}3 \, \mathrm{N}, \] \[ F_y = F \sin \alpha = 50 \cdot \sin 30^\circ = 50 \cdot \frac{1}{2} = 25 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet tíhové síly: \[ F_g = m g = 20 \cdot 9{,}81 = 196{,}2 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet normálové síly: Normálová síla je síla, kterou působí podložka na těleso: \[ N = F_g – F_y = 196{,}2 – 25 = 171{,}2 \, \mathrm{N}. \]

4. Výpočet třecí síly: \[ F_{\text{tření}} = \mu N = 0{,}1 \cdot 171{,}2 = 17{,}12 \, \mathrm{N}. \]

5. Výpočet výsledné síly ve směru pohybu: \[ F_{\text{vysl}} = F_x – F_{\text{tření}} = 43{,}3 – 17{,}12 = 26{,}18 \, \mathrm{N}. \]

6. Výpočet zrychlení vozíku pomocí Newtonova druhého zákona: \[ a = \frac{F_{\text{vysl}}}{m} = \frac{26{,}18}{20} = 1{,}309 \, \mathrm{m/s^2}. \]

7. Výpočet práce vykonané silou \( F \) na dráze \( s \): Práce je skalární součin síly a posunu, síla působí pod úhlem \( 30^\circ \) k posunu, \[ W = F s \cos \alpha = 50 \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ = 250 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 216{,}5 \, \mathrm{J}. \]

Závěr: Síla ve směru pohybu je po odečtení tření \( 26{,}18 \, \mathrm{N} \), což způsobí zrychlení vozíku \( 1{,}309 \, \mathrm{m/s^2} \). Práce vykonaná touto silou na vzdálenosti \( 5 \, \mathrm{m} \) je přibližně \( 216{,}5 \, \mathrm{J} \).

Řešení příkladu:

Údaje: hmotnost závaží \( m_1 = 15 \, \mathrm{kg} \), hmotnost vozíku \( m_2 = 10 \, \mathrm{kg} \), úhel nakloněné roviny \( \theta = 25^\circ \), koeficient tření \( \mu = 0{,}15 \).

Popis sil působících na jednotlivé části systému.

Pro závaží \( m_1 \) působí tíhová síla dolů: \[ F_{g1} = m_1 g = 15 \cdot 9{,}81 = 147{,}15 \, \mathrm{N}. \]

Pro vozík na nakloněné rovině působí tíhová síla, kterou lze rozložit na složky: \[ F_{g2 \parallel} = m_2 g \sin \theta = 10 \cdot 9{,}81 \cdot \sin 25^\circ = 10 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}4226 = 41{,}45 \, \mathrm{N}, \] \[ F_{g2 \perp} = m_2 g \cos \theta = 10 \cdot 9{,}81 \cdot \cos 25^\circ = 10 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}9063 = 88{,}9 \, \mathrm{N}. \]

Výpočet třecí síly působící proti pohybu vozíku: \[ F_{\text{tření}} = \mu F_{g2 \perp} = 0{,}15 \cdot 88{,}9 = 13{,}33 \, \mathrm{N}. \]

Napětí lana označíme jako \( T \) a zrychlení systému jako \( a \).

Newtonovy rovnice pro části systému:

Pro závaží (směr dolů kladný): \[ m_1 g – T = m_1 a. \]

Pro vozík na nakloněné rovině (směr nahoru po rovině kladný, zrychlení opačného směru): \[ T – F_{g2 \parallel} – F_{\text{tření}} = m_2 a. \]

Sečteme rovnice pro odstranění \( T \): \[ m_1 g – T + T – F_{g2 \parallel} – F_{\text{tření}} = m_1 a + m_2 a, \] \[ m_1 g – F_{g2 \parallel} – F_{\text{tření}} = (m_1 + m_2) a. \]

Dosadíme hodnoty: \[ 147{,}15 – 41{,}45 – 13{,}33 = (15 + 10) a, \] \[ 92{,}37 = 25 a, \] \[ a = \frac{92{,}37}{25} = 3{,}695 \, \mathrm{m/s^2}. \]

Výpočet napětí lana: \[ T = m_1 g – m_1 a = 15 \cdot 9{,}81 – 15 \cdot 3{,}695 = 147{,}15 – 55{,}43 = 91{,}72 \, \mathrm{N}. \]

Závěr: Systém má zrychlení přibližně \( 3{,}695 \, \mathrm{m/s^2} \) a napětí lana je \( 91{,}72 \, \mathrm{N} \).

Řešení příkladu:

Údaje: počáteční rychlost vodorovná \( v_x = 15 \, \mathrm{m/s} \), počáteční výška \( h = 1,5 \, \mathrm{m} \), gravitační zrychlení \( g = 9,81 \, \mathrm{m/s^2} \).

Protože se míč pohybuje vodorovně, jeho vertikální počáteční rychlost \( v_{y0} = 0 \).

1. Výpočet doby pádu \( t \) z výšky \( h \):
Pohyb ve vertikálním směru je volný pád, proto platí:
\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,5}{9,81}} = \sqrt{0,306} \approx 0,553 \, \mathrm{s}. \]

2. Výpočet vodorovné vzdálenosti \( s \), kterou míč urazí za tuto dobu:
Jelikož rychlost ve vodorovném směru je konstantní (zanedbáváme odpor vzduchu), platí:
\[ s = v_x t = 15 \cdot 0,553 = 8,29 \, \mathrm{m}. \]

Závěr: Míč dopadne přibližně \( 8,29 \, \mathrm{m} \) od hráče.

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 1200 \, \mathrm{kg} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \), konečná rychlost \( v = 20 \, \mathrm{m/s} \), doba \( t = 8 \, \mathrm{s} \).

1. Výpočet zrychlení:
Rovnoměrné zrychlení znamená, že \[ a = \frac{v – v_0}{t} = \frac{20 – 0}{8} = 2,5 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet výsledné síly podle Newtonova druhého zákona:
\[ F = ma = 1200 \cdot 2,5 = 3000 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet dráhy během zrychlení:
Použijeme vztah pro dráhu při rovnoměrném zrychlení z klidu: \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 2,5 \cdot 8^2 = 1,25 \cdot 64 = 80 \, \mathrm{m}. \]

4. Výpočet vykonané práce:
Práce je síla krát dráha, \[ W = F s = 3000 \cdot 80 = 240\,000 \, \mathrm{J} = 240 \, \mathrm{kJ}. \]

Celkový závěr: Průměrná síla působící na auto během zrychlení je \( 3000 \, \mathrm{N} \), auto ujede \( 80 \, \mathrm{m} \) a práce vykonaná touto silou je \( 240 \, \mathrm{kJ} \).

Řešení příkladu:

Údaje: počáteční rychlost \( v_0 = 20 \, \mathrm{m/s} \), úhel \( \alpha = 45^\circ \), gravitační zrychlení \( g = 9,81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet počátečních složek rychlosti:
\[ v_{0x} = v_0 \cos \alpha = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14,14 \, \mathrm{m/s}, \] \[ v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14,14 \, \mathrm{m/s}. \]

2. Výpočet maximální výšky:
V maximální výšce je svislá rychlost nulová, proto platí \[ 0 = v_{0y}^2 – 2 g h_{\text{max}} \quad \Rightarrow \quad h_{\text{max}} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{14,14^2}{2 \cdot 9,81} = \frac{200}{19,62} \approx 10,2 \, \mathrm{m}. \]

3. Výpočet doby letu:
Celková doba letu je dvojnásobek času výstupu do maximální výšky, \[ t_{\text{vzestup}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{14,14}{9,81} \approx 1,44 \, \mathrm{s}, \] \[ t_{\text{celkem}} = 2 t_{\text{vzestup}} = 2,88 \, \mathrm{s}. \]

4. Výpočet doletu (vodorovné vzdálenosti):
Jelikož vodorovná složka rychlosti je konstantní, \[ s = v_{0x} t_{\text{celkem}} = 14,14 \cdot 2,88 = 40,7 \, \mathrm{m}. \]

Závěr: Maximální výška kuličky je \( 10,2 \, \mathrm{m} \), doba letu je \( 2,88 \, \mathrm{s} \) a vodorovný dolet je \( 40,7 \, \mathrm{m} \).

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 5 \, \mathrm{kg} \), \( F = 30 \, \mathrm{N} \), úhel \( \alpha = 60^\circ \), koeficient tření \( \mu = 0{,}2 \).

1. Rozklad síly na složky: \[ F_x = F \cos \alpha = 30 \cdot \cos 60^\circ = 30 \cdot 0{,}5 = 15 \, \mathrm{N}, \] \[ F_y = F \sin \alpha = 30 \cdot \sin 60^\circ = 30 \cdot 0{,}866 = 25{,}98 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet tíhové síly: \[ F_g = m g = 5 \cdot 9{,}81 = 49{,}05 \, \mathrm{N}. \]

3. Normálová síla je tíha snížená o svislou složku tahové síly: \[ N = F_g – F_y = 49{,}05 – 25{,}98 = 23{,}07 \, \mathrm{N}. \]

4. Výpočet třecí síly: \[ F_{\mathrm{tření}} = \mu N = 0{,}2 \cdot 23{,}07 = 4{,}61 \, \mathrm{N}. \]

5. Výpočet výsledné síly ve směru pohybu: \[ F_{\mathrm{vysl}} = F_x – F_{\mathrm{tření}} = 15 – 4{,}61 = 10{,}39 \, \mathrm{N}. \]

6. Výpočet zrychlení: \[ a = \frac{F_{\mathrm{vysl}}}{m} = \frac{10{,}39}{5} = 2{,}078 \, \mathrm{m/s^2}. \]

Závěr: Velikost zrychlení bloku je \( 2{,}078 \, \mathrm{m/s^2} \) a síla v lanu je \( 30 \, \mathrm{N} \).

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 3 \, \mathrm{kg} \), tuhost pružiny \( k = 200 \, \mathrm{N/m} \), natažení \( x = 0{,}1 \, \mathrm{m} \).

1. Výpočet potenciální energie pružiny při natažení: \[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0{,}1)^2 = 100 \cdot 0{,}01 = 1 \, \mathrm{J}. \]

2. Protože se jedná o harmonický pohyb bez ztrát, maximální kinetická energie bude rovna maximální potenciální energii: \[ E_k^{\max} = E_p = 1 \, \mathrm{J}. \]

3. Výpočet maximální rychlosti pomocí kinetické energie: \[ E_k = \frac{1}{2} m v_{\max}^2 \Rightarrow v_{\max} = \sqrt{\frac{2 E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0{,}816 \, \mathrm{m/s}. \]

Závěr: Maximální rychlost hmotného bodu je \( 0{,}816 \, \mathrm{m/s} \) a maximální kinetická energie je \( 1 \, \mathrm{J} \).

Řešení příkladu:

Údaje: hmotnost \( m = 3000 \, \mathrm{kg} \), úhel \( \theta = 10^\circ \), koeficient tření \( \mu = 0{,}5 \), rychlost \( v = 5 \, \mathrm{m/s} \) (rovnoměrná).

1. Výpočet síly tíhové složky ve směru nakloněné roviny: \[ F_g = m g = 3000 \cdot 9{,}81 = 29\,430 \, \mathrm{N}, \] \[ F_{g\parallel} = F_g \sin \theta = 29\,430 \cdot \sin 10^\circ = 29\,430 \cdot 0{,}1736 = 5\,109 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet normálové síly: \[ N = F_g \cos \theta = 29\,430 \cdot \cos 10^\circ = 29\,430 \cdot 0{,}9848 = 28\,972 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet třecí síly: \[ F_{\mathrm{tření}} = \mu N = 0{,}5 \cdot 28\,972 = 14\,486 \, \mathrm{N}. \]

4. Síla motoru musí vyrovnat skluznou složku tíhové síly i tření, protože rychlost je konstantní (nulové zrychlení): \[ F_{\mathrm{motor}} = F_{g\parallel} + F_{\mathrm{tření}} = 5\,109 + 14\,486 = 19\,595 \, \mathrm{N}. \]

Závěr: Motor musí vyvinout sílu minimálně \( 19\,595 \, \mathrm{N} \), aby vůz stoupal rovnoměrně rychlostí \( 5 \, \mathrm{m/s} \).

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 800\,000 \, \mathrm{kg} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \), konečná rychlost \( v = 72 \, \mathrm{km/h} \), doba \( t = 120 \, \mathrm{s} \).

1. Převod rychlosti na m/s: \[ v = 72 \, \mathrm{km/h} = \frac{72 \cdot 1000}{3600} = 20 \, \mathrm{m/s}. \]

2. Výpočet zrychlení: \[ a = \frac{v – v_0}{t} = \frac{20 – 0}{120} = \frac{20}{120} = 0,1667 \, \mathrm{m/s^2}. \]

3. Výpočet průměrné trakční síly pomocí Newtonova zákona: \[ F = m a = 800\,000 \cdot 0,1667 = 133\,333 \, \mathrm{N}. \]

4. Výpočet vykonané práce trakční silou: Práce je rovna změně kinetické energie, \[ W = \Delta E_k = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 800\,000 \cdot 20^2 – 0 = 0,5 \cdot 800\,000 \cdot 400 = 160\,000\,000 \, \mathrm{J}. \]

Závěr: Průměrná trakční síla je \( 133\,333 \, \mathrm{N} \) a vykonaná práce trakční silou je \( 160 \, \mathrm{MJ} \).

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 0,5 \, \mathrm{kg} \), počáteční rychlost \( v_0 = 15 \, \mathrm{m/s} \), gravitační zrychlení \( g = 9,81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet maximální výšky: Na maximální výšce je rychlost rovna nule, \[ v^2 = v_0^2 – 2 g h \Rightarrow 0 = 15^2 – 2 \cdot 9,81 \cdot h, \] \[ h = \frac{15^2}{2 \cdot 9,81} = \frac{225}{19,62} \approx 11,47 \, \mathrm{m}. \]

2. Výpočet doby výstupu: \[ t_{\text{vzestup}} = \frac{v_0}{g} = \frac{15}{9,81} \approx 1,53 \, \mathrm{s}. \]

3. Celková doba letu je dvojnásobek doby výstupu: \[ t_{\text{celkem}} = 2 t_{\text{vzestup}} = 3,06 \, \mathrm{s}. \]

Závěr: Maximální výška je přibližně \( 11,47 \, \mathrm{m} \), doba výstupu \( 1,53 \, \mathrm{s} \) a celková doba letu \( 3,06 \, \mathrm{s} \).

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 1200 \, \mathrm{kg} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \), konečná rychlost \( v = 30 \, \mathrm{m/s} \), doba \( t = 10 \, \mathrm{s} \).

1. Výpočet zrychlení: \[ a = \frac{v – v_0}{t} = \frac{30 – 0}{10} = 3 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet průměrné síly: \[ F = m a = 1200 \cdot 3 = 3600 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet vykonané práce: Práce je rovna změně kinetické energie, \[ W = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 1200 \cdot 30^2 = 600 \cdot 900 = 540\,000 \, \mathrm{J}. \]

Závěr: Průměrná síla motoru je \( 3600 \, \mathrm{N} \) a vykonaná práce je \( 540 \, \mathrm{kJ} \).

Řešení příkladu:

Údaje: \(m = 2 \, \mathrm{kg}\), síla \(F = 15 \, \mathrm{N}\), koeficient tření \(\mu = 0{,}3\), gravitační zrychlení \(g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2}\).

1. Výpočet tíhové síly: \[ F_g = m g = 2 \cdot 9{,}81 = 19{,}62 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet třecí síly: \[ F_{\text{tření}} = \mu F_g = 0{,}3 \cdot 19{,}62 = 5{,}886 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet výsledné síly: \[ F_{\text{vysl}} = F – F_{\text{tření}} = 15 – 5{,}886 = 9{,}114 \, \mathrm{N}. \]

4. Výpočet zrychlení: \[ a = \frac{F_{\text{vysl}}}{m} = \frac{9{,}114}{2} = 4{,}557 \, \mathrm{m/s^2}. \]

Závěr: Velikost zrychlení bloku je \(4{,}557\) m/s².

Řešení příkladu:

Údaje: \(m = 50 \, \mathrm{kg}\), délka roviny \(s = 3 \, \mathrm{m}\), výška \(h = 0{,}5 \, \mathrm{m}\), \(g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2}\).

1. Výpočet počáteční potenciální energie: \[ E_p = m g h = 50 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5 = 245{,}25 \, \mathrm{J}. \]

2. Při absenci tření se veškerá potenciální energie změní na kinetickou energii: \[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 = E_p \Rightarrow \frac{1}{2} m v^2 = m g h, \] \[ v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5} = \sqrt{9{,}81} = 3{,}13 \, \mathrm{m/s}. \]

Závěr: Rychlost válce v dolní části roviny je přibližně \(3{,}13\) m/s.

Řešení příkladu:

Údaje: \(m = 100 \, \mathrm{kg}\), rychlost \(v = 2 \, \mathrm{m/s}\), rychlost stoupání je konstantní.

1. Protože rychlost stoupání je konstantní, zrychlení je nulové, \[ a = 0. \]

2. Síly působící na balón jsou tíhová síla \(F_g\) dolů a vztlaková síla \(F_v\) nahoru. Jelikož není zrychlení, musí být tyto síly v rovnováze: \[ F_v = F_g. \]

3. Výpočet tíhové síly: \[ F_g = m g = 100 \cdot 9{,}81 = 981 \, \mathrm{N}. \]

Závěr: Velikost vztlakové síly je \(981\) N.

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 2 \, \mathrm{kg} \), výška \( h = 10 \, \mathrm{m} \), gravitační zrychlení \( g = 9,81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Použijeme zákon zachování mechanické energie. Potenciální energie se změní na kinetickou: \[ m g h = \frac{1}{2} m v^2 \Rightarrow v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 10} = \sqrt{196,2} \approx 14,0 \, \mathrm{m/s}. \]

Závěr: Rychlost tělesa před dopadem je přibližně \(14,0\) m/s.

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 600 \, \mathrm{kg} \), rychlost \( v = 15 \, \mathrm{m/s} \), odpor vzduchu \( F_{\text{odpor}} = 2000 \, \mathrm{N} \).

1. Výpočet kinetické energie: \[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 600 \cdot 15^2 = 300 \cdot 225 = 67\,500 \, \mathrm{J}. \]

2. Síly působící na kluzák jsou tíhová síla \( F_g \), odpor vzduchu \( F_{\text{odpor}} \) a výsledná síla \( F_{\text{vysl}} \). Předpokládáme klesání s konstantní rychlostí, proto je výsledná síla nulová: \[ F_g – F_{\text{odpor}} – F_{\text{vztlak}} = 0, \] kde \( F_{\text{vztlak}} \) je síla, kterou působí vzduch na kluzák směrem nahoru. \[ F_{\text{vztlak}} = F_g – F_{\text{odpor}}. \]

3. Výpočet tíhové síly: \[ F_g = m g = 600 \cdot 9,81 = 5\,886 \, \mathrm{N}. \]

4. Výpočet síly vzduchu: \[ F_{\text{vztlak}} = 5\,886 – 2\,000 = 3\,886 \, \mathrm{N}. \]

Závěr: Kinetická energie kluzáku je \(67\,500\) J a síla vzduchu působící na kluzák je \(3\,886\) N směrem proti pohybu.

Řešení příkladu:

Máme: \( m = 10 \, \mathrm{kg} \), \( s = 20 \, \mathrm{m} \), \( v_0 = 0 \), \( v = 12 \, \mathrm{m/s} \).

1. Výpočet zrychlení \( a \) z rovnice pohybu: \[ v^2 = v_0^2 + 2 a s \Rightarrow a = \frac{v^2 – v_0^2}{2 s} = \frac{12^2 – 0}{2 \cdot 20} = \frac{144}{40} = 3.6 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet času \( t \): \[ v = v_0 + a t \Rightarrow t = \frac{v – v_0}{a} = \frac{12}{3.6} = 3.33 \, \mathrm{s}. \]

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 800 \, \mathrm{kg} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \), konečná rychlost \( v = 25 \, \mathrm{m/s} \), čas \( t = 8 \, \mathrm{s} \).

1. Výpočet zrychlení \( a \): \[ a = \frac{v – v_0}{t} = \frac{25 – 0}{8} = 3{,}125 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet dráhy \( s \): \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 3{,}125 \cdot 8^2 = 0{,}5 \cdot 3{,}125 \cdot 64 = 100 \, \mathrm{m}. \]

3. Výpočet síly \( F \): \[ F = m a = 800 \cdot 3{,}125 = 2500 \, \mathrm{N}. \]

Závěr: Zrychlení auta je \( 3{,}125 \, \mathrm{m/s^2} \), ujelo dráhu \( 100 \, \mathrm{m} \) a síla působící na auto je \( 2500 \, \mathrm{N} \).

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 2 \, \mathrm{kg} \), výška \( h = 10 \, \mathrm{m} \), tíhové zrychlení \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet rychlosti dopadu \( v \): \[ v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 10} = \sqrt{196{,}2} \approx 14{,}01 \, \mathrm{m/s}. \]

2. Výpočet doby pádu \( t \): \[ h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} = \sqrt{\frac{20}{9{,}81}} \approx 1{,}43 \, \mathrm{s}. \]

Závěr: Rychlost dopadu kamene je přibližně \( 14{,}01 \, \mathrm{m/s} \) a doba volného pádu je přibližně \( 1{,}43 \, \mathrm{s} \).

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 15 \, \mathrm{kg} \), zrychlení \( a = 2 \, \mathrm{m/s^2} \).

Výpočet síly \( F \): \[ F = m a = 15 \cdot 2 = 30 \, \mathrm{N}. \]

Závěr: Síla, kterou kolo působí na vozovku, je \( 30 \, \mathrm{N} \).

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 1500 \, \mathrm{t} = 1\,500\,000 \, \mathrm{kg} \), konečná rychlost \( v = 18 \, \mathrm{m/s} \), čas \( t = 10 \, \mathrm{s} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \).

1. Výpočet zrychlení \( a \): \[ a = \frac{v – v_0}{t} = \frac{18 – 0}{10} = 1{,}8 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet síly \( F \): \[ F = m a = 1\,500\,000 \cdot 1{,}8 = 2\,700\,000 \, \mathrm{N}. \]

Závěr: Zrychlení vlaku je \( 1{,}8 \, \mathrm{m/s^2} \) a síla, kterou lokomotiva působí na vlak, je \( 2\,700\,000 \, \mathrm{N} \).

Řešení příkladu:

Údaje: délka \( s = 5 \, \mathrm{m} \), výška \( h = 3 \, \mathrm{m} \), tíhové zrychlení \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet úhlu naklonění \( \alpha \): \[ \sin \alpha = \frac{h}{s} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \Rightarrow \alpha = \arcsin 0{,}6 \approx 36{,}87^\circ. \]

2. Výpočet zrychlení \( a \): \[ a = g \sin \alpha = 9{,}81 \cdot 0{,}6 = 5{,}886 \, \mathrm{m/s^2}. \]

3. Výpočet doby skluzu \( t \): \[ s = \frac{1}{2} a t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 s}{a}} = \sqrt{\frac{10}{5{,}886}} \approx 1{,}304 \, \mathrm{s}. \]

Závěr: Zrychlení tělesa je přibližně \( 5{,}886 \, \mathrm{m/s^2} \) a doba skluzu je přibližně \( 1{,}304 \, \mathrm{s} \).

Řešení příkladu:

Údaje: počáteční rychlost \( v_0 = 20 \, \mathrm{m/s} \), tíhové zrychlení \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet doby letu do vrcholu \( t \): \[ v = 0 = v_0 – g t \Rightarrow t = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{9{,}81} \approx 2{,}04 \, \mathrm{s}. \]

2. Výpočet maximální výšky \( h \): \[ h = v_0 t – \frac{1}{2} g t^2 = 20 \cdot 2{,}04 – 0{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot (2{,}04)^2 = 40{,}8 – 20{,}4 = 20{,}4 \, \mathrm{m}. \]

Závěr: Maximální výška, kterou míč dosáhne, je \( 20{,}4 \, \mathrm{m} \) a doba letu do vrcholu je \( 2{,}04 \, \mathrm{s} \).

Řešení příkladu:

Údaje: počáteční rychlost vodorovná \( v_x = 15 \, \mathrm{m/s} \), výška \( h = 45 \, \mathrm{m} \), tíhové zrychlení \( g = 9.81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Doba pádu \( t \): \[ h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{9.81}} \approx 3.03 \, \mathrm{s}. \]

2. Dolet \( d \): \[ d = v_x t = 15 \cdot 3.03 = 45.45 \, \mathrm{m}. \]

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 0.5 \, \mathrm{kg} \), rychlost konstantní \( v = 0.8 \, \mathrm{m/s} \), tíhové zrychlení \( g = 9.81 \, \mathrm{m/s^2} \).

Protože rychlost je konstantní, výsledná síla je nulová. Odporová síla vyrovnává tíhovou sílu: \[ F_\text{odpor} = m g = 0.5 \cdot 9.81 = 4.905 \, \mathrm{N}. \]

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 1200 \, \mathrm{kg} \), \( v = 20 \, \mathrm{m/s} \), \( t = 5 \, \mathrm{s} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \).

1. Výpočet zrychlení: \[ a = \frac{v – v_0}{t} = \frac{20}{5} = 4 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet dráhy: \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50 \, \mathrm{m}. \]

Řešení příkladu:

Údaje: hmotnost míčku \( m = 0.2 \, \mathrm{kg} \), počáteční rychlost \( v_0 = 20 \, \mathrm{m/s} \), úhel vystřelení \( \alpha = 45^\circ \), tíhové zrychlení \( g = 9.81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Rozklad počáteční rychlosti na složky:

Horizontální složka: \[ v_{0x} = v_0 \cos \alpha = 20 \cdot \cos 45^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14.14 \, \mathrm{m/s}. \]

Vertikální složka: \[ v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 20 \cdot \sin 45^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14.14 \, \mathrm{m/s}. \]

2. Výpočet doby letu:

Míček stoupá do maximální výšky, kde svislá rychlost je nulová. Čas výstupu do vrcholu \( t_1 \) spočítáme z rovnice pohybu ve vertikálním směru: \[ v_y = v_{0y} – g t_1 = 0 \Rightarrow t_1 = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{14.14}{9.81} \approx 1.44 \, \mathrm{s}. \]

Celkový čas letu je dvojnásobek této doby, protože dráha sestupu je stejná: \[ t = 2 t_1 = 2 \cdot 1.44 = 2.88 \, \mathrm{s}. \]

3. Výpočet maximální výšky:

Maximální výška \( h \) je vzdálenost, kterou míček vystoupá s počáteční vertikální rychlostí \( v_{0y} \) proti zrychlení \( g \): \[ h = v_{0y} t_1 – \frac{1}{2} g t_1^2 = 14.14 \cdot 1.44 – 0.5 \cdot 9.81 \cdot (1.44)^2. \]

Nejprve vypočteme jednotlivé členy: \[ 14.14 \cdot 1.44 = 20.37, \quad 0.5 \cdot 9.81 \cdot 2.07 = 10.15. \]

Proto: \[ h = 20.37 – 10.15 = 10.22 \, \mathrm{m}. \]

4. Výpočet vodorovné vzdálenosti do dopadu (dolet):

Vodorovný pohyb je rovnoměrný, rychlost \( v_{0x} \) je konstantní. Celkový čas letu \( t \) známe, takže dolet spočítáme jako: \[ d = v_{0x} t = 14.14 \cdot 2.88 \approx 40.74 \, \mathrm{m}. \]

Výsledky: Míček zůstane ve vzduchu přibližně \( 2.88 \, \mathrm{s} \), dosáhne maximální výšky \( 10.22 \, \mathrm{m} \) a dopadne ve vzdálenosti \( 40.74 \, \mathrm{m} \) od místa výstřelu.

Řešení příkladu:

Údaje: hmotnost \( m = 1500 \, \mathrm{kg} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \), konečná rychlost \( v = 27 \, \mathrm{m/s} \), doba zrychlení \( t = 9 \, \mathrm{s} \).

1. Výpočet zrychlení \( a \): \[ a = \frac{v – v_0}{t} = \frac{27 – 0}{9} = 3 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet dráhy \( s \): \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 9^2 = 0{,}5 \cdot 3 \cdot 81 = 121{,}5 \, \mathrm{m}. \]

3. Výpočet vykonané práce:

Práce vykonaná motorem je rovna změně kinetické energie vozidla: \[ W = \Delta E_k = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 1500 \cdot 27^2 – 0 = 750 \cdot 729 = 546\,750 \, \mathrm{J}. \]

Výsledky: Vozidlo má zrychlení \( 3 \, \mathrm{m/s^2} \), urazí dráhu \( 121{,}5 \, \mathrm{m} \) a motor vykoná práci \( 546\,750 \, \mathrm{J} \).

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 5 \, \mathrm{kg} \), tažná síla \( F_t = 40 \, \mathrm{N} \), třecí síla \( F_f = 10 \, \mathrm{N} \), doba \( t = 4 \, \mathrm{s} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \).

1. Výpočet výsledné síly působící na těleso:

Výsledná síla je rozdíl tažné síly a třecí síly: \[ F_\mathrm{res} = F_t – F_f = 40 – 10 = 30 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet zrychlení tělesa \( a \): \[ a = \frac{F_\mathrm{res}}{m} = \frac{30}{5} = 6 \, \mathrm{m/s^2}. \]

3. Výpočet rychlosti po \( 4 \) sekundách: \[ v = v_0 + a t = 0 + 6 \cdot 4 = 24 \, \mathrm{m/s}. \]

4. Výpočet dráhy \( s \) během těchto \( 4 \) sekund: \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + 0{,}5 \cdot 6 \cdot 16 = 48 \, \mathrm{m}. \]

5. Výpočet práce vykonané tažnou silou:

Práce \( W \) je síla krát dráha ve směru síly. Tažná síla má hodnotu \( 40 \, \mathrm{N} \) a působí po dráze \( 48 \, \mathrm{m} \): \[ W = F_t \cdot s = 40 \cdot 48 = 1920 \, \mathrm{J}. \]

Výsledky: Zrychlení tělesa je \( 6 \, \mathrm{m/s^2} \), během \( 4 \) sekund dosáhne rychlosti \( 24 \, \mathrm{m/s} \) a tažná síla vykoná práci \( 1920 \, \mathrm{J} \).

Řešení příkladu:

Údaje: hmotnost \( m = 200 \, \mathrm{kg} \), rychlost zdvihu \( v = 0{,}5 \, \mathrm{m/s} \), tíhové zrychlení \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet tíhové síly, kterou působí břemeno: \[ F_g = m g = 200 \cdot 9{,}81 = 1962 \, \mathrm{N}. \]

2. Jelikož stroj zdvihá břemeno konstantní rychlostí, síla stroje musí být rovna tíhové síle: \[ F = F_g = 1962 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet výkonu stroje:

Výkon je práce vykonaná za jednotku času, nebo také součin síly a rychlosti v směru síly: \[ P = F v = 1962 \cdot 0{,}5 = 981 \, \mathrm{W}. \]

Výsledky: Stroj musí působit silou \( 1962 \, \mathrm{N} \) a jeho výkon je \( 981 \, \mathrm{W} \).

Řešení příkladu:

Údaje: hmotnost \( m = 1200 \, \mathrm{kg} \), délka kopce \( s = 100 \, \mathrm{m} \), úhel svahu \( \alpha = 10^\circ \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \), tíhové zrychlení \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet výšky kopce:

Výška \( h \) je vertikální složka délky kopce: \[ h = s \sin \alpha = 100 \cdot \sin 10^\circ \approx 100 \cdot 0{,}1745 = 17{,}45 \, \mathrm{m}. \]

2. Výpočet potenciální energie na začátku a kinetické energie na konci:

Na začátku je potenciální energie: \[ E_p = m g h = 1200 \cdot 9{,}81 \cdot 17{,}45 \approx 205\,442 \, \mathrm{J}. \]

Na začátku není kinetická energie, protože \( v_0 = 0 \).

Pokud nedochází ke ztrátám energie (tření, odpor), potenciální energie se přemění na kinetickou: \[ E_k = E_p = \frac{1}{2} m v^2. \] Odtud: \[ v = \sqrt{\frac{2 E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 205\,442}{1200}} = \sqrt{342{,}4} \approx 18{,}5 \, \mathrm{m/s}. \]

3. Změna kinetické energie je rovna získané kinetické energii: \[ \Delta E_k = E_k – 0 = 205\,442 \, \mathrm{J}. \]

Výsledky: Auto dosáhne rychlosti přibližně \( 18{,}5 \, \mathrm{m/s} \) a jeho kinetická energie se zvýší o \( 205\,442 \, \mathrm{J} \).

Řešení příkladu:

Údaje: tahová síla \( F_t = 50 \, \mathrm{N} \), třecí síla \( F_f = 20 \, \mathrm{N} \), hmotnost saní \( m = 40 \, \mathrm{kg} \), čas \( t = 10 \, \mathrm{s} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \).

1. Výpočet výsledné síly: \[ F_{\mathrm{res}} = F_t – F_f = 50 – 20 = 30 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet zrychlení: \[ a = \frac{F_{\mathrm{res}}}{m} = \frac{30}{40} = 0{,}75 \, \mathrm{m/s^2}. \]

3. Výpočet rychlosti po \( 10 \, \mathrm{s} \): \[ v = v_0 + a t = 0 + 0{,}75 \cdot 10 = 7{,}5 \, \mathrm{m/s}. \]

4. Výpočet dráhy, kterou sáně urazí za \( 10 \, \mathrm{s} \): \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}75 \cdot 10^2 = 37{,}5 \, \mathrm{m}. \]

5. Výpočet práce vykonané tahovou silou: \[ W = F_t \cdot s = 50 \cdot 37{,}5 = 1875 \, \mathrm{J}. \]

Závěr: Zrychlení saní je \( 0{,}75 \, \mathrm{m/s^2} \), po \( 10 \, \mathrm{s} \) dosáhnou rychlosti \( 7{,}5 \, \mathrm{m/s} \) a tahová síla vykoná práci \( 1875 \, \mathrm{J} \).

Řešení příkladu:

Údaje: hmotnost \( m = 0{,}1 \, \mathrm{kg} \), výška \( h = 5 \, \mathrm{m} \), tíhové zrychlení \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \).

1. Výpočet rychlosti při dopadu pomocí zákona zachování energie:

Potenciální energie na začátku: \[ E_p = m g h = 0{,}1 \cdot 9{,}81 \cdot 5 = 4{,}905 \, \mathrm{J}. \]

Kinetická energie při dopadu: \[ E_k = \frac{1}{2} m v^2. \]

Platí \( E_p = E_k \), tedy \[ \frac{1}{2} m v^2 = m g h \Rightarrow v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 5} = \sqrt{98{,}1} \approx 9{,}9 \, \mathrm{m/s}. \]

2. Výpočet práce vykonané tíhovou silou během pádu:

Práce se rovná změně potenciální energie, tedy \[ W = E_p = 4{,}905 \, \mathrm{J}. \]

Závěr: Rychlost kuličky při dopadu je přibližně \( 9{,}9 \, \mathrm{m/s} \) a práce tíhové síly je \( 4{,}905 \, \mathrm{J} \).

Řešení příkladu:

Údaje: síla \( F = 80 \, \mathrm{N} \), úhel \( \alpha = 30^\circ \), třecí síla \( F_f = 25 \, \mathrm{N} \), hmotnost \( m = 60 \, \mathrm{kg} \), tíhové zrychlení \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Rozklad síly tlačení na vodorovnou a svislou složku:

Vodorovná složka: \[ F_x = F \cos \alpha = 80 \cdot \cos 30^\circ = 80 \cdot 0{,}866 = 69{,}28 \, \mathrm{N}. \]

Svislá složka: \[ F_y = F \sin \alpha = 80 \cdot \sin 30^\circ = 80 \cdot 0{,}5 = 40 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet normální síly \( N \):

Normální síla je tíhová síla minus svislá složka tlačící síly: \[ N = m g – F_y = 60 \cdot 9{,}81 – 40 = 588{,}6 – 40 = 548{,}6 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet výsledné vodorovné síly působící na vozík:

Vodorovná síla určující zrychlení je vodorovná složka síly minus třecí síla: \[ F_{\mathrm{res}} = F_x – F_f = 69{,}28 – 25 = 44{,}28 \, \mathrm{N}. \]

4. Výpočet zrychlení vozíku: \[ a = \frac{F_{\mathrm{res}}}{m} = \frac{44{,}28}{60} \approx 0{,}738 \, \mathrm{m/s^2}. \]

Závěr: Zrychlení vozíku je přibližně \( 0{,}738 \, \mathrm{m/s^2} \).

Řešení příkladu:

Údaje: hmotnost \( m = 1000 \, \mathrm{kg} \), počáteční rychlost \( v_0 = 20 \, \mathrm{m/s} \), konečná rychlost \( v = 0 \), dráha brzdění \( s = 50 \, \mathrm{m} \).

1. Výpočet zrychlení pomocí rovnice pohybu bez času: \[ v^2 = v_0^2 + 2 a s \quad \Rightarrow \quad 0 = 20^2 + 2 a \cdot 50. \] Z toho plyne: \[ 0 = 400 + 100 a \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{400}{100} = -4 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet brzdné síly: \[ F = m a = 1000 \cdot (-4) = -4000 \, \mathrm{N}. \] Znaménko minus ukazuje, že síla působí proti směru pohybu.

3. Výpočet doby brzdění: \[ v = v_0 + a t \quad \Rightarrow \quad 0 = 20 – 4 t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{20}{4} = 5 \, \mathrm{s}. \]

Výsledek: Brzdná síla má velikost \( 4000 \, \mathrm{N} \) a doba brzdění je \( 5 \, \mathrm{s} \).

Řešení příkladu:

Údaje: výška \( h = 45 \, \mathrm{m} \), počáteční vodorovná rychlost \( v_x = 15 \, \mathrm{m/s} \), tíhové zrychlení \( g = 9.81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet doby pádu:

Volný pád ve svislém směru začíná z klidu, takže platí: \[ h = \frac{1}{2} g t^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{9.81}} = \sqrt{9.17} \approx 3.03 \, \mathrm{s}. \]

2. Výpočet vodorovné vzdálenosti:

Kulička se ve vodorovném směru pohybuje rovnoměrně přímočaře: \[ s = v_x t = 15 \cdot 3.03 = 45.45 \, \mathrm{m}. \]

Výsledek: Kulička bude ve vzduchu přibližně \( 3.03 \, \mathrm{s} \) a dopadne ve vzdálenosti \( 45.45 \, \mathrm{m} \) od paty stěny.

Údaje: počáteční rychlost \( v_0 = 0 \, \mathrm{m/s} \), zrychlení během chodu motoru \( a = 5 \, \mathrm{m/s^2} \), doba chodu motoru \( t_1 = 20 \, \mathrm{s} \), gravitační zrychlení \( g = 9.81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet rychlosti na konci chodu motoru: \[ v_1 = v_0 + a t_1 = 0 + 5 \cdot 20 = 100 \, \mathrm{m/s}. \]

2. Výpočet výšky dosažené během chodu motoru: \[ s_1 = v_0 t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 20^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 400 = 1000 \, \mathrm{m}. \]

3. Výpočet doby letu po vypnutí motoru:

Po zhasnutí motoru působí jen gravitace, raketa se pohybuje vzhůru se začáteční rychlostí \( v_1 = 100 \, \mathrm{m/s} \) a zrychlením \( a = -g = -9.81 \, \mathrm{m/s^2} \).

Čas, za který raketa dosáhne nulové rychlosti (maximální výšky), je \[ 0 = v_1 – g t_2 \quad \Rightarrow \quad t_2 = \frac{v_1}{g} = \frac{100}{9.81} \approx 10.19 \, \mathrm{s}. \]

4. Výpočet výšky zdvihu po vypnutí motoru: \[ s_2 = v_1 t_2 – \frac{1}{2} g t_2^2 = 100 \cdot 10.19 – \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (10.19)^2. \]

Vypočteme druhou část: \[ \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (10.19)^2 = 4.905 \cdot 103.84 \approx 509.8 \, \mathrm{m}. \] \[ s_2 = 1019 – 509.8 = 509.2 \, \mathrm{m}. \]

5. Celková maximální výška: \[ s = s_1 + s_2 = 1000 + 509.2 = 1509.2 \, \mathrm{m}. \]

6. Celkový čas letu do maximální výšky: \[ t = t_1 + t_2 = 20 + 10.19 = 30.19 \, \mathrm{s}. \]

Výsledek: Raketa dosáhne maximální výšky přibližně \( 1509.2 \, \mathrm{m} \) a celkový čas letu do této výšky je přibližně \( 30.19 \, \mathrm{s} \). Od momentu zastavení začne pád zpět k zemi, což není součástí zadání.

Údaje: počiatočná rýchlosť \( v_0 = 0 \, \mathrm{m/s} \), dráha \( s = 100 \, \mathrm{m} \), čas \( t = 5 \, \mathrm{s} \).

1. Použijeme rovnicu pre rovnomerne zrýchlený pohyb z pokoja: \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \Rightarrow 100 = 0 + \frac{1}{2} a \cdot 25 \Rightarrow 100 = \frac{25}{2} a. \]

2. Vyjadrenie zrýchlenia: \[ a = \frac{100 \cdot 2}{25} = \frac{200}{25} = 8 \, \mathrm{m/s^2}. \]

3. Výpočet konečnej rýchlosti: \[ v = v_0 + a t = 0 + 8 \cdot 5 = 40 \, \mathrm{m/s}. \]

Výsledky: Zrýchlenie autíčka je \(8\) m/s² a konečná rýchlosť po prejdení \(100\) m je \(40\) m/s.

Údaje: hmotnosť \( m = 50 \, \mathrm{kg} \), sila \( F = 200 \, \mathrm{N} \), uhol \( \alpha = 30^\circ \), trenie zanedbáme, gravitačné zrýchlenie \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Rozklad sily na zložky:

Horizontálna zložka sily: \[ F_x = F \cos \alpha = 200 \cdot \cos 30^\circ = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 200 \cdot 0{,}866 = 173{,}2 \, \mathrm{N}. \]

Vertikálna zložka sily: \[ F_y = F \sin \alpha = 200 \cdot \sin 30^\circ = 200 \cdot 0{,}5 = 100 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet normálovej sily:

Normálová sila je reakcia podložky na základe hmotnosti a vertikálnej zložky sily: \[ N = mg – F_y = 50 \cdot 9{,}81 – 100 = 490{,}5 – 100 = 390{,}5 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet zrýchlenia:

Podľa druhého Newtonovho zákona platí \[ a = \frac{F_x}{m} = \frac{173{,}2}{50} = 3{,}464 \, \mathrm{m/s^2}. \]

Zrýchlenie telieska je približne \(3{,}46\) m/s².

Údaje: dĺžka dráhy \( s = 10 \, \mathrm{m} \), uhol sklonu \( \alpha = 25^\circ \), počiatočná rýchlosť \( v_0 = 0 \, \mathrm{m/s} \), gravitačné zrýchlenie \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet zrýchlenia na naklonenej rovine:

\[ a = g \sin \alpha = 9{,}81 \cdot \sin 25^\circ = 9{,}81 \cdot 0{,}4226 \approx 4{,}146 \, \mathrm{m/s^2}. \]

2. Výpočet rýchlosti na konci dráhy:

Použijeme rovnicu rovnomerne zrýchleného pohybu bez počiatočnej rýchlosti: \[ v^2 = v_0^2 + 2 a s = 0 + 2 \cdot 4{,}146 \cdot 10 = 82{,}92. \] \[ v = \sqrt{82{,}92} \approx 9{,}11 \, \mathrm{m/s}. \]

Sánky dosiahnu na konci dráhy rýchlosť približne \(9{,}11\) m/s.

Údaje: výška \( h = 20 \, \mathrm{m} \), horizontálna rýchlosť \( v_x = 10 \, \mathrm{m/s} \), gravitačné zrýchlenie \( g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2} \).

1. Výpočet doby pádu:

\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{9{,}81}} = \sqrt{4{,}078} \approx 2{,}02 \, \mathrm{s}. \]

2. Výpočet horizontálnej vzdialenosti:

\[ s = v_x t = 10 \cdot 2{,}02 = 20{,}2 \, \mathrm{m}. \]

Lopta dopadne na zem za približne \(2{,}02\) s vo vzdialenosti \(20{,}2\) m od miesta hodenia.

Údaje: hmotnost \(m = 30 \, \mathrm{kg}\), síla \(F = 100 \, \mathrm{N}\), úhel \(\alpha = 45^\circ\), bez tření, gravitační zrychlení \(g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2}\).

1. Rozklad síly na vodorovnou a svislou složku:

\[ F_x = F \cos \alpha = 100 \cdot \cos 45^\circ = 100 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 70{,}71 \, \mathrm{N}, \] \[ F_y = F \sin \alpha = 100 \cdot \sin 45^\circ = 70{,}71 \, \mathrm{N}. \]

2. Výpočet normálové síly:

\[ N = mg – F_y = 30 \cdot 9{,}81 – 70{,}71 = 294{,}3 – 70{,}71 = 223{,}59 \, \mathrm{N}. \]

3. Zrychlení krabice podle druhého Newtonova zákona:

\[ a = \frac{F_x}{m} = \frac{70{,}71}{30} = 2{,}357 \, \mathrm{m/s^2}. \]

Zrychlení krabice je přibližně \(2{,}36 \, \mathrm{m/s^2}\).

Údaje: hmotnost \(m = 10 \, \mathrm{kg}\), síla \(F = 150 \, \mathrm{N}\), gravitační zrychlení \(g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2}\).

1. Výpočet tíhové síly bloku:

\[ F_g = mg = 10 \cdot 9{,}81 = 98{,}1 \, \mathrm{N}. \]

2. Výsledná síla působící na blok podle druhého Newtonova zákona:

\[ F_{\mathrm{res}} = F – F_g = 150 – 98{,}1 = 51{,}9 \, \mathrm{N}. \]

3. Výpočet zrychlení bloku:

\[ a = \frac{F_{\mathrm{res}}}{m} = \frac{51{,}9}{10} = 5{,}19 \, \mathrm{m/s^2}. \]

Blok bude zrychlovat směrem vzhůru se zrychlením \(5{,}19 \, \mathrm{m/s^2}\).

Údaje: \(m = 2 \, \mathrm{kg}\), \(F = 15 \, \mathrm{N}\), úhel \(\alpha = 30^\circ\), koeficient tření \(\mu = 0{,}2\), dráha \(s = 10 \, \mathrm{m}\).

1. Rozklad síly na složky:

\[ F_x = F \cos \alpha = 15 \cdot \cos 30^\circ = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 12{,}99 \, \mathrm{N}, \] \[ F_y = F \sin \alpha = 15 \cdot \sin 30^\circ = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7{,}5 \, \mathrm{N}. \]

2. Normálová síla:

\[ N = mg – F_y = 2 \cdot 9{,}81 – 7{,}5 = 19{,}62 – 7{,}5 = 12{,}12 \, \mathrm{N}. \]

3. Třecí síla:

\[ F_t = \mu N = 0{,}2 \cdot 12{,}12 = 2{,}424 \, \mathrm{N}. \]

4. Výsledná síla:

\[ F_{\mathrm{vysl}} = F_x – F_t = 12{,}99 – 2{,}424 = 10{,}566 \, \mathrm{N}. \]

5. Zrychlení tělesa:

\[ a = \frac{F_{\mathrm{vysl}}}{m} = \frac{10{,}566}{2} = 5{,}283 \, \mathrm{m/s^2}. \]

6. Práce vykonaná silou během posunu:

\[ W = F \cos \alpha \cdot s = 15 \cdot \cos 30^\circ \cdot 10 = 12{,}99 \cdot 10 = 129{,}9 \, \mathrm{J}. \]

Těleso má zrychlení přibližně \(5{,}28 \, \mathrm{m/s^2}\) a práce vykonaná silou je přibližně \(129{,}9 \, \mathrm{J}\).

Údaje: hmotnost \(m = 0{,}8 \, \mathrm{kg}\), prodloužení pružiny \(\Delta l = 0{,}05 \, \mathrm{m}\).

1. Tuhost pružiny \(k\):

\[ F_g = F_p \Rightarrow mg = k \Delta l \Rightarrow k = \frac{mg}{\Delta l} = \frac{0{,}8 \cdot 9{,}81}{0{,}05} = \frac{7{,}848}{0{,}05} = 156{,}96 \, \mathrm{N/m}. \]

2. Perioda kmitání:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0{,}8}{156{,}96}} \approx 2 \pi \cdot \sqrt{0{,}005096} \approx 2 \pi \cdot 0{,}0714 \approx 0{,}448 \, \mathrm{s}. \]

Tuhost pružiny je přibližně \(156{,}96 \, \mathrm{N/m}\) a perioda kmitání je přibližně \(0{,}448 \, \mathrm{s}\).

Řešení příkladu:

Údaje: \( m = 1.5 \, \mathrm{kg} \), \( F = 10 \, \mathrm{N} \), \( s = 4 \, \mathrm{m} \), \( v = 5 \, \mathrm{m/s} \), počáteční rychlost \( v_0 = 0 \, \mathrm{m/s} \).

1. Kinetická energie na konci pohybu:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 5^2 = 0.75 \cdot 25 = 18.75 \, \mathrm{J}. \]

2. Práce vykonaná tažnou silou:

\[ W_\text{celk} = F \cdot s = 10 \cdot 4 = 40 \, \mathrm{J}. \]

3. Práce proti tření:

Rozdíl mezi vykonanou prací a změnou kinetické energie představuje práci proti tření:

\[ W_\text{tření} = W_\text{celk} – E_k = 40 – 18.75 = 21.25 \, \mathrm{J}. \]

4. Třecí síla:

\[ F_t = \frac{W_\text{tření}}{s} = \frac{21.25}{4} = 5.31 \, \mathrm{N}. \]

Třecí síla má velikost přibližně \( 5.31 \, \mathrm{N} \) a práce proti tření je asi \( 21.25 \, \mathrm{J} \).

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme rychlost na metry za sekundu:

\( v = 72 \, \mathrm{km/h} = \frac{72 \cdot 1000}{3600} = 20 \, \mathrm{m/s} \)

Čas převedeme na sekundy:

\( t = 25 \, \mathrm{min} = 25 \cdot 60 = 1500 \, \mathrm{s} \)

Využijeme vztah pro dráhu rovnoměrného pohybu:

\( s = v \cdot t = 20 \cdot 1500 = 30000 \, \mathrm{m} = 30 \, \mathrm{km} \)

Odpověď: Automobil ujede za \( 25 \) minut dráhu \( 30 \, \mathrm{km} \).

Řešení příkladu:

Protože se sáně pohybují rovnoměrně, tahová síla se rovná síle tření.

Normálová síla \( F_n \) je rovna tíze:

\( F_n = m \cdot g = 50 \cdot 9.81 = 490.5 \, \mathrm{N} \)

Smýková třecí síla:

\( F_t = \mu \cdot F_n = 0.15 \cdot 490.5 = 73.58 \, \mathrm{N} \)

Odpověď: Potřebná síla je přibližně \( 73.6 \, \mathrm{N} \).

Řešení příkladu:

Vypočítáme práci:

\( W = m \cdot g \cdot h = 200 \cdot 9.81 \cdot 10 = 19620 \, \mathrm{J} \)

Výkon je:

\( P = \frac{W}{t} = \frac{19620}{20} = 981 \, \mathrm{W} \)

Odpověď: Jeřáb vyvíjí výkon \( 981 \, \mathrm{W} \).

Řešení příkladu:

Dráha volného pádu je:

\( s = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2s}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{9.81}} \approx \sqrt{9.17} \approx 3.03 \, \mathrm{s} \)

Rychlost při dopadu:

\( v = g \cdot t = 9.81 \cdot 3.03 \approx 29.7 \, \mathrm{m/s} \)

Odpověď: Těleso dopadne za přibližně \( 3.03 \, \mathrm{s} \) rychlostí \( 29.7 \, \mathrm{m/s} \).

Řešení příkladu:

Nejprve najdeme výšku, kam doletí:

\( v = 0 \Rightarrow h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{15^2}{2 \cdot 9.81} = \frac{225}{19.62} \approx 11.47 \, \mathrm{m} \)

Čas výstupu:

\( t = \frac{v_0}{g} = \frac{15}{9.81} \approx 1.53 \, \mathrm{s} \)

Celkový čas je dvojnásobek:

\( 2 \cdot 1.53 = 3.06 \, \mathrm{s} \)

Odpověď: Kámen doletí do výšky \( 11.47 \, \mathrm{m} \) a spadne zpět za \( 3.06 \, \mathrm{s} \).

Řešení příkladu:

Převedeme rychlost na m/s:

\( v = 90 \,\text{km/h} = 25 \,\text{m/s} \)

Zrychlení:

\( a = \frac{v – v_0}{t} = \frac{25 – 0}{10} = 2{,}5 \,\text{m/s}^2 \)

Dráha:

\( s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2{,}5 \cdot 10^2 = 125 \,\text{m} \)

Odpověď: Zrychlení je \( 2{,}5 \,\text{m/s}^2 \) a dráha je \( 125 \,\text{m} \).

Řešení příkladu:

Použijeme vztah:

\( v^2 = v_0^2 + 2as \Rightarrow a = \frac{v^2 – v_0^2}{2s} = \frac{25^2 – 5^2}{2 \cdot 60} = \frac{625 – 25}{120} = \frac{600}{120} = 5 \,\text{m/s}^2 \)

Čas určíme ze vztahu:

\( v = v_0 + a t \Rightarrow t = \frac{v – v_0}{a} = \frac{25 – 5}{5} = 4 \,\text{s} \)

Odpověď: Zrychlení je \( 5 \,\text{m/s}^2 \), doba pohybu je \( 4 \,\text{s} \).

Řešení příkladu:

Z Newtonova zákona:

\( F = m \cdot a \Rightarrow a = \frac{F}{m} = \frac{10}{2} = 5 \,\text{m/s}^2 \)

Rychlost po \( 6 \,\text{s} \):

\( v = a \cdot t = 5 \cdot 6 = 30 \,\text{m/s} \)

Odpověď: Zrychlení je \( 5 \,\text{m/s}^2 \), rychlost po \( 6 \,\text{s} \) bude \( 30 \,\text{m/s} \).

Řešení příkladu:

Práce:

\( W = mgh = 80 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}5 = 1962 \,\text{J} \)

Výkon:

\( P = \frac{W}{t} = \frac{1962}{5} = 392{,}4 \,\text{W} \)

Odpověď: Práce je \( 1962 \,\text{J} \), výkon je \( 392{,}4 \,\text{W} \).

Řešení příkladu:

Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu:

\( s = \frac{1}{2} a t^2 \Rightarrow a = \frac{2s}{t^2} = \frac{2 \cdot 800}{40^2} = \frac{1600}{1600} = 1 \,\text{m/s}^2 \)

Konečná rychlost:

\( v = a \cdot t = 1 \cdot 40 = 40 \,\text{m/s} \)

Odpověď: Zrychlení je \( 1 \,\text{m/s}^2 \), konečná rychlost je \( 40 \,\text{m/s} \).

Řešení příkladu:

Převod rychlosti na metry za sekundu:

\( v = 72\,\text{km/h} = \frac{72 \cdot 1000}{3600} = 20\,\text{m/s} \)

Počáteční rychlost: \( v_0 = 0 \)

Čas: \( t = 12\,\text{s} \)

Zrychlení:

\( a = \frac{20 – 0}{12} = \frac{20}{12} = 1{,}67\,\text{m/s}^2 \)

Dráha:

\( s = 0 + \frac{1}{2} \cdot 1{,}67 \cdot 12^2 = 0{,}835 \cdot 144 = 120{,}24\,\text{m} \)

Odpověď: Zrychlení bylo přibližně \( 1{,}67\,\text{m/s}^2 \) a dráha přibližně \( 120{,}24\,\text{m} \).

Řešení příkladu:

Hmotnost: \( m = 5\,\text{kg} \), zrychlení: \( a = 3\,\text{m/s}^2 \)

Podle druhého Newtonova zákona:

\( F = m \cdot a = 5 \cdot 3 = 15\,\text{N} \)

Odpověď: Působící síla má velikost \( 15\,\text{N} \).

Řešení příkladu:

Výška: \( h = 10\,\text{m} \), hmotnost: \( m = 80\,\text{kg} \), tíhové zrychlení: \( g = 9{,}81\,\text{m/s}^2 \)

Práce:

\( W = mgh = 80 \cdot 9{,}81 \cdot 10 = 7848\,\text{J} \)

Odpověď: Byla vykonána práce \( 7848\,\text{J} \).

Řešení příkladu:

Převod rychlosti:

\( v_0 = 90\,\text{km/h} = 25\,\text{m/s} \), \( s = 300\,\text{m} \), \( v = 0 \)

Použijeme vztah:

\( v^2 = v_0^2 + 2as \Rightarrow 0 = 25^2 + 2a \cdot 300 \Rightarrow 0 = 625 + 600a \)

\( a = -\frac{625}{600} = -1{,}042\,\text{m/s}^2 \)

Doba brzdění:

\( v = v_0 + at \Rightarrow 0 = 25 – 1{,}042t \Rightarrow t = \frac{25}{1{,}042} \approx 24\,\text{s} \)

Odpověď: Zrychlení bylo \( -1{,}042\,\text{m/s}^2 \) a doba brzdění asi \(24\) sekund.

Řešení příkladu:

Pohyb je rovnoměrný, tedy \( a = 0 \). Síla musí vyrovnat tíhovou sílu:

\( F = m \cdot g = 2 \cdot 9{,}81 = 19{,}62\,\text{N} \)

Práce:

\( W = F \cdot h = 19{,}62 \cdot 5 = 98{,}1\,\text{J} \)

Výkon:

\( P = \frac{W}{t} = \frac{98{,}1}{4} = 24{,}525\,\text{W} \)

Odpověď: Potřebná síla je \( 19{,}62\,\text{N} \), práce \( 98{,}1\,\text{J} \), výkon \( 24{,}525\,\text{W} \).

Řešení příkladu:

Práce závisí jen na vodorovné složce síly:

\( F_x = F \cdot \cos(\alpha) = 40 \cdot \cos(30^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 34{,}64\,\text{N} \)

\( W = F_x \cdot s = 34{,}64 \cdot 50 = 1732\,\text{J} \)

Odpověď: Kluk vykonal práci přibližně \(1732\,\text{J}\).

Řešení příkladu:

\( E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 15^2 = 500 \cdot 225 = 112500\,\text{J} \)

Odpověď: Kinetická energie auta je \(112500\,\text{J}\).

Řešení příkladu:

Použijeme vztah:

\( v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 20} = \sqrt{392{,}4} \approx 19{,}8\,\text{m/s} \)

Odpověď: Těleso dopadne rychlostí asi \(19{,}8\,\text{m/s}\).

Řešení příkladu:

Práce:

\( W = mgh = 500 \cdot 9{,}81 \cdot 8 = 39240\,\text{J} \)

Výkon:

\( P = \frac{W}{t} = \frac{39240}{20} = 1962\,\text{W} \)

Odpověď: Průměrný výkon je \(1962\,\text{W}\).

Řešení příkladu:

\( v_0 = 5\,\text{m/s}, v = 10\,\text{m/s}, t = 6\,\text{s} \)

Zrychlení:

\( a = \frac{v – v_0}{t} = \frac{10 – 5}{6} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833\,\text{m/s}^2 \)

Dráha:

\( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 5 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}833 \cdot 36 = 30 + 14{,}994 \approx 44{,}99\,\text{m} \)

Odpověď: Zrychlení bylo asi \(0{,}833\,\text{m/s}^2\) a dráha přibližně \(44{,}99\,\text{m}\).

Řešení příkladu:

Úlohu můžeme řešit pomocí základního vzorce pro dráhu rovnoměrného pohybu:

\( s = v \cdot t \)

Nejprve je potřeba převést čas z minut na sekundy, protože rychlost je v metrech za sekundu (\( \text{m/s} \)), a musí být jednotky kompatibilní:

\( t = 2\,\text{min} = 2 \times 60 = 120\,\text{s} \)

Nyní dosadíme do vzorce:

\( s = 12\,\text{m/s} \times 120\,\text{s} = 1440\,\text{m} \)

Výsledek říká, že za dvě minuty urazí těleso vzdálenost \( 1440\,\text{m} \), což je ekvivalent \( 1{,}44 \) kilometru.

Z hlediska fyziky tento výpočet předpokládá, že rychlost zůstává konstantní po celou dobu pohybu, nebereme v úvahu žádné tření ani jiné síly, které by pohyb mohly ovlivnit.

Odpověď: Těleso urazí dráhu \( 1440\,\text{m} \).

Řešení příkladu:

Nejprve si ujasníme, že těleso začíná z klidu, tedy počáteční rychlost je:

\( v_0 = 0\,\text{m/s} \)

Pohyb je rovnoměrně zrychlený, což znamená, že zrychlení \( a \) je konstantní. Pro výpočet rychlosti po čase \( t \) použijeme vzorec:

\( v = v_0 + a \cdot t \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( v = 0 + 2\,\text{m/s}^2 \times 9\,\text{s} = 18\,\text{m/s} \)

Tento výsledek znamená, že po 9 sekundách bude těleso pohybovat rychlostí \( 18\,\text{m/s} \).

Je důležité podotknout, že tento výpočet předpokládá konstantní zrychlení, bez odporu prostředí, tedy například bez tření nebo odporu vzduchu.

Odpověď: Rychlost tělesa po 9 sekundách je \( 18\,\text{m/s} \).

Řešení příkladu:

Máme pohyb rovnoměrně zpomalený, kde počáteční rychlost je \( v_0 = 20\,\text{m/s} \), konečná rychlost \( v = 0 \), a zrychlení \( a = -4\,\text{m/s}^2 \) (záporné, protože auto zpomaluje).

Nejprve určíme dobu brzdění pomocí vzorce:

\( v = v_0 + a \cdot t \Rightarrow 0 = 20 + (-4) \cdot t \Rightarrow -4t = -20 \Rightarrow t = \frac{20}{4} = 5\,\text{s} \)

Auto tedy brzdí \( 5\,\text{s} \).

Dále spočítáme dráhu, kterou auto při brzdění ujede. Použijeme vzorec pro dráhu při rovnoměrně zrychleném pohybu:

\( s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a t^2 \)

Dosadíme hodnoty:

\( s = 20 \times 5 + \frac{1}{2} \times (-4) \times 5^2 = 100 – 50 = 50\,\text{m} \)

To znamená, že auto při zabrzdění urazí \( 50\,\text{m} \).

Z fyzikálního hlediska je tento výpočet přesný za předpokladu konstantního zpomalení a zanedbání vlivu dalších sil (například změn tření, aerodynamiky apod.).

Odpověď: Auto brzdí \( 5\,\text{s} \) a urazí dráhu \( 50\,\text{m} \).

Řešení příkladu:

Protože se výtah pohybuje rovnoměrnou rychlostí, platí vzorec pro dráhu rovnoměrného pohybu:

\( s = v \cdot t \)

Nejprve si převodíme čas na sekundy, pokud by nebyl zadán v sekundách (v tomto případě je 15 sekund, takže převod není potřeba).

Dosadíme hodnoty:

\( s = 2\,\text{m/s} \times 15\,\text{s} = 30\,\text{m} \)

To znamená, že výtah se během pohybu zvedne o \( 30\,\text{m} \).

Z fyzikálního hlediska je zde zanedbáno zrychlení, protože rychlost je konstantní a žádné další síly (například tření) neovlivňují pohyb.

Odpověď: Výtah se zvedne o \( 30\,\text{m} \).

Řešení příkladu:

Těleso padá volným pádem, tedy je ovlivněno pouze gravitační silou (zanedbáváme odpor vzduchu).

Pro výpočet rychlosti těsně před dopadem použijeme vzorec z kinematiky:

\( v = \sqrt{2 g h} \)

Kde \( g = 9{,}81\,\text{m/s}^2 \) je gravitační zrychlení a \( h = 10\,\text{m} \) výška.

Dosadíme:

\( v = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 10} = \sqrt{196{,}2} \approx 14\,\text{m/s} \)

Pro kinetickou energii tělesa platí vzorec:

\( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \)

Dosadíme hodnoty:

\( E_k = \frac{1}{2} \times 0{,}5\,\text{kg} \times (14\,\text{m/s})^2 = 0{,}25 \times 196 = 49\,\text{J} \)

To znamená, že kinetická energie tělesa těsně před dopadem je \(49\) joulů.

Tento výpočet předpokládá, že veškerá potenciální energie se přeměnila na kinetickou (bez ztrát).

Odpověď: Rychlost těsně před dopadem je přibližně \(14\,\text{m/s}\), kinetická energie je \(49\,\text{J}\).

Riešenie príkladu:

Podľa druhého Newtonovho zákona platí, že sila pôsobiaca na teleso je súčin jeho hmotnosti a zrýchlenia:

\( F = m \times a \)

Kde \( m = 1200\,\text{kg} \), \( a = 2\,\text{m/s}^2 \).

Dosadíme hodnoty:

\( F = 1200 \times 2 = 2400\,\text{N} \)

Teda motor vyvíja silu \(2400\,\text{N}\) na pohon vozidla.

Táto sila je výsledkom všetkých síl, ktoré vozidlo poháňajú dopredu (motor, odpor vzduchu, trenie atď. musia byť zahrnuté, ale v tomto príklade zanedbávame odporové sily).

Odpoveď: Sila motoru je \(2400\,\text{N}\).

Riešenie príkladu:

Modul pružnosti (Youngov modul) sa vypočíta podľa vzťahu:

\( E = \frac{F \cdot L_0}{A \cdot \Delta L} \)

Kde:

• \( F = 800\,\text{N} \) je sila,
• \( L_0 = 50\,\text{m} \) pôvodná dĺžka,
• \( \Delta L = 2\,\text{mm} = 0{,}002\,\text{m} \) predĺženie,
• \( A \) je priečny prierez kábla.

Priečny prierez kábla kruhového tvaru vypočítame ako:

\( A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0{,}02}{2}\right)^2 = \pi \times 0{,}01^2 = \pi \times 0{,}0001 = 0{,}000314\,\text{m}^2 \)

Dosadíme do vzorca pre modul pružnosti:

\( E = \frac{800 \times 50}{0{,}000314 \times 0{,}002} = \frac{40000}{0{,}000000628} \approx 6{,}37 \times 10^{10}\,\text{Pa} \)

Modul pružnosti materiálu kábla je teda približne \(6,37 \times 10^{10}\) Pascalov, čo je hodnota typická pre oceľ.

Odpoveď: Modul pružnosti je \(6,37 \times 10^{10}\,\text{Pa}\).

Riešenie príkladu:

Pre voľný pád bez odporu vzduchu platí vzorec pre rýchlosť pri dopade:

\( v = \sqrt{2 g h} \)

Kde \( g = 9{,}81\,\text{m/s}^2 \) je gravitačné zrýchlenie a \( h = 20\,\text{m} \) je výška.

Dosadíme hodnoty:

\( v = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 20} = \sqrt{392{,}4} \approx 19{,}81\,\text{m/s} \)

Rýchlosť gule pri dopade na zem bude približne \(19{,}81\,\text{m/s}\).

Hmotnosť neovplyvňuje rýchlosť pri voľnom páde, ak zanedbáme odpor vzduchu.

Odpoveď: Rýchlosť pri dopade je približne \(19{,}81\,\text{m/s}\).

Riešenie príkladu:

Veľkosť brzdnej sily vypočítame podľa Newtonovho druhého zákona:

\( F = m \times a \)

Kde \( m = 1500\,\text{kg} \), \( a = 5\,\text{m/s}^2 \) (záporné zrýchlenie, ale veľkosť je kladná).

Dosadíme hodnoty:

\( F = 1500 \times 5 = 7500\,\text{N} \)

Brzdná sila má teda veľkosť \(7500\,\text{N}\), pôsobí proti pohybu auta.

Odpoveď: Brzdná sila je \(7500\,\text{N}\).

Riešenie príkladu:

Sila, ktorú váha ukáže, je reakčná sila pôsobiaca na záťažníka, teda normálová sila \( N \).

Podľa druhého Newtonovho zákona pre záťažníka platí:

\( N – mg = ma \)

Pretože zrýchlenie je nahor, normálová sila je väčšia než váha telesa:

\( N = m (g + a) \)

Dosadíme hodnoty:

\( N = 80 \times (9{,}81 + 2) = 80 \times 11{,}81 = 944{,}8\,\text{N} \)

Váha teda ukáže približne \(944{,}8\,\text{N}\).

Odpoveď: Sila, ktorú váha ukáže, je približne \(944{,}8\,\text{N}\).