Stejnolehlost

Řešení:
Ve stejnolehlosti se středem \( S = [2, -1] \) a koeficientem \( k = 2 \) se každý bod \( P \) zobrazí na bod \( P‘ \), který leží na přímce \( SP \) a platí: \[ \vec{SP‘} = k \cdot \vec{SP} \] 1. Výpočet vektoru a obrazu bodu \( A \):
\[ \vec{SA} = (1 – 2, 2 – (-1)) = (-1, 3) \] \[ \vec{SA‘} = 2 \cdot (-1, 3) = (-2, 6) \] \[ A‘ = S + \vec{SA‘} = (2 – 2, -1 + 6) = (0, 5) \] 2. Bod \( B \):
\[ \vec{SB} = (3 – 2, 1 – (-1)) = (1, 2) \] \[ \vec{SB‘} = 2 \cdot (1, 2) = (2, 4) \] \[ B‘ = S + \vec{SB‘} = (2 + 2, -1 + 4) = (4, 3) \] 3. Bod \( C \):
\[ \vec{SC} = (2 – 2, 4 – (-1)) = (0, 5) \] \[ \vec{SC‘} = 2 \cdot (0, 5) = (0, 10) \] \[ C‘ = S + \vec{SC‘} = (2 + 0, -1 + 10) = (2, 9) \] Odpověď: Obraz trojúhelníku má vrcholy \( A'(0, 5), B'(4, 3), C'(2, 9) \).

Řešení:
Používáme vzorec: \[ \vec{SP‘} = k \cdot \vec{SP} \] Bod X:
\[ \vec{SX} = (4, -1),\quad \vec{SX‘} = (-2, 0.5),\quad X‘ = (-1 + (-2), 3 + 0.5) = (-3, 3.5) \] Bod Y:
\[ \vec{SY} = (6, 1),\quad \vec{SY‘} = (-3, -0.5),\quad Y‘ = (-4, 2.5) \] Bod Z:
\[ \vec{SZ} = (5, -3),\quad \vec{SZ‘} = (-2.5, 1.5),\quad Z‘ = (-3.5, 4.5) \] Odpověď: \( X'(-3, 3.5), Y'(-4, 2.5), Z'(-3.5, 4.5) \)

Řešení příkladu:

Stejnolehlost se středem \( S = [0; 0] \) a koeficientem \( k = -1 \) převádí bod \( X = [x; y] \) na bod \( X‘ = [k \cdot x; k \cdot y] \).

• Obraz bodu \( A = [2; 1] \) bude \( A‘ = [-2; -1] \)
• Obraz bodu \( B = [4; 3] \) bude \( B‘ = [-4; -3] \)
• Obraz bodu \( C = [3; 6] \) bude \( C‘ = [-3; -6] \)

Výsledný obrazový trojúhelník \( A’B’C‘ \) má vrcholy: \( A‘ = [-2; -1] \), \( B‘ = [-4; -3] \), \( C‘ = [-3; -6] \).

Vzhledem k tomu, že \( k = -1 \), obraz je souměrný vzhledem ke středu \( S \) a je zrcadlově převrácený, ale stejných rozměrů jako původní trojúhelník.

Řešení příkladu:

Vrchol \( A = [2; 2] \) je jedním z vrcholů čtverce, jehož střed je v počátku. Ostatní vrcholy určíme na základě symetrie:

• \( A = [2; 2] \)
• \( B = [-2; 2] \)
• \( C = [-2; -2] \)
• \( D = [2; -2] \)

Obraz každého bodu ve stejnolehlosti se středem \( O = [0; 0] \) a koeficientem \( k = 1.5 \):

• \( A‘ = [1.5 \cdot 2; 1.5 \cdot 2] = [3; 3] \)
• \( B‘ = [1.5 \cdot (-2); 1.5 \cdot 2] = [-3; 3] \)
• \( C‘ = [1.5 \cdot (-2); 1.5 \cdot (-2)] = [-3; -3] \)
• \( D‘ = [1.5 \cdot 2; 1.5 \cdot (-2)] = [3; -3] \)

Obrazový čtverec má vrcholy: \( A‘ = [3; 3] \), \( B‘ = [-3; 3] \), \( C‘ = [-3; -3] \), \( D‘ = [3; -3] \). Je to čtverec se středem v počátku a dvojnásobnou délkou stran než původní čtverec.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme vektor od středu stejnolehlosti \( S = [2; 2] \) ke každému bodu:

• \( \vec{SP} = P – S = [1 – 2; 2 – 2] = [-1; 0] \)
• \( \vec{SQ} = Q – S = [3 – 2; 2 – 2] = [1; 0] \)
• \( \vec{SR} = R – S = [2 – 2; 5 – 2] = [0; 3] \)

Obrazový bod vznikne tak, že tento vektor vynásobíme koeficientem \( k = 0.5 \) a přičteme ke středu:

• \( P‘ = S + 0.5 \cdot \vec{SP} = [2; 2] + 0.5 \cdot [-1; 0] = [2 – 0.5; 2] = [1.5; 2] \)
• \( Q‘ = S + 0.5 \cdot \vec{SQ} = [2; 2] + 0.5 \cdot [1; 0] = [2 + 0.5; 2] = [2.5; 2] \)
• \( R‘ = S + 0.5 \cdot \vec{SR} = [2; 2] + 0.5 \cdot [0; 3] = [2; 2 + 1.5] = [2; 3.5] \)

Obrazový trojúhelník \( P’Q’R‘ \) má vrcholy: \( P‘ = [1.5; 2] \), \( Q‘ = [2.5; 2] \), \( R‘ = [2; 3.5] \).

Tento trojúhelník je zmenšený (poloviční) a zachovává podobnost i směr.

Řešení příkladu:

Budeme počítat vektor od středu \( S \) k bodu a ten vynásobíme koeficientem \( k \). Poté přičteme ke středu:

• \( \vec{SA} = A – S = [-2 – 1; 4 – 1] = [-3; 3] \)
• \( A‘ = S + 2 \cdot \vec{SA} = [1; 1] + 2 \cdot [-3; 3] = [1 – 6; 1 + 6] = [-5; 7] \)
• \( \vec{SB} = B – S = [4 – 1; -2 – 1] = [3; -3] \)
• \( B‘ = S + 2 \cdot \vec{SB} = [1; 1] + 2 \cdot [3; -3] = [1 + 6; 1 – 6] = [7; -5] \)

Obrazy bodů jsou: \( A‘ = [-5; 7] \), \( B‘ = [7; -5] \). Úsečka \( A’B‘ \) je dvojnásobná oproti \( AB \) a má stejný směr.

Řešení příkladu:

• \( \vec{SX} = [0 – 3; 0 – 0] = [-3; 0] \Rightarrow X‘ = [3; 0] + (-0.5) \cdot [-3; 0] = [3 + 1.5; 0] = [4.5; 0] \)
• \( \vec{SY} = [6 – 3; 0 – 0] = [3; 0] \Rightarrow Y‘ = [3; 0] + (-0.5) \cdot [3; 0] = [3 – 1.5; 0] = [1.5; 0] \)
• \( \vec{SZ} = [3 – 3; 6 – 0] = [0; 6] \Rightarrow Z‘ = [3; 0] + (-0.5) \cdot [0; 6] = [3; 0 – 3] = [3; -3] \)

Obraz trojúhelníku je \( X‘ = [4.5; 0] \), \( Y‘ = [1.5; 0] \), \( Z‘ = [3; -3] \). Je zmenšený a převrácený podle středu \( S \).

Řešení příkladu:

Obraz bodu vzniká jako \( M = S + k \cdot \vec{SN} \Rightarrow \vec{SN} = \frac{M – S}{k} \)

• \( M – S = [5 – 2; -3 – 1] = [3; -4] \)
• \( \vec{SN} = \frac{1}{2} \cdot [3; -4] = [1.5; -2] \)
• \( N = S + \vec{SN} = [2; 1] + [1.5; -2] = [3.5; -1] \)

Souřadnice bodu \( N \) jsou \( [3.5; -1] \).

Řešení příkladu:

• Střed obrazu: \( O‘ = [k \cdot 2; k \cdot (-1)] = [-4; 2] \)
• Poloměr obrazu: \( r‘ = |k| \cdot r = 2 \cdot 3 = 6 \)

Obraz kružnice má střed \( O‘ = [-4; 2] \) a poloměr \( r‘ = 6 \).

Řešení příkladu:

Obraz vzniká jako \( A‘ = S + k \cdot \vec{SA} \Rightarrow \vec{SA} = \frac{A‘ – S}{k} \)

• \( A‘ – S = [0 – 1; 0 – 1] = [-1; -1] \)
• \( \vec{SA} = \frac{1}{-1} \cdot [-1; -1] = [1; 1] \)
• \( A = S + \vec{SA} = [1; 1] + [1; 1] = [2; 2] \)

Souřadnice původního bodu \( A \) jsou \( [2; 2] \).

Řešení příkladu:

• Víme, že \( A = S + k \cdot \vec{SB} \Rightarrow \vec{SB} = \frac{A – S}{k} \)
• \( A – S = [6 – 3; 2 – 1] = [3; 1] \)
• \( \vec{SB} = \frac{1}{2} \cdot [3; 1] = [1.5; 0.5] \)
• \( B = S + \vec{SB} = [3; 1] + [1.5; 0.5] = [4.5; 1.5] \)

Souřadnice bodu \( B \) jsou \( [4.5; 1.5] \).

Řešení příkladu:

• \( \vec{SA} = [0 – 1; 0 – 1] = [-1; -1] \Rightarrow A‘ = [1; 1] + (-1) \cdot [-1; -1] = [2; 2] \)
• \( \vec{SB} = [2 – 1; 0 – 1] = [1; -1] \Rightarrow B‘ = [1; 1] + (-1) \cdot [1; -1] = [0; 2] \)
• \( \vec{SC} = [1 – 1; 2 – 1] = [0; 1] \Rightarrow C‘ = [1; 1] + (-1) \cdot [0; 1] = [1; 0] \)

Obraz trojúhelníku má vrcholy \( A‘ = [2; 2] \), \( B‘ = [0; 2] \), \( C‘ = [1; 0] \).

Řešení příkladu:

Střed \( S = [0; 0] \), tedy obraz \( P‘ = k \cdot P = 1.5 \cdot [-4; 5] = [-6; 7.5] \).

Obraz bodu \( P \) je \( P‘ = [-6; 7.5] \).

• \( \vec{SC} = [2 – 1; -1 – 1] = [1; -2] \Rightarrow C‘ = [1; 1] + (-2) \cdot [1; -2] = [-1; 5] \)
• \( \vec{SD} = [4 – 1; 3 – 1] = [3; 2] \Rightarrow D‘ = [1; 1] + (-2) \cdot [3; 2] = [-5; -3] \)

Obrazy bodů jsou: \( C‘ = [-1; 5] \), \( D‘ = [-5; -3] \).

• \( \vec{SO} = [1 + 1; -2 – 2] = [2; -4] \)
• \( O‘ = S + k \cdot \vec{SO} = [-1; 2] + (-0.25) \cdot [2; -4] = [-1 – 0.5; 2 + 1] = [-1.5; 3] \)
• \( r‘ = |k| \cdot r = 0.25 \cdot 4 = 1 \)

Obrazem je kružnice se středem \( [-1.5; 3] \) a poloměrem \( 1 \).

Řešení příkladu:

Spočítáme souřadnice středu obrazu kružnice:

\( S‘ = O + k \cdot OS = [0; 0] + (-2) \cdot [4; -2] = [-8; 4] \)

Poloměr obrazové kružnice bude \( r‘ = |k| \cdot r = 2 \cdot 3 = 6 \)

Odpověď: Obrazem kružnice je kružnice \( k‘ \) se středem [-8; 4] a poloměrem 6.

Řešení příkladu:

Najdeme dva body na přímce \( p \), např.:

• pro \( x = 1 \): \( 1 – 2y + 3 = 0 \) ⇒ \( y = 2 \) ⇒ bod \( A[1; 2] \)
• pro \( x = 3 \): \( 3 – 2y + 3 = 0 \) ⇒ \( y = 3 \) ⇒ bod \( B[3; 3] \)

Spočítáme jejich obrazy ve stejnolehlosti se středem \( S[1; 1] \):

Obrazová přímka prochází body \( A'[1;1{,}5] \) a \( B'[2;2] \).

Sklon přímky:

Rovnice přímky:

Odpověď: Obrazem přímky je přímka \( y = 0{,}5x + 1 \).

Řešení příkladu:

Výpočty obrazů vrcholů:

Odpověď: Obrazem trojúhelníka je trojúhelník s vrcholy \( K'[1; -0{,}5] \), \( L'[0; -1{,}5] \), \( M'[-1; 0{,}5] \).

Řešení příkladu:

Čtverec se středem \( A \) a jedním vrcholem \( B \) má délku strany \( 2 \). Ostatní vrcholy jsou \( C[0; 2] \), \( D[-2; 0] \), \( E[0; -2] \). Po aplikaci koeficientu \( k \) dostaneme obrazy:

Odpověď: Obrazem čtverce je čtverec se středem v počátku a vrcholy \( [3; 0] \), \( [0; 3] \), \( [-3; 0] \), \( [0; -3] \).

Řešení příkladu:

Nechť přímka prochází středem \( S \) stejnolehlosti a bodem \( A \). Obraz bodu \( A \) je:

Vektor \( \overrightarrow{SA} \) leží ve směru přímky, a proto bod \( A‘ \) vznikne posunutím v tomto směru. Tedy obraz bodu ležícího na přímce procházející středem stejnolehlosti zůstává na této přímce.

Odpověď: Obraz bodu ležícího na přímce procházející středem stejnolehlosti zůstává na této přímce.