Analytická vyjádření kuželoseček

Nejprve upravíme rovnici do tvaru středu a poloměru kružnice pomocí doplnění na čtverec.

Skupiny: \( x^2 – 6x \), \( y^2 + 8y \)

Doplníme na čtverec:

\( x^2 – 6x = (x – 3)^2 – 9 \), \( y^2 + 8y = (y + 4)^2 – 16 \)

Dosadíme do rovnice:

\( (x – 3)^2 – 9 + (y + 4)^2 – 16 + 9 = 0 \Rightarrow (x – 3)^2 + (y + 4)^2 – 16 = 0 \)

\( (x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 \Rightarrow r = \sqrt{16} = 4 \)

Střed kružnice je \( S = [3, -4] \), poloměr je \( r = 4 \).

Rovnice je již ve standardním tvaru elipsy:

\( \frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \), kde \( a > b \)

Z rovnice vyplývá: \( h = 2, k = -1 \Rightarrow \text{střed elipsy je } S = [2, -1] \)

Délky hlavních poloos jsou:

Velká poloosa: \( a = \sqrt{9} = 3 \)

Malá poloosa: \( b = \sqrt{4} = 2 \)

Nejprve upravíme rovnici na vrcholový tvar \( y = a(x – h)^2 + k \).

Použijeme doplnění na čtverec:

\( y = -2x^2 + 4x + 1 = -2(x^2 – 2x) + 1 = -2[(x – 1)^2 – 1] + 1 \)

\( = -2(x – 1)^2 + 2 + 1 = -2(x – 1)^2 + 3 \)

Vrchol je \( V = [1, 3] \)

Parametrická rovnice paraboly je: \( y = -2(x – 1)^2 + 3 \)

Ohnisko: parabola má tvar \( y = a(x – h)^2 + k \), ohnisko má souřadnice \( F = \left[h, k + \frac{1}{4a}\right] \)

V našem případě \( a = -2 \Rightarrow F = \left[1, 3 + \frac{1}{-8}\right] = \left[1, \frac{23}{8}\right] \)

Hyperbola má tvar \( \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \), kde asymptoty jsou:

\( y = \pm \frac{b}{a}x \)

V našem případě: \( a^2 = 16 \Rightarrow a = 4 \), \( b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \)

Asymptoty jsou: \( y = \pm \frac{3}{4}x \)

Obecná rovnice paraboly s osou rovnoběžnou s osou y je \( y = a(x – h)^2 + k \), kde \( [h, k] \) je vrchol.

Dosadíme vrchol: \( y = a(x – 2)^2 – 1 \)

Dosadíme bod \( P = [4, 3] \) pro určení parametru \( a \):

\( 3 = a(4 – 2)^2 – 1 \Rightarrow 3 = 4a – 1 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1 \)

Rovnice paraboly je: \( y = (x – 2)^2 – 1 \)

Obecná rovnice kružnice se středem \( [h, k] \) je \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \).

Dosadíme \( h = -2, k = 5 \):

\( (x + 2)^2 + (y – 5)^2 = r^2 \)

Dosadíme bod \( A = [1, 1] \) pro určení \( r \):

\( (1 + 2)^2 + (1 – 5)^2 = r^2 \Rightarrow 9 + 16 = r^2 \Rightarrow r^2 = 25 \)

Výsledná rovnice kružnice: \( (x + 2)^2 + (y – 5)^2 = 25 \)

Střed elipsy je \( [1, -2] \), protože rovnice je ve tvaru:

\( \frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \), kde \( a > b \)

\( a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 \), \( b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \)

Ohniska leží na hlavní (vodorovné) ose elipsy, takže jejich souřadnice budou:

Vzdálenost ohnisek od středu je \( c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \)

Souřadnice ohnisek: \( [1 – 4, -2] = [-3, -2] \) a \( [1 + 4, -2] = [5, -2] \)

Osa paraboly je rovnoběžná s osou y a parabola je otevřená vzhůru.

Vzdálenost ohniska od vrcholu je \( p = 2 \), takže rovnici zapisujeme ve tvaru:

\( x^2 = 4py \Rightarrow x^2 = 8y \)

Výsledná rovnice paraboly: \( x^2 = 8y \)

Rovnice je ve tvaru: \( \frac{(y – k)^2}{a^2} – \frac{(x – h)^2}{b^2} = 1 \)

Střed: \( [3, -1] \)

Délka hlavních poloos: \( a = \sqrt{16} = 4 \), \( b = \sqrt{9} = 3 \)

Asymptoty pro tento tvar hyperboly jsou:

\( y + 1 = \pm \frac{4}{3}(x – 3) \)

Asymptoty: \( y = \frac{4}{3}(x – 3) – 1 \) a \( y = -\frac{4}{3}(x – 3) – 1 \)

Hlavní osa je ve směru y, takže rovnice má tvar:

\( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \), kde \( a = 6 \), \( b = 4 \)

Dosadíme do rovnice: \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1 \)

Seskupíme členy podle proměnných:

\( (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 3 \)

Doplníme na čtverec:

\( x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2 \), \( y^2 + 4y + 4 = (y + 2)^2 \)

Přičteme 9 a 4 na pravou stranu rovnice: \( 3 + 9 + 4 = 16 \)

Standardní tvar: \( (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \)

Střed kružnice: \( [3, -2] \), poloměr: \( r = \sqrt{16} = 4 \)

Seskupíme členy a vytkneme koeficienty u kvadratických členů:

\( 9(x^2 – 4x) + 4(y^2 + 4y) = -4 \)

Doplníme na čtverec:

\( x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2 \), \( y^2 + 4y + 4 = (y + 2)^2 \)

Přičteme: \( 9 \cdot 4 = 36 \), \( 4 \cdot 4 = 16 \), celkem 52

Rovnice: \( 9(x – 2)^2 + 4(y + 2)^2 = 48 \)

Vydělíme 48:

\( \frac{(x – 2)^2}{\frac{16}{3}} + \frac{(y + 2)^2}{12} = 1 \)

Střed: \( [2, -2] \), poloosy: \( a = \sqrt{12} \approx 3.46 \), \( b = \sqrt{16/3} \approx 2.31 \)

Seskupíme členy:

\( (x^2 – 4x) – (y^2 + 6y) = 6 \)

Doplníme na čtverec:

\( x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2 \), \( y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2 \)

Přičteme 4 a 9 na pravou stranu: \( 6 + 4 + 9 = 19 \)

Rovnice: \( (x – 2)^2 – (y + 3)^2 = 19 \)

Standardní tvar: \( \frac{(x – 2)^2}{19} – \frac{(y + 3)^2}{19} = 1 \)

Střed: \( [2, -3] \), asymptoty: \( y + 3 = \pm(x – 2) \Rightarrow y = \pm(x – 2) – 3 \)

Parabola je ve tvaru: \( (x – h)^2 = 4p(y – k) \), kde vrchol je \( [h, k] = [1, 2] \)

Rovnice: \( (x – 1)^2 = 4p(y – 2) \)

Dosadíme bod \( [3, 10] \):

\( (3 – 1)^2 = 4p(10 – 2) \Rightarrow 4 = 4p \cdot 8 \Rightarrow 4 = 32p \Rightarrow p = \frac{1}{8} \)

Výsledná rovnice: \( (x – 1)^2 = \frac{1}{2}(y – 2) \)

Střed kružnice je střed úsečky AB:

\( S = \left[ \frac{2 + 6}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right] = [4, 1] \)

Poloměr je polovina délky úsečky AB:

\( r = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(6 – 2)^2 + (3 + 1)^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{16 + 16} = \frac{\sqrt{32}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \)

Rovnice: \( (x – 4)^2 + (y – 1)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 \)

Seskupíme a upravíme členy:

\( 16(x^2 + 2x) + (y^2 – 6y) = -65 \)

Doplníme na čtverec:

\( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \), \( y^2 – 6y + 9 = (y – 3)^2 \)

Přičtené členy: \( 16 \cdot 1 = 16 \), \( 9 \) → přičteme 25

Rovnice: \( 16(x + 1)^2 + (y – 3)^2 = -65 + 25 = -40 \)

Rovnice nemá řešení v reálných číslech – nejedná se o reálnou elipsu.

Dosadíme bod \( [3, 4] \) do rovnice: \( \frac{3^2}{a^2} – \frac{4^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^2} – \frac{16}{b^2} = 1 \)

Vybereme např. \( a = 3 \Rightarrow a^2 = 9 \)

Dosadíme: \( 1 – \frac{16}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{16}{b^2} = 0 \), což není možné

Zkusíme \( a^2 = 36 \Rightarrow \frac{9}{36} – \frac{16}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} – \frac{16}{b^2} = 1 \Rightarrow -\frac{3}{4} = \frac{16}{b^2} \), také nevyhovuje

Zvolíme \( a^2 = 25 \Rightarrow \frac{9}{25} – \frac{16}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{16}{b^2} = \frac{9}{25} – 1 = -\frac{16}{25} \), záporné → nevyhovuje

Správná volba: \( a^2 = 4 \Rightarrow \frac{9}{4} – \frac{16}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{16}{b^2} = \frac{9}{4} – 1 = \frac{5}{4} \Rightarrow b^2 = \frac{64}{5} \)

Rovnice hyperboly: \( \frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{\frac{64}{5}} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{4} – \frac{5y^2}{64} = 1 \)

Upravíme rovnici: \( y^2 – 4y = 8x – 20 \)

Doplníme na čtverec: \( y^2 – 4y + 4 = 8x – 20 + 4 = 8x – 16 \)

\( (y – 2)^2 = 8(x – 2) \) → parabola se středem \( [2, 2] \)

Rovnice má tvar \( (y – k)^2 = 4p(x – h) \Rightarrow p = 2 \)

Ohnisko: \( [2 + 2, 2] = [4, 2] \), přímka: \( x = 0 \)

Seskupíme členy a vytkneme:

\( 25(x^2 – 4x) + 9(y^2 + 8y) = -196 \)

Doplníme na čtverec:

\( x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2 \), \( y^2 + 8y + 16 = (y + 4)^2 \)

Přičtené členy: \( 25 \cdot 4 = 100 \), \( 9 \cdot 16 = 144 \) → součet = 244

\( -196 + 244 = 48 \), rovnice: \( 25(x – 2)^2 + 9(y + 4)^2 = 48 \)

Vydělíme 48: \( \frac{(x – 2)^2}{\frac{48}{25}} + \frac{(y + 4)^2}{\frac{16}{3}} = 1 \)

Asymptoty odpovídají rovnicím: \( y + 2 = \pm 2(x – 1) \Rightarrow \frac{(y + 2)^2}{4} = \frac{(x – 1)^2}{1} \)

Standardní tvar rovnice hyperboly: \( \frac{(y + 2)^2}{4} – \frac{(x – 1)^2}{1} = 1 \)

Ale asymptoty mají tvar \( y + 2 = \pm 2(x – 1) \), což odpovídá hyperbole se svislou hlavní osou:

\( \frac{(y + 2)^2}{4} – \frac{(x – 1)^2}{1} = 1 \)

Hotová rovnice: \( \frac{(y + 2)^2}{4} – (x – 1)^2 = 1 \)

Máme rovnici hyperboly ve standardním tvaru \( \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \)

Odtud vidíme: \( h = 3 \), \( k = -1 \), \( a^2 = 16 \Rightarrow a = 4 \), \( b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \)

Střed hyperboly je bod \( [3, -1] \)

Délka hlavní poloosy je \( a = 4 \), vedlejší poloosy \( b = 3 \)

Rovnice asymptot jsou dány vzorcem: \( y – k = \pm \frac{b}{a}(x – h) \)

Dosadíme: \( y + 1 = \pm \frac{3}{4}(x – 3) \)

Výsledné rovnice asymptot: \( y = \frac{3}{4}(x – 3) – 1 \) a \( y = -\frac{3}{4}(x – 3) – 1 \)

Střed: \( S = [2, -3] \), bod na kružnici: \( B = [-1, 1] \)

Poloměr vypočítáme pomocí vzdálenosti bodů:

\( r = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-3 – 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Obecná rovnice kružnice: \( (x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r^2 \)

Dosadíme: \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \)

Hlavní osa na ose y znamená, že větší poloosa je svislá. Tedy \( a = 5 \), \( b = 3 \)

Rovnice elipsy: \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \)

Dosadíme: \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1 \)

Jedná se o obecnou kvadratickou rovnici ve tvaru \( Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \)

Koeficienty: \( A = 1 \), \( B = -2 \), \( C = 1 \)

Určíme diskriminant: \( D = B^2 – 4AC = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 – 4 = 0 \)

Pokud \( D = 0 \), pak se jedná o parabolu

Výsledek: Parabola

Upravíme rovnici: \( x^2 – 4x = 8y – 12 \)

Doplníme na čtverec: \( x^2 – 4x + 4 = 8y – 12 + 4 = 8y – 8 \)

\( (x – 2)^2 = 8(y – 1) \)

Porovnáme s tvarem \( (x – h)^2 = 4p(y – k) \)

Z toho plyne: \( h = 2 \), \( k = 1 \), \( 4p = 8 \Rightarrow p = 2 \)

Vrchol: \( [2, 1] \), ohnisko: \( [2, 1 + 2] = [2, 3] \)

Přímka: \( y = 1 – 2 = -1 \)

Jedná se o elipsu se středem v počátku. Rovnice má tvar \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) s \( a^2 = 25 \), \( b^2 = 9 \)

Délka hlavní poloosy \( a = 5 \), vedlejší \( b = 3 \)

Excentricita elipsy: \( e = \sqrt{1 – \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 – \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \)

Průsečíky s osou x jsou v bodech \( [\pm 5, 0] \)

Tečna k elipse v bodě \( (x_0, y_0) \) je: \( \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1 \)

Pro bod \( [5, 0] \): \( \frac{5x}{25} = 1 \Rightarrow x = 5 \), tedy tečna je svislá: \( x = 5 \)

Pro bod \( [-5, 0] \): \( \frac{-5x}{25} = 1 \Rightarrow x = -5 \), tečna: \( x = -5 \)

Směr osy 45° znamená, že parabola je otočena a její osa má směr vektoru \( \vec{v} = (1, 1) \)

Parabola má vrchol \( V = [1, -2] \), bod \( P = [3, 0] \) na parabole

Použijeme obecnou rovnici paraboly v parametrickém tvaru podél osy se směrem \( (1, 1) \):

\( \vec{r}(t) = \vec{V} + t \vec{v} + \frac{1}{2p}t^2 \vec{n} \), kde \( \vec{n} = (-1, 1) \) je kolmý vektor

Dosadíme známý bod a dopočítáme parametr \( p \). Po úpravách a náhradě získáme rovnici ve tvaru:

\( (x – 1)^2 – 2(x – 1)(y + 2) = 4 \)

Upravíme a dostaneme rovnici paraboly ve smíšeném tvaru

Hyperbola má ohniska na ose x. Střed je v bodě \( [0, 0] \)

Ohnisková vzdálenost \( 2c = 8 \Rightarrow c = 4 \), a daný rozdíl vzdáleností je \( 2a = 6 \Rightarrow a = 3 \)

Vzorec: \( c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = c^2 – a^2 = 16 – 9 = 7 \)

Rovnice hyperboly: \( \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{7} = 1 \)

Označíme střed kružnice jako \( S = [x, x + 1] \)

Protože bod A leží na kružnici: \( (1 – x)^2 + (2 – (x + 1))^2 = r^2 \)

\( (1 – x)^2 + (1 – x)^2 = r^2 \Rightarrow 2(1 – x)^2 = r^2 \)

Stejně pro bod B: \( (4 – x)^2 + (3 – (x + 1))^2 = r^2 \Rightarrow (4 – x)^2 + (2 – x)^2 = r^2 \)

Srovnáme pravé strany:

\( 2(1 – x)^2 = (4 – x)^2 + (2 – x)^2 \)

Roznásobíme a upravíme kvadratickou rovnici, vyřešíme pro \( x \), dostaneme souřadnice středu a dosadíme do rovnice kružnice

Rovnici upravíme: \( y^2 – 4y = 8x – 12 \)

Doplníme na čtverec: \( y^2 – 4y + 4 = 8x – 12 + 4 \Rightarrow (y – 2)^2 = 8x – 8 \Rightarrow (y – 2)^2 = 8(x – 1) \)

Porovnáme s tvarem: \( (y – k)^2 = 4p(x – h) \Rightarrow h = 1, k = 2, 4p = 8 \Rightarrow p = 2 \)

Vrchol: \( [1, 2] \)

Ohnisko: \( [1 + 2, 2] = [3, 2] \)

Přímka: \( x = 1 – 2 = -1 \)

Rovnice kružnice se středem \( S = (x_0, y_0) \) a poloměrem \( r \) je \( (x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r^2 \).

Nejprve vypočítáme poloměr \( r \) jako vzdálenost středu \( S \) od bodu \( A \):

\( r = \sqrt{(5 – 2)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Rovnice kružnice je tedy:

\( (x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 25 \)

Pro rovnice tečen z bodu \( B = (8, 3) \) ke kružnici platí, že vzdálenost bodu od středu \( S \) je větší než poloměr, a tečny lze najít pomocí parametrické rovnice tečny.

Vzdálenost \( d \) bodu \( B \) od středu \( S \):

\( d = \sqrt{(8 – 2)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \)

Protože \( d > r \), tečny existují.

Parametrická rovnice tečny z bodu \( B \) má tvar \( (x, y) = (8, 3) + t(\alpha, \beta) \), kde vektor \( (\alpha, \beta) \) je směrový vektor tečny.

Tečna je kolmá na radiální vektor \( \vec{SB} = (8 – 2, 3 + 1) = (6, 4) \), takže \( (\alpha, \beta) \cdot (6, 4) = 0 \Rightarrow 6\alpha + 4\beta = 0 \Rightarrow 3\alpha + 2\beta = 0 \Rightarrow \beta = -\frac{3}{2}\alpha \).

Dosadíme do rovnice kružnice, abychom našli parametry:

\( ((8 + t\alpha) – 2)^2 + ((3 + t\beta) + 1)^2 = 25 \)

\( (6 + t\alpha)^2 + (4 + t\beta)^2 = 25 \)

Dosadíme \( \beta = -\frac{3}{2} \alpha \):

\( (6 + t\alpha)^2 + \left(4 – \frac{3}{2} t \alpha \right)^2 = 25 \)

Po rozvinutí a úpravě získáme kvadratickou rovnici v \( t \), která musí mít jedno řešení (dvojitou kořen), aby šlo o tečnu.

Vyřešením této podmínky zjistíme dva směrové vektory tečen a následně rovnice tečen.

Vzdálenost bodu \( P \) od středu kružnice \( S = (3, -2) \) je:

\( d = \sqrt{(7 – 3)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4.47 \)

Poloměr kružnice je \( r = 4 \).

Protože \( d > r \), existují dvě tečny z bodu \( P \) ke kružnici.

Obecná rovnice přímky procházející bodem \( P \):

\( y – 0 = k(x – 7) \Rightarrow y = kx – 7k \)

Vzdálenost této přímky od středu \( S \) musí být rovna poloměru \( r = 4 \):

Vzdálenost přímky \( y = kx + q \) od bodu \( (x_0, y_0) \) je:

\( \frac{|kx_0 – y_0 + q|}{\sqrt{k^2 + 1}} \)

Dosadíme \( q = -7k \), \( x_0 = 3 \), \( y_0 = -2 \):

\( \frac{|3k – (-2) – 7k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|-4k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 4 \)

Řešíme rovnici:

\( |-4k + 2| = 4\sqrt{k^2 + 1} \)

Po úpravách a odmocnění získáme kvadratickou rovnici pro \( k \), kterou vyřešíme a najdeme dvě hodnoty \( k \).

Pro každé \( k \) pak získáme rovnici přímky tečny.

Upravíme rovnici do základního tvaru:

\( \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \)

Parametry hyperboly:

\( a^2 = 16 \Rightarrow a = 4, \quad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \)

Ohnisková vzdálenost \( c \) platí:

\( c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5 \)

Ohniska jsou v bodech \( ( \pm c, 0 ) = ( \pm 5, 0 ) \)

Vrcholy jsou v bodech \( ( \pm a, 0 ) = ( \pm 4, 0 ) \)

Rovnice asymptot hyperboly jsou:

\( y = \pm \frac{b}{a} x = \pm \frac{3}{4} x \)

Protože je hlavní poloosa na ose y, elipsa má rovnici:

\( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \), kde \( a = 6 \)

Dosadíme bod \( (2, 3) \):

\( \frac{2^2}{b^2} + \frac{3^2}{36} = 1 \Rightarrow \frac{4}{b^2} + \frac{9}{36} = 1 \Rightarrow \frac{4}{b^2} + \frac{1}{4} = 1 \)

\( \frac{4}{b^2} = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow b^2 = \frac{4 \cdot 4}{3} = \frac{16}{3} \)

Rovnice elipsy je:

\( \frac{x^2}{\frac{16}{3}} + \frac{y^2}{36} = 1 \)

Nejčastěji upravíme na:

\( \frac{3x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1 \)

Nejprve najdeme derivaci paraboly:

\( y‘ = 2x – 4 \)

Směrnice přímky tečny je \( y‘ \). Hledáme \( x \), kde \( y‘ = 3 \):

\( 2x – 4 = 3 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5 \)

Vypočítáme hodnotu \( y \) v tomto bodě:

\( y = (3.5)^2 – 4 \cdot 3.5 + 3 = 12.25 – 14 + 3 = 1.25 \)

Tečna má rovnici:

\( y = 3(x – 3.5) + 1.25 = 3x – 10.5 + 1.25 = 3x – 9.25 \)

Normála je kolmá na tečnu, tedy její směrnice \( k_n = -\frac{1}{3} \).

Rovnice normály prochází bodem \( (3.5, 1.25) \):

\( y – 1.25 = -\frac{1}{3} (x – 3.5) \Rightarrow y = -\frac{1}{3} x + \frac{3.5}{3} + 1.25 = -\frac{1}{3} x + \frac{3.5}{3} + \frac{5}{4} \)

Po úpravě získáme explicitní rovnici normály.

Průsečíky s osou \(x\) najdeme tak, že dosadíme \(y=0\) do rovnice elipsy:

\( \frac{x^2}{25} + 0 = 1 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5 \)

Průsečíky s osou \(y\) najdeme tak, že dosadíme \(x=0\):

\( 0 + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3 \)

Hlavní poloosy jsou délky \( a = 5 \) (na ose \(x\)) a \( b = 3 \) (na ose \(y\)).

Rovnice hyperboly je ve tvaru \( \frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1 \), kde:

\( a^2 = 16 \Rightarrow a = 4 \), \( b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \).

Ohnisková vzdálenost \( c \) platí \( c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5 \).

Ohniska jsou v bodech \( (0, \pm c) = (0, \pm 5) \).

Rovnice asymptot jsou:

\( y = \pm \frac{a}{b} x = \pm \frac{4}{3} x \).

Derivace paraboly je:

\( y‘ = 2x + 2 \)

Rovnice tečny v bodě \( (x_0, y_0) \) je:

\( y = y'(x_0)(x – x_0) + y_0 \)

Dosadíme bod \( (2, 5) \), který leží na tečně, ne nutně na parabole, a hledáme \( x_0 \), aby platilo, že tečna prochází tímto bodem.

Nejprve vypočítáme \( y_0 = x_0^2 + 2x_0 – 3 \).

Rovnice tečny je:

\( y = (2x_0 + 2)(x – x_0) + x_0^2 + 2x_0 – 3 \)

Dosadíme \( x = 2, y = 5 \):

\( 5 = (2x_0 + 2)(2 – x_0) + x_0^2 + 2x_0 – 3 \)

Po úpravě získáme kvadratickou rovnici v \( x_0 \), kterou vyřešíme:

\( 5 = (2x_0 + 2)(2 – x_0) + x_0^2 + 2x_0 – 3 \)

\( 5 = (2x_0 + 2)(2 – x_0) + x_0^2 + 2x_0 – 3 \)

Roznásobíme:

\( 5 = (2x_0 \cdot 2 – 2x_0^2 + 2 \cdot 2 – 2x_0) + x_0^2 + 2x_0 – 3 \)

\( 5 = (4x_0 – 2x_0^2 + 4 – 2x_0) + x_0^2 + 2x_0 – 3 \)

\( 5 = (2x_0 – 2x_0^2 + 4) + x_0^2 + 2x_0 – 3 \)

\( 5 = 2x_0 – 2x_0^2 + 4 + x_0^2 + 2x_0 – 3 \)

\( 5 = 4x_0 – x_0^2 + 1 \)

Úprava:

\( -x_0^2 + 4x_0 + 1 = 5 \Rightarrow -x_0^2 + 4x_0 + 1 – 5 = 0 \Rightarrow -x_0^2 + 4x_0 – 4 = 0 \)

Vynásobíme rovnici -1:

\( x_0^2 – 4x_0 + 4 = 0 \)

To je kvadratická rovnice s diskriminantem:

\( \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0 \)

Jedno řešení:

\( x_0 = \frac{4}{2} = 2 \)

Tečna tedy bude v bodě \( x_0 = 2 \) na parabole.

Vypočítáme \( y_0 = 2^2 + 2 \cdot 2 – 3 = 4 + 4 – 3 = 5 \) – potvrzení, že bod \( (2,5) \) leží na parabole.

Směrnice tečny je:

\( y‘ = 2 \cdot 2 + 2 = 6 \)

Rovnice tečny:

\( y = 6(x – 2) + 5 = 6x – 12 + 5 = 6x – 7 \)

Derivace paraboly:

\( y‘ = 6x – 6 \)

Směrnice tečny je nulová, tedy:

\( 6x – 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

Vypočítáme \( y \) v tomto bodě:

\( y = 3 \cdot 1^2 – 6 \cdot 1 + 1 = 3 – 6 + 1 = -2 \)

Tečna má směrnici 0, takže je horizontální: \( y = -2 \).

Normála je kolmá na tečnu, tedy má směrnici nekonečno a je vertikální přímkou \( x = 1 \).

Stred kružnice je \( S = (1, -1) \) a polomer kružnice je \( r = 3 \).

Vzdialenosť bodu \( P = (4, 2) \) od stredu \( S \) je:

\( d = \sqrt{(4 – 1)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 \)

Keďže \( d > r \), existujú dve tečny z bodu \( P \).

Rovnica priamky, ktorá prechádza bodom \( P \), má tvar \( y = kx + q \) a platí:

\( 2 = 4k + q \Rightarrow q = 2 – 4k \)

Podmienka tečnosti je, že vzdialenosť stredu kružnice od priamky je rovná polomeru:

Pre priamku v tvare \( kx – y + q = 0 \) je vzdialenosť stredu \( S=(1,-1) \):

\( d = \frac{|k \cdot 1 – 1 \cdot (-1) + q|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|k + 1 + q|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 3 \)

Dosadíme \( q = 2 – 4k \):

\( \frac{|k + 1 + 2 – 4k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|3 – 3k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 3 \)

Upravíme:

\( \frac{3|1 – k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 3 \Rightarrow \frac{|1 – k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1 \)

Potom platí:

\( |1 – k| = \sqrt{k^2 + 1} \)

Načtvercujeme obe strany:

\( (1 – k)^2 = k^2 + 1 \Rightarrow 1 – 2k + k^2 = k^2 + 1 \Rightarrow -2k = 0 \Rightarrow k = 0 \)

Aby sme našli druhú tečnu, použijeme geometrický prístup:

Uhol medzi spojnicou stredu a bodu \( P \) a tečnou je daný vzťahom:

\( \sin \theta = \frac{r}{d} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = 45^\circ \)

Smernica spojnice \( S P \) je:

\( m_{SP} = \frac{2 – (-1)}{4 – 1} = 1 \)

Smernice tečien sú potom:

\( m = \tan(\arctan 1 \pm 45^\circ) \)

\( m_1 = \tan 90^\circ = \infty \Rightarrow \text{priamka } x = 4 \)

\( m_2 = \tan 0^\circ = 0 \Rightarrow \text{priamka } y = 2 \)

Rovnice tečien sú teda:

\( x = 4 \) a \( y = 2 \)

Stred kružnice je \( S = (-2, 3) \), polomer \( r = 4 \).

Vektor \( \overrightarrow{ST} = (2 – (-2), 7 – 3) = (4, 4) \).

Dotyčnica je kolmá na polomer v bode \( T \), takže jej smernica je záporný recipročný smernici vektoru \( \overrightarrow{ST} \).

Smernica vektoru \( \overrightarrow{ST} \) je:

\( m_{ST} = \frac{7 – 3}{2 – (-2)} = \frac{4}{4} = 1 \)

Smernica dotyčnice je teda:

\( m = -\frac{1}{m_{ST}} = -1 \)

Rovnica priamky s touto smernicou prechádzajúcej bodom \( T \):

\( y – 7 = -1 (x – 2) \Rightarrow y = -x + 9 \)

Stred kružnice je \( S = (1, -2) \), polomer \( r = \sqrt{5} \).

Vzdialenosť stredu kružnice od priamky je:

Pre priamku \( y = 2x -1 \) prepíšeme do tvaru:

\( 2x – y – 1 = 0 \)

Vzdialenosť je:

\( d = \frac{|2 \cdot 1 – 1 \cdot (-2) – 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 2 – 1|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \)

Porovnáme s polomerom:

\( d = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1{,}34 \) a \( r = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \)

Keďže \( d < r \), priamka pretína kružnicu a teda nie je tečnou.

Stred kružnice je v bode \( S = (0, 0) \), polomer \( r = 5 \).

Vzdialenosť bodu \( P = (10, 0) \) od stredu je:

\( d = \sqrt{(10 – 0)^2 + (0 – 0)^2} = 10 \)

Keďže \( d > r \), existujú dve tečnice.

Rovnica dotyčnice má tvar \( y = kx + q \), pričom prechádza bodom \( (10,0) \):

\( 0 = 10k + q \Rightarrow q = -10k \)

Podmienka tečnosti je, že vzdialenosť stredu \( S \) od priamky je rovná polomeru:

Vzdialenosť priamky \( kx – y + q = 0 \) od \( S=(0,0) \) je:

\( \frac{|k \cdot 0 – 1 \cdot 0 + q|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|q|}{\sqrt{k^2 + 1}} = r = 5 \)

Dosadíme \( q = -10k \):

\( \frac{|-10k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 5 \Rightarrow \frac{10|k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 5 \Rightarrow \frac{2|k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1 \)

Načtvercujeme:

\( 4k^2 = k^2 + 1 \Rightarrow 3k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Rovnice dotyčnice sú teda:

\( y = \frac{1}{\sqrt{3}}x – \frac{10}{\sqrt{3}} \) a \( y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{10}{\sqrt{3}} \)

Štandardná parabola je \( y = x^2 \) s vrcholom v \( (0, 0) \).

Posunutie o 3 doprava znamená, že meníme \( x \) na \( x – 3 \):

\( y = (x – 3)^2 \)

Pre posunutie vrcholu z \( (0, 0) \) na \( (1, 2) \) musíme celý graf posunúť o \( (1, 2) – (3, 0) = (-2, 2) \) (pretože vrchol paraboly \( y = (x-3)^2 \) je v \( (3, 0) \)).

Posunutie o \( (-2, 2) \) znamená nahradiť \( x \) nahradiť \( x + 2 \) a \( y \) nahradiť \( y – 2 \):

\( y – 2 = (x + 2 – 3)^2 = (x – 1)^2 \)

Rovnica paraboly je teda:

\( y = (x – 1)^2 + 2 \)

Stred elipsy je v bode \( (0, 0) \).

Veľká poloos \( a = 6 \) na osi \( x \), malá poloos \( b = 4 \) na osi \( y \).

Rovnica elipsy v štandardnom tvare je:

\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

Dosadíme hodnoty:

\( \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \)

Stred kružnice je \( S = (3, -4) \), polomer \( r = 5 \).

Vektor \( \overrightarrow{ST} = (7 – 3, 0 – (-4)) = (4, 4) \).

Smernica polomeru je:

\( m_{ST} = \frac{0 – (-4)}{7 – 3} = \frac{4}{4} = 1 \)

Dotyčnica je kolmá na polomer, jej smernica je teda:

\( m = -\frac{1}{m_{ST}} = -1 \)

Rovnica dotyčnice prechádzajúcej bodom \( T \):

\( y – 0 = -1 (x – 7) \Rightarrow y = -x + 7 \)

Stred kružnice je \( S = (0, 0) \), polomer \( r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).

Vzdialenosť bodu \( P = (5, 5) \) od stredu \( S \) je:

\( d = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} = r \)

Keďže \( d = r \), existuje práve jedna dotyčnica, ktorá je kolmá na polomer \( \overrightarrow{SP} \).

Smernica polomeru \( \overrightarrow{SP} \):

\( m_{SP} = \frac{5 – 0}{5 – 0} = 1 \)

Rovnica dotyčnice je teda kolmá k smernici \( 1 \), teda s \( m = -1 \), a prechádza bodom \( (5, 5) \):

\( y – 5 = -1 (x – 5) \Rightarrow y = -x + 10 \)

Dosadíme \( y = 3x – 4 \) do rovnice elipsy:

\( \frac{x^2}{9} + \frac{(3x – 4)^2}{16} = 1 \)

Vynásobíme celú rovnicu spoločným menovateľom \( 144 \) (najmenší spoločný násobok 9 a 16):

\( 16x^2 + 9(3x – 4)^2 = 144 \)

Rozvinieme druhý člen:

\( 16x^2 + 9(9x^2 – 24x + 16) = 144 \Rightarrow 16x^2 + 81x^2 – 216x + 144 = 144 \)

Zjednodušíme:

\( 97x^2 – 216x + 144 = 144 \Rightarrow 97x^2 – 216x = 0 \)

Vytkneme \( x \):

\( x (97x – 216) = 0 \Rightarrow x = 0 \) alebo \( x = \frac{216}{97} \approx 2{,}227 \)

Pre \( x = 0 \) platí:

\( y = 3 \cdot 0 – 4 = -4 \)

Pre \( x = \frac{216}{97} \) platí:

\( y = 3 \cdot \frac{216}{97} – 4 = \frac{648}{97} – 4 = \frac{648 – 388}{97} = \frac{260}{97} \approx 2{,}683 \)

Priesečníky sú teda približne \( (0, -4) \) a \( (2{,}227, 2{,}683) \).

Excentricita hyperboly \( e = \frac{c}{a} \), kde \( c \) je vzdialenosť ohnísk od stredu.

Vypočítame \( c \):

\( c = a \cdot e = 3 \cdot \frac{5}{3} = 5 \)

Pre hyperbolu platí vzťah:

\( c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = c^2 – a^2 = 25 – 9 = 16 \)

Rovnica hyperboly s veľkou polosiou na osi \( x \):

\( \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1 \)

Rovnica paraboly so stredom v počiatku a osou súmernosti pozdĺž osi \( y \) má tvar:

\( y = ax^2 \)

Dosadíme bod \( (2, 8) \):

\( 8 = a \cdot 2^2 = 4a \Rightarrow a = 2 \)

Rovnica paraboly je teda:

\( y = 2x^2 \)