Babylónská metoda

Řešení příkladu:

Babylónská metoda (také známá jako Heronova metoda) pro výpočet druhé odmocniny čísla \(S\) spočívá v iterativním výpočtu podle vzorce:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \)

Máme \(S = 10\), počáteční odhad \(x_0 = 3\).

První iterace (\(n=0\)):

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 3 + \frac{10}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( 3 + 3.333333 \right) = \frac{6.333333}{2} = 3.1666665 \)

Druhá iterace (\(n=1\)):

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 3.1666665 + \frac{10}{3.1666665} \right) \)

Vypočteme \(\frac{10}{3.1666665} \approx 3.1578947\)

\( x_2 = \frac{1}{2} (3.1666665 + 3.1578947) = \frac{6.3245612}{2} = 3.1622806 \)

Třetí iterace (\(n=2\)):

\( x_3 = \frac{1}{2} \left( 3.1622806 + \frac{10}{3.1622806} \right) \)

Vypočteme \(\frac{10}{3.1622806} \approx 3.1622777\)

\( x_3 = \frac{1}{2} (3.1622806 + 3.1622777) = \frac{6.3245583}{2} = 3.16227915 \)

Výsledný aproximovaný druhá odmocnina z \(10\) po třech iteracích je tedy přibližně

\(3.162279\)

Pro porovnání, přesná hodnota je \(\sqrt{10} \approx 3.16227766\), takže naše aproximace je velmi přesná.

Řešení příkladu:

Vzorec pro iteraci Babylónské metody:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \), kde \( S = 25 \), \( x_0 = 6 \).

Iterace 1:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 6 + \frac{25}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( 6 + 4.1666667 \right) = \frac{10.1666667}{2} = 5.0833333 \)

Iterace 2:

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 5.0833333 + \frac{25}{5.0833333} \right) \)

\( \frac{25}{5.0833333} \approx 4.919355 \)

\( x_2 = \frac{1}{2} (5.0833333 + 4.919355) = \frac{10.0026883}{2} = 5.001344 \)

Iterace 3:

\( x_3 = \frac{1}{2} \left( 5.001344 + \frac{25}{5.001344} \right) \)

\( \frac{25}{5.001344} \approx 4.998656 \)

\( x_3 = \frac{1}{2} (5.001344 + 4.998656) = \frac{10}{2} = 5 \)

Iterace 4:

\( x_4 = \frac{1}{2} \left( 5 + \frac{25}{5} \right) = \frac{1}{2} (5 + 5) = 5 \)

Metoda konverguje rychle k přesné hodnotě druhé odmocniny z \(25\), která je \(5\). To ukazuje kvadratickou konvergenci Babylónské metody, tedy že počet správných desetinných míst se přibližně zdvojnásobuje s každou iterací po dosažení dostatečné přesnosti.

Řešení příkladu:

Pro \( S = 2 \), \( x_0 = 1 \), iterujeme podle vzorce:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right) \)

Iterace 1:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2}{1} \right) = \frac{1}{2} (1 + 2) = 1.5 \)

Chyba: \( |1.5 – 1.4142136| = 0.0857864 \)

Iterace 2:

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 1.5 + \frac{2}{1.5} \right) = \frac{1}{2} (1.5 + 1.3333333) = 1.4166667 \)

Chyba: \( |1.4166667 – 1.4142136| = 0.0024531 \)

Iterace 3:

\( x_3 = \frac{1}{2} \left( 1.4166667 + \frac{2}{1.4166667} \right) \)

\( \frac{2}{1.4166667} \approx 1.4117647 \)

\( x_3 = \frac{1}{2} (1.4166667 + 1.4117647) = 1.4142157 \)

Chyba: \( |1.4142157 – 1.4142136| = 0.0000021 \)

Iterace 4:

\( x_4 = \frac{1}{2} \left( 1.4142157 + \frac{2}{1.4142157} \right) \)

\( \frac{2}{1.4142157} \approx 1.4142114 \)

\( x_4 = \frac{1}{2} (1.4142157 + 1.4142114) = 1.41421355 \)

Chyba: \( |1.41421355 – 1.4142136| = 5 \times 10^{-8} \)

Iterace 5:

\( x_5 = \frac{1}{2} \left( 1.41421355 + \frac{2}{1.41421355} \right) \)

\( \frac{2}{1.41421355} \approx 1.4142137 \)

\( x_5 = \frac{1}{2} (1.41421355 + 1.4142137) = 1.4142136 \)

Chyba je již prakticky nulová.

Babylónská metoda tedy velmi rychle konverguje k přesné hodnotě druhé odmocniny z \(2\).

Řešení příkladu:

Vzorec iterace: \( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{50}{x_n} \right) \)

Počáteční odhad \( x_0 = 7 \).

Iterace 1:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 7 + \frac{50}{7} \right) = \frac{1}{2} (7 + 7.142857) = 7.0714285 \)

Iterace 2:

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 7.0714285 + \frac{50}{7.0714285} \right) \)

\( \frac{50}{7.0714285} \approx 7.0710677 \)

\( x_2 = \frac{1}{2} (7.0714285 + 7.0710677) = 7.0712481 \)

Iterace 3:

\( x_3 = \frac{1}{2} \left( 7.0712481 + \frac{50}{7.0712481} \right) \)

\( \frac{50}{7.0712481} \approx 7.0710678 \)

\( x_3 = \frac{1}{2} (7.0712481 + 7.0710678) = 7.07115795 \)

Přesná hodnota \( \sqrt{50} \approx 7.0710678 \).

Relativní chyba je tedy:

\( \frac{|7.07115795 – 7.0710678|}{7.0710678} = \frac{0.00009015}{7.0710678} \approx 1.27 \times 10^{-5} \)

Babylónská metoda poskytuje rychle velmi přesnou aproximaci.

Řešení příkladu:

Vzorec iterace je stále stejný:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \), kde \( S=0.25 \), \( x_0 = 0.5 \).

Iterace 1:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 0.5 + \frac{0.25}{0.5} \right) = \frac{1}{2} (0.5 + 0.5) = 0.5 \)

Iterace 2:

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 0.5 + \frac{0.25}{0.5} \right) = 0.5 \)

Další iterace jsou stejné jako předchozí, metoda okamžitě konverguje.

Pro menší čísla než \(1\) je Babylónská metoda stejně efektivní, pokud počáteční odhad není příliš vzdálený skutečné hodnotě. V tomto případě je počáteční odhad přesný, proto nedochází k žádné změně.

Přesná hodnota \( \sqrt{0.25} = 0.5 \).

Řešení příkladu:

Iterační vzorec:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{1.44}{x_n} \right) \), \( x_0=1 \).

Iterace 1:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1.44}{1} \right) = \frac{1}{2} (1 + 1.44) = 1.22 \)

Iterace 2:

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 1.22 + \frac{1.44}{1.22} \right) \)

\( \frac{1.44}{1.22} \approx 1.1803279 \)

\( x_2 = \frac{1}{2} (1.22 + 1.1803279) = 1.2001639 \)

Iterace 3:

\( x_3 = \frac{1}{2} \left( 1.2001639 + \frac{1.44}{1.2001639} \right) \)

\( \frac{1.44}{1.2001639} \approx 1.1998360 \)

\( x_3 = \frac{1}{2} (1.2001639 + 1.1998360) = 1.2 \)

Přesná hodnota je \( \sqrt{1.44} = 1.2 \).

Procentuální chyba posledního odhadu:

\( \frac{|1.2 – 1.2|}{1.2} \times 100\% = 0\% \)

Metoda konvergovala na přesnou hodnotu během tří iterací.

Řešení příkladu:

\( x_0 = 1 \)

\( x_1 = \frac{1}{2}(1 + \frac{0.01}{1}) = 0.505 \)

\( x_2 = \frac{1}{2}(0.505 + \frac{0.01}{0.505}) \approx 0.2574 \)

\( x_3 \approx 0.15763 \), \( x_4 \approx 0.10190 \), \( x_5 \approx 0.10005 \), \( x_6 \approx 0.1 \)

Výsledek: \( \sqrt{0.01} = 0.1 \)

Řešení příkladu:

Odhad 1: \( x_0 = 1.5 \):

\( x_1 = \frac{1}{2}(1.5 + \frac{3}{1.5}) = 1.75 \)

\( x_2 = \frac{1}{2}(1.75 + \frac{3}{1.75}) \approx 1.73214 \)

Odhad 2: \( x_0 = 5 \):

\( x_1 = \frac{1}{2}(5 + \frac{3}{5}) = \frac{1}{2}(5 + 0.6) = 2.8 \)

\( x_2 = \frac{1}{2}(2.8 + \frac{3}{2.8}) \approx 1.94643 \)

\( x_3 \approx 1.74459 \), \( x_4 \approx 1.73214 \)

Obě cesty vedou ke \( \sqrt{3} \approx 1.73214 \)

Řešení příkladu:

\( x_0 = 4 \)

\( x_1 = \frac{1}{2}(4 + \frac{13}{4}) = 4.625 \)

\( x_2 \approx 3.73790 \), \( x_3 \approx 3.61158 \), \( x_4 \approx 3.60555 \)

\( x_5 \approx 3.6055513 \), \( x_6 \approx 3.6055513 \)

Výsledek: \( \sqrt{13} \approx 3.6055513 \)

Řešení příkladu:

Zvolme \( x_0 = 400 \)

\( x_1 = \frac{1}{2}(400 + \frac{123456}{400}) = \frac{1}{2}(400 + 308.64) = 354.32 \)

\( x_2 = \frac{1}{2}(354.32 + \frac{123456}{354.32}) \approx 351.37 \)

\( x_3 \approx 351.3642 \), \( x_4 \approx 351.36418 \)

Hotovo: \( \sqrt{123456} \approx 351.36418 \)

Řešení příkladu:

Cílem je spočítat \( \sqrt{20} \) pomocí Babylónské metody. Tato metoda je založena na rekurentním vztahu:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \), kde \( S = 20 \) je číslo, jehož odmocninu hledáme.

Jako počáteční odhad zvolíme \( x_0 = 5 \). Tento odhad je poměrně blízko skutečné hodnotě, protože \( 5^2 = 25 \), což není příliš vzdálené od \(20\).

Nyní provedeme jednotlivé iterace:

1. iterace:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 5 + \frac{20}{5} \right) = \frac{1}{2}(5 + 4) = \frac{9}{2} = 4.5 \)

2. iterace:

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 4.5 + \frac{20}{4.5} \right) = \frac{1}{2}(4.5 + 4.444444) = \frac{8.944444}{2} = 4.472222 \)

3. iterace:

\( x_3 = \frac{1}{2} \left( 4.472222 + \frac{20}{4.472222} \right) \approx \frac{1}{2}(4.472222 + 4.472094) = 4.472158 \)

4. iterace:

\( x_4 = \frac{1}{2}(4.472158 + \frac{20}{4.472158}) \approx \frac{1}{2}(4.472158 + 4.472135) = 4.472146 \)

5. iterace:

\( x_5 = \frac{1}{2}(4.472146 + \frac{20}{4.472146}) \approx \frac{1}{2}(4.472146 + 4.472136) = 4.472141 \)

Po pěti iteracích získáváme hodnotu \( \sqrt{20} \approx 4.472141 \), což odpovídá požadované přesnosti.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{0.04} \). Známý výsledek je \(0.2\), ale ověříme jej pomocí Babylónské metody.

Zvolíme počáteční odhad \( x_0 = 1 \). Tento odhad je záměrně nepřesný, abychom ukázali konvergenci metody.

Použijeme vztah \( x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{0.04}{x_n}) \).

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(1 + \frac{0.04}{1}) = \frac{1}{2}(1 + 0.04) = 0.52 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(0.52 + \frac{0.04}{0.52}) \approx \frac{1}{2}(0.52 + 0.076923) = 0.298462 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2}(0.298462 + \frac{0.04}{0.298462}) \approx \frac{1}{2}(0.298462 + 0.134054) = 0.216258 \)

4. iterace: \( x_4 = \frac{1}{2}(0.216258 + \frac{0.04}{0.216258}) \approx 0.200773 \)

5. iterace: \( x_5 \approx \frac{1}{2}(0.200773 + \frac{0.04}{0.200773}) \approx 0.200001 \)

6. iterace: \( x_6 \approx \frac{1}{2}(0.200001 + \frac{0.04}{0.200001}) = 0.2 \)

Získáváme \( \sqrt{0.04} \approx 0.2 \), jak jsme očekávali.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{115} \). Zvolme počáteční odhad \( x_0 = 11 \), protože \( 11^2 = 121 \) a to je blízko 115.

Použijeme iteraci:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{115}{x_n}) \)

1. iterace:

\( x_1 = \frac{1}{2}(11 + \frac{115}{11}) = \frac{1}{2}(11 + 10.454545) = \frac{21.454545}{2} = 10.727273 \)

2. iterace:

\( x_2 = \frac{1}{2}(10.727273 + \frac{115}{10.727273}) \approx \frac{1}{2}(10.727273 + 10.721432) = 10.724353 \)

3. iterace:

\( x_3 = \frac{1}{2}(10.724353 + \frac{115}{10.724353}) \approx \frac{1}{2}(10.724353 + 10.724346) = 10.724350 \)

4. iterace:

\( x_4 = \frac{1}{2}(10.724350 + \frac{115}{10.724350}) \approx 10.724350 \)

Po 4. iteraci máme stabilizovaný výsledek. Tedy:

\( \sqrt{115} \approx 10.724350 \)

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{0.0025} \). Víme, že výsledek by měl být \(0.05\). Použijeme Babylónskou metodu.

Zvolíme odhad \( x_0 = 1 \)

1. iterace:

\( x_1 = \frac{1}{2}(1 + \frac{0.0025}{1}) = \frac{1.0025}{2} = 0.50125 \)

2. iterace:

\( x_2 = \frac{1}{2}(0.50125 + \frac{0.0025}{0.50125}) \approx \frac{1}{2}(0.50125 + 0.00499) = 0.25312 \)

3. iterace:

\( x_3 = \frac{1}{2}(0.25312 + \frac{0.0025}{0.25312}) \approx \frac{1}{2}(0.25312 + 0.00987) = 0.13150 \)

4. iterace:

\( x_4 = \frac{1}{2}(0.13150 + \frac{0.0025}{0.13150}) \approx \frac{1}{2}(0.13150 + 0.01902) = 0.07526 \)

5. iterace:

\( x_5 = \frac{1}{2}(0.07526 + \frac{0.0025}{0.07526}) \approx \frac{1}{2}(0.07526 + 0.03323) = 0.05424 \)

6. iterace:

\( x_6 = \frac{1}{2}(0.05424 + \frac{0.0025}{0.05424}) \approx \frac{1}{2}(0.05424 + 0.04608) = 0.05016 \)

7. iterace:

\( x_7 = \frac{1}{2}(0.05016 + \frac{0.0025}{0.05016}) \approx \frac{1}{2}(0.05016 + 0.04984) = 0.05000 \)

Výsledek je \( \sqrt{0.0025} \approx 0.050000 \)

Řešení příkladu:

Počáteční odhad: \( x_0 = 1 \)

Iterační vzorec: \( x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{2}{x_n}) \)

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(1 + \frac{2}{1}) = \frac{3}{2} = 1.5 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(1.5 + \frac{2}{1.5}) = \frac{1}{2}(1.5 + 1.\overline{3}) = 1.416666 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2}(1.416666 + \frac{2}{1.416666}) \approx 1.414215 \)

4. iterace: \( x_4 = \frac{1}{2}(1.414215 + \frac{2}{1.414215}) \approx 1.4142136 \)

5. iterace: \( x_5 \approx \frac{1}{2}(1.4142136 + 1.4142136) = 1.4142136 \)

6. iterace a dál: hodnota se nemění – nastala konvergence.

Výsledek: \( \sqrt{2} \approx 1.4142136 \)

Babylónská metoda konverguje rychle i pro iracionální čísla, protože každý další krok minimalizuje kvadratickou chybu předchozího odhadu.

Řešení příkladu:

Odhad: \( x_0 = 100 \), protože \( 100^2 = 10000 \), což je blízko číslu \(9876\).

Iterační vzorec: \( x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{9876}{x_n}) \)

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(100 + \frac{9876}{100}) = \frac{1}{2}(100 + 98.76) = 99.38 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(99.38 + \frac{9876}{99.38}) \approx \frac{1}{2}(99.38 + 99.37) = 99.375 \)

3. iterace: \( x_3 \approx \frac{1}{2}(99.375 + \frac{9876}{99.375}) = \frac{1}{2}(99.375 + 99.375) = 99.375 \)

Hodnota se ustálila na \( \sqrt{9876} \approx 99.375 \)

Řešení příkladu:

Počáteční odhad: \( x_0 = 7 \), protože \( 7^2 = 49 \), což je blízko \(50\).

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(7 + \frac{50}{7}) = \frac{1}{2}(7 + 7.142857) = 7.071429 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(7.071429 + \frac{50}{7.071429}) \approx 7.071068 \)

Konvergence po 2 iteracích: \( \sqrt{50} \approx 7.071068 \)

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \approx 0.333333 \)

Zvolíme odhad \( x_0 = 1 \)

Iterace:

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(1 + \frac{1/9}{1}) = 0.555555 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(0.555555 + \frac{1/9}{0.555555}) \approx 0.385802 \)

3. \( x_3 \approx \frac{1}{2}(0.385802 + 0.433962) = 0.409882 \)

4. \( x_4 \approx \frac{1}{2}(0.409882 + 0.407035) = 0.408458 \)

5. \( x_5 \approx \frac{1}{2}(0.408458 + 0.408163) = 0.408310 \)

Konečně, \( \sqrt{1/9} \approx 0.333333 \Rightarrow \frac{1}{3} \)

Řešení příkladu:

Počáteční odhad: \( x_0 = 2.5 \)

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(2.5 + \frac{5}{2.5}) = 2.25 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(2.25 + \frac{5}{2.25}) \approx 2.236111 \)

3. \( x_3 = \frac{1}{2}(2.236111 + \frac{5}{2.236111}) \approx 2.236068 \)

4. \( x_4 \approx 2.236067 \)

5. \( x_5 \approx 2.236067 \)

Výsledek: \( \sqrt{5} \approx 2.236067 \)

Řešení příkladu:

Cílem je spočítat \( \sqrt{0.0001} \Rightarrow 0.01 \)

Odhad: \( x_0 = 1 \)

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(1 + \frac{0.0001}{1}) = 0.50005 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(0.50005 + \frac{0.0001}{0.50005}) \approx 0.25012499 \)

3. \( x_3 = \frac{1}{2}(0.25012499 + 0.0003998) = 0.125262 \)

4. \( x_4 = \frac{1}{2}(0.125262 + 0.0007982) = 0.063030 \)

5. \( x_5 = \frac{1}{2}(0.063030 + 0.001586) = 0.032308 \)

6. \( x_6 = \frac{1}{2}(0.032308 + 0.003096) = 0.017702 \)

7. \( x_7 = \frac{1}{2}(0.017702 + 0.005649) = 0.011675 \)

8. \( x_8 = \frac{1}{2}(0.011675 + 0.008565) = 0.01012 \)

9. \( x_9 \approx 0.01000 \Rightarrow \sqrt{0.0001} = 0.01 \)

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{200} \). Jelikož \( 14^2 = 196 \) a \( 15^2 = 225 \), zvolíme počáteční odhad \( x_0 = 14.1 \).

Iterační vzorec: \( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{200}{x_n} \right) \)

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(14.1 + \frac{200}{14.1}) \approx \frac{1}{2}(14.1 + 14.1844) = 14.1422 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(14.1422 + \frac{200}{14.1422}) \approx \frac{1}{2}(14.1422 + 14.1421) = 14.14215 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2}(14.14215 + \frac{200}{14.14215}) \approx 14.142136 \)

4. iterace: \( x_4 = \frac{1}{2}(14.142136 + 14.142136) = 14.142136 \)

Výsledkem je \( \sqrt{200} \approx 14.142136 \)

Zvolený odhad \(14.1\) byl blízko skutečné hodnotě, což umožnilo rychlou konvergenci.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{0.45} \). Zvolíme odhad \( x_0 = 0.5 \).

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(0.5 + \frac{0.45}{0.5}) = \frac{1}{2}(0.5 + 0.9) = 0.7 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(0.7 + \frac{0.45}{0.7}) = \frac{1}{2}(0.7 + 0.642857) = 0.671428 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2}(0.671428 + \frac{0.45}{0.671428}) \approx 0.670826 \)

4. iterace: \( x_4 \approx \frac{1}{2}(0.670826 + 0.670822) = 0.670824 \)

5. iterace: Hodnota se prakticky nemění.

Výsledek: \( \sqrt{0.45} \approx 0.670824 \)

Vidíme, že metoda konverguje i u čísel menších než \(1\), přestože odhad \(0.5\) byl relativně vzdálený.

Řešení příkladu:

\( \sqrt{789} \) se nachází mezi \( 28^2 = 784 \) a \( 29^2 = 841 \), proto zvolíme \( x_0 = 28.1 \).

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(28.1 + \frac{789}{28.1}) \approx 28.0712 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(28.0712 + \frac{789}{28.0712}) \approx 28.0713 \)

3. \( x_3 = \frac{1}{2}(28.0713 + 28.0713) = 28.0713 \)

Od 4. iterace se hodnota nemění. Dosáhli jsme stabilizace na hodnotě:

Výsledek: \( \sqrt{789} \approx 28.0713 \)

Každá iterace přibližuje výsledek kvadraticky, čímž zajišťuje velmi rychlou konvergenci.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{0.005} \approx 0.07071 \)

Zvolíme \( x_0 = 0.1 \)

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(0.1 + \frac{0.005}{0.1}) = 0.075 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(0.075 + \frac{0.005}{0.075}) \approx 0.070833 \)

3. \( x_3 = \frac{1}{2}(0.070833 + 0.07058) = 0.070706 \)

4. \( x_4 \approx 0.070710 \), 5. \( x_5 \approx 0.0707107 \)

6. \( x_6 \approx 0.0707106 \), 7. \( x_7 \approx 0.070710678 \)

Výsledek: \( \sqrt{0.005} \approx 0.070710678 \)

Iterace ukazují postupnou konvergenci k velmi přesné hodnotě i u malých desetinných čísel.

Řešení příkladu:

Odhad: \( x_0 = 32.4 \), protože \( 32.4^2 = 1049.76 \approx 1050 \)

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(32.4 + \frac{1050}{32.4}) \approx \frac{1}{2}(32.4 + 32.4074) = 32.4037 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(32.4037 + \frac{1050}{32.4037}) \approx 32.4037 \)

Další iterace nemění hodnotu – konvergence je okamžitá.

Výsledek: \( \sqrt{1050} \approx 32.4037 \)

Správná volba odhadu výrazně zkrátila počet potřebných iterací.

Řešení příkladu:

Chceme spočítat \( \sqrt{2} \). Použijeme iteraci:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right) \)

Zvolíme počáteční odhad \( x_0 = 1 \)

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2}{1} \right) = \frac{1}{2}(3) = 1.5 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2} \left( 1.5 + \frac{2}{1.5} \right) = \frac{1}{2} \left( 1.5 + 1.\overline{3} \right) \approx \frac{1}{2}(2.8333) = 1.4167 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2} \left( 1.4167 + \frac{2}{1.4167} \right) \approx \frac{1}{2}(1.4167 + 1.4118) = \frac{1}{2}(2.8285) = 1.4142 \)

4. iterace: \( x_4 = \frac{1}{2}(1.4142 + 1.4142) = 1.4142 \)

5.–7. iterace: Hodnota se stabilizuje na \( 1.4142 \)

Závěr: Babylónská metoda velmi rychle konverguje ke správné hodnotě. Po třetí iteraci jsme již velmi blízko přesné hodnotě \( \sqrt{2} \approx 1.4142136 \), rozdíl je menší než \( 10^{-4} \).

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{355} \). Jelikož \( 18^2 = 324 \) a \( 19^2 = 361 \), je výhodné zvolit \( x_0 = 18.7 \), protože \( 18.7^2 = 349.69 \), což je blízko 355.

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(18.7 + \frac{355}{18.7}) \approx \frac{1}{2}(18.7 + 18.9877) = 18.8438 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(18.8438 + \frac{355}{18.8438}) \approx 18.8417 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2}(18.8417 + 18.8417) = 18.8417 \)

4.–6. iterace: Žádná změna, konvergence nastala velmi rychle.

Výsledek: \( \sqrt{355} \approx 18.8417 \)

Metoda ukazuje efektivitu – dobře zvolený počáteční odhad urychluje konvergenci.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{0.009} \approx 0.09487 \)

Zvolíme \( x_0 = 0.1 \)

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(0.1 + \frac{0.009}{0.1}) = \frac{1}{2}(0.1 + 0.09) = 0.095 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(0.095 + \frac{0.009}{0.095}) \approx \frac{1}{2}(0.095 + 0.09474) = 0.09487 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2}(0.09487 + 0.09487) = 0.09487 \)

4.–7. iterace: Hodnota zůstává konstantní.

Výsledek: \( \sqrt{0.009} \approx 0.09487 \)

Metoda velmi efektivně konverguje i u čísel menších než \(0.01\).

Řešení příkladu:

Chceme spočítat \( \sqrt{3} \approx 1.73205 \)

Zvolíme \( x_0 = 1.5 \)

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(1.5 + \frac{3}{1.5}) = \frac{1}{2}(1.5 + 2) = 1.75 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(1.75 + \frac{3}{1.75}) \approx 1.7321 \)

3. \( x_3 = \frac{1}{2}(1.7321 + \frac{3}{1.7321}) \approx 1.73205 \)

4.–8. iterace: Hodnota se stabilizuje na 1.73205

Babylónská metoda dosahuje vysoké přesnosti velmi rychle.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{645} \approx 25.3968 \)

Zvolíme \( x_0 = 25.4 \), protože \( 25.4^2 = 645.16 \)

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(25.4 + \frac{645}{25.4}) \approx \frac{1}{2}(25.4 + 25.3945) = 25.3972 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(25.3972 + \frac{645}{25.3972}) \approx 25.3968 \)

3.–7. iterace: Hodnota se nemění.

Výsledek: \( \sqrt{645} \approx 25.3968 \)

Vhodně zvolený odhad umožnil téměř okamžitou konvergenci.

Řešení příkladu:

Cílem je spočítat \( \sqrt{7} \) s přesností na pět desetinných míst, tedy přiblížit se k hodnotě \( \approx 2.64575 \).

Počáteční odhad volíme \( x_0 = 2.5 \), protože \( 2.5^2 = 6.25 \) a to je blízko 7.

Využijeme vzorec:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{7}{x_n} \right) \)

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(2.5 + \frac{7}{2.5}) = \frac{1}{2}(2.5 + 2.8) = \frac{1}{2}(5.3) = 2.65 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(2.65 + \frac{7}{2.65}) \approx \frac{1}{2}(2.65 + 2.6415) = \frac{1}{2}(5.2915) = 2.64575 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2}(2.64575 + \frac{7}{2.64575}) \approx \frac{1}{2}(2.64575 + 2.64575) = 2.64575 \)

Po třetí iteraci jsme dosáhli požadované přesnosti.

Metoda ukazuje rychlou konvergenci, každá iterace výrazně zlepšuje přesnost odhadu. Proto je výhodná i pro numerické výpočty s vysokými nároky na přesnost.

Řešení příkladu:

Chceme zjistit hodnotu \( \sqrt{0.025} \approx 0.15811 \)

Zvolíme počáteční odhad \( x_0 = 0.2 \). Tento odhad je vyšší než přesná hodnota, ale blízký. Použijeme Babylónskou iteraci:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{0.025}{x_n} \right) \)

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(0.2 + \frac{0.025}{0.2}) = \frac{1}{2}(0.2 + 0.125) = 0.1625 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(0.1625 + \frac{0.025}{0.1625}) \approx \frac{1}{2}(0.1625 + 0.15385) = 0.15818 \)

3. \( x_3 = \frac{1}{2}(0.15818 + \frac{0.025}{0.15818}) \approx \frac{1}{2}(0.15818 + 0.15805) = 0.15811 \)

4. \( x_4 = \frac{1}{2}(0.15811 + \frac{0.025}{0.15811}) \approx 0.15811 \)

Metoda rychle konverguje i pro velmi malá čísla. Klíčem je dobře zvolený odhad a opatrnost při zaokrouhlování, které může výrazně ovlivnit výsledek u malých hodnot.

Řešení příkladu:

Počáteční odhad \( x_0 = 9.2 \) je logický, protože \( 9.2^2 = 84.64 \), což je blízko 84.

Babylónská iterace: \( x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{84}{x_n}) \)

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(9.2 + \frac{84}{9.2}) \approx \frac{1}{2}(9.2 + 9.1304) = 9.1652 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(9.1652 + \frac{84}{9.1652}) \approx \frac{1}{2}(9.1652 + 9.1651) = 9.1651 \)

3.–6. iterace: Hodnota se již nezmění.

Výsledná aproximace: \( \sqrt{84} \approx 9.1651 \)

Rychlost konvergence je vysoká, neboť počáteční odhad byl velmi přesný. Babylónská metoda nejlépe funguje při dobrém odhadu a u dobře podmíněných problémů bez přítomnosti extrémních hodnot.

Řešení příkladu:

Chceme spočítat \( \sqrt{0.0016} = 0.04 \)

Zvolme \( x_0 = 0.05 \), protože \( 0.05^2 = 0.0025 \), což je dost blízko.

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(0.05 + \frac{0.0016}{0.05}) = \frac{1}{2}(0.05 + 0.032) = 0.041 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(0.041 + \frac{0.0016}{0.041}) \approx \frac{1}{2}(0.041 + 0.03902) = 0.04001 \)

3. \( x_3 = \frac{1}{2}(0.04001 + \frac{0.0016}{0.04001}) \approx 0.040000000 \)

Výsledek se stabilizuje na šesti desetinných místech.

Závěr: i pro extrémně malá čísla je metoda velmi efektivní, pokud je použit vhodný výchozí odhad.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{2000} \approx 44.7214 \)

Zvolíme odhad \( x_0 = 45 \)

1. \( x_1 = \frac{1}{2}(45 + \frac{2000}{45}) \approx \frac{1}{2}(45 + 44.4444) = 44.7222 \)

2. \( x_2 = \frac{1}{2}(44.7222 + \frac{2000}{44.7222}) \approx \frac{1}{2}(44.7222 + 44.7206) = 44.7214 \)

3.–5. iterace: Hodnota se již nemění

Metoda velmi rychle konverguje i pro velká čísla.

Riešenie príkladu:

Cieľom je nájsť hodnotu \( \sqrt{123} \) s presnosťou na šesť desatinných miest. Použijeme Babylónsku metódu, ktorá iteratívne zlepšuje odhad odmocniny pomocou vzorca:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \), kde \( S = 123 \)

Počiatočný odhad: \( x_0 = 11 \)

1. iterácia:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 11 + \frac{123}{11} \right) = \frac{1}{2} (11 + 11.1818) = \frac{1}{2} (22.1818) = 11.0909 \)

2. iterácia:

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 11.0909 + \frac{123}{11.0909} \right) \approx \frac{1}{2} (11.0909 + 11.0909) = 11.0909 \)

Rozdiel medzi \( x_2 \) a \( x_1 \) je menší ako \( 10^{-6} \), takže môžeme zastaviť iterácie.

Výsledok: \( \sqrt{123} \approx 11.0909 \)

Riešenie príkladu:

Cieľom je nájsť hodnotu \( \sqrt{0.0009} \) s presnosťou na šesť desatinných miest. Použijeme Babylónsku metódu s počiatočným odhadom \( x_0 = 0.03 \).

1. iterácia:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 0.03 + \frac{0.0009}{0.03} \right) = \frac{1}{2} (0.03 + 0.03) = 0.03 \)

Rozdiel medzi \( x_1 \) a \( x_0 \) je 0, takže môžeme zastaviť iterácie.

Výsledok: \( \sqrt{0.0009} = 0.03 \)

Riešenie príkladu:

Cieľom je nájsť hodnotu \( \sqrt{2500} \) s presnosťou na šesť desatinných miest. Použijeme Babylónsku metódu s počiatočným odhadom \( x_0 = 50 \).

1. iterácia:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 50 + \frac{2500}{50} \right) = \frac{1}{2} (50 + 50) = 50 \)

Rozdiel medzi \( x_1 \) a \( x_0 \) je 0, takže môžeme zastaviť iterácie.

Výsledok: \( \sqrt{2500} = 50 \)

Riešenie príkladu:

Cieľom je nájsť hodnotu \( \sqrt{2} \) s presnosťou na šesť desatinných miest. Použijeme Babylónsku metódu s počiatočným odhadom \( x_0 = 1 \).

1. iterácia:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2}{1} \right) = \frac{1}{2} (1 + 2) = 1.5 \)

2. iterácia:

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 1.5 + \frac{2}{1.5} \right) = \frac{1}{2} (1.5 + 1.3333) = 1.4167 \)

3. iterácia:

\( x_3 = \frac{1}{2} \left( 1.4167 + \frac{2}{1.4167} \right) \approx \frac{1}{2} (1.4167 + 1.4118) = 1.4142 \)

Rozdiel medzi \( x_3 \) a \( x_2 \) je menší ako \( 10^{-6} \), takže môžeme zastaviť iterácie.

Výsledok: \( \sqrt{2} \approx 1.4142 \)

Riešenie príkladu:

Cieľom je nájsť hodnotu \( \sqrt{0.0001} \) s presnosťou na šesť desatinných miest. Použijeme Babylónsku metódu s počiatočným odhadom \( x_0 = 0.01 \).

1. iterácia:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 0.01 + \frac{0.0001}{0.01} \right) = \frac{1}{2} (0.01 + 0.01) = 0.01 \)

Rozdiel medzi \( x_1 \) a \( x_0 \) je 0, takže môžeme zastaviť iterácie.

Výsledok: \( \sqrt{0.0001} = 0.01 \)

Řešení příkladu:

Cílem je vypočítat \( \sqrt{77} \) s přesností \( 10^{-6} \). Použijeme iterativní Babylónskou metodu:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \), kde \( S = 77 \).

Počáteční odhad: \( x_0 = 9 \)

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(9 + \frac{77}{9}) = \frac{1}{2}(9 + 8.5556) = \frac{17.5556}{2} = 8.7778 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(8.7778 + \frac{77}{8.7778}) = \frac{1}{2}(8.7778 + 8.7751) = \frac{17.5529}{2} = 8.7764 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2}(8.7764 + \frac{77}{8.7764}) = \frac{1}{2}(8.7764 + 8.7764) = 8.7764 \)

Rozdíl mezi \( x_3 \) a \( x_2 \) je menší než \( 10^{-6} \) \( \Rightarrow \) výpočet konverguje.

Výsledek: \( \sqrt{77} \approx 8.7764 \) (na 6 desetinných míst přesně: \( 8.775837 \))

Řešení příkladu:

Počáteční hodnota: \( x_0 = 1 \), hledáme \( \sqrt{0.75} \). Babylónská metoda:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{0.75}{x_n}) \)

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(1 + 0.75) = 0.875 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(0.875 + \frac{0.75}{0.875}) = \frac{1}{2}(0.875 + 0.8571) = 0.8660 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2}(0.8660 + \frac{0.75}{0.8660}) = \frac{1}{2}(0.8660 + 0.8660) = 0.8660 \)

Výsledek: \( \sqrt{0.75} \approx 0.866025 \)

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{2.5} \). Počáteční odhad: \( x_0 = 1.6 \)

\( x_1 = \frac{1}{2}(1.6 + \frac{2.5}{1.6}) = \frac{1}{2}(1.6 + 1.5625) = 1.58125 \)

\( x_2 = \frac{1}{2}(1.58125 + \frac{2.5}{1.58125}) = \frac{1}{2}(1.58125 + 1.5815) = 1.581375 \)

\( x_3 = \frac{1}{2}(1.581375 + \frac{2.5}{1.581375}) = \frac{1}{2}(1.581375 + 1.581375) = 1.581375 \)

Rozdíl mezi dvěma iteracemi je menší než \( 10^{-6} \) \( \Rightarrow \) výpočet končí.

Výsledek: \( \sqrt{2.5} \approx 1.581139 \)

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{0.02} \). Počáteční odhad: \( x_0 = 0.2 \)

1. iterace: \( x_1 = \frac{1}{2}(0.2 + \frac{0.02}{0.2}) = \frac{1}{2}(0.2 + 0.1) = 0.15 \)

2. iterace: \( x_2 = \frac{1}{2}(0.15 + \frac{0.02}{0.15}) = \frac{1}{2}(0.15 + 0.1333) = 0.1417 \)

3. iterace: \( x_3 = \frac{1}{2}(0.1417 + \frac{0.02}{0.1417}) = 0.1414 \)

Rozdíl: \( |0.1417 – 0.1414| = 0.0003 \), pokračujeme:

4. iterace: \( x_4 = \frac{1}{2}(0.1414 + \frac{0.02}{0.1414}) = 0.1414214 \)

Výsledek: \( \sqrt{0.02} \approx 0.1414214 \)

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{555} \), \( x_0 = 25 \)

\( x_1 = \frac{1}{2}(25 + \frac{555}{25}) = \frac{1}{2}(25 + 22.2) = 23.6 \)

\( x_2 = \frac{1}{2}(23.6 + \frac{555}{23.6}) = \frac{1}{2}(23.6 + 23.5169) = 23.5585 \)

\( x_3 = \frac{1}{2}(23.5585 + \frac{555}{23.5585}) = \frac{1}{2}(23.5585 + 23.5584) = 23.5584 \)

Výsledek: \( \sqrt{555} \approx 23.558438 \)

Řešení příkladu:

Úkolem je najít \( \sqrt{123.456} \) s vysokou přesností pomocí Babylónské metody (také známé jako Heronova metoda). Zvolili jsme počáteční odhad \( x_0 = 12 \), což je blízko skutečné hodnoty (protože \(12^2 = 144\), což je mírně nad 123.456).

Metoda funguje podle vzorce:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \), kde \( S = 123.456 \).

Začneme iteracemi a budeme sledovat rozdíl \( |x_{n+1} – x_n| \), aby se splnila podmínka konvergence.

1. iterace:

Vypočítáme \( x_1 = \frac{1}{2} \left( 12 + \frac{123.456}{12} \right) \).

Nejdříve spočítáme podíl:

\( \frac{123.456}{12} = 10.288 \).

Pak součet:

\( 12 + 10.288 = 22.288 \).

A konečně průměr:

\( x_1 = \frac{22.288}{2} = 11.144 \).

Rozdíl: \( |11.144 – 12| = 0.856 \), což je větší než \( 10^{-7} \), pokračujeme.

2. iterace:

Vypočítáme \( x_2 = \frac{1}{2} \left( 11.144 + \frac{123.456}{11.144} \right) \).

Spočítáme podíl:

\( \frac{123.456}{11.144} \approx 11.079 \).

Součet:

\( 11.144 + 11.079 = 22.223 \).

Průměr:

\( x_2 = \frac{22.223}{2} = 11.1115 \).

Rozdíl: \( |11.1115 – 11.144| = 0.0325 \), stále větší než \( 10^{-7} \), pokračujeme.

3. iterace:

\( x_3 = \frac{1}{2} \left( 11.1115 + \frac{123.456}{11.1115} \right) \).

Podíl:

\( \frac{123.456}{11.1115} \approx 11.1110 \).

Součet:

\( 11.1115 + 11.1110 = 22.2225 \).

Průměr:

\( x_3 = \frac{22.2225}{2} = 11.11125 \).

Rozdíl: \( |11.11125 – 11.1115| = 0.00025 \), pokračujeme.

4. iterace:

\( x_4 = \frac{1}{2} \left( 11.11125 + \frac{123.456}{11.11125} \right) \).

Podíl:

\( \frac{123.456}{11.11125} \approx 11.11125 \).

Součet:

\( 11.11125 + 11.11125 = 22.2225 \).

Průměr:

\( x_4 = 11.11125 \).

Rozdíl: \( |11.11125 – 11.11125| = 0 \), konvergence dosažena.

Závěr: Po čtyřech iteracích máme hodnotu \( \sqrt{123.456} \approx 11.11125 \) s přesností větší než \( 10^{-7} \).

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{0.0009} \), což je malá hodnota, a proto volíme počáteční odhad \( x_0 = 0.03 \), který odpovídá skutečné hodnotě (protože \(0.03^2 = 0.0009\)).

Babylónská metoda podle vzorce:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \), kde \( S = 0.0009 \).

1. iterace:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 0.03 + \frac{0.0009}{0.03} \right) \).

Podíl:

\( \frac{0.0009}{0.03} = 0.03 \).

Součet:

\( 0.03 + 0.03 = 0.06 \).

Průměr:

\( x_1 = 0.03 \).

Rozdíl mezi \( x_1 \) a \( x_0 \): \( |0.03 – 0.03| = 0 \), tedy iterace končí již po první iteraci.

Chyba: Protože iterace okamžitě konverguje, metoda potvrdila, že \( x_0 \) je velmi dobrý odhad.

Závěr: \( \sqrt{0.0009} = 0.03 \).

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{82} \). Počáteční odhad: \( x_0 = 9 \) (protože \(9^2=81\)).

Babylónská metoda:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{82}{x_n} \right) \).

1. iterace:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 9 + \frac{82}{9} \right) = \frac{1}{2} (9 + 9.1111) = 9.05555 \).

2. iterace:

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 9.05555 + \frac{82}{9.05555} \right) \approx \frac{1}{2} (9.05555 + 9.05514) = 9.055345 \).

3. iterace:

\( x_3 = \frac{1}{2} \left( 9.055345 + \frac{82}{9.055345} \right) \approx 9.055345 \).

4. iterace:

Stejný výpočet jako 3. iterace, hodnota se téměř nemění, což značí rychlou konvergenci.

5. iterace:

Výsledek stabilizovaný na přibližně 9.055345.

Závěr: Metoda rychle konverguje k hodnotě \( \sqrt{82} \approx 9.055345 \).

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{0.5} \) s počátečním odhadem \( x_0 = 1 \).

Metoda podle vzorce:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{0.5}{x_n} \right) \).

1. iterace:

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{0.5}{1} \right) = \frac{1}{2} (1 + 0.5) = 0.75 \).

2. iterace:

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( 0.75 + \frac{0.5}{0.75} \right) = \frac{1}{2} (0.75 + 0.6667) = 0.7083 \).

3. iterace:

\( x_3 = \frac{1}{2} \left( 0.7083 + \frac{0.5}{0.7083} \right) = \frac{1}{2} (0.7083 + 0.7060) = 0.70715 \).

4. iterace:

\( x_4 = \frac{1}{2} \left( 0.70715 + \frac{0.5}{0.70715} \right) = \frac{1}{2} (0.70715 + 0.70715) = 0.70715 \).

Závěr: Hodnota stabilizuje na \( \approx 0.7071 \), což je správná hodnota \( \sqrt{0.5} \).

Řešení příkladu:

Úkol: Najít \( \sqrt{150.25} \) metodou Babylónskou (Heronovou), počáteční odhad \( x_0 = 12 \). Protože \( 12^2 = 144 \), je odhad blízký skutečné hodnotě, ale menší než \( S \).

Iterační vzorec:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \).

Budeme počítat postupně jednotlivé iterace a vypočítáme chybu jako \( |x_{n+1} – x_n| \).

1. iterace:

Podíl: \( \frac{150.25}{12} = 12.5208333 \).

Součet: \( 12 + 12.5208333 = 24.5208333 \).

Průměr: \( x_1 = \frac{24.5208333}{2} = 12.2604167 \).

Chyba: \( |12.2604167 – 12| = 0.2604167 \).

2. iterace:

Podíl: \( \frac{150.25}{12.2604167} \approx 12.250598 \).

Součet: \( 12.2604167 + 12.250598 = 24.5110147 \).

Průměr: \( x_2 = 12.2555074 \).

Chyba: \( |12.2555074 – 12.2604167| = 0.0049093 \).

3. iterace:

Podíl: \( \frac{150.25}{12.2555074} \approx 12.255499 \).

Součet: \( 12.2555074 + 12.255499 = 24.5110064 \).

Průměr: \( x_3 = 12.2555032 \).

Chyba: \( |12.2555032 – 12.2555074| = 0.0000042 \).

4. iterace:

Podíl: \( \frac{150.25}{12.2555032} \approx 12.255503 \).

Součet: \( 12.2555032 + 12.255503 = 24.5110062 \).

Průměr: \( x_4 = 12.2555031 \).

Chyba: \( |12.2555031 – 12.2555032| = 0.0000001 \).

5. iterace:

Podíl: \( \frac{150.25}{12.2555031} \approx 12.2555031 \).

Součet: \( 12.2555031 + 12.2555031 = 24.5110062 \).

Průměr: \( x_5 = 12.2555031 \).

Chyba: \( |12.2555031 – 12.2555031| = 0 \), konvergence dosažena.

Závěr: Hodnota \( \sqrt{150.25} \) je přibližně 12.2555031, což odpovídá vysoké přesnosti po 5 iteracích.

Řešení příkladu:

Chceme najít \( \sqrt{0.0081} \), kde počáteční odhad je \( x_0 = 0.1 \) (protože \(0.1^2 = 0.01\), blízké k 0.0081).

Vzorec iterace:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{0.0081}{x_n} \right) \).

1. iterace:

Podíl: \( \frac{0.0081}{0.1} = 0.081 \).

Součet: \( 0.1 + 0.081 = 0.181 \).

Průměr: \( x_1 = 0.0905 \).

Chyba: \( |0.0905 – 0.1| = 0.0095 \).

2. iterace:

Podíl: \( \frac{0.0081}{0.0905} \approx 0.0895 \).

Součet: \( 0.0905 + 0.0895 = 0.18 \).

Průměr: \( x_2 = 0.09 \).

Chyba: \( |0.09 – 0.0905| = 0.0005 \).

3. iterace:

Podíl: \( \frac{0.0081}{0.09} = 0.09 \).

Součet: \( 0.09 + 0.09 = 0.18 \).

Průměr: \( x_3 = 0.09 \).

Chyba: \( |0.09 – 0.09| = 0 \), konvergence.

Závěr: Po třech iteracích je \( \sqrt{0.0081} \approx 0.09 \), což odpovídá skutečné hodnotě, protože \(0.09^2 = 0.0081\).

Řešení příkladu:

Hledáme \( \sqrt{45} \). Počáteční odhad \( x_0 = 7 \), protože \(7^2 = 49\), mírně větší než 45.

Iterační vzorec:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{45}{x_n} \right) \).

Iterace budeme vypočítávat podrobně:

1. iterace:

Podíl: \( \frac{45}{7} \approx 6.4285714 \).

Součet: \( 7 + 6.4285714 = 13.4285714 \).

Průměr: \( x_1 = 6.7142857 \).

Chyba: \( |6.7142857 – 7| = 0.2857143 \).

2. iterace:

Podíl: \( \frac{45}{6.7142857} \approx 6.7010309 \).

Součet: \( 6.7142857 + 6.7010309 = 13.4153166 \).

Průměr: \( x_2 = 6.7076583 \).

Chyba: \( |6.7076583 – 6.7142857| = 0.0066274 \).

3. iterace:

Podíl: \( \frac{45}{6.7076583} \approx 6.7071067 \).

Součet: \( 6.7076583 + 6.7071067 = 13.414765 \).

Průměr: \( x_3 = 6.7073825 \).

Chyba: \( |6.7073825 – 6.7076583| = 0.0002758 \).

4. iterace:

Podíl: \( \frac{45}{6.7073825} \approx 6.7073804 \).

Součet: \( 6.7073825 + 6.7073804 = 13.414763 \).

Průměr: \( x_4 = 6.7073815 \).

Chyba: \( |6.7073815 – 6.7073825| = 0.000001 \).

5. iterace:

Podíl: \( \frac{45}{6.7073815} \approx 6.7073815 \).

Součet: \( 6.7073815 + 6.7073815 = 13.414763 \).

Průměr: \( x_5 = 6.7073815 \).

Chyba: 0, konvergence dosažena.

Závěr: Hodnota \( \sqrt{45} \) se stabilizuje na přibližně 6.7073815. Ukazuje to, že Babylónská metoda konverguje rychle i při relativně hrubém počátečním odhadu.

Řešení příkladu:

Úkol: Najít \( \sqrt{0.0004} \). Počáteční odhad je \( x_0 = 0.02 \) (protože \(0.02^2 = 0.0004\)).

Iterační vzorec:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{0.0004}{x_n} \right) \).

1. iterace:

Podíl: \( \frac{0.0004}{0.02} = 0.02 \).

Součet: \( 0.02 + 0.02 = 0.04 \).

Průměr: \( x_1 = 0.02 \).

Chyba: \( |0.02 – 0.02| = 0 \), metoda konvergovala okamžitě.

Závěr: Počáteční odhad byl již přesný, Babylónská metoda to potvrdila bez potřeby dalších iterací.

Řešení příkladu:

Cílem je vypočítat \( \sqrt{77} \) s počátečním odhadem \( x_0 = 8 \), protože \(8^2 = 64\), což je podhodnocení.

Iterační vzorec:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{77}{x_n} \right) \).

1. iterace:

Podíl: \( \frac{77}{8} = 9.625 \).

Součet: \( 8 + 9.625 = 17.625 \).

Průměr: \( x_1 = 8.8125 \).

Chyba: \( |8.8125 – 8| = 0.8125 \).

2. iterace:

Podíl: \( \frac{77}{8.8125} \approx 8.7397 \).

Součet: \( 8.8125 + 8.7397 = 17.5522 \).

Průměr: \( x_2 = 8.7761 \).

Chyba: \( |8.7761 – 8.8125| = 0.0364 \).

3. iterace:

Podíl: \( \frac{77}{8.7761} \approx 8.7743 \).

Součet: \( 8.7761 + 8.7743 = 17.5504 \).

Průměr: \( x_3 = 8.7752 \).

Chyba: \( |8.7752 – 8.7761| = 0.0009 \).

4. iterace:

Podíl: \( \frac{77}{8.7752} \approx 8.7752 \).

Součet: \( 8.7752 + 8.7752 = 17.5504 \).

Průměr: \( x_4 = 8.7752 \).

Chyba: \( |8.7752 – 8.7752| = 0 \), konvergence.

Závěr: I přes počáteční nepřesný odhad metoda rychle konverguje k hodnotě přibližně \(8.7752\), která je správnou hodnotou \( \sqrt{77} \).

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{123.456}\) pomocí Babylónské metody, počáteční odhad \(x_0 = 11\). Protože \(11^2 = 121\), odhad je velmi blízko skutečné hodnotě.

Babylónská metoda vychází z iterativního vzorce:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right)\), kde \(S = 123.456\).

Budeme detailně postupovat krok po kroku:

1. iterace:

Vypočítáme podíl \(\frac{S}{x_0} = \frac{123.456}{11} \approx 11.22327\).

Součet hodnot: \(11 + 11.22327 = 22.22327\).

Průměr je tedy \(x_1 = \frac{22.22327}{2} = 11.111635\).

Porovnáme změnu: \(|x_1 – x_0| = |11.111635 – 11| = 0.111635\), což je stále poměrně velká změna, iterace pokračují.

2. iterace:

Podíl: \(\frac{123.456}{11.111635} \approx 11.11106\).

Součet: \(11.111635 + 11.11106 = 22.222695\).

Průměr: \(x_2 = 11.1113475\).

Chyba: \(|11.1113475 – 11.111635| = 0.0002875\). Velikost chyby se dramaticky zmenšila, což je známka kvadratické konvergence Babylónské metody.

3. iterace:

Podíl: \(\frac{123.456}{11.1113475} \approx 11.111347\).

Součet: \(11.1113475 + 11.111347 = 22.2226945\).

Průměr: \(x_3 = 11.1113473\).

Chyba: \(|11.1113473 – 11.1113475| = 0.0000002\), což je prakticky nulová změna.

4. iterace:

Podíl: \(\frac{123.456}{11.1113473} \approx 11.1113473\).

Součet: \(11.1113473 + 11.1113473 = 22.2226946\).

Průměr: \(x_4 = 11.1113473\).

Změna je \(0\), metoda dosáhla konvergence.

Pro ilustraci pokračujeme, abychom demonstrovali stabilitu:

5. iterace:

Stejné výpočty vedou k \(x_5 = 11.1113473\), chyba nulová.

6. iterace:

Stejně \(x_6 = 11.1113473\).

7. iterace:

Stabilní hodnota \(x_7 = 11.1113473\).

Závěr: Hodnota \(\sqrt{123.456} \approx 11.1113473\). Babylónská metoda prokázala kvadratickou konvergenci, kdy chyba mezi iteracemi rychle klesá, pokud je počáteční odhad rozumný. Tento příklad demonstruje, že i při malých odchylkách na začátku metoda rychle najde přesné řešení.

Řešení příkladu:

Chceme spočítat \(\sqrt{0.000625}\). Pro představu, skutečná hodnota je \(0.025\), protože \(0.025^2 = 0.000625\).

Počáteční odhad je \(x_0 = 0.02\), což je trochu podhodnoceno.

Iterační vzorec Babylónské metody:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{S}{x_n}\right)\), kde \(S=0.000625\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.000625}{0.02} = 0.03125\).

Součet: \(0.02 + 0.03125 = 0.05125\).

Průměr: \(x_1 = 0.025625\).

Chyba: \(|0.025625 – 0.02| = 0.005625\), což je výrazný krok k přesnějšímu odhadu.

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.000625}{0.025625} \approx 0.02439\).

Součet: \(0.025625 + 0.02439 = 0.050015\).

Průměr: \(x_2 = 0.0250075\).

Chyba: \(|0.0250075 – 0.025625| = 0.0006175\), chyba se výrazně zmenšila.

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.000625}{0.0250075} \approx 0.024996\).

Součet: \(0.0250075 + 0.024996 = 0.0500035\).

Průměr: \(x_3 = 0.02500175\).

Chyba: \(|0.02500175 – 0.0250075| = 0.00000575\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{0.000625}{0.02500175} \approx 0.0249983\).

Součet: \(0.02500175 + 0.0249983 = 0.05000005\).

Průměr: \(x_4 = 0.025000025\).

Chyba: \(|0.025000025 – 0.02500175| = 0.000001725\).

5. iterace:

Podíl: \(\frac{0.000625}{0.025000025} \approx 0.024999975\).

Součet: \(0.025000025 + 0.024999975 = 0.050000\).

Průměr: \(x_5 = 0.025\).

Chyba: \(|0.025 – 0.025000025| = 0.000000025\).

6. iterace:

Podíl i součet zůstanou stejné, takže \(x_6 = 0.025\), metoda dosáhla přesné hodnoty.

Závěr: Babylónská metoda je efektivní i při velmi malých číslech, díky rychlé konvergenci a stabilitě výpočtů. Zde jsme viděli, jak se i při podhodnoceném odhadu rychle přiblížíme ke skutečné odmocnině.

Řešení příkladu:

Úloha: Spočítat \(\sqrt{2}\) pomocí Babylónské metody, počáteční odhad \(x_0=1\). Skutečná hodnota je iracionální číslo přibližně \(1.4142135623\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1} = 2\).

Součet: \(1 + 2 = 3\).

Průměr: \(x_1 = 1.5\).

Chyba: \(|1.5 – 1| = 0.5\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1.5} = 1.\overline{3}\).

Součet: \(1.5 + 1.333333 = 2.833333\).

Průměr: \(x_2 = 1.4166665\).

Chyba: \(|1.4166665 – 1.5| = 0.0833335\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1.4166665} \approx 1.4117647\).

Součet: \(1.4166665 + 1.4117647 = 2.8284312\).

Průměr: \(x_3 = 1.4142156\).

Chyba: \(|1.4142156 – 1.4166665| = 0.0024509\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1.4142156} \approx 1.4142115\).

Součet: \(1.4142156 + 1.4142115 = 2.8284271\).

Průměr: \(x_4 = 1.41421355\).

Chyba: \(|1.41421355 – 1.4142156| = 0.00000205\).

5. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1.41421355} \approx 1.41421356\).

Součet: \(1.41421355 + 1.41421356 = 2.82842711\).

Průměr: \(x_5 = 1.41421356\).

Chyba: \(|1.41421356 – 1.41421355| = 0.00000001\).

6., 7. a 8. iterace vedou k témuž výsledku, tedy rychlá stabilizace hodnoty.

Závěr: Babylónská metoda je mimořádně vhodná pro výpočet odmocnin iracionálních čísel díky kvadratické konvergenci, která zajišťuje velmi rychlé zlepšení aproximace. I z hrubého odhadu dokáže během několika iterací dosáhnout přesnosti na několik desetinných míst.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{50}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0=7\). Skutečná hodnota je přibližně \(7.07106781\).

Počáteční odhad byl zvolen na základě toho, že \(7^2 = 49\), což je blízko \(50\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{50}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7} \approx 7.142857\).

Součet: \(7 + 7.142857 = 14.142857\).

Průměr: \(x_1 = 7.0714285\).

Chyba: \(|7.0714285 – 7| = 0.0714285\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0714285} \approx 7.0710679\).

Součet: \(7.0714285 + 7.0710679 = 14.1424964\).

Průměr: \(x_2 = 7.0712482\).

Chyba: \(|7.0712482 – 7.0714285| = 0.0001803\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0712482} \approx 7.0710678\).

Součet: \(7.0712482 + 7.0710678 = 14.142316\).

Průměr: \(x_3 = 7.071158\).

Chyba: \(|7.071158 – 7.0712482| = 0.0000902\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.071158} \approx 7.0710678\).

Součet: \(7.071158 + 7.0710678 = 14.1422258\).

Průměr: \(x_4 = 7.0711129\).

Chyba: \(|7.0711129 – 7.071158| = 0.0000451\).

5. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0711129} \approx 7.0710678\).

Součet: \(7.0711129 + 7.0710678 = 14.1421807\).

Průměr: \(x_5 = 7.07109035\).

Chyba: \(|7.07109035 – 7.0711129| = 0.00002255\).

Závěr: Počáteční odhad velmi ovlivňuje rychlost konvergence. Zvolený odhad byl velmi vhodný, protože hodnota \(7^2=49\) je blízko \(50\), díky čemuž metoda dosáhla rychlé konvergence během pár iterací.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{0.81}\) pomocí Babylónské metody, počáteční odhad \(x_0 = 1\). Skutečná hodnota je \(0.9\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{0.81}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.81}{1} = 0.81\).

Součet: \(1 + 0.81 = 1.81\).

Průměr: \(x_1 = 0.905\).

Chyba: \(|0.905 – 1| = 0.095\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.81}{0.905} \approx 0.895\).

Součet: \(0.905 + 0.895 = 1.8\).

Průměr: \(x_2 = 0.9\).

Chyba: \(|0.9 – 0.905| = 0.005\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.81}{0.9} = 0.9\).

Součet: \(0.9 + 0.9 = 1.8\).

Průměr: \(x_3 = 0.9\).

Chyba: \(0\).

4., 5., 6. iterace:

Hodnota se nemění, zůstává \(0.9\).

Závěr: Babylónská metoda je stabilní a univerzální, funguje dobře i pro čísla menší než \(1\). Rychlá konvergence je zde patrná díky tomu, že i z hrubého odhadu \(1\) jsme rychle došli k přesnému výsledku \(0.9\).

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{2}\) pomocí Babylónské metody, počáteční odhad \(x_0 = 1.5\). Skutečná hodnota je přibližně \(1.414213562\).

Iterační vzorec je:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Vypočítáme podíl: \(\frac{2}{1.5} = 1.3333\).

Součet: \(1.5 + 1.3333 = 2.8333\).

Průměr: \(x_1 = \frac{2.8333}{2} = 1.41665\).

Chyba: \(|1.41665 – 1.5| = 0.08335\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1.41665} \approx 1.41177\).

Součet: \(1.41665 + 1.41177 = 2.82842\).

Průměr: \(x_2 = 1.41421\).

Chyba: \(|1.41421 – 1.41665| = 0.00244\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1.41421} \approx 1.41422\).

Součet: \(1.41421 + 1.41422 = 2.82843\).

Průměr: \(x_3 = 1.414215\).

Chyba: \(|1.414215 – 1.41421| = 0.000005\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1.414215} \approx 1.414215\).

Součet: \(1.414215 + 1.414215 = 2.82843\).

Průměr: \(x_4 = 1.414215\).

Chyba je téměř nulová, metoda konverguje velmi rychle.

5., 6., 7. iterace:

Hodnota se stabilizuje, prakticky se nemění.

Závěr: Babylónská metoda konverguje kvadraticky, což znamená, že chyba se přibližně čtyřnásobně zmenší při každé iteraci. To je výrazně rychlejší než u lineárních metod a proto je metoda oblíbená pro rychlou a přesnou aproximaci druhých odmocnin.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{0.25}\) pomocí Babylónské metody, počáteční odhad \(x_0 = 1\). Skutečná hodnota je \(0.5\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{0.25}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.25}{1} = 0.25\).

Součet: \(1 + 0.25 = 1.25\).

Průměr: \(x_1 = 0.625\).

Chyba: \(|0.625 – 1| = 0.375\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.25}{0.625} = 0.4\).

Součet: \(0.625 + 0.4 = 1.025\).

Průměr: \(x_2 = 0.5125\).

Chyba: \(|0.5125 – 0.625| = 0.1125\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.25}{0.5125} \approx 0.4878\).

Součet: \(0.5125 + 0.4878 = 1.0003\).

Průměr: \(x_3 = 0.50015\).

Chyba: \(|0.50015 – 0.5125| = 0.01235\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{0.25}{0.50015} \approx 0.49985\).

Součet: \(0.50015 + 0.49985 = 1\).

Průměr: \(x_4 = 0.5\).

Chyba: téměř nulová, metoda se stabilizuje.

5. a 6. iterace:

Hodnota se nemění, metoda je stabilní.

Závěr: Babylónská metoda je velmi univerzální a stabilní i pro čísla menší než \(1\). Díky symetrii vzorce a rychlé konvergenci je možné ji použít v širokém rozsahu hodnot. Počáteční odhad nemusí být přesný, ale čím bližší je skutečné odmocnině, tím rychleji konverguje výsledek.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{12345}\), počáteční odhad \(x_0 = 110\). Skutečná hodnota je přibližně \(111.108\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{12345}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{12345}{110} = 112.2273\).

Součet: \(110 + 112.2273 = 222.2273\).

Průměr: \(x_1 = 111.1137\).

Chyba: \(|111.1137 – 110| = 1.1137\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{12345}{111.1137} \approx 111.0643\).

Součet: \(111.1137 + 111.0643 = 222.1780\).

Průměr: \(x_2 = 111.0890\).

Chyba: \(|111.0890 – 111.1137| = 0.0247\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{12345}{111.0890} \approx 111.1127\).

Součet: \(111.0890 + 111.1127 = 222.2017\).

Průměr: \(x_3 = 111.1009\).

Chyba: \(|111.1009 – 111.0890| = 0.0119\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{12345}{111.1009} \approx 111.0999\).

Součet: \(111.1009 + 111.0999 = 222.2008\).

Průměr: \(x_4 = 111.1004\).

Chyba: \(|111.1004 – 111.1009| = 0.0005\).

5. iterace:

Podíl: \(\frac{12345}{111.1004} \approx 111.1004\).

Součet: \(111.1004 + 111.1004 = 222.2008\).

Průměr: \(x_5 = 111.1004\).

Chyba: téměř 0, hodnota se ustálila.

6. iterace:

Hodnota se nemění, \(x_6 = 111.1004\).

Závěr: Počáteční odhad blízký celé části skutečné odmocniny umožňuje rychlou konvergenci. Babylónská metoda je efektivní i u velkých čísel díky kvadratické konvergenci a jednoduchému vzorci, který minimalizuje počet potřebných iterací.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{10^{-4}} = 0.01\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 0.01\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{10^{-4}}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{10^{-4}}{0.01} = 0.01\).

Součet: \(0.01 + 0.01 = 0.02\).

Průměr: \(x_1 = 0.01\).

Chyba: \(|0.01 – 0.01| = 0\).

2. až 5. iterace:

Protože počáteční odhad je přesný, metoda konverguje okamžitě a hodnota zůstává stabilní na \(0.01\).

Závěr: Babylónská metoda je extrémně stabilní i u velmi malých hodnot. Díky své jednoduché a symetrické formulaci minimalizuje riziko numerických chyb v plovoucí desetinné čárce. Proto je vhodná i pro výpočty v extrémních oblastech hodnot.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{50}\) s počátečním odhadem \(x_0 = 7\). Skutečná hodnota je přibližně \(7.0710678\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{50}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7} \approx 7.142857\).

Součet: \(7 + 7.142857 = 14.142857\).

Průměr: \(x_1 = 7.071429\).

Chyba: \(|7.071429 – 7| = 0.071429\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.071429} \approx 7.070996\).

Součet: \(7.071429 + 7.070996 = 14.142425\).

Průměr: \(x_2 = 7.071212\).

Chyba: \(|7.071212 – 7.071429| = 0.000217\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.071212} \approx 7.071068\).

Součet: \(7.071212 + 7.071068 = 14.14228\).

Průměr: \(x_3 = 7.07114\).

Chyba: \(|7.07114 – 7.071212| = 0.000072\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.07114} \approx 7.0710678\).

Součet: \(7.07114 + 7.0710678 = 14.1422078\).

Průměr: \(x_4 = 7.071104\).

Chyba: \(|7.071104 – 7.07114| = 0.000036\).

5., 6. iterace:

Hodnota se stále jemně upravuje, přibližuje se skutečné hodnotě.

Závěr: Babylónská metoda vykazuje kvadratickou konvergenci, což znamená, že počet platných desetinných míst se přibližně zdvojnásobuje po každé iteraci. To ji činí velmi efektivní pro přesné výpočty odmocnin.

Řešení příkladu:

Úloha: Najít \(\sqrt{0.005}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 0.1\). Skutečná hodnota je přibližně \(0.0707107\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{0.005}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Vypočteme podíl: \(\frac{0.005}{0.1} = 0.05\).

Sečteme: \(0.1 + 0.05 = 0.15\).

Průměr: \(x_1 = 0.075\).

Chyba vůči počátečnímu odhadu: \(|0.075 – 0.1| = 0.025\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.005}{0.075} \approx 0.0666667\).

Součet: \(0.075 + 0.0666667 = 0.1416667\).

Průměr: \(x_2 = 0.0708333\).

Chyba: \(|0.0708333 – 0.075| = 0.0041667\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.005}{0.0708333} \approx 0.0705882\).

Součet: \(0.0708333 + 0.0705882 = 0.1414215\).

Průměr: \(x_3 = 0.07071075\).

Chyba: \(|0.07071075 – 0.0708333| \approx 0.00012255\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{0.005}{0.07071075} \approx 0.0707107\).

Součet: \(0.07071075 + 0.0707107 = 0.14142145\).

Průměr: \(x_4 = 0.070710725\).

Chyba: \(|0.070710725 – 0.07071075| = 2.5 \times 10^{-8}\).

5. iterace:

Podíl: \(\frac{0.005}{0.070710725} \approx 0.0707107\).

Součet: \(0.070710725 + 0.0707107 = 0.141421425\).

Průměr: \(x_5 = 0.0707107125\).

Chyba: \(|0.0707107125 – 0.070710725| = 1.25 \times 10^{-8}\).

6. iterace:

Podíl a hodnota se prakticky nemění, tedy \(x_6 \approx 0.0707107125\).

Závěr: Babylónská metoda rychle konverguje i u velmi malých čísel. Díky symetrii vzorce minimalizuje chyby zaokrouhlování, což je důležité v plovoucí desetinné čárce, kde malá čísla často trpí numerickou nestabilitou.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{2.5}\) s počátečním odhadem \(x_0 = 1.5\). Skutečná hodnota je přibližně \(1.58113883\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2.5}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{2.5}{1.5} = 1.6666667\).

Součet: \(1.5 + 1.6666667 = 3.1666667\).

Průměr: \(x_1 = 1.5833333\).

Chyba: \(|1.5833333 – 1.5| = 0.0833333\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{2.5}{1.5833333} \approx 1.5797101\).

Součet: \(1.5833333 + 1.5797101 = 3.1630434\).

Průměr: \(x_2 = 1.5815217\).

Chyba: \(|1.5815217 – 1.5833333| = 0.0018116\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{2.5}{1.5815217} \approx 1.5810959\).

Součet: \(1.5815217 + 1.5810959 = 3.1626176\).

Průměr: \(x_3 = 1.5813088\).

Chyba: \(|1.5813088 – 1.5815217| = 0.0002129\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{2.5}{1.5813088} \approx 1.5811388\).

Součet: \(1.5813088 + 1.5811388 = 3.1624476\).

Průměr: \(x_4 = 1.5812238\).

Chyba: \(|1.5812238 – 1.5813088| = 0.000085\).

5. iterace:

Podíl: \(\frac{2.5}{1.5812238} \approx 1.5811388\).

Součet: \(1.5812238 + 1.5811388 = 3.1623626\).

Průměr: \(x_5 = 1.5811813\).

Chyba: \(|1.5811813 – 1.5812238| = 0.0000425\).

6. iterace:

Podíl: \(\frac{2.5}{1.5811813} \approx 1.5811388\).

Součet: \(1.5811813 + 1.5811388 = 3.1623201\).

Průměr: \(x_6 = 1.5811601\).

Chyba: \(|1.5811601 – 1.5811813| = 0.0000212\).

7. iterace:

Podíl a hodnota se prakticky nemění, hodnota stabilně konverguje k \(1.5811388\).

Analýza konvergence: Vidíme, že chyby se dramaticky zmenšují každou iterací, což je typické pro kvadratickou konvergenci Babylónské metody. To znamená, že počet platných desetinných míst se přibližně zdvojnásobuje s každou iterací.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{15}\) s počátečním odhadem \(x_0 = 4\). Skutečná hodnota je přibližně \(3.872983346\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{15}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{15}{4} = 3.75\).

Součet: \(4 + 3.75 = 7.75\).

Průměr: \(x_1 = 3.875\).

Chyba: \(|3.875 – 4| = 0.125\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{15}{3.875} \approx 3.8709677\).

Součet: \(3.875 + 3.8709677 = 7.7459677\).

Průměr: \(x_2 = 3.87298385\).

Chyba: \(|3.87298385 – 3.875| = 0.00201615\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{15}{3.87298385} \approx 3.87298335\).

Součet: \(3.87298385 + 3.87298335 = 7.7459672\).

Průměr: \(x_3 = 3.8729836\).

Chyba: \(|3.8729836 – 3.87298385| = 2.5 \times 10^{-7}\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{15}{3.8729836} \approx 3.872983346\).

Součet: \(3.8729836 + 3.872983346 = 7.745966946\).

Průměr: \(x_4 = 3.872983473\).

Chyba: \(|3.872983473 – 3.8729836| = 1.27 \times 10^{-7}\).

5. iterace:

Hodnota se nemění významně, konvergence je velmi rychlá.

Analýza: Počáteční odhad \(x_0 = 4\) je blízko skutečné hodnotě \(\sqrt{15}\), což vede k rychlé konvergenci. Pokud by byl odhad vzdálenější, počet iterací by se zvýšil, protože Babylónská metoda konverguje rychle, ale vyžaduje rozumný počáteční odhad pro efektivitu.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{50}\) s počátečním odhadem \(x_0 = 7\). Skutečná hodnota je přibližně \(7.07106781\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{50}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7} \approx 7.142857\).

Součet: \(7 + 7.142857 = 14.142857\).

Průměr: \(x_1 = 7.071429\).

Chyba: \(|7.071429 – 7| = 0.071429\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.071429} \approx 7.071068\).

Součet: \(7.071429 + 7.071068 = 14.142497\).

Průměr: \(x_2 = 7.0712485\).

Chyba: \(|7.0712485 – 7.071429| = 0.0001805\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0712485} \approx 7.071068\).

Součet: \(7.0712485 + 7.071068 = 14.1423165\).

Průměr: \(x_3 = 7.0711583\).

Chyba: \(|7.0711583 – 7.0712485| = 0.0000902\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0711583} \approx 7.071068\).

Součet: \(7.0711583 + 7.071068 = 14.1422263\).

Průměr: \(x_4 = 7.0711131\).

Chyba: \(|7.0711131 – 7.0711583| = 0.0000452\).

5. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0711131} \approx 7.071068\).

Součet: \(7.0711131 + 7.071068 = 14.1421811\).

Průměr: \(x_5 = 7.0710906\).

Chyba: \(|7.0710906 – 7.0711131| = 0.0000225\).

6. iterace:

Hodnota se velmi málo mění, konvergence je patrná.

Vysvětlení: Čím větší číslo pod odmocninou, tím je vhodnější zvolit počáteční odhad blízký přibližné velikosti odmocniny, což zkracuje počet iterací. Metoda je robustní, ale vhodný odhad urychluje konvergenci.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{0.125}\) s počátečním odhadem \(x_0 = 0.5\). Skutečná hodnota je přibližně \(0.35355339\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{0.125}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.125}{0.5} = 0.25\).

Součet: \(0.5 + 0.25 = 0.75\).

Průměr: \(x_1 = 0.375\).

Chyba: \(|0.375 – 0.5| = 0.125\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.125}{0.375} \approx 0.333333\).

Součet: \(0.375 + 0.333333 = 0.708333\).

Průměr: \(x_2 = 0.354167\).

Chyba: \(|0.354167 – 0.375| = 0.020833\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.125}{0.354167} \approx 0.352941\).

Součet: \(0.354167 + 0.352941 = 0.707108\).

Průměr: \(x_3 = 0.353554\).

Chyba: \(|0.353554 – 0.354167| = 0.000613\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{0.125}{0.353554} \approx 0.353553\).

Součet: \(0.353554 + 0.353553 = 0.707107\).

Průměr: \(x_4 = 0.3535535\).

Chyba: \(|0.3535535 – 0.353554| = 5 \times 10^{-7}\).

5. iterace:

Hodnota se již téměř nemění, \(x_5 \approx 0.35355339\).

6. iterace:

Hodnota je stabilní s přesností na sedm desetinných míst.

Závěr: Babylónská metoda efektivně pracuje i s čísly menšími než \(1\), kde podíl \(\frac{a}{x_n}\) může být větší než \(x_n\), což zajišťuje vyváženost v iteracích a rychlou konvergenci k přesné hodnotě.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{200}\) pomocí Babylónské metody, počáteční odhad \(x_0 = 14\). Skutečná hodnota \(\sqrt{200} \approx 14.1421356237\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{200}{x_n} \right)\).

1. iterace:

Nejprve vypočítáme podíl \(\frac{200}{14} \approx 14.28571429\).

Součet: \(14 + 14.28571429 = 28.28571429\).

Průměr: \(x_1 = \frac{28.28571429}{2} = 14.142857145\).

Chyba vzhledem k předchozímu odhadu: \(|14.142857145 – 14| = 0.142857145\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{200}{14.142857145} \approx 14.14141414\).

Součet: \(14.142857145 + 14.14141414 = 28.284271285\).

Průměr: \(x_2 = 14.142135642\).

Chyba: \(|14.142135642 – 14.142857145| \approx 0.000721503\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{200}{14.142135642} \approx 14.14213562\).

Součet: \(14.142135642 + 14.14213562 = 28.284271262\).

Průměr: \(x_3 = 14.142135631\).

Chyba: \(|14.142135631 – 14.142135642| \approx 1.1 \times 10^{-11}\).

4., 5., 6. iterace:

Hodnota \(x_n\) se nemění s praktickou přesností, je velmi blízko skutečné hodnotě.

Podrobnější analýza:

Babylónská metoda využívá průměr dvou hodnot: současného odhadu \(x_n\) a podílu \(\frac{a}{x_n}\). Tento vzorec funguje tak, že pokud je odhad příliš vysoký, pak \(\frac{a}{x_n}\) bude nižší než \(x_n\), a průměr je proto nižší než \(x_n\), čímž se odhad snižuje. Naopak, pokud je odhad příliš nízký, \(\frac{a}{x_n}\) bude větší než \(x_n\) a průměr je vyšší, takže odhad roste. Tento mechanismus zajišťuje stabilní vyvažování, které vede k velmi rychlé konvergenci.

V tomto konkrétním případě byl počáteční odhad \(x_0=14\) velmi blízko skutečné hodnotě, což umožnilo téměř okamžitou konvergenci již během prvních dvou iterací.

Řešení příkladu:

Úloha: Spočítat \(\sqrt{0.04}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 0.1\). Skutečná hodnota je \(0.2\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{0.04}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.04}{0.1} = 0.4\).

Součet: \(0.1 + 0.4 = 0.5\).

Průměr: \(x_1 = 0.25\).

Chyba: \(|0.25 – 0.1| = 0.15\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.04}{0.25} = 0.16\).

Součet: \(0.25 + 0.16 = 0.41\).

Průměr: \(x_2 = 0.205\).

Chyba: \(|0.205 – 0.25| = 0.045\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.04}{0.205} \approx 0.19512\).

Součet: \(0.205 + 0.19512 = 0.40012\).

Průměr: \(x_3 = 0.20006\).

Chyba: \(|0.20006 – 0.205| = 0.00494\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{0.04}{0.20006} \approx 0.19994\).

Součet: \(0.20006 + 0.19994 = 0.4\).

Průměr: \(x_4 = 0.2\).

Chyba: \(|0.2 – 0.20006| = 0.00006\).

5. až 7. iterace:

Hodnota se stabilizuje na \(0.2\) s přesností vyšší než šest desetinných míst.

Podrobná analýza:

Babylónská metoda je pro malé hodnoty rovněž velmi efektivní, protože vyvažuje aktuální odhad s podílem, který bývá větší než aktuální hodnota, pokud je odhad menší než skutečná odmocnina, což vede k rychlému zlepšení přesnosti. Tato vlastnost je užitečná v numerických výpočtech, kde se často setkáváme s malými hodnotami a vyžadujeme stabilitu a rychlost konvergence.

Řešení příkladu:

Úloha: Spočítat \(\sqrt{12345}\) pomocí Babylónské metody, počáteční odhad \(x_0 = 110\). Skutečná hodnota je přibližně \(111.1080555\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{12345}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{12345}{110} = 112.2272727\).

Součet: \(110 + 112.2272727 = 222.2272727\).

Průměr: \(x_1 = 111.11363635\).

Chyba: \(|111.11363635 – 110| = 1.11363635\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{12345}{111.11363635} \approx 111.1036669\).

Součet: \(111.11363635 + 111.1036669 = 222.21730325\).

Průměr: \(x_2 = 111.1086516\).

Chyba: \(|111.1086516 – 111.11363635| \approx 0.0049847\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{12345}{111.1086516} \approx 111.1084635\).

Součet: \(111.1086516 + 111.1084635 = 222.2171151\).

Průměr: \(x_3 = 111.1085576\).

Chyba: \(|111.1085576 – 111.1086516| = 0.000094\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{12345}{111.1085576} \approx 111.1085572\).

Součet: \(111.1085576 + 111.1085572 = 222.2171148\).

Průměr: \(x_4 = 111.1085574\).

Chyba: \(|111.1085574 – 111.1085576| = 2 \times 10^{-7}\).

5. iterace:

Hodnota se již prakticky nemění, konvergujeme k \(\sqrt{12345} \approx 111.1085574\).

Detailní analýza:

Počáteční odhad je velmi důležitý pro rychlost konvergence. V tomto případě \(x_0=110\) je poměrně blízko skutečné hodnotě, což vedlo k rychlému dosažení přesného výsledku během několika iterací. Pokud by byl odhad mnohem horší, mohlo by to vést k více iteracím a větším odchylkám v začátku.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{0.0009}\) pomocí Babylónské metody, počáteční odhad \(x_0 = 0.05\). Skutečná hodnota je \(0.03\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{0.0009}{x_n} \right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.0009}{0.05} = 0.018\).

Součet: \(0.05 + 0.018 = 0.068\).

Průměr: \(x_1 = 0.034\).

Chyba: \(|0.034 – 0.05| = 0.016\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.0009}{0.034} \approx 0.0264706\).

Součet: \(0.034 + 0.0264706 = 0.0604706\).

Průměr: \(x_2 = 0.0302353\).

Chyba: \(|0.0302353 – 0.034| = 0.0037647\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.0009}{0.0302353} \approx 0.02976\).

Součet: \(0.0302353 + 0.02976 = 0.060\).

Průměr: \(x_3 = 0.030\).

Chyba: \(|0.030 – 0.0302353| = 0.0002353\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{0.0009}{0.030} = 0.03\).

Součet: \(0.030 + 0.03 = 0.06\).

Průměr: \(x_4 = 0.03\).

Chyba: \(|0.03 – 0.03| = 0\).

5. až 7. iterace:

Hodnota se stabilizuje na \(0.03\).

Podrobná analýza:

Tato iterace ukazuje, že Babylónská metoda je nejen rychlá, ale i numericky stabilní, a to i u velmi malých hodnot, kde by mohly nastat problémy s numerickou přesností nebo zaokrouhlováním. Metoda díky své vyváženosti a průměrování minimalizuje chyby a rychle konverguje k přesnému výsledku, což je důležité pro aplikace ve vědě a technice, kde přesné výsledky jsou kritické.

Řešení příkladu:

Úloha: Spočítat \(\sqrt{999999}\) pomocí Babylónské metody, počáteční odhad \(x_0 = 1000\). Skutečná hodnota je přibližně \(999.999499999875\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{999999}{x_n} \right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{999999}{1000} = 999.999\).

Součet: \(1000 + 999.999 = 1999.999\).

Průměr: \(x_1 = 999.9995\).

Chyba: \(|999.9995 – 1000| = 0.0005\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{999999}{999.9995} \approx 999.9995\).

Součet: \(999.9995 + 999.9995 = 1999.999\).

Průměr: \(x_2 = 999.9995\).

Chyba: \(|999.9995 – 999.9995| = 0\).

3., 4., 5. iterace:

Hodnota se nemění, metoda dosáhla velmi vysoké přesnosti rychle.

Podrobná analýza:

Babylónská metoda funguje efektivně i pro velmi velká čísla. Počáteční odhad \(x_0 = 1000\) byl velmi dobrý, což zrychlilo konvergenci. Výpočet je rychlý, protože každá iterace výrazně snižuje chybu díky lineární povaze metody. V praxi to znamená, že i u velkých čísel lze odmocniny získat s vysokou přesností během několika málo kroků.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{2.25}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 1.5\). Skutečná hodnota je \(1.5\).

Iterační vzorec je obecně:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2.25}{x_n}\right)\).

Nejprve si uvědomme, že počáteční odhad je rovný skutečné hodnotě, takže očekáváme velmi rychlou konvergenci.

1. iterace:

Vypočítáme podíl: \(\frac{2.25}{1.5} = 1.5\).

Součet: \(1.5 + 1.5 = 3.0\).

Průměr: \(x_1 = \frac{3.0}{2} = 1.5\).

Chyba: \(|1.5 – 1.5| = 0\), metoda se tedy ihned stabilizovala.

2. až 7. iterace:

Protože odhad byl přesný, hodnoty se již nemění a metoda zůstává stabilní na hodnotě \(1.5\).

Detailní rozbor:

Babylónská metoda je iterativní algoritmus, jehož konvergence závisí na kvalitě počátečního odhadu. V tomto případě je odhad přesný, proto již první iterace přináší správný výsledek a žádné další úpravy nejsou potřeba.

Kdyby byl odhad horší (například \(x_0=2\)), iterace by probíhaly více kroků a pomalu by se blížily ke skutečné hodnotě. Metoda tedy nejenže najde odmocninu, ale i ukazuje, jak přesný počáteční odhad ovlivňuje rychlost konvergence. To je důležitý koncept v numerických metodách, kde rychlá konvergence šetří čas výpočtu.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{10}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 3\). Skutečná hodnota je přibližně \(3.1622776602\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{10}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{10}{3} \approx 3.3333333333\).

Součet: \(3 + 3.3333333333 = 6.3333333333\).

Průměr: \(x_1 = 3.1666666667\).

Chyba: \(|3.1666666667 – 3| = 0.1666666667\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{10}{3.1666666667} \approx 3.1578947368\).

Součet: \(3.1666666667 + 3.1578947368 = 6.3245614035\).

Průměr: \(x_2 = 3.1622807017\).

Chyba: \(|3.1622807017 – 3.1666666667| \approx 0.004385965\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{10}{3.1622807017} \approx 3.1622775807\).

Součet: \(3.1622807017 + 3.1622775807 = 6.3245582824\).

Průměr: \(x_3 = 3.1622791412\).

Chyba: \(|3.1622791412 – 3.1622807017| = 1.56 \times 10^{-6}\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{10}{3.1622791412} \approx 3.1622776600\).

Součet: \(3.1622791412 + 3.1622776600 = 6.3245568012\).

Průměr: \(x_4 = 3.1622784006\).

Chyba: \(|3.1622784006 – 3.1622791412| = 7.41 \times 10^{-7}\).

5. až 8. iterace:

Hodnota se dále stabilizuje a chybový rozdíl se stává zanedbatelným, což potvrzuje vysokou přesnost výsledku.

Detailní rozbor:

Babylónská metoda využívá průměrování mezi odhadem a podílem čísla k odhadu, čímž efektivně redukuje chybu v každém kroku. Zlepšení přesnosti je kvadratické, což znamená, že počet správných desetinných míst se přibližně zdvojnásobuje v každé iteraci. Díky tomu je metoda extrémně rychlá a spolehlivá i pro čísla, která nejsou dokonalými čtverci.

Řešení příkladu:

Úloha: Spočítat \(\sqrt{50}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 7\). Skutečná hodnota je přibližně \(7.0710678119\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{50}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7} \approx 7.1428571429\).

Součet: \(7 + 7.1428571429 = 14.1428571429\).

Průměr: \(x_1 = 7.0714285714\).

Chyba: \(|7.0714285714 – 7| = 0.0714285714\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0714285714} \approx 7.0710678151\).

Součet: \(7.0714285714 + 7.0710678151 = 14.1424963865\).

Průměr: \(x_2 = 7.0712481933\).

Chyba: \(|7.0712481933 – 7.0714285714| = 0.0001803781\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0712481933} \approx 7.0710678120\).

Součet: \(7.0712481933 + 7.0710678120 = 14.1423160053\).

Průměr: \(x_3 = 7.0711580027\).

Chyba: \(|7.0711580027 – 7.0712481933| = 0.0000901906\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0711580027} \approx 7.0710678119\).

Součet: \(7.0711580027 + 7.0710678119 = 14.1422258146\).

Průměr: \(x_4 = 7.0711129073\).

Chyba: \(|7.0711129073 – 7.0711580027| = 0.0000450954\).

5. a 6. iterace:

Hodnoty se stále více přibližují k přesné hodnotě a rozdíly se zmenšují, což potvrzuje stabilní a rychlou konvergenci metody.

Detailní analýza:

Babylónská metoda využívá zpětnou vazbu z aktuálního odhadu a podílu k cílovému číslu, čímž upravuje odhad směrem ke skutečné odmocnině. I když počáteční odhad \(7\) je blízko správné hodnotě, metoda automaticky koriguje chybu iterativně, což demonstruje robustnost a efektivitu této metody. Výrazné snížení chyby už po prvních iteracích je příkladem kvadratické konvergence.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{0.04}\) pomocí Babylónské metody, počáteční odhad \(x_0 = 0.5\). Skutečná hodnota je \(0.2\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{0.04}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.04}{0.5} = 0.08\).

Součet: \(0.5 + 0.08 = 0.58\).

Průměr: \(x_1 = 0.29\).

Chyba: \(|0.29 – 0.5| = 0.21\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.04}{0.29} \approx 0.1379310345\).

Součet: \(0.29 + 0.1379310345 = 0.4279310345\).

Průměr: \(x_2 = 0.2139655172\).

Chyba: \(|0.2139655172 – 0.29| = 0.0760344828\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.04}{0.2139655172} \approx 0.1869158879\).

Součet: \(0.2139655172 + 0.1869158879 = 0.4008814051\).

Průměr: \(x_3 = 0.2004407025\).

Chyba: \(|0.2004407025 – 0.2139655172| = 0.0135248147\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{0.04}{0.2004407025} \approx 0.1995594715\).

Součet: \(0.2004407025 + 0.1995594715 = 0.400000174\).

Průměr: \(x_4 = 0.200000087\).

Chyba: \(|0.200000087 – 0.2004407025| = 0.0004406155\).

5. až 7. iterace:

Hodnoty se stabilizují velmi blízko přesné hodnoty \(0.2\), ukazujíce vysokou přesnost metody i pro velmi malé hodnoty.

Podrobný rozbor:

Babylónská metoda zůstává efektivní i u malých hodnot, protože iterativně upravuje odhad průměrem aktuálního odhadu a podílu. Díky tomu zvládá rychle korigovat chybu i tehdy, když počáteční odhad není přesný a hodnoty jsou blízko nule. Stabilita metody vychází z jejího vlastního vzorce, který vždy vytváří posloupnost blížící se skutečné odmocnině.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{123456}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 350\). Přesná hodnota je přibližně \(351.3630601\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{123456}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{123456}{350} \approx 352.7314286\).

Součet: \(350 + 352.7314286 = 702.7314286\).

Průměr: \(x_1 = 351.3657143\).

Chyba: \(|351.3657143 – 350| = 1.3657143\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{123456}{351.3657143} \approx 351.3602791\).

Součet: \(351.3657143 + 351.3602791 = 702.7259934\).

Průměr: \(x_2 = 351.3629967\).

Chyba: \(|351.3629967 – 351.3657143| = 0.0027176\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{123456}{351.3629967} \approx 351.3630593\).

Součet: \(351.3629967 + 351.3630593 = 702.7260560\).

Průměr: \(x_3 = 351.3630280\).

Chyba: \(|351.3630280 – 351.3629967| = 0.0000313\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{123456}{351.3630280} \approx 351.3630601\).

Součet: \(351.3630280 + 351.3630601 = 702.7260881\).

Průměr: \(x_4 = 351.3630441\).

Chyba: \(|351.3630441 – 351.3630280| = 0.0000161\).

5. iterace:

Podíl: \(\frac{123456}{351.3630441} \approx 351.3630601\).

Součet: \(351.3630441 + 351.3630601 = 702.7261042\).

Průměr: \(x_5 = 351.3630521\).

Chyba: \(|351.3630521 – 351.3630441| = 0.0000080\).

Podrobný rozbor:

Babylónská metoda dokáže efektivně vypočítat odmocninu i velmi velkých čísel díky iterativnímu průměrování. Počáteční odhad \(350\) je relativně blízko správné hodnotě \(351.3630601\), což zajišťuje rychlou konvergenci a menší počet iterací k dosažení vysoké přesnosti.

Pokud by byl odhad vzdálenější, metoda by potřebovala více kroků. Výhodou je, že každá iterace výrazně snižuje chybu, což činí Babylónskou metodu vhodnou i pro numerické výpočty s velkými hodnotami a vysokými nároky na přesnost.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{2.25}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 1.5\). Skutečná hodnota je \(1.5\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2.25}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{2.25}{1.5} = 1.5\).

Součet: \(1.5 + 1.5 = 3.0\).

Průměr: \(x_1 = 1.5\).

Chyba: \(|1.5 – 1.5| = 0\).

2. až 7. iterace:

Hodnota zůstává \(1.5\), což ukazuje, že metoda rychle dosáhla přesného výsledku díky ideálnímu počátečnímu odhadu.

Detailní rozbor:

Babylónská metoda zde demonstruje extrémně rychlou konvergenci, protože počáteční odhad přesně odpovídá odmocnině. Metoda pracuje na principu iterativního průměru odhadu a podílu cílového čísla a odhadu, což znamená, že pokud je počáteční odhad přesný, další iterace již chybu nevyvolají a algoritmus okamžitě konverguje k přesnému výsledku.

To potvrzuje, že metoda je nejen stabilní, ale i mimořádně efektivní, pokud máme dobrý počáteční odhad, což je často případ, když pracujeme s desetinnými čísly, jejichž odmocniny jsou známé nebo odhadnutelné.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{10}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 3\). Přibližná skutečná hodnota je \(3.162277660\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{10}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{10}{3} \approx 3.3333333\).

Součet: \(3 + 3.3333333 = 6.3333333\).

Průměr: \(x_1 = 3.1666667\).

Chyba: \(|3.1666667 – 3| = 0.1666667\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{10}{3.1666667} \approx 3.1578947\).

Součet: \(3.1666667 + 3.1578947 = 6.3245614\).

Průměr: \(x_2 = 3.1622807\).

Chyba: \(|3.1622807 – 3.1666667| = 0.0043860\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{10}{3.1622807} \approx 3.1622542\).

Součet: \(3.1622807 + 3.1622542 = 6.3245349\).

Průměr: \(x_3 = 3.1622674\).

Chyba: \(|3.1622674 – 3.1622807| = 0.0000133\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{10}{3.1622674} \approx 3.1622777\).

Součet: \(3.1622674 + 3.1622777 = 6.3245451\).

Průměr: \(x_4 = 3.1622725\).

Chyba: \(|3.1622725 – 3.1622674| = 0.0000051\).

5. až 8. iterace:

Hodnoty se stabilizují kolem \(3.162277\), což potvrzuje vysokou přesnost metody a její kvadratickou konvergenci.

Podrobný rozbor:

Babylónská metoda iterativně zlepšuje odhad odmocniny pomocí průměru aktuálního odhadu a podílu cílového čísla a tohoto odhadu. Pro čísla, která nejsou dokonalým čtvercem, metoda stále garantuje konvergenci, přičemž rychlost konvergence závisí na kvalitě počátečního odhadu.

V tomto případě začínáme s odhadem \(3\), který je přibližně \(5 %\) od skutečné hodnoty, a přesto se metoda během několika kroků velmi přesně přiblíží k přesné odmocnině \(3.162277660\). To demonstruje robustnost a efektivitu Babylónské metody pro praktické výpočty odmocnin.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{0.125}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 0.4\). Přesná hodnota je \(0.3535533906\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{0.125}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.125}{0.4} = 0.3125\).

Součet: \(0.4 + 0.3125 = 0.7125\).

Průměr: \(x_1 = 0.35625\).

Chyba: \(|0.35625 – 0.4| = 0.04375\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.125}{0.35625} \approx 0.350877\).

Součet: \(0.35625 + 0.350877 = 0.707127\).

Průměr: \(x_2 = 0.3535635\).

Chyba: \(|0.3535635 – 0.35625| = 0.0026865\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.125}{0.3535635} \approx 0.353591\).

Součet: \(0.3535635 + 0.353591 = 0.7071545\).

Průměr: \(x_3 = 0.3535772\).

Chyba: \(|0.3535772 – 0.3535635| = 0.0000137\).

4. až 8. iterace:

Hodnoty se stabilizují kolem \(0.353553\), což potvrzuje velmi rychlou a přesnou konvergenci i pro čísla menší než 1.

Podrobný rozbor:

Babylónská metoda ukazuje univerzálnost tím, že dokáže zpracovat i odmocniny malých desetinných čísel. Posloupnost aproximací vykazuje rychlou konvergenci, která je zajištěna tím, že každá iterace váženě průměruje aktuální odhad s podílem, což snižuje chybu téměř na druhou mocninu předchozí chyby.

Pro studenty vysoké školy je důležité pochopit, že metoda nemá problém ani s malými čísly, což je často problém jiných numerických metod kvůli zaokrouhlovacím chybám.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{50}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 7\). Přesná hodnota je přibližně \(7.071067811\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{50}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7} \approx 7.1428571\).

Součet: \(7 + 7.1428571 = 14.1428571\).

Průměr: \(x_1 = 7.0714286\).

Chyba: \(|7.0714286 – 7| = 0.0714286\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0714286} \approx 7.0710676\).

Součet: \(7.0714286 + 7.0710676 = 14.1424962\).

Průměr: \(x_2 = 7.0712481\).

Chyba: \(|7.0712481 – 7.0714286| = 0.0001805\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{50}{7.0712481} \approx 7.0710678\).

Součet: \(7.0712481 + 7.0710678 = 14.1423159\).

Průměr: \(x_3 = 7.0711579\).

Chyba: \(|7.0711579 – 7.0712481| = 0.0000902\).

4. až 7. iterace:

Hodnoty se rychle stabilizují kolem \(7.0710678\), což ukazuje vysokou přesnost a rychlou kvadratickou konvergenci Babylónské metody i u větších čísel.

Detailní rozbor:

Volba počátečního odhadu \(7\), který je velmi blízký skutečné odmocnině, významně zrychluje konvergenci. Pokud by odhad byl vzdálenější, bylo by potřeba více iterací. Tato iterativní metoda je tak nejen efektivní, ale také velmi robustní, což je nezbytné při numerických výpočtech s velkými čísly, kde jsou přesnost a rychlost klíčové.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{0.0009}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 0.03\). Přesná hodnota je \(0.03\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{0.0009}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.0009}{0.03} = 0.03\).

Součet: \(0.03 + 0.03 = 0.06\).

Průměr: \(x_1 = 0.03\).

Chyba: \(|0.03 – 0.03| = 0\).

2. až 6. iterace:

Hodnota zůstává \(0.03\), což ukazuje, že Babylónská metoda přesně a stabilně konverguje i u velmi malých hodnot, pokud je počáteční odhad správný.

Podrobný rozbor:

Tento příklad zdůrazňuje schopnost Babylónské metody pracovat s čísly velmi blízkými nule bez ztráty stability či přesnosti. Pokud máme přesný počáteční odhad, metoda ihned konverguje k výsledku a zachovává stabilitu, což je zásadní pro numerické metody při práci s malými hodnotami, kde může docházet k významným zaokrouhlovacím chybám.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{7}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 2.5\). Skutečná hodnota je přibližně \(2.645751311\).

Iterační vzorec je:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{7}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Vypočítáme podíl: \(\frac{7}{2.5} = 2.8\).

Součet \(x_0\) a podílu: \(2.5 + 2.8 = 5.3\).

Průměr: \(x_1 = \frac{5.3}{2} = 2.65\).

Relativní chyba k přesné hodnotě: \(|2.65 – 2.645751311| \approx 0.0042487\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{7}{2.65} \approx 2.641509434\).

Součet: \(2.65 + 2.641509434 = 5.291509434\).

Průměr: \(x_2 = \frac{5.291509434}{2} = 2.645754717\).

Chyba: \(|2.645754717 – 2.645751311| \approx 0.000003406\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{7}{2.645754717} \approx 2.645751307\).

Součet: \(2.645754717 + 2.645751307 = 5.291506024\).

Průměr: \(x_3 = \frac{5.291506024}{2} = 2.645753012\).

Chyba: \(|2.645753012 – 2.645751311| \approx 0.000001701\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{7}{2.645753012} \approx 2.645751311\).

Součet: \(2.645753012 + 2.645751311 = 5.291504323\).

Průměr: \(x_4 = \frac{5.291504323}{2} = 2.645752161\).

Chyba: \(|2.645752161 – 2.645751311| \approx 0.00000085\).

5. až 9. iterace:

Postupné hodnoty se stále více blíží přesné hodnotě \(2.645751311\) s chybou klesající kvadraticky, tj. přibližně na druhou mocninu chyby předchozí iterace. To znamená, že Babylónská metoda vykazuje kvadratickou konvergenci.

Podrobný rozbor:

Babylónská metoda využívá vlastnosti iterace průměru odhadu a podílu cílového čísla a odhadu, což způsobuje, že chyba v odhadu v každém kroku klesá přibližně jako druhá mocnina chyby z předchozí iterace. Díky tomu dochází k extrémně rychlému zpřesnění hodnoty odmocniny i při relativně hrubém počátečním odhadu.

V tomto příkladu je patrné, že již po druhé iteraci dosahujeme chyby menší než tisícina, a následně přesnost stále roste. Postup je monotónní a posloupnost aproximací je stabilní.

Celý proces lze vnímat jako hledání průsečíku grafu funkce \(f(x) = x^2 – 7\) a osy \(x\), kde Babylónská metoda představuje konkrétní způsob iterativního přibližování, který minimalizuje kvadratickou chybu.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{0.02}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 0.15\). Přesná hodnota je přibližně \(0.1414213562\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{0.02}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.02}{0.15} \approx 0.1333333\).

Součet: \(0.15 + 0.1333333 = 0.2833333\).

Průměr: \(x_1 = 0.1416667\).

Relativní chyba: \(|0.1416667 – 0.15| = 0.0083333\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.02}{0.1416667} \approx 0.1411765\).

Součet: \(0.1416667 + 0.1411765 = 0.2828432\).

Průměr: \(x_2 = 0.1414216\).

Chyba: \(|0.1414216 – 0.1416667| = 0.0002451\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.02}{0.1414216} \approx 0.1414211\).

Součet: \(0.1414216 + 0.1414211 = 0.2828427\).

Průměr: \(x_3 = 0.14142135\).

Chyba: \(|0.14142135 – 0.1414216| = 0.00000025\).

4. až 10. iterace:

Posloupnost se stabilizuje okolo přesné hodnoty \(0.1414213562\), přičemž rozdíly mezi iteracemi klesají exponenciálně.

Podrobný rozbor:

Babylónská metoda pro malé hodnoty funguje velmi dobře, přičemž se potenciální zaokrouhlovací chyby minimalizují díky symetrické povaze vzorce, který váží současný odhad a jeho reciproční část. Každý krok metody efektivně „vyvažuje“ chybu způsobenou příliš malým nebo velkým odhadem, což vede k postupné korekci a stabilizaci.

Metoda tedy nejenže konverguje rychle, ale také je velmi stabilní vůči numerickým nepřesnostem, což je pro aplikace v numerické matematice kriticky důležité.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{123456}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 350\). Přesná hodnota je přibližně \(351.364183\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{123456}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{123456}{350} \approx 352.731429\).

Součet: \(350 + 352.731429 = 702.731429\).

Průměr: \(x_1 = 351.365714\).

Chyba: \(|351.365714 – 350| = 1.365714\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{123456}{351.365714} \approx 351.362672\).

Součet: \(351.365714 + 351.362672 = 702.728386\).

Průměr: \(x_2 = 351.364193\).

Chyba: \(|351.364193 – 351.365714| = 0.001521\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{123456}{351.364193} \approx 351.364174\).

Součet: \(351.364193 + 351.364174 = 702.728367\).

Průměr: \(x_3 = 351.3641835\).

Chyba: \(|351.3641835 – 351.364193| \approx 9.5 \times 10^{-6}\).

4. až 6. iterace:

Hodnoty se prakticky nemění s přesností na šest desetinných míst, což ukazuje velmi rychlou kvadratickou konvergenci i pro velká čísla.

Podrobný rozbor:

Babylónská metoda zde jasně demonstruje, že i velmi velká čísla jsou řešitelná efektivně. Počáteční odhad \(350\) je již relativně blízký skutečné odmocnině, což významně urychluje konvergenci.

Každá iterace upravuje odhad tak, že vyvažuje aktuální hodnotu s hodnotou získanou jako podíl vstupního čísla a odhadu. Díky tomu chyba klesá kvadraticky, což znamená, že přibližně čtverec předchozí chyby určuje chybu aktuální.

To je ideální vlastnost numerické metody pro odmocniny, která zajišťuje rychlou a přesnou aproximaci i v případě extrémně velkých hodnot.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{0.0004}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 0.01\). Přesná hodnota je \(0.02\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{0.0004}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{0.0004}{0.01} = 0.04\).

Součet: \(0.01 + 0.04 = 0.05\).

Průměr: \(x_1 = 0.025\).

Chyba: \(|0.025 – 0.01| = 0.015\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{0.0004}{0.025} = 0.016\).

Součet: \(0.025 + 0.016 = 0.041\).

Průměr: \(x_2 = 0.0205\).

Chyba: \(|0.0205 – 0.025| = 0.0045\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{0.0004}{0.0205} \approx 0.0195122\).

Součet: \(0.0205 + 0.0195122 = 0.0400122\).

Průměr: \(x_3 = 0.0200061\).

Chyba: \(|0.0200061 – 0.0205| = 0.0004939\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{0.0004}{0.0200061} \approx 0.019998\).

Součet: \(0.0200061 + 0.019998 = 0.0400041\).

Průměr: \(x_4 = 0.02000205\).

Chyba: \(|0.02000205 – 0.0200061| = 0.00000405\).

5. až 8. iterace:

Hodnoty se stabilizují kolem přesné hodnoty \(0.02\) s chybou klesající kvadraticky, což demonstruje velmi rychlou konvergenci i u malých čísel.

Podrobný rozbor:

Babylónská metoda zde ukazuje, že i velmi malá čísla lze vypočítat s vysokou přesností, i když počáteční odhad byl o polovinu menší než skutečná odmocnina. První iterace výrazně korigovala odhad, a poté docházelo k velmi rychlému zpřesnění hodnoty.

Specifickým rysem je, že u malých čísel je třeba dbát na to, aby nedošlo k numerické nestabilitě či zaokrouhlovacím chybám. Metoda však díky své symetrické konstrukci a vážení aktuálního odhadu a jeho recipročního doplňku tyto problémy minimalizuje a poskytuje spolehlivý výsledek.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{2}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 1\). Přesná hodnota je přibližně \(1.414213562\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1} = 2\).

Součet: \(1 + 2 = 3\).

Průměr: \(x_1 = 1.5\).

Chyba: \(|1.5 – 1| = 0.5\).

2. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1.5} = 1.\overline{3}\).

Součet: \(1.5 + 1.\overline{3} = 2.8333…\).

Průměr: \(x_2 = 1.4166667\).

Chyba: \(|1.4166667 – 1.5| = 0.0833333\).

3. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1.4166667} \approx 1.4117647\).

Součet: \(1.4166667 + 1.4117647 = 2.8284314\).

Průměr: \(x_3 = 1.4142157\).

Chyba: \(|1.4142157 – 1.4166667| = 0.002451\).

4. iterace:

Podíl: \(\frac{2}{1.4142157} \approx 1.4142114\).

Součet: \(1.4142157 + 1.4142114 = 2.8284271\).

Průměr: \(x_4 = 1.4142136\).

Chyba: \(|1.4142136 – 1.4142157| \approx 2.1 \times 10^{-6}\).

5. až 12. iterace:

Hodnoty se stabilizují na přesné hodnotě s chybou menší než \(10^{-8}\), což demonstruje kvadratickou konvergenci Babylónské metody.

Podrobný rozbor:

Babylónská metoda vykazuje kvadratickou konvergenci, což znamená, že počet správných desetinných míst se přibližně zdvojnásobuje s každou iterací poté, co se blížíme ke skutečné hodnotě.

Počáteční odhad \(x_0 = 1\) je sice vzdálený skutečné odmocnině, ale díky rychlé konvergenci se hodnota během několika iterací výrazně zpřesní.

Specifickým rysem je, že kvadratická konvergence je podmíněna tím, že počáteční odhad není nulový a není příliš vzdálen od skutečné hodnoty. Zde toto splňuje, což vede k efektivnímu a rychlému výpočtu s vysokou přesností.

Celkem bylo potřeba \(12\) iterací, aby byla dosažena přesnost na \(8\) desetinných míst, což je vzhledem k jednoduchosti metody velmi efektivní.

Řešení příkladu:

Úloha: Vypočítat \(\sqrt{7}\) pomocí Babylónské metody s počátečním odhadem \(x_0 = 3\). Skutečná hodnota je přibližně \(2.645751311\).

Iterační vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{7}{x_n}\right)\).

1. iterace:

Vypočítáme podíl \(\frac{7}{3} \approx 2.333333\).

Součet je \(3 + 2.333333 = 5.333333\).

Průměr je \(x_1 = \frac{5.333333}{2} = 2.6666665\).

Chyba vzhledem k počátečnímu odhadu: \(|2.6666665 – 3| = 0.3333335\).

2. iterace:

Podíl \(\frac{7}{2.6666665} \approx 2.625\).

Součet \(2.6666665 + 2.625 = 5.2916665\).

Průměr \(x_2 = \frac{5.2916665}{2} = 2.64583325\).

Chyba \(|2.64583325 – 2.6666665| \approx 0.02083325\).

3. iterace:

Podíl \(\frac{7}{2.64583325} \approx 2.645161\).

Součet \(2.64583325 + 2.645161 = 5.291\).

Průměr \(x_3 = \frac{5.291}{2} = 2.6455\).

Chyba \(|2.6455 – 2.64583325| = 0.00033325\).

4. iterace:

Podíl \(\frac{7}{2.6455} \approx 2.645751\).

Součet \(2.6455 + 2.645751 = 5.291251\).

Průměr \(x_4 = \frac{5.291251}{2} = 2.6456255\).

Chyba \(|2.6456255 – 2.6455| = 0.0001255\).

5. iterace:

Podíl \(\frac{7}{2.6456255} \approx 2.6457513\).

Součet \(2.6456255 + 2.6457513 = 5.2913768\).

Průměr \(x_5 = \frac{5.2913768}{2} = 2.6456884\).

Chyba \(|2.6456884 – 2.6456255| = 0.0000629\).

6. iterace:

Podíl \(\frac{7}{2.6456884} \approx 2.6457513\).

Součet \(2.6456884 + 2.6457513 = 5.2914397\).

Průměr \(x_6 = \frac{5.2914397}{2} = 2.6457198\).

Chyba \(|2.6457198 – 2.6456884| = 0.0000314\).

7. iterace:

Podíl \(\frac{7}{2.6457198} \approx 2.6457513\).

Součet \(2.6457198 + 2.6457513 = 5.2914711\).

Průměr \(x_7 = \frac{5.2914711}{2} = 2.64573555\).

Chyba \(|2.64573555 – 2.6457198| = 0.00001575\).

Podrobný rozbor:

Babylónská metoda ukazuje rychlou konvergenci k hodnotě \(\sqrt{7} \approx 2.645751311\). Již po několika iteracích je hodnota velmi přesná, chyba se snižuje téměř geometricky. Počáteční odhad \(x_0 = 3\) není příliš vzdálen skutečné hodnotě, což podporuje rychlou konvergenci.

Pokud by byl počáteční odhad výrazně horší, například mnohem větší nebo menší, metoda by mohla konvergovat pomaleji, případně by se iterace mohly oscilovat. Zde však vidíme, že i relativně hrubý odhad rychle vede k přesné hodnotě.

Výhoda Babylónské metody je, že i při nepřesném počátečním odhadu se hodnota postupně a efektivně blíží ke skutečnému výsledku díky vlastnostem iterativního vzorce.

Úloha: Vypočítať \(\sqrt{5}\) pomocou Babylónskej metódy so štartovacím odhadom \(x_0 = 2\).

Iteračný vzorec:

\(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{5}{x_n}\right)\).

Skutočná hodnota: \(\sqrt{5} \approx 2.2360679775\).

1. iterácia:

Vypočítame \(\frac{5}{2} = 2.5\).

Potom \(x_1 = \frac{1}{2}(2 + 2.5) = \frac{4.5}{2} = 2.25\).

Chyba: \(|2.25 – 2.2360679775| \approx 0.013932\).

2. iterácia:

Vypočítame \(\frac{5}{2.25} \approx 2.222222\).

Potom \(x_2 = \frac{1}{2}(2.25 + 2.222222) = \frac{4.472222}{2} = 2.236111\).

Chyba: \(|2.236111 – 2.2360679775| \approx 0.000043\).

3. iterácia:

Vypočítame \(\frac{5}{2.236111} \approx 2.236056\).

Potom \(x_3 = \frac{1}{2}(2.236111 + 2.236056) = \frac{4.472167}{2} = 2.2360835\).

Chyba: \(|2.2360835 – 2.2360679775| \approx 0.0000155\).

Podobným spôsobom pokračujeme až po 7. iteráciu, kde chyba klesá geometricky, čo znamená, že metóda má kvadratickú konvergenciu.

Rýchlosť konvergencie je vysvetlená tým, že chyba v ďalšom kroku je približne druhou mocninou chyby v kroku predchádzajúcom, pretože iterácia zlepšuje odhad približne podľa vzťahu \(e_{n+1} \approx C e_n^2\), kde \(e_n\) je chyba v n-tom kroku.

To znamená, že keď sa už odhad dostane blízko k presnému výsledku, ďalšie iterácie dramaticky zmenšujú chybu.

Úloha: Výpočet \(\sqrt{10}\) metódou Babylónskou s počiatočným odhadom \(x_0=3\).

Iteračný vzorec: \(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{10}{x_n}\right)\).

Skutočná hodnota: \(\sqrt{10} \approx 3.16227766\).

1. iterácia:

Vypočítame \(\frac{10}{3} \approx 3.3333\).

Potom \(x_1 = \frac{1}{2}(3 + 3.3333) = 3.1667\).

Chyba: \(|3.1667 – 3.16227766| \approx 0.0044\).

2. iterácia:

Vypočítame \(\frac{10}{3.1667} \approx 3.1579\).

Potom \(x_2 = \frac{1}{2}(3.1667 + 3.1579) = 3.1623\).

Chyba: \(|3.1623 – 3.16227766| \approx 0.000022\).

3. iterácia:

Vypočítame \(\frac{10}{3.1623} \approx 3.1623\).

Potom \(x_3 = \frac{1}{2}(3.1623 + 3.1623) = 3.1623\).

Chyba: veľmi malá, prakticky konvergencia.

Rastúce čísla majú tendenciu udržať stabilitu metódy, pretože Babylónska metóda vždy vyvažuje odhad medzi hodnotou a jej delením číslom, čo vedie k rýchlemu a stabilnému zlepšeniu.

Úloha: Vypočítať \(\sqrt{0.04}\) metódou Babylónskou, počiatočný odhad \(x_0=0.1\).

Iteračný vzorec: \(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{0.04}{x_n}\right)\).

Skutočná hodnota: \(\sqrt{0.04} = 0.2\).

1. iterácia:

Vypočítame \(\frac{0.04}{0.1} = 0.4\).

Potom \(x_1 = \frac{1}{2}(0.1 + 0.4) = 0.25\).

Chyba: \(|0.25 – 0.2| = 0.05\).

2. iterácia:

Vypočítame \(\frac{0.04}{0.25} = 0.16\).

Potom \(x_2 = \frac{1}{2}(0.25 + 0.16) = 0.205\).

Chyba: \(|0.205 – 0.2| = 0.005\).

3. iterácia:

Vypočítame \(\frac{0.04}{0.205} \approx 0.1951\).

Potom \(x_3 = \frac{1}{2}(0.205 + 0.1951) = 0.20005\).

Chyba: \(|0.20005 – 0.2| = 0.00005\).

Metóda funguje spoľahlivo aj pri číslach menších než \(1\), pretože vzorec stále zlepšuje odhad pri každej iterácii.

Úloha: Výpočet \(\sqrt{2}\) s počiatočným odhadom \(x_0 = 1.5\) Babylónskou metódou.

Iteračný vzorec: \(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)\).

Skutočná hodnota: \(\sqrt{2} \approx 1.414213562\).

1. iterácia:

Vypočítame \(\frac{2}{1.5} = 1.333333\).

Potom \(x_1 = \frac{1}{2}(1.5 + 1.333333) = 1.4166665\).

Chyba: \(|1.4166665 – 1.414213562| \approx 0.0024529\).

Počiatočný odhad bol vybraný tak, že je blízko očakávanej hodnote, čo zlepšuje rýchlosť konvergencie.

2. iterácia:

Vypočítame \(\frac{2}{1.4166665} \approx 1.4117645\).

Potom \(x_2 = \frac{1}{2}(1.4166665 + 1.4117645) = 1.4142155\).

Chyba: \(|1.4142155 – 1.414213562| \approx 0.0000019\).

3. iterácia:

Vypočítame \(\frac{2}{1.4142155} \approx 1.4142114\).

Potom \(x_3 = \frac{1}{2}(1.4142155 + 1.4142114) = 1.4142134\).

Chyba: \(|1.4142134 – 1.414213562| \approx 1.6 \times 10^{-7}\).

Konvergencia je veľmi rýchla, pretože Babylónska metóda má kvadratickú rýchlosť konvergencie, čo znamená, že chyba sa v každom kroku približne násobí druhou mocninou chyby z predchádzajúceho kroku.

Úloha: Výpočet \(\sqrt{12}\) Babylónskou metódou, štart \(x_0=4\).

Iteračný vzorec: \(x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{12}{x_n})\).

Skutočná hodnota: \(\sqrt{12} \approx 3.464101615\).

1. iterácia:

Vypočítame \(\frac{12}{4} = 3\).

Potom \(x_1 = \frac{1}{2}(4 + 3) = 3.5\).

Chyba: \(|3.5 – 3.464101615| = 0.035898385\).

2. iterácia:

Vypočítame \(\frac{12}{3.5} \approx 3.4285714\).

Potom \(x_2 = \frac{1}{2}(3.5 + 3.4285714) = 3.4642857\).

Chyba: \(|3.4642857 – 3.464101615| = 0.000184\).

3. iterácia:

Vypočítame \(\frac{12}{3.4642857} \approx 3.4637681\).

Potom \(x_3 = \frac{1}{2}(3.4642857 + 3.4637681) = 3.464027\).

Chyba: \(|3.464027 – 3.464101615| = 0.0000746\).

Ďalšie iterácie pokračujú v jemnom dolaďovaní odhadu, pričom chyba klesá veľmi rýchlo.

Úloha: Výpočet \(\sqrt{50}\) pomocou Babylónskej metódy, štartovací odhad \(x_0 = 7\).

Vzorec iterácie: \(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{50}{x_n}\right)\).

Presná hodnota: \(\sqrt{50} \approx 7.0710678118654755\).

1. iterácia:

Vypočítame \(\frac{50}{7} \approx 7.1428571429\).

Potom \(x_1 = \frac{1}{2} (7 + 7.1428571429) = \frac{14.1428571429}{2} = 7.0714285714\).

Chyba \(e_1 = |7.0714285714 – 7.0710678119| \approx 0.0003607595\).

2. iterácia:

Vypočítame \(\frac{50}{7.0714285714} \approx 7.0707070707\).

Potom \(x_2 = \frac{1}{2} (7.0714285714 + 7.0707070707) = 7.0710678211\).

Chyba \(e_2 = |7.0710678211 – 7.0710678119| \approx 9.2 \times 10^{-9}\).

3. iterácia:

Vypočítame \(\frac{50}{7.0710678211} \approx 7.0710678016\).

Potom \(x_3 = \frac{1}{2} (7.0710678211 + 7.0710678016) = 7.0710678113\).

Chyba \(e_3 = |7.0710678113 – 7.0710678119| \approx 6 \times 10^{-10}\).

Pokračovaním iterácií by sme videli, že chyba sa zmenšuje extrémne rýchlo, čo je typické pre kvadratickú konvergenciu.

Kvadratická konvergencia znamená, že chyba \(e_{n+1}\) je približne úmerná \(e_n^2\). To implikuje, že ak sa chyba zmenší raz, v nasledujúcom kroku sa zmenší zhruba na druhú mocninu tejto chyby, čo je dramatické zlepšenie.

Pri väčších číslach to znamená, že aj pri relatívne veľkom počiatočnom odhade sa metóda rýchlo dostane k presnej hodnote v niekoľkých iteráciách.

Týmto sme detailne prešli všetky výpočty, dôkazy a zmeny chyby pre každú iteráciu.

Úloha: Výpočet \(\sqrt{0.25}\) pomocou Babylónskej metódy, počiatočný odhad \(x_0=1\).

Iteračný vzorec: \(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{0.25}{x_n}\right)\).

Presná hodnota: \(\sqrt{0.25} = 0.5\).

1. iterácia:

Vypočítame \(\frac{0.25}{1} = 0.25\).

Potom \(x_1 = \frac{1}{2} (1 + 0.25) = 0.625\).

Chyba \(e_1 = |0.625 – 0.5| = 0.125\).

2. iterácia:

Vypočítame \(\frac{0.25}{0.625} = 0.4\).

Potom \(x_2 = \frac{1}{2} (0.625 + 0.4) = 0.5125\).

Chyba \(e_2 = |0.5125 – 0.5| = 0.0125\).

3. iterácia:

Vypočítame \(\frac{0.25}{0.5125} \approx 0.4878\).

Potom \(x_3 = \frac{1}{2} (0.5125 + 0.4878) = 0.50015\).

Chyba \(e_3 = |0.50015 – 0.5| = 0.00015\).

4. iterácia:

Vypočítame \(\frac{0.25}{0.50015} \approx 0.49985\).

Potom \(x_4 = \frac{1}{2} (0.50015 + 0.49985) = 0.5\).

Chyba je prakticky nulová.

Babylónska metóda je stabilná aj pre malé hodnoty, pretože vzorec využíva vážený priemer aktuálneho odhadu a výsledku delenia, čo vyvažuje extrémne hodnoty.

Iteračný proces efektívne znižuje chybu veľmi rýchlo, čo potvrdzuje, že metóda je vhodná aj na korektné výpočty malých hodnôt.

Úloha: Výpočet \(\sqrt{18}\) Babylónskou metódou, počiatočný odhad \(x_0=4.5\).

Vzorec: \(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{18}{x_n}\right)\).

Presná hodnota: \(\sqrt{18} \approx 4.242640687\).

1. iterácia:

Vypočítame \(\frac{18}{4.5} = 4\).

Potom \(x_1 = \frac{1}{2} (4.5 + 4) = 4.25\).

Chyba \(e_1 = |4.25 – 4.242640687| = 0.007359313\).

2. iterácia:

Vypočítame \(\frac{18}{4.25} \approx 4.235294118\).

Potom \(x_2 = \frac{1}{2} (4.25 + 4.235294118) = 4.242647059\).

Chyba \(e_2 = |4.242647059 – 4.242640687| = 6.372 \times 10^{-6}\).

3. iterácia:

Vypočítame \(\frac{18}{4.242647059} \approx 4.242634002\).

Potom \(x_3 = \frac{1}{2} (4.242647059 + 4.242634002) = 4.242640530\).

Chyba \(e_3 = |4.242640530 – 4.242640687| = 1.57 \times 10^{-7}\).

Ak by sme začali s menším \(x_0 = 3\), konvergencia by bola pomalšia, pretože odhad je ďalej od cieľa. Pri väčšom \(x_0 = 6\) by sme pozorovali tiež rýchlu konvergenciu, ale mohli by sa vyskytnúť väčšie rozdiely v prvých iteráciách.

Výber počiatočného odhadu ovplyvňuje, koľko iterácií je potrebných k dosiahnutiu požadovanej presnosti.

Ideálne je mať odhad čo najbližšie k skutočnej hodnote, čím sa minimalizuje počet iterácií.

Úloha: Výpočet \(\sqrt{0.81}\) pomocou Babylónskej metódy, počiatočný odhad \(x_0=1\).

Vzorec iterácie: \(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{0.81}{x_n}\right)\).

Presná hodnota: \(\sqrt{0.81} = 0.9\).

1. iterácia:

Vypočítame \(\frac{0.81}{1} = 0.81\).

Potom \(x_1 = \frac{1}{2} (1 + 0.81) = 0.905\).

Chyba \(e_1 = |0.905 – 0.9| = 0.005\).

2. iterácia:

Vypočítame \(\frac{0.81}{0.905} \approx 0.8950\).

Potom \(x_2 = \frac{1}{2} (0.905 + 0.8950) = 0.9\).

Chyba je prakticky nulová.

Babylónska metóda rýchlo znižuje chybu aj v prípade desatinných čísel menších ako \(1\), keďže vzorec využíva symetriu medzi odhadom a výsledkom delenia, ktorá vyrovnáva odchýlky.

Konvergencia je kvadratická, čo znamená, že po druhej iterácii máme prakticky presný výsledok.

Tento príklad potvrdzuje spoľahlivosť a efektívnosť metódy v rôznych intervaloch hodnôt.

Úloha: Výpočet \(\sqrt{123.456}\) Babylónskou metódou, počiatočný odhad \(x_0=12\).

Vzorec iterácie: \(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{123.456}{x_n}\right)\).

Presná hodnota: \(\sqrt{123.456} \approx 11.111111111\).

1. iterácia:

Vypočítame \(\frac{123.456}{12} = 10.288\).

Potom \(x_1 = \frac{1}{2} (12 + 10.288) = 11.144\).

Chyba \(e_1 = |11.144 – 11.111111| = 0.032889\).

2. iterácia:

Vypočítame \(\frac{123.456}{11.144} \approx 11.074\).

Potom \(x_2 = \frac{1}{2} (11.144 + 11.074) = 11.109\).

Chyba \(e_2 = |11.109 – 11.111111| = 0.002111\).

3. iterácia:

Vypočítame \(\frac{123.456}{11.109} \approx 11.111\).

Potom \(x_3 = \frac{1}{2} (11.109 + 11.111) = 11.110\).

Chyba \(e_3 = |11.110 – 11.111111| = 0.001111\).

4. iterácia:

Vypočítame \(\frac{123.456}{11.110} \approx 11.111\).

Potom \(x_4 = \frac{1}{2} (11.110 + 11.111) = 11.1105\).

Chyba sa ďalej zmenšuje a približuje k nule.

Numerické odchýlky sú minimálne, a metóda ukazuje stabilitu aj pre necelé a zložité desatinné čísla.

Rýchlosť konvergencie je naďalej kvadratická, čo potvrdzuje efektívnosť metódy.

Takto detailne sme rozobrali každý krok a vysvetlili numerické aspekty metódy.