1. Vypočtěte součin matic \( A \) a \( B \), kde
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 1:
Pro výpočet součinu matic \( A \cdot B \) použijeme definici násobení matic:
\[
(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}
\]
Matice \( A \) i \( B \) jsou obě velikosti \( 2 \times 2 \), tedy výpočet je možný. Vypočítáme jednotlivé prvky výsledné matice \( C = A \cdot B \):
\[
C_{11} = A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2
\]
\[
C_{12} = A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1
\]
\[
C_{21} = A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4
\]
\[
C_{22} = A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 3
\]
Výsledná matice je tedy:
\[
C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}
\]
2. Vypočítejte součin matic \( A \) (velikost \( 3 \times 2 \)) a \( B \) (velikost \( 2 \times 4 \)), kde
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 \end{pmatrix}
\]
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 2:
Matice \( A \) má rozměry \( 3 \times 2 \) a matice \( B \) rozměry \( 2 \times 4 \), součin je definován a výsledná matice bude mít rozměr \( 3 \times 4 \).
Vypočítáme prvek \( C_{ij} \) jako součet součinů odpovídajících prvků řádku matice \( A \) a sloupce matice \( B \):
\[
C_{ij} = \sum_{k=1}^2 A_{ik} B_{kj}
\]
Postupně vypočteme všechny prvky výsledné matice \( C \):
\[
C_{11} = 1 \cdot 7 + 0 \cdot 11 = 7
\]
\[
C_{12} = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 12 = 8
\]
\[
C_{13} = 1 \cdot 9 + 0 \cdot 13 = 9
\]
\[
C_{14} = 1 \cdot 10 + 0 \cdot 14 = 10
\]
\[
C_{21} = 2 \cdot 7 + 3 \cdot 11 = 14 + 33 = 47
\]
\[
C_{22} = 2 \cdot 8 + 3 \cdot 12 = 16 + 36 = 52
\]
\[
C_{23} = 2 \cdot 9 + 3 \cdot 13 = 18 + 39 = 57
\]
\[
C_{24} = 2 \cdot 10 + 3 \cdot 14 = 20 + 42 = 62
\]
\[
C_{31} = 4 \cdot 7 + 5 \cdot 11 = 28 + 55 = 83
\]
\[
C_{32} = 4 \cdot 8 + 5 \cdot 12 = 32 + 60 = 92
\]
\[
C_{33} = 4 \cdot 9 + 5 \cdot 13 = 36 + 65 = 101
\]
\[
C_{34} = 4 \cdot 10 + 5 \cdot 14 = 40 + 70 = 110
\]
Výsledná matice je tedy:
\[
C = \begin{pmatrix}
7 & 8 & 9 & 10 \\
47 & 52 & 57 & 62 \\
83 & 92 & 101 & 110
\end{pmatrix}
\]
3. Určete součin matic \( A \) a \( B \), kde
\[
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}
\]
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 3:
Matice \( A \) je velikosti \( 2 \times 3 \), matice \( B \) velikosti \( 3 \times 2 \), součin existuje a výsledná matice bude \( 2 \times 2 \).
Výpočet jednotlivých prvků:
\[
C_{11} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = 2 + 2 + 0 = 4
\]
\[
C_{12} = 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 5 + 0 \cdot (-1) = 0 – 5 + 0 = -5
\]
\[
C_{21} = 4 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 = 4 – 6 + 3 = 1
\]
\[
C_{22} = 4 \cdot 0 + 3 \cdot 5 + 1 \cdot (-1) = 0 + 15 – 1 = 14
\]
Výsledná matice:
\[
C = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 1 & 14 \end{pmatrix}
\]
4. Vypočtěte součin matic \( A \) a \( B \), kde
\[
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 \\ -1 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix}
\]
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 4:
Matice \( A \) i \( B \) mají rozměr \( 3 \times 3 \), součin existuje a bude také \( 3 \times 3 \).
Výpočet prvků matice \( C = A \cdot B \):
\[
C_{11} = 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 3 + 0 + 8 = 11
\]
\[
C_{12} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 6 + 0 + 0 = 6
\]
\[
C_{13} = 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 3 + 0 + 6 = 9
\]
\[
C_{21} = (-1) \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 4 = -1 + 0 + 20 = 19
\]
\[
C_{22} = (-1) \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = -2 + 4 + 0 = 2
\]
\[
C_{23} = (-1) \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 3 = -1 + 0 + 15 = 14
\]
\[
C_{31} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 2 + 0 + 0 = 2
\]
\[
C_{32} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 4 + 3 + 0 = 7
\]
\[
C_{33} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = 2 + 0 + 0 = 2
\]
Výsledná matice:
\[
C = \begin{pmatrix} 11 & 6 & 9 \\ 19 & 2 & 14 \\ 2 & 7 & 2 \end{pmatrix}
\]
5. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \), kde
\[
A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}
\]
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 5:
Matice \( A \) a \( B \) mají rozměr \( 2 \times 2 \), součin bude také \( 2 \times 2 \).
Výpočet jednotlivých prvků matice \( C = A \cdot B \):
\[
C_{11} = 5 \cdot 1 + (-2) \cdot 6 = 5 – 12 = -7
\]
\[
C_{12} = 5 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) = 20 + 2 = 22
\]
\[
C_{21} = 0 \cdot 1 + 3 \cdot 6 = 0 + 18 = 18
\]
\[
C_{22} = 0 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 0 – 3 = -3
\]
Výsledná matice:
\[
C = \begin{pmatrix} -7 & 22 \\ 18 & -3 \end{pmatrix}
\]
6. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \), kde
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
\]
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 6:
Matice \( A \) má rozměr \( 2 \times 3 \), matice \( B \) rozměr \( 3 \times 2 \), součin existuje a výsledná matice bude \( 2 \times 2 \).
Výpočet prvků:
\[
C_{11} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 2 + 0 + 6 = 8
\]
\[
C_{12} = 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 = -1 + 15 + 8 = 22
\]
\[
C_{21} = 4 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = 8 + 0 – 3 = 5
\]
\[
C_{22} = 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 5 + (-1) \cdot 4 = -4 + 0 – 4 = -8
\]
Výsledná matice:
\[
C = \begin{pmatrix} 8 & 22 \\ 5 & -8 \end{pmatrix}
\]
7. Vypočtěte součin matic \( A \) a \( B \), kde
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve ověříme rozměry matic. Matice \( A \) má rozměry \( 2 \times 3 \), matice \( B \) má rozměry \( 3 \times 2 \), takže součin \( AB \) existuje a bude mít rozměry \( 2 \times 2 \).
Matice \( AB = C = (c_{ij}) \), kde
\( c_{ij} = \sum_{k=1}^{3} a_{ik} b_{kj} \)
Počítáme jednotlivé prvky:
\( c_{11} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 2 + 6 – 1 = 7 \)
\( c_{12} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 = 0 – 9 + 5 = -4 \)
\( c_{21} = 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 0 – 2 – 4 = -6 \)
\( c_{22} = 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-3) + 4 \cdot 5 = 0 + 3 + 20 = 23 \)
Výsledná matice je tedy:
\( AB = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -6 & 23 \end{pmatrix} \)
8. Vypočtěte součin matic \( A \) a \( B \), kde
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Matice \( A \) i \( B \) jsou obě \( 3 \times 3 \), takže součin \( AB \) bude také \( 3 \times 3 \).
Obecně platí, že prvek \( c_{ij} \) výsledné matice je součtem součinů odpovídajících prvků i-tého řádku matice \( A \) a j-tého sloupce matice \( B \):
\( c_{ij} = \sum_{k=1}^3 a_{ik} b_{kj} \)
Počítáme jednotlivé prvky:
\( c_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 = 2 – 2 + 0 = 0 \)
\( c_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 + 0 \cdot (-2) = 0 + 6 + 0 = 6 \)
\( c_{13} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 1 + 4 + 0 = 5 \)
\( c_{21} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + 4 \cdot 4 = 6 + 1 + 16 = 23 \)
\( c_{22} = 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 + 4 \cdot (-2) = 0 – 3 – 8 = -11 \)
\( c_{23} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 3 – 2 + 4 = 5 \)
\( c_{31} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 5 \cdot 4 = 4 – 1 + 20 = 23 \)
\( c_{32} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3 + 5 \cdot (-2) = 0 + 3 – 10 = -7 \)
\( c_{33} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 2 + 2 + 5 = 9 \)
Výsledná matice je:
\( AB = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 5 \\ 23 & -11 & 5 \\ 23 & -7 & 9 \end{pmatrix} \)
9. Vypočtěte součin matic \( A \) a \( B \), kde
\( A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 0 & -2 \end{pmatrix} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Matice \( A \) je \( 3 \times 2 \), matice \( B \) je \( 2 \times 3 \), součin \( AB \) existuje a bude mít rozměry \( 3 \times 3 \).
Prvek výsledné matice \( C = AB = (c_{ij}) \) spočítáme jako:
\( c_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} b_{kj} \)
Počítáme jednotlivé prvky:
\( c_{11} = 4 \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 12 + 4 = 16 \)
\( c_{12} = 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -4 + 0 = -4 \)
\( c_{13} = 4 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 8 – 2 = 6 \)
\( c_{21} = 0 \cdot 3 + (-3) \cdot 4 = 0 – 12 = -12 \)
\( c_{22} = 0 \cdot (-1) + (-3) \cdot 0 = 0 + 0 = 0 \)
\( c_{23} = 0 \cdot 2 + (-3) \cdot (-2) = 0 + 6 = 6 \)
\( c_{31} = 2 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 6 + 20 = 26 \)
\( c_{32} = 2 \cdot (-1) + 5 \cdot 0 = -2 + 0 = -2 \)
\( c_{33} = 2 \cdot 2 + 5 \cdot (-2) = 4 – 10 = -6 \)
Výsledná matice je tedy:
\( AB = \begin{pmatrix} 16 & -4 & 6 \\ -12 & 0 & 6 \\ 26 & -2 & -6 \end{pmatrix} \)
10. Vypočtěte součin matic \( A \) a \( B \), kde
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 0 \\ 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Matice \( A \) je \( 4 \times 2 \), matice \( B \) je \( 2 \times 4 \), součin \( AB \) existuje a bude mít rozměry \( 4 \times 4 \).
Obecný prvek výsledné matice \( C = AB = (c_{ij}) \) je dán vztahem:
\( c_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} b_{kj} \)
Počítáme jednotlivé prvky řádek po řádku:
Pro první řádek (\( i=1 \)):
\( c_{11} = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 2 + 4 = 6 \)
\( c_{12} = 1 \cdot (-1) + 4 \cdot 4 = -1 + 16 = 15 \)
\( c_{13} = 1 \cdot 0 + 4 \cdot (-2) = 0 – 8 = -8 \)
\( c_{14} = 1 \cdot 3 + 4 \cdot 1 = 3 + 4 = 7 \)
Pro druhý řádek (\( i=2 \)):
\( c_{21} = (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 1 = -4 + 0 = -4 \)
\( c_{22} = (-2) \cdot (-1) + 0 \cdot 4 = 2 + 0 = 2 \)
\( c_{23} = (-2) \cdot 0 + 0 \cdot (-2) = 0 + 0 = 0 \)
\( c_{24} = (-2) \cdot 3 + 0 \cdot 1 = -6 + 0 = -6 \)
Pro třetí řádek (\( i=3 \)):
\( c_{31} = 3 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 6 + 5 = 11 \)
\( c_{32} = 3 \cdot (-1) + 5 \cdot 4 = -3 + 20 = 17 \)
\( c_{33} = 3 \cdot 0 + 5 \cdot (-2) = 0 – 10 = -10 \)
\( c_{34} = 3 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 9 + 5 = 14 \)
Pro čtvrtý řádek (\( i=4 \)):
\( c_{41} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 = 2 – 1 = 1 \)
\( c_{42} = 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 = -1 – 4 = -5 \)
\( c_{43} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot (-2) = 0 + 2 = 2 \)
\( c_{44} = 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 = 3 – 1 = 2 \)
Výsledná matice je:
\( AB = \begin{pmatrix} 6 & 15 & -8 & 7 \\ -4 & 2 & 0 & -6 \\ 11 & 17 & -10 & 14 \\ 1 & -5 & 2 & 2 \end{pmatrix} \)
11. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
\( A =
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 3 \\
-1 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\),\quad
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 5 \\
2 & -1 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Výsledek bude matice o rozměrech \( 2 \times 2 \).
První řádek výsledku:
\(
(2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 0,\ 2 \cdot 5 + 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 3) =
(2 + 0 + 0,\ 10 + 0 + 9) =
(2,\ 19)
\)
Druhý řádek výsledku:
\(
(-1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 1 \cdot 0,\ -1 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 3) =
(-1 + 8 + 0,\ -5 – 4 + 3) =
(7,\ -6)
\)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
2 & 19 \\
7 & -6
\end{pmatrix}
\)
12. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -3 \\
4 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
-1 & 3 & 5
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Výsledek bude matice o rozměrech \(3×3\).
První řádek:
\( (1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1), 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3, 1 \cdot 0 + 2 \cdot 5) = (2 – 2, 1 + 6, 0 + 10) = (0, 7, 10) \)
Druhý řádek:
\( (0 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1), 0 \cdot 1 + (-3) \cdot 3, 0 \cdot 0 + (-3) \cdot 5) = (3, -9, -15) \)
Třetí řádek:
\( (4 \cdot 2 + 1 \cdot (-1), 4 \cdot 1 + 1 \cdot 3, 4 \cdot 0 + 1 \cdot 5) = (8 – 1, 4 + 3, 0 + 5) = (7, 7, 5) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
0 & 7 & 10 \\
3 & -9 & -15 \\
7 & 7 & 5
\end{pmatrix}
\)
13. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & -1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -1 \\
5 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Výsledek bude matice \(3×3\).
První řádek: \( (1 \cdot 2 + 0 \cdot 5, 1 \cdot 3 + 0 \cdot 0, 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 2) = (2, 3, -1) \)
Druhý řádek: \( (2 \cdot 2 + (-1) \cdot 5, 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 0, 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2) = (4 – 5, 6, -2 -2) = (-1, 6, -4) \)
Třetí řádek: \( (3 \cdot 2 + 4 \cdot 5, 3 \cdot 3 + 4 \cdot 0, 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2) = (6 + 20, 9, -3 + 8) = (26, 9, 5) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -1 \\
-1 & 6 & -4 \\
26 & 9 & 5
\end{pmatrix}
\)
14. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
0 & 4 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
-1 & 5 \\
3 & -2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Výsledná matice bude \(2×2\).
První řádek:
\( (1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot 3, 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 5 + 3 \cdot (-2)) = (2 + 2 + 9, 0 – 10 – 6) = (13, -16) \)
Druhý řádek:
\( (0 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3, 0 \cdot 0 + 4 \cdot 5 + (-1) \cdot (-2)) = (0 – 4 – 3, 0 + 20 + 2) = (-7, 22) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
13 & -16 \\
-7 & 22
\end{pmatrix}
\)
15. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-3 & 0
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
4 & -2 & 1 \\
0 & 5 & -3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozměry výsledné matice: \( 2×3\).
První řádek:
\( (2 \cdot 4 + 1 \cdot 0, 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 5, 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-3)) = (8, -4 + 5, 2 – 3) = (8, 1, -1) \)
Druhý řádek:
\( (-3 \cdot 4 + 0 \cdot 0, -3 \cdot (-2) + 0 \cdot 5, -3 \cdot 1 + 0 \cdot (-3)) = (-12, 6, -3) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
8 & 1 & -1 \\
-12 & 6 & -3
\end{pmatrix}
\)
16. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & -1 \\
0 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 \\
-1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×2, B\) je \(2×1\), výsledkem bude matice \(3×1\) (sloupcový vektor).
První řádek: \( 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 2 – 3 = -1 \)
Druhý řádek: \( 2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) = 4 + 1 = 5 \)
Třetí řádek: \( 0 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 0 – 4 = -4 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
-1 \\
5 \\
-4
\end{pmatrix}
\)
17. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
3 & 0 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & -1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×2\), \(B\) je \(2×2\), výsledná matice bude \(3×2\).
První řádek: \( (-2 \cdot 1 + 1 \cdot 2, -2 \cdot 4 + 1 \cdot (-1)) = (-2 + 2, -8 -1) = (0, -9) \)
Druhý řádek: \( (3 \cdot 1 + 0 \cdot 2, 3 \cdot 4 + 0 \cdot (-1)) = (3, 12) \)
Třetí řádek: \( (1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2, 1 \cdot 4 + (-1) \cdot (-1)) = (1 – 2, 4 + 1) = (-1, 5) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
0 & -9 \\
3 & 12 \\
-1 & 5
\end{pmatrix}
\)
18. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
5 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(1×3\), \(B\) je \(3×1\), výsledek bude skalár \((1×1)\).
Součin: \( 5 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot (-2) = 5 + 0 – 4 = 1 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
1
\end{pmatrix}
\)
19. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\), výsledek bude také \(2×2\).
První řádek: \( (1 \cdot 0 + 2 \cdot 1, 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0) = (2, -1) \)
Druhý řádek: \( (3 \cdot 0 + 4 \cdot 1, 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 0) = (4, -3) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
4 & -3
\end{pmatrix}
\)
20. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
2 & -2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(1×3, B\) je \(3×2\), výsledkem bude \(1×2\).
Součin: \( (1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2, 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-2)) = (0 – 2 + 6, 1 + 0 -6) = (4, -5) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
4 & -5
\end{pmatrix}
\)
21. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\), výsledek bude také \(2×2\).
První řádek: \( (2 \cdot 3 + 1 \cdot 1, 2 \cdot 0 + 1 \cdot 2) = (6 + 1, 0 + 2) = (7, 2) \)
Druhý řádek: \( (0 \cdot 3 + (-1) \cdot 1, 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 2) = (0 – 1, 0 – 2) = (-1, -2) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
7 & 2 \\
-1 & -2
\end{pmatrix}
\)
22. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 2 \\
3 & 0
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(1×3, B\) je \(3×2\), výsledek bude \(1×2\).
Součin: \( (1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 3, 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0) = (1 + 0 + 6, -1 + 0 + 0) = (7, -1) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
7 & -1
\end{pmatrix}
\)
23. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
4 & -2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\), výsledek bude také \(2×2\).
První řádek: \( (2 \cdot 0 + (-1) \cdot 4, 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2)) = (0 – 4, 2 + 2) = (-4, 4) \)
Druhý řádek: \( (1 \cdot 0 + 3 \cdot 4, 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-2)) = (0 + 12, 1 – 6) = (12, -5) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
-4 & 4 \\
12 & -5
\end{pmatrix}
\)
24. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 2
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 \\
4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(1×2, B\) je \(2×1\), výsledek bude \(1×1\) (číslo).
Součin: \( 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
11
\end{pmatrix}
\)
25. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -1 \\
3 & 0
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(2×3, B\) je \(3×2\), výsledek bude \(2×2\).
První řádek: \( (0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3, 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0) = (0 + 0 + 6, 0 -1 + 0) = (6, -1) \)
Druhý řádek: \( (1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 3, 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0) = (1 + 0 – 3, 2 + 0 + 0) = (-2, 2) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
6 & -1 \\
-2 & 2
\end{pmatrix}
\)
26. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(B\) je jednotková matice, výsledek bude stejný jako matice \(A\).
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}
\)
27. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
5
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
-2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(1×1\), součin je prostý součin čísel.
Součin: \( 5 \cdot (-2) = -10 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
-10
\end{pmatrix}
\)
28. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(3×2, B\) je \(2×3\), výsledek bude \(3×3\).
První řádek: \( (1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1), 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1, 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0) = (2 – 2, 0 + 2, 1 + 0) = (0, 2, 1) \)
Druhý řádek: \( (3 \cdot 2 + 1 \cdot (-1), 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1, 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (6 – 1, 0 + 1, 3 + 0) = (5, 1, 3) \)
Třetí řádek: \( (-1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1), -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1, -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0) = (-2 + 0, 0 + 0, -1 + 0) = (-2, 0, -1) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 \\
5 & 1 & 3 \\
-2 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\)
29. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
4 \\
5
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(1×2, B\) je \(2×1\), výsledkem bude \(1×1\).
Součin: \( 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5 = 0 + 5 = 5 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
5
\end{pmatrix}
\)
30. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(1×3, B\) je \(3×1\), výsledek bude \(1×1\).
Součin: \( 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 2 + 0 -1 = 1 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
1
\end{pmatrix}
\)
31. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
4 & 0
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\), výsledek bude také \(2×2\).
První řádek: \( (1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1), 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2) = (3 + 2, 1 – 4) = (5, -3) \)
Druhý řádek: \( (4 \cdot 3 + 0 \cdot (-1), 4 \cdot 1 + 0 \cdot 2) = (12 + 0, 4 + 0) = (12, 4) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
5 & -3 \\
12 & 4
\end{pmatrix}
\)
32. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
0 & 2 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(1×3, B\) je \(3×2\), výsledek bude \(1×2\).
Součin: \( (2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-2), 2 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1) = (2 + 0 + 2, 6 + 0 -1) = (4, 5) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
4 & 5
\end{pmatrix}
\)
33. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 2
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 3 \\
4 & 4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\), výsledek bude také \(2×2\).
První řádek: \( (1 \cdot 3 + 1 \cdot 4, 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4) = (3 + 4, 3 + 4) = (7, 7) \)
Druhý řádek: \( (2 \cdot 3 + 2 \cdot 4, 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4) = (6 + 8, 6 + 8) = (14, 14) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
7 & 7 \\
14 & 14
\end{pmatrix}
\)
34. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 5
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(1×2, B\) je \(2×1\), výsledek bude \(1×1\).
Součin: \( 0 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 0 + 10 = 10 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
10
\end{pmatrix}
\)
35. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(B\) je jednotková matice, výsledek bude stejný jako \(A\).
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{pmatrix}
\)
36. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
7 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 \\
3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(1×2, B\) je \(2×1\), výsledek bude \(1×1\).
Součin: \( 7 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 14 – 3 = 11 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
11
\end{pmatrix}
\)
37. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(1×3, B\) je \(3×1\), výsledek bude \(1×1\).
Součin: \( 1 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 0 + 4 – 2 = 2 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
2
\end{pmatrix}
\)
38. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\), výsledek bude také \(2×2\).
První řádek: \( (3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1), 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3) = (3 – 2, 12 + 6) = (1, 18) \)
Druhý řádek: \( (1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1), 1 \cdot 4 + 0 \cdot 3) = (1 + 0, 4 + 0) = (1, 4) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
1 & 18 \\
1 & 4
\end{pmatrix}
\)
39. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(1×3, B\) je \(3×1\), výsledek bude \(1×1\).
Součin: \( 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot (-2) = 2 + 3 + 0 = 5 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
5
\end{pmatrix}
\)
40. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
4 & 2
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(1×2, B\) je \(2×1\), výsledek bude \(1×1\).
Součin: \( 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 0 + 2 = 2 \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
2
\end{pmatrix}
\)
41. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\), výsledek bude také \(2×2\).
První řádek: \( (1 \cdot 5 + 2 \cdot 7, 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8) = (5 + 14, 6 + 16) = (19, 22) \)
Druhý řádek: \( (3 \cdot 5 + 4 \cdot 7, 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8) = (15 + 28, 18 + 32) = (43, 50) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50
\end{pmatrix}
\)
42. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
4 & 3 \\
5 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\).
První řádek: \( (2 \cdot 4 + 0 \cdot 5, 2 \cdot 3 + 0 \cdot 2) = (8, 6) \)
Druhý řádek: \( (1 \cdot 4 + (-1) \cdot 5, 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2) = (4 – 5, 3 – 2) = (-1, 1) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
8 & 6 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\)
43. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(2×3, B\) je \(3×2\), výsledek bude \(2×2\).
První řádek: \( (1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11, 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12) = (7 + 18 + 33, 8 + 20 + 36) = (58, 64) \)
Druhý řádek: \( (4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11, 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12) = (28 + 45 + 66, 32 + 50 + 72) = (139, 154) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
58 & 64 \\
139 & 154
\end{pmatrix}
\)
44. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(3×2, B\) je \(2×3\), výsledek bude \(3×3\).
První řádek: \( (1, 0, 0) \)
Druhý řádek: \( (2 \cdot 1 + 1 \cdot 0, 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1), 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1) = (2, 4 – 1, 6 + 1) = (2, 3, 7) \)
Třetí řádek: \( (3 \cdot 1 + 4 \cdot 0, 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1), 3 \cdot 3 + 4 \cdot 1) = (3, 6 – 4, 9 + 4) = (3, 2, 13) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 7 \\
3 & 2 & 13
\end{pmatrix}
\)
45. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(3×3\), výsledek bude \(3×3\).
Výpočet všech prvků provedeš jako skalární součin řádků a sloupců.
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 4 \\
4 & 1 & 3 \\
4 & 1 & 5
\end{pmatrix}
\)
46. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
5 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\).
První řádek: \( (2 \cdot 0 + 3 \cdot 5, 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2) = (0 + 15, -2 + 6) = (15, 4) \)
Druhý řádek: \( (1 \cdot 0 + 4 \cdot 5, 1 \cdot (-1) + 4 \cdot 2) = (0 + 20, -1 + 8) = (20, 7) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
15 & 4 \\
20 & 7
\end{pmatrix}
\)
47. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
3 & -1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(3×2, B\) je \(2×2\), výsledek bude \(3×2\).
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
3 & -1 \\
2 & -3
\end{pmatrix}
\)
48. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
-2 & 5
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\).
První řádek: \( (2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2), 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 5) = (2 + 2, 8 – 5) = (4, 3) \)
Druhý řádek: \( (0 \cdot 1 + 3 \cdot (-2), 0 \cdot 4 + 3 \cdot 5) = (0 – 6, 0 + 15) = (-6, 15) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
4 & 3 \\
-6 & 15
\end{pmatrix}
\)
49. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Výsledek je:
\(
\begin{pmatrix}
58 & 64 \\
139 & 154
\end{pmatrix}
\)
50. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
2 & 0 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(2×3, B\) je \(3×2\), výsledek bude \(2×2\).
První řádek: \( (0 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1)) = (0 + 2 + 2, 0 + 0 -2) = (4, -2) \)
Druhý řádek: \( (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1, 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1)) = (3 + 0 -1, 1 + 0 + 1) = (2, 2) \)
Součin je:
\(
\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
2 & 2
\end{pmatrix}
\)
51. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
4 & -1 \\
5 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) i \(B\) jsou čtvercové matice \(2×2\), takže součin je opět matice \(2×2\).
Pro výpočet součinu \(\mathbf{C} = \mathbf{A} \times \mathbf{B}\) použijeme vzorec pro prvek \(c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}\).
Prvek \(c_{11}\) (první řádek, první sloupec):
\(c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} = 2 \cdot 4 + 1 \cdot 5 = 8 + 5 = 13\)
Prvek \(c_{12}\) (první řádek, druhý sloupec):
\(c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -2 + 2 = 0\)
Prvek \(c_{21}\) (druhý řádek, první sloupec):
\(c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 0 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 0 + 15 = 15\)
Prvek \(c_{22}\) (druhý řádek, druhý sloupec):
\(c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 0 + 6 = 6\)
Výsledná matice součinu je tedy:
\[
\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 13 & 0 \\ 15 & 6 \end{pmatrix}
\]
52. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
3 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je velikosti \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\), takže součin bude matice \(2×2\).
Obecně prvek \(c_{ij}\) součinu je součet součinů prvků \(i\)-tého řádku \(A\) a \(j\)-tého sloupce \(B\).
Vypočítáme jednotlivé prvky:
Prvek \(c_{11}\): první řádek \(A\) a první sloupec \(B\)
\[
c_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) = 2 + 2 + 0 = 4
\]
Prvek \(c_{12}\): první řádek \(A\) a druhý sloupec \(B\)
\[
c_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 + 0 \cdot 2 = 0 + 6 + 0 = 6
\]
Prvek \(c_{21}\): druhý řádek \(A\) a první sloupec \(B\)
\[
c_{21} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = 6 + 1 – 4 = 3
\]
Prvek \(c_{22}\): druhý řádek \(A\) a druhý sloupec \(B\)
\[
c_{22} = 3 \cdot 0 + 1 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 0 + 3 + 8 = 11
\]
Výsledná matice je:
\[
\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 11 \end{pmatrix}
\]
53. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 3 \\
4 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×2\) a matice \(B\) je \(2×3\), výsledek bude matice \(3×3\).
Pro výpočet prvku \(c_{ij}\) spočítáme součin \(i\)-tého řádku matice \(A\) a \(j\)-tého sloupce matice \(B\).
První řádek výsledku:
\(c_{11} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) = 2 + 2 = 4\)
\(c_{12} = 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = 0 – 3 = -3\)
\(c_{13} = 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 = 4 – 1 = 3\)
Druhý řádek výsledku:
\(c_{21} = 0 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = 0 – 6 = -6\)
\(c_{22} = 0 \cdot 0 + 3 \cdot 3 = 0 + 9 = 9\)
\(c_{23} = 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 0 + 3 = 3\)
Třetí řádek výsledku:
\(c_{31} = 4 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 4 – 2 = 2\)
\(c_{32} = 4 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = 0 + 3 = 3\)
\(c_{33} = 4 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 8 + 1 = 9\)
Výsledná matice je:
\[
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
4 & -3 & 3 \\
-6 & 9 & 3 \\
2 & 3 & 9
\end{pmatrix}
\]
54. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
0 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
-1 & 5 \\
3 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(2×3, B\) je \(3×2\), výsledek bude \(2×2\).
Prvek \(c_{11}\):
\[
1 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 = 2 – 3 + 6 = 5
\]
Prvek \(c_{12}\):
\[
1 \cdot 0 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 0 + 15 + 2 = 17
\]
Prvek \(c_{21}\):
\[
0 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + 4 \cdot 3 = 0 + 1 + 12 = 13
\]
Prvek \(c_{22}\):
\[
0 \cdot 0 + (-1) \cdot 5 + 4 \cdot 1 = 0 – 5 + 4 = -1
\]
Výsledná matice:
\[
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
5 & 17 \\
13 & -1
\end{pmatrix}
\]
55. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) má rozměry \(2×3, B\) má rozměry \(3×2\), výsledkem bude matice \(2×2\).
Prvek \(c_{11}\):
\[
1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 3 + 0 + 2 = 5
\]
Prvek \(c_{12}\):
\[
1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1
\]
Prvek \(c_{21}\):
\[
(-1) \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = -3 + 6 + 1 = 4
\]
Prvek \(c_{22}\):
\[
(-1) \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -1 + 3 + 0 = 2
\]
Výsledná matice:
\[
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2
\end{pmatrix}
\]
56. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-2 & 0 \\
3 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
1 & -1 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×2, B\) je \(2×3\), výsledek bude matice \(3×3\).
Vypočítáme jednotlivé prvky po řádcích:
\(c_{11} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 0 + 2 = 2\)
\(c_{12} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 1 – 2 = -1\)
\(c_{13} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8\)
\(c_{21} = -2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 + 0 = 0\)
\(c_{22} = -2 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) = -2 + 0 = -2\)
\(c_{23} = -2 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = -4 + 0 = -4\)
\(c_{31} = 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 = 1\)
\(c_{32} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 3 – 1 = 2\)
\(c_{33} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 6 + 3 = 9\)
Výsledná matice:
\[
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 8 \\
0 & -2 & -4 \\
1 & 2 & 9
\end{pmatrix}
\]
57. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\), výsledek bude \(2×2\).
Prvek \(c_{11}\):
\[
2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2 + 0 = 2
\]
Prvek \(c_{12}\):
\[
2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 4 – 1 = 3
\]
Prvek \(c_{21}\):
\[
4 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 4 + 0 = 4
\]
Prvek \(c_{22}\):
\[
4 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 8 – 3 = 5
\]
Výsledná matice:
\[
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & 5
\end{pmatrix}
\]
58. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 \\
0 & -1 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
-2 & 5 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(2×3, B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
Prvek \(c_{11}\):
\[
1 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 3 – 8 + 2 = -3
\]
Prvek \(c_{12}\):
\[
1 \cdot 0 + 4 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) = 0 + 20 – 2 = 18
\]
Prvek \(c_{21}\):
\[
0 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = 0 + 2 + 3 = 5
\]
Prvek \(c_{22}\):
\[
0 \cdot 0 + (-1) \cdot 5 + 3 \cdot (-1) = 0 – 5 – 3 = -8
\]
Výsledná matice:
\[
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
-3 & 18 \\
5 & -8
\end{pmatrix}
\]
59. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 2 \\
3 & 0
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
4 & -1 & 3 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(3×2, B\) je \(2×3\), výsledek bude \(3×3\).
Vypočítáme prvky:
\(c_{11} = 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 2\)
\(c_{12} = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 0\)
\(c_{13} = 0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 1\)
\(c_{21} = -1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0\)
\(c_{22} = -1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 = 1 + 0 = 1\)
\(c_{23} = -1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1\)
\(c_{31} = 3 \cdot 4 + 0 \cdot 2 = 12 + 0 = 12\)
\(c_{32} = 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -3 + 0 = -3\)
\(c_{33} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 1 = 9 + 0 = 9\)
Výsledná matice:
\[
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
12 & -3 & 9
\end{pmatrix}
\]
60. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 0 \\
-1 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×2\), matice \(B\) je \(2×2\), výsledek bude \(3×2\).
Prvek \(c_{11}\):
\[
1 \cdot 5 + 3 \cdot 1 = 5 + 3 = 8
\]
Prvek \(c_{12}\):
\[
1 \cdot (-2) + 3 \cdot 3 = -2 + 9 = 7
\]
Prvek \(c_{21}\):
\[
2 \cdot 5 + 0 \cdot 1 = 10 + 0 = 10
\]
Prvek \(c_{22}\):
\[
2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -4 + 0 = -4
\]
Prvek \(c_{31}\):
\[
(-1) \cdot 5 + 4 \cdot 1 = -5 + 4 = -1
\]
Prvek \(c_{32}\):
\[
(-1) \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 2 + 12 = 14
\]
Výsledná matice:
\[
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
8 & 7 \\
10 & -4 \\
-1 & 14
\end{pmatrix}
\]
61. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 3 \\
0 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 3 \\
4 & -1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\), součin je definován a výsledná matice bude mít rozměry \(2×2\).
Prvky výsledné matice \( C = AB \) spočítáme tak, že každý prvek \( c_{ij} \) je součinem \(i\)-tého řádku matice \(A\) a j-tého sloupce matice \(B\).
Výpočet jednotlivých prvků:
\( c_{11} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 4 = 2 + 2 + 12 = 16 \)
Tento prvek vzniká součtem součinů prvků 1. řádku A a 1. sloupce B.
\( c_{12} = 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-1) = 0 – 3 – 3 = -6 \)
Tento prvek je součet součinů prvků 1. řádku A a 2. sloupce B.
\( c_{21} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 0 – 8 + 4 = -4 \)
Tento prvek odpovídá součtu součinů prvků 2. řádku A a 1. sloupce B.
\( c_{22} = 0 \cdot 0 + 4 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 0 + 12 – 1 = 11 \)
Součet součinů prvků 2. řádku A a 2. sloupce B.
Výsledná matice je tedy:
\[
\begin{pmatrix}
16 & -6 \\
-4 & 11
\end{pmatrix}
\]
62. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
7 & 8 & 9 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×2\), matice \(B\) je \(2×3\). Výsledkem bude matice \(3×3\), protože počet řádků výsledku je stejný jako u \(A\) a počet sloupců výsledku jako u \(B\).
Výpočet prvků matice \( C = AB \) provedeme pomocí součtu součinů odpovídajících prvků řádku z \(A\) a sloupce z \(B\).
První řádek výsledné matice:
\( c_{11} = 1 \cdot 7 + 2 \cdot 0 = 7 + 0 = 7 \)
\( c_{12} = 1 \cdot 8 + 2 \cdot (-1) = 8 – 2 = 6 \)
\( c_{13} = 1 \cdot 9 + 2 \cdot 1 = 9 + 2 = 11 \)
Druhý řádek výsledné matice:
\( c_{21} = 3 \cdot 7 + 4 \cdot 0 = 21 + 0 = 21 \)
\( c_{22} = 3 \cdot 8 + 4 \cdot (-1) = 24 – 4 = 20 \)
\( c_{23} = 3 \cdot 9 + 4 \cdot 1 = 27 + 4 = 31 \)
Třetí řádek výsledné matice:
\( c_{31} = 5 \cdot 7 + 6 \cdot 0 = 35 + 0 = 35 \)
\( c_{32} = 5 \cdot 8 + 6 \cdot (-1) = 40 – 6 = 34 \)
\( c_{33} = 5 \cdot 9 + 6 \cdot 1 = 45 + 6 = 51 \)
Výsledná matice je:
\[
\begin{pmatrix}
7 & 6 & 11 \\
21 & 20 & 31 \\
35 & 34 & 51
\end{pmatrix}
\]
63. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\), výsledkem bude matice \(2×2\).
Výpočet prvku \( c_{11} \):
\( 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 3 + 0 + 2 = 5 \)
Prvek \( c_{12} \):
\( 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1 \)
Prvek \( c_{21} \):
\( (-1) \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = -3 + 6 + 1 = 4 \)
Prvek \( c_{22} \):
\( (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -1 + 3 + 0 = 2 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2
\end{pmatrix}
\]
64. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-2 & 0 \\
3 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
1 & -1 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×2\), matice \(B\) je \(2×3\), výsledná matice bude \(3×3\).
Výpočet prvků:
\( c_{11} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 0 + 2 = 2 \)
\( c_{12} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 1 – 2 = -1 \)
\( c_{13} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8 \)
\( c_{21} = -2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 + 0 = 0 \)
\( c_{22} = -2 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) = -2 + 0 = -2 \)
\( c_{23} = -2 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = -4 + 0 = -4 \)
\( c_{31} = 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 = 1 \)
\( c_{32} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 3 – 1 = 2 \)
\( c_{33} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 6 + 3 = 9 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 8 \\
0 & -2 & -4 \\
1 & 2 & 9
\end{pmatrix}
\]
65. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
4 & -1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-3 & 0
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) i \(B\) jsou \(2×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
Prvek \( c_{11} = 4 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) = 4 + 3 = 7 \)
Prvek \( c_{12} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 = 8 + 0 = 8 \)
Prvek \( c_{21} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) = 2 – 9 = -7 \)
Prvek \( c_{22} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 0 = 4 + 0 = 4 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
7 & 8 \\
-7 & 4
\end{pmatrix}
\]
66. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
0 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
-1 & 1 \\
3 & -2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
Výpočet prvků:
\( c_{11} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 = 2 – 3 + 6 = 5 \)
\( c_{12} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = 0 + 3 – 4 = -1 \)
\( c_{21} = 0 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + 4 \cdot 3 = 0 + 1 + 12 = 13 \)
\( c_{22} = 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 4 \cdot (-2) = 0 – 1 – 8 = -9 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
5 & -1 \\
13 & -9
\end{pmatrix}
\]
67. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
1 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \( A \) a \( B \) jsou \(2×2\), výsledná matice bude také \(2×2\).
\( c_{11} = 2 \cdot 0 + (-3) \cdot (-1) = 0 + 3 = 3 \)
\( c_{12} = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 2 = 10 – 6 = 4 \)
\( c_{21} = 1 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 0 – 4 = -4 \)
\( c_{22} = 1 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 5 + 8 = 13 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
-4 & 13
\end{pmatrix}
\]
68. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & -1 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
Výpočet prvků:
\( c_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2 + 2 + 0 = 4 \)
\( c_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 0 – 2 + 2 = 0 \)
\( c_{21} = 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 0 – 1 + 0 = -1 \)
\( c_{22} = 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 0 + 1 + 6 = 7 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
-1 & 7
\end{pmatrix}
\]
69. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
3 & -1 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) i \(B\) jsou \(2×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
\( c_{11} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) = 3 + 2 = 5 \)
\( c_{12} = 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = 0 – 3 = -3 \)
\( c_{21} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) = 2 – 8 = -6 \)
\( c_{22} = 2 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 0 + 12 = 12 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
5 & -3 \\
-6 & 12
\end{pmatrix}
\]
70. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
3 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
4 & -2 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
Výpočet prvků:
\( c_{11} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) = 0 + 4 – 2 = 2 \)
\( c_{12} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = 0 – 2 + 6 = 4 \)
\( c_{21} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + (-1) \cdot (-1) = 3 + 4 + 1 = 8 \)
\( c_{22} = 3 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = 0 – 2 – 3 = -5 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
8 & -5
\end{pmatrix}
\]
71. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 3 \\
0 & 4 & -2
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 3 \\
2 & -1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozbor: Matice \(A\) je velikosti \(2×3\), matice \(B\) má rozměr \(3×2\), takže jejich součin je definován a výsledná matice bude mít rozměr \(2×2\).
Krok 1 – výpočet prvku c11 :
První řádek matice \(A\) a první sloupec matice \(B\):
\( c_{11} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 2 + 1 + 6 = 9 \)
Zde jsme postupně vynásobili odpovídající prvky a výsledky sečetli.
Krok 2 – výpočet prvku c12 :
První řádek matice \(A\) a druhý sloupec matice \(B\):
\( c_{12} = 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-1) = 0 – 3 – 3 = -6 \)
Zde je důležité věnovat pozornost záporným číslům a správnému znaménku v součtu.
Krok 3 – výpočet prvku c21 :
Druhý řádek matice A a první sloupec matice B:
\( c_{21} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 = 0 – 4 – 4 = -8 \)
Upozorňujeme, že nula vynásobená čímkoliv dává nulu a je důležité správně vyhodnotit znaménka.
Krok 4 – výpočet prvku c22 :
Druhý řádek matice \(A\) a druhý sloupec matice \(B\):
\( c_{22} = 0 \cdot 0 + 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) = 0 + 12 + 2 = 14 \)
Zde vidíme, že součin dvou záporných čísel je kladné číslo.
Výsledná matice součinu je tedy:
\[
\begin{pmatrix}
9 & -6 \\
-8 & 14
\end{pmatrix}
\]
72. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-3 & 0 \\
4 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 3 \\
0 & 4 & -2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozbor: Matice \(A\) je \(3×2\), matice \(B\) je \(2×3\), takže součin je definován a výsledná matice má rozměr \(3×3\).
Krok 1 – výpočet prvku c11 :
\( c_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 2 + 0 = 2 \)
První řádek \(A\) krát první sloupec \(B\).
Krok 2 – výpočet prvku c12 :
\( c_{12} = 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 4 = -1 + 8 = 7 \)
První řádek \(A\) krát druhý sloupec \(B\).
Krok 3 – výpočet prvku c13 :
\( c_{13} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 3 – 4 = -1 \)
První řádek \(A\) krát třetí sloupec \(B\).
Krok 4 – výpočet prvku c21 :
\( c_{21} = (-3) \cdot 2 + 0 \cdot 0 = -6 + 0 = -6 \)
Druhý řádek \(A\) krát první sloupec \(B\).
Krok 5 – výpočet prvku c22 :
\( c_{22} = (-3) \cdot (-1) + 0 \cdot 4 = 3 + 0 = 3 \)
Druhý řádek \(A\) krát druhý sloupec \(B\).
Krok 6 – výpočet prvku c23 :
\( c_{23} = (-3) \cdot 3 + 0 \cdot (-2) = -9 + 0 = -9 \)
Druhý řádek \(A\) krát třetí sloupec \(B\).
Krok 7 – výpočet prvku c31 :
\( c_{31} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 = 8 + 0 = 8 \)
Třetí řádek \(A\) krát první sloupec \(B\).
Krok 8 – výpočet prvku c32 :
\( c_{32} = 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 = -4 – 4 = -8 \)
Třetí řádek \(A\) krát druhý sloupec \(B\).
Krok 9 – výpočet prvku c33 :
\( c_{33} = 4 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) = 12 + 2 = 14 \)
Třetí řádek \(A\) krát třetí sloupec \(B\).
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
2 & 7 & -1 \\
-6 & 3 & -9 \\
8 & -8 & 14
\end{pmatrix}
\]
73. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
-1 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
2 & -1 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozbor: Matice \(A\) je \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\), součin bude \(2×2\).
Krok 1 – prvek c11 :
\( c_{11} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 0 + 6 – 2 = 4 \)
Krok 2 – prvek c12 :
\( c_{12} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 = 1 – 3 + 6 = 4 \)
Krok 3 – prvek c21 :
\( c_{21} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 0 + 0 – 4 = -4 \)
Krok 4 – prvek c22 :
\( c_{22} = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 4 \cdot 3 = -1 + 0 + 12 = 11 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
4 & 4 \\
-4 & 11
\end{pmatrix}
\]
74. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
-3 & 1 \\
0 & 5
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 \\
3 & 0 & -2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozbor: Matice \(A\) je \(3×2\), matice \(B\) je \(2×3\), výsledkem bude matice \(3×3\).
Krok 1 – prvek c11 : \(2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 2 + 12 = 14\)
Krok 2 – prvek c12 : \(2 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 = -2 + 0 = -2\)
Krok 3 – prvek c13 : \(2 \cdot 2 + 4 \cdot (-2) = 4 – 8 = -4\)
Krok 4 – prvek c21 : \((-3) \cdot 1 + 1 \cdot 3 = -3 + 3 = 0\)
Krok 5 – prvek c22 : \((-3) \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 3 + 0 = 3\)
Krok 6 – prvek c23 : \((-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = -6 – 2 = -8\)
Krok 7 – prvek c31 : \(0 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 0 + 15 = 15\)
Krok 8 – prvek c32 : \(0 \cdot (-1) + 5 \cdot 0 = 0 + 0 = 0\)
Krok 9 – prvek c33 : \(0 \cdot 2 + 5 \cdot (-2) = 0 – 10 = -10\)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
14 & -2 & -4 \\
0 & 3 & -8 \\
15 & 0 & -10
\end{pmatrix}
\]
75. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozbor: Obě matice jsou \(2×2\), výsledek bude také \(2×2\).
Krok 1 – výpočet prvku c11 : \(5 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) = 20 + 2 = 22\)
Krok 2 – výpočet prvku c12 : \(5 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 = 0 – 4 = -4\)
Krok 3 – výpočet prvku c21 : \(1 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 4 – 3 = 1\)
Krok 4 – výpočet prvku c22 : \(1 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 0 + 6 = 6\)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
22 & -4 \\
1 & 6
\end{pmatrix}
\]
76. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 1 & -2 \\
0 & 4 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 3 \\
1 & 4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozbor: Matice \(A\) je \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
Krok 1 – prvek c11 :
\( c_{11} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 = 6 + 0 – 2 = 4 \)
Krok 2 – prvek c12 :
\( c_{12} = 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 4 = -3 + 3 – 8 = -8 \)
Krok 3 – prvek c21 :
\( c_{21} = 0 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 0 + 0 + 3 = 3 \)
Krok 4 – prvek c22 :
\( c_{22} = 0 \cdot (-1) + 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 0 + 12 + 12 = 24 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
4 & -8 \\
3 & 24
\end{pmatrix}
\]
77. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 4 \\
1 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozbor: Matice \(A\) je \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\), výsledkem bude matice \(2×2\).
Krok 1 – prvek c11 : \(1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4\)
Krok 2 – prvek c12 : \(1 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = -1 + 0 + 6 = 5\)
Krok 3 – prvek c21 : \((-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = -2 + 0 + 1 = -1\)
Krok 4 – prvek c22 : \((-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 4 + 1 \cdot 3 = 1 + 12 + 3 = 16\)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
-1 & 16
\end{pmatrix}
\]
78. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-3 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozbor: Obě matice jsou \(2×2\), výsledek bude také \(2×2\).
Krok 1 – výpočet prvku c11 : \(2 \cdot 5 + 1 \cdot 0 = 10 + 0 = 10\)
Krok 2 – výpočet prvku c12 : \(2 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 = -4 + 3 = -1\)
Krok 3 – výpočet prvku c21 : \((-3) \cdot 5 + 4 \cdot 0 = -15 + 0 = -15\)
Krok 4 – výpočet prvku c22 : \((-3) \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 6 + 12 = 18\)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
10 & -1 \\
-15 & 18
\end{pmatrix}
\]
79. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
4 & -1 & 2 \\
3 & 0 & -2 \\
1 & 5 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-3 & 0 \\
0 & 4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozbor: Matice \(A\) je \(3×3\), matice \(B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(3×2\).
Krok 1 – výpočet prvku c11 : \(4 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) + 2 \cdot 0 = 4 + 3 + 0 = 7\)
Krok 2 – výpočet prvku c12 : \(4 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8 + 0 + 8 = 16\)
Krok 3 – výpočet prvku c21 : \(3 \cdot 1 + 0 \cdot (-3) + (-2) \cdot 0 = 3 + 0 + 0 = 3\)
Krok 4 – výpočet prvku c22 : \(3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 = 6 + 0 – 8 = -2\)
Krok 5 – výpočet prvku c31 : \(1 \cdot 1 + 5 \cdot (-3) + 3 \cdot 0 = 1 – 15 + 0 = -14\)
Krok 6 – výpočet prvku c32 : \(1 \cdot 2 + 5 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = 2 + 0 + 12 = 14\)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
7 & 16 \\
3 & -2 \\
-14 & 14
\end{pmatrix}
\]
80. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -1 \\
0 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 3 \\
4 & -1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozbor: Matice \(A\) je \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
Krok 1 – prvek c11 :
\( c_{11} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 = 2 – 6 – 4 = -8 \)
Krok 2 – prvek c12 :
\( c_{12} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) = 0 + 9 + 1 = 10 \)
Krok 3 – prvek c21 :
\( c_{21} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) + 5 \cdot 4 = 0 – 8 + 20 = 12 \)
Krok 4 – prvek c22 :
\( c_{22} = 0 \cdot 0 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) = 0 + 12 – 5 = 7 \)
Výsledná matice:
\[
\begin{pmatrix}
-8 & 10 \\
12 & 7
\end{pmatrix}
\]
81. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
0 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & -3 \\
5 & 4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Nejprve zkontrolujeme rozměry matic:
Matice \(A\) je \(2×3\), matice \(B\) je \(3×2\). Násobení je definováno, protože počet sloupců \(A (3)\) se rovná počtu řádků \(B (3)\).
Výsledná matice bude mít rozměry 2×2.
Vypočítáme jednotlivé prvky výsledné matice \(C = AB\):
Prvek \(C_{11}\): první řádek \(A\) krát první sloupec \(B\)
\(= 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 5 = 2 + 0 + 10 = 12\)
Prvek \(C_{12}\): první řádek \(A\) krát druhý sloupec \(B\)
\(= 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 4 = 1 – 9 + 8 = 0\)
Prvek \(C_{21}\): druhý řádek \(A\) krát první sloupec \(B\)
\(= 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 0 + 0 + 20 = 20\)
Prvek \(C_{22}\): druhý řádek \(A\) krát druhý sloupec \(B\)
\(= 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) + 4 \cdot 4 = 0 + 3 + 16 = 19\)
Výsledná matice C je tedy:
\(
\begin{pmatrix}
12 & 0 \\
20 & 19
\end{pmatrix}
\)
82. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
-2 & 3 \\
1 & 5
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 \\
0 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Rozměry: \(A\) je \(3×2\), \(B\) je \(2×3\), součin je definovaný a bude mít rozměry \(3×3\).
Pořádně vypočítáme každý prvek matice \(C = AB\):
\(C_{11} = 4 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 4\)
\(C_{12} = 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 = -4\)
\(C_{13} = 4 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 8\)
\(C_{21} = (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 0 = -2\)
\(C_{22} = (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot 3 = 2 + 9 = 11\)
\(C_{23} = (-2) \cdot 2 + 3 \cdot 1 = -4 + 3 = -1\)
\(C_{31} = 1 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = 1\)
\(C_{32} = 1 \cdot (-1) + 5 \cdot 3 = -1 + 15 = 14\)
\(C_{33} = 1 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 2 + 5 = 7\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
4 & -4 & 8 \\
-2 & 11 & -1 \\
1 & 14 & 7
\end{pmatrix}
\)
83. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
-2 & 0
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Obě matice jsou \(2×2\), výsledkem bude také \(2×2\).
Počítáme prvek po prvku:
\(C_{11} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) = 2 + 2 = 4\)
\(C_{12} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 = 8 + 0 = 8\)
\(C_{21} = 0 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = 0 – 6 = -6\)
\(C_{22} = 0 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 0 + 0 = 0\)
Výsledná matice je:
\(
\begin{pmatrix}
4 & 8 \\
-6 & 0
\end{pmatrix}
\)
84. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 3 \\
2 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(2×3, B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
Vypočítáme jednotlivé prvky:
\(C_{11} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 = 3 + 0 + 0 = 3\)
\(C_{12} = 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 = -3 + 3 + 0 = 0\)
\(C_{21} = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = -1 + 0 + 8 = 7\)
\(C_{22} = (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 1 + 6 + 8 = 15\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
7 & 15
\end{pmatrix}
\)
85. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
3 & -1 \\
4 & 0
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 \\
0 & 2 & 4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×2, B\) je \(2×3\), výsledná matice bude \(3×3\).
Počítáme po řádcích a sloupcích:
\(C_{11} = 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\)
\(C_{12} = 0 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 4\)
\(C_{13} = 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 4 = 8\)
\(C_{21} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 3\)
\(C_{22} = 3 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 9 – 2 = 7\)
\(C_{23} = 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 = -3 – 4 = -7\)
\(C_{31} = 4 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 4\)
\(C_{32} = 4 \cdot 3 + 0 \cdot 2 = 12\)
\(C_{33} = 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 = -4\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
0 & 4 & 8 \\
3 & 7 & -7 \\
4 & 12 & -4
\end{pmatrix}
\)
86. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 4 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
-1 & -1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×3, B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(3×2\).
Vypočítáme po jednotlivých prvcích:
\(C_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 = 2 – 2 + 9 = 9\)
\(C_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = 0 – 2 + 12 = 10\)
\(C_{21} = 0 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + 4 \cdot 3 = 0 + 1 + 12 = 13\)
\(C_{22} = 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) + 4 \cdot 4 = 0 + 1 + 16 = 17\)
\(C_{31} = 2 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 4 + 0 + 3 = 7\)
\(C_{32} = 2 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = 0 + 0 + 4 = 4\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
9 & 10 \\
13 & 17 \\
7 & 4
\end{pmatrix}
\)
87. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
5 & -1 \\
2 & 3 \\
0 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×2, B\) je \(2×2\), výsledná matice bude \(3×2\).
Vypočítáme každý prvek výsledné matice C:
\(C_{11} = 5 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) = 5 + 2 = 7\)
\(C_{12} = 5 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = 0 – 1 = -1\)
\(C_{21} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = 2 – 6 = -4\)
\(C_{22} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 0 + 3 = 3\)
\(C_{31} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) = 0 – 8 = -8\)
\(C_{32} = 0 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 0 + 4 = 4\)
Výsledná matice je:
\(
\begin{pmatrix}
7 & -1 \\
-4 & 3 \\
-8 & 4
\end{pmatrix}
\)
88. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-2 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) i \(B\) jsou \(2×2\), výsledná matice bude také \(2×2\).
Počítáme jednotlivé prvky výsledné matice \(C\):
\(C_{11} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3 + 2 = 5\)
\(C_{12} = 3 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = 0 + 3 = 3\)
\(C_{21} = (-2) \cdot 1 + 4 \cdot 2 = -2 + 8 = 6\)
\(C_{22} = (-2) \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 0 + 12 = 12\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
5 & 3 \\
6 & 12
\end{pmatrix}
\)
89. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1 \\
0 & 4 & -2
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 2 \\
3 & -1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(2×3, B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
Počítáme:
\(C_{11} = 2 \cdot 1 + (-3) \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 2 + 3 + 3 = 8\)
\(C_{12} = 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 0 – 6 – 1 = -7\)
\(C_{21} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot 3 = 0 – 4 – 6 = -10\)
\(C_{22} = 0 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) = 0 + 8 + 2 = 10\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
8 & -7 \\
-10 & 10
\end{pmatrix}
\)
90. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 0 & -1 \\
-2 & 1 & 5
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
3 & -1 \\
2 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Matice \(A\) je \(3×3, B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(3×2\).
Vypočítáme prvky výsledné matice C:
\(C_{11} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 0 + 6 + 6 = 12\)
\(C_{12} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 1 – 2 + 6 = 5\)
\(C_{21} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 0 + 0 – 2 = -2\)
\(C_{22} = 4 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 4 + 0 – 2 = 2\)
\(C_{31} = (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 0 + 3 + 10 = 13\)
\(C_{32} = (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 = -2 – 1 + 10 = 7\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
12 & 5 \\
-2 & 2 \\
13 & 7
\end{pmatrix}
\)
91. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
5 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
Nejprve ověříme rozměry matic:
\(A\) je \(2×2, B\) je \(2×2\), proto násobení je možné a výsledná matice bude také \(2×2\).
Vypočítáme jednotlivé prvky výsledné matice C podle vzorce \(C_{ij} = \sum_{k} A_{ik} \cdot B_{kj}\).
\(C_{11} = 1 \cdot 3 + 4 \cdot 5 = 3 + 20 = 23\)
\(C_{12} = 1 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 0 + 8 = 8\)
\(C_{21} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 5 = 6 – 5 = 1\)
\(C_{22} = 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 = 0 – 2 = -2\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
23 & 8 \\
1 & -2
\end{pmatrix}
\)
92. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
3 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
0 & -2 \\
5 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) má rozměry \(2×3, B\) má \(3×2\), násobení možné, výsledná matice je \(2×2\).
Vypočítáme prvek \(C_{11}\):
\(0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 5 = 0 + 0 – 5 = -5\)
Prvek \(C_{12}\):
\(0 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 = 0 – 4 – 1 = -5\)
Prvek \(C_{21}\):
\(3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 3 + 0 + 20 = 23\)
Prvek \(C_{22}\):
\(3 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 = 9 – 2 + 4 = 11\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
-5 & -5 \\
23 & 11
\end{pmatrix}
\)
93. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
-1 & 3 \\
4 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
0 & 3 & 4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) má rozměry \(3×2, B\) má \(2×3\), výsledná matice \(3×3\).
Pro \(C_{11}\): \(2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2\)
Pro \(C_{12}\): \(2 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 4\)
Pro \(C_{13}\): \(2 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 = -2\)
Pro \(C_{21}\): \((-1) \cdot 1 + 3 \cdot 0 = -1\)
Pro \(C_{22}\): \((-1) \cdot 2 + 3 \cdot 3 = -2 + 9 = 7\)
Pro \(C_{23}\): \((-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = 1 + 12 = 13\)
Pro \(C_{31}\): \(4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 4\)
Pro \(C_{32}\): \(4 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 8 + 3 = 11\)
Pro \(C_{33}\): \(4 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = -4 + 4 = 0\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
2 & 4 & -2 \\
-1 & 7 & 13 \\
4 & 11 & 0
\end{pmatrix}
\)
94. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
-1 & 2 \\
3 & -3
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(2×3, B\) je \(3×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
Vypočítáme \(C_{11}\):
\(1 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot 3 = 0 + 2 + 9 = 11\)
\(C_{12}\):
\(1 \cdot 5 + (-2) \cdot 2 + 3 \cdot (-3) = 5 – 4 – 9 = -8\)
\(C_{21}\):
\(4 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 = 0 + 0 – 3 = -3\)
\(C_{22}\):
\(4 \cdot 5 + 0 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) = 20 + 0 + 3 = 23\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
11 & -8 \\
-3 & 23
\end{pmatrix}
\)
95. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
-1 & 4 \\
0 & -2
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
2 & 3 & 4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(3×2, B\) je \(2×3\), výsledná matice bude \(3×3\).
\(C_{11} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8\)
\(C_{12} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 3 = 0 + 9 = 9\)
\(C_{13} = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = -2 + 12 = 10\)
\(C_{21} = -1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = -1 + 8 = 7\)
\(C_{22} = -1 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 0 + 12 = 12\)
\(C_{23} = -1 \cdot (-1) + 4 \cdot 4 = 1 + 16 = 17\)
\(C_{31} = 0 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = 0 – 4 = -4\)
\(C_{32} = 0 \cdot 0 + (-2) \cdot 3 = 0 – 6 = -6\)
\(C_{33} = 0 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 = 0 – 8 = -8\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
8 & 9 & 10 \\
7 & 12 & 17 \\
-4 & -6 & -8
\end{pmatrix}
\)
96. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-3 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 3 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(2×3, B\) je \(3×2\), výsledná matice \(2×2\).
\(C_{11} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4\)
\(C_{12} = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = -1 + 0 + 2 = 1\)
\(C_{21} = -3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = -6 + 0 + 4 = -2\)
\(C_{22} = -3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 + 4 \cdot 1 = 3 + 3 + 4 = 10\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
-2 & 10
\end{pmatrix}
\)
97. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
5 & -1 \\
2 & 3 \\
0 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(3×2, B\) je \(2×3\), výsledná matice \(3×3\).
\(C_{11} = 5 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 5 + 0 = 5\)
\(C_{12} = 5 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) = 10 + 1 = 11\)
\(C_{13} = 5 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = 15 – 4 = 11\)
\(C_{21} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2 + 0 = 2\)
\(C_{22} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 4 – 3 = 1\)
\(C_{23} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 6 + 12 = 18\)
\(C_{31} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 0 + 0 = 0\)
\(C_{32} = 0 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 0 – 4 = -4\)
\(C_{33} = 0 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 0 + 16 = 16\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
5 & 11 & 11 \\
2 & 1 & 18 \\
0 & -4 & 16
\end{pmatrix}
\)
98. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 \\
-2 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 5 \\
3 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(2×3, B\) je \(3×2\), výsledná matice \(2×2\).
\(C_{11} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = 2 + 0 + 0 = 2\)
\(C_{12} = 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 5 + 0 \cdot 2 = -1 + 15 + 0 = 14\)
\(C_{21} = -2 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = -4 + 0 + 3 = -1\)
\(C_{22} = -2 \cdot (-1) + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 2 = 2 + 20 + 2 = 24\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
2 & 14 \\
-1 & 24
\end{pmatrix}
\)
99. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-1 & 5 \\
4 & 0
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -2 \\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(3×2, B\) je \(2×3\), výsledná matice \(3×3\).
\(C_{11} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 3 + 0 = 3\)
\(C_{12} = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 9 + 2 = 11\)
\(C_{13} = 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = -6 + 8 = 2\)
\(C_{21} = -1 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = -1 + 0 = -1\)
\(C_{22} = -1 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = -3 + 5 = 2\)
\(C_{23} = -1 \cdot (-2) + 5 \cdot 4 = 2 + 20 = 22\)
\(C_{31} = 4 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 4 + 0 = 4\)
\(C_{32} = 4 \cdot 3 + 0 \cdot 1 = 12 + 0 = 12\)
\(C_{33} = 4 \cdot (-2) + 0 \cdot 4 = -8 + 0 = -8\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
3 & 11 & 2 \\
-1 & 2 & 22 \\
4 & 12 & -8
\end{pmatrix}
\)
100. Vypočítejte součin matic \( A \) a \( B \):
A =
\(
\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
1 & 4
\end{pmatrix}
\),
B =
\(
\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}
\)
Zobrazit řešení
\(A\) je \(2×2, B\) je \(2×2\), výsledná matice bude \(2×2\).
\(C_{11} = 2 \cdot 0 + (-3) \cdot (-1) = 0 + 3 = 3\)
\(C_{12} = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 2 = 10 – 6 = 4\)
\(C_{21} = 1 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 0 – 4 = -4\)
\(C_{22} = 1 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 5 + 8 = 13\)
Výsledná matice:
\(
\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
-4 & 13
\end{pmatrix}
\)
