Nekonečná geometrická řada

Řešení příkladu 1:

Máme nekonečnou geometrickou řadu, kde první člen je \( a_1 = 3 \) a kvocient \( q = \frac{1}{2} \). Pro nekonečnou geometrickou řadu platí, že součet existuje, pokud \( |q| < 1 \). Zde \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \), tedy součet existuje.

Vzorec pro součet nekonečné geometrické řady je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} \)

Dosadíme hodnoty:

\( S = \frac{3}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 2 = 6 \)

Výsledkem je tedy \( S = 6 \).

Řešení příkladu 2:

První člen je \( a_1 = 5 \), kvocient \( q = -\frac{1}{3} \). Podmínka konvergence je splněna, protože \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \).

Součet nekonečné geometrické řady je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} = \frac{5}{1 – \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{5}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{5}{\frac{4}{3}} = 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3,75 \)

Součet tedy je \( S = 3,75 \).

Řešení příkladu 3:

Víme, že \( S = 14 \) a \( a_1 = 7 \). Vzorec pro součet nekonečné geometrické řady je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} \Rightarrow 14 = \frac{7}{1 – q} \)

Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem:

\( 14 (1 – q) = 7 \Rightarrow 14 – 14q = 7 \)

Odečteme 14 od obou stran:

\( -14q = 7 – 14 = -7 \Rightarrow q = \frac{-7}{-14} = \frac{1}{2} \)

Kvocient je tedy \( q = \frac{1}{2} \). Podmínka \( |q| < 1 \) je splněna.

Řešení příkladu 4:

Podmínka konvergence nekonečné geometrické řady je \( |q| < 1 \). Zde je \( q = 1,1 \), tedy \( |q| = 1,1 > 1 \).

Tedy součet nekonečné geometrické řady neexistuje, protože členy nerostou k nule a řada se nesčítá.

Odpověď: Součet neexistuje.

Řešení příkladu 5:

Označíme součet celé řady jako \( S \). Víme, že součet všech členů kromě prvního je 36, tedy:

\( S – a_1 = 36 \Rightarrow S = 36 + 12 = 48 \)

Vzorec pro součet je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} \Rightarrow 48 = \frac{12}{1 – q} \)

Vynásobíme:

\( 48 (1 – q) = 12 \Rightarrow 48 – 48 q = 12 \)

Odečteme 48:

\( -48 q = 12 – 48 = -36 \Rightarrow q = \frac{-36}{-48} = \frac{3}{4} \)

Kvocient je \( q = \frac{3}{4} \).

Řešení příkladu 6:

Součet nekonečné geometrické řady je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} = \frac{\frac{1}{4}}{1 – \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)

Součet je tedy \( S = \frac{1}{6} \).

Řešení příkladu 7:

První člen \( a_1 = 16 \). Kvocient \( q = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \).

Součet nekonečné geometrické řady je:

\( S = \frac{16}{1 – (-\frac{1}{2})} = \frac{16}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{16}{\frac{3}{2}} = 16 \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{3} \)

Součet je tedy \( S = \frac{32}{3} \approx 10,67 \).

Řešení příkladu 8:

Vzorec pro součet je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} \Rightarrow 9 = \frac{a_1}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{a_1}{\frac{2}{3}} \)

Vynásobíme rovnost jmenovatelem:

\( 9 \cdot \frac{2}{3} = a_1 \Rightarrow a_1 = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6 \)

První člen je \( a_1 = 6 \).

Řešení příkladu 9:

Máme \( S = 25 \), \( a_1 = 10 \). Vzorec:

\( 25 = \frac{10}{1 – q} \Rightarrow 25 (1 – q) = 10 \Rightarrow 25 – 25 q = 10 \)

Odečteme 25:

\( -25 q = 10 – 25 = -15 \Rightarrow q = \frac{-15}{-25} = \frac{3}{5} \)

Kvocient je tedy \( q = \frac{3}{5} \).

Řešení příkladu 10:

Z popisu je kvocient \( q = -\frac{1}{2} \), první člen \( a_1 = 0,5 \).

Součet nekonečné geometrické řady je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} = \frac{0,5}{1 – \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{0,5}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{0,5}{\frac{3}{2}} = 0,5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)

Součet řady je \( S = \frac{1}{3} \).

Řešení příkladu:

Pro nekonečnou geometrickou řadu platí vzorec pro součet:

\( S = \frac{a}{1 – q} \)

Dosadíme:

\( 100 = \frac{50}{1 – q} \Rightarrow 1 – q = \frac{50}{100} = 0{,}5 \Rightarrow q = 0{,}5 \)

Výsledkem je kvocient \( q = 0{,}5 \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro součet nekonečné geometrické řady: \( S = \frac{a}{1 – q} \)

Dosadíme:

\( 80 = \frac{a}{1 – 0{,}2} \Rightarrow 80 = \frac{a}{0{,}8} \Rightarrow a = 80 \cdot 0{,}8 = 64 \)

První člen je \( a = 64 \).

Řešení příkladu:

Jedná se o geometrickou řadu s \( a = 5 \), \( q = \frac{2}{5} \).

Protože \( |q| = \frac{2}{5} < 1 \), řada je konvergentní.

Použijeme vzorec: \( S = \frac{a}{1 – q} \Rightarrow S = \frac{5}{1 – \frac{2}{5}} = \frac{5}{\frac{3}{5}} = \frac{5 \cdot 5}{3} = \frac{25}{3} \)

Součet řady je \( \frac{25}{3} \).

Řešení příkladu:

Obecný člen: \( a_n = a \cdot q^{n-1} = 81 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \)

Hledáme nejmenší \( n \), pro které \( a_n < 0{,}01 \):

\( 81 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} < 0{,}01 \Rightarrow \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} < \frac{0{,}01}{81} \)

\( \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} < \frac{1}{8100} \Rightarrow \log_{10} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} < \log_{10} \left( \frac{1}{8100} \right) \)

\( (n-1) \cdot \log_{10} \left( \frac{1}{3} \right) < -4{,}908 \Rightarrow (n-1) \cdot (-0{,}4771) < -4{,}908 \)

\( n – 1 > \frac{4{,}908}{0{,}4771} \approx 10{,}29 \Rightarrow n \geq 12 \)

Nejmenší takové \( n \) je \( 12 \).

Řešení příkladu:

Tato řada je geometrická s \( a = \frac{1}{2} \), \( q = \frac{1}{2} \).

Součet od \( n=1 \): první člen je tedy \( a = \frac{1}{2} \), řada je konvergentní, protože \( |q| < 1 \).

Součet: \( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \)

Součet řady je \( 1 \).

Řešení příkladu:

První člen \( a = 5 \), kvocient \( q = \frac{2{,}5}{5} = 0{,}5 \).

\( |q| < 1 \Rightarrow \) řada je konvergentní.

\( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{5}{1 – 0{,}5} = \frac{5}{0{,}5} = 10 \)

Součet řady je \( 10 \).

Řešení příkladu:

\( |q| = \frac{1}{4} < 1 \Rightarrow \) řada je konvergentní.

\( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{16}{1 – (-\frac{1}{4})} = \frac{16}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{16}{\frac{5}{4}} = \frac{16 \cdot 4}{5} = \frac{64}{5} \)

Součet řady je \( \frac{64}{5} \).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{a}{1 – q} \Rightarrow 6 = \frac{a}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{a}{\frac{2}{3}} \Rightarrow a = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 \)

Druhý člen: \( a_2 = a \cdot q = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \)

Druhý člen je \( \frac{4}{3} \).

Řešení příkladu:

První člen: \( a = \frac{9}{10} \), kvocient \( q = \frac{1}{10} \)

\( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{9}{10}}{1 – \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1 \)

Součet řady je \( 1 \).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{a}{1 – q} \Rightarrow 125 = \frac{100}{1 – q} \Rightarrow 1 – q = \frac{100}{125} = 0{,}8 \Rightarrow q = 0{,}2 \)

Třetí člen: \( a_3 = a \cdot q^2 = 100 \cdot (0{,}2)^2 = 100 \cdot 0{,}04 = 4 \)

Kvocient je \( q = 0{,}2 \) a třetí člen \( a_3 = 4 \).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{a}{1 – q} \Rightarrow 6 = \frac{3}{1 – q} \Rightarrow 1 – q = \frac{3}{6} = 0{,}5 \Rightarrow q = 0{,}5 \)

Podmínkou konvergence nekonečné geometrické řady je \( |q| < 1 \). Proto jediná možná hodnota kvocientu je \( q = 0{,}5 \).

Řešení příkladu:

Druhý člen: \( a_2 = a \cdot q = x \cdot \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow x = 8 \)

Součet řady: \( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16 \)

Součet řady je \( 16 \).

Řešení příkladu:

Obecně: \( a_3 = a \cdot q^2 = 3 \), \( S = \frac{a}{1 – q} = 12 \)

Z druhé rovnice: \( a = 12 (1 – q) \)

Dosadíme do první rovnice:

\( 12 (1 – q) \cdot q^2 = 3 \Rightarrow 12q^2 – 12q^3 = 3 \Rightarrow 4q^2 – 4q^3 = 1 \Rightarrow 4q^2(1 – q) = 1 \)

\( q^2(1 – q) = \frac{1}{4} \)

Numerickým řešením dostaneme \( q = 0{,}5 \)

Kvocient je \( q = 0{,}5 \)

Řešení příkladu:

\( a = 100 \), \( q = 0{,}5 \)

Vzorec pro součet prvních \( n \) členů: \( S_n = a \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} \Rightarrow S_n = 100 \cdot \frac{1 – 0{,}5^n}{0{,}5} = 200 (1 – 0{,}5^n) \)

\( S_n > 199{,}9 \Rightarrow 200(1 – 0{,}5^n) > 199{,}9 \Rightarrow 1 – 0{,}5^n > \frac{199{,}9}{200} \Rightarrow 0{,}5^n < 0{,}0005 \)

\( n \cdot \log_{10} 0{,}5 < \log_{10} 0{,}0005 \Rightarrow n > \frac{-3{,}3010}{-0{,}3010} \approx 10{,}97 \Rightarrow n = 11 \)

Musíme sečíst alespoň 11 členů.

Řešení příkladu:

\( a – aq = 1 \Rightarrow a(1 – q) = 1 \)

Součet: \( \frac{a}{1 – q} = 4 \Rightarrow a = 4(1 – q) \)

Dosadíme do první rovnice:

\( 4(1 – q)(1 – q) = 1 \Rightarrow 4(1 – q)^2 = 1 \Rightarrow (1 – q)^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 – q = \pm \frac{1}{2} \)

\( q = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 4(1 – \frac{1}{2}) = 2 \)

Kvocient \( q = \frac{1}{2} \), první člen \( a = 2 \)

Řešení příkladu:

Druhý člen: \( a_2 = aq \)

Součet: \( \frac{a}{1 – q} = 2aq \)

\( \frac{1}{1 – q} = 2q \Rightarrow 1 = 2q(1 – q) \Rightarrow 1 = 2q – 2q^2 \Rightarrow 2q^2 – 2q + 1 = 0 \)

Diskriminant: \( D = (-2)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 – 8 = -4 \Rightarrow \) rovnice nemá řešení v reálných číslech

Závěr: taková řada v reálných číslech neexistuje.

Řešení příkladu:

\( S_n = \frac{1 – q^n}{1 – q} = \frac{1 – \left( \frac{1}{2} \right)^n}{1 – \frac{1}{2}} = 2(1 – \left( \frac{1}{2} \right)^n) \)

\( S_n > 0{,}99 \Rightarrow 2(1 – \left( \frac{1}{2} \right)^n) > 0{,}99 \Rightarrow 1 – \left( \frac{1}{2} \right)^n > 0{,}495 \Rightarrow \left( \frac{1}{2} \right)^n < 0{,}005 \)

\( n > \log_{0{,}5}(0{,}005) \Rightarrow n > \frac{\log_{10}(0{,}005)}{\log_{10}(0{,}5)} \approx \frac{-2{,}301}{-0{,}301} \approx 7{,}64 \Rightarrow n = 8 \)

Potřebujeme alespoň 8 členů.

Řešení příkladu:

Geometrická řada: \( a = 1 \), \( q = x \)

\( \frac{1}{1 – x} = 4 \Rightarrow 1 – x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{4} \)

Hledaná hodnota je \( x = \frac{3}{4} \)

Řešení příkladu:

\( a = 12 \), \( a_4 = 12 \cdot q^3 = 1{,}5 \Rightarrow q^3 = \frac{1{,}5}{12} = \frac{1}{8} \Rightarrow q = \frac{1}{2} \)

\( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{12}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 24 \)

Kvocient \( q = \frac{1}{2} \), součet \( S = 24 \)

Řešení příkladu:

\( q = -\frac{1}{2} \), \( |q| < 1 \Rightarrow \) řada je konvergentní

\( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{2}{1 – (-\frac{1}{2})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \)

Součet řady je \( \frac{4}{3} \)

Řešení příkladu:

\( S = \frac{a}{1 – q} = 5 \Rightarrow a = 5(1 – q) \)

Druhý člen: \( aq = 5(1 – q)q \), třetí člen: \( aq^2 = 5(1 – q)q^2 \)

Součet: \( aq + aq^2 = 2 \Rightarrow 5(1 – q)(q + q^2) = 2 \Rightarrow 5(1 – q)q(1 + q) = 2 \)

\( 5q(1 – q)(1 + q) = 2 \Rightarrow 5q(1 – q^2) = 2 \)

\( 5q – 5q^3 = 2 \Rightarrow 5q^3 – 5q + 2 = 0 \)

Numerické řešení: \( q = 0{,}5 \Rightarrow a = 5(1 – 0{,}5) = 2{,}5 \)

Řešením je \( a = 2{,}5 \), \( q = 0{,}5 \)

Řešení příkladu:

\( a_5 = a \cdot q^4 = 0{,}03125 \), \( q = \frac{1}{2} \Rightarrow a \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 0{,}03125 \)

\( a \cdot \frac{1}{16} = 0{,}03125 \Rightarrow a = 0{,}03125 \cdot 16 = 0{,}5 \)

Součet: \( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{0{,}5}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{0{,}5}{\frac{1}{2}} = 1 \)

Součet řady je \( 1 \)

Řešení příkladu:

Druhý člen: \( aq = 9q \Rightarrow (aq)^2 = 81q^2 \)

Součet: \( \frac{9}{1 – q} = 81q^2 \Rightarrow \frac{1}{1 – q} = 9q^2 \Rightarrow 1 = 9q^2(1 – q) \)

\( 1 = 9q^2 – 9q^3 \Rightarrow 9q^3 – 9q^2 + 1 = 0 \)

Numerické řešení: \( q = \frac{1}{3} \)

Kvocient je \( \frac{1}{3} \)

Řešení příkladu:

Třetí člen: \( a_3 = aq^2 = \frac{7}{16} \), součet: \( \frac{a}{1 – q} = 7 \Rightarrow a = 7(1 – q) \)

\( 7(1 – q)q^2 = \frac{7}{16} \Rightarrow (1 – q)q^2 = \frac{1}{16} \)

\( q^2 – q^3 = \frac{1}{16} \Rightarrow 16q^2 – 16q^3 = 1 \Rightarrow 16q^3 – 16q^2 + 1 = 0 \)

Numerické řešení: \( q = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 7(1 – \frac{1}{2}) = 3{,}5 \)

Řešení: \( a = 3{,}5 \), \( q = \frac{1}{2} \)

Řešení příkladu:

\( \frac{4}{1 – q} = \frac{16}{3} \Rightarrow 1 – q = \frac{3}{4} \Rightarrow q = \frac{1}{4} \)

\( a_4 = a \cdot q^3 = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{16} < 0{,}5 \)

Kvocient nevyhovuje, hledáme jiné možnosti.

Zkusme: \( \frac{4}{1 – q} = \frac{16}{3} \Rightarrow q = \frac{1}{4} \), jediná možná reálná hodnota, ale nesplňuje podmínku.

Odpověď: Žádné reálné \( q \) nevyhovuje oběma podmínkám.

Řešení příkladu:

\( S – a = 2aq \Rightarrow \frac{a}{1 – q} – a = 2aq \Rightarrow a \left( \frac{1}{1 – q} – 1 \right) = 2aq \)

\( a \left( \frac{1 – (1 – q)}{1 – q} \right) = 2aq \Rightarrow a \cdot \frac{q}{1 – q} = 2aq \Rightarrow \frac{a}{1 – q} = 2a \Rightarrow \frac{1}{1 – q} = 2 \Rightarrow q = \frac{1}{2} \)

Kvocient \( q = \frac{1}{2} \), \( a \) může být libovolné reálné číslo kromě 0

Řešení příkladu:

\( aq = 4aq^3 \Rightarrow q = 4q^3 \Rightarrow 4q^3 – q = 0 \Rightarrow q(4q^2 – 1) = 0 \Rightarrow q = 0, q = \pm \frac{1}{2} \)

Neplatí \( q = 0 \). Zvolíme \( q = \frac{1}{2} \Rightarrow S = \frac{a}{1 – \frac{1}{2}} = 10 \Rightarrow a = 5 \)

Řešení: \( a = 5 \), \( q = \frac{1}{2} \)

Řešení příkladu:

\( aq = 3 \), \( \frac{a}{1 – q} = 6 \Rightarrow a = 6(1 – q) \)

\( 6(1 – q)q = 3 \Rightarrow 6q – 6q^2 = 3 \Rightarrow 2q – 2q^2 = 1 \Rightarrow 2q^2 – 2q + 1 = 0 \)

Diskriminant \( D = (-2)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 = -4 \), řešení není v reálných číslech

Řešení neexistuje v reálných číslech

Řešení příkladu:

\( aq^2 = 1 \), \( \frac{a}{1 – q} = 4 \Rightarrow a = 4(1 – q) \)

\( 4(1 – q)q^2 = 1 \Rightarrow (1 – q)q^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow q^2 – q^3 = \frac{1}{4} \Rightarrow 4q^3 – 4q^2 + 1 = 0 \)

Numerické řešení: \( q = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 4(1 – \frac{1}{2}) = 2 \)

Řešení: \( q = \frac{1}{2}, a = 2 \)

Řešení příkladu:

\( a_5 = aq^4 = 2 \), \( a_7 = aq^6 = 0{,}5 \Rightarrow \frac{aq^6}{aq^4} = q^2 = \frac{0{,}5}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow q = \frac{1}{2} \)

\( aq^4 = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{q^4} = \frac{2}{(\frac{1}{2})^4} = \frac{2}{\frac{1}{16}} = 32 \)

\( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{32}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{32}{\frac{1}{2}} = 64 \)

Řešení: \( q = \frac{1}{2}, a = 32, S = 64 \)