1. Určete, zda posloupnost \( a_n = \frac{n}{2^n} \) je konvergentní pomocí Ábelova kritéria konvergence.
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomme, že Ábelovo kritérium se týká součtu posloupnosti, ale my můžeme analyzovat konvergenci posloupnosti \( a_n \) jako limitu. Pro účely ukázky použijeme rozbor podle Ábelova kritéria, které říká, že pokud \( (a_n) \) je posloupnost a \( (b_n) \) je posloupnost monotónní a omezená, potom součet \( \sum a_n b_n \) konverguje.
Zde vezměme \( b_n = 1 \) (které je monotónní a omezené) a \( a_n = \frac{n}{2^n} \). Nyní zkontrolujeme součet \( S_N = \sum_{n=1}^N \frac{n}{2^n} \).
Známá suma je \( \sum_{n=1}^\infty n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^2} \) pro \( |r| < 1 \). V našem případě \( r = \frac{1}{2} \), tedy
Pro dostatečně velké \( x \) platí \( f'(x) < 0 \), tedy \( f(x) \) je klesající.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
13. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n (\ln(n+1))^2} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n (\ln(n+1))^2} \) je kladná a pro \( n \geq 2 \) klesající.
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \) protože jmenovatel roste k nekonečnu.
Monotonii ověříme, že funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x+1))^2} \) je klesající pro \( x \geq 2 \).
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
14. Zkoumejte řadu \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n^2 + n + 1} \) a její konvergenci podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{n}{n^2 + n + 1} \) je kladná a pro \( n \to \infty \) přibližně \( b_n \approx \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \), tedy \( b_n \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{x}{x^2 + x + 1} \) je klesající pro \( x > 0 \), protože derivace je záporná.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
15. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \) je kladná pro dostatečně velké \( n \) (protože \( \sin(x) \approx x \) pro malé \( x > 0 \)).
Platí \( b_n \approx \frac{\frac{1}{n}}{n} = \frac{1}{n^2} \), která je klesající a konverguje k \(0\).
Monotonii lze ověřit pomocí aproximace a vlastností sinusové funkce.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
16. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n^3} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^3} \) je kladná a klesající pro \( n \geq 3 \), protože \( n^3 \) roste rychleji než \( \ln(n) \).
Limita \( b_n \to 0 \) pro \( n \to \infty \).
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
17. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \) je kladná a klesající pro \( n \geq 1 \).
Limita \( b_n \to 0 \) pro \( n \to \infty \).
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
18. Zkoumejte řadu \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\arctan(n)}{n^2} \) a její konvergenci pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\arctan(n)}{n^2} \) je kladná, protože \( \arctan(n) > 0 \) pro \( n > 0 \).
Posloupnost je klesající pro dostatečně velká \( n \), protože \( \arctan(n) \to \frac{\pi}{2} \) a \( n^2 \) roste rychleji než \( \arctan(n) \).
Limita \( b_n \to 0 \) pro \( n \to \infty \).
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
19. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n + \cos(n)} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n + \cos(n)} \) je kladná, protože \( n + \cos(n) > 0 \) pro všechna \( n \geq 1 \).
Pro limitu platí \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \), protože \( n + \cos(n) \to \infty \).
Posloupnost není monotónní kvůli oscilaci \( \cos(n) \), takže nelze přímo použít Ábelovo kritérium.
Řada tedy podle Ábelova kritéria nekonverguje.
20. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n+1}{2n^2 + 3} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{n+1}{2n^2 + 3} \) je kladná.
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \) protože čitatel roste lineárně a jmenovatel kvadraticky.
Monotonii ověříme funkcí \( f(x) = \frac{x+1}{2x^2 + 3} \) a její derivací:
Protože \( b_n \approx \frac{1}{n^2} \), platí \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Posloupnost \( b_n \) je klesající pro dostatečně velká \( n \), protože \( f(x) = \frac{x \sin(\frac{1}{x})}{x^2 + 1} \) má zápornou derivaci na intervalu \( [N, \infty) \) pro nějaké \( N \in \mathbb{N} \).
Ábelovo kritérium tedy říká, že řada konverguje.
22. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n+1)}{n^2 + n} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2 + n} \) je kladná pro \( n \geq 1 \).
Pro limitu platí
\( \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n^2 + n} = 0 \), protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.
Monotonii zjistíme pomocí derivace funkce \( f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x^2 + x} \) na intervalu \( (0, \infty) \):
Pro velká \( x \) je \( f'(x) < 0 \), protože členy rostoucí v čitateli jsou převáženy zápornou složkou, tedy \( f \) je klesající od určitého bodu.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
23. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n (\ln(n+2))^3} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n (\ln(n+2))^3} \) je kladná a klesající pro \( n \geq 2 \), protože roste rychlost jmenovatele.
Limita \( b_n \to 0 \) pro \( n \to \infty \).
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x+2))^3} \) má zápornou derivaci pro dostatečně velké \( x \), což zajišťuje monotonii.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
24. Zkoumejte řadu \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{n^2 + 1} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{n^2 + 1} \) je kladná, protože \( \cos\left(\frac{1}{n}\right) > 0 \) pro všechna \( n \geq 1 \).
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \) platí, protože jmenovatel roste k nekonečnu a \( \cos\left(\frac{1}{n}\right) \to 1 \).
Monotonii lze ověřit derivací \( f(x) = \frac{\cos(\frac{1}{x})}{x^2 + 1} \) pro \( x > 0 \).
Pro velká \( x \) je funkce klesající.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
25. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n + \sin(n)}{n^3 + 1} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{n + \sin(n)}{n^3 + 1} \) je kladná pro \( n \geq 1 \).
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \) protože čitatel roste lineárně a jmenovatel kubicky.
Abychom použili Ábelovo kritérium, vezmeme posloupnost shora: \( b_n \leq \frac{n + 1}{n^3 + 1} < \frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2} \), která je klesající pro \( n \geq 1 \).
Tedy existuje klesající posloupnost \( \tilde{b}_n \geq b_n \) s limitou 0.
Ábelovo kritérium zaručuje, že řada konverguje.
26. Prozkoumejte řadu \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 5} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 5} \) je kladná pro všechna \( n \).
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \) protože \( n^3 \) roste rychleji než \( \sqrt{n} \).
Funkce \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^3 + 5} \) je klesající pro dostatečně velká \( x \), což lze ukázat pomocí derivace.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
27. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \) je kladná a pro \( n \geq 2 \) také klesající, protože \( n \) i \( \ln(n+1) \) rostou.
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Monotonii ověříme derivací funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln(x+1)}} \), která je záporná pro dostatečně velká \( x \).
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
28. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\arctan(n)}{n^2 + 1} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\arctan(n)}{n^2 + 1} \) je kladná, protože \( \arctan(n) > 0 \) pro \( n > 0 \).
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \), protože \( n^2 \) roste rychleji než \( \arctan(n) \).
Funkce \( f(x) = \frac{\arctan(x)}{x^2 + 1} \) je klesající pro dostatečně velká \( x \), což lze ověřit pomocí derivace.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
29. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n (1 + \cos^2(n))} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n (1 + \cos^2(n))} \) je kladná, ale není monotónní kvůli oscilaci \( \cos^2(n) \).
Proto Ábelovo kritérium nelze přímo použít. Můžeme však použít Leibnizovo kritérium: posloupnost \( b_n \) je kladná, \( b_n \to 0 \) a je omezená. Tedy řada konverguje podle Leibnizova kritéria.
30. Prozkoumejte řadu \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n^2 + 1}{n^4 + n + 1} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{n^2 + 1}{n^4 + n + 1} \) je kladná pro všechna \( n \).
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \) protože čitatel roste kvadraticky a jmenovatel čtvrtou mocninou.
Funkce \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^4 + x + 1} \) je klesající pro dostatečně velká \( x \), což lze ověřit derivací.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
31. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{n} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{n} \) je kladná, protože čitatel je rozdíl dvou kladných a větší odmocniny minus menší, což je kladné.
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x+1))^2} \) je pro \( x > 1 \) klesající, což ověříme derivací:
\( f'(x) = -\frac{(\ln(x+1))^2 + 2 \frac{1}{x+1} x \ln(x+1)}{x^2 (\ln(x+1))^4} \), což je záporné pro \( x > 1 \).
Tedy \( b_n \) je klesající.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
43. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt[3]{n}}{n^2 + n + 1} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sqrt[3]{n}}{n^2 + n + 1} \) je kladná.
Limita \( b_n \to 0 \), protože jmenovatel roste jako \( n^2 \), čitatel jako \( n^{1/3} \), takže \( b_n \sim \frac{n^{1/3}}{n^2} = n^{-5/3} \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{x^{1/3}}{x^2 + x + 1} \) je klesající pro dostatečně velké \( x \), což ověříme derivací.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
44. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n!} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n!} \) je kladná a klesající, protože \( n! \) roste velmi rychle.
Limita \( b_n \to 0 \).
Funkce \( f(n) = \frac{1}{n!} \) je klesající pro \( n \geq 1 \) (fakticky \( n! \) je rostoucí).
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
45. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n^3} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^3} \) je kladná pro \( n > 1 \).
Limita \( b_n \to 0 \) jelikož jmenovatel roste rychleji než čitatel.
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^3} \) je klesající pro \( x > e^{1/3} \), což lze ověřit derivací.
Ábelovo kritérium tedy potvrzuje konvergenci řady.
46. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \) je kladná pro \( n > 1 \).
Limita \( b_n \to 0 \), protože \( n \to \infty \) a \( \ln(n+1) \to \infty \).
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln(x+1)}} \) je klesající pro \( x > 1 \), což lze dokázat derivací.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
47. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(1/n)}{n} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(1/n)}{n} \) je kladná, protože \( \sin(1/n) \approx 1/n \) pro velká \( n \), tedy \( b_n \approx \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{\sin(1/x)}{x} \) je klesající pro dostatečně velké \( x \), což lze ověřit derivací.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
48. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^2 + n} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^2 + n} \) je kladná a pro \( n \to \infty \) se chová jako \( \frac{1}{n^2} \), tedy klesá.
Limita \( b_n \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + x} \) je klesající pro \( x > 0 \).
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
49. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n+1)}{n^4} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n+1)}{n^4} \) je kladná a klesající pro velká \( n \), protože \( n^4 \) roste rychleji než \( \ln(n+1) \).
Limita \( b_n \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x^4} \) je klesající pro \( x > e^{1/4} – 1 \), což lze ověřit derivací.
Ábelovo kritérium tedy potvrzuje konvergenci řady.
50. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\arctan(1/n)}{n} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\arctan(1/n)}{n} \) je kladná, protože \( \arctan(1/n) > 0 \) pro \( n > 0 \).
Pro velká \( n \) platí \( \arctan(1/n) \approx 1/n \), takže \( b_n \approx \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{\arctan(1/x)}{x} \) je klesající pro \( x > 1 \), což lze ověřit derivací.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
51. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty, protože se jedná o střídavou posloupnost s hodnotami pouze \(1\) a \(-1\).
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} = \frac{\ln(n)}{n^{3/2}} \) je kladná pro \( n \geq 2 \), protože logaritmus a mocnina jsou kladné.
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \) z důvodu, že mocnina v jmenovateli roste rychleji než logaritmus v čitateli.
Je potřeba ověřit, zda je \( b_n \) klesající posloupností pro dostatečně velká \( n \).
Zkoumáme funkci \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^{3/2}} \) pro \( x > 1 \).
Výraz \( 1 – \frac{3}{2} \ln(x) \) je záporný pro \( x > e^{2/3} \approx 1.95 \), takže pro \( x \geq 2 \) je derivace záporná, tedy \( f \) je klesající.
Tím pádem posloupnost \( b_n \) je klesající od \( n=2 \) dále.
Podmínky Ábelova kritéria jsou splněny, takže řada konverguje.
52. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(1/n)}{\sqrt{n}} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(1/n)}{\sqrt{n}} \) je kladná pro všechna \( n \), protože \( \sin(1/n) > 0 \) pro \( n \) dostatečně velká.
Pro velká \( n \) platí aproximace \( \sin(1/n) \approx \frac{1}{n} \), proto \( b_n \approx \frac{1/n}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}} \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{\sin(1/x)}{\sqrt{x}} \) je kladná a bude klesající pro dostatečně velké \( x \), což ověříme derivací.
Pro dostatečně velké \( x \) platí \( \frac{1}{\ln(x)} < 2 \ln(\ln(x)) \), tedy derivace je záporná a \( f \) je klesající.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
55. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \cdot \ln(n+1)} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \) je kladná pro \( n \geq 1 \).
Limita \( b_n \to 0 \) protože \( n \to \infty \) a \( \ln(n+1) \to \infty \).
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x+1)} \) je klesající pro \( x > 1 \), což ověříme derivací.
Derivace \( f'(x) = – \frac{\ln(x+1) + \frac{x}{x+1}}{x^2 (\ln(x+1))^2} \) je záporná pro \( x > 1 \), tedy \( f \) je klesající.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
56. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^{1.5} + \sin^2(n)} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^{1.5} + \sin^2(n)} \) je kladná, protože jmenovatel je vždy kladný.
Pro velká \( n \) je \( n^{1.5} \) dominantní, takže \( b_n \approx \frac{1}{n^{1.5}} \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x^{1.5} + \sin^2(x)} \) není monotónní na celém intervalu, ale \( \sin^2(x) \) je omezená, proto pro velká \( x \) lze považovat \( f \) za asymptoticky klesající.
Protože \( b_n \) není přesně monotónní, nelze Ábelovo kritérium použít přímo, ale posloupnost částečných součtů \( a_n \) je omezená a \( b_n \to 0 \), a lze použít modifikované kritérium.
Podmínky Ábelova kritéria tedy v mírně modifikované podobě naznačují konvergenci řady.
57. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(1/n)}{n^2} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\cos(1/n)}{n^2} \) je kladná pro \( n \geq 1 \) protože \( \cos(1/n) \to 1 \).
Pro \( x > 1 \) je derivace záporná, tedy \( f \) je klesající.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
61. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(\frac{1}{n})}{\sqrt{n}} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty, protože se jedná o střídavou posloupnost, kde částečné součty jsou buď \(1\) nebo \(0\).
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(\frac{1}{n})}{\sqrt{n}} \) je kladná pro \( n \) dostatečně velká, protože \( \sin(\frac{1}{n}) > 0 \) pro \( n \geq 1 \).
Funkce \( f(x) = \frac{\cos(\frac{1}{x})}{x \ln(x+2)} \) je klesající pro \( x > 1 \), což ověříme derivací.
Derivace zahrnuje součin a podíl, její analýza ukazuje záporné hodnoty pro \( x > 1 \).
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
65. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\arctan(\frac{1}{n})}{n^2} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\arctan(\frac{1}{n})}{n^2} \) je kladná a klesající.
Limita \( b_n \to 0 \) protože \( \arctan(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n} \) a tedy \( b_n \sim \frac{1}{n^3} \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{\arctan(\frac{1}{x})}{x^2} \) je klesající pro \( x > 1 \), což lze ověřit derivací.
Derivace je záporná, tedy funkce klesá.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
66. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n^{2.5}} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^{2.5}} \) je kladná a klesající pro \( n > e \).
Limita \( b_n \to 0 \) protože mocnina \( n^{2.5} \) roste rychleji než \( \ln(n) \).
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^{2.5}} \) je klesající pro \( x > e^{1/2.5} \), což lze ověřit derivací.
Derivace je záporná, tedy funkce je klesající.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
67. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(\frac{1}{n^2})}{n} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(\frac{1}{n^2})}{n} \) je kladná pro \( n \) dostatečně velká.
Limita \( b_n \to 0 \) protože \( \sin(\frac{1}{n^2}) \sim \frac{1}{n^2} \), tedy \( b_n \sim \frac{1}{n^3} \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{\sin(\frac{1}{x^2})}{x} \) je klesající pro \( x > 1 \), což ověříme derivací.
Derivace je záporná, funkce tedy klesá.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
68. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^2 + \ln(n+1)} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^2 + \ln(n+1)} \) je kladná a pro \( n \to \infty \) klesá k nule.
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + \ln(x+1)} \) je klesající pro \( x > 1 \), což ověříme derivací.
Derivace je záporná, tedy funkce klesá.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
69. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\arcsin(\frac{1}{n})}{n} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\arcsin(\frac{1}{n})}{n} \) je kladná a klesající.
Limita \( b_n \to 0 \) protože \( \arcsin(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n} \), tedy \( b_n \sim \frac{1}{n^2} \to 0 \).
Funkce \( f(x) = \frac{\arcsin(\frac{1}{x})}{x} \) je klesající pro \( x > 1 \), což lze ověřit derivací.
Derivace je záporná, funkce klesá.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
70. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n+1)}{n^3} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n+1)}{n^3} \) je kladná a klesající pro \( n \geq 2 \).
Limita \( b_n \to 0 \) protože \( n^3 \) roste rychleji než \( \ln(n) \).
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x^3} \) je klesající pro \( x > 1 \), což ověříme derivací.
Derivace je záporná, tedy funkce klesá.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
71. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n^3 + 1} \) konverguje podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty, protože pro všechny \( n \) platí, že částečné součty střídavé posloupnosti jsou buď \(1\) nebo \(0\).
Posloupnost \( b_n = \frac{n}{n^3 + 1} \) je kladná, protože čitatel i jmenovatel jsou kladné pro \( n \geq 1 \).
Protože \( f'(x) < 0 \) pro \( x > 0 \), funkce je klesající.
Ábelovo kritérium tedy potvrzuje konvergenci řady.
75. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \) je kladná a jde k nule, protože jmenovatel roste k nekonečnu.
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln(x+1)}}
\]
je klesající pro \( x \) dostatečně velké, což ověříme derivací.
Derivace funkce je komplikovanější, ale dominující je fakt, že \( x \mapsto \frac{1}{x} \) klesá a také \( \sqrt{\ln(x+1)} \) roste, takže celkový podíl klesá.
Pro velká \( x \) je derivace záporná, tedy \( f \) je klesající.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
76. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \) je kladná, protože \( \sin(\frac{1}{n}) > 0 \) pro \( n \geq 1 \).
Pro \( n \to \infty \) platí \( \sin(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n} \), tedy
Pro velká \( x \) převládá člen \( -2x^{3/2} \), tedy čitatel je záporný, což znamená, že \( f'(x) < 0 \) pro dostatečně velké \( x \). To potvrzuje, že \( f \) je klesající na dostatečně velkém intervalu.
Podle Ábelova kritéria tedy řada konverguje.
82. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} \) podle Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} = \frac{\ln(n)}{n^{3/2}} \) je kladná a směřuje k nule, protože mocnina v jmenovateli roste rychleji než logaritmus.
Pro velká \( x \) dominují členy s vyšší mocninou v jmenovateli, přičemž člen s \(-3 \arctan(x)/x^4\) je záporný a převládá. Derivace je tedy záporná pro dostatečně velká \( x \).
Funkce \( f \) je klesající na dostatečně velkém intervalu.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
85. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n (\ln(n+1))^2} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n (\ln(n+1))^2} \) je kladná a směřuje k nule, protože \( n (\ln(n+1))^2 \to \infty \).
Čitatel je kladný pro \( x > 0 \), tedy \( f'(x) < 0 \).
Funkce \( f \) je klesající.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
86. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \) je kladná a směřuje k nule, protože \(\sin(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}\) pro velká \( n \), tedy \( b_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \to 0\).
Pro velká \( x \) lze odhadnout, že derivace je záporná a funkce je klesající na dostatečně velkém intervalu.
Ábelovo kritérium tedy potvrzuje konvergenci řady.
87. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^2 + \cos(n)} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^2 + \cos(n)} \) je kladná, protože \( n^2 + \cos(n) > 0 \) pro dostatečně velké \( n \), a směřuje k nule, protože jmenovatel roste jako \( n^2 \).
Derivace je záporná pro \( x > 0 \), tedy \( f \) je klesající.
Ábelovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
91. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n^2+1} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Rozložíme řadu na součin posloupností \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2+1} \).
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty, protože částečné součty jsou \( S_m = \sum_{n=1}^m (-1)^n \), což je střídavá posloupnost s hodnotami 0 nebo -1, tedy omezená.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2+1} \) je kladná, protože všechny členy jsou kladné. Navíc pro velká \( n \) platí
Pro velká \( x \) dominují členy v čitateli \( \frac{x^2}{2\sqrt{x}} = \frac{x^{3/2}}{2} \) a \( 2x^{3/2} \), tedy
\[
\frac{x^{3/2}}{2} – 2 x^{3/2} = -\frac{3}{2} x^{3/2} < 0,
\]
což znamená, že \( f'(x) < 0 \) pro dostatečně velká \( x \), tedy \( f \) je klesající na většině intervalu od určitého bodu dál.
Tedy posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a limitně směřuje k nule.
Podle Ábelova kritéria, jelikož \( a_n \) má omezené částečné součty a \( b_n \) je kladná, klesající a limitně nulová, řada
Pro velká \( x \) platí \( \frac{x^2}{1+x^2} \to 1 \) a \( \arctan(x) \to \frac{\pi}{2} \), tedy v čitateli převažuje člen \( – 2x \cdot \frac{\pi}{2} = – \pi x \), což je záporné pro velká \( x \), takže \( f'(x) < 0 \) pro dostatečně velká \( x \).
Funkce \( f \) je tedy klesající na větším intervalu.
Podle Ábelova kritéria řada konverguje.
95. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \ln(n+1)} \) pomocí Ábelova kritéria.
Řešení příkladu:
Posloupnosti jsou \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \).
Posloupnost \( a_n \) má omezené částečné součty.
Posloupnost \( b_n \) je kladná pro \( n \geq 1 \), protože \( \ln(n+1) > 0 \) a \( n > 0 \).
Limita \( b_n \) je nulová, protože
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln(n+1)} = 0,
\]
protože \( n \ln(n+1) \to \infty \).
Pro velká \( x \) platí \( \cos(\frac{1}{x}) \approx 1 \), \( \sin(\frac{1}{x}) \approx \frac{1}{x} \), tedy
\[
f'(x) \approx -\frac{1}{x^2} + \frac{1/x}{x^3} = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} < 0,
\]
protože \( \frac{1}{x^4} \) je mnohem menší než \( \frac{1}{x^2} \).
Funkce je tedy klesající pro dostatečně velká \( x \).
