1. Vektorový prostor \( V = \mathbb{R}^3 \) s afinní strukturou definovanou jako množina všech bodů v prostoru. Určete afinní podprostor procházející bodem \( A = (1,2,3) \), který je rovnoběžný s podprostorem generovaným vektory \( \mathbf{u} = (1,0,1) \) a \( \mathbf{v} = (0,1,1) \).
Řešení příkladu:
Afinní podprostor, který hledáme, má tvar: \( W = \{ \mathbf{p} \in \mathbb{R}^3 \mid \mathbf{p} = A + \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}, \, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \} \).
Tento afinní podprostor je rovina v \( \mathbb{R}^3 \) procházející bodem \( A \) a rovnoběžná s vektory \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \).
Pro ověření lze zkontrolovat, že vektory \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \) tvoří směry podprostoru a bod \( A \) je počáteční bod afinní množiny.
2. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) určete afinní kombinaci bodů \( A = (1,1) \), \( B = (3,4) \) a \( C = (5,0) \), která je zároveň bodem ležícím na přímce mezi \( A \) a \( B \), přičemž váhy jsou kladné a součet vah je \(1\). Najděte takový bod.
Řešení příkladu:
Afinní kombinace bodů \( A, B, C \) má tvar: \( P = \alpha A + \beta B + \gamma C \), kde \( \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} \), \( \alpha + \beta + \gamma = 1 \) a \( \alpha, \beta, \gamma \geq 0 \).
Podmínka, že bod leží na přímce mezi \( A \) a \( B \) znamená, že \( \gamma = 0 \), tedy kombinace je jen z \( A \) a \( B \).
Tímto způsobem lze najít libovolný bod na přímce mezi \( A \) a \( B \) jako afinní kombinaci s kladnými vahami, jejichž součet je \(1\).
3. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (2,0,1) \), \( B = (4,2,3) \), \( C = (3,-1,2) \). Určete, zda bod \( D = (5,1,4) \) leží v afinní množině generované body \( A, B, C \).
Řešení příkladu:
Bod \( D \) leží v afinní množině generované body \( A, B, C \), pokud existují reálná čísla \( \alpha, \beta, \gamma \) taková, že
\( D = \alpha A + \beta B + \gamma C \), kde \( \alpha + \beta + \gamma = 1 \).
Napíšeme soustavu rovnic:
\( 5 = 2\alpha + 4\beta + 3\gamma \)
\( 1 = 0\alpha + 2\beta – 1\gamma \)
\( 4 = 1\alpha + 3\beta + 2\gamma \)
\( \alpha + \beta + \gamma = 1 \)
Z této soustavy řešíme:
Z poslední rovnice: \( \alpha = 1 – \beta – \gamma \).
Jelikož \( \alpha = -1 \) není v intervalu \([0,1]\), bod \( D \) neleží v afinním obalu bodů \( A, B, C \) (není afinní kombinací s kladnými vahami).
Ale protože suma vah je \(1\) a rovnice sedí, \( D \) leží v afinním prostoru generovaném \( A, B, C \), ale ne v jejich afinní kombinaci s kladnými váhami (není v jejich konvexním obalu).
4. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) určete afinní vzdálenost mezi bodem \( P = (3,5) \) a přímkou procházející bodem \( Q = (1,1) \) a směrovým vektorem \( \mathbf{d} = (2,3) \).
Řešení příkladu:
Afinní vzdálenost bodu od přímky je vzdálenost kolmice z bodu na přímku.
Nejdříve definujeme vektor z bodu \( Q \) na bod \( P \):
\( \mathbf{QP} = P – Q = (3-1, 5-1) = (2,4) \).
Směrový vektor přímky je \( \mathbf{d} = (2,3) \).
Projekce vektoru \( \mathbf{QP} \) na \( \mathbf{d} \) je:
Tedy vzdálenost bodu \( P \) od přímky je \( \frac{2}{\sqrt{13}} \).
5. V afinním prostoru určete, zda je množina \( M = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x – 2y + 3z = 5 \} \) afinní podprostorem, a pokud ano, určete její afinní parametrizaci.
Řešení příkladu:
Množina \( M \) je rovina definovaná rovnicí:
\( x – 2y + 3z = 5 \).
Rovnice definující množinu je afinní, protože pravá strana není nulová, tedy \( M \) není lineární podprostor, ale afinní podprostor.
Určíme parametrizaci tak, že vyjádříme \( x \) pomocí \( y, z \):
\( x = 5 + 2y – 3z \).
Nechť \( y = s, z = t \), kde \( s, t \in \mathbb{R} \), potom
\( M = \{ (5 + 2s – 3t, s, t) \mid s, t \in \mathbb{R} \} \).
Afinní parametrizace má tvar:
\( (x,y,z) = (5,0,0) + s(2,1,0) + t(-3,0,1) \).
Vektor \( (5,0,0) \) je bod na rovině, a vektory \( (2,1,0), (-3,0,1) \) jsou směry podprostoru rovnoběžného s rovinou \( M \).
Celkově \( M \) je afinní podprostor posunutý o vektor \( (5,0,0) \) oproti lineárnímu podprostoru definovanému směry.
6. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete průnik afinních podprostorů
7. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) určete afinní podprostor procházející bodem \( A = (2,-1) \), který je rovnoběžný s vektorem \( \mathbf{u} = (3,4) \).
Řešení příkladu:
Afinní podprostor má tvar: \( W = \{ A + \alpha \mathbf{u} \mid \alpha \in \mathbb{R} \} \).
Tedy afinní podprostor je přímka v \( \mathbb{R}^2 \) procházející bodem \( A \) a rovnoběžná s vektorem \( \mathbf{u} \).
8. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete parametrickou rovnici afinní podmnožiny, která prochází bodem \( P = (1,0,2) \) a je rovnoběžná s vektory \( \mathbf{u} = (1,2,0) \), \( \mathbf{v} = (0,1,1) \).
Řešení příkladu:
Afinní podmnožina je definována jako:
\( W = \{ P + \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} \mid \alpha, \beta \in \mathbb{R} \} \).
Jedná se o rovinu v \( \mathbb{R}^3 \) definovanou bodem \( P \) a směry \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \).
9. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) určete bod \( Q \), který je afinní kombinací bodů \( A = (0,0) \), \( B = (2,2) \) a \( C = (4,0) \), s kladnými váhami, jejichž součet je 1, a leží na přímce mezi body \( B \) a \( C \).
Řešení příkladu:
Afinní kombinace je \( Q = \alpha A + \beta B + \gamma C \), kde \( \alpha + \beta + \gamma = 1 \), \( \alpha, \beta, \gamma \geq 0 \).
Podmínka, že \( Q \) leží na přímce mezi \( B \) a \( C \) znamená \( \alpha = 0 \).
Tímto způsobem získáme libovolný bod na přímce mezi \( B \) a \( C \) jako afinní kombinaci s kladnými váhami.
10. Určete, zda bod \( R = (3,1,1) \) leží v afinní množině generované body \( A = (1,0,0) \), \( B = (2,2,1) \) a \( C = (4,0,2) \) v prostoru \( \mathbb{R}^3 \).
Řešení příkladu:
Bod \( R \) leží v afinní množině generované \( A, B, C \), pokud existují \( \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} \) tak, že
\( R = \alpha A + \beta B + \gamma C \), kde \( \alpha + \beta + \gamma = 1 \).
Zkontrolujeme součet vah: \( 1 + 0.5 + 0.25 = 1.75 \neq 1 \), což není splněno.
Proto bod \( R \) neleží v afinní množině generované \( A, B, C \).
11. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) určete vzdálenost bodu \( P = (4,1) \) od přímky, která prochází bodem \( Q = (1,2) \) a má směrový vektor \( \mathbf{d} = (3,4) \).
Řešení příkladu:
Vzdálenost bodu od přímky je dána vztahem:
\( d = \frac{| \overrightarrow{PQ} \times \mathbf{d} |}{\|\mathbf{d}\|} \), kde \( \overrightarrow{PQ} = P – Q \).
Křížový součin ve \(2D\) se vyčíslí jako skalární hodnota: \( \overrightarrow{PQ} \times \mathbf{d} = 3 \cdot 4 – (-1) \cdot 3 = 12 + 3 = 15 \).
Délka směrového vektoru \( \mathbf{d} \) je \( \| \mathbf{d} \| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \).
Vzdálenost je tedy
\( d = \frac{|15|}{5} = 3 \).
12. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) najděte parametrickou rovnici přímky, která prochází bodem \( A = (0,1,2) \) a je rovnoběžná s vektorem \( \mathbf{v} = (2,-1,3) \).
Řešení příkladu:
Parametrická rovnice přímky je
\( \mathbf{r} = A + t \mathbf{v} \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
13. Určete afinní podprostor v \( \mathbb{R}^3 \), který je určen bodem \( P = (1,2,3) \) a vektory \( \mathbf{u} = (1,0,1) \), \( \mathbf{v} = (0,1,1) \).
Řešení příkladu:
Afinní podprostor je
\( W = \{ P + \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} \mid \alpha, \beta \in \mathbb{R} \} \).
Afinní kombinace je tedy \( D = -0.5 A + 1.5 B + 0 C \).
Nejde o konvexní kombinaci (některé váhy jsou záporné), ale afinní ano.
16. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) je dán bod \( A = (1,1,1) \) a vektor \( \mathbf{v} = (1,2,3) \). Určete přímku procházející bodem \( A \) a rovnoběžnou s vektorem \( \mathbf{v} \).
Řešení příkladu:
Úkolem je najít rovnici přímky v prostoru, která prochází daným bodem a je rovnoběžná s daným směrovým vektorem.
Krok 1: Vysvětlení pojmů
Přímka v afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) může být vyjádřena pomocí parametrické rovnice:
\( \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t \mathbf{v} \),
kde
\( \mathbf{r}_0 \) je vektor polohy (bod, kterým přímka prochází),
\( \mathbf{v} \) je směrový vektor přímky (určuje směr přímky),
\( t \in \mathbb{R} \) je parametr, který „posouvá“ bod podél přímky.
Krok 2: Dosazení daných hodnot
Máme bod \( A = (1,1,1) \), jehož vektor polohy je \( \mathbf{r}_0 = (1,1,1) \), a směrový vektor \( \mathbf{v} = (1,2,3) \).
Krok 3: Zapsání parametrické rovnice přímky
Dosadíme do vzorce:
\[
\mathbf{r}(t) = (1,1,1) + t (1,2,3) = (1 + t, 1 + 2t, 1 + 3t),
\quad t \in \mathbb{R}.
\]
Krok 4: Význam výsledku
Tato rovnice popisuje všechny body přímky: za různých hodnot parametru \( t \) dostáváme různé body na přímce. Například:
Pro \( t = 0 \) je bod \( (1,1,1) \) — počáteční bod přímky.
Pro \( t = 1 \) je bod \( (2,3,4) \) — posunutí o vektor \( \mathbf{v} \) od bodu \( A \).
Tímto způsobem lze určit jakýkoliv bod na přímce.
17. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) určete parametrickou rovnici přímky, která je kolmá na vektor \( \mathbf{u} = (2,3) \) a prochází bodem \( P = (1,1) \).
Řešení příkladu:
Směrový vektor přímky je kolmý na \( \mathbf{u} \), tedy
\( \mathbf{r} = P + t \mathbf{d} = (1,1) + t (-3,2) = (1 – 3t, 1 + 2t), t \in \mathbb{R} \).
18. Určete, zda bod \( S = (2,4) \) leží v afinním podprostoru určeném bodem \( T = (1,1) \) a vektorem \( \mathbf{v} = (3,3) \) v \( \mathbb{R}^2 \).
Řešení příkladu:
Bod \( S \) leží na přímce, pokud existuje \( t \in \mathbb{R} \), že
\( S = T + t \mathbf{v} = (1,1) + t (3,3) = (1 + 3t, 1 + 3t) \).
Porovnáme souřadnice:
\( 2 = 1 + 3t \Rightarrow t = \frac{1}{3} \).
\( 4 = 1 + 3t \Rightarrow t = 1 \).
Protože \( t \) není shodné, bod neleží na přímce.
19. Najděte parametrickou rovnici afinní roviny v \( \mathbb{R}^3 \), která prochází bodem \( P = (0,0,0) \) a je generována vektory \( \mathbf{u} = (1,0,1) \), \( \mathbf{v} = (0,1,1) \).
Řešení příkladu:
Afinní rovina je dána bodem \( P \) a směry \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \):
\( W = \{ P + \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} \mid \alpha, \beta \in \mathbb{R} \} \).
21. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) najděte parametrické vyjádření přímky procházející bodem \( A = (1, -2) \) a rovnoběžné s vektorem \( \mathbf{u} = (3, 5) \).
Řešení:
Parametrické vyjádření přímky v afinním prostoru je dáno bodem a směrovým vektorem.
Tedy přímka je množina bodů
\( L = \{ A + \alpha \mathbf{u} \mid \alpha \in \mathbb{R} \} \).
Toto je parametrické vyjádření přímky procházející bodem \( A \) a rovnoběžné s vektorem \( \mathbf{u} \).
22. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete průnik dvou rovin, jejichž rovnice jsou \( 2x – y + z = 3 \) a \( x + y – 2z = 1 \).
Řešení:
Průnik dvou rovin je přímka, která leží současně v obou rovinách.
Rovnice rovin jsou:
\( \pi_1: 2x – y + z = 3 \)
\( \pi_2: x + y – 2z = 1 \).
Najdeme parametrické vyjádření průniku:
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = 2x + z – 3 \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( x + (2x + z – 3) – 2z = 1 \Rightarrow 3x + z – 3 – 2z = 1 \Rightarrow 3x – z = 4 \Rightarrow z = 3x – 4 \).
Nyní máme:
\( y = 2x + (3x – 4) – 3 = 5x – 7 \).
Nechme \( x = t \), parametr průniku:
Pak
\( z = 3t – 4 \)
\( y = 5t – 7 \).
Parametrické vyjádření průniku je tedy:
\( L = \{ (t, 5t – 7, 3t – 4) \mid t \in \mathbb{R} \} \).
23. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete vzdálenost bodu \( P = (4, 1, 3) \) od roviny \( \pi: x – 2y + 2z = 5 \).
Řešení:
Vzdálenost bodu od roviny se počítá podle vzorce:
\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \), kde \( (x_0, y_0, z_0) \) jsou souřadnice bodu a rovnice roviny je ve tvaru \( Ax + By + Cz + D = 0 \).
Převedeme rovnici roviny do požadovaného tvaru:
\( x – 2y + 2z = 5 \Rightarrow x – 2y + 2z – 5 = 0 \).
Dosadíme hodnoty:
\( A = 1, B = -2, C = 2, D = -5 \), \( P = (4, 1, 3) \).
24. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete parametrické vyjádření přímky, která prochází bodem \( A = (1, 0, -1) \) a je průnikem rovin \( 2x – y + z = 3 \) a \( x + y – 2z = 1 \).
Řešení:
Průnik dvou rovin je přímka, jejíž směrový vektor je kolmý na normálové vektory rovin.
Pro obecnou rovnici přímky vyjádříme parametr \( \alpha \):
Ze souřadnice x: \( \alpha = \frac{x-3}{4} \).
Dosadíme do y:
\( y = 2 – 4 \cdot \frac{x-3}{4} = 2 – (x-3) = 5 – x \).
Obecná rovnice přímky je tedy:
\( y = 5 – x \), nebo přepsáno do tvaru:
\( x + y = 5 \).
26. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1, 1, 2) \), \( B = (3, 0, 5) \) a \( C = (2, 4, 3) \). Určete souřadnice bodu \( D \), který doplňuje rovnoběžník \( ABCD \).
Řešení:
V afinním prostoru platí, že čtvrtý bod rovnoběžníku lze získat podle vzorce:
Závěr: Přímky \( L_1 \) a \( L_2 \) jsou mimoběžné, neprotínají se.
28. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) je dána rovina \( \pi \) rovnicí \( 3x – y + 2z = 7 \) a bod \( P = (2, -1, 1) \). Určete rovnici přímky procházející bodem \( P \), která je kolmice k rovině \( \pi \).
Přímka kolmice k rovině musí mít směrový vektor rovnající se normálovému vektoru roviny.
Parametrické vyjádření přímky procházející bodem \( P = (2, -1, 1) \) se směrovým vektorem \( \mathbf{n} \) je:
\( L = \{ (2, -1, 1) + t(3, -1, 2) \mid t \in \mathbb{R} \} \), tedy
\( x = 2 + 3t, \quad y = -1 – t, \quad z = 1 + 2t \).
To je rovnice přímky kolmice k rovině \( \pi \) procházející bodem \( P \).
29. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (0, 1, 2) \), \( B = (3, 0, 1) \) a \( C = (1, 4, 5) \). Určete rovinu, která prochází bodem \( A \) a je rovnoběžná s přímkou procházející body \( B \) a \( C \).
Řešení:
Nejprve vypočítáme směrový vektor přímky \( BC \):
\( \mathbf{v} = C – B = (1-3, 4-0, 5-1) = (-2, 4, 4) \).
Rovina, která prochází bodem \( A \) a je rovnoběžná s přímkou \( BC \), musí mít směrový vektor \( \mathbf{v} \) v rovině.
Rovina je určena bodem a dvěma lineárně nezávislými směrovými vektory. Jedním směrovým vektorem je \( \mathbf{v} \), druhým může být libovolný vektor, který není kolineární s \( \mathbf{v} \). Pro jednoduchost zvolíme vektor \( \mathbf{w} = (1, 0, 0) \), který není násobkem \( \mathbf{v} \).
Parametrické vyjádření roviny je:
\( \{ A + s \mathbf{v} + r \mathbf{w} \mid s, r \in \mathbb{R} \} \), tedy
Rovina procházející bodem \( A \) a rovnoběžná s přímkou \( BC \) má tedy rovnici \( y – z + 1 = 0 \).
30. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1, 2, 3) \), \( B = (4, 0, 1) \), \( C = (2, 3, 5) \). Určete střed úsečky \( AB \) a body, které leží na úsečce \( AC \) v poměru 2:3 od bodu \( A \).
Řešení:
1) Střed úsečky \( AB \) je střední bod mezi \( A \) a \( B \):
Body na úsečce \( AC \) v poměru 2:3 od \( A \) jsou tedy \( P = \left(\frac{7}{5}, \frac{12}{5}, \frac{19}{5}\right) \).
31. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) jsou dány body \( A = (1, -1) \), \( B = (4, 3) \), \( C = (7, 0) \). Určete vektor \( \overrightarrow{AB} \), délku úsečky \( BC \) a souřadnice bodu, který leží na úsečce \( AC \) v poměru \(3:2\) od bodu \( A \).
Řešení:
1) Vektor \( \overrightarrow{AB} = B – A = (4 – 1, 3 – (-1)) = (3, 4) \).
2) Délka úsečky \( BC \) je vzdálenost mezi body \( B \) a \( C \):
32. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (2, 1, 0) \), \( B = (-1, 4, 2) \), \( C = (5, -2, 3) \). Určete rovinu procházející body \( A \), \( B \) a \( C \) v parametrickém tvaru.
33. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) jsou dány body \( A = (0, 0) \), \( B = (2, 4) \), \( C = (5, 1) \). Zjistěte, zda bod \( D = (3, 3) \) leží v trojúhelníku \( ABC \).
Řešení:
1) Bod \( D \) leží v trojúhelníku \( ABC \) právě tehdy, když existují nenegativní souřadnice \( \lambda, \mu, \nu \) takové, že \( \lambda + \mu + \nu = 1 \) a
7) Všechny váhy jsou nenegativní a součet je \(1\), proto \( D \) leží v trojúhelníku \( ABC \).
34. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1, 2, 3) \), \( B = (4, 0, 1) \), \( C = (2, 3, 5) \). Určete souřadnice bodu \( P \), který leží na přímce \( AB \) a zároveň je vzdálen od bodu \( A \) o 2 jednotky.
35. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) jsou dány body \( A = (1, 3) \), \( B = (5, 7) \). Najděte bod \( C \) tak, aby trojúhelník \( ABC \) byl rovnoramenný s vrcholy \( A \) a \( B \) jako základnou a délka ramene \( AC \) byla \(5\).
Řešení:
1) Směrový vektor základny \( AB \):
\( \overrightarrow{AB} = B – A = (5 – 1, 7 – 3) = (4, 4) \).
36. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (0, 1, 2) \), \( B = (3, -1, 4) \) a \( C = (2, 2, 0) \). Určete rovnici roviny procházející body \( A \), \( B \) a \( C \).
Řešení:
Nejprve vypočítáme směrové vektory roviny, které jsou dány vektory:
Rovnice roviny procházející body \( A \), \( B \) a \( C \) je tedy:
\( 2x + 10y + 7z = 24 \).
37. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1, 1, 1) \), \( B = (4, 5, 6) \). Najděte bod \( P \) na úsečce \( AB \), který je vzdálený od bodu \( A \) přesně \(3\) jednotky.
Bod \( P \) je tedy přesně vzdálen \(3\) jednotky od bodu \( A \) a leží na úsečce \( AB \).
38. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1, 0, 2) \), \( B = (2, 3, 4) \) a \( C = (4, 3, 6) \). Určete, zda bod \( C \) leží v polorovině určené bodem \( A \) a směrovými vektory \( \overrightarrow{AB} \) a \( \overrightarrow{AC} \).
Polorovina určená bodem \( A \) a směrovými vektory \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) zahrnuje všechny body \( P = A + s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC} \) s \( s, t \geq 0 \).
Zkusíme najít \( s \) a \( t \) tak, aby \( C = A + s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC} \).
To znamená řešit soustavu:
\( 4 = 1 + s \cdot 1 + t \cdot 3 \),
\( 3 = 0 + s \cdot 3 + t \cdot 3 \),
\( 6 = 2 + s \cdot 2 + t \cdot 4 \).
Úprava první rovnice:
\( 4 – 1 = s + 3t \Rightarrow 3 = s + 3t \Rightarrow s = 3 – 3t \).
Podmínky \( s \geq 0 \) a \( t \geq 0 \) jsou splněny ( \( s=0 \), \( t=1 \) ).
Tedy bod \( C \) leží v polorovině určené bodem \( A \) a směrovými vektory \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \).
39. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (2, 1, 3) \), \( B = (5, 4, 7) \), \( C = (1, 0, 2) \). Najděte rovinu, která je kolmá na úsečku \( AB \) a prochází bodem \( C \).
Rovina kolmá na úsečku \( AB \) a procházející bodem \( C \) má rovnici:
\( 3x + 3y + 4z = 11 \).
40. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (0, 0, 0) \), \( B = (3, 3, 3) \), \( C = (1, 2, 2) \), \( D = (4, 5, 6) \). Určete, zda je bod \( D \) v afinní kombinaci bodů \( A, B, C \) tak, že koeficient u bodu \( B \) je 0,5, a pokud ano, najděte koeficienty u \( A \) a \( C \).
Řešení:
Hledáme koeficienty \( \alpha, \beta, \gamma \) takové, že
\( D = \alpha A + \beta B + \gamma C \) a zároveň \( \beta = 0{,}5 \),
přičemž platí \( \alpha + \beta + \gamma = 1 \), protože jde o afinní kombinaci.
což znamená, že nelze najít takovou afinní kombinaci s koeficientem \( \beta = 0{,}5 \), která by odpovídala bodu \( D \).
Pro ověření ještě spočítáme třetí souřadnici:
\( 6 = 1{,}5 + 2\gamma = 1{,}5 + 5 = 6{,}5 \), což také neplatí.
Závěr: Bod \( D \) není afinní kombinací bodů \( A, B, C \) s koeficientem u \( B \) rovným \(0,5\).
41. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1, 2, 1) \), \( B = (4, 0, 5) \), \( C = (2, 3, 4) \). Najděte parametrické vyjádření přímky procházející bodem \( A \) a kolmé na rovinu určenou body \( B, C \) a počátkem \( O = (0, 0, 0) \).
Řešení:
Nejdříve najdeme rovinu určenou body \( O, B, C \). Směrové vektory roviny jsou
\( \overrightarrow{OB} = (4, 0, 5) \),
\( \overrightarrow{OC} = (2, 3, 4) \).
Normálový vektor roviny je dán vektorovým součinem:
Parametrické vyjádření přímky procházející bodem \( A \) a kolmé na rovinu je ve směru normálového vektoru \( \vec{n} \).
Tedy přímka má tvar
\( \ell: \mathbf{r}(t) = (1, 2, 1) + t(-15, -6, 12) \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
42. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (2, 1, 0) \), \( B = (5, 4, 3) \), \( C = (1, 0, 1) \). Určete, zda bod \( D = (3, 2, 1) \) leží v afinní podprostorě určeném body \( A, B, C \).
Řešení:
Bod \( D \) leží v afinním podprostoru určeném body \( A, B, C \) právě tehdy, pokud lze nalézt koeficienty \( \alpha, \beta, \gamma \) takové, že
Výsledkem je, že \( \alpha = \frac{2}{3} \), \( \beta = \frac{1}{3} \), \( \gamma = 0 \), a tedy bod \( D \) leží v afinním podprostoru určeném body \( A, B, C \).
43. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) jsou dány body \( A = (1, 3) \), \( B = (4, 7) \). Najděte všechny body \( P = (x, y) \) takové, že vzdálenost od \( A \) je dvakrát větší než vzdálenost od \( B \).
Řešení:
Podmínka je \( |PA| = 2 |PB| \), kde vzdálenost \( |PA| = \sqrt{(x-1)^2 + (y-3)^2} \), a \( |PB| = \sqrt{(x-4)^2 + (y-7)^2} \).
44. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (0,0,0) \), \( B = (2,2,2) \), \( C = (3,0,1) \). Najděte rovinu, která prochází bodem \( A \) a je rovnoběžná s přímkou určenou body \( B \) a \( C \), a zároveň obsahuje vektor \( \vec{u} = (1, -1, 0) \).
Řešení:
Směrový vektor přímky \( BC \) je
\( \overrightarrow{BC} = C – B = (3-2, 0-2, 1-2) = (1, -2, -1) \).
Rovina má obsahovat vektory \( \overrightarrow{BC} \) a \( \vec{u} = (1, -1, 0) \) a procházet bodem \( A = (0,0,0) \).
Normálový vektor roviny je kolmý na oba směrové vektory, tedy je dán vektorovým součinem:
Rovnice roviny procházející bodem \( A \) a normálovým vektorem \( \vec{n} = (-1, -1, 1) \) je
\( -1 \cdot x – 1 \cdot y + 1 \cdot z = 0 \Rightarrow -x – y + z = 0 \).
45. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1, 2, 3) \), \( B = (4, 0, 1) \), \( C = (2, -1, 4) \). Najděte parametrickou rovnici přímky procházející bodem \( A \) a rovnoběžné s vektorem \( \overrightarrow{BC} \).
Řešení:
Nejdříve určíme směrový vektor přímky, který je rovnoběžný s vektorem \( \overrightarrow{BC} \).
Parametrická rovnice přímky, která prochází bodem \( A = (1, 2, 3) \) a má směrový vektor \( \overrightarrow{BC} = (-2, -1, 3) \), je
\( \mathbf{r}(t) = A + t \cdot \overrightarrow{BC} = (1, 2, 3) + t(-2, -1, 3) \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
Rozepisujeme na složky:
\( x = 1 – 2t \),
\( y = 2 – t \),
\( z = 3 + 3t \).
Tím máme parametrickou rovnici přímky:
\( \{ (x, y, z) \mid x = 1 – 2t, \, y = 2 – t, \, z = 3 + 3t, \, t \in \mathbb{R} \} \).
46. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1, 1, 1) \), \( B = (3, 2, 4) \), \( C = (5, 0, 2) \). Určete parametrickou rovnici roviny procházející body \( A \), \( B \) a \( C \) a spočítejte její normálový vektor.
Parametrická rovnice roviny procházející bodem \( A \) a se směrovými vektory \( \overrightarrow{AB} \) a \( \overrightarrow{AC} \) je
\( \mathbf{r}(s,t) = A + s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC} = (1,1,1) + s(2,1,3) + t(4,-1,1) \), kde \( s,t \in \mathbb{R} \).
Normálový vektor roviny je tedy \( \overrightarrow{n} = (4, 10, -6) \).
47. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) jsou dány body \( A = (1, 3) \), \( B = (4, 7) \) a \( C = (7, 11) \). Určete, zda body \( A, B, C \) leží na jedné přímce, a pokud ano, najděte parametrickou rovnici této přímky.
Řešení:
Nejprve vypočítáme směrové vektory:
\( \overrightarrow{AB} = B – A = (4 – 1, 7 – 3) = (3, 4) \),
\( \overrightarrow{AC} = C – A = (7 – 1, 11 – 3) = (6, 8) \).
Pro ověření, zda jsou body kolineární, zkontrolujeme, zda je \( \overrightarrow{AC} \) násobkem \( \overrightarrow{AB} \):
Poměr složek: \( \frac{6}{3} = 2 \), \( \frac{8}{4} = 2 \Rightarrow \) oba poměry jsou stejné, což znamená, že
Parametrická rovnice přímky procházející bodem \( A \) a se směrovým vektorem \( \overrightarrow{AB} \) je
\( \mathbf{r}(t) = A + t \cdot \overrightarrow{AB} = (1, 3) + t(3, 4), \quad t \in \mathbb{R} \).
Rozepíšeme na složky:
\( x = 1 + 3t \),
\( y = 3 + 4t \).
48. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (2, 3, 1) \), \( B = (5, 7, 4) \), \( C = (4, 6, 3) \) a \( D = (7, 10, 6) \). Určete, zda bod \( D \) leží v afinní kombinaci bodů \( A, B, C \), a pokud ano, najděte koeficienty afinní kombinace.
Řešení:
Hledáme koeficienty \( \alpha, \beta, \gamma \) takové, že
\( D = \alpha A + \beta B + \gamma C \) a zároveň \( \alpha + \beta + \gamma = 1 \).
Zapíšeme rovnice pro každou souřadnici:
\( 7 = 2\alpha + 5\beta + 4\gamma \),
\( 10 = 3\alpha + 7\beta + 6\gamma \),
\( 6 = 1\alpha + 4\beta + 3\gamma \),
\( \alpha + \beta + \gamma = 1 \).
Z rovnice pro souřadnici \( x \) vyjádříme \( \alpha = 1 – \beta – \gamma \) a dosadíme do ostatních rovnic:
Koeficienty jsou tedy \( \alpha = -1 \), \( \beta = 1 \), \( \gamma = 1 \).
Bod \( D \) lze vyjádřit jako afinní kombinaci bodů \( A, B, C \), ale protože \( \alpha \) je záporné, bod leží mimo trojúhelník tvořený body \( A, B, C \).
49. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) najděte vzdálenost bodu \( P = (3, -1, 2) \) od přímky procházející bodem \( A = (1, 0, 1) \) se směrovým vektorem \( \overrightarrow{v} = (2, 1, 2) \).
Řešení:
Vzdálenost bodu \( P \) od přímky je dána délkou kolmice z bodu \( P \) na přímku.
Nejdříve určíme vektor \( \overrightarrow{AP} = P – A = (3 – 1, -1 – 0, 2 – 1) = (2, -1, 1) \).
Vzdálenost \( d \) se vypočítá podle vzorce
\( d = \frac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|} \).
50. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány roviny \( \rho_1: x – 2y + z = 4 \) a \( \rho_2: 3x + y – 2z = 5 \). Určete parametrickou rovnici průsečíku těchto dvou rovin.
Řešení:
Průsečík dvou rovin je přímka, která je zároveň řešením soustavy rovnic:
\( \begin{cases} x – 2y + z = 4 \\ 3x + y – 2z = 5 \end{cases} \).
Nejprve najdeme směrový vektor přímky jako vektorový součin normálových vektorů rovin.
\( x = 4 + 2\left(-1 + \frac{5}{7}t\right) – t = 4 – 2 + \frac{10}{7}t – t = 2 + \frac{10}{7}t – \frac{7}{7}t = 2 + \frac{3}{7}t \).
Parametrická rovnice přímky je tedy
\( \mathbf{r}(t) = (x, y, z) = \left(2 + \frac{3}{7}t, -1 + \frac{5}{7}t, t\right), \quad t \in \mathbb{R} \).
51. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1, 2, 0) \), \( B = (3, 0, 4) \), \( C = (0, -1, 1) \). Najděte rovnici roviny, která prochází bodem \( A \) a je kolmá na vektor \( \overrightarrow{BC} \).
52. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1,0,1) \), \( B = (4,2,3) \), \( C = (2,-1,4) \). Najděte obsah trojúhelníku \( ABC \).
Řešení:
Nejprve určíme vektory \( \overrightarrow{AB} \) a \( \overrightarrow{AC} \):
\( S = \frac{1}{2} \sqrt{138} = \frac{\sqrt{138}}{2} \).
53. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány roviny
\( \pi_1: 2x – y + z = 3 \),
\( \pi_2: x + y – 2z = 4 \).
Najděte vzdálenost mezi těmito dvěma rovinami, pokud jsou rovnoběžné, a pokud nejsou, určete jejich průsečík.
Řešení:
Nejdříve porovnáme normálové vektory obou rovin:
\( \overrightarrow{n_1} = (2, -1, 1) \),
\( \overrightarrow{n_2} = (1, 1, -2) \).
Roviny jsou rovnoběžné, pokud je jeden normálový vektor násobkem druhého. Zkontrolujeme to:
Pro \( \overrightarrow{n_1} \) a \( \overrightarrow{n_2} \) žádný skalár \( k \), pro který platí \( \overrightarrow{n_1} = k \overrightarrow{n_2} \), neexistuje, protože složky nesouhlasí.
Roviny tedy nejsou rovnoběžné, mají průsečík, což je přímka.
Najdeme parametrickou rovnici průsečíku.
Vyřešíme soustavu rovnic:
\( \begin{cases} 2x – y + z = 3 \\ x + y – 2z = 4 \end{cases} \).
Sečteme obě rovnice, abychom eliminovali \( y \):
\( (2x – y + z) + (x + y – 2z) = 3 + 4 \Rightarrow 3x – z = 7 \Rightarrow z = 3x – 7 \).
Dosadíme \( z \) do druhé rovnice:
\( x + y – 2(3x – 7) = 4 \Rightarrow x + y – 6x + 14 = 4 \Rightarrow -5x + y = -10 \Rightarrow y = 5x – 10 \).
Parametrická rovnice přímky průsečíku je
\( \mathbf{r}(t) = (x, y, z) = (t, 5t – 10, 3t – 7), t \in \mathbb{R} \).
54. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) je dána přímka \( p \) parametricky jako \( \mathbf{r}(t) = (2 + t, 1 – 2t, 3t) \) a bod \( Q = (4, -1, 2) \). Najděte rovinu procházející bodem \( Q \), která je kolmá k přímce \( p \).
Řešení:
Směrový vektor přímky \( p \) je \( \overrightarrow{v} = (1, -2, 3) \).
Rovina kolmá k přímce má normálový vektor shodný s tímto směrovým vektorem.
Rovnice roviny procházející bodem \( Q = (4, -1, 2) \) s normálovým vektorem \( \overrightarrow{n} = (1, -2, 3) \) je
55. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (0,1,2) \), \( B = (3,4,1) \) a přímka \( l \) daná parametrickou rovnicí \( \mathbf{r}(s) = (1 + 2s, -1 + s, 3s) \). Určete hodnotu parametru \( s \), pro kterou je bod na přímce \( l \) nejblíže bodu \( B \), a vypočítejte tuto nejmenší vzdálenost.
Řešení:
Bod na přímce \( l \) je \( \mathbf{r}(s) = (1 + 2s, -1 + s, 3s) \).
56. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) je dán afinní podprostor definovaný soustavou rovnic
\[
\begin{cases}
x + 2y – z = 3 \\
2x – y + 4z = 1
\end{cases}
\]
Najděte parametrické vyjádření tohoto afinního podprostoru.
Řešení:
Z první rovnice vyjádříme \(x\):
\[
x = 3 – 2y + z
\]
Druhou rovnici dosadíme za \(x\):
\[
2(3 – 2y + z) – y + 4z = 1 \Rightarrow 6 – 4y + 2z – y + 4z = 1
\]
Dosadíme zpět do výrazu pro \(x\):
\[
x = 3 – 2\left(1 + \frac{6}{5}z\right) + z = 3 – 2 – \frac{12}{5}z + z = 1 – \frac{7}{5}z
\]
Parametrické vyjádření afinního podprostoru je tedy
\[
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -\frac{7}{5} \\ \frac{6}{5} \\ 1 \end{pmatrix}, \quad z \in \mathbb{R}
\]
jedná se o afinní přímku v \(\mathbb{R}^3\) s bodem \(\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\) a směrovým vektorem \(\begin{pmatrix}-\frac{7}{5} \\ \frac{6}{5} \\ 1\end{pmatrix}\).
57. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^4 \) je dán afinní podprostor množinou bodů splňujících
\[
x_1 – 3x_2 + 2x_3 = 4
\]
Určete dimenzi tohoto podprostoru a napište jeho parametrické vyjádření.
Řešení:
Máme jednu lineární rovnici v \(\mathbb{R}^4\), takže množina tvoří afinní hyperrovinu dimenze \(4 – 1 = 3\).
Zvolíme volné parametry:
\[
x_2 = s, \quad x_3 = t, \quad x_4 = u, \quad s,t,u \in \mathbb{R}
\]
58. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) je dána množina
\[
B = \{ (x,y,z) : (x,y,z) = (2,1,0) + \lambda(1,0,-1) + \mu(0,2,3), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} \}.
\]
Najděte obecnou rovnici této afinní roviny.
Řešení:
Máme afinní rovinu s bodem \(P_0 = (2,1,0)\) a směrovými vektory
\[
\mathbf{v}_1 = (1,0,-1), \quad \mathbf{v}_2 = (0,2,3).
\]
Normála \(\mathbf{n} = (a,b,c)\) musí být ortogonální k \(\mathbf{v}_1\) i \(\mathbf{v}_2\):
\[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_1 = a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot (-1) = 0 \Rightarrow a – c = 0 \Rightarrow a = c,
\]
\[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_2 = a \cdot 0 + b \cdot 2 + c \cdot 3 = 0 \Rightarrow 2b + 3c = 0.
\]
Zvolíme \(c = t\), pak \(a = t\) a \(b = -\frac{3}{2}t\). Pro jednoduchost vezmeme \(t=2\):
\[
\mathbf{n} = (2, -3, 2).
\]
59. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) jsou dány body \(A=(1,2)\), \(B=(4,6)\) a \(C=(7,10)\). Určete, zda tyto body leží na jedné přímce, a pokud ano, napište parametrické vyjádření této přímky.
Vektory jsou lineárně závislé, protože \(\overrightarrow{AC} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}\), tedy všechny body leží na jedné přímce.
Parametrické vyjádření přímky procházející bodem \(A\) a směrovým vektorem \(\overrightarrow{AB}\):
\[
\mathbf{r}(t) = (1, 2) + t(3, 4), \quad t \in \mathbb{R}.
\]
60. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \(P=(1,0,2)\), \(Q=(3,-1,4)\) a \(R=(2,2,3)\). Určete, zda body určují rovinu, a pokud ano, najděte rovnici této roviny.
62. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \(A = (1,0,2)\), \(B = (3,1,5)\), \(C = (2,-1,4)\). Najděte rovnici roviny, která prochází body \(A\), \(B\) a \(C\).
Řešení:
Nejprve najdeme dva vektory ležící v rovině:
\[
\overrightarrow{AB} = (3-1, 1-0, 5-2) = (2,1,3),
\]
\[
\overrightarrow{AC} = (2-1, -1-0, 4-2) = (1,-1,2).
\]
Rovnice roviny procházející bodem \(A = (1,0,2)\) s normálovým vektorem \(\mathbf{n} = (5,-1,-3)\) je
\[
5(x-1) – 1(y-0) – 3(z-2) = 0,
\]
\[
5x – 5 – y – 3z + 6 = 0 \Rightarrow 5x – y – 3z + 1 = 0.
\]
63. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) je dán afinní podprostor parametricky jako
\[
\mathbf{r}(\lambda, \mu) = (2, -1, 3) + \lambda (1, 0, -2) + \mu (0, 3, 1), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}.
\]
Najděte obecnou rovnici tohoto podprostoru ve tvaru jedné nebo více rovnic.
Řešení:
Podprostor je afinní rovina v \(\mathbb{R}^3\) s bodem \(P_0 = (2,-1,3)\) a směrovými vektory
\[
\mathbf{v}_1 = (1,0,-2), \quad \mathbf{v}_2 = (0,3,1).
\]
Normálový vektor \(\mathbf{n} = (a,b,c)\) musí být ortogonální na oba směrové vektory:
\[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_1 = a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot (-2) = a – 2c = 0,
\]
\[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_2 = a \cdot 0 + b \cdot 3 + c \cdot 1 = 3b + c = 0.
\]
Z první rovnice
\[
a = 2c,
\]
z druhé
\[
3b + c = 0 \Rightarrow b = -\frac{c}{3}.
\]
Zvolíme \(c = 3\) pro jednoduchost, potom
\[
a = 6, \quad b = -1, \quad c = 3.
\]
64. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány dvě přímky:
\[
L_1: \mathbf{r}_1(t) = (1,2,3) + t(2,-1,1), \quad t \in \mathbb{R},
\]
\[
L_2: \mathbf{r}_2(s) = (3,0,1) + s(1,2,4), \quad s \in \mathbb{R}.
\]
Určete, zda se tyto přímky protínají, jsou rovnoběžné nebo jsou mimoběžné. Pokud se protínají, najděte bod průniku.
Řešení:
Pro průnik hledáme hodnoty \(t, s\), které vyhovují
\[
(1, 2, 3) + t(2, -1, 1) = (3, 0, 1) + s(1, 2, 4).
\]
To znamená soustavu tří rovnic:
\[
1 + 2t = 3 + s,
\]
\[
2 – t = 0 + 2s,
\]
\[
3 + t = 1 + 4s.
\]
Vyřešíme soustavu:
Z první rovnice
\[
s = 2t – 2.
\]
Dosadíme do druhé rovnice:
\[
-t – 2(2t – 2) = -2,
\]
\[
-t – 4t + 4 = -2,
\]
\[
-5t = -6 \Rightarrow t = \frac{6}{5} = 1{,}2.
\]
Dosadíme zpět do výrazu pro \(s\):
\[
s = 2 \cdot 1{,}2 – 2 = 2{,}4 – 2 = 0{,}4.
\]
Ověříme třetí rovnici:
\[
t – 4s = 1{,}2 – 4 \cdot 0{,}4 = 1{,}2 – 1{,}6 = -0{,}4 \neq -2,
\]
což je nesplněno.
Proto soustava je neslučitelná, přímky se neprotínají.
Podíváme se, zda jsou rovnoběžné směrové vektory:
\[
\mathbf{v}_1 = (2, -1, 1), \quad \mathbf{v}_2 = (1, 2, 4).
\]
Poměr složek není konstantní, takže nejsou rovnoběžné.
Závěr: Přímky jsou mimoběžné.
65. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) je dána rovina rovnicí
\[
2x – y + z = 4.
\]
Najděte vzdálenost bodu \(P = (3,1,2)\) od této roviny a určete bod v rovině, který je k bodu \(P\) nejblíže.
Nejbližší bod \(Q\) na rovině k bodu \(P\) lze najít projekcí bodu \(P\) na rovinu podél normálového vektoru. Označíme parametr \(t\) a
\[
Q = P – t \mathbf{n} = (3,1,2) – t(2,-1,1) = (3 – 2t, 1 + t, 2 – t).
\]
Bod \(Q\) leží v rovině, takže musí platit
\[
2(3 – 2t) – (1 + t) + (2 – t) = 4,
\]
\[
6 – 4t – 1 – t + 2 – t = 4,
\]
\[
(6 – 1 + 2) – (4t + t + t) = 4,
\]
\[
7 – 6t = 4 \Rightarrow 7 – 4 = 6t \Rightarrow 3 = 6t \Rightarrow t = \frac{1}{2}.
\]
66. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body
\[
A = (1, 2, -1), \quad B = (3, 0, 4), \quad C = (2, 3, 1).
\]
Určete rovnici roviny, která prochází těmito třemi body.
Řešení:
Určíme dva směrové vektory ležící v rovině:
\[
\overrightarrow{AB} = B – A = (2, -2, 5), \quad \overrightarrow{AC} = C – A = (1, 1, 2).
\]
67. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány přímky
\[
p: \begin{cases}
x = 1 + 2t, \\
y = -1 + t, \\
z = 3 – t,
\end{cases} \quad
q: \begin{cases}
x = 3 + s, \\
y = 2 – 2s, \\
z = 1 + 4s.
\end{cases}
\]
Určete rovinu, která obsahuje přímku \(p\) a bod \(Q = (2,0,0)\) ležící mimo přímku \(p\).
Řešení:
Přímka \(p\) je dána bodem \(P_0 = (1, -1, 3)\) a směrovým vektorem
\[
\mathbf{v} = (2, 1, -1).
\]
Hledaná rovina musí obsahovat přímku \(p\) a bod \(Q=(2,0,0)\). Vektorem ležícím v rovině je tedy i vektor
\[
\overrightarrow{P_0Q} = Q – P_0 = (2 – 1, 0 – (-1), 0 – 3) = (1, 1, -3).
\]
Normálový vektor roviny je kolmý na oba vektory ležící v rovině, tedy na \(\mathbf{v}\) a \(\overrightarrow{P_0Q}\), takže je roven jejich vektorovému součinu:
\[
\mathbf{n} = \mathbf{v} \times \overrightarrow{P_0Q} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -3
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-3) – (-1) \cdot 1) – \mathbf{j}(2 \cdot (-3) – (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 – 1 \cdot 1),
\]
\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}(-3 + 1) – \mathbf{j}(-6 + 1) + \mathbf{k}(2 – 1) = (-2, 5, 1).
\]
Rovnice roviny je
\[
-2(x – 1) + 5(y + 1) + 1(z – 3) = 0,
\]
\[
-2x + 2 + 5y + 5 + z – 3 = 0,
\]
\[
-2x + 5y + z + 4 = 0,
\]
nebo
\[
2x – 5y – z = 4.
\]
68. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body
\[
A = (1, 0, 2), \quad B = (3, 4, 2), \quad C = (2, 2, 5).
\]
Určete rovnice dvou kolmých přímek, které procházejí bodem \(A\), první přímka leží v rovině určené body \(A, B, C\), druhá je na tuto rovinu kolmá.
Řešení:
Nejprve určíme rovinu určenou body \(A, B, C\). Vektory ležící v rovině jsou
\[
\overrightarrow{AB} = (3-1, 4-0, 2-2) = (2, 4, 0),
\]
\[
\overrightarrow{AC} = (2-1, 2-0, 5-2) = (1, 2, 3).
\]
První přímka procházející bodem \(A\) a ležící v rovině má směrový vektor ležící v rovině, například \(\overrightarrow{AB} = (2,4,0)\).
Rovnice této přímky je tedy
\[
x = 1 + 2t, \quad y = 0 + 4t, \quad z = 2 + 0t = 2.
\]
Druhá přímka musí být kolmá na rovinu, tedy její směrový vektor je roven normálovému vektoru roviny, tedy
\[
\mathbf{m} = (12, -6, 0).
\]
Rovnice druhé přímky je
\[
x = 1 + 12s, \quad y = 0 – 6s, \quad z = 2 + 0s = 2.
\]
69. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány dvě roviny
\[
\alpha: x – 2y + z = 3, \quad \beta: 2x + y – 3z = -1.
\]
Najděte parametrické vyjádření průniku těchto dvou rovin.
Řešení:
Průnik dvou rovin je buď prázdný, přímka nebo rovina. Zde se pokusíme najít průsečnici v parametricém tvaru.
Z rovnice roviny \(\alpha\)
\[
x – 2y + z = 3 \Rightarrow x = 3 + 2y – z.
\]
Dosadíme do roviny \(\beta\):
\[
2x + y – 3z = -1,
\]
\[
2(3 + 2y – z) + y – 3z = -1,
\]
\[
6 + 4y – 2z + y – 3z = -1,
\]
\[
6 + 5y – 5z = -1,
\]
\[
5y – 5z = -7,
\]
\[
y – z = -\frac{7}{5} \Rightarrow y = z – \frac{7}{5}.
\]
Parametrizujeme podle \(z = t\):
\[
y = t – \frac{7}{5}, \quad z = t,
\]
\[
x = 3 + 2y – z = 3 + 2\left(t – \frac{7}{5}\right) – t = 3 + 2t – \frac{14}{5} – t = 3 + t – \frac{14}{5} = t + \left(3 – \frac{14}{5}\right) = t + \frac{1}{5}.
\]
Průnik je tedy přímka v parametrickém tvaru
\[
x = t + \frac{1}{5}, \quad y = t – \frac{7}{5}, \quad z = t, \quad t \in \mathbb{R}.
\]
70. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body
\[
P = (2, -1, 3), \quad Q = (4, 0, 5), \quad R = (1, 2, 4).
\]
Určete rovnici roviny procházející body \(P, Q, R\) a najděte parametrické vyjádření přímky, která je kolmá na tuto rovinu a prochází bodem \(P\).
Řešení:
Nejprve určme vektory ležící v rovině:
\[
\overrightarrow{PQ} = (4-2, 0+1, 5-3) = (2, 1, 2),
\]
\[
\overrightarrow{PR} = (1-2, 2+1, 4-3) = (-1, 3, 1).
\]
Přímka kolmice na rovinu má směrový vektor roven normálovému vektoru \(\mathbf{n} = (-5, -4, 7)\) a prochází bodem \(P = (2, -1, 3)\).
Parametrické rovnice přímky jsou
\[
x = 2 – 5t, \quad y = -1 – 4t, \quad z = 3 + 7t, \quad t \in \mathbb{R}.
\]
71. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (1,2,3) \), \( B = (4,0,1) \), \( C = (2,-1,5) \). Určete, zda body \( A, B, C \) leží v jedné rovině. Pokud ano, určete parametrické vyjádření této roviny.
Řešení:
Nejprve spočítáme vektory \( \overrightarrow{AB} \) a \( \overrightarrow{AC} \), které tvoří dva směrové vektory možné roviny:
Vektorový součin je nenulový, což znamená, že vektory \( \overrightarrow{AB} \) a \( \overrightarrow{AC} \) nejsou lineárně závislé a tedy body \( A, B, C \) tvoří rovinu.
Parametrické vyjádření roviny určíme jako:
\( \rho(t,u) = A + t \cdot \overrightarrow{AB} + u \cdot \overrightarrow{AC} = (1,2,3) + t \cdot (3,-2,-2) + u \cdot (1,-3,2) \)
72. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) najděte afinní zobrazení \( f \), které zobrazí trojúhelník se vrcholy \( A = (0,0) \), \( B = (1,0) \), \( C = (0,1) \) na trojúhelník se vrcholy \( A‘ = (1,2) \), \( B‘ = (3,2) \), \( C‘ = (1,5) \).
Řešení:
Afinní zobrazení v rovině má tvar \( f(x,y) = A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \mathbf{b} \), kde \( A \) je \( 2 \times 2 \) matice a \( \mathbf{b} \) vektor posunu.
73. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete rovnici roviny, která prochází bodem \( P = (2,-1,0) \) a je určena směrovými vektory \( \mathbf{v}_1 = (1,1,1) \) a \( \mathbf{v}_2 = (-1,2,0) \). Určete také normálový vektor této roviny a její obecnou rovnici.
Řešení:
Parametrická rovnice roviny má tvar:
\( \mathbf{r}(t,u) = P + t \cdot \mathbf{v}_1 + u \cdot \mathbf{v}_2 = (2,-1,0) + t(1,1,1) + u(-1,2,0) \)
Po roznásobení:
\( \mathbf{r}(t,u) = (2 + t – u,\ -1 + t + 2u,\ t) \)
Pro obecnou rovnici roviny najdeme normálový vektor jako vektorový součin směrových vektorů:
Obecná rovnice roviny je tedy \( -2x – y + 3z + 3 = 0 \).
74. Určete průmět bodu \( P = (1,4,2) \) na přímku \( l \), která prochází bodem \( Q = (0,0,0) \) a má směrový vektor \( \mathbf{v} = (1,2,2) \).
Řešení:
Nechť \( R \) je hledaný průmět bodu \( P \) na přímku \( l \). Pak vektor \( \overrightarrow{QR} \) je rovnoběžný se směrovým vektorem \( \mathbf{v} \) a zároveň je vektor \( \overrightarrow{PR} \) kolmý na \( \mathbf{v} \).
Bod \( R \) má souřadnice \( \left( \frac{13}{9}, \frac{26}{9}, \frac{26}{9} \right) \).
75. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete průsečík dvou přímek: \( l_1: \mathbf{r}_1(t) = (1 + t, 2 – t, 3 + 2t) \), \( l_2: \mathbf{r}_2(s) = (4 – 2s, -1 + s, 5 + s) \), nebo rozhodněte, že se neprotínají.
Řešení:
Podmínka průsečíku:
\[
(1 + t, 2 – t, 3 + 2t) = (4 – 2s, -1 + s, 5 + s)
\]
což dává soustavu tří rovnic:
\[
1 + t = 4 – 2s, \quad 2 – t = -1 + s, \quad 3 + 2t = 5 + s.
\]
Převedeme:
\[
t + 2s = 3, \quad -t – s = -3 \Rightarrow t + s = 3, \quad 2t – s = 2.
\]
Řešení soustavy:
Z druhé rovnice \( s = 3 – t \), dosadíme do první: \( t + 2(3 – t) = t + 6 – 2t = -t + 6 = 3 \Rightarrow t = 3 \), \( s = 3 – 3 = 0 \).
Ověříme třetí rovnici: \( 2t – s = 2\cdot 3 – 0 = 6 \neq 2 \), takže rovnice je neslučitelná.
Závěr: Přímky se neprotínají, jsou mimoběžné.
76. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete rovnici roviny, která prochází bodem \( A = (1, 2, -1) \) a obsahuje přímku \( l \) danou rovnicí \( \mathbf{r}(t) = (2 + t, -1 + 2t, 3t) \).
Řešení:
Bod \( A = (1, 2, -1) \) leží v rovině. Přímka \( l \) má směrový vektor \( \mathbf{v}_1 = (1, 2, 3) \) a bod \( P = (2, -1, 0) \).
Druhý směrový vektor v rovině je \( \overrightarrow{AP} = P – A = (2-1, -1-2, 0+1) = (1, -3, 1) \).
77. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) jsou dány tři body \( A = (1, 1) \), \( B = (4, 2) \), \( C = (3, 5) \). Určete, zda leží bod \( C \) v afinní kombinaci bodů \( A \) a \( B \).
Řešení:
Afinní kombinace bodů \( A \) a \( B \) má tvar \( P = \lambda A + (1 – \lambda)B \).
79. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány roviny \( \rho_1: x + 2y – z = 4 \) a \( \rho_2: 2x – y + z = 1 \). Najděte parametrické vyjádření jejich průsečnice.
Řešení:
Průsečnice dvou rovin je přímka. Nejprve vyřešíme soustavu rovnic:
\( x + 2y – z = 4 \) (1)
\( 2x – y + z = 1 \) (2)
Sečteme (1) a (2):
\( x + 2y – z + 2x – y + z = 4 + 1 \Rightarrow 3x + y = 5 \Rightarrow y = 5 – 3x \) (3)
Dosadíme (3) do (1):
\( x + 2(5 – 3x) – z = 4 \Rightarrow x + 10 – 6x – z = 4 \Rightarrow -5x – z = -6 \Rightarrow z = -5x + 6 \)
Parametricky: nechť \( x = t \), potom \( y = 5 – 3t \), \( z = -5t + 6 \).
Hledaná přímka má parametrické vyjádření:
\( \mathbf{r}(t) = (t, 5 – 3t, -5t + 6) \).
80. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) jsou dány body \( A = (0, 0) \), \( B = (2, 4) \), \( C = (4, 0) \). Určete parametrické vyjádření přímky, která prochází těžištěm trojúhelníka \(ABC\) a je kolmá na stranu \(AB\).
Řešení:
Nejprve najdeme těžiště trojúhelníka \( G = \frac{1}{3}(A + B + C) \):
\( -5y + 5z = 10 \Rightarrow -y + z = 2 \Rightarrow z – y = 2 \).
Hledaná rovina má rovnici \( z – y = 2 \).
82. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) jsou dány body \( A = (2, 3) \), \( B = (5, 7) \). Určete parametrické vyjádření přímky, která prochází body \( A \) a \( B \).
Řešení:
Směrový vektor přímky je \( \overrightarrow{AB} = B – A = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4) \).
Parametrické vyjádření přímky je:
\( \mathbf{r}(t) = A + t \cdot \overrightarrow{AB} = (2 + 3t, 3 + 4t) \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
83. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete souřadnice středu úseku, jehož koncové body jsou \( A = (1, 4, -2) \) a \( B = (3, -2, 6) \).
Řešení:
Střed úseku je střední bod mezi body \( A \) a \( B \):
84. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) určete rovnici přímky, která prochází bodem \( A = (1, 2) \) a je kolmá na přímku \( l \) danou rovnicí \( y = 3x + 1 \).
Řešení:
Směrnice přímky \( l \) je \( k = 3 \).
Směrnice přímky kolmé je \( k_{\perp} = -\frac{1}{3} \).
Rovnice přímky procházející bodem \( A \) s tímto sklonem je ve tvaru:
\( y – y_0 = k_{\perp}(x – x_0) \Rightarrow y – 2 = -\frac{1}{3}(x – 1) \).
Úprava:
\( y – 2 = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \).
Hledaná přímka má rovnici \( y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \).
85. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) jsou dány body \( A = (0, 1, 2) \), \( B = (3, 0, -1) \), \( C = (1, 4, 3) \). Určete souřadnice těžiště trojúhelníku \(ABC\).
Souřadnice těžiště jsou \( \left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{4}{3}\right) \).
86. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete, zda bod \( P = (3,1,2) \) leží v rovině určené body \( A = (1,0,1) \), \( B = (2,1,0) \), \( C = (0,2,3) \).
Řešení:
Nejprve určíme vektory \( \vec{AB} = B – A = (1,1,-1) \), \( \vec{AC} = C – A = (-1,2,2) \)
Hledáme, zda existují reálná čísla \( s, t \) tak, aby \( P = A + s\vec{AB} + t\vec{AC} \Rightarrow (3,1,2) = (1,0,1) + s(1,1,-1) + t(-1,2,2) \)
Rozepíšeme soustavu rovnic:
\( 1 + s – t = 3 \Rightarrow s – t = 2 \) (1)
\( 0 + s + 2t = 1 \Rightarrow s + 2t = 1 \) (2)
\( 1 – s + 2t = 2 \Rightarrow -s + 2t = 1 \) (3)
Ze (1): \( s = t + 2 \). Dosadíme do (2): \( t + 2 + 2t = 1 \Rightarrow 3t = -1 \Rightarrow t = -\frac{1}{3} \Rightarrow s = \frac{5}{3} \)
Rozpor \(\Rightarrow\) bod \( P \) neleží v dané rovině.
87. Určete průsečík dvou přímek v afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \), kde první přímka je dána parametricky \( p(t) = (1 + 2t, 3 – t) \), druhá přímka je dána obecnou rovnicí \( x – 2y + 5 = 0 \).
Řešení:
Dosadíme parametrické vyjádření přímky do rovnice druhé přímky:
\( x = 1 + 2t \), \( y = 3 – t \Rightarrow x – 2y + 5 = (1 + 2t) – 2(3 – t) + 5 \)
Dosadíme zpět: \( p(0) = (1,3) \Rightarrow \) průsečík je bod \( (1,3) \)
88. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete rovnici roviny, která prochází bodem \( A = (2,1,-1) \) a je kolmá k vektoru \( \vec{n} = (1,-2,3) \).
Řešení:
Rovnice roviny s normálovým vektorem \( \vec{n} = (1,-2,3) \) procházející bodem \( A = (2,1,-1) \) má tvar:
Rozpor \(\Rightarrow\) bod neleží na druhé přímce \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné, ale různé.
91. Určete parametrické vyjádření přímky, která prochází bodem \( A = (1,2,0) \) a je průsečnicí rovin \( \rho_1: x + y + z = 3 \) a \( \rho_2: 2x – y + 3z = 1 \).
94. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) určete obraz kružnice se středem \( S = (1,2) \) a poloměrem \( r = 2 \) při afinním zobrazení \( f(x,y) = (x + y, 2x – y) \). Určete obraz středu a délku obrazu poloměru ve směru vektoru \( (1,0) \).
Rovnice roviny: \( -1(x – 1) + 1(y – 1) -1(z – 1) = 0 \Rightarrow -x + 1 + y – 1 – z + 1 = 0 \Rightarrow -x + y – z + 1 = 0 \)
Rovnice roviny je: \( -x + y – z + 1 = 0 \)
96. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^3 \) určete rovinu, která prochází bodem \( A = (2, -1, 3) \) a která je kolmá na vektor \( \vec{n} = (1, 4, -2) \) a zároveň obsahuje přímku danou parametricky jako \( \mathbf{r}(t) = (1, 0, 2) + t(3, -1, 1) \).
Řešení:
Rovina je určená bodem \( A \) a normálovým vektorem \( \vec{n} \). Pokud obsahuje přímku \( \mathbf{r}(t) \), pak vektor směru přímky musí být kolmý na normálový vektor roviny, neboť přímka leží v rovině.
Tedy \( \vec{v} \) není kolmý na \( \vec{n} \), takže přímka nemůže ležet v rovině s tímto normálovým vektorem.
Proto upravíme zadání: rovina musí obsahovat bod \( A \) a zároveň být kolmá na vektor \( \vec{n} \), ale také musí obsahovat přímku \( \mathbf{r}(t) \). To lze pouze pokud vektor \( \vec{n} \) je kolmý na vektor \( \vec{v} \).
Jelikož tomu tak není, hledáme rovinu, která obsahuje přímku \( \mathbf{r}(t) \) a prochází bodem \( A \). Normálový vektor roviny je kolmý na směrový vektor přímky i na vektor \( \vec{w} = A – P_0 \), kde \( P_0 = (1,0,2) \) je bod na přímce.
Normálový vektor roviny je tedy \( \vec{n}_r = (0, -2, -2) \), můžeme ho zjednodušit na \( (0,1,1) \).
Rovnice roviny obsahující bod \( A = (2, -1, 3) \) a se směrem normály \( \vec{n}_r \) je:
\( 0(x – 2) + 1(y + 1) + 1(z – 3) = 0 \Rightarrow y + 1 + z – 3 = 0 \Rightarrow y + z – 2 = 0 \).
Tato rovina obsahuje přímku \( \mathbf{r}(t) \) a bod \( A \).
97. Určete parametrické vyjádření přímky, která je průsečnicí rovin \( \rho_1: 2x – y + z = 4 \) a \( \rho_2: x + y – 2z = 1 \), a najděte vzdálenost bodu \( B = (1,2,3) \) od této přímky.
Řešení:
Směrový vektor přímky je roven vektorovému součinu normál rovin:
100. V afinním prostoru \( \mathbb{R}^2 \) určete rovinnou afinní transformaci, která zachovává vzdálenosti, posune bod \( (1, 2) \) na bod \( (4, 6) \) a otočí celý prostor kolem tohoto nového bodu o \( 90^\circ \) proti směru hodinových ručiček.
Řešení:
Afinní transformace, která zachovává vzdálenosti, je isometrie, tedy složením rotace a posunutí.
Otočení o \( 90^\circ \) proti směru hodinových ručiček kolem bodu \( P = (4,6) \) je dáno vzorcem:
\( T(\mathbf{x}) = P + R(\mathbf{x} – P) \), kde \( R \) je rotační matice
Matice rotace o \( 90^\circ \) proti směru hodinových ručiček je:
To znamená, že tato transformace nevyhovuje požadavku. Proto místo toho použijeme posunutí tak, aby \( (1,2) \) byl posunut na \( (4,6) \) a pak rotaci kolem nového bodu.
