Analytická vyjádření přímky

Parametrická rovnice přímky v prostoru má obecný tvar:

\( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \), kde \( (x_0, y_0, z_0) \) je bod na přímce a \( \vec{d} = (a, b, c) \) je směrový vektor.

Nejprve určíme směrový vektor přímky jako rozdíl souřadnic bodů \( A \) a \( B \):

\( \vec{d} = \overrightarrow{AB} = (4 – 1, 6 – 2, 8 – 3) = (3, 4, 5) \).

Pro parametrickou rovnici použijeme bod \( A \) jako počáteční bod:

\( \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 + 5t \end{cases} \), kde \( t \in \mathbb{R} \).

Tím jsme určili parametrickou rovnici přímky, která prochází body \( A \) a \( B \).

Směrový vektor přímky je dán \( \vec{v} = (1, 2, -1) \).

Parametrická rovnice přímky, která prochází bodem \( P \) a má směrový vektor \( \vec{v} \), je:

\( \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 4 – t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \).

Pokud chceme, můžeme také napsat obecnou rovnici přímky ve tvaru soustavy:

\( \frac{x – 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z – 4}{-1} \).

Průsečnice dvou rovin je přímka, jejíž směrový vektor je kolmý na oba normálové vektory rovin.

Normálové vektory:

\( \vec{n}_1 = (2, -1, 1) \), \( \vec{n}_2 = (1, 1, -2) \).

Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \):

\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1 \cdot (-2) – 1 \cdot 1, -(2 \cdot (-2) – 1 \cdot 1), 2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) = (2 – 1, -( -4 – 1), 2 + 1) = (1, 5, 3) \).

Pro nalezení bodu na přímce řešíme soustavu rovnic obou rovin. Zvolíme například \( z = 0 \):

\( 2x – y = 3 \), \( x + y = 4 \).

Sčítáním rovnic: \( 3x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3} \).

Dosadíme do \( x + y = 4 \Rightarrow y = 4 – \frac{7}{3} = \frac{5}{3} \).

Bod na přímce je tedy \( P\left(\frac{7}{3}, \frac{5}{3}, 0\right) \).

Parametrická rovnice přímky:

\( \begin{cases} x = \frac{7}{3} + t \\ y = \frac{5}{3} + 5t \\ z = 0 + 3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \).

Směrový vektor přímky musí být rovnoběžný s osou \( z \), tedy \( \vec{d} = (0, 0, k) \), kde \( k \neq 0 \).

Pro jednoduchost zvolíme \( k = 1 \), takže \( \vec{d} = (0, 0, 1) \).

Parametrická rovnice přímky s bodem \( A \) je:

\( \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 2 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \).

Kontrola kolmosti: směr vektoru přímky \( \vec{d} = (0, 0, 1) \) a vektoru \( \vec{u} = (2, -1, 3) \) musí splňovat:

\( \vec{d} \cdot \vec{u} = 0 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 3 \neq 0 \).

Tedy přímka není kolmá, proto hledáme vektor kolmý na \( \vec{u} \) a rovnoběžný s osou \( z \). Jelikož osa \( z \) je směr vektoru \( (0,0,1) \), což není kolmé na \( \vec{u} \), zadání je nesplnitelné. Pokud je požadavek na kolmost přísný, přímka rovnoběžná s osou \( z \) a kolmá na \( \vec{u} \) neexistuje.

Parametrická rovnice přímky je:

\( \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 0 – 2t \\ z = -1 + 3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \).

Obecná (symetrická) rovnice přímky je:

\( \frac{x – 1}{4} = \frac{y – 0}{-2} = \frac{z + 1}{3} \).

Směrový vektor dané přímky je \( \vec{d} = (2, -1, 4) \).

Parametrická rovnice hledané přímky s bodem \( M \):

\( \begin{cases} x = 0 + 2t \\ y = 2 – t \\ z = 1 + 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \).

Symetrická rovnice:

\( \frac{x}{2} = \frac{y – 2}{-1} = \frac{z – 1}{4} \).

Normálový vektor roviny je \( \vec{n} = (3, -1, 2) \).

Přímka kolmá na rovinu má směrový vektor rovnající se normálovému vektoru roviny, tedy \( \vec{d} = (3, -1, 2) \).

Parametrická rovnice přímky s bodem \( A \):

\( \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 – t \\ z = 3 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \).

Normálové vektory rovin:

\( \vec{n}_1 = (1, 1, 1) \), \( \vec{n}_2 = (2, -1, 3) \).

Směrový vektor přímky je vektorový součin:

\( \vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3 – 1 \cdot (-1), -(1 \cdot 3 – 1 \cdot 2), 1 \cdot (-1) – 1 \cdot 2) = (3 + 1, -(3 – 2), -1 – 2) = (4, -1, -3) \).

Hledáme bod na přímce – dosadíme \( z = 0 \) do rovnic rovin:

\( x + y = 1 \), \( 2x – y = 4 \).

Sčítáním: \( 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \).

Dosadíme do první rovnice: \( \frac{5}{3} + y = 1 \Rightarrow y = 1 – \frac{5}{3} = -\frac{2}{3} \).

Bod na přímce je \( \left(\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}, 0\right) \).

Parametrická rovnice přímky:

\( \begin{cases} x = \frac{5}{3} + 4t \\ y = -\frac{2}{3} – t \\ z = 0 – 3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \).

Směrový vektor dané přímky je \( \vec{v} = (1, 2, -1) \).

Hledáme přímku procházející bodem \( Q \) a kolmou na danou přímku, tedy její směrový vektor \( \vec{d} \) musí splňovat \( \vec{d} \cdot \vec{v} = 0 \).

Nechť \( \vec{d} = (a, b, c) \), pak \( a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot (-1) = 0 \Rightarrow a + 2b – c = 0 \).

Zvolme například \( a = 2, b = 1 \), pak \( c = a + 2b = 2 + 2 = 4 \).

Směrový vektor je \( \vec{d} = (2, 1, 4) \).

Parametrická rovnice hledané přímky:

\( \begin{cases} x = 4 + 2t \\ y = 0 + t \\ z = 1 + 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \).

Normálové vektory rovin:

\( \vec{n}_1 = (1, -1, 2) \), \( \vec{n}_2 = (2, 1, -1) \).

Směrový vektor přímky je vektorový součin:

\( \vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = ((-1) \cdot (-1) – 2 \cdot 1, -(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 2), 1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) = (1 – 2, -( -1 – 4), 1 + 2) = (-1, 5, 3) \).

Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \):

\( x – y = 3 \), \( 2x + y = 1 \).

Sčítáním: \( 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \).

Dosadíme do první rovnice: \( \frac{4}{3} – y = 3 \Rightarrow y = \frac{4}{3} – 3 = -\frac{5}{3} \).

Bod na přímce je \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{5}{3}, 0\right) \).

Parametrická rovnice přímky:

\( \begin{cases} x = \frac{4}{3} – t \\ y = -\frac{5}{3} + 5t \\ z = 0 + 3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \).

Směrový vektor přímky získáme jako rozdíl bodů \( B – A \):

\( \vec{AB} = (4 – 1, -1 – 2, 2 – (-1)) = (3, -3, 3) \)

Tento vektor udává směr přímky. Zvolíme bod \( A \) jako počáteční bod a sestavíme parametrické rovnice:

\( x = 1 + 3t \)

\( y = 2 – 3t \)

\( z = -1 + 3t \)

Přímka je určena bodem a směrovým vektorem. Parametrické rovnice přímky jsou:

\( \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 – 3t \\ z = -1 + 3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \)

Přímka je určena bodem a směrovým vektorem. Použijeme bod \( P \) a vektor \( \vec{v} \) pro sestavení parametrických rovnic:

\( x = 0 – 2t = -2t \)

\( y = -1 + 1t = -1 + t \)

\( z = 3 + 5t \)

Parametrické rovnice přímky jsou:

\( \begin{cases} x = -2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 + 5t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \)

Dosadíme parametrické rovnice přímky do rovnice roviny:

\( x + y + z = (1 + t) + (2 – t) + (3 + 2t) = 6 + 2t \)

Dostáváme rovnici:

\( 6 + 2t = 6 \Rightarrow 2t = 0 \Rightarrow t = 0 \)

Dosadíme \( t = 0 \) zpět do parametrických rovnic přímky:

\( x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3 \)

Průsečík přímky s rovinou je bod \( (1, 2, 3) \).

Nejprve určíme směrový vektor přímky:

\( \vec{v} = (1, 2, -1) \)

Normálový vektor roviny \( x + y + z = 0 \) je \( \vec{n}_1 = (1, 1, 1) \)

Protože hledaná rovina je kolmá k této rovině, musí její normálový vektor být kolmý na \( \vec{n}_1 \), tedy platí \( \vec{n} \cdot \vec{n}_1 = 0 \)

Hledaná rovina zároveň obsahuje přímku, tedy musí být určena bodem přímky (např. pro \( t = 0 \): \( (2, -1, 3) \)) a směrovým vektorem přímky \( \vec{v} \)

Hledáme tedy normálový vektor roviny kolmý na vektory \( \vec{v} = (1, 2, -1) \) a \( \vec{n}_1 = (1, 1, 1) \), což získáme vektorovým součinem:

\( \vec{n} = \vec{v} \times \vec{n}_1 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 – (-1), – (1 – (-1)), 1 – 2) = (3, -2, -1) \)

Rovinu pak zapíšeme v obecném tvaru:

\( 3(x – 2) – 2(y + 1) -1(z – 3) = 0 \)

Roznásobíme a upravíme:

\( 3x – 6 -2y – 2 – z + 3 = 0 \Rightarrow 3x – 2y – z -5 = 0 \)

Obecná rovnice hledané roviny je:

\( 3x – 2y – z = 5 \)

Dosadíme souřadnice bodu do rovnic přímky a ověříme, zda existuje stejné \( t \) pro všechna tři vyjádření:

Rovnice pro \( x \): \( 3 = 2 + t \Rightarrow t = 1 \)

Rovnice pro \( y \): \( -1 = -2 + 2t \Rightarrow 2t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \)

Protože hodnota \( t \) není stejná, bod \( A \) neleží na přímce.

Přímka jako průsečnice dvou rovin leží ve všech bodech, které splňují obě rovnice. Nejprve vyjádříme dvě proměnné pomocí parametru.

Označme \( z = t \). Potom z první rovnice \( x + y + t = 3 \Rightarrow x + y = 3 – t \)

Z druhé rovnice \( 2x – y + 3t = 7 \)

Sečteme obě rovnice:

Dosadíme \( y = 3 – t – x \) do druhé rovnice:

\( 2x – (3 – t – x) + 3t = 7 \Rightarrow 2x – 3 + t + x + 3t = 7 \Rightarrow 3x + 4t = 10 \)

\( x = \frac{10 – 4t}{3} \)

Pak \( y = 3 – t – \frac{10 – 4t}{3} = \frac{9 – 3t – 10 + 4t}{3} = \frac{-1 + t}{3} \)

Parametrické rovnice přímky jsou:

\( \begin{cases} x = \frac{10 – 4t}{3} \\ y = \frac{-1 + t}{3} \\ z = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \)

Hledáme hodnotu parametru \( t \), pro kterou \( z = 2 \):

\( 5 – t = 2 \Rightarrow t = 3 \)

Dosadíme \( t = 3 \) do rovnic pro \( x \) a \( y \):

\( x = -1 + 2 \cdot 3 = 5 \)

\( y = 3 \cdot 3 = 9 \)

Hledaný bod má souřadnice \( (5, 9, 2) \).

Přímka má stejný směrový vektor jako daná přímka, tj. \( \vec{v} = (1, -1, 3) \)

Zvolíme bod \( A(4, -2, 1) \) a sestavíme parametrické rovnice:

\( x = 4 + t \)

\( y = -2 – t \)

\( z = 1 + 3t \)

Parametrické rovnice přímky jsou:

\( \begin{cases} x = 4 + t \\ y = -2 – t \\ z = 1 + 3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \)

Dosadíme parametrické rovnice do rovnice roviny:

\( z = 3t + 2 \), \( x = t + 1 \), \( y = 2t – 1 \)

Dosadíme do rovnice roviny:

\( 3t + 2 = 2(t + 1) + (2t – 1) \)

\( 3t + 2 = 2t + 2 + 2t – 1 = 4t + 1 \)

\( 3t + 2 = 4t + 1 \Rightarrow -t = -1 \Rightarrow t = 1 \)

Dosadíme \( t = 1 \) do rovnic přímky:

\( x = 2, y = 1, z = 5 \)

Průsečík přímky a roviny je bod \( (2, 1, 5) \).

Směrový vektor přímky zjistíme ze součinitelů u parametru \( t \):

\( \vec{v} = (2, 1, -1) \)

Ověříme, zda bod \( B(5, 1, 2) \) splňuje rovnice přímky:

Pro \( x = 3 + 2t \): \( 5 = 3 + 2t \Rightarrow t = 1 \)

Pro \( y = -1 + t \): \( 1 = -1 + 1 \Rightarrow t = 2 \), což je rozpor

Jelikož různé rovnice dávají různou hodnotu \( t \), bod \( B \) neleží na přímce.