1. Najděte analytické vyjádření zhodnosti dvou úseček \( AB \) a \( CD \) v rovině, kde \( A = (1,2) \), \( B = (4,6) \), \( C = (2,3) \), \( D = (5,7) \). Určete rovinu, ve které leží oba úseky, a ověřte, zda jsou zhodné pomocí vektorů a parametrického vyjádření.
Řešení příkladu 1:
Úsečky jsou zhodné, pokud existuje shodný vektor délky a směr obou úseček. Nejprve určíme vektory úseček:
Vektor \( \overrightarrow{AB} = B – A = (4-1, 6-2) = (3,4) \)
Vektor \( \overrightarrow{CD} = D – C = (5-2, 7-3) = (3,4) \)
Vektory mají stejný směr a délku \( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \) a stejně \( |\overrightarrow{CD}| = 5 \).
Oba úseky leží v rovině, kterou můžeme zvolit jako rovinu \( \mathbb{R}^2 \), protože všechny body mají dvě souřadnice.
Parametrické vyjádření úsečku \( AB \) je \( \mathbf{r}_1(t) = A + t\overrightarrow{AB} = (1,2) + t(3,4), t \in [0,1] \).
Parametrické vyjádření úsečku \( CD \) je \( \mathbf{r}_2(s) = C + s\overrightarrow{CD} = (2,3) + s(3,4), s \in [0,1] \).
Protože vektory a délky jsou shodné a oba leží ve stejné rovině, úsečky jsou zhodné.
2. V prostoru určete rovinné zobrazení, které zobrazí trojúhelník s vrcholy \( A=(1,0,1) \), \( B=(2,1,0) \), \( C=(0,1,2) \) na trojúhelník s vrcholy \( A’=(2,1,1) \), \( B’=(3,2,0) \), \( C’=(1,2,2) \). Najděte matici zobrazení a ověřte, že jde o zhodnost.
Řešení příkladu 2:
Nejprve si uvedeme vektory dvou stran trojúhelníku před a po zobrazení:
Vektory před zobrazením:
\( \overrightarrow{AB} = B – A = (2-1, 1-0, 0-1) = (1,1,-1) \)
\( \overrightarrow{AC} = C – A = (0-1, 1-0, 2-1) = (-1,1,1) \)
Vektory po zobrazení:
\( \overrightarrow{A’B‘} = B‘ – A‘ = (3-2, 2-1, 0-1) = (1,1,-1) \)
\( \overrightarrow{A’C‘} = C‘ – A‘ = (1-2, 2-1, 2-1) = (-1,1,1) \)
Vektory po zobrazení jsou totožné s vektory před zobrazením, tedy zobrazení je identita na základě těchto vektorů.
Matice zobrazení \( M \) splňuje \( M \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A’B‘} \) a \( M \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A’C‘} \), což v našem případě znamená \( M = I \) (jednotková matice), jelikož vektory jsou stejné.
Zkontrolujeme, zda \( M \) zachovává délky a úhly, což jednotková matice dělá. Tedy jde o zhodnost.
3. Určete rovnici roviny, která je zhodná s rovinou proloženou body \( A=(1,2,3) \), \( B=(4,0,1) \), \( C=(2,3,5) \) a zároveň obsahuje bod \( D=(3,1,4) \). Dokažte, že tato rovina je skutečně zhodná s původní rovinou.
Řešení příkladu 3:
Nejprve najdeme normálový vektor roviny dané body \( A, B, C \). Vektory:
\( \overrightarrow{AB} = (4-1, 0-2, 1-3) = (3,-2,-2) \)
\( \overrightarrow{AC} = (2-1, 3-2, 5-3) = (1,1,2) \)
Normálový vektor \( \mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):
\( \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(2) – (-2)(1)) – \mathbf{j}(3 \cdot 2 – (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 – (-2) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(-4 + 2) – \mathbf{j}(6 + 2) + \mathbf{k}(3 + 2) = \mathbf{i}(-2) – \mathbf{j}(8) + \mathbf{k}(5) = (-2, -8, 5) \)
Rovnice roviny je \( -2(x – 1) – 8(y – 2) + 5(z – 3) = 0 \), což upravíme:
\( -2x + 2 -8y + 16 + 5z – 15 = 0 \Rightarrow -2x – 8y + 5z + 3 = 0 \)
Ověříme, zda bod \( D=(3,1,4) \) leží v rovině:
\( -2 \cdot 3 – 8 \cdot 1 + 5 \cdot 4 + 3 = -6 -8 + 20 + 3 = 9 \neq 0 \), bod neleží v rovině.
Musíme tedy najít rovinu, která je zhodná (tedy souhlasná ve smyslu zhodnosti), ale obsahuje bod \( D \). Zhodnost rovin znamená, že roviny jsou rovnoběžné se stejným normálovým vektorem.
Rovnice roviny, která je rovnoběžná a obsahuje \( D \) bude:
\( -2(x – 3) – 8(y – 1) + 5(z – 4) = 0 \Rightarrow -2x + 6 – 8y + 8 + 5z – 20 = 0 \Rightarrow -2x – 8y + 5z – 6 = 0 \)
Tuto rovinu označíme jako hledanou. Ověříme, že je zhodná s původní rovinou, protože mají stejný normálový vektor a jsou rovnoběžné.
4. V rovině najděte matici rotace, která otočí bod \( A=(3,4) \) kolem počátku o \(90°\) proti směru hodinových ručiček, a určete, zda je tato rotace zhodností.
Řešení příkladu 4:
Matice rotace o úhel \( \theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \) proti směru hodinových ručiček v rovině je:
\( R = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
Rotace bodu \( A=(3,4) \):
\( R \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 \\ 1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} \)
Rotace tedy převede \( A \) na bod \( A‘ = (-4, 3) \).
Zkontrolujeme, zda je rotace zhodností. Rotace je ortogonální transformace, která zachovává vzdálenosti a úhly.
Ověříme ortogonalitu matice \( R \):
\( R^T R = I \), kde \( I \) je jednotková matice.
Protože \( R \) splňuje tuto podmínku, je rotace zhodností.
5. V prostoru najděte matici zrcadlení podle roviny \( \pi \) definované rovnicí \( x + 2y – 2z + 3 = 0 \). Dokažte, že jde o zhodnost.
Řešení příkladu 5:
Nejprve najdeme jednotkový normálový vektor roviny \( \pi \):
Normálový vektor je \( \mathbf{n} = (1, 2, -2) \).
Délka normálu:
\( |\mathbf{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \).
Jednotkový normál:
\( \mathbf{u} = \frac{1}{3}(1, 2, -2) = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right) \).
Matice zrcadlení podle roviny \( \pi \) je dána vzorcem:
\( M = I – 2 \mathbf{u} \mathbf{u}^T \), kde \( I \) je jednotková matice.
Vypočteme \( \mathbf{u} \mathbf{u}^T \):
\( \mathbf{u} \mathbf{u}^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & -\frac{2}{9} \\ \frac{2}{9} & \frac{4}{9} & -\frac{4}{9} \\ -\frac{2}{9} & -\frac{4}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix} \)
Matice \( M \):
\( M = I – 2 \cdot \mathbf{u} \mathbf{u}^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} – 2 \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & -\frac{2}{9} \\ \frac{2}{9} & \frac{4}{9} & -\frac{4}{9} \\ -\frac{2}{9} & -\frac{4}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 – \frac{2}{9} & -\frac{4}{9} & \frac{4}{9} \\ -\frac{4}{9} & 1 – \frac{8}{9} & \frac{8}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{8}{9} & 1 – \frac{8}{9} \end{pmatrix} \)
Upraveno:
\( M = \begin{pmatrix} \frac{7}{9} & -\frac{4}{9} & \frac{4}{9} \\ -\frac{4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{8}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{8}{9} & \frac{1}{9} \end{pmatrix} \)
Tato matice splňuje podmínky zrcadlení a je ortogonální s determinantem \(-1\), tedy zhodnost (isometrie se zachováním vzdáleností a úhlů).
6. Určete rovnici roviny, která prochází bodem \( A(2, -1, 3) \) a je kolmá na vektor \( \vec{n} = (1, 4, -2) \). Dále určete rovnice přímek průniku této roviny s osami souřadnic.
Řešení příkladu:
Rovina je určena bodem \( A(2, -1, 3) \) a normálovým vektorem \( \vec{n} = (1, 4, -2) \). Obecná rovnice roviny s normálovým vektorem \( \vec{n} = (a, b, c) \) a bodem \( (x_0, y_0, z_0) \) je
\( a(x – x_0) + b(y – y_0) + c(z – z_0) = 0 \).
Dosadíme hodnoty:
\( 1 \cdot (x – 2) + 4 \cdot (y + 1) – 2 \cdot (z – 3) = 0 \Rightarrow (x – 2) + 4y + 4 – 2z + 6 = 0 \Rightarrow x + 4y – 2z + 8 = 0 \).
Tedy rovnice roviny je
\( x + 4y – 2z + 8 = 0 \).
Nyní určíme průsečíky této roviny s osami souřadnic.
1) Průsečík s osou \(x\): \(y=0, z=0\), dosadíme do rovnice:
\( x + 4 \cdot 0 – 2 \cdot 0 + 8 = 0 \Rightarrow x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8 \).
Průsečík je bod \( (-8, 0, 0) \).
2) Průsečík s osou \(y\): \(x=0, z=0\), dosadíme:
\( 0 + 4y – 0 + 8 = 0 \Rightarrow 4y + 8 = 0 \Rightarrow y = -2 \).
Průsečík je bod \( (0, -2, 0) \).
3) Průsečík s osou \(z\): \(x=0, y=0\), dosadíme:
\( 0 + 0 – 2z + 8 = 0 \Rightarrow -2z + 8 = 0 \Rightarrow z = 4 \).
Průsečík je bod \( (0, 0, 4) \).
Rovnice přímek průniku roviny s osami souřadnic jsou tedy body:
\( A_x(-8, 0, 0), A_y(0, -2, 0), A_z(0, 0, 4) \).
7. Najděte parametrické rovnice přímky, která prochází body \( P(1, 2, -1) \) a \( Q(4, -1, 3) \). Dále určete obecnou rovnici roviny, která obsahuje tuto přímku a bod \( R(0, 0, 0) \).
Řešení příkladu:
Parametrické rovnice přímky procházející body \( P \) a \( Q \) lze vyjádřit pomocí směrového vektoru \( \vec{d} = \overrightarrow{PQ} \):
\( \vec{d} = (4-1, -1-2, 3+1) = (3, -3, 4) \).
Parametrické rovnice přímky jsou tedy:
\( x = 1 + 3t \),
\( y = 2 – 3t \),
\( z = -1 + 4t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
Nyní určíme rovinu, která obsahuje tuto přímku a bod \( R(0,0,0) \).
Protože přímka leží v rovině, každá rovina, která tuto přímku obsahuje, musí obsahovat vektor \( \vec{d} \) a navíc musí obsahovat vektor \( \vec{r} = \overrightarrow{OR} = (0,0,0) \) nebo vektor spojující bod na přímce a bod \( R \).
Zvolme bod \( P(1,2,-1) \) na přímce a vypočteme vektor \( \vec{v} = \overrightarrow{RP} = (1, 2, -1) \).
Normálový vektor roviny bude kolmý na oba vektory \( \vec{d} \) a \( \vec{v} \), tedy
\( \vec{n} = \vec{d} \times \vec{v} \).
Vypočteme vektorový součin:
\( \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(-1) – 4 \cdot 2) – \mathbf{j}(3 \cdot (-1) – 4 \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 2 – (-3) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(3 – 8) – \mathbf{j}(-3 – 4) + \mathbf{k}(6 + 3) = \mathbf{i}(-5) – \mathbf{j}(-7) + \mathbf{k}(9) = (-5, 7, 9) \).
Normálový vektor roviny je \( \vec{n} = (-5, 7, 9) \).
Rovnice roviny je
\( -5(x – 0) + 7(y – 0) + 9(z – 0) = 0 \Rightarrow -5x + 7y + 9z = 0 \).
Tedy obecná rovnice roviny je
\( -5x + 7y + 9z = 0 \).
8. Najděte rovnice všech rovin, které procházejí osou \(z\) a jsou vzdáleny od bodu \( A(3, -4, 2) \) vzdálenost \(5\).
Řešení příkladu:
Rovina, která prochází osou \(z\), musí obsahovat osu \(z\). Proto musí obsahovat vektor směrnice osy \(z\), což je vektor \( \vec{k} = (0,0,1) \).
Obecná rovnice roviny je
\( ax + by + cz + d = 0 \).
Protože osa \(z\) je soubor bodů \( (0, 0, z) \), dosadíme tyto body do rovnice roviny:
\( a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot z + d = cz + d = 0 \) pro všechna \(z\).
Aby toto platilo pro všechna \(z\), musí být \(c = 0\) a \(d = 0\) nesmí být zároveň. Pokud by \(d \neq 0\), pak pro různá \(z\) by rovina nebyla konstantní rovnice. Proto musí být \(c = 0\).
Takže rovnice má tvar
\( ax + by + d = 0 \).
Teď hledáme roviny vzdálené od bodu \( A(3, -4, 2) \) vzdálenost 5. Vzdálenost bodu \( (x_0,y_0,z_0) \) od roviny \( ax + by + d = 0 \) je
\( \frac{|a x_0 + b y_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 5 \).
Dosadíme \( (x_0,y_0,z_0) = (3, -4, 2) \), a protože \(c=0\), závisí vzdálenost pouze na \(a,b,d\):
\( \frac{|3a – 4b + d|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 5 \).
Pro zjednodušení zvolme normu vektoru normály \( \sqrt{a^2 + b^2} = 1 \). To znamená, že vektor normály je jednotkový, tj. \( (a,b) \) na jednotkové kružnici.
Pak platí
\( |3a – 4b + d| = 5 \).
Protože rovnice roviny je \( ax + by + d = 0 \), a \( (a,b) \) je jednotkový vektor, pak
\( d = \pm (5 – 3a + 4b) \), ale přesněji, protože \( |3a – 4b + d| = 5 \), může být \( d = 5 – 3a + 4b \) nebo \( d = -5 – 3a + 4b \).
Tedy rovnice rovin, které procházejí osou \(z\) a jsou vzdáleny od bodu \(A\) vzdálenost 5, jsou
\( a x + b y + d = 0 \), kde \( a^2 + b^2 = 1 \) a \( d = \pm 5 – 3a + 4b \).
Parametricky tedy můžeme psát \( a = \cos \theta \), \( b = \sin \theta \), kde \( \theta \in \langle 0, 2\pi) \), a
\( d = \pm 5 – 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \).
Tím jsou nalezeny všechny požadované roviny.
9. Určete analytické vyjádření přímky, která je průnikem rovin \( 2x – y + z – 3 = 0 \) a \( x + y – 2z + 1 = 0 \). Dále najděte parametrické rovnice této přímky.
Řešení příkladu:
Průnik dvou rovin je obecně přímka, pokud nejsou roviny rovnoběžné nebo totožné.
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 2x – y + z – 3 = 0 \),
\( \pi_2: x + y – 2z + 1 = 0 \).
Směrový vektor přímky průniku je kolmý na normálové vektory obou rovin.
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (2, -1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (1, 1, -2) \).
Směrový vektor přímky je tedy vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(2 \cdot (-2) – 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(-4 – 1) + \mathbf{k}(2 + 1) = \mathbf{i}(1) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(3) = (1, 5, 3) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (1, 5, 3) \).
Nyní najdeme bod, který leží na obou rovinách. Pro jednodušší výpočet zvolíme například \( z = 0 \).
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( 2x – y + 0 – 3 = 0 \Rightarrow 2x – y = 3 \),
\( x + y – 0 + 1 = 0 \Rightarrow x + y = -1 \).
Sčítáme obě rovnice:
\( (2x – y) + (x + y) = 3 + (-1) \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \).
Dosadíme \( x = \frac{2}{3} \) do \( x + y = -1 \):
\( \frac{2}{3} + y = -1 \Rightarrow y = -1 – \frac{2}{3} = -\frac{5}{3} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{2}{3} + t \),
\( y = -\frac{5}{3} + 5t \),
\( z = 0 + 3t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
10. Určete analytické vyjádření přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z – 4 = 0 \) a \( 3x – y + z + 1 = 0 \). Dále najděte parametrické rovnice této přímky.
Řešení příkladu:
Průnik dvou rovin je přímka, pokud nejsou rovnoběžné ani totožné.
Rovnice rovin:
\( \pi_1: x + 2y – z – 4 = 0 \),
\( \pi_2: 3x – y + z + 1 = 0 \).
Normálové vektory rovin jsou
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 1) \).
Směrový vektor přímky je kolmý na oba normály, tj. vektorový součin
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(1 + 3) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(1) – \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-7) = (1, -4, -7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (1, -4, -7) \).
Nyní najdeme bod ležící na obou rovinách. Zvolíme \( z=0 \) pro jednodušší výpočet.
Dosadíme do rovnic:
\( x + 2y – 0 – 4 = 0 \Rightarrow x + 2y = 4 \),
\( 3x – y + 0 + 1 = 0 \Rightarrow 3x – y = -1 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = \frac{4 – x}{2} \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 3x – \frac{4 – x}{2} = -1 \Rightarrow 6x – (4 – x) = -2 \Rightarrow 6x – 4 + x = -2 \Rightarrow 7x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{7} \).
Dosadíme \( x = \frac{2}{7} \) do výrazu pro \( y \):
\( y = \frac{4 – \frac{2}{7}}{2} = \frac{\frac{28}{7} – \frac{2}{7}}{2} = \frac{\frac{26}{7}}{2} = \frac{26}{14} = \frac{13}{7} \).
Bod ležící na přímce je tedy \( P \left(\frac{2}{7}, \frac{13}{7}, 0\right) \).
Parametrické rovnice přímky:
\( x = \frac{2}{7} + t \),
\( y = \frac{13}{7} – 4t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
11. Najděte analytické vyjádření roviny, která prochází bodem \( A(1,2,-1) \) a je kolmá k přímce dané parametrickými rovnicemi \( x = 3 + 2t, y = -1 + t, z = 4 – t \).
Řešení příkladu:
Směrový vektor přímky je dán koeficienty u parametru \( t \):
\( \vec{d} = (2, 1, -1) \).
Rovina, která je kolmá k přímce, má normálový vektor rovnající se směrovému vektoru přímky:
\( \vec{n} = (2, 1, -1) \).
Obecná rovnice roviny je:
\( 2(x – x_0) + 1(y – y_0) – 1(z – z_0) = 0 \), kde \( (x_0,y_0,z_0) \) je bod na rovině.
Dosadíme bod \( A(1,2,-1) \):
\( 2(x – 1) + 1(y – 2) – 1(z + 1) = 0 \Rightarrow 2x – 2 + y – 2 – z – 1 = 0 \Rightarrow 2x + y – z – 5 = 0 \).
Tedy rovnice roviny je:
\( 2x + y – z – 5 = 0 \).
12. Určete analytické vyjádření roviny, která prochází body \( A(0,1,2) \), \( B(2,-1,1) \) a \( C(1,0,3) \).
Řešení příkladu:
Nejprve najdeme vektory ležící v rovině:
\( \vec{AB} = B – A = (2 – 0, -1 – 1, 1 – 2) = (2, -2, -1) \),
\( \vec{AC} = C – A = (1 – 0, 0 – 1, 3 – 2) = (1, -1, 1) \).
Normálový vektor roviny je kolmý na oba tyto vektory, takže je dán jejich vektorovým součinem:
\( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(1) – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) – (-2) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(-2 – 1) – \mathbf{j}(2 + 1) + \mathbf{k}(-2 + 2) = \mathbf{i}(-3) – \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(0) = (-3, -3, 0) \).
Pro zjednodušení můžeme normálový vektor vydělit -3, dostaneme:
\( \vec{n} = (1, 1, 0) \).
Rovnice roviny je tedy:
\( 1(x – 0) + 1(y – 1) + 0(z – 2) = 0 \Rightarrow x + y – 1 = 0 \).
Tedy rovina má rovnici:
\( x + y – 1 = 0 \).
13. Najděte parametrické rovnice přímky, která prochází bodem \( A(1, -2, 3) \) a je rovnoběžná s vektorem \( \vec{v} = (4, 1, -2) \).
Řešení příkladu:
Parametrické rovnice přímky, která prochází bodem \( A(x_0,y_0,z_0) \) a má směrový vektor \( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \), jsou
\( x = x_0 + v_x t \),
\( y = y_0 + v_y t \),
\( z = z_0 + v_z t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
Dosadíme hodnoty:
\( x = 1 + 4t \),
\( y = -2 + t \),
\( z = 3 – 2t \).
14. Určete rovnice roviny, která obsahuje přímku \( x = 1 + s, y = 2 – s, z = 3s \) a je kolmá k rovině \( 2x – y + z – 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Normálový vektor dané roviny je \( \vec{n_1} = (2, -1, 1) \).
Rovina, kterou hledáme, obsahuje přímku, jejíž směrový vektor je
\( \vec{d} = (1, -1, 3) \) (koeficienty u parametru \( s \)).
Protože rovina je kolmá k rovině \( 2x – y + z – 4 = 0 \), její normálový vektor je kolmý na normálový vektor této roviny.
Normálový vektor hledané roviny tedy musí být kolmý na \( \vec{n_1} \), ale musí být zároveň kolmý i na směrový vektor přímky \( \vec{d} \), protože rovina obsahuje tuto přímku.
Normálový vektor hledané roviny je tedy kolmý na oba vektory \( \vec{n_1} \) i \( \vec{d} \).
Vypočítáme jejich vektorový součin:
\( \vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(3) – 1 \cdot (-1)) – \mathbf{j}(2 \cdot 3 – 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) – (-1) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(-3 + 1) – \mathbf{j}(6 – 1) + \mathbf{k}(-2 + 1) = \mathbf{i}(-2) – \mathbf{j}(5) + \mathbf{k}(-1) = (-2, -5, -1) \).
Normálový vektor hledané roviny je \( \vec{n} = (-2, -5, -1) \).
Najdeme bod na přímce pro \( s=0 \): \( P(1, 2, 0) \).
Rovnice roviny je:
\( -2(x – 1) – 5(y – 2) – 1(z – 0) = 0 \Rightarrow -2x + 2 – 5y + 10 – z = 0 \Rightarrow -2x – 5y – z + 12 = 0 \).
Tedy rovnice roviny je:
\( -2x – 5y – z + 12 = 0 \).
15. Najděte průnik přímky \( p: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + 3t \\ z = 4 – t \end{cases} \) a roviny \( \pi: 3x – y + 2z – 5 = 0 \). Určete souřadnice průsečíku.
Řešení příkladu:
Dosadíme parametrické rovnice přímky do rovnice roviny:
\( 3(1 + 2t) – (-1 + 3t) + 2(4 – t) – 5 = 0 \).
Rozepíšeme a upravíme:
\( 3 + 6t + 1 – 3t + 8 – 2t – 5 = 0 \Rightarrow (6t – 3t – 2t) + (3 + 1 + 8 – 5) = 0 \Rightarrow 1t + 7 = 0 \Rightarrow t = -7 \).
Dosadíme \( t = -7 \) do parametrických rovnic přímky:
\( x = 1 + 2(-7) = 1 – 14 = -13 \),
\( y = -1 + 3(-7) = -1 – 21 = -22 \),
\( z = 4 – (-7) = 4 + 7 = 11 \).
Průsečík přímky a roviny je bod \( P(-13, -22, 11) \).
16. Určete parametrické rovnice přímky, která prochází bodem \( A(2, -1, 0) \) a je rovnoběžná s vektorem \( \vec{v} = (3, 4, -2) \).
Řešení příkladu:
Parametrické rovnice přímky mají tvar:
\( x = x_0 + at \),
\( y = y_0 + bt \),
\( z = z_0 + ct \), kde \( (x_0, y_0, z_0) \) je bod na přímce a \( (a, b, c) \) je směrový vektor.
Dosadíme dané hodnoty:
\( x = 2 + 3t \),
\( y = -1 + 4t \),
\( z = 0 – 2t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
17. Určete rovnice roviny, která prochází bodem \( B(1, 2, -1) \) a je kolmá na vektor \( \vec{n} = (4, -3, 5) \).
Řešení příkladu:
Rovnice roviny s normálovým vektorem \( \vec{n} = (A, B, C) \) a bodem \( (x_0, y_0, z_0) \) je:
\( A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0 \).
Dosadíme hodnoty:
\( 4(x – 1) – 3(y – 2) + 5(z + 1) = 0 \).
Rozepíšeme:
\( 4x – 4 – 3y + 6 + 5z + 5 = 0 \Rightarrow 4x – 3y + 5z + 7 = 0 \).
Rovnice roviny je tedy \( 4x – 3y + 5z + 7 = 0 \).
18. Najděte vzdálenost bodu \( C(3, -2, 5) \) od roviny \( 2x – y + 2z – 7 = 0 \).
Řešení příkladu:
Vzdálenost bodu \( (x_0, y_0, z_0) \) od roviny \( Ax + By + Cz + D = 0 \) je dána vzorcem:
\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \).
Dosadíme hodnoty:
\( d = \frac{|2 \cdot 3 – 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 5 – 7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 2 + 10 – 7|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|11|}{\sqrt{9}} = \frac{11}{3} \).
Vzdálenost bodu od roviny je \( \frac{11}{3} \).
19. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z + 4 = 0 \) a \( 3x – y + z – 5 = 0 \).
Řešení příkladu:
Průnikem dvou rovin je přímka, jejíž směrový vektor je kolmý na normálové vektory rovin.
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \).
\( = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(1 + 3) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(1) – \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-7) = (1, -4, -7) \).
Pro nalezení bodu na přímce položíme \( z = 0 \) a řešíme soustavu rovnic:
\( x + 2y – 0 + 4 = 0 \Rightarrow x + 2y = -4 \),
\( 3x – y + 0 – 5 = 0 \Rightarrow 3x – y = 5 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = \frac{-4 – x}{2} \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 3x – \frac{-4 – x}{2} = 5 \Rightarrow 3x + \frac{4 + x}{2} = 5 \Rightarrow \frac{6x + 4 + x}{2} = 5 \Rightarrow \frac{7x + 4}{2} = 5 \Rightarrow 7x + 4 = 10 \Rightarrow 7x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{7} \).
Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = \frac{-4 – \frac{6}{7}}{2} = \frac{-\frac{28}{7} – \frac{6}{7}}{2} = \frac{-\frac{34}{7}}{2} = -\frac{17}{7} \).
Bod na přímce je \( \left(\frac{6}{7}, -\frac{17}{7}, 0\right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{6}{7} + t \),
\( y = -\frac{17}{7} – 4t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
20. Určete rovnice roviny, která prochází bodem \( A(1, 2, -1) \) a je kolmá na přímku danou parametrickými rovnicemi \( x = 3 + 2t \), \( y = 1 – t \), \( z = 4t \).
Řešení příkladu:
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = 3 + 2t \),
\( y = 1 – t \),
\( z = 4t \).
Směrový vektor přímky je tedy \( \vec{d} = (2, -1, 4) \).
Rovina je kolmá na přímku, tedy její normálový vektor \( \vec{n} \) je roven směrovému vektoru přímky:
\( \vec{n} = (2, -1, 4) \).
Rovnice roviny procházející bodem \( A(1, 2, -1) \) s normálovým vektorem \( \vec{n} = (2, -1, 4) \) má tvar:
\( 2(x – 1) – 1(y – 2) + 4(z + 1) = 0 \).
Po úpravě:
\( 2x – 2 – y + 2 + 4z + 4 = 0 \Rightarrow 2x – y + 4z + 4 = 0 \).
Rovnice roviny je tedy
\( 2x – y + 4z + 4 = 0 \).
21. Najděte průsečík přímky dané rovnicemi \( \frac{x – 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z}{4} \) s rovinou \( x + 2y – z = 7 \).
Řešení příkladu:
Parametrické rovnice přímky zapíšeme pomocí parametru \( t \):
\( x = 1 + 2t \),
\( y = -3 – t \),
\( z = 4t \).
Dosadíme tyto rovnice do rovnice roviny:
\( (1 + 2t) + 2(-3 – t) – 4t = 7 \).
Úprava:
\( 1 + 2t – 6 – 2t – 4t = 7 \Rightarrow 1 – 6 – 4t = 7 \Rightarrow -5 – 4t = 7 \).
Vyřešíme pro \( t \):
\( -4t = 12 \Rightarrow t = -3 \).
Dosadíme \( t = -3 \) zpět do parametrických rovnic:
\( x = 1 + 2(-3) = 1 – 6 = -5 \),
\( y = -3 – (-3) = -3 + 3 = 0 \),
\( z = 4(-3) = -12 \).
Průsečík přímky a roviny je tedy bod \( P(-5, 0, -12) \).
22. Určete parametrické rovnice přímky, která prochází body \( A(2, -1, 3) \) a \( B(0, 4, -1) \).
Řešení příkladu:
Směrový vektor přímky spojující body \( A \) a \( B \) je:
\( \vec{d} = \overrightarrow{AB} = (0 – 2, 4 – (-1), -1 – 3) = (-2, 5, -4) \).
Parametrické rovnice přímky, která prochází bodem \( A(2, -1, 3) \) a má směrový vektor \( \vec{d} \), jsou:
\( x = 2 – 2t \),
\( y = -1 + 5t \),
\( z = 3 – 4t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
23. Najděte vzdálenost bodu \( P(4, -2, 1) \) od roviny \( 3x – y + 4z – 12 = 0 \).
Řešení příkladu:
Vzdálenost bodu \( P(x_0, y_0, z_0) \) od roviny \( Ax + By + Cz + D = 0 \) je dána vztahem:
\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \).
Dosadíme hodnoty:
\( A = 3, B = -1, C = 4, D = -12 \),
\( x_0 = 4, y_0 = -2, z_0 = 1 \).
Vypočteme čitatel:
\( |3 \cdot 4 + (-1) \cdot (-2) + 4 \cdot 1 – 12| = |12 + 2 + 4 – 12| = |6| = 6 \).
Vypočteme jmenovatel:
\( \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26} \).
Vzdálenost je tedy:
\( d = \frac{6}{\sqrt{26}} \).
24. Určete rovnici roviny, která prochází body \( A(1, 0, 2) \), \( B(3, -1, 4) \) a \( C(0, 2, 1) \).
Řešení příkladu:
Nejprve určíme dva vektory ležící v rovině:
\( \vec{AB} = (3 – 1, -1 – 0, 4 – 2) = (2, -1, 2) \),
\( \vec{AC} = (0 – 1, 2 – 0, 1 – 2) = (-1, 2, -1) \).
Normálový vektor roviny je kolmý na oba tyto vektory, tedy je dán vektorovým součinem:
\( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} \).
Vypočteme determinant:
\( \vec{n} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 2) – \mathbf{j}(2 \cdot (-1) – 2 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 – (-1) \cdot (-1)) \).
\( \vec{n} = \mathbf{i}(1 – 4) – \mathbf{j}(-2 + 2) + \mathbf{k}(4 – 1) = \mathbf{i}(-3) – \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(3) = (-3, 0, 3) \).
Pro jednodušší tvar můžeme vektor dělit třemi:
\( \vec{n} = (-1, 0, 1) \).
Rovnice roviny procházející bodem \( A(1, 0, 2) \) s normálovým vektorem \( \vec{n} = (-1, 0, 1) \) je:
\( -1(x – 1) + 0(y – 0) + 1(z – 2) = 0 \Rightarrow -x + 1 + z – 2 = 0 \Rightarrow -x + z – 1 = 0 \).
Po úpravě:
\( x – z + 1 = 0 \).
Rovnice roviny je tedy
\( x – z + 1 = 0 \).
25. Najděte parametrické rovnice přímky, která prochází bodem \( A(1,2,-1) \) a je rovnoběžná s vektorem \( \vec{v} = (3, -1, 4) \).
Řešení příkladu:
Přímka, která prochází bodem \( A(1,2,-1) \) a má směrový vektor \( \vec{v} = (3, -1, 4) \), má parametrické rovnice ve tvaru
\( x = 1 + 3t \),
\( y = 2 – t \),
\( z = -1 + 4t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
26. Určete průnik přímky dané rovnicemi \( x = 2 + t \), \( y = 3 – 2t \), \( z = 1 + 4t \) a roviny \( x – y + z = 4 \).
Řešení příkladu:
Dosadíme parametrické rovnice přímky do rovnice roviny:
\( (2 + t) – (3 – 2t) + (1 + 4t) = 4 \)
\( 2 + t – 3 + 2t + 1 + 4t = 4 \)
\( (t + 2t + 4t) + (2 – 3 + 1) = 4 \Rightarrow 7t + 0 = 4 \Rightarrow 7t = 4 \Rightarrow t = \frac{4}{7} \).
Dosadíme \( t = \frac{4}{7} \) zpět do rovnic přímky:
\( x = 2 + \frac{4}{7} = \frac{18}{7} \),
\( y = 3 – 2 \cdot \frac{4}{7} = 3 – \frac{8}{7} = \frac{13}{7} \),
\( z = 1 + 4 \cdot \frac{4}{7} = 1 + \frac{16}{7} = \frac{23}{7} \).
Průsečík přímky s rovinou je bod \( \left(\frac{18}{7}, \frac{13}{7}, \frac{23}{7}\right) \).
27. Najděte rovnice roviny, která prochází bodem \( B(0,1,2) \) a je kolmá na přímku danou parametrickými rovnicemi \( x = 1 + 2s \), \( y = -1 + s \), \( z = 3 – s \).
Řešení příkladu:
Směrový vektor přímky je \( \vec{v} = (2, 1, -1) \).
Rovina je kolmá na přímku, takže její normálový vektor je právě \( \vec{v} \).
Rovnice roviny, která prochází bodem \( B(0,1,2) \) a má normálový vektor \( \vec{n} = (2, 1, -1) \), je
\( 2(x – 0) + 1(y – 1) – 1(z – 2) = 0 \Rightarrow 2x + y – 1 – z + 2 = 0 \)
\( 2x + y – z + 1 = 0 \).
28. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z = 3 \) a \( 3x – y + 4z = 7 \).
Řešení příkladu:
Normálové vektory rovin jsou
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 4) \).
Směrový vektor přímky průniku je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 4 – (-1) \cdot (-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 4 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(8 – 1) – \mathbf{j}(4 + 3) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(7) – \mathbf{j}(7) + \mathbf{k}(-7) = (7, -7, -7) \).
Směrový vektor je tedy \( \vec{d} = (7, -7, -7) \), lze zjednodušit na \( (1, -1, -1) \).
Pro nalezení bodu na průniku dosadíme například \( z = 0 \) do rovnic rovin:
\( x + 2y = 3 \),
\( 3x – y = 7 \).
Z první rovnice vyjádříme \( x = 3 – 2y \) a dosadíme do druhé:
\( 3(3 – 2y) – y = 7 \Rightarrow 9 – 6y – y = 7 \Rightarrow 9 – 7y = 7 \Rightarrow -7y = -2 \Rightarrow y = \frac{2}{7} \).
Dosadíme zpět pro \( x \):
\( x = 3 – 2 \cdot \frac{2}{7} = 3 – \frac{4}{7} = \frac{17}{7} \).
Bod na přímce je tedy \( \left(\frac{17}{7}, \frac{2}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{17}{7} + t \),
\( y = \frac{2}{7} – t \),
\( z = 0 – t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
29. Určete vzdálenost bodu \( C(4, -1, 2) \) od roviny \( 2x – y + 2z – 5 = 0 \).
Řešení příkladu:
Vzdálenost bodu \( C(x_0, y_0, z_0) = (4, -1, 2) \) od roviny \( Ax + By + Cz + D = 0 \) je dána vzorcem
\( d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \).
Dosadíme hodnoty:
\( A=2, B=-1, C=2, D=-5 \),
\( d = \frac{|2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 2 – 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|8 + 1 + 4 – 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|8|}{\sqrt{9}} = \frac{8}{3} \).
Vzdálenost bodu \( C \) od roviny je \( \frac{8}{3} \).
30. Najděte rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z + 4 = 0 \) a \( 3x – y + z – 5 = 0 \). Určete parametrické rovnice této přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: x + 2y – z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: 3x – y + z – 5 = 0 \).
Normálové vektory jsou
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 1) \).
Směrový vektor přímky je kolmý na oba normálové vektory, tedy je roven vektorovému součinu
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(1 + 3) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(1) – \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-7) = (1, -4, -7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (1, -4, -7) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( x + 2y + 4 = 0 \Rightarrow x + 2y = -4 \),
\( 3x – y – 5 = 0 \Rightarrow 3x – y = 5 \).
Vyřešíme soustavu:
Vynásobíme první rovnici \(-1\) a sečteme s druhou:
\( -x – 2y = 4 \),
\( 3x – y = 5 \).
Sečteme:
\( (3x – x) + (-y – 2y) = 5 + 4 \Rightarrow 2x – 3y = 9 \).
Nyní dosadíme \( y = \frac{2x – 9}{3} \) do první rovnice:
\( x + 2 \cdot \frac{2x – 9}{3} = -4 \Rightarrow x + \frac{4x – 18}{3} = -4 \Rightarrow \frac{3x + 4x – 18}{3} = -4 \Rightarrow 7x – 18 = -12 \Rightarrow 7x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{7} \).
Dosadíme do \( y = \frac{2x – 9}{3} \):
\( y = \frac{2 \cdot \frac{6}{7} – 9}{3} = \frac{\frac{12}{7} – 9}{3} = \frac{\frac{12 – 63}{7}}{3} = \frac{-\frac{51}{7}}{3} = -\frac{51}{21} = -\frac{17}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{6}{7}, -\frac{17}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou tedy:
\( x = \frac{6}{7} + t \),
\( y = -\frac{17}{7} – 4t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
31. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 4x – y + 3z – 8 = 0 \) a \( 2x + y – z + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Normálové vektory rovin jsou
\( \vec{n_1} = (4, -1, 3) \),
\( \vec{n_2} = (2, 1, -1) \).
Směrový vektor přímky je
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 3 \cdot 1) – \mathbf{j}(4 \cdot (-1) – 3 \cdot 2) + \mathbf{k}(4 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 3) – \mathbf{j}(-4 – 6) + \mathbf{k}(4 + 2) = \mathbf{i}(-2) – \mathbf{j}(-10) + \mathbf{k}(6) = (-2, 10, 6) \).
Zvolíme \( z=0 \) a dosadíme do rovnic:
\( 4x – y + 0 – 8 = 0 \Rightarrow 4x – y = 8 \),
\( 2x + y – 0 + 1 = 0 \Rightarrow 2x + y = -1 \).
Sčítáme rovnice:
\( (4x – y) + (2x + y) = 8 + (-1) \Rightarrow 6x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{6} \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 2 \cdot \frac{7}{6} + y = -1 \Rightarrow \frac{7}{3} + y = -1 \Rightarrow y = -1 – \frac{7}{3} = -\frac{10}{3} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{7}{6}, -\frac{10}{3}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky:
\( x = \frac{7}{6} – 2t \),
\( y = -\frac{10}{3} + 10t \),
\( z = 0 + 6t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
32. Najděte rovnice přímky průniku rovin \( x – y + 4z – 2 = 0 \) a \( 2x + y – z + 3 = 0 \) a napište parametrické vyjádření.
Řešení příkladu:
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, -1, 4) \),
\( \vec{n_2} = (2, 1, -1) \).
Směrový vektor přímky:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 4 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-1) – 4 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 4) – \mathbf{j}(-1 – 8) + \mathbf{k}(1 + 2) = \mathbf{i}(-3) – \mathbf{j}(-9) + \mathbf{k}(3) = (-3, 9, 3) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-3, 9, 3) \), který lze zjednodušit na \( (-1, 3, 1) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce:
Dosadíme do rovnic:
\( x – y + 0 – 2 = 0 \Rightarrow x – y = 2 \),
\( 2x + y – 0 + 3 = 0 \Rightarrow 2x + y = -3 \).
Sčítáme první rovnici v původním tvaru:
Vyjádříme \( y \) z první rovnice: \( y = x – 2 \).
Dosadíme do druhé:
\( 2x + (x – 2) = -3 \Rightarrow 3x – 2 = -3 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \).
Dosadíme do \( y = x – 2 \):
\( y = -\frac{1}{3} – 2 = -\frac{7}{3} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{1}{3}, -\frac{7}{3}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice:
\( x = -\frac{1}{3} – t \),
\( y = -\frac{7}{3} + 3t \),
\( z = 0 + t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
33. Určete parametrické rovnice přímky průniku rovin \( 5x + y – 2z + 1 = 0 \) a \( x – 3y + z – 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (5, 1, -2) \),
\( \vec{n_2} = (1, -3, 1) \).
Směrový vektor přímky:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 – (-2)(-3)) – \mathbf{j}(5 \cdot 1 – (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(5 \cdot (-3) – 1 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 6) – \mathbf{j}(5 + 2) + \mathbf{k}(-15 – 1) = \mathbf{i}(-5) – \mathbf{j}(7) + \mathbf{k}(-16) = (-5, -7, -16) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce:
Dosadíme do rovnic:
\( 5x + y + 0 + 1 = 0 \Rightarrow 5x + y = -1 \),
\( x – 3y + 0 – 4 = 0 \Rightarrow x – 3y = 4 \).
Vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:
\( x = 4 + 3y \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 5(4 + 3y) + y = -1 \Rightarrow 20 + 15y + y = -1 \Rightarrow 20 + 16y = -1 \Rightarrow 16y = -21 \Rightarrow y = -\frac{21}{16} \).
Dosadíme do \( x = 4 + 3y \):
\( x = 4 + 3 \cdot \left(-\frac{21}{16}\right) = 4 – \frac{63}{16} = \frac{64}{16} – \frac{63}{16} = \frac{1}{16} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{1}{16}, -\frac{21}{16}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{1}{16} – 5t \),
\( y = -\frac{21}{16} – 7t \),
\( z = 0 – 16t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
34. Najděte parametrické rovnice přímky, která vznikne průnikem rovin \( 2x – y + z – 3 = 0 \) a \( 4x + y – 2z + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (2, -1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (4, 1, -2) \).
Směrový vektor přímky:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(2 \cdot (-2) – 1 \cdot 4) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 – (-1) \cdot 4) \)
\( = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(-4 – 4) + \mathbf{k}(2 + 4) = \mathbf{i}(1) – \mathbf{j}(-8) + \mathbf{k}(6) = (1, 8, 6) \).
Zvolíme \( z=0 \), dosadíme do rovnic:
\( 2x – y + 0 – 3 = 0 \Rightarrow 2x – y = 3 \),
\( 4x + y – 0 + 1 = 0 \Rightarrow 4x + y = -1 \).
Sčítáme obě rovnice:
\( (2x – y) + (4x + y) = 3 + (-1) \Rightarrow 6x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 2 \cdot \frac{1}{3} – y = 3 \Rightarrow \frac{2}{3} – y = 3 \Rightarrow -y = 3 – \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \Rightarrow y = -\frac{7}{3} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{1}{3}, -\frac{7}{3}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{1}{3} + t \),
\( y = -\frac{7}{3} + 8t \),
\( z = 0 + 6t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
35. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z + 4 = 0 \) a \( 3x – y + 2z – 5 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: x + 2y – z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: 3x – y + 2z – 5 = 0 \).
Normálové vektory jsou
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 2) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 2 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 2 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(4 – 1) – \mathbf{j}(2 – (-3)) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(3) – \mathbf{j}(5) + \mathbf{k}(-7) = (3, -5, -7) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme do rovnic:
\( x + 2y + 4 = 0 \Rightarrow x + 2y = -4 \),
\( 3x – y – 5 = 0 \Rightarrow 3x – y = 5 \).
Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:
\( y = 3x – 5 \).
Dosadíme do první rovnice:
\( x + 2(3x – 5) = -4 \Rightarrow x + 6x – 10 = -4 \Rightarrow 7x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{7} \).
Dosadíme do \( y = 3x – 5 \):
\( y = 3 \cdot \frac{6}{7} – 5 = \frac{18}{7} – 5 = \frac{18}{7} – \frac{35}{7} = -\frac{17}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{6}{7}, -\frac{17}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou tedy:
\( x = \frac{6}{7} + 3t \),
\( y = -\frac{17}{7} – 5t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
36. Najděte parametrické rovnice přímky, která vznikne průnikem rovin \( 4x – y + 3z – 2 = 0 \) a \( 2x + y – z + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 4x – y + 3z – 2 = 0 \),
\( \pi_2: 2x + y – z + 1 = 0 \).
Normálové vektory jsou
\( \vec{n_1} = (4, -1, 3) \),
\( \vec{n_2} = (2, 1, -1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 3 \cdot 1) – \mathbf{j}(4 \cdot (-1) – 3 \cdot 2) + \mathbf{k}(4 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 3) – \mathbf{j}(-4 – 6) + \mathbf{k}(4 + 2) = \mathbf{i}(-2) – \mathbf{j}(-10) + \mathbf{k}(6) = (-2, 10, 6) \).
Zvolíme \( z = 0 \) a dosadíme do rovnic:
\( 4x – y – 2 = 0 \Rightarrow 4x – y = 2 \),
\( 2x + y + 1 = 0 \Rightarrow 2x + y = -1 \).
Sčítáme obě rovnice:
\( (4x – y) + (2x + y) = 2 + (-1) \Rightarrow 6x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{6} \).
Dosadíme \( x \) do druhé rovnice:
\( 2 \cdot \frac{1}{6} + y = -1 \Rightarrow \frac{1}{3} + y = -1 \Rightarrow y = -\frac{4}{3} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{1}{6}, -\frac{4}{3}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{1}{6} – 2t \),
\( y = -\frac{4}{3} + 10t \),
\( z = 0 + 6t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
37. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x – y + z – 1 = 0 \) a \( 2x + y – 3z + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: x – y + z – 1 = 0 \),
\( \pi_2: 2x + y – 3z + 4 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, -1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (2, 1, -3) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-3) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-3) – 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(3 – 1) – \mathbf{j}(-3 – 2) + \mathbf{k}(1 + 2) = \mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(3) = (2, 5, 3) \).
Zvolíme \( z=0 \) a dosadíme do rovnic:
\( x – y + 0 – 1 = 0 \Rightarrow x – y = 1 \),
\( 2x + y – 0 + 4 = 0 \Rightarrow 2x + y = -4 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = x – 1 \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 2x + (x – 1) = -4 \Rightarrow 3x – 1 = -4 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \).
Dosadíme do \( y = x – 1 \):
\( y = -1 – 1 = -2 \).
Bod na přímce je \( P(-1, -2, 0) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -1 + 2t \),
\( y = -2 + 5t \),
\( z = 0 + 3t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
38. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 5x + y – 2z + 1 = 0 \) a \( x – 4y + 3z – 6 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 5x + y – 2z + 1 = 0 \),
\( \pi_2: x – 4y + 3z – 6 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (5, 1, -2) \),
\( \vec{n_2} = (1, -4, 3) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & 1 & -2 \\ 1 & -4 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 3 – (-2)(-4)) – \mathbf{j}(5 \cdot 3 – (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(5 \cdot (-4) – 1 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(3 – 8) – \mathbf{j}(15 – (-2)) + \mathbf{k}(-20 – 1) = \mathbf{i}(-5) – \mathbf{j}(17) + \mathbf{k}(-21) = (-5, -17, -21) \).
Zvolíme \( z=0 \) a dosadíme do rovnic:
\( 5x + y + 1 = 0 \Rightarrow 5x + y = -1 \),
\( x – 4y – 6 = 0 \Rightarrow x – 4y = 6 \).
Vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:
\( x = 6 + 4y \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 5(6 + 4y) + y = -1 \Rightarrow 30 + 20y + y = -1 \Rightarrow 21y = -31 \Rightarrow y = -\frac{31}{21} \).
Dosadíme do \( x = 6 + 4y \):
\( x = 6 + 4 \cdot \left(-\frac{31}{21}\right) = 6 – \frac{124}{21} = \frac{126}{21} – \frac{124}{21} = \frac{2}{21} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{2}{21}, -\frac{31}{21}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{2}{21} – 5t \),
\( y = -\frac{31}{21} – 17t \),
\( z = 0 – 21t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
39. Určete parametrické rovnice přímky, která vznikne průnikem rovin \( 3x – 2y + z – 4 = 0 \) a \( x + y – 4z + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 3x – 2y + z – 4 = 0 \),
\( \pi_2: x + y – 4z + 1 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (3, -2, 1) \),
\( \vec{n_2} = (1, 1, -4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-4) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(3 \cdot (-4) – 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 – (-2) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(8 – 1) – \mathbf{j}(-12 – 1) + \mathbf{k}(3 + 2) = \mathbf{i}(7) – \mathbf{j}(-13) + \mathbf{k}(5) = (7, 13, 5) \).
Zvolíme \( z=0 \) a dosadíme do rovnic:
\( 3x – 2y – 4 = 0 \Rightarrow 3x – 2y = 4 \),
\( x + y + 1 = 0 \Rightarrow x + y = -1 \).
Vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:
\( x = -1 – y \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 3(-1 – y) – 2y = 4 \Rightarrow -3 – 3y – 2y = 4 \Rightarrow -5y = 7 \Rightarrow y = -\frac{7}{5} \).
Dosadíme do \( x = -1 – y \):
\( x = -1 – \left(-\frac{7}{5}\right) = -1 + \frac{7}{5} = \frac{-5 + 7}{5} = \frac{2}{5} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{2}{5}, -\frac{7}{5}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{2}{5} + 7t \),
\( y = -\frac{7}{5} + 13t \),
\( z = 0 + 5t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
40. Najděte parametrické rovnice přímky vzniklé průnikem rovin \( x + y + z – 3 = 0 \) a \( 2x – y + 4z – 5 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: x + y + z – 3 = 0 \),
\( \pi_2: 2x – y + 4z – 5 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, 1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (2, -1, 4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 4 – 1 \cdot (-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 4 – 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 1 \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(4 + 1) – \mathbf{j}(4 – 2) + \mathbf{k}(-1 – 2) = \mathbf{i}(5) – \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(-3) = (5, -2, -3) \).
Zvolíme \( z = 0 \) a dosadíme do rovnic:
\( x + y – 3 = 0 \Rightarrow x + y = 3 \),
\( 2x – y – 5 = 0 \Rightarrow 2x – y = 5 \).
Sčítáme rovnice:
\( (x + y) + (2x – y) = 3 + 5 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3} \).
Dosadíme do první rovnice:
\( \frac{8}{3} + y = 3 \Rightarrow y = 3 – \frac{8}{3} = \frac{9}{3} – \frac{8}{3} = \frac{1}{3} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{8}{3} + 5t \),
\( y = \frac{1}{3} – 2t \),
\( z = 0 – 3t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
41. Určete rovnici roviny, která prochází bodem \( A(1, 2, -1) \) a je kolmá na přímku danou parametrickými rovnicemi \( x = 2 + 3t \), \( y = -1 + 4t \), \( z = 5 – t \).
Řešení příkladu:
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (3, 4, -1) \).
Rovina je kolmá na přímku, takže její normálový vektor je právě \( \vec{n} = \vec{d} = (3, 4, -1) \).
Rovnice roviny procházející bodem \( A(1, 2, -1) \) a normálovým vektorem \( \vec{n} \) je
\( 3(x – 1) + 4(y – 2) – 1(z + 1) = 0 \).
Po úpravě:
\( 3x – 3 + 4y – 8 – z – 1 = 0 \Rightarrow 3x + 4y – z – 12 = 0 \).
Tedy rovnice roviny je
\( 3x + 4y – z = 12 \).
42. Najděte rovnici přímky, která prochází body \( A(0, 1, 2) \) a \( B(3, -1, 4) \). Dále určete parametrické rovnice této přímky.
Řešení příkladu:
Směrový vektor přímky je vektor mezi body \( A \) a \( B \):
\( \vec{d} = B – A = (3 – 0, -1 – 1, 4 – 2) = (3, -2, 2) \).
Rovnice přímky v parametrickém tvaru s parametrem \( t \in \mathbb{R} \) je
\( x = 0 + 3t = 3t \),
\( y = 1 – 2t \),
\( z = 2 + 2t \).
Tedy parametrické rovnice přímky jsou
\( x = 3t \), \( y = 1 – 2t \), \( z = 2 + 2t \).
43. Určete průsečík přímky \( x = 1 + 2t \), \( y = 3 – t \), \( z = 4t \) s rovinou \( x – y + z = 5 \).
Řešení příkladu:
Dosadíme parametrické rovnice přímky do rovnice roviny:
\( (1 + 2t) – (3 – t) + 4t = 5 \).
Úprava rovnice:
\( 1 + 2t – 3 + t + 4t = 5 \Rightarrow (2t + t + 4t) + (1 – 3) = 5 \Rightarrow 7t – 2 = 5 \).
Vyřešíme pro \( t \):
\( 7t = 7 \Rightarrow t = 1 \).
Dosadíme \( t = 1 \) do parametrických rovnic:
\( x = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \),
\( y = 3 – 1 = 2 \),
\( z = 4 \cdot 1 = 4 \).
Průsečík přímky a roviny je bod \( (3, 2, 4) \).
44. Najděte rovnice rovin, které jsou kolmé na rovinu \( 2x – y + 3z = 7 \) a procházejí bodem \( P(1, 0, -2) \). Určete také parametrické rovnice přímky průniku těchto rovin.
Řešení příkladu:
Normálový vektor dané roviny je \( \vec{n} = (2, -1, 3) \).
Roviny kolmé na danou rovinu mají normálové vektory kolmé na \( \vec{n} \).
Hledáme roviny \( \pi_1: a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 \) a \( \pi_2: a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \), kde \( (a_i, b_i, c_i) \) jsou kolmí na \( (2, -1, 3) \), tedy splňují
\( 2a_i – b_i + 3c_i = 0 \).
Vybereme dvě lineárně nezávislé řešení, např.
Pro \( \pi_1 \): zvolíme \( a_1 = 1 \), \( b_1 = 5 \), pak \( 2 \cdot 1 – 5 + 3c_1 = 0 \Rightarrow 2 – 5 + 3c_1 = 0 \Rightarrow 3c_1 = 3 \Rightarrow c_1 = 1 \).
Rovnice roviny \( \pi_1 \) má tvar
\( x + 5y + z + d_1 = 0 \).
Dosadíme bod \( P(1, 0, -2) \):
\( 1 + 5 \cdot 0 + (-2) + d_1 = 0 \Rightarrow -1 + d_1 = 0 \Rightarrow d_1 = 1 \).
Rovnice první roviny je tedy
\( x + 5y + z + 1 = 0 \).
Pro \( \pi_2 \) zvolíme \( a_2 = 3 \), \( b_2 = 0 \), pak
\( 2 \cdot 3 – 0 + 3 c_2 = 0 \Rightarrow 6 + 3 c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = -2 \).
Rovnice druhé roviny je
\( 3x + 0 \cdot y – 2 z + d_2 = 0 \Rightarrow 3x – 2 z + d_2 = 0 \).
Dosadíme bod \( P(1, 0, -2) \):
\( 3 \cdot 1 – 2 \cdot (-2) + d_2 = 0 \Rightarrow 3 + 4 + d_2 = 0 \Rightarrow d_2 = -7 \).
Rovnice druhé roviny je
\( 3x – 2z – 7 = 0 \).
Průnikem těchto dvou rovin je přímka, jejíž parametrické rovnice určíme takto.
Normálové vektory rovin jsou
\( \vec{n_1} = (1, 5, 1) \),
\( \vec{n_2} = (3, 0, -2) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(5 \cdot (-2) – 1 \cdot 0) – \mathbf{j}(1 \cdot (-2) – 1 \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 – 5 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(-10 – 0) – \mathbf{j}(-2 – 3) + \mathbf{k}(0 – 15) = (-10, 5, -15) \).
Směrový vektor můžeme zjednodušit vydělením 5:
\( \vec{d} = (-2, 1, -3) \).
Pro nalezení bodu na přímce vyřešíme soustavu rovnic obou rovin, zvolíme například \( y = 0 \):
První rovnice: \( x + 5 \cdot 0 + z + 1 = 0 \Rightarrow x + z = -1 \).
Druhá rovnice: \( 3x – 2z – 7 = 0 \Rightarrow 3x – 2z = 7 \).
Z první rovnice \( z = -1 – x \), dosadíme do druhé:
\( 3x – 2(-1 – x) = 7 \Rightarrow 3x + 2 + 2x = 7 \Rightarrow 5x + 2 = 7 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1 \).
Potom \( z = -1 – 1 = -2 \).
Bod na přímce je \( (1, 0, -2) \).
Parametrické rovnice přímky jsou tedy
\( x = 1 – 2t \),
\( y = 0 + 1t = t \),
\( z = -2 – 3t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
45. Určete vzdálenost bodu \( M(2, -1, 3) \) od roviny \( 4x – 2y + 4z – 12 = 0 \).
Řešení příkladu:
Vzdálenost bodu \( M(x_0, y_0, z_0) \) od roviny \( Ax + By + Cz + D = 0 \) je dána vztahem
\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \).
Dosadíme hodnoty:
\( A = 4, B = -2, C = 4, D = -12 \),
\( x_0 = 2, y_0 = -1, z_0 = 3 \).
Vypočteme čitatele:
\( |4 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + 4 \cdot 3 – 12| = |8 + 2 + 12 – 12| = |10| = 10 \).
Vypočteme jmenovatele:
\( \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \).
Vzdálenost je tedy
\( d = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \).
46. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 3x + y – z + 4 = 0 \) a \( x – 2y + 4z – 5 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 3x + y – z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: x – 2y + 4z – 5 = 0 \).
Normálové vektory jsou
\( \vec{n_1} = (3, 1, -1) \),
\( \vec{n_2} = (1, -2, 4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 4 – (-1)(-2)) – \mathbf{j}(3 \cdot 4 – (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot (-2) – 1 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(4 – 2) – \mathbf{j}(12 + 1) + \mathbf{k}(-6 – 1) = \mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(13) + \mathbf{k}(-7) = (2, -13, -7) \).
Směrový vektor přímky je tedy \( \vec{d} = (2, -13, -7) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme například \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( 3x + y – 0 + 4 = 0 \Rightarrow 3x + y = -4 \),
\( x – 2y + 0 – 5 = 0 \Rightarrow x – 2y = 5 \).
Vyřešíme soustavu:
Z první rovnice \( y = -4 – 3x \), dosadíme do druhé:
\( x – 2(-4 – 3x) = 5 \Rightarrow x + 8 + 6x = 5 \Rightarrow 7x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{7} \).
Dosadíme zpět:
\( y = -4 – 3 \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = -4 + \frac{9}{7} = -\frac{28}{7} + \frac{9}{7} = -\frac{19}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{3}{7}, -\frac{19}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{3}{7} + 2t \),
\( y = -\frac{19}{7} – 13t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
47. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y + 3z – 6 = 0 \) a \( 2x – y + z + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: x + 2y + 3z – 6 = 0 \),
\( \pi_2: 2x – y + z + 4 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, 2, 3) \),
\( \vec{n_2} = (2, -1, 1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 – 3 \cdot (-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 1 – 3 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(2 + 3) – \mathbf{j}(1 – 6) + \mathbf{k}(-1 – 4) = \mathbf{i}(5) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(-5) = (5, 5, -5) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (5, 5, -5) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme do rovnic:
\( x + 2y + 0 – 6 = 0 \Rightarrow x + 2y = 6 \),
\( 2x – y + 0 + 4 = 0 \Rightarrow 2x – y = -4 \).
Vyřešíme soustavu:
Z první rovnice \( x = 6 – 2y \), dosadíme do druhé:
\( 2(6 – 2y) – y = -4 \Rightarrow 12 – 4y – y = -4 \Rightarrow 12 – 5y = -4 \Rightarrow -5y = -16 \Rightarrow y = \frac{16}{5} \).
Dosadíme zpět:
\( x = 6 – 2 \cdot \frac{16}{5} = 6 – \frac{32}{5} = \frac{30}{5} – \frac{32}{5} = -\frac{2}{5} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{2}{5}, \frac{16}{5}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{2}{5} + 5t \),
\( y = \frac{16}{5} + 5t \),
\( z = 0 – 5t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
48. Najděte parametrické rovnice přímky, která vznikne průnikem rovin \( 4x – y + z – 7 = 0 \) a \( 3x + y – 2z + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 4x – y + z – 7 = 0 \),
\( \pi_2: 3x + y – 2z + 1 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (4, -1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (3, 1, -2) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(4 \cdot (-2) – 1 \cdot 3) + \mathbf{k}(4 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(-8 – 3) + \mathbf{k}(4 + 3) = \mathbf{i}(1) – \mathbf{j}(-11) + \mathbf{k}(7) = (1, 11, 7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (1, 11, 7) \).
Zvolíme \( z = 0 \) a najdeme bod na přímce.
Dosadíme do rovnic:
\( 4x – y + 0 – 7 = 0 \Rightarrow 4x – y = 7 \),
\( 3x + y – 0 + 1 = 0 \Rightarrow 3x + y = -1 \).
Sčítáme rovnice:
\( (4x – y) + (3x + y) = 7 + (-1) \Rightarrow 7x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{7} \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 3 \cdot \frac{6}{7} + y = -1 \Rightarrow \frac{18}{7} + y = -1 \Rightarrow y = -1 – \frac{18}{7} = -\frac{7}{7} – \frac{18}{7} = -\frac{25}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{6}{7}, -\frac{25}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{6}{7} + t \),
\( y = -\frac{25}{7} + 11t \),
\( z = 0 + 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
49. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 2x + 3y – z – 1 = 0 \) a \( x – y + 2z + 3 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 2x + 3y – z – 1 = 0 \),
\( \pi_2: x – y + 2z + 3 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (2, 3, -1) \),
\( \vec{n_2} = (1, -1, 2) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 2 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(2 \cdot 2 – (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) – 3 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(6 – 1) – \mathbf{j}(4 + 1) + \mathbf{k}(-2 – 3) = \mathbf{i}(5) – \mathbf{j}(5) + \mathbf{k}(-5) = (5, -5, -5) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (5, -5, -5) \).
Zvolíme \( z = 0 \) a najdeme bod na přímce.
Dosadíme do rovnic:
\( 2x + 3y – 0 – 1 = 0 \Rightarrow 2x + 3y = 1 \),
\( x – y + 0 + 3 = 0 \Rightarrow x – y = -3 \).
Vyřešíme soustavu:
Z druhé rovnice \( x = -3 + y \), dosadíme do první:
\( 2(-3 + y) + 3y = 1 \Rightarrow -6 + 2y + 3y = 1 \Rightarrow 5y = 7 \Rightarrow y = \frac{7}{5} \).
Dosadíme zpět:
\( x = -3 + \frac{7}{5} = -\frac{15}{5} + \frac{7}{5} = -\frac{8}{5} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{8}{5}, \frac{7}{5}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{8}{5} + 5t \),
\( y = \frac{7}{5} – 5t \),
\( z = 0 – 5t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
50. Najděte parametrické rovnice přímky, která vznikne průnikem rovin \( x – y + z – 2 = 0 \) a \( 2x + y – 3z + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: x – y + z – 2 = 0 \),
\( \pi_2: 2x + y – 3z + 4 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, -1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (2, 1, -3) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-3) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-3) – 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(3 – 1) – \mathbf{j}(-3 – 2) + \mathbf{k}(1 + 2) = \mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(3) = (2, 5, 3) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (2, 5, 3) \).
Zvolíme \( z = 0 \) a najdeme bod na přímce.
Dosadíme do rovnic:
\( x – y + 0 – 2 = 0 \Rightarrow x – y = 2 \),
\( 2x + y – 0 + 4 = 0 \Rightarrow 2x + y = -4 \).
Sečteme rovnice:
\( (x – y) + (2x + y) = 2 + (-4) \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \).
Dosadíme zpět do první rovnice:
\( -\frac{2}{3} – y = 2 \Rightarrow -y = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \Rightarrow y = -\frac{8}{3} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{2}{3}, -\frac{8}{3}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{2}{3} + 2t \),
\( y = -\frac{8}{3} + 5t \),
\( z = 0 + 3t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
51. Určete analytické vyjádření přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z + 4 = 0 \) a \( 3x – y + z – 5 = 0 \). Dále najděte parametrické rovnice této přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: x + 2y – z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: 3x – y + z – 5 = 0 \).
Normálové vektory rovin jsou
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 1) \).
Směrový vektor přímky je kolmý na oba normálové vektory, tedy jejich vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(1 – (-3)) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(1) – \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-7) = (1, -4, -7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (1, -4, -7) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic rovin:
\( x + 2y + 4 = 0 \Rightarrow x + 2y = -4 \),
\( 3x – y – 5 = 0 \Rightarrow 3x – y = 5 \).
Vyřešíme soustavu rovnic:
Z první rovnice \( x = -4 – 2y \), dosadíme do druhé:
\( 3(-4 – 2y) – y = 5 \Rightarrow -12 – 6y – y = 5 \Rightarrow -12 – 7y = 5 \Rightarrow -7y = 17 \Rightarrow y = -\frac{17}{7} \).
Dosadíme zpět do \( x = -4 – 2y \):
\( x = -4 – 2 \cdot \left(-\frac{17}{7}\right) = -4 + \frac{34}{7} = -\frac{28}{7} + \frac{34}{7} = \frac{6}{7} \).
Bod na přímce je tedy \( P \left(\frac{6}{7}, -\frac{17}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{6}{7} + t \),
\( y = -\frac{17}{7} – 4t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
52. Najděte průnik rovin \( 4x – y + 2z – 7 = 0 \) a \( x + y – z + 1 = 0 \). Určete parametrické rovnice výsledné přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 4x – y + 2z – 7 = 0 \),
\( \pi_2: x + y – z + 1 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (4, -1, 2) \),
\( \vec{n_2} = (1, 1, -1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 1) – \mathbf{j}(4 \cdot (-1) – 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(4 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 2) – \mathbf{j}(-4 – 2) + \mathbf{k}(4 + 1) = \mathbf{i}(-1) – \mathbf{j}(-6) + \mathbf{k}(5) = (-1, 6, 5) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-1, 6, 5) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( 4x – y – 7 = 0 \Rightarrow 4x – y = 7 \),
\( x + y + 1 = 0 \Rightarrow x + y = -1 \).
Sčítáme obě rovnice:
\( (4x – y) + (x + y) = 7 + (-1) \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{5} \).
Dosadíme do \( x + y = -1 \):
\( \frac{6}{5} + y = -1 \Rightarrow y = -1 – \frac{6}{5} = -\frac{11}{5} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{6}{5}, -\frac{11}{5}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{6}{5} – t \),
\( y = -\frac{11}{5} + 6t \),
\( z = 0 + 5t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
53. Určete přímku, která je průnikem rovin \( 2x + y + z – 6 = 0 \) a \( -x + 3y – 2z + 4 = 0 \), a napište její parametrické rovnice.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 2x + y + z – 6 = 0 \),
\( \pi_2: -x + 3y – 2z + 4 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (2, 1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (-1, 3, -2) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-2) – 1 \cdot 3) – \mathbf{j}(2 \cdot (-2) – 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(2 \cdot 3 – 1 \cdot (-1)) \)
\( = \mathbf{i}(-2 – 3) – \mathbf{j}(-4 + 1) + \mathbf{k}(6 + 1) = \mathbf{i}(-5) – \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(7) = (-5, 3, 7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-5, 3, 7) \).
Zvolíme \( z = 0 \) a najdeme bod na přímce.
Dosadíme \( z=0 \):
\( 2x + y – 6 = 0 \Rightarrow 2x + y = 6 \),
\( -x + 3y + 4 = 0 \Rightarrow -x + 3y = -4 \).
Vyřešíme soustavu:
Z první rovnice \( y = 6 – 2x \), dosadíme do druhé:
\( -x + 3(6 – 2x) = -4 \Rightarrow -x + 18 – 6x = -4 \Rightarrow -7x = -22 \Rightarrow x = \frac{22}{7} \).
Dosadíme zpět do \( y = 6 – 2x \):
\( y = 6 – 2 \cdot \frac{22}{7} = 6 – \frac{44}{7} = \frac{42}{7} – \frac{44}{7} = -\frac{2}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{22}{7}, -\frac{2}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{22}{7} – 5t \),
\( y = -\frac{2}{7} + 3t \),
\( z = 0 + 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
54. Najděte průnik rovin \( x – 4y + z – 3 = 0 \) a \( 2x + y – 3z + 1 = 0 \). Uveďte parametrické rovnice výsledné přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: x – 4y + z – 3 = 0 \),
\( \pi_2: 2x + y – 3z + 1 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, -4, 1) \),
\( \vec{n_2} = (2, 1, -3) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -4 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(-3) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-3) – 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-4) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(12 – 1) – \mathbf{j}(-3 – 2) + \mathbf{k}(1 + 8) = \mathbf{i}(11) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(9) = (11, 5, 9) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (11, 5, 9) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( x – 4y – 3 = 0 \Rightarrow x – 4y = 3 \),
\( 2x + y + 1 = 0 \Rightarrow 2x + y = -1 \).
Vyřešíme soustavu:
Z první rovnice \( x = 3 + 4y \), dosadíme do druhé:
\( 2(3 + 4y) + y = -1 \Rightarrow 6 + 8y + y = -1 \Rightarrow 9y = -7 \Rightarrow y = -\frac{7}{9} \).
Dosadíme zpět do \( x = 3 + 4y \):
\( x = 3 + 4 \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) = 3 – \frac{28}{9} = \frac{27}{9} – \frac{28}{9} = -\frac{1}{9} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{1}{9}, -\frac{7}{9}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{1}{9} + 11t \),
\( y = -\frac{7}{9} + 5t \),
\( z = 0 + 9t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
55. Určete přímku průniku rovin \( 5x + y – 2z + 3 = 0 \) a \( -x + 4y + z – 6 = 0 \). Napište její parametrické rovnice.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 5x + y – 2z + 3 = 0 \),
\( \pi_2: -x + 4y + z – 6 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (5, 1, -2) \),
\( \vec{n_2} = (-1, 4, 1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & 1 & -2 \\ -1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 – (-2) \cdot 4) – \mathbf{j}(5 \cdot 1 – (-2) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(5 \cdot 4 – 1 \cdot (-1)) \)
\( = \mathbf{i}(1 + 8) – \mathbf{j}(5 – 2) + \mathbf{k}(20 + 1) = \mathbf{i}(9) – \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(21) = (9, -3, 21) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (9, -3, 21) \).
Zvolíme \( z=0 \) a najdeme bod na přímce.
Dosadíme \( z=0 \):
\( 5x + y + 3 = 0 \Rightarrow 5x + y = -3 \),
\( -x + 4y – 6 = 0 \Rightarrow -x + 4y = 6 \).
Vyřešíme soustavu:
Z první rovnice \( y = -3 – 5x \), dosadíme do druhé:
\( -x + 4(-3 – 5x) = 6 \Rightarrow -x – 12 – 20x = 6 \Rightarrow -21x = 18 \Rightarrow x = -\frac{18}{21} = -\frac{6}{7} \).
Dosadíme zpět do \( y = -3 – 5x \):
\( y = -3 – 5 \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) = -3 + \frac{30}{7} = -\frac{21}{7} + \frac{30}{7} = \frac{9}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{6}{7}, \frac{9}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{6}{7} + 9t \),
\( y = \frac{9}{7} – 3t \),
\( z = 0 + 21t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
56. Určete analytické vyjádření přímky, která je průnikem rovin \( 3x + y – 2z + 4 = 0 \) a \( x – 2y + z – 1 = 0 \). Dále najděte parametrické rovnice této přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 3x + y – 2z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: x – 2y + z – 1 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (3, 1, -2) \),
\( \vec{n_2} = (1, -2, 1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 – (-2) \cdot (-2)) – \mathbf{j}(3 \cdot 1 – (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot (-2) – 1 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 4) – \mathbf{j}(3 + 2) + \mathbf{k}(-6 – 1) = \mathbf{i}(-3) – \mathbf{j}(5) + \mathbf{k}(-7) = (-3, -5, -7) \).
Směrový vektor přímky můžeme také zapsat jako \( \vec{d} = (3, 5, 7) \) (změna znaménka nevadí).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( 3x + y + 4 = 0 \Rightarrow 3x + y = -4 \),
\( x – 2y – 1 = 0 \Rightarrow x – 2y = 1 \).
Vyřešíme soustavu rovnic:
Z první rovnice \( y = -4 – 3x \), dosadíme do druhé:
\( x – 2(-4 – 3x) = 1 \Rightarrow x + 8 + 6x = 1 \Rightarrow 7x = -7 \Rightarrow x = -1 \).
Dosadíme \( x = -1 \) do \( y = -4 – 3x \):
\( y = -4 – 3(-1) = -4 + 3 = -1 \).
Bod na přímce je \( P(-1, -1, 0) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -1 + 3t \),
\( y = -1 + 5t \),
\( z = 0 + 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
57. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 4x – y + 3z – 2 = 0 \) a \( -x + 2y – z + 5 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 4x – y + 3z – 2 = 0 \),
\( \pi_2: -x + 2y – z + 5 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (4, -1, 3) \),
\( \vec{n_2} = (-1, 2, -1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 3 \cdot 2) – \mathbf{j}(4 \cdot (-1) – 3 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(4 \cdot 2 – (-1) \cdot (-1)) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 6) – \mathbf{j}(-4 + 3) + \mathbf{k}(8 – 1) = \mathbf{i}(-5) – \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(7) = (-5, 1, 7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-5, 1, 7) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( 4x – y – 2 = 0 \Rightarrow 4x – y = 2 \),
\( -x + 2y + 5 = 0 \Rightarrow -x + 2y = -5 \).
Vyřešíme soustavu:
Z první rovnice \( y = 4x – 2 \), dosadíme do druhé:
\( -x + 2(4x – 2) = -5 \Rightarrow -x + 8x – 4 = -5 \Rightarrow 7x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{7} \).
Dosadíme \( x = -\frac{1}{7} \) do \( y = 4x – 2 \):
\( y = 4 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) – 2 = -\frac{4}{7} – 2 = -\frac{4}{7} – \frac{14}{7} = -\frac{18}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{1}{7}, -\frac{18}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{1}{7} – 5t \),
\( y = -\frac{18}{7} + t \),
\( z = 0 + 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
58. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x + 3y – z + 1 = 0 \) a \( 2x – y + 4z – 3 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: x + 3y – z + 1 = 0 \),
\( \pi_2: 2x – y + 4z – 3 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, 3, -1) \),
\( \vec{n_2} = (2, -1, 4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 4 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 4 – (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 3 \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(12 – 1) – \mathbf{j}(4 + 2) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(11) – \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(-7) = (11, -6, -7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (11, -6, -7) \).
Pro bod na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( x + 3y + 1 = 0 \Rightarrow x + 3y = -1 \),
\( 2x – y – 3 = 0 \Rightarrow 2x – y = 3 \).
Vyřešíme soustavu:
Z první rovnice \( x = -1 – 3y \), dosadíme do druhé:
\( 2(-1 – 3y) – y = 3 \Rightarrow -2 – 6y – y = 3 \Rightarrow -7y = 5 \Rightarrow y = -\frac{5}{7} \).
Dosadíme \( y = -\frac{5}{7} \) do \( x = -1 – 3y \):
\( x = -1 – 3 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right) = -1 + \frac{15}{7} = \frac{8}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{8}{7}, -\frac{5}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{8}{7} + 11t \),
\( y = -\frac{5}{7} – 6t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
59. Určete průnik přímky a roviny. Přímka má parametrické rovnice \( x = 1 + 2t \), \( y = 3 – t \), \( z = 4 + 3t \) a rovina je dána rovnicí \( 2x – y + z – 5 = 0 \).
Řešení příkladu:
Dosadíme parametrické rovnice přímky do rovnice roviny:
\( 2(1 + 2t) – (3 – t) + (4 + 3t) – 5 = 0 \).
Rozepíšeme:
\( 2 + 4t – 3 + t + 4 + 3t – 5 = 0 \Rightarrow (4t + t + 3t) + (2 – 3 + 4 – 5) = 0 \Rightarrow 8t – 2 = 0 \).
Vyřešíme pro \( t \):
\( 8t = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{4} \).
Dosadíme \( t = \frac{1}{4} \) zpět do parametrických rovnic přímky:
\( x = 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \),
\( y = 3 – \frac{1}{4} = \frac{11}{4} \),
\( z = 4 + 3 \cdot \frac{1}{4} = 4 + \frac{3}{4} = \frac{19}{4} \).
Průsečík přímky a roviny je bod \( \left(\frac{3}{2}, \frac{11}{4}, \frac{19}{4}\right) \).
60. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x – y + 2z – 4 = 0 \) a \( 3x + y – z + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: x – y + 2z – 4 = 0 \),
\( \pi_2: 3x + y – z + 1 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, -1, 2) \),
\( \vec{n_2} = (3, 1, -1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 2) – \mathbf{j}(-1 – 6) + \mathbf{k}(1 + 3) = \mathbf{i}(-1) – \mathbf{j}(-7) + \mathbf{k}(4) = (-1, 7, 4) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-1, 7, 4) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( x – y – 4 = 0 \Rightarrow x – y = 4 \),
\( 3x + y + 1 = 0 \Rightarrow 3x + y = -1 \).
Sčítáme obě rovnice:
\( (x – y) + (3x + y) = 4 + (-1) \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4} \).
Dosadíme \( x = \frac{3}{4} \) do \( x – y = 4 \):
\( \frac{3}{4} – y = 4 \Rightarrow y = \frac{3}{4} – 4 = \frac{3}{4} – \frac{16}{4} = -\frac{13}{4} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{3}{4}, -\frac{13}{4}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{3}{4} – t \),
\( y = -\frac{13}{4} + 7t \),
\( z = 0 + 4t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
61. Určete analytické vyjádření přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z + 4 = 0 \) a \( 3x – y + z – 1 = 0 \). Dále najděte parametrické rovnice této přímky.
Řešení příkladu:
Průnik dvou rovin je obecně přímka, pokud nejsou roviny rovnoběžné nebo totožné.
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: x + 2y – z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: 3x – y + z – 1 = 0 \).
Normálové vektory jsou
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 1) \).
Směrový vektor přímky je kolmý na oba normálové vektory, tedy jejich vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(1 – (-3)) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(1) – \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-7) = (1, -4, -7) \).
Směrový vektor přímky je tedy \( \vec{d} = (1, -4, -7) \).
Nyní najdeme bod na přímce. Pro jednodušší výpočet zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme \( z = 0 \) do rovnic:
\( x + 2y + 4 = 0 \Rightarrow x + 2y = -4 \),
\( 3x – y – 1 = 0 \Rightarrow 3x – y = 1 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = \frac{-4 – x}{2} \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 3x – \frac{-4 – x}{2} = 1 \Rightarrow 3x + \frac{4 + x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{6x}{2} + \frac{4 + x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{6x + 4 + x}{2} = 1 \Rightarrow 7x + 4 = 2 \Rightarrow 7x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{7} \).
Dosadíme \( x = -\frac{2}{7} \) do \( y = \frac{-4 – x}{2} \):
\( y = \frac{-4 – (-\frac{2}{7})}{2} = \frac{-4 + \frac{2}{7}}{2} = \frac{-\frac{28}{7} + \frac{2}{7}}{2} = \frac{-\frac{26}{7}}{2} = -\frac{26}{14} = -\frac{13}{7} \).
Bod na přímce je tedy \( P \left(-\frac{2}{7}, -\frac{13}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{2}{7} + t \),
\( y = -\frac{13}{7} – 4t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
62. Určete parametrické rovnice přímky, která prochází bodem \( A(1,2,-1) \) a je rovnoběžná s vektorem \( \vec{v} = (3,-1,4) \). Najděte také její rovnice v obecném tvaru.
Řešení příkladu:
Parametrické rovnice přímky procházející bodem \( A(1,2,-1) \) a se směrovým vektorem \( \vec{v} = (3,-1,4) \) jsou
\( x = 1 + 3t \),
\( y = 2 – t \),
\( z = -1 + 4t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
Pro získání obecné rovnice přímky využijeme parametrické rovnice k vytvoření vztahů:
\( \frac{x – 1}{3} = \frac{y – 2}{-1} = \frac{z + 1}{4} \).
Tato rovnice představuje obecnou rovinu přímky v symetrickém tvaru.
63. Najděte průsečík přímky \( \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 – 2t \\ z = 1 + 4t \end{cases} \) s rovinou \( 4x – y + 2z – 7 = 0 \).
Řešení příkladu:
Dosadíme parametrické rovnice přímky do rovnice roviny:
\( 4(2 + t) – (3 – 2t) + 2(1 + 4t) – 7 = 0 \).
Úprava rovnice:
\( 8 + 4t – 3 + 2t + 2 + 8t – 7 = 0 \Rightarrow (4t + 2t + 8t) + (8 – 3 + 2 – 7) = 0 \Rightarrow 14t + 0 = 0 \Rightarrow 14t = 0 \Rightarrow t = 0 \).
Dosadíme \( t = 0 \) do parametrických rovnic:
\( x = 2 + 0 = 2 \),
\( y = 3 – 0 = 3 \),
\( z = 1 + 0 = 1 \).
Průsečík přímky s rovinou je bod \( (2, 3, 1) \).
64. Najděte rovnici roviny, která obsahuje přímku \( \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 – t \\ z = 4 + 5t \end{cases} \) a prochází bodem \( B(2, 0, 1) \).
Řešení příkladu:
Směrový vektor přímky je \( \vec{v} = (2, -1, 5) \).
Bod na přímce při \( t=0 \) je \( A(1,3,4) \).
Chceme najít rovinu, která obsahuje přímku a zároveň prochází bodem \( B(2,0,1) \).
Vektor \( \vec{AB} = (2-1, 0-3, 1-4) = (1, -3, -3) \).
Normálový vektor roviny je kolmý na směrový vektor přímky i na vektor \( \vec{AB} \), tedy je roven jejich vektorovému součinu:
\( \vec{n} = \vec{v} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & -3 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-3) – 5(-3)) – \mathbf{j}(2(-3) – 5(1)) + \mathbf{k}(2(-3) – (-1)(1)) \)
\( = \mathbf{i}(3 + 15) – \mathbf{j}(-6 – 5) + \mathbf{k}(-6 + 1) = \mathbf{i}(18) – \mathbf{j}(-11) + \mathbf{k}(-5) = (18, 11, -5) \).
Normálový vektor roviny je tedy \( \vec{n} = (18, 11, -5) \).
Rovnice roviny má tvar:
\( 18(x – 1) + 11(y – 3) – 5(z – 4) = 0 \Rightarrow 18x – 18 + 11y – 33 – 5z + 20 = 0 \Rightarrow 18x + 11y – 5z – 31 = 0 \).
65. Najděte rovnice přímky, která prochází body \( A(1,0,2) \) a \( B(3,-2,5) \).
Řešení příkladu:
Směrový vektor přímky určíme jako vektor \( \vec{AB} = B – A = (3-1, -2-0, 5-2) = (2, -2, 3) \).
Parametrické rovnice přímky, která prochází bodem \( A(1,0,2) \) a má směrový vektor \( \vec{d} = (2, -2, 3) \), jsou:
\( x = 1 + 2t \),
\( y = 0 – 2t \),
\( z = 2 + 3t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
Symetrické rovnice přímky jsou:
\( \frac{x – 1}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z – 2}{3} \).
66. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z + 4 = 0 \) a \( 3x – y + z – 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Průnik dvou rovin je přímka, pokud nejsou rovnoběžné nebo totožné.
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: x + 2y – z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: 3x – y + z – 1 = 0 \).
Normálové vektory rovin:
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 – (-1) \cdot (-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(1 + 3) + \mathbf{k}(-1 – 6) = (1, -4, -7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (1, -4, -7) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( x + 2y + 4 = 0 \Rightarrow x + 2y = -4 \),
\( 3x – y – 1 = 0 \Rightarrow 3x – y = 1 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = \frac{-4 – x}{2} \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 3x – \frac{-4 – x}{2} = 1 \Rightarrow 3x + \frac{4 + x}{2} = 1 \Rightarrow 6x + 4 + x = 2 \Rightarrow 7x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{7} \).
Dosadíme \( x \) zpět do \( y \):
\( y = \frac{-4 – (-\frac{2}{7})}{2} = \frac{-4 + \frac{2}{7}}{2} = \frac{-\frac{28}{7} + \frac{2}{7}}{2} = \frac{-\frac{26}{7}}{2} = -\frac{13}{7} \).
Bod na přímce je tedy \( P\left(-\frac{2}{7}, -\frac{13}{7}, 0\right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{2}{7} + t \),
\( y = -\frac{13}{7} – 4t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
67. Najděte parametrické rovnice přímky, která vznikne průnikem rovin \( 4x – y + 2z = 5 \) a \( x + y – z = 3 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 4x – y + 2z = 5 \),
\( \pi_2: x + y – z = 3 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (4, -1, 2) \),
\( \vec{n_2} = (1, 1, -1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 1) – \mathbf{j}(4 \cdot (-1) – 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(4 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 2) – \mathbf{j}(-4 – 2) + \mathbf{k}(4 + 1) = (-1, 6, 5) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-1, 6, 5) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( 4x – y = 5 \),
\( x + y = 3 \).
Sčítáme obě rovnice:
\( (4x – y) + (x + y) = 5 + 3 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5} \).
Dosadíme \( x \) do \( x + y = 3 \):
\( \frac{8}{5} + y = 3 \Rightarrow y = 3 – \frac{8}{5} = \frac{15}{5} – \frac{8}{5} = \frac{7}{5} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{8}{5}, \frac{7}{5}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky:
\( x = \frac{8}{5} – t \),
\( y = \frac{7}{5} + 6t \),
\( z = 0 + 5t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
68. Najděte průnik rovin \( 2x + y – z = 0 \) a \( x – 3y + 4z = 7 \) ve tvaru parametrických rovnic přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 2x + y – z = 0 \),
\( \pi_2: x – 3y + 4z = 7 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (2, 1, -1) \),
\( \vec{n_2} = (1, -3, 4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 4 – (-1)(-3)) – \mathbf{j}(2 \cdot 4 – (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-3) – 1 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(4 – 3) – \mathbf{j}(8 + 1) + \mathbf{k}(-6 – 1) = (1, -9, -7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (1, -9, -7) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( 2x + y = 0 \),
\( x – 3y = 7 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = -2x \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( x – 3(-2x) = 7 \Rightarrow x + 6x = 7 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1 \).
Dosadíme \( x = 1 \) do \( y = -2x \):
\( y = -2 \).
Bod na přímce je \( P(1, -2, 0) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = 1 + t \),
\( y = -2 – 9t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
69. Určete parametrické rovnice přímky průniku rovin \( x – y + 2z = 4 \) a \( 5x + y – z = 1 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: x – y + 2z = 4 \),
\( \pi_2: 5x + y – z = 1 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, -1, 2) \),
\( \vec{n_2} = (5, 1, -1) \).
Směrový vektor přímky je:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 5 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 5) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 5) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 2) – \mathbf{j}(-1 – 10) + \mathbf{k}(1 + 5) = (-1, 11, 6) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-1, 11, 6) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( x – y = 4 \),
\( 5x + y = 1 \).
Sčítáním rovnic:
\( (x – y) + (5x + y) = 4 + 1 \Rightarrow 6x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{6} \).
Dosadíme do první rovnice:
\( \frac{5}{6} – y = 4 \Rightarrow y = \frac{5}{6} – 4 = \frac{5}{6} – \frac{24}{6} = -\frac{19}{6} \).
Bod na přímce je \( P\left(\frac{5}{6}, -\frac{19}{6}, 0\right) \).
Parametrické rovnice přímky:
\( x = \frac{5}{6} – t \),
\( y = -\frac{19}{6} + 11t \),
\( z = 0 + 6t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
70. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 2x + 3y – z = 2 \) a \( x – y + 4z = 3 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 2x + 3y – z = 2 \),
\( \pi_2: x – y + 4z = 3 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (2, 3, -1) \),
\( \vec{n_2} = (1, -1, 4) \).
Směrový vektor přímky je:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 4 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(2 \cdot 4 – (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) – 3 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(12 – 1) – \mathbf{j}(8 + 1) + \mathbf{k}(-2 – 3) = (11, -9, -5) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (11, -9, -5) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( 2x + 3y = 2 \),
\( x – y = 3 \).
Vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:
\( x = 3 + y \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 2(3 + y) + 3y = 2 \Rightarrow 6 + 2y + 3y = 2 \Rightarrow 5y = 2 – 6 = -4 \Rightarrow y = -\frac{4}{5} \).
Dosadíme \( y \) zpět do \( x = 3 + y \):
\( x = 3 – \frac{4}{5} = \frac{15}{5} – \frac{4}{5} = \frac{11}{5} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{11}{5}, -\frac{4}{5}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky:
\( x = \frac{11}{5} + 11t \),
\( y = -\frac{4}{5} – 9t \),
\( z = 0 – 5t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
71. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 3x – y + 2z – 5 = 0 \) a \( x + 4y – z + 2 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou:
\( \pi_1: 3x – y + 2z – 5 = 0 \),
\( \pi_2: x + 4y – z + 2 = 0 \).
Normálové vektory rovin:
\( \vec{n_1} = (3, -1, 2) \),
\( \vec{n_2} = (1, 4, -1) \).
Směrový vektor přímky je kolmý na oba normálové vektory, tedy je to vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 4) – \mathbf{j}(3 \cdot (-1) – 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 4 – (-1) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 8) – \mathbf{j}(-3 – 2) + \mathbf{k}(12 + 1) = \mathbf{i}(-7) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(13) = (-7, 5, 13) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-7, 5, 13) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( 3x – y + 0 – 5 = 0 \Rightarrow 3x – y = 5 \),
\( x + 4y – 0 + 2 = 0 \Rightarrow x + 4y = -2 \).
Vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:
\( x = -2 – 4y \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 3(-2 – 4y) – y = 5 \Rightarrow -6 – 12y – y = 5 \Rightarrow -13y = 11 \Rightarrow y = -\frac{11}{13} \).
Dosadíme \( y \) zpět do \( x = -2 – 4y \):
\( x = -2 – 4 \cdot \left(-\frac{11}{13}\right) = -2 + \frac{44}{13} = -\frac{26}{13} + \frac{44}{13} = \frac{18}{13} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{18}{13}, -\frac{11}{13}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{18}{13} – 7t \),
\( y = -\frac{11}{13} + 5t \),
\( z = 0 + 13t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
72. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z + 4 = 0 \) a \( 4x – y + 3z – 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou:
\( \pi_1: x + 2y – z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: 4x – y + 3z – 1 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (4, -1, 3) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 3 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 3 – (-1) \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 4) \)
\( = \mathbf{i}(6 – 1) – \mathbf{j}(3 + 4) + \mathbf{k}(-1 – 8) = \mathbf{i}(5) – \mathbf{j}(7) + \mathbf{k}(-9) = (5, -7, -9) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (5, -7, -9) \).
Zvolíme \( z = 0 \) a dosadíme do rovnic:
\( x + 2y + 4 = 0 \Rightarrow x + 2y = -4 \),
\( 4x – y – 1 = 0 \Rightarrow 4x – y = 1 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = \frac{-4 – x}{2} \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 4x – \frac{-4 – x}{2} = 1 \Rightarrow 4x + \frac{4 + x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{8x}{2} + \frac{4 + x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{9x + 4}{2} = 1 \Rightarrow 9x + 4 = 2 \Rightarrow 9x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{9} \).
Dosadíme \( x \) do výrazu pro \( y \):
\( y = \frac{-4 – \left(-\frac{2}{9}\right)}{2} = \frac{-4 + \frac{2}{9}}{2} = \frac{-\frac{36}{9} + \frac{2}{9}}{2} = \frac{-\frac{34}{9}}{2} = -\frac{17}{9} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{2}{9}, -\frac{17}{9}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{2}{9} + 5t \),
\( y = -\frac{17}{9} – 7t \),
\( z = 0 – 9t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
73. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 5x – 3y + z – 7 = 0 \) a \( 2x + y – 4z + 3 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 5x – 3y + z – 7 = 0 \),
\( \pi_2: 2x + y – 4z + 3 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (5, -3, 1) \),
\( \vec{n_2} = (2, 1, -4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(-4) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(5 \cdot (-4) – 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(5 \cdot 1 – (-3) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(12 – 1) – \mathbf{j}(-20 – 2) + \mathbf{k}(5 + 6) = \mathbf{i}(11) – \mathbf{j}(-22) + \mathbf{k}(11) = (11, 22, 11) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (11, 22, 11) \).
Zvolíme \( z = 0 \), dosadíme do rovnic:
\( 5x – 3y + 0 – 7 = 0 \Rightarrow 5x – 3y = 7 \),
\( 2x + y – 0 + 3 = 0 \Rightarrow 2x + y = -3 \).
Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:
\( y = -3 – 2x \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 5x – 3(-3 – 2x) = 7 \Rightarrow 5x + 9 + 6x = 7 \Rightarrow 11x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{11} \).
Dosadíme \( x \) do výrazu pro \( y \):
\( y = -3 – 2 \cdot \left(-\frac{2}{11}\right) = -3 + \frac{4}{11} = -\frac{33}{11} + \frac{4}{11} = -\frac{29}{11} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{2}{11}, -\frac{29}{11}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{2}{11} + 11t \),
\( y = -\frac{29}{11} + 22t \),
\( z = 0 + 11t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
74. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 2x + y – 3z + 5 = 0 \) a \( 3x – 4y + z – 6 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 2x + y – 3z + 5 = 0 \),
\( \pi_2: 3x – 4y + z – 6 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (2, 1, -3) \),
\( \vec{n_2} = (3, -4, 1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 – (-3)(-4)) – \mathbf{j}(2 \cdot 1 – (-3) \cdot 3) + \mathbf{k}(2 \cdot (-4) – 1 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 12) – \mathbf{j}(2 + 9) + \mathbf{k}(-8 – 3) = \mathbf{i}(-11) – \mathbf{j}(11) + \mathbf{k}(-11) = (-11, -11, -11) \).
Směrový vektor lze zjednodušit na \( \vec{d} = (-1, -1, -1) \).
Zvolíme \( z = 0 \), dosadíme do rovnic:
\( 2x + y + 5 = 0 \Rightarrow 2x + y = -5 \),
\( 3x – 4y – 6 = 0 \Rightarrow 3x – 4y = 6 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = -5 – 2x \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 3x – 4(-5 – 2x) = 6 \Rightarrow 3x + 20 + 8x = 6 \Rightarrow 11x = -14 \Rightarrow x = -\frac{14}{11} \).
Dosadíme \( x \) do výrazu pro \( y \):
\( y = -5 – 2 \cdot \left(-\frac{14}{11}\right) = -5 + \frac{28}{11} = -\frac{55}{11} + \frac{28}{11} = -\frac{27}{11} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{14}{11}, -\frac{27}{11}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{14}{11} – t \),
\( y = -\frac{27}{11} – t \),
\( z = 0 – t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
75. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 4x – y + 2z – 3 = 0 \) a \( x + 3y – z + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 4x – y + 2z – 3 = 0 \),
\( \pi_2: x + 3y – z + 1 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (4, -1, 2) \),
\( \vec{n_2} = (1, 3, -1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 3) – \mathbf{j}(4 \cdot (-1) – 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(4 \cdot 3 – (-1) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 6) – \mathbf{j}(-4 – 2) + \mathbf{k}(12 + 1) = \mathbf{i}(-5) – \mathbf{j}(-6) + \mathbf{k}(13) = (-5, 6, 13) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-5, 6, 13) \).
Zvolíme \( z = 0 \), dosadíme do rovnic:
\( 4x – y – 3 = 0 \Rightarrow 4x – y = 3 \),
\( x + 3y + 1 = 0 \Rightarrow x + 3y = -1 \).
Vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:
\( x = -1 – 3y \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 4(-1 – 3y) – y = 3 \Rightarrow -4 – 12y – y = 3 \Rightarrow -13y = 7 \Rightarrow y = -\frac{7}{13} \).
Dosadíme \( y \) do výrazu pro \( x \):
\( x = -1 – 3 \cdot \left(-\frac{7}{13}\right) = -1 + \frac{21}{13} = -\frac{13}{13} + \frac{21}{13} = \frac{8}{13} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{8}{13}, -\frac{7}{13}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{8}{13} – 5t \),
\( y = -\frac{7}{13} + 6t \),
\( z = 0 + 13t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
76. Určete analytické vyjádření přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z + 4 = 0 \) a \( 3x – y + 4z – 5 = 0 \). Dále najděte parametrické rovnice této přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: x + 2y – z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: 3x – y + 4z – 5 = 0 \).
Normálové vektory rovin jsou:
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 4 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 4 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(8 – 1) – \mathbf{j}(4 + 3) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(7) – \mathbf{j}(7) + \mathbf{k}(-7) = (7, -7, -7) \).
Směrový vektor přímky lze zjednodušit na \( \vec{d} = (1, -1, -1) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \) a dosadíme do rovnic rovin:
\( x + 2y + 4 = 0 \Rightarrow x + 2y = -4 \),
\( 3x – y – 5 = 0 \Rightarrow 3x – y = 5 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = \frac{-4 – x}{2} \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 3x – \frac{-4 – x}{2} = 5 \Rightarrow 3x + \frac{4 + x}{2} = 5 \Rightarrow \frac{6x}{2} + \frac{4 + x}{2} = 5 \Rightarrow \frac{7x + 4}{2} = 5 \Rightarrow 7x + 4 = 10 \Rightarrow 7x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{7} \).
Dosadíme zpět do výrazu pro \( y \):
\( y = \frac{-4 – \frac{6}{7}}{2} = \frac{-\frac{28}{7} – \frac{6}{7}}{2} = \frac{-\frac{34}{7}}{2} = -\frac{17}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{6}{7}, -\frac{17}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{6}{7} + t \),
\( y = -\frac{17}{7} – t \),
\( z = 0 – t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
77. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 2x – y + 3z – 1 = 0 \) a \( -x + 4y – z + 2 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 2x – y + 3z – 1 = 0 \),
\( \pi_2: -x + 4y – z + 2 = 0 \).
Normálové vektory jsou:
\( \vec{n_1} = (2, -1, 3) \),
\( \vec{n_2} = (-1, 4, -1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 3 \cdot 4) – \mathbf{j}(2 \cdot (-1) – 3 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(2 \cdot 4 – (-1) \cdot (-1)) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 12) – \mathbf{j}(-2 + 3) + \mathbf{k}(8 – 1) = \mathbf{i}(-11) – \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(7) = (-11, -1, 7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-11, -1, 7) \).
Zvolíme \( z = 0 \) a dosadíme do rovnic:
\( 2x – y – 1 = 0 \Rightarrow 2x – y = 1 \),
\( -x + 4y + 2 = 0 \Rightarrow -x + 4y = -2 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = 2x – 1 \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( -x + 4(2x – 1) = -2 \Rightarrow -x + 8x – 4 = -2 \Rightarrow 7x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{7} \).
Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = 2 \cdot \frac{2}{7} – 1 = \frac{4}{7} – 1 = -\frac{3}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{2}{7}, -\frac{3}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{2}{7} – 11t \),
\( y = -\frac{3}{7} – t \),
\( z = 0 + 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
78. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 5x – 2y + z – 7 = 0 \) a \( 2x + y – 3z + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 5x – 2y + z – 7 = 0 \),
\( \pi_2: 2x + y – 3z + 4 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (5, -2, 1) \),
\( \vec{n_2} = (2, 1, -3) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-3) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(5 \cdot (-3) – 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(5 \cdot 1 – (-2) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(6 – 1) – \mathbf{j}(-15 – 2) + \mathbf{k}(5 + 4) = \mathbf{i}(5) – \mathbf{j}(-17) + \mathbf{k}(9) = (5, 17, 9) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (5, 17, 9) \).
Zvolíme \( z = 0 \), dosadíme do rovnic:
\( 5x – 2y – 7 = 0 \Rightarrow 5x – 2y = 7 \),
\( 2x + y + 4 = 0 \Rightarrow 2x + y = -4 \).
Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:
\( y = -4 – 2x \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 5x – 2(-4 – 2x) = 7 \Rightarrow 5x + 8 + 4x = 7 \Rightarrow 9x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{9} \).
Dosadíme zpět do \( y \):
\( y = -4 – 2 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = -4 + \frac{2}{9} = -\frac{36}{9} + \frac{2}{9} = -\frac{34}{9} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{1}{9}, -\frac{34}{9}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{1}{9} + 5t \),
\( y = -\frac{34}{9} + 17t \),
\( z = 0 + 9t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
79. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x + y + z – 3 = 0 \) a \( 4x – y + 2z + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: x + y + z – 3 = 0 \),
\( \pi_2: 4x – y + 2z + 1 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, 1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (4, -1, 2) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 – 1 \cdot (-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 2 – 1 \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 1 \cdot 4) \)
\( = \mathbf{i}(2 + 1) – \mathbf{j}(2 – 4) + \mathbf{k}(-1 – 4) = \mathbf{i}(3) – \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(-5) = (3, 2, -5) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (3, 2, -5) \).
Zvolíme \( z = 0 \) a dosadíme do rovnic:
\( x + y – 3 = 0 \Rightarrow x + y = 3 \),
\( 4x – y + 1 = 0 \Rightarrow 4x – y = -1 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = 3 – x \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 4x – (3 – x) = -1 \Rightarrow 4x – 3 + x = -1 \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5} \).
Dosadíme zpět do \( y \):
\( y = 3 – \frac{2}{5} = \frac{15}{5} – \frac{2}{5} = \frac{13}{5} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{2}{5}, \frac{13}{5}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{2}{5} + 3t \),
\( y = \frac{13}{5} + 2t \),
\( z = 0 – 5t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
80. Určete parametrické rovnice přímky, která vznikne průnikem rovin \( 3x + y – 4z + 6 = 0 \) a \( x – 2y + z – 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 3x + y – 4z + 6 = 0 \),
\( \pi_2: x – 2y + z – 1 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (3, 1, -4) \),
\( \vec{n_2} = (1, -2, 1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & -4 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 – (-4)(-2)) – \mathbf{j}(3 \cdot 1 – (-4) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot (-2) – 1 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 8) – \mathbf{j}(3 + 4) + \mathbf{k}(-6 – 1) = \mathbf{i}(-7) – \mathbf{j}(7) + \mathbf{k}(-7) = (-7, -7, -7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-7, -7, -7) \), který lze zjednodušit na \( (-1, -1, -1) \).
Zvolíme \( z = 0 \), dosadíme do rovnic:
\( 3x + y + 6 = 0 \Rightarrow 3x + y = -6 \),
\( x – 2y – 1 = 0 \Rightarrow x – 2y = 1 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = -6 – 3x \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( x – 2(-6 – 3x) = 1 \Rightarrow x + 12 + 6x = 1 \Rightarrow 7x = -11 \Rightarrow x = -\frac{11}{7} \).
Dosadíme zpět do \( y \):
\( y = -6 – 3 \cdot \left(-\frac{11}{7}\right) = -6 + \frac{33}{7} = -\frac{42}{7} + \frac{33}{7} = -\frac{9}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left(-\frac{11}{7}, -\frac{9}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -\frac{11}{7} – t \),
\( y = -\frac{9}{7} – t \),
\( z = 0 – t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
81. Určete průnik rovin \( 3x + y – z + 4 = 0 \) a \( x – 2y + 4z – 1 = 0 \). Najděte parametrické rovnice průnikové přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 3x + y – z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: x – 2y + 4z – 1 = 0 \).
Normálové vektory těchto rovin jsou
\( \vec{n_1} = (3, 1, -1) \),
\( \vec{n_2} = (1, -2, 4) \).
Směrový vektor přímky je kolmý na oba normálové vektory, tedy je dán vektorovým součinem
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 4 \end{vmatrix} \).
Vypočteme determinant:
\( \vec{d} = \mathbf{i}(1 \cdot 4 – (-1)(-2)) – \mathbf{j}(3 \cdot 4 – (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot (-2) – 1 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(4 – 2) – \mathbf{j}(12 – (-1)) + \mathbf{k}(-6 – 1) = \mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(13) + \mathbf{k}(-7) \)
Tedy \( \vec{d} = (2, -13, -7) \).
Najdeme bod na přímce. Pro jednoduchost zvolme \( z = 0 \) a dosadíme do rovnic rovin:
\( 3x + y + 4 = 0 \Rightarrow y = -3x – 4 \),
\( x – 2y – 1 = 0 \Rightarrow x – 2(-3x – 4) – 1 = 0 \Rightarrow x + 6x + 8 – 1 = 0 \Rightarrow 7x + 7 = 0 \Rightarrow x = -1 \).
Dosadíme \( x = -1 \) zpět:
\( y = -3(-1) – 4 = 3 – 4 = -1 \).
Bod na přímce je \( P(-1, -1, 0) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = -1 + 2t \),
\( y = -1 – 13t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
82. Najděte průnik rovin \( 4x – y + 2z = 5 \) a \( 2x + 3y – z = 4 \). Určete parametrické rovnice průnikové přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 4x – y + 2z = 5 \),
\( \pi_2: 2x + 3y – z = 4 \).
Normálové vektory jsou
\( \vec{n_1} = (4, -1, 2) \),
\( \vec{n_2} = (2, 3, -1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} \).
Po výpočtu determinantů:
\( \vec{d} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 3) – \mathbf{j}(4 \cdot (-1) – 2 \cdot 2) + \mathbf{k}(4 \cdot 3 – (-1) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 6) – \mathbf{j}(-4 – 4) + \mathbf{k}(12 + 2) = \mathbf{i}(-5) – \mathbf{j}(-8) + \mathbf{k}(14) \)
Tedy \( \vec{d} = (-5, 8, 14) \).
Najdeme bod průniku, zvolme \( z=0 \):
\( 4x – y = 5 \),
\( 2x + 3y = 4 \).
Vyřešíme soustavu:
Z první rovnice \( y = 4x – 5 \).
Dosadíme do druhé:
\( 2x + 3(4x – 5) = 4 \Rightarrow 2x + 12x – 15 = 4 \Rightarrow 14x = 19 \Rightarrow x = \frac{19}{14} \).
\( y = 4 \cdot \frac{19}{14} – 5 = \frac{76}{14} – 5 = \frac{76 – 70}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \).
Bod na přímce je \( P\left(\frac{19}{14}, \frac{3}{7}, 0\right) \).
Parametrické rovnice jsou:
\( x = \frac{19}{14} – 5t \),
\( y = \frac{3}{7} + 8t \),
\( z = 0 + 14t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
83. Určete parametrické rovnice přímky, která vznikne průnikem rovin \( x + 2y – z + 1 = 0 \) a \( 3x – y + 4z – 7 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: x + 2y – z + 1 = 0 \),
\( \pi_2: 3x – y + 4z – 7 = 0 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \).
Po výpočtu determinantů:
\( \vec{d} = \mathbf{i}(2 \cdot 4 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 4 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(8 – 1) – \mathbf{j}(4 – (-3)) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(7) – \mathbf{j}(7) + \mathbf{k}(-7) \)
Tedy \( \vec{d} = (7, -7, -7) \).
Zvolíme \( z=0 \) a dosadíme do rovnic:
\( x + 2y + 1 = 0 \Rightarrow x = -2y – 1 \),
\( 3x – y – 7 = 0 \).
Dosadíme \( x \) do druhé rovnice:
\( 3(-2y – 1) – y – 7 = 0 \Rightarrow -6y – 3 – y – 7 = 0 \Rightarrow -7y – 10 = 0 \Rightarrow y = -\frac{10}{7} \).
Dosadíme zpět:
\( x = -2 \cdot \left(-\frac{10}{7}\right) – 1 = \frac{20}{7} – 1 = \frac{13}{7} \).
Bod na přímce je \( P\left(\frac{13}{7}, -\frac{10}{7}, 0\right) \).
Parametrické rovnice přímky:
\( x = \frac{13}{7} + 7t \),
\( y = -\frac{10}{7} – 7t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
84. Najděte průnik rovin \( 5x – 2y + z = 3 \) a \( -x + 4y – 3z = 1 \). Určete parametrické rovnice průnikové přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 5x – 2y + z = 3 \),
\( \pi_2: -x + 4y – 3z = 1 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (5, -2, 1) \),
\( \vec{n_2} = (-1, 4, -3) \).
Směrový vektor přímky:
\( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -2 & 1 \\ -1 & 4 & -3 \end{vmatrix} \).
Po výpočtu determinantů:
\( \vec{d} = \mathbf{i}((-2)(-3) – 1 \cdot 4) – \mathbf{j}(5 \cdot (-3) – 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(5 \cdot 4 – (-2) \cdot (-1)) \)
\( = \mathbf{i}(6 – 4) – \mathbf{j}(-15 – (-1)) + \mathbf{k}(20 – 2) = \mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(-14) + \mathbf{k}(18) \)
Tedy \( \vec{d} = (2, 14, 18) \).
Zvolíme \( z = 0 \) a dosadíme:
\( 5x – 2y = 3 \),
\( -x + 4y = 1 \).
Vyřešíme soustavu:
Z druhé rovnice \( x = 4y – 1 \).
Dosadíme do první:
\( 5(4y – 1) – 2y = 3 \Rightarrow 20y – 5 – 2y = 3 \Rightarrow 18y = 8 \Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \).
\( x = 4 \cdot \frac{4}{9} – 1 = \frac{16}{9} – 1 = \frac{7}{9} \).
Bod na přímce je \( P\left(\frac{7}{9}, \frac{4}{9}, 0\right) \).
Parametrické rovnice přímky:
\( x = \frac{7}{9} + 2t \),
\( y = \frac{4}{9} + 14t \),
\( z = 0 + 18t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
85. Určete průnik rovin \( x + 2y – z + 4 = 0 \) a \( 3x – y + 4z – 5 = 0 \). Najděte parametrické rovnice průnikové přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: x + 2y – z + 4 = 0 \),
\( \pi_2: 3x – y + 4z – 5 = 0 \).
Normálové vektory jsou
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 4 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 4 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(8 – 1) – \mathbf{j}(4 + 3) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(7) – \mathbf{j}(7) + \mathbf{k}(-7) = (7, -7, -7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (7, -7, -7) \).
Pro nalezení bodu průniku zvolíme například \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( x + 2y + 4 = 0 \Rightarrow x + 2y = -4 \),
\( 3x – y – 5 = 0 \Rightarrow 3x – y = 5 \).
Nyní řešíme soustavu:
\( x + 2y = -4 \),
\( 3x – y = 5 \).
Vynásobíme první rovnici -1 a sečteme s druhou:
\( -x – 2y = 4 \),
\( 3x – y = 5 \),
\( (3x – x) + (-y – 2y) = 5 + 4 \Rightarrow 2x – 3y = 9 \).
Nyní vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( x + 2y = -4 \Rightarrow 2y = -4 – x \Rightarrow y = \frac{-4 – x}{2} \).
Dosadíme do rovnice \( 3x – y = 5 \):
\( 3x – \frac{-4 – x}{2} = 5 \Rightarrow 3x + \frac{4 + x}{2} = 5 \).
Vynásobíme celou rovnici 2:
\( 6x + 4 + x = 10 \Rightarrow 7x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{7} \).
Dosadíme \( x = \frac{6}{7} \) zpět do \( y = \frac{-4 – x}{2} \):
\( y = \frac{-4 – \frac{6}{7}}{2} = \frac{-\frac{28}{7} – \frac{6}{7}}{2} = \frac{-\frac{34}{7}}{2} = -\frac{34}{14} = -\frac{17}{7} \).
Bod na přímce je tedy \( P \left(\frac{6}{7}, -\frac{17}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{6}{7} + 7t \),
\( y = -\frac{17}{7} – 7t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
86. Najděte průnik rovin \( 4x – y + 3z = 2 \) a \( 2x + y – z = 5 \). Určete parametrické rovnice vzniklé přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 4x – y + 3z = 2 \),
\( \pi_2: 2x + y – z = 5 \).
Normálové vektory jsou
\( \vec{n_1} = (4, -1, 3) \),
\( \vec{n_2} = (2, 1, -1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 3 \cdot 1) – \mathbf{j}(4 \cdot (-1) – 3 \cdot 2) + \mathbf{k}(4 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 3) – \mathbf{j}(-4 – 6) + \mathbf{k}(4 + 2) = \mathbf{i}(-2) – \mathbf{j}(-10) + \mathbf{k}(6) = (-2, 10, 6) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-2, 10, 6) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( 4x – y = 2 \),
\( 2x + y = 5 \).
Sčítáme rovnice:
\( (4x – y) + (2x + y) = 2 + 5 \Rightarrow 6x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{6} \).
Dosadíme \( x = \frac{7}{6} \) do \( 2x + y = 5 \):
\( 2 \cdot \frac{7}{6} + y = 5 \Rightarrow \frac{7}{3} + y = 5 \Rightarrow y = 5 – \frac{7}{3} = \frac{15}{3} – \frac{7}{3} = \frac{8}{3} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{7}{6}, \frac{8}{3}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky:
\( x = \frac{7}{6} – 2t \),
\( y = \frac{8}{3} + 10t \),
\( z = 0 + 6t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
87. Určete průnik rovin \( x – y + z = 1 \) a \( 2x + y – 3z = 4 \) a vyjádřete parametrické rovnice přímky průniku.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: x – y + z = 1 \),
\( \pi_2: 2x + y – 3z = 4 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, -1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (2, 1, -3) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-3) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-3) – 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(3 – 1) – \mathbf{j}(-3 – 2) + \mathbf{k}(1 + 2) = \mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(3) = (2, 5, 3) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (2, 5, 3) \).
Pro nalezení bodu průniku zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( x – y = 1 \),
\( 2x + y = 4 \).
Sčítáme rovnice:
\( (x – y) + (2x + y) = 1 + 4 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \).
Dosadíme \( x = \frac{5}{3} \) do \( x – y = 1 \):
\( \frac{5}{3} – y = 1 \Rightarrow y = \frac{5}{3} – 1 = \frac{2}{3} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{5}{3} + 2t \),
\( y = \frac{2}{3} + 5t \),
\( z = 0 + 3t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
88. Určete průnik rovin \( 5x + y – 2z = 3 \) a \( -x + 4y + z = 7 \). Najděte parametrické rovnice průnikové přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 5x + y – 2z = 3 \),
\( \pi_2: -x + 4y + z = 7 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (5, 1, -2) \),
\( \vec{n_2} = (-1, 4, 1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & 1 & -2 \\ -1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 – (-2) \cdot 4) – \mathbf{j}(5 \cdot 1 – (-2) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(5 \cdot 4 – 1 \cdot (-1)) \)
\( = \mathbf{i}(1 + 8) – \mathbf{j}(5 – 2) + \mathbf{k}(20 + 1) = \mathbf{i}(9) – \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(21) = (9, -3, 21) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (9, -3, 21) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( 5x + y = 3 \),
\( -x + 4y = 7 \).
Vyřešíme soustavu:
Z první rovnice \( y = 3 – 5x \).
Dosadíme do druhé:
\( -x + 4(3 – 5x) = 7 \Rightarrow -x + 12 – 20x = 7 \Rightarrow -21x + 12 = 7 \Rightarrow -21x = -5 \Rightarrow x = \frac{5}{21} \).
Dosadíme \( x = \frac{5}{21} \) zpět do \( y = 3 – 5x \):
\( y = 3 – 5 \cdot \frac{5}{21} = 3 – \frac{25}{21} = \frac{63}{21} – \frac{25}{21} = \frac{38}{21} \).
Bod na přímce je \( P \left(\frac{5}{21}, \frac{38}{21}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{5}{21} + 9t \),
\( y = \frac{38}{21} – 3t \),
\( z = 0 + 21t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
89. Najděte průnik rovin \( 3x – 2y + z = 1 \) a \( x + y – 4z = 7 \) a vyjádřete parametrické rovnice přímky průniku.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 3x – 2y + z = 1 \),
\( \pi_2: x + y – 4z = 7 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (3, -2, 1) \),
\( \vec{n_2} = (1, 1, -4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-4) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(3 \cdot (-4) – 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 – (-2) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(8 – 1) – \mathbf{j}(-12 – 1) + \mathbf{k}(3 + 2) = \mathbf{i}(7) – \mathbf{j}(-13) + \mathbf{k}(5) = (7, 13, 5) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (7, 13, 5) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( 3x – 2y = 1 \),
\( x + y = 7 \).
Z druhé rovnice \( y = 7 – x \).
Dosadíme do první:
\( 3x – 2(7 – x) = 1 \Rightarrow 3x – 14 + 2x = 1 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3 \).
Dosadíme \( x = 3 \) do \( y = 7 – x \):
\( y = 7 – 3 = 4 \).
Bod na přímce je \( P (3, 4, 0) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = 3 + 7t \),
\( y = 4 + 13t \),
\( z = 0 + 5t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
90. Určete analytické vyjádření přímky, která je průnikem rovin \( x + 2y – z = 4 \) a \( 3x – y + 2z = 1 \). Dále najděte parametrické rovnice této přímky.
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: x + 2y – z = 4 \),
\( \pi_2: 3x – y + 2z = 1 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, 2, -1) \),
\( \vec{n_2} = (3, -1, 2) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 2 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 2 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)
\( = \mathbf{i}(4 – 1) – \mathbf{j}(2 – (-3)) + \mathbf{k}(-1 – 6) = \mathbf{i}(3) – \mathbf{j}(5) + \mathbf{k}(-7) = (3, -5, -7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (3, -5, -7) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( x + 2y = 4 \),
\( 3x – y = 1 \).
Z druhé rovnice \( y = 3x – 1 \).
Dosadíme do první rovnice:
\( x + 2(3x – 1) = 4 \Rightarrow x + 6x – 2 = 4 \Rightarrow 7x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{7} \).
Dosadíme zpět \( x = \frac{6}{7} \):
\( y = 3 \cdot \frac{6}{7} – 1 = \frac{18}{7} – 1 = \frac{11}{7} \).
Bod na přímce je \( P \left( \frac{6}{7}, \frac{11}{7}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{6}{7} + 3t \),
\( y = \frac{11}{7} – 5t \),
\( z = 0 – 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
91. Určete parametrické rovnice přímky průniku rovin \( 4x – y + z = 2 \) a \( -x + 3y + 2z = 5 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou
\( \pi_1: 4x – y + z = 2 \),
\( \pi_2: -x + 3y + 2z = 5 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (4, -1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (-1, 3, 2) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(2) – 1 \cdot 3) – \mathbf{j}(4 \cdot 2 – 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(4 \cdot 3 – (-1)(-1)) \)
\( = \mathbf{i}(-2 – 3) – \mathbf{j}(8 + 1) + \mathbf{k}(12 – 1) = \mathbf{i}(-5) – \mathbf{j}(9) + \mathbf{k}(11) = (-5, -9, 11) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-5, -9, 11) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( 4x – y = 2 \),
\( -x + 3y = 5 \).
Z druhé rovnice \( -x + 3y = 5 \Rightarrow x = 3y – 5 \).
Dosadíme do první:
\( 4(3y – 5) – y = 2 \Rightarrow 12y – 20 – y = 2 \Rightarrow 11y = 22 \Rightarrow y = 2 \).
Dosadíme \( y=2 \) zpět do \( x = 3y – 5 \):
\( x = 3 \cdot 2 – 5 = 6 – 5 = 1 \).
Bod na přímce je \( P(1, 2, 0) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = 1 – 5t \),
\( y = 2 – 9t \),
\( z = 0 + 11t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
92. Najděte parametrické rovnice přímky průniku rovin \( 2x + y + 3z = 6 \) a \( x – 4y + z = -1 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin:
\( \pi_1: 2x + y + 3z = 6 \),
\( \pi_2: x – 4y + z = -1 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (2, 1, 3) \),
\( \vec{n_2} = (1, -4, 1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 – 3 \cdot (-4)) – \mathbf{j}(2 \cdot 1 – 3 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-4) – 1 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(1 + 12) – \mathbf{j}(2 – 3) + \mathbf{k}(-8 – 1) = \mathbf{i}(13) – \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(-9) = (13, 1, -9) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (13, 1, -9) \).
Zvolíme \( z = 0 \) pro nalezení bodu na přímce.
Dosadíme \( z=0 \) do rovnic:
\( 2x + y = 6 \),
\( x – 4y = -1 \).
Z druhé rovnice \( x = -1 + 4y \).
Dosadíme do první:
\( 2(-1 + 4y) + y = 6 \Rightarrow -2 + 8y + y = 6 \Rightarrow 9y = 8 \Rightarrow y = \frac{8}{9} \).
Dosadíme zpět \( y = \frac{8}{9} \):
\( x = -1 + 4 \cdot \frac{8}{9} = -1 + \frac{32}{9} = \frac{23}{9} \).
Bod na přímce je \( P\left(\frac{23}{9}, \frac{8}{9}, 0\right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{23}{9} + 13t \),
\( y = \frac{8}{9} + t \),
\( z = 0 – 9t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
93. Najděte průsečík přímky dané parametry \( x = 1 + 2t \), \( y = -3 + t \), \( z = 4 – t \) s rovinou \( 2x – y + z = 5 \).
Řešení příkladu:
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = 1 + 2t \),
\( y = -3 + t \),
\( z = 4 – t \).
Dosadíme do rovnice roviny:
\( 2x – y + z = 5 \Rightarrow 2(1+2t) – (-3 + t) + (4 – t) = 5 \).
Vyjádříme levou stranu:
\( 2 + 4t + 3 – t + 4 – t = 5 \Rightarrow (2 + 3 + 4) + (4t – t – t) = 5 \Rightarrow 9 + 2t = 5 \).
Vyřešíme pro \( t \):
\( 2t = 5 – 9 = -4 \Rightarrow t = -2 \).
Dosadíme \( t = -2 \) do parametrických rovnic:
\( x = 1 + 2 \cdot (-2) = 1 – 4 = -3 \),
\( y = -3 + (-2) = -5 \),
\( z = 4 – (-2) = 4 + 2 = 6 \).
Průsečík přímky s rovinou je bod \( (-3, -5, 6) \).
94. Najděte parametrické rovnice přímky průniku rovin \( x + y + z = 3 \) a \( 2x – y + 4z = 5 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou:
\( \pi_1: x + y + z = 3 \),
\( \pi_2: 2x – y + 4z = 5 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, 1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (2, -1, 4) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 4 – 1 \cdot (-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 4 – 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 1 \cdot 2) \)
\( = \mathbf{i}(4 + 1) – \mathbf{j}(4 – 2) + \mathbf{k}(-1 – 2) = \mathbf{i}(5) – \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(-3) = (5, -2, -3) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (5, -2, -3) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme \( z = 0 \) do rovnic:
\( x + y = 3 \),
\( 2x – y = 5 \).
Sčítáme obě rovnice:
\( (x + y) + (2x – y) = 3 + 5 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3} \).
Dosadíme zpět \( x = \frac{8}{3} \) do první rovnice:
\( \frac{8}{3} + y = 3 \Rightarrow y = 3 – \frac{8}{3} = \frac{9}{3} – \frac{8}{3} = \frac{1}{3} \).
Bod na přímce je \( P \left( \frac{8}{3}, \frac{1}{3}, 0 \right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{8}{3} + 5t \),
\( y = \frac{1}{3} – 2t \),
\( z = 0 – 3t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
95. Určete parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( 3x – y + 2z – 4 = 0 \) a \( x + 2y – z + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou:
\( \pi_1: 3x – y + 2z – 4 = 0 \),
\( \pi_2: x + 2y – z + 1 = 0 \).
Normálové vektory rovin jsou:
\( \vec{n_1} = (3, -1, 2) \),
\( \vec{n_2} = (1, 2, -1) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 2) – \mathbf{j}(3 \cdot (-1) – 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 2 – (-1) \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(1 – 4) – \mathbf{j}(-3 – 2) + \mathbf{k}(6 + 1) = \mathbf{i}(-3) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(7) = (-3, 5, 7) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (-3, 5, 7) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \) a dosadíme do rovnic rovin:
\( 3x – y – 4 = 0 \Rightarrow 3x – y = 4 \),
\( x + 2y + 1 = 0 \Rightarrow x + 2y = -1 \).
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = 3x – 4 \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( x + 2(3x – 4) = -1 \Rightarrow x + 6x – 8 = -1 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1 \).
Dosadíme zpět \( x = 1 \) do \( y = 3x – 4 \):
\( y = 3 \cdot 1 – 4 = -1 \).
Bod na přímce je \( P(1, -1, 0) \).
Parametrické rovnice přímky jsou tedy:
\( x = 1 – 3t \),
\( y = -1 + 5t \),
\( z = 0 + 7t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
96. Najděte parametrické rovnice přímky průniku rovin \( 2x + y – z = 1 \) a \( x – y + 3z = 4 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou:
\( \pi_1: 2x + y – z = 1 \),
\( \pi_2: x – y + 3z = 4 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (2, 1, -1) \),
\( \vec{n_2} = (1, -1, 3) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 3 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) – 1 \cdot 1) \)
\( = \mathbf{i}(3 – 1) – \mathbf{j}(6 + 1) + \mathbf{k}(-2 – 1) = \mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(7) + \mathbf{k}(-3) = (2, -7, -3) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (2, -7, -3) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( 2x + y = 1 \),
\( x – y = 4 \).
Sčítáme rovnice:
\( (2x + y) + (x – y) = 1 + 4 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \).
Dosadíme zpět \( x = \frac{5}{3} \) do druhé rovnice:
\( \frac{5}{3} – y = 4 \Rightarrow y = \frac{5}{3} – 4 = \frac{5}{3} – \frac{12}{3} = -\frac{7}{3} \).
Bod na přímce je \( P\left(\frac{5}{3}, -\frac{7}{3}, 0\right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{5}{3} + 2t \),
\( y = -\frac{7}{3} – 7t \),
\( z = 0 – 3t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
97. Najděte průsečík přímky \( x = 2 – t \), \( y = 1 + 3t \), \( z = 4 + 2t \) s rovinou \( x + y – z = 3 \).
Řešení příkladu:
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = 2 – t \),
\( y = 1 + 3t \),
\( z = 4 + 2t \).
Dosadíme do rovnice roviny:
\( x + y – z = 3 \Rightarrow (2 – t) + (1 + 3t) – (4 + 2t) = 3 \).
Úprava:
\( 2 – t + 1 + 3t – 4 – 2t = 3 \Rightarrow (2 + 1 – 4) + (-t + 3t – 2t) = 3 \Rightarrow -1 + 0 = 3 \Rightarrow -1 = 3 \).
Rovnice nemá řešení, tedy přímka s rovinou nemá průsečík (přímka je rovnoběžná s rovinou).
98. Najděte parametrické rovnice přímky, která je průnikem rovin \( x – y + z = 2 \) a \( 4x + y – 3z = 1 \).
Řešení příkladu:
Rovnice rovin jsou:
\( \pi_1: x – y + z = 2 \),
\( \pi_2: 4x + y – 3z = 1 \).
Normálové vektory:
\( \vec{n_1} = (1, -1, 1) \),
\( \vec{n_2} = (4, 1, -3) \).
Směrový vektor přímky je vektorový součin \( \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \):
\( \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-3) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-3) – 1 \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 4) \)
\( = \mathbf{i}(3 – 1) – \mathbf{j}(-3 – 4) + \mathbf{k}(1 + 4) = \mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(-7) + \mathbf{k}(5) = (2, 7, 5) \).
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (2, 7, 5) \).
Pro nalezení bodu na přímce zvolíme \( z = 0 \).
Dosadíme do rovnic:
\( x – y = 2 \),
\( 4x + y = 1 \).
Sčítáme rovnice:
\( (x – y) + (4x + y) = 2 + 1 \Rightarrow 5x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{5} \).
Dosadíme zpět do první rovnice:
\( \frac{3}{5} – y = 2 \Rightarrow y = \frac{3}{5} – 2 = \frac{3}{5} – \frac{10}{5} = -\frac{7}{5} \).
Bod na přímce je \( P\left(\frac{3}{5}, -\frac{7}{5}, 0\right) \).
Parametrické rovnice přímky jsou:
\( x = \frac{3}{5} + 2t \),
\( y = -\frac{7}{5} + 7t \),
\( z = 0 + 5t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
99. Určete rovnice roviny, která prochází bodem \( A(1, 2, 3) \) a je kolmá na přímku danou rovnicemi \( \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{1} \).
Řešení příkladu:
Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (2, -3, 1) \).
Rovina je kolmá na přímku, tedy její normálový vektor je roven směrovému vektoru přímky:
\( \vec{n} = (2, -3, 1) \).
Obecná rovnice roviny je:
\( 2(x – 1) – 3(y – 2) + 1(z – 3) = 0 \).
Úprava rovnice:
\( 2x – 2 – 3y + 6 + z – 3 = 0 \Rightarrow 2x – 3y + z + 1 = 0 \).
Rovnice roviny je \( 2x – 3y + z + 1 = 0 \).
100. Najděte rovnice přímky, která prochází bodem \( B(0, 1, -1) \) a je rovnoběžná s přímkou \( x = 1 + 2t \), \( y = -1 + t \), \( z = 3 – t \).
Řešení příkladu:
Směrový vektor přímky je stejný jako u dané přímky:
\( \vec{d} = (2, 1, -1) \).
Parametrické rovnice hledané přímky, která prochází bodem \( B(0,1,-1) \), jsou:
\( x = 0 + 2t = 2t \),
\( y = 1 + t \),
\( z = -1 – t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).