1. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n} \) konverguje. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Uvažujme řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n} \). Tato řada má tvar \( \sum a_n b_n \), kde \( a_n = \cos(n) \) a…
1. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria. Zobrazit řešení Řešení: Máme řadu \( \sum_{n=1}^\infty a_n \), kde \( a_n = \frac{3^n}{5^n} \). Použijeme D’Alembertovo kritérium, které zní: Vypočítáme limitu podílu absolutních…
1. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \) konverguje pomocí Abelova kritéria. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Máme řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \), kde \( a_n = (-1)^n \) a \(…
Konvergence řad – Abelovo kritérium Konvergence řad – D’Alembertovo kritérium Konvergence řad – Dirichletovo kritérium Konvergence řad – Gaussovo kritérium Konvergence řad – Integrální kritérium Konvergence řad – Leibnizovo kritérium Konvergence řad – Podílové kritérium…
1. Příklad – Určete, zda množina všech zrcadlení v rovině tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Nechť \( G \) je množina všech zrcadlení v rovině. Ověříme, zda \( (G, \circ)…
1. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) je afinní transformace daná předpisem \( f(x, y) = (3x + 2y + 1, -x + y – 4) \). Ověřte, že se jedná o afinní transformaci,…
1. Doplnte na čtverec výraz \(x^2 + 6x + 5\). Zobrazit řešení Řešení příkladu: Máme výraz \(x^2 + 6x + 5\). Cílem je doplnit jej na úplný čtverec ve tvaru \((x + a)^2 + b\)….
1. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 7x + 5y = 1 \). Zobrazit řešení Řešení příkladu: Rovnice \( 7x + 5y = 1 \) je lineární diofantovská rovnice dvou proměnných. Nejprve zjistíme, zda má…
1. Uvažujme vektorový prostor \( V = \mathbb{R}^3 \) se standardní bází \( e_1, e_2, e_3 \). Definujme zobrazení \( T: V \to V \) tak, že \( T(x,y,z) = (2x – y, 3y +…
1. Určete první čtyři polynomy Appellovy posloupnosti definované generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \). Zobrazit řešení Řešení příkladu: Generující funkce je \( G(t,x) = e^{x t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x t)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty x^n…