Binomická věta

Řešení příkladu:

Binomická věta říká, že pro přirozené číslo \( n \) platí

\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k \), kde \( C(n,k) \) je binomický koeficient.

Pro \( (1 + x)^5 \) máme tedy

\( (1 + x)^5 = \sum_{k=0}^5 C(5,k) 1^{5-k} x^k = \sum_{k=0}^5 C(5,k) x^k \).

Koeficient u členu \( x^3 \) je \( C(5,3) \).

Binomický koeficient \( C(5,3) \) lze vyjádřit bez použití symbolu \binom takto:

\( C(5,3) = \frac{5!}{3! (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{120}{(6)(2)} = \frac{120}{12} = 10 \).

Výsledek je tedy koeficient \(10\).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů v rozvoji polynomu \( (a + b)^n \) je roven hodnotě výrazu pro \( a = 1 \) a \( b = 1 \), tedy

\( \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k \Big|_{a=1,b=1} = (1 + 1)^n = 2^n \).

Pro náš výraz tedy

\( \text{Součet koeficientů} = (2 + 3)^{4} = 5^{4} = 625 \).

Je důležité si uvědomit, že součet koeficientů je vždy hodnota polynomu při \( x = 1 \), protože pak se všechny mocniny \( x^k \) rovnají \(1\) a tedy se sčítají všechny koeficienty.

Řešení příkladu:

Podle binomické věty platí

\( (1 – 2x)^6 = \sum_{k=0}^6 C(6,k) 1^{6-k} (-2x)^k = \sum_{k=0}^6 C(6,k) (-2)^k x^k \).

Koeficient u \( x^2 \) odpovídá členovi, kde \( k=2 \), tedy

\( C(6,2) (-2)^2 = C(6,2) \cdot 4 \).

Vypočítáme \( C(6,2) \) bez použití \binom:

\( C(6,2) = \frac{6!}{2! (6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{720}{(2)(24)} = \frac{720}{48} = 15 \).

Tedy koeficient je \( 15 \cdot 4 = 60 \).

Řešení příkladu:

Binomická věta platí pro \( (a + b)^n \), tedy zde

\( (x + \frac{1}{x})^4 = \sum_{k=0}^4 C(4,k) x^{4-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = \sum_{k=0}^4 C(4,k) x^{4-k} x^{-k} = \sum_{k=0}^4 C(4,k) x^{4-2k} \).

Vypočítáme jednotlivé členy:

Pro \( k=0 \): \( C(4,0) x^4 = 1 \cdot x^4 = x^4 \).

Pro \( k=1 \): \( C(4,1) x^{2} = 4 \cdot x^2 = 4x^2 \).

Pro \( k=2 \): \( C(4,2) x^{0} = 6 \cdot 1 = 6 \).

Pro \( k=3 \): \( C(4,3) x^{-2} = 4 \cdot x^{-2} = \frac{4}{x^2} \).

Pro \( k=4 \): \( C(4,4) x^{-4} = 1 \cdot x^{-4} = \frac{1}{x^4} \).

Výraz tedy rozvineme na

\( x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4} \).

Řešení příkladu:

Binomická věta říká:

\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k \).

Pro náš případ \( a=3 \), \( b=2x \), \( n=7 \) a hledáme koeficient u \( x^5 \), tedy hledáme člen, kde mocnina \( x^k = x^5 \Rightarrow k=5 \).

Člen je tedy

\( C(7,5) 3^{7-5} (2x)^5 = C(7,5) 3^{2} 2^{5} x^{5} \).

Vypočítáme koeficient \( C(7,5) \):

\( C(7,5) = \frac{7!}{5! (7-5)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \).

Dosadíme:

\( 21 \cdot 3^2 \cdot 2^5 = 21 \cdot 9 \cdot 32 = 21 \cdot 288 = 6048 \).

Koeficient u \( x^5 \) je tedy \(6048\).

Řešení příkladu:

Celý rozvoj je \( (1 + x)^8 = \sum_{k=0}^8 C(8,k) x^k \).

Součet koeficientů u lichých mocnin je tedy

\( S = C(8,1) + C(8,3) + C(8,5) + C(8,7) \).

Je známo, že součet koeficientů u lichých mocnin je roven

\( \frac{(1 + 1)^8 – (1 – 1)^8}{2} = \frac{2^8 – 0}{2} = \frac{256}{2} = 128 \).

Výpočet ověřme explicitně:

\( C(8,1) = 8 \),

\( C(8,3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \),

\( C(8,5) = C(8,3) = 56 \),

\( C(8,7) = 8 \).

Součet je \( 8 + 56 + 56 + 8 = 128 \), což potvrzuje předchozí výpočet.

Řešení příkladu:

Podle binomické věty platí

\( (2x – 3)^5 = \sum_{k=0}^5 C(5,k) (2x)^{5-k} (-3)^k = \sum_{k=0}^5 C(5,k) 2^{5-k} x^{5-k} (-3)^k \).

Pořadí členů je od \( k=0 \) do \( k=5 \), tedy celkem 6 členů. Střední člen je tedy třetí člen (počítáno od 0), tedy ten s \( k=2 \).

Vypočítáme tento člen:

\( C(5,2) 2^{3} x^{3} (-3)^2 = C(5,2) \cdot 8 \cdot x^{3} \cdot 9 = C(5,2) \cdot 72 x^{3} \).

Koeficient \( C(5,2) \) je

\( \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \).

Střední člen je tedy

\( 10 \cdot 72 x^{3} = 720 x^{3} \).

Řešení příkladu:

Výraz \( (1 + 2x + x^2)^3 \) není binomický, ale lze jej převést na binomický tvar jako

\( ((1 + x)^2)^3 = (1 + x)^6 \), protože

\( (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 \).

Součet všech koeficientů v \( (1 + x)^6 \) je

\( (1 + 1)^6 = 2^6 = 64 \).

Tedy součet všech koeficientů ve výrazu \( (1 + 2x + x^2)^3 \) je \(64\).

Řešení příkladu:

Binomická věta říká

\( (1 + 3x)^6 = \sum_{k=0}^6 C(6,k) 1^{6-k} (3x)^k = \sum_{k=0}^6 C(6,k) 3^k x^k \).

Hledáme koeficient u \( x^4 \), tedy člen s \( k=4 \):

\( C(6,4) 3^4 = C(6,4) \cdot 81 \).

Koeficient \( C(6,4) \) vypočteme:

\( C(6,4) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \).

Koeficient je tedy \( 15 \cdot 81 = 1215 \).

Řešení příkladu:

Binomická věta říká, že pro přirozené číslo \( n \) platí

\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k \), kde \( C(n,k) \) je binomický koeficient.

V našem případě máme \( a = 2 \), \( b = -3x \), \( n = 4 \).

Rozvinutí tedy je:

\( (2 – 3x)^4 = \sum_{k=0}^4 C(4,k) 2^{4-k} (-3x)^k = \sum_{k=0}^4 C(4,k) 2^{4-k} (-3)^k x^k \).

Chceme koeficient u \( x^2 \), tedy člen s \( k=2 \):

\( C(4,2) 2^{4-2} (-3)^2 = C(4,2) 2^2 9 \).

Vypočítáme binomický koeficient \( C(4,2) \):

\( C(4,2) = \frac{4!}{2! (4-2)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6 \).

Dosadíme zpět:

\( 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216 \).

Koeficient u členu \( x^2 \) je tedy \(216\).

Řešení příkladu:

Podle binomické věty platí pro \( (a + b)^n \): \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k! (n-k)!} a^{n-k} b^k. \]

Zde máme \( a = 2 \), \( b = -3x \), \( n=4 \). Pak: \[ (2 – 3x)^4 = \sum_{k=0}^4 \frac{4!}{k! (4-k)!} 2^{4-k} (-3x)^k. \]

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů v rozvoji \( (1 + 2x)^6 \) získáme dosazením \( x=1 \): \[ \sum_{k=0}^6 \frac{6!}{k! (6-k)!} 1^{6-k} (2)^k = (1 + 2)^6 = 3^6 = 729. \]

Koeficient u \( x^4 \) odpovídá \( k=4 \): \[ \frac{6!}{4! 2!} 1^{6-4} 2^4 = \frac{720}{24 \cdot 2} \cdot 1^{2} \cdot 16. \]

Vypočteme: \[ \frac{720}{48} = 15, \quad 15 \cdot 16 = 240. \]

Koeficient u \( x^4 \) je tedy \(240\).

Řešení příkladu:

Rozvoj podle binomické věty: \[ (1 – x)^7 = \sum_{k=0}^7 \frac{7!}{k! (7-k)!} 1^{7-k} (-x)^k = \sum_{k=0}^7 \frac{7!}{k! (7-k)!} (-1)^k x^k. \]

Součet koeficientů u lichých mocnin je \[ S = \sum_{k=1,3,5,7} \frac{7!}{k! (7-k)!} (-1)^k. \]

Součet všech koeficientů pro \( x \) liché je \[ S = \frac{(1 – 1)^7 – (1 + 1)^7}{2} \Rightarrow \text{tento vztah se však nevztahuje přesně, proto použijeme přístup:} \]

Využijeme fakt, že součet koeficientů u všech členů je \( (1 – 1)^7 = 0 \), a součet koeficientů u všech členů s lichými exponenty je \[ \frac{(1 – 1)^7 – (1 + 1)^7}{2} = \frac{0 – 128}{2} = -64. \]

Ověření: Koeficienty u lichých členů se sčítají na \(-64\).

Řešení příkladu:

Obecný člen rozvoje je \[ T_{k+1} = \frac{8!}{k! (8-k)!} 3^{8-k} x^k. \]

Koeficient u \( x^k \) je \[ C_k = \frac{8!}{k! (8-k)!} 3^{8-k}. \]

Porovnáme sousední koeficienty: \[ \frac{C_{k+1}}{C_k} = \frac{\frac{8!}{(k+1)! (7-k)!} 3^{7-k}}{\frac{8!}{k! (8-k)!} 3^{8-k}} = \frac{8-k}{k+1} \cdot \frac{1}{3}. \]

Koeficienty rostou pokud \[ \frac{8-k}{k+1} \cdot \frac{1}{3} > 1 \Rightarrow \frac{8-k}{k+1} > 3 \Rightarrow 8-k > 3(k+1) \Rightarrow 8-k > 3k + 3. \]

Upravíme: \[ 8 – k > 3k + 3 \Rightarrow 8 – 3 > 3k + k \Rightarrow 5 > 4k \Rightarrow k < \frac{5}{4} = 1,25. \]

Koeficienty rostou do \( k = 1 \) a potom klesají.

Největší koeficient je tedy pro \( k = 1 \): \[ C_1 = \frac{8!}{1! 7!} 3^{7} = 8 \cdot 3^{7} = 8 \cdot 2187 = 17496. \]

Řešení příkladu:

Binomická věta platí i pro zlomky: \[ (1 + \frac{2}{x})^5 = \sum_{k=0}^5 \frac{5!}{k! (5-k)!} 1^{5-k} \left(\frac{2}{x}\right)^k = \sum_{k=0}^5 \frac{5!}{k! (5-k)!} 2^k x^{-k}. \]

Hledáme koeficient u \( x^{-3} \), tedy pro \( k=3 \): \[ \frac{5!}{3! 2!} 2^{3} = \frac{120}{6 \cdot 2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80. \]

Koeficient u \( x^{-3} \) je tedy \(80\).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů je \( (1 + 1)^9 = 2^9 = 512 \).

Součet koeficientů u sudých mocnin lze vyjádřit jako \[ S_{\text{even}} = \frac{(1 + 1)^9 + (1 – 1)^9}{2} = \frac{512 + 0}{2} = 256. \]

Výsledkem je součet koeficientů u sudých mocnin \( x \) roven \(256\).

Řešení příkladu:

Obecný člen rozvoje \( (a + b)^n \) je \[ T_{k+1} = \frac{7!}{k! (7-k)!} (2x)^{7-k} (-1)^k. \]

Pro člen s \( x^5 \) musí platit, že mocnina \( x \) v členu je 5, tedy \[ (2x)^{7-k} \Rightarrow 7 – k = 5 \Rightarrow k = 2. \]

Koeficient u \( x^5 \) je tedy: \[ \frac{7!}{2! 5!} 2^{5} (-1)^2 = \frac{5040}{2 \cdot 120} \cdot 32 \cdot 1 = \frac{5040}{240} \cdot 32 = 21 \cdot 32 = 672. \]

Řešení příkladu:

Obecný člen v rozvoji \( (x + y)^n \) je \[ \frac{5!}{k! (5-k)!} x^{5-k} y^{k}. \]

Pro člen \( x^3 y^2 \) platí \( 5-k = 3 \Rightarrow k = 2 \).

Koeficient je tedy \[ \frac{5!}{2! 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10. \]

Řešení příkladu:

Podle binomické věty: \[ (1 + 3x)^5 = \sum_{k=0}^5 \frac{5!}{k! (5-k)!} 1^{5-k} (3x)^k = \sum_{k=0}^5 \frac{5!}{k! (5-k)!} 3^k x^k. \]

Součet koeficientů získáme dosazením \( x=1 \): \[ (1 + 3)^5 = 4^5 = 1024. \]

Řešení příkladu:

Binomická věta říká, že

\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k \), kde \( C(n,k) \) je binomický koeficient.

Zde je \( a = 1 \), \( b = 2x \), \( n = 6 \).

Chceme koeficient u \( x^3 \), tedy hledáme člen s \( k=3 \):

\( C(6,3) 1^{6-3} (2x)^3 = C(6,3) \cdot 1^3 \cdot 2^3 x^3 = C(6,3) \cdot 8 \cdot x^3 \).

Binomický koeficient \( C(6,3) \) vypočteme jako

\( C(6,3) = \frac{6!}{3! (6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{720}{(6)(6)} = \frac{720}{36} = 20 \).

Dosadíme zpět:

\( 20 \cdot 8 = 160 \).

Koeficient u členu \( x^3 \) je tedy \(160\).

Řešení příkladu:

Podle binomické věty platí

\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k \).

Zde \( a = 3 \), \( b = x \), \( n = 5 \).

Koeficient u \( x^4 \) je člen s \( k=4 \):

\( C(5,4) 3^{5-4} x^4 = C(5,4) 3^1 x^4 = C(5,4) \cdot 3 \cdot x^4 \).

Binomický koeficient vypočteme jako

\( C(5,4) = \frac{5!}{4! (5-4)!} = \frac{120}{(24)(1)} = 5 \).

Dosadíme:

\( 5 \cdot 3 = 15 \).

Koeficient u \( x^4 \) je tedy \(15\).

Řešení příkladu:

Výraz rozepíšeme pomocí binomické věty:

\( (1 – x)^7 = \sum_{k=0}^7 C(7,k) 1^{7-k} (-x)^k = \sum_{k=0}^7 C(7,k) (-1)^k x^k \).

Koeficient u \( x^5 \) je tedy \( C(7,5)(-1)^5 \).

Binomický koeficient vypočteme:

\( C(7,5) = \frac{7!}{5! (7-5)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \).

Proto koeficient je \( 21 \cdot (-1)^5 = 21 \cdot (-1) = -21 \).

Znaménko koeficientu je tedy záporné.

Řešení příkladu:

Podle binomické věty:

\( (x + \frac{1}{2})^6 = \sum_{k=0}^6 C(6,k) x^{6-k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \).

Chceme člen s \( x^3 \), tedy hledáme \( k \) takové, že \( 6-k = 3 \Rightarrow k = 3 \).

Člen s \( x^3 \) je tedy

\( C(6,3) x^3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = C(6,3) x^3 \frac{1}{8} \).

Binomický koeficient

\( C(6,3) = \frac{6!}{3! 3!} = \frac{720}{6 \cdot 6} = 20 \).

Člen s \( x^3 \) je tedy

\( 20 \cdot \frac{1}{8} x^3 = \frac{20}{8} x^3 = \frac{5}{2} x^3 \).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů získáme, když do výrazu dosadíme \( x = 1 \).

Máme tedy

\( (2 + 3 \cdot 1)^5 = (2 + 3)^5 = 5^5 = 3125 \).

Součet všech koeficientů je tedy \(3125\).

Řešení příkladu:

Koeficient u \( x^0 \) odpovídá členu s \( k = 0 \), protože \( x^k = x^0 = 1 \).

Podle binomické věty

\( (4 – x)^8 = \sum_{k=0}^8 C(8,k) 4^{8-k} (-x)^k \).

Pro \( k=0 \) je člen

\( C(8,0) 4^8 (-x)^0 = 1 \cdot 4^8 \cdot 1 = 4^8 \).

Vypočítáme \( 4^8 \):

\( 4^8 = (4^4)^2 = (256)^2 = 65536 \).

Volný člen je tedy \(65536\).

Řešení příkladu:

Ve výrazu \( (1 + x)^5 \) jsou koeficienty \( C(5,k) \) pro \( k=0,1,\dots,5 \).

Tyto koeficienty jsou: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Z nich jsou sudé koeficienty ty, které jsou dělitelný 2.

Jsou to hodnoty \( k \) pro které je \( C(5,k) \) sudé.

Koeficienty 10 jsou sudé a odpovídají \( k=2 \) a \( k=3 \).

Pro ostatní \( k \) je koeficient lichý.

Odpověď: koeficienty jsou sudé právě pro \( k=2 \) a \( k=3 \).

Řešení příkladu:

Podle binomické věty

\( (x – 4)^7 = \sum_{k=0}^7 C(7,k) x^{7-k} (-4)^k \).

Hledáme člen s \( x^5 \), tedy chceme \( 7 – k = 5 \Rightarrow k = 2 \).

Člen s \( x^5 \) je tedy

\( C(7,2) x^5 (-4)^2 = C(7,2) x^5 16 \).

Binomický koeficient

\( C(7,2) = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21 \).

Koeficient u \( x^5 \) je

\( 21 \cdot 16 = 336 \).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů získáme dosazením \( x=1 \) do výrazu:

\( (1 – 2 \cdot 1)^4 = (1 – 2)^4 = (-1)^4 = 1 \).

Součet koeficientů je tedy 1.

Tento součet odpovídá hodnotě výrazu pro \( x=1 \), což potvrzuje správnost.

Řešení příkladu:

Podle binomické věty:

\( (5 – 3x)^5 = \sum_{k=0}^5 C(5,k) 5^{5-k} (-3x)^k = \sum_{k=0}^5 C(5,k) 5^{5-k} (-3)^k x^k \).

Hledáme člen s \( x^2 \), tedy s \( k=2 \):

\( C(5,2) 5^{3} (-3)^2 x^2 = C(5,2) \cdot 125 \cdot 9 \cdot x^2 \).

Binomický koeficient:

\( C(5,2) = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \).

Koeficient u \( x^2 \) je tedy

\( 10 \cdot 125 \cdot 9 = 11250 \).

Absolutní hodnota koeficientu je \(11250\).

Řešení příkladu:

Binomická věta říká, že

\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k \).

Pro \( (3 – 2x)^7 \) máme \( a = 3 \), \( b = -2x \), \( n = 7 \).

Člen s \( x^3 \) nastane, když je mocnina \( b \) rovna 3, tedy \( k=3 \).

Koeficient u \( x^3 \) je

\( C(7,3) \cdot 3^{7-3} \cdot (-2)^3 = C(7,3) \cdot 3^4 \cdot (-8) \).

Vypočítáme binomický koeficient:

\( C(7,3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \).

Mocniny:

\( 3^4 = 81 \), \( (-2)^3 = -8 \).

Výsledek:

\( 35 \cdot 81 \cdot (-8) = -22680 \).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů v rozvoji \((a + b)^n\) získáme, když dosadíme \( x = 1 \).

Pro \( (2 + x)^6 \) je tedy

\( \sum_{k=0}^6 C(6,k) 2^{6-k} 1^k = (2 + 1)^6 = 3^6 \).

Vypočteme:

\( 3^6 = 729 \).

Součet všech koeficientů je tedy \(729\).

Řešení příkladu:

Máme \( a=1 \), \( b=3x \), \( n=8 \).

Člen s \( x^4 \) nastane, když \( k=4 \).

Koeficient je

\( C(8,4) \cdot 1^{8-4} \cdot (3)^4 = C(8,4) \cdot 3^4 \).

Vypočítáme binomický koeficient:

\( C(8,4) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \).

Mocnina:

\( 3^4 = 81 \).

Koeficient je tedy

\( 70 \cdot 81 = 5670 \).

Řešení příkladu:

V rozvoji \((a + b)^n\) platí

\( (x + 2y)^5 = \sum_{k=0}^5 C(5,k) x^{5-k} (2y)^k \).

Člen \( x^2 y^3 \) nastává, když

\( 5-k = 2 \Rightarrow k = 3 \).

Koeficient je

\( C(5,3) \cdot 1^{2} \cdot 2^{3} = C(5,3) \cdot 8 \).

Vypočítáme binomický koeficient:

\( C(5,3) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \).

Koeficient je tedy

\( 10 \cdot 8 = 80 \).

Řešení příkladu:

Rozepíšeme oba výrazy pomocí binomické věty:

\( \left(1 + \frac{1}{x}\right)^5 = \sum_{k=0}^5 C(5,k) 1^{5-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = \sum_{k=0}^5 C(5,k) x^{-k} \).

\( (x – 2)^3 = \sum_{m=0}^3 C(3,m) x^{3-m} (-2)^m \).

Konstantní člen nastává, když součet exponentů \( x \) v součinu je nulový:

\( -k + (3 – m) = 0 \Rightarrow m = 3 – k \).

Proto je konstantní člen

\( \sum_{k=0}^3 C(5,k) C(3,3-k) 1^{5-k} (-2)^{3-k} \).

Vypočítáme jednotlivé členy:

Pro \( k=0 \): \( C(5,0) C(3,3) (-2)^3 = 1 \cdot 1 \cdot (-8) = -8 \).

Pro \( k=1 \): \( C(5,1) C(3,2) (-2)^2 = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60 \).

Pro \( k=2 \): \( C(5,2) C(3,1) (-2)^1 = 10 \cdot 3 \cdot (-2) = -60 \).

Pro \( k=3 \): \( C(5,3) C(3,0) (-2)^0 = 10 \cdot 1 \cdot 1 = 10 \).

Sečteme:

\( -8 + 60 – 60 + 10 = 2 \).

Konstantní člen je tedy \(2\).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů je \((1+1)^{10} = 2^{10} = 1024\).

Součet koeficientů u sudých mocnin \( x \) získáme dosazením \( x = -1 \):

\( (1 + (-1))^{10} = 0^{10} = 0 \).

Součet koeficientů u sudých mocnin je tedy

\( \frac{1024 + 0}{2} = 512 \).

Součet koeficientů u lichých mocnin je

\( 1024 – 512 = 512 \).

Řešení příkladu:

Máme \( a = 2x \), \( b = -1 \), \( n = 8 \).

Člen \( x^5 \) vznikne při mocnině \( a^{5} b^{3} \), protože \( a = 2x \), tedy mocnina \( x^5 \) vznikne právě u \( k = 5 \).

Koeficient u \( x^5 \) je

\( C(8,5) \cdot (2)^5 \cdot (-1)^3 \).

Vypočítáme binomický koeficient:

\( C(8,5) = C(8,3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \).

Mocniny:

\( 2^5 = 32 \), \( (-1)^3 = -1 \).

Výsledek:

\( 56 \cdot 32 \cdot (-1) = -1792 \).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů v rozvoji \((x + 1)^n\) získáme dosazením \( x = 1 \):

\( (1 + 1)^n = 2^n \).

Proto součet koeficientů je \( 2^n \), a to platí pro každé \( n \), tedy i pro sudé \( n \).

Tento výsledek vyplývá přímo z definice binomické věty.

Řešení příkladu:

Rozvoj je

\( (x + 3y)^6 = \sum_{k=0}^6 C(6,k) x^{6-k} (3y)^k \).

Hledáme člen \( x^4 y^2 \), což znamená

\( 6 – k = 4 \Rightarrow k = 2 \).

Koeficient je

\( C(6,2) \cdot 1^{4} \cdot 3^{2} = C(6,2) \cdot 9 \).

Vypočítáme binomický koeficient:

\( C(6,2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \).

Koeficient je tedy

\( 15 \cdot 9 = 135 \).

Řešení příkladu:

Binomické koeficienty \( C(n,k) \) pro pevné \( n \) dosahují maxima v okolí středu, tedy v hodnotách \( k \) blízko \( \frac{n}{2} \).

Pro \( n=10 \) je \( \frac{10}{2} = 5 \).

Hodnoty \( C(10,k) \) rostou do \( k=5 \) a poté klesají:

\( C(10,4) = 210 \), \( C(10,5) = 252 \), \( C(10,6) = 210 \).

Největší hodnota je tedy při \( k=5 \).

Řešení příkladu:

Binomická věta říká, že pro přirozené číslo \( n \) platí

\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k \), kde \( C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Pro \( (3 – 2x)^6 \) tedy platí

\( (3 – 2x)^6 = \sum_{k=0}^6 C(6,k) 3^{6-k} (-2x)^k = \sum_{k=0}^6 C(6,k) 3^{6-k} (-2)^k x^k \).

Koeficient u členu s \( x^4 \) odpovídá \( k = 4 \), proto

\( C(6,4) 3^{6-4} (-2)^4 = C(6,4) 3^{2} 16 \).

Vypočítáme binomický koeficient

\( C(6,4) = \frac{6!}{4! 2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{720}{(24)(2)} = \frac{720}{48} = 15 \).

Dosadíme a spočítáme koeficient

\( 15 \cdot 9 \cdot 16 = 15 \cdot 144 = 2160 \).

Výsledek je tedy koeficient \(2160\) u členu s \( x^4 \).

Řešení příkladu:

Podle binomické věty platí

\( \left( \frac{1}{2} + 3x \right)^8 = \sum_{k=0}^8 C(8,k) \left(\frac{1}{2}\right)^{8-k} (3x)^k = \sum_{k=0}^8 C(8,k) \left(\frac{1}{2}\right)^{8-k} 3^k x^k \).

Koeficient u členu s \( x^k \) je tedy

\( a_k = C(8,k) \left(\frac{1}{2}\right)^{8-k} 3^k \).

Chceme najít \( k \), pro které je \( a_k \) maximální.

Poměr sousedních koeficientů je

\( \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{C(8,k+1)}{C(8,k)} \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{8-(k+1)}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{8-k}} \cdot \frac{3^{k+1}}{3^k} = \frac{8 – k}{k + 1} \cdot 2 \cdot 3 = \frac{8 – k}{k + 1} \cdot 6 \).

Koeficienty rostou, dokud je tento poměr větší než 1, tedy

\( \frac{8 – k}{k + 1} \cdot 6 > 1 \Rightarrow \frac{8 – k}{k + 1} > \frac{1}{6} \Rightarrow 6(8 – k) > k + 1 \Rightarrow 48 – 6k > k + 1 \Rightarrow 48 – 1 > 6k + k \Rightarrow 47 > 7k \Rightarrow k < \frac{47}{7} \approx 6{,}71 \).

Koeficienty rostou do \( k = 6 \) a pak začínají klesat.

Největší koeficient je tedy u \( k = 6 \).

Vypočítáme hodnotu \( a_6 \):

\( C(8,6) = \frac{8!}{6!2!} = \frac{40320}{(720)(2)} = \frac{40320}{1440} = 28 \).

\( a_6 = 28 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot 3^{6} = 28 \cdot \frac{1}{4} \cdot 729 = 7 \cdot 729 = 5103 \).

Největší koeficient je tedy \(5103\) u členu s \( x^6 \).

Řešení příkladu:

Binomický rozvoj je

\( (1 + 2x)^5 = \sum_{k=0}^5 C(5,k) 1^{5-k} (2x)^k = \sum_{k=0}^5 C(5,k) 2^k x^k \).

Chceme součet koeficientů u členů s lichými exponenty \( x \), tedy pro \( k = 1,3,5 \).

Součet koeficientů těchto členů je

\( S = \sum_{k=1,3,5} C(5,k) 2^k \).

Vypočteme jednotlivé členy:

\( C(5,1) = \frac{5!}{1!4!} = 5 \), koeficient: \( 5 \cdot 2^1 = 10 \).

\( C(5,3) = \frac{5!}{3!2!} = 10 \), koeficient: \( 10 \cdot 2^3 = 10 \cdot 8 = 80 \).

\( C(5,5) = 1 \), koeficient: \( 1 \cdot 2^5 = 32 \).

Součet je tedy

\( S = 10 + 80 + 32 = 122 \).

Alternativně lze použít vztah

\( (1 + 2)^5 = \sum_{k=0}^5 C(5,k) 2^k = 243 \),

\( (1 – 2)^5 = \sum_{k=0}^5 C(5,k) (-2)^k = -31 \).

Součet koeficientů u lichých \( k \) je pak

\( \frac{243 – (-31)}{2} = \frac{274}{2} = 137 \).

Jelikož jsme počítali pouze koeficienty u \( x^k \), ne přímo hodnoty členů, používáme první výpočet.

Řešení příkladu:

Podle binomické věty je

\( \left( x – \frac{1}{x} \right)^8 = \sum_{k=0}^8 C(8,k) x^{8-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k = \sum_{k=0}^8 C(8,k) (-1)^k x^{8-k} x^{-k} = \sum_{k=0}^8 C(8,k) (-1)^k x^{8-2k} \).

Hledáme koeficient u \( x^5 \), tedy vyřešíme

\( 8 – 2k = 5 \Rightarrow 2k = 3 \Rightarrow k = \frac{3}{2} \), což není celé číslo.

Proto v rozvoji není žádný člen s mocninou \( x^5 \).

Koeficient u \( x^5 \) je tedy \(0\).

Řešení příkladu:

Rozvoj podle binomické věty:

\( (x + \frac{1}{x})^{10} = \sum_{k=0}^{10} C(10,k) x^{10-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = \sum_{k=0}^{10} C(10,k) x^{10-k-k} = \sum_{k=0}^{10} C(10,k) x^{10-2k} \).

Členy bez \( x \) odpovídají exponentu 0:

\( 10 – 2k = 0 \Rightarrow 2k = 10 \Rightarrow k = 5 \).

Koeficient u členu bez \( x \) je tedy \( C(10,5) \).

Vypočítáme

\( C(10,5) = \frac{10!}{5!5!} = \frac{3628800}{(120)(120)} = \frac{3628800}{14400} = 252 \).

Součet koeficientů u členů bez proměnné \( x \) je tedy \(252\).

Řešení příkladu:

Podle binomické věty

\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k \).

Pro \( (2x – 3)^7 \) platí

\( (2x – 3)^7 = \sum_{k=0}^7 C(7,k) (2x)^{7-k} (-3)^k = \sum_{k=0}^7 C(7,k) 2^{7-k} x^{7-k} (-3)^k \).

Chceme člen s \( x^3 \), tedy \( 7 – k = 3 \Rightarrow k = 4 \).

Koeficient u tohoto členu je

\( C(7,4) 2^{3} (-3)^4 \).

Vypočítáme

\( C(7,4) = \frac{7!}{4!3!} = \frac{5040}{(24)(6)} = \frac{5040}{144} = 35 \).

\( 2^{3} = 8 \), \( (-3)^4 = 81 \).

Koeficient je tedy

\( 35 \cdot 8 \cdot 81 = 35 \cdot 648 = 22680 \).

Koeficient u členu s \( x^3 \) je \(22680\).

Řešení příkladu:

Nejprve rozepíšeme každý výraz zvlášť pomocí binomické věty:

\( (x + 1)^9 = \sum_{i=0}^9 C(9,i) x^i 1^{9-i} = \sum_{i=0}^9 C(9,i) x^i \).

\( (x – 1)^3 = \sum_{j=0}^3 C(3,j) x^j (-1)^{3-j} \).

Výraz je tedy

\( (x + 1)^9 (x – 1)^3 = \left( \sum_{i=0}^9 C(9,i) x^i \right) \left( \sum_{j=0}^3 C(3,j) x^j (-1)^{3-j} \right) = \sum_{i=0}^9 \sum_{j=0}^3 C(9,i) C(3,j) (-1)^{3-j} x^{i+j} \).

Chceme koeficient u \( x^7 \), tedy všechny dvojice \( (i,j) \) s \( i + j = 7 \).

Možné hodnoty jsou:

• \( i=7, j=0 \)
• \( i=6, j=1 \)
• \( i=5, j=2 \)
• \( i=4, j=3 \)

Koeficient je tedy

\( \sum_{(i,j): i+j=7} C(9,i) C(3,j) (-1)^{3-j} \).

Vypočítáme jednotlivé členy:

\( C(9,7) = \frac{9!}{7!2!} = \frac{362880}{(5040)(2)} = \frac{362880}{10080} = 36 \), \( C(3,0) = 1 \), \( (-1)^3 = -1 \), člen: \( 36 \cdot 1 \cdot (-1) = -36 \).

\( C(9,6) = \frac{9!}{6!3!} = \frac{362880}{(720)(6)} = \frac{362880}{4320} = 84 \), \( C(3,1) = 3 \), \( (-1)^2 = 1 \), člen: \( 84 \cdot 3 \cdot 1 = 252 \).

\( C(9,5) = \frac{9!}{5!4!} = \frac{362880}{(120)(24)} = \frac{362880}{2880} = 126 \), \( C(3,2) = 3 \), \( (-1)^1 = -1 \), člen: \( 126 \cdot 3 \cdot (-1) = -378 \).

\( C(9,4) = \frac{9!}{4!5!} = 126 \), \( C(3,3) = 1 \), \( (-1)^0 = 1 \), člen: \( 126 \cdot 1 \cdot 1 = 126 \).

Součet koeficientů:

\( -36 + 252 – 378 + 126 = (-36 + 252) + (-378 + 126) = 216 – 252 = -36 \).

Koeficient u \( x^7 \) je tedy \(-36\).

Řešení příkladu:

Binomická věta říká, že

\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k \), kde \( C(n,k) = \frac{n!}{k! (n-k)!} \).

Zde \( a = 2 \), \( b = -\frac{x}{3} \), \( n = 6 \).

Rozvinutí je tedy

\( \sum_{k=0}^6 C(6,k) 2^{6-k} \left(-\frac{x}{3}\right)^k = \sum_{k=0}^6 C(6,k) 2^{6-k} (-1)^k \frac{x^k}{3^k} \).

Hledáme koeficient u \( x^4 \), tedy pro \( k = 4 \).

Koeficient je

\( C(6,4) 2^{6-4} (-1)^4 \frac{1}{3^4} = C(6,4) 2^2 \frac{1}{81} \).

Vypočítáme binomický koeficient

\( C(6,4) = \frac{6!}{4! 2!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = \frac{720}{48} = 15 \).

Dosadíme:

\( 15 \cdot 4 \cdot \frac{1}{81} = \frac{60}{81} = \frac{20}{27} \).

Koeficient u členu s \( x^4 \) je tedy \( \frac{20}{27} \).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů ve výrazu \( (a + b)^n \) je hodnota tohoto výrazu pro \( x = 1 \), pokud je proměnná v jednom z členů.

Zde \( (3x – 2)^7 \) je výraz v proměnné \( x \), ale my chceme součet koeficientů, tedy hodnotu, když \( x = 1 \).

Dosadíme \( x = 1 \):

\( (3 \cdot 1 – 2)^7 = (3 – 2)^7 = 1^7 = 1 \).

Součet všech koeficientů je tedy \(1\).

Řešení příkladu:

Členy rozvoje mají tvar

\( C(12,k) 1^{12-k} (4x)^k = C(12,k) 4^k x^k \).

Koeficienty jsou tedy \( C(12,k) 4^k \).

Hledáme \( k \), pro které je koeficient maximální.

Poměr sousedních koeficientů je

\( \frac{C(12,k+1) 4^{k+1}}{C(12,k) 4^k} = \frac{C(12,k+1)}{C(12,k)} \cdot 4 = \frac{12 – k}{k + 1} \cdot 4 \).

Koeficient roste, pokud tento poměr > 1:

\( \frac{12 – k}{k + 1} \cdot 4 > 1 \Rightarrow \frac{12 – k}{k + 1} > \frac{1}{4} \Rightarrow 12 – k > \frac{k + 1}{4} \Rightarrow 48 – 4k > k + 1 \Rightarrow 48 – 1 > 5k \Rightarrow 47 > 5k \Rightarrow k < \frac{47}{5} = 9,4 \).

Poměr je > 1 pro \( k < 9,4 \), tedy koeficienty rostou do \( k = 9 \) a pak klesají.

Maximální koeficient je tedy pro \( k = 9 \).

Vypočteme:

\( C(12,9) = \frac{12!}{9!3!} = \frac{479001600}{362880 \cdot 6} = \frac{479001600}{2177280} = 220 \).

Koeficient je \( 220 \cdot 4^9 \).

Vypočítáme \( 4^9 = (4^3)^3 = 64^3 = 262144 \).

Výsledný koeficient je \( 220 \cdot 262144 = 57671680 \).

Člen s maximálním koeficientem je tedy \( 57671680 \cdot x^9 \).

Řešení příkladu:

Výraz lze chápat jako trojčlen \( (a + b + c)^4 \) s \( a=1 \), \( b=2x \), \( c=-x^2 \).

Obecný člen rozvoje podle multinomické věty je

\( \frac{4!}{i! j! k!} a^i b^j c^k \), kde \( i+j+k=4 \).

Chceme koeficient u \( x^5 \), tedy hmotnost proměnné \( x \) v členu je 5:

Proměnná \( x \) je v \( b=2x \) v první mocnině, v \( c=-x^2 \) ve druhé, takže celková mocnina je

\( j \cdot 1 + k \cdot 2 = 5 \).

Současně platí \( i + j + k = 4 \).

Pro \( j,k \) vyjádříme \( i = 4 – j – k \).

Zkusíme najít nezáporná celá řešení pro \( j, k \):

\( j + 2k = 5 \).

Možnosti:

• Pro \( k=0 \), \( j=5 \) neplatí, protože \( j \leq 4 \).
• Pro \( k=1 \), \( j + 2 = 5 \Rightarrow j=3 \), \( i=4-3-1=0 \) platí.
• Pro \( k=2 \), \( j + 4 = 5 \Rightarrow j=1 \), \( i=4-1-2=1 \) platí.
• Pro \( k=3 \), \( j + 6=5 \) neplatí.

Platí tedy dvě možnosti: \( (i,j,k) = (0,3,1) \) a \( (1,1,2) \).

Pro první možnost:

\( \frac{4!}{0! 3! 1!} \cdot 1^0 \cdot (2x)^3 \cdot (-x^2)^1 = \frac{24}{6} \cdot 8x^3 \cdot (-x^2) = 4 \cdot 8 \cdot (-1) x^{3+2} = -32 x^5 \).

Pro druhou možnost:

\( \frac{4!}{1! 1! 2!} \cdot 1^1 \cdot (2x)^1 \cdot (-x^2)^2 = \frac{24}{1 \cdot 1 \cdot 2} \cdot 2x \cdot 1 \cdot x^4 = 12 \cdot 2 \cdot x^{5} = 24 x^5 \) (nezapomínáme na \( (-1)^2 = 1 \)).

Součet koeficientů u \( x^5 \) je

\( -32 + 24 = -8 \).

Koeficient u členu \( x^5 \) je tedy \(-8\).