1. Vyřeš rovnici: \( x^4 = 81 \)
Řešení příkladu:
Rovnice \( x^4 = 81 \) je binomická rovnice, protože obsahuje jednu mocninu neznámé. Obě strany rovnice odmocníme čtvrtou odmocninou:
\( x = \pm \sqrt[4]{81} = \pm \sqrt[4]{3^4} = \pm 3 \)
Řešením rovnice jsou tedy dvě hodnoty: \( x = 3 \) a \( x = -3 \).
2. Vyřeš rovnici: \( x^6 = 64 \)
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( x^6 = 64 \), která je binomická. Nejprve si uvědomíme, že \( 64 = 2^6 \), takže:
\( x^6 = 2^6 \Rightarrow x = \pm 2 \)
Protože lichá odmocnina zachovává znaménko, ale šestá odmocnina má 6 komplexních řešení, pro reálná řešení platí:
\( x = 2 \), \( x = -2 \)
3. Vyřeš rovnici: \( x^2 = -25 \)
Řešení příkladu:
Rovnice \( x^2 = -25 \) nemá v reálných číslech řešení, protože druhá mocnina žádného reálného čísla nemůže být záporná.
Pokud připustíme komplexní čísla, řešení jsou:
\( x = \pm \sqrt{-25} = \pm 5i \)
4. Vyřeš rovnici: \( x^5 = -32 \)
Řešení příkladu:
Protože mocnina je lichá, můžeme brát pátou odmocninu z obou stran:
\( x = \sqrt[5]{-32} = -2 \), protože \( (-2)^5 = -32 \)
Jediné reálné řešení je tedy \( x = -2 \).
5. Vyřeš rovnici: \( (2x)^4 = 81 \)
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomíme, že \( (2x)^4 = 81 \) znamená:
\( 2x = \pm \sqrt[4]{81} = \pm 3 \)
Odtud:
\( x = \pm \frac{3}{2} \)
Řešení jsou: \( x = \frac{3}{2} \) a \( x = -\frac{3}{2} \)
6. Vyřeš rovnici: \( x^8 – 256 = 0 \)
Řešení příkladu:
Převedeme na tvar: \( x^8 = 256 \). Uvědomíme si, že \( 256 = 2^8 \), takže:
\( x^8 = 2^8 \Rightarrow x = \pm 2 \)
Řešení: \( x = 2 \), \( x = -2 \)
7. Vyřeš rovnici: \( x^{10} = 0 \)
Řešení příkladu:
Jediné číslo, které umocněné na jakékoliv číslo dává nulu, je nula:
\( x = 0 \)
8. Vyřeš rovnici: \( (x^2 – 1)^2 = 16 \)
Řešení příkladu:
Nejprve odmocníme obě strany:
\( x^2 – 1 = \pm 4 \)
Získáme dvě rovnice:
1. \( x^2 – 1 = 4 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5} \)
2. \( x^2 – 1 = -4 \Rightarrow x^2 = -3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-3} = \pm i\sqrt{3} \)
Řešení: \( x = \pm \sqrt{5}, \pm i\sqrt{3} \)
9. Vyřeš rovnici: \( x^3 – 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnice \( x^3 – 8 = 0 \) se převede na \( x^3 = 8 \), tedy:
\( x = \sqrt[3]{8} = 2 \)
Jediné reálné řešení je \( x = 2 \)
10. Vyřeš rovnici: \( x^7 = -128 \)
Řešení příkladu:
Rovnice \( x^7 = -128 \) je binomická rovnice. Sedmá mocnina je lichá, proto má rovnice jedno reálné řešení:
\( x = \sqrt[7]{-128} = -2 \), protože \( (-2)^7 = -128 \)
Řešení: \( x = -2 \)
11. Vyřeš rovnici: \( x^5 – 32 = 0 \)
Řešení příkladu:
Máme rovnici: \( x^5 – 32 = 0 \)
Převedeme: \( x^5 = 32 \)
Odmocníme pátou odmocninou: \( x = \sqrt[5]{32} \)
Protože \( 32 = 2^5 \), platí: \( x = \sqrt[5]{2^5} = 2 \)
Výsledek: \( x = 2 \)
12. Vyřeš rovnici: \( x^6 + 64 = 0 \)
Řešení příkladu:
\( x^6 + 64 = 0 \Rightarrow x^6 = -64 \)
Šestá odmocnina záporného čísla v reálných číslech neexistuje → žádné reálné řešení.
Výsledek: Rovnice nemá řešení v množině reálných čísel.
13. Vyřeš rovnici: \( 3x^4 – 243 = 0 \)
Řešení příkladu:
Nejprve převedeme: \( 3x^4 = 243 \Rightarrow x^4 = 81 \)
Odmocníme čtvrtou odmocninou: \( x = \pm \sqrt[4]{81} \)
\( 81 = 3^4 \Rightarrow x = \pm 3 \)
Výsledek: \( x = \pm 3 \)
14. Vyřeš rovnici: \( x^7 + 128 = 0 \)
Řešení příkladu:
\( x^7 + 128 = 0 \Rightarrow x^7 = -128 \)
\( x = \sqrt[7]{-128} \Rightarrow x = -\sqrt[7]{128} \)
\( 128 = 2^7 \Rightarrow x = -2 \)
Výsledek: \( x = -2 \)
15. Vyřeš rovnici: \( 5x^2 – 80 = 0 \)
Řešení příkladu:
\( 5x^2 = 80 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm \sqrt{16} = \pm 4 \)
Výsledek: \( x = \pm 4 \)
16. Vyřeš rovnici: \( x^3 + 27 = 0 \)
Řešení příkladu:
\( x^3 = -27 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-27} = -3 \)
Výsledek: \( x = -3 \)
17. Vyřeš rovnici: \( 2x^6 + 162 = 0 \)
Řešení příkladu:
\( 2x^6 = -162 \Rightarrow x^6 = -81 \)
Šestá mocnina není záporná → žádné reálné řešení.
Výsledek: Rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel.
18. Vyřeš rovnici: \( x^8 – 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
\( x^8 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) (v reálných číslech)
Výsledek: \( x = \pm 1 \)
19. Vyřeš rovnici: \( 4x^5 + 500 = 0 \)
Řešení příkladu:
\( 4x^5 = -500 \Rightarrow x^5 = -125 \)
\( x = \sqrt[5]{-125} = -5 \)
Výsledek: \( x = -5 \)
20. Vyřeš rovnici: \( x^{10} – 1024 = 0 \)
Řešení příkladu:
\( x^{10} = 1024 \)
\( 1024 = 2^{10} \Rightarrow x = \pm 2 \)
Výsledek: \( x = \pm 2 \)
21. Vyřeš rovnici: \( 2x^4 – 32 = 0 \)
Řešení příkladu:
Máme: \( 2x^4 – 32 = 0 \)
Převedeme: \( 2x^4 = 32 \)
Dělením: \( x^4 = \frac{32}{2} = 16 \)
Odmocníme čtvrtou odmocninou: \( x = \pm \sqrt[4]{16} \)
Protože \(16 = 2^4\), platí \( x = \pm 2 \)
Výsledek: \( x = \pm 2 \)
22. Vyřeš rovnici: \( 5x^3 + 125 = 0 \)
Řešení příkladu:
Převod: \( 5x^3 = -125 \)
Dělením: \( x^3 = -25 \)
Hledáme číslo, jehož třetí mocnina je -25. Protože 25 není dokonalá mocnina třetí, nemá řešení mezi racionálními čísly.
Řešení v reálných číslech je:
\( x = \sqrt[3]{-125/5} = \sqrt[3]{-25} \approx -2.924 \) (přibližně)
Výsledek: \( x \approx -2.924 \)
23. Vyřeš rovnici: \( x^5 = 243 \)
Řešení příkladu:
Odmocníme pátou odmocninou: \( x = \sqrt[5]{243} \)
Víme, že \( 243 = 3^5 \), tedy \( x = 3 \)
Výsledek: \( x = 3 \)
24. Vyřeš rovnici: \( 7x^6 – 448 = 0 \)
Řešení příkladu:
Převedeme: \( 7x^6 = 448 \)
Dělením: \( x^6 = \frac{448}{7} = 64 \)
Odmocníme šestou odmocninou: \( x = \pm \sqrt[6]{64} \)
Protože \( 64 = 2^6 \), platí \( x = \pm 2 \)
Výsledek: \( x = \pm 2 \)
25. Vyřeš rovnici: \( 9x^4 + 81 = 0 \)
Řešení příkladu:
Převedeme: \( 9x^4 = -81 \)
Protože \( x^4 \geq 0 \) pro všechna reálná čísla a pravá strana je záporná, rovnice nemá řešení v reálných číslech.
Výsledek: Žádné reálné řešení.
26. Vyřeš rovnici: \( x^8 = 256 \)
Řešení příkladu:
Odmocníme osmou odmocninou: \( x = \pm \sqrt[8]{256} \)
Protože \( 256 = 2^8 \), platí \( x = \pm 2 \)
Výsledek: \( x = \pm 2 \)
27. Vyřeš rovnici: \( 4x^7 – 16384 = 0 \)
Řešení příkladu:
Převedeme: \( 4x^7 = 16384 \)
Dělením: \( x^7 = \frac{16384}{4} = 4096 \)
Protože \( 4096 = 2^{12} \) a \( 7 \nmid 12 \), nejedná se o dokonalou sedmou mocninu, ale můžeme napsat:
\( x = \sqrt[7]{4096} \)
Odhad aproximace:
\( 2^7 = 128 \), \( 3^7 = 2187 \), \( 4^7 = 16384 \), což je přesně \( 4^7 \), takže: \( x = 4 \)
(Omluva za chybu, 4096 = \( 2^{12} \) ale správný výpočet je 16384 děleno 4)
Protože \(16384 = 2^{14}\), tedy \( x^7 = 2^{14-2} = 2^{12} \), takže \( x = \sqrt[7]{2^{12}} = 2^{12/7} \approx 3.31 \) (přibližně)
Výsledek: \( x \approx 3.31 \)
28. Vyřeš rovnici: \( x^{10} = 1024 \)
Řešení příkladu:
Odmocníme desátou odmocninou: \( x = \pm \sqrt[10]{1024} \)
Víme, že \( 1024 = 2^{10} \), takže \( x = \pm 2 \)
Výsledek: \( x = \pm 2 \)
29. Vyřeš rovnici: \( 3x^5 – 243 = 0 \)
Řešení příkladu:
Převedeme: \( 3x^5 = 243 \)
Dělením: \( x^5 = 81 \)
Protože \( 81 = 3^4 \), nemáme dokonalou pátou mocninu, ale můžeme napsat:
\( x = \sqrt[5]{81} \approx 2.11 \) (přibližně)
Výsledek: \( x \approx 2.11 \)
30. Vyřeš rovnici: \( x^9 + 512 = 0 \)
Řešení příkladu:
\( x^9 = -512 \)
Víme, že \( 512 = 2^9 \), takže:
\( x = \sqrt[9]{-512} = – \sqrt[9]{512} = -2 \)
Výsledek: \( x = -2 \)
