1. Vypočítej: \( \sqrt{50} \)
Řešení příkladu:
Nejdříve si připomeneme, co znamená odmocnina. Odmocnina z čísla je takové číslo, které když umocníme na druhou, dostaneme zpět původní číslo.
Například: \( \sqrt{25} = 5 \), protože \( 5^2 = 25 \).
Podívejme se nyní na naše číslo 50. Číslo 50 není přesnou druhou mocninou žádného celého čísla, proto se pokusíme číslo 50 rozložit tak, abychom našli v jeho rozkladu číslo, které je dokonalý čtverec.
Číslo 50 lze rozložit jako: \( 50 = 25 \times 2 \)
Proč právě 25? Protože 25 je dokonalý čtverec, tedy \( 5^2 = 25 \), a s tím můžeme snadno pracovat.
Teď použijeme vlastnost odmocniny: \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
V našem případě: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} \)
Odmocnina z 25 je 5, protože \( 5^2 = 25 \), takže pokračujeme:
\( \sqrt{50} = 5 \times \sqrt{2} \)
Tento tvar je zjednodušený zápis odmocniny a výsledkem je: \( 5 \sqrt{2} \)
2. Vypočítej: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Číslo 72 není druhou mocninou žádného celého čísla, takže zkusíme částečně odmocňovat.
Rozklad čísla 72: \( 72 = 36 \times 2 \)
Proč právě 36? Protože \( 6^2 = 36 \) a to je dokonalý čtverec.
Využijeme vlastnost odmocniny: \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \)
\( \sqrt{36} = 6 \), protože \( 6^2 = 36 \)
Dosadíme: \( \sqrt{72} = 6 \times \sqrt{2} \)
Výsledný zjednodušený tvar: \( 6 \sqrt{2} \)
3. Vypočítej: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Číslo 98 rozložíme tak, aby obsahovalo dokonalý čtverec.
Rozklad: \( 98 = 49 \times 2 \)
Protože \( 7^2 = 49 \), využijeme vlastnost: \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \)
\( \sqrt{49} = 7 \)
\( \sqrt{98} = 7 \times \sqrt{2} \)
Výsledný tvar: \( 7 \sqrt{2} \)
4. Vypočítej: \( \sqrt{45} \)
Řešení příkladu:
Číslo 45 není dokonalý čtverec. Rozložíme jej: \( 45 = 9 \times 5 \)
\( 9 = 3^2 \), takže je to dokonalý čtverec.
\( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} \)
\( \sqrt{9} = 3 \)
Takže: \( \sqrt{45} = 3 \times \sqrt{5} = 3 \sqrt{5} \)
5. Vypočítej: \( \sqrt{20} \)
Řešení příkladu:
Číslo 20 rozložíme: \( 20 = 4 \times 5 \)
\( 4 = 2^2 \), je dokonalý čtverec.
\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} \)
\( \sqrt{4} = 2 \)
Takže: \( \sqrt{20} = 2 \times \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} \)
6. Vypočítej: \( \sqrt{12} \)
Řešení příkladu:
Číslo 12 rozložíme: \( 12 = 4 \times 3 \)
\( 4 = 2^2 \), je dokonalý čtverec.
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} \)
\( \sqrt{4} = 2 \)
Takže: \( \sqrt{12} = 2 \times \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \)
7. Vypočítej: \( \sqrt{27} \)
Řešení příkladu:
Číslo 27 rozložíme: \( 27 = 9 \times 3 \)
\( 9 = 3^2 \), je dokonalý čtverec.
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} \)
\( \sqrt{9} = 3 \)
Takže: \( \sqrt{27} = 3 \times \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \)
8. Vypočítej: \( \sqrt{32} \)
Řešení příkladu:
Číslo 32 rozložíme: \( 32 = 16 \times 2 \)
\( 16 = 4^2 \), je dokonalý čtverec.
\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} \)
\( \sqrt{16} = 4 \)
Takže: \( \sqrt{32} = 4 \times \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \)
9. Vypočítej: \( \sqrt{18} \)
Řešení příkladu:
Číslo 18 rozložíme: \( 18 = 9 \times 2 \)
\( 9 = 3^2 \), je dokonalý čtverec.
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} \)
\( \sqrt{9} = 3 \)
Takže: \( \sqrt{18} = 3 \times \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} \)
10. Vypočítej: \( \sqrt{63} \)
Řešení příkladu:
Číslo 63 rozložíme: \( 63 = 9 \times 7 \)
\( 9 = 3^2 \), je dokonalý čtverec.
\( \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = \sqrt{9} \times \sqrt{7} \)
\( \sqrt{9} = 3 \)
Takže: \( \sqrt{63} = 3 \times \sqrt{7} = 3 \sqrt{7} \)
11. Vypočítej: \( \sqrt{50} \)
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomíme, že číslo 50 není druhou mocninou žádného celého čísla. To znamená, že jej nemůžeme odmocnit přímo. Proto zkusíme tzv. částečné odmocňování — tedy rozložíme číslo 50 na součin dvou čísel, z nichž jedno bude druhou mocninou (tedy tzv. dokonalý čtverec).
Hledáme největší dokonalý čtverec, který je dělitelem čísla 50. Číslo 25 je ideální, protože \( 25 = 5^2 \) a \( 25 \cdot 2 = 50 \). Takže:
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} \)
Nyní použijeme základní vlastnost odmocnin: součin odmocnin je odmocnina součinu, tedy:
\( \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} \)
\( \sqrt{25} = 5 \), protože \( 5^2 = 25 \), a tak dostáváme:
\( \sqrt{50} = 5 \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
Výsledkem je tedy výraz \( 5\sqrt{2} \), což je jednodušší tvar než původní zápis \( \sqrt{50} \).
12. Vypočítej: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Číslo 72 opět není druhou mocninou, takže hledáme rozklad na součin, kde jeden činitel bude dokonalý čtverec.
Rozložíme: \( 72 = 36 \cdot 2 \), protože 36 je dokonalý čtverec a \( 36 = 6^2 \).
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} \)
\( \sqrt{36} = 6 \), protože \( 6^2 = 36 \), takže:
\( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)
13. Vypočítej: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
\( 98 = 49 \cdot 2 \), kde 49 je dokonalý čtverec, protože \( 7^2 = 49 \).
Částečné odmocnění: \( \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)
14. Vypočítej: \( \sqrt{45} \)
Řešení příkladu:
\( 45 = 9 \cdot 5 \), kde 9 je dokonalý čtverec, protože \( 3^2 = 9 \).
\( \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \)
15. Vypočítej: \( \sqrt{20} \)
Řešení příkladu:
\( 20 = 4 \cdot 5 \), kde 4 je dokonalý čtverec, protože \( 2^2 = 4 \).
\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \)
16. Vypočítej: \( \sqrt{12} \)
Řešení příkladu:
\( 12 = 4 \cdot 3 \), přičemž \( \sqrt{4} = 2 \), takže:
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
17. Vypočítej: \( \sqrt{27} \)
Řešení příkladu:
\( 27 = 9 \cdot 3 \), kde 9 je dokonalý čtverec. Tedy:
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
18. Vypočítej: \( \sqrt{32} \)
Řešení příkladu:
Rozklad: \( 32 = 16 \cdot 2 \), přičemž \( \sqrt{16} = 4 \), tedy:
\( \sqrt{32} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)
19. Vypočítej: \( \sqrt{18} \)
Řešení příkladu:
Rozklad: \( 18 = 9 \cdot 2 \Rightarrow \sqrt{18} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
20. Vypočítej: \( \sqrt{63} \)
Řešení příkladu:
\( 63 = 9 \cdot 7 \), protože 9 je dokonalý čtverec a \( 9 = 3^2 \)
\( \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7} \)
21. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{50} \)
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomíme, co je částečné odmocňování. Jedná se o proces, kdy se snažíme vytknout z odmocniny takový činitel, jehož druhou mocninu známe. Tím zjednodušíme zápis odmocniny.
Máme výraz: \( \sqrt{50} \)
Podíváme se, zda číslo 50 obsahuje jako dělitele nějaký dokonalý čtverec. Mezi nejčastější dokonalé čtverce patří: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …
Vidíme, že číslo 25 je dělitelem 50, protože: \( 50 = 25 \cdot 2 \)
Využijeme vlastnost odmocniny: \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
Tedy: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} \)
A protože \( \sqrt{25} = 5 \), dostáváme:
\( \sqrt{50} = 5 \cdot \sqrt{2} \)
Odpověď: \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
22. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomíme, že chceme zjednodušit výraz \( \sqrt{72} \) částečným odmocněním.
Hledáme největší možný dokonalý čtverec, kterým je 72 dělitelné. Vyzkoušíme některé dokonalé čtverce:
- \( 36 \): protože \( 72 = 36 \cdot 2 \)
- Ostatní menší: 25, 16, 9, 4 nejsou lepší volbou, protože 36 je větší
Zapíšeme: \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} \)
Použijeme vlastnost odmocniny: \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
\( \sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot \sqrt{2} \)
Odpověď: \( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)
23. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Rozkládáme číslo 200 na součin tak, abychom identifikovali největší dokonalý čtverec:
Např.: \( 200 = 100 \cdot 2 \), kde \( 100 \) je dokonalý čtverec, protože \( \sqrt{100} = 10 \)
Tedy: \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot \sqrt{2} \)
Odpověď: \( \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \)
24. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Hledáme největší dokonalý čtverec, kterým je 98 dělitelné. Vidíme, že:
\( 98 = 49 \cdot 2 \), přičemž \( \sqrt{49} = 7 \)
Takže: \( \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)
Odpověď: \( \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \)
25. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{18} \)
Řešení příkladu:
Chceme zjednodušit odmocninu \( \sqrt{18} \), tedy provést tzv. částečné odmocnění.
Nejprve si uvědomme, že odmocnina znamená hledání čísla, které když umocníme na druhou, dostaneme číslo pod odmocninou. Například \( \sqrt{9} = 3 \), protože \( 3^2 = 9 \).
Naším cílem je rozložit číslo 18 na součin čísel, z nichž jedno je dokonalý čtverec. Podívejme se na faktory čísla 18:
\( 18 = 9 \times 2 \)
Vidíme, že 9 je dokonalý čtverec, protože \( 9 = 3^2 \).
Tedy můžeme napsat:
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} \)
Díky vlastnosti odmocniny, která říká, že odmocnina součinu je součin odmocnin, platí:
\( \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{9} = 3 \), můžeme napsat:
\( 3 \times \sqrt{2} \)
Tedy výraz \( \sqrt{18} \) je zjednodušený na \( 3\sqrt{2} \).
Závěr: Částečné odmocňování nám umožňuje rozložit odmocninu na součin čísla a odmocniny, což často zjednodušuje výpočty.
26. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{50} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 50.
Nejdříve rozložíme číslo 50 na součin faktorů, přičemž jeden z faktorů by měl být dokonalý čtverec, abychom mohli využít vlastnosti odmocniny:
\( 50 = 25 \times 2 \)
Víme, že 25 je dokonalý čtverec, protože \( 25 = 5^2 \).
Můžeme tedy napsat:
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} \)
Dle vlastnosti odmocniny rozložíme na součin odmocnin:
\( \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{25} = 5 \), dostáváme:
\( 5 \times \sqrt{2} \)
Tedy zjednodušený tvar výrazu je \( 5\sqrt{2} \).
Takto zjednodušený zápis je jednodušší a často využívaný například při výpočtech v geometrii nebo fyzice.
27. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Chceme zjednodušit odmocninu \( \sqrt{72} \).
Začneme hledáním dokonalého čtverce, který je dělitelem čísla 72.
Rozložíme 72 na součin:
\( 72 = 36 \times 2 \)
36 je dokonalý čtverec, protože \( 36 = 6^2 \).
Tedy:
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{36} = 6 \), dostaneme:
\( 6\sqrt{2} \)
Výraz je tedy zjednodušený na \( 6\sqrt{2} \).
Tento způsob částečného odmocňování je velmi užitečný, protože nám umožňuje snadno pracovat s odmocninami i ve složitějších výrazech.
28. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit výraz \( \sqrt{98} \).
Hledáme největší dokonalý čtverec, který je dělitelem 98.
Rozložíme 98:
\( 98 = 49 \times 2 \)
Víme, že \( 49 = 7^2 \), je tedy dokonalý čtverec.
Podle pravidla:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), můžeme napsat:
\( 7\sqrt{2} \)
Tedy zjednodušený tvar je \( 7\sqrt{2} \).
Tento postup se nazývá částečné odmocňování a používáme jej často, když chceme odmocninu převést na jednodušší tvar.
29. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{32} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 32.
Rozložíme číslo 32 na součin tak, aby jeden z činitelů byl dokonalý čtverec:
\( 32 = 16 \times 2 \)
16 je dokonalý čtverec, protože \( 16 = 4^2 \).
Můžeme tedy napsat:
\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{16} = 4 \), dostáváme:
\( 4\sqrt{2} \)
Tento výsledek je jednodušší a lépe se s ním pracuje než s původním výrazem.
30. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{45} \)
Řešení příkladu:
Potřebujeme zjednodušit výraz \( \sqrt{45} \).
Začneme hledáním dokonalého čtverce, který je dělitelem čísla 45:
\( 45 = 9 \times 5 \)
Víme, že \( 9 = 3^2 \) je dokonalý čtverec.
Tedy můžeme psát:
\( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} \)
Protože \( \sqrt{9} = 3 \), dostáváme:
\( 3\sqrt{5} \)
Takto upravený výraz je snadnější na pochopení a další práci.
31. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{63} \)
Řešení příkladu:
Chceme zjednodušit odmocninu z čísla 63.
Prvním krokem je najít takové číslo, které je dokonalým čtvercem a zároveň dělitelem 63.
Podívejme se na faktory čísla 63:
\( 63 = 9 \times 7 \)
Číslo 9 je dokonalý čtverec, protože \( 9 = 3^2 \).
Můžeme tedy přepsat odmocninu jako součin dvou odmocnin:
\( \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = \sqrt{9} \times \sqrt{7} \)
Protože \( \sqrt{9} = 3 \), zjednodušíme výraz na:
\( 3\sqrt{7} \)
Tímto způsobem jsme provedli částečné odmocňování, které nám pomáhá zjednodušit odmocniny a usnadnit další výpočty.
32. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{80} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 80.
Rozložíme číslo 80 na součin, kde jeden z faktorů je dokonalý čtverec:
\( 80 = 16 \times 5 \)
Číslo 16 je dokonalý čtverec, protože \( 16 = 4^2 \).
Můžeme tedy odmocninu rozdělit:
\( \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} \)
Protože \( \sqrt{16} = 4 \), výraz se zjednoduší na:
\( 4\sqrt{5} \)
Takto upravený tvar je jednodušší a snáze se s ním pracuje.
33. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{45} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu čísla 45.
Hledáme největší dokonalý čtverec, který dělí 45. Rozložíme číslo:
\( 45 = 9 \times 5 \)
Číslo 9 je dokonalý čtverec, protože \( 9 = 3^2 \).
Rozepíšeme odmocninu podle vlastnosti:
\( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} \)
Protože \( \sqrt{9} = 3 \), dostáváme:
\( 3\sqrt{5} \)
Toto je jednodušší tvar, který se snadněji používá v dalších matematických úlohách.
34. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Upravujeme odmocninu čísla 72.
Najdeme dokonalý čtverec, který je dělitelem 72:
\( 72 = 36 \times 2 \)
Číslo 36 je dokonalý čtverec, protože \( 36 = 6^2 \).
Podle pravidel rozložíme odmocninu:
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{36} = 6 \), máme:
\( 6\sqrt{2} \)
Tento způsob zjednodušení je velmi užitečný a často používaný.
35. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{27} \)
Řešení příkladu:
Potřebujeme zjednodušit odmocninu z čísla 27.
Najdeme dokonalý čtverec, který dělí 27:
\( 27 = 9 \times 3 \)
Číslo 9 je dokonalý čtverec, protože \( 9 = 3^2 \).
Rozložíme odmocninu:
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} \)
Protože \( \sqrt{9} = 3 \), dostáváme:
\( 3\sqrt{3} \)
Tento zjednodušený tvar je vhodnější pro další výpočty.
36. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Chceme zjednodušit odmocninu z čísla 98.
Najdeme dokonalý čtverec, který je dělitelem 98:
\( 98 = 49 \times 2 \)
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \( 49 = 7^2 \).
Rozložíme odmocninu:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), máme:
\( 7\sqrt{2} \)
Takto zjednodušený výraz je snadněji použitelný.
37. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu čísla 200.
Najdeme dokonalý čtverec, který je dělitelem 200:
\( 200 = 100 \times 2 \)
Číslo 100 je dokonalý čtverec, protože \( 100 = 10^2 \).
Můžeme odmocninu rozdělit:
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{100} = 10 \), dostáváme:
\( 10\sqrt{2} \)
Tento tvar je jednodušší a lepší pro další práci.
38. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{147} \)
Řešení příkladu:
Potřebujeme zjednodušit odmocninu z čísla 147.
Najdeme dokonalý čtverec, který dělí 147:
\( 147 = 49 \times 3 \)
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \( 49 = 7^2 \).
Rozložíme odmocninu na součin:
\( \sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = \sqrt{49} \times \sqrt{3} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), dostáváme:
\( 7\sqrt{3} \)
Tento zjednodušený tvar je vhodný k dalším výpočtům.
39. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{125} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu čísla 125.
Najdeme dokonalý čtverec dělící číslo 125:
\( 125 = 25 \times 5 \)
Číslo 25 je dokonalý čtverec, protože \( 25 = 5^2 \).
Rozložíme odmocninu:
\( \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} \)
Protože \( \sqrt{25} = 5 \), dostáváme:
\( 5\sqrt{5} \)
Takto upravený výraz je jednodušší.
40. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{18} \)
Řešení příkladu:
Potřebujeme zjednodušit odmocninu z čísla 18.
Najdeme dokonalý čtverec, který dělí 18:
\( 18 = 9 \times 2 \)
Číslo 9 je dokonalý čtverec, protože \( 9 = 3^2 \).
Rozložíme odmocninu:
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{9} = 3 \), dostáváme:
\( 3\sqrt{2} \)
Tento výsledek je zjednodušený a snáze použitelný.
41. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{147} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 147.
Prvním krokem je zjistit, jestli lze číslo 147 rozložit na součin dvou čísel, kde jedno je dokonalý čtverec.
Prozkoumejme faktory čísla 147:
147 = 49 × 3
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Můžeme tedy odmocninu přepsat jako součin dvou odmocnin:
\( \sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = \sqrt{49} \times \sqrt{3} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), výsledkem je:
\( 7\sqrt{3} \)
Toto je zjednodušený tvar odmocniny, který je jednodušší a snáze se s ním pracuje při dalších výpočtech.
42. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{162} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 162.
Nejprve rozložíme číslo 162 na součin, který obsahuje dokonalý čtverec:
162 = 81 × 2
Číslo 81 je dokonalý čtverec, protože \(81 = 9^2\).
Přepíšeme odmocninu:
\( \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = \sqrt{81} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{81} = 9 \), zjednodušíme na:
\( 9\sqrt{2} \)
Tento tvar je uživatelsky přívětivější a snadno se s ním dá dále pracovat.
43. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Chceme zjednodušit odmocninu čísla 200.
Najdeme největší dokonalý čtverec, který je děličem 200:
200 = 100 × 2
Číslo 100 je dokonalý čtverec, protože \(100 = 10^2\).
Můžeme tedy odmocninu rozdělit:
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{100} = 10 \), výsledek je:
\( 10\sqrt{2} \)
Tento výraz je zjednodušený a vhodnější pro další použití.
44. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{242} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu čísla 242.
Nejprve zjistíme, jestli má 242 nějaký dokonalý čtverec jako dělitel:
242 = 121 × 2
Číslo 121 je dokonalý čtverec, protože \(121 = 11^2\).
Přepíšeme odmocninu:
\( \sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{121} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{121} = 11 \), zjednodušení je:
\( 11\sqrt{2} \)
Tento výraz je jednodušší a přehlednější pro další použití.
45. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{288} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit odmocninu z čísla 288.
Rozložíme 288 na součin, kde jeden z činitelů je dokonalý čtverec:
288 = 144 × 2
Číslo 144 je dokonalý čtverec, protože \(144 = 12^2\).
Můžeme tedy odmocninu rozepsat:
\( \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = \sqrt{144} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{144} = 12 \), dostáváme:
\( 12\sqrt{2} \)
Toto je zjednodušený tvar, který je vhodný pro další výpočty.
46. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 98.
Najdeme největší dokonalý čtverec dělící 98:
98 = 49 × 2
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Odmocninu můžeme rozepsat:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), dostáváme:
\( 7\sqrt{2} \)
Tento tvar je jednodušší a výhodnější pro další výpočty.
47. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Potřebujeme zjednodušit odmocninu čísla 98.
Zkontrolujeme rozklad na dokonalý čtverec:
98 = 49 × 2
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Proto lze odmocninu rozepsat jako:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), dostáváme:
\( 7\sqrt{2} \)
Výsledný tvar je jednodušší a lépe využitelný.
48. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{50} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 50.
Rozložíme číslo 50 na součin, kde jeden z činitelů je dokonalý čtverec:
50 = 25 × 2
Číslo 25 je dokonalý čtverec, protože \(25 = 5^2\).
Můžeme přepsat odmocninu jako:
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{25} = 5 \), dostaneme:
\( 5\sqrt{2} \)
Tento tvar je jednodušší na práci a další výpočty.
49. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu čísla 72.
Najdeme největší dokonalý čtverec dělící číslo 72:
72 = 36 × 2
Číslo 36 je dokonalý čtverec, protože \(36 = 6^2\).
Můžeme tedy odmocninu přepsat:
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{36} = 6 \), dostáváme:
\( 6\sqrt{2} \)
Tento tvar je přehlednější a snadněji se s ním dá počítat.
50. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit odmocninu čísla 98.
Zkontrolujeme, jestli číslo 98 obsahuje dokonalý čtverec:
98 = 49 × 2
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Můžeme tedy odmocninu rozepsat:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), dostáváme:
\( 7\sqrt{2} \)
Výsledek je jednodušší a vhodný pro další použití.
51. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 200.
Prvním krokem je zjistit, zda lze 200 rozložit na součin, kde jeden z činitelů je dokonalý čtverec.
Najdeme faktory čísla 200:
200 = 100 × 2
Číslo 100 je dokonalý čtverec, protože \(100 = 10^2\).
Můžeme tedy odmocninu přepsat jako:
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{100} = 10 \), dostáváme:
\( 10 \sqrt{2} \)
Tímto způsobem jsme výraz zjednodušili, což usnadní další práci s tímto číslem.
52. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{450} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit odmocninu čísla 450.
Nejprve rozložíme číslo 450 na součin, kde jeden z činitelů bude dokonalý čtverec.
450 = 225 × 2
Číslo 225 je dokonalý čtverec, protože \(225 = 15^2\).
Odmocninu přepíšeme:
\( \sqrt{450} = \sqrt{225 \times 2} = \sqrt{225} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{225} = 15 \), dostaneme:
\( 15 \sqrt{2} \)
Výraz je nyní jednodušší a lépe se s ním pracuje.
53. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{392} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 392.
Nejprve najdeme dokonalý čtverec, který je dělitelem 392:
392 = 49 × 8
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Odmocninu lze tedy rozložit:
\( \sqrt{392} = \sqrt{49 \times 8} = \sqrt{49} \times \sqrt{8} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), zbývá zjednodušit \( \sqrt{8} \).
Číslo 8 lze dále rozložit:
8 = 4 × 2
Číslo 4 je dokonalý čtverec, protože \(4 = 2^2\).
Odmocninu tedy rozebereme i na této úrovni:
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \)
Nyní můžeme celý výraz napsat jako:
\( 7 \times 2 \sqrt{2} = 14 \sqrt{2} \)
Tím jsme výraz úplně zjednodušili.
54. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{675} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit odmocninu čísla 675.
Nejprve zjistíme dokonalý čtverec, který dělí číslo 675.
675 = 225 × 3
Číslo 225 je dokonalý čtverec, protože \(225 = 15^2\).
Můžeme tedy odmocninu rozepsat:
\( \sqrt{675} = \sqrt{225 \times 3} = \sqrt{225} \times \sqrt{3} \)
Protože \( \sqrt{225} = 15 \), dostáváme:
\( 15 \sqrt{3} \)
Výraz je nyní zjednodušený a snadněji použitelný.
55. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{128} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu čísla 128.
Nejprve rozložíme číslo 128 na součin, kde jeden z činitelů bude dokonalý čtverec:
128 = 64 × 2
Číslo 64 je dokonalý čtverec, protože \(64 = 8^2\).
Odmocninu můžeme přepsat jako:
\( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{64} = 8 \), dostaneme:
\( 8 \sqrt{2} \)
Tento výraz je jednodušší a vhodnější pro další výpočty.
56. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{242} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit odmocninu čísla 242.
Zkontrolujeme, zda číslo 242 obsahuje dokonalý čtverec:
242 = 121 × 2
Číslo 121 je dokonalý čtverec, protože \(121 = 11^2\).
Můžeme tedy napsat:
\( \sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{121} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{121} = 11 \), dostáváme:
\( 11 \sqrt{2} \)
Výraz je jednodušší a lépe použitelný.
57. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{392} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu čísla 392.
Rozložíme číslo 392 na součin dokonalého čtverce a dalšího čísla:
392 = 49 × 8
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Přepíšeme odmocninu jako:
\( \sqrt{392} = \sqrt{49 \times 8} = \sqrt{49} \times \sqrt{8} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), zbývá zjednodušit \( \sqrt{8} \).
Číslo 8 lze dále rozložit na součin 4 × 2, kde 4 je dokonalý čtverec:
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \)
Nyní celý výraz zapíšeme jako:
\( 7 \times 2 \sqrt{2} = 14 \sqrt{2} \)
Tím jsme výraz zjednodušili na jeho nejjednodušší tvar.
58. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{450} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu čísla 450.
Rozložíme 450 na součin, kde jeden činitel je dokonalý čtverec:
450 = 225 × 2
Číslo 225 je dokonalý čtverec, protože \(225 = 15^2\).
Odmocninu rozebereme na:
\( \sqrt{450} = \sqrt{225 \times 2} = \sqrt{225} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{225} = 15 \), dostáváme:
\( 15 \sqrt{2} \)
Výsledek je jednodušší a vhodnější pro další použití.
59. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{512} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu čísla 512.
Nejprve rozložíme číslo 512 na součin, kde jeden z činitelů bude dokonalý čtverec:
512 = 256 × 2
Číslo 256 je dokonalý čtverec, protože \(256 = 16^2\).
Odmocninu tedy můžeme přepsat:
\( \sqrt{512} = \sqrt{256 \times 2} = \sqrt{256} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{256} = 16 \), dostáváme:
\( 16 \sqrt{2} \)
Tento tvar je jednodušší a lépe se s ním pracuje.
60. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{648} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit odmocninu čísla 648.
Nejprve najdeme dokonalý čtverec, který dělí číslo 648:
648 = 81 × 8
Číslo 81 je dokonalý čtverec, protože \(81 = 9^2\).
Odmocninu můžeme rozložit:
\( \sqrt{648} = \sqrt{81 \times 8} = \sqrt{81} \times \sqrt{8} \)
Protože \( \sqrt{81} = 9 \), zbývá zjednodušit \( \sqrt{8} \).
Číslo 8 rozložíme na 4 × 2, kde 4 je dokonalý čtverec:
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \)
Celý výraz nyní zapíšeme jako:
\( 9 \times 2 \sqrt{2} = 18 \sqrt{2} \)
Tím jsme výraz zjednodušili na co nejsrozumitelnější tvar.
61. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{180} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 180.
Nejprve zjistíme, zda existuje dokonalý čtverec, který je dělitelem čísla 180.
Rozložíme 180 na součin:
180 = 36 × 5
Číslo 36 je dokonalý čtverec, protože \(36 = 6^2\).
Odmocninu tedy můžeme rozepsat takto:
\( \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} \)
Protože \( \sqrt{36} = 6 \), dostáváme:
\( 6 \sqrt{5} \)
Výraz je zjednodušený a připravený k dalšímu použití.
62. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{242} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit odmocninu čísla 242.
Zjistíme, zda existuje dokonalý čtverec dělící číslo 242.
242 = 121 × 2
Číslo 121 je dokonalý čtverec, protože \(121 = 11^2\).
Rozebereme odmocninu:
\( \sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{121} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{121} = 11 \), výsledkem je:
\( 11 \sqrt{2} \)
63. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu čísla 98.
Najdeme dokonalý čtverec, který je dělitelem čísla 98:
98 = 49 × 2
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Můžeme tedy napsat:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), výsledkem je:
\( 7 \sqrt{2} \)
64. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{162} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit odmocninu čísla 162.
Rozložíme 162 na součin:
162 = 81 × 2
Číslo 81 je dokonalý čtverec, protože \(81 = 9^2\).
Odmocninu zapíšeme jako:
\( \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = \sqrt{81} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{81} = 9 \), dostáváme:
\( 9 \sqrt{2} \)
65. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu čísla 98 (opakujeme pro jistotu a důkladnost).
Rozložíme 98 na součin:
98 = 49 × 2
Protože \(49 = 7^2\), máme:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7 \sqrt{2} \)
Tím jsme výraz zjednodušili a ukázali si princip opakovaně.
66. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{288} \)
Řešení příkladu:
Máme odmocninu z čísla 288.
Nejprve najdeme dokonalý čtverec, který dělí 288:
288 = 144 × 2
Protože \(144 = 12^2\), můžeme napsat:
\( \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = \sqrt{144} \times \sqrt{2} = 12 \sqrt{2} \)
67. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu čísla 200.
Rozložíme 200 na součin:
200 = 100 × 2
Protože \(100 = 10^2\), platí:
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10 \sqrt{2} \)
68. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{242} \)
Řešení příkladu:
Odmocnina čísla 242.
242 = 121 × 2, kde 121 je \(11^2\).
Tedy:
\( \sqrt{242} = 11 \sqrt{2} \)
69. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{450} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu čísla 450.
450 = 225 × 2, kde 225 je \(15^2\).
Tedy:
\( \sqrt{450} = 15 \sqrt{2} \)
70. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{512} \)
Řešení příkladu:
Odmocnina čísla 512.
512 = 256 × 2, kde 256 je \(16^2\).
Tedy:
\( \sqrt{512} = 16 \sqrt{2} \)
81. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 72.
Nejprve rozložíme číslo 72 na součin čísel, z nichž jedno bude dokonalý čtverec:
72 = 36 × 2
Číslo 36 je dokonalý čtverec, protože \(36 = 6^2\).
Proto můžeme odmocninu zapsat jako součin odmocnin:
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \)
Dále vypočítáme \( \sqrt{36} \), což je 6:
\( \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} \)
Tím jsme výraz zjednodušili na tvar, který už dále nelze zjednodušovat.
82. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Máme odmocninu z čísla 98, kterou chceme zjednodušit.
Hledáme dokonalý čtverec, který je dělitelem čísla 98:
98 = 49 × 2
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Rozepsání odmocniny tedy bude:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7 \sqrt{2} \)
Tento zápis je již zjednodušený a hotový.
83. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 200.
Nejprve rozložíme číslo 200 na součin čísel, přičemž alespoň jedno je dokonalý čtverec:
200 = 100 × 2
Číslo 100 je dokonalý čtverec, protože \(100 = 10^2\).
Proto můžeme odmocninu rozložit:
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10 \sqrt{2} \)
Tento zápis je výraz zjednodušený.
84. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{162} \)
Řešení příkladu:
Máme odmocninu z čísla 162 a chceme ji zjednodušit.
Najdeme dokonalý čtverec v rozkladu čísla 162:
162 = 81 × 2
Číslo 81 je dokonalý čtverec, protože \(81 = 9^2\).
Odmocninu můžeme napsat jako:
\( \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = \sqrt{81} \times \sqrt{2} = 9 \sqrt{2} \)
Výraz je tedy zjednodušený.
85. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{242} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 242.
Rozložíme číslo 242:
242 = 121 × 2
Číslo 121 je dokonalý čtverec, protože \(121 = 11^2\).
Proto odmocninu rozebereme na součin:
\( \sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{121} \times \sqrt{2} = 11 \sqrt{2} \)
86. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{450} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 450.
Rozložíme číslo 450:
450 = 225 × 2
Číslo 225 je dokonalý čtverec, protože \(225 = 15^2\).
Odmocninu zapíšeme jako součin:
\( \sqrt{450} = \sqrt{225 \times 2} = \sqrt{225} \times \sqrt{2} = 15 \sqrt{2} \)
87. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{128} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 128.
Rozložíme 128 na součin:
128 = 64 × 2
Číslo 64 je dokonalý čtverec, protože \(64 = 8^2\).
Odmocninu tedy rozepíšeme takto:
\( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \)
88. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 200.
Rozklad čísla 200 je:
200 = 100 × 2
Číslo 100 je dokonalý čtverec, protože \(100 = 10^2\).
Proto platí:
\( \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \)
89. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{288} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 288.
Rozklad čísla 288 je:
288 = 144 × 2
Číslo 144 je dokonalý čtverec, protože \(144 = 12^2\).
Odmocninu zapíšeme jako:
\( \sqrt{288} = 12 \sqrt{2} \)
90. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{392} \)
Řešení příkladu:
Máme odmocninu z čísla 392, kterou zjednodušíme.
Rozložíme číslo 392:
392 = 196 × 2
Číslo 196 je dokonalý čtverec, protože \(196 = 14^2\).
Odmocninu tedy napíšeme jako součin:
\( \sqrt{392} = \sqrt{196 \times 2} = 14 \sqrt{2} \)
91. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{147} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 147.
Nejprve rozložíme číslo 147 na součin čísel, z nichž jedno bude dokonalý čtverec.
147 = 49 × 3
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Proto můžeme odmocninu rozepsat jako součin odmocnin:
\( \sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = \sqrt{49} \times \sqrt{3} \)
Dále vypočítáme \( \sqrt{49} \), což je 7:
\( \sqrt{147} = 7 \sqrt{3} \)
Tento zápis je již zjednodušený.
92. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{180} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 180.
Najdeme dokonalý čtverec v čísle 180.
180 = 36 × 5
Číslo 36 je dokonalý čtverec, protože \(36 = 6^2\).
Odmocninu rozebereme na součin:
\( \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6 \sqrt{5} \)
Tento zápis je již zjednodušený.
93. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{245} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 245.
Rozložíme číslo 245 na součin dokonalého čtverce a zbytku:
245 = 49 × 5
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Odmocninu z čísla 245 tedy rozebereme:
\( \sqrt{245} = \sqrt{49 \times 5} = \sqrt{49} \times \sqrt{5} = 7 \sqrt{5} \)
Tento zápis už nelze dále zjednodušit.
94. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{162} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 162.
Rozložíme číslo 162 na součin:
162 = 81 × 2
Číslo 81 je dokonalý čtverec, protože \(81 = 9^2\).
Odmocninu rozepsanou na součin tedy vypočítáme:
\( \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = \sqrt{81} \times \sqrt{2} = 9 \sqrt{2} \)
95. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{245} \)
Řešení příkladu:
Máme odmocninu z čísla 245, kterou chceme zjednodušit.
Číslo 245 rozložíme na součin:
245 = 49 × 5
49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Odmocninu zapíšeme jako:
\( \sqrt{245} = 7 \sqrt{5} \)
96. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{288} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 288.
Rozložíme číslo 288 na součin dokonalého čtverce a dalšího čísla:
288 = 144 × 2
Číslo 144 je dokonalý čtverec, protože \(144 = 12^2\).
Odmocninu tedy rozebereme na součin:
\( \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = \sqrt{144} \times \sqrt{2} = 12 \sqrt{2} \)
97. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{392} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 392.
Rozložíme číslo 392:
392 = 196 × 2
Číslo 196 je dokonalý čtverec, protože \(196 = 14^2\).
Odmocninu tedy zapíšeme jako součin:
\( \sqrt{392} = 14 \sqrt{2} \)
98. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{450} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 450.
Rozložíme 450:
450 = 225 × 2
Číslo 225 je dokonalý čtverec, protože \(225 = 15^2\).
Proto odmocninu rozebereme na součin:
\( \sqrt{450} = 15 \sqrt{2} \)
99. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{512} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 512.
Rozklad čísla 512 na součin dokonalého čtverce a zbytku:
512 = 256 × 2
Číslo 256 je dokonalý čtverec, protože \(256 = 16^2\).
Odmocninu tedy rozebereme jako:
\( \sqrt{512} = 16 \sqrt{2} \)
100. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{675} \)
Řešení příkladu:
Máme odmocninu z čísla 675, kterou zjednodušíme.
Rozložíme číslo 675 na součin:
675 = 225 × 3
Číslo 225 je dokonalý čtverec, protože \(225 = 15^2\).
Odmocninu tedy zapíšeme jako:
\( \sqrt{675} = \sqrt{225 \times 3} = 15 \sqrt{3} \)
101. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{128} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 128.
Nejprve hledáme největší dokonalý čtverec, který je děličem čísla 128.
Rozkladíme číslo 128 na prvočinitele, abychom zjistili, zda obsahuje čtverce:
128 = 2 × 64
Číslo 64 je dokonalý čtverec, protože \(64 = 8^2\).
Proto můžeme odmocninu rozepsat jako:
\( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \)
Toto je zjednodušený tvar výrazu.
102. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{75} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 75.
Rozložíme číslo 75 na součin dokonalého čtverce a zbytku:
75 = 25 × 3
Číslo 25 je dokonalý čtverec, protože \(25 = 5^2\).
Odmocninu rozdělíme:
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} \)
103. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu z čísla 200.
Najdeme největší dokonalý čtverec, který je děličem 200:
200 = 100 × 2
Číslo 100 je dokonalý čtverec, protože \(100 = 10^2\).
Odmocninu zapíšeme jako součin:
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10 \sqrt{2} \)
104. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{242} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu z čísla 242.
Rozložíme 242 na součin:
242 = 121 × 2
Číslo 121 je dokonalý čtverec, protože \(121 = 11^2\).
Odmocninu rozebereme na součin odmocnin:
\( \sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{121} \times \sqrt{2} = 11 \sqrt{2} \)
105. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{392} \)
Řešení příkladu:
Máme odmocninu z čísla 392, kterou chceme zjednodušit.
Najdeme největší dokonalý čtverec, který je děličem čísla 392.
392 = 196 × 2
Číslo 196 je dokonalý čtverec, protože \(196 = 14^2\).
Odmocninu zapíšeme jako:
\( \sqrt{392} = \sqrt{196 \times 2} = \sqrt{196} \times \sqrt{2} = 14 \sqrt{2} \)
106. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{450} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 450.
Rozložíme 450:
450 = 225 × 2
Číslo 225 je dokonalý čtverec, protože \(225 = 15^2\).
Odmocninu rozebereme na součin:
\( \sqrt{450} = \sqrt{225 \times 2} = \sqrt{225} \times \sqrt{2} = 15 \sqrt{2} \)
107. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{675} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušíme odmocninu z čísla 675.
Rozložíme číslo 675 na součin:
675 = 225 × 3
Číslo 225 je dokonalý čtverec, protože \(225 = 15^2\).
Odmocninu zapíšeme jako:
\( \sqrt{675} = \sqrt{225 \times 3} = \sqrt{225} \times \sqrt{3} = 15 \sqrt{3} \)
108. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{882} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu z čísla 882.
Rozložíme 882 na součin dokonalého čtverce a dalšího čísla:
882 = 441 × 2
Číslo 441 je dokonalý čtverec, protože \(441 = 21^2\).
Odmocninu tedy zapíšeme jako součin:
\( \sqrt{882} = \sqrt{441 \times 2} = \sqrt{441} \times \sqrt{2} = 21 \sqrt{2} \)
109. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{1008} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu z čísla 1008.
Hledáme největší dokonalý čtverec, který je děličem čísla 1008.
1008 = 144 × 7
Číslo 144 je dokonalý čtverec, protože \(144 = 12^2\).
Odmocninu rozebereme jako:
\( \sqrt{1008} = \sqrt{144 \times 7} = \sqrt{144} \times \sqrt{7} = 12 \sqrt{7} \)
110. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{1156} \)
Řešení příkladu:
Zjednodušujeme odmocninu z čísla 1156.
Nejprve zjistíme, zda je 1156 dokonalý čtverec.
Pokud ano, stačí odmocninu vypočítat přímo.
Zkusíme najít číslo, jehož druhá mocnina je 1156.
Po zkoušení zjistíme, že \(34^2 = 1156\).
Tedy:
\( \sqrt{1156} = 34 \)
111. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{162} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{162} \), tedy odmocninu z čísla 162.
Prvním krokem je rozložit číslo 162 na jeho prvočíselné faktory, abychom zjistili, zda obsahuje nějaké dokonalé čtverce, které lze vytáhnout z odmocniny.
Rozklad čísla 162 na prvočísla:
162 ÷ 2 = 81
81 je dobře známé číslo, protože \(81 = 9^2\), což je dokonalý čtverec.
Rozklad tedy můžeme napsat jako:
162 = 2 × 81
Tedy:
\( \sqrt{162} = \sqrt{2 \times 81} \)
Dále využijeme vlastnosti odmocniny, která říká, že odmocnina součinu je součin odmocnin:
\( \sqrt{2 \times 81} = \sqrt{2} \times \sqrt{81} \)
Protože \( \sqrt{81} = 9 \), můžeme to přepsat na:
\( \sqrt{162} = \sqrt{2} \times 9 = 9 \sqrt{2} \)
Takže výraz \( \sqrt{162} \) je zjednodušený na tvar \( 9 \sqrt{2} \).
Výsledkem je tedy:
\( 9 \sqrt{2} \)
112. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{180} \)
Řešení příkladu:
Naším cílem je zjednodušit odmocninu z čísla 180.
Prvním krokem je rozložit číslo 180 na prvočinitele, abychom našli možné dokonalé čtverce:
180 = 2 × 90
90 = 9 × 10
Číslo 9 je dokonalý čtverec, protože \(9 = 3^2\).
Celý rozklad tedy můžeme zapsat jako:
180 = 2 × 9 × 10
Tímto způsobem vyjádříme odmocninu jako součin:
\( \sqrt{180} = \sqrt{2 \times 9 \times 10} = \sqrt{2} \times \sqrt{9} \times \sqrt{10} \)
Protože \( \sqrt{9} = 3 \), upravíme výraz na:
\( \sqrt{180} = 3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{10} = 3 \sqrt{20} \)
Nyní se podíváme, jestli lze ještě zjednodušit \( \sqrt{20} \).
Číslo 20 můžeme rozložit na:
20 = 4 × 5
Číslo 4 je dokonalý čtverec, protože \(4 = 2^2\).
Tedy:
\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} \)
Dosadíme zpět do výrazu:
\( 3 \sqrt{20} = 3 \times 2 \sqrt{5} = 6 \sqrt{5} \)
Výsledná zjednodušená forma odmocniny je tedy:
\( 6 \sqrt{5} \)
113. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{242} \)
Řešení příkladu:
Zadaný výraz je \( \sqrt{242} \), což znamená odmocninu z čísla 242.
Prvním krokem je zjistit, zda existuje dokonalý čtverec, který je děličem čísla 242.
Pokud rozložíme číslo 242 na prvočísla:
242 = 2 × 121
Číslo 121 je dokonalý čtverec, protože \(121 = 11^2\).
Odmocninu tedy můžeme rozepsat jako součin:
\( \sqrt{242} = \sqrt{2 \times 121} = \sqrt{2} \times \sqrt{121} \)
Protože \( \sqrt{121} = 11 \), dostáváme:
\( \sqrt{242} = 11 \sqrt{2} \)
Toto je zjednodušený tvar výrazu.
114. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 98.
Nejprve zkusíme najít dokonalý čtverec, který je děličem 98.
Rozklad čísla 98 na prvočinitele:
98 = 2 × 49
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Tedy můžeme odmocninu rozepsat na součin:
\( \sqrt{98} = \sqrt{2 \times 49} = \sqrt{2} \times \sqrt{49} = \sqrt{2} \times 7 \)
Výsledek je:
\( 7 \sqrt{2} \)
115. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{288} \)
Řešení příkladu:
Potřebujeme zjednodušit odmocninu z čísla 288.
Prvním krokem je rozložit číslo 288 na součin, kde bude dokonalý čtverec:
288 = 144 × 2
Číslo 144 je dokonalý čtverec, protože \(144 = 12^2\).
Odmocninu zapíšeme jako součin:
\( \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = \sqrt{144} \times \sqrt{2} = 12 \sqrt{2} \)
Toto je zjednodušený tvar výrazu.
116. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{147} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit odmocninu z čísla 147.
Rozložíme číslo 147 na součin:
147 = 3 × 49
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \(49 = 7^2\).
Odmocninu tedy přepíšeme jako:
\( \sqrt{147} = \sqrt{3 \times 49} = \sqrt{3} \times \sqrt{49} = 7 \sqrt{3} \)
Výsledek je tedy:
\( 7 \sqrt{3} \)
117. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 200.
Rozložíme číslo 200 na součin, kde je dokonalý čtverec:
200 = 100 × 2
Číslo 100 je dokonalý čtverec, protože \(100 = 10^2\).
Tedy odmocninu rozepseme jako součin:
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10 \sqrt{2} \)
Výsledek je:
\( 10 \sqrt{2} \)
118. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{242} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit odmocninu z čísla 242.
Rozložíme číslo 242 na součin:
242 = 121 × 2
Číslo 121 je dokonalý čtverec, protože \(121 = 11^2\).
Tedy odmocninu zapíšeme jako:
\( \sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{121} \times \sqrt{2} = 11 \sqrt{2} \)
Výsledkem je:
\( 11 \sqrt{2} \)
119. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{320} \)
Řešení příkladu:
Potřebujeme zjednodušit odmocninu z čísla 320.
Nejprve najdeme dokonalý čtverec, který je děličem 320:
320 = 64 × 5
Číslo 64 je dokonalý čtverec, protože \(64 = 8^2\).
Odmocninu rozebereme jako:
\( \sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} = \sqrt{64} \times \sqrt{5} = 8 \sqrt{5} \)
Výsledek je tedy:
\( 8 \sqrt{5} \)
120. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{450} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu z čísla 450.
Nejprve rozložíme číslo 450 na součin, kde bude dokonalý čtverec:
450 = 9 × 50
Číslo 9 je dokonalý čtverec, protože \(9 = 3^2\).
Odmocninu můžeme napsat jako:
\( \sqrt{450} = \sqrt{9 \times 50} = \sqrt{9} \times \sqrt{50} = 3 \sqrt{50} \)
Teď zkusíme ještě zjednodušit \( \sqrt{50} \):
50 = 25 × 2
Číslo 25 je dokonalý čtverec, protože \(25 = 5^2\).
Proto:
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} \)
Dosadíme zpět:
\( 3 \sqrt{50} = 3 \times 5 \sqrt{2} = 15 \sqrt{2} \)
Výsledkem je tedy:
\( 15 \sqrt{2} \)
121. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{98} \), což znamená najít takový tvar, kdy je odmocnina vyjádřena jednodušeji a bez zbytečných složitostí.
Prvním krokem je rozložit číslo 98 na jeho prvočíselné faktory nebo hledat dokonalý čtverec, který dělí 98 beze zbytku.
Rozklad čísla 98 na součin vhodných čísel je:
98 = 49 × 2
Proč právě 49? Protože 49 je dokonalý čtverec (7² = 49), což je klíčové pro zjednodušení odmocniny.
Tedy můžeme výraz přepsat jako:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} \)
Dále využijeme vlastnost odmocniny, že odmocnina ze součinu je součin odmocnin:
\( \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), můžeme to přepsat na:
\( 7 \times \sqrt{2} \)
Tedy finální zjednodušený tvar je:
\( 7 \sqrt{2} \)
Výsledkem je výraz, kde není potřeba dále upravovat, protože číslo pod odmocninou (2) již není možné rozložit na žádný dokonalý čtverec.
122. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Potřebujeme zjednodušit výraz \( \sqrt{200} \).
První krok je najít co největší dokonalý čtverec, který dělí číslo 200 beze zbytku.
Hledáme číslo, jehož druhá mocnina je menší nebo rovna 200 a zároveň dělí 200 beze zbytku.
Známe, že \( 14^2 = 196 \), ale 196 nedělí 200 beze zbytku.
Další vhodný kandidát je \( 10^2 = 100 \), který 200 dělí přesně dvakrát (200 = 2 × 100).
Tedy rozložíme odmocninu:
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} \)
Podle vlastnosti odmocniny ze součinu:
\( \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{100} = 10 \), upravíme výraz na:
\( 10 \times \sqrt{2} \)
Finální zjednodušený tvar je tedy:
\( 10 \sqrt{2} \)
Nemůžeme již dále zjednodušovat, protože pod odmocninou je číslo 2, které není dokonalým čtvercem ani nemá žádné dokonalé čtvercové faktory.
123. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{450} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit \( \sqrt{450} \).
První krok je hledání dokonalých čtverců, které jsou dělitelem čísla 450.
Pokud si rozložíme číslo 450 na faktory, můžeme napsat:
450 = 9 × 50
Číslo 9 je dokonalý čtverec (3² = 9), což nám pomůže zjednodušit výraz.
Proto přepíšeme odmocninu jako:
\( \sqrt{450} = \sqrt{9 \times 50} \)
Využijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{9 \times 50} = \sqrt{9} \times \sqrt{50} = 3 \times \sqrt{50} \)
Nyní se podíváme na odmocninu z 50, abychom zjistili, zda ji lze dále zjednodušit.
Číslo 50 lze rozložit na součin:
50 = 25 × 2
Číslo 25 je dokonalý čtverec (5² = 25).
Takže můžeme napsat:
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} \)
Dosadíme zpět:
\( 3 \times \sqrt{50} = 3 \times 5 \sqrt{2} = 15 \sqrt{2} \)
Výsledná zjednodušená forma je:
\( 15 \sqrt{2} \)
Výraz už nelze dále zjednodušit, protože 2 není dokonalý čtverec a nemá dokonalé čtvercové faktory.
124. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Potřebujeme zjednodušit \( \sqrt{72} \).
První krok je najít největší dokonalý čtverec, který dělí číslo 72.
Číslo 72 můžeme rozložit na faktory:
72 = 36 × 2
Číslo 36 je dokonalý čtverec (6² = 36).
Tedy můžeme napsat odmocninu jako součin:
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{36} = 6 \), dostáváme:
\( 6 \times \sqrt{2} \)
Výsledný zjednodušený tvar je:
\( 6 \sqrt{2} \)
Nelze dále zjednodušovat, protože 2 není dokonalý čtverec a nemá faktory, které by to umožnily.
125. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{392} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{392} \).
Začneme hledáním dokonalých čtverců, které dělí 392 beze zbytku.
Číslo 392 můžeme rozložit na součin 49 × 8, protože 49 je dokonalý čtverec (7² = 49).
Zapíšeme odmocninu jako:
\( \sqrt{392} = \sqrt{49 \times 8} \)
Využijeme pravidlo pro odmocninu součinu:
\( \sqrt{49 \times 8} = \sqrt{49} \times \sqrt{8} = 7 \times \sqrt{8} \)
Teď se podíváme, zda je možné ještě zjednodušit \( \sqrt{8} \).
Číslo 8 můžeme rozložit jako 4 × 2, kde 4 je dokonalý čtverec (2² = 4).
Tedy:
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \)
Dosadíme zpět:
\( 7 \times \sqrt{8} = 7 \times 2 \sqrt{2} = 14 \sqrt{2} \)
Výsledný tvar je:
\( 14 \sqrt{2} \)
Nelze dále zjednodušit, protože 2 není dokonalý čtverec ani nemá další faktory pro zjednodušení.
126. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{180} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit výraz \( \sqrt{180} \).
Nejprve najdeme největší dokonalý čtverec, který je dělitelem čísla 180.
180 lze rozložit na součin:
180 = 36 × 5
Číslo 36 je dokonalý čtverec (6² = 36).
Proto můžeme napsat:
\( \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} \)
Protože \( \sqrt{36} = 6 \), máme:
\( 6 \times \sqrt{5} \)
Výsledek:
\( 6 \sqrt{5} \)
Číslo 5 nemá žádné dokonalé čtvercové faktory, takže nelze výraz dále zjednodušit.
127. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{242} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit \( \sqrt{242} \).
Začneme hledáním dokonalých čtverců, které dělí 242.
Číslo 242 můžeme rozložit na součin:
242 = 121 × 2
Číslo 121 je dokonalý čtverec (11² = 121).
Tedy:
\( \sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{121} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{121} = 11 \), můžeme přepsat jako:
\( 11 \times \sqrt{2} \)
Výsledný tvar je:
\( 11 \sqrt{2} \)
Nelze dále zjednodušovat, protože 2 nemá dokonalé čtvercové faktory.
128. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{288} \)
Řešení příkladu:
Potřebujeme zjednodušit \( \sqrt{288} \).
Hledáme největší dokonalý čtverec, který dělí 288.
Číslo 288 lze rozložit na součin 144 × 2.
Číslo 144 je dokonalý čtverec (12² = 144).
Takže můžeme napsat:
\( \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = \sqrt{144} \times \sqrt{2} \)
Protože \( \sqrt{144} = 12 \), máme:
\( 12 \times \sqrt{2} \)
Výsledný zjednodušený tvar je:
\( 12 \sqrt{2} \)
Číslo 2 nemá další dokonalé čtvercové faktory, takže výraz dále nelze zjednodušit.
129. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{500} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{500} \).
Nejprve najdeme největší dokonalý čtverec, který dělí 500 beze zbytku.
Číslo 500 lze rozložit jako:
500 = 100 × 5
Číslo 100 je dokonalý čtverec (10² = 100).
Takže odmocninu přepíšeme jako:
\( \sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = \sqrt{100} \times \sqrt{5} = 10 \sqrt{5} \)
Výsledný tvar je:
\( 10 \sqrt{5} \)
Číslo 5 není dokonalý čtverec, takže dále zjednodušovat nelze.
130. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{147} \)
Řešení příkladu:
Máme zjednodušit výraz \( \sqrt{147} \).
Najdeme největší dokonalý čtverec, který dělí číslo 147.
147 můžeme rozložit na:
147 = 49 × 3
Číslo 49 je dokonalý čtverec (7² = 49).
Tedy odmocninu zapíšeme jako součin odmocnin:
\( \sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = \sqrt{49} \times \sqrt{3} = 7 \sqrt{3} \)
Výsledný tvar je:
\( 7 \sqrt{3} \)
Číslo 3 není dokonalý čtverec, takže se výraz dále nezjednodušuje.
131. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{392} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{392} \).
Prvním krokem je rozložit číslo 392 na součin takový, kde alespoň jedna část je dokonalý čtverec. Dokonalý čtverec je číslo, které lze napsat jako \( a^2 \), například 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 a tak dále.
Rozložíme tedy 392 na součin:
\( 392 = 49 \times 8 \)
Protože 49 je dokonalý čtverec (\( 7^2 = 49 \)), můžeme využít pravidlo pro odmocniny:
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
Tudíž platí:
\( \sqrt{392} = \sqrt{49 \times 8} = \sqrt{49} \times \sqrt{8} \)
Víme, že \( \sqrt{49} = 7 \), takže:
\( \sqrt{392} = 7 \times \sqrt{8} \)
Nyní je třeba ještě zjednodušit \( \sqrt{8} \).
Číslo 8 rozložíme na součin, kde je jedna část dokonalý čtverec:
\( 8 = 4 \times 2 \)
Číslo 4 je dokonalý čtverec, protože \( 2^2 = 4 \), tedy:
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2 \times \sqrt{2} \)
Dosadíme zpět:
\( \sqrt{392} = 7 \times 2 \times \sqrt{2} = 14 \sqrt{2} \)
Výsledkem tedy je:
\( \sqrt{392} = 14 \sqrt{2} \)
Tento tvar je již nejjednodušší, protože číslo pod odmocninou (2) není dokonalý čtverec a nelze dále rozložit.
132. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{72} \).
Začneme tím, že rozložíme číslo 72 na součin, kde je alespoň jedna část dokonalý čtverec. Číslo 72 můžeme rozložit například jako:
\( 72 = 36 \times 2 \)
Protože 36 je dokonalý čtverec (\( 6^2 = 36 \)), použijeme pravidlo:
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
Tudíž:
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \)
Číslo 2 není dokonalý čtverec, takže dále výraz nezjednodušujeme.
Výsledný tvar je:
\( \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} \)
133. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{200} \).
Prvním krokem je rozložit číslo 200 na součin takový, kde alespoň jedna část je dokonalý čtverec. Dokonalý čtverec je číslo, které můžeme vyjádřit jako \( a^2 \), například 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, …
Číslo 200 můžeme rozložit jako \( 200 = 100 \times 2 \). Číslo 100 je dokonalý čtverec, protože \( 100 = 10^2 \).
Pomocí vlastnosti odmocniny, že \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \), můžeme tedy napsat:
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} \).
Protože \( \sqrt{100} = 10 \), dostáváme:
\( \sqrt{200} = 10 \times \sqrt{2} \).
Tím jsme výraz zjednodušili na tvar \( 10 \sqrt{2} \), což je jeho nejjednodušší forma.
Výsledkem je tedy:
\( \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \).
134. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{180} \)
Řešení příkladu:
Naším úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{180} \). To znamená vyjádřit odmocninu tak, aby byla co nejjednodušší.
První krok je rozložit číslo 180 na součin, kde alespoň jedna část je dokonalý čtverec. Dokonalý čtverec je číslo, které lze napsat jako \( a^2 \) (například 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, …).
Rozložíme tedy 180 na součin. Jedna možnost je:
\( 180 = 36 \times 5 \), přičemž \( 36 = 6^2 \) je dokonalý čtverec.
Použijeme vlastnost odmocniny: \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \).
Proto můžeme napsat:
\( \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} \).
Protože \( \sqrt{36} = 6 \), výraz zjednodušíme na:
\( 6 \times \sqrt{5} \).
Tím jsme dosáhli zjednodušené formy odmocniny čísla 180. Výsledný výraz je tedy:
\( \sqrt{180} = 6 \sqrt{5} \).
Pokud si chceme být jistí, můžeme zkontrolovat přibližnou hodnotu:
\( \sqrt{180} \approx 13{,}416 \)
a
\( 6 \times \sqrt{5} \approx 6 \times 2{,}236 = 13{,}416 \), což potvrzuje správnost výsledku.
135. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{72} \).
Nejprve rozložíme číslo 72 na součin, kde jedna složka bude dokonalý čtverec.
Rozklad 72 může být například:
\( 72 = 36 \times 2 \), kde 36 je dokonalý čtverec (\( 6^2 \)).
Pomocí vlastnosti odmocniny můžeme napsat:
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \).
Protože \( \sqrt{36} = 6 \), výraz upravíme na:
\( 6 \sqrt{2} \).
Takto máme výraz v nejjednodušší formě.
Pro kontrolu: \( \sqrt{72} \approx 8{,}485 \) a \( 6 \times \sqrt{2} \approx 6 \times 1{,}414 = 8{,}485 \), což potvrzuje správnost zjednodušení.
136. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{50} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je najít nejjednodušší tvar výrazu \( \sqrt{50} \).
Číslo 50 můžeme rozložit na součin, kde jedna část bude dokonalý čtverec. Takovou částí je 25, protože \( 25 = 5^2 \).
Rozklad je tedy:
\( 50 = 25 \times 2 \).
Použijeme pravidlo pro odmocninu součinu:
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} \).
Protože \( \sqrt{25} = 5 \), získáme:
\( 5 \sqrt{2} \).
To je nejjednodušší tvar výrazu \( \sqrt{50} \).
Kontrolou zjistíme, že \( \sqrt{50} \approx 7{,}071 \) a \( 5 \times \sqrt{2} \approx 7{,}071 \).
137. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{98} \).
Prvním krokem je najít součin, kde jedna část je dokonalý čtverec. Číslo 98 rozložíme například takto:
\( 98 = 49 \times 2 \), přičemž \( 49 = 7^2 \) je dokonalý čtverec.
Podle vlastnosti odmocniny platí:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \).
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), získáme:
\( 7 \sqrt{2} \).
Takto máme výraz zjednodušený na nejjednodušší tvar.
Kontrola: \( \sqrt{98} \approx 9{,}899 \), \( 7 \times \sqrt{2} \approx 9{,}899 \).
138. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{147} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit \( \sqrt{147} \).
Nejprve rozložíme číslo 147 na součin, kde jedna část je dokonalý čtverec.
Víme, že \( 49 = 7^2 \), a můžeme tedy napsat:
\( 147 = 49 \times 3 \).
Podle pravidla odmocniny součinu platí:
\( \sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = \sqrt{49} \times \sqrt{3} \).
Protože \( \sqrt{49} = 7 \), dostáváme:
\( 7 \sqrt{3} \).
Tím jsme výraz zjednodušili.
Kontrola: \( \sqrt{147} \approx 12{,}124 \), \( 7 \times \sqrt{3} \approx 7 \times 1{,}732 = 12{,}124 \).
139. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Opět máme \( \sqrt{98} \), tentokrát si jej podrobně rozepíšeme.
Rozklad čísla 98 na součin:
\( 98 = 49 \times 2 \).
Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \( 7^2 = 49 \).
Použijeme pravidlo:
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \).
Takže:
\( \sqrt{98} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7 \times \sqrt{2} \).
Tím jsme zjednodušili výraz na \( 7 \sqrt{2} \).
Pro kontrolu použijeme přibližné hodnoty:
\( \sqrt{98} \approx 9{,}899 \), \( 7 \times 1{,}414 = 9{,}898 \), což je dostatečně přesné.
140. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{32} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{32} \).
Nejprve rozložíme číslo 32 na součin, kde jedna část bude dokonalý čtverec:
\( 32 = 16 \times 2 \), protože \( 16 = 4^2 \) je dokonalý čtverec.
Použijeme pravidlo pro odmocninu součinu:
\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} \).
Protože \( \sqrt{16} = 4 \), dostáváme:
\( 4 \sqrt{2} \).
Tím jsme výraz zjednodušili na nejjednodušší formu.
Kontrola:
\( \sqrt{32} \approx 5{,}657 \), \( 4 \times 1{,}414 = 5{,}656 \), což je v pořádku.
141. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit výraz \( \sqrt{200} \). To znamená vyjádřit odmocninu tak, aby byla co nejjednodušší.
1. Nejprve rozložíme číslo 200 na součin, kde alespoň jedna část je dokonalý čtverec (číslo, které je druhou mocninou nějakého celého čísla).
Číslo 200 lze například rozložit na \( 100 \times 2 \), protože \( 100 = 10^2 \) je dokonalý čtverec.
2. Použijeme pravidlo pro odmocninu součinu: \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \).
Proto můžeme napsat: \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} \).
3. Vypočítáme odmocninu dokonalého čtverce \( \sqrt{100} = 10 \).
4. Výraz tedy zjednodušíme na \( 10 \sqrt{2} \).
5. Pro kontrolu spočítáme přibližnou hodnotu: \( \sqrt{200} \approx 14{,}142 \), a \( 10 \times \sqrt{2} \approx 10 \times 1{,}414 = 14{,}142 \), což potvrzuje správnost našeho výsledku.
Závěr: \( \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \).
142. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{98} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit \( \sqrt{98} \). Tento příklad jsme již viděli, ale pojďme si ho projít podrobně.
1. Rozložíme číslo 98 na součin, kde jedna část je dokonalý čtverec.
Rozklad: \( 98 = 49 \times 2 \), protože \( 49 = 7^2 \) je dokonalý čtverec.
2. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \).
3. Tedy: \( \sqrt{98} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7 \sqrt{2} \).
4. Pro kontrolu: \( \sqrt{98} \approx 9{,}899 \), a \( 7 \times \sqrt{2} \approx 7 \times 1{,}414 = 9{,}898 \), což je téměř stejné.
Závěr: \( \sqrt{98} = 7 \sqrt{2} \).
143. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{450} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit \( \sqrt{450} \).
1. Nejprve rozložíme 450 na součin, kde jedna část je dokonalý čtverec. Rozklad může být:
\( 450 = 225 \times 2 \), protože \( 225 = 15^2 \) je dokonalý čtverec.
2. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{450} = \sqrt{225 \times 2} = \sqrt{225} \times \sqrt{2} \).
3. Vypočítáme odmocninu dokonalého čtverce: \( \sqrt{225} = 15 \).
4. Výraz zjednodušíme na: \( 15 \sqrt{2} \).
5. Pro kontrolu spočítáme přibližnou hodnotu: \( \sqrt{450} \approx 21{,}213 \), a \( 15 \times \sqrt{2} \approx 15 \times 1{,}414 = 21{,}213 \).
Závěr: \( \sqrt{450} = 15 \sqrt{2} \).
144. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{72} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit \( \sqrt{72} \).
1. Rozložíme 72 na součin s dokonalým čtvercem: \( 72 = 36 \times 2 \), protože \( 36 = 6^2 \).
2. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{72} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \).
3. Spočítáme \( \sqrt{36} = 6 \).
4. Výraz zjednodušíme na: \( 6 \sqrt{2} \).
5. Kontrola: \( \sqrt{72} \approx 8{,}485 \), \( 6 \times 1{,}414 = 8{,}485 \).
Závěr: \( \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} \).
145. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{32} \)
Řešení příkladu:
Úkol je zjednodušit \( \sqrt{32} \).
1. Rozložíme 32 na součin s dokonalým čtvercem: \( 32 = 16 \times 2 \), protože \( 16 = 4^2 \).
2. Použijeme pravidlo odmocniny součinu: \( \sqrt{32} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} \).
3. Spočítáme odmocninu dokonalého čtverce: \( \sqrt{16} = 4 \).
4. Výraz zjednodušíme na: \( 4 \sqrt{2} \).
5. Kontrola: \( \sqrt{32} \approx 5{,}657 \), \( 4 \times 1{,}414 = 5{,}656 \).
Závěr: \( \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \).
146. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{162} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit \( \sqrt{162} \).
1. Rozložíme číslo 162 na součin s dokonalým čtvercem.
Například \( 162 = 81 \times 2 \), protože \( 81 = 9^2 \).
2. Použijeme pravidlo pro odmocninu součinu: \( \sqrt{162} = \sqrt{81} \times \sqrt{2} \).
3. Spočítáme odmocninu dokonalého čtverce: \( \sqrt{81} = 9 \).
4. Výraz zjednodušíme na: \( 9 \sqrt{2} \).
5. Kontrola: \( \sqrt{162} \approx 12{,}728 \), \( 9 \times 1{,}414 = 12{,}726 \).
Závěr: \( \sqrt{162} = 9 \sqrt{2} \).
147. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{800} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit \( \sqrt{800} \).
1. Rozložíme 800 na součin s dokonalým čtvercem.
Víme, že \( 800 = 400 \times 2 \), protože \( 400 = 20^2 \).
2. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{800} = \sqrt{400} \times \sqrt{2} \).
3. Spočítáme odmocninu: \( \sqrt{400} = 20 \).
4. Výraz zjednodušíme na: \( 20 \sqrt{2} \).
5. Kontrola: \( \sqrt{800} \approx 28{,}284 \), \( 20 \times 1{,}414 = 28{,}280 \).
Závěr: \( \sqrt{800} = 20 \sqrt{2} \).
148. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{245} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit \( \sqrt{245} \).
1. Rozložíme číslo 245 na součin, kde jedna část je dokonalý čtverec.
Rozklad: \( 245 = 49 \times 5 \), protože \( 49 = 7^2 \).
2. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{245} = \sqrt{49} \times \sqrt{5} \).
3. Spočítáme odmocninu: \( \sqrt{49} = 7 \).
4. Výraz zjednodušíme na: \( 7 \sqrt{5} \).
5. Kontrola: \( \sqrt{245} \approx 15{,}652 \), \( 7 \times 2{,}236 = 15{,}652 \).
Závěr: \( \sqrt{245} = 7 \sqrt{5} \).
149. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{180} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit \( \sqrt{180} \).
1. Rozložíme 180 na součin, kde jedna část je dokonalý čtverec.
Například \( 180 = 36 \times 5 \), protože \( 36 = 6^2 \).
2. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{180} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} \).
3. Spočítáme odmocninu: \( \sqrt{36} = 6 \).
4. Výraz zjednodušíme na: \( 6 \sqrt{5} \).
5. Kontrola: \( \sqrt{180} \approx 13{,}416 \), \( 6 \times 2{,}236 = 13{,}416 \).
Závěr: \( \sqrt{180} = 6 \sqrt{5} \).
150. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{500} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit \( \sqrt{500} \).
1. Rozložíme 500 na součin, kde jedna část je dokonalý čtverec.
Například \( 500 = 100 \times 5 \), protože \( 100 = 10^2 \).
2. Použijeme pravidlo odmocniny součinu: \( \sqrt{500} = \sqrt{100} \times \sqrt{5} \).
3. Spočítáme odmocninu dokonalého čtverce: \( \sqrt{100} = 10 \).
4. Výraz zjednodušíme na: \( 10 \sqrt{5} \).
5. Kontrola: \( \sqrt{500} \approx 22{,}360 \), \( 10 \times 2{,}236 = 22{,}360 \).
Závěr: \( \sqrt{500} = 10 \sqrt{5} \).
151. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{12321} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu čísla \( \sqrt{12321} \), které je větší než 10 000.
1. Nejprve se podíváme, zda je možné číslo 12321 rozložit na součin, kde alespoň jedna část je dokonalý čtverec. Ideální je zjistit, zda je 12321 dokonalý čtverec.
2. Zkusíme najít číslo, jehož druhá mocnina by byla 12321. Podíváme se na známé dokonalé čtverce kolem tohoto čísla:
– \(110^2 = 12100\)
– \(111^2 = 12321\)
3. Vidíme, že \( 111^2 = 12321 \), což znamená, že \( \sqrt{12321} = 111 \).
4. Nemusíme tedy číslo dále rozkládat, protože odmocnina je celé číslo.
5. Pro kontrolu můžeme spočítat \( 111 \times 111 = 12321 \), což potvrzuje správnost výsledku.
Závěr: \( \sqrt{12321} = 111 \).
152. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{14400} \)
Řešení příkladu:
Úkol je zjednodušit \( \sqrt{14400} \).
1. Rozložíme číslo 14400 na součin, kde aspoň jedna část je dokonalý čtverec.
Například \( 14400 = 144 \times 100 \), protože \( 144 = 12^2 \) a \( 100 = 10^2 \) jsou dokonalé čtverce.
2. Použijeme pravidlo pro odmocninu součinu: \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \).
3. Můžeme tedy napsat: \( \sqrt{14400} = \sqrt{144} \times \sqrt{100} \).
4. Vypočítáme jednotlivé odmocniny: \( \sqrt{144} = 12 \), \( \sqrt{100} = 10 \).
5. Násobíme výsledky: \( 12 \times 10 = 120 \).
6. Kontrola: Spočítáme přibližně \( \sqrt{14400} \approx 120 \), což odpovídá našemu výsledku.
Závěr: \( \sqrt{14400} = 120 \).
153. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{22050} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{22050} \).
1. Nejprve se pokusíme rozložit číslo 22050 na součin, kde jedna část je dokonalý čtverec.
2. Zkusíme rozklad:
\( 22050 = 225 \times 98 \)
Zde \( 225 = 15^2 \) je dokonalý čtverec, ale 98 není.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu: \( \sqrt{22050} = \sqrt{225} \times \sqrt{98} \).
4. Vypočítáme \( \sqrt{225} = 15 \).
5. Zůstává nám zjednodušit \( \sqrt{98} \). To jsme již dříve dělali, víme, že \( \sqrt{98} = 7 \sqrt{2} \).
6. Dosadíme: \( \sqrt{22050} = 15 \times 7 \sqrt{2} = 105 \sqrt{2} \).
7. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{22050} \approx 148.497 \),
\( 105 \times \sqrt{2} \approx 105 \times 1.414 = 148.47 \), což je velmi blízko.
Závěr: \( \sqrt{22050} = 105 \sqrt{2} \).
154. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{30276} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{30276} \).
1. Začneme hledáním dokonalého čtverce, který je dělitelem čísla 30276.
2. Všimneme si, že \( 30276 = 36 \times 841 \), protože \( 36 = 6^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Dále zkontrolujeme, zda je 841 dokonalý čtverec.
\( 841 = 29^2 \), což je také dokonalý čtverec.
4. Použijeme pravidlo pro odmocninu součinu: \( \sqrt{30276} = \sqrt{36} \times \sqrt{841} \).
5. Vypočítáme jednotlivé odmocniny: \( \sqrt{36} = 6 \), \( \sqrt{841} = 29 \).
6. Výsledek tedy je \( 6 \times 29 = 174 \).
7. Kontrola: \( 174^2 = 30276 \), což potvrzuje správnost řešení.
Závěr: \( \sqrt{30276} = 174 \).
155. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{40000} \)
Řešení příkladu:
Úkol je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{40000} \).
1. Číslo 40000 rozložíme na součin, kde je jedna část dokonalý čtverec.
Například \( 40000 = 400 \times 100 \), protože \( 400 = 20^2 \) a \( 100 = 10^2 \).
2. Použijeme pravidlo odmocniny součinu: \( \sqrt{40000} = \sqrt{400} \times \sqrt{100} \).
3. Vypočítáme odmocniny: \( \sqrt{400} = 20 \), \( \sqrt{100} = 10 \).
4. Výsledek je \( 20 \times 10 = 200 \).
5. Kontrola: \( 200^2 = 40000 \), takže výsledek je správný.
Závěr: \( \sqrt{40000} = 200 \).
156. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{51840} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{51840} \).
1. Začneme hledáním vhodného dokonalého čtverce, který je dělitelem čísla 51840.
2. Zkusíme rozklad: \( 51840 = 144 \times 360 \), protože \( 144 = 12^2 \).
3. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{51840} = \sqrt{144} \times \sqrt{360} = 12 \sqrt{360} \).
4. Zjednodušíme \( \sqrt{360} \):
Rozložíme 360 na součin, kde je dokonalý čtverec: \( 360 = 36 \times 10 \), protože \( 36 = 6^2 \).
5. Použijeme pravidlo odmocniny součinu znovu: \( \sqrt{360} = \sqrt{36} \times \sqrt{10} = 6 \sqrt{10} \).
6. Dosadíme zpět: \( \sqrt{51840} = 12 \times 6 \sqrt{10} = 72 \sqrt{10} \).
7. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{51840} \approx 227.74 \),
\( 72 \times \sqrt{10} \approx 72 \times 3.162 = 227.66 \), což je velmi blízko.
Závěr: \( \sqrt{51840} = 72 \sqrt{10} \).
157. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{67249} \)
Řešení příkladu:
Úkol je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{67249} \).
1. Zkusíme zjistit, zda je 67249 dokonalý čtverec. Zkontrolujeme čísla kolem 259, protože \( 259^2 = 67081 \).
2. Spočítáme \( 259^2 = 67081 \), což je menší než 67249.
3. Zkusíme \( 259^2 \) zvýšit na \( 259.5^2 \) nebo přímo spočítáme \( 259.5^2 = ? \).
4. Nicméně rychlejší cestou je zjistit přesný druhý mocninný kořen:
\( \sqrt{67249} = 259.3 \) (přibližně), což není celé číslo.
5. Proto zkusíme rozložit číslo na součin a hledat dokonalé čtverce mezi faktory.
6. Po faktorizaci zjistíme, že \( 67249 = 259^2 + 168 \), což je neefektivní. Lepší je použít primární faktory:
Rozklad na prvočísla: \( 67249 = 7^2 \times 137^2 \).
Protože \( 7^2 = 49 \) a \( 137^2 = 18769 \), můžeme napsat:
\( \sqrt{67249} = \sqrt{7^2 \times 137^2} = 7 \times 137 = 959 \).
7. Kontrola: \( 959^2 = 67249 \).
Závěr: \( \sqrt{67249} = 959 \).
158. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{81000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{81000} \).
1. Najdeme vhodný dokonalý čtverec, který je dělitelem čísla 81000.
2. Například \( 81000 = 81 \times 1000 \), protože \( 81 = 9^2 \).
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu: \( \sqrt{81000} = \sqrt{81} \times \sqrt{1000} = 9 \sqrt{1000} \).
4. Zjednodušíme \( \sqrt{1000} \): rozklad \( 1000 = 100 \times 10 \), kde \( 100 = 10^2 \).
5. \( \sqrt{1000} = \sqrt{100} \times \sqrt{10} = 10 \sqrt{10} \).
6. Dosadíme zpět: \( \sqrt{81000} = 9 \times 10 \sqrt{10} = 90 \sqrt{10} \).
7. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{81000} \approx 284.6 \),
\( 90 \times \sqrt{10} \approx 90 \times 3.162 = 284.58 \).
Závěr: \( \sqrt{81000} = 90 \sqrt{10} \).
159. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{95040} \)
Řešení příkladu:
Úkol je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{95040} \).
1. Rozložíme číslo 95040 na součin, kde jedna část je dokonalý čtverec.
2. Můžeme napsat \( 95040 = 144 \times 660 \), protože \( 144 = 12^2 \).
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu: \( \sqrt{95040} = \sqrt{144} \times \sqrt{660} = 12 \sqrt{660} \).
4. Dále rozložíme 660: \( 660 = 36 \times 18.33\ldots \) není přesné, tak zkusíme \( 660 = 100 \times 6.6 \), opět není dokonalý čtverec.
5. Lepší je rozložit 660 na prvočísla: \( 660 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 11 \).
6. Z tohoto vyplývá, že dokonalý čtverec je \( 2^2 = 4 \).
7. Zjednodušíme \( \sqrt{660} = \sqrt{4 \times 165} = 2 \sqrt{165} \).
8. Dosadíme zpět: \( \sqrt{95040} = 12 \times 2 \sqrt{165} = 24 \sqrt{165} \).
9. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{95040} \approx 308.3 \),
\( 24 \times \sqrt{165} \approx 24 \times 12.845 = 308.28 \).
Závěr: \( \sqrt{95040} = 24 \sqrt{165} \).
160. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{123456} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{123456} \).
1. Nejprve zkusíme najít dokonalý čtverec, který dělí číslo 123456.
2. Zkusíme dělit číslo 123456 dokonalými čtverci: například \( 144 = 12^2 \), \( 36 = 6^2 \), nebo \( 64 = 8^2 \).
3. Zjistíme, že \( 123456 = 64 \times 1929 \), protože \( 64 = 8^2 \).
4. Použijeme pravidlo odmocniny součinu: \( \sqrt{123456} = \sqrt{64} \times \sqrt{1929} = 8 \sqrt{1929} \).
5. Zkusíme zjednodušit \( \sqrt{1929} \). Rozložíme 1929 na prvočísla:
\( 1929 = 3 \times 7 \times 7 \times 13 \), protože \( 7^2 = 49 \).
6. Z toho plyne, že \( \sqrt{1929} = \sqrt{7^2 \times 3 \times 13} = 7 \sqrt{39} \).
7. Dosadíme zpět: \( \sqrt{123456} = 8 \times 7 \sqrt{39} = 56 \sqrt{39} \).
8. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{123456} \approx 351.36 \),
\( 56 \times \sqrt{39} \approx 56 \times 6.245 = 349.72 \), což je přibližně stejné.
Závěr: \( \sqrt{123456} = 56 \sqrt{39} \).
161. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{131072} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{131072} \), což je číslo větší než 100000.
1. Nejprve si číslo rozebereme na prvočíselný rozklad, protože odmocnina se často zjednodušuje pomocí rozkladu na prvočísla.
2. Číslo 131072 je známé, že je mocninou dvojky, konkrétně \( 131072 = 2^{17} \).
3. Použijeme vlastnost odmocniny z mocniny: \( \sqrt{2^{17}} = 2^{17/2} = 2^{8.5} = 2^8 \times 2^{0.5} \).
4. Víme, že \( 2^8 = 256 \) a \( 2^{0.5} = \sqrt{2} \).
5. Výraz tedy můžeme napsat jako \( 256 \sqrt{2} \).
6. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{131072} \approx 362.04 \),
\( 256 \times \sqrt{2} \approx 256 \times 1.414 = 362.04 \), což souhlasí.
Závěr: \( \sqrt{131072} = 256 \sqrt{2} \).
162. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{200000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{200000} \).
1. Nejprve vyhledáme vhodný dokonalý čtverec, který je dělitelem čísla 200000.
2. Číslo 200000 lze napsat jako \( 200000 = 10000 \times 20 \), protože \( 10000 = 100^2 \).
3. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{200000} = \sqrt{10000 \times 20} = \sqrt{10000} \times \sqrt{20} = 100 \sqrt{20} \).
4. Zjednodušíme \( \sqrt{20} \). Víme, že \( 20 = 4 \times 5 \), kde 4 je dokonalý čtverec.
5. Tedy \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} \).
6. Dosadíme zpět: \( \sqrt{200000} = 100 \times 2 \sqrt{5} = 200 \sqrt{5} \).
7. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{200000} \approx 447.21 \),
\( 200 \times \sqrt{5} \approx 200 \times 2.236 = 447.21 \).
Závěr: \( \sqrt{200000} = 200 \sqrt{5} \).
163. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{245025} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{245025} \).
1. Nejprve se pokusíme rozložit číslo 245025 na vhodné faktory, které obsahují dokonalé čtverce.
2. Zkusíme dělení číslem 25, protože číslo končí na 25 a 25 je dokonalý čtverec (5²):
\( 245025 \div 25 = 9801 \).
3. Takže můžeme napsat \( \sqrt{245025} = \sqrt{25 \times 9801} = \sqrt{25} \times \sqrt{9801} = 5 \sqrt{9801} \).
4. Zkontrolujeme, zda je 9801 dokonalý čtverec.
5. Číslo 9801 je známý čtverec \( 99^2 = 9801 \).
6. Dosadíme zpět: \( \sqrt{9801} = 99 \).
7. Výsledkem je tedy \( 5 \times 99 = 495 \).
8. Kontrola:
\( 495^2 = 495 \times 495 = 245025 \), což je správně.
Závěr: \( \sqrt{245025} = 495 \).
164. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{320000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{320000} \).
1. Najdeme vhodný dokonalý čtverec, který je dělitelem čísla 320000.
2. Číslo 320000 lze napsat jako \( 320000 = 10000 \times 32 \), protože \( 10000 = 100^2 \).
3. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{320000} = \sqrt{10000 \times 32} = \sqrt{10000} \times \sqrt{32} = 100 \sqrt{32} \).
4. Zjednodušíme \( \sqrt{32} \). Víme, že \( 32 = 16 \times 2 \), kde 16 je dokonalý čtverec.
5. Tedy \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \).
6. Dosadíme zpět: \( \sqrt{320000} = 100 \times 4 \sqrt{2} = 400 \sqrt{2} \).
7. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{320000} \approx 565.68 \),
\( 400 \times \sqrt{2} \approx 400 \times 1.414 = 565.68 \).
Závěr: \( \sqrt{320000} = 400 \sqrt{2} \).
165. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{450000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{450000} \).
1. Nejprve najdeme vhodný dokonalý čtverec v čísle 450000.
2. Víme, že \( 450000 = 4500 \times 100 \), kde \( 100 = 10^2 \).
3. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{450000} = \sqrt{4500 \times 100} = \sqrt{4500} \times \sqrt{100} = 10 \sqrt{4500} \).
4. Zjednodušíme \( \sqrt{4500} \). Rozložíme 4500:
\( 4500 = 900 \times 5 \), protože \( 900 = 30^2 \).
5. Tedy \( \sqrt{4500} = \sqrt{900 \times 5} = \sqrt{900} \times \sqrt{5} = 30 \sqrt{5} \).
6. Dosadíme zpět: \( \sqrt{450000} = 10 \times 30 \sqrt{5} = 300 \sqrt{5} \).
7. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{450000} \approx 670.82 \),
\( 300 \times \sqrt{5} \approx 300 \times 2.236 = 670.82 \).
Závěr: \( \sqrt{450000} = 300 \sqrt{5} \).
166. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{512000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{512000} \).
1. Najdeme dokonalý čtverec v čísle 512000.
2. Číslo 512000 lze rozložit na \( 512000 = 512 \times 1000 \).
3. Zkusíme najít dokonalý čtverec v 512:
\( 512 = 256 \times 2 \), protože \( 256 = 16^2 \).
4. Dosadíme zpět:
\( \sqrt{512000} = \sqrt{256 \times 2 \times 1000} = \sqrt{256} \times \sqrt{2} \times \sqrt{1000} = 16 \sqrt{2} \sqrt{1000} \).
5. Zjednodušíme \( \sqrt{1000} \). Číslo 1000 můžeme rozložit jako \( 1000 = 100 \times 10 \), kde 100 je dokonalý čtverec.
6. Takže \( \sqrt{1000} = \sqrt{100 \times 10} = \sqrt{100} \times \sqrt{10} = 10 \sqrt{10} \).
7. Výraz tedy je \( 16 \sqrt{2} \times 10 \sqrt{10} = 160 \sqrt{20} \).
8. Zjednodušíme \( \sqrt{20} \):
\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5} \).
9. Dosadíme zpět: \( 160 \times 2 \sqrt{5} = 320 \sqrt{5} \).
10. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{512000} \approx 715.54 \),
\( 320 \times \sqrt{5} \approx 320 \times 2.236 = 715.52 \), což je téměř stejné.
Závěr: \( \sqrt{512000} = 320 \sqrt{5} \).
167. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{729000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{729000} \).
1. Rozložíme číslo 729000 na faktory obsahující dokonalé čtverce.
2. Číslo 729000 můžeme napsat jako \( 729000 = 729 \times 1000 \).
3. Číslo 729 je známý dokonalý čtverec \( 729 = 27^2 \).
4. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{729000} = \sqrt{729} \times \sqrt{1000} = 27 \times \sqrt{1000} \).
5. Zjednodušíme \( \sqrt{1000} \) stejně jako v předchozím příkladu: \( \sqrt{1000} = 10 \sqrt{10} \).
6. Výsledkem je \( 27 \times 10 \sqrt{10} = 270 \sqrt{10} \).
7. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{729000} \approx 853.91 \),
\( 270 \times \sqrt{10} \approx 270 \times 3.162 = 853.74 \), což je téměř stejné.
Závěr: \( \sqrt{729000} = 270 \sqrt{10} \).
168. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{810000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{810000} \).
1. Najdeme dokonalý čtverec v čísle 810000.
2. Číslo 810000 můžeme napsat jako \( 810000 = 8100 \times 100 \), kde oba jsou dokonalé čtverce, protože \( 8100 = 90^2 \) a \( 100 = 10^2 \).
3. Použijeme pravidlo: \( \sqrt{810000} = \sqrt{8100 \times 100} = \sqrt{8100} \times \sqrt{100} = 90 \times 10 = 900 \).
4. Kontrola:
\( 900^2 = 810000 \), což je správně.
Závěr: \( \sqrt{810000} = 900 \).
169. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{1001000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{1001000} \).
1. Pokusíme se rozložit číslo 1001000 na faktory s dokonalými čtverci.
2. Číslo 1001000 je rovno \( 1001000 = 10000 \times 100.1 \).
3. Protože 100.1 není celé číslo, zkusíme jiné dělení.
4. Zkusíme \( 1001000 = 1000 \times 1001 \).
5. Číslo 1000 je \( 1000 = 10^3 \), ale není dokonalý čtverec. Číslo 1001 rozložíme na prvočísla: \( 1001 = 7 \times 11 \times 13 \).
6. Žádný z těchto faktorů není dokonalý čtverec kromě 1, proto zkusíme najít největší dokonalý čtverec menší než 1001000.
7. Největší dokonalý čtverec menší než 1001000 je \( 1000^2 = 1000000 \).
8. Můžeme napsat \( \sqrt{1001000} = \sqrt{1000000 + 1000} = \sqrt{1000000} \times \sqrt{1 + \frac{1000}{1000000}} \).
9. To je \( 1000 \times \sqrt{1 + 0.001} = 1000 \times \sqrt{1.001} \).
10. Zjednodušení \( \sqrt{1.001} \) necháme v kořenovém tvaru, protože je blízko 1.
Závěr: \( \sqrt{1001000} = 1000 \sqrt{1.001} \).
170. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{1600000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{1600000} \).
1. Rozložíme číslo 1600000 na faktory:
\( 1600000 = 16 \times 100000 \), kde 16 je dokonalý čtverec, protože \( 16 = 4^2 \).
2. Nyní zkusíme zjednodušit \( \sqrt{100000} \).
3. Číslo 100000 lze rozložit na \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde 10000 je dokonalý čtverec, protože \( 10000 = 100^2 \).
4. Dosadíme zpět:
\( \sqrt{1600000} = \sqrt{16} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} = 4 \times 100 \times \sqrt{10} = 400 \sqrt{10} \).
5. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{1600000} \approx 1264.91 \),
\( 400 \times \sqrt{10} \approx 400 \times 3.162 = 1264.8 \), což je téměř stejné.
Závěr: \( \sqrt{1600000} = 400 \sqrt{10} \).
171. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{1234567} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{1234567} \), přičemž jde o číslo větší než 100000.
1. Nejprve se pokusíme najít co největší dokonalý čtverec, který je menší než 1234567.
2. Vypočítáme přibližnou hodnotu odmocniny: \( \sqrt{1234567} \approx 1111.11 \) (odhad).
3. Nyní zjistíme, který čtverec je nejbližší a menší než 1234567. Například \( 1110^2 = 1\,232\,100 \), což je větší než 1\,234\,567, takže to nebude.
4. Zkusíme \( 1111^2 = 1\,234\,321 \), což je menší než 1\,234\,567.
5. Nyní můžeme vyjádřit číslo \( 1234567 \) jako \( 1111^2 + (1234567 – 1234321) = 1111^2 + 246 \).
6. To znamená, že
\( \sqrt{1234567} = \sqrt{1111^2 + 246} \).
7. Jelikož 246 není dokonalý čtverec, odmocninu nelze výrazněji zjednodušit algebraicky.
8. Přibližná hodnota odmocniny je tedy
\( \sqrt{1234567} \approx 1111 + \frac{246}{2 \times 1111} = 1111 + 0.11 = 1111.11 \) (lineární aproximace).
Závěr: Nejlepší přesnost bez kalkulačky je \( \sqrt{1234567} \approx 1111.11 \). Číslo nelze jednodušeji rozložit na součin odmocnin s celými čísly.
172. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{2500000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{2500000} \).
1. Nejprve rozložíme číslo 2500000 na faktory, kde najdeme dokonalé čtverce:
\( 2500000 = 25 \times 100000 \).
2. Číslo 25 je dokonalý čtverec, protože \( 25 = 5^2 \).
3. Číslo 100000 můžeme rozložit jako \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
4. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{2500000} = \sqrt{25} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} = 5 \times 100 \times \sqrt{10} = 500 \sqrt{10} \).
5. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{2500000} \approx 1581.14 \),
\( 500 \times \sqrt{10} \approx 500 \times 3.162 = 1581 \), což je téměř stejné.
Závěr: \( \sqrt{2500000} = 500 \sqrt{10} \).
173. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{3600000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{3600000} \).
1. Rozložíme číslo 3600000 na faktory, hledáme dokonalé čtverce:
\( 3600000 = 36 \times 100000 \).
2. Číslo 36 je dokonalý čtverec, protože \( 36 = 6^2 \).
3. Číslo 100000 rozložíme jako \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \).
4. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{3600000} = \sqrt{36} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} = 6 \times 100 \times \sqrt{10} = 600 \sqrt{10} \).
5. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{3600000} \approx 1897.37 \),
\( 600 \times \sqrt{10} \approx 600 \times 3.162 = 1897.2 \), což je téměř stejné.
Závěr: \( \sqrt{3600000} = 600 \sqrt{10} \).
174. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{4900000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{4900000} \).
1. Číslo 4900000 rozložíme na faktory:
\( 4900000 = 49 \times 100000 \).
2. Číslo 49 je dokonalý čtverec, protože \( 49 = 7^2 \).
3. Číslo 100000 rozložíme na \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \).
4. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{4900000} = \sqrt{49} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} = 7 \times 100 \times \sqrt{10} = 700 \sqrt{10} \).
5. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{4900000} \approx 2213.59 \),
\( 700 \times \sqrt{10} \approx 700 \times 3.162 = 2213.4 \), což je téměř stejné.
Závěr: \( \sqrt{4900000} = 700 \sqrt{10} \).
175. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{6400000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{6400000} \).
1. Rozložíme číslo 6400000 na faktory:
\( 6400000 = 64 \times 100000 \).
2. Číslo 64 je dokonalý čtverec, protože \( 64 = 8^2 \).
3. Číslo 100000 rozložíme jako \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \).
4. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{6400000} = \sqrt{64} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} = 8 \times 100 \times \sqrt{10} = 800 \sqrt{10} \).
5. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{6400000} \approx 2529.82 \),
\( 800 \times \sqrt{10} \approx 800 \times 3.162 = 2529.6 \), což je téměř stejné.
Závěr: \( \sqrt{6400000} = 800 \sqrt{10} \).
176. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{8100000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{8100000} \).
1. Rozložíme číslo 8100000 na faktory:
\( 8100000 = 81 \times 100000 \).
2. Číslo 81 je dokonalý čtverec, protože \( 81 = 9^2 \).
3. Číslo 100000 rozložíme jako \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \).
4. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{8100000} = \sqrt{81} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} = 9 \times 100 \times \sqrt{10} = 900 \sqrt{10} \).
5. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{8100000} \approx 2845.97 \),
\( 900 \times \sqrt{10} \approx 900 \times 3.162 = 2845.8 \), což je téměř stejné.
Závěr: \( \sqrt{8100000} = 900 \sqrt{10} \).
177. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{9800000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{9800000} \).
1. Rozložíme číslo 9800000 na faktory:
\( 9800000 = 98 \times 100000 \).
2. Číslo 98 není dokonalý čtverec, ale můžeme ho rozložit na \( 98 = 49 \times 2 \), kde \( 49 = 7^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Číslo 100000 rozložíme jako \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \).
4. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{9800000} = \sqrt{49 \times 2 \times 10000 \times 10} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
5. Vyjádříme to jako součin:
\( = 7 \times \sqrt{2} \times 100 \times \sqrt{10} = 700 \sqrt{20} \).
6. Číslo 20 můžeme ještě rozložit na \( 4 \times 5 \), kde \( 4 = 2^2 \) je dokonalý čtverec.
7. Z toho plyne:
\( 700 \sqrt{20} = 700 \times \sqrt{4 \times 5} = 700 \times 2 \sqrt{5} = 1400 \sqrt{5} \).
Závěr: \( \sqrt{9800000} = 1400 \sqrt{5} \).
178. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{12100000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{12100000} \).
1. Rozložíme číslo 12100000 na faktory:
\( 12100000 = 121 \times 100000 \).
2. Číslo 121 je dokonalý čtverec, protože \( 121 = 11^2 \).
3. Číslo 100000 rozložíme jako \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \).
4. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{12100000} = \sqrt{121} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} = 11 \times 100 \times \sqrt{10} = 1100 \sqrt{10} \).
5. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{12100000} \approx 3477.23 \),
\( 1100 \times \sqrt{10} \approx 1100 \times 3.162 = 3478.2 \), hodnota je téměř stejná.
Závěr: \( \sqrt{12100000} = 1100 \sqrt{10} \).
179. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{14440000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{14440000} \).
1. Rozložíme číslo 14440000 na faktory:
\( 14440000 = 1444 \times 10000 \).
2. Číslo 1444 není dokonalý čtverec, ale můžeme jej rozložit jako \( 1444 = 38^2 \).
3. Číslo 10000 je dokonalý čtverec, protože \( 10000 = 100^2 \).
4. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{14440000} = \sqrt{1444} \times \sqrt{10000} = 38 \times 100 = 3800 \).
Závěr: \( \sqrt{14440000} = 3800 \).
180. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{16900000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{16900000} \).
1. Rozložíme číslo 16900000 na faktory:
\( 16900000 = 169 \times 100000 \).
2. Číslo 169 je dokonalý čtverec, protože \( 169 = 13^2 \).
3. Číslo 100000 rozložíme jako \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \).
4. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{16900000} = \sqrt{169} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} = 13 \times 100 \times \sqrt{10} = 1300 \sqrt{10} \).
5. Kontrola přibližné hodnoty:
\( \sqrt{16900000} \approx 4114.01 \),
\( 1300 \times \sqrt{10} \approx 1300 \times 3.162 = 4110.6 \), což je téměř stejné.
Závěr: \( \sqrt{16900000} = 1300 \sqrt{10} \).
181. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{19600000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{19600000} \).
1. Nejprve rozložíme číslo 19600000 na součin čísel, která jsou snáze odmocnitelná:
\( 19600000 = 196 \times 100000 \).
2. Určíme, zda jsou některá z těchto čísel dokonalé čtverce:
\( 196 = 14^2 \), což znamená, že 196 je dokonalý čtverec.
Číslo 100000 můžeme rozložit na \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je také dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu, tedy:
\( \sqrt{19600000} = \sqrt{196} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé odmocniny dokonalých čtverců:
\( \sqrt{196} = 14 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz se tedy zjednoduší na:
\( 14 \times 100 \times \sqrt{10} = 1400 \sqrt{10} \).
6. Pro ověření můžeme spočítat přibližnou hodnotu:
\( \sqrt{19600000} \approx 4427.19 \).
\( 1400 \times \sqrt{10} \approx 1400 \times 3.162 = 4426.8 \), což je velmi blízko, tedy naše úprava je správná.
Závěr: \( \sqrt{19600000} = 1400 \sqrt{10} \).
182. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{22500000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{22500000} \).
1. Rozložíme číslo 22500000 jako součin vhodných čísel:
\( 22500000 = 225 \times 100000 \).
2. Určíme, zda některé číslo je dokonalý čtverec:
\( 225 = 15^2 \), což znamená, že 225 je dokonalý čtverec.
Číslo 100000 lze rozložit na \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{22500000} = \sqrt{225} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé odmocniny:
\( \sqrt{225} = 15 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz se tedy zjednoduší na:
\( 15 \times 100 \times \sqrt{10} = 1500 \sqrt{10} \).
6. Ověření přibližné hodnoty:
\( \sqrt{22500000} \approx 4743.42 \).
\( 1500 \times \sqrt{10} \approx 1500 \times 3.162 = 4743 \), což potvrzuje správnost úpravy.
Závěr: \( \sqrt{22500000} = 1500 \sqrt{10} \).
183. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{25600000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{25600000} \).
1. Nejprve rozložíme číslo 25600000:
\( 25600000 = 256 \times 100000 \).
2. Určíme, zda jsou čísla dokonalé čtverce:
\( 256 = 16^2 \), tedy dokonalý čtverec.
Číslo 100000 rozložíme na \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{25600000} = \sqrt{256} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé hodnoty:
\( \sqrt{256} = 16 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz se zjednoduší na:
\( 16 \times 100 \times \sqrt{10} = 1600 \sqrt{10} \).
6. Ověření pomocí přibližné hodnoty:
\( \sqrt{25600000} \approx 5059.36 \).
\( 1600 \times \sqrt{10} \approx 1600 \times 3.162 = 5059.2 \), což potvrzuje správnost úpravy.
Závěr: \( \sqrt{25600000} = 1600 \sqrt{10} \).
184. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{28900000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{28900000} \).
1. Rozložíme číslo na vhodné faktory:
\( 28900000 = 289 \times 100000 \).
2. Určíme, zda některý z faktorů je dokonalý čtverec:
\( 289 = 17^2 \), což znamená, že 289 je dokonalý čtverec.
Číslo 100000 rozložíme jako \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je také dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{28900000} = \sqrt{289} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé odmocniny:
\( \sqrt{289} = 17 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz se zjednoduší na:
\( 17 \times 100 \times \sqrt{10} = 1700 \sqrt{10} \).
6. Ověření pomocí přibližné hodnoty:
\( \sqrt{28900000} \approx 5374.16 \).
\( 1700 \times \sqrt{10} \approx 1700 \times 3.162 = 5375.4 \), což je velmi blízko.
Závěr: \( \sqrt{28900000} = 1700 \sqrt{10} \).
185. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{32400000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{32400000} \).
1. Rozložíme číslo:
\( 32400000 = 324 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 324 = 18^2 \), dokonalý čtverec.
Číslo 100000 rozložíme jako \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{32400000} = \sqrt{324} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé odmocniny:
\( \sqrt{324} = 18 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz se zjednoduší na:
\( 18 \times 100 \times \sqrt{10} = 1800 \sqrt{10} \).
6. Ověření přibližné hodnoty:
\( \sqrt{32400000} \approx 5692.58 \).
\( 1800 \times \sqrt{10} \approx 1800 \times 3.162 = 5691.6 \), což potvrzuje správnost úpravy.
Závěr: \( \sqrt{32400000} = 1800 \sqrt{10} \).
186. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{36100000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{36100000} \).
1. Rozložíme číslo:
\( 36100000 = 361 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 361 = 19^2 \), dokonalý čtverec.
Číslo 100000 rozložíme na \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{36100000} = \sqrt{361} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé odmocniny:
\( \sqrt{361} = 19 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz zjednodušíme na:
\( 19 \times 100 \times \sqrt{10} = 1900 \sqrt{10} \).
6. Ověření:
\( \sqrt{36100000} \approx 6008.32 \).
\( 1900 \times \sqrt{10} \approx 1900 \times 3.162 = 6007.8 \), což potvrzuje správnost.
Závěr: \( \sqrt{36100000} = 1900 \sqrt{10} \).
187. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{40000000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{40000000} \).
1. Číslo 40000000 rozložíme na:
\( 40000000 = 400 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 400 = 20^2 \), dokonalý čtverec.
Číslo 100000 rozložíme na \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{40000000} = \sqrt{400} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé odmocniny:
\( \sqrt{400} = 20 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz se zjednoduší na:
\( 20 \times 100 \times \sqrt{10} = 2000 \sqrt{10} \).
6. Ověření přibližné hodnoty:
\( \sqrt{40000000} = 6324.56 \).
\( 2000 \times \sqrt{10} \approx 2000 \times 3.162 = 6324 \), což potvrzuje správnost úpravy.
Závěr: \( \sqrt{40000000} = 2000 \sqrt{10} \).
188. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{44100000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{44100000} \).
1. Rozložíme číslo:
\( 44100000 = 441 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 441 = 21^2 \), dokonalý čtverec.
Číslo 100000 rozložíme jako \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{44100000} = \sqrt{441} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé hodnoty:
\( \sqrt{441} = 21 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz se zjednoduší na:
\( 21 \times 100 \times \sqrt{10} = 2100 \sqrt{10} \).
6. Ověření přibližné hodnoty:
\( \sqrt{44100000} \approx 6645.75 \).
\( 2100 \times \sqrt{10} \approx 2100 \times 3.162 = 6640.2 \), což potvrzuje správnost.
Závěr: \( \sqrt{44100000} = 2100 \sqrt{10} \).
189. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{48400000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{48400000} \).
1. Rozložíme číslo:
\( 48400000 = 484 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 484 = 22^2 \), dokonalý čtverec.
Číslo 100000 rozložíme na \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{48400000} = \sqrt{484} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé odmocniny:
\( \sqrt{484} = 22 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz se zjednoduší na:
\( 22 \times 100 \times \sqrt{10} = 2200 \sqrt{10} \).
6. Ověření:
\( \sqrt{48400000} \approx 6956.62 \).
\( 2200 \times \sqrt{10} \approx 2200 \times 3.162 = 6956.4 \), což potvrzuje správnost.
Závěr: \( \sqrt{48400000} = 2200 \sqrt{10} \).
190. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{52900000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{52900000} \).
1. Rozložíme číslo na součin vhodných čísel:
\( 52900000 = 529 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 529 = 23^2 \), dokonalý čtverec.
Číslo 100000 rozložíme na \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{52900000} = \sqrt{529} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé odmocniny:
\( \sqrt{529} = 23 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz zjednodušíme na:
\( 23 \times 100 \times \sqrt{10} = 2300 \sqrt{10} \).
6. Ověření přibližné hodnoty:
\( \sqrt{52900000} \approx 7276.78 \).
\( 2300 \times \sqrt{10} \approx 2300 \times 3.162 = 7272.6 \), což potvrzuje správnost úpravy.
Závěr: \( \sqrt{52900000} = 2300 \sqrt{10} \).
191. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{57600000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{57600000} \).
1. Nejprve rozložíme číslo na vhodné součiny, abychom mohli využít pravidlo odmocniny součinu:
\( 57600000 = 576 \times 100000 \).
2. Nyní určíme, zda jsou tyto čísla dokonalými čtverci nebo je dále rozložíme:
\( 576 = 24^2 \) je dokonalý čtverec, protože \( 24 \times 24 = 576 \).
Číslo \( 100000 \) rozložíme na \( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Podle pravidla odmocniny součinu platí:
\( \sqrt{57600000} = \sqrt{576} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé hodnoty odmocnin:
\( \sqrt{576} = 24 \), \( \sqrt{10000} = 100 \), a \( \sqrt{10} \) zůstává v odmocnině, protože 10 není dokonalý čtverec.
5. Nyní můžeme výraz zjednodušit:
\( 24 \times 100 \times \sqrt{10} = 2400 \sqrt{10} \).
6. Ověření pomocí přibližné hodnoty:
\( \sqrt{57600000} \approx 7583.10 \).
\( 2400 \times \sqrt{10} \approx 2400 \times 3.162 = 7588.8 \), což je velmi blízké, takže úprava je správná.
Závěr: \( \sqrt{57600000} = 2400 \sqrt{10} \).
192. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{62500000} \)
Řešení příkladu:
Úkolem je zjednodušit odmocninu \( \sqrt{62500000} \).
1. Rozložíme číslo na součin:
\( 62500000 = 625 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 625 = 25^2 \), což je dokonalý čtverec.
Číslo \( 100000 \) opět rozložíme na \( 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Podle pravidla odmocniny součinu:
\( \sqrt{62500000} = \sqrt{625} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé hodnoty:
\( \sqrt{625} = 25 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz upravíme na:
\( 25 \times 100 \times \sqrt{10} = 2500 \sqrt{10} \).
6. Ověření:
\( \sqrt{62500000} \approx 7905.69 \).
\( 2500 \times \sqrt{10} \approx 2500 \times 3.162 = 7905 \), což potvrzuje správnost.
Závěr: \( \sqrt{62500000} = 2500 \sqrt{10} \).
193. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{67600000} \)
Řešení příkladu:
1. Nejprve rozložíme číslo \( 67600000 \) na součin vhodných čísel:
\( 67600000 = 676 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 676 = 26^2 \), což je dokonalý čtverec.
\( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{67600000} = \sqrt{676} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé hodnoty:
\( \sqrt{676} = 26 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz zjednodušíme:
\( 26 \times 100 \times \sqrt{10} = 2600 \sqrt{10} \).
6. Ověření přibližné hodnoty:
\( \sqrt{67600000} \approx 8215.17 \).
\( 2600 \times \sqrt{10} \approx 2600 \times 3.162 = 8218.9 \), což je velmi blízké.
Závěr: \( \sqrt{67600000} = 2600 \sqrt{10} \).
194. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{72900000} \)
Řešení příkladu:
1. Rozložíme číslo na součin:
\( 72900000 = 729 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 729 = 27^2 \), což je dokonalý čtverec.
\( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Podle pravidla odmocniny součinu:
\( \sqrt{72900000} = \sqrt{729} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme hodnoty:
\( \sqrt{729} = 27 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz upravíme:
\( 27 \times 100 \times \sqrt{10} = 2700 \sqrt{10} \).
6. Ověření:
\( \sqrt{72900000} \approx 8539.39 \).
\( 2700 \times \sqrt{10} \approx 2700 \times 3.162 = 8537.4 \), což potvrzuje správnost.
Závěr: \( \sqrt{72900000} = 2700 \sqrt{10} \).
195. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{78400000} \)
Řešení příkladu:
1. Rozložíme číslo:
\( 78400000 = 784 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 784 = 28^2 \), což je dokonalý čtverec.
\( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Podle pravidla odmocniny součinu:
\( \sqrt{78400000} = \sqrt{784} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé hodnoty:
\( \sqrt{784} = 28 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz upravíme:
\( 28 \times 100 \times \sqrt{10} = 2800 \sqrt{10} \).
6. Ověření:
\( \sqrt{78400000} \approx 8856.85 \).
\( 2800 \times \sqrt{10} \approx 2800 \times 3.162 = 8853.6 \), což je velmi blízké.
Závěr: \( \sqrt{78400000} = 2800 \sqrt{10} \).
196. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{84100000} \)
Řešení příkladu:
1. Rozložíme číslo:
\( 84100000 = 841 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 841 = 29^2 \), což je dokonalý čtverec.
\( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Podle pravidla odmocniny součinu:
\( \sqrt{84100000} = \sqrt{841} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme hodnoty:
\( \sqrt{841} = 29 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz upravíme:
\( 29 \times 100 \times \sqrt{10} = 2900 \sqrt{10} \).
6. Ověření přibližné hodnoty:
\( \sqrt{84100000} \approx 9165.15 \).
\( 2900 \times \sqrt{10} \approx 2900 \times 3.162 = 9160 \), což je velmi blízké.
Závěr: \( \sqrt{84100000} = 2900 \sqrt{10} \).
197. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{90000000} \)
Řešení příkladu:
1. Rozložíme číslo na součin:
\( 90000000 = 900 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 900 = 30^2 \), dokonalý čtverec.
\( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Podle pravidla odmocniny součinu:
\( \sqrt{90000000} = \sqrt{900} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme známé hodnoty:
\( \sqrt{900} = 30 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz zjednodušíme:
\( 30 \times 100 \times \sqrt{10} = 3000 \sqrt{10} \).
6. Ověření:
\( \sqrt{90000000} \approx 9486.83 \).
\( 3000 \times \sqrt{10} \approx 3000 \times 3.162 = 9486 \), což potvrzuje správnost.
Závěr: \( \sqrt{90000000} = 3000 \sqrt{10} \).
198. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{96100000} \)
Řešení příkladu:
1. Rozložíme číslo na součin:
\( 96100000 = 961 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 961 = 31^2 \), což je dokonalý čtverec.
\( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Použijeme pravidlo odmocniny součinu:
\( \sqrt{96100000} = \sqrt{961} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme hodnoty:
\( \sqrt{961} = 31 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz zjednodušíme na:
\( 31 \times 100 \times \sqrt{10} = 3100 \sqrt{10} \).
6. Ověření:
\( \sqrt{96100000} \approx 9803.05 \).
\( 3100 \times \sqrt{10} \approx 3100 \times 3.162 = 9802.2 \), což potvrzuje správnost.
Závěr: \( \sqrt{96100000} = 3100 \sqrt{10} \).
199. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{102400000} \)
Řešení příkladu:
1. Rozložíme číslo:
\( 102400000 = 1024 \times 100000 \).
2. Určíme dokonalé čtverce:
\( 1024 = 32^2 \), což je dokonalý čtverec.
\( 100000 = 10000 \times 10 \), kde \( 10000 = 100^2 \) je dokonalý čtverec.
3. Podle pravidla odmocniny součinu:
\( \sqrt{102400000} = \sqrt{1024} \times \sqrt{10000} \times \sqrt{10} \).
4. Dosadíme hodnoty:
\( \sqrt{1024} = 32 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Výraz zjednodušíme na:
\( 32 \times 100 \times \sqrt{10} = 3200 \sqrt{10} \).
6. Ověření:
\( \sqrt{102400000} \approx 10119.96 \).
\( 3200 \times \sqrt{10} \approx 3200 \times 3.162 = 10118.4 \), což potvrzuje správnost.
Závěr: \( \sqrt{102400000} = 3200 \sqrt{10} \).
200. Zjednoduš výraz: \( \sqrt{110250000} \)
Řešení příkladu:
1. Nejprve rozebereme číslo na součin:
\( 110250000 = 11025 \times 10000 \)
2. Určíme, zda jsou jednotlivé faktory dokonalými čtverci:
\( 11025 = 105^2 \), je dokonalý čtverec.
\( 10000 = 100^2 \), je dokonalý čtverec.
3. Podle pravidla odmocniny součinu:
\( \sqrt{110250000} = \sqrt{11025} \times \sqrt{10000} \).
4. Dosadíme známé hodnoty:
\( \sqrt{11025} = 105 \), \( \sqrt{10000} = 100 \).
5. Vypočítáme:
\( 105 \times 100 = 10500 \).
6. Ověření:
\( \sqrt{110250000} \approx 10500 \), což potvrzuje správnost.
Závěr: \( \sqrt{110250000} = 10500 \).