1. Určete částečné součty posloupnosti \(a_n = \frac{1}{n^2}\) pro \(n=1,2,\ldots,10\). Dále prokažte, zda je tato posloupnost sumovatelná a určete její limitu.
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme částečné součty \(S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\) pro \(n=1,2,\ldots,10\):
\[ S_1 = \frac{1}{1^2} = 1 \]
\[ S_2 = 1 + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1{,}25 \]
\[ S_3 = \frac{5}{4} + \frac{1}{3^2} = \frac{5}{4} + \frac{1}{9} = \frac{45}{36} + \frac{4}{36} = \frac{49}{36} \approx 1{,}3611 \]
Podobně pokračujeme dál:
\[ S_4 = S_3 + \frac{1}{16} \approx 1{,}3611 + 0{,}0625 = 1{,}4236 \]
\[ S_5 \approx 1{,}4236 + 0{,}04 = 1{,}4636 \]
\[ S_6 \approx 1{,}4636 + 0{,}0278 = 1{,}4914 \]
\[ S_7 \approx 1{,}4914 + 0{,}0204 = 1{,}5118 \]
\[ S_8 \approx 1{,}5118 + 0{,}0156 = 1{,}5274 \]
\[ S_9 \approx 1{,}5274 + 0{,}0123 = 1{,}5397 \]
\[ S_{10} \approx 1{,}5397 + 0{,}01 = 1{,}5497 \]
Posloupnost \(\{S_n\}\) je rostoucí a omezená shora (protože \(\frac{1}{n^2}\) je kladné a klesající). Podle kritéria konvergence součtu kladných členů tedy posloupnost částečných součtů konverguje.
Limitou je hodnota tzv. Baselovy posloupnosti:
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449 \]
Tím jsme ukázali, že posloupnost je sumovatelná a částečné součty mají limitu \(\frac{\pi^2}{6}\).
2. Určete částečné součty posloupnosti \(a_n = (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\) pro \(n=1,2,\ldots,10\). Proveďte analýzu, zda je tato posloupnost sumovatelná a popište chování jejích částečných součtů.
Řešení příkladu:
Posloupnost je \(\{a_n\} = 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \ldots\). Částečné součty jsou
\[ S_1 = 1 \]
\[ S_2 = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
\[ S_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + 0{,}3333 = 0{,}8333 \]
\[ S_4 = 0{,}8333 – \frac{1}{4} = 0{,}8333 – 0{,}25 = 0{,}5833 \]
\[ S_5 = 0{,}5833 + \frac{1}{5} = 0{,}5833 + 0{,}2 = 0{,}7833 \]
\[ S_6 = 0{,}7833 – \frac{1}{6} \approx 0{,}7833 – 0{,}1667 = 0{,}6166 \]
\[ S_7 \approx 0{,}6166 + 0{,}1429 = 0{,}7595 \]
\[ S_8 \approx 0{,}7595 – 0{,}125 = 0{,}6345 \]
\[ S_9 \approx 0{,}6345 + 0{,}1111 = 0{,}7456 \]
\[ S_{10} \approx 0{,}7456 – 0{,}1 = 0{,}6456 \]
Částečné součty oscilují a zmenšují se do blízkosti nějaké hodnoty. Posloupnost \(a_n\) je absolutně nesouměřitelná, protože \(\sum \frac{1}{n}\) diverguje. Nicméně, podle Leibnizova kritéria pro střídavé řady platí, že řada je konvergentní k limitě, kterou označíme \(S\).
Limitou je tzv. alternating harmonic series:
\[ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} = \ln 2 \approx 0{,}6931 \]
Tedy posloupnost částečných součtů konverguje k \(\ln 2\).
3. Určete částečné součty a prokažte sumovatelnost posloupnosti \(a_n = \frac{n}{2^n}\) pro \(n=1,2,\ldots,10\). Určete limitu této řady.
Řešení příkladu:
Částečné součty definujeme jako \(S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}\).
Existuje známý vzorec pro sumu:
\[ \sum_{k=1}^\infty k x^k = \frac{x}{(1-x)^2} \quad \text{pro } |x| < 1 \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{2}\), platí tedy
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k} = \frac{\frac{1}{2}}{(1 – \frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2 \]
Částečné součty pro první hodnoty vypočítáme explicitně:
\[ S_1 = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
\[ S_2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = 0{,}5 + 0{,}5 = 1 \]
\[ S_3 = 1 + \frac{3}{8} = 1 + 0{,}375 = 1{,}375 \]
\[ S_4 = 1{,}375 + \frac{4}{16} = 1{,}375 + 0{,}25 = 1{,}625 \]
\[ S_5 = 1{,}625 + \frac{5}{32} = 1{,}625 + 0{,}15625 = 1{,}78125 \]
\[ S_6 = 1{,}78125 + \frac{6}{64} = 1{,}78125 + 0{,}09375 = 1{,}875 \]
\[ S_7 = 1{,}875 + \frac{7}{128} \approx 1{,}875 + 0{,}0547 = 1{,}9297 \]
\[ S_8 \approx 1{,}9297 + \frac{8}{256} = 1{,}9297 + 0{,}03125 = 1{,}96095 \]
\[ S_9 \approx 1{,}96095 + \frac{9}{512} \approx 1{,}96095 + 0{,}0176 = 1{,}97855 \]
\[ S_{10} \approx 1{,}97855 + \frac{10}{1024} = 1{,}97855 + 0{,}00977 = 1{,}98832 \]
Částečné součty rostou k limitě \(2\), tedy posloupnost je sumovatelná a její limita je \(2\).
4. Mějme posloupnost \(a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\). Spočítejte částečné součty pro \(n=1,2,\ldots,10\) a zhodnoťte sumovatelnost této posloupnosti.
Řešení příkladu:
Posloupnost je \(a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\), což je střídavá posloupnost s klesajícími absolutními hodnotami k nule.
Částečné součty:
\[ S_1 = -\frac{1}{1} = -1 \]
\[ S_2 = -1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \approx -1 + 0{,}7071 = -0{,}2929 \]
\[ S_3 = -0{,}2929 – \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0{,}2929 – 0{,}5774 = -0{,}8703 \]
\[ S_4 = -0{,}8703 + \frac{1}{2} = -0{,}8703 + 0{,}5 = -0{,}3703 \]
\[ S_5 = -0{,}3703 – \frac{1}{\sqrt{5}} \approx -0{,}3703 – 0{,}4472 = -0{,}8175 \]
\[ S_6 = -0{,}8175 + \frac{1}{\sqrt{6}} \approx -0{,}8175 + 0{,}4082 = -0{,}4093 \]
\[ S_7 = -0{,}4093 – \frac{1}{\sqrt{7}} \approx -0{,}4093 – 0{,}3779 = -0{,}7872 \]
\[ S_8 = -0{,}7872 + \frac{1}{\sqrt{8}} \approx -0{,}7872 + 0{,}3536 = -0{,}4336 \]
\[ S_9 = -0{,}4336 – \frac{1}{3} = -0{,}4336 – 0{,}3333 = -0{,}7669 \]
\[ S_{10} = -0{,}7669 + \frac{1}{\sqrt{10}} \approx -0{,}7669 + 0{,}3162 = -0{,}4507 \]
Podle Leibnizova kritéria je posloupnost sumovatelná, protože \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0\) a absolutní hodnoty členů klesají monotonicky. Částečné součty oscilují a konvergují k nějaké limitě.
5. Definujte posloupnost \(a_n = \frac{1}{n(n+1)}\). Spočítejte částečné součty pro \(n=1,2,\ldots,10\) a určete sumu celé řady.
Řešení příkladu:
Prvně rozložíme členy posloupnosti pomocí parciálních zlomků:
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \]
Částečný součet \(S_n\) je tedy:
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\right) = \left(1 – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right) \]
Po úpravě dostaneme teleskopickou sumu:
\[ S_n = 1 – \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \]
Pro \(n=1,2,\ldots,10\):
\[ S_1 = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
\[ S_2 = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667 \]
\[ S_3 = \frac{3}{4} = 0{,}75 \]
\[ S_4 = \frac{4}{5} = 0{,}8 \]
\[ S_5 = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333 \]
\[ S_6 = \frac{6}{7} \approx 0{,}8571 \]
\[ S_7 = \frac{7}{8} = 0{,}875 \]
\[ S_8 = \frac{8}{9} \approx 0{,}8889 \]
\[ S_9 = \frac{9}{10} = 0{,}9 \]
\[ S_{10} = \frac{10}{11} \approx 0{,}9091 \]
Limita posloupnosti částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \]
Řada je tedy sumovatelná a její součet je \(1\).
6. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\).
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme členy řady na parciální zlomky:
\[ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}. \]
Vynásobíme obě strany rovnice \(n(n+2)\):
\[ 1 = A(n+2) + B n = A n + 2A + B n = (A + B) n + 2A. \]
Porovnáním koeficientů dostaneme soustavu:
\[ \begin{cases} A + B = 0 \\ 2A = 1 \end{cases} \]
Odtud
\[ A = \frac{1}{2}, \quad B = -\frac{1}{2}. \]
Členy řady tedy můžeme psát jako
\[ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1/2}{n} – \frac{1/2}{n+2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right). \]
Částečný součet \(S_n\) je tedy
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+2}\right). \]
Rozepsáním vidíme, že jde o teleskopickou sumu:
\[ S_n = \frac{1}{2} \left( (1 – \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} – \frac{1}{4}) + \cdots + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right) \right). \]
Po úpravě zůstávají první dva členy nezkrácené a zbytek se vyruší, takže
\[ S_n = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2}\right). \]
Pro \(n \to \infty\) platí
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}. \]
Řada je tedy sumovatelná a její suma je \(\frac{3}{4}\).
7. Spočítejte částečné součty a určete sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Členy řady lze přepsat jako
\[ a_n = \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n. \]
Jedná se tedy o geometrickou řadu s kvocientem \(q = \frac{2}{3}\), který splňuje \(|q| < 1\), takže řada konverguje.
Součet řady od \(n=1\) je
\[ S = \sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n. \]
Vzorec pro geometrickou řadu je
\[ \sum_{n=1}^\infty q^n = \frac{q}{1-q}. \]
Dosadíme tedy
\[ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{\frac{2}{3}}{1 – \frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2. \]
Celkový součet řady je tedy
\[ S = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}. \]
Částečné součty například pro první 3 členy jsou:
\[ S_1 = \frac{2^1}{3^2} = \frac{2}{9} \approx 0{,}2222, \]
\[ S_2 = \frac{2}{9} + \frac{4}{27} = \frac{6}{27} + \frac{4}{27} = \frac{10}{27} \approx 0{,}3704, \]
\[ S_3 = \frac{10}{27} + \frac{8}{81} = \frac{30}{81} + \frac{8}{81} = \frac{38}{81} \approx 0{,}4691. \]
Limita částečných součtů je tedy \(\frac{2}{3}\).
8. Určete sumu a zkoumejte konvergenci řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n(2n+1)}\).
Řešení příkladu:
Členy lze rozepsat jako
\[ a_n = \frac{1}{2n(2n+1)}. \]
Opět zkusíme parciální zlomky:
Hledáme \(A\) a \(B\) tak, aby platilo
\[ \frac{1}{2n(2n+1)} = \frac{A}{2n} + \frac{B}{2n+1}. \]
Vynásobíme obě strany \(2n(2n+1)\):
\[ 1 = A(2n+1) + B(2n) = 2A n + A + 2B n = (2A + 2B) n + A. \]
Porovnáním koeficientů dostáváme soustavu:
\[ \begin{cases} 2A + 2B = 0 \\ A = 1 \end{cases} \]
Odtud
\[ A = 1, \quad B = -1. \]
Členy tedy lze psát jako
\[ a_n = \frac{1}{2n} – \frac{1}{2n+1}. \]
Částečný součet \(S_n\) je tedy
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k} – \frac{1}{2k+1}\right) = \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{4} – \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n} – \frac{1}{2n+1}\right). \]
Nelze přímo vykrátit, proto hodnotíme limitu. Obě části jsou klesající a kladné, řada tedy konverguje.
Výsledná suma je známá jako
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n(2n+1)} = \ln(2). \]
Tuto hodnotu lze získat například integrálními metodami nebo porovnáním s integrálem.
9. Spočítejte částečné součty a určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je tvaru \(\sum n q^n\) s \(q = \frac{1}{3}\), což je známá typická řada.
Vzorec pro sumu je
\[ \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2}, \quad \text{pro } |q|<1. \]
Dosadíme \(q = \frac{1}{3}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{3}}{(1 – \frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75. \]
Částečné součty rostou k hodnotě \(0{,}75\).
10. Určete, zda je řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\) sumovatelná, a pokud ano, spočítejte sumu.
Řešení příkladu:
Jedná se o známou Leibnizovu řadu pro \(\ln(2)\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = – \ln(2). \]
Řada tedy konverguje, protože splňuje podmínku střídavé konvergence (Leibnizovo kritérium).
Sumu můžeme napsat jako
\[ S = – \ln(2) \approx -0{,}6931. \]
11. Určete součet řady s členy \(a_n = \frac{2n+1}{3^n}\) pro \(n=1,2,\ldots\) a zkoumejte její sumovatelnost.
Řešení příkladu:
Řada má členy
\[ a_n = \frac{2n+1}{3^n}. \]
Rozdělíme řadu na dvě části:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2n}{3^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}. \]
První řada je \(\sum 2n \left(\frac{1}{3}\right)^n\), druhá je geometrická \(\sum \left(\frac{1}{3}\right)^n\).
Geometrická řada má součet
\[ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}. \]
Pro první řadu použijeme známý vzorec
\[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad |x|<1, \]
kde \(x=\frac{1}{3}\), tedy
\[ \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{(1-\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}. \]
Vynásobíme 2:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2n}{3^n} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}. \]
Celkový součet je tedy
\[ S = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2. \]
Protože limita částečných součtů existuje a je konečná, řada je sumovatelná a její součet je \(2\).
12. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{n}{2^n}\) a posuďte její konvergenci.
Řešení příkladu:
Řada je střídavá se členy
\[ a_n = (-1)^{n+1} \frac{n}{2^n}. \]
Posuzujeme absolutní konvergenci:
\[ \sum_{n=1}^\infty \left| a_n \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}. \]
Pomocí vzorce pro součet řady \(\sum n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\) pro \(x = \frac{1}{2}\) máme
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2. \]
Řada tedy absolutně konverguje a je tedy sumovatelná.
Nyní spočítáme součet původní řady. Definujme funkci
\[ f(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n x^n, \]
která konverguje pro \(|x| < 1\). Derivací známé řady pro \(\sum (-1)^{n+1} x^n = \frac{x}{1+x}\) získáme
\[ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n x^{n} = \frac{1}{(1+x)^2} x. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{2}\):
\[ S = f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{(1+\frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{9}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9}. \]
Součet řady je tedy \(\frac{2}{9}\).
13. Mějme řadu \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^n}{5^n}\). Určete její sumu a posuďte konvergenci.
Řešení příkladu:
Členy řady lze přepsat jako
\[ a_n = \left(-\frac{3}{5}\right)^n. \]
Jedná se tedy o geometrickou řadu s kvocientem \(q = -\frac{3}{5}\).
Protože \(|q| = \frac{3}{5} < 1\), řada konverguje absolutně.
Součet geometrické řady je
\[ S = \frac{q}{1 – q} = \frac{-\frac{3}{5}}{1 – \left(-\frac{3}{5}\right)} = \frac{-\frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{8}{5}} = -\frac{3}{8}. \]
Řada je tedy sumovatelná a její součet je \(-\frac{3}{8}\).
14. Určete, zda je sumovatelná řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{4^n}\) a případně vypočítejte její součet.
Řešení příkladu:
Řada má členy
\[ a_n = \frac{n^2}{4^n}. \]
Jedná se o řadu s členy tvaru \(n^2 x^n\), kde \(x = \frac{1}{4}\).
Známý vzorec pro součet řady \(\sum_{n=1}^\infty n^2 x^n\) pro \(|x| < 1\) je
\[ \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{4}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{4} \left(\frac{1}{4} + 1\right)}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^3} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^3} = \frac{\frac{5}{16}}{\frac{27}{64}} = \frac{5}{16} \cdot \frac{64}{27} = \frac{320}{432} = \frac{40}{54} = \frac{20}{27}. \]
Protože limita částečných součtů existuje a je konečná, řada je sumovatelná s výsledkem \(\frac{20}{27}\).
15. Určete, zda je sumovatelná řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{3^n}\) a zdůvodněte.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{\sqrt{n}}{3^n}. \]
Pro zkoumání konvergence použijeme d’Alembertovo kritérium:
\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{\sqrt{n}} = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} < 1. \]
Tím je řada absolutně konvergentní, a tedy sumovatelná.
Pro výpočet součtu explicitní vzorec neznáme, ale řada konverguje díky rychlému poklesu \(\frac{1}{3^n}\) i přes růst \(\sqrt{n}\).
16. Určete částečné součty a součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}. \]
Řada je známá jako alternující harmonická řada.
Částečný součet \(S_n\) je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \ldots + \frac{(-1)^{n+1}}{n}. \]
Podle Leibnizova kritéria řada konverguje, protože členy klesají k nule a střídají znaménko.
Navíc je známo, že
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \ln(2). \]
Pro výpočet částečných součtů můžeme například spočítat první hodnoty:
\[ S_1 = 1, \quad S_2 = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, \quad S_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}, \quad S_4 = \frac{5}{6} – \frac{1}{4} = \frac{7}{12}. \]
Limita posloupnosti částečných součtů je tedy konečná a rovná \(\ln(2) \approx 0{,}6931\), což potvrzuje sumovatelnost řady.
17. Spočítejte částečné součty a určete sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Řada má členy
\[ a_n = \frac{n}{2^{n+1}} = \frac{n}{2} \cdot \frac{1}{2^n}. \]
Upravíme řadu na tvar
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{2}\right)^n. \]
Známý vzorec pro řadu \(\sum n x^n\) pro \(|x| < 1\) je
\[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{2}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2. \]
Celkový součet řady je tedy
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1. \]
Částečné součty lze spočítat například pro první hodnoty \(n=1,2,3\):
\[ S_1 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}, \quad S_2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{2^3} = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}, \]
\[ S_3 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{16} = \frac{8}{16} + \frac{3}{16} = \frac{11}{16}. \]
Limita částečných součtů je \(1\), řada je sumovatelná.
18. Zkoumejte sumovatelnost a spočítejte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n + 1}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{3^n + 1}{4^n} = \left(\frac{3}{4}\right)^n + \left(\frac{1}{4}\right)^n. \]
Řada se tedy rozpadá na součet dvou geometrických řad:
\[ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^n. \]
Součet první řady je
\[ S_1 = \frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3. \]
Součet druhé řady je
\[ S_2 = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}. \]
Celkový součet řady je tedy
\[ S = S_1 + S_2 = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}. \]
Obě řady konvergují, protože kvocient geometrické řady je v obou případech menší než \(1\), a proto je i jejich součet sumovatelný.
19. Určete konvergenci a případně součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{1}{n(n+1)}. \]
Rozložíme na parciální zlomky:
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}. \]
Částečný součet \(S_n\) je tedy
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\right) = \left(1 – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right). \]
Všechny prostřední členy se vykrátí, zůstane pouze
\[ S_n = 1 – \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1. \]
Řada tedy konverguje a jejím součtem je \(1\).
20. Určete, zda řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^n}{3^{n+1}}\) je sumovatelná, a pokud ano, spočítejte její sumu.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac{(-2)^n}{3 \cdot 3^n} = \frac{1}{3} \left(-\frac{2}{3}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem
\[ q = -\frac{2}{3}. \]
Protože \(|q| = \frac{2}{3} < 1\), řada konverguje.
Součet řady je
\[ S = \sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{2}{3}\right)^n. \]
Známý vzorec pro geometrickou řadu od \(n=1\) je
\[ \sum_{n=1}^\infty q^n = \frac{q}{1 – q}. \]
Dosadíme \(q = -\frac{2}{3}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{2}{3}\right)^n = \frac{-\frac{2}{3}}{1 – \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{-\frac{2}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}} = -\frac{2}{5}. \]
Celkový součet je tedy
\[ S = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{2}{15}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{2}{15}\).
21. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+3)}\).
Řešení příkladu:
Nejprve použijeme rozklad na parciální zlomky:
\[ \frac{1}{n(n+3)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+3}. \]
Vynásobíme obě strany rovnice \(n(n+3)\):
\[ 1 = A(n+3) + B n = A n + 3A + B n = (A + B) n + 3A. \]
Porovnáme koeficienty podle \(n\):
\[ \begin{cases} A + B = 0 \\ 3A = 1 \end{cases} \]
Odtud
\[ A = \frac{1}{3}, \quad B = -\frac{1}{3}. \]
Členy řady tedy můžeme vyjádřit jako
\[ \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+3}\right). \]
Částečný součet \(S_n\) je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+3)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+3}\right). \]
Rozepsáním členů vidíme teleskopický charakter:
\[ S_n = \frac{1}{3} \left( (1 – \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} – \frac{1}{5}) + (\frac{1}{3} – \frac{1}{6}) + \cdots + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+3}\right) \right). \]
Všechny prostřední členy se zruší, zůstanou pouze první tři kladné členy a poslední tři záporné:
\[ S_n = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} – \frac{1}{n+3} \right). \]
Limita částečných součtů při \(n \to \infty\) je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{18}. \]
Řada je tedy sumovatelná a její součet je \(\frac{11}{18}\).
22. Spočítejte částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n – 2^n}{6^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady můžeme rozepsat jako rozdíl dvou geometrických řad:
\[ a_n = \frac{3^n}{6^n} – \frac{2^n}{6^n} = \left(\frac{3}{6}\right)^n – \left(\frac{2}{6}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n – \left(\frac{1}{3}\right)^n. \]
Řada je tedy kombinací dvou konvergentních geometrických řad s kvocienty \(q_1 = \frac{1}{2}\) a \(q_2 = \frac{1}{3}\), oba menší než 1.
Sumy těchto řad od \(n=1\) jsou podle vzorce pro geometrickou řadu
\[ \sum_{n=1}^\infty q^n = \frac{q}{1-q}. \]
Pro první část:
\[ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 1. \]
Pro druhou část:
\[ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}. \]
Celkový součet řady je tedy
\[ S = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \]
Částečné součty lze vyčíslit například pro první tři členy:
\[ S_1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{3}{6} – \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667, \]
\[ S_2 = \frac{1}{6} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} – \frac{1}{9} = \frac{1}{6} + \frac{9}{36} – \frac{4}{36} = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} = \frac{6}{36} + \frac{5}{36} = \frac{11}{36} \approx 0{,}3056, \]
\[ S_3 = S_2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 – \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{11}{36} + \frac{1}{8} – \frac{1}{27} = \frac{11}{36} + \frac{27}{216} – \frac{8}{216} = \frac{11}{36} + \frac{19}{216} = \frac{66}{216} + \frac{19}{216} = \frac{85}{216} \approx 0{,}3935. \]
Limita částečných součtů je \(\frac{1}{2}\).
23. Zkoumejte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}\) a určete její konvergenci.
Řešení příkladu:
Řada je známá jako Leibnizova řada pro hodnotu \(\frac{\pi}{4}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1} = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}. \]
Řada je střídavá, členy jsou klesající a limitují k nule, proto podle Leibnizova kritéria řada konverguje.
Částečné součty lze vyjádřit jako aproximace hodnoty \(\frac{\pi}{4}\).
První částečné součty například jsou:
\[ S_1 = 1 = 1, \]
\[ S_2 = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667, \]
\[ S_3 = \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{2}{3} + 0{,}2 = 0{,}8667, \]
\[ S_4 = 0{,}8667 – \frac{1}{7} \approx 0{,}8667 – 0{,}1429 = 0{,}7238, \]
a tak dále, kde se hodnota postupně blíží \(\frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854\).
24. Určete, zda řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + n}\) je sumovatelná a vypočítejte její sumu.
Řešení příkladu:
Nejprve upravíme členy řady pomocí rozkladu na parciální zlomky:
\[ \frac{1}{n^2 + n} = \frac{1}{n(n+1)}. \]
Podobně jako v příkladu 5, rozložíme na parciální zlomky:
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}. \]
Částečný součet \(S_n\) je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\right) = 1 – \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 1, \]
takže řada je sumovatelná a její součet je \(1\).
25. Spočítejte částečné součty a určete sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}\).
Řešení příkladu:
Nejprve zkusíme rozložit členy řady pomocí parciálních zlomků. Hledáme konstanty \(A, B, C\) tak, aby platilo:
\[ \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}. \]
Vynásobíme rovnost jmenovatelem \(n(n+1)(n+2)\):
\[ 2n + 1 = A (n+1)(n+2) + B n (n+2) + C n (n+1). \]
Rozepíšeme pravou stranu:
\[ A (n^2 + 3n + 2) + B (n^2 + 2n) + C (n^2 + n) = (A + B + C) n^2 + (3A + 2B + C) n + 2A. \]
Porovnáme koeficienty s levou stranou \(2n + 1\):
\[ \begin{cases} A + B + C = 0 \\ 3A + 2B + C = 2 \\ 2A = 1 \end{cases} \]
Ze třetí rovnice:
\[ A = \frac{1}{2}. \]
Dosadíme do první a druhé:
\[ \begin{cases} \frac{1}{2} + B + C = 0 \Rightarrow B + C = -\frac{1}{2} \\ 3 \cdot \frac{1}{2} + 2B + C = 2 \Rightarrow \frac{3}{2} + 2B + C = 2 \Rightarrow 2B + C = \frac{1}{2} \end{cases} \]
Odečteme první od druhé rovnice:
\[ (2B + C) – (B + C) = \frac{1}{2} – \left(-\frac{1}{2}\right) \Rightarrow B = 1. \]
Dosadíme zpět pro \(C\):
\[ 1 + C = -\frac{1}{2} \Rightarrow C = -\frac{3}{2}. \]
Členy řady jsou tedy
\[ \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{n+1} – \frac{3}{2(n+2)}. \]
Částečný součet \(S_n\) je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k} + \frac{1}{k+1} – \frac{3}{2(k+2)}\right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} – \frac{3}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2}. \]
Vyjádříme sumy harmonických čísel \(H_m = \sum_{j=1}^m \frac{1}{j}\):
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = H_n, \]
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} = H_{n+1} – 1, \]
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2} = H_{n+2} – \left(1 + \frac{1}{2}\right) = H_{n+2} – \frac{3}{2}. \]
Dosadíme zpět:
\[ S_n = \frac{1}{2} H_n + (H_{n+1} – 1) – \frac{3}{2} (H_{n+2} – \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} H_n + H_{n+1} – 1 – \frac{3}{2} H_{n+2} + \frac{9}{4}. \]
Pro zjednodušení využijeme vztahy mezi harmonickými čísly:
\[ H_{n+2} = H_n + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}, \]
\[ H_{n+1} = H_n + \frac{1}{n+1}. \]
Dosadíme:
\[ S_n = \frac{1}{2} H_n + \left(H_n + \frac{1}{n+1}\right) – 1 – \frac{3}{2} \left(H_n + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right) + \frac{9}{4}. \]
Rozebereme a seskupíme podle \(H_n\):
\[ S_n = \frac{1}{2} H_n + H_n + \frac{1}{n+1} – 1 – \frac{3}{2} H_n – \frac{3}{2} \frac{1}{n+1} – \frac{3}{2} \frac{1}{n+2} + \frac{9}{4}. \]
\[ S_n = \left(\frac{1}{2} + 1 – \frac{3}{2}\right) H_n + \left(\frac{1}{n+1} – \frac{3}{2} \frac{1}{n+1} – \frac{3}{2} \frac{1}{n+2}\right) + \left(-1 + \frac{9}{4}\right). \]
\[ S_n = 0 \cdot H_n + \left(-\frac{1}{2} \frac{1}{n+1} – \frac{3}{2} \frac{1}{n+2}\right) + \frac{5}{4} = -\frac{1}{2(n+1)} – \frac{3}{2(n+2)} + \frac{5}{4}. \]
Limita částečných součtů pro \(n \to \infty\) je tedy
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{5}{4}. \]
Řada je tedy sumovatelná a její součet je \(\frac{5}{4}\).
26. Mějme posloupnost \(a_n = \frac{(-1)^n}{n}\). Spočítejte částečné součty \(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\) a určete, zda je řada sumovatelná.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou:
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{n} = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{pro sudé } n \\ -\frac{1}{n}, & \text{pro liché } n \end{cases} \]
Částečné součty jsou tedy střídavé sumy harmonických členů.
Řada je tzv. alternující harmonická řada:
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k}. \]
Podle Leibnizova kritéria pro střídavé řady platí, že řada konverguje, pokud členy \(a_n\) klesají k nule a jsou monotonní klesající v absolutní hodnotě. To zde platí, protože \(\frac{1}{n}\) klesá k nule.
Limita částečných součtů existuje a řada je sumovatelná.
Navíc známe přesnou hodnotu této řady:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} = – \ln(2). \]
Pro názornost spočítáme několik prvních částečných součtů:
\[ S_1 = -1, \]
\[ S_2 = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} = -0{,}5, \]
\[ S_3 = -\frac{1}{2} – \frac{1}{3} = -\frac{5}{6} \approx -0{,}8333, \]
\[ S_4 = -\frac{5}{6} + \frac{1}{4} = -\frac{7}{12} \approx -0{,}5833, \]
částečné součty střídavě kmitají a limitují k \(-\ln(2) \approx -0{,}6931\).
27. Určete, zda je sumovatelná řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\) a vypočítejte její sumu.
Řešení příkladu:
Řada je geometrická s kvocientem
\[ q = \frac{1}{2}, \quad |q| < 1. \]
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{1}{2^n}. \]
Částečné součty \(S_n\) jsou dány vzorcem pro geometrickou řadu:
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{2} \left(1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 – \frac{1}{2}} = 1 – \frac{1}{2^n}. \]
Limita částečných součtů pro \(n \to \infty\) je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 1 – 0 = 1. \]
Řada je tedy sumovatelná a její součet je \(1\).
28. Spočítejte částečné součty a určete, zda je sumovatelná řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n}{3^n}. \]
Jedná se o řadu, kde člen obsahuje lineární faktor \(n\) a geometrický faktor \(\frac{1}{3^n}\).
Pro součet řady využijeme známý vzorec pro řadu \(\sum n r^n\), kde \(|r| < 1\):
\[ \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1 – r)^2}. \]
Zde je \(r = \frac{1}{3}\), tedy
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} = \frac{\frac{1}{3}}{(1 – \frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75. \]
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{3^k}. \]
Řada je tedy sumovatelná a její součet je \(\frac{3}{4}\).
29. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je geometrická s členy
\[ a_n = \left(\frac{3}{5}\right)^n. \]
Kvocient řady je
\[ q = \frac{3}{5}, \quad |q| < 1, \]
proto řada konverguje.
Částečné součty \(S_n\) jsou dány vzorcem:
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{3}{5}\right)^k = \frac{\frac{3}{5} \left(1 – \left(\frac{3}{5}\right)^n\right)}{1 – \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5} \left(1 – \left(\frac{3}{5}\right)^n\right)}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{2} \left(1 – \left(\frac{3}{5}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{2} (1 – 0) = \frac{3}{2} = 1{,}5. \]
Řada je sumovatelná s konečným součtem \(\frac{3}{2}\).
30. Pro posloupnost \(a_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\) určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty a_n\).
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme členy řady na parciální zlomky. Hledáme \(A, B, C\) tak, aby platilo:
\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}. \]
Vynásobíme rovnost jmenovatelem:
\[ 1 = A (n+1)(n+2) + B n (n+2) + C n (n+1). \]
Rozepíšeme pravou stranu:
\[ A (n^2 + 3n + 2) + B (n^2 + 2n) + C (n^2 + n) = (A + B + C) n^2 + (3A + 2B + C) n + 2A. \]
Porovnáme koeficienty s levostrannou jednotkou, která je konstantní (tedy koeficienty u \(n\) a \(n^2\) jsou nulové):
\[ \begin{cases} A + B + C = 0 \\ 3A + 2B + C = 0 \\ 2A = 1 \end{cases} \]
Řešíme poslední rovnici:
\[ A = \frac{1}{2}. \]
Dosadíme do první a druhé rovnice:
\[ \begin{cases} \frac{1}{2} + B + C = 0 \Rightarrow B + C = -\frac{1}{2} \\ 3 \cdot \frac{1}{2} + 2B + C = 0 \Rightarrow \frac{3}{2} + 2B + C = 0 \end{cases} \]
Odečteme první rovnici od druhé:
\[ \left(\frac{3}{2} + 2B + C\right) – \left(B + C\right) = 0 – \left(-\frac{1}{2}\right) \Rightarrow \frac{3}{2} + B = \frac{1}{2} \Rightarrow B = \frac{1}{2} – \frac{3}{2} = -1. \]
Dosadíme \(B\) do první rovnice:
\[ -1 + C = -\frac{1}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}. \]
Tedy máme rozklad:
\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2n} – \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)}. \]
Částečný součet \(S_n\) je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k} – \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2(k+2)}\right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2}. \]
Vyjádříme sumy harmonických členů:
\[ S_n = \frac{1}{2} H_n – (H_{n+1} – 1) + \frac{1}{2} (H_{n+2} – H_2), \]
kde \(H_m = \sum_{j=1}^m \frac{1}{j}\) je harmonické číslo.
Dosadíme hodnoty \(H_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\):
\[ S_n = \frac{1}{2} H_n – H_{n+1} + 1 + \frac{1}{2} H_{n+2} – \frac{3}{4}. \]
Využijeme vztahy mezi harmonickými čísly:
\[ H_{n+2} = H_{n+1} + \frac{1}{n+2}, \quad H_{n+1} = H_n + \frac{1}{n+1}. \]
Dosadíme:
\[ S_n = \frac{1}{2} H_n – (H_n + \frac{1}{n+1}) + 1 + \frac{1}{2} \left(H_n + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right) – \frac{3}{4}. \]
Úprava:
\[ S_n = \frac{1}{2} H_n – H_n – \frac{1}{n+1} + 1 + \frac{1}{2} H_n + \frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n+2)} – \frac{3}{4}. \]
\[ S_n = \left(\frac{1}{2} H_n – H_n + \frac{1}{2} H_n\right) + \left(-\frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n+2)}\right) + \left(1 – \frac{3}{4}\right). \]
Základní úprava:
\[ \frac{1}{2} H_n – H_n + \frac{1}{2} H_n = 0, \]
\[ -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n+2)} = -\frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n+2} – \frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{2 (n+1)(n+2)}, \]
\[ 1 – \frac{3}{4} = \frac{1}{4}. \]
Výsledný výraz je:
\[ S_n = \frac{1}{2 (n+1)(n+2)} + \frac{1}{4}. \]
Limita částečných součtů pro \(n \to \infty\):
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2 (n+1)(n+2)} + \frac{1}{4}\right) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. \]
Řada je tedy sumovatelná a její součet je \(\frac{1}{4}\).
31. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\). Zjistěte, zda je řada sumovatelná.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}. \]
Jedná se o alternující řadu, kde absolutní hodnoty členů jsou kladné a klesají k nule monotonně, protože
\[ \frac{1}{n^2} \to 0 \quad \text{a} \quad \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2} \quad \text{pro } n \geq 1. \]
Podmínky Leibnizova kritéria pro konvergenci alternující řady jsou splněny, takže řada je sumovatelná.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k^2}. \]
Konverguje řada k hodnotě, která je známá jako hodnota Dirichletovy eta funkce \(\eta(2)\), a lze vyjádřit přes Riemannovu zeta funkci \(\zeta(2)\):
\[ \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = (1 – 2^{1-s}) \zeta(s). \]
Pro \(s=2\) platí
\[ \eta(2) = (1 – 2^{1-2}) \zeta(2) = \left(1 – \frac{1}{2}\right) \zeta(2) = \frac{1}{2} \zeta(2). \]
Hodnota \(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\), takže
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{12} \approx 0{,}822467. \]
Řada je tedy absolutně konvergentní a její suma je \(\frac{\pi^2}{12}\).
32. Spočítejte částečné součty a určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n^2}{2^n}. \]
Řada má členy rostoucí kvadraticky v čitateli a geometricky klesající ve jmenovateli, proto předpokládáme konvergenci.
Existuje známý vzorec pro sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty n^2 r^n\), pokud \(|r| < 1\):
\[ \sum_{n=1}^\infty n^2 r^n = \frac{r (1 + r)}{(1 – r)^3}. \]
Zde je \(r = \frac{1}{2}\), tedy
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} = \frac{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2})}{(1 – \frac{1}{2})^3} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6. \]
Částečné součty jsou tedy postupně blízké hodnotě \(6\).
33. Zjistěte, zda je sumovatelná řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n n}{n^2 + 1}\) a určete její limitu částečných součtů, pokud existuje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n n}{n^2 + 1}. \]
Nejprve zjistíme limitu jednotlivých členů:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n n}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n + \frac{1}{n}} = 0, \]
protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.
Řada je alternující, ale členy nejsou monotónně klesající v absolutní hodnotě, protože
\[ |a_n| = \frac{n}{n^2 + 1} = \frac{n}{n^2(1 + \frac{1}{n^2})} = \frac{1}{n + \frac{1}{n}}. \]
Tato funkce je klesající pro \(n \geq 1\), protože zvyšování \(n\) zvětšuje jmenovatele.
Leibnizovo kritérium platí, takže řada konverguje.
Limita částečných součtů existuje, ale explicitní hodnota sumy není snadno vyjádřitelná elementárními funkcemi.
Závěr: Řada je sumovatelná díky alternujícímu charakteru a limitě členů k nule.
34. Spočítejte částečné součty řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}\) a určete její sumu.
Řešení příkladu:
Členy řady lze rozložit na parciální zlomky:
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}. \]
Vynásobíme jmenovatelem:
\[ 1 = A (n+1) + B n = A n + A + B n = (A + B) n + A. \]
Porovnáním koeficientů dostaneme systém:
\[ \begin{cases} A + B = 0 \\ A = 1 \end{cases} \]
Řešením je \(A = 1\), \(B = -1\), tedy
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}. \]
Částečné součty jsou tedy:
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\right) = 1 – \frac{1}{n+1}. \]
Limitou částečných součtů je:
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 1 – 0 = 1. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(1\).
35. Určete, zda řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n^2}\) je sumovatelná, a pokud ano, určete vlastnosti její konvergence.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{\sin(n)}{n^2}. \]
Funkce \(\sin(n)\) je omezená: \(|\sin(n)| \leq 1\).
Členy tedy splňují nerovnost
\[ |a_n| = \left|\frac{\sin(n)}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}. \]
Řada \(\sum \frac{1}{n^2}\) je konvergentní \(()p je větší než \(1)), takže podle srovnávacího kritéria je řada \(\sum \frac{\sin(n)}{n^2}\) absolutně konvergentní, tedy sumovatelná.
Konvergence je tedy absolutní, což znamená, že pořadí sčítání členů nemění hodnotu sumy.
Explicitní suma není elementární, ale řada má jednoznačně existující limitu částečných součtů.
36. Spočítejte částečné součty a určete sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady mají tvar
\[ a_n = \left(\frac{3}{5}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(q = \frac{3}{5}\), kde \(|q| < 1\).
Částečný součet prvních \(n\) členů geometrické řady je dán vzorcem
\[ S_n = \sum_{k=1}^n q^k = q \frac{1 – q^n}{1 – q}. \]
Dosadíme:
\[ S_n = \frac{3}{5} \cdot \frac{1 – \left(\frac{3}{5}\right)^n}{1 – \frac{3}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1 – \left(\frac{3}{5}\right)^n}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} \left(1 – \left(\frac{3}{5}\right)^n \right) = \frac{3}{2} \left(1 – \left(\frac{3}{5}\right)^n \right). \]
Limita částečných součtů pro \(n \to \infty\) je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{2} \left(1 – 0\right) = \frac{3}{2} = 1{,}5. \]
Řada je tedy sumovatelná a její suma je \( \frac{3}{2} \).
37. Určete, zda je sumovatelná řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\), a pokud ano, určete limitu jejích částečných součtů.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}. \]
Členy oscilují podle znaménka, což značí alternující řadu.
Posuzujeme absolutní hodnoty členů:
\[ |a_n| = \frac{1}{\sqrt{n}}, \]
které klesají k nule monotónně.
Podle Leibnizova kritéria pro konvergenci alternujících řad platí:
– členy řady \(a_n\) mají limitu 0,
– absolutní hodnoty \(|a_n|\) jsou monotónně klesající.
Tedy řada je konvergentní (sumovatelná).
Limita částečných součtů existuje, avšak řada není absolutně konvergentní, protože řada \(\sum \frac{1}{\sqrt{n}}\) diverguje.
Řada je tedy podmíněně konvergentní.
38. Spočítejte částečné součty řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\) a určete její součet.
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme členy na parciální zlomky:
\[ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}. \]
Vynásobíme jmenovatelem:
\[ 1 = A(n+2) + B n = A n + 2A + B n = (A + B) n + 2A. \]
Porovnáním koeficientů dostáváme:
\[ \begin{cases} A + B = 0 \\ 2A = 1 \end{cases} \]
Z druhé rovnice je \(A = \frac{1}{2}\), tedy z první \(B = -\frac{1}{2}\).
Členy můžeme tedy psát jako
\[ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right). \]
Částečný součet je
\[ S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2}\right). \]
Poslední sumu přepíšeme jako
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2} = \sum_{m=3}^{n+2} \frac{1}{m}. \]
Celkem tedy
\[ S_n = \frac{1}{2} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \sum_{m=3}^{n+2} \frac{1}{m}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2}\right). \]
Pro \(n \to \infty\) získáme
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} – 0 – 0\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}. \]
Řada je tedy sumovatelná a její součet je \(\frac{3}{4}\).
39. Určete, zda řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \ln(n)}{n}\) je sumovatelná.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n \ln(n)}{n}. \]
Nejprve ověříme limitu členů:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0, \]
protože logaritmus roste pomaleji než lineární funkce v jmenovateli.
Posuzujeme monotónnost posloupnosti \(|a_n|\):
\[ b_n = \frac{\ln(n)}{n}. \]
Funkce \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) pro \(x > 0\) dosahuje maxima v \(x = e\), pak klesá k nule.
Tedy pro \(n \geq 3\) je posloupnost \((b_n)\) klesající a kladná.
Leibnizovo kritérium tedy zaručuje konvergenci řady \(\sum (-1)^n b_n\).
Řada je tedy sumovatelná (konvergentní), ale není absolutně konvergentní, protože řada \(\sum \frac{\ln(n)}{n}\) diverguje.
40. Spočítejte částečné součty a určete sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}\).
Řešení příkladu:
Rozložíme členy na parciální zlomky tvaru
\[ \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}. \]
Vynásobíme celým jmenovatelem:
\[ 2n+1 = A (n+1)(n+2) + B n (n+2) + C n (n+1). \]
Rozepíšeme jednotlivé části:
\[ A(n^2 + 3n + 2) + B(n^2 + 2n) + C(n^2 + n). \]
Sečteme podle mocnin \(n\):
\[ (A + B + C) n^2 + (3A + 2B + C) n + 2A = 2n + 1. \]
Porovnáme koeficienty podle mocnin \(n\):
\[ A + B + C = 0 \]
\[ 3A + 2B + C = 2 \]
\[ 2A = 1 \]
Z poslední rovnice vyplývá \(A = \frac{1}{2}\).
Dosadíme do první rovnice:
\[ \frac12 + B + C = 0 \quad \Rightarrow \quad B + C = -\frac12. \]
Dosadíme \(A\) do druhé rovnice:
\[ \frac32 + 2B + C = 2 \quad \Rightarrow \quad 2B + C = \frac12. \]
Řešíme soustavu dvou rovnic:
\[ B + C = -\frac12 \]
\[ 2B + C = \frac12 \]
Odečteme první od druhé:
\[ (2B + C) – (B + C) = \frac12 – \left(-\frac12\right) \quad \Rightarrow \quad B = 1. \]
Dosadíme \(B = 1\) do první rovnice:
\[ 1 + C = -\frac12 \quad \Rightarrow \quad C = -\frac32. \]
Členy můžeme tedy vyjádřit jako:
\[ \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{n+1} – \frac{3}{2(n+2)}. \]
Částečný součet je tedy
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k} + \frac{1}{k+1} – \frac{3}{2(k+2)} \right) \]
\[ = \frac12 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} – \frac32 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2}. \]
Vyjádříme jednotlivé sumy:
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} = \sum_{m=2}^{n+1} \frac{1}{m}, \quad \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2} = \sum_{m=3}^{n+2} \frac{1}{m}. \]
Dosadíme:
\[ S_n = \frac12 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} + \sum_{m=2}^{n+1} \frac{1}{m} – \frac32 \sum_{m=3}^{n+2} \frac{1}{m}. \]
Rozepíšeme pro lepší přehled:
\[ S_n = \frac12 \left(1 + \frac12 + \ldots + \frac1n\right) + \left(\frac12 + \frac13 + \ldots + \frac1{n+1}\right) – \frac32 \left(\frac13 + \frac14 + \ldots + \frac1{n+2}\right). \]
Po úpravách dostaneme:
\[ S_n = \frac34 – \frac1{2(n+1)} – \frac3{2(n+2)}. \]
Limita částečných součtů je tedy
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac34. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac34\).
41. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\).
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme členy na parciální zlomky tvaru
\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2} \]
Vynásobíme rovnicí jmenovatelem \(\,n(n+1)(n+2)\,\):
\[ 1 = A (n+1)(n+2) + B n (n+2) + C n (n+1) \]
Rozepíšeme jednotlivé části:
\[ A (n^2 + 3n + 2) + B (n^2 + 2n) + C (n^2 + n) \]
Sestavíme podle mocnin \(n\):
\[ (A + B + C) n^2 + (3A + 2B + C) n + 2A = 1 \]
Porovnáním koeficientů dostáváme soustavu:
\[ \begin{cases} A + B + C = 0 \\ 3A + 2B + C = 0 \\ 2A = 1 \end{cases} \]
Z třetí rovnice je \(A = \frac{1}{2}\).
Dosadíme do první a druhé:
\[ \frac{1}{2} + B + C = 0 \quad\Rightarrow\quad B + C = -\frac{1}{2} \]
\[ 3 \cdot \frac{1}{2} + 2B + C = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{2} + 2B + C = 0 \quad\Rightarrow\quad 2B + C = -\frac{3}{2} \]
Odečteme první od druhé:
\[ (2B + C) – (B + C) = -\frac{3}{2} – \left(-\frac{1}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad B = -1 \]
Dosadíme \(B = -1\) do \(B + C = -\frac{1}{2}\):
\[ -1 + C = -\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad C = \frac{1}{2} \]
Členy můžeme tedy vyjádřit jako
\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2n} – \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} \]
Částečný součet řady je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k} – \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2(k+2)} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2} \]
Převedeme sumy na známé indexy:
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} = \sum_{m=2}^{n+1} \frac{1}{m}, \quad \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2} = \sum_{m=3}^{n+2} \frac{1}{m} \]
Dosadíme zpět:
\[ S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \sum_{m=2}^{n+1} \frac{1}{m} + \frac{1}{2} \sum_{m=3}^{n+2} \frac{1}{m} \]
Rozepíšeme sumy podle členů a zkrátíme:
\[ S_n = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}\right) – \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n+1}\right) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n+2}\right) \]
Sčítání vede k:
\[ S_n = \frac{1}{2} – \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} – 0 + 0 = \frac{1}{2} \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{1}{2}\).
42. Určete, zda řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n^2}\) je sumovatelná, a případně určete limitu částečných součtů.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{\sin(n)}{n^2}. \]
Pro všechny \(n\) platí \(|\sin(n)| \leq 1\), tedy
\[ |a_n| = \left|\frac{\sin(n)}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}. \]
Řada \(\sum \frac{1}{n^2}\) je známá jako konvergentní p-řada s \(p=2 > 1\).
Dle porovnávacího kritéria tedy řada \(\sum a_n\) absolutně konverguje.
Tedy je sumovatelná a její částečné součty mají limitu, kterou označíme \(S\).
Přesnou hodnotu sumy nelze vyjádřit elementárně, ale důležité je, že řada je absolutně konvergentní a suma existuje.
43. Spočítejte částečné součty řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(n+1)}\) a určete její sumu.
Řešení příkladu:
Rozložíme členy na parciální zlomky:
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}. \]
Členy řady jsou tedy
\[ a_n = (-1)^n \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right). \]
Částečný součet \(S_n\) je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\right) = \sum_{k=1}^n (-1)^k \frac{1}{k} – \sum_{k=1}^n (-1)^k \frac{1}{k+1}. \]
Změníme indexaci druhé sumy:
\[ \sum_{k=1}^n (-1)^k \frac{1}{k+1} = \sum_{m=2}^{n+1} (-1)^{m-1} \frac{1}{m}. \]
Tedy
\[ S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k \frac{1}{k} – \sum_{m=2}^{n+1} (-1)^{m-1} \frac{1}{m}. \]
Rozepíšeme:
\[ S_n = (-1)^1 \frac{1}{1} + \sum_{k=2}^n (-1)^k \frac{1}{k} – \sum_{m=2}^{n+1} (-1)^{m-1} \frac{1}{m}. \]
Součet tedy je
\[ S_n = -1 + \sum_{k=2}^n (-1)^k \frac{1}{k} – \sum_{m=2}^{n+1} (-1)^{m-1} \frac{1}{m}. \]
Sčítání obou sum ukazuje, že se většina členů zruší, zbývá poslední člen:
\[ S_n = -1 + (-1)^n \frac{1}{n+1}. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = -1 + 0 = -1. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(-1\).
44. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je typu \(\sum n r^n\) s \(r = \frac{1}{2}\).
Částečné součty jsou známé a lze je spočítat pomocí derivace sumy geometrické řady.
Geometrická řada:
\[ \sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1. \]
Derivujeme podle \(r\):
\[ \frac{d}{dr} \sum_{n=0}^\infty r^n = \sum_{n=1}^\infty n r^{n-1} = \frac{1}{(1-r)^2}. \]
Násobením \(r\) dostaneme:
\[ \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}. \]
Částečný součet je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n k \left(\frac{1}{2}\right)^k. \]
Pro částečné součty platí vzorec
\[ S_n = \frac{r \left(1 – (n+1) r^n + n r^{n+1}\right)}{(1-r)^2}, \quad r = \frac{1}{2}. \]
Dosadíme:
\[ S_n = \frac{\frac{1}{2} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^n + n \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)}{\left(1 – \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2} \left(1 – (n+1) \frac{1}{2^n} + n \frac{1}{2^{n+1}}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2 \left(1 – (n+1) \frac{1}{2^n} + n \frac{1}{2^{n+1}}\right). \]
Zjednodušíme:
\[ S_n = 2 – 2(n+1) \frac{1}{2^n} + 2 n \frac{1}{2^{n+1}} = 2 – \frac{2(n+1)}{2^n} + \frac{n}{2^n} = 2 – \frac{2n + 2 – n}{2^n} = 2 – \frac{n + 2}{2^n}. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 2 – 0 = 2. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(2\).
45. Určete částečné součty řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{4^n}\) a její limitu.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(q = \frac{3}{4}\), kde \(|q| < 1\).
Částečný součet geometrické řady je dán vzorcem
\[ S_n = \sum_{k=1}^n q^k = q \frac{1 – q^n}{1 – q}. \]
Dosadíme:
\[ S_n = \frac{3}{4} \cdot \frac{1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n}{1 – \frac{3}{4}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n}{\frac{1}{4}} = 3 \left(1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 3 \cdot (1 – 0) = 3. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(3\).
46. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}. \]
Jedná se o střídavou řadu, jejíž absolutní hodnoty členů \(\frac{1}{n^2}\) tvoří konvergentní p-řadu s \(p=2 > 1\).
Proto řada absolutně konverguje a je tedy sumovatelná.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k^2}. \]
Tuto řadu lze také chápat jako částečnou sumu známé funkce Dirichletova eta funkce \(\eta(2)\), jejíž hodnota je
\[ \eta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \left(1 – 2^{1-2}\right) \zeta(2) = \left(1 – \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{12}. \]
Limita částečných součtů je tedy
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{\pi^2}{12}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{\pi^2}{12}\).
47. Určete, zda je sumovatelná řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{3^n}\) a případně určete limitu částečných součtů.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n!}{3^n}. \]
Pro určení sumovatelnosti zkoumáme limitu členu:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{3^n}. \]
Faktoriál \(n!\) roste rychleji než exponenciální funkce \(3^n\).
Konkrétně podle Stirlingova vzorce platí přibližně
\[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \]
což znamená, že
\[ \frac{n!}{3^n} \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{3 e}\right)^n. \]
Protože \(\frac{n}{3e} \to \infty\) s rostoucím \(n\), členy \(a_n\) rostou a nekonvergují k nule.
Podmínka nutná pro konvergenci řady je, aby členy konvergovaly k nule.
Proto řada \(\sum \frac{n!}{3^n}\) diverguje a není sumovatelná.
48. Spočítejte částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\).
Řešení příkladu:
Rozložíme členy na parciální zlomky:
\[ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}. \]
Vynásobíme obě strany rovnice \(n(n+2)\):
\[ 1 = A(n+2) + B n = A n + 2A + B n = (A + B) n + 2A. \]
Porovnáním koeficientů:
\[ \begin{cases} A + B = 0 \\ 2A = 1 \end{cases} \]
Odtud \(A = \frac{1}{2}\) a \(B = -\frac{1}{2}\).
Členy řady jsou tedy
\[ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2n} – \frac{1}{2(n+2)}. \]
Částečný součet je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k} – \frac{1}{2(k+2)}\right) = \frac{1}{2} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2}\right). \]
Převedeme indexaci druhé sumy:
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2} = \sum_{m=3}^{n+2} \frac{1}{m}. \]
Dosadíme zpět:
\[ S_n = \frac{1}{2} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \sum_{m=3}^{n+2} \frac{1}{m}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2}\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} – 0 – 0\right) = \frac{3}{4}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{3}{4}\).
49. Určete, zda je sumovatelná řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) a vysvětlete, zda konverguje absolutně nebo podmíněně.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}. \]
Řada je střídavá s členy klesajícími k nule, protože
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \]
a posloupnost \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) je monotonicky klesající od určitého indexu.
Dle Leibnizova kritéria pro střídavé řady tedy řada konverguje.
Pro absolutní konvergenci zkoumáme řadu absolutních hodnot:
\[ \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}, \]
což je p-řada s \(p = \frac{1}{2} < 1\), která diverguje.
Tedy řada konverguje pouze podmíněně, nikoliv absolutně.
50. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{2n + 1}{3^n}. \]
Řadu můžeme rozložit na dvě sumy:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{3^n} = 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}. \]
První suma je spojena se známou funkcí:
\[ \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}, \quad |r| < 1. \]
Druhá suma je geometrická řada:
\[ \sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{r}{1-r}, \quad |r| < 1. \]
Dosadíme \(r = \frac{1}{3}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} = \frac{\frac{1}{3}}{(1 – \frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}. \]
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n} = \frac{\frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}. \]
Suma celé řady je tedy
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{3^n} = 2 \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2. \]
Pro částečný součet použijeme známý vzorec pro součet s omezením na \(n\):
\[ S_n = 2 \sum_{k=1}^n \frac{k}{3^k} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{3^k}. \]
Vzorce pro částečné součty jsou:
\[ \sum_{k=1}^n k r^k = \frac{r \left(1 – (n+1) r^n + n r^{n+1}\right)}{(1-r)^2}, \]
\[ \sum_{k=1}^n r^k = \frac{r (1 – r^n)}{1-r}. \]
Dosadíme \(r = \frac{1}{3}\):
\[ S_n = 2 \cdot \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n + n \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} + \frac{\frac{1}{3} (1 – \left(\frac{1}{3}\right)^n)}{1 – \frac{1}{3}}. \]
Zjednodušíme jmenovatele:
\[ (1 – \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}, \quad (1 – \frac{1}{3})^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}. \]
Tedy
\[ S_n = 2 \cdot \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \frac{1}{3^n} + n \frac{1}{3^{n+1}}\right)}{\frac{4}{9}} + \frac{\frac{1}{3} \left(1 – \frac{1}{3^n}\right)}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \frac{1}{3^n} + n \frac{1}{3^{n+1}}\right) + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \left(1 – \frac{1}{3^n}\right). \]
Zjednodušíme koeficienty:
\[ 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}, \quad \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}. \]
Proto
\[ S_n = \frac{3}{2} \left(1 – (n+1) \frac{1}{3^n} + n \frac{1}{3^{n+1}}\right) + \frac{1}{2} \left(1 – \frac{1}{3^n}\right). \]
Rozepíšeme:
\[ S_n = \frac{3}{2} – \frac{3}{2} (n+1) \frac{1}{3^n} + \frac{3}{2} n \frac{1}{3^{n+1}} + \frac{1}{2} – \frac{1}{2} \frac{1}{3^n}. \]
Sčítáme konstanty a upravíme zlomky:
\[ S_n = 2 – \frac{3}{2} (n+1) \frac{1}{3^n} + \frac{3}{2} n \frac{1}{3^{n+1}} – \frac{1}{2} \frac{1}{3^n}. \]
Protože \(\frac{1}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3^n}\), upravíme:
\[ S_n = 2 – \frac{3}{2} (n+1) \frac{1}{3^n} + \frac{3}{2} n \frac{1}{3} \frac{1}{3^n} – \frac{1}{2} \frac{1}{3^n} = 2 – \frac{3}{2} (n+1) \frac{1}{3^n} + \frac{n}{2} \frac{1}{3^n} – \frac{1}{2} \frac{1}{3^n}. \]
Sčítáme členy s \(\frac{1}{3^n}\):
\[ -\frac{3}{2} (n+1) + \frac{n}{2} – \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} n – \frac{3}{2} + \frac{n}{2} – \frac{1}{2} = -n – 2. \]
Tedy konečný výraz pro částečný součet je
\[ S_n = 2 – (n + 2) \frac{1}{3^n}. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 2 – \lim_{n \to \infty} (n + 2) \frac{1}{3^n} = 2 – 0 = 2, \]
protože \(3^n\) roste rychleji než lineární funkce \(n+2\).
Řada je sumovatelná a její suma je \(2\).
51. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}\).
Řešení příkladu:
Posloupnost členů je
\[ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}. \]
Nejprve použijeme rozklad na parciální zlomky:
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}. \]
Členy řady lze tedy napsat jako
\[ a_n = (-1)^{n+1} \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right) = (-1)^{n+1} \frac{1}{n} – (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}. \]
Částečný součet \(S_n\) je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k} – \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k+1}. \]
Poslední sumu posuneme indexem:
\[ \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k+1} = \sum_{j=2}^{n+1} (-1)^{j} \frac{1}{j}, \]
kde \(j = k+1\).
Proto
\[ S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k} – \sum_{j=2}^{n+1} (-1)^j \frac{1}{j}. \]
Rozevřeme součty:
\[ S_n = (-1)^{2} \frac{1}{1} + (-1)^3 \frac{1}{2} + \ldots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n} – \left[(-1)^2 \frac{1}{2} + (-1)^3 \frac{1}{3} + \ldots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}\right]. \]
Všimněme si, že mnoho členů se vyruší:
\[ S_n = 1 – (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}. \]
Pro \(n=1, 2, \ldots\) tedy platí:
\[ S_1 = 1 – (-1)^2 \frac{1}{2} = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, \]
\[ S_2 = 1 – (-1)^3 \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}, \]
atd.
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 – (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}\right) = 1, \]
protože \(\frac{1}{n+1} \to 0\) a \((-1)^{n+1}\) je omezené.
Řada je tedy sumovatelná a její suma je \(1\).
52. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n}{2^n}. \]
Pro součet této řady využijeme známý vzorec pro sumu:
\[ \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}, \quad |r| < 1. \]
Dosadíme \(r = \frac{1}{2}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2. \]
Pro částečné součty platí vzorec:
\[ S_n = \sum_{k=1}^n k r^k = \frac{r \left(1 – (n+1) r^n + n r^{n+1}\right)}{(1-r)^2}. \]
Dosadíme \(r = \frac{1}{2}\):
\[ S_n = \frac{\frac{1}{2} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^n + n \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2 \left(1 – (n+1) \frac{1}{2^n} + n \frac{1}{2^{n+1}}\right). \]
Zjednodušíme výraz uvnitř závorky:
\[ 1 – (n+1) \frac{1}{2^n} + n \frac{1}{2^{n+1}} = 1 – \frac{n+1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}}. \]
Proto
\[ S_n = 2 – 2 \frac{n+1}{2^n} + 2 \frac{n}{2^{n+1}} = 2 – \frac{2(n+1)}{2^n} + \frac{n}{2^n} = 2 – \frac{2n + 2 – n}{2^n} = 2 – \frac{n+2}{2^n}. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 2 – \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{2^n} = 2, \]
protože \(2^n\) roste rychleji než lineární funkce \(n+2\).
Řada je sumovatelná a její suma je \(2\).
53. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{1}{n(n+2)}. \]
Rozložíme pomocí parciálních zlomků:
\[ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}. \]
Vynásobíme obě strany rovnice \(n(n+2)\):
\[ 1 = A(n+2) + Bn = (A+B)n + 2A. \]
Porovnáme koeficienty:
\[ A + B = 0, \quad 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}, \quad B = -\frac{1}{2}. \]
Tedy
\[ a_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} – \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n+2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right). \]
Částečný součet je
\[ S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+2} \right) = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \sum_{k=3}^{n+2} \frac{1}{k} \right). \]
Rozepíšeme:
\[ S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \sum_{k=3}^n \frac{1}{k} – \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \right). \]
Zkrátíme společné členy a zůstane:
\[ S_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \right) = \frac{3}{4} – \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{4} – \frac{1}{2} (0 + 0) = \frac{3}{4}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{3}{4}\).
54. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{n^2}. \]
Řada je známá jako střídavá řada s členy klesajícími k nule, proto je konvergentní podle Leibnizova kritéria.
Sumu nelze vyjádřit elementárně, ale částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k^2}. \]
Tato řada konverguje k hodnotě známé jako \(-\eta(2)\), kde \(\eta\) je Dirichletova eta funkce.
Výsledná suma je
\[ S = -\frac{\pi^2}{12}. \]
Pro ilustraci spočítáme několik částečných součtů:
\[ S_1 = -1, \quad S_2 = -1 + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}, \quad S_3 = -\frac{3}{4} – \frac{1}{9} = -\frac{37}{36}, \ldots \]
Řada je tedy sumovatelná a její součet je \(-\frac{\pi^2}{12}\).
55. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^n. \]
Jedná se tedy o geometrickou řadu se společným poměrem \(r = \frac{2}{3}\) a prvním členem \(a = \frac{1}{3}\).
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^k = \frac{1}{3} \sum_{k=0}^n \left(\frac{2}{3}\right)^k = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 – \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{1 – \frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 – \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{\frac{1}{3}} = 1 – \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 1 – \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} = 1 – 0 = 1. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(1\).
56. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n – 2^n}{6^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{3^n – 2^n}{6^n} = \left(\frac{3}{6}\right)^n – \left(\frac{2}{6}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n – \left(\frac{1}{3}\right)^n. \]
Řada je rozdílem dvou geometrických řad se společnými poměry \(r_1 = \frac{1}{2}\) a \(r_2 = \frac{1}{3}\).
Částečné součty tedy můžeme vyjádřit jako
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left[\left(\frac{1}{2}\right)^k – \left(\frac{1}{3}\right)^k\right] = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k – \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3}\right)^k. \]
Využijeme vzorec pro částečný součet geometrické řady
\[ \sum_{k=1}^n r^k = r \frac{1 – r^n}{1-r}, \quad |r|<1. \]
Dosadíme pro jednotlivé sumy:
\[ \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{2}} = 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n, \]
\[ \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 – \left(\frac{1}{3}\right)^n}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 – \left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \left(1 – \left(\frac{1}{3}\right)^n\right). \]
Proto je
\[ S_n = \left[1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n\right] – \frac{1}{2} \left[1 – \left(\frac{1}{3}\right)^n\right] = 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{2} – \left(\frac{1}{2}\right)^n + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^n. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} – 0 + 0 = \frac{1}{2}. \]
Řada je tedy sumovatelná a její suma je \(\frac{1}{2}\).
57. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n – 1}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{2n – 1}. \]
Jedná se o střídavou řadu, kde jmenovatel tvoří lichá čísla.
Tato řada je známá jako rozvoj funkce arctangens pro \(x=1\), kde platí
\[ \arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}, \quad |x| \leq 1. \]
Pro \(x=1\) máme
\[ \arctan 1 = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}. \]
Naše řada má index od 1 a exponent je \(2n – 1\), tedy index je posunutý, proto upravíme indexaci:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n-1} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^{m+1}}{2m+1} = – \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{2m+1} = -\frac{\pi}{4}. \]
Částečné součty jsou tedy
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{2k – 1}. \]
Řada je konvergentní a její suma je \(-\frac{\pi}{4}\).
58. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n^2}{3^n}. \]
Využijeme známý vzorec pro sumu řady s členy \(n^2 r^n\), kde \(|r| < 1\):
\[ \sum_{n=1}^\infty n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3}. \]
Dosadíme \(r = \frac{1}{3}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} = \frac{\frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{3}\right)}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^3} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^3} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{27}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}. \]
Částečné součty jsou komplikovanější, ale lze je vyjádřit pomocí derivací sumy geometrické řady nebo generujících funkcí. Základní vztah pro částečný součet je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n k^2 r^k = r \frac{1 + r – (n+1)^2 r^n + (2n^2 + 2n – 1) r^{n+1} – n^2 r^{n+2}}{(1 – r)^3}. \]
Pro \(r = \frac{1}{3}\) tak lze spočítat \(S_n\) dle tohoto vzorce, avšak hlavní je, že řada je sumovatelná a suma je \(\frac{3}{2}\).
59. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{2^n} = \left(-\frac{1}{2}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \(a_0 = 1\) a společným poměrem \(r = -\frac{1}{2}\).
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1 – \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 – \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{1 – (-1)^{n+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1 – (-1)^{n+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \left[1 – (-1)^{n+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right]. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{2}{3} \left[1 – 0\right] = \frac{2}{3}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{2}{3}\).
60. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^n}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \left(\frac{-3}{5}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu se společným poměrem \(r = -\frac{3}{5}\), kde \(|r| = \frac{3}{5} < 1\), tudíž řada konverguje.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(-\frac{3}{5}\right)^k = \frac{-\frac{3}{5} \left(1 – \left(-\frac{3}{5}\right)^n\right)}{1 – \left(-\frac{3}{5}\right)} = \frac{-\frac{3}{5} \left(1 – \left(-\frac{3}{5}\right)^n\right)}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{-\frac{3}{5} \left(1 – \left(-\frac{3}{5}\right)^n\right)}{\frac{8}{5}} = -\frac{3}{8} \left(1 – \left(-\frac{3}{5}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = -\frac{3}{8} (1 – 0) = -\frac{3}{8}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{3}{8}\).
61. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je definována členy
\[ a_n = \frac{n}{4^n}. \]
Částečný součet je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{4^k}. \]
Využijeme známý vzorec pro sumu řady \(\sum_{k=1}^\infty k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}\), kde \(|x| < 1\). Zde \(x = \frac{1}{4}\), což splňuje podmínku konvergence.
Částečné součty lze vyjádřit jako
\[ S_n = \sum_{k=1}^n k \left(\frac{1}{4}\right)^k. \]
Pro explicitní vyjádření částečných součtů použijeme derivaci sumy geometrické řady:
Geometrická řada je
\[ G(x) = \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}, \quad |x| < 1. \]
Derivací podle \(x\) dostaneme
\[ G'(x) = \sum_{k=1}^\infty k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}. \]
Násobením obou stran rovnice \(G'(x)\) výrazem \(x\) máme
\[ \sum_{k=1}^\infty k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}. \]
Pro konečný počet členů existuje vzorec
\[ S_n = \frac{x(1 – (n+1)x^n + n x^{n+1})}{(1-x)^2}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{4}\):
\[ S_n = \frac{\frac{1}{4} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{4}\right)^n + n \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right)}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4} \left(1 – (n+1) \frac{1}{4^n} + n \frac{1}{4^{n+1}}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4} \left(1 – (n+1) \frac{1}{4^n} + n \frac{1}{4^{n+1}}\right)}{\frac{9}{16}} = \frac{4}{9} \left(1 – \frac{n+1}{4^n} + \frac{n}{4^{n+1}}\right). \]
Limita částečných součtů při \(n \to \infty\) je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{4}{9} (1 – 0 + 0) = \frac{4}{9}. \]
Řada je tedy sumovatelná a její suma je \(\frac{4}{9}\).
62. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{n^2}. \]
Řada je alternující a absolutně konvergentní, protože \(\sum \frac{1}{n^2}\) je konvergentní podle p-řady s \(p=2>1\).
Částečné součty jsou definovány jako
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k^2}. \]
Tato řada konverguje k hodnotě známé jako \(-\eta(2)\), kde \(\eta\) je Dirichletova eta funkce. Explicitní hodnota je
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = -\left(1 – \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} – \frac{1}{4^2} + \cdots\right) = -\eta(2). \]
Je známo, že
\[ \eta(2) = \left(1 – \frac{1}{2}\right) \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{12}. \]
Tedy suma řady je
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{\pi^2}{12}\).
63. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^n + 2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{3^n}{5^n + 2^n}. \]
Pro velká \(n\) dominují mocniny větších základen. V našem případě \(5^n\) roste rychleji než \(2^n\), proto můžeme členy přiblížit
\[ a_n \approx \frac{3^n}{5^n} = \left(\frac{3}{5}\right)^n. \]
Řada je tedy podobná geometrické řadě s poměrem \(\frac{3}{5}\), která je sumovatelná, protože \(\left|\frac{3}{5}\right| < 1\).
Řada je tedy sumovatelná absolutně.
Částečný součet lze vyjádřit přes přesný tvar jako
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{3^k}{5^k + 2^k}. \]
Přesný uzavřený tvar není jednoduchý, proto uvažujeme limitu
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^n + 2^n}. \]
Porovnáme-li členy s \(\left(\frac{3}{5}\right)^n\), můžeme použít porovnávací kritérium a řada konverguje.
Suma řady je tedy konečná a můžeme ji aproximovat numericky.
64. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^n}{3^n n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-2)^n}{3^n n} = \frac{(-1)^n 2^n}{3^n n} = \frac{(-1)^n}{n} \left(\frac{2}{3}\right)^n. \]
Řada je tedy alternující řada s členy \(\frac{1}{n} \left(\frac{2}{3}\right)^n\), kde \(\left|\frac{2}{3}\right| < 1\).
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k} \left(\frac{2}{3}\right)^k. \]
Jedná se o případ řady
\[ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{x^k}{k}, \quad \text{kde } x = \frac{2}{3}. \]
Funkce \(-\ln(1+x)\) má rozvoj
\[ \ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}, \quad |x| < 1. \]
Proto
\[ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{x^k}{k} = – \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} = -\ln(1+x). \]
Dosadíme \(x = \frac{2}{3}\):
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{(-2)^k}{3^k k} = – \ln\left(1 + \frac{2}{3}\right) = -\ln\left(\frac{5}{3}\right) = \ln\left(\frac{3}{5}\right). \]
Řada je tedy sumovatelná a její suma je \(\ln\left(\frac{3}{5}\right)\).
65. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n^2}{2^n}. \]
Částečný součet je
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{2^k}. \]
Pro sumu nekonečné řady platí vzorec (pro \(|x| < 1\))
\[ \sum_{k=1}^\infty k^2 x^k = \frac{x (1+x)}{(1-x)^3}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{2}\):
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2^k} = \frac{\frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right)}{\left(1 – \frac{1}{2}\right)^3} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} = 3 \cdot 2 = 6. \]
Částečné součty lze vyjádřit pomocí složitějších vzorců, ale řada je sumovatelná a limita částečných součtů je \(6\).
66. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n}{3^n}. \]
Řada je spojena s mocninnou řadou, kde obecný tvar je \(k x^k\). Využijeme známý vzorec pro sumu řady
\[ \sum_{k=1}^\infty k x^k = \frac{x}{(1 – x)^2}, \quad |x| < 1. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{3}\):
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{3^k} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}. \]
Částečné součty jsou definovány jako
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{3^k}. \]
Pro explicitní vyjádření částečných součtů použijeme vzorec
\[ S_n = \frac{x \left(1 – (n+1) x^n + n x^{n+1}\right)}{(1-x)^2}, \]
kde \(x = \frac{1}{3}\), tedy
\[ S_n = \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n + n \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \frac{1}{3^n} + n \frac{1}{3^{n+1}}\right)}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \frac{1}{3^n} + n \frac{1}{3^{n+1}}\right)}{\frac{4}{9}} = \frac{3}{4} \left(1 – \frac{n+1}{3^n} + \frac{n}{3^{n+1}}\right). \]
Limita částečných součtů při \(n \to \infty\) je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{4} (1 – 0 + 0) = \frac{3}{4}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{3}{4}\).
67. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n 2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n 2^n}. \]
Jedná se o alternující řadu s členy \(\frac{1}{n} \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
Využijeme rozvoj logaritmické funkce
\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \quad |x| < 1. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{2}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n 2^n} = \ln\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right). \]
Částečné součty jsou tedy
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k 2^k}. \]
Limita částečných součtů při \(n \to \infty\) je suma řady \(\ln\left(\frac{3}{2}\right)\).
Řada je tedy sumovatelná a její suma je \(\ln\left(\frac{3}{2}\right)\).
68. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n + 1}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady lze rozdělit jako součet dvou řad:
\[ a_n = \frac{2^n}{4^n} + \frac{1}{4^n} = \left(\frac{2}{4}\right)^n + \left(\frac{1}{4}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{1}{4}\right)^n. \]
Jedná se tedy o součet dvou geometrických řad.
Součet první řady je
\[ S_1 = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = 1. \]
Součet druhé řady je
\[ S_2 = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{\frac{1}{4}}{1 – \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}. \]
Celkový součet řady je
\[ S = S_1 + S_2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}. \]
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k + \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{4}\right)^k. \]
Explicitně
\[ S_n = \frac{\frac{1}{2} \left(1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 – \frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{4} \left(1 – \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)}{1 – \frac{1}{4}} = (1 – (1/2)^n) + \frac{1}{3} \left(1 – \left(\frac{1}{4}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je tedy \(\frac{4}{3}\).
69. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n (-1)^{n+1}}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n (-1)^{n+1}}{5^n} = n (-1)^{n+1} \left(\frac{1}{5}\right)^n. \]
Řada odpovídá typu
\[ \sum_{n=1}^\infty n (-x)^n, \quad |x| < 1, \]
kde \(x = \frac{1}{5}\).
Využijeme vzorec pro sumu řady
\[ \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1 – r)^2}, \quad |r| < 1. \]
Dosadíme \(r = -\frac{1}{5}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty n \left(-\frac{1}{5}\right)^n = \frac{-\frac{1}{5}}{\left(1 + \frac{1}{5}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{5}}{\left(\frac{6}{5}\right)^2} = -\frac{1}{5} \cdot \frac{25}{36} = -\frac{5}{36}. \]
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n k (-1)^{k+1} \left(\frac{1}{5}\right)^k. \]
Explicitní vzorec pro částečné součty lze odvodit podobně jako v příkladu 66, ale hlavní je limita, která je \(-\frac{5}{36}\).
Řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{5}{36}\).
70. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{4^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Členy řady lze upravit jako
\[ a_n = \frac{3^n}{4^{n+1}} = \frac{3^n}{4^n \cdot 4} = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{4}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \(a_1 = \frac{3}{4^2} = \frac{3}{16}\) a kvocientem \(r = \frac{3}{4}\).
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{4} \left(\frac{3}{4}\right)^k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left(\frac{3}{4}\right)^k = \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{3}{4} \left(1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)}{1 – \frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{3}{4} \left(1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)}{\frac{1}{4}} = \frac{3}{4} \left(1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{4} (1 – 0) = \frac{3}{4}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{3}{4}\).
71. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n}{2^n}. \]
Řada má tvar \(\sum_{n=1}^\infty n x^n\) s \(x = \frac{1}{2}\), což je známá řada s uzavřeným vzorcem sumy
\[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 – x)^2}, \quad |x| < 1. \]
Proto je suma řady
\[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{(1 – \frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2. \]
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}. \]
Pro explicitní vyjádření použijeme vzorec pro částečný součet této řady:
\[ S_n = \frac{x \left(1 – (n+1) x^n + n x^{n+1}\right)}{(1 – x)^2}, \quad x = \frac{1}{2}. \]
Tedy
\[ S_n = \frac{\frac{1}{2} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^n + n \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)}{\left(1 – \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2} \left(1 – (n+1) \frac{1}{2^n} + n \frac{1}{2^{n+1}}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2 \left(1 – \frac{n+1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}}\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 2 \cdot 1 = 2. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(2\).
72. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n n}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n n}{3^n} = n \left(-\frac{1}{3}\right)^n. \]
Jedná se o řadu typu \(\sum_{n=1}^\infty n r^n\) s \(r = -\frac{1}{3}\), kde \(|r| < 1\).
Sumu této řady určíme pomocí vzorce
\[ \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1 – r)^2}. \]
Dosadíme \(r = -\frac{1}{3}\):
\[ S = \frac{-\frac{1}{3}}{(1 + \frac{1}{3})^2} = \frac{-\frac{1}{3}}{\left(\frac{4}{3}\right)^2} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} = -\frac{3}{16}. \]
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n k \left(-\frac{1}{3}\right)^k. \]
Explicitní vzorec částečných součtů lze odvodit obdobně jako u předchozího příkladu, ale hlavní je limitní hodnota.
Limita je tedy \(-\frac{3}{16}\).
Řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{3}{16}\).
73. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n + 3^n}{6^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady rozepíšeme jako součet dvou geometrických řad:
\[ a_n = \frac{2^n}{6^n} + \frac{3^n}{6^n} = \left(\frac{2}{6}\right)^n + \left(\frac{3}{6}\right)^n = \left(\frac{1}{3}\right)^n + \left(\frac{1}{2}\right)^n. \]
Obě řady jsou geometrické s kvocienty \(r_1 = \frac{1}{3}\) a \(r_2 = \frac{1}{2}\), obě s \(|r_i| < 1\), tedy konvergují.
Součet první řady je
\[ S_1 = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}. \]
Součet druhé řady je
\[ S_2 = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = 1. \]
Celkový součet řady je tedy
\[ S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}. \]
Částečné součty jsou součtem částečných součtů jednotlivých řad:
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3}\right)^k + \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{\frac{1}{3}(1 – (1/3)^n)}{1 – \frac{1}{3}} + \frac{\frac{1}{2}(1 – (1/2)^n)}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (1 – (1/3)^n) + (1 – (1/2)^n). \]
Limita částečných součtů je \(\frac{3}{2}\).
Řada je sumovatelná.
74. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n^2}{4^n}. \]
Řada je typická příkladová řada s členy \(n^2 x^n\), kde \(x = \frac{1}{4}\), a je znám vzorec pro sumu této řady:
\[ \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = \frac{x (1 + x)}{(1 – x)^3}, \quad |x| < 1. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{4}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{4} \left(1 + \frac{1}{4}\right)}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^3} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^3} = \frac{\frac{5}{16}}{\frac{27}{64}} = \frac{5}{16} \cdot \frac{64}{27} = \frac{5 \cdot 4}{27} = \frac{20}{27}. \]
Částečné součty jsou složitější, lze je vyjádřit pomocí derivací sumy geometrické řady, nebo explicitním vzorcem (méně běžné). Hlavní je ale suma a konvergence řady.
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{20}{27}\).
75. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^n}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \left(-\frac{2}{3}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(r = -\frac{2}{3}\), kde \(|r| = \frac{2}{3} < 1\), tudíž řada konverguje.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(-\frac{2}{3}\right)^k = \frac{-\frac{2}{3} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1 – \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{-\frac{2}{3} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{2}{3} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right)}{\frac{5}{3}} = -\frac{2}{5} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = -\frac{2}{5} (1 – 0) = -\frac{2}{5}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{2}{5}\).
76. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{4^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{3^n}{4^{n+1}} = \frac{3^n}{4^n \cdot 4} = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{4}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(r = \frac{3}{4}\) a prvním členem \(a_1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16}\).
Proto částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{4} \left(\frac{3}{4}\right)^k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left(\frac{3}{4}\right)^k. \]
Pro geometrickou řadu platí vzorec pro součet prvních \(n\) členů:
\[ \sum_{k=1}^n r^k = r \frac{1 – r^n}{1 – r}. \]
Tedy
\[ S_n = \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{3}{4} \left(1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n \right)}{1 – \frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{3}{4} \left(1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n \right)}{\frac{1}{4}} = \frac{3}{4} \left(1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n \right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{4} (1 – 0) = \frac{3}{4}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{3}{4}\).
77. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n 2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{n 2^n}. \]
Jedná se o řadu s členy tvaru \(\frac{(-1)^n}{n} x^n\), kde \(x = \frac{1}{2}\).
Tato řada je variantou mocninné řady pro funkci \(\ln(1+x)\), jelikož platí
\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \quad |x| < 1. \]
Přepíšeme členy s ohledem na znaménko:
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{n 2^n} = -(-1)^{n+1} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n} = – \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n}. \]
Tedy řada je \(-\ln\left(1 + \frac{1}{2}\right) = -\ln\left(\frac{3}{2}\right)\).
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k 2^k}. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = -\ln\left(\frac{3}{2}\right) = \ln\left(\frac{2}{3}\right). \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\ln\left(\frac{2}{3}\right)\).
78. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n}{3^n}. \]
Jedná se o řadu typu \(\sum_{n=1}^\infty n x^n\), kde \(x = \frac{1}{3}\), která konverguje, protože \(|x| < 1\).
Známý vzorec pro sumu této řady je
\[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 – x)^2}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{3}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}. \]
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{3^k}. \]
Explicitní vzorec pro částečné součty je
\[ S_n = \frac{x \left(1 – (n+1) x^n + n x^{n+1}\right)}{(1 – x)^2}, \quad x = \frac{1}{3}. \]
Tedy
\[ S_n = \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n + n \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \frac{1}{3^n} + n \frac{1}{3^{n+1}}\right)}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \frac{1}{3^n} + n \frac{1}{3^{n+1}}\right)}{\frac{4}{9}} = \frac{3}{4} \left(1 – \frac{n+1}{3^n} + \frac{n}{3^{n+1}}\right). \]
Limita částečných součtů je \(\frac{3}{4}\).
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{3}{4}\).
79. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{2^n} = \left(-\frac{1}{2}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(r = -\frac{1}{2}\), kde \(|r| = \frac{1}{2} < 1\), tudíž řada konverguje.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(-\frac{1}{2}\right)^k = \frac{-\frac{1}{2} \left(1 – \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 – \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-\frac{1}{2} \left(1 – \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2} \left(1 – \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3} \left(1 – \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = -\frac{1}{3} (1 – 0) = -\frac{1}{3}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{1}{3}\).
80. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \left(\frac{2}{5}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(r = \frac{2}{5}\), kde \(|r| = \frac{2}{5} < 1\), takže řada konverguje.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{2}{5}\right)^k = \frac{\frac{2}{5} \left(1 – \left(\frac{2}{5}\right)^n\right)}{1 – \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5} \left(1 – \left(\frac{2}{5}\right)^n\right)}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3} \left(1 – \left(\frac{2}{5}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{2}{3} (1 – 0) = \frac{2}{3}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{2}{3}\).
81. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^n}{3^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \left(-\frac{2}{3}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(r = -\frac{2}{3}\) a prvním členem \(a_1 = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{9}\).
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left(-\frac{2}{3}\right)^k. \]
Vzorec pro součet prvních \(n\) členů geometrické řady je
\[ \sum_{k=1}^n r^k = r \frac{1 – r^n}{1 – r}. \]
Tedy
\[ S_n = \frac{1}{3} \cdot \frac{-\frac{2}{3} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1 – \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{-\frac{2}{3} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{-\frac{2}{3} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right)}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right). \]
Zjednodušeno
\[ S_n = -\frac{2}{15} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = -\frac{2}{15} (1 – 0) = -\frac{2}{15}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{2}{15}\).
82. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n}{4^n}. \]
Řada má tvar \(\sum_{n=1}^\infty n x^n\) s \(x = \frac{1}{4}\) a je sumovatelná, protože \(|x| < 1\).
Známý vzorec pro součet této řady je
\[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 – x)^2}. \]
Dosadíme hodnotu \(x = \frac{1}{4}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{4}}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9}. \]
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{4^k}. \]
Explicitní vzorec pro částečné součty je
\[ S_n = \frac{x \left(1 – (n+1) x^n + n x^{n+1}\right)}{(1 – x)^2} \quad \text{kde} \quad x = \frac{1}{4}. \]
Tedy
\[ S_n = \frac{\frac{1}{4} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{4}\right)^n + n \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right)}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4} \left(1 – (n+1) \frac{1}{4^n} + n \frac{1}{4^{n+1}}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4} \left(1 – (n+1) \frac{1}{4^n} + n \frac{1}{4^{n+1}}\right)}{\frac{9}{16}} = \frac{4}{9} \left(1 – \frac{n+1}{4^n} + \frac{n}{4^{n+1}}\right). \]
Limita částečných součtů je \(\frac{4}{9}\).
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{4}{9}\).
83. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{5^n} = \left(-\frac{1}{5}\right)^{n+1} \cdot (-1)^{-1} = – \left(-\frac{1}{5}\right)^n, \]
ale jednodušeji lze vnímat členy jako
\[ a_n = (-1)^{n+1} \left(\frac{1}{5}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(r = -\frac{1}{5}\), kde \(|r| < 1\), řada konverguje.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \left(\frac{1}{5}\right)^k = \frac{1 – (-\frac{1}{5})^n}{1 – \left(-\frac{1}{5}\right)} – 1 = \frac{1 – (-\frac{1}{5})^n}{1 + \frac{1}{5}} – 1. \]
Upřesníme výraz pro součet prvních \(n\) členů geometrické řady:
\[ S_n = \frac{1 – (-\frac{1}{5})^n}{1 + \frac{1}{5}} – 1 = \frac{1 – (-\frac{1}{5})^n}{\frac{6}{5}} – 1 = \frac{5}{6} \left(1 – (-\frac{1}{5})^n\right) – 1. \]
Po úpravě
\[ S_n = \frac{5}{6} – \frac{5}{6} \left(-\frac{1}{5}\right)^n – 1 = -\frac{1}{6} – \frac{5}{6} \left(-\frac{1}{5}\right)^n. \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = -\frac{1}{6} – \frac{5}{6} \cdot 0 = -\frac{1}{6}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{1}{6}\).
84. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{7^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \left(\frac{3}{7}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(r = \frac{3}{7}\), kde \(|r| < 1\), takže řada konverguje.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{3}{7}\right)^k = \frac{\frac{3}{7} \left(1 – \left(\frac{3}{7}\right)^n\right)}{1 – \frac{3}{7}} = \frac{\frac{3}{7} \left(1 – \left(\frac{3}{7}\right)^n\right)}{\frac{4}{7}} = \frac{3}{4} \left(1 – \left(\frac{3}{7}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{4} (1 – 0) = \frac{3}{4}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{3}{4}\).
85. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty n^2 \left(\frac{1}{3}\right)^n.\)
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = n^2 \left(\frac{1}{3}\right)^n. \]
Řada má tvar \(\sum_{n=1}^\infty n^2 x^n\) s \(x = \frac{1}{3}\) a je sumovatelná, protože \(|x| < 1\).
Známý vzorec pro sumu této řady je
\[ \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = \frac{x (1 + x)}{(1 – x)^3}. \]
Dosadíme hodnotu \(x = \frac{1}{3}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{3}\right)}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^3} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^3} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{27}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}. \]
Částečné součty lze vyjádřit pomocí komplikovanějších vzorců, ale hlavní je limitní hodnota.
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{3}{2}\).
86. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = (-1)^n \frac{n}{2^n}. \]
Řada má tvar \(\sum_{n=1}^\infty n x^n\), kde \(x = -\frac{1}{2}\). Protože \(|x| = \frac{1}{2} < 1\), řada konverguje.
Známý vzorec pro součet této řady je
\[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 – x)^2}. \]
Dosadíme \(x = -\frac{1}{2}\):
\[ S = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(1 – \left(-\frac{1}{2}\right)\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{2}{9}. \]
Částečné součty lze vyjádřit pomocí vzorce pro částečné součty geometrické řady s násobkem \(n\):
\[ S_n = \sum_{k=1}^n k x^k = \frac{x \left(1 – (n+1) x^n + n x^{n+1}\right)}{(1 – x)^2}. \]
Dosadíme \(x = -\frac{1}{2}\):
\[ S_n = \frac{-\frac{1}{2} \left(1 – (n+1) \left(-\frac{1}{2}\right)^n + n \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)}{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2} \left(1 – (n+1) \left(-\frac{1}{2}\right)^n + n \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2} \left(1 – (n+1) \left(-\frac{1}{2}\right)^n + n \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)}{\frac{9}{4}} = -\frac{2}{9} \left(1 – (n+1) \left(-\frac{1}{2}\right)^n + n \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right). \]
Limita částečných součtů je \(-\frac{2}{9}\), což odpovídá sumě řady.
87. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{4^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{3^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{4}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(r = \frac{3}{4}\), kde \(|r| < 1\), tudíž řada konverguje.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{3^k}{4^{k+1}} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left(\frac{3}{4}\right)^k = \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{3}{4} \left(1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)}{1 – \frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{3}{4} \left(1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)}{\frac{1}{4}} = \frac{3}{4} \left(1 – \left(\frac{3}{4}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{4} (1 – 0) = \frac{3}{4}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(\frac{3}{4}\).
88. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty n (0{,}1)^n.\)
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = n (0{,}1)^n. \]
Řada je typu \(\sum n x^n\) s \(x=0{,}1\), kde \(|x|<1\), tudíž řada konverguje.
Vzorec pro sumu řady je
\[ S = \frac{x}{(1 – x)^2}. \]
Dosadíme \(x=0{,}1\):
\[ S = \frac{0{,}1}{(1 – 0{,}1)^2} = \frac{0{,}1}{(0{,}9)^2} = \frac{0{,}1}{0{,}81} \approx 0{,}12345679. \]
Částečné součty lze vyjádřit jako
\[ S_n = \frac{x \left(1 – (n+1) x^n + n x^{n+1}\right)}{(1 – x)^2}. \]
Dosadíme \(x=0{,}1\):
\[ S_n = \frac{0{,}1 \left(1 – (n+1) (0{,}1)^n + n (0{,}1)^{n+1}\right)}{(0{,}9)^2} = \frac{0{,}1 \left(1 – (n+1) (0{,}1)^n + n (0{,}1)^{n+1}\right)}{0{,}81}. \]
Limita částečných součtů je přibližně \(0{,}12345679\).
89. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{n^2}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = (-1)^{n+1} \frac{n^2}{2^n} = n^2 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \cdot (-1)^{-1} = – n^2 \left(-\frac{1}{2}\right)^n, \]
ale jednodušeji použijeme tvar
\[ a_n = (-1)^{n+1} \frac{n^2}{2^n} = n^2 \left(-\frac{1}{2}\right)^n. \]
Řada je tedy typu \(\sum n^2 x^n\) s \(x = -\frac{1}{2}\), kde \(|x| < 1\), řada konverguje.
Vzorec pro sumu této řady je
\[ \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = \frac{x (1 + x)}{(1 – x)^3}. \]
Dosadíme \(x = -\frac{1}{2}\):
\[ S = \frac{-\frac{1}{2} \left(1 – \frac{1}{2}\right)}{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^3} = \frac{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^3} = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{27}{8}} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{27} = -\frac{2}{27}. \]
Částečné součty jsou složitější, ale lze použít známé vzorce pro částečné součty s mocninou \(n^2\) v součinu s \(x^n\).
Limita částečných součtů je \(-\frac{2}{27}\), což je suma řady.
90. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n}{3^n} = n \left(\frac{1}{3}\right)^n. \]
Řada je typu \(\sum n x^n\) s \(x = \frac{1}{3}\), kde \(|x| < 1\), řada konverguje.
Vzorec pro sumu je
\[ S = \frac{x}{(1 – x)^2}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{3}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}. \]
Částečné součty jsou
\[ S_n = \frac{x \left(1 – (n+1) x^n + n x^{n+1}\right)}{(1 – x)^2}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{3}\):
\[ S_n = \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n + n \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n + n \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n + n \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{\frac{4}{9}} = \frac{3}{4} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n + n \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right). \]
Limita částečných součtů je \(\frac{3}{4}\), což odpovídá sumě řady.
91. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^n}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \left(-\frac{2}{5}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu se společným poměrem \(r = -\frac{2}{5}\), přičemž \(|r| = \frac{2}{5} < 1\), takže řada konverguje.
Částečné součty jsou dány vzorcem
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(-\frac{2}{5}\right)^k = \frac{-\frac{2}{5} \left(1 – \left(-\frac{2}{5}\right)^n\right)}{1 – \left(-\frac{2}{5}\right)} = \frac{-\frac{2}{5} \left(1 – \left(-\frac{2}{5}\right)^n\right)}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{-\frac{2}{5} \left(1 – \left(-\frac{2}{5}\right)^n\right)}{\frac{7}{5}} = -\frac{2}{7} \left(1 – \left(-\frac{2}{5}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = -\frac{2}{7} \cdot (1 – 0) = -\frac{2}{7}. \]
Tedy řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{2}{7}\).
92. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = n \left(\frac{1}{4}\right)^n. \]
Jedná se o řadu tvaru \(\sum n x^n\) s \(x = \frac{1}{4}\), kde \(|x| < 1\), takže řada konverguje.
Sumu této řady lze vyjádřit vzorcem
\[ S = \frac{x}{(1 – x)^2}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{4}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{4}}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9}. \]
Částečné součty jsou dány vzorcem
\[ S_n = \frac{x \left(1 – (n+1) x^n + n x^{n+1}\right)}{(1 – x)^2}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{4}\):
\[ S_n = \frac{\frac{1}{4} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{4}\right)^n + n \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{4}\right)^n + n \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right)}{\frac{9}{16}} = \frac{4}{9} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{4}\right)^n + n \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right). \]
Limita částečných součtů je tedy \(\frac{4}{9}\).
93. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = (-1)^{n+1} \frac{1}{n}. \]
Jedná se o alternující harmonickou řadu, která je známá svou konvergencí.
Částečné součty jsou definovány jako
\[ S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k}. \]
Tato řada konverguje k hodnotě \(\ln 2\), tedy
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \ln 2. \]
Podrobnější vysvětlení:
Alternující harmonická řada je příkladem řady splňující Leibnizovo kritérium pro konvergenci:
- členy \( \frac{1}{n} \) jsou kladné, klesající a limitně se blíží k nule,
- střídá se znaménko.
Proto řada konverguje.
Suma řady je dobře známá a odpovídá \(\ln 2\).
94. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = n^2 \left(\frac{1}{3}\right)^n. \]
Jedná se o řadu tvaru \(\sum n^2 x^n\) s \(x = \frac{1}{3}\), kde \(|x| < 1\), takže řada konverguje.
Vzorec pro sumu je znám a je dán výrazem
\[ S = \frac{x (1 + x)}{(1 – x)^3}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{3}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{3}\right)}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^3} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^3} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{27}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}. \]
Částečné součty lze určit pomocí odpovídajících vzorců, které zahrnují mocniny \(n^2\), ale vzhledem k délce výpočtu zde uvedeme pouze výslednou sumu.
Limita částečných součtů je tedy \(\frac{3}{2}\).
95. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{3^n}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = (-1)^n \left(\frac{3}{4}\right)^n = \left(-\frac{3}{4}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu se společným poměrem \(r = -\frac{3}{4}\), přičemž \(|r| = \frac{3}{4} < 1\), takže řada konverguje.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(-\frac{3}{4}\right)^k = \frac{-\frac{3}{4} \left(1 – \left(-\frac{3}{4}\right)^n\right)}{1 – \left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{-\frac{3}{4} \left(1 – \left(-\frac{3}{4}\right)^n\right)}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{3}{4} \left(1 – \left(-\frac{3}{4}\right)^n\right)}{\frac{7}{4}} = -\frac{3}{7} \left(1 – \left(-\frac{3}{4}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = -\frac{3}{7} (1 – 0) = -\frac{3}{7}. \]
Řada je tedy sumovatelná a její suma je \(-\frac{3}{7}\).
96. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{6^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \left(\frac{5}{6}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu se společným poměrem \(r = \frac{5}{6}\), kde \(|r| = \frac{5}{6} < 1\), tedy řada konverguje.
Částečné součty jsou dány vzorcem
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{5}{6}\right)^k = \frac{\frac{5}{6} \left(1 – \left(\frac{5}{6}\right)^n\right)}{1 – \frac{5}{6}} = \frac{\frac{5}{6} \left(1 – \left(\frac{5}{6}\right)^n\right)}{\frac{1}{6}} = 5 \left(1 – \left(\frac{5}{6}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 5 (1 – 0) = 5. \]
Řada je tedy sumovatelná a její suma je \(5\).
97. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2^n}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = (-1)^n \left(\frac{2}{3}\right)^n = \left(-\frac{2}{3}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu se společným poměrem \(r = -\frac{2}{3}\), kde \(|r| = \frac{2}{3} < 1\), takže řada konverguje.
Částečné součty jsou
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \left(-\frac{2}{3}\right)^k = \frac{-\frac{2}{3} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1 – \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{-\frac{2}{3} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{2}{3} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right)}{\frac{5}{3}} = -\frac{2}{5} \left(1 – \left(-\frac{2}{3}\right)^n\right). \]
Limita částečných součtů je
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = -\frac{2}{5} (1 – 0) = -\frac{2}{5}. \]
Řada je sumovatelná a její suma je \(-\frac{2}{5}\).
98. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n}{2^n} = n \left(\frac{1}{2}\right)^n. \]
Jedná se o řadu tvaru \(\sum n x^n\) s \(x = \frac{1}{2}\), kde \(|x| < 1\), takže řada konverguje.
Vzorec pro sumu je
\[ S = \frac{x}{(1-x)^2}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{2}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1 – \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2. \]
Částečné součty lze vyjádřit vzorcem
\[ S_n = \frac{x \left(1 – (n+1) x^n + n x^{n+1}\right)}{(1-x)^2}. \]
Dosadíme \(x = \frac{1}{2}\):
\[ S_n = \frac{\frac{1}{2} \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^n + n \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2 \left(1 – (n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^n + n \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right). \]
Limita částečných součtů je tedy \(2\).
99. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n^2}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = (-1)^n \frac{n^2}{3^n} = n^2 \left(-\frac{1}{3}\right)^n. \]
Jedná se o řadu tvaru \(\sum n^2 x^n\) s \(x = -\frac{1}{3}\), kde \(|x| = \frac{1}{3} < 1\), takže řada konverguje.
Vzorec pro sumu je
\[ S = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}. \]
Dosadíme \(x = -\frac{1}{3}\):
\[ S = \frac{-\frac{1}{3} \left(1 – \frac{1}{3}\right)}{\left(1 + \frac{1}{3}\right)^3} = \frac{-\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}{\left(\frac{4}{3}\right)^3} = \frac{-\frac{2}{9}}{\frac{64}{27}} = -\frac{2}{9} \cdot \frac{27}{64} = -\frac{54}{576} = -\frac{3}{32}. \]
Limita částečných součtů je tedy \(-\frac{3}{32}\).
100. Určete částečné součty a sumu řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}. \]
Tato řada je známá jako alternující řada s členy klesajícími k nule a absolutně konvergentní, protože řada \(\sum \frac{1}{n^2}\) je konvergentní.
Částečné součty jsou definovány jako
\[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k^2}. \]
Řada konverguje k hodnotě zvané Dirichletova eta funkce \(\eta(2)\), což lze vyjádřit pomocí Riemannovy zeta funkce jako
\[ \eta(2) = (1 – 2^{1-2}) \zeta(2) = \left(1 – \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{12}. \]
Tedy
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{\pi^2}{12}. \]