Čebyševova nerovnost str. 2

Řešení příkladu:

Interval \((3, 13)\) je symetrický kolem střední hodnoty \(\mu = 8\) s poloviční šířkou \(k = 5\), protože:

\( 8 – 3 = 5 \) a \( 13 – 8 = 5 \).

Chceme odhadnout pravděpodobnost, že \(Z\) je mimo tento interval, tedy:

\( P(Z \notin (3, 13)) = P(|Z – 8| \geq 5) \).

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\( P(|Z – 8| \geq 5) \leq \frac{25}{5^2} = \frac{25}{25} = 1 \).

Tento výsledek nám říká, že horní odhad pravděpodobnosti je \(1\), což není informativní, protože Čebyševova nerovnost může být příliš obecná.

Nicméně, toto je hranice daná nerovností, nikoli skutečná pravděpodobnost.

Pro lepší odhad by bylo potřeba více informací o rozdělení veličiny \(Z\).

Řešení příkladu:

Podle Čebyševovy nerovnosti platí, že pro \(k > 0\) je:

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \), kde \(\mu = 20\), \(\sigma^2 = 36\), a \(k = 10\).

Dosadíme hodnoty do nerovnosti:

\( P(|X – 20| \geq 10) \leq \frac{36}{10^2} = \frac{36}{100} = 0{,}36 \).

Tento odhad říká, že pravděpodobnost, že se hodnota \(X\) odchýlí od střední hodnoty o více než \(10\), je nejvýše \(36 \%\).

Význam Čebyševovy nerovnosti spočívá v tom, že odhadujeme pravděpodobnost bez znalosti konkrétního rozdělení \(X\), pouze na základě střední hodnoty a rozptylu.

Řešení příkladu:

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\( P(|Y – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \), kde \(\mu = 50\), \(\sigma^2 = 100\), \(k = 20\).

Dosadíme:

\( P(|Y – 50| \geq 20) \leq \frac{100}{20^2} = \frac{100}{400} = 0{,}25 \).

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(Y\) se odchýlí od střední hodnoty o více než \(20\), je nejvýše \(25 \%\).

Tento odhad je nezávislý na konkrétním rozdělení veličiny \(Y\) a je užitečný především tehdy, když není známo přesné rozdělení, ale jsou známy základní charakteristiky jako \(\mu\) a \(\sigma^2\).

Řešení příkladu:

Chceme odhadnout \( P(|Z| \geq 3) \) pro náhodnou veličinu \(Z\) se střední hodnotou \(\mu = 0\) a rozptylem \(\sigma^2 = 1\).

Čebyševova nerovnost říká:

\( P(|Z – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \), zde \(\mu=0\), \(\sigma^2=1\), \(k=3\).

Dosadíme do vzorce:

\( P(|Z| \geq 3) \leq \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}1111 \).

Pravděpodobnost, že hodnota \(Z\) se vzdálí od střední hodnoty alespoň o \(3\), je tedy nejvýše přibližně \(11,11 \%\).

Čebyševova nerovnost je v tomto případě velmi užitečná, protože nevyžaduje znalost konkrétního rozdělení veličiny \(Z\), pouze střední hodnotu a rozptyl.

Řešení příkladu:

Událost, že \(X < \(80\)\) nebo \(X > \(120\)\) znamená, že hodnota \(X\) se odchýlí od střední hodnoty \(\mu = \(100\)\) o více než \(20\).

Vyjádříme tuto událost pomocí absolutní hodnoty:

\( P(X < \(80\) \text{ nebo } X > \(120\)) = P(|X – \(100\)| > \(20\)) \).

Čebyševova nerovnost nám dává odhad:

\( P(|X – \(100\)| \geq \(20\)) \leq \frac{\(400\)}{\(20^2\)} = \frac{\(400\)}{\(400\)} = \(1\) \).

Tento odhad je sice platný, ale není informativní, protože nerovnost říká, že pravděpodobnost je nejvýše \(1\), což je vždy pravda.

Pokud chceme lepší odhad, potřebujeme více informací o rozdělení veličiny \(X\).

Řešení příkladu:

Interval \([\(15\), \(45\)]\) je symetrický vůči střední hodnotě \(\mu = \(30\)\) s poloviční šířkou \(k = \(15\)\), protože \(30 – \(15\) = \(15\) a \(45 – 30 = \(15\)\).

Hledáme pravděpodobnost, že \(Y\) je v tomto intervalu, což je doplněk k pravděpodobnosti, že \(Y\) je mimo interval:

\( P(\(15\) \leq Y \leq \(45\)) = \(1\) – P(|Y – \(30\)| \geq \(15\)) \).

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\( P(|Y – \(30\)| \geq \(15\)) \leq \frac{\(81\)}{\(15^2\)} = \frac{\(81\)}{\(225\)} = \(0{,}36\) \).

Tedy

\( P(\(15\) \leq Y \leq \(45\)) \geq \(1\) – \(0{,}36\) = \(0{,}64\) \).

Tento odhad říká, že pravděpodobnost, že \(Y\) nabude hodnoty v intervalu \([\(15\), \(45\)]\), je alespoň \(64\) %.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost říká, že pro \(k=\(1\)\) platí:

\( P(|Z – \(5\)| \geq \(1\)) \leq \frac{\(0{,}25\)}{\(1^2\)} = \(0{,}25\) \).

To znamená, že pravděpodobnost, že hodnota \(Z\) se vzdálí od střední hodnoty o více než \(1\), je maximálně \(25\) %.

Užití Čebyševovy nerovnosti je v tomto případě efektivní, protože rozptyl je malý a odhad je tak relativně přísný.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost stanovuje, že pro libovolnou náhodnou veličinu \(X\) se střední hodnotou \(\mu = \mathbb{E}[X]\) a rozptylem \(\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)\) platí následující vztah pro každé kladné číslo \(k > \(0\)\):

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

V tomto případě máme \(\mu = \(20\)\), \(\sigma^2 = \(9\)\) a \(k = \(5\)\). Dosadíme tyto hodnoty do nerovnosti:

\(P(|X – \(20\)| \geq \(5\)) \leq \frac{\(9\)}{\(5^2\)} = \frac{\(9\)}{\(25\)} = \(0{,}36\)

Výsledkem je, že pravděpodobnost, že hodnota \(X\) se odchýlí od střední hodnoty o více než \(5\) jednotek, je nejvýše \(36\) %.

Tento odhad je obecný a nevyžaduje znalost konkrétního rozdělení náhodné veličiny, proto je velmi užitečný pro hrubé odhady.

Řešení příkladu:

Nejprve připomeňme Čebyševovu nerovnost pro náhodnou veličinu \(X\) se střední hodnotou \(\mu\) a rozptylem \(\sigma^2\):

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

V tomto případě \(\mu = \(0\)\), \(\sigma^2 = \(16\)\), \(k = \(8\)\). Dosadíme do nerovnosti:

\(P(|X| \geq \(8\)) \leq \frac{\(16\)}{\(8^2\)} = \frac{\(16\)}{\(64\)} = \(0{,}25\)

Tedy maximální pravděpodobnost, že hodnota \(X\) bude ležet mimo interval \([-8, 8]\), je \(25\) %.

Tento výsledek říká, že alespoň \(75\) % hodnot náhodné veličiny musí být v intervalu \([-8, 8]\), ale skutečná pravděpodobnost může být nižší, protože Čebyševova nerovnost poskytuje pouze horní odhad.

Řešení příkladu:

Nejprve stanovíme hranice odchylky od střední hodnoty. Interval \([40, 60]\) lze zapsat jako:

\( |X – 50| < 10 \)

Chceme tedy pravděpodobnost \(P(40 \leq X \leq 60) = P(|X – 50| < 10)\).

Čebyševova nerovnost nám ale dává odhad pro pravděpodobnost, že odchylka je větší nebo rovna \(k\), tedy

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

Pro \(k = 10\) máme:

\(P(|X – 50| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = \frac{25}{100} = 0{,}25\)

Z toho plyne, že

\(P(|X – 50| < 10) = 1 - P(|X - 50| \geq 10) \geq 1 - 0{,}25 = 0{,}75\)

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(X\) bude mezi \(40\) a \(60\), je alespoň \(75\)%.

Je důležité si uvědomit, že jde o spodní odhad pravděpodobnosti uvnitř intervalu, který je naopak opačný k hornímu odhadu Čebyševovy nerovnosti.

Řešení příkladu:

Udává se interval odchylky od střední hodnoty, kde zajímáme hodnoty mimo interval \([3, 7]\).

Tento interval je vzdálenost \(k = 2\) od střední hodnoty, protože \(5 – 3 = 2\) a \(7 – 5 = 2\).

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\(P(|X – 5| \geq 2) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25\)

Pravděpodobnost, že hodnota \(X\) je menší než \(3\) nebo větší než \(7\), tedy nepřekročí \(25\)%.

Tímto způsobem můžeme odhadnout rozsah, kde se většina hodnot pravděpodobně nachází, aniž bychom znali konkrétní rozdělení.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost říká:

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

Dosadíme \(\mu = 100\), \(\sigma^2 = 400\) a \(k = 20\):

\(P(|X – 100| \geq 20) \leq \frac{400}{20^2} = \frac{400}{400} = 1\)

Tento výsledek znamená, že Čebyševova nerovnost v tomto případě neposkytuje užitečný odhad, protože horní odhad pravděpodobnosti je \(1\), tedy nejvyšší možná hodnota.

Tento příklad ukazuje, že Čebyševova nerovnost může být v některých situacích velmi konzervativní a nevede k užitečnému omezení.

Řešení příkladu:

Interval \([-3, 3]\) odpovídá odchylce \(k = 3\) od střední hodnoty \(\mu = 0\).

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\(P(|X – 0| \geq 3) \leq \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}1111\)

Tedy maximální pravděpodobnost, že \(X\) bude ležet mimo interval \([-3, 3]\), je asi \(11,11\)%.

Je tedy zaručeno, že alespoň \(88,89\)% hodnot \(X\) leží v tomto intervalu, což dává představu o koncentraci rozdělení kolem střední hodnoty.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost říká, že pro každé \(k > 0\) platí:

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

Dosadíme \(\mu = 8\), \(\sigma^2 = 0{,}25\) a \(k = 1\):

\(P(|X – 8| \geq 1) \leq \frac{0{,}25}{1^2} = 0{,}25\)

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(X\) se liší od střední hodnoty o více než \(1\) jednotku, je maximálně \(25\)%.

Tento výsledek ilustruje, jak rozptyl ovlivňuje šíři rozdělení hodnot kolem střední hodnoty.

Řešení příkladu:

Interval \([2, 4]\) odpovídá hodnotám vzdáleným maximálně \(k = 1\) od střední hodnoty \(\mu = 3\), protože \(3 – 2 = 1\) a \(4 – 3 = 1\).

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\(P(|X – 3| \geq 1) \leq \frac{0{,}16}{1^2} = 0{,}16\)

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(X\) bude mimo interval \([2, 4]\), je nejvýše \(16\)%.

Znamená to, že minimálně \(84\)% hodnot \(X\) bude v tomto intervalu, což může být významné pro praktické aplikace, kde je důležitá koncentrace hodnot.

Řešení příkladu:

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

Dosadíme \(\mu = \(15\)\), \(\sigma^2 = \(49\)\) a \(k = \(14\)\):

\(P(|X – \(15\)| \geq \(14\)) \leq \frac{\(49\)}{\(14\)^2} = \frac{\(49\)}{\(196\)} = \(0{,}25\)\)

Tedy maximální pravděpodobnost odchylky větší než \(14\) jednotek od střední hodnoty je \(25\ \%\).

Tento výsledek podtrhuje význam rozptylu jako měřítka rozptýlení hodnot kolem střední hodnoty.

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že pravděpodobnost, že \(X\) je mimo interval \([\(0\), \(10\)]\) lze vyjádřit jako

\(P(X < \(0\) \text{ nebo } X > \(10\)) = P(|X – \(5\)| \geq \(5\))\), protože vzdálenost od střední hodnoty \(5\) k hranicím \(0\) a \(10\) je právě \(5\).

Čebyševova nerovnost říká:

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{k^2}\)

Kde \(\mu = \(5\)\), \(\mathrm{Var}(X) = \(9\)\) a \(k = \(5\)\). Dosadíme hodnoty:

\(P(|X – \(5\)| \geq \(5\)) \leq \frac{\(9\)}{\(5\)^2} = \frac{\(9\)}{\(25\)} = \(0{,}36\)\)

Tedy pomocí Čebyševovy nerovnosti víme, že pravděpodobnost, že \(X\) je mimo interval \([\(0\), \(10\)]\), je nejvýše \(36\ \%\).

To znamená, že i bez znalosti přesného rozdělení \(X\) máme bezpečný horní odhad této pravděpodobnosti, což může být užitečné například při posuzování extrémních odchylek.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost pro náhodnou veličinu \(Y\) s \(\mu = \(0\)\) a \(\sigma^2 = \(16\)\) říká:

\(P(|Y – \(0\)| \geq k) \leq \frac{\(16\)}{k^2}\)

Dosadíme \(k = \(8\)\):

\(P(|Y| \geq \(8\)) \leq \frac{\(16\)}{\(8\)^2} = \frac{\(16\)}{\(64\)} = \frac{\(1\)}{\(4\)} = \(0{,}25\)\)

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(Y\) se odchýlí od střední hodnoty o více než \(8\), je nejvýše \(25\ \%\).

Je důležité si uvědomit, že toto je pouze horní odhad, skutečná pravděpodobnost může být nižší, protože Čebyševova nerovnost nevyužívá další informace o rozdělení náhodné veličiny.

Řešení příkladu:

Interval \([\(10\), \(30\)]\) je symetrický vůči střední hodnotě \(20\) s poloviční délkou \(10\). Pravděpodobnost, že \(Z\) spadne do tohoto intervalu, je

\(P(\(10\) \leq Z \leq \(30\)) = P(|Z – \(20\)| \leq \(10\)) = \(1\) – P(|Z – \(20\)| > \(10\))\)

Čebyševova nerovnost dává horní odhad pravděpodobnosti, že \(|Z – \(20\)| \geq \(10\)\):

\(P(|Z – \(20\)| \geq \(10\)) \leq \frac{\(25\)}{\(10\)^2} = \frac{\(25\)}{\(100\)} = \(0{,}25\)\)

Z toho plyne, že

\(P(\(10\) \leq Z \leq \(30\)) \geq \(1\) – \(0{,}25\) = \(0{,}75\)\)

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(Z\) bude mezi \(10\) a \(30\), je alespoň \(75\ \%\).

Tento výsledek poskytuje užitečný dolní odhad pravděpodobnosti umístění hodnoty \(Z\) v daném rozmezí, založený pouze na základních momentech náhodné veličiny.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost říká, že pro \(k > \(0\)\) platí:

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

Zde \(\mu = \(50\)\), \(\sigma^2 = \(100\)\), \(k = \(20\)\). Dosadíme:

\(P(|X – \(50\)| \geq \(20\)) \leq \frac{\(100\)}{\(20\)^2} = \frac{\(100\)}{\(400\)} = \(0{,}25\)\)

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(X\) se odchýlí o více než \(20\) od střední hodnoty, je nejvýše \(25\ \%\).

Tento výsledek je konzervativní odhad, který platí bez předpokladu konkrétního rozdělení náhodné veličiny, což je výhodné při neznalosti přesné distribuce.

Řešení příkladu:

Interval hodnot, které chceme zvážit, je mimo interval \([\(-6\), \(0\)]\). Střední hodnota je \(-3\). Rozdíl mezi \(-3\) a konci intervalu je \(3\) na obou stranách:

\(P(Y < -6 \text{ nebo } Y > 0) = P(|Y – (-3)| \geq 3) = P(|Y + 3| \geq 3)\)

Čebyševova nerovnost nám říká:

\(P(|Y + 3| \geq 3) \leq \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}1111\)

Tedy pravděpodobnost, že \(Y\) bude mimo interval \([\(-6\), \(0\)]\), je maximálně přibližně \(11{,}11 \ \%\).

Výsledek poskytuje užitečný horní odhad pro odchylky od střední hodnoty v obou směrech.

Řešení příkladu:

Interval \([\(80\), \(120\)]\) je symetrický kolem střední hodnoty \(100\) s polovinou délky \(20\).

Pravděpodobnost, že \(Z\) je mimo tento interval, je

\(P(Z < 80 \text{ nebo } Z > 120) = P(|Z – 100| \geq 20)\)

Podle Čebyševovy nerovnosti:

\(P(|Z – 100| \geq 20) \leq \frac{400}{20^2} = \frac{400}{400} = 1\)

Zde nerovnost neomezuje pravděpodobnost efektivně, protože výsledek je \(1\), což je triviální horní odhad.

Pro lepší odhad bychom potřebovali přesnější informace o rozdělení náhodné veličiny.

Řešení příkladu:

Podle Čebyševovy nerovnosti platí pro libovolnou náhodnou veličinu \(X\):

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

Zde \(\mu = 0\), \(\sigma^2 = 1\), \(k = 3\), dosadíme:

\(P(|X| \geq 3) \leq \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}1111\)

Pravděpodobnost, že \(X\) bude ve vzdálenosti alespoň \(3\) od střední hodnoty, je nejvýše přibližně \(11{,}11 \ \%\).

Tento odhad je velmi užitečný pro posouzení extrémních odchylek v případě neznalosti přesného rozdělení.

Řešení příkladu:

Interval \([\(9\), \(11\)]\) je kolem střední hodnoty \(10\) s poloviční délkou \(1\).

Pravděpodobnost, že \(Y\) leží mimo tento interval, je

\(P(Y < 9 \text{ nebo } Y > 11) = P(|Y – 10| \geq 1)\)

Čebyševova nerovnost dává:

\(P(|Y – 10| \geq 1) \leq \frac{0{,}25}{1^2} = 0{,}25\)

Tedy maximální pravděpodobnost, že \(Y\) je mimo interval \([\(9\), \(11\)]\), je \(25\ \%\).

To poskytuje jednoduchý a univerzální odhad bez znalosti konkrétního rozdělení.

Řešení příkladu:

Interval \([\(-8\), \(4\)]\) má střední hodnotu \(-2\) a poloviční délku \(6\) (protože vzdálenost od \(-2\) k \(-8\) i ke \(4\) je \(6\)).

Pravděpodobnost, že \(Z\) je mimo tento interval, je

\(P(Z < -8 \text{ nebo } Z > 4) = P(|Z – (-2)| \geq 6) = P(|Z + 2| \geq 6)\)

Podle Čebyševovy nerovnosti:

\(P(|Z + 2| \geq 6) \leq \frac{9}{6^2} = \frac{9}{36} = 0{,}25\)

Tedy pravděpodobnost, že \(Z\) je mimo interval \([\(-8\), \(4\)]\), je nejvýše \(25\ \%\).

Čebyševova nerovnost poskytuje konzervativní, ale spolehlivý horní odhad této pravděpodobnosti.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost stanovuje, že pro libovolnou náhodnou veličinu \(X\) se střední hodnotou \(\mu = \mathbb{E}[X]\) a rozptylem \(\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)\) platí pro každé \(k > 0\):

\[ P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \]

Dosadíme \(\mu = 5\), \(\sigma^2 = 9\), \(k = 6\):

\[ P(|X – 5| \geq 6) \leq \frac{9}{6^2} = \frac{9}{36} = 0.25 \]

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(X\) se odchýlí od střední hodnoty o více než \(6\), je nejvýše \(25 \%\).

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost má tvar:

\[ P(|Y – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \]

Dosadíme \(\mu = 0\), \(\sigma^2 = 16\), \(k = 10\):

\[ P(|Y| \geq 10) \leq \frac{16}{10^2} = \frac{16}{100} = 0.16 \]

Odhadovaná pravděpodobnost je tedy nejvýše \(16 \%\).

Řešení příkladu:

Hledáme \[ P(Z < 10 \text{ nebo } Z > 30) = P(|Z – 20| \geq 10) \]

Podle Čebyševovy nerovnosti:

\[ P(|Z – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \]

Dosadíme \(\mu = 20\), \(\sigma^2 = 25\), \(k = 10\):

\[ P(|Z – 20| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = \frac{25}{100} = 0.25 \]

Tedy horní odhad je \(25 \%\).

Řešení příkladu:

\[ P(|W – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \]

Dosadíme \(\mu = 100\), \(\sigma^2 = 400\), \(k = 30\):

\[ P(|W – 100| \geq 30) \leq \frac{400}{30^2} = \frac{400}{900} = \frac{4}{9} \approx 0.4444 \]

Tedy horní odhad je přibližně \(44.44 \%\).

Řešení příkladu:

Platí:

\[ P(|V – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \]

Dosadíme \(\mu = 50\), \(\sigma^2 = 1\), \(k = 0.5\):

\[ P(|V – 50| \geq 0.5) \leq \frac{1}{0.5^2} = \frac{1}{0.25} = 4 \]

Výsledek \(4\) však není pravděpodobnost. Proto musíme horní odhad omezit na maximální možnou hodnotu, tj.:

\[ P(|V – 50| \geq 0.5) \leq 1 \]

Tedy nerovnost zde poskytuje pouze triviální odhad \(100 \%\).

Řešení příkladu:

Situace odpovídá odhadu pravděpodobnosti, že hodnota \(X\) bude vzdálena od střední hodnoty o alespoň \(10\) jednotek, protože interval \((\(5\), \(25\))\) je symetrický vůči střední hodnotě \(15\) a vzdálenost od ní je právě \(10\).

Formálně tedy:

\( P(X < \(5\) \text{ nebo } X > \(25\)) = P(|X – \(15\)| \geq \(10\)) \)

Čebyševova nerovnost říká:

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\mu = \(15\)\), \(\sigma^2 = \(36\)\), \(k = \(10\)\):

\( P(|X – \(15\)| \geq \(10\)) \leq \frac{\(36\)}{\(10\)^2} = \frac{\(36\)}{\(100\)} = \(0{,}36\) \)

Tedy pravděpodobnost, že \(X\) je vzdáleno od střední hodnoty o více než \(10\) jednotek, je nejvýše \(36 \%\).

To znamená, že ačkoliv rozptyl \(X\) není zanedbatelný, pravděpodobnost extrémních odchylek je omezena tímto obecně platným odhadem.

Řešení příkladu:

Nejprve vyjádříme požadovanou pravděpodobnost pomocí odchylky od střední hodnoty:

Interval hodnot je od -\(10\) do \(4\). Střední hodnota je \(\mu = -\(3\)\).

Vzdálenost krajních bodů od střední hodnoty je:

\(|-10 – (-3)| = |-7| = \(7\)\)

\(|4 – (-3)| = |7| = \(7\)\)

Jedná se tedy o pravděpodobnost, že \(Y\) je vzdáleno od střední hodnoty alespoň o \(7\):

\( P(Y < -\(10\) \text{ nebo } Y > \(4\)) = P(|Y – (-3)| \geq \(7\)) \)

Čebyševova nerovnost dává:

\( P(|Y – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\sigma^2 = \(49\)\), \(k = \(7\)\):

\( P(|Y + \(3\)| \geq \(7\)) \leq \frac{\(49\)}{\(7\)^2} = \frac{\(49\)}{\(49\)} = \(1\) \)

Horní odhad je tedy \(1\), což je samozřejmě triviální, ale platné.

Tato situace nastává proto, že vzdálenost \(k\) je rovna směrodatné odchylce \(\sigma = \sqrt{\(49\)} = \(7\)\), a proto nerovnost neposkytuje informaci o menší pravděpodobnosti než \(1\).

Závěrem tedy víme, že pravděpodobnost, že \(Y\) je mimo interval \((-10, \(4\))\), je nejvýše \(100 \%\), což je triviální omezení.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost říká, že pro libovolnou náhodnou veličinu \(X\) se střední hodnotou \(\mu = \mathbb{E}[X]\) a rozptylem \(\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)\) platí pro každé \(k > 0\):

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

V našem případě známe \(\mu = \(15\)\), \(\sigma^2 = \(9\)\) a zvolíme \(k = \(5\)\). Dosadíme do nerovnosti:

\( P(|X – \(15\)| \geq \(5\)) \leq \frac{\(9\)}{\(5\)^2} = \frac{\(9\)}{\(25\)} = \(0{,}36\) \)

Tato nerovnost tedy říká, že pravděpodobnost, že se hodnota \(X\) odchýlí o více než \(5\) od střední hodnoty \(15\), je nejvýše \(36 \%\).

Čebyševova nerovnost je velmi obecná a nevyžaduje znalost rozdělení \(X\), proto tento odhad platí i v případě neznámého konkrétního rozdělení.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost v základní podobě udává odhad pravděpodobnosti, že náhodná veličina se odchýlí od střední hodnoty o více než \(k\) jednotek. V našem případě chceme spočítat:

\( P(Y \geq \(8\)) \)

Využijeme variantu Čebyševovy nerovnosti pro jednostranný odhad. Víme, že platí:

\( P(Y – \mu \geq k) \leq \frac{\mathrm{Var}(Y)}{\mathrm{Var}(Y) + k^2} \), kde \(\mu = \mathbb{E}[Y]\)

Dosadíme \(\mu = \(0\)\), \(k = \(8\)\), \(\mathrm{Var}(Y) = \(16\)\):

\( P(Y \geq \(8\)) = P(Y – \(0\) \geq \(8\)) \leq \frac{\(16\)}{\(16\) + \(64\)} = \frac{\(16\)}{\(80\)} = \(0{,}2\) \)

Tedy pravděpodobnost, že \(Y\) dosáhne hodnoty alespoň \(8\), je nejvýše \(20 \%\).

Tento jednostranný odhad je užitečný, pokud nás zajímá pouze jedna strana odchylky od střední hodnoty.

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomme, že interval \([\(40\), \(60\)]\) odpovídá odchylce od střední hodnoty \(\mu = \(50\)\) o maximálně \(10\) jednotek, protože:

\( |Z – \(50\)| \leq \(10\) \Rightarrow Z \in [\(40\), \(60\)] \)

Čebyševova nerovnost poskytuje horní odhad pravděpodobnosti, že náhodná veličina leží mimo interval daný odchylkou \(k\):

\( P(|Z – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\sigma^2 = \(25\)\), \(k = \(10\)\):

\( P(|Z – \(50\)| \geq \(10\)) \leq \frac{\(25\)}{\(100\)} = \(0{,}25\) \)

Tedy pravděpodobnost, že \(Z\) leží mimo interval \([\(40\), \(60\)]\), je nejvýše \(25 \%\).

Pravděpodobnost, že \(Z\) leží uvnitř intervalu, je proto minimálně:

\( P(\(40\) \leq Z \leq \(60\)) = \(1\) – P(|Z – \(50\)| \geq \(10\)) \geq \(1\) – \(0{,}25\) = \(0{,}75\) \)

Závěrem tedy odhadujeme, že pravděpodobnost, že hodnota \(Z\) bude v intervalu \([\(40\), \(60\)]\), je alespoň \(75 \%\).

Řešení příkladu:

Interval \([60, 140]\) znamená odchylku od střední hodnoty \(\mu = 100\) o nejvýše \(40\), protože:

\( |W – 100| \leq 40 \Rightarrow W \in [60, 140] \)

Čebyševova nerovnost říká:

\( P(|W – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\sigma = 20 \Rightarrow \sigma^2 = 400\) a \(k = 40\):

\( P(|W – 100| \geq 40) \leq \frac{400}{40^2} = \frac{400}{1600} = 0{,}25 \)

Tedy pravděpodobnost, že \(W\) bude mimo interval \([60, 140]\), je maximálně \(25\ \%\).

Z toho plyne, že pravděpodobnost, že \(W\) leží v uvedeném intervalu, je minimálně \(75\ \%\).

Řešení příkladu:

Chceme odhadnout \( P(|V| \geq 3) = P(V \leq -3 \text{ nebo } V \geq 3) \).

Čebyševova nerovnost říká:

\( P(|V – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \), kde \(\mu = 0\), \(\sigma^2 = 1\), \(k = 3\).

Dosadíme hodnoty:

\( P(|V| \geq 3) \leq \frac{1}{9} \approx 0{,}1111 \)

To znamená, že pravděpodobnost, že \(V\) nabude hodnoty mimo interval \((-3, 3)\), je nejvýše přibližně \(11{,}11\ \%\).

Řešení příkladu:

Interval hodnot, kde \(U\) není mimo zájem, je \([1, 9]\). Odchylka od střední hodnoty \(\mu = 5\) je tedy \(k = 4\), protože:

\( |U – 5| \geq 4 \Rightarrow U \leq 1 \text{ nebo } U \geq 9 \)

Čebyševova nerovnost říká, že pravděpodobnost mimo tento interval je:

\( P(|U – 5| \geq 4) \leq \frac{2}{4^2} = \frac{2}{16} = 0{,}125 \)

Tedy maximální pravděpodobnost, že \(U\) bude mimo interval \([1, 9]\), je \(12{,}5\ \%\).

Řešení příkladu:

Interval \([5, 35]\) odpovídá odchylce od střední hodnoty \(\mu = 20\) o nejvýše \(15\), protože:

\( |T – 20| \leq 15 \Rightarrow T \in [5, 35] \)

Čebyševova nerovnost říká:

\( P(|T – 20| \geq 15) \leq \frac{100}{15^2} = \frac{100}{225} \approx 0{,}4444 \)

Tedy pravděpodobnost, že \(T\) nabude hodnot mimo interval \([5, 35]\), je nejvýše přibližně \(44{,}44\ \%\).

Řešení příkladu:

Interval \([-20, 0]\) znamená odchylku od střední hodnoty \(\mu = -10\) maximálně o \(10\) jednotek, protože:

\( |S + 10| \leq 10 \Rightarrow S \in [-20, 0] \)

Čebyševova nerovnost nám poskytuje odhad pravděpodobnosti, že hodnota \(S\) leží mimo tento interval:

\( P(|S – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\sigma^2 = 36\), \(k = 10\):

\( P(|S + 10| \geq 10) \leq \frac{36}{100} = 0{,}36 \)

Tedy pravděpodobnost, že \(S\) leží mimo interval \([-20, 0]\), je nejvýše \(36\ \%\).

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že interval \([\(10\), \(30\)]\) je symetrický kolem střední hodnoty \(\mu = \(20\), protože vzdálenost od středu k okrajům je \(10\) jednotek.

Čebyševova nerovnost nám říká, že pro libovolnou náhodnou veličinu \(X\) se střední hodnotou \(\mu\) a rozptylem \(\sigma^2\) platí pro každé \(k > \(0\):

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

V tomto případě je \(\mu = \(20\), \(\sigma^2 = \(25\) a chceme spočítat pravděpodobnost, že \(X\) bude mimo interval \([\(10\), \(30\)], což znamená, že se odchýlí od střední hodnoty o alespoň \(k = \(10\):

\(P(|X – \(20\)| \geq \(10\)) \leq \frac{\(25\)}{\(10^2\)} = \frac{\(25\)}{\(100\)} = \(0{,}25\)\)

Tedy Čebyševova nerovnost nám říká, že pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny \(X\) leží mimo interval \([\(10\), \(30\)], je nejvýše \(25\) %.

Je důležité si uvědomit, že Čebyševova nerovnost poskytuje horní odhad, a skutečná pravděpodobnost může být nižší, ale nikdy vyšší než tento odhad.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost se nejčastěji používá k odhadu pravděpodobnosti, že náhodná veličina leží mimo určitý interval, tedy \(P(|Y – \mu| \geq k)\). V tomto příkladu ale chceme odhadnout pravděpodobnost, že hodnota bude uvnitř intervalu \((\mu – k, \mu + k)\), tedy

\(P(|Y – \mu| < k) = \(1\) - P(|Y - \mu| \geq k)\)

Máme \(\mu = \(5\), \(\sigma^2 = \(1\) a \(k = \(0{,}5\).\)

Podle Čebyševovy nerovnosti:

\(P(|Y – \(5\)| \geq \(0{,}5\)) \leq \frac{\(1\)}{(\(0{,}5\))^2} = \frac{\(1\)}{\(0{,}25\)} = \(4\)\)

Tento výsledek je však větší než \(1\), což není možné pro pravděpodobnost, protože pravděpodobnost nemůže překročit \(1\). To znamená, že nerovnost neposkytuje užitečný odhad v tomto případě.

Přesto platí, že

\(P(|Y – \(5\)| < \(0{,}5\)) = \(1\) - P(|Y - \(5\)| \geq \(0{,}5\)) \geq \(1\) - \(4\) = \(-3\)\)

Jelikož pravděpodobnost nemůže být záporná, můžeme říct pouze to, že Čebyševova nerovnost v tomto případě neumožňuje získat smysluplný dolní odhad pravděpodobnosti, že hodnota \(Y\) bude blízko střední hodnoty na úrovni \(0{,}5\) jednotky.

To nám připomíná, že Čebyševova nerovnost je obecná a někdy její odhady nejsou úzce vázané.

Řešení příkladu:

Chceme odhadnout pravděpodobnost, že \(Z\) nabude hodnoty mimo interval \([\(-10\), \(10\)]\), tedy \(P(|Z| \geq \(10\))\).

Čebyševova nerovnost říká, že pro libovolnou náhodnou veličinu \(Z\) s \(\mu = \(0\) a rozptylem \(\sigma^2 = \(16\) platí:

\(P(|Z – \(0\)| \geq \(10\)) \leq \frac{\(16\)}{\(10^2\)} = \frac{\(16\)}{\(100\)} = \(0{,}16\)\)

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(Z\) bude mimo interval \([\(-10\), \(10\)], je nejvýše \(16\) %.

Tento odhad využívá skutečnost, že hodnoty vzdálenější než \(10\) jednotek od střední hodnoty jsou relativně vzácné vzhledem k rozptylu \(16\).

V praxi by bylo možné očekávat, že skutečná pravděpodobnost je nižší než tento odhad, ale Čebyševova nerovnost poskytuje univerzální horní mez platnou pro všechny rozdělení s danými parametry.

Řešení příkladu:

Interval \((\(40\), \(60\))\) je symetrický vůči střední hodnotě \(\mu = \(50\), protože vzdálenost k hranicím je \(k = \(10\).\)

Pravděpodobnost, že hodnota \(W\) bude mimo tento interval, je

\(P(|W – \(50\)| \geq \(10\))\).

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\(P(|W – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

Dosadíme hodnoty: \(\sigma^2 = \(100\), \(k = \(10\):

\(P(|W – \(50\)| \geq \(10\)) \leq \frac{\(100\)}{\(10^2\)} = \frac{\(100\)}{\(100\)} = \(1\)\)

Výsledek \(1\) říká, že Čebyševova nerovnost nám zde neposkytuje užitečný odhad, protože pravděpodobnost nikdy nemůže být větší než \(1\).

To znamená, že při daném rozptylu a vzdálenosti \(k = \(10\) je nerovnost příliš obecná a nedává smysluplnou hranici.

Přesto víme, že pravděpodobnost být mimo interval není větší než \(1\), což je triviální tvrzení.

Řešení příkladu:

Chceme spočítat \(P(|U| \geq \(6\))\) pomocí Čebyševovy nerovnosti.

Máme \(\mu = \(0\), \(\sigma^2 = \(9\) a \(k = \(6\).\)

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\(P(|U – \(0\)| \geq \(6\)) \leq \frac{\(9\)}{\(6^2\)} = \frac{\(9\)}{\(36\)} = \(0{,}25\)\)

Tedy maximální pravděpodobnost, že hodnota \(U\) leží mimo interval \([\(-6\), \(6\)], je \(25\) %.

V praxi je tato hranice užitečná pro odhad vzácnosti velkých odchylek od střední hodnoty.

Čebyševova nerovnost nezávisí na konkrétním rozdělení, proto je tento odhad platný obecně.

Řešení příkladu:

Interval je symetrický kolem \(\mu = \(100\)\) a vzdálenost k hranicím je \(k = \(20\)\).

Čebyševova nerovnost říká:

\(P(|V – \(100\)| \geq \(20\)) \leq \frac{\(400\)}{\(20^2\)} = \frac{\(400\)}{\(400\)} = \(1\)\)

Výsledek \(1\) znamená, že nerovnost nám zde neposkytuje konkrétní omezení, protože pravděpodobnost nemůže být větší než \(1\).

To poukazuje na to, že pro velký rozptyl a relativně malý interval nemusí být Čebyševova nerovnost příliš užitečná.

Pro lepší odhad by bylo potřeba znát více informací o rozdělení veličiny \(V\).

Řešení příkladu:

Chceme spočítat horní odhad pravděpodobnosti \(P(|T – \(15\)| \geq \(4\))\).

Podle Čebyševovy nerovnosti:

\(P(|T – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

Dosadíme \(\sigma^2 = \(9\)\) a \(k = \(4\)\):

\(P(|T – \(15\)| \geq \(4\)) \leq \frac{\(9\)}{\(16\)} = \(0{,}5625\)\)

Tedy maximální pravděpodobnost, že \(T\) bude vzdáleno od střední hodnoty alespoň \(4\) jednotky, je přibližně \(56{,}25\) %.

Je třeba zdůraznit, že se jedná o horní odhad, skutečná pravděpodobnost může být nižší, ale nikdy vyšší.

Řešení příkladu:

Interval \([\(-9\), \(5\)]\) je symetrický vůči střední hodnotě \(\mu = \(-2\)\), protože vzdálenost k hranicím je \(k = \(7\)\).

Čebyševova nerovnost říká, že pravděpodobnost, že hodnota \(S\) leží mimo tento interval, je nejvýše

\(P(|S – (\!-2\)| \geq \(7\)) \leq \frac{\(49\)}{\(7^2\)} = \frac{\(49\)}{\(49\)} = \(1\)\)

Výsledek \(1\) je triviální a znamená, že nerovnost nám zde nepomáhá zúžit odhad.

To ukazuje, že při velkém rozptylu a poměrně malém intervalu nemůže Čebyševova nerovnost poskytnout smysluplný odhad.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme Čebyševovu nerovnost, která říká, že pro libovolnou náhodnou veličinu \(X\) s konečnou střední hodnotou \(\mu = \mathbb{E}[X]\) a rozptylem \(\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)\) platí pro každé \(k > \(0\)\):

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

V našem případě je \(\mu = \(20\)\) a \(\sigma^2 = \(25\)\). Pro \(k = \(8\)\) dosadíme do nerovnosti:

\( P(|X – \(20\)| \geq \(8\)) \leq \frac{\(25\)}{\(8^2\)} = \frac{\(25\)}{\(64\)} \approx \(0{,}390625\) \)

Tedy pravděpodobnost, že \(X\) se odchýlí o více než \(8\) jednotek od své střední hodnoty, je nejvýše přibližně \(39{,}06\) %.

Nyní uvažujme náhodnou veličinu \(Y = 3X + 5\). Nejprve spočítáme střední hodnotu \(Y\):

\(\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[3X + 5] = 3 \mathbb{E}[X] + 5 = 3 \cdot \(20\) + \(5\) = \(65\)\)

Dále spočítáme rozptyl \(Y\), přičemž platí, že pro konstantu \(a\) a náhodnou veličinu \(X\):

\(\mathrm{Var}(aX + b) = a^2 \mathrm{Var}(X)\)

Tedy

\(\mathrm{Var}(Y) = 3^2 \cdot \mathrm{Var}(X) = \(9\) \cdot \(25\) = \(225\)\)

Chceme odhadnout pravděpodobnost, že hodnota \(Y\) se odchýlí od střední hodnoty \(\mathbb{E}[Y] = \(65\)\) o více než \(10\) jednotek, tedy \(k = \(10\)\).

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\(P(|Y – \(65\)| \geq \(10\)) \leq \frac{\mathrm{Var}(Y)}{\(10^2\)} = \frac{\(225\)}{\(100\)} = \(2{,}25\)\)

Pravděpodobnost ale nemůže být větší než \(1\), proto opravíme horní odhad na \(1\). Tedy

\(P(|Y – \(65\)| \geq \(10\)) \leq \(1\)\)

Tento výsledek ukazuje, že pro dané hodnoty \(k\) a rozptyl je Čebyševova nerovnost příliš volná a nedává smysluplný horní odhad menší než \(1\). Abychom získali užitečnější odhad, můžeme zkusit použít větší hodnotu \(k\) nebo jiné metody odhadu.

Závěr:

– Pravděpodobnost, že \(X\) se odchýlí od střední hodnoty o více než \(8\), je nejvýše přibližně \(39{,}06\) %.

– Pro proměnnou \(Y = 3X + 5\) s parametry danými výše je horní odhad podle Čebyševovy nerovnosti na odchylku více než \(10\) jednotek rovný \(1\), což znamená, že nerovnost neposkytuje užitečný odhad pro tuto hodnotu \(k\).

Řešení příkladu:

Nejprve použijeme Čebyševovu nerovnost na náhodnou veličinu \(X\) s \(\mu = \(0\)\) a \(\sigma^2 = \(16\)\). Nerovnost říká, že pro každé \(k > \(0\)\):

\(P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}\)

V našem případě je \(\mu = \(0\)\), \(\sigma^2 = \(16\)\), a \(k = \(5\)\), tedy:

\(P(|X| \geq \(5\)) \leq \frac{\(16\)}{\(5^2\)} = \frac{\(16\)}{\(25\)} = \(0{,}64\)\)

Tedy pravděpodobnost, že absolutní hodnota \(X\) překročí \(5\), je nejvýše \(64\) %.

Nyní se zaměříme na náhodnou veličinu \(Z = X^2\). Chceme odhadnout pravděpodobnost, že \(Z \geq \(36\)\).

Všimněme si, že událost \(\{Z \geq \(36\)\}\) je ekvivalentní události \(\{|X| \geq \(6\)\}\), protože:

\(Z = X^2 \geq \(36\) \Rightarrow |X| \geq \(6\)\)

Proto lze pravděpodobnost přepsat jako:

\(P(Z \geq \(36\)) = P(|X| \geq \(6\))\)

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\(P(|X| \geq \(6\)) \leq \frac{\(16\)}{\(6^2\)} = \frac{\(16\)}{\(36\)} = \frac{\(4\)}{\(9\)} \approx \(0{,}4444\)\)

Odtud vyplývá, že pravděpodobnost, že \(Z\) překročí hodnotu \(36\), je nejvýše přibližně \(44{,}44\) %.

Pro lepší představu shrneme postup řešení:

1. Pro náhodnou veličinu \(X\) jsme aplikovali základní formu Čebyševovy nerovnosti s danými parametry.
2. Pro náhodnou veličinu \(Z = X^2\) jsme využili ekvivalenci událostí \(Z \geq \(36\)\) a \(|X| \geq \(6\)\), což umožnilo aplikovat Čebyševovu nerovnost přímo na \(X\).

Tento příklad ukazuje, jak lze pomocí vlastností náhodných veličin a transformací aplikovat Čebyševovu nerovnost i na složitější funkce náhodných veličin.