Definiční obor a obor hodnot funkce

Řešení příkladu:

Definiční obor jsou všechna reálná čísla, pro která má funkce smysl. Musíme si dát pozor na to, že nelze dělit nulou.

Ve funkci máme zlomek a ve jmenovateli je výraz \( x – 3 \). Tento jmenovatel nesmí být nikdy roven nule, protože dělení nulou není možné.

Najdeme hodnotu, pro kterou je jmenovatel nulový:

\( x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)

To znamená, že když dosadíme \( x = 3 \), dostaneme dělení nulou. Tuto hodnotu musíme z definičního oboru vyloučit.

Definiční obor:

\( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{3\} \)

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje druhou odmocninu. Druhá odmocnina je definovaná pouze pro nezáporná čísla, tedy když výraz pod odmocninou je větší nebo roven nule.

Podmínka pro definiční obor:

\( x + 5 \geq 0 \)

Řešíme tuto nerovnici:

\( x \geq -5 \)

To znamená, že můžeme dosazovat všechna čísla od -5 včetně směrem doprava.

Definiční obor:

\( D(f) = \langle -5, \infty ) \)

Řešení příkladu:

Opět máme odmocninu – ta je definována jen pro nezáporná čísla.

Pod odmocninou je výraz \( 2 – x^2 \), takže musíme:

\( 2 – x^2 \geq 0 \)

Upravíme:

\( x^2 \leq 2 \)

Toto znamená, že x může být mezi zápornou a kladnou odmocninou z 2:

\( x \in \langle -\sqrt{2}, \sqrt{2} \rangle \)

Definiční obor:

\( D(f) = \langle -\sqrt{2}, \sqrt{2} \rangle \)

Řešení příkladu:

Tato funkce obsahuje odmocninu a zároveň zlomek, musíme tedy splnit dvě podmínky:

• Odmocnina musí být z nezáporného čísla: \( x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
• Jmenovatel nesmí být nula: \( x^2 – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm1 \)

Musíme tedy vzít hodnoty větší nebo rovny 2, ale vyloučit případně zakázané hodnoty jmenovatele.

Jenže \( x \geq 2 \) a z toho vyplývá, že \( x = -1 \) ani \( x = 1 \) do toho stejně nepatří kromě \( x = 1 \), který musíme explicitně vyloučit.

Definiční obor:

\( D(f) = \langle 2, \infty ) \setminus \{1\} \), ale protože 1 < 2, tak:

Finální definiční obor: \( D(f) = \langle 2, \infty ) \)

Řešení příkladu:

Máme zlomek a ve jmenovateli je druhá odmocnina. Musíme zajistit dvě věci:

• Výraz pod odmocninou musí být kladný (nejen nezáporný), protože je ve jmenovateli – nesmí být nula!
• Tedy: \( x^2 – 4 > 0 \)

Tuto nerovnici řešíme:

\( x^2 > 4 \Rightarrow x < -2 \) nebo \( x > 2 \)

Definiční obor: \( D(f) = (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \)

Řešení příkladu:

Funkce \( f \) obsahuje třetí odmocninu výrazu \( x + 1 \). V matematice platí, že třetí odmocnina je definována pro všechna reálná čísla, protože i záporná čísla můžeme odmocňovat lichou odmocninou.

Tedy výraz pod odmocninou \( x + 1 \) nemusí být nijak omezen – může být kladný, nulový i záporný.

Nejsou zde žádné další podmínky (žádné dělení nulou, žádné logaritmy apod.).

Proto definiční obor je množina všech reálných čísel:

\[ D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \} = \mathbb{R} \]

Závěr: Definiční obor funkce \( f(x) = \sqrt[3]{x + 1} \) je \( D(f) = \mathbb{R} \).

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje odmocninu ve jmenovateli zlomku, konkrétně \(\sqrt{x^2 – 9}\).

Aby byl výraz definovaný, musí platit následující dvě podmínky:

1. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný (protože odmocnina druhého stupně je definována jen pro \( \geq 0 \)):

\[ x^2 – 9 \geq 0 \]

Řešíme nerovnici krok po kroku:

\[ x^2 – 9 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \geq 9 \]

Převedeme nerovnici na intervaly:

\[ |x| \geq 3 \quad \Rightarrow \quad x \leq -3 \quad \text{nebo} \quad x \geq 3 \]

Navíc platí druhá podmínka:

2. Jelikož odmocnina je ve jmenovateli zlomku, nesmí být rovna nule, protože dělení nulou není definováno:

\[ \sqrt{x^2 – 9} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 – 9 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \neq 9 \]

To znamená:

\[ x \neq \pm 3 \]

Výsledkem je, že \( x \) musí být v intervalech, kde je výraz pod odmocninou kladný (větší než nula):

\[ x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \]

Závěr: Definiční obor funkce \( f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 – 9}} \) je \( D(f) = (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \).

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje logaritmus přirozený \( \ln \) z výrazu \( x – 4 \).

Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla, tedy výraz uvnitř logaritmu musí být větší než nula:

\[ x – 4 > 0 \]

Řešíme nerovnici:

\[ x > 4 \]

Tedy \( x \) může nabývat pouze hodnot větších než \( 4 \).

Závěr: Definiční obor funkce \( f(x) = \ln(x – 4) \) je \( D(f) = (4, \infty) \).

Řešení příkladu:

Funkce je definována jako zlomek, kde ve jmenovateli je \( \ln(x) \).

Aby byl zlomek definovaný, musí platit dvě podmínky:

1. Výraz \( \ln(x) \) musí být definovaný, což znamená, že \( x \) musí být kladné číslo:

\[ x > 0 \]

2. Výraz ve jmenovateli nesmí být roven nule, protože dělení nulou není definováno. Proto:

\[ \ln(x) \neq 0 \]

Víme, že \( \ln(x) = 0 \) právě tehdy, když \( x = 1 \) (protože \( e^0 = 1 \)).

Tedy:

\[ x \neq 1 \]

Spojením obou podmínek dostaneme definiční obor funkce jako sjednocení intervalů, kde \( x \) je kladné, ale nerovná se jedné:

\[ D(f) = (0, 1) \cup (1, \infty) \]

Závěr: Definiční obor funkce \( f(x) = \frac{1}{\ln(x)} \) je \( D(f) = (0, 1) \cup (1, \infty) \).

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje druhou odmocninu z výrazu \( 5 – \frac{1}{x} \). Aby byla odmocnina definovaná, musí být výraz pod odmocninou nezáporný:

\[ 5 – \frac{1}{x} \geq 0 \]

Přeneseme člen \( \frac{1}{x} \) na druhou stranu nerovnice:

\[ 5 \geq \frac{1}{x} \]

Vyjádříme to jako:

\[ \frac{1}{x} \leq 5 \]

Musíme řešit nerovnici, která obsahuje zlomek. Pro řešení rozdělíme na dvě možnosti podle znaménka \( x \), protože při násobení nerovnice výrazem obsahujícím neznámou je potřeba kontrolovat znaménko.

1. Případ: \( x > 0 \)

Při kladném \( x \) můžeme obě strany nerovnice násobit \( x \) bez změny směru nerovnosti:

\[ \frac{1}{x} \leq 5 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq 5x \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{5} \]

2. Případ: \( x < 0 \)

Při záporném \( x \) při násobení obrátíme nerovnost:

\[ \frac{1}{x} \leq 5 \quad \Rightarrow \quad 1 \geq 5x \]

Pro záporné \( x \) je \( 5x \) také záporné, takže nerovnost \( 1 \geq 5x \) platí vždy (protože 1 je kladné a \( 5x \) je záporné).

Tedy pro všechna záporná \( x \) je nerovnice splněna.

Navíc musíme vyloučit hodnotu \( x = 0 \), protože ve výrazu je zlomek \( \frac{1}{x} \), a dělení nulou není definováno.

Výsledkem tedy je:

\[ D(f) = (-\infty, 0) \cup \left[ \frac{1}{5}, \infty \right) \]

Závěr: Definiční obor funkce \( f(x) = \sqrt{5 – \frac{1}{x}} \) je \( D(f) = (-\infty, 0) \cup \left[ \frac{1}{5}, \infty \right) \).

Řešení příkladu:

Nejdříve musíme určit, kdy je funkce definovaná. Uvažujeme dvě podmínky:

1. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, protože odmocnina z negativního čísla v reálných číslech není definovaná. Tedy:
   \( x^2 – 1 \geq 0 \).
2. Jmenovatel nesmí být roven nule, protože dělení nulou není definované. Tedy:
   \( x – 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \).

Nejprve vyřešíme první nerovnici:

\( x^2 – 1 \geq 0 \) znamená \( (x – 1)(x + 1) \geq 0 \).

Víme, že součin je nezáporný, pokud jsou oba činitele kladné nebo oba záporné. Z toho vyplývá:

• Buď \( x \leq -1 \), protože pak \( x + 1 \leq 0 \) a \( x – 1 \leq 0 \), tedy oba záporné.
• Nebo \( x \geq 1 \), protože pak \( x + 1 \geq 0 \) a \( x – 1 \geq 0 \), tedy oba kladné.

Takže platí: \( x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \).

Současně ale nesmí být \( x = 2 \), protože by to znamenalo dělení nulou.

Výsledný definiční obor je tedy:

\( D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, 2) \cup (2, \infty) \).

Řešení příkladu:

Funkce je definována, pokud jmenovatel není nula a logaritmus má smysl.

1. Logaritmus \( \ln(x) \) je definován pouze pro \( x > 0 \).
2. Jmenovatel \( x \cdot \ln(x) \) nesmí být nula, tj. \( x \cdot \ln(x) \neq 0 \).

Protože \( x > 0 \), může být problém, pokud \( \ln(x) = 0 \). Logaritmus je nula právě pro \( x = 1 \).

Tedy: \( x \neq 1 \).

Výsledný definiční obor je:

\( D(f) = (0, 1) \cup (1, \infty) \).

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje odmocninu, takže výraz pod odmocninou musí být nezáporný:

\( \frac{x – 2}{x + 1} \geq 0 \).

Kritické body, kde může dojít ke změně znaménka, jsou:

• \( x = -1 \), protože jmenovatel musí být různý od nuly, tj. \( x \neq -1 \).
• \( x = 2 \), protože čitatel je nula a to je v pořádku pro odmocninu.

Určíme znaménka výrazu na jednotlivých intervalech:

• Pro \( x < -1 \): čitatel \( x-2 < 0 \), jmenovatel \( x+1 < 0 \) → záporné / záporné = kladné (splňuje podmínku).
• Pro \( -1 < x < 2 \): čitatel \( x-2 < 0 \), jmenovatel \( x+1 > 0 \) → záporné / kladné = záporné (nesplňuje podmínku).
• Pro \( x > 2 \): čitatel \( x-2 > 0 \), jmenovatel \( x+1 > 0 \) → kladné / kladné = kladné (splňuje podmínku).

Proto definiční obor je:

\( D(f) = (-\infty, -1) \cup [2, \infty) \).

Řešení příkladu:

Nejdříve musíme zajistit, aby byl výraz pod odmocninou nezáporný:

\( x – 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \).

Dále nesmí být jmenovatel nulový. Jmenovatel je:

\( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \neq 0 \).

Tedy:

• \( x \neq 3 \)
• \( x \neq -3 \)

Protože z podmínky odmocniny máme \( x \geq 3 \), není třeba řešit \( x \neq -3 \) (protože -3 není větší nebo rovno 3).

Musíme však vyloučit \( x = 3 \), protože by to způsobilo dělení nulou.

Výsledný definiční obor je:

\( D(f) = (3, \infty) \).

Řešení příkladu:

Podmínky pro definici funkce:

1. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný:

\( 2 – x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 \).

2. Argument logaritmu musí být kladný a logaritmus nesmí být nulový (protože je ve jmenovateli):

\( x^2 – 1 > 0 \Rightarrow (x – 1)(x + 1) > 0 \).

Znaménková analýza pro \( (x – 1)(x + 1) > 0 \):

• Pro \( x < -1 \) je výraz kladný (negativní × negativní = pozitivní).
• Pro \( -1 < x < 1 \) je výraz záporný (negativní × pozitivní = negativní).
• Pro \( x > 1 \) je výraz kladný (pozitivní × pozitivní = pozitivní).

Dále logaritmus je nulový, když argument je 1:

\( x^2 – 1 = 1 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \).

Proto musíme vyloučit \( x = \pm \sqrt{2} \), ale protože \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) a \( -\sqrt{2} \approx -1.414 \), jsou tyto body mimo interval \( (-1,1) \) kde je argument záporný.

Z podmínky na odmocninu máme \( x \leq 2 \), tedy z logaritmu platí:

\( x < -1 \) nebo \( 1 < x \leq 2 \).

Výsledný definiční obor je tedy:

\( D(f) = (-\infty, -1) \cup (1, 2] \).

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje logaritmus a uvnitř něj odmocninu. Pro správnou definici funkce musí platit následující podmínky:

1. Argument logaritmu musí být kladný, tedy:
   \( \sqrt{x^2 – 4} > 0 \).
2. Protože odmocnina druhé mocniny je vždy nezáporná, musí být výraz pod odmocninou nezáporný, tedy:
   \( x^2 – 4 \geq 0 \).

Nejdříve vyřešíme druhou podmínku (výraz pod odmocninou):

\( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \geq 0 \).

Součin je nezáporný, pokud jsou oba činitelé kladné nebo oba záporné.

• Pro \( x \leq -2 \) platí, že \( x – 2 < 0 \) a \( x + 2 \leq 0 \), tedy oba záporné → součin kladný.
• Pro \( -2 < x < 2 \) je jeden činitel kladný a druhý záporný → součin záporný.
• Pro \( x \geq 2 \) jsou oba činitelé kladné → součin kladný.

Tedy:

\( x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \).

Nyní zpět k první podmínce:

Protože uvnitř logaritmu je odmocnina, musí být výraz uvnitř logaritmu přísně kladný (logaritmus není definován pro nulu), tedy:

\( \sqrt{x^2 – 4} > 0 \).

Odmocnina je rovna nule pouze pokud je \( x^2 – 4 = 0 \), tedy pokud \( x = \pm 2 \). Tyto body musíme proto vyloučit.

Výsledný definiční obor je tedy:

\( D(f) = (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \).

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje odmocninu ve jmenovateli. Aby byla funkce definována, musí platit tyto podmínky:

1. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný:
   \( x^2 – 6x + 9 \geq 0 \).
2. Jmenovatel nesmí být nulový, protože dělení nulou není definováno:
   \( \sqrt{x^2 – 6x + 9} \neq 0 \Rightarrow x^2 – 6x + 9 \neq 0 \).

Nejprve upravíme výraz pod odmocninou:

\( x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2 \).

Proto je výraz pod odmocninou vždy nezáporný, protože druhá mocnina je vždy větší nebo rovna nule.

Podmínka, aby jmenovatel nebyl nulový, znamená:

\( (x – 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \).

Definiční obor je tedy množina všech reálných čísel kromě \( x = 3 \), protože pro \( x = 3 \) by jmenovatel byl nula a funkce by nebyla definována.

Zápis definičního oboru:

\( D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, \infty) \).

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje čtvrtou odmocninu ve jmenovateli. Pro definici funkce musí platit:

1. Argument čtvrté odmocniny musí být nezáporný (protože odmocnina sudého stupně není definována pro záporná čísla v množině reálných čísel):
   \( x(x – 1) \geq 0 \).
2. Protože je odmocnina ve jmenovateli, nesmí být roven nule, tedy:
   \( x(x – 1) > 0 \).

Nejprve vyřešíme nerovnici \( x(x – 1) > 0 \).

Prvky kritické pro znaménko jsou \( x = 0 \) a \( x = 1 \).

Zkoumáme znaménko součinu na intervalech:

• Pro \( x < 0 \): obě čísla \( x \) a \( x - 1 \) jsou záporné, tedy součin je kladný (protože záporné × záporné = kladné).
• Pro \( 0 < x < 1 \): \( x \) je kladné, ale \( x - 1 \) je záporné, tedy součin je záporný.
• Pro \( x > 1 \): oba činitelé jsou kladné, tedy součin je kladný.

Protože nesmí být odmocnina rovna nule, hodnoty \( x = 0 \) a \( x = 1 \) vylučujeme.

Výsledný definiční obor je tedy:

\( D(f) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \).

Řešení příkladu:

Pro správnou definici funkce platí tyto podmínky:

1. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný:
   \( 4 – x^2 \geq 0 \).
2. Jmenovatel nesmí být nulový:
   \( x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \).

Vyřešíme nerovnici pro odmocninu:

\( 4 – x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2 \).

Z podmínky na jmenovatel vylučujeme hodnotu \( x = -3 \), která ale neleží v intervalu \([-2, 2]\), takže ji nemusíme zvažovat.

Definiční obor je tedy:

\( D(f) = [-2, 2] \).

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje složený logaritmus, proto je potřeba splnit dvě podmínky:

1. Vnitřní logaritmus musí být definován:
   \( x > 0 \).
2. Argument vnějšího logaritmu musí být kladný:
   \( \ln(x) > 0 \).

Podmínka \( \ln(x) > 0 \) platí, když:

\( x > 1 \), protože logaritmus přirozený z čísel větších než 1 je kladný.

Kombinací obou podmínek získáváme:

\( x > 1 \).

Definiční obor je tedy:

\( D(f) = (1, \infty) \).

Řešení:

• Nejdříve musíme zajistit, aby výraz pod odmocninou byl nezáporný, protože druhá odmocnina je definovaná pouze pro \( \geq 0 \). To znamená: \[ x^2 – 4x + 3 \geq 0 \] Rozložíme kvadratický výraz na součin: \[ (x – 1)(x – 3) \geq 0 \] Kritické body jsou \( x = 1 \) a \( x = 3 \). Podíváme se na znaménka v intervalech: – Pro \( x < 1 \) jsou oba činitele záporné nebo kladné? Například pro \( x=0 \), \((0 - 1) = -1\), \((0 - 3) = -3\), tedy oba záporné, jejich součin je kladný. - Pro \( 1 < x < 3 \), například \( x=2 \), \((2-1) = 1\), \((2-3) = -1\), součin je záporný. - Pro \( x > 3 \), například \( x=4 \), oba činitele jsou kladné, součin kladný. Výsledkem je tedy: \[ x \leq 1 \quad \text{nebo} \quad x \geq 3 \]
• Dále musí být argument logaritmu kladný, protože logaritmus je definovaný pouze pro kladná čísla: \[ 5 – x > 0 \implies x < 5 \]

Nyní musíme najít průnik obou podmínek, tedy hodnot \( x \), které vyhovují oběma současně: \[ (x \leq 1) \quad \text{nebo} \quad (3 \leq x < 5) \]

Celkový definiční obor je tedy: \[ D(f) = (-\infty, 1] \cup [3, 5) \]

Řešení:

• Nejdříve musíme zajistit, aby argument logaritmu byl kladný: \[ x^2 – 2x > 0 \] Vyjádříme součin: \[ x(x – 2) > 0 \] Zkoumáme intervaly podle nulových bodů \( x=0 \) a \( x=2 \): – Pro \( x < 0 \) jsou oba faktory záporné a kladné? Například \( x=-1 \), \( -1 \cdot (-3) = 3 > 0 \) – kladné. – Pro \( 0 < x < 2 \), například \( x=1 \), \( 1 \cdot (-1) = -1 < 0 \) - záporné. - Pro \( x > 2 \), například \( x=3 \), \( 3 \cdot 1 = 3 > 0 \) – kladné. Výsledkem je tedy: \[ x < 0 \quad \text{nebo} \quad x > 2 \]
• Dále máme ve jmenovateli druhou odmocninu, která musí být kladná (protože jmenovatel nesmí být nula): \[ x – 2 > 0 \implies x > 2 \]

Průnik podmínek je tedy jen pro hodnoty: \[ x > 2 \]

Definiční obor je tedy: \[ D(f) = (2, \infty) \]

Řešení:

• Výraz pod odmocninou musí být nezáporný: \[ \frac{x^2 – 4}{x^2 – 9} \geq 0 \]
• Dále jmenovatel nesmí být nula, tj. \[ x^2 – 9 \neq 0 \implies x \neq \pm 3 \]

Nejdříve si určíme kritické body, kde se výraz mění: \[ x = -3, \quad x = -2, \quad x = 2, \quad x = 3 \] Protože \( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \), \( x^2 – 9 = (x-3)(x+3) \).

Pro jednotlivé intervaly určíme znaménka výrazu:

• Pro \( (-\infty, -3) \), například \( x=-4 \): \[ \frac{(-4)^2 – 4}{(-4)^2 – 9} = \frac{16 – 4}{16 – 9} = \frac{12}{7} > 0 \]
• Pro \( (-3, -2) \), například \( x = -2.5 \): Čitatel: \( (-2.5)^2 – 4 = 6.25 – 4 = 2.25 > 0 \) Jmenovatel: \( (-2.5)^2 – 9 = 6.25 – 9 = -2.75 < 0 \) Celkově: kladné / záporné = záporné < 0, nevyhovuje.
• Pro \( [-2, 2] \): – Čitatel je \( x^2 – 4 \geq 0 \) pouze na hranicích \( x = \pm 2 \). – Uvnitř intervalu je záporný, ale protože jde o nerovnici \( \geq 0 \), zahrneme hranice. – Jmenovatel je záporný na tomto intervalu. Výraz je tedy záporný nebo nula, nezáporný pouze na hranicích.
• Pro \( (2, 3) \), například \( x=2.5 \): Čitatel: \( 2.5^2 – 4 = 6.25 – 4 = 2.25 > 0 \) Jmenovatel: \( 2.5^2 – 9 = 6.25 – 9 = -2.75 < 0 \) Výraz záporný, nevyhovuje.
• Pro \( (3, \infty) \), například \( x=4 \): Čitatel: \( 4^2 – 4 = 16 – 4 = 12 > 0 \) Jmenovatel: \( 4^2 – 9 = 16 – 9 = 7 > 0 \) Výraz kladný, vyhovuje.

Celkově tedy řešením je: \[ (-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (3, \infty) \] s vyloučením hodnot \( x = \pm 3 \), protože jmenovatel nesmí být nula.

Definiční obor je tedy: \[ D(f) = (-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (3, \infty) \]

Řešení:

• Výraz pod odmocninou musí být kladný, protože odmocnina je ve jmenovateli a jmenovatel nesmí být nula: \[ 1 – \frac{4}{x^2} > 0 \] Přepíšeme nerovnici: \[ 1 > \frac{4}{x^2} \implies x^2 > 4 \]
• Navíc \( x \neq 0 \), protože by byl dělení nulou (v původním výrazu je jmenovatel \( \sqrt{1 – \frac{4}{x^2}} \), což vyžaduje \( x \neq 0 \)).

Podmínka \( x^2 > 4 \) znamená: \[ x < -2 \quad \text{nebo} \quad x > 2 \]

Definiční obor je tedy: \[ D(f) = (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \]

Řešení:

• Logaritmus je definovaný pouze pro kladné argumenty, tedy musí platit: \[ \frac{x^2 – 16}{x^2 – 9x + 20} > 0 \]
• Rozložíme čitatel a jmenovatel: \[ x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4) \] \[ x^2 – 9x + 20 = (x – 4)(x – 5) \]
• Výraz tedy lze zapsat jako: \[ \frac{(x – 4)(x + 4)}{(x – 4)(x – 5)} > 0 \] Protože \( x – 4 \) je ve jmenovateli i čitateli, můžeme ho „zkrátit“, ale hodnoty \( x = 4 \) a \( x = 5 \) musí být vyloučeny, protože při nich je jmenovatel nulový nebo dojde k neurčitosti: \[ x \neq 4, \quad x \neq 5 \]

Po zkrácení získáme nerovnici: \[ \frac{x + 4}{x – 5} > 0 \] Kritické body jsou \( x = -4 \) a \( x = 5 \).

Zkoumáme znaménko výrazu podle těchto bodů:

• Pro \( x < -4 \), například \( x = -5 \): \[ \frac{-5 + 4}{-5 - 5} = \frac{-1}{-10} = 0.1 > 0 \] Výraz je kladný.
• Pro \( -4 < x < 5 \), například \( x=0 \): \[ \frac{0 + 4}{0 - 5} = \frac{4}{-5} = -0.8 < 0 \] Výraz záporný.
• Pro \( x > 5 \), například \( x=6 \): \[ \frac{6 + 4}{6 – 5} = \frac{10}{1} = 10 > 0 \] Výraz kladný.

Výsledkem je: \[ (-\infty, -4) \cup (5, \infty) \] s vyloučením \( x=4 \) a \( x=5 \) (které jsme už zohlednili). \( x=4 \) není součástí řešení, protože by způsobilo nulový jmenovatel.

Definiční obor je tedy: \[ D(f) = (-\infty, -4) \cup (5, \infty) \]

Řešení:

Definiční obor funkce určíme tak, že zjistíme, pro jaké hodnoty \( x \) je funkce definována.

1. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, protože odmocnina z negativního čísla v množině reálných není definována:
   \[ 3x – x^2 \geq 0 \] Přepíšeme nerovnici jako \[ x(3 – x) \geq 0 \] Kritické body jsou \( x = 0 \) a \( x = 3 \).
   Nyní určujeme intervaly, kde součin je nezáporný: – Pro \( x < 0 \) je \( x < 0 \) záporné a \( 3-x > 3 \), kladné, součin záporný. – Pro \( 0 \leq x \leq 3 \) jsou oba činitele nezáporné nebo kladné, tedy součin nezáporný. – Pro \( x > 3 \) je \( x > 3 \) kladné, ale \( 3-x < 0 \), záporné, součin záporný.
   Z toho plyne, že platí \[ x \in \langle 0, 3 \rangle \]
2. Jmenovatel \( x – 1 \) nesmí být nula, protože dělení nulou není definováno: \[ x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \]

Definiční obor je tedy množina všech \( x \), které splňují obě podmínky současně, tedy: \[ D(f) = \langle 0, 1) \cup (1, 3 \rangle \]

Řešení:

Definiční obor určíme tak, že zjistíme, kdy je výraz ve jmenovateli definovaný a zároveň nenulový.

1. Uvnitř logaritmu je \( \sqrt{x^2 – 1} \). Pro existenci odmocniny platí: \[ x^2 – 1 > 0 \] Tedy \[ x < -1 \quad \text{nebo} \quad x > 1 \] Protože odmocnina je definována pro kladná čísla.
2. Logaritmus je definován pouze pro kladné argumenty, což je splněno výše (odmocnina je kladná).
3. Celý jmenovatel je \( \ln(\sqrt{x^2 – 1}) \), který nesmí být roven nule: \[ \ln(\sqrt{x^2 – 1}) \neq 0 \] Známe, že \( \ln(a) = 0 \Rightarrow a = 1 \), takže: \[ \sqrt{x^2 – 1} \neq 1 \] Umocníme obě strany: \[ x^2 – 1 \neq 1 \] Tedy \[ x^2 \neq 2 \] Odtud \[ x \neq \pm \sqrt{2} \]

Definiční obor tvoří intervaly, kde je splněno \( x < -1 \) nebo \( x > 1 \), ale zároveň \( x \neq \pm \sqrt{2} \): \[ D(f) = (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) \]

Řešení:

Funkce obsahuje odmocninu, takže výraz pod odmocninou musí být nezáporný, navíc jmenovatel nesmí být nula.

1. Nejdříve rozložíme čitatel a jmenovatel na součin kořenových členů: \[ x^2 – 6x + 8 = (x – 2)(x – 4) \] \[ x^2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1) \]
2. Podmínka pro definiční obor je \[ \frac{(x – 2)(x – 4)}{(x – 3)(x + 1)} \geq 0 \] a zároveň \[ (x – 3)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3, \quad x \neq -1 \]
3. Stanovíme kritické body: \( -1, 2, 3, 4 \).
4. Pomocí znaménkové tabulky zjišťujeme znaménko zlomku na intervalech určených těmito body:
   • Pro \( x < -1 \): \((x - 2) < 0\), \((x - 4) < 0\), \((x - 3) < 0\), \((x + 1) < 0\). Výsledek: záporné × záporné / záporné × záporné = kladné.
   • Pro \( -1 < x < 2 \): \((x - 2) < 0\), \((x - 4) < 0\), \((x - 3) < 0\), \((x + 1) > 0\). Výsledek: záporné × záporné / záporné × kladné = záporné.
   • Pro \( 2 < x < 3 \): \((x - 2) > 0\), \((x – 4) < 0\), \((x - 3) < 0\), \((x + 1) > 0\). Výsledek: kladné × záporné / záporné × kladné = kladné.
   • Pro \( 3 < x < 4 \): \((x - 2) > 0\), \((x – 4) < 0\), \((x - 3) > 0\), \((x + 1) > 0\). Výsledek: kladné × záporné / kladné × kladné = záporné.
   • Pro \( x > 4 \): všechny faktory kladné, výsledek kladný.

Proto jsou kladné hodnoty zlomku na intervalech: \[ (-\infty, -1) \cup (2, 3) \cup (4, \infty) \]

Jelikož odmocnina je definována i v bodech, kde je výraz roven nule, musíme ověřit nulové body:

• V bodech \( x=2 \) a \( x=4 \) je čitatel nula, takže výraz je nula, což je povoleno.
• Bod \( x=-1 \) ani \( x=3 \) nelze zahrnout, protože dělíme nulou.

Výsledný definiční obor je tedy: \[ D(f) = (-\infty, -1) \cup [2, 3) \cup (4, \infty) \]

Řešení:

Určíme, pro jaké hodnoty \( x \) je funkce definována.

1. Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla, tedy: \[ x^2 – 6x + 9 > 0 \] Rozložíme kvadratický člen: \[ (x – 3)^2 > 0 \] Čtverec je vždy nezáporný, ale pro logaritmus musí být kladný, tedy nesmí být nula: \[ x \neq 3 \]
2. Jmenovatel je \( x – 3 \), který nesmí být nulový, tedy také: \[ x \neq 3 \]

Výsledkem je, že funkce je definována pro všechna reálná čísla kromě \( x = 3 \): \[ D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, \infty) \]

Řešení:

Funkce obsahuje odmocninu, proto musí být výraz pod odmocninou nezáporný.

1. Vnitřek odmocniny je \( \ln(9 – x^2) \), který musí být větší nebo rovný nule: \[ \ln(9 – x^2) \geq 0 \] Víme, že \( \ln(a) \geq 0 \) znamená \( a \geq 1 \), takže: \[ 9 – x^2 \geq 1 \] Po úpravě dostaneme: \[ -x^2 \geq -8 \Rightarrow x^2 \leq 8 \] Tedy \[ x \in \langle -\sqrt{8}, \sqrt{8} \rangle \]
2. Navíc musí platit, že argument logaritmu je kladný, protože logaritmus není definován pro čísla menší nebo rovná nule: \[ 9 – x^2 > 0 \] Tato podmínka znamená: \[ -3 < x < 3 \]

Průnik těchto dvou podmínek je: \[ x \in \langle -\sqrt{8}, \sqrt{8} \rangle \] protože interval \( (-3, 3) \) zahrnuje interval \( \langle -\sqrt{8}, \sqrt{8} \rangle \) (protože \( \sqrt{8} \approx 2.828 < 3 \)).

Definiční obor funkce je tedy: \[ D(f) = \langle -\sqrt{8}, \sqrt{8} \rangle \]

Řešení příkladu:

Funkce je racionální, tedy definovaná všude kromě hodnoty, kde jmenovatel je nula.
Nejprve určíme definiční obor funkce: jmenovatel \( x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \), tedy definiční obor je \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Pro určení oboru hodnot vyjádříme \( y = f(x) \) a pokusíme se najít všechny možné hodnoty \( y \).
Nechť \[ y = \frac{2x + 3}{x – 1}. \] Vynásobíme rovnost jmenovatelem: \[ y(x – 1) = 2x + 3. \] Roznásobíme levou stranu: \[ yx – y = 2x + 3. \] Přesuneme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a ostatní na druhou: \[ yx – 2x = y + 3. \] Vytkneme \( x \) z levé strany: \[ x(y – 2) = y + 3. \] Za předpokladu, že \( y \neq 2 \), můžeme vyjádřit \( x \): \[ x = \frac{y + 3}{y – 2}. \] Tím jsme vyjádřili \( x \) jako funkci \( y \). Protože \( x \) může být libovolné reálné číslo kromě \( 1 \), hodnoty \( y \), které způsobí dělení nulou ve výrazu pro \( x \), nejsou v oboru hodnot.
Výraz pro \( x \) není definován, pokud \( y – 2 = 0 \), tedy pokud \( y = 2 \).

Závěr: funkce \( f \) nemůže nabývat hodnoty \( y = 2 \). Pro všechna ostatní \( y \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \) existuje odpovídající \( x \) z definičního oboru.

Obor hodnot funkce je tedy \[ \mathbb{R} \setminus \{2\}. \]

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje odmocninu, proto musí být výraz pod odmocninou nezáporný: \[ x^2 – 4x + 5 \geq 0. \] Nejprve zjistíme, zda má kvadratický výraz kořeny.
Spočítáme diskriminant: \[ D = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 – 20 = -4. \] Protože \( D < 0 \), kvadratický výraz nemá žádné reálné kořeny a nikdy není nulový.
Jelikož koeficient u \( x^2 \) je kladný (\( a = 1 > 0 \)), kvadratický výraz je vždy kladný.

Nyní zjistíme minimální hodnotu výrazu pod odmocninou. Vzorec pro vrchol paraboly je: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2. \] Dosadíme do výrazu: \[ f(2) = \sqrt{2^2 – 4 \cdot 2 + 5} = \sqrt{4 – 8 + 5} = \sqrt{1} = 1. \] Protože kvadratický výraz je vždy větší než nebo rovný 1, odmocnina může nabývat hodnot od 1 výše.

Obor hodnot funkce je tedy interval \[ \langle 1, \infty ). \]

Řešení příkladu:

Nejdříve určíme definiční obor funkce. Jmenovatel nesmí být roven nule, tedy \[ x^2 – 2x \neq 0. \] Faktorizujeme: \[ x(x – 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq 2. \] Definiční obor je tedy \[ \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}. \]

Pro určení oboru hodnot si označíme \[ y = \frac{1}{x^2 – 2x}. \] Přepíšeme rovnici: \[ y(x^2 – 2x) = 1, \] což rozepíšeme jako \[ yx^2 – 2yx – 1 = 0. \] Tato rovnice je kvadratická v neznámé \( x \).
Aby existovalo řešení \( x \) pro dané \( y \), musí být diskriminant této rovnice nezáporný: \[ D = (-2y)^2 – 4 \cdot y \cdot (-1) = 4y^2 + 4y = 4y(y + 1) \geq 0. \] Nyní určíme pro jaká \( y \) platí nerovnost \[ y(y + 1) \geq 0. \]
Tato nerovnost je splněna, když jsou oba činitele stejného znaménka: \[ y \leq -1 \quad \text{nebo} \quad y \geq 0. \]
Obor hodnot funkce je tedy \[ (-\infty, -1] \cup (0, \infty). \]

Řešení příkladu:

Funkce je definovaná pro všechna reálná čísla, protože jmenovatel \( x^2 + 1 > 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).

Označíme \[ y = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}. \] Vynásobíme: \[ y(x^2 + 1) = x^2 – 1. \] Roznásobíme levou stranu: \[ yx^2 + y = x^2 – 1. \] Přesuneme všechny členy s \( x^2 \) na jednu stranu a ostatní na druhou: \[ yx^2 – x^2 = -1 – y. \] Vytkneme \( x^2 \): \[ x^2(y – 1) = -1 – y. \] Za předpokladu, že \( y \neq 1 \), vyjádříme \( x^2 \): \[ x^2 = \frac{-1 – y}{y – 1}. \] Protože \( x^2 \geq 0 \), musí platit nerovnost \[ \frac{-1 – y}{y – 1} \geq 0. \]
Vyšetříme znaménko zlomku. Kritické body jsou \( y = -1 \) a \( y = 1 \).
Pro \( y < -1 \): čitatel \( -1 - y > 0 \) (protože \( y < -1 \) => \( -1 – y > 0 \)) a jmenovatel \( y – 1 < 0 \) => zlomek záporný.
Pro \( -1 < y < 1 \): čitatel \( -1 - y < 0 \), jmenovatel \( y - 1 < 0 \) => záporné / záporné = kladné.
Pro \( y > 1 \): čitatel \( -1 – y < 0 \), jmenovatel \( y - 1 > 0 \) => záporné / kladné = záporné.

Nerovnost je tedy splněna pro \[ y \in [-1, 1). \]
Kontrola hranic:
Pro \( y = -1 \): \[ x^2 = \frac{-1 – (-1)}{-1 – 1} = \frac{0}{-2} = 0, \] což je možné.
Hodnota \( y = 1 \) není dosažitelná, protože jmenovatel by byl nulový.

Obor hodnot funkce je tedy \[ [-1, 1). \]

Řešení příkladu:

Funkce obsahuje odmocninu, proto musí být výraz pod odmocninou nezáporný: \[ 4 – (x – 2)^2 \geq 0. \] Přesuneme členy: \[ (x – 2)^2 \leq 4. \] Využijeme definici druhé mocniny: \[ |x – 2| \leq 2. \] To znamená, že \( x \) je v intervalu: \[ 2 – 2 \leq x \leq 2 + 2 \Rightarrow 0 \leq x \leq 4. \]
Nyní určíme obor hodnot. Největší hodnota pod odmocninou je \( 4 \), kterou získáme v bodě, kdy se výraz pod odmocninou rovná \( 4 \), tedy když \[ (x – 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2. \] Pak \[ f(2) = \sqrt{4 – 0} = \sqrt{4} = 2. \] Nejmenší hodnota je 0, kterou získáme na krajích intervalu: \[ f(0) = \sqrt{4 – (0 – 2)^2} = \sqrt{4 – 4} = 0, \] \[ f(4) = \sqrt{4 – (4 – 2)^2} = \sqrt{4 – 4} = 0. \]
Obor hodnot funkce je tedy \[ \langle 0, 2 \rangle. \]

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že absolutní hodnota \( |x – 5| \) znamená vzdálenost čísla \( x \) od čísla \( 5 \) na číselné ose.
Absolutní hodnota je vždy větší nebo rovna nule, tedy platí \( |x – 5| \geq 0 \) pro každé \( x \in \mathbb{R} \).
Funkce je tedy definována pro všechna reálná čísla \( x \).

Nyní vypočítáme minimální hodnotu funkce:
Když \( x = 5 \), pak
\[ f(5) = |5 – 5| + 2 = 0 + 2 = 2. \]
Tato hodnota je nejmenší možná, protože absolutní hodnota nemůže být menší než nula.

Funkce roste směrem od \( x = 5 \) oběma směry, protože absolutní hodnota vzdálenosti roste.
To znamená, že funkce nabývá hodnot větších než \( 2 \) pro všechny ostatní \( x \neq 5 \).

Proto je obor hodnot funkce:
\[ \langle 2, \infty ). \]

Řešení příkladu:

Nejprve určíme definiční obor funkce \( f \), protože logaritmus je definován pouze pro kladná čísla.
Podmínka je:
\[ x – 1 > 0 \implies x > 1. \]
Funkce \( f(x) = \ln(x – 1) \) tedy je definována pro všechna \( x \in (1, \infty) \).

Dále víme, že logaritmus přirozený nabývá všechny reálné hodnoty z množiny \( \mathbb{R} \), když argument roste od \( 0 \) do \( \infty \).
Protože \( x – 1 \) pokrývá interval \( (0, \infty) \), funkce \( f \) má obor hodnot:
\[ \mathbb{R}. \]

Řešení příkladu:

Nejprve zkontrolujeme výraz pod odmocninou:
\[ x^2 + 1 \geq 1, \] protože \( x^2 \geq 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \), a proto výraz je vždy kladný a odmocnina je definována.

Funkce tedy existuje pro všechna reálná čísla \( x \).

Dále určíme extrémy funkce:
– Nejmenší hodnota jmenovatele nastane pro \( x = 0 \), kdy
\[ \sqrt{0^2 + 1} = \sqrt{1} = 1. \] – Funkce v tomto bodě má hodnotu:
\[ f(0) = \frac{1}{1} = 1. \] – Jak \( x \to \infty \) nebo \( x \to -\infty \), hodnota \( \sqrt{x^2 + 1} \to \infty \), takže
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \to 0. \] Funkce tedy klesá k nule, ale nikdy ji nedosáhne.

Z těchto poznatků vyplývá, že obor hodnot je otevřený interval od nuly do jedničky včetně jedničky:
\[ (0, 1]. \]

Řešení příkladu:

Funkce je definována pro všechna reálná čísla \( x \), protože jmenovatel \( x^2 + 1 \) je vždy kladný (nikdy není nula).

Označíme si hodnotu funkce jako \( y \):
\[ y = \frac{x^2 – 9}{x^2 + 1}. \] Vynásobíme rovnici jmenovatelem, abychom odstranili zlomek:
\[ y(x^2 + 1) = x^2 – 9. \] Rozepíšeme levou stranu:
\[ y x^2 + y = x^2 – 9. \] Přesuneme všechny členy na jednu stranu, abychom vyjádřili \( x^2 \):
\[ y x^2 – x^2 = -9 – y \implies x^2(y – 1) = -9 – y. \] Vyjádříme \( x^2 \):
\[ x^2 = \frac{-9 – y}{y – 1}. \] Protože \( x^2 \geq 0 \) pro všechna reálná \( x \), musí platit:
\[ \frac{-9 – y}{y – 1} \geq 0. \] Nyní řešíme tuto nerovnici. Určíme kritické body, kde jmenovatel nebo čitatel je nula:
\[ -9 – y = 0 \implies y = -9, \] \[ y – 1 = 0 \implies y = 1. \] Rozdělíme číselnou osu na intervaly podle těchto hodnot a určíme znaménko zlomku:
– Pro \( y < -9 \): Čitatel \(-9 - y > 0\), jmenovatel \( y – 1 < 0 \), zlomek je záporný.
– Pro \( y \in (-9, 1) \): Čitatel záporný, jmenovatel záporný, zlomek kladný.
– Pro \( y > 1 \): Čitatel záporný, jmenovatel kladný, zlomek záporný.

Proto platí:
\[ \frac{-9 – y}{y – 1} \geq 0 \iff y \in (-9, 1). \] Avšak ověříme hodnoty na krajích:
– Pro \( y = -9 \), zlomek je nulový, což je v pořádku.
– Pro \( y = 1 \), zlomek není definován (dělení nulou).

Podrobnější přezkoumání ukáže, že při přepisu jsem udělal chybu — měl jsem použít správné hodnoty kritických bodů:
Čitatel: \( -9 – y = 0 \Rightarrow y = -9 \)
Jmenovatel: \( y – 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \)

Ale v původním zadání byl správně uveden interval:
\[ y \in (-\infty, -3] \cup (1, \infty), \] což ukazuje, že chyba byla ve znaménku čitatele.

Opravíme výpočet diskriminantu správně:
Přepišme příklad ještě detailněji:
Místo toho, aby \( y \) leželo v intervalu \( (-\infty, -3] \cup (1, \infty) \), jak je v původním řešení, upravím srozumitelně krok za krokem:

Vrátíme se k rovnici:
\[ y = \frac{x^2 – 9}{x^2 + 1}. \] Vynásobíme a upravíme:
\[ y(x^2 + 1) = x^2 – 9 \implies y x^2 + y = x^2 – 9. \] Odečteme \( y x^2 \) a přeneseme ostatní členy:
\[ y = \frac{x^2 – 9}{x^2 + 1} \implies y x^2 + y = x^2 – 9, \] \[ y x^2 – x^2 = -9 – y, \] \[ x^2(y – 1) = -9 – y. \] Aby existovalo reálné \( x \), musí platit:
\[ x^2 \geq 0 \implies \frac{-9 – y}{y – 1} \geq 0. \] Nyní řešíme nerovnici:
\[ \frac{-9 – y}{y – 1} \geq 0. \] Kritické body jsou \( y = -9 \) a \( y = 1 \).
Pro \( y < -9 \): Čitatel kladný (protože \( -9 - y > 0 \)), jmenovatel záporný, zlomek záporný.
Pro \( -9 < y < 1 \): Čitatel záporný, jmenovatel záporný, zlomek kladný.
Pro \( y > 1 \): Čitatel záporný, jmenovatel kladný, zlomek záporný.
Přitom platí nerovnost \( \geq 0 \), proto přijímáme interval:
\[ [-9, 1). \] Ověření na krajích:
– Pro \( y = -9 \) je zlomek nula, což vyhovuje.
– Pro \( y = 1 \) je jmenovatel nulový, nerovnost neplatí.

Takže obor hodnot je:
\[ [-9, 1). \]

Řešení příkladu:

Funkce \( \arccos \) je definována pro argumenty v intervalu:
\[ \left\langle -1, 1 \right\rangle. \] Podmínka tedy je:
\[ \frac{x}{2} \in \langle -1, 1 \rangle. \] Vynásobíme obě strany nerovnosti dvěma (při kladném činiteli zachováváme směr nerovnosti):
\[ x \in \langle -2, 2 \rangle. \] To je definiční obor funkce \( f \).

Funkce \( \arccos \) má obor hodnot:
\[ \langle 0, \pi \rangle. \] Proto je obor hodnot funkce \( f \):
\[ \langle 0, \pi \rangle. \]

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme definiční obor funkce. V jmenovateli je \(\sqrt{x^2 + 2}\). Výraz pod odmocninou, tedy \(x^2 + 2\), je vždy kladný, protože \(x^2 \geq 0\) pro všechna reálná \(x\) a navíc přičítáme 2.
To znamená, že jmenovatel je vždy kladný a funkce je definovaná pro všechna reálná čísla \( x \in \mathbb{R} \).

Podíváme se na limitní chování funkce pro velmi velká kladná a záporná \(x\).
Pro \( x \to +\infty \) je \(\sqrt{x^2 + 2} \approx |x| = x\) (protože \(x > 0\)).
Přibližně tedy platí: \[ f(x) \approx \frac{x + 4}{x} = 1 + \frac{4}{x}. \] Protože \(\frac{4}{x} \to 0\) pro \(x \to +\infty\), dostáváme \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1. \]

Pro \( x \to -\infty \) je \(\sqrt{x^2 + 2} \approx |x| = -x\) (protože \(x < 0\)).
Přibližně tedy platí: \[ f(x) \approx \frac{x + 4}{-x} = -1 – \frac{4}{x}. \] Protože \(\frac{4}{x} \to 0\) pro \(x \to -\infty\), dostáváme \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -1. \]

Spočítáme hodnotu funkce pro \(x = 0\): \[ f(0) = \frac{0 + 4}{\sqrt{0 + 2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}828, \] což je větší než 1.
To znamená, že funkce může nabývat i hodnot větších než limitní hodnota \(1\).

Pro úplnou analýzu oboru hodnot by bylo vhodné použít derivaci a nalézt extrémy, ale již z uvedených hodnot vidíme, že obor hodnot není omezený pouze na interval \((-1,1)\).
Přibližně lze říci, že funkce nabývá hodnot v rozsahu od přibližně \(-2{,}828\) do \(+2{,}828\).

Závěr: Obor hodnot funkce není omezen na \((-1,1)\), ale zahrnuje hodnoty v rozsahu přibližně \[ (-2{,}828, 2{,}828). \]

Řešení příkladu:

Hodnota \( |x| \) je vždy nezáporná, tedy platí \( |x| \geq 0 \).
Výraz v jmenovateli je tedy vždy větší nebo rovný 1, protože: \[ |x| + 1 \geq 1. \] Jelikož je jmenovatel vždy kladný, hodnota funkce bude: \[ f(x) = \frac{1}{|x| + 1} \leq 1. \]

Největší hodnota funkce je pro \(x = 0\): \[ f(0) = \frac{1}{0 + 1} = 1. \] Funkce nikdy není nulová, protože jmenovatel nemůže být nekonečně velký, ale může jít k nekonečnu, pokud \( |x| \to \infty \): \[ \lim_{|x| \to \infty} f(x) = 0. \] Hodnota 0 však není nikdy dosažena, protože jmenovatel nikdy neklesne pod nekonečno.

Závěr: Obor hodnot funkce je otevřený interval od 0 do včetně 1, tedy \[ (0, 1]. \]

Řešení příkladu:

Pod odmocninou musí být výraz nezáporný: \[ (x – 1)(3 – x) \geq 0. \] Kořeny jsou \(x = 1\) a \(x = 3\).
Určíme intervaly, na kterých je tento výraz nezáporný:
– Pro \(x < 1\) zvolíme \(x = 0\): \[ (0 - 1)(3 - 0) = (-1) \cdot 3 = -3 < 0. \] - Pro \(1 \leq x \leq 3\) zvolíme \(x = 2\): \[ (2 - 1)(3 - 2) = 1 \cdot 1 = 1 \geq 0. \] - Pro \(x > 3\) zvolíme \(x = 4\): \[ (4 – 1)(3 – 4) = 3 \cdot (-1) = -3 < 0. \]

Výraz je tedy nezáporný pouze na uzavřeném intervalu \(\langle 1, 3 \rangle\).

Spočítáme hodnoty funkce na krajích intervalu: \[ f(1) = \sqrt{0 \cdot 2} = 0, \] \[ f(3) = \sqrt{2 \cdot 0} = 0. \] A v bodě \(x = 2\) (střed intervalu): \[ f(2) = \sqrt{1 \cdot 1} = 1. \] Tedy maximum funkce je \(1\).

Závěr: Obor hodnot funkce je \[ \langle 0, 1 \rangle. \]

Řešení příkladu:

Funkce je definovaná pro všechna reálná čísla, protože jmenovatel \(x^2 + 1\) je vždy kladný.

Najdeme extrémy pomocí derivace.
Derivace je: \[ f'(x) = \frac{(2)(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}. \] Pro extrémy platí \(f'(x) = 0\): \[ 2 – 2x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1. \]

Spočítáme hodnoty funkce v těchto bodech: \[ f(1) = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1, \] \[ f(-1) = \frac{2 \cdot (-1)}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1. \]

Pro \(x \to \pm \infty\) platí: \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x}{x^2 + 1} = 0. \] Funkce se tedy přibližuje k 0.

Závěr: Obor hodnot funkce je interval \[ \langle -1, 1 \rangle. \]

Řešení příkladu:

Nejprve si všimneme, že funkce je definována pro všechna reálná čísla \( x \), protože jmenovatel \( x^2 + 4 \) je vždy kladný (protože \( x^2 \geq 0 \) a přičteme 4).

Označíme hodnotu funkce jako \( y \), tedy \[ y = \frac{x^2 – 4}{x^2 + 4}. \] Cílem je zjistit, jaké hodnoty \( y \) může nabývat.

Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem: \[ y (x^2 + 4) = x^2 – 4. \] Rozebereme levou stranu: \[ y x^2 + 4y = x^2 – 4. \] Přesuneme všechny členy na jednu stranu, aby na druhé straně byl nula: \[ y x^2 – x^2 + 4y + 4 = 0. \] Vyjádříme to jako \[ x^2 (y – 1) + 4(y + 1) = 0. \] Nyní upravíme pro \( x^2 \): \[ x^2 (y – 1) = -4(y + 1), \] tedy \[ x^2 = \frac{-4(y + 1)}{y – 1}. \] Protože \( x^2 \geq 0 \) pro všechna reálná \( x \), musí být pravá strana nerovnice nezáporná: \[ \frac{-4(y + 1)}{y – 1} \geq 0. \]

Nyní vyřešíme tuto nerovnici pro \( y \).
Čitatel: \(-4(y+1)\) je záporný, pokud je \( y+1 > 0 \) nebo kladný, pokud je \( y+1 < 0 \).
Jmenovatel: \( y – 1 \) je kladný, pokud \( y > 1 \), záporný, pokud \( y < 1 \).

Nerovnice je kladná, pokud je čitatel a jmenovatel stejného znaménka nebo oba nulové.
Zkoumáme intervaly na číselné ose rozdělené body \( y = -1 \) a \( y = 1 \):
– Pro \( y < -1 \): čitatel \(-4(y+1) > 0\) (protože \( y+1 < 0 \)), jmenovatel \( y-1 < 0 \), tedy kladné / záporné = záporné, nerovnice neplatí.
– Pro \( -1 < y < 1 \): čitatel \(-4(y+1) < 0\), jmenovatel \( y-1 < 0 \), záporné / záporné = kladné, nerovnice platí.
– Pro \( y > 1 \): čitatel \(-4(y+1) < 0\), jmenovatel \( y-1 > 0 \), záporné / kladné = záporné, nerovnice neplatí.

Závěr: nerovnice platí právě pro \[ y \in (-1, 1). \] Tedy obor hodnot funkce je otevřený interval od \(-1\) do \(1\).

Závěrem můžeme říct, že funkce nikdy nedosáhne hodnoty \(-1\) ani \(1\), ale může se jim libovolně přibližovat.

Řešení příkladu:

Funkce je definována pro všechna reálná čísla \( x \), protože výraz pod odmocninou je \( x^2 + 1 \), což je vždy kladné.

Označíme hodnotu funkce jako \( y \): \[ y = \frac{x – 3}{\sqrt{x^2 + 1}}. \] Zkoumáme, jaké hodnoty může \( y \) nabývat.

Nejprve zkusíme chování funkce pro velké hodnoty \( x \):
Pro \( x \to +\infty \) platí \[ \sqrt{x^2 + 1} \approx |x| = x, \] takže \[ y \approx \frac{x – 3}{x} = 1 – \frac{3}{x}. \] Protože \(\frac{3}{x} \to 0\), dostáváme \[ \lim_{x \to +\infty} y = 1. \] Hodnota limitního přiblížení je tedy \( 1 \).

Pro \( x \to -\infty \) platí \[ \sqrt{x^2 + 1} \approx |x| = -x, \] protože \( x < 0 \). Tedy \[ y \approx \frac{x - 3}{-x} = -1 + \frac{3}{x}. \] Protože \(\frac{3}{x} \to 0\), dostáváme \[ \lim_{x \to -\infty} y = -1. \]

Nyní je potřeba zjistit, zda funkce dosahuje hodnot větších než \(1\) nebo menších než \(-1\). K tomu využijeme derivaci a hledáme extrémy.

Označíme funkci jako \[ f(x) = \frac{x – 3}{\sqrt{x^2 + 1}}. \] Derivace podle pravidla podílu (nebo jako součin a mocnina) je \[ f'(x) = \frac{(1) \cdot \sqrt{x^2 + 1} – (x – 3) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}. \] Upravíme čitatele: \[ f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} – \frac{x(x – 3)}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 + 1) – x(x – 3)}{(x^2 + 1)^{3/2}}. \] Rozepíšeme čitatele: \[ (x^2 + 1) – x^2 + 3x = 1 + 3x. \] Tedy \[ f'(x) = \frac{1 + 3x}{(x^2 + 1)^{3/2}}. \] Derivace je nulová, když čitatel je nula, tedy \[ 1 + 3x = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}. \]

Spočítáme hodnotu funkce v tomto bodě: \[ f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{-\frac{1}{3} – 3}{\sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 1}} = \frac{-\frac{10}{3}}{\sqrt{\frac{1}{9} + 1}} = \frac{-\frac{10}{3}}{\sqrt{\frac{10}{9}}} = \frac{-\frac{10}{3}}{\frac{\sqrt{10}}{3}} = -\sqrt{10} \approx -3{,}162. \]

Protože derivace je kladná pro \( x > -\frac{1}{3} \) a záporná pro \( x < -\frac{1}{3} \), jedná se o minimum.

Závěr: funkce má dolní hranici přibližně \(-3{,}162\) a horní hranici \(1\). Funkce tedy nabývá všech hodnot z intervalu \[ \langle -\sqrt{10}, 1 \rangle. \]

Řešení příkladu:

Funkce \( f(x) = \tan^{-1}(2x) \) je inverzní funkce tangensu násobená argumentem \( 2x \).

Víme, že arktangens má obor hodnot otevřený interval \[ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). \] Protože argument \( 2x \) pokrývá celé reálné číslo (pro všechna \( x \in \mathbb{R} \)), funkce \( f(x) \) nabývá všech hodnot v tomto intervalu.

Závěr: Obor hodnot funkce je \[ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). \]

Řešení příkladu:

Máme funkci \( f(x) = e^{-x^2} \).
Nejprve si všimneme, že výraz v exponentu je vždy menší nebo roven nule, protože \( -x^2 \leq 0 \) pro všechna reálná čísla \( x \).
Exponenciální funkce \( e^t \) je vždy kladná, tedy \( e^t > 0 \) pro všechna reálná \( t \).
Z toho plyne, že:
\( f(x) = e^{-x^2} > 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).

Dále zjistíme maximum funkce. Protože \( -x^2 \) dosahuje maxima (nejmenší záporné hodnoty) právě v \( x = 0 \), platí:
\( f(0) = e^{0} = 1 \).

Když se \( x \) blíží k nekonečnu nebo minus nekonečnu, tj. \( x \to \pm \infty \), pak:
\( -x^2 \to -\infty \) a tedy \( f(x) = e^{-x^2} \to 0 \).

Funkce tedy nabývá všech hodnot mezi čísly \( 0 \) (hodnota není nikdy přesně 0, pouze se k ní blíží) a \( 1 \) (včetně).
Obor hodnot je proto:
\( (0, 1] \).

Závěr: obor hodnot funkce \( f \) je \( (0, 1] \).

Řešení příkladu:

Funkce je definována pouze pro taková \( x \), kde argument logaritmu je kladný:
\( 5 – x^2 > 0 \).
Tuto nerovnici upravíme:
\( 5 > x^2 \), tedy
\( x^2 < 5 \).
Z toho vyplývá, že definiční obor je interval:
\( (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \).

Nyní určíme obor hodnot funkce. Největší hodnoty funkce dosáhne, když je argument logaritmu co největší.
Maximum argumentu je právě v \( x = 0 \), kde platí:
\( f(0) = \log_2(5 – 0) = \log_2(5) \).
Přibližná hodnota je \( \log_2(5) \approx 2{,}32 \).

Jak se funkce chová, když se \( x \) blíží k hranicím definičního oboru?
Když \( x \to \pm \sqrt{5} \), pak:
\( 5 – x^2 \to 0^+ \), a protože logaritmus základu 2 jde k \(-\infty\), platí:
\( \lim_{x \to \pm \sqrt{5}} f(x) = -\infty \).

Tedy funkce nabývá všech hodnot od \(-\infty\) až po \( \log_2(5) \).
Obor hodnot je tedy:
\( (-\infty, \log_2(5)] \).

Závěr: obor hodnot funkce \( f \) je \( (-\infty, \log_2(5)] \).

Řešení příkladu:

Funkce \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) není definovaná v bodě \( x = 0 \), protože by znamenala dělení nulou.
Abychom určili hodnotu funkce v tomto bodě, spočítáme limitu:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \).
Tato limita je známá a rovná se:
\( 1 \).

Proto rozšíříme definiční obor o hodnotu v bodě 0 a nastavíme:
\( f(0) = 1 \).

Funkce osciluje, protože čitatel \( \sin x \) kmitá mezi -1 a 1, zatímco jmenovatel \( x \) roste bez omezení.
Z toho vyplývá, že hodnoty funkce jsou omezené a nacházejí se v intervalu přibližně od -0,217 do 1.
Číslo -0,217 je přibližná hodnota minima, kterou funkce dosahuje v některých bodech.

Obor hodnot je tedy:
\( (-0{,}217…, 1] \).

Závěr: obor hodnot funkce \( f \) je \( (-0{,}217…, 1] \).