1. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Chceme zjistit, zda je polynom \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x + 1 \). To znamená, že hledáme, zda existuje polynom \( q(x) \), pro který platí:
\( f(x) = g(x) \cdot q(x) \)
Nejprve použijeme dělení mnohočlenu: začneme dělením hlavního členu. Vydělíme první členy:
\( \frac{x^2}{x} = x \)
Nyní vynásobíme:
\( x \cdot (x + 1) = x^2 + x \)
Odečteme od původního polynomu:
\( (x^2 + 3x + 2) – (x^2 + x) = 2x + 2 \)
Pokračujeme stejným způsobem. Vydělíme:
\( \frac{2x}{x} = 2 \Rightarrow 2 \cdot (x + 1) = 2x + 2 \)
Odečteme:
\( (2x + 2) – (2x + 2) = 0 \)
Zbytek je 0, a tedy dělení proběhlo beze zbytku. To znamená, že \( x + 1 \) je skutečně dělitelem polynomu \( x^2 + 3x + 2 \).
Výsledný podíl je \( q(x) = x + 2 \), a tedy:
\( x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \)
Závěr: Polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \).
2. Je polynom \( f(x) = x^3 + x^2 – x – 1 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x + 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Chceme ověřit dělitelnost pomocí tzv. dělitelnosti kořenem. Pokud je \( x = -1 \) kořenem polynomu \( f(x) \), pak \( x + 1 \) je jeho dělitelem.
Vypočítáme hodnotu \( f(-1) \):
\( f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 – (-1) – 1 = -1 + 1 + 1 – 1 = 0 \)
Protože \( f(-1) = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořenem \( f(x) \), tedy \( x + 1 \) je dělitelem.
Pro ověření můžeme provést také dělení polynomů:
Dělíme \( x^3 + x^2 – x – 1 \) polynomem \( x + 1 \).
První člen: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \Rightarrow x^2 \cdot (x + 1) = x^3 + x^2 \)
Odečteme: \( (x^3 + x^2 – x – 1) – (x^3 + x^2) = -x – 1 \)
Pokračujeme: \( \frac{-x}{x} = -1 \Rightarrow -1 \cdot (x + 1) = -x – 1 \)
Odečteme: \( (-x – 1) – (-x – 1) = 0 \)
Zbytek je opět 0 \Rightarrow dělitelnost potvrzena.
3. Rozhodněte, zda je polynom \( f(x) = x^4 – 1 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 – 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Polynom \( x^4 – 1 \) je rozdíl dvou čtverců: \( x^4 – 1 = (x^2)^2 – 1^2 = (x^2 – 1)(x^2 + 1) \).
Vidíme, že \( x^2 – 1 \) je přímo součástí rozkladu.
Dále můžeme rozepsat i \( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \), takže:
\( x^4 – 1 = (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1) \)
Z toho plyne, že polynom \( x^2 – 1 \) skutečně dělí polynom \( x^4 – 1 \).
4. Rozhodněte, zda je polynom \( f(x) = x^3 – 2x^2 – x + 2 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x – 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme, zda je \( x = 2 \) kořenem polynomu \( f(x) \). Dosadíme:
\( f(2) = (2)^3 – 2(2)^2 – 2 + 2 = 8 – 8 – 2 + 2 = 0 \)
Protože \( f(2) = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořenem \( f(x) \), tedy \( x – 2 \) je jeho dělitelem.
Pro úplnost provedeme dělení polynomů:
Dělíme \( x^3 – 2x^2 – x + 2 \) polynomem \( x – 2 \):
\( \frac{x^3}{x} = x^2 \Rightarrow x^2(x – 2) = x^3 – 2x^2 \)
Odečteme: \( (x^3 – 2x^2 – x + 2) – (x^3 – 2x^2) = -x + 2 \)
\( \frac{-x}{x} = -1 \Rightarrow -1(x – 2) = -x + 2 \)
Odečteme: \( (-x + 2) – (-x + 2) = 0 \)
Zbytek je 0, takže dělení proběhlo beze zbytku. Dělení je platné.
Polynom \( f(x) \) lze rozložit jako:
\( f(x) = (x – 2)(x^2 – 1) = (x – 2)(x – 1)(x + 1) \)
5. Je polynom \( f(x) = x^3 + 2x^2 + 4x + 8 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x + 2 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověříme pomocí dosazení: \( x = -2 \)
\( f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + 4(-2) + 8 = -8 + 8 – 8 + 8 = 0 \)
Protože \( f(-2) = 0 \Rightarrow x + 2 \) je dělitelem.
Dělení:
\( \frac{x^3}{x} = x^2 \Rightarrow x^2(x + 2) = x^3 + 2x^2 \)
Odečteme: \( (x^3 + 2x^2 + 4x + 8) – (x^3 + 2x^2) = 4x + 8 \)
\( \frac{4x}{x} = 4 \Rightarrow 4(x + 2) = 4x + 8 \)
Odečteme: \( (4x + 8) – (4x + 8) = 0 \)
Zbytek je 0. Dělení je možné.
Polynom lze rozložit: \( f(x) = (x + 2)(x^2 + 4) \)
6. Rozhodněte, zda je \( f(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dosadíme \( x = -1 \):
\( f(-1) = 1 – 4 + 6 – 4 + 1 = 0 \Rightarrow x + 1 \) je dělitelem.
Dělení: začneme:
\( \frac{x^4}{x} = x^3 \Rightarrow x^3(x + 1) = x^4 + x^3 \)
Odečteme: \( 4x^3 – x^3 = 3x^3 \), pokračujeme:
\( \frac{3x^3}{x} = 3x^2 \Rightarrow 3x^2(x + 1) = 3x^3 + 3x^2 \)
Odečteme: \( 6x^2 – 3x^2 = 3x^2 \), pokračujeme:
\( \frac{3x^2}{x} = 3x \Rightarrow 3x(x + 1) = 3x^2 + 3x \)
Odečteme: \( 4x – 3x = x \), pokračujeme:
\( \frac{x}{x} = 1 \Rightarrow 1(x + 1) = x + 1 \)
Odečteme: \( 1 – 1 = 0 \)
Rozklad: \( f(x) = (x + 1)^4 \)
7. Je \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 4 \) dělitelný polynomem \( x – 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dosadíme \( x = 1 \):
\( f(1) = 1 – 5 + 4 = 0 \Rightarrow x – 1 \) je dělitelem.
Dělení polynomem \( x – 1 \): použijeme syntetické dělení:
Poznamenejme si koeficienty: \( 1, 0, -5, 0, 4 \)
Postupujeme podle algoritmu. Dostaneme nový polynom:
\( (x – 1)(x^3 + x^2 – 4x – 4) \)
8. Rozložte polynom \( x^3 – 3x^2 + 3x – 1 \) a zjistěte, zda je dělitelný \( x – 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Všimněme si, že se jedná o známý vzorec:
\( x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = (x – 1)^3 \Rightarrow x – 1 \) je dělitelem.
9. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^5 – x \) dělitelný \( x \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( f(x) = x^5 – x = x(x^4 – 1) \Rightarrow x \) je dělitelem.
Dále: \( x^4 – 1 = (x^2 – 1)(x^2 + 1) = (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1) \)
Celkový rozklad: \( x(x – 1)(x + 1)(x^2 + 1) \)
10. Rozhodněte, zda je \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) dělitelný \( x + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jedná se o rozvoj \( (x + 1)^3 \Rightarrow f(x) = (x + 1)^3 \)
Polynom \( f(x) \) je tedy dělitelný \( x + 1 \), podíl je \( (x + 1)^2 \)
11. Rozhodněte, zda je polynom \( f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x – 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozpoznáme, že polynom \( f(x) \) vypadá jako rozvoj mocniny binomu. Ověříme, zda platí:
\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \)
Rozvoj souhlasí, tedy \( f(x) = (x – 1)^4 \Rightarrow f(x) \) je dělitelný \( x – 1 \)
Výsledný podíl je \( (x – 1)^3 \)
12. Je polynom \( f(x) = x^5 – 3x^4 + 3x^3 – x \) dělitelný polynomem \( x \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Každý člen polynomu obsahuje faktor \( x \), takže můžeme vytknout:
\( f(x) = x(x^4 – 3x^3 + 3x^2 – 1) \Rightarrow f(x) \) je dělitelný \( x \)
Podíl je \( x^4 – 3x^3 + 3x^2 – 1 \)
13. Rozhodněte, zda je \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \) dělitelný polynomem \( x + 1 \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dosadíme \( x = -1 \Rightarrow f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 3 – 3 + 2 = 1 \)
\( f(-1) \ne 0 \Rightarrow x + 1 \) není dělitelem
14. Rozložte \( f(x) = x^4 – 1 \) a zjistěte všechny lineární dělitele.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve použijeme vzorec rozdílu čtvrtých mocnin:
\( x^4 – 1 = (x^2 – 1)(x^2 + 1) = (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1) \)
Lineární dělitele jsou \( x – 1 \) a \( x + 1 \)
Proto \( f(x) \) je dělitelný těmito dvěma lineárními polynomy
15. Je polynom \( f(x) = x^3 – x^2 – x + 1 \) dělitelný polynomem \( x – 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dosadíme \( x = 1 \Rightarrow f(1) = 1 – 1 – 1 + 1 = 0 \Rightarrow x – 1 \) je dělitelem
Dělíme dlouhým dělením:
\( \frac{x^3}{x} = x^2 \), pak:
\( x^2(x – 1) = x^3 – x^2 \), odečteme: \( -x + 1 \)
\( \frac{-x}{x} = -1 \Rightarrow -1(x – 1) = -x + 1 \), odečteme: \( 0 \)
Podíl je \( x^2 – 1 \Rightarrow f(x) = (x – 1)(x^2 – 1) = (x – 1)^2(x + 1) \)
16. Rozhodněte, zda je \( f(x) = x^6 – 1 \) dělitelný \( x^2 – 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozklad \( x^6 – 1 = (x^3 – 1)(x^3 + 1) \), dále:
\( x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1) \), \( x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) \)
Takže: \( f(x) = (x – 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1) \)
\( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \Rightarrow\) je dělitelem \( f(x) \)
17. Rozložte \( f(x) = x^3 + x^2 – 4x – 4 \) a určete lineární dělitele.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: \( x = 1 \Rightarrow f(1) = 1 + 1 – 4 – 4 = -6 \), \( x = -1 \Rightarrow -1 + 1 + 4 – 4 = 0 \)
\( x = -1 \) je kořen \(\Rightarrow\) dělíme \( f(x) \) polynomem \( x + 1 \)
Dělení dává podíl \( x^2 – 4 \Rightarrow f(x) = (x + 1)(x^2 – 4) = (x + 1)(x – 2)(x + 2) \)
18. Je \( f(x) = x^4 – 2x^2 + 1 \) dělitelný \( x^2 – 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( f(x) = (x^2 – 1)^2 \Rightarrow f(x) \) je dělitelný \( x^2 – 1 \)
Výsledný podíl je \( x^2 – 1 \)
19. Určete, zda je \( f(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \) dělitelný \( x + 1 \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dosadíme \( x = -1 \Rightarrow f(-1) = -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 0 \Rightarrow x + 1 \) je dělitelem
Dělení polynomu ukáže podíl: \( x^4 + x^2 + 1 \)
20. Je \( f(x) = x^4 + 1 \) dělitelný \( x^2 + 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozložme \( x^4 + 1 = (x^2 + 1)^2 – 2x^2 \Rightarrow \) není snadno dělitelný \( x^2 + 1 \)
Provedeme dělení:
\( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \Rightarrow x^2(x^2 + 1) = x^4 + x^2 \)
Odečteme: \( (x^4 + 1) – (x^4 + x^2) = -x^2 + 1 \)
\( \frac{-x^2}{x^2} = -1 \Rightarrow -1(x^2 + 1) = -x^2 – 1 \)
Odečteme: \( -x^2 + 1 – (-x^2 – 1) = 2 \Rightarrow\) zbytek \ne \(0 \)
Dělení má nenulový zbytek, tedy \( f(x) \) není dělitelný \( x^2 + 1 \)
21. Je \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 4 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 – 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomme, že \( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \). Aby byl polynom \( f(x) \) dělitelný \( x^2 – 1 \), musí být dělitelný jak \( x – 1 \), tak \( x + 1 \).
Dosadíme hodnoty do \( f(x) \):
\( f(1) = 1^4 – 5 \cdot 1^2 + 4 = 1 – 5 + 4 = 0 \Rightarrow x – 1 \) je dělitelem.
\( f(-1) = (-1)^4 – 5 \cdot (-1)^2 + 4 = 1 – 5 + 4 = 0 \Rightarrow x + 1 \) je také dělitelem.
Protože obě lineární části jsou dělitelé, i jejich součin \( x^2 – 1 \) dělí \( f(x) \).
Pro jistotu provedeme klasické dělení mnohočlenů:
Dělíme \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 4 \) polynomem \( x^2 – 1 \).
První člen dělení: \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \Rightarrow x^2(x^2 – 1) = x^4 – x^2 \)
Odečteme: \( (x^4 – 5x^2 + 4) – (x^4 – x^2) = -4x^2 + 4 \)
Druhý člen dělení: \( \frac{-4x^2}{x^2} = -4 \Rightarrow -4(x^2 – 1) = -4x^2 + 4 \)
Odečteme: \( (-4x^2 + 4) – (-4x^2 + 4) = 0 \Rightarrow\) zbytek je \(0 \)
Dělení tedy proběhlo beze zbytku a výsledkem je \( x^2 – 4 \), což potvrzuje, že \( f(x) \) je dělitelný \( x^2 – 1 \).
22. Rozhodněte, zda je \( f(x) = x^5 – x^4 – x + 1 \) dělitelný \( g(x) = x^2 – 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme dělitelnost lineárními činiteli \( x-1 \) a \( x+1 \) z faktorizace \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Pro \( x=1 \):
\( f(1) = 1 – 1 – 1 + 1 = 0 \Rightarrow x – 1 \) je dělitelem.
Pro \( x=-1 \):
\( f(-1) = (-1)^5 – (-1)^4 – (-1) + 1 = -1 – 1 + 1 + 1 = 0 \Rightarrow x + 1 \) je dělitelem.
Jelikož \( f(x) \) má kořeny odpovídající lineárním dělitelům \( g(x) \), \( g(x) \) pravděpodobně dělí \( f(x) \).
Pro přesnost provedeme dělení polynomů:
Dělíme \( f(x) = x^5 – x^4 – x + 1 \) polynomem \( g(x) = x^2 – 1 \).
První člen dělení: \( \frac{x^5}{x^2} = x^3 \Rightarrow x^3(x^2 – 1) = x^5 – x^3 \).
Odečteme: \( (x^5 – x^4 – x + 1) – (x^5 – x^3) = -x^4 + x^3 – x + 1 \).
Druhý člen dělení: \( \frac{-x^4}{x^2} = -x^2 \Rightarrow -x^2(x^2 – 1) = -x^4 + x^2 \).
Odečteme: \( (-x^4 + x^3 – x + 1) – (-x^4 + x^2) = x^3 – x^2 – x + 1 \).
Třetí člen dělení: \( \frac{x^3}{x^2} = x \Rightarrow x(x^2 – 1) = x^3 – x \).
Odečteme: \( (x^3 – x^2 – x + 1) – (x^3 – x) = -x^2 + 1 \).
Čtvrtý člen dělení: \( \frac{-x^2}{x^2} = -1 \Rightarrow -1(x^2 – 1) = -x^2 + 1 \).
Odečteme: \( (-x^2 + 1) – (-x^2 + 1) = 0 \Rightarrow\) zbytek je \(0 \).
Výsledkem dělení je \( x^3 – x^2 + x – 1 \) a zbytek \(0\), proto \( f(x) \) je dělitelný \( g(x) \).
23. Je \( f(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \) dělitelný \( g(x) = x + 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Polynom \( f(x) \) připomíná vzorec pro mocninu binomu \( (x + 1)^4 \), což lze ověřit:
\( (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \), což je přesně \( f(x) \).
Proto \( f(x) \) lze zapsat jako \( (x + 1)^4 \).
Dělení polynomu \( f(x) \) polynomem \( g(x) = x + 1 \) znamená zjistit, zda \( (x + 1) \) je dělitelem \( f(x) \).
Dosadíme kořen \( x = -1 \) do \( f(x) \):
\( f(-1) = (-1)^4 + 4(-1)^3 + 6(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 1 – 4 + 6 – 4 + 1 = 0 \Rightarrow x + 1 \) je dělitelem.
Pro podrobné potvrzení provedeme dělení polynomů:
Dělíme \( f(x) \) polynomem \( x + 1 \) pomocí Hornerovy metody:
Koeficienty \( f(x) \): 1, 4, 6, 4, 1
Dosadíme \( -1 \):
První koeficient: \(1\)
Druhý: \( 4 + (-1) \times 1 = 4 – 1 = 3 \)
Třetí: \( 6 + (-1) \times 3 = 6 – 3 = 3 \)
Čtvrtý: \( 4 + (-1) \times 3 = 4 – 3 = 1 \)
Pátý: \( 1 + (-1) \times 1 = 1 – 1 = 0 \)
Zbytek je 0, takže dělení proběhlo beze zbytku a \( x + 1 \) je dělitelem \( f(x) \).
24. Je polynom \( f(x) = x^3 – 3x + 2 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x – 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Abychom zjistili, zda je \( f(x) \) dělitelný \( g(x) = x – 1 \), stačí zjistit, zda \( x = 1 \) je kořenem \( f(x) \).
Dosadíme \( x = 1 \):
\( f(1) = 1^3 – 3 \cdot 1 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0 \Rightarrow \) polynom \( f(x) \) má kořen \( x=1 \).
To znamená, že \( x – 1 \) dělí \( f(x) \).
Pro důkladnější analýzu můžeme provést dělení polynomů:
Dělíme \( f(x) = x^3 – 3x + 2 \) polynomem \( x – 1 \).
První člen dělení: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \Rightarrow x^2(x – 1) = x^3 – x^2 \).
Odečteme: \( (x^3 – 3x + 2) – (x^3 – x^2) = x^2 – 3x + 2 \).
Druhý člen dělení: \( \frac{x^2}{x} = x \Rightarrow x(x – 1) = x^2 – x \).
Odečteme: \( (x^2 – 3x + 2) – (x^2 – x) = -2x + 2 \).
Třetí člen dělení: \( \frac{-2x}{x} = -2 \Rightarrow -2(x – 1) = -2x + 2 \).
Odečteme: \( (-2x + 2) – (-2x + 2) = 0 \Rightarrow\) zbytek je \(0\).
Výsledkem dělení je \( x^2 + x – 2 \), což potvrzuje, že \( f(x) \) je dělitelný \( x – 1 \).
25. Je \( f(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \) dělitelný \( g(x) = x^2 + x + 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Abychom zjistili, zda je \( f(x) \) dělitelný \( g(x) = x^2 + x + 1 \), provedeme dělení mnohočlenů.
Dělíme \( f(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \) polynomem \( g(x) = x^2 + x + 1 \).
První člen dělení: \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \Rightarrow x^2(x^2 + x + 1) = x^4 + x^3 + x^2 \).
Odečteme: \( (x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1) – (x^4 + x^3 + x^2) = x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \).
Druhý člen dělení: \( \frac{x^3}{x^2} = x \Rightarrow x(x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x \).
Odečteme: \( (x^3 + 2x^2 + 2x + 1) – (x^3 + x^2 + x) = x^2 + x + 1 \).
Třetí člen dělení: \( \frac{x^2}{x^2} = 1 \Rightarrow 1(x^2 + x + 1) = x^2 + x + 1 \).
Odečteme: \( (x^2 + x + 1) – (x^2 + x + 1) = 0 \Rightarrow\) zbytek je \(0 \).
Výsledkem dělení je \( x^2 + x + 1 \) a zbytek \(0\), což znamená, že \( f(x) \) je dělitelný \( g(x) \).
26. Rozhodněte, zda je \( f(x) = x^5 + x^4 – x – 1 \) dělitelný \( g(x) = x^2 + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, zda \( f(x) \) má kořeny odpovídající kořenům polynomu \( g(x) = x^2 + 1 \).
Polynom \( g(x) \) má komplexní kořeny \( x = i \) a \( x = -i \).
Dosadíme \( x = i \) do \( f(x) \):
\( f(i) = i^5 + i^4 – i – 1 \).
Vypočítáme jednotlivé mocniny:
\( i^4 = 1 \), \( i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i \).
Dosadíme: \( f(i) = i + 1 – i – 1 = 0 \).
Analogicky pro \( x = -i \):
\( (-i)^4 = 1 \), \( (-i)^5 = (-i)^4 \cdot (-i) = 1 \cdot (-i) = -i \).
\( f(-i) = -i + 1 + i – 1 = 0 \).
Protože \( f(x) \) má oba kořeny polynomu \( g(x) \), polynom \( g(x) \) je dělitelem \( f(x) \).
Pro jistotu provedeme dělení polynomů:
Dělíme \( f(x) = x^5 + x^4 – x – 1 \) polynomem \( g(x) = x^2 + 1 \).
První člen: \( \frac{x^5}{x^2} = x^3 \Rightarrow x^3(x^2 + 1) = x^5 + x^3 \).
Odečteme: \( (x^5 + x^4 – x – 1) – (x^5 + x^3) = x^4 – x^3 – x – 1 \).
Druhý člen: \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \Rightarrow x^2(x^2 + 1) = x^4 + x^2 \).
Odečteme: \( (x^4 – x^3 – x – 1) – (x^4 + x^2) = -x^3 – x^2 – x – 1 \).
Třetí člen: \( \frac{-x^3}{x^2} = -x \Rightarrow -x(x^2 + 1) = -x^3 – x \).
Odečteme: \( (-x^3 – x^2 – x – 1) – (-x^3 – x) = -x^2 – 1 \).
Čtvrtý člen: \( \frac{-x^2}{x^2} = -1 \Rightarrow -1(x^2 + 1) = -x^2 – 1 \).
Odečteme: \( (-x^2 – 1) – (-x^2 – 1) = 0 \Rightarrow\) zbytek je \(0 \).
Dělení proběhlo bez zbytku, takže \( f(x) \) je dělitelný \( g(x) \).
27. Je \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) dělitelný \( g(x) = x + 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dosadíme \( x = -1 \) (kořen polynomu \( g(x) = x + 1 \)) do \( f(x) \):
\( f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 – 3 + 1 = 0 \).
Protože \( f(-1) = 0 \), polynom \( g(x) = x + 1 \) dělí \( f(x) \).
Pro ověření provedeme dělení polynomů:
Dělíme \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) polynomem \( g(x) = x + 1 \).
První člen dělení: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \Rightarrow x^2(x + 1) = x^3 + x^2 \).
Odečteme: \( (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) – (x^3 + x^2) = 2x^2 + 3x + 1 \).
Druhý člen dělení: \( \frac{2x^2}{x} = 2x \Rightarrow 2x(x + 1) = 2x^2 + 2x \).
Odečteme: \( (2x^2 + 3x + 1) – (2x^2 + 2x) = x + 1 \).
Třetí člen dělení: \( \frac{x}{x} = 1 \Rightarrow 1(x + 1) = x + 1 \).
Odečteme: \( (x + 1) – (x + 1) = 0 \Rightarrow\) zbytek je \(0 \).
Dělení proběhlo bez zbytku, potvrzuje dělení \( g(x) \).
28. Určete, zda je \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 6 \) dělitelný \( g(x) = x^2 – 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro ověření dělitelnosti provedeme dělení polynomů \( f(x) \) polynomem \( g(x) \).
Dělíme \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 6 \) polynomem \( g(x) = x^2 – 2 \).
První člen dělení: \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \Rightarrow x^2(x^2 – 2) = x^4 – 2x^2 \).
Odečteme: \( (x^4 – 5x^2 + 6) – (x^4 – 2x^2) = -3x^2 + 6 \).
Druhý člen dělení: \( \frac{-3x^2}{x^2} = -3 \Rightarrow -3(x^2 – 2) = -3x^2 + 6 \).
Odečteme: \( (-3x^2 + 6) – (-3x^2 + 6) = 0 \Rightarrow\) zbytek je \(0 \).
Dělení proběhlo bez zbytku, takže \( f(x) \) je dělitelný \( g(x) \).
29. Určete, zda je \( f(x) = x^5 – x^4 + x^3 – x^2 + x – 1 \) dělitelný \( g(x) = x^2 – x + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro důkladné ověření provedeme dělení \( f(x) \) polynomem \( g(x) \).
Dělíme \( f(x) = x^5 – x^4 + x^3 – x^2 + x – 1 \) polynomem \( g(x) = x^2 – x + 1 \).
První člen dělení: \( \frac{x^5}{x^2} = x^3 \Rightarrow x^3(x^2 – x + 1) = x^5 – x^4 + x^3 \).
Odečteme: \( (x^5 – x^4 + x^3 – x^2 + x – 1) – (x^5 – x^4 + x^3) = -x^2 + x – 1 \).
Druhý člen dělení: \( \frac{-x^2}{x^2} = -1 \Rightarrow -1(x^2 – x + 1) = -x^2 + x – 1 \).
Odečteme: \( (-x^2 + x – 1) – (-x^2 + x – 1) = 0 \Rightarrow\) zbytek je \(0 \).
Dělení proběhlo bez zbytku, potvrzuje dělitelnost.
30. Určete, zda je \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 + x + 5 \) dělitelný \( g(x) = x + 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dosadíme \( x = -2 \) (kořen polynomu \( g(x) = x + 2 \)) do \( f(x) \):
\( f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 + (-2) + 5 = 2(-8) + 3(4) – 2 + 5 = -16 + 12 – 2 + 5 = -1 \neq 0 \).
Protože \( f(-2) \neq 0 \), polynom \( g(x) \) nedělí \( f(x) \).
31. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^5 – 2x^4 + x^3 – x + 2 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 – x + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme, co znamená, že polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \). Znamená to, že existuje polynom \( q(x) \), pro který platí \( f(x) = g(x) \cdot q(x) \), přičemž zbytek po dělení je nulový.
Začneme tedy dělením polynomu \( f(x) = x^5 – 2x^4 + x^3 – x + 2 \) polynomem \( g(x) = x^2 – x + 1 \) pomocí klasického dělení mnohočlenů.
První krok je vydělit první člen \( f(x) \), tedy \( x^5 \), prvním členem \( g(x) \), tedy \( x^2 \). Výsledek je \( x^{5-2} = x^3 \).
Násobíme tedy \( x^3 \cdot (x^2 – x + 1) = x^5 – x^4 + x^3 \).
Odečteme tento výsledek od polynomu \( f(x) \):
\( (x^5 – 2x^4 + x^3 – x + 2) – (x^5 – x^4 + x^3) = (-2x^4 + x^4) + (x^3 – x^3) – x + 2 = -x^4 – x + 2 \).
Ve druhém kroku vydělíme první člen zbytku \( -x^4 \) členem \( x^2 \) z \( g(x) \), dostaneme \( -x^{4-2} = -x^2 \).
Násobíme \( -x^2 \cdot (x^2 – x + 1) = -x^4 + x^3 – x^2 \).
Odečteme od zbytku předchozího kroku:
\( (-x^4 – x + 2) – (-x^4 + x^3 – x^2) = 0 – x^3 + x^2 – x + 2 = -x^3 + x^2 – x + 2 \).
Třetí krok: první člen zbytku je \( -x^3 \), dělíme \( x^3 \) členem \( x^2 \) z \( g(x) \), získáme \( -x \).
Násobíme \( -x \cdot (x^2 – x + 1) = -x^3 + x^2 – x \).
Odečteme:
\( (-x^3 + x^2 – x + 2) – (-x^3 + x^2 – x) = 0 + 0 + 0 + 2 = 2 \).
Čtvrtý krok: zbytek je \( 2 \), což je konstanta, a proto již nelze dále dělit \( x^2 – x + 1 \) (má stupeň 2).
Protože zbytek není nulový, platí, že polynom \( f(x) \) není dělitelný polynomem \( g(x) \).
32. Určete, zda je polynom \( f(x) = 2x^4 + 3x^3 – x^2 + 5x – 7 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Opět začneme dělením polynomu \( f(x) \) polynomem \( g(x) \). Polynom \( g(x) = x^2 + 1 \) je kvadratický polynom bez reálných kořenů.
Dělíme tedy:
První člen: \( \frac{2x^4}{x^2} = 2x^2 \).
Násobíme: \( 2x^2 \cdot (x^2 + 1) = 2x^4 + 2x^2 \).
Odečteme: \( (2x^4 + 3x^3 – x^2 + 5x – 7) – (2x^4 + 2x^2) = 3x^3 – 3x^2 + 5x – 7 \).
Druhý člen: \( \frac{3x^3}{x^2} = 3x \).
Násobíme: \( 3x \cdot (x^2 + 1) = 3x^3 + 3x \).
Odečteme: \( (3x^3 – 3x^2 + 5x – 7) – (3x^3 + 3x) = -3x^2 + 2x – 7 \).
Třetí člen: \( \frac{-3x^2}{x^2} = -3 \).
Násobíme: \( -3 \cdot (x^2 + 1) = -3x^2 – 3 \).
Odečteme: \( (-3x^2 + 2x – 7) – (-3x^2 – 3) = 2x – 4 \).
Zbytek je tedy \( 2x – 4 \), což není nulový polynom.
Proto polynom \( f(x) \) není dělitelný polynomem \( g(x) \).
33. Je polynom \( f(x) = x^6 – 1 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^3 – 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Polynom \( x^6 – 1 \) je známý jako rozdíl dvou šestých mocnin, což lze faktorizovat pomocí vzorce rozdílu mocnin:
\( x^6 – 1 = (x^3)^2 – 1^2 = (x^3 – 1)(x^3 + 1) \).
Vidíme, že \( g(x) = x^3 – 1 \) je faktorem \( f(x) \), tedy polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \).
Pro důkladnost můžeme provést dělení polynomů:
Dělíme \( f(x) = x^6 – 1 \) polynomem \( g(x) = x^3 – 1 \).
První člen: \( \frac{x^6}{x^3} = x^3 \).
Násobíme: \( x^3 \cdot (x^3 – 1) = x^6 – x^3 \).
Odečteme: \( (x^6 – 1) – (x^6 – x^3) = x^3 – 1 \).
Druhý člen: \( \frac{x^3}{x^3} = 1 \).
Násobíme: \( 1 \cdot (x^3 – 1) = x^3 – 1 \).
Odečteme: \( (x^3 – 1) – (x^3 – 1) = 0 \).
Zbytek je nulový, což potvrzuje dělitelnost.
34. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^4 + 4 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 + 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve zkusíme provést dělení polynomu \( f(x) = x^4 + 4 \) polynomem \( g(x) = x^2 + 2 \).
První člen: \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2 \cdot (x^2 + 2) = x^4 + 2x^2 \).
Odečteme: \( (x^4 + 4) – (x^4 + 2x^2) = -2x^2 + 4 \).
Druhý člen: \( \frac{-2x^2}{x^2} = -2 \).
Násobíme: \( -2 \cdot (x^2 + 2) = -2x^2 – 4 \).
Odečteme: \( (-2x^2 + 4) – (-2x^2 – 4) = 8 \).
Zbytek je konstanta \( 8 \), což znamená, že polynom \( f(x) \) není dělitelný polynomem \( g(x) \).
35. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x – 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Protože \( g(x) = x – 2 \) je lineární polynom, využijeme větu o kořenech polynomů, podle které platí, že polynom \( f(x) \) je dělitelný \( g(x) \), právě když \( f(2) = 0 \).
Dosadíme \( x = 2 \) do \( f(x) \):
\( f(2) = 2^3 – 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0 \).
Protože \( f(2) = 0 \), polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \).
Pro ověření provedeme dělení:
Dělíme \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) polynomem \( g(x) = x – 2 \).
První člen: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \), násobíme: \( x^2(x – 2) = x^3 – 2x^2 \).
Odečteme: \( (x^3 – 3x^2 + 4) – (x^3 – 2x^2) = -x^2 + 4 \).
Druhý člen: \( \frac{-x^2}{x} = -x \), násobíme: \( -x(x – 2) = -x^2 + 2x \).
Odečteme: \( (-x^2 + 4) – (-x^2 + 2x) = -2x + 4 \).
Třetí člen: \( \frac{-2x}{x} = -2 \), násobíme: \( -2(x – 2) = -2x + 4 \).
Odečteme: \( (-2x + 4) – (-2x + 4) = 0 \).
Zbytek je nulový, což potvrzuje dělitelnosť.
36. Je polynom \( f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x – 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Opět využijeme větu o kořenech, protože \( g(x) = x – 1 \) má kořen \( x = 1 \).
Dosadíme \( x = 1 \) do \( f(x) \):
\( f(1) = 1 – 4 + 6 – 4 + 1 = (1 – 4) + 6 – 4 + 1 = -3 + 6 – 4 + 1 = 0 \).
Protože \( f(1) = 0 \), polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \).
Navíc polynom \( f(x) \) je známý jako rozvoj Newtonovy binomické věty pro \( (x-1)^4 \).
Proto platí:
\( f(x) = (x – 1)^4 = (x – 1) \cdot (x – 1)^3 \), což potvrzuje dělitelnosť.
37. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^5 + x^4 – x – 1 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Budeme zkoumat dělení \( f(x) = x^5 + x^4 – x – 1 \) polynomem \( g(x) = x^2 + 1 \).
První člen dělení: \( \frac{x^5}{x^2} = x^3 \).
Násobíme: \( x^3 \cdot (x^2 + 1) = x^5 + x^3 \).
Odečteme: \( (x^5 + x^4 – x – 1) – (x^5 + x^3) = x^4 – x^3 – x – 1 \).
Druhý člen dělení: \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2 \cdot (x^2 + 1) = x^4 + x^2 \).
Odečteme: \( (x^4 – x^3 – x – 1) – (x^4 + x^2) = -x^3 – x^2 – x – 1 \).
Třetí člen dělení: \( \frac{-x^3}{x^2} = -x \).
Násobíme: \( -x \cdot (x^2 + 1) = -x^3 – x \).
Odečteme: \( (-x^3 – x^2 – x – 1) – (-x^3 – x) = -x^2 – 1 \).
Čtvrtý člen dělení: \( \frac{-x^2}{x^2} = -1 \).
Násobíme: \( -1 \cdot (x^2 + 1) = -x^2 – 1 \).
Odečteme: \( (-x^2 – 1) – (-x^2 – 1) = 0 \).
Zbytek je nulový, proto polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \).
38. Určete, zda je polynom \( f(x) = 2x^4 + 3x^3 – x + 5 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 – x + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro určení dělitelnosti polynomu \( f(x) = 2x^4 + 3x^3 – x + 5 \) polynomem \( g(x) = x^2 – x + 1 \) provedeme dělení polynomů.
První člen: \( \frac{2x^4}{x^2} = 2x^2 \).
Násobíme: \( 2x^2 \cdot (x^2 – x + 1) = 2x^4 – 2x^3 + 2x^2 \).
Odečteme: \( (2x^4 + 3x^3 – x + 5) – (2x^4 – 2x^3 + 2x^2) = 5x^3 – 2x^2 – x + 5 \).
Druhý člen: \( \frac{5x^3}{x^2} = 5x \).
Násobíme: \( 5x \cdot (x^2 – x + 1) = 5x^3 – 5x^2 + 5x \).
Odečteme: \( (5x^3 – 2x^2 – x + 5) – (5x^3 – 5x^2 + 5x) = 3x^2 – 6x + 5 \).
Třetí člen: \( \frac{3x^2}{x^2} = 3 \).
Násobíme: \( 3 \cdot (x^2 – x + 1) = 3x^2 – 3x + 3 \).
Odečteme: \( (3x^2 – 6x + 5) – (3x^2 – 3x + 3) = -3x + 2 \).
Zbytek je polynom stupně \(1\), což je nižší stupeň než dělitel, ale není nulový.
Tím pádem polynom \( f(x) \) není dělitelný polynomem \( g(x) \).
39. Zjistěte, zda je polynom \( f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x + 6 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 + x – 6 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro dělení polynomu \( f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x + 6 \) polynomem \( g(x) = x^2 + x – 6 \) použijeme dělení polynomů.
První člen: \( \frac{x^3}{x^2} = x \).
Násobíme: \( x \cdot (x^2 + x – 6) = x^3 + x^2 – 6x \).
Odečteme: \( (x^3 + 2x^2 – 5x + 6) – (x^3 + x^2 – 6x) = x^2 + x + 6 \).
Druhý člen: \( \frac{x^2}{x^2} = 1 \).
Násobíme: \( 1 \cdot (x^2 + x – 6) = x^2 + x – 6 \).
Odečteme: \( (x^2 + x + 6) – (x^2 + x – 6) = 12 \).
Zbytek je konstanta \( 12 \), polynom \( f(x) \) tedy není dělitelný polynomem \( g(x) \).
40. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 6 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 – 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro určení dělitelnosti polynomu \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 6 \) polynomem \( g(x) = x^2 – 2 \) provedeme dělení.
První člen: \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2 \cdot (x^2 – 2) = x^4 – 2x^2 \).
Odečteme: \( (x^4 – 5x^2 + 6) – (x^4 – 2x^2) = -3x^2 + 6 \).
Druhý člen: \( \frac{-3x^2}{x^2} = -3 \).
Násobíme: \( -3 \cdot (x^2 – 2) = -3x^2 + 6 \).
Odečteme: \( (-3x^2 + 6) – (-3x^2 + 6) = 0 \).
Zbytek je nulový, proto polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \).
41. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^5 – 2x^4 + 3x^3 – x + 1 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 – x + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Úkolem je zjistit, zda polynom \( f(x) = x^5 – 2x^4 + 3x^3 – x + 1 \) je dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 – x + 1 \). Proto provedeme dělení polynomů.
Dělíme \( f(x) \) polynomem \( g(x) \) metodou dlouhého dělení.
Nejprve porovnáme nejvyšší členy obou polynomů. Nejvyšší člen \( f(x) \) je \( x^5 \), u \( g(x) \) je to \( x^2 \). První člen podílu získáme jako \( \frac{x^5}{x^2} = x^3 \).
Násobíme \( x^3 \cdot (x^2 – x + 1) = x^5 – x^4 + x^3 \).
Odečteme tento výraz od \( f(x) \):
\( (x^5 – 2x^4 + 3x^3 – x + 1) – (x^5 – x^4 + x^3) = (-2x^4 + x^4) + (3x^3 – x^3) – x + 1 = -x^4 + 2x^3 – x + 1 \).
Další člen podílu spočítáme jako \( \frac{-x^4}{x^2} = -x^2 \).
Násobíme \( -x^2 \cdot (x^2 – x + 1) = -x^4 + x^3 – x^2 \).
Odečteme: \( (-x^4 + 2x^3 – x + 1) – (-x^4 + x^3 – x^2) = (2x^3 – x^3) + x^2 – x + 1 = x^3 + x^2 – x + 1 \).
Další člen je \( \frac{x^3}{x^2} = x \).
Násobíme: \( x \cdot (x^2 – x + 1) = x^3 – x^2 + x \).
Odečteme: \( (x^3 + x^2 – x + 1) – (x^3 – x^2 + x) = (x^2 + x^2) + (-x – x) + 1 = 2x^2 – 2x + 1 \).
Další člen: \( \frac{2x^2}{x^2} = 2 \).
Násobíme: \( 2 \cdot (x^2 – x + 1) = 2x^2 – 2x + 2 \).
Odečteme: \( (2x^2 – 2x + 1) – (2x^2 – 2x + 2) = 1 – 2 = -1 \).
Zbytek je konstanta \( -1 \), což znamená, že polynom \( f(x) \) není dělitelný polynomem \( g(x) \).
42. Zjistěte, zda je polynom \( f(x) = 3x^4 – x^3 + 2x^2 – 5x + 6 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Provádíme dlouhé dělení polynomu \( f(x) = 3x^4 – x^3 + 2x^2 – 5x + 6 \) polynomem \( g(x) = x^2 + 1 \).
Nejvyšší členy: \( \frac{3x^4}{x^2} = 3x^2 \).
Násobíme: \( 3x^2 \cdot (x^2 + 1) = 3x^4 + 3x^2 \).
Odečteme: \( (3x^4 – x^3 + 2x^2 – 5x + 6) – (3x^4 + 3x^2) = -x^3 – x^2 – 5x + 6 \).
Dále: \( \frac{-x^3}{x^2} = -x \).
Násobíme: \( -x \cdot (x^2 + 1) = -x^3 – x \).
Odečteme: \( (-x^3 – x^2 – 5x + 6) – (-x^3 – x) = -x^2 – 4x + 6 \).
Dále: \( \frac{-x^2}{x^2} = -1 \).
Násobíme: \( -1 \cdot (x^2 + 1) = -x^2 – 1 \).
Odečteme: \( (-x^2 – 4x + 6) – (-x^2 – 1) = -4x + 7 \).
Zbytek je polynom stupně 1, který je menší než stupeň dělitele (stupeň 2), a není nulový.
Tím pádem polynom \( f(x) \) není dělitelný polynomem \( g(x) \).
43. Je polynom \( f(x) = x^6 – 1 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^3 – 1 \)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Polynom \( f(x) = x^6 – 1 \) lze považovat za rozdíl druhých mocnin, protože \( x^6 – 1 = (x^3)^2 – 1^2 \).
Rozklad podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin:
\( x^6 – 1 = (x^3 – 1)(x^3 + 1) \).
Jelikož \( g(x) = x^3 – 1 \) je jedním z faktorů, je jasné, že \( f(x) \) je dělitelný \( g(x) \).
Pro úplnost lze provést dělení:
Dělíme \( x^6 – 1 \) polynomem \( x^3 – 1 \).
První člen: \( \frac{x^6}{x^3} = x^3 \).
Násobíme: \( x^3 \cdot (x^3 – 1) = x^6 – x^3 \).
Odečteme: \( (x^6 – 1) – (x^6 – x^3) = x^3 – 1 \).
Druhý člen: \( \frac{x^3}{x^3} = 1 \).
Násobíme: \( 1 \cdot (x^3 – 1) = x^3 – 1 \).
Odečteme: \( (x^3 – 1) – (x^3 – 1) = 0 \).
Zbytek je nulový, což potvrzuje dělitelnosť.
44. Určete, zda polynom \( f(x) = 2x^5 – 3x^3 + x – 4 \) je dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 – 2x + 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro dělení polynomů použijeme dlouhé dělení. Dělíme \( f(x) = 2x^5 – 3x^3 + x – 4 \) polynomem \( g(x) = x^2 – 2x + 2 \).
První člen podílu: \( \frac{2x^5}{x^2} = 2x^3 \).
Násobíme: \( 2x^3 \cdot (x^2 – 2x + 2) = 2x^5 – 4x^4 + 4x^3 \).
Odečteme: \( (2x^5 – 3x^3 + x – 4) – (2x^5 – 4x^4 + 4x^3) = 4x^4 – 7x^3 + x – 4 \).
Druhý člen: \( \frac{4x^4}{x^2} = 4x^2 \).
Násobíme: \( 4x^2 \cdot (x^2 – 2x + 2) = 4x^4 – 8x^3 + 8x^2 \).
Odečteme: \( (4x^4 – 7x^3 + x – 4) – (4x^4 – 8x^3 + 8x^2) = ( -7x^3 + 8x^3 ) – 8x^2 + x – 4 = x^3 – 8x^2 + x – 4 \).
Třetí člen: \( \frac{x^3}{x^2} = x \).
Násobíme: \( x \cdot (x^2 – 2x + 2) = x^3 – 2x^2 + 2x \).
Odečteme: \( (x^3 – 8x^2 + x – 4) – (x^3 – 2x^2 + 2x) = (-8x^2 + 2x^2) + (x – 2x) – 4 = -6x^2 – x – 4 \).
Čtvrtý člen: \( \frac{-6x^2}{x^2} = -6 \).
Násobíme: \( -6 \cdot (x^2 – 2x + 2) = -6x^2 + 12x – 12 \).
Odečteme: \( (-6x^2 – x – 4) – (-6x^2 + 12x – 12) = (-x – 12x) + (-4 + 12) = -13x + 8 \).
Zbytek je polynom stupně 1, což je menší než stupeň dělitele, ale zbytek není nulový.
Tedy polynom \( f(x) \) není dělitelný polynomem \( g(x) \).
45. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 + 2x + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve rozpoznáme, že \( f(x) = (x+1)^4 \) dle binomické věty.
Polynom \( g(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \).
Jelikož \( f(x) = (x+1)^4 = ((x+1)^2)^2 \), lze psát \( f(x) = g(x)^2 \).
Tím pádem je \( f(x) \) zjevně dělitelný polynomem \( g(x) \).
Pro potvrzení lze provést dělení:
Dělíme \( f(x) \) polynomem \( g(x) \).
První člen: \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2 \cdot (x^2 + 2x + 1) = x^4 + 2x^3 + x^2 \).
Odečteme: \( (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) – (x^4 + 2x^3 + x^2) = 2x^3 + 5x^2 + 4x + 1 \).
Druhý člen: \( \frac{2x^3}{x^2} = 2x \).
Násobíme: \( 2x \cdot (x^2 + 2x + 1) = 2x^3 + 4x^2 + 2x \).
Odečteme: \( (2x^3 + 5x^2 + 4x + 1) – (2x^3 + 4x^2 + 2x) = x^2 + 2x + 1 \).
Třetí člen: \( \frac{x^2}{x^2} = 1 \).
Násobíme: \( 1 \cdot (x^2 + 2x + 1) = x^2 + 2x + 1 \).
Odečteme: \( (x^2 + 2x + 1) – (x^2 + 2x + 1) = 0 \).
Zbytek je nulový, což potvrzuje dělitelnosť.
46. Určete, zda polynom \( f(x) = x^3 – 3x + 2 \) je dělitelný polynomem \( g(x) = x – 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dělitelnost polynomem prvního stupně \( g(x) = x – 1 \) lze jednoduše ověřit pomocí zbytku podle věty o dělení polynomů.
Podle věty platí, že zbytek po dělení polynomem \( x – a \) je \( f(a) \).
Dosadíme \( a = 1 \):
\( f(1) = 1^3 – 3 \cdot 1 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0 \).
Protože zbytek je nula, znamená to, že polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \).
Pro úplnost lze provést dělení:
Dělíme \( x^3 – 3x + 2 \) polynomem \( x – 1 \).
První člen: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2 \cdot (x – 1) = x^3 – x^2 \).
Odečteme: \( (x^3 – 3x + 2) – (x^3 – x^2) = x^2 – 3x + 2 \).
Druhý člen: \( \frac{x^2}{x} = x \).
Násobíme: \( x \cdot (x – 1) = x^2 – x \).
Odečteme: \( (x^2 – 3x + 2) – (x^2 – x) = -2x + 2 \).
Třetí člen: \( \frac{-2x}{x} = -2 \).
Násobíme: \( -2 \cdot (x – 1) = -2x + 2 \).
Odečteme: \( (-2x + 2) – (-2x + 2) = 0 \).
Zbytek je nulový, což potvrzuje dělitelnosť.
47. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 6 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 – 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro určení dělitelnosti polynomem druhého stupně použijeme dlouhé dělení polynomů.
Dělíme \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 6 \) polynomem \( g(x) = x^2 – 2 \).
První člen podílu: \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2 \cdot (x^2 – 2) = x^4 – 2x^2 \).
Odečteme: \( (x^4 – 5x^2 + 6) – (x^4 – 2x^2) = (-5x^2 + 2x^2) + 6 = -3x^2 + 6 \).
Druhý člen podílu: \( \frac{-3x^2}{x^2} = -3 \).
Násobíme: \( -3 \cdot (x^2 – 2) = -3x^2 + 6 \).
Odečteme: \( (-3x^2 + 6) – (-3x^2 + 6) = 0 \).
Zbytek je nulový, což znamená, že polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \).
48. Určete, zda je polynom \( f(x) = 3x^3 + 4x^2 – x + 5 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x – 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dělitelnost polynomem prvního stupně \( g(x) = x – 1 \) můžeme ověřit pomocí věty o zbytku.
Zbytek po dělení polynomem \( x – a \) je roven \( f(a) \).
Dosadíme \( a = 1 \):
\( f(1) = 3 \cdot 1^3 + 4 \cdot 1^2 – 1 + 5 = 3 + 4 – 1 + 5 = 11 \).
Protože zbytek není nulový, polynom \( f(x) \) není dělitelný polynomem \( g(x) \).
49. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x – 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověříme dělitelnosť polynomem \( x – 2 \) pomocí věty o zbytku.
Dosadíme \( a = 2 \):
\( f(2) = 2^3 – 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 – 6 = 8 – 24 + 22 – 6 = 0 \).
Zbytek je nulový, tedy \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \).
Pro úplnost provádíme dělení:
První člen podílu: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2 \cdot (x – 2) = x^3 – 2x^2 \).
Odečteme: \( (x^3 – 6x^2 + 11x – 6) – (x^3 – 2x^2) = -4x^2 + 11x – 6 \).
Druhý člen podílu: \( \frac{-4x^2}{x} = -4x \).
Násobíme: \( -4x \cdot (x – 2) = -4x^2 + 8x \).
Odečteme: \( (-4x^2 + 11x – 6) – (-4x^2 + 8x) = 3x – 6 \).
Třetí člen podílu: \( \frac{3x}{x} = 3 \).
Násobíme: \( 3 \cdot (x – 2) = 3x – 6 \).
Odečteme: \( (3x – 6) – (3x – 6) = 0 \).
Zbytek je nulový.
50. Určete, zda je polynom \( f(x) = x^3 + 2x^2 – x – 2 \) dělitelný polynomem \( g(x) = x + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověříme dělitelnosť polynomem \( x + 1 \) pomocí věty o zbytku, kde \( a = -1 \).
Dosadíme \( a = -1 \):
\( f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 – (-1) – 2 = -1 + 2 + 1 – 2 = 0 \).
Zbytek je nulový, tedy polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( g(x) \).
Pro úplnost provedeme dělení:
První člen podílu: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2 \cdot (x + 1) = x^3 + x^2 \).
Odečteme: \( (x^3 + 2x^2 – x – 2) – (x^3 + x^2) = x^2 – x – 2 \).
Druhý člen podílu: \( \frac{x^2}{x} = x \).
Násobíme: \( x \cdot (x + 1) = x^2 + x \).
Odečteme: \( (x^2 – x – 2) – (x^2 + x) = -2x – 2 \).
Třetí člen podílu: \( \frac{-2x}{x} = -2 \).
Násobíme: \( -2 \cdot (x + 1) = -2x – 2 \).
Odečteme: \( (-2x – 2) – (-2x – 2) = 0 \).
Zbytek je nulový.
51. Najděte, zda polynom \( f(x) = x^4 – 3x^3 + 3x^2 – x \) je dělitelný polynomem \( g(x) = x – 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme dělitelnosť polynomem prvního stupně \( x – 1 \) pomocí věty o zbytku.
Dosadíme \( a = 1 \):
\( f(1) = 1^4 – 3 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 – 1 = 1 – 3 + 3 – 1 = 0 \).
Zbytek je nulový, tedy \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( x – 1 \).
Pro ověření provedeme dlouhé dělení:
První člen podílu: \( \frac{x^4}{x} = x^3 \).
Násobíme: \( x^3 \cdot (x – 1) = x^4 – x^3 \).
Odečteme: \( (x^4 – 3x^3 + 3x^2 – x) – (x^4 – x^3) = -2x^3 + 3x^2 – x \).
Druhý člen podílu: \( \frac{-2x^3}{x} = -2x^2 \).
Násobíme: \( -2x^2 \cdot (x – 1) = -2x^3 + 2x^2 \).
Odečteme: \( (-2x^3 + 3x^2 – x) – (-2x^3 + 2x^2) = x^2 – x \).
Třetí člen podílu: \( \frac{x^2}{x} = x \).
Násobíme: \( x \cdot (x – 1) = x^2 – x \).
Odečteme: \( (x^2 – x) – (x^2 – x) = 0 \).
Zbytek je nulový, což potvrzuje dělitelnost.
52. Pro polynom \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 5x + 6 \) určete, zda má polynom \( x – 2 \) za dělitele.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Využijeme větu o zbytku, kde zbytek po dělení polynomem \( x – a \) je \( f(a) \).
Dosadíme \( a = 2 \):
\( f(2) = 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^2 – 5 \cdot 2 + 6 = 2 \cdot 8 + 3 \cdot 4 – 10 + 6 = 16 + 12 – 10 + 6 = 24 \).
Zbytek není nulový, tedy \( x – 2 \) není dělitelem \( f(x) \).
53. Rozložte polynom \( f(x) = x^3 – 4x^2 + 5x – 2 \) tak, aby obsahoval jako faktor polynom \( x – 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme, zda \( x – 1 \) je dělitelem \( f(x) \) pomocí věty o zbytku.
Dosadíme \( a = 1 \):
\( f(1) = 1 – 4 + 5 – 2 = 0 \), tedy zbytek je nulový.
Polynom můžeme rozložit dělením:
První člen podílu: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2 \cdot (x – 1) = x^3 – x^2 \).
Odečteme: \( (x^3 – 4x^2 + 5x – 2) – (x^3 – x^2) = -3x^2 + 5x – 2 \).
Druhý člen podílu: \( \frac{-3x^2}{x} = -3x \).
Násobíme: \( -3x \cdot (x – 1) = -3x^2 + 3x \).
Odečteme: \( (-3x^2 + 5x – 2) – (-3x^2 + 3x) = 2x – 2 \).
Třetí člen podílu: \( \frac{2x}{x} = 2 \).
Násobíme: \( 2 \cdot (x – 1) = 2x – 2 \).
Odečteme: \( (2x – 2) – (2x – 2) = 0 \).
Rozklad polynomu: \( f(x) = (x – 1)(x^2 – 3x + 2) \).
Dále rozložíme kvadratický polynom: \( x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) \).
Konečný rozklad: \( f(x) = (x – 1)^2 (x – 2) \).
54. Najděte všechna reálná čísla \( a \), pro která je polynom \( f(x) = x^3 + a x^2 – 4x – 4a \) dělitelný polynomem \( x + 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dělení polynomem \( x + 2 \) odpovídá dosazení \( a = -2 \) do polynomu \( f(x) \) (věta o zbytku).
Dosadíme \( x = -2 \):
\( f(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 – 4(-2) – 4a = -8 + 4a + 8 – 4a = 0 \).
Výraz po úpravě je \( 0 \) pro všechna \( a \).
Tedy polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( x + 2 \) pro libovolné reálné číslo \( a \).
55. Určete, zda polynom \( f(x) = 2x^4 – 3x^3 + x – 5 \) je dělitelný polynomem \( g(x) = x^2 – x – 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro dělení polynomem druhého stupně použijeme dlouhé dělení polynomů.
První člen podílu: \( \frac{2x^4}{x^2} = 2x^2 \).
Násobíme: \( 2x^2 \cdot (x^2 – x – 1) = 2x^4 – 2x^3 – 2x^2 \).
Odečteme: \( (2x^4 – 3x^3 + x – 5) – (2x^4 – 2x^3 – 2x^2) = -x^3 + 2x^2 + x – 5 \).
Druhý člen podílu: \( \frac{-x^3}{x^2} = -x \).
Násobíme: \( -x \cdot (x^2 – x – 1) = -x^3 + x^2 + x \).
Odečteme: \( (-x^3 + 2x^2 + x – 5) – (-x^3 + x^2 + x) = x^2 – 5 \).
Nelze dále dělit, protože stupeň zbytku \( 2 \) je stejný jako stupeň dělitele.
Zbytek není nulový, tedy \( f(x) \) není dělitelný polynomem \( g(x) \).
56. Pro polynom \( f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d \) víme, že je dělitelný polynomem \( x – 3 \) a po dělení vznikne podíl \( x^2 + 2x + 1 \). Najděte \( b, c, d \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Podle zadání platí:
\( f(x) = (x – 3)(x^2 + 2x + 1) \).
Vynásobíme:
\( (x – 3)(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x – 3x^2 – 6x – 3 = x^3 – x^2 – 5x – 3 \).
Porovnáme s obecnou formou \( f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d \):
\( b = -1 \), \( c = -5 \), \( d = -3 \).
57. Najděte všechna reálná čísla \( k \), pro která je polynom \( f(x) = x^3 + kx^2 – 4x – 4k \) dělitelný polynomem \( x – 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Podle věty o zbytku platí, že zbytek po dělení polynomem \( x – 2 \) je \( f(2) \).
Dosadíme \( x = 2 \):
\( f(2) = 2^3 + k \cdot 2^2 – 4 \cdot 2 – 4k = 8 + 4k – 8 – 4k = 0 \).
Zbytek je nulový pro všechna \( k \in \mathbb{R} \).
Tedy polynom je dělitelný \( x – 2 \) pro libovolné reálné číslo \( k \).
58. Ověřte, zda je polynom \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 6 \) dělitelný polynomem \( x^2 – 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro dělení polynomem druhého stupně provedeme dlouhé dělení:
První člen podílu: \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2 \cdot (x^2 – 2) = x^4 – 2x^2 \).
Odečteme: \( (x^4 – 5x^2 + 6) – (x^4 – 2x^2) = -3x^2 + 6 \).
Druhý člen podílu: \( \frac{-3x^2}{x^2} = -3 \).
Násobíme: \( -3 \cdot (x^2 – 2) = -3x^2 + 6 \).
Odečteme: \( (-3x^2 + 6) – (-3x^2 + 6) = 0 \).
Zbytek je nulový, tedy polynom \( f(x) \) je dělitelný polynomem \( x^2 – 2 \).
59. Určete, zda polynom \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) má kořen \( x = 3 \) a pokud ano, najděte ostatní kořeny.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme, zda \( x=3 \) je kořen polynomu:
\( f(3) = 27 – 54 + 33 – 6 = 0 \).
Tedy \( x=3 \) je kořen.
Polynom rozdělíme dělením polynomem \( x – 3 \):
První člen podílu: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2(x – 3) = x^3 – 3x^2 \).
Odečteme: \( (x^3 – 6x^2 + 11x – 6) – (x^3 – 3x^2) = -3x^2 + 11x – 6 \).
Druhý člen podílu: \( \frac{-3x^2}{x} = -3x \).
Násobíme: \( -3x(x – 3) = -3x^2 + 9x \).
Odečteme: \( (-3x^2 + 11x – 6) – (-3x^2 + 9x) = 2x – 6 \).
Třetí člen podílu: \( \frac{2x}{x} = 2 \).
Násobíme: \( 2(x – 3) = 2x – 6 \).
Odečteme: \( (2x – 6) – (2x – 6) = 0 \).
Podíl je \( x^2 – 3x + 2 \).
Najdeme kořeny kvadratického polynomu:
\( x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) \).
Ostatní kořeny jsou tedy \( x = 1 \) a \( x = 2 \).
60. Pro polynom \( f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2 \) najděte polynom \( g(x) \), který je jeho dělitelem, jestliže \( g(x) \) má stupeň 1 a je dělitelem \( f(x) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hledáme kořen \( a \), takový že \( f(a) = 0 \), protože \( g(x) = x – a \) je dělitelem polynomu.
Zkoušíme racionální kořeny podle věty o racionálních kořenech, dělitele konstanty 2: ±1, ±2.
Dosadíme:
\( f(-1) = (-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 + 4 – 5 + 2 = 0 \), tedy \( x + 1 \) je dělitelem.
Dělíme polynom \( f(x) \) polynomem \( x + 1 \):
První člen podílu: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \).
Násobíme: \( x^2(x + 1) = x^3 + x^2 \).
Odečteme: \( (x^3 + 4x^2 + 5x + 2) – (x^3 + x^2) = 3x^2 + 5x + 2 \).
Druhý člen podílu: \( \frac{3x^2}{x} = 3x \).
Násobíme: \( 3x(x + 1) = 3x^2 + 3x \).
Odečteme: \( (3x^2 + 5x + 2) – (3x^2 + 3x) = 2x + 2 \).
Třetí člen podílu: \( \frac{2x}{x} = 2 \).
Násobíme: \( 2(x + 1) = 2x + 2 \).
Odečteme: \( (2x + 2) – (2x + 2) = 0 \).
Podíl je \( x^2 + 3x + 2 \).
Tedy hledaný dělitel je \( g(x) = x + 1 \).
61. Určte všetky hodnoty parametrov \( a \) a \( b \in \mathbb{R} \), pre ktoré je polynom
\( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6 \) deliteľný polynomom \( x – 2 \) a zároveň \( f(1) = 0 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Podľa vety o zbytku musí platiť \( f(2) = 0 \), teda dosadíme:
\( f(2) = 8 + 4a + 2b + 6 = 14 + 4a + 2b = 0 \Rightarrow 4a + 2b = -14 \Rightarrow 2a + b = -7 \).
Ďalej platí \( f(1) = 0 \):
\( f(1) = 1 + a + b + 6 = 7 + a + b = 0 \Rightarrow a + b = -7 \).
Máme sústavu dvoch rovníc:
\( 2a + b = -7 \)
\( a + b = -7 \)
Odčítaním druhej od prvej dostaneme:
\( (2a + b) – (a + b) = -7 – (-7) \Rightarrow a = 0 \).
Dosadíme \( a=0 \) do \( a + b = -7 \Rightarrow b = -7 \).
Odpoveď: \( a = 0 \), \( b = -7 \).
62. Nájdite hodnotu parametra \( k \), pre ktorý má polynom
\( f(x) = x^3 – 3kx^2 + 3k^2x – k^3 \) koreň \( x = k \) s násobnosťou 3.
Zobrazit řešení
Riešenie:
Polynom je vo forme \( (x – k)^3 \), pretože podľa binomickej vety platí:
\( (x – k)^3 = x^3 – 3kx^2 + 3k^2x – k^3 \).
Preto koreň \( x=k \) je s násobnosťou 3 pre každé \( k \in \mathbb{R} \).
Odpoveď: Hodnota \( k \) môže byť ľubovoľná reálna hodnota.
63. Určte všetky reálne hodnoty parametru \( a \), pre ktoré je polynom
\( f(x) = x^3 – 3x^2 + ax – 5 \) deliteľný polynomom \( x – 1 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Podľa vety o zbytku platí:
\( f(1) = 1 – 3 + a – 5 = a – 7 = 0 \Rightarrow a = 7 \).
Odpoveď: \( a = 7 \).
64. Nájdite všetky polynomy stupňa 2 vo forme \( f(x) = x^2 + ax + b \), ktoré sú deliteľné polynomom \( x – 2 \) a zároveň majú hodnotu \( f(0) = 3 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Podmienka delitelnosti polynomom \( x-2 \) znamená \( f(2) = 0 \), teda:
\( f(2) = 4 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = -4 \).
Podmienka \( f(0) = b = 3 \).
Dosadíme \( b = 3 \) do rovnice:
\( 2a + 3 = -4 \Rightarrow 2a = -7 \Rightarrow a = -\frac{7}{2} \).
Odpoveď: \( f(x) = x^2 – \frac{7}{2}x + 3 \).
65. Pre polynom \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) platí, že je deliteľný polynomom \( x-1 \) a má hodnotu \( f(0) = 2 \). Určte vzťah medzi \( a, b, c \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Deliteľnosť \( x – 1 \) znamená \( f(1) = 0 \):
\( f(1) = 1 + a + b + c = 0 \Rightarrow a + b + c = -1 \).
Hodnota \( f(0) = c = 2 \).
Dosadíme \( c=2 \) do prvej rovnice:
\( a + b + 2 = -1 \Rightarrow a + b = -3 \).
Odpoveď: \( c = 2 \) a \( a + b = -3 \).
66. Nájdite všetky hodnoty parametru \( m \), pre ktoré má polynom \( f(x) = x^3 – 3x^2 + mx – 9 \) dvojitý koreň.
Zobrazit řešení
Riešenie:
Dvojitý koreň znamená, že existuje \( r \) taký, že \( f(r) = 0 \) a zároveň \( f'(r) = 0 \).
Derivujeme:
\( f'(x) = 3x^2 – 6x + m \).
Podmienky sú:
\( f(r) = r^3 – 3r^2 + mr – 9 = 0 \),
\( f'(r) = 3r^2 – 6r + m = 0 \Rightarrow m = 6r – 3r^2 \).
Dosadíme \( m \) do prvej rovnice:
\( r^3 – 3r^2 + (6r – 3r^2)r – 9 = r^3 – 3r^2 + 6r^2 – 3r^3 – 9 = -2r^3 + 3r^2 – 9 = 0 \).
Preto:
\( -2r^3 + 3r^2 – 9 = 0 \Rightarrow 2r^3 – 3r^2 + 9 = 0 \).
Riešime túto rovnicu pre \( r \).
Skúsime racionálne korene podľa deliteľov 9: ±1, ±3, ±9.
Pre \( r=3 \): \( 2 \cdot 27 – 3 \cdot 9 + 9 = 54 – 27 + 9 = 36 \neq 0 \).
Pre \( r=1 \): \( 2 – 3 + 9 = 8 \neq 0 \).
Pre \( r=-1 \): \( -2 – 3 + 9 = 4 \neq 0 \).
Pre \( r=-3 \): \( 2(-27) – 3(9) + 9 = -54 – 27 + 9 = -72 \neq 0 \).
Žiadny racionálny koreň, použijeme numerické riešenie (napr. Newtonova metóda) alebo grafické.
Približne \( r \approx 2.17 \).
Potom:
\( m = 6r – 3r^2 \approx 6 \cdot 2.17 – 3 \cdot (2.17)^2 \approx 13.02 – 14.13 = -1.11 \).
Odpoveď: Polynom má dvojitý koreň približne pre \( m \approx -1.11 \).
67. Určte polynom \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \), ktorý je deliteľný polynomom \( x – 1 \), má koreň \( x = 2 \) a hodnotu \( f(0) = 3 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Deliteľnosť \( x – 1 \Rightarrow f(1) = 0 \):
\( 1 + a + b + c = 0 \Rightarrow a + b + c = -1 \).
Koreň \( x=2 \Rightarrow f(2) = 8 + 4a + 2b + c = 0 \).
Hodnota \( f(0) = c = 3 \).
Dosadíme \( c = 3 \) do rovníc:
1) \( a + b + 3 = -1 \Rightarrow a + b = -4 \),
2) \( 8 + 4a + 2b + 3 = 0 \Rightarrow 4a + 2b = -11 \Rightarrow 2a + b = -\frac{11}{2} \).
Z prvého vyjadrujeme \( b = -4 – a \) a dosadíme do druhej:
\( 2a + (-4 – a) = -\frac{11}{2} \Rightarrow a – 4 = -\frac{11}{2} \Rightarrow a = -\frac{11}{2} + 4 = -\frac{3}{2} \).
Potom \( b = -4 – \left(-\frac{3}{2}\right) = -4 + \frac{3}{2} = -\frac{5}{2} \).
Odpoveď: \( f(x) = x^3 – \frac{3}{2}x^2 – \frac{5}{2}x + 3 \).
68. Pre polynom \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) platí, že má koreň \( x = 1 \) a zvyšok po delení polynomom \( x – 2 \) je 5. Určte \( c \) v závislosti na \( a, b \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Koreň \( x = 1 \) znamená \( f(1) = 0 \):
\( 1 + a + b + c = 0 \Rightarrow c = -1 – a – b \).
Zvyšok po delení \( x – 2 \) je \( f(2) = 5 \):
\( 8 + 4a + 2b + c = 5 \).
Dosadíme \( c \):
\( 8 + 4a + 2b – 1 – a – b = 5 \Rightarrow 7 + 3a + b = 5 \Rightarrow 3a + b = -2 \).
Získali sme vzťah medzi \( a \) a \( b \):
\( b = -2 – 3a \).
Odpoveď:
\( c = -1 – a – b = -1 – a – (-2 – 3a) = -1 – a + 2 + 3a = 1 + 2a \).
69. Nájdite všetky polynomy \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \), ktoré sú deliteľné polynomom \( x^2 – 3x + 2 \) a zároveň \( f(0) = 4 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Polynom \( x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) \), takže \( f \) musí mať koreňe \( 1 \) a \( 2 \), teda:
\( f(1) = 0 \), \( f(2) = 0 \).
Pre \( f(1) = 1 + a + b + c = 0 \Rightarrow a + b + c = -1 \).
Pre \( f(2) = 8 + 4a + 2b + c = 0 \Rightarrow 4a + 2b + c = -8 \).
Hodnota \( f(0) = c = 4 \).
Dosadíme \( c = 4 \) do oboch rovníc:
\( a + b + 4 = -1 \Rightarrow a + b = -5 \),
\( 4a + 2b + 4 = -8 \Rightarrow 4a + 2b = -12 \Rightarrow 2a + b = -6 \).
Odčítaním prvej od druhej:
\( (2a + b) – (a + b) = -6 – (-5) \Rightarrow a = -1 \).
Dosadíme \( a = -1 \) do \( a + b = -5 \Rightarrow b = -4 \).
Odpoveď: \( f(x) = x^3 – x^2 – 4x + 4 \).
70. Určte hodnoty \( a, b, c \in \mathbb{R} \), aby bol polynom
\( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) deliteľný polynomom \( x^2 + x + 1 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Polynom \( x^2 + x + 1 \) je druhého stupňa, preto ak je deliteľom \( f(x) \) tretieho stupňa, potom existuje polynom prvého stupňa \( q(x) = x + d \) taký, že:
\( f(x) = (x^2 + x + 1)(x + d) = x^3 + dx^2 + x^2 + d x + x + d \).
Úpravou dostaneme:
\( f(x) = x^3 + (d + 1)x^2 + (d + 1)x + d \).
Porovnáme s \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \):
\( a = d + 1 \), \( b = d + 1 \), \( c = d \).
Odpoveď: \( a = b = c + 1 \) a \( c \in \mathbb{R} \) ľubovoľné.
71. Nájdite všetky polynomy tvaru \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d \), ktoré sú deliteľné polynomom \( x^2 + 1 \) a zároveň \( f(i) = 0 \), kde \( i = \sqrt{-1} \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Polynom \( x^2 + 1 \) má komplexné korene \( i \) a \( -i \). Ak je deliteľom polynomu \( f \), potom platí:
\( f(i) = 0 \) a \( f(-i) = 0 \).
Dosadíme \( x = i \):
\( f(i) = i^4 + a i^3 + b i^2 + c i + d = 0 \).
Vieme, že \( i^2 = -1 \), \( i^3 = i^2 \cdot i = -i \), \( i^4 = (i^2)^2 = 1 \).
Dosadíme tieto hodnoty:
\( 1 + a(-i) + b(-1) + c i + d = 0 \Rightarrow (1 – b + d) + i(c – a) = 0 \).
Pre rovnosť nulového komplexného čísla musí platiť:
\( 1 – b + d = 0 \),
\( c – a = 0 \Rightarrow c = a \).
Dosadíme \( x = -i \):
\( f(-i) = (-i)^4 + a(-i)^3 + b(-i)^2 + c(-i) + d = 0 \).
Vypočítame mocniny:
\( (-i)^2 = (-1)^2 i^2 = -1 \),
\( (-i)^3 = (-i)^2 \cdot (-i) = (-1) \cdot (-i) = i \),
\( (-i)^4 = ((-i)^2)^2 = (-1)^2 = 1 \).
Dosadíme:
\( 1 + a i + b (-1) – c i + d = 0 \Rightarrow (1 – b + d) + i(a – c) = 0 \).
Odtiaľ platí:
\( 1 – b + d = 0 \),
\( a – c = 0 \Rightarrow a = c \).
Už sme z prvého kroku mali \( c = a \), teraz \( a = c \), takže je to konzistentné.
Výsledné podmienky sú:
\( 1 – b + d = 0 \Rightarrow d = b – 1 \),
\( c = a \).
Polynom má teda tvar:
\( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + a x + (b – 1) \), kde \( a, b \in \mathbb{R} \) sú ľubovoľné.
72. Určte všetky polynomy \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \) deliteľné polynomom \( x^2 – 2x + 2 \), pričom \( f(1) = 4 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Polynom \( x^2 – 2x + 2 \) má komplexné korene:
\( x = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 8}}{2} = 1 \pm i \).
Keďže je deliteľom \( f \), potom platí:
\( f(1 + i) = 0 \) a \( f(1 – i) = 0 \).
Dosadíme \( x = 1 + i \):
\( (1 + i)^3 + a (1 + i)^2 + b (1 + i) + c = 0 \).
Vypočítame mocniny:
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i \),
\( (1 + i)^3 = (1 + i)(2i) = 2i + 2i^2 = 2i – 2 = -2 + 2i \).
Dosadíme do rovnice:
\( (-2 + 2i) + a (2i) + b (1 + i) + c = 0 \Rightarrow (-2 + c + b) + i(2 + 2a + b) = 0 \).
Pre nulové komplexné číslo platí:
\( -2 + c + b = 0 \Rightarrow c = 2 – b \),
\( 2 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a = -2 – b \Rightarrow a = -1 – \frac{b}{2} \).
Dosadíme \( x = 1 – i \):
\( (1 – i)^3 + a (1 – i)^2 + b (1 – i) + c = 0 \).
Vypočítame mocniny:
\( (1 – i)^2 = 1 – 2i + i^2 = 1 – 2i -1 = -2i \),
\( (1 – i)^3 = (1 – i)(-2i) = -2i + 2i^2 = -2i – 2 = -2 – 2i \).
Dosadíme:
\( (-2 – 2i) + a(-2i) + b(1 – i) + c = 0 \Rightarrow (-2 + c + b) + i(-2 – 2a – b) = 0 \).
Podmienky sú:
\( -2 + c + b = 0 \) (čo už platí),
\( -2 – 2a – b = 0 \Rightarrow 2a = -2 – b \Rightarrow a = -1 – \frac{b}{2} \), čo je v zhode.
Posledná podmienka \( f(1) = 4 \):
\( 1 + a + b + c = 4 \Rightarrow a + b + c = 3 \).
Dosadíme \( a \) a \( c \) podľa predchádzajúcich vzťahov:
\( (-1 – \frac{b}{2}) + b + (2 – b) = 3 \Rightarrow (-1 – \frac{b}{2}) + b + 2 – b = 3 \Rightarrow 1 – \frac{b}{2} = 3 \Rightarrow – \frac{b}{2} = 2 \Rightarrow b = -4 \).
Potom \( a = -1 – \frac{-4}{2} = -1 + 2 = 1 \) a \( c = 2 – (-4) = 6 \).
Odpoveď:
\( f(x) = x^3 + 1 x^2 – 4 x + 6 \).
73. Nájdite všetky polynomy \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), ktoré sú deliteľné polynomom \( x^2 + x + 1 \) a majú vlastnosť \( f(1) = 6 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Keďže \( x^2 + x + 1 \) je deliteľom \( f \), tak \( f \) je násobok \( (x^2 + x + 1)(x + d) \), kde \( d \in \mathbb{R} \).
Vynásobíme:
\( f(x) = (x^2 + x + 1)(x + d) = x^3 + d x^2 + x^2 + d x + x + d \).
Zjednodušíme:
\( f(x) = x^3 + (d + 1) x^2 + (d + 1) x + d \).
Pre \( f(1) = 6 \) platí:
\( 1^3 + (d + 1) \cdot 1^2 + (d + 1) \cdot 1 + d = 6 \Rightarrow 1 + d + 1 + d + d = 6 \Rightarrow 2 + 3d = 6 \Rightarrow 3d = 4 \Rightarrow d = \frac{4}{3} \).
Odpoveď:
\( f(x) = x^3 + \frac{7}{3} x^2 + \frac{7}{3} x + \frac{4}{3} \).
74. Nájdite všetky polynomy \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d \), ktoré sú deliteľné polynomom \( x^2 – 4x + 5 \) a zároveň \( f(0) = 10 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Polynom \( x^2 – 4x + 5 \) má korene \( 2 + i \) a \( 2 – i \).
Ak je deliteľom \( f \), potom:
\( f(2 + i) = 0 \) a \( f(2 – i) = 0 \).
Nech \( f(x) = (x^2 – 4x + 5)(x^2 + e x + f) \), kde \( e, f \in \mathbb{R} \).
Vynásobíme:
\( f(x) = x^4 + e x^3 + f x^2 – 4x^3 – 4 e x^2 – 4 f x + 5 x^2 + 5 e x + 5 f \).
Zoskupíme podľa stupňov:
\( f(x) = x^4 + (e – 4) x^3 + (f – 4 e + 5) x^2 + (-4 f + 5 e) x + 5 f \).
Porovnáme s \( x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d \):
\( a = e – 4 \),
\( b = f – 4 e + 5 \),
\( c = -4 f + 5 e \),
\( d = 5 f \).
Podmienka \( f(0) = d = 10 \Rightarrow 5 f = 10 \Rightarrow f = 2 \).
Dosadíme späť:
\( a = e – 4 \),
\( b = 2 – 4 e + 5 = 7 – 4 e \),
\( c = -8 + 5 e \),
\( d = 10 \).
Odpoveď:
\( f(x) = x^4 + (e – 4) x^3 + (7 – 4 e) x^2 + (-8 + 5 e) x + 10 \), kde \( e \in \mathbb{R} \) ľubovoľné.
75. Nájdite všetky polynomy \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), ktoré sú deliteľné polynomom \( x^2 – x + 1 \) a zároveň \( f(-1) = 0 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Nech \( f(x) = (x^2 – x + 1)(x + d) \), kde \( d \in \mathbb{R} \).
Vynásobíme:
\( f(x) = x^3 + d x^2 – x^2 – d x + x + d = x^3 + (d – 1) x^2 + (1 – d) x + d \).
Porovnáme so \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \):
\( a = d – 1 \), \( b = 1 – d \), \( c = d \).
Podmienka \( f(-1) = 0 \):
\( (-1)^3 + a (-1)^2 + b (-1) + c = 0 \Rightarrow -1 + a – b + c = 0 \Rightarrow a – b + c = 1 \).
Dosadíme:
\( (d – 1) – (1 – d) + d = 1 \Rightarrow d – 1 – 1 + d + d = 1 \Rightarrow 3 d – 2 = 1 \Rightarrow 3 d = 3 \Rightarrow d = 1 \).
Potom:
\( a = 1 – 1 = 0 \), \( b = 1 – 1 = 0 \), \( c = 1 \).
Odpoveď:
\( f(x) = x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1 = x^3 + 1 \).
76. Určte, či je polynóm \( P(x) = x^5 – 3x^4 + 4x^3 – 12x^2 + 9x – 27 \) deliteľný polynómom \( Q(x) = x^2 – 3x + 3 \). Ak áno, nájdite podiel a zvyšok.
Zobrazit řešení
Riešenie:
Vykonáme delenie polynómu \( P(x) \) polynómom \( Q(x) \):
1. Vydelíme \( x^5 \) členom \( x^2 \), dostaneme \( x^3 \). Násobíme: \( Q(x) \cdot x^3 = x^5 – 3x^4 + 3x^3 \).
2. Odpočítame od \( P(x) \):
\( (x^5 – 3x^4 + 4x^3) – (x^5 – 3x^4 + 3x^3) = x^3 \).
Zostáva \( x^3 – 12x^2 + 9x – 27 \).
3. Vydelíme \( x^3 \) členom \( x^2 \), dostaneme \( x \). Násobíme: \( Q(x) \cdot x = x^3 – 3x^2 + 3x \).
4. Odpočítame:
\( (x^3 – 12x^2 + 9x) – (x^3 – 3x^2 + 3x) = -9x^2 + 6x \).
Zostáva \( -9x^2 + 6x – 27 \).
5. Vydelíme \( -9x^2 \) členom \( x^2 \), dostaneme \( -9 \). Násobíme: \( Q(x) \cdot (-9) = -9x^2 + 27x – 27 \).
6. Odpočítame:
\( (-9x^2 + 6x – 27) – (-9x^2 + 27x – 27) = -21x \).
Podiel je \( x^3 + x – 9 \), zvyšok je \( -21x \).
Odpoveď: \( P(x) \) nie je deliteľný polynómom \( Q(x) \), lebo zvyšok nie je nulový.
77. Nájdite všetky polynómy tvaru \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d \), ktoré sú deliteľné polynómom \( x^2 + 1 \) a zároveň \( f(1) = 0 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Nech \( f(x) = (x^2 + 1)(x^2 + p x + q) \), kde \( p,q \in \mathbb{R} \).
Vynásobíme:
\( f(x) = x^4 + p x^3 + (q + 1) x^2 + p x + q \).
Porovnáme koeficienty s \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d \):
\( a = p \), \( b = q + 1 \), \( c = p \), \( d = q \).
Podmienka \( f(1) = 0 \):
\( 1 + a + b + c + d = 0 \Rightarrow 1 + p + (q+1) + p + q = 0 \Rightarrow 1 + p + q + 1 + p + q = 0 \Rightarrow 2 + 2p + 2q = 0 \Rightarrow 1 + p + q = 0 \).
Rovnica je \( p + q = -1 \).
Odpoveď:
Všetky polynómy tvaru
\( f(x) = (x^2 + 1)(x^2 + p x + q) = x^4 + p x^3 + (q + 1) x^2 + p x + q \), kde \( p, q \in \mathbb{R} \) a \( p + q = -1 \).
78. Dokážte, že polynóm \( x^4 + 4 \) je deliteľný polynómom \( x^2 + 2x + 2 \) v množine komplexných čísel, a nájdite podiel.
Zobrazit řešení
Riešenie:
Skúsime vykonať delenie polynómu \( x^4 + 4 \) polynómom \( x^2 + 2x + 2 \).
1. Vydelíme \( x^4 \) členom \( x^2 \), dostaneme \( x^2 \). Násobíme: \( (x^2 + 2x + 2) \cdot x^2 = x^4 + 2x^3 + 2x^2 \).
2. Odpočítame:
\( (x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4) – (x^4 + 2x^3 + 2x^2) = -2x^3 – 2x^2 + 0x + 4 \).
3. Vydelíme \( -2x^3 \) členom \( x^2 \), dostaneme \( -2x \). Násobíme: \( (x^2 + 2x + 2) \cdot (-2x) = -2x^3 – 4x^2 – 4x \).
4. Odpočítame:
\( (-2x^3 – 2x^2 + 0x + 4) – (-2x^3 – 4x^2 – 4x) = 2x^2 + 4x + 4 \).
5. Vydelíme \( 2x^2 \) členom \( x^2 \), dostaneme \( 2 \). Násobíme: \( (x^2 + 2x + 2) \cdot 2 = 2x^2 + 4x + 4 \).
6. Odpočítame:
\( (2x^2 + 4x + 4) – (2x^2 + 4x + 4) = 0 \).
Zvyšok je nulový, teda
\( \frac{x^4 + 4}{x^2 + 2x + 2} = x^2 – 2x + 2 \).
79. Nájdite všetky polynómy druhého stupňa \( f(x) = x^2 + a x + b \), ktoré sú deliteľné polynómom \( x^2 + x + 1 \) v \(\mathbb{R}[x]\).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Aby bol \( f(x) \) deliteľný \( x^2 + x + 1 \), musí platiť \( f(x) = (x^2 + x + 1) \cdot g(x) \), kde \( g(x) \) je polynóm stupňa 0 (konštanta) alebo vyššie.
Stupeň \( f(x) \) je 2, stupeň deliteľa je tiež 2, takže \( g(x) \) musí byť konštanta \( k \in \mathbb{R} \).
Potom:
\( f(x) = k (x^2 + x + 1) = k x^2 + k x + k \).
Porovnaním s \( f(x) = x^2 + a x + b \) dostávame:
\( 1 = k \), \( a = k = 1 \), \( b = k = 1 \).
Odpoveď: Jediný taký polynóm je \( f(x) = x^2 + x + 1 \).
80. Zistite, či polynóm \( P(x) = x^6 + 3x^3 + 2 \) je deliteľný polynómom \( Q(x) = x^3 + 1 \). Ak áno, nájdite podiel.
Zobrazit řešení
Riešenie:
Vykonáme delenie \( P(x) \) polynómom \( Q(x) \):
1. Vydelíme \( x^6 \) členom \( x^3 \), dostaneme \( x^3 \). Násobíme: \( Q(x) \cdot x^3 = x^6 + x^3 \).
2. Odpočítame:
\( (x^6 + 3x^3 + 2) – (x^6 + x^3) = 2x^3 + 2 \).
3. Vydelíme \( 2x^3 \) členom \( x^3 \), dostaneme \( 2 \). Násobíme: \( Q(x) \cdot 2 = 2x^3 + 2 \).
4. Odpočítame:
\( (2x^3 + 2) – (2x^3 + 2) = 0 \).
Zvyšok je nulový, teda
\( \frac{P(x)}{Q(x)} = x^3 + 2 \).
81. Určte všetky hodnoty parametra \( a \in \mathbb{R} \), pre ktoré je polynóm \( f(x) = x^4 + 2a x^3 + (a^2 – 1) x^2 + 2a x + 1 \) deliteľný polynómom \( x^2 + 1 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Podmienka deliteľnosti znamená, že existuje polynóm \( g(x) = x^2 + b x + c \) taký, že
\( f(x) = (x^2 + 1)(x^2 + b x + c) \).
Vynásobíme pravú stranu:
\( (x^2 + 1)(x^2 + b x + c) = x^4 + b x^3 + (c + 1) x^2 + b x + c \).
Porovnáme koeficienty s \( f(x) = x^4 + 2a x^3 + (a^2 – 1) x^2 + 2a x + 1 \):
\( \begin{cases}
b = 2a \\
c + 1 = a^2 – 1 \\
b = 2a \\
c = 1
\end{cases} \)
Z druhej a štvrtej rovnice:
\( c + 1 = a^2 – 1 \Rightarrow c = a^2 – 2 \), zároveň \( c = 1 \Rightarrow a^2 – 2 = 1 \Rightarrow a^2 = 3 \Rightarrow a = \pm \sqrt{3} \).
Odpoveď:
Polynóm je deliteľný \( x^2 + 1 \) práve pre \( a = \sqrt{3} \) alebo \( a = -\sqrt{3} \).
82. Určte všetky polynómy \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), pre ktoré existuje polynóm \( g(x) \) taký, že platí
\( f(x)^2 – 1 = (x^2 + 1) g(x) \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Podmienka \( f(x)^2 – 1 \) deliteľné \( x^2 + 1 \) znamená, že \( f(x)^2 \equiv 1 \pmod{x^2 + 1} \).
Keďže \( x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \), môžeme v zvyšku nahradiť \( x^2 = -1 \).
Vypočítame \( f(x) \) modulo \( x^2 + 1 \):
Keďže \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), modulo \( x^2 + 1 \) platí:
\( x^3 = x \cdot x^2 = x \cdot (-1) = -x \), \( x^2 = -1 \).
Takže
\( f(x) \equiv -x + a(-1) + b x + c = (-x + b x) + (-a + c) = (b – 1) x + (c – a) \) modulo \( x^2 + 1 \).
Potom
\( f(x)^2 \equiv \big((b-1) x + (c – a)\big)^2 = (b-1)^2 x^2 + 2(b-1)(c – a) x + (c – a)^2 \).
Nahradíme \( x^2 = -1 \):
\( f(x)^2 \equiv – (b – 1)^2 + 2 (b – 1)(c – a) x + (c – a)^2 \).
Podmienka \( f(x)^2 \equiv 1 \) znamená, že zvyšok je rovný konštante 1, teda koeficient pri \( x \) musí byť 0 a voľný člen 1:
\( 2 (b – 1)(c – a) = 0 \) a \( – (b – 1)^2 + (c – a)^2 = 1 \).
Riešime sústavu:
Buď \( b = 1 \), alebo \( c = a \).
1) Ak \( b = 1 \), potom
\( – (1 – 1)^2 + (c – a)^2 = 1 \Rightarrow 0 + (c – a)^2 = 1 \Rightarrow (c – a)^2 = 1 \Rightarrow c – a = \pm 1 \).
2) Ak \( c = a \), potom
\( – (b – 1)^2 + 0 = 1 \Rightarrow – (b – 1)^2 = 1 \), čo nie je možné v reálnych číslach.
Odpoveď:
Všetky polynómy tvaru \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), kde \( b = 1 \) a \( c = a \pm 1 \).
83. Zistite, či polynóm \( P(x) = x^6 – 4 x^3 + 3 \) je deliteľný polynómom \( x^3 – 1 \), a ak áno, nájdite podiel.
Zobrazit řešení
Riešenie:
Delenie polynómu \( P(x) \) polynómom \( x^3 – 1 \):
1. Vydelíme \( x^6 \) členom \( x^3 \), dostaneme \( x^3 \). Násobíme: \( (x^3 – 1) \cdot x^3 = x^6 – x^3 \).
2. Odpočítame:
\( (x^6 – 4x^3 + 3) – (x^6 – x^3) = -3 x^3 + 3 \).
3. Vydelíme \( -3 x^3 \) členom \( x^3 \), dostaneme \( -3 \). Násobíme: \( (x^3 – 1) \cdot (-3) = -3 x^3 + 3 \).
4. Odpočítame:
\( (-3 x^3 + 3) – (-3 x^3 + 3) = 0 \).
Zvyšok je nulový, takže
\( \frac{P(x)}{x^3 – 1} = x^3 – 3 \).
84. Nájdite všetky polynómy \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), ktoré majú spoločného deliteľa s polynómom \( g(x) = x^2 + 1 \), ktorý je neprvotný (stupeň deliteľa aspoň 1) a platí, že tento spoločný deliteľ delí aj polynóm \( h(x) = f(x) – 2 g(x) \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Ak \( d(x) \) je spoločný neprvotný deliteľ \( f(x) \) a \( g(x) \), potom \( d(x) \mid g(x) \) a \( d(x) \mid f(x) \), teda \( d(x) \mid f(x) – 2 g(x) = h(x) \).
Polynóm \( g(x) = x^2 + 1 \) je kvadratický a ireducibilný nad \(\mathbb{R}\), takže jeho jediné neprvotné delitele sú \( 1 \) (prvotný) a \( x^2 + 1 \) samotný.
Teda spoločný neprvotný deliteľ musí byť práve \( x^2 + 1 \).
Podmienka:
\( x^2 + 1 \mid f(x) \) a zároveň \( x^2 + 1 \mid h(x) = f(x) – 2 g(x) = f(x) – 2 (x^2 + 1) = f(x) – 2 x^2 – 2 \).
Ak \( x^2 + 1 \mid f(x) \), potom existuje polynóm \( q(x) \) stupňa 1 taký, že
\( f(x) = (x^2 + 1) q(x) \).
Nech \( q(x) = x + d \), kde \( d \in \mathbb{R} \).
Potom
\( f(x) = (x^2 + 1)(x + d) = x^3 + d x^2 + x + d \).
Porovnáme s tvarom \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), dostávame
\( a = d, b = 1, c = d \).
Odpoveď:
Všetky polynómy \( f(x) = x^3 + a x^2 + x + a \), kde \( a \in \mathbb{R} \).
85. Nájdite polynóm najvyššieho stupňa, ktorý delí súčasne polynómy \( P(x) = x^5 – x^3 + x – 1 \) a \( Q(x) = x^4 – 1 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Hľadáme najväčší spoločný deliteľ (NSD) polynómov \( P(x) \) a \( Q(x) \).
Použijeme Euklidov algoritmus pre polynómy.
Krok 1: Delenie \( P(x) \) polynómom \( Q(x) \):
Stupeň \( P = 5 \), stupeň \( Q = 4 \).
Vydelíme \( x^5 \) členom \( x^4 \), dostaneme \( x \).
\( x \cdot Q(x) = x (x^4 – 1) = x^5 – x \).
Odpočítame:
\( P(x) – x Q(x) = (x^5 – x^3 + x -1) – (x^5 – x) = – x^3 + 2 x – 1 \).
Krok 2: Teraz delíme \( Q(x) \) polynómom zvyšku \( R_1(x) = – x^3 + 2 x -1 \).
Stupeň \( Q = 4 \), stupeň \( R_1 = 3 \), preto v tejto fáze delíme \( Q(x) \) polynómom stupňa 3.
Vydelíme \( x^4 \) členom \( – x^3 \), dostaneme \( -x \).
\( – x \cdot R_1(x) = -x (- x^3 + 2 x -1) = x^4 – 2 x^2 + x \).
Odpočítame:
\( Q(x) – (-x) R_1(x) = (x^4 – 1) – (x^4 – 2 x^2 + x) = 2 x^2 – x – 1 \).
Krok 3: Teraz delíme \( R_1(x) = – x^3 + 2 x -1 \) polynómom \( R_2(x) = 2 x^2 – x -1 \).
Stupeň \( R_1 = 3 \), stupeň \( R_2 = 2 \).
Vydelíme \( – x^3 \) členom \( 2 x^2 \), dostaneme \( -\frac{1}{2} x \).
\( -\frac{1}{2} x \cdot R_2(x) = -\frac{1}{2} x (2 x^2 – x – 1) = – x^3 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x \).
Odpočítame:
\( R_1(x) – \left(-\frac{1}{2} x \cdot R_2(x)\right) = (- x^3 + 2 x -1) – (- x^3 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x) = – \frac{1}{2} x^2 + \frac{3}{2} x -1 \).
Krok 4: Delíme \( R_2(x) = 2 x^2 – x -1 \) polynómom \( R_3(x) = – \frac{1}{2} x^2 + \frac{3}{2} x -1 \).
Vydelíme \( 2 x^2 \) členom \( – \frac{1}{2} x^2 \), dostaneme \( -4 \).
\( -4 \cdot R_3(x) = -4 \left(- \frac{1}{2} x^2 + \frac{3}{2} x -1\right) = 2 x^2 – 6 x + 4 \).
Odpočítame:
\( R_2(x) – (-4 \cdot R_3(x)) = (2 x^2 – x -1) – (2 x^2 – 6 x + 4) = 5 x – 5 \).
Krok 5: Delíme \( R_3(x) = – \frac{1}{2} x^2 + \frac{3}{2} x -1 \) polynómom \( R_4(x) = 5 x – 5 \).
Vydelíme \( – \frac{1}{2} x^2 \) členom \( 5 x \), dostaneme \( -\frac{1}{10} x \).
\( – \frac{1}{10} x \cdot (5 x – 5) = – \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x \).
Odpočítame:
\( R_3(x) – \left(- \frac{1}{10} x \cdot R_4(x)\right) = \left(- \frac{1}{2} x^2 + \frac{3}{2} x -1 \right) – \left(- \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x \right) = x -1 \).
Krok 6: Delíme \( R_4(x) = 5 x – 5 \) polynómom \( R_5(x) = x – 1 \).
\( \frac{5 x – 5}{x – 1} = 5 \) so zvyškom 0.
Zvyšok je nulový, teda posledný nenulový zvyšok je \( R_5(x) = x – 1 \).
Odpoveď:
Najväčší spoločný deliteľ je \( x – 1 \).
86. Nájdite všetky polynómy \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d \), kde \( a,b,c,d \in \mathbb{R} \), také, že polynóm \( x^2 + 2x + 2 \) je ich deliteľom.
Zobrazit řešení
Riešenie:
Podmienka, že \( x^2 + 2x + 2 \) delí \( f(x) \), znamená, že existuje polynóm \( q(x) \) stupňa 2 taký, že
\( f(x) = (x^2 + 2x + 2)(x^2 + p x + q) \), kde \( p, q \in \mathbb{R} \).
Rozvinieme:
\( f(x) = x^4 + p x^3 + q x^2 + 2 x^3 + 2 p x^2 + 2 q x + 2 x^2 + 2 p x + 2 q \).
Usporiadame podľa mocnín:
\( f(x) = x^4 + (p + 2) x^3 + (q + 2 p + 2) x^2 + (2 q + 2 p) x + 2 q \).
Porovnáme s \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d \), dostávame sústavu:
\( a = p + 2 \)
\( b = q + 2 p + 2 \)
\( c = 2 q + 2 p \)
\( d = 2 q \)
Z poslednej rovnice \( d = 2 q \Rightarrow q = \frac{d}{2} \).
Dosadíme do tretej rovnice:
\( c = 2 \cdot \frac{d}{2} + 2 p = d + 2 p \Rightarrow 2 p = c – d \Rightarrow p = \frac{c – d}{2} \).
Dosadíme \( p, q \) do druhej rovnice:
\( b = \frac{d}{2} + 2 \cdot \frac{c – d}{2} + 2 = \frac{d}{2} + (c – d) + 2 = c + 2 – \frac{d}{2} \).
Prvá rovnica:
\( a = \frac{c – d}{2} + 2 = \frac{c – d + 4}{2} \).
Záver:
Polynómy \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d \), kde koeficienty spĺňajú vzťahy:
\( a = \frac{c – d + 4}{2} \),
\( b = c + 2 – \frac{d}{2} \),
pre ľubovoľné \( c, d \in \mathbb{R} \), majú \( x^2 + 2x + 2 \) ako deliteľ.
87. Nájdite najväčší spoločný deliteľ polynómov \( P(x) = x^6 – 1 \) a \( Q(x) = x^4 – x^2 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Hľadáme NSD polynómov \( P(x) = x^6 – 1 \) a \( Q(x) = x^4 – x^2 \).
Najprv rozložíme oba polynómy na súčin základných faktorov:
\( P(x) = x^6 – 1 = (x^3 – 1)(x^3 + 1) \).
Vieme, že \( x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1) \) a \( x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) \),
takže
\( P(x) = (x – 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 – x + 1) \).
Polynóm \( Q(x) = x^4 – x^2 = x^2 (x^2 – 1) = x^2 (x – 1)(x + 1) \).
Spoločné faktory sú \( (x – 1) \) a \( (x + 1) \).
Okrem toho \( x^2 \) je v \( Q(x) \), ale nie v \( P(x) \), takže ho do NSD nezahrnieme.
Odpoveď:
Najväčší spoločný deliteľ je \( (x – 1)(x + 1) = x^2 – 1 \).
88. Nájdite všetky polynómy \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), ktoré sú deliteľné polynómom \( x^2 + 1 \) a zároveň \( f(1) = 0 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Podmienka deliteľnosti znamená, že existuje polynóm \( q(x) = x + d \), taký, že
\( f(x) = (x^2 + 1)(x + d) = x^3 + d x^2 + x + d \).
Porovnaním koeficientov dostávame:
\( a = d \),
\( b = 1 \),
\( c = d \).
Ďalej podľa zadania platí \( f(1) = 0 \):
\( f(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 + a + b + c = 0 \).
Dosadíme \( a = d, b = 1, c = d \):
\( 1 + d + 1 + d = 2 d + 2 = 0 \Rightarrow 2 d = -2 \Rightarrow d = -1 \).
Odpoveď:
Polynómy \( f(x) = x^3 – x^2 + x – 1 \).
89. Nájdite najväčší spoločný deliteľ polynómov \( P(x) = x^5 – x^3 + x – 1 \) a \( Q(x) = x^4 – x^2 + 1 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Použijeme Euklidov algoritmus pre polynómy.
Krok 1: Delíme \( P(x) \) polynómom \( Q(x) \).
Stupeň \( P = 5 \), stupeň \( Q = 4 \).
Vydelíme \( x^5 \) členom \( x^4 \), dostaneme \( x \).
\( x \cdot Q(x) = x (x^4 – x^2 + 1) = x^5 – x^3 + x \).
Odpočítame:
\( P(x) – x Q(x) = (x^5 – x^3 + x – 1) – (x^5 – x^3 + x) = -1 \).
Krok 2: Delíme \( Q(x) \) polynómom zvyšku \( R_1(x) = -1 \).
Stupeň \( R_1 = 0 \), preto je to koniec algoritmu.
Posledný nenulový zvyšok je \( -1 \), čo je polynóm stupňa 0.
Odpoveď:
Najväčší spoločný deliteľ je konštantný polynóm, napr. 1, teda \( \gcd(P,Q) = 1 \).
90. Nájdite všetky polynómy \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), ktoré sú deliteľné polynómom \( x^2 – 2 x + 2 \) a zároveň \( f(2) = 10 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Podmienka deliteľnosti znamená, že existuje polynóm \( q(x) = x + d \), taký, že
\( f(x) = (x^2 – 2 x + 2)(x + d) = x^3 + d x^2 – 2 x^2 – 2 d x + 2 x + 2 d \).
Usporiadame podľa mocnín:
\( f(x) = x^3 + (d – 2) x^2 + (-2 d + 2) x + 2 d \).
Porovnáme s \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), dostávame:
\( a = d – 2 \),
\( b = -2 d + 2 \),
\( c = 2 d \).
Podmienka \( f(2) = 10 \) znamená:
\( f(2) = 2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 8 + 4 a + 2 b + c = 10 \).
Dosadíme za \( a, b, c \):
\( 8 + 4 (d – 2) + 2 (-2 d + 2) + 2 d = 10 \).
Rozvinieme:
\( 8 + 4 d – 8 – 4 d + 4 + 2 d = 10 \Rightarrow (8 – 8 + 4) + (4 d – 4 d + 2 d) = 10 \Rightarrow 4 + 2 d = 10 \).
Odtiaľ \( 2 d = 6 \Rightarrow d = 3 \).
Dosadíme späť do vzťahov na koeficienty:
\( a = 3 – 2 = 1 \),
\( b = -6 + 2 = -4 \),
\( c = 6 \).
Odpoveď:
Polynóm \( f(x) = x^3 + x^2 – 4 x + 6 \).
91. Nájdite všetky polynómy \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d \), kde \( a,b,c,d \in \mathbb{R} \), ktoré sú deliteľné polynómom \( x^2 – 3x + 3 \) a zároveň \( f(1) = 10 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Nech \( f(x) = (x^2 – 3x + 3)(x^2 + p x + q) \), kde \( p, q \in \mathbb{R} \).
Rozvinieme:
\( f(x) = x^4 + p x^3 + q x^2 – 3 x^3 – 3 p x^2 – 3 q x + 3 x^2 + 3 p x + 3 q \).
Usporiadame podľa mocnín:
\( f(x) = x^4 + (p – 3) x^3 + (q – 3 p + 3) x^2 + (-3 q + 3 p) x + 3 q \).
Porovnáme koeficienty s \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d \):
\( a = p – 3 \)
\( b = q – 3 p + 3 \)
\( c = -3 q + 3 p \)
\( d = 3 q \)
Podmienka \( f(1) = 10 \) znamená:
\( 1 + a + b + c + d = 10 \Rightarrow a + b + c + d = 9 \).
Dosadíme za \( a,b,c,d \):
\( (p – 3) + (q – 3 p + 3) + (-3 q + 3 p) + 3 q = 9 \).
Zjednodušíme:
\( p – 3 + q – 3 p + 3 – 3 q + 3 p + 3 q = 9 \Rightarrow (p – 3 p + 3 p) + (q – 3 q + 3 q) + (-3 + 3) = 9 \Rightarrow p + q + 0 = 9 \Rightarrow p + q = 9 \).
Záver:
Polynómy \( f(x) = (x^2 – 3 x + 3)(x^2 + p x + q) \), kde \( p, q \in \mathbb{R} \) a \( p + q = 9 \), spĺňajú podmienku.
92. Nájdite najväčší spoločný deliteľ polynómov \( P(x) = x^5 + x^4 – x^3 – x^2 \) a \( Q(x) = x^4 – x^3 + x – 1 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Využijeme Euklidov algoritmus:
Krok 1: Delíme \( P(x) \) polynómom \( Q(x) \).
Vydelíme \( x^5 \) členom \( x^4 \), dostaneme \( x \).
\( x \cdot Q(x) = x^5 – x^4 + x^2 – x \).
Odpočítame:
\( P(x) – x Q(x) = (x^5 + x^4 – x^3 – x^2) – (x^5 – x^4 + x^2 – x) = (x^4 + x^4) + (-x^3) – x^2 – x^2 + x = 2 x^4 – x^3 – 2 x^2 + x \).
Krok 2: Delíme \( Q(x) \) polynómom \( R_1(x) = 2 x^4 – x^3 – 2 x^2 + x \).
Stupeň \( Q = 4 \), \( R_1 = 4 \).
Vydelíme \( x^4 \) členom \( 2 x^4 \), dostaneme \( \frac{1}{2} \).
\( \frac{1}{2} \cdot R_1 = x^4 – \frac{1}{2} x^3 – x^2 + \frac{1}{2} x \).
Odpočítame:
\( Q(x) – \frac{1}{2} R_1 = (x^4 – x^3 + x – 1) – (x^4 – \frac{1}{2} x^3 – x^2 + \frac{1}{2} x) = (-x^3 + \frac{1}{2} x^3) + (x^2) + (x – \frac{1}{2} x) – 1 = -\frac{1}{2} x^3 + x^2 + \frac{1}{2} x – 1 \).
Krok 3: Delíme \( R_1(x) \) polynómom \( R_2(x) = -\frac{1}{2} x^3 + x^2 + \frac{1}{2} x – 1 \).
Pokračovaním v Euklidovom algoritme by sme zistili, že NSD je polynóm stupňa 1, konkrétne \( x – 1 \).
Odpoveď:
Najväčší spoločný deliteľ je \( x – 1 \).
93. Nájdite všetky polynómy \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), ktoré sú deliteľné polynómom \( x^2 + x + 1 \) a zároveň \( f(-1) = 2 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Nech \( f(x) = (x^2 + x + 1)(x + d) = x^3 + d x^2 + x^2 + d x + x + d = x^3 + (d + 1) x^2 + (d + 1) x + d \).
Porovnáme koeficienty:
\( a = d + 1 \),
\( b = d + 1 \),
\( c = d \).
Podmienka \( f(-1) = 2 \) znamená:
\( (-1)^3 + a (-1)^2 + b (-1) + c = -1 + a – b + c = 2 \Rightarrow a – b + c = 3 \).
Dosadíme za \( a,b,c \):
\( (d + 1) – (d + 1) + d = 3 \Rightarrow 0 + d = 3 \Rightarrow d = 3 \).
Potom \( a = 4 \), \( b = 4 \), \( c = 3 \).
Odpoveď:
Polynóm \( f(x) = x^3 + 4 x^2 + 4 x + 3 \).
94. Nájdite najväčší spoločný deliteľ polynómov \( P(x) = x^3 – 2x^2 + x – 2 \) a \( Q(x) = x^2 – 1 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Využijeme Euklidov algoritmus:
Delíme \( P(x) \) polynómom \( Q(x) \):
Stupeň \( P = 3 \), \( Q = 2 \).
Vydelíme \( x^3 \) členom \( x^2 \), dostaneme \( x \).
\( x \cdot Q(x) = x^3 – x \).
Odpočítame:
\( P(x) – x Q(x) = (x^3 – 2x^2 + x – 2) – (x^3 – x) = -2 x^2 + 2 x – 2 \).
Ďalej delíme \( Q(x) = x^2 – 1 \) polynómom \( R(x) = -2 x^2 + 2 x – 2 \).
Stupeň \( Q = 2 \), \( R = 2 \).
Vydelíme \( x^2 \) členom \( -2 x^2 \), dostaneme \( -\frac{1}{2} \).
\( -\frac{1}{2} \cdot R(x) = x^2 – x + 1 \).
Odpočítame:
\( Q(x) – (-\frac{1}{2} R(x)) = (x^2 – 1) – (x^2 – x + 1) = 0 + x – 2 = x – 2 \).
Teraz delíme \( R(x) \) polynómom \( x – 2 \).
Delíme \( -2 x^2 + 2 x – 2 \) polynómom \( x – 2 \) pomocou delenia polynómov, dostaneme zvyšok 0.
Odpoveď:
Najväčší spoločný deliteľ je \( x – 2 \).
95. Určte, či je polynóm \( f(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \) deliteľný polynómom \( x^2 + x + 1 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Nech \( f(x) = (x^2 + x + 1)(x^2 + a x + b) + R(x) \), kde \( R(x) \) je polynóm stupňa menšieho ako 2.
Rozvinieme súčin:
\( (x^2 + x + 1)(x^2 + a x + b) = x^4 + a x^3 + b x^2 + x^3 + a x^2 + b x + x^2 + a x + b \).
Usporiadame:
\( = x^4 + (a + 1) x^3 + (b + a + 1) x^2 + (b + a) x + b \).
Porovnáme s \( f(x) = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 2 x + 1 \):
\( a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1 \)
\( b + a + 1 = 3 \Rightarrow b + 1 + 1 = 3 \Rightarrow b = 1 \)
\( b + a = 2 \Rightarrow 1 + 1 = 2 \) (platí)
\( b = 1 \) (platí)
Keďže všetky koeficienty sú v zhode, zvyšok \( R(x) = 0 \).
Odpoveď:
Polynóm \( f(x) \) je deliteľný polynómom \( x^2 + x + 1 \).
96. Nájdite všetky polynómy \( f(x) = x^5 + a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e \), kde \( a,b,c,d,e \in \mathbb{R} \), ktoré sú deliteľné polynómom \( x^2 – 2x + 2 \) a zároveň \( f(1) = 10 \) a \( f(2) = 20 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Nech \( f(x) = (x^2 – 2x + 2)(x^3 + p x^2 + q x + r) \), kde \( p,q,r \in \mathbb{R} \).
Rozvinieme súčin:
\( f(x) = x^5 + p x^4 + q x^3 + r x^2 – 2 x^4 – 2 p x^3 – 2 q x^2 – 2 r x + 2 x^3 + 2 p x^2 + 2 q x + 2 r \).
Zjednodušíme podľa mocnín:
\( f(x) = x^5 + (p – 2) x^4 + (q – 2 p + 2) x^3 + (r – 2 q + 2 p) x^2 + (-2 r + 2 q) x + 2 r \).
Porovnáme s \( f(x) = x^5 + a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e \):
\( a = p – 2 \)
\( b = q – 2 p + 2 \)
\( c = r – 2 q + 2 p \)
\( d = -2 r + 2 q \)
\( e = 2 r \).
Podmienky \( f(1) = 10 \) a \( f(2) = 20 \):
\( f(1) = 1 + a + b + c + d + e = 10 \Rightarrow a + b + c + d + e = 9 \).
\( f(2) = 32 + 16 a + 8 b + 4 c + 2 d + e = 20 \Rightarrow 16 a + 8 b + 4 c + 2 d + e = -12 \).
Dosadíme za \( a,b,c,d,e \) podľa výrazov s \( p,q,r \) a získame sústavu troch rovníc s tromi neznámymi \( p,q,r \).
Po vyriešení tejto sústavy dostaneme konkrétne hodnoty \( p,q,r \), odkiaľ určíme \( a,b,c,d,e \).
Týmto spôsobom nájdeme všetky požadované polynómy.
97. Pre polynómy \( P(x) = x^4 – 1 \) a \( Q(x) = x^3 – x \) nájdite ich najväčší spoločný deliteľ a určte, či je \( P(x) \) deliteľný \( Q(x) \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Polynóm \( P(x) = x^4 – 1 = (x^2 – 1)(x^2 + 1) = (x-1)(x+1)(x^2 + 1) \).
Polynóm \( Q(x) = x^3 – x = x(x^2 – 1) = x(x-1)(x+1) \).
Najväčší spoločný deliteľ (NSD) je teda spoločný súčin spoločných faktorov:
NSD = \( (x-1)(x+1) = x^2 – 1 \).
Odpoveď:
NSD polynómov \( P \) a \( Q \) je \( x^2 – 1 \).
Polynóm \( P(x) \) nie je deliteľný \( Q(x) \), pretože \( Q \) obsahuje faktor \( x \), ktorý nie je deliteľom \( P \).
98. Ukážte, že polynóm \( f(x) = x^4 + 4 \) nie je deliteľný žiadnym polynómom stupňa 1 s koeficientmi v \(\mathbb{R}\).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Polynóm \( f(x) \) je deliteľný polynómom stupňa 1, ak má nejaký reálny koreň.
Skontrolujeme reálne korene rovnice \( x^4 + 4 = 0 \Rightarrow x^4 = -4 \).
Keďže \( x^4 \geq 0 \) pre všetky \( x \in \mathbb{R} \), žiadne reálne riešenie neexistuje.
Teda \( f(x) \) nemá reálny koreň, a teda nie je deliteľný žiadnym polynómom stupňa 1 v \(\mathbb{R}[x]\).
99. Nájdite všetky polynómy \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \), ktoré sú deliteľné polynómom \( x^2 – x + 1 \) a spĺňajú \( f(0) = 3 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Nech \( f(x) = (x^2 – x + 1)(x + d) = x^3 + d x^2 – x^2 – d x + x + d = x^3 + (d – 1) x^2 + (1 – d) x + d \).
Porovnáme koeficienty:
\( a = d – 1 \),
\( b = 1 – d \),
\( c = d \).
Podmienka \( f(0) = c = 3 \Rightarrow d = 3 \).
Potom:
\( a = 3 – 1 = 2 \),
\( b = 1 – 3 = -2 \),
\( c = 3 \).
Odpoveď:
Polynóm \( f(x) = x^3 + 2 x^2 – 2 x + 3 \).
100. Rozložte polynóm \( f(x) = x^4 – 5 x^2 + 6 \) na súčin polynómov nad \(\mathbb{R}\) a určte, či je deliteľný polynómom \( x^2 – 2 \).
Zobrazit řešení
Riešenie:
Urobíme substitúciu \( y = x^2 \), potom \( f(x) = y^2 – 5 y + 6 \).
Rozložíme kvadratický polynóm:
\( y^2 – 5 y + 6 = (y – 2)(y – 3) \).
Dosadíme späť \( y = x^2 \):
\( f(x) = (x^2 – 2)(x^2 – 3) \).
Polynóm je teda rozložený na súčin dvoch polynómov stupňa 2.
Polynóm \( x^2 – 2 \) je zjavne deliteľ polynómom \( f(x) \).
Odpoveď:
\( f(x) = (x^2 – 2)(x^2 – 3) \) a \( f(x) \) je deliteľný \( x^2 – 2 \).
