1. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 7x + 5y = 1 \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( 7x + 5y = 1 \) je lineární diofantovská rovnice dvou proměnných.
Nejprve zjistíme, zda má rovnice celočíselné řešení. To nastane, pokud \( \text{NSD}(7, 5) \mid 1 \).
Protože \( \text{NSD}(7, 5) = 1 \), existují celá řešení.
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 7 = 1 \cdot 5 + 2 \)
\( 5 = 2 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 2 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 5 – 2 \cdot 2 = 5 – 2(7 – 1 \cdot 5) = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 7 \)
Tedy jedno řešení je \( x_0 = -2 \), \( y_0 = 3 \).
Obecné řešení má tvar:
\( x = x_0 + 5t = -2 + 5t \)
\( y = y_0 – 7t = 3 – 7t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
2. Určete všechna celá řešení rovnice \( 12x – 18y = 6 \).
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, zda má rovnice řešení: \( \text{NSD}(12,18) = 6 \Rightarrow 6 \mid 6 \), řešení existují.
Zjednodušíme rovnici dělením obou stran \(6\):
\( 2x – 3y = 1 \)
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus na čísla \(2\) a \(3\):
\( 3 = 1 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 2 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 3 – 1 \cdot 2 \Rightarrow x_0 = -1, y_0 = -1 \)
Řešení původní rovnice:
\( x = -1 + 3t \)
\( y = -1 + 2t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
3. Vyřešte v celých číslech rovnici \( 35x + 22y = 11 \).
Řešení příkladu:
Zjistíme \( \text{NSD}(35, 22) \):
\( 35 = 1 \cdot 22 + 13 \)
\( 22 = 1 \cdot 13 + 9 \)
\( 13 = 1 \cdot 9 + 4 \)
\( 9 = 2 \cdot 4 + 1 \)
\( 4 = 4 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \Rightarrow 1 \mid 11 \)
Rozšířený Eukleidův algoritmus nám dává konkrétní řešení rovnice \( 35x + 22y = 1 \).
Vracíme zpět a dostaneme \( x_0 = -5, y_0 = 8 \)
Protože násobíme rovnici číslem \(11\), máme:
\( x = -55 + 22t \)
\( y = 88 – 35t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
4. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 6x + 15y = 21 \).
Řešení příkladu:
\( \text{NSD}(6,15) = 3 \Rightarrow 3 \mid 21 \Rightarrow \) řešení existují.
Po vydělení \(3\):
\( 2x + 5y = 7 \)
Rozšířený Eukleidův algoritmus dává:
\( 5 = 2 \cdot 2 + 1 \Rightarrow x_0 = -3, y_0 = 1 \)
Násobíme \(7\):
\( x = -21 + 5t \)
\( y = 7 – 2t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
5. Najděte všechna řešení v celých číslech rovnice \( 10x – 25y = 5 \).
Řešení příkladu:
\( \text{NSD}(10,25) = 5 \Rightarrow 5 \mid 5 \Rightarrow \) řešení existují.
Rovnici zjednodušíme dělením \(5\):
\( 2x – 5y = 1 \)
Rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 5 = 2 \cdot 2 + 1 \Rightarrow x_0 = 2, y_0 = 1 \)
Řešení původní rovnice:
\( x = 2 + 5t \)
\( y = 1 + 2t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
6. Určete všechna řešení rovnice \( 14x + 21y = 35 \).
Řešení příkladu:
\( \text{NSD}(14,21) = 7 \Rightarrow 7 \mid 35 \Rightarrow \) řešení existují.
Dělením \(7\) dostáváme rovnici:
\( 2x + 3y = 5 \)
Rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 3 = 1 \cdot 2 + 1 \Rightarrow x_0 = -1, y_0 = 1 \)
Násobíme \(5\):
\( x = -5 + 3t \)
\( y = 5 – 2t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
7. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 123x + 17y = 1 \).
Řešení příkladu:
\( \text{NSD}(123,17) = 1 \Rightarrow 1 \mid 1 \Rightarrow \) řešení existují.
Rozšířený Eukleidův algoritmus dává:
\( x_0 = -2, y_0 = 15 \)
Obecné řešení:
\( x = -2 + 17t \)
\( y = 15 – 123t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
8. Najděte celá řešení rovnice \( 111x – 37y = 10 \).
Řešení:
Máme rovnici \( 111x – 37y = 10 \), kde \( x \) a \( y \) jsou celá čísla. Abychom zjistili, zda tato rovnice má celočíselná řešení, použijeme algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele \( (NSD)\).
Krok 1: Najdeme \( NSD(111, 37)\)
Pomocí Eukleidova algoritmu zjistíme, že:
\( 111 = 37 \times 3 + 0 \)
Proto \( \text{NSD}(111, 37) = 37 \).
Krok 2: Podmínka pro existenci celočíselných řešení
Podle teorie diofantických rovnic víme, že pro rovnice ve tvaru \( ax + by = c \) mají celočíselná řešení pouze v případě, že \( \text{NSD}(a, b) \) dělí \( c \). Tedy v našem případě:
\( \text{NSD}(111, 37) = 37 \), ale \( 37 \) ne dělí \( 10 \), protože \( 10 \div 37 \) není celé číslo. To znamená, že rovnice nemá žádná celočíselná řešení.
Závěr: Rovnice \( 111x – 37y = 10 \) nemá celočíselná řešení, protože \(NSD(111, 37) = 37\) a \(37\) ne dělí \(10\).
9. Určete všechna celá řešení rovnice \( 16x + 10y = 2 \).
Řešení příkladu:
\( \text{NSD}(16,10) = 2 \Rightarrow 2 \mid 2 \Rightarrow \) řešení existují.
Po vydělení \(2\):
\( 8x + 5y = 1 \Rightarrow x_0 = 2, y_0 = -3 \)
Obecné řešení:
\( x = 2 + 5t \)
\( y = -3 – 8t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
10. Najděte všechna řešení rovnice \( 19x + 28y = 3 \).
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme \( \text{NSD}(19,28) = 1 \Rightarrow 1 \mid 3 \), řešení existují.
Rozšířený Eukleidův algoritmus dává jedno řešení \( x_0 = -11, y_0 = 7 \) pro rovnici \( 19x + 28y = 1 \).
Vynásobením \(3\) dostáváme:
\( x = -33 + 28t \)
\( y = 21 – 19t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
11. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 18x + 30y = 6 \).
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, zda rovnice \( 18x + 30y = 6 \) má celočíselná řešení. To nastane, pokud \( \text{NSD}(18, 30) \mid 6 \).
\( \text{NSD}(18, 30) = 6 \Rightarrow 6 \mid 6 \), takže řešení existují.
Upravíme rovnici dělením obou stran rovnicí \(NSD\):
\( \frac{18}{6}x + \frac{30}{6}y = \frac{6}{6} \Rightarrow 3x + 5y = 1 \)
Řešíme pomocí rozšířeného Eukleidova algoritmu:
\( 5 = 1 \cdot 3 + 2 \)
\( 3 = 1 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 2 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 3 – 1 \cdot 2 = 3 – 1(5 – 1 \cdot 3) = 2 \cdot 3 – 1 \cdot 5 \)
Řešení z této rovnice: \( x_0 = 2 \), \( y_0 = -1 \)
Obecné řešení původní rovnice:
\( x = 2 + 5t \)
\( y = -1 – 3t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
12. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 9x – 4y = 7 \).
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme, zda má rovnice celočíselné řešení. \( \text{NSD}(9, 4) = 1 \Rightarrow 1 \mid 7 \), takže řešení existují.
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 9 = 2 \cdot 4 + 1 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 9 – 2 \cdot 4 \)
Vynásobíme obě strany sedmi:
\( 7 = 7 \cdot 9 – 14 \cdot 4 \Rightarrow x_0 = 7, y_0 = 14 \)
Obecné řešení:
\( x = 7 + 4t \)
\( y = 14 + 9t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
13. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 35x + 22y = 11 \).
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, zda rovnice má řešení. \( \text{NSD}(35, 22) = 1 \Rightarrow 1 \mid 11 \), takže řešení existují.
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 35 = 1 \cdot 22 + 13 \)
\( 22 = 1 \cdot 13 + 9 \)
\( 13 = 1 \cdot 9 + 4 \)
\( 9 = 2 \cdot 4 + 1 \)
\( 4 = 4 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 9 – 2 \cdot 4 = 9 – 2(13 – 9) = 3 \cdot 9 – 2 \cdot 13 = 3(22 – 13) – 2 \cdot 13 \)
\( = 3 \cdot 22 – 5 \cdot 13 = 3 \cdot 22 – 5(35 – 22) = 3 \cdot 22 – 5 \cdot 35 + 5 \cdot 22 = 8 \cdot 22 – 5 \cdot 35 \)
\( \Rightarrow x_0 = -5, y_0 = 8 \)
Vynásobíme obě strany jedenácti:
\( x = -55 + 22t \)
\( y = 88 – 35t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
14. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 17x – 13y = 2 \).
Řešení příkladu:
\( \text{NSD}(17, 13) = 1 \Rightarrow 1 \mid 2 \), tedy řešení existují.
Eukleidův algoritmus:
\( 17 = 1 \cdot 13 + 4 \)
\( 13 = 3 \cdot 4 + 1 \)
\( 4 = 4 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 13 – 3 \cdot 4 = 13 – 3(17 – 13) = 4 \cdot 13 – 3 \cdot 17 \)
Vynásobíme dvěma:
\( 2 = 8 \cdot 13 – 6 \cdot 17 \Rightarrow x_0 = -6, y_0 = 8 \)
Obecné řešení:
\( x = -6 + 13t \)
\( y = 8 + 17t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
15. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 42x + 56y = 14 \).
Řešení příkladu:
\( \text{NSD}(42, 56) = 14 \Rightarrow 14 \mid 14 \), takže řešení existují.
Dělíme rovnici číslem \(14\):
\( 3x + 4y = 1 \)
Rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 4 = 1 \cdot 3 + 1 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
\( 1 = 4 – 1 \cdot 3 \Rightarrow x_0 = -1, y_0 = 1 \)
Obecné řešení původní rovnice:
\( x = -1 + 4t \)
\( y = 1 – 3t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
16. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 9x + 4y = 2 \).
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme, zda má rovnice \( 9x + 4y = 2 \) celočíselná řešení. To platí, pokud \( \text{NSD}(9, 4) \mid 2 \).
Protože \( \text{NSD}(9, 4) = 1 \) a \( 1 \mid 2 \), rovnice má celočíselná řešení.
Nejprve najdeme řešení rovnice \( 9x + 4y = 1 \) pomocí rozšířeného Eukleidova algoritmu:
\( 9 = 2 \cdot 4 + 1 \)
\( 4 = 4 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 9 – 2 \cdot 4 \)
Tedy jedno řešení rovnice \( 9x + 4y = 1 \) je \( x_0 = 1 \), \( y_0 = -2 \).
Vynásobíme obě strany rovnice \(2\):
\( x = 2 \cdot 1 = 2 \), \( y = 2 \cdot (-2) = -4 \)
Tedy jedno řešení rovnice \( 9x + 4y = 2 \) je \( x = 2 \), \( y = -4 \).
Obecné řešení najdeme pomocí vzorců:
\( x = x_0 + \frac{4}{\text{NSD}(9,4)} t = 2 + 4t \)
\( y = y_0 – \frac{9}{\text{NSD}(9,4)} t = -4 – 9t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
17. Určete všechna celá řešení rovnice \( 14x – 9y = 7 \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( 14x – 9y = 7 \) je lineární diofantovská rovnice dvou proměnných.
Nejprve vypočítáme \( \text{NSD}(14, 9) \):
\( 14 = 1 \cdot 9 + 5 \)
\( 9 = 1 \cdot 5 + 4 \)
\( 5 = 1 \cdot 4 + 1 \)
\( 4 = 4 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Protože \( 1 \mid 7 \Rightarrow \) rovnice má celočíselná řešení.
Řešme rovnici \( 14x – 9y = 1 \) a pak vynásobíme výsledek sedmi.
Vracíme zpět z Eukleidova algoritmu:
\( 1 = 5 – 1 \cdot 4 \)
\( = 5 – 1(9 – 1 \cdot 5) = 2 \cdot 5 – 1 \cdot 9 \)
\( = 2(14 – 1 \cdot 9) – 1 \cdot 9 = 2 \cdot 14 – 3 \cdot 9 \)
Tedy jedno řešení \( 14x – 9y = 1 \) je \( x = 2 \), \( y = 3 \).
Násobíme rovnicí \(7\):
\( x = 2 \cdot 7 = 14 \), \( y = 3 \cdot 7 = 21 \)
Obecné řešení:
\( x = 14 + 9t \)
\( y = 21 + 14t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
18. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 25x + 18y = 7 \).
Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme \( \text{NSD}(25, 18) \):
\( 25 = 1 \cdot 18 + 7 \)
\( 18 = 2 \cdot 7 + 4 \)
\( 7 = 1 \cdot 4 + 3 \)
\( 4 = 1 \cdot 3 + 1 \)
\( 3 = 3 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Protože \( 1 \mid 7 \), rovnice má celočíselná řešení.
Vyřešíme nejprve \( 25x + 18y = 1 \):
Vracíme zpět:
\( 1 = 4 – 1 \cdot 3 = 4 – 1(7 – 1 \cdot 4) = 2 \cdot 4 – 1 \cdot 7 \)
\( = 2(18 – 2 \cdot 7) – 1 \cdot 7 = 2 \cdot 18 – 5 \cdot 7 \)
\( = 2 \cdot 18 – 5(25 – 1 \cdot 18) = 7 \cdot 18 – 5 \cdot 25 \)
Řešení: \( x = -5 \), \( y = 7 \).
Vynásobíme \(7\):
\( x = -35 \), \( y = 49 \)
Obecné řešení:
\( x = -35 + 18t \)
\( y = 49 – 25t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
19. Určete všechna celá řešení rovnice \( 12x + 30y = 18 \).
Řešení příkladu:
Upravme rovnici dělením obě strany třemi:
\( 4x + 10y = 6 \)
Vypočteme \( \text{NSD}(4, 10) = 2 \Rightarrow 2 \mid 6 \Rightarrow \) rovnice má řešení.
Upravíme: \( \frac{4x + 10y}{2} = \frac{6}{2} \Rightarrow 2x + 5y = 3 \)
Najdeme řešení rovnice \( 2x + 5y = 1 \):
\( 5 = 2 \cdot 2 + 1 \Rightarrow 1 = 5 – 2 \cdot 2 \)
\( = 5 – 2(2x) = 5 – 2(2x) \Rightarrow x = -2 \), \( y = 1 \)
Vynásobíme \(3\): \( x = -6 \), \( y = 3 \)
Obecné řešení:
\( x = -6 + 5t \)
\( y = 3 – 2t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
20. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 8x – 3y = 5 \).
Řešení příkladu:
Ověříme \( \text{NSD}(8, 3) = 1 \Rightarrow 1 \mid 5 \), tedy existují celá řešení.
Najdeme řešení rovnice \( 8x – 3y = 1 \):
\( 8 = 2 \cdot 3 + 2 \)
\( 3 = 1 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 2 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět: \( 1 = 3 – 1 \cdot 2 = 3 – 1(8 – 2 \cdot 3) = 3 \cdot 3 – 1 \cdot 8 \)
\( = 3 \cdot 3 – 1 \cdot 8 = 3(3) – 1(8) = 9 – 8 \)
Řešení: \( x = -1 \), \( y = -3 \)
Vynásobíme \(5\):
\( x = -5 \), \( y = -15 \)
Obecné řešení:
\( x = -5 + 3t \)
\( y = -15 + 8t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
21. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 12x – 35y = 1 \).
Řešení příkladu:
Jedná se o lineární diofantovskou rovnici dvou proměnných. Abychom zjistili, zda má řešení v celých číslech, zjistíme nejprve \( \text{NSD}(12, 35) \).
Použijeme Eukleidův algoritmus:
\( 35 = 2 \cdot 12 + 11 \)
\( 12 = 1 \cdot 11 + 1 \)
\( 11 = 11 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD}(12, 35) = 1 \)
Protože \( 1 \mid 1 \), existují celá řešení.
Vracíme zpět pomocí rozšířeného Eukleidova algoritmu:
\( 1 = 12 – 1 \cdot 11 = 12 – 1(35 – 2 \cdot 12) = 3 \cdot 12 – 1 \cdot 35 \)
Dostáváme tedy jedno řešení: \( x_0 = 3 \), \( y_0 = 1 \)
Obecné řešení získáme přidáním parametrického tvaru:
\( x = 3 + 35t \)
\( y = 1 + 12t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
22. Určete všechna celá řešení rovnice \( 84x + 33y = 3 \).
Řešení příkladu:
Ověříme, zda \( \text{NSD}(84, 33) \mid 3 \):
Eukleidův algoritmus:
\( 84 = 2 \cdot 33 + 18 \)
\( 33 = 1 \cdot 18 + 15 \)
\( 18 = 1 \cdot 15 + 3 \)
\( 15 = 5 \cdot 3 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 3 \)
Protože \( 3 \mid 3 \), rovnice má celá řešení.
Nejprve řešíme rovnici \( 84x + 33y = 3 \) jako \( (84/3)x + (33/3)y = 1 \Rightarrow 28x + 11y = 1 \)
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 28 = 2 \cdot 11 + 6 \)
\( 11 = 1 \cdot 6 + 5 \)
\( 6 = 1 \cdot 5 + 1 \)
\( 5 = 5 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 6 – 1 \cdot 5 = 6 – 1(11 – 6) = 2 \cdot 6 – 1 \cdot 11 = 2(28 – 2 \cdot 11) – 1 \cdot 11 = 2 \cdot 28 – 5 \cdot 11 \)
Řešení pro rovnici \( 28x + 11y = 1 \): \( x = 2 \), \( y = -5 \)
Protože jsme řešili násobek, vynásobíme zpět \(3\):
\( x = 2 \), \( y = -5 \Rightarrow \) řešení pro původní rovnici je \( x = 2 \), \( y = -5 \)
Obecné řešení je:
\( x = 2 + 11t \)
\( y = -5 – 28t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
23. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 91x + 65y = 13 \).
Řešení příkladu:
Máme lineární diofantovskou rovnici dvou proměnných. Nejdříve zjistíme, zda má rovnice řešení v celých číslech. K tomu vypočítáme \( \text{NSD}(91, 65) \).
Použijeme Eukleidův algoritmus:
\( 91 = 1 \cdot 65 + 26 \)
\( 65 = 2 \cdot 26 + 13 \)
\( 26 = 2 \cdot 13 + 0 \Rightarrow \text{NSD}(91, 65) = 13 \)
Protože \( 13 \mid 13 \), rovnice má celočíselné řešení.
Převedeme rovnici dělením číslem 13: \( \frac{91}{13}x + \frac{65}{13}y = 1 \Rightarrow 7x + 5y = 1 \)
Tuto rovnici nyní vyřešíme.
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 7 = 1 \cdot 5 + 2 \)
\( 5 = 2 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 2 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 5 – 2 \cdot 2 = 5 – 2(7 – 1 \cdot 5) = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 7 \)
Tedy jedno řešení je \( x_0 = -2 \), \( y_0 = 3 \)
Protože jsme dříve rovnici dělili \(13\), vynásobíme toto řešení \(13\):
\( x = -2 \cdot 13 = -26 \)
\( y = 3 \cdot 13 = 39 \)
Obecné řešení je:
\( x = -26 + 65t \)
\( y = 39 – 91t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
24. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 27x – 18y = 81 \).
Řešení příkladu:
Nejdříve zjistíme \( \text{NSD}(27, 18) \) pomocí Eukleidova algoritmu:
\( 27 = 1 \cdot 18 + 9 \)
\( 18 = 2 \cdot 9 + 0 \Rightarrow \text{NSD}(27, 18) = 9 \)
Protože \( 9 \mid 81 \), rovnice má celočíselná řešení.
Převedeme rovnici na tvar \( \frac{27}{9}x – \frac{18}{9}y = \frac{81}{9} \Rightarrow 3x – 2y = 9 \)
Řešíme rovnici \( 3x – 2y = 9 \).
Převedeme na tvar \( 3x = 2y + 9 \Rightarrow x = \frac{2y + 9}{3} \)
Aby byl \( x \in \mathbb{Z} \), musí být čitatel dělitelný \(3\). Zkoumáme podmínku:
\( 2y + 9 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow 2y \equiv -9 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow y \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow y = 3k \)
Dosadíme zpět:
\( x = \frac{2 \cdot 3k + 9}{3} = \frac{6k + 9}{3} = 2k + 3 \)
Obecné řešení tedy je:
\( x = 2k + 3 \)
\( y = 3k \)
kde \( k \in \mathbb{Z} \).
25. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 56x + 72y = 8 \).
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme největší společný dělitel čísel \(56\) a \(72\).
Použijeme Eukleidův algoritmus:
\( 72 = 1 \cdot 56 + 16 \)
\( 56 = 3 \cdot 16 + 8 \)
\( 16 = 2 \cdot 8 + 0 \Rightarrow \text{NSD}(56,72) = 8 \)
Protože \( \text{NSD}(56,72) = 8 \) a pravá strana rovnice je také \(8\), rovnice má řešení.
Rovnici vydělíme \(8\):
\( 7x + 9y = 1 \)
Nyní řešíme tuto rovnici.
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus pro nalezení jednoho řešení:
\( 9 = 1 \cdot 7 + 2 \)
\( 7 = 3 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 2 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 7 – 3 \cdot 2 \)
\( 2 = 9 – 1 \cdot 7 \)
Tedy:
\( 1 = 7 – 3(9 – 1 \cdot 7) = 7 – 3 \cdot 9 + 3 \cdot 7 = 4 \cdot 7 – 3 \cdot 9 \)
Jedno řešení je tedy \( x_0 = 4 \), \( y_0 = -3 \).
Obecné řešení pro původní rovnici je tedy:
\( x = 4 + 9t \)
\( y = -3 – 7t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
26. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 13x – 39y = 26 \).
Řešení příkladu:
Nejdříve spočítáme \( \text{NSD}(13, 39) \):
\( 39 = 3 \cdot 13 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 13 \)
Protože \( 13 \mid 26 \), rovnice má řešení.
Rovnici vydělíme \(13\):
\( x – 3y = 2 \)
Vyjádříme \( x = 2 + 3y \), kde \( y \in \mathbb{Z} \).
Tedy všechna řešení jsou:
\( x = 2 + 3t \)
\( y = t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
27. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 24x + 15y = 3 \).
Řešení příkladu:
Nejdříve spočítáme \( \text{NSD}(24, 15) \):
\( 24 = 1 \cdot 15 + 9 \)
\( 15 = 1 \cdot 9 + 6 \)
\( 9 = 1 \cdot 6 + 3 \)
\( 6 = 2 \cdot 3 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 3 \)
Protože \( 3 \mid 3 \), rovnice má řešení.
Rovnici vydělíme \(3\):
\( 8x + 5y = 1 \)
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus pro nalezení jednoho řešení:
\( 8 = 1 \cdot 5 + 3 \)
\( 5 = 1 \cdot 3 + 2 \)
\( 3 = 1 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 2 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 3 – 1 \cdot 2 \)
\( 2 = 5 – 1 \cdot 3 \)
\( 3 = 8 – 1 \cdot 5 \)
Tedy:
\( 1 = 3 – (5 – 1 \cdot 3) = 2 \cdot 3 – 5 = 2 (8 – 1 \cdot 5) – 5 = 2 \cdot 8 – 3 \cdot 5 \)
Jedno řešení je \( x_0 = 2 \), \( y_0 = -3 \).
Obecné řešení je:
\( x = 2 + 5t \)
\( y = -3 – 8t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
28. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 35x + 50y = 15 \).
Řešení příkladu:
Nejdříve zjistíme \( \text{NSD}(35, 50) \):
\( 50 = 1 \cdot 35 + 15 \)
\( 35 = 2 \cdot 15 + 5 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 5 \)
Protože \( 5 \mid 15 \), rovnice má řešení.
Rovnici vydělíme \(5\):
\( 7x + 10y = 3 \)
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 10 = 1 \cdot 7 + 3 \)
\( 7 = 2 \cdot 3 + 1 \)
\( 3 = 3 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 7 – 2 \cdot 3 \)
\( 3 = 10 – 1 \cdot 7 \)
Tedy:
\( 1 = 7 – 2 (10 – 1 \cdot 7) = 3 \cdot 7 – 2 \cdot 10 \)
Jedno řešení rovnice \( 7x + 10y = 3 \) je tedy \( x_0 = 3 \), \( y_0 = -2 \).
Obecné řešení původní rovnice je:
\( x = 3 + 10t \)
\( y = -2 – 7t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
29. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 18x – 24y = 6 \).
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme \( \text{NSD}(18, 24) \):
\( 24 = 1 \cdot 18 + 6 \)
\( 18 = 3 \cdot 6 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 6 \)
Protože \( 6 \mid 6 \), rovnice má řešení.
Rovnici vydělíme \(6\):
\( 3x – 4y = 1 \)
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 4 = 1 \cdot 3 + 1 \)
\( 3 = 3 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 4 – 1 \cdot 3 \)
Jedno řešení rovnice \( 3x – 4y = 1 \) najdeme vyjádřením \( x \) a \( y \):
Z rovnice \( 3x – 4y = 1 \) lze vyjádřit například \( x = 1 + 4t \), \( y = 3t \), ale přesněji:
Nechť \( y = t \in \mathbb{Z} \), pak
\( 3x = 1 + 4t \Rightarrow x = \frac{1 + 4t}{3} \)
Pro \( x \in \mathbb{Z} \) musí být \( 1 + 4t \) dělitelné \(3\).
Zkoušíme zbytky modulo \(3\):
\( 4t + 1 \equiv t + 1 \pmod{3} \)
Potřebujeme \( t + 1 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow t \equiv 2 \pmod{3} \).
Nechť \( t = 3k + 2 \), pak
\( x = \frac{1 + 4(3k + 2)}{3} = \frac{1 + 12k + 8}{3} = \frac{9 + 12k}{3} = 3 + 4k \).
Takže obecné řešení je:
\( x = 3 + 4k \)
\( y = 3k + 2 \)
kde \( k \in \mathbb{Z} \).
30. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 42x + 30y = 12 \).
Řešení příkladu:
Zjistíme největší společný dělitel:
\( 42 = 1 \cdot 30 + 12 \)
\( 30 = 2 \cdot 12 + 6 \)
\( 12 = 2 \cdot 6 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 6 \)
Protože \( 6 \mid 12 \), rovnice má řešení.
Rovnici vydělíme \(6\):
\( 7x + 5y = 2 \)
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 7 = 1 \cdot 5 + 2 \)
\( 5 = 2 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 2 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět:
\( 1 = 5 – 2 \cdot 2 \)
\( 2 = 7 – 1 \cdot 5 \)
Tedy:
\( 1 = 5 – 2 (7 – 1 \cdot 5) = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 7 \)
Proto jedno řešení rovnice \( 7x + 5y = 2 \) je:
\( x_0 = -4 \), \( y_0 = 6 \) \((\)vynásobíme obě strany rovnice \(2)\):
Oprava: Dosadíme do rovnice \( 7x + 5y = 2 \) s hledanými hodnotami.
Z výpočtů je jedno řešení pro rovnice \( 7x + 5y = 1 \) \( x = -2 \), \( y = 3 \), takže pro rovnice \( 7x + 5y = 2 \) bude řešení dvojnásobné:
\( x_0 = -4 \), \( y_0 = 6 \).
Obecné řešení je:
\( x = -4 + 5t \)
\( y = 6 – 7t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
31. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 15x + 21y = 6 \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( 15x + 21y = 6 \) je lineární diofantovská rovnice dvou neznámých.
Nejprve zjistíme největší společný dělitel (NSD) koeficientů \( 15 \) a \( 21 \).
Postup pomocí Eukleidova algoritmu:
\( 21 = 15 \cdot 1 + 6 \)
\( 15 = 6 \cdot 2 + 3 \)
\( 6 = 3 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD}(15, 21) = 3 \)
Protože \( 3 \mid 6 \), rovnice má řešení.
Rovnici vydělíme \(3\), aby se zjednodušila:
\( 5x + 7y = 2 \).
Teď použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus pro \( 5 \) a \( 7 \):
\( 7 = 5 \cdot 1 + 2 \)
\( 5 = 2 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 1 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD}(5,7) = 1 \)
Vracíme zpět výpočty pro vyjádření \(NSD\) jako lineární kombinace:
\( 1 = 5 – 2 \cdot 2 \)
\( 2 = 7 – 5 \cdot 1 \)
Dosadíme:
\( 1 = 5 – 2(7 – 5) = 5 – 2 \cdot 7 + 2 \cdot 5 = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 7 \)
Tedy jedno řešení rovnice \( 5x + 7y = 1 \) je \( x_0 = 3 \), \( y_0 = -2 \).
Protože hledáme řešení rovnice \( 5x + 7y = 2 \), vynásobíme obě hodnoty \(2\):
\( x_0 = 6 \), \( y_0 = -4 \).
Obecné řešení této diofantovské rovnice je:
\( x = 6 + 7t \)
\( y = -4 – 5t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
Pro ověření dosadíme obecné řešení zpět do původní rovnice:
\( 15x + 21y = 15(6 + 7t) + 21(-4 – 5t) = 90 + 105t – 84 – 105t = 6 \)
Rovnice platí pro všechna \( t \in \mathbb{Z} \).
32. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 8x – 12y = 20 \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( 8x – 12y = 20 \) je lineární diofantovská rovnice.
Nejprve zjistíme NSD koeficientů \( 8 \) a \( -12 \):
NSD je nezávislý na znaménku, proto počítáme \(NSD(8,12)\):
\( 12 = 8 \cdot 1 + 4 \)
\( 8 = 4 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 4 \).
Protože \( 4 \mid 20 \), rovnice má řešení.
Vydělíme celou rovnici \(4\):
\( 2x – 3y = 5 \).
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus pro čísla \(2\) a \(3\):
\( 3 = 2 \cdot 1 + 1 \)
\( 2 = 1 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \).
Vyjádříme NSD jako kombinaci:
\( 1 = 3 – 2 \cdot 1 \).
Proto jedno řešení rovnice \( 2x – 3y = 1 \) je:
Vybereme \( x_0 = 2 \), \( y_0 = 1 \), protože:
\( 2 \cdot 2 – 3 \cdot 1 = 4 – 3 = 1 \).
Pro rovnici \( 2x – 3y = 5 \) vynásobíme řešení \(5\):
\( x_0 = 10 \), \( y_0 = 5 \).
Obecné řešení je:
\( x = 10 + 3t \)
\( y = 5 + 2t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
Pro ověření dosadíme:
\( 8x – 12y = 8(10 + 3t) – 12(5 + 2t) = 80 + 24t – 60 – 24t = 20 \)
Rovnice platí pro všechna \( t \in \mathbb{Z} \).
33. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 9x + 6y = 30 \), přičemž \( x, y \geq 0 \).
Řešení příkladu:
Zkoumáme rovnice \( 9x + 6y = 30 \) s podmínkou \( x, y \geq 0 \).
Nejprve určíme NSD koeficientů \( 9 \) a \( 6 \):
\( 9 = 6 \cdot 1 + 3 \)
\( 6 = 3 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 3 \).
Protože \( 3 \mid 30 \), rovnice má řešení.
Rovnici vydělíme \(3\):
\( 3x + 2y = 10 \).
Vyjádříme \( y \):
\( 2y = 10 – 3x \Rightarrow y = \frac{10 – 3x}{2} \).
Aby bylo \( y \in \mathbb{Z} \), musí být \( 10 – 3x \) sudé.
Proto zkoušíme hodnoty \( x \geq 0 \), aby \( y \geq 0 \) a \( y \in \mathbb{Z} \).
Pro \( x=0: y = \frac{10}{2} = 5 \geq 0 \) a celé číslo.
Pro \( x=1: y = \frac{10 – 3}{2} = \frac{7}{2} \notin \mathbb{Z} \).
Pro \( x=2: y = \frac{10 – 6}{2} = 2 \geq 0 \).
Pro \( x=3: y = \frac{10 – 9}{2} = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z} \).
Pro \( x=4: y = \frac{10 – 12}{2} = -1 < 0 \), tedy končíme.
Vyhovují tedy dvojice:
\( (x,y) = (0,5) \), \( (2,2) \).
Pro úplnost zkontrolujeme původní rovnici:
\( 9 \cdot 0 + 6 \cdot 5 = 30 \),
\( 9 \cdot 2 + 6 \cdot 2 = 18 + 12 = 30 \).
Obě řešení vyhovují.
34. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 20x + 30y = 100 \) tak, aby \( x \) bylo sudé.
Řešení příkladu:
Zadání zní \( 20x + 30y = 100 \) s podmínkou, že \( x \) je sudé celé číslo.
Nejprve zjistíme NSD koeficientů \( 20 \) a \( 30 \):
\( 30 = 20 \cdot 1 + 10 \)
\( 20 = 10 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 10 \).
Protože \( 10 \mid 100 \), rovnice má řešení.
Rovnici vydělíme \(10\):
\( 2x + 3y = 10 \).
Vyjádříme \( x \):
\( 2x = 10 – 3y \Rightarrow x = \frac{10 – 3y}{2} \).
Podmínka je, že \( x \) je sudé celé číslo.
Nejprve musí být \( x \in \mathbb{Z} \), tedy \( 10 – 3y \) je sudé a dělitelné \(2\).
Aby \( x \) bylo sudé, musí být \( x = 2k \) pro nějaké \( k \in \mathbb{Z} \).
Dosadíme do rovnice:
\( 2(2k) + 3y = 10 \Rightarrow 4k + 3y = 10 \Rightarrow 3y = 10 – 4k \Rightarrow y = \frac{10 – 4k}{3} \).
Aby bylo \( y \in \mathbb{Z} \), musí být \( 10 – 4k \) dělitelné \(3\).
Zkoušíme podmínku modulo 3:
\( 10 – 4k \equiv 1 – k \pmod{3} \) \((\)protože \( 10 \equiv 1 \), \( 4 \equiv 1 \) modulo \(3)\).
Potřebujeme \( 1 – k \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow k \equiv 1 \pmod{3} \).
Nechť \( k = 3t + 1 \), pak:
\( y = \frac{10 – 4(3t + 1)}{3} = \frac{10 – 12t – 4}{3} = \frac{6 – 12t}{3} = 2 – 4t \).
Podle toho:
\( x = 2k = 2(3t + 1) = 6t + 2 \).
Obecné řešení splňující podmínku je:
\( x = 6t + 2 \)
\( y = 2 – 4t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
Ověření dosazením do původní rovnice:
\( 20x + 30y = 20(6t + 2) + 30(2 – 4t) = 120t + 40 + 60 – 120t = 100 \).
Rovnice platí pro všechna \( t \in \mathbb{Z} \).
35. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 12x – 15y = 9 \).
Řešení příkladu:
Máme lineární diofantovskou rovnici dvou proměnných:
\( 12x – 15y = 9 \).
Nejprve zjistíme největší společný dělitel \((NSD)\) koeficientů \(12\) a \(-15\):
\( \text{NSD}(12, 15) = 3 \).
Podmínka existence celočíselných řešení je, že \( \text{NSD}(12, 15) \mid 9 \), což platí, protože \( 3 \mid 9 \).
Rovnici tedy můžeme zjednodušit vydělením \(3\):
\( 4x – 5y = 3 \).
Nyní hledáme jedno konkrétní řešení rovnice \( 4x – 5y = 3 \).
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus k nalezení inverzního prvku:
\( 5 = 4 \cdot 1 + 1 \)
\( 4 = 1 \cdot 4 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vracíme zpět 1 jako kombinaci \(5\) a \(4\):
\( 1 = 5 – 4 \cdot 1 \).
Vynásobíme rovnici 3, protože pravá strana naší rovnice je \(3\):
\( 3 = 3 \cdot 5 – 3 \cdot 4 \).
Tedy jedno konkrétní řešení je:
\( x_0 = -3 \), \( y_0 = -3 \).
Obecné řešení lineární diofantovské rovnice je tvaru:
\( x = x_0 + k \cdot \frac{b}{\text{NSD}(a,b)} = -3 + 5k \),
\( y = y_0 + k \cdot \frac{a}{\text{NSD}(a,b)} = -3 + 4k \), kde \( k \in \mathbb{Z} \).
Dosazením \(a=12\), \(b=-15\) a \( \text{NSD}=3 \) do vzorců:
\( x = -3 + 5k \),
\( y = -3 + 4k \).
Ověříme si řešení pro několik hodnot \(k\):
Pro \(k=0\): \(12 \cdot (-3) – 15 \cdot (-3) = -36 + 45 = 9\), platí.
Pro \(k=1\): \(12 \cdot 2 – 15 \cdot 1 = 24 – 15 = 9\), platí.
Řešení jsou tedy všechna celá čísla ve tvaru výše uvedeném.
36. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 5x + 7y = 100 \), kde \(x,y \in \mathbb{Z}\).
Řešení příkladu:
Rovnice je lineární diofantovská rovnice \( 5x + 7y = 100 \).
Nejprve spočítáme NSD koeficientů \(5\) a \(7\):
\( \text{NSD}(5,7) = 1 \).
Protože \(1 \mid 100\), rovnice má celočíselná řešení.
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus:
\( 7 = 1 \cdot 5 + 2 \)
\( 5 = 2 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 2 \cdot 1 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Zpětně vyjádříme 1:
\( 1 = 5 – 2 \cdot 2 = 5 – 2 (7 – 1 \cdot 5) = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 7 \).
Nyní vynásobíme rovnici pravou stranou \(100\):
\( 100 = 100 \cdot 1 = 100 \cdot (3 \cdot 5 – 2 \cdot 7) = 300 \cdot 5 – 200 \cdot 7 \).
Tedy jedno řešení je:
\( x_0 = 300 \), \( y_0 = -200 \).
Obecné řešení je pak:
\( x = x_0 + 7t = 300 + 7t \),
\( y = y_0 – 5t = -200 – 5t \), kde \( t \in \mathbb{Z} \).
Ověřme platnost řešení:
Pro \( t = 0 \): \( 5 \cdot 300 + 7 \cdot (-200) = 1500 – 1400 = 100 \), platí.
Pro \( t = 1 \): \( 5 \cdot 307 + 7 \cdot (-205) = 1535 – 1435 = 100 \), platí.
Tím je řešení plně popsáno.
37. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 9x + 6y = 15 \) s podmínkou, že \(x, y \geq 0\).
Řešení příkladu:
Daná rovnice je \( 9x + 6y = 15 \) s omezením \( x,y \geq 0 \).
Nejprve zjistíme NSD čísel \(9\) a \(6\):
\( \text{NSD}(9,6) = 3 \).
Podmínka existence celočíselných řešení je, že \(3 \mid 15\), což platí.
Rovnici zjednodušíme dělením \(3\):
\( 3x + 2y = 5 \).
Nyní vyjádříme \(y\) z rovnice:
\( 2y = 5 – 3x \Rightarrow y = \frac{5 – 3x}{2} \).
Aby bylo \(y\) celé a nezáporné, musí být \(5 – 3x\) sudé a zároveň \(y \geq 0\).
Zkoušíme hodnoty \(x\) od \(0\) do maximální hodnoty, kdy \(y \geq 0\):
Pro \(x=0\): \( y = \frac{5}{2} \notin \mathbb{Z} \).
Pro \(x=1\): \( y = \frac{5-3}{2} = 1 \in \mathbb{Z} \), \( y \geq 0 \).
Pro \(x=2\): \( y = \frac{5-6}{2} = -\frac{1}{2} < 0 \), nevhodné.
Pro \(x=3\) nebo vyšší \(x\) bude \(y\) záporné, protože \(5-3x < 0\).
Jediné celočíselné řešení s \(x,y \geq 0\) je tedy \( (x,y) = (1,1) \).
38. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 4x – 9y = 1 \) a určiť, zda existuje řešení s \(x > 0\) a \(y > 0\).
Řešení příkladu:
Rovnice je \(4x – 9y = 1\).
Nejprve zjistíme NSD \(4\) a \(9\):
\( \text{NSD}(4, 9) = 1 \).
Proto rovnice má řešení.
Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus pro vyjádření \(1\):
\( 9 = 4 \cdot 2 + 1 \)
\( 4 = 1 \cdot 4 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Zpětně vyjádříme \(1\):
\( 1 = 9 – 4 \cdot 2 \).
Tedy jedno řešení je \(x_0 = 2\), \(y_0 = 1\).
Obecné řešení je:
\( x = 2 + 9t \),
\( y = 1 + 4t \), kde \( t \in \mathbb{Z} \).
Nyní ověříme existenci řešení s \( x > 0 \) a \( y > 0 \):
Pro \( t = 0 \): \( x = 2 > 0 \), \( y = 1 > 0 \), existuje.
Pro jiné \( t \) se hodnoty posunují podle vzorců.
39. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 15x + 10y = 100 \) a urči, zda existují řešení s \(x, y \geq 0\).
Řešení příkladu:
Rovnice \(15x + 10y = 100\).
Zjišťujeme NSD čísel \(15\) a \(10\):
\( \text{NSD}(15, 10) = 5 \).
Podmínka existence řešení je \(5 \mid 100\), což platí.
Rovnici zjednodušíme dělením \(5\):
\(3x + 2y = 20\).
Vyjádříme \(y\):
\( 2y = 20 – 3x \Rightarrow y = \frac{20 – 3x}{2} \).
Protože \(y\) musí být celé číslo, musí být \(20 – 3x\) sudé a nezáporné, zároveň \(y \geq 0\) a \(x \geq 0\).
Zkoušíme hodnoty \(x \geq 0\), aby \(y\) bylo celé a nezáporné:
Pro \(x = 0\), \(y = 10\), platí.
Pro \(x = 2\), \(y = \frac{20 – 6}{2} = 7\), platí.
Pro \(x = 4\), \(y = \frac{20 – 12}{2} = 4\), platí.
Pro \(x = 6\), \(y = \frac{20 – 18}{2} = 1\), platí.
Pro \(x = 8\), \(y = \frac{20 – 24}{2} = -2\), neplatí (záporné).
Tedy všechna řešení s \(x,y \geq 0\) jsou:
\( (0,10), (2,7), (4,4), (6,1) \).
Obecné celočíselné řešení lze vyjádřit jako:
Najdeme jedno řešení lineární diofantovské rovnice \(3x + 2y = 20\). Například \(x_0=0\), \(y_0=10\).
Obecné řešení:
\( x = x_0 + 2t = 0 + 2t \),
\( y = y_0 – 3t = 10 – 3t \), kde \(t \in \mathbb{Z}\).
Omezení \(x,y \geq 0\) znamená:
\( x = 2t \geq 0 \Rightarrow t \geq 0 \),
\( y = 10 – 3t \geq 0 \Rightarrow t \leq \frac{10}{3} \Rightarrow t \leq 3 \).
Tedy \( t = 0, 1, 2, 3 \) dávají výše uvedená řešení.
40. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 15x – 21y = 6 \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( 15x – 21y = 6 \) je lineární diofantovská rovnice.
Nejdříve zjistíme NSD koeficientů \( 15 \) a \( 21 \):
\( 21 = 15 \cdot 1 + 6 \)
\( 15 = 6 \cdot 2 + 3 \)
\( 6 = 3 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD}(15, 21) = 3 \)
Podmínka existence řešení je \( \text{NSD}(15, 21) \mid 6 \), což platí, protože \( 3 \mid 6 \).
Rovnici vydělíme \(3\):
\( 5x – 7y = 2 \)
Pro vyřešení použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus pro \( 5 \) a \( 7 \):
\( 7 = 5 \cdot 1 + 2 \)
\( 5 = 2 \cdot 2 + 1 \)
\( 2 = 1 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD}(5, 7) = 1 \)
Vrátíme se zpět k vyjádření \(1\) jako lineární kombinace:
\( 1 = 5 – 2 \cdot 2 = 5 – 2 (7 – 5 \cdot 1) = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 7 \)
Dosadíme pravou stranu rovnice \( 2 \) v rovnici \( 5x – 7y = 2 \):
\( 2 = 2 \cdot 1 = 2(3 \cdot 5 – 2 \cdot 7) = 6 \cdot 5 – 4 \cdot 7 \)
Tedy jedno řešení je \( x_0 = 6 \), \( y_0 = 4 \).
Obecné řešení je:
\( x = x_0 + 7t = 6 + 7t \)
\( y = y_0 + 5t = 4 + 5t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
41. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 9x + 12y = 15 \).
Řešení příkladu:
Nejdříve určíme NSD čísel \(9\) a \(12\):
\( 12 = 9 \cdot 1 + 3 \)
\( 9 = 3 \cdot 3 + 0 \Rightarrow \text{NSD}(9, 12) = 3 \)
Podmínka existence řešení je, že \(3\) dělí \(15\), což platí.
Rovnici vydělíme \(3\):
\( 3x + 4y = 5 \)
Pomocí rozšířeného Eukleidova algoritmu najdeme řešení rovnice \( 3x + 4y = 1 \):
\( 4 = 3 \cdot 1 + 1 \)
\( 3 = 1 \cdot 3 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vyjádříme 1:
\( 1 = 4 – 3 \cdot 1 \)
Dosadíme do rovnice pro pravou stranu \(5\):
\( 5 = 5 \cdot 1 = 5(4 – 3 \cdot 1) = 5 \cdot 4 – 5 \cdot 3 \)
Jedno řešení je \( x_0 = -5 \), \( y_0 = 5 \).
Obecné řešení je:
\( x = x_0 + 4t = -5 + 4t \)
\( y = y_0 – 3t = 5 – 3t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
42. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 4x + 7y = 1 \).
Řešení příkladu:
Nejdříve určíme \(NSD 4\) a \(7\):
\( 7 = 4 \cdot 1 + 3 \)
\( 4 = 3 \cdot 1 + 1 \)
\( 3 = 1 \cdot 3 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Existuje řešení, protože NSD dělí pravou stranu \(1\).
Vyjádříme 1 pomocí rozšířeného Eukleidova algoritmu:
\( 1 = 4 – 3 \cdot 1 \)
\( 3 = 7 – 4 \cdot 1 \Rightarrow 1 = 4 – (7 – 4) = 2 \cdot 4 – 7 \)
Jedno řešení je tedy \( x_0 = 2 \), \( y_0 = -1 \).
Obecné řešení je:
\( x = 2 + 7t \)
\( y = -1 – 4t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
43. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 8x – 6y = 10 \).
Řešení příkladu:
Určíme \(NSD 8 \) a \( 6 \):
\( 8 = 6 \cdot 1 + 2 \)
\( 6 = 2 \cdot 3 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 2 \)
Podmínka existence řešení je, že \( 2\) dělí \( 10\), což platí.
Rovnici vydělíme 2:
\( 4x – 3y = 5 \)
Pomocí rozšířeného Eukleidova algoritmu najdeme řešení rovnice \( 4x – 3y = 1 \):
\( 4 = 3 \cdot 1 + 1 \)
\( 3 = 1 \cdot 3 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vyjádříme \(1\):
\( 1 = 4 – 3 \cdot 1 \)
Dosadíme do rovnice pro pravou stranu \(5\):
\( 5 = 5 \cdot 1 = 5(4 – 3) = 5 \cdot 4 – 5 \cdot 3 \)
Jedno řešení je \( x_0 = 5 \), \( y_0 = 5 \).
Obecné řešení je:
\( x = 5 + 3t \)
\( y = 5 + 4t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
44. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 5x + 9y = 12 \).
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme \(NSD 5 \) a \( 9 \):
\( 9 = 5 \cdot 1 + 4 \)
\( 5 = 4 \cdot 1 + 1 \)
\( 4 = 1 \cdot 4 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
NSD dělí pravou stranu, řešení existují.
Vyjádříme \(1\) jako lineární kombinaci:
\( 1 = 5 – 4 \cdot 1 \)
\( 4 = 9 – 5 \Rightarrow 1 = 5 – (9 – 5) = 2 \cdot 5 – 9 \)
Pro pravou stranu \(12\) platí:
\( 12 = 12 \cdot 1 = 12(2 \cdot 5 – 9) = 24 \cdot 5 – 12 \cdot 9 \)
Jedno řešení je \( x_0 = 24 \), \( y_0 = -12 \).
Obecné řešení je:
\( x = 24 + 9t \)
\( y = -12 – 5t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
45. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 14x + 21y = 35 \).
Řešení příkladu:
Zjistíme NSD čísel \( 14 \) a \( 21 \):
\( 21 = 14 \cdot 1 + 7 \)
\( 14 = 7 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 7 \)
Podmínka existence řešení: \( 7 \mid 35 \), platí.
Vydělíme rovnici \(7\):
\( 2x + 3y = 5 \)
Pomocí rozšířeného Eukleidova algoritmu najdeme řešení rovnice \( 2x + 3y = 1 \):
\( 3 = 2 \cdot 1 + 1 \)
\( 2 = 1 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vyjádříme \(1\):
\( 1 = 3 – 2 \cdot 1 \)
Pro pravou stranu \(5\) platí:
\( 5 = 5 \cdot 1 = 5(3 – 2) = 5 \cdot 3 – 5 \cdot 2 \)
Jedno řešení je \( x_0 = -5 \), \( y_0 = 5 \).
Obecné řešení je:
\( x = -5 + 3t \)
\( y = 5 – 2t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
46. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 18x – 30y = 12 \).
Řešení příkladu:
Určíme NSD \( 18 \) a \( 30 \):
\( 30 = 18 \cdot 1 + 12 \)
\( 18 = 12 \cdot 1 + 6 \)
\( 12 = 6 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 6 \)
Podmínka existence řešení: \( 6 \mid 12 \), platí.
Vydělíme rovnici \(6\):
\( 3x – 5y = 2 \)
Najdeme řešení rovnice \( 3x – 5y = 1 \):
\( 5 = 3 \cdot 1 + 2 \)
\( 3 = 2 \cdot 1 + 1 \)
\( 2 = 1 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vyjádříme \(1\):
\( 1 = 3 – 2 \cdot 1 \)
\( 2 = 5 – 3 \cdot 1 \Rightarrow 1 = 3 – (5 – 3) = 2 \cdot 3 – 5 \)
Pro pravou stranu \(2\):
\( 2 = 2 \cdot 1 = 2 (2 \cdot 3 – 5) = 4 \cdot 3 – 2 \cdot 5 \)
Jedno řešení je \( x_0 = 4 \), \( y_0 = 2 \).
Obecné řešení je:
\( x = 4 + 5t \)
\( y = 2 + 3t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
47. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 7x + 11y = 1 \).
Řešení příkladu:
Určíme NSD \( 7 \) a \( 11 \):
\( 11 = 7 \cdot 1 + 4 \)
\( 7 = 4 \cdot 1 + 3 \)
\( 4 = 3 \cdot 1 + 1 \)
\( 3 = 1 \cdot 3 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vyjádříme \(1\) pomocí zpětného dosazení:
\( 1 = 4 – 3 \cdot 1 \)
\( 3 = 7 – 4 \cdot 1 \Rightarrow 1 = 4 – (7 – 4) = 2 \cdot 4 – 7 \)
\( 4 = 11 – 7 \Rightarrow 1 = 2 (11 – 7) – 7 = 2 \cdot 11 – 3 \cdot 7 \)
Jedno řešení je \( x_0 = -3 \), \( y_0 = 2 \).
Obecné řešení:
\( x = -3 + 11t \)
\( y = 2 – 7t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
48. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 10x + 15y = 25 \).
Řešení příkladu:
Určíme NSD \( 10 \) a \( 15 \):
\( 15 = 10 \cdot 1 + 5 \)
\( 10 = 5 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 5 \)
Podmínka existence řešení: \( 5 \mid 25 \), platí.
Vydělíme rovnici \(5\):
\( 2x + 3y = 5 \)
Najdeme řešení rovnice \( 2x + 3y = 1 \):
\( 3 = 2 \cdot 1 + 1 \)
\( 2 = 1 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vyjádříme \(1\):
\( 1 = 3 – 2 \cdot 1 \)
Pro pravou stranu \(5\):
\( 5 = 5 (3 – 2) = 5 \cdot 3 – 5 \cdot 2 \)
Jedno řešení je \( x_0 = -5 \), \( y_0 = 5 \).
Obecné řešení je:
\( x = -5 + 3t \)
\( y = 5 – 2t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
49. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 3x – 5y = 7 \).
Řešení příkladu:
Určíme \(NSD 3 \) a \( 5 \):
\( 5 = 3 \cdot 1 + 2 \)
\( 3 = 2 \cdot 1 + 1 \)
\( 2 = 1 \cdot 2 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vyjádříme \(1\) pomocí zpětného dosazení:
\( 1 = 3 – 2 \cdot 1 \)
\( 2 = 5 – 3 \cdot 1 \Rightarrow 1 = 3 – (5 – 3) = 2 \cdot 3 – 5 \)
Pro pravou stranu \(7\) platí:
\( 7 = 7 \cdot 1 = 7(2 \cdot 3 – 5) = 14 \cdot 3 – 7 \cdot 5 \)
Jedno řešení je \( x_0 = 14 \), \( y_0 = 7 \).
Obecné řešení je:
\( x = 14 + 5t \)
\( y = 7 + 3t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).
50. Najděte všechna celá řešení rovnice \( 7x + 11y = 1 \).
Řešení příkladu:
Určíme \(NSD\) čísel \(7\) a \(11\):
\( 11 = 7 \cdot 1 + 4 \)
\( 7 = 4 \cdot 1 + 3 \)
\( 4 = 3 \cdot 1 + 1 \)
\( 3 = 1 \cdot 3 + 0 \Rightarrow \text{NSD} = 1 \)
Vyjádříme \(1\) zpětným dosazováním:
\( 1 = 4 – 3 \cdot 1 \)
\( 3 = 7 – 4 \cdot 1 \Rightarrow 1 = 4 – (7 – 4) = 2 \cdot 4 – 7 \)
\( 4 = 11 – 7 \cdot 1 \Rightarrow 1 = 2(11 – 7) – 7 = 2 \cdot 11 – 3 \cdot 7 \)
Jedno řešení je \( x_0 = -3 \), \( y_0 = 2 \).
Obecné řešení je:
\( x = -3 + 11t \)
\( y = 2 – 7t \)
kde \( t \in \mathbb{Z} \).