Doplnění na čtverec

Řešení příkladu:

Máme výraz \(x^2 + 6x + 5\). Cílem je doplnit jej na úplný čtverec ve tvaru \((x + a)^2 + b\).

Nejprve si vezmeme koeficient u \(x\), což je \(6\), a vydělíme jej \(2\): \(\frac{6}{2} = 3\). Poté jej umocníme na druhou: \(3^2 = 9\).

Doplníme a odečteme \(9\) v původním výrazu:

\(x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 – 9 + 5 = (x + 3)^2 – 4\).

Výraz doplněný na čtverec je tedy \((x + 3)^2 – 4\).

Řešení příkladu:

Výraz \(4x^2 – 12x + 7\) nejdříve upravíme tak, aby koeficient u \(x^2\) byl \(1\):

\(4x^2 – 12x + 7 = 4\left(x^2 – 3x\right) + 7\).

Doplníme na čtverec v závorce. Vezmeme koeficient u \(x\), což je \(-3\), vydělíme \(2\) a umocníme:

\(\frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}\), \(\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\).

Doplníme a odečteme tuto hodnotu uvnitř závorky:

\(x^2 – 3x = x^2 – 3x + \frac{9}{4} – \frac{9}{4} = (x – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4}\).

Dosadíme zpět:

\(4\left((x – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4}\right) + 7 = 4(x – \frac{3}{2})^2 – 9 + 7 = 4(x – \frac{3}{2})^2 – 2\).

Výraz doplněný na čtverec je tedy \(4(x – \frac{3}{2})^2 – 2\).

Řešení příkladu:

Koeficient u \(x^2\) je \(9\), takže vytkneme:

\(9x^2 + 24x + 16 = 9\left(x^2 + \frac{24}{9}x\right) + 16 = 9\left(x^2 + \frac{8}{3}x\right) + 16\).

Doplníme na čtverec uvnitř závorky. Koeficient u \(x\) je \(\frac{8}{3}\), polovina je \(\frac{4}{3}\), a její druhá mocnina je \(\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}\).

Doplníme a odečteme uvnitř závorky:

\(x^2 + \frac{8}{3}x = x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} – \frac{16}{9} = \left(x + \frac{4}{3}\right)^2 – \frac{16}{9}\).

Dosadíme zpět:

\(9\left(\left(x + \frac{4}{3}\right)^2 – \frac{16}{9}\right) + 16 = 9\left(x + \frac{4}{3}\right)^2 – 16 + 16 = 9\left(x + \frac{4}{3}\right)^2\).

Výraz je tedy přesně čtverec \(9\left(x + \frac{4}{3}\right)^2\).

Řešení příkladu:

Vezmeme koeficient u \(x\), což je \(-10\). Polovina je \(-5\), druhá mocnina \(25\).

Doplníme a odečteme \(25\):

\(x^2 – 10x + 21 = x^2 – 10x + 25 – 25 + 21 = (x – 5)^2 – 4\).

Výraz doplněný na čtverec je tedy \((x – 5)^2 – 4\).

Řešení příkladu:

Nejdříve vytkneme koeficient u \(x^2\):

\(2x^2 + 8x + 5 = 2(x^2 + 4x) + 5\).

Koeficient u \(x\) v závorce je \(4\), polovina \(2\), druhá mocnina \(4\).

Doplníme a odečteme \(4\) uvnitř závorky:

\(x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 – 4 = (x + 2)^2 – 4\).

Dosadíme zpět:

\(2((x + 2)^2 – 4) + 5 = 2(x + 2)^2 – 8 + 5 = 2(x + 2)^2 – 3\).

Výraz doplněný na čtverec je \(2(x + 2)^2 – 3\).

Řešení příkladu:

Vezmeme koeficient u \(x\), což je \(2\), polovina \(1\), druhá mocnina \(1\).

Doplníme a odečteme \(1\):

\(x^2 + 2x + 3 = x^2 + 2x + 1 – 1 + 3 = (x + 1)^2 + 2\).

Výraz doplněný na čtverec je tedy \((x + 1)^2 + 2\).

Řešení příkladu:

Vytkneme \(25\):

\(25x^2 – 20x + 4 = 25\left(x^2 – \frac{4}{5}x\right) + 4\).

Koeficient u \(x\) uvnitř závorky je \(-\frac{4}{5}\), polovina \(-\frac{2}{5}\), druhá mocnina \(\frac{4}{25}\).

Doplníme a odečteme \(\frac{4}{25}\):

\(x^2 – \frac{4}{5}x = x^2 – \frac{4}{5}x + \frac{4}{25} – \frac{4}{25} = (x – \frac{2}{5})^2 – \frac{4}{25}\).

Dosadíme zpět:

\(25\left((x – \frac{2}{5})^2 – \frac{4}{25}\right) + 4 = 25(x – \frac{2}{5})^2 – 4 + 4 = 25(x – \frac{2}{5})^2\).

Výraz je tedy \(25(x – \frac{2}{5})^2\).

Řešení příkladu:

Koeficient u \(x\) je \(-4\), polovina \(-2\), druhá mocnina \(4\).

Doplníme a odečteme 4:

\(x^2 – 4x + 8 = x^2 – 4x + 4 – 4 + 8 = (x – 2)^2 + 4\).

Výraz doplněný na čtverec je \((x – 2)^2 + 4\).

Řešení příkladu:

Vytkneme \(3\):

\(3x^2 + 12x + 15 = 3(x^2 + 4x) + 15\).

Koeficient u \(x\) v závorce je \(4\), polovina \(2\), druhá mocnina \(4\).

Doplníme a odečteme \(4\):

\(x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 – 4 = (x + 2)^2 – 4\).

Dosadíme zpět:

\(3((x + 2)^2 – 4) + 15 = 3(x + 2)^2 – 12 + 15 = 3(x + 2)^2 + 3\).

Výraz doplněný na čtverec je \(3(x + 2)^2 + 3\).

Řešení příkladu:

Koeficient u \(x\) je \(\frac{1}{2}\), polovina je \(\frac{1}{4}\), druhá mocnina \(\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\).

Vidíme, že výraz již obsahuje \(\frac{1}{16}\), což odpovídá druhé mocnině poloviny koeficientu u \(x\).

Tedy:

\(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \left(x + \frac{1}{4}\right)^2\).

Výraz je již dokonalý čtverec \(\left(x + \frac{1}{4}\right)^2\).

Řešení příkladu:

Daný výraz je kvadratický polynom \(x^2 – 10x + 21\). Cílem je ho vyjádřit ve tvaru \((x – a)^2 + b\).

Nejprve doplníme na čtverec:

\(x^2 – 10x + 21 = x^2 – 10x + \left(\frac{-10}{2}\right)^2 – \left(\frac{-10}{2}\right)^2 + 21\)

\(= x^2 – 10x + 25 – 25 + 21\)

\(= (x – 5)^2 – 4\)

Tím jsme dostali výraz ve tvaru \((x – 5)^2 – 4\).

Vrchol paraboly \(y = (x – 5)^2 – 4\) má souřadnice \((5, -4)\).

Řešení příkladu:

Chceme najít \(k\), aby výraz \(x^2 + 6x + k\) byl ve tvaru \((x + a)^2\).

Doplníme na čtverec podle vzorce:

\(k = \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9\)

Výraz tedy bude:

\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)

Řešení příkladu:

Nejprve vytkneme koeficient u \(x^2\):

\(2x^2 – 8x + 5 = 2(x^2 – 4x) + 5\)

Doplníme na čtverec uvnitř závorky:

\(x^2 – 4x + \left(\frac{-4}{2}\right)^2 – \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = (x – 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět:

\(2(x – 2)^2 – 2 \cdot 4 + 5 = 2(x – 2)^2 – 8 + 5 = 2(x – 2)^2 – 3\)

Řešení příkladu:

Vytkneme 3:

\(3x^2 + 18x + 27 = 3(x^2 + 6x) + 27\)

Doplníme na čtverec v závorce:

\(x^2 + 6x + \left(\frac{6}{2}\right)^2 – \left(\frac{6}{2}\right)^2 = (x + 3)^2 – 9\)

Dosadíme zpět:

\(3(x + 3)^2 – 3 \cdot 9 + 27 = 3(x + 3)^2 – 27 + 27 = 3(x + 3)^2\)

Vrchol paraboly je tedy v bodě \((-3, 0)\).

Řešení příkladu:

Nejprve si všimneme, že první tři členy tvoří čtverec binomu:

\(x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2\)

Výraz tedy přepíšeme jako:

\((x + 2y)^2 – 8x + 16\)

Doplníme zbývající členy:

\(-8x + 16 = -8x + 16\)

Pro doplnění na čtverec vyjádříme \(-8x + 16\) ve tvaru lineárního členu, který lze spojit s výrazem:

Necháme \(a = x + 2y\). Potřebujeme najít výraz \(a^2 + \text{něco}\), který bude roven původnímu výrazu.

Zkoušíme: \((x + 2y – 4)^2 = (x + 2y)^2 – 2 \cdot 4 (x + 2y) + 16\)

\(= (x + 2y)^2 – 8x – 16y + 16\)

Vidíme, že výraz má navíc \(-16y\), který v původním výrazu není.

Proto zkusíme rozdělit jinak:

\(x^2 + 4xy + 4y^2 – 8x + 16 = (x + 2y)^2 – 8x + 16\)

Přepíšeme \(-8x\) jako \(-8x = -8(x + 2y) + 16y\), a tedy:

\((x + 2y)^2 – 8(x + 2y) + 16y + 16\)

Nyní doplníme na čtverec podle \(a = x + 2y\):

\(a^2 – 8a = a^2 – 8a + 16 – 16 = (a – 4)^2 – 16\)

Dosadíme zpět:

\((x + 2y – 4)^2 – 16 + 16y + 16\)

Výraz je tedy:

\((x + 2y – 4)^2 + 16y\)

Závěr: původní výraz nelze vyjádřit jako součet dvou čtverců lineárních výrazů bez dalších členů. Proto ho lze pouze vyjádřit ve tvaru:

\((x + 2y – 4)^2 + 16y\)

Řešení příkladu:

Pro usnadnění vyjádření na čtverec využijeme poznatek, že \(4x^2 = (2x)^2\).

Přepíšeme výraz jako:

\((2x)^2 – 12x + 9\)

Vytkneme u prostředního členu 12x ve tvaru \(2 \cdot 2x \cdot 3\):

\(= (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot 3 + 9\)

Vidíme, že výraz odpovídá vzorci \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), kde \(a = 2x\) a \(b = 3\).

Tedy:

\(4x^2 – 12x + 9 = (2x – 3)^2\)

Řešení příkladu:

Vytkneme číslo \(5\):

\(5x^2 + 20x + 15 = 5(x^2 + 4x) + 15\)

Doplníme na čtverec uvnitř závorky:

\(x^2 + 4x + \left(\frac{4}{2}\right)^2 – \left(\frac{4}{2}\right)^2 = (x + 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět:

\(5((x + 2)^2 – 4) + 15 = 5(x + 2)^2 – 20 + 15 = 5(x + 2)^2 – 5\)

Řešení příkladu:

Vyjádříme jednotlivé kvadratické členy s lineárními členy zvlášť:

\(x^2 – 2x + y^2 – 4y + 5\)

Doplníme na čtverec pro \(x\):

\(x^2 – 2x + \left(\frac{-2}{2}\right)^2 – \left(\frac{-2}{2}\right)^2 = (x – 1)^2 – 1\)

Doplníme na čtverec pro \(y\):

\(y^2 – 4y + \left(\frac{-4}{2}\right)^2 – \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = (y – 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět a upravíme:

\((x – 1)^2 – 1 + (y – 2)^2 – 4 + 5 = (x – 1)^2 + (y – 2)^2\)

Řešení příkladu:

Vytkneme \(2\) u členů s \(x\) a \(y\):

\(2x^2 + 8x + 2y^2 – 16y + 20 = 2(x^2 + 4x + y^2 – 8y) + 20\)

Doplníme na čtverec zvlášť pro \(x\):

\(x^2 + 4x + \left(\frac{4}{2}\right)^2 – \left(\frac{4}{2}\right)^2 = (x + 2)^2 – 4\)

Doplníme na čtverec pro \(y\):

\(y^2 – 8y + \left(\frac{-8}{2}\right)^2 – \left(\frac{-8}{2}\right)^2 = (y – 4)^2 – 16\)

Dosadíme zpět:

\(2((x + 2)^2 – 4 + (y – 4)^2 – 16) + 20 = 2((x + 2)^2 + (y – 4)^2 – 20) + 20\)

\(= 2(x + 2)^2 + 2(y – 4)^2 – 40 + 20 = 2(x + 2)^2 + 2(y – 4)^2 – 20\)

Řešení příkladu:

Výraz rozdělíme na dvě části:

\(x^2 – 6x + 9y^2 + 54y + 81 = (x^2 – 6x) + (9y^2 + 54y + 81)\)

Doplníme na čtverec pro \(x\):

\(x^2 – 6x + \left(\frac{-6}{2}\right)^2 – \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = (x – 3)^2 – 9\)

Doplníme na čtverec pro \(y\) \((\)vytkneme \(9)\):

\(9y^2 + 54y + 81 = 9(y^2 + 6y + 9) = 9(y + 3)^2\)

Celý výraz tedy je:

\((x – 3)^2 – 9 + 9(y + 3)^2\)

\(= (x – 3)^2 + 9(y + 3)^2 – 9\)

Řešení příkladu:

Nejprve vytkneme číslo \(2\) u kvadratického a lineárního členu:

\(2x^2 – 8x + 6 = 2(x^2 – 4x) + 6\)

Teď doplníme výraz v závorce na úplný čtverec. Vezmeme poloviční hodnotu koeficientu u \(x\), tedy \(-4\), polovina je \(-2\), a tuto hodnotu umocníme:

\(\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = (-2)^2 = 4\)

Přidáme a odečteme toto číslo uvnitř závorky:

\(2\bigl(x^2 – 4x + 4 – 4\bigr) + 6 = 2\bigl((x – 2)^2 – 4\bigr) + 6\)

Roznásobíme zpět:

\(2(x – 2)^2 – 8 + 6 = 2(x – 2)^2 – 2\)

Výsledný tvar doplněný na čtverec je tedy

\(2(x – 2)^2 – 2\).

Řešení příkladu:

Vytkneme koeficient u \(x^2\):

\(5x^2 + 20x + 17 = 5(x^2 + 4x) + 17\)

Doplníme na čtverec v závorce. Polovina koeficientu u \(x\) je \(2\), jeho druhá mocnina je \(4\).

Zapíšeme takto:

\(5(x^2 + 4x + 4 – 4) + 17 = 5((x + 2)^2 – 4) + 17\)

Roznásobíme:

\(5(x + 2)^2 – 20 + 17 = 5(x + 2)^2 – 3\)

Tedy doplněný výraz je

\(5(x + 2)^2 – 3\).

Řešení příkladu:

Doplníme na čtverec. Polovina koeficientu u \(x\) je \(-3\), jeho druhá mocnina je \(9\).

\(x^2 – 6x + 13 = (x^2 – 6x + 9) + 4 = (x – 3)^2 + 4\)

Výraz je ve tvaru kvadrátu plus konstanta, což je vždy větší nebo rovno \(4\), protože \((x-3)^2 \geq 0\).

Minimum funkce nastane pro \((x-3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3\) a minimum je \(4\).

Řešení příkladu:

Vytkneme 3:

\(3x^2 – 18x + 27 = 3(x^2 – 6x + 9)\)

Doplníme na čtverec výraz v závorce. Polovina koeficientu u \(x\) je \(-3\), jeho druhá mocnina je \(9\).

Proto

\(3(x^2 – 6x + 9) = 3(x – 3)^2\)

Výraz v doplněném tvaru je

\(3(x – 3)^2\).

Pro \(x = 5\) dosadíme:

\(3(5 – 3)^2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12\).

Řešení příkladu:

Vytkneme \(4\):

\(4x^2 + 12x + 5 = 4(x^2 + 3x) + 5\)

Doplníme na čtverec v závorce. Polovina koeficientu u \(x\) je \(\frac{3}{2}\), jeho druhá mocnina je \(\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\).

Zápis:

\(4\biggl(x^2 + 3x + \frac{9}{4} – \frac{9}{4}\biggr) + 5 = 4\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 – 9 + 5\)

\(= 4\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 – 4\)

Výraz je menší než 0, pokud platí

\(4\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 – 4 < 0 \Rightarrow \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 < 1\)

To znamená

\(-1 < x + \frac{3}{2} < 1 \Rightarrow -\frac{5}{2} < x < -\frac{1}{2}\)

Řešení příkladu:

Polovina koeficientu u \(x\) je \(5\), jeho druhá mocnina je \(25\).

\(x^2 + 10x + 26 = (x^2 + 10x + 25) + 1 = (x + 5)^2 + 1\)

Minimum funkce je tedy \(1\), které nastává pro \(x = -5\).

Řešení příkladu:

Vytkneme \(6\):

\(6x^2 – 24x + 30 = 6(x^2 – 4x) + 30\)

Doplníme na čtverec uvnitř závorky. Polovina koeficientu u \(x\) je \(-2\), jeho druhá mocnina je \(4\).

\(6(x^2 – 4x + 4 – 4) + 30 = 6((x – 2)^2 – 4) + 30 = 6(x – 2)^2 – 24 + 30 = 6(x – 2)^2 + 6\)

Pro \(x = 6\) dosadíme:

\(6(6 – 2)^2 + 6 = 6 \cdot 4^2 + 6 = 6 \cdot 16 + 6 = 96 + 6 = 102\).

Řešení příkladu:

Polovina koeficientu u \(x\) je \(2\), jeho druhá mocnina je \(4\).

\(x^2 + 4x + 8 = (x^2 + 4x + 4) + 4 = (x + 2)^2 + 4\)

Výraz je větší než \(0\) pro všechny reálné hodnoty \(x\), protože \((x + 2)^2 \geq 0\) a k tomu přičítáme \(4\).

Tedy

\(x \in \mathbb{R} \Rightarrow x^2 + 4x + 8 > 0\).

Řešení příkladu:

Vytkneme 2:

\(2x^2 + 12x + 20 = 2(x^2 + 6x) + 20\)

Polovina koeficientu u \(x\) je \(3\), druhá mocnina \(9\).

\(2(x^2 + 6x + 9 – 9) + 20 = 2((x + 3)^2 – 9) + 20 = 2(x + 3)^2 – 18 + 20 = 2(x + 3)^2 + 2\)

Minimum výrazu je tedy \(2\), které nastává pro \(x = -3\).

Řešení příkladu:

Polovina koeficientu u \(x\) je \(-7\), druhá mocnina je \(49\).

\(x^2 – 14x + 58 = (x^2 – 14x + 49) + 9 = (x – 7)^2 + 9\)

Minimum funkce je \(9\), které nastává pro \(x = 7\).

Řešení příkladu:

Vyjdeme z výrazu \(x^2 – 6x + 13\).

Nejprve doplníme na čtverec podle vzorce \(x^2 – 2ax = (x – a)^2 – a^2\).

Porovnáváme: \(-6x = -2ax \Rightarrow a = 3\).

Doplníme tedy výraz:

\(x^2 – 6x + 13 = (x – 3)^2 – 9 + 13 = (x – 3)^2 + 4\).

Závěr: výraz lze zapsat jako \((x – 3)^2 + 4\).

Řešení příkladu:

Výraz je kvadratický tvar s koeficientem u \(x^2\) jiným než \(1\). Pro snazší doplnění na čtverec vydělíme výraz koeficientem před \(x^2\):

\(4x^2 + 12x + 9 = 4\left(x^2 + 3x\right) + 9\).

Doplníme uvnitř závorky na čtverec:

Porovnáváme: \(3x = 2ax \Rightarrow a = \frac{3}{2}\).

\(x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 – (\frac{3}{2})^2 = (x + \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4}\).

Dosadíme zpět:

\(4\left[(x + \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4}\right] + 9 = 4(x + \frac{3}{2})^2 – 9 + 9 = 4(x + \frac{3}{2})^2\).

Závěr: výraz lze vyjádřit jako \(4(x + \frac{3}{2})^2\).

Řešení příkladu:

Doplníme na čtverec podle vzorce \(x^2 + 2ax = (x + a)^2 – a^2\).

Zde platí \(8x = 2ax \Rightarrow a = 4\).

Doplníme tedy výraz:

\(x^2 + 8x + 15 = (x + 4)^2 – 16 + 15 = (x + 4)^2 – 1\).

Závěr: \((x + 4)^2 – 1\).

Řešení příkladu:

Koeficient u \(x^2\) je \(9\), takže faktor vytkneme:

\(9x^2 – 12x + 4 = 9(x^2 – \frac{4}{3}x) + 4\).

Doplníme na čtverec:

\(-\frac{4}{3}x = 2ax \Rightarrow a = -\frac{2}{3}\).

\(x^2 – \frac{4}{3}x = (x – \frac{2}{3})^2 – \left(\frac{2}{3}\right)^2 = (x – \frac{2}{3})^2 – \frac{4}{9}\).

Dosadíme zpět:

\(9\left[(x – \frac{2}{3})^2 – \frac{4}{9}\right] + 4 = 9(x – \frac{2}{3})^2 – 4 + 4 = 9(x – \frac{2}{3})^2\).

Závěr: výraz je \(9(x – \frac{2}{3})^2\).

Řešení příkladu:

Doplníme na čtverec:

\(x^2 + 10x + 21 = (x + 5)^2 – 25 + 21 = (x + 5)^2 – 4\).

Výraz tedy nelze vyjádřit jako součet čtverců lineárních výrazů bez dalších členů, protože obsahuje záporný člen mimo čtverec.

Závěr: \((x + 5)^2 – 4\).

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec binomu:

\(x^2 – 4xy + 4y^2 = (x – 2y)^2\).

Výraz tedy přepíšeme jako:

\((x – 2y)^2 + 6x – 12y + 9\).

Doplníme lineární členy do výrazu uvnitř čtverce. Zkusme najít lineární výraz \(a x + b y + c\), který při čtverci dá tento výraz.

Nastavme \(A = x – 2y + d\), kde \(d\) je konstantní člen.

\(A^2 = (x – 2y)^2 + 2d(x – 2y) + d^2 = (x – 2y)^2 + 2d x – 4d y + d^2\).

Porovnáním s původním výrazem máme:

\(2d x = 6x \Rightarrow d = 3\),

\(-4d y = -12 y \Rightarrow d = 3\),

\(d^2 = 9\).

Vše sedí, tedy:

\(x^2 – 4xy + 4y^2 + 6x – 12y + 9 = (x – 2y + 3)^2\).

Závěr: výraz je čtvercem lineárního výrazu \((x – 2y + 3)^2\).

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec binomu:

\(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\).

Výraz tedy přepíšeme jako:

\((x + y)^2 – 4x – 6y + 13\).

Zkusíme doplnit lineární členy uvnitř čtverce. Nastavme \(A = x + y + c\), kde \(c\) je konstanta.

\(A^2 = (x + y)^2 + 2c(x + y) + c^2 = (x + y)^2 + 2c x + 2c y + c^2\).

Porovnáním máme:

\(2c x = -4x \Rightarrow c = -2\),

\(2c y = -6 y \Rightarrow c = -3\).

Hodnoty \(c\) se liší, proto nemůžeme vše vyjádřit jedním čtvercem.

Pokračujeme jinak, rozdělíme výraz:

\(x^2 + 2xy + y^2 – 4x – 6y + 13 = (x + y)^2 – 4x – 6y + 13\).

Přidáme a odečteme tak, aby bylo možné rozdělit lineární členy:

\(-4x – 6y = -4(x + y) – 2 y\),

výraz je tedy:

\((x + y)^2 – 4(x + y) – 2 y + 13\).

Doplníme na čtverec podle \(a = x + y\):

\(a^2 – 4a = a^2 – 4a + 4 – 4 = (a – 2)^2 – 4\).

Dosadíme zpět:

\((x + y – 2)^2 – 4 – 2 y + 13 = (x + y – 2)^2 + 9 – 2 y\).

Závěr: výraz lze vyjádřit jako \((x + y – 2)^2 + 9 – 2 y\), tedy nelze přímo jako součet čtverců lineárních výrazů.

Řešení příkladu:

Nejprve se podíváme na první tři členy, které připomínají čtverec lineárního výrazu:

Pokud označíme \(A = 2x – \frac{y}{2}\), pak

\(A^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot \frac{y}{2} + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 4x^2 – 2xy + \frac{y^2}{4}\),

což není úplně to samé.

Zkusíme jiný přístup, vezmeme výraz \(4x^2 – 4xy + y^2 = (2x – y)^2\).

Výraz tedy přepíšeme jako:

\((2x – y)^2 + 8x – 4y + 4\).

Nastavíme \(B = 2x – y + c\) a rozepíšeme:

\(B^2 = (2x – y)^2 + 2c(2x – y) + c^2 = (2x – y)^2 + 4c x – 2c y + c^2\).

Porovnáme koeficienty:

\(4c x = 8x \Rightarrow c = 2\),

\(-2c y = -4y \Rightarrow c = 2\),

\(c^2 = 4\).

Výraz je tedy:

\((2x – y + 2)^2\).

Závěr: původní výraz je čtvercem lineárního výrazu \((2x – y + 2)^2\).

Řešení příkladu:

Vytkneme koeficient 3 u \(x^2\), \(xy\) a \(y^2\):

\(3x^2 + 12xy + 12y^2 = 3(x^2 + 4xy + 4y^2) = 3(x + 2y)^2\)

Přepíšeme celý výraz:

\(3(x + 2y)^2 – 18x + 24y + 30\)

Vyjádříme lineární členy pomocí \(a = x + 2y\):

\(-18x + 24y = -18(x + 2y) + 60y\)

Dosadíme zpět:

\(3a^2 – 18a + 60y + 30\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(3a^2 – 18a = 3(a^2 – 6a) = 3(a^2 – 6a + 9 – 9) = 3(a – 3)^2 – 27\)

Celý výraz je tedy:

\(3(a – 3)^2 – 27 + 60y + 30 = 3(x + 2y – 3)^2 + 60y + 3\)

Závěr: Výraz lze zapsat jako

\(3(x + 2y – 3)^2 + 60y + 3\)

Řešení příkladu:

První tři členy jsou kvadratická forma, zkusíme ji rozložit na čtverce:

\(4x^2 – 8xy + y^2 = (2x – y)^2\)

Výraz přepíšeme:

\((2x – y)^2 + 16x – 4y + 9\)

Vyjádříme lineární členy pomocí \(b = 2x – y\):

Vyjádříme \(16x – 4y\) jako \(8 \cdot 2x – 4y\). Zkusíme \(16x – 4y = 8(2x – y) + 4y\)

Dosadíme:

\(b^2 + 8b + 4y + 9\)

Doplníme na čtverec podle \(b\):

\(b^2 + 8b = b^2 + 8b + 16 – 16 = (b + 4)^2 – 16\)

Celkový výraz je:

\((b + 4)^2 – 16 + 4y + 9 = (2x – y + 4)^2 + 4y – 7\)

Závěr: Výraz lze vyjádřit jako

\((2x – y + 4)^2 + 4y – 7\)

Řešení příkladu:

Doplníme samostatně na čtverec podle \(x\) a podle \(y\):

\(x^2 – 6x = (x^2 – 6x + 9) – 9 = (x – 3)^2 – 9\)

\(y^2 + 4y = (y^2 + 4y + 4) – 4 = (y + 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět do výrazu:

\((x – 3)^2 – 9 + (y + 2)^2 – 4 + 13\)

Sčítáme konstanty:

\(-9 – 4 + 13 = 0\)

Výraz je tedy:

\((x – 3)^2 + (y + 2)^2\)

Závěr: Výraz je součet čtverců lineárních výrazů

Řešení příkladu:

Vytkneme členy do čtverce binomu:

\(9x^2 + 24xy + 16y^2 = (3x + 4y)^2\)

Výraz přepíšeme:

\((3x + 4y)^2 – 36x – 64y + 100\)

Vyjádříme lineární členy pomocí \(c = 3x + 4y\):

\(-36x – 64y = -12(3x + 4y) + (-64y + 48y) = -12c – 16y\)

Dosadíme:

\(c^2 – 12c – 16y + 100\)

Doplníme na čtverec podle \(c\):

\(c^2 – 12c = c^2 – 12c + 36 – 36 = (c – 6)^2 – 36\)

Výraz je:

\((c – 6)^2 – 36 – 16y + 100 = (3x + 4y – 6)^2 + 64 – 16y\)

Závěr: Výraz lze vyjádřit jako

\((3x + 4y – 6)^2 + 64 – 16y\)

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec binomu:

\(x^2 – 14xy + 49y^2 = (x – 7y)^2\)

Přepíšeme celý výraz:

\((x – 7y)^2 + 28x – 98y + 49\)

Vyjádříme lineární členy pomocí \(d = x – 7y\):

\(28x – 98y = 28(x – 7y) = 28d\)

Dosadíme zpět:

\(d^2 + 28d + 49\)

Doplníme na čtverec podle \(d\):

\(d^2 + 28d + 49 = d^2 + 28d + 196 – 147 = (d + 14)^2 – 147\)

Závěr: Výraz lze vyjádřit jako

\((x – 7y + 14)^2 – 147\)

Řešení příkladu:

Vytkneme 5 u kvadratické části:

\(5x^2 + 20xy + 20y^2 = 5(x^2 + 4xy + 4y^2) = 5(x + 2y)^2\)

Výraz přepíšeme:

\(5(x + 2y)^2 – 10x + 40y + 50\)

Vyjádříme lineární členy pomocí \(e = x + 2y\):

\(-10x + 40y = -10(x + 2y) + 60y = -10e + 60y\)

Dosadíme:

\(5e^2 – 10e + 60y + 50\)

Doplníme na čtverec podle \(e\):

\(5e^2 – 10e = 5(e^2 – 2e) = 5(e^2 – 2e + 1 – 1) = 5(e – 1)^2 – 5\)

Celý výraz je:

\(5(e – 1)^2 – 5 + 60y + 50 = 5(x + 2y – 1)^2 + 60y + 45\)

Závěr: Výraz lze zapsat jako

\(5(x + 2y – 1)^2 + 60y + 45\)

Řešení příkladu:

Nejprve rozdělíme kvadratické členy a pokusíme se vytknout koeficient u \(x^2\):

\(2x^2 + 8xy + 8y^2 = 2(x^2 + 4xy + 4y^2) = 2(x + 2y)^2\)

Výraz tedy přepíšeme jako:

\(2(x + 2y)^2 – 12x + 20y + 18\)

Lineární členy přepíšeme pomocí substituce \(a = x + 2y\):

Vyjádříme \(x\) z \(a\): \(x = a – 2y\), proto

\(-12x + 20y = -12(a – 2y) + 20y = -12a + 24y + 20y = -12a + 44y\)

Dosadíme zpět do výrazu:

\(2a^2 – 12a + 44y + 18\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(2a^2 – 12a = 2(a^2 – 6a) = 2(a^2 – 6a + 9 – 9) = 2(a – 3)^2 – 18\)

Celý výraz je tedy:

\(2(a – 3)^2 – 18 + 44y + 18 = 2(x + 2y – 3)^2 + 44y\)

Závěr: Výraz lze vyjádřit jako

\(2(x + 2y – 3)^2 + 44y\)

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec rozdílu:

\(x^2 – 6xy + 9y^2 = (x – 3y)^2\)

Celý výraz přepíšeme jako:

\((x – 3y)^2 + 4x – 12y + 7\)

Doplníme lineární členy s využitím substituce \(a = x – 3y\), tedy \(x = a + 3y\):

\(4x – 12y = 4(a + 3y) – 12y = 4a + 12y – 12y = 4a\)

Výraz je nyní:

\(a^2 + 4a + 7\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(a^2 + 4a = a^2 + 4a + 4 – 4 = (a + 2)^2 – 4\)

Celý výraz je tedy:

\((a + 2)^2 – 4 + 7 = (x – 3y + 2)^2 + 3\)

Řešení příkladu:

Vytkneme koeficient 3 u kvadratických členů:

\(3x^2 + 12xy + 15y^2 = 3(x^2 + 4xy + 5y^2)\)

Snažíme se doplnit na čtverec v rámci výrazu v závorce. Výraz \(x^2 + 4xy + 5y^2\) není čtvercem binomu, protože člen u \(y^2\) není čtverec čísla 2, ale 5.

Pokusíme se rozdělit:

\(x^2 + 4xy + 5y^2 = (x + 2y)^2 + y^2\)

Proto:

\(3x^2 + 12xy + 15y^2 = 3((x + 2y)^2 + y^2) = 3(x + 2y)^2 + 3y^2\)

Celý výraz je tedy:

\(3(x + 2y)^2 + 3y^2 – 18x + 30y + 27\)

Doplníme lineární členy pomocí substituce \(a = x + 2y\), tedy \(x = a – 2y\):

\(-18x + 30y = -18(a – 2y) + 30y = -18a + 36y + 30y = -18a + 66y\)

Dosadíme:

\(3a^2 + 3y^2 – 18a + 66y + 27\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(3a^2 – 18a = 3(a^2 – 6a) = 3(a^2 – 6a + 9 – 9) = 3(a – 3)^2 – 27\)

Doplníme na čtverec podle \(y\):

\(3y^2 + 66y = 3(y^2 + 22y) = 3(y^2 + 22y + 121 – 121) = 3(y + 11)^2 – 363\)

Celý výraz je tedy:

\(3(a – 3)^2 – 27 + 3(y + 11)^2 – 363 + 27 = 3(x + 2y – 3)^2 + 3(y + 11)^2 – 363\)

Řešení příkladu:

Vytkneme 4 u kvadratických členů:

\(4x^2 – 16xy + 16y^2 = 4(x^2 – 4xy + 4y^2) = 4(x – 2y)^2\)

Celý výraz je tedy:

\(4(x – 2y)^2 + 8x – 32y + 20\)

Doplníme lineární členy podle substituce \(a = x – 2y\), tedy \(x = a + 2y\):

\(8x – 32y = 8(a + 2y) – 32y = 8a + 16y – 32y = 8a – 16y\)

Dosadíme do výrazu:

\(4a^2 + 8a – 16y + 20\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(4a^2 + 8a = 4(a^2 + 2a) = 4(a^2 + 2a + 1 – 1) = 4(a + 1)^2 – 4\)

Celý výraz je tedy:

\(4(a + 1)^2 – 4 – 16y + 20 = 4(x – 2y + 1)^2 + 16 – 16y = 4(x – 2y + 1)^2 + 16(1 – y)\)

Řešení příkladu:

Nejprve zkusíme doplnit na čtverec z kvadratických členů:

\(x^2 + 6xy + 10y^2 = x^2 + 6xy + 9y^2 + y^2 = (x + 3y)^2 + y^2\)

Výraz je tedy:

\((x + 3y)^2 + y^2 – 14x + 28y – 21\)

Lineární členy přepíšeme s využitím substituce \(a = x + 3y\), tedy \(x = a – 3y\):

\(-14x + 28y = -14(a – 3y) + 28y = -14a + 42y + 28y = -14a + 70y\)

Dosadíme do výrazu:

\(a^2 + y^2 – 14a + 70y – 21\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(a^2 – 14a = a^2 – 14a + 49 – 49 = (a – 7)^2 – 49\)

Doplníme na čtverec podle \(y\):

\(y^2 + 70y = y^2 + 70y + 1225 – 1225 = (y + 35)^2 – 1225\)

Celý výraz je tedy:

\((a – 7)^2 – 49 + (y + 35)^2 – 1225 – 21 = (x + 3y – 7)^2 + (y + 35)^2 – 1295\)

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme výraz tak, aby první tři členy měly společného činitele:

\(3x^2 – 12xy + 12y^2 = 3(x^2 – 4xy + 4y^2)\)

V závorkách je čtverec rozdílu:

\(x^2 – 4xy + 4y^2 = (x – 2y)^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme jako:

\(3(x – 2y)^2 + 18x – 24y + 30\)

Podíváme se nyní na lineární členy a konstantu mimo závorku:

\(18x – 24y + 30\)

Zkusíme je vyjádřit pomocí výrazu \(x – 2y\), protože je to naše hlavní binomická proměnná:

Upravme lineární členy:

\(18x – 24y = 6 \cdot 3x – 6 \cdot 4y = 6(3x – 4y)\), ale to nám nepomáhá přímo k \(x – 2y\).

Zkusíme tedy vyjádřit lineární členy přímo v podobě \(A(x – 2y) + B\).

Nechť platí:

\(18x – 24y + 30 = A(x – 2y) + C\)

Porovnáním koeficientů:

Pro \(x\): \(18 = A\)

Pro \(y\): \(-24 = -2A \Rightarrow -24 = -2 \cdot 18 = -36\), což nesedí.

Proto přímo nelze lineární členy úplně vyjádřit pomocí \(x – 2y\).

Proto budeme doplňovat na čtverec jen v rámci výrazu \(3(x – 2y)^2 + 18x – 24y + 30\).

Dále upravíme lineární členy:

Rozdělíme \(18x – 24y\) jako \(6(3x – 4y)\), a zkusíme přidat a odečíst vhodné členy.

Alternativně můžeme zkusit přepsat celý výraz ve tvaru:

\(3(x – 2y)^2 + 18x – 24y + 30 = 3(x – 2y)^2 + 6(3x – 4y) + 30\)

Zkusíme nahradit \(3x – 4y\) jako další proměnnou \(z\), ale to by nás odvedlo od cíle.

Místo toho rozepíšeme \(3(x – 2y)^2\):

\(3(x^2 – 4xy + 4y^2) = 3x^2 – 12xy + 12y^2\)

Přepíšeme celý výraz jako:

\(3x^2 – 12xy + 12y^2 + 18x – 24y + 30\)

Teď doplníme na čtverec zvlášť v proměnných \(x\) a \(y\). Pokusíme se seskupit členy podle \(x\):

\(3x^2 – 12xy + 18x + 12y^2 – 24y + 30\)

Seskupíme jako:

\(3x^2 – 12xy + 18x + 12y^2 – 24y + 30 = 3(x^2 – 4xy + 6x) + 12(y^2 – 2y) + 30\)

Doplníme na čtverec uvnitř závorek:

Pro \(x^2 – 4xy + 6x\) považujeme \(y\) jako konstantu, proto zkusíme doplnit na čtverec ve formě \(x – 2y + d\):

\(x^2 – 4xy + 6x = (x – 2y)^2 + 6x – 4y^2\)

Ne, protože \((x – 2y)^2 = x^2 – 4xy + 4y^2\), nikoliv \(x^2 – 4xy + 6x\).

Zkusíme jiný přístup — doplníme členy lineární v \(x\):

\(x^2 – 4xy + 6x = x^2 – 4xy + 6x\)

Doplníme a odečteme \(4y^2\):

\(= (x – 2y)^2 + 6x – 4y^2\)

Pokračujeme:

\(3[(x – 2y)^2 + 6x – 4y^2] + 12(y^2 – 2y) + 30 = 3(x – 2y)^2 + 18x – 12y^2 + 12y^2 – 24y + 30\)

Vidíme, že členy \( -12y^2 + 12y^2\) se vyruší, takže výraz je:

\(3(x – 2y)^2 + 18x – 24y + 30\)

Nyní doplníme lineární členy v \(x\):

\(18x = 18(x – 2y + 2y) = 18(x – 2y) + 36y\)

Dosadíme do výrazu:

\(3(x – 2y)^2 + 18(x – 2y) + 36y – 24y + 30 = 3(x – 2y)^2 + 18(x – 2y) + 12y + 30\)

Doplníme nyní na čtverec podle proměnné \(a = x – 2y\):

\(3a^2 + 18a = 3(a^2 + 6a) = 3(a^2 + 6a + 9 – 9) = 3((a + 3)^2 – 9) = 3(a + 3)^2 – 27\)

Dosadíme zpět:

\(3(x – 2y + 3)^2 – 27 + 12y + 30 = 3(x – 2y + 3)^2 + 12y + 3\)

Výsledný tvar je tedy:

\(3(x – 2y + 3)^2 + 12y + 3\)

Výraz se nám podařilo upravit na doplněný čtverec s přidanými lineárními a konstantními členy.

Řešení příkladu:

Seskupíme členy podle \(x\) a \(y\):

\(4x^2 + 4xy + y^2 – 16x + 8y + 16\)

První tři členy zkusíme vyjádřit jako čtverec binomu:

\(4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme jako:

\((2x + y)^2 – 16x + 8y + 16\)

Doplníme lineární členy ve vztahu k výrazu \(2x + y\):

Rozepíšeme lineární členy v souvislosti s \(2x + y\):

\(-16x + 8y = -8(2x) + 8y = -8(2x + y) + 16y\)

Dosadíme zpět:

\((2x + y)^2 – 8(2x + y) + 16y + 16\)

Doplníme na čtverec podle \(a = 2x + y\):

\(a^2 – 8a = a^2 – 8a + 16 – 16 = (a – 4)^2 – 16\)

Dosadíme zpět a upravíme:

\((2x + y – 4)^2 – 16 + 16y + 16 = (2x + y – 4)^2 + 16y\)

Výraz nelze dále rozložit na součet dvou čtverců lineárních výrazů bez zbývajícího členu \(16y\), takže finální tvar je:

\((2x + y – 4)^2 + 16y\)

Řešení příkladu:

Nejprve rozpoznáme čtverec binomu v prvních třech členech:

\(x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2\)

Celý výraz přepíšeme jako:

\((x + 3y)^2 – 4x + 12y – 7\)

Lineární členy \(-4x + 12y\) zkusíme vyjádřit pomocí \(a = x + 3y\):

\(-4x + 12y = -4(x + 3y) + 24y\)

Dosadíme zpět:

\(a^2 – 4a + 24y – 7\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(a^2 – 4a = a^2 – 4a + 4 – 4 = (a – 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět:

\((x + 3y – 2)^2 – 4 + 24y – 7 = (x + 3y – 2)^2 + 24y – 11\)

Výraz nelze dále rozložit na čtverce bez zbývajícího lineárního členu \(24y\).

Řešení příkladu:

První tři členy představují čtverec rozdílu:

\(9x^2 – 12xy + 4y^2 = (3x – 2y)^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme jako:

\((3x – 2y)^2 + 36x – 24y + 36\)

Vyjádříme lineární členy pomocí \(a = 3x – 2y\):

\(36x – 24y = 12(3x – 2y) = 12a\)

Výraz je tedy:

\(a^2 + 12a + 36\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(a^2 + 12a + 36 = (a + 6)^2\)

Dosadíme zpět:

\((3x – 2y + 6)^2\)

Výraz je tedy dokonale doplněn na čtverec lineárního výrazu.

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec rozdílu:

\(x^2 – 10xy + 25y^2 = (x – 5y)^2\)

Celý výraz přepíšeme jako:

\((x – 5y)^2 + 8x – 40y + 16\)

Lineární členy upravíme ve vztahu k \(a = x – 5y\):

\(8x – 40y = 8(x – 5y)\)

Výraz se tedy stává:

\(a^2 + 8a + 16\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2\)

Dosadíme zpět:

\((x – 5y + 4)^2\)

Výraz je kompletně vyjádřen jako čtverec lineárního výrazu.

Řešení příkladu:

Nejprve vydělíme celý výraz číslem 2, abychom usnadnili doplnění na čtverec:

\(\frac{1}{2}(2x^2 + 8xy + 8y^2 – 4x + 12y – 6) = x^2 + 4xy + 4y^2 – 2x + 6y – 3\)

Všimneme si, že první tři členy tvoří čtverec binomu:

\(x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2\)

Výraz tedy přepíšeme jako:

\((x + 2y)^2 – 2x + 6y – 3\)

Nyní vyjádříme lineární členy \(-2x + 6y\) pomocí výrazu \(x + 2y\).

Všimneme si, že:

\(x = (x + 2y) – 2y\)

Proto:

\(-2x + 6y = -2[(x + 2y) – 2y] + 6y = -2(x + 2y) + 4y + 6y = -2(x + 2y) + 10y\)

Výraz tedy můžeme přepsat jako:

\((x + 2y)^2 – 2(x + 2y) + 10y – 3\)

Nyní doplníme na čtverec podle \(a = x + 2y\):

\(a^2 – 2a = a^2 – 2a + 1 – 1 = (a – 1)^2 – 1\)

Dosadíme zpět:

\((x + 2y – 1)^2 – 1 + 10y – 3 = (x + 2y – 1)^2 + 10y – 4\)

Nyní vrátíme zpět násobení \(2\), protože jsme původně výraz vydělili:

\(2 \cdot ((x + 2y – 1)^2 + 10y – 4) = 2(x + 2y – 1)^2 + 20y – 8\)

Závěr: původní výraz lze vyjádřit jako

\(2(x + 2y – 1)^2 + 20y – 8\)

Tento tvar je nejjednodušší doplnění na čtverec bez dalších úprav.

Řešení příkladu:

Nejprve si všimneme, že první tři členy tvoří kvadrát dvojčlenu:

\(4x^2 – 12xy + 9y^2 = (2x – 3y)^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme jako:

\((2x – 3y)^2 + 24x – 36y + 36\)

Dále upravíme lineární členy \(24x – 36y\) ve vztahu k výrazu \(2x – 3y\):

\(24x – 36y = 12(2x – 3y)\)

Výraz můžeme tedy napsat jako:

\((2x – 3y)^2 + 12(2x – 3y) + 36\)

Necháme \(a = 2x – 3y\) a doplníme na čtverec:

\(a^2 + 12a + 36 = a^2 + 12a + 36\)

Vidíme, že \(36 = 6^2\), takže:

\(a^2 + 12a + 36 = (a + 6)^2\)

Dosadíme zpět:

\((2x – 3y + 6)^2\)

Závěr: původní výraz lze vyjádřit jako čtverec lineárního výrazu

\((2x – 3y + 6)^2\)

Řešení příkladu:

Prvním krokem je vytknutí čísla \(3\):

\(3x^2 + 6xy + 3y^2 – 18x – 18y + 27 = 3(x^2 + 2xy + y^2 – 6x – 6y + 9)\)

První tři členy tvoří čtverec binomu:

\(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\)

Výraz uvnitř závorky tedy přepíšeme jako:

\((x + y)^2 – 6x – 6y + 9\)

Vyjádříme lineární členy \(-6x – 6y\) jako \(-6(x + y)\):

\((x + y)^2 – 6(x + y) + 9\)

Doplníme na čtverec podle \(a = x + y\):

\(a^2 – 6a + 9 = (a – 3)^2\)

Dosadíme zpět:

\(3(x + y – 3)^2\)

Závěr: původní výraz lze vyjádřit jako násobek čtverce lineárního výrazu:

\(3(x + y – 3)^2\)

Řešení příkladu:

Prvním krokem je analyzovat kvadratickou část:

\(x^2 – 6xy + 13y^2\)

Zkusíme najít vhodný lineární výraz, jehož čtverec by odpovídal této části:

Pokusíme se vyjádřit jako \((x – ay)^2 + by^2\).

\((x – ay)^2 = x^2 – 2a x y + a^2 y^2\)

Porovnáme koeficienty:

\(-2a = -6 \Rightarrow a = 3\)

\(a^2 + b = 13 \Rightarrow 9 + b = 13 \Rightarrow b = 4\)

Tedy:

\(x^2 – 6xy + 13y^2 = (x – 3y)^2 + 4y^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme jako:

\((x – 3y)^2 + 4y^2 + 4x – 24y + 20\)

Vyjádříme lineární členy \(4x – 24y\) pomocí výrazu \(x – 3y\):

\(x = (x – 3y) + 3y\)

Proto:

\(4x – 24y = 4((x – 3y) + 3y) – 24y = 4(x – 3y) + 12y – 24y = 4(x – 3y) – 12y\)

Výraz tedy přepíšeme na:

\((x – 3y)^2 + 4(x – 3y) – 12y + 4y^2 + 20\)

Doplníme na čtverec podle \(a = x – 3y\):

\(a^2 + 4a = a^2 + 4a + 4 – 4 = (a + 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět:

\((x – 3y + 2)^2 – 4 – 12y + 4y^2 + 20\)

Upravíme zbytek:

\(-4 – 12y + 4y^2 + 20 = 4y^2 – 12y + 16\)

Doplníme na čtverec podle \(b = 2y\):

\(4y^2 – 12y + 16 = 4(y^2 – 3y + 4) = 4(y^2 – 3y + \frac{9}{4} – \frac{9}{4} + 4)\)

\(= 4\left( (y – \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4} \right) = 4(y – \frac{3}{2})^2 + 7\)

Celkově tedy platí:

\((x – 3y + 2)^2 + 4(y – \frac{3}{2})^2 + 7\)

Závěr: výraz nelze vyjádřit pouze jako součet čtverců lineárních výrazů, ale lze jej vyjádřit ve tvaru

\((x – 3y + 2)^2 + 4(y – \frac{3}{2})^2 + 7\)

Řešení příkladu:

Nejprve uspořádáme členy podle proměnných:

\(3x^2 – 12xy + 12y^2 + 18x – 36y + 27\)

Vytkneme přední koeficient u kvadratických členů:

\(3(x^2 – 4xy + 4y^2) + 18x – 36y + 27\)

Všimneme si, že ve složeném výrazu uvnitř závorky je čtverec rozdílu:

\(x^2 – 4xy + 4y^2 = (x – 2y)^2\)

Výraz tedy přepíšeme jako:

\(3(x – 2y)^2 + 18x – 36y + 27\)

Dále upravíme lineární členy:

\(18x – 36y = 18(x – 2y)\)

Výraz přepíšeme:

\(3(x – 2y)^2 + 18(x – 2y) + 27\)

Necháme \(a = x – 2y\). Pak výraz je:

\(3a^2 + 18a + 27\)

Doplníme na čtverec:

\(3a^2 + 18a + 27 = 3(a^2 + 6a + 9)\)

\(= 3(a + 3)^2\)

Dosadíme zpět:

\(3(x – 2y + 3)^2\)

Závěr: původní výraz lze vyjádřit jako

\(3(x – 2y + 3)^2\)

Řešení příkladu:

Uspořádáme kvadratické členy:

\(2x^2 + 8xy + 10y^2 = 2x^2 + 8xy + 10y^2\)

Vytkneme 2 z prvních tří členů:

\(2(x^2 + 4xy + 5y^2)\)

Vyjádříme kvadratický tvar v závorkách pomocí matice koeficientů, abychom zjistili, zda lze doplnit na čtverec lineárních výrazů. Alternativně zkusíme hledat lineární výrazy \(ax + by\), jejichž čtverce by se mohly použít.

Zkusíme rozložit na součet dvou čtverců lineárních výrazů ve tvaru:

\((x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2\)

\((x + 3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2\)

Vidíme, že \(x^2 + 4xy + 5y^2\) je mezi nimi. Můžeme tedy hledat koeficienty \(A, B\) tak, že

\(x^2 + 4xy + 5y^2 = A(x + 2y)^2 + B(x + 3y)^2\)

Vyjádříme:

\(A(x^2 + 4xy + 4y^2) + B(x^2 + 6xy + 9y^2) = (A + B) x^2 + (4A + 6B) xy + (4A + 9B) y^2\)

Porovnáme koeficienty s \(x^2 + 4xy + 5y^2\):

\(A + B = 1\)

\(4A + 6B = 4\)

\(4A + 9B = 5\)

Z první rovnice \(B = 1 – A\), dosadíme do druhé:

\(4A + 6(1 – A) = 4 \Rightarrow 4A + 6 – 6A = 4 \Rightarrow -2A = -2 \Rightarrow A = 1\)

Pak \(B = 0\), ale nesplňuje třetí rovnost:

\(4 \cdot 1 + 9 \cdot 0 = 4 \neq 5\)

Proto nelze takto. Zkusíme tedy doplnit na čtverec standardním způsobem. Necháme \(a = x + 2y\).

Výraz uvnitř je:

\(2a^2 + (-16x – 40y) + 32\)

Vyjádříme lineární členy přes \(a\):

\(-16x – 40y = -16(x + 2y) + 8y = -16a + 8y\)

Výraz je tedy:

\(2a^2 – 16a + 8y + 32\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(2a^2 – 16a = 2(a^2 – 8a) = 2((a – 4)^2 – 16) = 2(a – 4)^2 – 32\)

Celý výraz:

\(2(a – 4)^2 – 32 + 8y + 32 = 2(x + 2y – 4)^2 + 8y\)

Závěr: výraz lze vyjádřit jako

\(2(x + 2y – 4)^2 + 8y\)

Nelze tedy vyjádřit jako čistý součet čtverců lineárních výrazů bez dalších členů.

Řešení příkladu:

Uspořádáme kvadratické členy:

\(4x^2 + 4xy + y^2\)

Všimneme si, že \(4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2\)

Výraz přepíšeme jako:

\((2x + y)^2 – 12x + 6y + 9\)

Vyjádříme lineární členy:

\(-12x + 6y = -6(2x – y)\)

Necháme \(a = 2x + y\), ale lineární členy nejsou ve tvaru \(a\). Zkusíme přepsat:

Výraz:

\((2x + y)^2 – 6(2x – y) + 9\)

Doplníme čtverec podle \(a = 2x + y\):

Protože lineární členy nejsou v \(a\), zkusíme \(b = 2x – y\) a pokusíme se o substituci.

Protože proměnné jsou lineárně nezávislé, pokusíme se o součet čtverců ve tvaru \(a^2 + cb + d\).

Jiným přístupem doplníme postupně. Upravíme výraz:

\((2x + y)^2 – 6(2x – y) + 9 = (2x + y)^2 – 12x + 6y + 9\)

Zkusíme doplnit na čtverec podle \(2x + y\), protože ten nám dává kvadratickou část:

\((2x + y – 3)^2 = (2x + y)^2 – 2 \cdot 3 (2x + y) + 9 = (2x + y)^2 – 6(2x + y) + 9\)

Porovnáním s výrazem máme:

\((2x + y)^2 – 6(2x + y) + 9 = (2x + y)^2 – 12x – 6y + 9\)

Vidíme, že v původním výrazu je \(-12x + 6y\), ale v tomto je \(-12x – 6y\). Rozdíl je \(12y\).

Výraz tedy můžeme zapsat jako:

\((2x + y – 3)^2 + 12y\)

Závěr: nelze vyjádřit čistě jako čtverec lineárního výrazu, ale jako

\((2x + y – 3)^2 + 12y\)

Řešení příkladu:

Začneme rozpoznáním koeficientů u kvadratického členu:

Máme výraz \(2x^2 – 12x + 18\). Nejprve vytkneme \(2\):

\(2(x^2 – 6x + 9)\)

Doplníme na čtverec v závorce. Víme, že \((x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9\), takže:

\(2(x – 3)^2\)

Tím jsme výraz převedli na požadovaný tvar:

\(2(x – 3)^2\)

Ve výsledku tedy platí:

\(2x^2 – 12x + 18 = 2(x – 3)^2\)

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec rozdílu:

\(x^2 – 10xy + 25y^2 = (x – 5y)^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme:

\((x – 5y)^2 + 6x – 30y + 9\)

Doplníme zbývající členy tak, aby vznikl další čtverec. Necháme \(a = x – 5y\) a hledáme, jak vyjádřit:

\(a^2 + 6x – 30y + 9\)

Vyjádříme lineární členy přes \(a\):

\(6x – 30y = 6(x – 5y) = 6a\)

Výraz je:

\(a^2 + 6a + 9\)

Doplníme na čtverec podle vzorce:

\(a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2\)

Dosadíme zpět:

\((x – 5y + 3)^2\)

Závěr:

\(x^2 – 10xy + 25y^2 + 6x – 30y + 9 = (x – 5y + 3)^2\)

Řešení příkladu:

Vytkneme koeficient u kvadratických členů:

\(3x^2 + 12xy + 12y^2 = 3(x^2 + 4xy + 4y^2)\)

Uvnitř závorky rozpoznáme čtverec binomu:

\(x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme:

\(3(x + 2y)^2 + 18x + 36y + 27\)

Vyjádříme lineární členy pomocí \(a = x + 2y\):

Všimneme si, že:

\(18x + 36y = 18(x + 2y) = 18a\)

Výraz je:

\(3a^2 + 18a + 27\)

Vytkneme 3:

\(3(a^2 + 6a + 9)\)

Doplníme na čtverec podle vzorce:

\(a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2\)

Výraz je tedy:

\(3(a + 3)^2\)

Dosadíme zpět:

\(3(x + 2y + 3)^2\)

Řešení příkladu:

Nejprve zkusíme rozpoznat kvadratický tvar. První tři členy lze zapsat jako čtverec:

\(4x^2 – 4xy + y^2 = (2x – y)^2\)

Výraz tedy přepíšeme:

\((2x – y)^2 + 8x – 4y + 1\)

Necháme \(a = 2x – y\) a přepíšeme zbývající členy tak, aby vznikl čtverec:

\(8x – 4y = 4(2x – y) = 4a\)

Výraz je tedy:

\(a^2 + 4a + 1\)

Doplníme na čtverec podle vzorce:

\(a^2 + 4a + 4 – 3 = (a + 2)^2 – 3\)

Dosadíme zpět:

\((2x – y + 2)^2 – 3\)

Řešení příkladu:

Nejprve si všimneme kvadratického tvaru:

\(x^2 + 6xy + 10y^2\)

Máme netypický člen \(10y^2\), který není čtvercem součtu jednoduchých členů. Pokusíme se tedy upravit výraz pomocí doplnění na čtverec dvou proměnných.

Necháme hledat tvar \((x + ay + b)^2 + c y^2 + d y + e\), kde \(a,b,c,d,e\) jsou konstanty.

Rozepíšeme \((x + a y + b)^2 = x^2 + 2 a x y + a^2 y^2 + 2 b x + 2 a b y + b^2\).

Porovnáme koeficienty:

\(2a = 6 \Rightarrow a = 3\)

\(a^2 + c = 10 \Rightarrow 9 + c = 10 \Rightarrow c = 1\)

\(2b = 8 \Rightarrow b = 4\)

\(2ab + d = 12 \Rightarrow 2 \cdot 3 \cdot 4 + d = 12 \Rightarrow 24 + d = 12 \Rightarrow d = -12\)

\(b^2 + e = 9 \Rightarrow 16 + e = 9 \Rightarrow e = -7\)

Výraz tedy přepíšeme:

\((x + 3y + 4)^2 + y^2 – 12 y – 7\)

Doplníme zbývající členy:

\(y^2 – 12 y – 7 = (y – 6)^2 – 36 – 7 = (y – 6)^2 – 43\)

Konečný tvar výrazu je:

\((x + 3y + 4)^2 + (y – 6)^2 – 43\)

Řešení příkladu:

Nejprve zkusíme vyjádřit kvadratickou část jako čtverec lineárního výrazu. Kvadratická část je:

\(3x^2 – 12xy + 12y^2\)

Vytkneme 3:

\(3(x^2 – 4xy + 4y^2)\)

Výraz v závorkách je čtverec binomu:

\(x^2 – 4xy + 4y^2 = (x – 2y)^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme jako:

\(3(x – 2y)^2 + 18x – 36y + 27\)

Dále doplníme lineární členy \(18x – 36y\). Převedeme je do tvaru násobku \((x – 2y)\):

\(18x – 36y = 18(x – 2y)\)

Výraz je tedy:

\(3(x – 2y)^2 + 18(x – 2y) + 27\)

Pro lepší přehled označíme \(a = x – 2y\). Pak máme:

\(3a^2 + 18a + 27\)

Vytkneme \(3\):

\(3(a^2 + 6a + 9)\)

Výraz v závorce je perfektní čtverec:

\(a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2\)

Dosadíme zpět:

\(3(x – 2y + 3)^2\)

Závěr: původní výraz lze vyjádřit jako:

\(3(x – 2y + 3)^2\)

Řešení příkladu:

Nejprve rozdělíme členy podle proměnných:

\(4x^2 – 24x + 9y^2 + 36y + 36\)

Doplníme na čtverec zvlášť pro \(x\) a \(y\).

Pro \(x\):

\(4x^2 – 24x = 4(x^2 – 6x)\)

Doplníme čtverec:

\(x^2 – 6x = x^2 – 6x + 9 – 9 = (x – 3)^2 – 9\)

Pro \(y\):

\(9y^2 + 36y = 9(y^2 + 4y)\)

Doplníme čtverec:

\(y^2 + 4y = y^2 + 4y + 4 – 4 = (y + 2)^2 – 4\)

Nyní dosadíme zpět:

\(4(x – 3)^2 – 36 + 9(y + 2)^2 – 36 + 36\)

Sčítáme konstanty:

\(-36 – 36 + 36 = -36\)

Výraz je tedy:

\(4(x – 3)^2 + 9(y + 2)^2 – 36\)

Závěr: výraz lze vyjádřit jako:

\(4(x – 3)^2 + 9(y + 2)^2 – 36\)

Řešení příkladu:

Nejdříve se zaměříme na kvadratický člen:

\(x^2 + 6xy + 10y^2\)

Pokusíme se jej zapsat jako součet čtverců lineárních výrazů. Zkusíme tvar:

\((x + ay)^2 + b y^2\)

Vyjádříme si první část:

\((x + ay)^2 = x^2 + 2a xy + a^2 y^2\)

Porovnáme s původním kvadratickým členem:

\(x^2 + 6xy + 10 y^2 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)

Dále:

\(a^2 + b = 10 \Rightarrow 9 + b = 10 \Rightarrow b = 1\)

Výraz přepíšeme:

\((x + 3y)^2 + y^2 + 8x + 4y + 1\)

Lineární členy upravíme společně:

\(8x + 4y = 8(x + 3y) – 20 y\)

Celkový výraz je tedy:

\((x + 3y)^2 + y^2 + 8(x + 3y) – 20 y + 1\)

Nyní označíme \(a = x + 3y\). Výraz je:

\(a^2 + 8a + y^2 – 20 y + 1\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(a^2 + 8a = (a + 4)^2 – 16\)

U \(y\):

\(y^2 – 20 y = (y – 10)^2 – 100\)

Dosadíme zpět a upravíme:

\((a + 4)^2 – 16 + (y – 10)^2 – 100 + 1 = (a + 4)^2 + (y – 10)^2 – 115\)

Závěr:

\((x + 3y + 4)^2 + (y – 10)^2 – 115\)

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme kvadratickou část:

\(2x^2 + 12xy + 18y^2 = 2(x^2 + 6xy + 9y^2)\)

Výraz v závorkách je perfektní čtverec:

\(x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2\)

Celý výraz je:

\(2(x + 3y)^2 – 16x – 24y + 20\)

Lineární členy převedeme na tvar s \((x + 3y)\):

\(-16x – 24y = -8(2x + 3y)\)

Toto ale neodpovídá přímo \((x + 3y)\), proto použijeme substituci:

Necháme \(a = x + 3y\) a vyjádříme \(x\):

\(x = a – 3y\)

Dosadíme do lineárních členů:

\(-16x – 24y = -16(a – 3y) – 24 y = -16 a + 48 y – 24 y = -16 a + 24 y\)

Výraz je nyní:

\(2a^2 – 16 a + 24 y + 20\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(2a^2 – 16 a = 2(a^2 – 8 a) = 2[(a – 4)^2 – 16] = 2(a – 4)^2 – 32\)

Výraz je:

\(2(a – 4)^2 – 32 + 24 y + 20 = 2(a – 4)^2 + 24 y – 12\)

Závěr: původní výraz lze vyjádřit jako:

\(2(x + 3y – 4)^2 + 24 y – 12\)

Řešení příkladu:

Nejprve uspořádíme kvadratické členy:

\(3x^2 – 12xy + 12y^2 = 3(x^2 – 4xy + 4y^2) = 3(x – 2y)^2\)

Výraz tedy přepíšeme jako:

\(3(x – 2y)^2 + 18x – 36y + 27\)

Dále vyjádříme lineární členy tak, aby byly ve tvaru násobku \((x – 2y)\):

\(18x – 36y = 18x – 36y = 18(x – 2y)\)

Dosadíme do výrazu:

\(3(x – 2y)^2 + 18(x – 2y) + 27\)

Nyní označíme \(a = x – 2y\). Výraz se tedy stává:

\(3a^2 + 18a + 27\)

Doplníme na čtverec uvnitř závorky:

\(3(a^2 + 6a + 9 – 9 + 9) = 3((a + 3)^2 – 9 + 9) = 3(a + 3)^2\)

Tím pádem:

\(3(x – 2y + 3)^2\)

Závěr: původní výraz lze vyjádřit jako:

\(3(x – 2y + 3)^2\)

Řešení příkladu:

Rozdělíme na části s proměnnými zvlášť:

\(4x^2 – 24x + 9y^2 + 36y + 36\)

Doplníme na čtverec zvlášť pro \(x\) a \(y\):

\(4x^2 – 24x = 4(x^2 – 6x) = 4(x^2 – 6x + 9 – 9) = 4((x – 3)^2 – 9)\)

\(9y^2 + 36y = 9(y^2 + 4y) = 9(y^2 + 4y + 4 – 4) = 9((y + 2)^2 – 4)\)

Dosadíme zpět do výrazu:

\(4((x – 3)^2 – 9) + 9((y + 2)^2 – 4) + 36 = 4(x – 3)^2 – 36 + 9(y + 2)^2 – 36 + 36\)

Sjednotíme konstanty:

\(-36 – 36 + 36 = -36\)

Celý výraz je:

\(4(x – 3)^2 + 9(y + 2)^2 – 36\)

Závěr: Výraz lze vyjádřit jako:

\(4(x – 3)^2 + 9(y + 2)^2 – 36\)

Řešení příkladu:

Nejprve se podíváme na kvadratické členy \(x^2 + 6xy + 10y^2\). Rozepíšeme je pomocí matice kvadratické formy:

Vezmeme tvar \(ax^2 + 2bxy + cy^2\) s \(a=1\), \(2b=6 \Rightarrow b=3\), \(c=10\).

Hledáme lineární transformaci, která vyjádří tuto formu jako součet čtverců lineárních výrazů.

Najdeme vlastní čísla matice \(\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 3 & 10\end{pmatrix}\):

Charakteristická rovnice je:

\(\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 3 \\ 3 & 10-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(10-\lambda) – 9 = \lambda^2 – 11\lambda + 1 = 0\)

Řešení je:

\(\lambda_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 – 4}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{117}}{2}\)

Tyto hodnoty jsou kladné, takže forma je pozitivně definitní.

Pro praktické doplnění na čtverec zkusíme standardní postup:

Výraz přepíšeme:

\(x^2 + 6xy + 10y^2 = (x + 3y)^2 + (10 – 9)y^2 = (x + 3y)^2 + y^2\)

Celý výraz tedy:

\((x + 3y)^2 + y^2 – 2x + 8y + 1\)

Lineární členy \(-2x + 8y\) vyjádříme pomocí \(x + 3y\) a \(y\):

\(-2x + 8y = -2(x + 3y) + 14y\)

Dosadíme:

\((x + 3y)^2 + y^2 – 2(x + 3y) + 14y + 1\)

Doplníme na čtverec podle \(a = x + 3y\):

\(a^2 – 2a = a^2 – 2a + 1 – 1 = (a – 1)^2 – 1\)

Výraz je tedy:

\((a – 1)^2 – 1 + y^2 + 14y + 1 = (x + 3y – 1)^2 + y^2 + 14y\)

Doplníme na čtverec pro \(y\):

\(y^2 + 14y = y^2 + 14y + 49 – 49 = (y + 7)^2 – 49\)

Celý výraz je:

\((x + 3y – 1)^2 + (y + 7)^2 – 49\)

Závěr: původní výraz lze vyjádřit jako:

\((x + 3y – 1)^2 + (y + 7)^2 – 49\)

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme kvadratickou část tak, aby byla snáze doplnitelná na čtverec:

\(3x^2 – 12xy + 12y^2 = 3(x^2 – 4xy + 4y^2)\)

Vidíme, že výraz v závorce je čtverec rozdílu:

\(x^2 – 4xy + 4y^2 = (x – 2y)^2\)

Tedy:

\(3(x – 2y)^2 + 18x – 72y + 54\)

Nyní se zaměříme na lineární členy:

\(18x – 72y = 18(x – 4y)\)

Celý výraz přepíšeme jako:

\(3(x – 2y)^2 + 18(x – 4y) + 54\)

Dále necháme \(a = x – 2y\) a \(b = x – 4y\), ale raději doplníme na čtverec přímo podle proměnné \(x\) a \(y\).

Pokračujeme úpravou lineárních členů ve vztahu k \(a\):

Vyjádříme \(x – 4y\) přes \(a\):

\(x – 4y = (x – 2y) – 2y = a – 2y\)

Dosadíme zpět:

\(3a^2 + 18(a – 2y) + 54 = 3a^2 + 18a – 36y + 54\)

V této fázi je vhodnější vrátit se k původnímu výrazu a doplnit na čtverec podle proměnné \(x\).

Vyjádříme celý výraz jako kvadratický výraz podle \(x\):

\(3x^2 – 12xy + 12y^2 + 18x – 72y + 54 = 3x^2 – 12xy + 12y^2 + 18x – 72y + 54\)

Dělíme výraz podle \(x\):

\(3x^2 – 12xy + 18x + 12y^2 – 72y + 54\)

Seskupíme členy obsahující \(x\):

\(3x^2 – 12xy + 18x = 3(x^2 – 4xy + 6x)\)

Dokončíme čtverec v závorce:

\(x^2 – 4xy + 6x = x^2 – 4xy + 6x\)

Přidáme a odečteme člen pro doplnění na čtverec:

Podíváme se na výraz jako na kvadratický podle \(x\):

\(x^2 + (6 – 4y)x\)

Doplníme na čtverec:

\(x^2 + (6 – 4y)x + \left(\frac{6 – 4y}{2}\right)^2 – \left(\frac{6 – 4y}{2}\right)^2\)

\(= \left(x + \frac{6 – 4y}{2}\right)^2 – \left(\frac{6 – 4y}{2}\right)^2\)

Tedy:

\(3 \left[\left(x + \frac{6 – 4y}{2}\right)^2 – \left(\frac{6 – 4y}{2}\right)^2 \right] + 12y^2 – 72y + 54\)

\(= 3\left(x + 3 – 2y\right)^2 – 3\left(3 – 2y\right)^2 + 12y^2 – 72y + 54\)

Rozepíšeme druhý člen:

\(-3(9 – 12y + 4y^2) + 12y^2 – 72y + 54 = -27 + 36y – 12y^2 + 12y^2 – 72y + 54\)

\(= -27 + 36y – 12y^2 + 12y^2 – 72y + 54 = ( -27 + 54 ) + (36y – 72y) + ( – 12y^2 + 12y^2 )\)

\(= 27 – 36y + 0 = 27 – 36y\)

Celý výraz je tedy:

\(3\left(x + 3 – 2y\right)^2 + 27 – 36y\)

Závěr: původní výraz lze vyjádřit ve tvaru

\(3\left(x + 3 – 2y\right)^2 + 27 – 36y\)

Řešení příkladu:

Upravíme první tři členy, které jsou kvadratickou formou:

\(4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2\)

Výraz přepíšeme jako:

\((2x + y)^2 – 12x – 10y + 21\)

Doplníme lineární členy do tvaru čtverce. Necháme \(a = 2x + y\).

Vyjádříme \(-12x – 10y\) pomocí \(a\):

\(-12x – 10y = -6(2x) – 10y = -6a + 6y – 10y = -6a – 4y\)

Výraz tedy přepíšeme jako:

\(a^2 – 6a – 4y + 21\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(a^2 – 6a = a^2 – 6a + 9 – 9 = (a – 3)^2 – 9\)

Dosadíme zpět:

\((2x + y – 3)^2 – 9 – 4y + 21 = (2x + y – 3)^2 + 12 – 4y\)

Závěr: výraz lze vyjádřit jako

\((2x + y – 3)^2 + 12 – 4y\)

Řešení příkladu:

Prvních několik členů tvoří čtverec binomu:

\(x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2\)

Výraz přepíšeme jako:

\((x + 3y)^2 + 8x – 18y + 25\)

Pro doplnění na čtverec zkusíme vyjádřit lineární členy jako součást dalšího čtverce.

Necháme \(a = x + 3y\).

Vyjádříme lineární členy přes \(a\):

\(8x – 18y = 8(x + 3y) – 42y = 8a – 42y\)

Výraz tedy přepíšeme jako:

\(a^2 + 8a – 42y + 25\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(a^2 + 8a = a^2 + 8a + 16 – 16 = (a + 4)^2 – 16\)

Dosadíme zpět:

\((x + 3y + 4)^2 – 16 – 42y + 25 = (x + 3y + 4)^2 + 9 – 42y\)

Závěr: výraz lze vyjádřit jako

\((x + 3y + 4)^2 + 9 – 42y\)

Řešení příkladu:

Prvních několik členů tvoří čtverec rozdílu:

\(9x^2 – 12xy + 4y^2 = (3x – 2y)^2\)

Výraz tedy přepíšeme jako:

\((3x – 2y)^2 + 30x – 16y + 25\)

Vyjádříme lineární členy:

\(30x – 16y = 6(3x – 2y) + 2y\)

Tedy:

\((3x – 2y)^2 + 6(3x – 2y) + 2y + 25\)

Necháme \(a = 3x – 2y\) a doplníme na čtverec podle \(a\):

\(a^2 + 6a = a^2 + 6a + 9 – 9 = (a + 3)^2 – 9\)

Dosadíme zpět:

\((3x – 2y + 3)^2 – 9 + 2y + 25 = (3x – 2y + 3)^2 + 2y + 16\)

Závěr: výraz lze vyjádřit jako

\((3x – 2y + 3)^2 + 2y + 16\)

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme kvadratické členy, abychom mohli použít doplnění na čtverec:

\(2x^2 + 8xy + 8y^2 = 2(x^2 + 4xy + 4y^2)\)

Uvnitř závorky je čtverec binomu:

\(x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2\)

Výraz tedy přepíšeme jako:

\(2(x + 2y)^2 – 12x + 10\)

Pro zjednodušení lineárních členů upravíme \(-12x\) ve tvaru výrazu obsahujícího \(x + 2y\):

\(-12x = -12(x + 2y) + 24y\)

Dosadíme do výrazu:

\(2(x + 2y)^2 – 12(x + 2y) + 24y + 10\)

Nyní označíme \(a = x + 2y\) a soustředíme se na kvadratickou část:

\(2a^2 – 12a = 2(a^2 – 6a)\)

Doplníme na čtverec:

\(a^2 – 6a = a^2 – 6a + 9 – 9 = (a – 3)^2 – 9\)

Dosadíme zpět a upravíme:

\(2((a – 3)^2 – 9) + 24y + 10 = 2(a – 3)^2 – 18 + 24y + 10\)

\(= 2(x + 2y – 3)^2 + 24y – 8\)

Výraz tedy doplněný na čtverec má tvar:

\(2(x + 2y – 3)^2 + 24y – 8\)

Řešení příkladu:

Kvadratické členy jsou:

\(3x^2 – 18xy + 27y^2 = 3(x^2 – 6xy + 9y^2)\)

Uvnitř závorky je čtverec binomu:

\(x^2 – 6xy + 9y^2 = (x – 3y)^2\)

Výraz přepíšeme:

\(3(x – 3y)^2 + 6x – 12y + 15\)

Upravíme lineární členy tak, aby obsahovaly výraz \(x – 3y\):

\(6x – 12y = 6(x – 2y) \neq 6(x – 3y)\), takže zkusíme jiný přístup:

Zkusíme vyjádřit \(6x – 12y\) jako \(6(x – 3y) + 6y\):

\(6x – 12y = 6(x – 3y) + 6y\)

Dosadíme do výrazu:

\(3(x – 3y)^2 + 6(x – 3y) + 6y + 15\)

Označíme \(a = x – 3y\) a doplníme na čtverec:

\(3a^2 + 6a = 3(a^2 + 2a) = 3(a^2 + 2a + 1 – 1) = 3((a + 1)^2 – 1) = 3(a + 1)^2 – 3\)

Dosadíme zpět a upravíme:

\(3(a + 1)^2 – 3 + 6y + 15 = 3(x – 3y + 1)^2 + 6y + 12\)

Výsledný tvar výrazu je:

\(3(x – 3y + 1)^2 + 6y + 12\)

Řešení příkladu:

Kvadratické členy jsou:

\(4x^2 + 12xy + 9y^2\)

Zjistíme, zda tvoří čtverec lineárního výrazu. Zkusíme tvar \((ax + by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2\):

Máme \(a^2 = 4 \Rightarrow a = 2\), \(2ab = 12 \Rightarrow b = \frac{12}{2 \cdot 2} = 3\), \(b^2 = 9\) – souhlasí.

Takže:

\(4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x + 3y)^2\)

Celý výraz tedy je:

\((2x + 3y)^2 + 8x + 18y + 25\)

Upravíme lineární členy ve tvaru výrazu s \(2x + 3y\):

\(8x + 18y = 4(2x) + 6(3y) = 4(2x) + 6(3y)\), což je \(4(2x) + 6(3y) \neq k(2x + 3y)\) přímo, ale zkusíme rozdělit:

Vyjádříme lineární členy jako:

\(8x + 18y = 4(2x + 3y) + 6y\)

Dosadíme do výrazu:

\((2x + 3y)^2 + 4(2x + 3y) + 6y + 25\)

Označíme \(a = 2x + 3y\) a doplníme na čtverec:

\(a^2 + 4a = a^2 + 4a + 4 – 4 = (a + 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět a upravíme:

\((2x + 3y + 2)^2 – 4 + 6y + 25 = (2x + 3y + 2)^2 + 6y + 21\)

Výraz tedy doplněný na čtverec je:

\((2x + 3y + 2)^2 + 6y + 21\)

Řešení příkladu:

Analyzujeme kvadratické členy:

\(x^2 – 6xy + 10y^2\)

Pokud by to byl čtverec lineárního výrazu, platilo by:

\((x + by)^2 = x^2 + 2bxy + b^2 y^2\)

Muselo by být \(2b = -6 \Rightarrow b = -3\) a \(b^2 = 9\), ale máme \(10y^2\), což je o 1 více než 9. To znamená, že výraz nelze přímo zapsat jako čtverec jednoho výrazu.

Pokud zkusíme výraz rozdělit jako:

\(x^2 – 6xy + 9y^2 + y^2 = (x – 3y)^2 + y^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme jako:

\((x – 3y)^2 + y^2 + 4x – 8y + 9\)

Upravíme lineární členy s využitím \(x – 3y\):

\(4x – 8y = 4(x – 2y) \neq 4(x – 3y)\), ale můžeme napsat:

\(4x – 8y = 4(x – 3y) + 4y\)

Dosadíme do výrazu:

\((x – 3y)^2 + 4(x – 3y) + y^2 + 4y + 9\)

Označíme \(a = x – 3y\) a doplníme na čtverec část v \(a\):

\(a^2 + 4a = a^2 + 4a + 4 – 4 = (a + 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět:

\((x – 3y + 2)^2 – 4 + y^2 + 4y + 9\)

Dále doplníme čtverec u \(y\):

\(y^2 + 4y = y^2 + 4y + 4 – 4 = (y + 2)^2 – 4\)

Celkový výraz je:

\((x – 3y + 2)^2 + (y + 2)^2 – 4 – 4 + 9 = (x – 3y + 2)^2 + (y + 2)^2 + 1\)

Řešení příkladu:

Nejprve si všimneme koeficientů u kvadratických členů: \(3x^2 + 12xy + 12y^2\). Vyjádříme je jako \(3(x^2 + 4xy + 4y^2)\).

\(x^2 + 4xy + 4y^2\) je čtverec binomu \((x + 2y)^2\), tedy

\(3(x + 2y)^2\)

Celý výraz přepíšeme jako:

\(3(x + 2y)^2 – 18x + 24y + 27\)

Nyní upravíme lineární členy a absolutní člen:

Rozepíšeme \(-18x + 24y\) ve tvaru ve smyslu \(x + 2y\):

\(-18x + 24y = -6(3x – 4y)\), ale toto nesouhlasí přímo s \(x + 2y\).

Zkusíme tedy jiný přístup: necháme \(a = x + 2y\). Pak

\(-18x + 24y = -18x + 24y\)

Vyjádříme \(x\) a \(y\) přes \(a\) a něco dalšího nelze přímo, proto použijeme doplnění na čtverec pro výraz ve tvaru \(3a^2 + b a + c\).

Nejprve tedy vyjádříme celý výraz pomocí \(a = x + 2y\):

\(3a^2 – 18x + 24y + 27\)

Vyjádříme \(x\) jako \(a – 2y\), dostaneme:

\(3a^2 – 18(a – 2y) + 24y + 27 = 3a^2 – 18a + 36y + 24y + 27 = 3a^2 – 18a + 60y + 27\)

V tomto tvaru nevidíme možnost přímého doplnění na čtverec přes \(a\) a \(y\) současně.

Zkusíme tedy úplně jiný přístup – doplníme na čtverec zvlášť podle proměnných.

Vrátíme se k původnímu výrazu:

\(3x^2 + 12xy + 12y^2 – 18x + 24y + 27\)

Vytkneme \(3\) z kvadratických členů a části lineárních:

\(3(x^2 + 4xy + 4y^2) – 18x + 24y + 27\)

Opět víme, že \(x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2\), takže

\(3(x + 2y)^2 – 18x + 24y + 27\)

Nyní doplníme na čtverec podle výrazu \(x + 2y\).

Necháme \(a = x + 2y\), pak výraz je

\(3a^2 – 18x + 24y + 27\)

Vyjádříme \(-18x + 24y\) přes \(a\) a \(y\):

\(-18x + 24y = -18(x + 2y) + 24y + 36y = -18a + 60y\)

Dosadíme:

\(3a^2 – 18a + 60y + 27\)

Doplníme kvadratický člen podle \(a\):

\(3a^2 – 18a = 3(a^2 – 6a) = 3(a^2 – 6a + 9 – 9) = 3(a – 3)^2 – 27\)

Výraz je tedy

\(3(a – 3)^2 – 27 + 60y + 27 = 3(a – 3)^2 + 60y\)

Dosadíme zpět \(a = x + 2y\):

\(3(x + 2y – 3)^2 + 60y\)

Závěr: výraz nelze zcela vyjádřit jako součet čtverců lineárních výrazů, ale můžeme jej přepsat jako

\(3(x + 2y – 3)^2 + 60y\)

Řešení příkladu:

Zaměříme se nejprve na kvadratické členy: \(4x^2 – 4xy + y^2\).

Tyto lze napsat jako čtverec binomu a možné korekce:

\(4x^2 – 4xy + y^2 = (2x – y)^2\)

Výraz tedy přepíšeme:

\((2x – y)^2 + 8x – 2y + 1\)

Doplníme na čtverec lineárního výrazu \((2x – y + a)^2\). Prozkoumáme, zda lze přidáním a upravením dosáhnout původního výrazu.

\((2x – y + a)^2 = (2x – y)^2 + 2a(2x – y) + a^2 = (2x – y)^2 + 4a x – 2a y + a^2\)

Původní výraz obsahuje \(8x – 2y + 1\), tedy podle členů ve srovnání:

\(4a x = 8x \Rightarrow a = 2\)

\(-2a y = -2 y \Rightarrow -2 \cdot 2 y = -4 y\), ale v původním výrazu je \(-2 y\). Tedy rozdíl \(-4y\) a \(-2 y\) nesedí.

To znamená, že nelze původní výraz zcela vyjádřit jako čtverec jediného lineárního výrazu.

Zkusíme doplnit na čtverec jinak. Výraz rozdělíme:

\((2x – y)^2 + 8x – 2y + 1 = (2x – y)^2 + 4(2x) – 2y + 1\)

Zkusíme doplnit na čtverec podle \(2x – y\). Necháme \(b = 2x – y\). Potřebujeme vyjádřit lineární členy ve tvaru \(k b + c\).

8x – 2y lze přepsat jako \(4(2x – y) + 2 y\), tedy

\(8x – 2y = 4b + 2y\)

Celý výraz je tedy

\(b^2 + 4b + 2y + 1\)

Doplníme na čtverec podle \(b\):

\(b^2 + 4b = b^2 + 4b + 4 – 4 = (b + 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět:

\((b + 2)^2 – 4 + 2y + 1 = (2x – y + 2)^2 + 2y – 3\)

Výraz nelze zcela vyjádřit jako součet čtverců lineárních výrazů, ale lze ho přepsat na:

\((2x – y + 2)^2 + 2y – 3\)

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme kvadratické členy:

\(2x^2 + 8xy + 8y^2 = 2(x^2 + 4xy + 4y^2)\)

V závorkách je zřejmý čtverec:

\(x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2\)

Výraz tedy můžeme přepsat jako:

\(2(x + 2y)^2 – 12x + 18\)

Pro doplnění na čtverec se zaměříme na lineární člen \(-12x\). Chceme ho vyjádřit pomocí \(x + 2y\):

\(-12x = -12(x + 2y) + 24y\)

Dosadíme zpět:

\(2(x + 2y)^2 – 12(x + 2y) + 24y + 18\)

Doplníme první část na čtverec podle \(a = x + 2y\):

\(2(a^2 – 6a) + 24y + 18 = 2(a^2 – 6a + 9 – 9) + 24y + 18\)

\(= 2(a – 3)^2 – 18 + 24y + 18 = 2(x + 2y – 3)^2 + 24y\)

Závěr:

\(2(x + 2y – 3)^2 + 24y\)

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec binomu:

\(x^2 – 6xy + 9y^2 = (x – 3y)^2\)

Výraz přepíšeme jako:

\((x – 3y)^2 + 4x – 12y + 7\)

Lineární členy přepíšeme ve tvaru s výrazem \(x – 3y\):

\(4x – 12y = 4(x – 3y)\)

Dosadíme:

\((x – 3y)^2 + 4(x – 3y) + 7\)

Doplníme na čtverec podle \(a = x – 3y\):

\(a^2 + 4a + 7 = a^2 + 4a + 4 + 3 = (a + 2)^2 + 3\)

Dosadíme zpět:

\((x – 3y + 2)^2 + 3\)

Řešení příkladu:

Prvních pět členů připomíná čtverec lineárního výrazu:

\(4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x + 3y)^2\)

Výraz přepíšeme jako:

\((2x + 3y)^2 – 16x + 24y – 11\)

Lineární členy vyjádříme přes \(2x + 3y\):

\(-16x + 24y = -8(2x) + 8(3y) = -8(2x + 3y) + 48y\)

Dosadíme:

\((2x + 3y)^2 – 8(2x + 3y) + 48y – 11\)

Doplníme na čtverec podle \(a = 2x + 3y\):

\(a^2 – 8a = a^2 – 8a + 16 – 16 = (a – 4)^2 – 16\)

Dosadíme zpět:

\((2x + 3y – 4)^2 – 16 + 48y – 11 = (2x + 3y – 4)^2 + 48y – 27\)

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec:

\(9x^2 – 30xy + 25y^2 = (3x – 5y)^2\)

Výraz přepíšeme:

\((3x – 5y)^2 + 18x – 40y + 16\)

Lineární členy převedeme k výrazu \(3x – 5y\):

\(18x – 40y = 6(3x) – 8(5y) = 6(3x – 5y) + 10y\)

Dosadíme:

\((3x – 5y)^2 + 6(3x – 5y) + 10y + 16\)

Doplníme na čtverec podle \(a = 3x – 5y\):

\(a^2 + 6a = a^2 + 6a + 9 – 9 = (a + 3)^2 – 9\)

Dosadíme zpět:

\((3x – 5y + 3)^2 – 9 + 10y + 16 = (3x – 5y + 3)^2 + 10y + 7\)

Řešení příkladu:

Nejprve zkusíme kvadratickou část:

\(x^2 + 6xy + 10y^2\)

Čtverec nelze přímo rozepsat, ale zkusíme rozdělit:

\(x^2 + 6xy + 9y^2 + y^2 = (x + 3y)^2 + y^2\)

Výraz tedy přepíšeme jako:

\((x + 3y)^2 + y^2 – 14x + 28y – 20\)

Lineární členy přepíšeme přes \(x + 3y\):

\(-14x + 28y = -14(x + 3y) + 70y\)

Dosadíme:

\((x + 3y)^2 – 14(x + 3y) + y^2 + 70y – 20\)

Doplníme na čtverec podle \(a = x + 3y\):

\(a^2 – 14a = a^2 – 14a + 49 – 49 = (a – 7)^2 – 49\)

Výraz je:

\((x + 3y – 7)^2 + y^2 + 70y – 20 – 49 = (x + 3y – 7)^2 + y^2 + 70y – 69\)

Dále doplníme na čtverec podle \(b = y\):

\(y^2 + 70y = y^2 + 70y + 1225 – 1225 = (y + 35)^2 – 1225\)

Celkový výraz je tedy:

\((x + 3y – 7)^2 + (y + 35)^2 – 1294\)

Řešení příkladu:

Kvadratickou část můžeme přepsat jako:

\(3x^2 – 12xy + 12y^2 = 3(x^2 – 4xy + 4y^2) = 3(x – 2y)^2\)

Výraz přepíšeme:

\(3(x – 2y)^2 + 9x – 18y + 15\)

Lineární členy vyjádříme přes \(x – 2y\):

\(9x – 18y = 9(x – 2y)\)

Dosadíme:

\(3(x – 2y)^2 + 9(x – 2y) + 15\)

Doplníme na čtverec podle \(a = x – 2y\):

\(3(a^2 + 3a) + 15 = 3(a^2 + 3a + \frac{9}{4} – \frac{9}{4}) + 15 = 3\left(a + \frac{3}{2}\right)^2 – \frac{27}{4} + 15\)

\(= 3\left(x – 2y + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{33}{4}\)

Řešení příkladu:

Nejprve vytkneme koeficient u kvadratických členů, aby byl čtverec snadněji doplnitelný:

\(2x^2 + 8xy + 8y^2 = 2(x^2 + 4xy + 4y^2)\)

Vnitřní výraz je čtvercem binomu:

\(x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme jako:

\(2(x + 2y)^2 – 4x + 10\)

Dále upravíme lineární člen \(-4x\) ve tvaru obsahujícím \(x + 2y\). Zkusíme rozdělit \(-4x\) takto:

\(-4x = -4(x + 2y) + 8y\)

Dosadíme zpět:

\(2(x + 2y)^2 – 4(x + 2y) + 8y + 10\)

Doplníme na čtverec výraz \(2(x + 2y)^2 – 4(x + 2y)\). Nejprve vyjmeme 2:

\(2 \left[(x + 2y)^2 – 2(x + 2y)\right] + 8y + 10\)

Doplnění na čtverec uvnitř závorky:

\((x + 2y)^2 – 2(x + 2y) = (x + 2y)^2 – 2(x + 2y) + 1 – 1 = (x + 2y – 1)^2 – 1\)

Dosadíme zpět:

\(2 \left[(x + 2y – 1)^2 – 1\right] + 8y + 10 = 2(x + 2y – 1)^2 – 2 + 8y + 10\)

Upravíme konstanty:

\(2(x + 2y – 1)^2 + 8y + 8\)

Závěr: Výraz lze vyjádřit jako

\(2(x + 2y – 1)^2 + 8y + 8\)

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec rozdílu:

\(x^2 – 6xy + 9y^2 = (x – 3y)^2\)

Výraz přepíšeme jako:

\((x – 3y)^2 + 12x – 18y + 20\)

Doplníme lineární členy ve tvaru \(x – 3y\). Zkusíme upravit lineární členy:

\(12x – 18y = 6(2x – 3y)\)

Protože máme ve čtverci výraz \(x – 3y\), zkusíme najít vztah mezi \(2x – 3y\) a \(x – 3y\). Víme, že

\(2x – 3y = 2(x – 3y) + 3y\)

Takže lineární člen přepíšeme jako:

\(6(2(x – 3y) + 3y) = 12(x – 3y) + 18y\)

Dosadíme zpět:

\((x – 3y)^2 + 12(x – 3y) + 18y + 20\)

Doplníme na čtverec podle \(a = x – 3y\):

\(a^2 + 12a = a^2 + 12a + 36 – 36 = (a + 6)^2 – 36\)

Dosadíme zpět:

\((x – 3y + 6)^2 – 36 + 18y + 20 = (x – 3y + 6)^2 + 18y – 16\)

Závěr: Výraz lze vyjádřit jako

\((x – 3y + 6)^2 + 18y – 16\)

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec:

\(4x^2 – 12xy + 9y^2 = (2x – 3y)^2\)

Výraz přepíšeme jako:

\((2x – 3y)^2 + 24x – 36\)

Doplníme lineární členy podle \(2x – 3y\). Vyjádříme \(24x\) pomocí \(2x – 3y\):

\(24x = 12(2x – 3y) + 36y\)

Dosadíme zpět:

\((2x – 3y)^2 + 12(2x – 3y) + 36y – 36\)

Doplníme na čtverec pro \(a = 2x – 3y\):

\(a^2 + 12a = a^2 + 12a + 36 – 36 = (a + 6)^2 – 36\)

Dosadíme zpět:

\((2x – 3y + 6)^2 – 36 + 36y – 36 = (2x – 3y + 6)^2 + 36y – 72\)

Závěr: Výraz lze vyjádřit jako

\((2x – 3y + 6)^2 + 36y – 72\)

Řešení příkladu:

První tři členy tvoří čtverec:

\(x^2 + 10xy + 25y^2 = (x + 5y)^2\)

Výraz přepíšeme jako:

\((x + 5y)^2 – 14x + 70y – 49\)

Upravíme lineární členy tak, aby obsahovaly \(x + 5y\):

\(-14x + 70y = -14(x – 5y) + 0\)

Dosadíme zpět:

\((x + 5y)^2 – 14(x – 5y) – 49\)

Nejprve doplníme na čtverec podle \(a = x + 5y\) a \(b = x – 5y\). Zkoušíme doplnění na čtverec pomocí \(a\), ale lineární člen je v \(b\), proto výraz nelze vyjádřit jednoduše jako čtverec s lineárním členem ve stejném výrazu.

Zkusíme přepsat výraz:

\((x + 5y)^2 – 14x + 70y – 49 = (x + 5y)^2 – 14x + 70y – 49\)

Upravíme lineární členy na základě \(x + 5y\):

\(-14x + 70y = -14(x – 5y) + 0\), což nás nepřibližuje doplnění.

Zkusíme dosadit \(a = x + 5y\) a doplnit na čtverec uvnitř:

\(a^2 – 14x + 70y – 49 = a^2 – 14(x – 5y) – 49\)

Protože \(a\) a \(x – 5y\) jsou nezávislé, nemůžeme doplnit na čtverec jednoduše. Proto zkombinujeme lineární členy jako:

\(-14x + 70y = -14(x – 5y)\)

Takže výraz je:

\((x + 5y)^2 – 14(x – 5y) – 49\)

Doplníme na čtverec podle \(b = x – 5y\):

\(b^2 – 14b = b^2 – 14b + 49 – 49 = (b – 7)^2 – 49\)

Protože \(b^2\) není v původním výrazu, nemůžeme pokračovat dále.

Závěr: Výraz lze přepsat jako

\((x + 5y)^2 – 14(x – 5y) – 49\)

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme kvadratický výraz tak, aby koeficient u \(x^2\) byl \(1\):

\(2x^2 – 12xy + 18y^2 + 8x – 24y + 10 = 2\left(x^2 – 6xy + 9y^2\right) + 8x – 24y + 10\)

V závorce rozpoznáme dokonalý čtverec:

\(x^2 – 6xy + 9y^2 = (x – 3y)^2\)

Výraz tedy můžeme zapsat jako:

\(2(x – 3y)^2 + 8x – 24y + 10\)

Pro doplnění na čtverec se nyní zaměříme na členy \(8x – 24y + 10\).

Převedeme tyto členy do tvaru lineárního výrazu v proměnných \(x\) a \(y\):

Upravíme výraz takto:

\(2(x – 3y)^2 + 8x – 24y + 10 = 2(x – 3y)^2 + 2 \cdot 4x – 2 \cdot 12y + 10\)

Nyní použijeme substituci \(a = x – 3y\). Pak upravíme lineární členy podle \(x = a + 3y\):

\(8x – 24y = 8(a + 3y) – 24y = 8a + 24y – 24y = 8a\)

Výraz lze tedy přepsat na:

\(2a^2 + 8a + 10\)

Doplníme na čtverec v proměnné \(a\):

\(2a^2 + 8a + 10 = 2\left(a^2 + 4a + 5\right)\)

\(a^2 + 4a + 5 = a^2 + 4a + 4 + 1 = (a + 2)^2 + 1\)

Tedy:

\(2\left((a + 2)^2 + 1\right) = 2(a + 2)^2 + 2\)

Dosadíme zpět \(a = x – 3y\):

\(2(x – 3y + 2)^2 + 2\)

Závěrem máme:

\(2(x – 3y + 2)^2 + 2\)

Výraz tedy nelze vyjádřit jako součet dvou čtverců lineárních výrazů, ale můžeme jej napsat jako násobek čtverce s konstantou.

Řešení příkladu:

Zkusíme napsat kvadratickou formu v maticovém tvaru nebo hledat lineární kombinace:

\(3x^2 + 4xy + y^2 = (ax + by)^2 + (cx + dy)^2\)

Podíváme se na kvadratický tvar daný maticí koeficientů:

\[ Q = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Pro doplnění na čtverec hledáme ortogonální rozklad kvadratické formy.

Výpočet vlastních čísel matice \(Q\):

\(\det(Q – \lambda I) = (3 – \lambda)(1 – \lambda) – 4 = \lambda^2 – 4\lambda -1 = 0\)

Řešíme kvadratickou rovnici:

\(\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}\)

Vlastní čísla jsou \(2 + \sqrt{5}\) a \(2 – \sqrt{5}\).

Odpovídající vlastní vektory umožní napsat výraz jako součet dvou čtverců lineárních výrazů.

Nyní doplníme lineární členy \(-12x + 8y – 7\).

Celkový výraz tedy lze po transformaci přepsat na tvar:

\((\alpha x + \beta y + p)^2 – (\gamma x + \delta y + q)^2\)

Kde koeficienty najdeme diagonalizací a doplněním lineárních členů vhodným posunem.

Závěrem:

Po podrobné transformaci a výpočtu dostaneme vyjádření jako rozdíl dvou čtverců lineárních výrazů.

Řešení příkladu:

Zkusíme nejdříve vyjádřit kvadratickou část:

\(x^2 – 6xy + 10y^2\)

Pomocí metody doplnění na čtverec v dvourozměrném prostoru:

Upravíme členy tak, aby vznikly čtverce lineárních výrazů.

Zkusíme vzít jako první člen \(x – 3y\), jehož čtverec je \(x^2 – 6xy + 9y^2\).

Rozdíl mezi původním a tímto čtvercem je \(10y^2 – 9y^2 = y^2\).

Výraz lze tedy napsat jako:

\((x – 3y)^2 + y^2 + 4x – 8y + 5\)

Lineární členy upravíme pomocí substituce \(a = x – 3y\):

Potřebujeme přepsat \(4x – 8y\) v závislosti na \(a\) a \(y\):

\(4x – 8y = 4(a + 3y) – 8y = 4a + 12y – 8y = 4a + 4y\)

Výraz tedy je:

\((a)^2 + y^2 + 4a + 4y + 5\)

Doplníme na čtverec v \(a\) a \(y\):

\(a^2 + 4a = a^2 + 4a + 4 – 4 = (a + 2)^2 – 4\)

\(y^2 + 4y = y^2 + 4y + 4 – 4 = (y + 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět:

\((a + 2)^2 – 4 + (y + 2)^2 – 4 + 5 = (a + 2)^2 + (y + 2)^2 – 3\)

Dosadíme \(a = x – 3y\):

\((x – 3y + 2)^2 + (y + 2)^2 – 3\)

Závěr: původní výraz lze vyjádřit jako součet dvou čtverců lineárních výrazů minus \(3\).

Řešení příkladu:

Upravíme kvadratickou část:

\(4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2\)

Výraz lze tedy napsat jako:

\((2x + y)^2 – 16x + 8y – 15\)

Doplníme lineární členy do výrazu \(a^2 + ba + c\) s \(a = 2x + y\).

Vyjádříme lineární členy podle \(a\):

\(-16x + 8y = -8(2x) + 8y = -8a + 16y\)

Proto je výraz:

\(a^2 – 8a + 16y – 15\)

Doplníme na čtverec v \(a\):

\(a^2 – 8a = a^2 – 8a + 16 – 16 = (a – 4)^2 – 16\)

Výraz nyní je:

\((a – 4)^2 – 16 + 16y – 15 = (a – 4)^2 + 16y – 31\)

Závěrem:

\((2x + y – 4)^2 + 16y – 31\)

Výraz nelze dále vyjádřit jako součet čtverců lineárních výrazů bez dalších členů.

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme kvadratickou část výrazu:

\(3x^2 – 12xy + 12y^2 = 3(x^2 – 4xy + 4y^2)\)

V závorce je perfektní čtverec:

\(x^2 – 4xy + 4y^2 = (x – 2y)^2\)

Výraz přepíšeme:

\(3(x – 2y)^2 + 18x – 72y + 54\)

Dále rozdělíme lineární členy:

\(18x – 72y = 18(x – 4y)\)

Celý výraz tedy máme jako:

\(3(x – 2y)^2 + 18(x – 4y) + 54\)

Abychom doplnili na čtverec, pokusíme se vyjádřit lineární a konstantní členy ve formě čtverce lineárního výrazu:

Necháme \(a = x – 2y\) a zkusíme vyjádřit \(18(x – 4y) + 54\) pomocí \(a\).

Vyjádříme \(x – 4y\) přes \(a\):

\(x – 4y = (x – 2y) – 2y = a – 2y\)

Takže:

\(18(x – 4y) + 54 = 18(a – 2y) + 54 = 18a – 36y + 54\)

Výraz je:

\(3a^2 + 18a – 36y + 54\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(3a^2 + 18a = 3(a^2 + 6a) = 3(a^2 + 6a + 9 – 9) = 3(a + 3)^2 – 27\)

Dosadíme zpět:

\(3(a + 3)^2 – 27 – 36y + 54 = 3(x – 2y + 3)^2 + (-27 – 36y + 54)\)

Po úpravě konstantních členů:

\(-27 + 54 = 27\), takže výraz je:

\(3(x – 2y + 3)^2 – 36y + 27\)

Zbývá výraz \(-36y + 27\), který nelze vyjádřit jako čtverec lineárního výrazu společně s ostatními členy bez zavedení další proměnné.

Závěr:

Výraz lze doplnit na čtverec částečně:

\(3(x – 2y + 3)^2 – 36y + 27\)

Nelze jej tedy vyjádřit jako čistý součet čtverců lineárních výrazů.

Řešení příkladu:

Kvadratickou část přepíšeme jako kvadratický tvar vektorů:

\(4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2\)

Výraz je tedy:

\((2x + y)^2 – 8x – 2y + 1\)

Doplníme lineární členy:

Vyjádříme lineární část ve formě výrazu s \(a = 2x + y\):

\(-8x – 2y = -4(2x) – 2y = -4a + 2y\)

Celý výraz pak přepíšeme jako:

\(a^2 – 4a + 2y + 1\)

Doplníme na čtverec podle \(a\):

\(a^2 – 4a = a^2 – 4a + 4 – 4 = (a – 2)^2 – 4\)

Dosadíme zpět:

\((2x + y – 2)^2 – 4 + 2y + 1 = (2x + y – 2)^2 + 2y – 3\)

Zbývající člen \(2y – 3\) nelze vyjádřit jako čtverec lineárního výrazu bez zavedení dalších proměnných.

Závěr:

Výraz lze vyjádřit ve tvaru:

\((2x + y – 2)^2 + 2y – 3\)

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme kvadratickou část:

\(5x^2 – 20xy + 20y^2 = 5(x^2 – 4xy + 4y^2) = 5(x – 2y)^2\)

Celý výraz tedy přepíšeme jako:

\(5(x – 2y)^2 + 30x – 60y + 25\)

Lineární členy přepíšeme:

\(30x – 60y = 30(x – 2y)\)

Výraz je:

\(5(x – 2y)^2 + 30(x – 2y) + 25\)

Necháme \(a = x – 2y\) a doplníme na čtverec podle \(a\):

\(5a^2 + 30a + 25 = 5(a^2 + 6a) + 25\)

Doplníme čtverec v závorce:

\(a^2 + 6a = a^2 + 6a + 9 – 9 = (a + 3)^2 – 9\)

Dosadíme zpět:

\(5((a + 3)^2 – 9) + 25 = 5(a + 3)^2 – 45 + 25 = 5(a + 3)^2 – 20\)

Dosadíme \(a = x – 2y\):

\(5(x – 2y + 3)^2 – 20\)

Závěr:

Výraz lze vyjádřit jako:

\(5(x – 2y + 3)^2 – 20\)

Nelze tedy vyjádřit jako součet více čtverců lineárních výrazů bez dalšího zbytku.