Funkce

Řešení:
Z rovnice \( f(2) = 4 \) a \( f(-1) = -1 \) máme dvě rovnice:
\( 2a + b = 4 \) (1)
\( -a + b = -1 \) (2)
Sečteme (1) a (2):
\( a = 5 \), \( b = -6 \)
Funkce je tedy: \( f(x) = 5x – 6 \)

Řešení:
Pro průsečík s osou \( y \) (kde \( x = 0 \)):
\( f(0) = 2(0)^2 – 3(0) – 5 = -5 \), tedy průsečík je v bodě \( (0, -5) \).
Pro průsečík s osou \( x \) řešíme: \( 2x^2 – 3x – 5 = 0 \). Použijeme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(2)(-5)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4} \).
Tedy \( x_1 = 2.5 \) a \( x_2 = -1 \). Průsečíky s osou \( x \) jsou v bodech \( (2.5, 0) \) a \( (-1, 0) \).

Řešení:
Pro \( x = 2 \): \( f(2) = 3(2) – 4 = 6 – 4 = 2 \)
Pro \( x = -1 \): \( f(-1) = 3(-1) – 4 = -3 – 4 = -7 \)
Pro \( x = 0 \): \( f(0) = 3(0) – 4 = -4 \)

Řešení:
Řešíme kvadratickou rovnici: \( 4x^2 – 5x + 3 = 0 \). Použijeme kvadratickou formuli:
\( x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 – 4(4)(3)}}{2(4)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 48}}{8} = \frac{5 \pm \sqrt{-23}}{8} \).
Řešení neexistuje v reálných číslech (diskriminant je záporný).

Řešení:
Pro kvadratickou funkci \( f(x) = -x^2 + 6x – 8 \) zjistíme vrchol paraboly pomocí vzorce pro vrchol: \( x = \frac{-b}{2a} \).
\( a = -1 \), \( b = 6 \), tedy: \( x = \frac{-6}{2(-1)} = 3 \).
Dosadíme \( x = 3 \) do původní funkce: \( f(3) = -(3)^2 + 6(3) – 8 = -9 + 18 – 8 = 1 \).
Maximální hodnota je 1.

Řešení:
Pro \( x = -2 \): \( f(-2) = |-2 – 4| = 6 \)
Pro \( x = 0 \): \( f(0) = |0 – 4| = 4 \)
Pro \( x = 4 \): \( f(4) = |4 – 4| = 0 \)
Pro \( x = 5 \): \( f(5) = |5 – 4| = 1 \)

Řešení:
Z rovnice \( f(1) = 3 \) a \( f(4) = 10 \) máme dvě rovnice:
\( a + b = 3 \) (1)
\( 4a + b = 10 \) (2)
Odečteme (1) od (2):
\( 3a = 7 \Rightarrow a = \frac{7}{3} \), dosadíme do (1): \( \frac{7}{3} + b = 3 \Rightarrow b = 3 – \frac{7}{3} = \frac{2}{3} \)
Funkce je: \( f(x) = \frac{7}{3}x + \frac{2}{3} \)

Řešení:
Pro průsečík s osou \( y \) (kde \( x = 0 \)):
\( f(0) = (0)^2 – 4(0) + 3 = 3 \), tedy průsečík je v bodě \( (0, 3) \).
Pro průsečík s osou \( x \) řešíme: \( x^2 – 4x + 3 = 0 \). Použijeme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \).
Tedy \( x_1 = 3 \) a \( x_2 = 1 \). Průsečíky s osou \( x \) jsou v bodech \( (3, 0) \) a \( (1, 0) \).

Řešení:
Pro \( x = 2 \):
\( f(2) = -3(2)^2 + 6(2) – 1 = -3(4) + 12 – 1 = -12 + 12 – 1 = -1 \)

Řešení:
Pro \( x = 1 \):
\( f(1) = -2(1)^2 + 8(1) – 6 = -2 + 8 – 6 = 0 \)

Řešení:
Pro \( x = 3 \):
\( f(3) = 2(3)^2 – 4(3) + 5 = 2(9) – 12 + 5 = 18 – 12 + 5 = 11 \)

Řešení:
Pro kvadratickou funkci \( f(x) = -x^2 + 4x – 3 \) zjistíme vrchol pomocí vzorce \( x = \frac{-b}{2a} \).
\( a = -1 \), \( b = 4 \), tedy: \( x = \frac{-4}{2(-1)} = 2 \).
Dosadíme \( x = 2 \) do původní funkce: \( f(2) = -(2)^2 + 4(2) – 3 = -4 + 8 – 3 = 1 \).
Vrchol paraboly je v bodě \( (2, 1) \).

Řešení:
Pro průsečík s osou \( x \) řešíme \( x^2 – 6x + 8 = 0 \). Použijeme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 – 4(1)(8)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \).
Tedy \( x_1 = 4 \) a \( x_2 = 2 \). Průsečíky s osou \( x \) jsou v bodech \( (4, 0) \) a \( (2, 0) \).

Řešení:
Pro \( x = -2 \):
\( f(-2) = 3(-2)^2 – 5(-2) + 2 = 3(4) + 10 + 2 = 12 + 10 + 2 = 24 \)

Řešení:
Pro \( x = 1 \):
\( f(1) = -2(1)^2 + 7(1) – 4 = -2 + 7 – 4 = 1 \)

Řešení:
Pro \( x = -1 \):
\( f(-1) = 5(-1)^2 – 3(-1) + 4 = 5 + 3 + 4 = 12 \)

Řešení:
Pro \( x = 0 \):
\( f(0) = 4(0)^2 – 12(0) + 9 = 9 \)
Pro \( x = 3 \):
\( f(3) = 4(3)^2 – 12(3) + 9 = 36 – 36 + 9 = 9 \)

Řešení:
Pro \( x = 4 \):
\( f(4) = 3(4)^2 – 5(4) – 2 = 3(16) – 20 – 2 = 48 – 20 – 2 = 26 \)

Řešení:
Pro \( x = -1 \):
\( f(-1) = 2(-1)^2 – 5(-1) + 3 = 2 + 5 + 3 = 10 \)

Řešení:
Pro \( x = 2 \):
\( f(2) = -(2)^2 + 2(2) + 8 = -4 + 4 + 8 = 8 \)

Řešení:
Pro \( x = -2 \):
\( f(-2) = 3(-2)^2 – 7(-2) + 2 = 3(4) + 14 + 2 = 12 + 14 + 2 = 28 \)

Řešení:
Pro \( x = \frac{1}{2} \):
\( f\left(\frac{1}{2}\right) = 5\left(\frac{1}{2}\right)^2 – 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 5\left(\frac{1}{4}\right) – \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{4} – \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{4} – \frac{6}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4} \)

Řešení:
Pro průsečík s osou \( y \) řešíme \( f(0) \):
\( f(0) = 2(0)^2 – 4(0) – 6 = -6 \)
Průsečík s osou \( y \) je v bodě \( (0, -6) \).

Řešení:
Pro \( x = -1 \):
\( f(-1) = -3(-1)^2 + 2(-1) + 7 = -3 + (-2) + 7 = 2 \)
Pro \( x = 2 \):
\( f(2) = -3(2)^2 + 2(2) + 7 = -12 + 4 + 7 = -1 \)

Řešení:
Pro \( x = 5 \):
\( f(5) = (5)^2 – 6(5) + 8 = 25 – 30 + 8 = 3 \)

Řešení:
Použijeme vzorec pro kvadratickou rovnici \( ax^2 + bx + c = 0 \).
Máme \( a = 2 \), \( b = -5 \), \( c = -3 \). Diskriminant je:
\( \Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 \).
Kořeny budou:
\( x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{5 \pm 7}{4} \).
Tedy \( x_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3 \) a \( x_2 = \frac{5 – 7}{4} = -\frac{1}{2} \).

Řešení:
Pro \( x = \frac{1}{3} \):
\( f\left(\frac{1}{3}\right) = -4\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 9\left(\frac{1}{3}\right) – 5 = -4\left(\frac{1}{9}\right) + 3 – 5 = -\frac{4}{9} + 3 – 5 = -\frac{4}{9} – \frac{18}{9} + \frac{27}{9} = \frac{5}{9} \)

Řešení:
Pro \( x = -4 \):
\( f(-4) = (-4)^2 – 2(-4) + 1 = 16 + 8 + 1 = 25 \)

Řešení:
Použijeme vzorec pro kvadratickou rovnici \( ax^2 + bx + c = 0 \).
Máme \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = 8 \). Diskriminant je:
\( \Delta = b^2 – 4ac = (6)^2 – 4(1)(8) = 36 – 32 = 4 \).
Kořeny budou:
\( x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 2}{2} \).
Tedy \( x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2 \) a \( x_2 = \frac{-6 – 2}{2} = -4 \).

Řešení:
Pro \( x = -\frac{1}{2} \):
\( f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 – 5\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{5}{2} + 3 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} + 3 = \frac{6}{2} + 3 = 3 + 3 = 6 \)