1. Ve výrobním procesu se kontroluje počet zkoušek potřebných k nalezení prvního defektního výrobku, přičemž pravděpodobnost, že výrobek je defektní, je \(0,05\). Určete pravděpodobnost, že první defektní výrobek bude právě na třetí kontrole.
Řešení příkladu:
Geometrické rozdělení modeluje počet nezávislých pokusů až do prvního úspěchu. Zde je úspěch definován jako „výrobek je defektní“ s pravděpodobností \( p = 0,05 \).
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane právě při \( k \)-tém pokusu je dána vztahem
Tedy pravděpodobnost, že první defektní výrobek bude právě na třetí kontrole, je přibližně \( 4,51\% \).
2. V jisté hře je pravděpodobnost výhry v každém kole \(0,1\). Jaká je pravděpodobnost, že hráč vyhraje poprvé až v pátém kole?
Řešení příkladu:
Opět využíváme geometrické rozdělení s parametrem \( p = 0,1 \).
Pravděpodobnost, že první výhra nastane až v pátém kole, znamená, že první čtyři kola jsou prohry (pravděpodobnost neúspěchu \( q = 1 – p = 0,9 \)) a páté je výhra.
Pravděpodobnost, že první výhra nastane právě v pátém kole, je tedy přibližně \( 6,56\% \).
3. Při testování nového léku je pravděpodobnost úspěšného vyléčení pacienta \(0,7\). Kolik pacientů je třeba otestovat v průměru, aby byl nalezen první úspěšný případ?
Řešení příkladu:
Střední hodnota geometrického rozdělení je dána vztahem
\( E(X) = \frac{1}{p} \).
Dosadíme \( p = 0,7 \):
\( E(X) = \frac{1}{0,7} \approx 1,4286 \).
To znamená, že v průměru bude třeba otestovat přibližně \(1,43\) pacienta, aby byl nalezen první úspěšný případ.
4. Pravděpodobnost, že server během jedné hodiny selže, je \(0,02\). Jaká je pravděpodobnost, že první selhání nastane během šesté hodiny provozu?
Řešení příkladu:
Parametr úspěchu \( p = 0,02 \), kde „úspěch“ znamená selhání serveru.
Pravděpodobnost, že první selhání nastane v šesté hodině, je
5. V experimentu je pravděpodobnost, že náhodně vybraný vzorek splní kritérium, rovna \(0,3\). Jaká je pravděpodobnost, že první vzorek splňující kritérium bude právě čtvrtý?
Řešení příkladu:
Parametr \( p = 0,3 \), neúspěch \( q = 0,7 \).
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane právě ve čtvrtém pokusu:
6. Pravděpodobnost, že volič v anketě odpoví kladně, je \(0,6\). Jaká je pravděpodobnost, že první kladná odpověď bude zaznamenána až po sedmém dotázaném?
Řešení příkladu:
Parametr úspěchu \( p = 0,6 \), neúspěch \( q = 0,4 \).
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane až po 7. dotázaném znamená, že prvních 6 odpovědí je záporných a sedmý je kladný:
Pravděpodobnost je tedy přibližně \( 0,24576\% \).
7. V telekomunikačním systému je pravděpodobnost, že paket dorazí bez chyby, rovna \(0,85\). Jaká je pravděpodobnost, že první chybný paket přijde až po desátém správném paketu?
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost úspěchu (doraz bez chyby) \( p = 0,85 \), pak pravděpodobnost chyby \( q = 1 – p = 0,15 \).
Pravděpodobnost, že první chybný paket přijde až po desátém správném, znamená, že prvních 10 paketů je bez chyby a až 11. je chybný:
9. V kouli s barevnými kuličkami je pravděpodobnost, že náhodně vybraná kulička bude červená, \(0,25\). Jaká je pravděpodobnost, že první červená kulička bude vybrána až při osmém tažení?
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost úspěchu \( p = 0,25 \), pravděpodobnost neúspěchu \( q = 0,75 \).
Pravděpodobnost, že první úspěch (červená kulička) bude až v osmém tažení:
14. V sérii nezávislých pokusů s pravděpodobností úspěchu \( p = 0{,}5 \) určete pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději ve čtvrtém pokusu.
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději ve \( k \)-tém pokusu, je
Tedy pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději ve čtvrtém pokusu, je \( 0{,}9375 \).
15. V dané situaci je pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu \( p = 0{,}4 \). Vypočítejte pravděpodobnost, že první úspěch nastane v lichém čísle pokusu (tedy 1., 3., 5., …).
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane v lichém čísle pokusu, je součet pravděpodobností pro \( k = 1, 3, 5, \dots \).
Tedy
\( P = \sum_{m=0}^{\infty} P(X = 2m + 1) = \sum_{m=0}^{\infty} (1-p)^{2m} \cdot p = p \sum_{m=0}^{\infty} (1-p)^{2m} \).
Součet nekonečné geometrické řady je
\( \sum_{m=0}^{\infty} r^{m} = \frac{1}{1-r} \), kde \( r = (1-p)^2 \).
Dosadíme:
\( P = p \cdot \frac{1}{1 – (1-p)^2} = \frac{p}{1 – (1-p)^2} \).
19. Vysvětlete, proč geometrické rozdělení je paměťově bez paměti, a demonstrujte tuto vlastnost na příkladu s pravděpodobností úspěchu \( p = 0{,}5 \).
Řešení příkladu:
Vlastnost paměti bez paměti říká, že pro geometrické rozdělení platí
\( P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n) \) pro všechna \( m, n \in \mathbb{N} \).
To znamená, že pravděpodobnost, že první úspěch nenastane během dalších \( n \) pokusů za předpokladu, že dosud nenastal v prvních \( m \) pokusech, nezávisí na hodnotě \( m \).
Pro geometrické rozdělení je
\( P(X > k) = (1-p)^{k} \).
Zkusme demonstrovat pro \( p = 0{,}5 \), \( m = 2 \), \( n = 3 \):
To potvrzuje, že geometrické rozdělení nemá paměť – budoucí pravděpodobnosti nezávisí na tom, co se stalo v minulosti.
20. Nechť \(X\) je náhodná veličina s geometrickým rozdělením s parametrem úspěchu \( p = 0{,}4 \). Vypočtěte pravděpodobnost, že první úspěch nastane právě na 6. pokusu, a vysvětlete, jak se tato pravděpodobnost odvíjí od parametru \(p\). Dále určete střední hodnotu a rozptyl této náhodné veličiny a diskutujte jejich význam v kontextu geometrického rozdělení.
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeňme, že pravděpodobnostní funkce geometrického rozdělení vyjadřuje pravděpodobnost, že první úspěch nastane právě na \(k\)-tém pokusu, kde každý pokus je nezávislý a pravděpodobnost úspěchu je konstantní \(p\).
Tuto pravděpodobnost lze vyjádřit vzorcem
\( P(X = k) = (1-p)^{k-1} p \), kde \( k = 1, 2, 3, \dots \)
Pro náš případ je \( p = 0{,}4 \) a \( k = 6 \). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane právě na šestém pokusu, je tedy přibližně \(3,11 %\).
Jak tato pravděpodobnost závisí na parametru \( p \)?
U geometrického rozdělení platí, že čím větší je pravděpodobnost úspěchu \(p\), tím větší je pravděpodobnost, že úspěch nastane brzy (na nižších hodnotách \(k\)), a naopak, s menším \(p\) se pravděpodobnost „odkládá“ na vyšší hodnoty \(k\). Matematicky to plyne z faktoru \((1-p)^{k-1}\), který klesá rychleji pro větší \(p\).
Nyní určíme střední hodnotu geometrické náhodné veličiny \(X\). Pro geometrické rozdělení platí:
\( E(X) = \frac{1}{p} \)
Dosadíme \( p = 0{,}4 \):
\( E(X) = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5 \)
To znamená, že v průměru očekáváme první úspěch po \(2,5\) pokusech.
Dále vypočítáme rozptyl \( Var(X) \), který vyjadřuje rozptyl hodnot kolem střední hodnoty a dává nám informaci o variabilitě náhodné veličiny:
Rozptyl 3,75 indikuje relativně vysokou variabilitu počtu pokusů do prvního úspěchu, což odpovídá povaze geometrického rozdělení, kde hodnota může být výrazně větší než střední hodnota.
Závěrem shrneme výsledky:
Pravděpodobnost \( P(X = 6) \approx 0{,}0311 \)
Střední hodnota \( E(X) = 2{,}5 \)
Rozptyl \( Var(X) = 3{,}75 \)
Tato analýza nám umožňuje lépe pochopit chování náhodné veličiny s geometrickým rozdělením a význam parametru \(p\) pro pravděpodobnosti a rozdělení hodnot náhodné veličiny.
21. Nech náhodná veličina \( X \) sleduje geometrické rozdelenie s parametrom úspechu \( p = 0{,}3 \). Vypočítajte pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane presne na \(5.\) pokuse.
Geometrické rozdelenie popisuje počet neúspechov pred prvým úspechom v nezávislých pokusoch so stálou pravdepodobnosťou úspechu \( p \). Alternatívne môžeme definovať \( X \) ako počet pokusov do prvého úspechu vrátane úspešného pokusu.
Pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane práve na \( k \)-tom pokuse, je podľa vzorca
\( P(X = k) = (1-p)^{k-1} p \), kde \( k = 1, 2, 3, \dots \)
Pre dané \( p = 0{,}3 \) a \( k = 5 \) dosadíme do vzorca:
Teraz vynásobíme \( 0{,}2401 \times 0{,}3 = 0{,}07203 \).
Teda pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane na piatom pokuse, je približne \( 0{,}072 \) alebo \(7,2\) %.
Je dôležité si uvedomiť, že pravdepodobnosť geometrického rozdelenia exponenciálne klesá s rastúcim \( k \), pretože pravdepodobnosť, že sme doteraz nezaznamenali úspech, sa násobí \( (1-p)^{k-1} \).
Tento výsledok môžeme interpretovať tak, že šanca na to, že prvý úspech bude presne na piatom pokuse, je pomerne malá, a ak chceme pravdepodobnosť prvého úspechu v neskorších pokusoch, tá bude ešte nižšia.
22. Náhodná veličina \( X \) má geometrické rozdelenie s parametrom \( p = 0{,}6 \). Určte strednú hodnotu (očakávanú hodnotu) a rozptyl tejto veličiny.
Pre náhodnú veličinu \( X \), ktorá sleduje geometrické rozdelenie s parametrom úspechu \( p \), platia nasledujúce vzorce pre strednú hodnotu \( E(X) \) a rozptyl \( \mathrm{Var}(X) \):
To znamená, že rozptyl, teda miera variability počtu pokusov do prvého úspechu, je približne \(1,11\).
Tieto výsledky nám hovoria, že hoci je pravdepodobnosť úspechu pomerne vysoká \((60 %)\), počet pokusov do prvého úspechu môže kolísať, čo je zachytené práve rozptylom.
Stredná hodnota \(1,67\) znamená, že v priemere očakávame, že úspech nastane medzi prvým a druhým pokusom.
23. Náhodná veličina \( X \) má geometrické rozdelenie s parametrom \( p = 0{,}4 \). Vypočítajte pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane najneskôr na \(3.\) pokuse.
Pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane najneskôr na \(3.\) pokuse, znamená, že úspech nastane buď na \(1.\), alebo \(2.\), alebo \(3.\) pokuse.
Výsledok ukazuje, že pravdepodobnosť, že sa prvý úspech dostaví do troch pokusov, je približne \(78,4 %\).
24. Z náhodnej veličiny \( X \) so geometrickým rozdelením s parametrom \( p = 0{,}2 \) vypočítajte medián a vysvetlite jeho význam v kontexte geometrického rozdelenia.
Medián náhodnej veličiny je hodnota \( m \), pre ktorú platí:
\( P(X \leq m) \geq 0{,}5 \) a \( P(X \geq m) \geq 0{,}5 \).
Pre geometrické rozdelenie môžeme použiť kumulatívnu distribučnú funkciu (CDF):
\( m \geq \frac{-0{,}6931}{-0{,}2231} \approx 3{,}11 \).
Keďže \( m \) musí byť celé číslo, berieme najmenšie celé číslo väčšie alebo rovné \(3,11\), teda \( m = 4 \).
Teda medián je \( 4 \), čo znamená, že pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane najneskôr na štvrtom pokuse, je aspoň \(50 %\).
V kontexte geometrického rozdelenia medián predstavuje „strednú“ hodnotu z hľadiska pravdepodobnosti, nie strednú hodnotu v zmysle očakávania.
25. Náhodná veličina \( X \) má geometrické rozdelenie s parametrom \( p = 0{,}5 \). Vypočítajte pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane po \(3.\) pokuse alebo neskôr.
Pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane po 3. pokuse alebo neskôr, je pravdepodobnosť, že prvé tri pokusy sú neúspešné, teda
\( P(X \geq 3) = P(\text{prvé dva pokusy neúspešné}) \) (upravíme definíciu)
Tento vzorec vyplýva z definície geometrického rozdelenia, kde pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane na pokuse \( k \), je \( (1-p)^{k-1} p \), a preto pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane najskôr na \( k \)-tom pokuse alebo neskôr, je súčet pravdepodobností od \( k \) do nekonečna, ktorý sa rovná \( (1-p)^{k-1} \).
Teda pravdepodobnosť, že prvý úspech nastane na treťom pokuse alebo neskôr, je \(25 %\).
Táto pravdepodobnosť tiež vyjadruje pravdepodobnosť, že prvé dva pokusy budú neúspešné.
26. Pre náhodnú veličinu \( X \) so geometrickým rozdelením s parametrom \( p \) ukážte, že pravdepodobnosť úspechu nezávisí od histórie, teda že platí pamäťová vlastnosť geometrického rozdelenia.
Pamäťová vlastnosť geometrického rozdelenia znamená, že pravdepodobnosť úspechu po už uplynutých \( m \) neúspešných pokusoch je rovnaká ako na začiatku, teda že pre všetky \( m, n \geq 1 \) platí:
\( P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n) \).
Definujme udalosti:
\( A = \{X > m + n\} \) – prvý úspech nastane po \( m+n \) pokusoch,
\( B = \{X > m\} \) – prvý úspech nastane po \( m \) pokusoch.
Podmienku môžeme prepísať pomocou definície podmienených pravdepodobností:
\( P(X > m + n \mid X > m) = \frac{P(X > m + n \cap X > m)}{P(X > m)} = \frac{P(X > m + n)}{P(X > m)} \), pretože \( X > m + n \) implikuje \( X > m \).
Pre geometrické rozdelenie platí:
\( P(X > k) = (1-p)^k \).
Dosadíme do vzorca:
\( P(X > m + n \mid X > m) = \frac{(1-p)^{m+n}}{(1-p)^m} = (1-p)^n = P(X > n) \).
Týmto sme ukázali pamäťovú vlastnosť geometrického rozdelenia, teda že pravdepodobnosť, že prvý úspech ešte nenastal po ďalších \( n \) pokusoch, nezávisí od počtu už uplynutých neúspešných pokusov \( m \).
Táto vlastnosť odlišuje geometrické rozdelenie od mnohých iných rozdelení a veľmi zjednodušuje analýzu procesov s geometriou úspechu.
27. Náhodná veličina \(X\) má geometrické rozdělení s parametrem \(p=0{,}1\). Vypočítejte pravděpodobnost, že první úspěch nastane po více než \(10\) pokusech. Jakou roli hraje tato pravděpodobnost v modelování čekání na první úspěch?
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane po více než \(k\) pokusech, je
Tedy pravděpodobnost, že první úspěch nastane na sudém pokusu, je přibližně \(33,33 %\).
29. Náhodná veličina \(X\) má geometrické rozdělení s parametrem \(p = 0{,}3\). Vypočítejte pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději na \(4.\) pokusu.
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději na \( n \)-tém pokusu, je
Interpretace: Pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději na čtvrtém pokusu, je přibližně \(75,99 %\).
30. Uvažujte geometrické rozdělení s parametrem \(p = 0{,}6\). Vypočítejte střední hodnotu a rozptyl této náhodné veličiny a vysvětlete, co tyto hodnoty znamenají v kontextu čekání na první úspěch.
Střední hodnota udává očekávaný počet pokusů, než nastane první úspěch, zatímco rozptyl vyjadřuje variabilitu tohoto počtu.
Vyšší rozptyl znamená větší nejistotu, kolik pokusů bude potřeba, zatímco menší rozptyl značí, že počet pokusů do úspěchu je více konzistentní kolem střední hodnoty.
31. Náhodná veličina \(X\) má geometrické rozdělení s parametrem \(p = 0{,}4\). Vypočítejte pravděpodobnost, že první úspěch nastane přesně na \(5.\) pokusu.
Řešení příkladu:
Geometrické rozdělení popisuje pravděpodobnost, že první úspěch nastane právě na \( k \)-tém pokusu. Pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je \( p \), neúspěchu \( 1-p \).
Vzorec pro pravděpodobnost, že první úspěch nastane přesně na \( k \)-tém pokusu, je
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane právě na pátém pokusu, je přibližně \(0,05184\), tedy asi \(5,18 %\).
Tento výpočet odpovídá základní definici geometrického rozdělení a ukazuje, jak pravděpodobnost klesá s rostoucím číslem pokusu, kdy nastane první úspěch.
32. V hodu mincí je pravděpodobnost, že padne panna, \( p = 0{,}3 \). Jaká je pravděpodobnost, že první panna padne až při třetím hodu?
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane na třetím pokusu, se počítá jako
Pravděpodobnost, že první panna padne až při třetím hodu, je tedy \(0,147\) nebo \(14,7 %\).
Tato úloha ilustruje, jak geometrické rozdělení modeluje počet pokusů do prvního úspěchu.
33. Uvažujte náhodnou veličinu s geometrickým rozdělením a pravděpodobností úspěchu \( p = 0{,}2 \). Vypočtěte pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejdříve po \(4.\) pokusu.
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejdříve po \( k \)-tém pokusu, je pravděpodobnost, že první \( k \) pokusů jsou neúspěšné, tedy
\( P(X > k) = (1-p)^{k} \).
Dosadíme \( p=0{,}2 \), \( k=3 \), protože chceme, aby úspěch nastal až po \(4.\) pokusu, tedy žádný úspěch v prvních 3 pokusech:
Tedy pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejdříve po \(4.\) pokusu, je \(0,512\), tedy \(51,2 %\).
Tento výsledek ukazuje, jak se pravděpodobnost „odkladu“ úspěchu exponenciálně snižuje s parametrem \( p \) a počtem pokusů.
34. Při výrobě určité součástky je pravděpodobnost, že kus bude vadný, \( p = 0{,}1 \). Jaká je pravděpodobnost, že první vadný kus se objeví až po \(8.\) vyrobeném kusu?
Řešení příkladu:
Situace odpovídá geometrickému rozdělení s pravděpodobností úspěchu \( p = 0{,}1 \) (úspěch = vadný kus).
Pravděpodobnost, že první vadný kus bude až na \( k \)-tém kusu, je
\( P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p \).
Chceme zjistit pravděpodobnost, že první vadný kus nastane až po \(8.\) kusu, tedy že prvních \(7\) kusů není vadných, což je pravděpodobnost
Rozptyl vyjadřuje, jak moc se hodnoty náhodné veličiny odchylují od střední hodnoty, což je důležité pro pochopení variability doby do prvního úspěchu.
37. Pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je \( p = 0{,}75 \). Vypočítejte pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději na \(3.\) pokusu.
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději na \( k \)-tém pokusu je
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane na prvním nebo druhém pokusu, je tedy \(0,75\) neboli \(75 %\).
40. Určete medián geometricky rozdělené náhodné veličiny s parametrem \( p=0{,}3 \), tedy hodnotu \( m \), pro kterou platí \( P(X \leq m) \geq 0{,}5 \).
Řešení příkladu:
Kumulativní distribuční funkce (CDF) geometrického rozdělení je
\( P(X \leq k) = 1 – (1-p)^{k} \).
Chceme najít nejmenší celé \( m \), pro které platí
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane na \(4.\) pokusu, je tedy \(0,0864 (8,64 %)\).
42. Geometricky rozdělená náhodná veličina má pravděpodobnost úspěchu \( p=0{,}25 \). Vypočítejte pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději do \(3.\) pokusu.
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději do \( k \)-tého pokusu, je
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane nejpozději do \(3.\) pokusu, je přibližně \(57,81 %\).
43. U náhodné veličiny s geometrickým rozdělením s parametrem \( p = 0{,}1 \) určete pravděpodobnost, že první úspěch nenastane do \(5.\) pokusu (tj. \( X > 5 \)).
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost, že první úspěch nastane až po \( k \)-tém pokusu (tedy \( X > k \)) je
\( P(X > k) = (1-p)^{k} \).
Dosadíme \( p = 0{,}1 \), \( k = 5 \):
\( P(X > 5) = (1-0{,}1)^{5} = 0{,}9^{5} \).
Vypočítáme \( 0{,}9^{5} = 0{,}59049 \).
Pravděpodobnost, že první úspěch nenastane do \(5.\) pokusu, je tedy přibližně \(0,59049 (59,05 %)\).
44. Určete střední hodnotu náhodné veličiny s geometrickým rozdělením, pokud pravděpodobnost úspěchu je \( p = 0{,}2 \).
Řešení příkladu:
Střední hodnota geometrického rozdělení je dána vztahem
\( E(X) = \frac{1}{p} \).
Dosadíme \( p = 0{,}2 \):
\( E(X) = \frac{1}{0{,}2} = 5 \).
Střední hodnota, tedy očekávaný počet pokusů do prvního úspěchu, je \(5\).
45. Pravděpodobnost úspěchu je \( p=0{,}6 \). Vypočítejte rozptyl geometrického rozdělení.
49. Vysvětlete, jaký vliv má parametr \( p \) na tvar geometrického rozdělení a pravděpodobnost úspěchu v raných pokusech.
Řešení příkladu:
Parametr \( p \) určuje pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu.
Vyšší \( p \) znamená větší pravděpodobnost, že úspěch nastane již v prvních pokusech, protože
\( P(X=1) = p \).
Pokud je \( p \) malá, pravděpodobnost úspěchu v raných pokusech je nízká a rozdělení je více „roztáhlé“ s větší pravděpodobností, že úspěch nastane až později.
To ovlivňuje i tvar křivky pravděpodobnosti – při velkém \( p \) klesá pravděpodobnost velmi rychle s rostoucím \( k \), při malém \( p \) pomaleji.
50. Určete střední hodnotu a rozptyl Poissonova rozdělení s parametrem \( \lambda = 4 \).
Řešení příkladu:
Poissonovo rozdělení s parametrem \( \lambda \) má střední hodnotu a rozptyl rovné \( \lambda \).
Pro \( \lambda = 4 \) tedy platí:
\( E(X) = \lambda = 4 \)
\( \mathrm{Var}(X) = \lambda = 4 \)
Tedy střední hodnota i rozptyl Poissonova rozdělení jsou obě rovny \(4\).
