1. Příklad – Určete, zda množina všech zrcadlení v rovině tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení.
Řešení příkladu:
Nechť \( G \) je množina všech zrcadlení v rovině. Ověříme, zda \( (G, \circ) \), kde \( \circ \) je skládání zobrazení, tvoří grupu.
1. Uzavřenost: Zrcadlení podle dvou různých os může být výsledkem rotace nebo posunutí, ne nutně dalšího zrcadlení.
Například zrcadlení podle osy \( x \) a následně podle osy \( y \) je rotace o \( 180^\circ \), což není zrcadlení. Tedy množina není uzavřená.
2. Asociativita: Skládání zobrazení je vždy asociativní.
3. Neutrální prvek: Identické zobrazení (neprovádí žádnou změnu) by muselo být v množině, ale to není zrcadlení.
4. Inverzní prvek: Inverzí každého zrcadlení je samo zrcadlení, což splněno je.
Protože množina není uzavřená, množina všech zrcadlení netvoří grupu.
2. Příklad – Dokažte, že množina všech izometrií roviny tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení.
Řešení příkladu:
Nechť \( I \) je množina všech izometrií roviny, tedy zobrazení zachovávajících vzdálenosti (rotace, posunutí, zrcadlení, skládání zrcadlení).
1. Uzavřenost: Složení dvou izometrií je opět izometrie. Např. rotace po zrcadlení je opět izometrie.
2. Asociativita: Platí pro skládání zobrazení obecně.
3. Identita: Identické zobrazení je v množině \( I \).
4. Inverze: Každá izometrie má inverzní izometrii (např. inverzní rotace je rotace opačného úhlu).
Všechny axiomy grupy jsou splněny, tedy \( (I, \circ) \) tvoří grupu.
3. Příklad – Určete množinu všech prvků grupy symetrií rovnostranného trojúhelníku a popište grupovou strukturu.
Řešení příkladu:
Symetrie rovnostranného trojúhelníku zahrnují:
- \( e \) – identita
- \( r_1 \), \( r_2 \) – rotace o \( 120^\circ \) a \( 240^\circ \)
- \( s_1 \), \( s_2 \), \( s_3 \) – zrcadlení podle tří os (výšky trojúhelníka)
Máme 6 prvků. Ty tvoří tzv. dihedrální grupu \( D_3 \), která má následující vlastnosti:
\( r_1 \circ r_1 = r_2 \), \( r_1 \circ r_2 = e \), \( s_1 \circ s_1 = e \), \( s_1 \circ r_1 = s_2 \), atd.
Grupa \( D_3 \) je neabelovská, protože např. \( r_1 \circ s_1 \neq s_1 \circ r_1 \).
4. Příklad – Dokažte, že množina všech rotací kolem pevného bodu v rovině tvoří cyklickou grupu.
Řešení příkladu:
Nechť máme rotace kolem bodu \( O \) o úhly násobky \( \theta \), kde \( \theta = \frac{360^\circ}{n} \). Taková množina rotací tvoří množinu
\( \{e, r, r^2, \dots, r^{n-1}\} \), kde \( r \) je rotace o \( \theta \).
Skládání těchto rotací odpovídá sčítání úhlů modulo \( 360^\circ \), tedy např.
\( r^i \circ r^j = r^{(i+j) \mod n} \)
Máme tedy cyklickou grupu řádu \( n \), generovanou prvkem \( r \).
Všechny axiomy grupy jsou splněny:
- Uzavřenost: \( r^i \circ r^j = r^k \in G \)
- Asociativita: platí obecně
- Identita: \( r^0 = e \)
- Inverzní prvek: \( r^i \circ r^{n-i} = e \)
Tedy rotace tvoří cyklickou grupu.
5. Příklad – Ukažte, že skládání dvou zrcadlení podle různoběžných přímek v rovině je rotace. Ověřte, že tento typ zobrazení tvoří podgrupu izometrií.
Řešení příkladu:
Nechť \( s_1 \), \( s_2 \) jsou zrcadlení podle různoběžných přímek, které se protínají v bodě \( O \) a svírají úhel \( \alpha \).
Je známo, že složení dvou zrcadlení podle těchto přímek je rotace kolem bodu \( O \) o úhel \( 2\alpha \).
Např. nechť \( s_1 \) je zrcadlení podle osy \( x \), \( s_2 \) podle osy se sklonem \( \alpha \). Pak jejich složení je rotace o \( 2\alpha \).
Ověříme, že množina všech takových skladeb tvoří podgrupu:
- Uzavřenost: rotace složené podle různých úhlů tvoří opět rotaci
- Identita: pokud \( \alpha = 0^\circ \), pak \( s_1 = s_2 \Rightarrow \) složení je identita
- Inverze: rotace o \( 2\alpha \) má inverzi rotaci o \( -2\alpha \)
- Asociativita: skládání zobrazení je asociativní
Tedy skládání dvou zrcadlení podle různoběžných přímek tvoří podgrupu izometrií.
6. Určete, zda množina všech posunutí v rovině tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení.
Řešení příkladu:
Nechť \( T = \{\tau_{\vec{v}} : \vec{v} \in \mathbb{R}^2\} \), kde \( \tau_{\vec{v}} \) je posunutí o vektor \( \vec{v} \).
Uzavřenost: \( \tau_{\vec{v}} \circ \tau_{\vec{w}} = \tau_{\vec{v} + \vec{w}} \in T \)
Asociativita: platí
Identita: \( \tau_{\vec{0}} \in T \)
Inverzní prvek: \( \tau_{\vec{v}}^{-1} = \tau_{-\vec{v}} \in T \)
\( T \) tvoří abelovskou grupu vzhledem ke skládání zobrazení.
7. Určete grupu symetrií čtverce a určete její strukturu.
Řešení příkladu:
Množina symetrií čtverce obsahuje \(8\) prvků: \( e \), rotace \( r_{90}, r_{180}, r_{270} \), zrcadlení podle os a úhlopříček \( s_1, s_2, d_1, d_2 \).
Tyto prvky tvoří dihedrální grupu \( D_4 \).
Uzavřenost, asociativita, identita a inverzní prvek jsou splněny.
Grupa \( D_4 \) je neabelovská.
8. Ukažte, že množina všech shodností prostoru zachovávajících jeden bod tvoří grupu.
Řešení příkladu:
Shodnosti zachovávající jeden bod zahrnují rotace a zrcadlení procházející tímto bodem, tedy izometrie s fixním bodem.
Skládání dvou takových zobrazení je opět izometrie zachovávající tento bod.
Identita a inverzní prvky jsou zřejmé. Asociativita platí obecně.
Tato množina tvoří grupu.
9. Určete všechny izometrie roviny, které zachovávají orientaci a tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení.
Řešení příkladu:
Izometrie zachovávající orientaci jsou posunutí a rotace. Tedy zobrazení tvaru \( f(x) = Ax + b \), kde \( A \) je rotace a \( b \in \mathbb{R}^2 \).
Složení dvou takových izometrií je opět izometrie tohoto typu.
Identita odpovídá \( A = I \), \( b = 0 \). Inverze je dána inverzní rotací a opačným posunutím.
Množina tvoří grupu a je to tzv. grupa přímých izometrií.
10. Najděte množinu všech zobrazení roviny, která zachovávají vzdálenost a převrací orientaci, a ověřte, že tvoří podgrupu izometrií.
Řešení příkladu:
Zobrazení zachovávající vzdálenost a převracející orientaci jsou zrcadlení a skládání zrcadlení s posunutím nebo rotací (např. klouzavé zrcadlení).
Složení dvou takových zobrazení může být izometrie zachovávající orientaci, ale uzavřenost pro daný typ závisí na konkrétní množině.
Množina všech izometrií převracejících orientaci sama o sobě netvoří grupu, protože není uzavřená vůči skládání.
Netvoří tedy podgrupu izometrií.
11. Určete množinu všech geometrických zobrazení, která zachovávají rovnostranný trojúhelník, a ověřte, že tvoří grupu vzhledem ke skládání.
Řešení příkladu:
Nechť \( \triangle ABC \) je rovnostranný trojúhelník.
Geometrická zobrazení, která zachovávají trojúhelník, jsou:
– Identita \( e \)
– Rotace o \( 120^\circ \) proti směru hodinových ručiček kolem těžiště \( r_1 \)
– Rotace o \( 240^\circ \) kolem téhož bodu \( r_2 \)
– Zrcadlení podle výšky z vrcholu \( A \), \( s_1 \)
– Zrcadlení podle výšky z vrcholu \( B \), \( s_2 \)
– Zrcadlení podle výšky z vrcholu \( C \), \( s_3 \)
Tyto prvky tvoří množinu \( D_3 = \{e, r_1, r_2, s_1, s_2, s_3\} \).
– Uzavřenost: Skládání dvou prvků z množiny je opět v množině (např. \( r_1 \circ s_1 = s_2 \)).
– Asociativita: Platí pro skládání zobrazení obecně.
– Identita: \( e \) je identické zobrazení.
– Inverzní prvky: Každý prvek má inverzní prvek v množině, např. \( r_1^{-1} = r_2 \), \( s_i^{-1} = s_i \).
Grupa \( D_3 \) je neabelovská a odpovídá grupě symetrií rovnostranného trojúhelníku.
12. Určete grupu všech symetrií pravidelného šestiúhelníku a popište její strukturu.
Řešení příkladu:
Pravidelný šestiúhelník má:
– \(6\) os souměrnosti: \(3\) procházejí protilehlými vrcholy, \(3\) protilehlými stranami.
– Rotace o \( 0^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ \) kolem středu.
Celkem je \(12\) symetrií: \( e, r_{60}, r_{120}, r_{180}, r_{240}, r_{300}, s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6 \).
Tato množina tvoří dihedrální grupu \( D_6 \) řádu 12.
– Uzavřenost: Každé skládání těchto zobrazení je opět v \( D_6 \).
– Asociativita: Platí obecně.
– Identita: \( e \)
– Inverze: Každý prvek má svůj inverz (např. \( r_{60}^{-1} = r_{300} \)).
Grupa \( D_6 \) je neabelovská. Její Cayleyova tabulka má symetrickou strukturu kolem diagonály.
13. Určete, zda množina všech zobrazení kružnice do sebe, která zachovávají vzdálenosti, tvoří grupu vzhledem ke skládání.
Řešení příkladu:
Zobrazení kružnice do sebe, která zachovávají vzdálenosti, jsou rotace kolem středu a zrcadlení podle průměrů.
Nechť \( C \) je kružnice se středem \( O \) a poloměrem \( r \).
Rotace: libovolné rotace kolem \( O \)
Zrcadlení: každá osa procházející \( O \)
Tyto zobrazení tvoří grupu izometrií kružnice, která je izomorfní s ortogonální grupou \( O(2) \).
– Uzavřenost: Složení dvou rotací je rotace, složení rotace a zrcadlení je zrcadlení nebo rotace.
– Asociativita: Platí obecně.
– Identita: Rotace o \( 0^\circ \)
– Inverzní prvek: Inverze rotace je opačná rotace, zrcadlení je inverzní sama sobě.
Množina tvoří grupu, která není abelovská (zrcadlení s rotací se neskládají komutativně).
14. Nechť \( \mathbb{R}^3 \) je eukleidovský prostor. Určete, zda množina všech rotací kolem pevného bodu tvoří grupu geometrických zobrazení.
Řešení příkladu:
Rotace v prostoru zachovávající pevný bod (například počátek) tvoří tzv. speciální ortogonální grupu \( SO(3) \).
Každá rotace je určena osou a úhlem. Skládání rotací vede opět na rotaci.
– Uzavřenost: platí
– Asociativita: skládání zobrazení je asociativní
– Identita: rotace o \( 0^\circ \)
– Inverzní prvek: každá rotace má opačnou rotaci jako inverzní
\( SO(3) \) je neabelovská Lieova grupa dimenze \(3\).
15. Najděte všechny symetrie rovnostranného trojúhelníku vyjádřené pomocí permutací jeho vrcholů a ověřte, že tvoří grupu izomorfní s \( S_3 \).
Řešení příkladu:
Vrcholům rovnostranného trojúhelníku přiřaďme označení \( A, B, C \).
Symetrie odpovídají permutacím těchto vrcholů:
\( e = (A)(B)(C) \)
\( r_1 = (ABC) \), \( r_2 = (ACB) \)
\( s_1 = (BC) \), \( s_2 = (AC) \), \( s_3 = (AB) \)
Tato množina je přesně množina všech permutací 3 prvků: \( S_3 \).
– Uzavřenost: skládání permutací je permutace
– Asociativita: vlastnost grupy \( S_n \)
– Identita: \( e \)
– Inverzní prvek: každá permutace má inverzní
Grupa symetrií rovnostranného trojúhelníku je izomorfní s \( S_3 \).
16. Určete množinu všech geometrických zobrazení, která zachovávají pravidelný čtverec, a ověřte, že tvoří grupu vzhledem ke skládání.
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeňme, že pravidelný čtverec má čtyři vrcholy a jeho symetrie zahrnují všechna zobrazení roviny, která zachovávají tvar a velikost čtverce.
Množina všech těchto zobrazení se nazývá dihedrální grupa \( D_4 \). Obsahuje právě osm prvků, které lze rozdělit na:
- Identické zobrazení \( e \), které ponechá čtverec nezměněný.
- Rotace kolem středu čtverce o úhly \( 90^\circ \), \( 180^\circ \), \( 270^\circ \), označované jako \( r_1, r_2, r_3 \).
- Zrcadlení podle os souměrnosti, které jsou čtyři – dvě podle os rovnoběžných s hranami (\( s_h \) a \( s_v \)) a dvě podle diagonál (\( s_d \) a \( s_{d‘} \)).
Ověření, že tyto zobrazení tvoří grupu:
1. Uzavřenost: Složení dvou symetrií čtverce je opět symetrie čtverce. Například složením rotace o 90° s následným zrcadlením vznikne další symetrie.
2. Existence identity: Identické zobrazení \( e \) funguje jako neutrální prvek.
3. Existence inverzních prvků: Každá symetrie je invertovatelná – rotace mají inverzi rotace opačným směrem a zrcadlení jsou svou vlastní inverzí.
4. Asociativita: Složení funkcí (zobrazení) je asociativní obecně.
Proto je \( D_4 \) skutečně grupa o osmi prvcích. Tato grupa je neabelovská, protože pořadí skládání symetrií je důležité (například \( s_h \circ r_1 \neq r_1 \circ s_h \)).
Dihedrální grupu lze také reprezentovat permutacemi vrcholů čtverce, což umožňuje její algebraickou analýzu.
17. Nechť \( f \) je osová souměrnost podle osy \( x \) a \( g \) podle osy \( y \). Ukažte, že množina \( \{ \text{id}, f, g, f \circ g \} \) tvoří grupu vzhledem ke skládání a určete její strukturu.
Řešení příkladu:
Definujeme zobrazení na rovině:
- Identita: \( \text{id}(x, y) = (x, y) \).
- Osová souměrnost podle osy \( x \): \( f(x, y) = (x, -y) \).
- Osová souměrnost podle osy \( y \): \( g(x, y) = (-x, y) \).
- Složením \( f \circ g \) dostaneme zobrazení \( (x, y) \mapsto (-x, -y) \), což je středová souměrnost podle počátku.
Teď si ověříme vlastnosti skupiny na množině \( G = \{\text{id}, f, g, f \circ g\} \):
Uzavřenost: Složení dvou zobrazení z \( G \) je znovu v \( G \), například \( f \circ f = \text{id} \), \( f \circ g = f \circ g \), \( g \circ f = f \circ g \), protože osové souměrnosti komutují.
Existence identity: \( \text{id} \) je neutrální prvek.
Inverzní prvky: Každý prvek je svůj vlastní inverzní prvek, protože osová a středová souměrnost jsou inverzní samy sobě.
Asociativita: Platí obecně u složení funkcí.
Tato grupa je izomorfní Kleinově čtyřprvkové grupě \( \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \). Je abelovská, protože všechny prvky komutují.
18. Ukažte, že množina všech přímých podobností roviny tvoří grupu vzhledem ke skládání a určete její základní charakteristiky.
Řešení příkladu:
Přímá podobnost je zobrazení roviny, které zachovává úhly a poměr délek (tedy poměr podobnosti), a zároveň orientaci (neobsahuje zrcadlení). Geometricky je to složení rotace a stejnolehlosti se stejným středem.
V komplexním čísle lze takovou podobnost zapsat jako:
\( f(z) = a z + b \), kde \( a \in \mathbb{C} \setminus \{0\} \) a \( b \in \mathbb{C} \).
Rozbor vlastností:
1. Uzavřenost: Složení dvou přímých podobností je opět přímá podobnost.
Nechť \( f(z) = a_1 z + b_1 \) a \( g(z) = a_2 z + b_2 \), pak:
\( f \circ g (z) = a_1 (a_2 z + b_2) + b_1 = (a_1 a_2) z + (a_1 b_2 + b_1) \), což je opět tvar přímé podobnosti.
2. Existence identity: Identita je zobrazení \( \text{id}(z) = 1 \cdot z + 0 \).
3. Existence inverzního prvku: Inverzní zobrazení k \( f(z) = a z + b \) je:
\( f^{-1}(w) = \frac{w – b}{a} = \frac{1}{a} w – \frac{b}{a} \), tedy opět přímá podobnost.
4. Asociativita: Složení funkcí je asociativní obecně.
Závěr: Množina všech přímých podobností tvoří grupu, která je isomorfní grupě \( \mathbb{C}^\times \) ⋉ \( \mathbb{C} \) (polopřímý součin násobení komplexních čísel a aditivní grupy komplexních čísel).
19. Ukažte, že množina všech geometrických zobrazení roviny, které lze vyjádřit maticí \( 2 \times 2 \) s determinantem \(1\), tvoří grupu.
Řešení příkladu:
Zvažujeme množinu:
\( SL(2, \mathbb{R}) = \{ A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) : \det(A) = 1 \} \).
Tyto matice reprezentují lineární zobrazení roviny, která zachovávají orientaci a mají jednotkový determinant.
1. Uzavřenost: Součin dvou matic s determinantem \(1\) má determinant \(1\), protože:
\( \det(AB) = \det(A) \det(B) = 1 \cdot 1 = 1 \).
2. Existence identity: Identická matice \( I \) má determinant \(1\) a slouží jako neutrální prvek.
3. Existence inverzních prvků: Pro každou matici \( A \in SL(2, \mathbb{R}) \) existuje inverzní matice \( A^{-1} \), která také patří do \( SL(2, \mathbb{R}) \), protože:
\( \det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1 \).
4. Asociativita: Násobení matic je asociativní.
Proto \( SL(2, \mathbb{R}) \) je grupa vzhledem k násobení matic.
20. Definujte pojem homomorfismus grup a uveďte příklad homomorfismu z grupy rotací čtverce do grupy permutací vrcholů.
Řešení příkladu:
Homomorfismus grup je zobrazení mezi dvěma grupami \( (G, \cdot) \) a \( (H, *) \), které zachovává grupovou strukturu, tj. pro každé \( a, b \in G \) platí:
\( \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b) \).
Příklad: Uvažujme grupu rotací pravidelného čtverce \( R = \{ e, r_1, r_2, r_3 \} \) a grupu permutací čtyř vrcholů čtverce \( S_4 \).
Každá rotace čtverce indukuje permutaci jeho vrcholů. Definujeme tedy homomorfismus:
\( \varphi : R \to S_4 \), kde \( \varphi(r) \) je permutace odpovídající rotaci \( r \).
Například:
- \( \varphi(e) \) je identita (nerozhodí vrcholy).
- \( \varphi(r_1) \) cyklicky posune vrcholy o \(1\) místo.
- \( \varphi(r_2) \) zamění vrcholy podle rotace o \(180°\).
- \( \varphi(r_3) \) posune vrcholy o \(3\) místa.
Ověření homomorfismu je jednoduché, protože složení rotací odpovídá složení permutací:
\( \varphi(r_i \circ r_j) = \varphi(r_i) \circ \varphi(r_j) \).
21. Definujte přesně, co je to grupa a uveďte příklady grup vznikajících v geometrii. Vysvětlete, proč tyto struktury jsou důležité pro studium symetrií.
Řešení příkladu:
Grupa je matematická struktura tvořená množinou \(G\) spolu s binární operací, kterou budeme značit jako násobení, a která splňuje čtyři základní axiomy:
Prvním axiometem je uzavřenost. To znamená, že když vezmeme libovolné dva prvky \(a, b\) z množiny \(G\), jejich součin \(a · b\) je také prvek z množiny \(G\). Jinými slovy, operace na prvcích množiny nikdy „nevystoupí“ mimo tuto množinu.
Druhým axiometem je existence identity. V množině \(G\) musí existovat takový prvek \(e\), který při násobení jakýmkoliv prvkem a z \(G\) nezmění jeho hodnotu. To znamená, že pro všechna a platí \(e · a = a · e = a\). Tento prvek e nazýváme identita grupy.
Třetím axiometem je existence inverzních prvků. Pro každý prvek a z množiny \(G\) musí existovat prvek \(a⁻¹\) takový, že \(a · a⁻¹ = a⁻¹ · a = e\), tedy že násobení prvku s jeho inverzí dává identitu.
Čtvrtým axiometem je asociativita operace, což znamená, že pro všechny prvky \(a, b, c\) z \(G\) platí \((a · b) · c = a · (b · c)\).
Tyto axiomy společně definují algebraickou strukturu grupy. Její význam v geometrii spočívá především v tom, že mnoho symetrií geometrických objektů tvoří právě grupu. Díky tomu můžeme využít algebraické metody k jejich analýze.
Příklady grup z geometrie jsou:
- Grupa rotací roviny kolem pevného bodu. Tato grupa je izomorfní kružnicové grupě \(SO(2)\) a zahrnuje všechny rotace o různé úhly kolem středu.
- Dihedrální grupa \(Dn\), která zahrnuje všechny symetrie pravidelného \(n\)-úhelníku. Obsahuje rotace i osové souměrnosti.
- Grupa izometrií roviny, která zachovává vzdálenosti a zahrnuje rotace, posunutí a zrcadlení.
- Speciální lineární grupa \(SL(2, ℝ)\), která zahrnuje všechny lineární transformace roviny reprezentované maticemi s determinantem \(1\), zachovávající orientaci a plochu.
Studium těchto grup umožňuje pochopení symetrií, jejich klasifikaci a aplikace v mnoha oblastech matematiky i fyziky, jako jsou krystalografie, teorie relativity, dynamické systémy a další.
22. Vysvětlete pojem podgrupa a uveďte, jaké jsou kritéria, aby byla podmnožina grupy také podgrupou. Uveďte konkrétní příklad podgrupy v grupě symetrií čtverce.
Řešení příkladu:
Podgrupa grupy \(G\) je taková podmnožina \(H\) množiny \(G\), která je sama o sobě grupou s operací zděděnou z \(G\). To znamená, že kromě toho, že \(H\) je podmnožinou \(G\), musí splňovat všechny axiomy grupy, tedy:
1. Uzavřenost: Pro všechny \(a, b\) v \(H\) platí \(a · b\) také v \(H\).
2. Identita: Prvek identity \(e\) z \(G\) musí být také v \(H\).
3. Inverzní prvky: Pro každý prvek a v \(H\) musí existovat inverzní prvek \(a⁻¹\) také v \(H\).
V praxi se často využívá zjednodušené kritérium, že pokud \(H\) obsahuje identitu, je uzavřená na operaci a obsahuje inverzi každého svého prvku, pak je podgrupou.
Příklad z geometrie:
Uvažujme dihedrální grupu \(D4\) symetrií pravidelného čtverce, která obsahuje \(8\) prvků \((4\) rotace a \(4\) osové souměrnosti\()\). Z této grupy lze vybrat podgrupu tvořenou pouze rotacemi čtverce, tedy množinu \({e, r₁, r₂, r₃}\), kde \(e\) je identita a \(r\)ₖ jsou rotace o \(90°, 180°\) a \(270°\).
Tato podmnožina je podgrupou, protože:
– Složení dvou rotací je opět rotace, takže je uzavřená.
– Obsahuje identitu e.
– Inverzní rotace k rotaci o \(90°\) je rotace o \(270°\), která je také v této množině, a podobně pro ostatní.
– Asociativita je zděděná z celé grupy.
Podgrupa rotací je tedy skupina, která popisuje pouze orientační symetrie čtverce bez zrcadlení.
23. Popište dihedrální grupu \(Dₙ\) a její základní vlastnosti. Ukažte, jak lze grupu \(Dₙ\) prezentovat pomocí generátorů a relací.
Řešení příkladu:
Dihedrální grupa \(Dₙ\) je grupa všech symetrií pravidelného n-úhelníku v rovině. Obsahuje rotace a osové souměrnosti, tedy všechny izometrie, které zachovávají tvar a velikost \(n\)-úhelníku.
Velikost této grupy je \(2n\), protože máme n rotací (včetně identity) a n osových souměrností.
Základní vlastnosti:
– Grupa je neabelovská (nekomutativní), pokud \(n > 2\), protože pořadí skládání rotace a zrcadlení ovlivňuje výsledek.
– Obsahuje podgrupu rotací, která je izomorfní cyklické grupě \(Cₙ\).
Prezentace dihedrální grupy pomocí generátorů a relací:
Grupa \(Dₙ\) může být generována dvěma prvky \(r\) a \(s\), kde:
- r reprezentuje rotaci o úhel \(2π/n (360°/n)\)
- s reprezentuje zrcadlení podle osy souměrnosti
Tyto generátory splňují relace:
- \(rⁿ = e\) (rotace o celý kruh je identita)
- \(s² = e\) (zrcadlení je inverzní samo sobě)
- \(s r s = r⁻¹\) (zrcadlení mění směr rotace na opačný)
Tedy:
\(Dₙ = ⟨ r, s | rⁿ = e, s² = e, s r s = r⁻¹ ⟩\)
Tyto vztahy definují úplnou strukturu dihedrální grupy a umožňují algebraickou práci s jejími prvky i bez explicitního uvažování geometrických transformací.
Dihedrální grupy jsou zásadní při studiu symetrií polygonů, krystalů a mnoha dalších geometrických struktur.
24. Ukažte, že grupa rotací roviny kolem pevného bodu je izomorfní kruhové grupě \(SO(2)\) a popište její algebraickou i geometrickou strukturu.
Řešení příkladu:
Grupa rotací roviny kolem pevného bodu lze formálně definovat jako množinu všech funkcí \(R_θ: ℝ² → ℝ²\), které jsou otáčkami o úhel \(θ\) kolem pevného bodu (obvykle středu souřadnicového systému). Operací je složení funkcí.
Geometricky rotace mění směr vektoru v rovině, přičemž zachovává vzdálenost a orientaci.
Algebraicky lze každou rotaci reprezentovat maticí \(2×2\) tvaru:
R_θ =
| cos θ | −sin θ |
| sin θ | cos θ |
Tyto matice tvoří skupinu \(SO(2) (\)speciální ortogonální grupa řádu \(2\), kde platí:
- Determinant každé matice je \(1\), což znamená zachování orientace a plochy.
- Matice jsou ortogonální, což zajišťuje zachování vzdáleností.
Složením dvou rotací o úhly \(θ₁\) a \(θ₂\) vznikne rotace o úhel \(θ₁ + θ₂\) modulo \(2π\). Tím pádem je grupa rotací izomorfní kruhové grupě \(S¹\), tj. grupě komplexních čísel na jednotkové kružnici s násobením.
Izomorfismus lze zapsat explicitně takto:
Definujeme zobrazení \(φ: SO(2) → S¹\), kde \(S¹ = { e^{iθ} | θ ∈ [0, 2π) }\) je jednotková kružnice v komplexní rovině, a to vztahem
\(φ(R_θ) = cos θ + i sin θ = e^{iθ}\)
Toto zobrazení je bijektivní (každá rotace odpovídá právě jednomu bodu na kružnici) a zachovává operaci (složením rotací odpovídá násobení komplexních čísel), což splňuje definici izomorfismu grup.
Závěr:
Grupa rotací roviny kolem pevného bodu je abelovská (komutativní), spojitá, a její algebraická struktura odpovídá kruhové grupě jednotkových komplexních čísel, což umožňuje využití bohatých nástrojů z komplexní analýzy i teorie grup.
25. Vysvětlete, jak lze grupu matic \( SL(2, \mathbb{R}) \) interpretovat jako grupu geometrických zobrazení a uveďte hlavní vlastnosti této grupy.
Řešení příkladu:
Grupa \( SL(2, \mathbb{R}) \) je množina všech \( 2 \times 2 \) reálných matic s determinantem \(1\):
\( SL(2, \mathbb{R}) = \{ A \in \text{Mat}(2, \mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \} \)
Tato grupa má významnou roli v geometrii a teorii zobrazení, protože reprezentuje speciální lineární transformace, které zachovávají orientaci a plošný obsah v rovině.
Geometrická interpretace:
Každá matice \( A \in SL(2, \mathbb{R}) \) definuje lineární zobrazení z \( \mathbb{R}^2 \) do \( \mathbb{R}^2 \), které nemění orientaci (determinant je kladný) a zachovává plochu (determinant je 1). To znamená, že obrazem jednotného čtverce bude rovnoběžník stejné plochy, ale může být deformován, protáhnut či zkosen.
Grupa \( SL(2, \mathbb{R}) \) není abelovská, protože násobení matic obecně není komutativní.
Hlavní vlastnosti grupy \( SL(2, \mathbb{R}) \):
- Je to Lieova grupa, tedy spojitá grupa s hladkou strukturou, což umožňuje diferenciální geometrické a analytické metody.
- Má důležitý vztah k Möbiovým zobrazením a hyperbolické geometrii.
- Její centrum (prvky, které komutují se všemi ostatními) tvoří pouze matice \( \pm I \).
- Obsahuje podgrupy jako \( SO(2) \) (rotační matice) a další, které reprezentují různé typy geometrických transformací.
Díky svým vlastnostem je \( SL(2, \mathbb{R}) \) klíčová ve studiu symetrií, dynamických systémů, diferenciálních rovnic a kvantové fyziky.
26. Určete a popište grupu všech symetrií pravidelného pětiúhelníku. Vysvětlete strukturu této grupy, její počet prvků a vztah k dihedrální grupě \( D_5 \).
Řešení příkladu:
Pravidelný pětiúhelník má symetrie, které tvoří dihedrální grupu \( D_5 \). Tato grupa obsahuje všechny isometrie, které zachovávají tvar a velikost pětiúhelníku. Její počet prvků je \( 2 \cdot 5 = 10 \).
Struktura grupy \( D_5 \):
Grupa \( D_5 \) se skládá z pěti rotací a pěti zrcadlení (osových symetrií). Rotace zahrnují identitu (rotaci o 0°) a dále rotace o úhly \( \frac{2\pi}{5} \), \( \frac{4\pi}{5} \), \( \frac{6\pi}{5} \) a \( \frac{8\pi}{5} \). Každá rotace je složením předchozích rotací a tvoří podgrupu cyklickou \( C_5 \).
Zrcadlení jsou osové symetrie podle os, které procházejí vrcholy a středy protilehlých stran pětiúhelníku. Každé zrcadlení je inverzní samo sobě a nelze je vyjádřit pouze rotacemi.
Algebraická prezentace \( D_5 \) je pomocí generátorů \( r \) a \( s \) s relacemi:
\( r^5 = e \), \( s^2 = e \), \( s r s = r^{-1} \), kde \( r \) je rotace o \( \frac{2\pi}{5} \) a \( s \) je jedno zrcadlení.
Grupa \( D_5 \) není abelovská, protože rotace a zrcadlení nekomutují. Konkrétně platí, že po aplikaci zrcadlení a rotace v opačném pořadí dostaneme jiný výsledek.
Díky těmto vlastnostem je \( D_5 \) typickým příkladem dihedrální grupy, která modeluje symetrie pravidelných polygonů a má důležité uplatnění v geometrii i teorii grup.
27. Pro zvolený rovinný trojúhelník urči a popiš grupu všech jeho isometrií. Vysvětli, proč je tato grupa izomorfní konkrétní dihedrální grupě.
Řešení příkladu:
Pro rovinný trojúhelník můžeme uvažovat symetrie, které zachovávají jeho tvar a velikost. Tyto symetrie tvoří izometrii trojúhelníku, tedy izometrickou grupu.
Obecně existují dva typy trojúhelníků z hlediska symetrií:
- Obecný (nerovnoramenný) trojúhelník, který nemá žádné osové symetrie kromě identity.
- Rovnoramenný nebo rovnostranný trojúhelník, který má osové symetrie a případně i více rotací.
Pro obecný trojúhelník je grupa izometrií triviální a obsahuje pouze identitu, tedy je izomorfní grupě \( \{ e \} \).
Pro rovnostranný trojúhelník jsou symetrie složeny z rotací o \(0°, 120°, 240°\) a osových zrcadlení podle os procházejících vrcholy. Tato grupa má celkem \(6\) prvků a je izomorfní dihedrální grupě \( D_3 \).
Dihedrální grupa \( D_3 \) má generátory \( r \) (rotace o \(120°\)) a \( s \) (zrcadlení) s relacemi:
\( r^3 = e \), \( s^2 = e \), \( s r s = r^{-1} \).
Geometricky lze tyto symetrie chápat tak, že:
- Rotace jsou složením několika po sobě jdoucích otáček kolem středu trojúhelníku.
- Zrcadlení jsou osové symetrie podle přímek, které procházejí vrcholem a středem protilehlé strany.
Tímto způsobem se izometrická grupa rovnostranného trojúhelníku přesně shoduje se strukturou \( D_3 \), což potvrzuje izomorfismus.
Taková znalost umožňuje analyzovat symetrie trojúhelníku algebraicky a využívat tyto výsledky v aplikacích, jako je teorie molekul nebo krystalografie.
28. Pro daný pravidelný šestiúhelník určete a popište jeho grupu symetrií. Diskutujte podgrupy této grupy a jejich geometrický význam.
Řešení příkladu:
Symetrie pravidelného šestiúhelníku tvoří dihedrální grupu \( D_6 \) o velikosti \(12\) prvků \((6\) rotací a \(6\) zrcadlení\()\). Podobně jako u jiných pravidelných polygonů, \( D_6 \) zahrnuje rotace o úhly \( k \frac{2\pi}{6} \), kde \( k = 0, \ldots, 5 \), a osové symetrie podle přímek, které buď procházejí vrcholy, nebo středy stran.
Geometricky lze říci, že každá symetrie zachovává tvar a velikost šestiúhelníku.
Podgrupy této grupy mohou být například:
- Podgrupa rotací: cyklická grupa \( C_6 \) o 6 prvcích, tvořená rotacemi.
- Podgrupa rotací o \( 180^\circ \) a identity: \( C_2 \), která modeluje jen rotaci o polovinu kruhu.
- Podgrupy generované jednotlivými osovými symetriemi, které mají \(2\) prvky (identita a dané zrcadlení).
Každá podgrupa má geometrický význam – například podgrupa rotací modeluje orientační symetrie bez zrcadlení, zatímco podgrupy obsahující zrcadlení modelují symetrie, které mění orientaci polygonu.
Studium těchto podgrup umožňuje detailní pochopení struktury symetrií a jejich rozdělení na různé typy, což je zásadní například v krystalografii či teorii molekul.
29. Prostorová grupa izometrií krychle – popište její strukturu a charakterizujte její prvky. Vysvětlete, jak se tato grupa liší od grupy symetrií rovinných útvarů.
Řešení příkladu:
Grupa izometrií krychle zahrnuje všechny prostorové pohyby, které zachovávají tvar a velikost krychle. Tato grupa má \(48\) prvků a označuje se jako grupa plochých symetrií kubu, často označovaná jako \( O_h \).
Prvky této grupy zahrnují:
- Rotace kolem os procházejících středy protilehlých stěn o úhly \( 90^\circ \), \( 180^\circ \) a \( 270^\circ \).
- Rotace kolem os procházejících středy protilehlých hran o \( 180^\circ \).
- Rotace kolem os procházejících protilehlými vrcholy o \( 120^\circ \) a \( 240^\circ \).
- Zrcadlení podle rovin symetrie krychle.
- Kompozice předchozích prvků, které zahrnují i inverzi (převrácení).
Grupa \( O_h \) je neabelovská a mnohem složitější než rovinné grupy. Zatímco rovinné symetrie jsou omezeny na dvě dimenze, prostorové symetrie zahrnují i otáčení a zrcadlení v třech dimenzích.
Tato grupa je příkladem tzv. grupy zrcadlových symetrií a je klíčová pro pochopení symetrií v krystalové struktuře, molekulární chemii a fyzice pevných látek.
Významně se liší od grup rovinných útvarů v komplexnosti a rozsahu možných pohybů, což vyžaduje hlubší matematickou analýzu s využitím teorií Lieových grup a reprezentací.
30. Uvažujte grupu rotací a posunutí roviny, známou jako grupa isometrií roviny \( E(2) \). Popište její strukturu a vysvětlete, jak lze tuto grupu rozložit na podgrupy a faktorgrupy.
Řešení příkladu:
Grupa isometrií roviny \( E(2) \) obsahuje všechny pohyby roviny zachovávající vzdálenosti, tedy rotace, posunutí a jejich složení. Algebraicky lze \( E(2) \) popsat jako součin grupy posunutí \( T(2) \) a grupy rotací \( SO(2) \):
\( E(2) \cong T(2) \times SO(2) \)
Zde \( T(2) \) je abelovská grupa všech posunutí v rovině, která je izomorfní \( \mathbb{R}^2 \) s operací sčítání vektorů, a \( SO(2) \) je grupa rotací kolem pevného bodu (obvykle počátku).
Struktura \( E(2) \):
– Podgrupa \( T(2) \) tvoří normální podgrupu grupy \( E(2) \), protože posunutí jsou invariantní vůči složení s rotacemi z hlediska grupové struktury.
– Podgrupa \( SO(2) \) není normální v \( E(2) \), ale její prvky tvoří rotace kolem pevného bodu.
– Součin znamená, že operace v \( E(2) \) odpovídá složení posunutí a rotace, přičemž rotace působí na posunutí jako automorfismus:
\( (r_1, t_1) \cdot (r_2, t_2) = (r_1 r_2, t_1 + r_1 t_2) \), kde \( r_i \in SO(2), t_i \in T(2) \).
Tato struktura umožňuje rozklad komplexních isometrií na jednodušší prvky, což je zásadní pro analýzu pohybů v rovině.
Faktorgrupa \( E(2)/T(2) \) je izomorfní grupě \( SO(2) \), což reflektuje, že po „odstranění“ posunutí zůstávají pouze rotace.
Tato analýza je důležitá například v robotice, mechanice a fyzice, kde je nutné modelovat pohyby v rovině a jejich algebraické vlastnosti.
31. Určete grupu všech izometrií rovinného čtverce a podrobně popište její algebraickou strukturu. Dále vysvětlete, jak se tato grupa vztahuje k dihedrální grupě \(D₄\).
Řešení příkladu:
Čtverec je pravidelný čtyřúhelník, jehož symetrie tvoří dihedrální grupu \(D₄\). Tato grupa má \(8\) prvků: \(4\) rotace a \(4\) osové symetrie (zrcadlení).
Nejprve si definujme základní prvky grupy:
- Identita \( e \), která zachovává všechny body beze změny.
- Rotace \( r \) o \(90°\) ve směru hodinových ručiček kolem středu čtverce.
- Zrcadlení \( s \) podle osy procházející vrcholy nebo středy stran.
Prvky grupy lze vyjádřit jako: \( \{ e, r, r^2, r^3, s, sr, sr^2, sr^3 \} \).
Relace mezi generátory jsou:
\( r^4 = e \), \( s^2 = e \), \( s r s = r^{-1} = r^3 \).
Tyto relace určují úplnou strukturu grupy \(D₄\). Rotace tvoří podgrupu cyklickou \(C₄\) o \(4\) prvcích. Zrcadlení mají pořadí \(2\) a transformují rotace pomocí konjugace.
Geometricky rotace mění orientaci čtverce, ale zachovávají orientaci prostoru, zatímco zrcadlení orientaci mění (jsou neprvkové). To znamená, že \(D₄\) není abelovská, neboť například \( s r \neq r s \).
Dihedrální grupa \(D₄\) modeluje všechny symetrie čtverce a je významná pro studium symetrií v rovinné geometrii i v aplikacích jako je krystalografie nebo teorie molekul.
Podgrupy \(D₄\) jsou například:
- Podgrupa rotací \(C₄\).
- Podgrupy generované jednotlivými zrcadleními.
- Triviální podgrupa obsahující pouze identitu.
Tyto podgrupy pomáhají rozkládat symetrie na jednodušší komponenty a analyzovat jejich vlastnosti samostatně.
32. Určete a popište grupu všech izometrií rovinného rovnoramenného trojúhelníku. Vysvětlete, jak se liší od grupy izometrií rovnostranného trojúhelníku a obecného trojúhelníku.
Řešení příkladu:
Rovnoramenný trojúhelník má dvě strany stejné délky a jednu odlišnou, což implikuje existenci jedné osy symetrie. Tato osa prochází vrcholem mezi dvěma shodnými stranami a středem protilehlé strany.
Grupa všech izometrií tohoto trojúhelníku obsahuje:
- Identitu \( e \).
- Zrcadlení \( s \) podle osy symetrie.
- Rotaci \( r \) o \(0°\) (identitu), protože jiné rotace zachovávající tvar neexistují kvůli nerovnosti stran.
Tato grupa tedy obsahuje pouze dva prvky \( \{ e, s \} \), které splňují relace \( e^2 = e \), \( s^2 = e \), a je izomorfní grupě \( C_2 \).
Pro rovnostranný trojúhelník, kde všechny strany i úhly jsou shodné, existují tři osy symetrie a tři rotace, což vytváří dihedrální grupu \(D₃\) o \(6\) prvcích.
Obecný trojúhelník, který nemá žádné osové symetrie ani speciální rotace kromě identity, má grupu izometrií triviální s jediným prvkem.
Tento rozdíl ukazuje, jak geometrické vlastnosti ovlivňují algebraickou strukturu grupy izometrií.
Analýza grupy izometrií rovnoramenného trojúhelníku je klíčová pro pochopení symetrií v geometrii a aplikacích, například při studiu rovnováhy nebo rezonancí v mechanice a fyzice.
33. Pro zvolený pravidelný osmiúhelník určete grupu všech jeho symetrií. Popište detailně, jaké podgrupy tato grupa obsahuje a jaký je jejich geometrický význam.
Řešení příkladu:
Pravidelný osmiúhelník má symetrie tvořící dihedrální grupu \(D₈\) s \(16\) prvky. Tyto prvky se dělí na:
- Rotace o násobky úhlu \( \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \), tedy \(0°, 45°, 90°, …, 315°\).
- Zrcadlení podle os procházejících vrcholy a středy stran.
Grupa \(D₈\) je generována rotací \( r \) a zrcadlením \( s \) s relacemi:
\( r^8 = e \), \( s^2 = e \), \( s r s = r^{-1} = r^7 \).
Podgrupy \(D₈\) zahrnují:
- Cyklickou podgrupu rotací \( C_8 = \{ e, r, r^2, \ldots, r^7 \} \).
- Podgrupy generované rotacemi o větší úhly, například \( C_4 = \{ e, r^2, r^4, r^6 \} \).
- Podgrupy tvořené jednotlivými zrcadleními a identitou, což jsou podgrupy o \(2\) prvcích.
- Podgrupy izomorfní \(D₄\), které odpovídají symetriím čtverce v rámci osmiúhelníku.
Geometrický význam těchto podgrup spočívá v různých typech symetrií polygonu – některé zachovávají orientaci (rotace), jiné ji mění (zrcadlení). Studium těchto podgrup umožňuje rozkládat komplexní symetrie na jednodušší prvky, což je důležité v aplikacích jako krystalografie nebo design vzorů.
Pochopení struktury \(D₈\) a jejích podgrup je důležité i pro abstraktní teorii grup a její aplikace v geometrii a fyzice.
34. Popište grupu všech izometrií rovinné elipsy. Vysvětlete, proč je tato grupa odlišná od grupy symetrií pravidelných polygonů a jaké prvky obsahuje.
Řešení příkladu:
Elipsa v rovině má pouze dvě osy symetrie: hlavní osu a vedlejší osu, které jsou vzájemně kolmé. Symetrie elipsy tedy tvoří grupu o čtyřech prvcích:
- Identitu \( e \).
- Zrcadlení podle hlavní osy \( s_1 \).
- Zrcadlení podle vedlejší osy \( s_2 \).
- Rotaci o \( 180^\circ \) \( r \), která je složením obou zrcadlení.
Tato grupa je izomorfní grupě Kleinovy čtyřky \( V_4 = \{ e, a, b, ab \} \), což je abelovská grupa.
Na rozdíl od symetrií pravidelných polygonů, které mají mnohem bohatší strukturu (dihedrální grupy), elipsa nemá symetrie rotace o jiné úhly než \( 180^\circ \), protože by deformovaly tvar.
Toto omezení vyplývá z geometrických vlastností elipsy – osu symetrie musí být zachována, jinak by obraz elipsy nebyl shodný s původním tvarem.
Studium grupy symetrií elipsy je důležité v geometrii, optice a mechanice, kde elipsy modelují například dráhy částic nebo čočky.
35. Popište grupu izometrií rovinného lichoběžníku s rovnoběžnými stranami a bez os symetrie. Vysvětlete, proč je tato grupa triviální a jaké to má důsledky pro geometrii tohoto útvaru.
Řešení příkladu:
Lichoběžník s rovnoběžnými stranami, který nemá žádné osy symetrie a není rovnoramenný, má nejmenší možnou grupu izometrií. Tuto grupu tvoří pouze identita \( e \), protože žádná jiná izometrie nemůže zachovat jeho tvar beze změny.
Absence os symetrie znamená, že zrcadlení nebo rotace (kromě identity) deformují lichoběžník, takže nelze považovat žádný z těchto pohybů za symetrii.
Taková grupa je triviální a neobsahuje žádné podgrupy kromě triviální.
Toto má důsledky v geometrii, protože lichoběžník tohoto typu není invariantní vůči žádným ne-triviálním pohybům, což komplikuje jeho analýzu a použití v modelování.
Studium této situace ukazuje, jak absence symetrií vede k minimální grupě izometrií, což je důležité pro pochopení geometrických vlastností obecnějších polygonů a jejich symetrických vlastností.
36. Určete grupu všech geometrických zobrazení rovnostranného trojúhelníku, která ho zachovávají.
Řešením je identifikace všech izometrií rovinného prostoru, které zachovávají daný rovnostranný trojúhelník.
Rovnostranný trojúhelník má \( 3 \) vrcholy a \( 3 \) strany stejné délky, což mu dává vysokou míru symetrie. Geometrická zobrazení, která tento trojúhelník zachovávají, tvoří tzv. dihedrální grupu řádu \( 6 \), značenou jako \( D_3 \).
Obsahuje tyto prvky:
- Identita (označíme jako \( e \)) – nezmění trojúhelník.
- Rotace o \( 120^\circ \) a \( 240^\circ \) kolem středu trojúhelníku (označíme jako \( r \) a \( r^2 \)).
- Zrcadlení podle tří os symetrie procházejících vrcholem a středem protější strany (označíme jako \( s_1, s_2, s_3 \)).
Grupové operace odpovídají skládání těchto zobrazení. Grupa \( D_3 \) je nelineární, nekomutativní.
Struktura této grupy je:
- \( r^3 = e \),
- \( s_i^2 = e \) pro každé zrcadlení,
- \( s_1 \cdot r = s_2 \), atd.
Grupa \( D_3 \) je fundamentální pro analýzu symetrií v rovnostranných trojúhelnících, například v krystalografii nebo teorii skupin v geometrii.
37. Určete grupu všech symetrií čtverce v rovině a popište její strukturu.
Čtverec má \(4\) strany stejné délky a \(4\) pravé úhly, což znamená vysoký stupeň symetrie.
Grupa všech izometrií, které čtverec zachovávají, je dihedrální grupa řádu \(8\), značená \( D_4 \).
Obsahuje:
- Identitu \( e \).
- Rotace o \( 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ \) kolem středu čtverce (označíme jako \( r, r^2, r^3 \)).
- Zrcadlení podle dvou os procházejících středy protějších stran a dvou úhlopříček (označíme jako \( s_1, s_2, d_1, d_2 \)).
Grupové operace odpovídají skládání zobrazení. Grupa není komutativní.
Tabulka grupy ukazuje, že:
- \( r^4 = e \),
- \( s_i^2 = e \),
- \( s_1 \cdot r = d_2 \), atd.
Grupa \( D_4 \) je velmi důležitá v designu a konstrukci pravidelných objektů, například v architektuře nebo v teorii dlažeb.
38. Určete grupu všech symetrií pravidelného pětiúhelníku v rovině.
Pravidelný pětiúhelník má \(5\) stejných stran a úhlů. Jeho grupa symetrií je dihedrální grupa řádu \(10\), značená jako \( D_5 \).
Obsahuje:
- Identitu \( e \).
- Rotace o \( 72^\circ, 144^\circ, 216^\circ, 288^\circ \) (označené \( r, r^2, r^3, r^4 \)).
- \(5\) os zrcadlení – každá prochází vrcholem a středem protější strany (označíme jako \( s_1, \ldots, s_5 \)).
Vlastnosti grupy:
- \( r^5 = e \),
- \( s_i^2 = e \),
- \( s_1 \cdot r = s_2 \), atd.
Tato grupa je nekomutativní. Je důležitá v teorii symetrií v přírodě, např. v biologii (tvar květů, hvězdic apod.).
39. Najděte grupu všech geometrických zobrazení pravidelného šestiúhelníku, která ho zachovávají.
Pravidelný šestiúhelník má \(6\) stejných stran a \(6\) os symetrie. Jeho grupa symetrií je dihedrální grupa řádu \(12\), značená \( D_6 \).
Obsahuje:
- Identitu \( e \).
- Rotace o násobky \( 60^\circ \): \( r, r^2, \ldots, r^5 \).
- Zrcadlení podle os symetrie – tři procházejí vrcholy a tři středy stran (\( s_1, \ldots, s_6 \)).
Vlastnosti:
- \( r^6 = e \),
- \( s_i^2 = e \),
- Grupa je nekomutativní.
Grupa \( D_6 \) modeluje důležité struktury v molekulární chemii (např. benzen), v krystalografii a v umění.
40. Určete grupu symetrií pravidelného osmiúhelníku a popište její strukturu.
Pravidelný osmiúhelník má \(8\) stran a \(8\) os symetrie. Jeho grupa symetrií je dihedrální grupa řádu \(16\), značená \( D_8 \).
Obsahuje:
- Identitu \( e \).
- Rotace o násobky \( 45^\circ \): \( r, r^2, \ldots, r^7 \).
- Zrcadlení podle \(8\) os – \(4\) procházející vrcholy naproti sobě a \(4\) mezi středy stran.
Vlastnosti:
- \( r^8 = e \),
- \( s_i^2 = e \),
- \( s_1 \cdot r = s_2 \), atd.
Tato grupa je výborným příkladem pro pochopení symetrií polygonů vyšších řádů a uplatňuje se v návrhu dlažeb, mozaik a také v teorii fraktálů.