1. Určete, zda množina \( A = \{1, 2, 3\} \) je podmnožinou množiny \( B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \).
Řešení příkladu:
Množina \( A \) je podmnožinou množiny \( B \), pokud každý prvek \( A \) je zároveň prvkem \( B \). V tomto případě všechny prvky množiny \( A \) (1, 2, 3) jsou také prvky množiny \( B \), tedy \( A \subseteq B \).
2. Určete, zda množiny \( A = \{2, 4, 6\} \) a \( B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) mají společné prvky.
Řešení příkladu:
Množiny mají společné prvky, pokud existují prvky, které jsou v obou množinách. V tomto případě mají množiny \( A \) a \( B \) společné prvky 2 a 4. Tedy jejich průnik je \( A \cap B = \{2, 4\} \).
3. Určete, zda je množina \( A = \{1, 2, 3\} \) disjunktní s množinou \( B = \{4, 5, 6\} \).
Řešení příkladu:
Množiny jsou disjunktní, pokud nemají žádné společné prvky. Množiny \( A \) a \( B \) nemají žádné společné prvky, tedy jejich průnik je prázdný: \( A \cap B = \emptyset \). Tedy jsou disjunktní.
4. Určete sjednocení množin \( A = \{1, 2\} \) a \( B = \{2, 3, 4\} \).
Řešení příkladu:
Sjednocení množin \( A \cup B \) je množina všech prvků, které jsou v \( A \), \( B \), nebo v obou. Tedy: \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \).
5. Určete, zda množina \( A = \{1, 2, 3\} \) je podmnožinou množiny \( B = \{1, 2, 3, 4\} \).
Řešení příkladu:
Množina \( A \) je podmnožinou množiny \( B \), protože všechny prvky množiny \( A \) (1, 2, 3) jsou obsaženy v množině \( B \). Tedy \( A \subseteq B \).
6. Určete rozdíl množin \( A = \{1, 2, 3\} \) a \( B = \{2, 3, 4\} \).
Řešení příkladu:
Rozdíl množin \( A – B \) obsahuje prvky, které jsou v množině \( A \), ale nejsou v množině \( B \). Tedy: \( A – B = \{1\} \).
7. Určete, zda množina \( A = \{1, 2, 3\} \) je rovna množině \( B = \{3, 2, 1\} \).
Řešení příkladu:
Množina \( A \) je rovna množině \( B \), pokud mají obě stejné prvky. V tomto případě mají obě množiny \( A \) a \( B \) stejné prvky, tedy \( A = B \).
8. Určete, zda množiny \( A = \{a, b, c\} \) a \( B = \{c, a, b\} \) jsou shodné.
Řešení příkladu:
Množiny \( A \) a \( B \) jsou shodné, protože obsahují stejné prvky, bez ohledu na jejich pořadí. Tedy \( A = B \).
9. Určete kartézský součin množin \( A = \{1, 2\} \) a \( B = \{a, b\} \).
Řešení příkladu:
Kartézský součin \( A \times B \) je množina všech uspořádaných dvojic, kde první prvek je z \( A \) a druhý prvek z \( B \). Tedy: \( A \times B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\} \).
10. Určete symetrický rozdíl množin \( A = \{1, 2, 3\} \) a \( B = \{3, 4, 5\} \).
Řešení příkladu:
Symetrický rozdíl množin \( A \Delta B \) obsahuje prvky, které jsou v jedné z množin, ale ne v obou. Tedy: \( A \Delta B = \{1, 2, 4, 5\} \).
11. Určete, zda je množina \( A = \{ 2, 4, 6 \} \) podmnožinou množiny \( B = \{ 2, 4, 6, 8, 10 \} \).
Řešení příkladu:
Každý prvek množiny \( A \) musí být zároveň prvkem množiny \( B \).
Výrok je pravdivý, protože \( 2, 4, 6 \in B \), tedy \( A \subseteq B \).
12. Určete, zda je množina \( A = \{ 1, 2, 3 \} \) podmnožinou množiny \( B = \{ 1, 2, 4, 5 \} \).
Řešení příkladu:
Množina \( A \) obsahuje prvek \( 3 \), který není v množině \( B \), takže \( A \) není podmnožinou \( B \).
Výrok je nepravdivý, protože \( A \nsubseteq B \).
13. Určete, zda je množina \( A = \{ x \in \mathbb{Z} | x \text{ je sudé} \} \) podmnožinou množiny \( B = \{ x \in \mathbb{Z} | x \text{ je dělitelné 2} \} \).
Řešení příkladu:
Každý prvek množiny \( A \) (sudé číslo) je zároveň prvkem množiny \( B \) (dělitelná 2), takže \( A \subseteq B \).
14. Určete průnik množin \( A = \{ 2, 4, 6 \} \) a \( B = \{ 4, 6, 8 \} \).
Řešení příkladu:
Průnik množin \( A \cap B = \{ 4, 6 \} \), protože to jsou společné prvky obou množin.
15. Určete sjednocení množin \( A = \{ 1, 2, 3 \} \) a \( B = \{ 3, 4, 5 \} \).
Řešení příkladu:
Sjednocení množin \( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \), protože obsahuje všechny prvky z obou množin, bez opakování.
16. Určete rozdíl množin \( A = \{ 2, 4, 6, 8 \} \) a \( B = \{ 4, 6, 10 \} \).
Řešení příkladu:
Rozdíl množin \( A – B = \{ 2, 8 \} \), protože to jsou prvky, které jsou v \( A \), ale ne v \( B \).
17. Určete, zda množina \( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) je skutečně podmnožinou množiny \( B = \{ x \in \mathbb{N} | x \leq 5 \} \).
Řešení příkladu:
Všechny prvky množiny \( A \) jsou menší nebo rovny 5, takže \( A \subseteq B \).
18. Určete, zda množina \( A = \{ 2, 4, 6, 8 \} \) je podmnožinou množiny \( B = \{ 2, 3, 4, 5, 6 \} \).
Řešení příkladu:
Množina \( A \) obsahuje prvek \( 8 \), který není v \( B \), takže \( A \nsubseteq B \).
19. Určete množinu všech prvků, které patří do \( A = \{ 1, 2, 3 \} \) nebo do \( B = \{ 3, 4, 5 \} \), ale ne do \( A \cap B \).
Řešení příkladu:
Požadovaná množina je \( (A \cup B) – (A \cap B) = \{ 1, 2, 4, 5 \} \), protože to jsou prvky, které jsou buď v \( A \), nebo v \( B \), ale ne v jejich průniku.
20. Určete rozdíl množin \( A = \{ 1, 3, 5, 7 \} \) a \( B = \{ 2, 4, 6, 8 \} \).
Řešení příkladu:
Rozdíl množin \( A – B = \{ 1, 3, 5, 7 \} \), protože žádný prvek množiny \( A \) není v množině \( B \), takže \( A \) zůstává beze změny.
21. Určete sjednocení množin \( A = \{ 1, 2, 3 \} \) a \( B = \{ 3, 4, 5 \} \).
Řešení příkladu:
Sjednocení množin \( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \), protože to jsou všechny prvky obou množin, bez opakování.
22. Určete průnik množin \( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) a \( B = \{ 3, 4, 5, 6 \} \).
Řešení příkladu:
Průnik množin \( A \cap B = \{ 3, 4 \} \), protože to jsou společné prvky obou množin.
23. Určete rozdíl množin \( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) a \( B = \{ 3, 4, 5, 6 \} \).
Řešení příkladu:
Rozdíl množin \( A – B = \{ 1, 2 \} \), protože to jsou prvky, které jsou v \( A \), ale ne v \( B \).
24. Určete rozdíl množin \( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) a \( A = \{ 2, 3 \} \).
Řešení příkladu:
Rozdíl množin \( B – A = \{ 1, 4, 5 \} \), protože to jsou prvky, které jsou v \( B \), ale ne v \( A \).
25. Určete symetrický rozdíl množin \( A = \{ 1, 2, 3 \} \) a \( B = \{ 3, 4, 5 \} \).
Řešení příkladu:
Symetrický rozdíl množin \( A \Delta B = \{ 1, 2, 4, 5 \} \), protože to jsou prvky, které jsou v \( A \) nebo v \( B \), ale ne v obou.
26. Určete sjednocení množin \( A = \{ 1, 2, 3 \} \), \( B = \{ 2, 3, 4 \} \) a \( C = \{ 3, 4, 5 \} \).
Řešení příkladu:
Sjednocení množin \( A \cup B \cup C = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \), protože to jsou všechny prvky z každé množiny bez opakování.
27. Určete množinu všech prvků, které patří do \( A = \{ 1, 2, 3 \} \), nebo do \( B = \{ 3, 4, 5 \} \), ale ne do \( A \cap B \).
Řešení příkladu:
Požadovaná množina je \( (A \cup B) – (A \cap B) = \{ 1, 2, 4, 5 \} \), protože to jsou prvky, které jsou buď v \( A \), nebo v \( B \), ale ne v jejich průniku.
28. Určete, zda množina \( A = \{ 2, 4, 6 \} \) je podmnožinou množiny \( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \).
Řešení příkladu:
Všechny prvky množiny \( A \) jsou zároveň prvky množiny \( B \), takže \( A \subseteq B \).
29. Určete sjednocení množin \( A = \{ 1, 3, 5 \} \) a \( B = \{ 2, 4, 6 \} \).
Řešení příkladu:
Sjednocení množin \( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \), protože to jsou všechny prvky obou množin bez opakování.
30. Určete množinu všech prvků, které patří do \( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) nebo do \( B = \{ 3, 4, 5, 6 \} \), ale ne do jejich průniku.
Řešení příkladu:
Požadovaná množina je \( (A \cup B) – (A \cap B) = \{ 1, 2, 5, 6 \} \), protože to jsou prvky, které jsou v \( A \) nebo v \( B \), ale ne v jejich průniku.
