Inverzní matice

Řešení příkladu:

Jedná se o čtvercovou matici řádu 2. Inverzní matici vypočítáme pomocí vzorce:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

Kde \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Nejprve spočítáme determinant:

\[ \det(A) = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5 \]

Dosadíme do vzorce:

\[ A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Rozšíříme matici \( A \) o jednotkovou matici a použijeme úpravy řádků:

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme 2× první řádek od třetího:

\[ R_3 \leftarrow R_3 – 2R_1 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Sečteme řádky 2 a 3:

\[ R_3 \leftarrow R_3 + R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 1 & 1 \end{array} \right) \]

Upravíme třetí řádek:

\[ R_3 \leftarrow \frac{1}{2} R_3 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right) \]

Odečteme třetí řádek od prvního:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – R_3 \Rightarrow (1, 2, 0), \quad \text{pravá: } (1 + 1, 0 – \frac{1}{2}, 0 – \frac{1}{2}) = (2, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) \]

Odečteme 2× druhý řádek od prvního:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – 2R_2 \Rightarrow (1, 0, 0), \quad \text{pravá: } (2, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) – (0, 2, 0) = (2, -\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}) \]

Výsledná inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -\frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

U diagonální matice spočívá inverze v tom, že každý prvek na diagonále se nahradí převrácenou hodnotou, pokud jsou všechny prvky nenulové:

\[ D^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

U horní trojúhelníkové matice platí:

\[ U^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a d} \\ 0 & \frac{1}{d} \end{pmatrix} \quad \text{kde } a = 2, b = 3, d = 4 \]

Dosadíme:

\[ U^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{8} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice \( A \):

\[ \det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 0 – 4 \cdot 6) – 2 \cdot (0 \cdot 0 – 4 \cdot 5) + 3 \cdot (0 \cdot 6 – 1 \cdot 5) = 1 \cdot (-24) – 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 – 15 = 1 \]

Determinant je \( \det(A) = 1 \), takže matice je regulární a má inverzi.

Vypočítáme matici minorů a poté kofaktorů (alternující znaménka):

• \( C_{11} = \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 6 = -24 \)
• \( C_{12} = -\det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = -(0 \cdot 0 – 4 \cdot 5) = -(-20) = 20 \)
• \( C_{13} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 = -5 \)
• \( C_{21} = -\det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) = -(-18) = 18 \)
• \( C_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15 \)
• \( C_{23} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 6 – 2 \cdot 5) = – (6 – 10) = 4 \)
• \( C_{31} = \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5 \)
• \( C_{32} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -4 \)
• \( C_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1 \)

Matice kofaktorů je:

\[ \text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Adjungovanou matici dostaneme transpozicí matice kofaktorů:

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Protože \( \det(A) = 1 \), platí:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \]

Inverzní matice je tedy:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Matice 2×2 má inverzi pouze tehdy, když její determinant není nulový. Nejprve spočítáme determinant:

\[ \det(A) = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 2 = 24 – 14 = 10 \]

Protože \( \det(A) = 10 \ne 0 \), matice je regulární. Inverzi matice 2×2 vypočítáme podle vzorce:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

Dosazením hodnot z matice:

\[ A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve sestavíme rozšířenou matici \( (A | I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme 2× první řádek od třetího:

\[ R_3 \leftarrow R_3 – 2R_1 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Sečteme druhý a třetí řádek:

\[ R_3 \leftarrow R_3 + R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 1 & 1 \end{array} \right) \]

Vydělíme třetí řádek dvěma:

\[ R_3 \leftarrow \frac{1}{2} R_3 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0.5 & 0.5 \end{array} \right) \]

Odečteme třetí řádek od prvního:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – R_3 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 2 & -0.5 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0.5 & 0.5 \end{array} \right) \]

Odečteme 2× druhý řádek od prvního:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – 2R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -2.5 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0.5 & 0.5 \end{array} \right) \]

Výsledná inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -2.5 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Sestavíme rozšířenou matici \( (A | I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme 5× první řádek od třetího:

\[ R_3 \leftarrow R_3 – 5R_1 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Sečteme 4× druhý řádek a třetí:

\[ R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme 3× třetí řádek od prvního a 4× třetí řádek od druhého:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – 3R_3, \quad R_2 \leftarrow R_2 – 4R_3 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 16 & -12 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme 2× druhý řádek od prvního:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – 2R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array} \right) \]

Inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Spočítáme determinant:

\[ \det(A) = 2 \cdot 2 – 4 \cdot 1 = 4 – 4 = 0 \]

Protože \( \det(A) = 0 \), matice není regulární, a tedy není invertovatelná.

Řešení příkladu:

Sestavíme rozšířenou matici \( (A | I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 3 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

První krok: uděláme z prvního prvku jednotku, vydělíme první řádek třemi:

\[ R_1 \leftarrow \frac{1}{3} R_1 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme 2× první řádek od druhého:

\[ R_2 \leftarrow R_2 – 2R_1 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{10}{3} & -\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Vydělíme druhý řádek číslem \( -\frac{10}{3} \):

\[ R_2 \leftarrow R_2 \cdot \left( -\frac{3}{10} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme odpovídající násobky druhého řádku od prvního a třetího:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – \frac{2}{3} R_2, \quad R_3 \leftarrow R_3 – R_2 \]

Dostaneme:

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} – \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} & 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{5} & \frac{3}{10} & 1 \end{array} \right) \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} – \frac{2}{15} & \frac{1}{5} & 0 \\ -\frac{1}{5} & \frac{3}{10} & 1 \\ \frac{1}{5} & -\frac{3}{10} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{15} & \frac{1}{5} & 0 \\ -\frac{1}{5} & \frac{3}{10} & 1 \\ \frac{1}{5} & -\frac{3}{10} & 0 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Sestavíme rozšířenou matici \( (A | I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme 2× první řádek od třetího:

\[ R_3 \leftarrow R_3 – 2R_1 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Sečteme druhý řádek a třetí:

\[ R_3 \leftarrow R_3 + R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 1 & 1 \end{array} \right) \]

Vydělíme třetí řádek dvěma:

\[ R_3 \leftarrow \frac{1}{2} R_3 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right) \]

Odečteme první řádek mínus třetí řádek a druhý řádek beze změny:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – R_3 \Rightarrow R_1 = (1, 2, 0 | 2, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) \]

Odečteme 2× druhý řádek od prvního:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – 2R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -2.5 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right) \]

Tedy inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -2.5 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant:

\[ \det(A) = 1 \cdot (-1) – 1 \cdot 1 = -2 \]

Protože \( \det(A) \neq 0 \), matice má inverzi. Inverzní matice se spočítá podle vzorce:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

\[ A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Sestavíme rozšířenou matici \( (A | I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Prohodíme první a druhý řádek:

\[ R_1 \leftrightarrow R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Vydělíme druhý řádek dvěma:

\[ R_2 \leftarrow \frac{1}{2} R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme druhý řádek od třetího:

\[ R_3 \leftarrow R_3 – R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Vydělíme třetí řádek \(-\frac{1}{2}\):

\[ R_3 \leftarrow -2R_3 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array} \right) \]

Odečteme odpovídající násobky třetího řádku od druhého:

\[ R_2 \leftarrow R_2 – \frac{1}{2}R_3 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array} \right) \]

Inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant:

\[ \det(A) = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 2 = 24 – 14 = 10 \]

Protože \( \det(A) \neq 0 \), matice je regulární a má inverzi. Inverzní matice se vypočítá podle vzorce:

\[ A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Rozšířená matice \( (A | I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Nejprve upravíme první řádek, aby měl vedoucí prvek 1. Vydělíme první řádek dvěma:

\[ R_1 \leftarrow \frac{1}{2}R_1 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1.5 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme 4× první řádek od druhého a 1× od třetího:

\[ R_2 \leftarrow R_2 – 4R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 – R_1 \]

Dostaneme:

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1.5 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Vydělíme druhý řádek -5:

\[ R_2 \leftarrow -\frac{1}{5}R_2 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1.5 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0.4 & -0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme 1.5× druhý řádek od prvního a 0.5× od třetího:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – 1.5R_2, \quad R_3 \leftarrow R_3 – 0.5R_2 \]

Po úpravách:

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -0.1 & 0.3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0.4 & -0.2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -0.7 & 0.1 & 1 \end{array} \right) \]

Vydělíme třetí řádek -1:

\[ R_3 \leftarrow -1R_3 \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -0.1 & 0.3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0.4 & -0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0.7 & -0.1 & -1 \end{array} \right) \]

Sečteme třetí řádek s druhým a odečteme od prvního:

\[ R_1 \leftarrow R_1 + R_3, \quad R_2 \leftarrow R_2 – R_3 \]

Finální tvar:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.2 & -1 \\ -0.3 & -0.1 & 1 \\ 0.7 & -0.1 & -1 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve vytvoříme rozšířenou matici \( (A \mid I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Krok 1: \( R_1 \leftarrow \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow (1, \frac{1}{2}, 0 \mid \frac{1}{2}, 0, 0) \)

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Krok 2: \( R_2 \leftarrow R_2 – R_1 \Rightarrow (0, \frac{3}{2}, 1 \mid -\frac{1}{2}, 1, 0) \)

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Krok 3: \( R_2 \leftarrow \frac{2}{3} R_2 \Rightarrow (0,1,\frac{2}{3} \mid -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0) \)

Krok 4: \( R_3 \leftarrow R_3 – R_2 \Rightarrow (0,0,\frac{4}{3} \mid \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, 1) \)

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 1 \\ \end{array} \right) \]

Krok 5: \( R_3 \leftarrow \frac{3}{4} R_3 \Rightarrow (0,0,1 \mid \frac{1}{4}, -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}) \)

Krok 6: \( R_2 \leftarrow R_2 – \frac{2}{3} R_3 \Rightarrow (0,1,0 \mid -\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2}) \)

Krok 7: \( R_1 \leftarrow R_1 – \frac{1}{2} R_2 \Rightarrow (1,0,0 \mid \frac{3}{4}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) \)

Výsledná inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Sestavíme rozšířenou matici (A | I):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Pomocí Gaussovy-Jordanovy eliminace upravujeme na tvar (I | A⁻¹):

Krok 1: \( R_1 \leftarrow \frac{1}{2} R_1 \)

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Krok 2: \( R_2 \leftarrow R_2 – R_1 \)

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1.5 & 1 & -0.5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Krok 3: \( R_2 \leftarrow \frac{2}{3} R_2 \)

\[ R_2 = (0,1, \frac{2}{3} \mid -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0) \]

Krok 4: \( R_3 \leftarrow R_3 – R_2 \)

\[ R_3 = (0, 0, \frac{4}{3} \mid \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, 1) \]

Krok 5: \( R_3 \leftarrow \frac{3}{4} R_3 \)

\[ R_3 = (0, 0, 1 \mid \frac{1}{4}, -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}) \]

Nyní zpětná substituce až k jednotkové matici:

Krok 6: \( R_2 \leftarrow R_2 – \frac{2}{3} R_3 \), \( R_1 \leftarrow R_1 – 0.5 R_2 \)

Po všech úpravách získáme inverzní matici:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice:

\( \det(A) = (4)(2) – (3)(3) = 8 – 9 = -1 \)

Protože \( \det(A) \ne 0 \), matice má inverzi. Inverzní matice se vypočítá jako:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Sestavíme rozšířenou matici (A | I):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Odečteme 1× třetí řádek od druhého:

\[ R_2 \leftarrow R_2 – R_3 \Rightarrow (0,1,0 \mid 0,1,-1) \]

Odečteme 1× třetí řádek od prvního:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – R_3 \Rightarrow (1,1,0 \mid 1,0,-1) \]

Odečteme 1× druhý řádek od prvního:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – R_2 \Rightarrow (1,0,0 \mid 1,-1,0) \]

Výsledná inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Rozšířená matice (A | I) je:

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 3 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Krok 1: \( R_1 \leftarrow \frac{1}{3} R_1 \)

Krok 2: \( R_2 \leftarrow R_2 + \frac{1}{3} R_1 \)

Krok 3: \( R_2 \leftarrow \text{normalizace} \Rightarrow R_2 = (0,1,\frac{8}{9} \mid \frac{1}{3},\frac{8}{9},0) \)

Krok 4: \( R_3 \leftarrow R_3 + R_2 \) a pak normalizujeme \( R_3 \)

Zpětnými substitucemi se dostaneme až k jednotkové matici vlevo a inverzi vpravo:

Výsledná inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{11}{18} & \frac{4}{9} & \frac{1}{6} \\ \frac{4}{9} & \frac{8}{9} & \frac{4}{9} \\ \frac{1}{6} & \frac{4}{9} & \frac{11}{18} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Determinant matice je:

\( \det(A) = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5 \)

Inverzní matice se vypočítá podle vzorce:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Výsledkem je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Rozšířená matice \( (A \mid I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Krok 1: \( R_2 \leftarrow R_2 – 4 \cdot R_3 \Rightarrow (0,1,0 \mid 0,1,-4) \)

Krok 2: \( R_1 \leftarrow R_1 – 3 \cdot R_3 \Rightarrow (1,2,0 \mid 1,0,-3) \)

Krok 3: \( R_1 \leftarrow R_1 – 2 \cdot R_2 \Rightarrow (1,0,0 \mid 1,-2,5) \)

Výsledná inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Rozšířená matice \( (A \mid I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Gaussovou eliminací upravujeme matici na jednotkovou vlevo:

Po všech krocích dostaneme:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Matice je tzv. permutační. Její determinant je:

\( \det(A) = -1 \ne 0 \Rightarrow \) inverze existuje.

Inverzní matice k \( A \) je právě \( A \) samotná:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Ověříme výpočtem:

\[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Protože je matice horní trojúhelníková a má nenulové diagonální prvky, inverzi má.

Začneme od třetího řádku (zpětná substituce):

\( R_3: \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \) inverzní prvek \( = \frac{1}{2} \)

Postupnými kroky získáme inverzní matici:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & -\frac{2}{15} & \frac{1}{30} \\ 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Rozšířená matice \( (A \mid I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Krok 1: \( R_3 \leftarrow R_3 – 2 \cdot R_1 \Rightarrow (0, -1, 2 \mid -2, 0, 1) \)

Krok 2: \( R_3 \leftarrow R_3 + R_2 \Rightarrow (0, 0, 3 \mid -2, 1, 1) \)

Krok 3: \( R_3 \leftarrow \frac{1}{3} R_3 \Rightarrow (0, 0, 1 \mid -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \)

Krok 4: \( R_2 \leftarrow R_2 – 1 \cdot R_3 \Rightarrow (0, 1, 0 \mid \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) \)

Krok 5: \( R_1 \leftarrow R_1 – 1 \cdot R_3 \Rightarrow (1, 2, 0 \mid \frac{5}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}) \)

Krok 6: \( R_1 \leftarrow R_1 – 2 \cdot R_2 \Rightarrow (1, 0, 0 \mid \frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{1}{3}) \)

Výsledná inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Determinant:

\( \det(A) = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 2 = 24 – 14 = 10 \)

Inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Matice je horní trojúhelníková a má všechny nenulové diagonální prvky, tudíž inverze existuje.

Pomocí Gaussovy eliminace získáme inverzní matici:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant:

\( \det(A) = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 2 = 4 – 4 = 0 \)

Protože determinant je roven nule, matice není regulární, a tudíž nemá inverzi.

Řešení příkladu:

Vytvoříme rozšířenou matici a provedeme Gaussovu eliminaci. Po úpravách dostaneme:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve sestavíme rozšířenou matici \( (A \mid I) \):

\[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \]

Krok 1: Uděláme z prvního řádku pivotní prvek 1 – dělením řádku 1 dvěma:

\[ R_1 \leftarrow \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \]

Krok 2: Odečteme řádek 1 od řádku 3:

\[ R_3 \leftarrow R_3 – R_1 \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \]

Krok 3: Eliminujeme prvek v řádku 1, sloupci 2:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – \frac{1}{2} R_2 \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \]

Krok 4: Odstraníme prvek v řádku 3, sloupci 2:

\[ R_3 \leftarrow R_3 + \frac{1}{2} R_2 \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ \end{array}\right) \]

Hotovo, dostali jsme jednotkovou matici vlevo. Výsledná inverzní matice je:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant:

\[ \det(A) = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 2 = 4 – 4 = 0 \]

Protože determinant je roven nule, matice je singulární (není regulární) a nemá tedy inverzní matici. Matice \( A \) je navíc lineárně závislá (řádek 2 = 2 × řádek 1), což potvrzuje její neregularitu.

Řešení příkladu:

Postupně aplikujeme Gaussovu eliminaci. Rozšířená matice je:

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Po výměnách řádků a eliminaci dostaneme jednotkovou matici vlevo a napravo hledanou inverzi:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 17 & -3 \\ 4 & -3 & 1 \\ 8 & -6 & 1 \end{pmatrix} \]

Správnost lze ověřit maticovým součinem \( A \cdot A^{-1} = I \).

Řešení příkladu:

Nejprve výpočet determinantu:

\[ \det(A) = 2 \cdot 2 – 3 \cdot 1 = 4 – 3 = 1 \]

Protože determinant je nenulový, inverzní matice existuje a vypočítá se jako:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve vytvoříme rozšířenou matici \( (A \mid I) \) a aplikujeme Gaussovu-Jordanovu metodu. Po všech úpravách dostaneme jednotkovou matici vlevo a inverzní matici vpravo:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Tato matice je skutečně inverzí, což lze ověřit součinem \( A \cdot A^{-1} = I \).

Řešení příkladu:

Nejprve sestavíme rozšířenou matici \( (A \mid I) \):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Krok 1: Využijeme již hotový pivot v druhém řádku (prostřední prvek je 1). Pomocí něj eliminujeme prvek v řádku 1, sloupci 2 a v řádku 3, sloupci 2.

\[ R_1 \leftarrow R_1 – 2R_2 \]

\[ R_3 \leftarrow R_3 – 3R_2 \]

Výsledek:

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 0 & -3 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Krok 2: Odečteme 2× řádek 1 od řádku 3:

\[ R_3 \leftarrow R_3 – 2R_1 \]

\[ R_3 = (2, 0, 4, 0, -3, 1) – 2 \cdot (1, 0, 1, 1, -2, 0) = (0, 0, 2, -2, 1, 1) \]

Matice nyní vypadá takto:

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Krok 3: Uděláme z řádku 3 pivotní prvek dělením dvěma:

\[ R_3 \leftarrow \frac{1}{2} R_3 \Rightarrow (0, 0, 1, -1, 0.5, 0.5) \]

Krok 4: Odstraníme prvek v řádku 1, sloupci 3:

\[ R_1 \leftarrow R_1 – R_3 \]

Výsledná rozšířená matice:

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -2.5 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0.5 & 0.5 \\ \end{array} \right) \]

Inverzní matice je tedy:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -2.5 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Pro matici \( B \) počítáme determinant:

\[ \det(B) = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 2 = 24 – 14 = 10 \neq 0 \]

Matice je regulární, inverzní matice existuje. Inverzní matici vypočítáme podle vzorce pro 2×2 matici:

\[ B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix} \]

Ověření: Vynásobíme \( B \) a \( B^{-1} \):

\[ B B^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 0.6 + 7 \cdot (-0.2) & 4 \cdot (-0.7) + 7 \cdot 0.4 \\ 2 \cdot 0.6 + 6 \cdot (-0.2) & 2 \cdot (-0.7) + 6 \cdot 0.4 \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} 2.4 – 1.4 & -2.8 + 2.8 \\ 1.2 – 1.2 & -1.4 + 2.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \]

Tedy \( B^{-1} \) je skutečně inverzní maticí k \( B \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice \( C \):

\[ \det(C) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} – 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = 3 \cdot (0 \cdot 1 – (-2) \cdot 1) + 0 + 2 \cdot (2 \cdot 1 – 0 \cdot 0) = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10 \neq 0 \]

Matice je regulární, inverzní matice existuje. Nyní spočítáme matici algebraických doplňků \( \text{adj}(C) \).

Každý prvek \( a_{ij} \) nahradíme jeho algebrickým doplňkem \( A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \), kde \( M_{ij} \) je minor matice vzniklý vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

Pro \( C \) vypočteme jednotlivé doplňky:

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – (-2) \cdot 1 = 2 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – (-2) \cdot 0) = -2 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 0 = 2 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 1 – 2 \cdot 1) = 2 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 3 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 1 – 0) = -3 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-2) – 2 \cdot 0 = 0 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = – (3 \cdot (-2) – 2 \cdot 2) = – (-6 – 4) = 10 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – 0 \cdot 2 = 0 \)

Matice algebraických doplňků (adjungovaná matice) je tedy:

\[ \text{adj}(C) = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & 10 & 0 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 10 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \]

Konečně inverzní matice spočítáme podle vzorce:

\[ C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \text{adj}(C) = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 10 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.2 & 0 \\ -0.2 & 0.3 & 1 \\ 0.2 & -0.3 & 0 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice \( D \):

\[ \det(D) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} \]

Spočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic: \[ \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 6 = -24, \quad \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 4 \cdot 5 = -20, \quad \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 = -5 \]

Dosadíme do vzorce: \[ \det(D) = 1 \cdot (-24) – 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 – 15 = 1 \neq 0 \] Matice je regulární, tedy inverzní matice existuje.

Nyní spočítáme matici algebraických doplňků \( \text{adj}(D) \). Každý prvek \( a_{ij} \) nahradíme algebrickým doplňkem \( A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \), kde \( M_{ij} \) je minor vzniklý vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

Vypočítáme jednotlivé doplňky:

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = -24 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = -(-20) = 20 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = -5 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) = -(-18) = 18 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 6 – 2 \cdot 5) = – (6 – 10) = 4 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -4 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1 \)

Adjungovaná matice \( \text{adj}(D) \) je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(D) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Konečně spočítáme inverzní matici podle vzorce:

\[ D^{-1} = \frac{1}{\det(D)} \text{adj}(D) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Tím jsme našli inverzní matici k matici \( D \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice \( E \):

\[ \det(E) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} – (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} \]

Spočítáme determinanty menších matic: \[ \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 3, \quad \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 1 \cdot 4 = -3 \]

Dosadíme: \[ \det(E) = 2 \cdot 3 – (-1) \cdot (-3) + 0 = 6 – 3 + 0 = 3 \neq 0 \] Matice je regulární.

Nyní spočítáme algebrické doplňky \( A_{ij} \):

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -(-3) = 3 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 4 = -12 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -((-1) \cdot 1 – 0 \cdot 0) = -(-1) = 1 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 0 \cdot 4 = 2 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – (-1) \cdot 4) = – (0 + 4) = -4 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 1 – 0 \cdot 3 = -1 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – 0 \cdot 1) = -2 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7 \)

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(E) = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -12 & -4 & 7 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 3 & 3 & -12 \\ 1 & 2 & -4 \\ -1 & -2 & 7 \end{pmatrix} \]

Inverzní matici spočítáme podle vzorce:

\[ E^{-1} = \frac{1}{\det(E)} \text{adj}(E) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 3 & -12 \\ 1 & 2 & -4 \\ -1 & -2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{4}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{7}{3} \end{pmatrix} \]

Tím je inverzní matice k matici \( E \) vypočítána.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice \( F \). Determinant třířádkové matice lze vypočítat podle vzorce:

\[ \det(F) = 4 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} – 7 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \]

Spočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic: \[ \det \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = 6 \cdot 3 – 1 \cdot 5 = 18 – 5 = 13, \quad \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot 3 – 1 \cdot 2 = 9 – 2 = 7, \quad \det \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 – 6 \cdot 2 = 15 – 12 = 3 \]

Dosadíme hodnoty do vzorce: \[ \det(F) = 4 \cdot 13 – 7 \cdot 7 + 2 \cdot 3 = 52 – 49 + 6 = 9 \neq 0 \] Matice je regulární, inverzní matice existuje.

Nyní vypočítáme matici algebraických doplňků \( A_{ij} \). Každý prvek nahradíme jeho algebrickým doplňkem podle vzorce \( A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \), kde \( M_{ij} \) je minor matice vzniklý vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

Vypočítáme jednotlivé doplňky:

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = 13 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = -7 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 3 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = – (7 \cdot 3 – 2 \cdot 5) = – (21 – 10) = -11 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 4 \cdot 3 – 2 \cdot 2 = 12 – 4 = 8 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 5 – 7 \cdot 2) = – (20 – 14) = -6 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = 7 \cdot 1 – 2 \cdot 6 = 7 – 12 = -5 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 1 – 2 \cdot 3) = – (4 – 6) = 2 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 3 = 24 – 21 = 3 \)

Adjungovaná matice je transpozice matice doplňků:

\[ \text{adj}(F) = \begin{pmatrix} 13 & -11 & -5 \\ -7 & 8 & 2 \\ 3 & -6 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 13 & -7 & 3 \\ -11 & 8 & -6 \\ -5 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

Konečně vypočítáme inverzní matici podle vzorce:

\[ F^{-1} = \frac{1}{\det(F)} \text{adj}(F) = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 13 & -7 & 3 \\ -11 & 8 & -6 \\ -5 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{13}{9} & -\frac{7}{9} & \frac{1}{3} \\ -\frac{11}{9} & \frac{8}{9} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{5}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \]

Tím jsme získali inverzní matici k matici \( F \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice \( G \):

\[ \det(G) = 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} \]

Spočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic: \[ \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 2 – 3 \cdot 0 = -2, \quad \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 – 3 \cdot 4 = 2 – 12 = -10, \quad \det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – (-1) \cdot 4 = 4 \]

Dosadíme do vzorce: \[ \det(G) = 0 \cdot (-2) – 2 \cdot (-10) + 1 \cdot 4 = 0 + 20 + 4 = 24 \neq 0 \] Matice je regulární, inverzní matice existuje.

Vypočítáme matici algebraických doplňků \( A_{ij} \):

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = -2 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = -(-10) = 10 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 4 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – 1 \cdot 0) = -4 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot 2 – 1 \cdot 4 = -4 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 0 – 2 \cdot 4) = 8 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – 1 \cdot (-1) = 6 + 1 = 7 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 3 – 1 \cdot 1) = -(-1) = 1 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-1) – 2 \cdot 1 = -2 \)

Adjungovaná matice je transpozice matice doplňků:

\[ \text{adj}(G) = \begin{pmatrix} -2 & -4 & 7 \\ 10 & -4 & 1 \\ 4 & 8 & -2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -2 & 10 & 4 \\ -4 & -4 & 8 \\ 7 & 1 & -2 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je:

\[ G^{-1} = \frac{1}{24} \begin{pmatrix} -2 & 10 & 4 \\ -4 & -4 & 8 \\ 7 & 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{12} & \frac{5}{12} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{7}{24} & \frac{1}{24} & -\frac{1}{12} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Determinant matice \( H \):

\[ \det(H) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} \]

Výpočet determinantů 2×2: \[ \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 2 = -8, \quad \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 4 \cdot 5 = -20, \quad \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot 2 – 1 \cdot 5 = -5 \]

Dosazení do vzorce: \[ \det(H) = 2 \cdot (-8) – 1 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -16 + 20 – 15 = -11 \neq 0 \] Matice je regulární.

Výpočet algebraických doplňků:

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = -8 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = -(-20) = 20 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = -5 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 0 – 3 \cdot 2) = -(-6) = 6 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – 1 \cdot 5) = – (4 – 5) = 1 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 4 – 3 = 1 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -8 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 2 \)

Adjungovaná matice (transpozice doplňků):

\[ \text{adj}(H) = \begin{pmatrix} -8 & 6 & 1 \\ 20 & -15 & -8 \\ -5 & 1 & 2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -8 & 20 & -5 \\ 6 & -15 & 1 \\ 1 & -8 & 2 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ H^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{pmatrix} -8 & 20 & -5 \\ 6 & -15 & 1 \\ 1 & -8 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{8}{11} & -\frac{20}{11} & \frac{5}{11} \\ -\frac{6}{11} & \frac{15}{11} & -\frac{1}{11} \\ -\frac{1}{11} & \frac{8}{11} & -\frac{2}{11} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Determinant matice \( J \):

\[ \det(J) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} – 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \]

Výpočet 2×2 determinantů: \[ \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1, \quad \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -1 \cdot 1 – 3 \cdot 4 = -1 – 12 = -13 \]

Dosazení do vzorce: \[ \det(J) = 1 \cdot (-1) – 0 + 2 \cdot (-13) = -1 – 26 = -27 \neq 0 \] Matice je regulární.

Výpočet algebraických doplňků:

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -1 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = – (-1 \cdot 0 – 1 \cdot 4) = -(-4) = 4 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -13 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 0 – 2 \cdot 1) = -(-2) = 2 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 2 \cdot 4 = -8 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 1 – 0 \cdot 4) = -1 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – 2 \cdot 3 = -6 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 1 – 2 \cdot (-1)) = – (1 + 2) = -3 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 – 0 \cdot (-1) = 3 \)

Adjungovaná matice (transpozice):

\[ \text{adj}(J) = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -6 \\ 4 & -8 & -3 \\ -13 & -1 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -1 & 4 & -13 \\ 2 & -8 & -1 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ J^{-1} = \frac{1}{-27} \begin{pmatrix} -1 & 4 & -13 \\ 2 & -8 & -1 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{27} & -\frac{4}{27} & \frac{13}{27} \\ -\frac{2}{27} & \frac{8}{27} & \frac{1}{27} \\ \frac{6}{27} & \frac{3}{27} & -\frac{3}{27} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Determinant matice \( K \):

\[ \det(K) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} – 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \]

Výpočet determinantů 2×2: \[ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 1 = 1 – 2 = -1, \quad \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 2, \quad \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 2 \]

Dosazení do vzorce: \[ \det(K) = 1 \cdot (-1) – 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = -1 – 6 + 2 = -5 \neq 0 \] Matice je regulární.

Výpočet algebraických doplňků:

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -1 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -2 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 1 – 1 \cdot 1) = – (3 – 1) = -2 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 1 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 1 – 3 \cdot 0) = -1 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 – 1 \cdot 1 = 6 – 1 = 5 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 2 – 1 \cdot 2) = 0 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 3 \cdot 2 = 1 – 6 = -5 \)

Adjungovaná matice:

\[ \text{adj}(K) = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -5 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ K^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & -1 \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} & 0 \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice \( M \):

\[ \det(M) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} – 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = 3 \cdot (0 \cdot 1 – (-2) \cdot 1) + 0 + 2 \cdot (2 \cdot 1 – 0 \cdot 0) = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10 \neq 0 \]

Matice je regulární, inverzní matice existuje. Spočítáme algebraické doplňky \( A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \), kde \( M_{ij} \) je minor vzniklý vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – (-2) \cdot 1 = 2 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – (-2) \cdot 0) = -2 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 0 = 2 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 1 – 2 \cdot 1) = 2 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 3 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 1 – 0) = -3 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-2) – 2 \cdot 0 = 0 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = – (3 \cdot (-2) – 2 \cdot 2) = 10 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – 0 \cdot 2 = 0 \)

Adjungovaná matice je transponovaná matice algebraických doplňků:

\[ \text{adj}(M) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 10 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & 10 & 0 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice spočítáme jako \( M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{adj}(M) \):

\[ M^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & 10 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & -0.2 & 0.2 \\ 0.2 & 0.3 & -0.3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice \( N \):

\[ \det(N) = 4 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} – 7 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \]

\[ = 4 \cdot (6 \cdot 3 – 1 \cdot 5) – 7 \cdot (3 \cdot 3 – 1 \cdot 2) + 2 \cdot (3 \cdot 5 – 6 \cdot 2) = 4 \cdot 13 – 7 \cdot 7 + 2 \cdot 3 = 52 – 49 + 6 = 9 \neq 0 \]

Matice je regulární.

Algebraické doplňky spočítáme jako:

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = 13 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = – (9 – 2) = -7 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 15 – 12 = 3 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = – (21 – 10) = -11 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 12 – 4 = 8 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = – (20 – 14) = -6 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = 7 \cdot 1 – 2 \cdot 6 = 7 – 12 = -5 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 1 – 2 \cdot 3) = – (4 – 6) = 2 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = 24 – 21 = 3 \)

Adjungovaná matice (transpozice matice doplňků):

\[ \text{adj}(N) = \begin{pmatrix} 13 & -11 & -5 \\ -7 & 8 & 2 \\ 3 & -6 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 13 & -7 & 3 \\ -11 & 8 & -6 \\ -5 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ N^{-1} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 13 & -7 & 3 \\ -11 & 8 & -6 \\ -5 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{13}{9} & -\frac{7}{9} & \frac{1}{3} \\ -\frac{11}{9} & \frac{8}{9} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{5}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Determinant matice \( P \):

\[ \det(P) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} \]

\[ = 1 \cdot (1 \cdot 0 – 4 \cdot 6) – 2 \cdot (0 \cdot 0 – 4 \cdot 5) + 3 \cdot (0 \cdot 6 – 1 \cdot 5) = 1 \cdot (-24) – 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 – 15 = 1 \neq 0 \]

Matice je regulární.

Algebraické doplňky:

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = -24 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = – (0 – 20) = 20 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 – 5 = -5 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) = -(-18) = 18 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (6 – 10) = 4 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 5 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (4 – 0) = -4 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1 \)

Adjungovaná matice (transponovaná matice doplňků):

\[ \text{adj}(P) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ P^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Determinant matice \( Q \):

\[ \det(Q) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ = 2 \cdot (1 \cdot 1 – 5 \cdot 2) – 1 \cdot (4 \cdot 1 – 5 \cdot 6) + 3 \cdot (4 \cdot 2 – 1 \cdot 6) = 2 \cdot (1 – 10) – (4 – 30) + 3 \cdot (8 – 6) = 2 \cdot (-9) – (-26) + 3 \cdot 2 = -18 + 26 + 6 = 14 \neq 0 \]

Matice je regulární.

Algebraické doplňky:

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 – 10 = -9 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = – (4 – 30) = 26 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} = 8 – 6 = 2 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 1 – 3 \cdot 2) = – (1 – 6) = 5 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 3 \cdot 6 = 2 – 18 = -16 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} = – (4 – 6) = 2 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 – 3 \cdot 1 = 2 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = – (10 – 12) = 2 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 1 \cdot 4 = -2 \)

Adjungovaná matice:

\[ \text{adj}(Q) = \begin{pmatrix} -9 & 5 & 2 \\ 26 & -16 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -9 & 26 & 2 \\ 5 & -16 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ Q^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} -9 & 26 & 2 \\ 5 & -16 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Determinant matice \( R \):

\[ \det(R) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} – 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 8 – 3 \cdot 0) + 2 \cdot (2 \cdot 0 – 1 \cdot 4) = 8 + 2 \cdot (-4) = 8 – 8 = 0 \]

Matice je singulární, inverzní matice neexistuje.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice \( A \):

\[ \det(A) = 4 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} – 7 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \]

Spočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = 6 \cdot 3 – 1 \cdot 5 = 18 – 5 = 13\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot 3 – 1 \cdot 2 = 9 – 2 = 7\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 – 6 \cdot 2 = 15 – 12 = 3\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(A) = 4 \cdot 13 – 7 \cdot 7 + 2 \cdot 3 = 52 – 49 + 6 = 9 \neq 0 \]

Matice je regulární, tedy inverzní matice existuje.

Dalším krokem je výpočet matice algebraických doplňků \(A_{ij}\), kde každý prvek je určen vzorcem \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\), přičemž \(M_{ij}\) je minor vzniklý vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

Vypočítáme jednotlivé doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = 13\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = -7\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 3\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = – (7 \cdot 3 – 2 \cdot 5) = – (21 – 10) = -11\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 4 \cdot 3 – 2 \cdot 2 = 12 – 4 = 8\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 5 – 7 \cdot 2) = – (20 – 14) = -6\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = 7 \cdot 1 – 2 \cdot 6 = 7 – 12 = -5\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 1 – 2 \cdot 3) = – (4 – 6) = 2\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 3 = 24 – 21 = 3\)

Matice algebraických doplňků je tedy:

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 13 & -7 & 3 \\ -11 & 8 & -6 \\ -5 & 2 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 13 & -11 & -5 \\ -7 & 8 & 2 \\ 3 & -6 & 3 \end{pmatrix} \]

Nyní spočítáme inverzní matici podle vzorce

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 13 & -11 & -5 \\ -7 & 8 & 2 \\ 3 & -6 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{13}{9} & -\frac{11}{9} & -\frac{5}{9} \\[6pt] -\frac{7}{9} & \frac{8}{9} & \frac{2}{9} \\[6pt] \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \]

Tím jsme našli inverzní matici k matici \(A\). Každý krok byl pečlivě zdokumentován a všechny determinanty byly vypočteny postupně.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme determinant matice \(B\):

\[ \det(B) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} – 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \]

Spočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – 2 \cdot 1 = -2\)
• \(\det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -1 \cdot 1 – 3 \cdot 4 = -1 – 12 = -13\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(B) = 2 \cdot (-2) + 0 + 1 \cdot (-13) = -4 – 13 = -17 \neq 0 \]

Matice je regulární, inverzní matice existuje.

Vypočítáme jednotlivé algebraické doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -2\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = -((-1) \cdot 0 – 2 \cdot 4) = -(-8) = 8\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -13\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 0 – 1 \cdot 1) = -(-1) = 1\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 – 1 \cdot 4 = -4\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – 0 \cdot 4) = -2\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot 2 – 1 \cdot 3 = -3\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – 1 \cdot (-1)) = – (4 + 1) = -5\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – 0 \cdot (-1) = 6\)

Matice algebraických doplňků je tedy:

\[ \text{adj}(B) = \begin{pmatrix} -2 & 8 & -13 \\ 1 & -4 & -2 \\ -3 & -5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ 8 & -4 & -5 \\ -13 & -2 & 6 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je:

\[ B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{adj}(B) = -\frac{1}{17} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ 8 & -4 & -5 \\ -13 & -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{17} & -\frac{1}{17} & \frac{3}{17} \\[6pt] -\frac{8}{17} & \frac{4}{17} & \frac{5}{17} \\[6pt] \frac{13}{17} & \frac{2}{17} & -\frac{6}{17} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme determinant matice \(C\):

\[ \det(C) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \]

Spočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = 0 \cdot 5 – 3 \cdot 1 = -3\)
• \(\det \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 4 \cdot 5 – 3 \cdot 2 = 20 – 6 = 14\)
• \(\det \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 4 \cdot 1 – 0 \cdot 2 = 4\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(C) = 1 \cdot (-3) – 2 \cdot 14 + 1 \cdot 4 = -3 – 28 + 4 = -27 \neq 0 \]

Matice je regulární, inverzní matice existuje.

Vypočítáme algebraické doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = -3\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = -14\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 4\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 5 – 1 \cdot 1) = – (10 – 1) = -9\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 – 1 \cdot 2 = 5 – 2 = 3\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 1 – 2 \cdot 2) = – (1 – 4) = 3\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – 1 \cdot 0 = 6\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 3 – 1 \cdot 4) = – (3 – 4) = 1\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 2 \cdot 4 = -8\)

Matice algebraických doplňků je:

\[ \text{adj}(C) = \begin{pmatrix} -3 & -14 & 4 \\ -9 & 3 & 3 \\ 6 & 1 & -8 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -3 & -9 & 6 \\ -14 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & -8 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \text{adj}(C) = -\frac{1}{27} \begin{pmatrix} -3 & -9 & 6 \\ -14 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{9} \\[6pt] \frac{14}{27} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{27} \\[6pt] -\frac{4}{27} & -\frac{1}{9} & \frac{8}{27} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme determinant matice \(D\):

\[ \det(D) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \]

Vypočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = 5 \cdot 6 – 7 \cdot 0 = 30\)
• \(\det \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} = 2 \cdot 6 – 7 \cdot 1 = 12 – 7 = 5\)
• \(\det \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 – 5 \cdot 1 = -5\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(D) = 3 \cdot 30 – 1 \cdot 5 + 4 \cdot (-5) = 90 – 5 – 20 = 65 \neq 0 \]

Matice je regulární, inverzní matice existuje.

Vypočítáme algebraické doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = 30\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} = -5\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -5\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 6 – 4 \cdot 0) = -6\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} = 3 \cdot 6 – 4 \cdot 1 = 18 – 4 = 14\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 0 – 1 \cdot 1) = 1\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = 1 \cdot 7 – 4 \cdot 5 = 7 – 20 = -13\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 7 – 4 \cdot 2) = – (21 – 8) = -13\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 – 1 \cdot 2 = 15 – 2 = 13\)

Matice algebraických doplňků je:

\[ \text{adj}(D) = \begin{pmatrix} 30 & -6 & -13 \\ -5 & 14 & -13 \\ -5 & 1 & 13 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 30 & -5 & -5 \\ -6 & 14 & 1 \\ -13 & -13 & 13 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ D^{-1} = \frac{1}{65} \begin{pmatrix} 30 & -5 & -5 \\ -6 & 14 & 1 \\ -13 & -13 & 13 \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme determinant matice \(E\):

\[ \det(E) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} – (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \cdot \ldots \]

Vypočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 – 4 \cdot 2 = 15 – 8 = 7\)
• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 – 4 \cdot 0 = 5\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(E) = 2 \cdot 7 + 1 \cdot 5 = 14 + 5 = 19 \neq 0 \]

Matice je regulární, inverzní matice existuje.

Vypočítáme algebraické doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 7\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = -5\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = – (-1 \cdot 5 – 0 \cdot 2) = 5\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 2 \cdot 5 – 0 = 10\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – (-1) \cdot 0) = -4\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = -1 \cdot 4 – 0 \cdot 3 = -4\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 4 – 0 \cdot 1) = -8\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7\)

Matice algebraických doplňků je:

\[ \text{adj}(E) = \begin{pmatrix} 7 & -5 & 2 \\ 5 & 10 & -4 \\ -4 & -8 & 7 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 7 & 5 & -4 \\ -5 & 10 & -8 \\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ E^{-1} = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 7 & 5 & -4 \\ -5 & 10 & -8 \\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix} \]

Nejprve spočítáme determinant matice \(F\):

\[ \det(F) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} \]

Spočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 6 = -24\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 4 \cdot 5 = -20\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 = -5\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(F) = 1 \cdot (-24) – 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 – 15 = 1 \]

Protože determinant je různý od nuly, matice \(F\) je regulární a inverzní matice existuje.

Nyní spočítáme algebraické doplňky \(A_{ij}\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = -24\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 20\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = -5\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) = 18\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 6 – 2 \cdot 5) = – (6 – 10) = 4\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 5\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -4\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1\)

Matice algebraických doplňků je tedy:

\[ \text{adj}(F) = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je potom dána vztahem:

\[ F^{-1} = \frac{1}{\det(F)} \text{adj}(F) = 1 \cdot \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je tedy přesně tato matice.

Nejprve spočítáme determinant matice \(G\):

\[ \det(G) = 4 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} – 7 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \]

Vypočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = 6 \cdot 1 – 1 \cdot 5 = 6 – 5 = 1\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 1 \cdot 2 = 3 – 2 = 1\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 – 6 \cdot 2 = 15 – 12 = 3\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(G) = 4 \cdot 1 – 7 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 4 – 7 + 6 = 3 \]

Determinant je různý od nuly, matice je regulární, inverzní matice existuje.

Vypočítáme algebraické doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = 1\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = -1\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 3\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = – (7 \cdot 1 – 2 \cdot 5) = – (7 – 10) = 3\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 4 \cdot 1 – 2 \cdot 2 = 4 – 4 = 0\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 5 – 7 \cdot 2) = – (20 – 14) = -6\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = 7 \cdot 1 – 2 \cdot 6 = 7 – 12 = -5\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 1 – 2 \cdot 3) = – (4 – 6) = 2\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 3 = 24 – 21 = 3\)

Matice algebraických doplňků je:

\[ \text{adj}(G) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & -6 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & -6 \\ -5 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je:

\[ G^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & -6 \\ -5 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

Nejprve spočítáme determinant matice \(H\):

\[ \det(H) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} \]

Vypočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot 6 – 0 \cdot 5 = 6\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = 3 \cdot 6 – 0 \cdot 4 = 18\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 – 1 \cdot 4 = 15 – 4 = 11\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(H) = 0 \cdot 6 – 2 \cdot 18 + 1 \cdot 11 = 0 – 36 + 11 = -25 \]

Determinant je různý od nuly, matice je regulární.

Vypočítáme algebraické doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 6\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = -18\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 11\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 6 – 1 \cdot 5) = – (12 – 5) = -7\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 1 \cdot 4 = -4\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 5 – 2 \cdot 4) = 8\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 0 – 1 \cdot 3) = 3\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – 2 \cdot 3 = -6\)

Matice algebraických doplňků:

\[ \text{adj}(H) = \begin{pmatrix} 6 & -7 & -1 \\ -18 & -4 & 3 \\ 11 & 8 & -6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 6 & -18 & 11 \\ -7 & -4 & 8 \\ -1 & 3 & -6 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ H^{-1} = \frac{1}{-25} \begin{pmatrix} 6 & -18 & 11 \\ -7 & -4 & 8 \\ -1 & 3 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6}{25} & \frac{18}{25} & -\frac{11}{25} \\ \frac{7}{25} & \frac{4}{25} & -\frac{8}{25} \\ \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} & \frac{6}{25} \end{pmatrix} \]

Nejdříve spočítáme determinant matice \(I\):

\[ \det(I) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} – 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \]

Spočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 2 \cdot 1 = 3 – 2 = 1\)
• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 3 \cdot 0 = 1\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(I) = 2 \cdot 1 – 0 + 1 \cdot 1 = 2 + 1 = 3 \]

Determinant je různý od nuly, inverzní matice existuje.

Vypočítáme algebraické doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 1 – 2 \cdot 0) = -1\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 1 – 1 \cdot 1) = 1\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 2\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – 0 \cdot 0) = -2\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot 2 – 1 \cdot 3 = -3\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – 1 \cdot 1) = – (4 – 1) = -3\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – 0 \cdot 1 = 6\)

Matice algebraických doplňků:

\[ \text{adj}(I) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ -3 & -3 & 6 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ I^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ -3 & -3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Nejdříve spočítáme determinant matice \(J\):

\[ \det(J) = 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} – 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot 6 – 5 \cdot 0 = 6\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 5 \cdot 1 = -5\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1\)

Dosadíme zpět do výpočtu determinantu:

\[ \det(J) = 4 \cdot 6 – 3 \cdot (-5) + 2 \cdot (-1) = 24 + 15 – 2 = 37 \]

Determinant je různý od nuly, matice je regulární a inverzní matice existuje.

Vypočítáme algebraické doplňky matice \(J\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = 6\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} = -(-5) = 5\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -1\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 6 – 2 \cdot 0) = -18\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} = 4 \cdot 6 – 2 \cdot 1 = 24 – 2 = 22\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 0 – 3 \cdot 1) = 3\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 1 = 15 – 2 = 13\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 5 – 2 \cdot 0) = -20\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 4 \cdot 1 – 3 \cdot 0 = 4\)

Adjungovaná matice matice \(J\) je transponovaná matice algebraických doplňků:

\[ \text{adj}(J) = \begin{pmatrix} 6 & -18 & 13 \\ 5 & 22 & -20 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 6 & 5 & -1 \\ -18 & 22 & 3 \\ 13 & -20 & 4 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice k matici \(J\) je:

\[ J^{-1} = \frac{1}{37} \begin{pmatrix} 6 & 5 & -1 \\ -18 & 22 & 3 \\ 13 & -20 & 4 \end{pmatrix} \]

Nejprve spočítáme determinant matice \(K\). Použijeme rozvoj podle prvního řádku:

\[ \det(K) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 3 \cdot 0 = 1\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – 3 \cdot 4 = -12\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(K) = 1 \cdot 1 – 2 \cdot (-12) + 0 = 1 + 24 = 25 \]

Determinant je různý od nuly, tedy matice \(K\) je regulární a existuje její inverzní matice.

Nyní spočítáme algebraické doplňky matice \(K\). Pro každý prvek spočítáme jeho minor a pak upravíme znaménkem podle vzorce \( (-1)^{i+j} \):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -(-12) = 12\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 1 \cdot 4 = -4\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – 0 \cdot 0) = -2\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 0 \cdot 4 = 1\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 0 – 2 \cdot 4) = 8\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – 0 \cdot 1 = 6\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 3 – 0 \cdot 0) = -3\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1\)

Matice algebraických doplňků je tedy:

\[ \text{adj}(K) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 12 & 1 & -3 \\ -4 & 8 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 12 & -4 \\ -2 & 1 & 8 \\ 6 & -3 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice \(K^{-1}\) získáme vydělením adjungované matice determinantem:

\[ K^{-1} = \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 1 & 12 & -4 \\ -2 & 1 & 8 \\ 6 & -3 & 1 \end{pmatrix} \]

Nejdříve spočítáme determinant matice \(L\) rozvojem podle druhého sloupce, kde je několik nul:

\[ \det(L) = -0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \ldots + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} \]

Determinant tedy spočítáme jako:

\[ \det(L) = 1 \cdot (3 \cdot (-2) – 2 \cdot 2) = 1 \cdot (-6 – 4) = -10 \]

Determinant je různý od nuly, matice je regulární.

Nyní spočítáme algebraické doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – (-2) \cdot 1 = 2\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – (-2) \cdot 0) = -2\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 0 \cdot 0 = 2\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 1 – 2 \cdot 1) = 2\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 3\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 1 – 0 \cdot 0) = -3\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-2) – 2 \cdot 0 = 0\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = – (3 \cdot (-2) – 2 \cdot 2) = – (-6 – 4) = 10\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – 0 \cdot 2 = 0\)

Adjungovaná matice je transponovaná matice algebraických doplňků:

\[ \text{adj}(L) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 10 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & 10 & 0 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je tedy:

\[ L^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & 10 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & -\frac{3}{10} & \frac{3}{10} \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]

Spočítáme determinant matice \(M\) rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(M) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} – (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + 0 \cdot \ldots \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 – 1 \cdot 2 = 12 – 2 = 10\)
• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – 1 \cdot 0 = 4\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(M) = 2 \cdot 10 + 1 \cdot 4 = 20 + 4 = 24 \]

Determinant je různý od nuly, matice \(M\) je regulární.

Vypočítáme algebraické doplňky matice \(M\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 10\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = -4\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 – 3 \cdot 0 = 2\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = -((-1) \cdot 4 – 0 \cdot 2) = -(-4) = 4\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – 0 \cdot 0 = 8\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – (-1) \cdot 0) = -4\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 1 – 0 \cdot 3 = -1\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – 0 \cdot 1) = -2\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7\)

Adjungovaná matice je transponovaná matice algebraických doplňků:

\[ \text{adj}(M) = \begin{pmatrix} 10 & 4 & -1 \\ -4 & 8 & -2 \\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 10 & -4 & 2 \\ 4 & 8 & -4 \\ -1 & -2 & 7 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice \(M^{-1}\) je tedy:

\[ M^{-1} = \frac{1}{24} \begin{pmatrix} 10 & -4 & 2 \\ 4 & 8 & -4 \\ -1 & -2 & 7 \end{pmatrix} \]

Spočítáme determinant matice \(N\) rozvojem podle druhého řádku, protože má dvě nuly:

\[ \det(N) = -1 \cdot \det \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \quad \text{(druhý řádek, druhý sloupec)} \]

Vypočítáme determinant menší matice:

\[ \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 0 \cdot 4 – 2 \cdot 1 = -2 \]

Dosadíme a přihlédneme ke znaménku:

\[ \det(N) = -1 \cdot (-2) = 2 \]

Matice \(N\) je regulární, neboť determinant je různý od nuly.

Algebraické doplňky matice \(N\) vypočteme postupně:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 – 0 \cdot 0 = 12\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 4 – 0 \cdot 1) = 0\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 3 \cdot 1 = -3\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 2 \cdot 0) = -4\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 5 \cdot 4 – 2 \cdot 1 = 20 – 2 = 18\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = – (5 \cdot 0 – 1 \cdot 1) = 1\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 2 \cdot 3 = -6\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = – (5 \cdot 0 – 2 \cdot 0) = 0\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 5 \cdot 3 – 1 \cdot 0 = 15\)

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(N) = \begin{pmatrix} 12 & -4 & -6 \\ 0 & 18 & 0 \\ -3 & 1 & 15 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 12 & 0 & -3 \\ -4 & 18 & 1 \\ -6 & 0 & 15 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je:

\[ N^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 12 & 0 & -3 \\ -4 & 18 & 1 \\ -6 & 0 & 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & -\frac{3}{2} \\ -2 & 9 & \frac{1}{2} \\ -3 & 0 & \frac{15}{2} \end{pmatrix} \]

Spočítáme determinant matice \(P\) rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(P) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 6 = -24\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 4 \cdot 5 = -20\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 = -5\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(P) = 1 \cdot (-24) – 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 – 15 = 1 \]

Determinant je 1, matice \(P\) je regulární.

Algebraické doplňky matice \(P\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = -24\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = -(-20) = 20\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = -5\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) = 18\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 6 – 2 \cdot 5) = – (6 – 10) = 4\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -4\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1\)

Adjungovaná matice (transponovaná matice doplňků):

\[ \text{adj}(P) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice \(P^{-1}\) je tedy:

\[ P^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Nejprve spočítáme determinant matice \(A\) rozvojem podle druhého řádku, protože obsahuje nulu, což zjednodušuje výpočet:

\[ \det(A) = (-1)^{1+2} \cdot 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + (-1)^{2+3} \cdot 4 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15\)
• \(\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 – 1 \cdot 5 = 4 – 5 = -1\)

Dosadíme zpět a přihlédneme ke znaménkům podle vzorce:

\[ \det(A) = -1 \cdot (-15) – 4 \cdot (-1) = 15 + 4 = 19 \]

Determinant je různý od nuly, matice \(A\) je regulární a inverzní matice existuje.

Dále spočítáme algebraické doplňky jednotlivých prvků matice \(A\). Algebraický doplněk \(A_{ij}\) je dán vzorcem

\(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\), kde \(M_{ij}\) je minor vzniklý vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

Postupně tedy vypočítáme:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 2 = -8\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 0 – 4 \cdot 5) = 20\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot 2 – 1 \cdot 5 = -5\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 0 – 3 \cdot 2) = 6\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – 1 \cdot 5) = – (4 – 5) = 1\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 1\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -8\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 2\)

Adjungovaná matice \(\text{adj}(A)\) je transponovaná matice algebraických doplňků:

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -8 & 6 & 1 \\ 20 & -15 & -8 \\ -5 & 1 & 2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -8 & 20 & -5 \\ 6 & -15 & 1 \\ 1 & -8 & 2 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice \(A^{-1}\) získáme vydělením adjungované matice determinantem:

\[ A^{-1} = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} -8 & 20 & -5 \\ 6 & -15 & 1 \\ 1 & -8 & 2 \end{pmatrix} \]

Tím jsme nalezli úplné a detailní řešení pro inverzní matici matice \(A\).

Nejprve spočítáme determinant matice \(B\) rozvojem podle druhého řádku, kde je nula, což usnadňuje výpočet:

\[ \det(B) = (-1)^{2+2} \cdot 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + (-1)^{2+3} \cdot (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 4 \cdot 0 – 1 \cdot 2 = -2\)
• \(\det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 4 \cdot 1 – 2 \cdot 2 = 4 – 4 = 0\)

Dosadíme a spočítáme determinant matice \(B\):

\[ \det(B) = 3 \cdot (-2) – (-1) \cdot 0 = -6 – 0 = -6 \]

Determinant je různý od nuly, takže matice je regulární.

Nyní spočítáme algebraické doplňky prvků matice \(B\). Algebraické doplňky jsou:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – (-1) \cdot 1 = 1\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 0 – (-1) \cdot 2) = -2\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – 3 \cdot 2 = -6\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 1 \cdot 1) = 1\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 4 \cdot 0 – 1 \cdot 2 = -2\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 1 – 2 \cdot 2) = – (4 – 4) = 0\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-1) – 1 \cdot 3 = -2 – 3 = -5\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = – (4 \cdot (-1) – 1 \cdot 0) = -(-4) = 4\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 4 \cdot 3 – 2 \cdot 0 = 12\)

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(B) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & -2 & 4 \\ -6 & 0 & 12 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -6 \\ 1 & -2 & 0 \\ -5 & 4 & 12 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice \(B^{-1}\) je tedy:

\[ B^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -6 \\ 1 & -2 & 0 \\ -5 & 4 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 1 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{5}{6} & -\frac{2}{3} & -2 \end{pmatrix} \]

Tím jsme nalezli inverzní matici matice \(B\).

Nejprve spočítáme determinant matice \(C\) rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(C) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} – 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – 1 \cdot 2 = -2\)
• \(\det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = 4 \cdot 1 – 1 \cdot 5 = 4 – 5 = -1\)
• \(\det \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 4 \cdot 2 – 0 \cdot 5 = 8\)

Dosadíme zpět do výpočtu determinant:

\[ \det(C) = 1 \cdot (-2) – 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 8 = -2 + 3 + 16 = 17 \]

Determinant je 17, matice je regulární.

Vypočítáme algebraické doplňky matice \(C\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = -2\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = -(-1) = 1\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 8\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 1 – 2 \cdot 2) = – (3 – 4) = 1\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 5 = 1 – 10 = -9\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 2 – 3 \cdot 5) = – (2 – 15) = 13\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 3\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 1 – 2 \cdot 4) = – (1 – 8) = 7\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 4 = -12\)

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(C) = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 8 \\ 1 & -9 & 13 \\ 3 & 7 & -12 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 1 & -9 & 7 \\ 8 & 13 & -12 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice \(C^{-1}\) je tedy:

\[ C^{-1} = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 1 & -9 & 7 \\ 8 & 13 & -12 \end{pmatrix} \]

Toto je podrobné řešení pro inverzní matici matice \(C\).

Nejprve spočítáme determinant matice \(D\) rozvojem podle druhého řádku, protože obsahuje nulu:

\[ \det(D) = -2 \cdot (-1)^{2+3} \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -2 \cdot (-1) \cdot (3 \cdot 1 – 0 \cdot 0) = -2 \cdot (-1) \cdot 3 = 6 \]

Determinant je 6, matice je regulární.

Vypočítáme algebraické doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – (-2) \cdot 1 = 2\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – (-2) \cdot 0) = -2\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 0 \cdot 0 = 2\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 1 – 2 \cdot 1) = 2\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 3\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 1 – 0 \cdot 0) = -3\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-2) – 2 \cdot 0 = 0\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = – (3 \cdot (-2) – 2 \cdot 2) = – (-6 – 4) = 10\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – 0 \cdot 2 = 0\)

Adjungovaná matice (transponujeme matici doplňků):

\[ \text{adj}(D) = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & 10 & 0 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 10 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice \(D^{-1}\) je:

\[ D^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 10 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \]

Tím jsme kompletně vyřešili inverzní matici matice \(D\).

Nejprve spočítáme determinant matice \(E\) rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(E) = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} – (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 1 \cdot (-1) = 2 + 1 = 3\)
• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 1\)

Dosadíme zpět do výpočtu determinant:

\[ \det(E) = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 0 = 6 + 1 = 7 \]

Determinant je 7, matice je regulární.

Vypočítáme algebraické doplňky matice \(E\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = 3\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -1\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-1) – 2 \cdot 0 = -1\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = – ((-1) \cdot 1 – 0 \cdot (-1)) = – (-1) = 1\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 0 \cdot 0 = 2\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot (-1) – (-1) \cdot 0) = – (-2) = 2\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = -1 \cdot 1 – 0 \cdot 2 = -1\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – 0 \cdot 1) = -2\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 – (-1) \cdot 1 = 4 + 1 = 5\)

Adjungovaná matice (transponujeme matici doplňků):

\[ \text{adj}(E) = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & -2 & 5 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice \(E^{-1}\) je:

\[ E^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \]

Tím je nalezena inverzní matice matice \(E\).

Řešení:

Nejprve spočítáme determinant matice \(F\). Rozvineme podle prvního řádku:

\[ \det(F) = 4 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} – 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 – 0 \cdot (-1) = 15\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 0 \cdot 5 – (-1) \cdot 2 = 2\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 3 \cdot 2 = -6\)

Dosadíme zpět do výpočtu determinant:

\[ \det(F) = 4 \cdot 15 – 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-6) = 60 – 4 – 6 = 50 \]

Determinant je 50, matice je regulární, inverzní matice existuje.

Vypočítáme matici algebraických doplňků \( \text{adj}(F) \), tj. matici doplňků, kterou pak transponujeme.

Algebraické doplňky spočítáme podle vzorce \( A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \), kde \( M_{ij} \) je minor matice vzniklý vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

• \( A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 15 \)
• \( A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = -2 \)
• \( A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = -6 \)
• \( A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 5 – 0 \cdot 1) = -10 \)
• \( A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 4 \cdot 5 – 1 \cdot 2 = 20 – 2 = 18 \)
• \( A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 0 – 2 \cdot 2) = -(-4) = 4 \)
• \( A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-1) – 1 \cdot 3 = -2 – 3 = -5 \)
• \( A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = – (4 \cdot (-1) – 1 \cdot 0) = -(-4) = 4 \)
• \( A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 4 \cdot 3 – 2 \cdot 0 = 12 \)

Matice algebraických doplňků je tedy:

\[ \begin{pmatrix} 15 & -2 & -6 \\ -10 & 18 & 4 \\ -5 & 4 & 12 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(F) = \begin{pmatrix} 15 & -10 & -5 \\ -2 & 18 & 4 \\ -6 & 4 & 12 \end{pmatrix} \]

Konečně vypočítáme inverzní matici pomocí vzorce:

\[ F^{-1} = \frac{1}{\det(F)} \text{adj}(F) = \frac{1}{50} \begin{pmatrix} 15 & -10 & -5 \\ -2 & 18 & 4 \\ -6 & 4 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.3 & -0.2 & -0.1 \\ -0.04 & 0.36 & 0.08 \\ -0.12 & 0.08 & 0.24 \end{pmatrix} \]

Tím jsme úspěšně našli inverzní matici matice \(F\).

Řešení:

Nejprve spočítáme determinant matice \(G\) rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(G) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} – 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 6 = -24\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 4 \cdot 5 = -20\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 = -5\)

Dosadíme zpět do výpočtu determinant:

\[ \det(G) = 1 \cdot (-24) – 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 – 15 = 1 \]

Determinant je 1, matice je regulární.

Vypočítáme algebraické doplňky matice \(G\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = -24\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = -(-20) = 20\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = -5\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) = 18\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 6 – 2 \cdot 5) = – (6 – 10) = 4\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -4\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1\)

Matice doplňků je:

\[ \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(G) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je tedy:

\[ G^{-1} = \frac{1}{\det(G)} \text{adj}(G) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Tím jsme našli inverzní matici matice \(G\).

Řešení:

Nejprve spočítáme determinant matice \(H\) rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(H) = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} – 4 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 – 5 \cdot 0 = 2\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 – 5 \cdot 1 = 6 – 5 = 1\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1\)

Dosadíme do výpočtu determinant:

\[ \det(H) = 2 \cdot 2 – 4 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 4 – 4 – 1 = -1 \]

Determinant je -1, matice je regulární, inverzní matice existuje.

Vypočítáme matici algebraických doplňků \( \text{adj}(H) \):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = -1\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -1\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 2 – 1 \cdot 0) = -8\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 – 1 \cdot 1 = 4 – 1 = 3\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 4 \cdot 1) = 4\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = 4 \cdot 5 – 1 \cdot 1 = 20 – 1 = 19\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 5 – 1 \cdot 3) = – (10 – 3) = -7\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 4 \cdot 3 = 2 – 12 = -10\)

Matice doplňků je:

\[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -8 & 3 & 4 \\ 19 & -7 & -10 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(H) = \begin{pmatrix} 2 & -8 & 19 \\ -1 & 3 & -7 \\ -1 & 4 & -10 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je tedy:

\[ H^{-1} = \frac{1}{\det(H)} \text{adj}(H) = -1 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -8 & 19 \\ -1 & 3 & -7 \\ -1 & 4 & -10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 8 & -19 \\ 1 & -3 & 7 \\ 1 & -4 & 10 \end{pmatrix} \]

Tím je inverzní matice matice \(H\) nalezena.

Řešení:

Determinant matice \(J\) spočítáme rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(J) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} – 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 0 \cdot 2 = 1\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 – 1 \cdot 4 = 6 – 4 = 2\)

Dosadíme do výpočtu determinant:

\[ \det(J) = 1 \cdot 1 – 0 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5 \]

Determinant je 5, matice je regulární.

Vypočítáme algebraické doplňky matice \(J\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 1 – 0 \cdot 4) = -3\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = 2\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 1 – 2 \cdot 2) = -(-4) = 4\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 4 = 1 – 8 = -7\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 2 – 0 \cdot 4) = -2\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 2 \cdot 1 = -2\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 0 – 2 \cdot 3) = -(-6) = 6\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 0 \cdot 3 = 1\)

Matice doplňků je:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 4 & -7 & -2 \\ -2 & 6 & 1 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(J) = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ -3 & -7 & 6 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je tedy:

\[ J^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ -3 & -7 & 6 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.8 & -0.4 \\ -0.6 & -1.4 & 1.2 \\ 0.4 & -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \]

Tím jsme nalezli inverzní matici matice \(J\).

Řešení:

Determinant matice \(K\) spočítáme rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(K) = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} – (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 3\)
• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 4 = 1 – 8 = -7\)

Dosadíme do výpočtu determinant:

\[ \det(K) = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-7) + 0 = 6 – 7 = -1 \]

Determinant je -1, matice je regulární.

Vypočítáme matici algebraických doplňků:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -(-7) = 7\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 4 = -12\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -((-1) \cdot 1 – 0 \cdot 0) = -(-1) = 1\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 0 \cdot 4 = 2\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – (-1) \cdot 4) = -4\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 2 – 0 \cdot 3 = -2\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – 0 \cdot 1) = -4\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7\)

Matice doplňků je:

\[ \begin{pmatrix} 3 & 7 & -12 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 7 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(K) = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 7 & 2 & -4 \\ -12 & -4 & 7 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je tedy:

\[ K^{-1} = \frac{1}{\det(K)} \text{adj}(K) = -1 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 7 & 2 & -4 \\ -12 & -4 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -7 & -2 & 4 \\ 12 & 4 & -7 \end{pmatrix} \]

Tím je inverzní matice matice \(K\) určena.

Řešení:

Nejprve spočítáme determinant matice \(L\). Pro tento účel použijeme rozvoj podle druhého řádku, protože obsahuje nulu, což usnadní výpočet:

\[ \det(L) = (-1)^{1+2} \cdot 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + (-1)^{2+2} \cdot 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + (-1)^{3+2} \cdot 4 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 4 \cdot 5 = -20\)
• \(\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 – 1 \cdot 5 = -5\)
• \(\det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 – 3 \cdot 5 = 4 – 15 = -11\)

Dosadíme tyto hodnoty do výpočtu determinantů:

\[ \det(L) = -3 \cdot (-20) + 1 \cdot (-5) – 4 \cdot (-11) = 60 – 5 + 44 = 99 \]

Determinant matice \(L\) je 99, což znamená, že matice je regulární a má inverzní matici.

Nyní spočítáme matici algebraických doplňků (kofaktorů) matice \(L\). Každý algebraický doplněk \(A_{ij}\) je dán jako:

\[ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} \] kde \(M_{ij}\) je determinant matice vzniklé vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

Postupně vypočítáme všechny doplňky:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 2 = -8\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 0 – 4 \cdot 5) = 20\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot 2 – 1 \cdot 5 = -5\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 0 – 1 \cdot 2) = 2\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 – 1 \cdot 5 = -5\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – 3 \cdot 5) = – (4 – 15) = 11\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 – 1 \cdot 1 = 12 – 1 = 11\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 4 – 1 \cdot 0) = -8\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 3 \cdot 0 = 2\)

Matice doplňků je tedy:

\[ \begin{pmatrix} -8 & 20 & -5 \\ 2 & -5 & 11 \\ 11 & -8 & 2 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(L) = \begin{pmatrix} -8 & 2 & 11 \\ 20 & -5 & -8 \\ -5 & 11 & 2 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice matice \(L\) je dána vztahem:

\[ L^{-1} = \frac{1}{\det(L)} \text{adj}(L) = \frac{1}{99} \begin{pmatrix} -8 & 2 & 11 \\ 20 & -5 & -8 \\ -5 & 11 & 2 \end{pmatrix} \]

Tím jsme získali inverzní matici matice \(L\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme determinant matice \(M\) pomocí rozvoje podle prvního řádku:

\[ \det(M) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} – 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2 matic:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 6 = -24\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 4 \cdot 5 = -20\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 = -5\)

Dosadíme do výpočtu determinantů:

\[ \det(M) = 1 \cdot (-24) – 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 – 15 = 1 \]

Determinant matice \(M\) je 1, tedy matice je regulární a má inverzi.

Nyní vypočítáme matici algebraických doplňků \(A_{ij}\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = -24\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = -(-20) = 20\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = -5\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) = 18\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 6 – 2 \cdot 5) = – (6 – 10) = 4\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -4\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1\)

Matice doplňků je:

\[ \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(M) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice matice \(M\) je tedy:

\[ M^{-1} = \frac{1}{1} \text{adj}(M) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení:

Nejprve spočítáme determinant matice \(N\) pomocí rozvoje podle prvního řádku:

\[ \det(N) = 4 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} – 0 \cdot \det(\dots) + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme determinanty 2×2:

• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 – 1 \cdot 5 = 6 – 5 = 1\)
• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 – 3 \cdot 0 = 5\)

Dosadíme do výpočtu determinantů:

\[ \det(N) = 4 \cdot 1 + 0 + 2 \cdot 5 = 4 + 10 = 14 \]

Determinant matice \(N\) je 14, tedy matice je regulární.

Spočítáme matici algebraických doplňků \(A_{ij}\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 1\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 2 – 1 \cdot 0) = -2\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 5\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 2 – 2 \cdot 5) = 10\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 4 \cdot 2 – 2 \cdot 0 = 8\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 5 – 0 \cdot 0) = -20\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – 2 \cdot 3 = -6\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 1 – 2 \cdot 1) = – (4 – 2) = -2\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 4 \cdot 3 – 0 \cdot 1 = 12\)

Matice doplňků je:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 10 & 8 & -20 \\ -6 & -2 & 12 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(N) = \begin{pmatrix} 1 & 10 & -6 \\ -2 & 8 & -2 \\ 5 & -20 & 12 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice matice \(N\) je tedy:

\[ N^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 1 & 10 & -6 \\ -2 & 8 & -2 \\ 5 & -20 & 12 \end{pmatrix} \]

Řešení:

Spočítáme determinant matice \(P\) pomocí rozvoje podle prvního řádku:

\[ \det(P) = 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} – 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + 4 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \]

Determinanty 2×2 jsou:

• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot 2 – 1 \cdot 5 = -5\)
• \(\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 – 1 \cdot 1 = 4 – 1 = 3\)
• \(\det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = 2 \cdot 5 – 0 \cdot 1 = 10\)

Dosadíme do výpočtu:

\[ \det(P) = 3 \cdot (-5) – 1 \cdot 3 + 4 \cdot 10 = -15 – 3 + 40 = 22 \]

Matice \(P\) má determinant 22, tedy je regulární.

Vypočítáme matici doplňků:

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = -5\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = -3\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = 10\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 2 – 4 \cdot 5) = – (2 – 20) = 18\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 – 4 \cdot 1 = 6 – 4 = 2\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 5 – 1 \cdot 1) = – (15 – 1) = -14\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 4 \cdot 0 = 1\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = – (3 \cdot 1 – 4 \cdot 2) = – (3 – 8) = 5\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – 1 \cdot 2 = -2\)

Matice doplňků:

\[ \begin{pmatrix} -5 & -3 & 10 \\ 18 & 2 & -14 \\ 1 & 5 & -2 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice (transpozice matice doplňků):

\[ \text{adj}(P) = \begin{pmatrix} -5 & 18 & 1 \\ -3 & 2 & 5 \\ 10 & -14 & -2 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice matice \(P\) je:

\[ P^{-1} = \frac{1}{22} \begin{pmatrix} -5 & 18 & 1 \\ -3 & 2 & 5 \\ 10 & -14 & -2 \end{pmatrix} \]

Řešení:

Spočítáme determinant matice \(Q\) pomocí rozvoje podle prvního řádku:

\[ \det(Q) = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} – 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Determinanty 2×2 jsou:

• \(\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 2\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 1 \cdot 1 = 3 – 1 = 2\)

Dosadíme do výpočtu:

\[ \det(Q) = 2 \cdot 2 – 1 \cdot 2 + 0 = 4 – 2 = 2 \]

Determinant matice \(Q\) je 2, což znamená, že matice je regulární.

Spočítáme matici doplňků \(A_{ij}\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -2\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – 2 \cdot 1 = -2\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -1\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 1 \cdot 1) = 1\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 0 \cdot 2 = 1\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – 0 \cdot 3) = -2\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 – 1 \cdot 3 = 4 – 3 = 1\)

Matice doplňků je:

\[ \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(Q) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice k \(Q\) je tedy:

\[ Q^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení:

Nejprve spočítáme determinant matice \(A\). Použijeme rozvoj podle prvního řádku:

\[ \det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} – 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 6 = -24\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 4 \cdot 5 = -20\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 = -5\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(A) = 1 \cdot (-24) – 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 – 15 = 1 \]

Determinant je 1, což znamená, že matice \(A\) je regulární a inverzní matice existuje.

Dalším krokem je spočítat matici algebraických doplňků \(A_{ij}\). Pro každý prvek spočítáme determinant příslušné menší matice 2×2 a aplikujeme znaménko podle vzorce \((-1)^{i+j}\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = -24\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = -(-20) = 20\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = -5\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) = -(-18) = 18\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 6 – 2 \cdot 5) = – (6 – 10) = 4\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -4\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1\)

Matice doplňků je tedy:

\[ \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice k \(A\) je dána vztahem:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = 1 \cdot \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Tedy

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení:

Nejprve spočítáme determinant matice \(A\). Použijeme rozvoj podle prvního řádku:

\[ \det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} – 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2:

• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 6 = -24\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 4 \cdot 5 = -20\)
• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 = -5\)

Dosadíme zpět:

\[ \det(A) = 1 \cdot (-24) – 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 – 15 = 1 \]

Determinant je 1, což znamená, že matice \(A\) je regulární a inverzní matice existuje.

Dalším krokem je spočítat matici algebraických doplňků \(A_{ij}\). Pro každý prvek spočítáme determinant příslušné menší matice 2×2 a aplikujeme znaménko podle vzorce \((-1)^{i+j}\):

• \(A_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = -24\)
• \(A_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = -(-20) = 20\)
• \(A_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = -5\)
• \(A_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) = -(-18) = 18\)
• \(A_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15\)
• \(A_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 6 – 2 \cdot 5) = – (6 – 10) = 4\)
• \(A_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5\)
• \(A_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -4\)
• \(A_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1\)

Matice doplňků je tedy:

\[ \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice k \(A\) je dána vztahem:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = 1 \cdot \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Tedy

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení:

Nejdříve spočítáme determinant matice \(B\) rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(B) = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} – 0 \cdot \det(\dots) + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \]

Vypočítáme determinanty 2×2:

• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 4 = 15 – 8 = 7\)
• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – 3 \cdot 0 = 4\)

Dosadíme:

\[ \det(B) = 2 \cdot 7 + 0 + 1 \cdot 4 = 14 + 4 = 18 \]

Determinant je 18, matice je regulární.

Teď spočítáme matici doplňků \(B_{ij}\):

• \(B_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 7\)
• \(B_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 5 – 2 \cdot 0) = -5\)
• \(B_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 4\)
• \(B_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 5 – 1 \cdot 4) = 4\)
• \(B_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 2 \cdot 5 – 1 \cdot 0 = 10\)
• \(B_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 4 – 0 \cdot 0) = -8\)
• \(B_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot 2 – 1 \cdot 3 = -3\)
• \(B_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – 1 \cdot 1) = – (4 – 1) = -3\)
• \(B_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – 0 \cdot 1 = 6\)

Matice doplňků:

\[ \begin{pmatrix} 7 & -5 & 4 \\ 4 & 10 & -8 \\ -3 & -3 & 6 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(B) = \begin{pmatrix} 7 & 4 & -3 \\ -5 & 10 & -3 \\ 4 & -8 & 6 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je:

\[ B^{-1} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 7 & 4 & -3 \\ -5 & 10 & -3 \\ 4 & -8 & 6 \end{pmatrix} \]

Řešení:

Determinant spočítáme rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(C) = 4 \cdot \det \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} – 7 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \]

Determinanty 2×2:

• \(\det \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = 6 \cdot 1 – 1 \cdot 5 = 6 – 5 = 1\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 1 \cdot 2 = 3 – 2 = 1\)
• \(\det \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 – 6 \cdot 2 = 15 – 12 = 3\)

Dosadíme:

\[ \det(C) = 4 \cdot 1 – 7 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 4 – 7 + 6 = 3 \]

Matice je regulární, protože determinant není nulový.

Spočítáme matici doplňků:

• \(C_{11} = (+1) \cdot 1 = 1\)
• \(C_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = -1\)
• \(C_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 3\)
• \(C_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = – (7 \cdot 1 – 2 \cdot 5) = – (7 – 10) = 3\)
• \(C_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 4 \cdot 1 – 2 \cdot 2 = 4 – 4 = 0\)
• \(C_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 5 – 7 \cdot 2) = – (20 – 14) = -6\)
• \(C_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = 7 \cdot 1 – 2 \cdot 6 = 7 – 12 = -5\)
• \(C_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = – (4 \cdot 1 – 2 \cdot 3) = – (4 – 6) = 2\)
• \(C_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 3 = 24 – 21 = 3\)

Matice doplňků:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & -6 \\ -5 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(C) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & -6 & 3 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice je:

\[ C^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & -6 & 3 \end{pmatrix} \]

Řešení:

Determinant spočítáme rozvojem podle prvního řádku:

\[ \det(D) = 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} – 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \]

Determinanty 2×2:

• \(\det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 3 \cdot 5 = -15\), ale tento člen je vynásoben 0, takže ignorujeme
• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot 6 – 3 \cdot 4 = 6 – 12 = -6\)
• \(\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 – 0 \cdot 4 = 5\)

Dosadíme:

\[ \det(D) = 0 – 1 \cdot (-6) + 2 \cdot 5 = 0 + 6 + 10 = 16 \]

Determinant je 16, matice je regulární.

Spočítáme matici doplňků:

• \(D_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = -15\)
• \(D_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = -(-6) = 6\)
• \(D_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 5\)
• \(D_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 6 – 2 \cdot 5) = – (6 – 10) = 4\)
• \(D_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 – 2 \cdot 4 = -8\)
• \(D_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 5 – 1 \cdot 4) = 4\)
• \(D_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 – 2 \cdot 0 = 3\)
• \(D_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 3 – 2 \cdot 1) = 2\)
• \(D_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1\)

Matice doplňků:

\[ \begin{pmatrix} -15 & 6 & 5 \\ 4 & -8 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(D) = \begin{pmatrix} -15 & 4 & 3 \\ 6 & -8 & 2 \\ 5 & 4 & -1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ D^{-1} = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} -15 & 4 & 3 \\ 6 & -8 & 2 \\ 5 & 4 & -1 \end{pmatrix} \]

Řešení:

Determinant spočítáme rozvojem podle druhého řádku (který obsahuje nulu, což často usnadňuje výpočet):

\[ \det(E) = -1^{2+1} \cdot 0 \cdot \det(\dots) + 1^{2+2} \cdot 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} – 1^{2+3} \cdot 0 \cdot \det(\dots) \]

Determinanty mimo střední prvek jsou vynásobené nulou, tedy pouze jedna složka:

\[ \det(E) = 1 \cdot (1 \cdot 4 – 1 \cdot 2) = 1 \cdot (4 – 2) = 2 \]

Determinant je 2, matice je regulární.

Spočítáme matici doplňků:

• \(E_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – 0 \cdot 3 = 4\)
• \(E_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 4 – 0 \cdot 2) = 0\)
• \(E_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 0 \cdot 3 – 1 \cdot 2 = -2\)
• \(E_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 4 – 1 \cdot 3) = – (8 – 3) = -5\)
• \(E_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – 1 \cdot 2 = 2\)
• \(E_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 3 – 2 \cdot 2) = – (3 – 4) = 1\)
• \(E_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1\)
• \(E_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 0 – 1 \cdot 0) = 0\)
• \(E_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1\)

Matice doplňků:

\[ \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ -5 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice doplňků:

\[ \text{adj}(E) = \begin{pmatrix} 4 & -5 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Inverzní matice:

\[ E^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -5 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]