Jehlan

Řešení příkladu:

Podstava je jehlanu čtverec o straně \( a = 6 \,\text{cm} \), takže obsah podstavy je:

\( S_p = a^2 = 6^2 = 36 \,\text{cm}^2 \)

Výška jehlanu je \( v = 9 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu se počítá podle vzorce:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v \Rightarrow V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 \)

\( V = \frac{1}{3} \cdot 324 = 108 \,\text{cm}^3 \)

Tedy objem jehlanu je \(108 \,\text{cm}^3\).

Řešení příkladu:

Podstava je trojúhelník se stranami \(3\,\text{cm}, 4\,\text{cm}, 5\,\text{cm}\), což je pravý trojúhelník.

Obsah trojúhelníku je:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \,\text{cm}^2 \)

Výška jehlanu je \( v = 12 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 72 = 24 \,\text{cm}^3 \)

Tedy objem jehlanu je \(24 \,\text{cm}^3\).

Řešení příkladu:

Podstava je rovnostranný trojúhelník se stranou \( a = 8 \,\text{cm} \).

Obsah rovnostranného trojúhelníku je:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \,\text{cm}^2 \)

Výška jehlanu je \( v = 15 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 15 = 80 \sqrt{3} \,\text{cm}^3 \)

Pro povrch je třeba spočítat obsah bočních stěn. Nejprve zjistíme délku výšky stěny (boční výška) jehlanu.

Výška podstavy trojúhelníku je:

\( h_p = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 4\sqrt{3} \,\text{cm} \)

Boční výšku \( v_b \) vypočítáme pomocí Pythagorovy věty, kdy základ je \( \frac{2}{3} h_p \) (od vrcholu podstavy k těžišti):

\( v_b = \sqrt{v^2 + \left(\frac{2}{3}h_p\right)^2} = \sqrt{15^2 + \left(\frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{225 + \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2} \)

\( = \sqrt{225 + \frac{64 \cdot 3}{9}} = \sqrt{225 + \frac{192}{9}} = \sqrt{225 + 21{,}33} = \sqrt{246{,}33} \approx 15{,}7 \,\text{cm} \)

Obvod podstavy je \( o = 3 \cdot 8 = 24 \,\text{cm} \).

Obsah všech bočních stěn je:

\( S_b = \frac{1}{2} o \cdot v_b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 15{,}7 = 12 \cdot 15{,}7 = 188{,}4 \,\text{cm}^2 \)

Celkový povrch je:

\( S = S_p + S_b = 16 \sqrt{3} + 188{,}4 \approx 27{,}7 + 188{,}4 = 216{,}1 \,\text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Podstava je obdélník o stranách \( a = 5 \,\text{cm} \) a \( b = 12 \,\text{cm} \).

Obsah podstavy je:

\( S_p = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60 \,\text{cm}^2 \)

Výška jehlanu je \( v = 10 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot 10 = \frac{600}{3} = 200 \,\text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Podstava je rovnostranný trojúhelník se stranou \( a = 10 \,\text{cm} \).

Obsah podstavy je:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25 \sqrt{3} \,\text{cm}^2 \)

Objem je \( V = 200 \,\text{cm}^3 \).

Vzorec pro objem jehlanu je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v \Rightarrow v = \frac{3V}{S_p} \)

Dosadíme hodnoty:

\( v = \frac{3 \cdot 200}{25 \sqrt{3}} = \frac{600}{25 \sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \)

Racionalizujeme jmenovatel:

\( v = \frac{24}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{24 \sqrt{3}}{3} = 8 \sqrt{3} \approx 13{,}86 \,\text{cm} \)

Tedy výška jehlanu je přibližně \(13{,}86 \,\text{cm}\).

Řešení příkladu:

Obsah kosočtverce je dán vzorcem:

\( S_p = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 24}{2} = \frac{240}{2} = 120 \,\text{cm}^2 \)

Výška jehlanu je \( v = 9 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot 9 = \frac{1080}{3} = 360 \,\text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec o straně \( a = 4 \,\text{cm} \), výška jehlanu je \( v = 12 \,\text{cm} \).

Boční hrana je tvořena spojením vrcholu podstavy s vrcholem jehlanu.

Nejprve najdeme vzdálenost od středu podstavy k vrcholu podstavy:

Polovina úhlopříčky čtverce je:

\( \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \,\text{cm} \)

Boční hrana je přepona pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny jsou výška \( v \) a polovina úhlopříčky \( 2 \sqrt{2} \).

Délka boční hrany \( l \):

\( l = \sqrt{v^2 + \left(2 \sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + (2 \sqrt{2})^2} = \sqrt{144 + 8} = \sqrt{152} \approx 12{,}33 \,\text{cm} \)

Tedy délka boční hrany je přibližně \(12{,}33 \,\text{cm}\).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy je:

\( S_p = 7 \cdot 10 = 70 \,\text{cm}^2 \)

Objem jehlanu je \( V = 280 \,\text{cm}^3 \).

Vzorec pro výšku jehlanu je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v \Rightarrow v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 280}{70} = \frac{840}{70} = 12 \,\text{cm} \)

Tedy výška jehlanu je \(12 \,\text{cm}\).

Řešení příkladu:

Podstava je rovnoramenný trojúhelník se základnou \( b = 6 \,\text{cm} \) a rameny \( a = 5 \,\text{cm} \).

Nejprve vypočítáme výšku podstavy \( h_p \) pomocí Pythagorovy věty:

Výška k základně rozdělí základnu na dvě poloviny po 3 cm, tedy:

\( h_p = \sqrt{a^2 – \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \,\text{cm} \)

Obsah podstavy je:

\( S_p = \frac{1}{2} b \cdot h_p = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \,\text{cm}^2 \)

Výška jehlanu je \( v = 14 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 14 = \frac{168}{3} = 56 \,\text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Nejprve si představme jehlan s podstavou ve tvaru čtverce o hraně \( a = 6 \) cm a výškou \( v = 10 \) cm.

Obsah celé plášťové plochy je dán součtem obsahů všech čtyř bočních stěn. Každá boční stěna je trojúhelník s podstavou \( a \) a výškou odpovídající výšce boční stěny jehlanu (apothema) označené jako \( s \).

Nejdříve spočítáme apothemu \( s \). Apothema je výška boční stěny, která je pravá a spojuje vrchol jehlanu s polovinou strany podstavy.

Polovina hrany podstavy je \( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) cm.

Pomocí Pythagorovy věty vypočítáme apothemu \( s \):

\( s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 + 3^2} = \sqrt{100 + 9} = \sqrt{109} \approx 10,44 \, \text{cm} \)

Nyní spočítáme obsah jedné boční stěny (trojúhelníku):

\( S_{\text{boční}} = \frac{a \cdot s}{2} = \frac{6 \cdot 10,44}{2} = 3 \cdot 10,44 = 31,32 \, \text{cm}^2 \)

Obsah celé plášťové plochy je součet obsahů 4 bočních stěn:

\( S_{\text{plášť}} = 4 \cdot S_{\text{boční}} = 4 \cdot 31,32 = 125,28 \, \text{cm}^2 \)

Odpověď: Obsah plášťové plochy je přibližně \( 125,28 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Objem jehlanu \(V\) je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v \), kde \(S_p\) je obsah podstavy a \(v\) výška jehlanu.

Nejprve spočítáme obsah trojúhelníkové podstavy pomocí Heronova vzorce. Nejprve vypočteme poloviční obvod:

\( s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \, cm \)

Obsah podstavy je:

\( S_p = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} \approx 14,7 \, cm^2 \)

Dosadíme do vzorce pro objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 14,7 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 132,3 = 44,1 \, cm^3 \)

Odpověď: Objem jehlanu je přibližně \(44,1 \, cm^3\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme délku přepony podstavy:

\( c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \, cm \)

Obsah podstavy je polovina součinu odvěsen:

\( S_p = \frac{8 \cdot 15}{2} = 60 \, cm^2 \)

Objem není potřeba, počítáme povrch – tedy obsah pláště a podstavy.

Pro výpočet obsahu pláště musíme zjistit výšky jednotlivých bočních stěn (trojúhelníků).

Apothema boční stěny je vzdálenost od vrcholu jehlanu k hraně základny kolmice na tuto hranu.

Nejdříve spočítáme délku hrany jehlanu (výšku bočních stěn) pro každou stranu podstavy.

Pro stranu \(8 \, cm\): apothema je:

\( s_1 = \sqrt{v^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} \approx 12,65 \, cm \)

Pro stranu \(15 \, cm\): apothema je:

\( s_2 = \sqrt{12^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2} = \sqrt{144 + 56,25} = \sqrt{200,25} \approx 14,15 \, cm \)

Pro stranu \(17 \, cm\): apothema je:

\( s_3 = \sqrt{12^2 + \left(\frac{17}{2}\right)^2} = \sqrt{144 + 72,25} = \sqrt{216,25} \approx 14,7 \, cm \)

Obsah pláště je součet obsahů tří trojúhelníků s délkou podstavy a apothem:

\( S_{\text{plášť}} = \frac{8 \cdot 12,65}{2} + \frac{15 \cdot 14,15}{2} + \frac{17 \cdot 14,7}{2} = 50,6 + 106,1 + 124,95 = 281,65 \, cm^2 \)

Celkový povrch je tedy:

\( S = S_p + S_{\text{plášť}} = 60 + 281,65 = 341,65 \, cm^2 \)

Odpověď: Povrch jehlanu je přibližně \(341,65 \, cm^2\).

Řešení příkladu:

Hrany bočních stěn jsou úseky spojující vrchol jehlanu s vrcholy podstavy.

Podstava je čtverec se stranou \(a=10\,cm\). Výška jehlanu je \(v=15\,cm\).

Vzdálenost od středu podstavy k vrcholu podstavy je polovina úhlopříčky čtverce:

\( r = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{10 \cdot \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \approx 7,07\,cm \)

Hrana boční stěny je přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami \(v\) a \(r\):

\( h = \sqrt{v^2 + r^2} = \sqrt{15^2 + (7,07)^2} = \sqrt{225 + 50} = \sqrt{275} \approx 16,58\,cm \)

Odpověď: Délka hrany boční stěny je přibližně \(16,58\,cm\).

Řešení příkladu:

Pravidelný trojúhelník má všechny strany stejné, \(a=12\,cm\).

Obsah rovnostranného trojúhelníku je dán vzorcem:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62,35\, cm^2 \)

Objem jehlanu je:

\( V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 62,35 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 561,15 = 187,05 \, cm^3 \)

Odpověď: Obsah podstavy je přibližně \(62,35\, cm^2\), objem jehlanu přibližně \(187,05\, cm^3\).

Řešení příkladu:

Apothema je výška boční stěny kolmice z vrcholu jehlanu na hranu podstavy.

Polovina strany, ke které počítáme apothemu, je \( \frac{7}{2} = 3,5\, cm \).

Výška jehlanu je \(v = 9\, cm\).

Pomocí Pythagorovy věty vypočítáme apothemu \(s\):

\( s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{9^2 + 3,5^2} = \sqrt{81 + 12,25} = \sqrt{93,25} \approx 9,65\, cm \)

Odpověď: Apothema pro stranu 7 cm je přibližně \(9,65\, cm\).

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec se stranou \(a=5\,cm\), výška jehlanu \(v=13\,cm\).

Polovina strany podstavy je \( \frac{5}{2} = 2,5\, cm \).

Apothema (výška boční stěny) je:

\( s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 + 2,5^2} = \sqrt{169 + 6,25} = \sqrt{175,25} \approx 13,24\, cm \)

Obsah podstavy je:

\( S_p = a^2 = 5^2 = 25\, cm^2 \)

Obsah jedné boční stěny (trojúhelníku) je:

\( S_b = \frac{a \cdot s}{2} = \frac{5 \cdot 13,24}{2} = 33,1\, cm^2 \)

Celkový obsah pláště je:

\( S_{\text{plášť}} = 4 \cdot S_b = 4 \cdot 33,1 = 132,4\, cm^2 \)

Celkový povrch je tedy:

\( S = S_p + S_{\text{plášť}} = 25 + 132,4 = 157,4\, cm^2 \)

Odpověď: Celkový povrch jehlanu je přibližně \(157,4\, cm^2\).

Řešení příkladu:

Objem jehlanu je \( V = \frac{1}{3} S_p v \), kde \(S_p\) je obsah šestiúhelníkové podstavy a \(v\) výška jehlanu.

Obsah pravidelného šestiúhelníku je:

\( S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24 \sqrt{3} \approx 41,57\, cm^2 \)

Dosadíme do vzorce pro objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 41,57 \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot 415,7 = 138,57\, cm^3 \)

Odpověď: Objem jehlanu je přibližně \(138,57\, cm^3\).

Řešení příkladu:

Délka přepony podstavy je:

\( c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\, cm \)

Obsah podstavy je:

\( S_p = \frac{9 \cdot 12}{2} = 54\, cm^2 \)

Výška jehlanu je \(v = 20\, cm\).

Pro výpočet povrchu spočítáme apotemy k jednotlivým stranám:

\( s_1 = \sqrt{v^2 + \left(\frac{9}{2}\right)^2} = \sqrt{400 + 20,25} = \sqrt{420,25} \approx 20,5\, cm \)

\( s_2 = \sqrt{v^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{400 + 36} = \sqrt{436} \approx 20,88\, cm \)

\( s_3 = \sqrt{v^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2} = \sqrt{400 + 56,25} = \sqrt{456,25} \approx 21,37\, cm \)

Obsah pláště je:

\( S_{\text{plášť}} = \frac{9 \cdot 20,5}{2} + \frac{12 \cdot 20,88}{2} + \frac{15 \cdot 21,37}{2} = 92,25 + 125,28 + 160,28 = 377,81\, cm^2 \)

Celkový povrch je:

\( S = S_p + S_{\text{plášť}} = 54 + 377,81 = 431,81\, cm^2 \)

Odpověď: Povrch jehlanu je přibližně \(431,81\, cm^2\).

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný šestiúhelník se stranou \( a = 5 \,\text{cm} \).

Obsah pravidelného šestiúhelníku je dán vzorcem:

\( S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 5^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 25 = \frac{75 \sqrt{3}}{2} \approx 64{,}95 \,\text{cm}^2 \)

Výška jehlanu je \( v = 12 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu spočítáme podle vzorce:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 64{,}95 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 779{,}4 = 259{,}8 \,\text{cm}^3 \)

Tedy objem jehlanu je přibližně \(259{,}8 \,\text{cm}^3\).

Řešení příkladu:

Podstava je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami \( a = 6 \,\text{cm} \) a \( b = 8 \,\text{cm} \).

Obsah podstavy je:

\( S_p = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \,\text{cm}^2 \)

Výška jehlanu je \( v = 15 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 15 = \frac{1}{3} \cdot 360 = 120 \,\text{cm}^3 \)

Tedy objem jehlanu je \(120 \,\text{cm}^3\) a obsah podstavy je \(24 \,\text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy je \( S_p = 54 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu je \( v = 14 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 14 = \frac{756}{3} = 252 \,\text{cm}^3 \)

Tedy objem jehlanu je \(252 \,\text{cm}^3\).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy je:

\( S_p = 8 \cdot 15 = 120 \,\text{cm}^2 \).

Objem je \( V = 320 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu je podle vzorce:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 320}{120} = \frac{960}{120} = 8 \,\text{cm} \).

Tedy výška jehlanu je \(8 \,\text{cm}\).

Řešení příkladu:

Podstava je rovnostranný trojúhelník o straně \( a = 9 \,\text{cm} \).

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 81 = 20{,}25 \sqrt{3} \,\text{cm}^2 \approx 35{,}07 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 12 \,\text{cm} \).

Boční stěna je trojúhelník s podstavnou stranou 9 cm a výškou 12 cm, jeho obsah je:

\( S_b^{(1)} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54 \,\text{cm}^2 \).

Je 3 boční stěny, celkový obsah bočních stěn:

\( S_b = 3 \cdot 54 = 162 \,\text{cm}^2 \).

Celkový povrch je:

\( S = S_p + S_b \approx 35{,}07 + 162 = 197{,}07 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec o straně \( a = 10 \,\text{cm} \).

Polovina úhlopříčky čtverce je:

\( d = a \sqrt{2} = 10 \sqrt{2} \Rightarrow \frac{d}{2} = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}07 \,\text{cm} \).

Výška jehlanu \( v = 20 \,\text{cm} \).

Délka šikmé hrany \( l \) je přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami \( v \) a \( \frac{d}{2} \):

\( l = \sqrt{v^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 + (7{,}07)^2} = \sqrt{400 + 50} = \sqrt{450} \approx 21{,}21 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podstava je pravoúhlý trojúhelník se stranami \( 6 \,\text{cm} \) a \( 8 \,\text{cm} \).

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 15 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 15 = \frac{360}{3} = 120 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy kosočtverce je:

\( S_p = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 18 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 18 = \frac{1728}{3} = 576 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Podstava je rovnostranný trojúhelník o straně \( a = 10 \,\text{cm} \).

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25 \sqrt{3} \approx 43{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 9 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 43{,}30 \cdot 9 = \frac{389{,}7}{3} = 129{,}9 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 7 \cdot 10 = 70 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 20 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 70 \cdot 20 = \frac{1400}{3} \approx 466{,}67 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy rovnostranného trojúhelníku:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 16 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 62{,}35 \cdot 16 = \frac{997{,}6}{3} \approx 332{,}53 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy je \( S_p = 80 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 25 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 80 \cdot 25 = \frac{2000}{3} \approx 666{,}67 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 6^2 = 36 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 10 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = \frac{360}{3} = 120 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Podstava je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 5 cm a 12 cm.

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 9 \,\text{cm} \).

Objem jehlanu:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 9 = 90 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 9 \cdot 4 = 36 \,\text{cm}^2 \).

Objem jehlanu je \( V = 96 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 96}{36} = \frac{288}{36} = 8 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy rovnostranného trojúhelníku:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16 \sqrt{3} \approx 27{,}71 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 8 = 24 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn (3 trojúhelníky s podstavnou stranou 8 cm a výškou 17 cm):

\( S_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 17 = 3 \cdot 68 = 204 \,\text{cm}^2 \).

Celkový povrch je:

\( S = S_p + S_b \approx 27{,}71 + 204 = 231{,}71 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Polovina úhlopříčky čtverce o straně 5 cm je:

\( \frac{d}{2} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot 1{,}414}{2} \approx 3{,}54 \,\text{cm} \).

Výška jehlanu \( v = 13 \,\text{cm} \).

Délka šikmé hrany je:

\( l = \sqrt{v^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 + 3{,}54^2} = \sqrt{169 + 12{,}53} = \sqrt{181{,}53} \approx 13{,}47 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 3 \cdot 7 = 21 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 21 \cdot 10 = 70 \,\text{cm}^3 \).

Obvod podstavy:

\( o = 2 \cdot (3 + 7) = 20 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot o \cdot \text{výška boční stěny} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 12 = 120 \,\text{cm}^2 \).

Celkový povrch:

\( S = S_p + S_b = 21 + 120 = 141 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy rovnostranného trojúhelníku:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9 \sqrt{3} \approx 15{,}59 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 8 \,\text{cm} \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 15{,}59 \cdot 8 = \frac{124{,}72}{3} \approx 41{,}57 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 10 \cdot 5 = 50 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 2 \cdot (10 + 5) = 30 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot o \cdot 20 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 20 = 300 \,\text{cm}^2 \).

Celkový povrch:

\( S = S_p + S_b = 50 + 300 = 350 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Polovina výšky rovnostranného trojúhelníku je:

\( h = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 9 = 7{,}794 \,\text{cm} \).

Vzdálenost od středu k vrcholu podstavy (výška trojúhelníku dělená 3):

\( r = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot 7{,}794 = 5{,}196 \,\text{cm} \).

Výška jehlanu \( v = 14 \,\text{cm} \).

Délka šikmé hrany:

\( l = \sqrt{v^2 + r^2} = \sqrt{14^2 + 5{,}196^2} = \sqrt{196 + 27} = \sqrt{223} \approx 14{,}93 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 8^2 = 64 \,\text{cm}^2 \).

Objem jehlanu:

\( V = 256 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 256}{64} = \frac{768}{64} = 12 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podstava je pravoúhlý trojúhelník, protože \(7^2 + 24^2 = 25^2\).

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 12 \,\text{cm} \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 84 \cdot 12 = 336 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Polovina úhlopříčky čtverce:

\( \frac{d}{2} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}07 \,\text{cm} \).

Výška jehlanu \( v = 9 \,\text{cm} \).

Délka šikmé hrany:

\( l = \sqrt{v^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{9^2 + 7{,}07^2} = \sqrt{81 + 50} = \sqrt{131} \approx 11{,}45 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 8 \cdot 6 = 48 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 15 = 240 \,\text{cm}^3 \).

Obvod podstavy:

\( o = 2 \cdot (8 + 6) = 28 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot o \cdot 17 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 17 = 238 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = S_p + S_b = 48 + 238 = 286 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 10 \,\text{cm} \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 62{,}35 \cdot 10 = 207{,}83 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 7^2 = 49 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 4 \cdot 7 = 28 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot o \cdot 22 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 22 = 308 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 49 + 308 = 357 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 9 cm a 40 cm.

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = 180 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 18 \,\text{cm} \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 180 \cdot 18 = 1080 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Polovina úhlopříčky:

\( \frac{d}{2} = \frac{15 \sqrt{2}}{2} = 7{,}5 \sqrt{2} \approx 10{,}61 \,\text{cm} \).

Výška jehlanu \( v = 24 \,\text{cm} \).

Délka šikmé hrany:

\( l = \sqrt{24^2 + 10{,}61^2} = \sqrt{576 + 112{,}58} = \sqrt{688{,}58} \approx 26{,}25 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 11 \cdot 5 = 55 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 55 \cdot 14 = \frac{770}{3} \approx 256{,}67 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = 25 \sqrt{3} \approx 43{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 10 = 30 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 20 = 300 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 43{,}30 + 300 = 343{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 6^2 = 36 \,\text{cm}^2 \).

Objem jehlanu:

\( V = 288 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 288}{36} = \frac{864}{36} = 24 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu:

\( v = 9 \,\text{cm} \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 9 = 90 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 14^2 = 196 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 4 \cdot 14 = 56 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot o \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 56 \cdot 12 = 336 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 196 + 336 = 532 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16 \sqrt{3} \approx 27{,}71 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 18 \,\text{cm} \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 27{,}71 \cdot 18 = 166{,}26 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 9 \cdot 4 = 36 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 2 \cdot (9 + 4) = 26 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot o \cdot 13 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 13 = 169 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 36 + 169 = 205 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 5^2 = 25 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = 125 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 125}{25} = \frac{375}{25} = 15 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9 \sqrt{3} \approx 15{,}59 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 6 = 18 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 10 = 90 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 15{,}59 + 90 = 105{,}59 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 10 \cdot 3 = 30 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 7 = 70 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Polovina úhlopříčky:

\( \frac{d}{2} = \frac{12 \sqrt{2}}{2} = 6 \sqrt{2} \approx 8{,}49 \,\text{cm} \).

Výška jehlanu \( v = 16 \,\text{cm} \).

Délka šikmé hrany:

\( l = \sqrt{16^2 + 8{,}49^2} = \sqrt{256 + 72{,}07} = \sqrt{328{,}07} \approx 18{,}11 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 6 + 8 + 10 = 24 \,\text{cm} \) (přepona je 10 cm).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 17 = 204 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 24 + 204 = 228 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 9^2 = 81 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = 486 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 486}{81} = \frac{1458}{81} = 18 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25 \sqrt{3} \approx 43{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 15 \,\text{cm} \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 43{,}30 \cdot 15 = 216{,}50 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 7^2 = 49 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 4 \cdot 7 = 28 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 14 = 196 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 49 + 196 = 245 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 8 \cdot 5 = 40 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 40 \cdot 20 = \frac{1}{3} \cdot 800 = 266{,}67 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 12 = 36 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 20 = 360 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 62{,}35 + 360 = 422{,}35 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 11^2 = 121 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = 968 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 968}{121} = \frac{2904}{121} \approx 24{,}00 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 7 \cdot 3 = 21 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 2 \cdot (7 + 3) = 20 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 11 = 110 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 21 + 110 = 131 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 10 = 180 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Polovina úhlopříčky podstavy:

\( \frac{d}{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} \approx 4{,}24 \,\text{cm} \).

Výška jehlanu:

\( v = 15 \,\text{cm} \).

Délka šikmé hrany:

\( l = \sqrt{15^2 + 4{,}24^2} = \sqrt{225 + 17{,}98} = \sqrt{242{,}98} \approx 15{,}59 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 81 = 20{,}25 \sqrt{3} \approx 35{,}07 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 9 = 27 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 25 = 337{,}5 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 35{,}07 + 337{,}5 = 372{,}57 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 8^2 = 64 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = 512 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 512}{64} = \frac{1536}{64} = 24 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 15^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 225 = 56{,}25 \sqrt{3} \approx 97{,}43 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu \( v = 30 \,\text{cm} \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 97{,}43 \cdot 30 = 974{,}30 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 10^2 = 100 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 4 \cdot 10 = 40 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 20 = 400 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 100 + 400 = 500 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 9 \cdot 6 = 54 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 22 = 396 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16 \sqrt{3} \approx 27{,}71 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 8 = 24 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 14 = 168 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 27{,}71 + 168 = 195{,}71 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 12^2 = 144 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = 1152 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 1152}{144} = \frac{3456}{144} = 24 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 10 \cdot 4 = 40 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 2 \cdot (10 + 4) = 28 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 18 = 252 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 40 + 252 = 292 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 10 = 100 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Polovina úhlopříčky podstavy:

\( \frac{d}{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{2} = 4{,}5 \sqrt{2} \approx 6{,}36 \,\text{cm} \).

Výška jehlanu:

\( v = 20 \,\text{cm} \).

Délka šikmé hrany:

\( l = \sqrt{20^2 + 6{,}36^2} = \sqrt{400 + 40{,}45} = \sqrt{440{,}45} \approx 20{,}99 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25 \sqrt{3} \approx 43{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 10 = 30 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 19 = 285 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 43{,}30 + 285 = 328{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 7^2 = 49 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = 490 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 490}{49} = \frac{1470}{49} = 30 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 14^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 196 = 49 \sqrt{3} \approx 84{,}87 \,\text{cm}^2 \).

Výška jehlanu:

\( v = 24 \,\text{cm} \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 84{,}87 \cdot 24 = 679{,}0 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 11^2 = 121 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 4 \cdot 11 = 44 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 44 \cdot 27 = 594 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 121 + 594 = 715 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 8 \cdot 5 = 40 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 40 \cdot 15 = 200 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 12 = 36 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 22 = 396 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 62{,}35 + 396 = 458{,}35 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 14^2 = 196 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = 2744 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 2744}{196} = \frac{8232}{196} = 42 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 7 \cdot 3 = 21 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 2 \cdot (7 + 3) = 20 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 21 + 150 = 171 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 12 = 96 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Polovina úhlopříčky podstavy:

\( \frac{d}{2} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}07 \,\text{cm} \).

Výška jehlanu:

\( v = 26 \,\text{cm} \).

Délka šikmé hrany:

\( l = \sqrt{26^2 + 7{,}07^2} = \sqrt{676 + 50} = \sqrt{726} \approx 26{,}93 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 256 = 64 \sqrt{3} \approx 110{,}85 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 16 = 48 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 30 = 720 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 110{,}85 + 720 = 830{,}85 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 8^2 = 64 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = 682 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 682}{64} = \frac{2046}{64} \approx 31{,}97 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 18^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 324 = 81 \sqrt{3} \approx 140{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 140{,}30 \cdot 30 = 1403 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 12^2 = 144 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 4 \cdot 12 = 48 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 22 = 528 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 144 + 528 = 672 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 10 \cdot 6 = 60 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot 18 = 360 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 15^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 225 = 56{,}25 \sqrt{3} \approx 97{,}43 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 15 = 45 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 27 = 607{,}5 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 97{,}43 + 607{,}5 = 704{,}93 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 13^2 = 169 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = 3388 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 3388}{169} = \frac{10164}{169} = 60 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 9 \cdot 4 = 36 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 2 \cdot (9 + 4) = 26 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 16 = 208 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 36 + 208 = 244 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 = 31{,}5 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 31{,}5 \cdot 15 = 157{,}5 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Polovina úhlopříčky podstavy:

\( \frac{d}{2} = \frac{11 \sqrt{2}}{2} = 5{,}5 \sqrt{2} \approx 7{,}78 \,\text{cm} \).

Výška jehlanu:

\( v = 23 \,\text{cm} \).

Délka šikmé hrany:

\( l = \sqrt{23^2 + 7{,}78^2} = \sqrt{529 + 60{,}53} = \sqrt{589{,}53} \approx 24{,}28 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 14^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 196 = 49 \sqrt{3} \approx 84{,}87 \,\text{cm}^2 \).

Obvod podstavy:

\( o = 3 \cdot 14 = 42 \,\text{cm} \).

Obsah bočních stěn:

\( S_b = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 28 = 588 \,\text{cm}^2 \).

Povrch:

\( S = 84{,}87 + 588 = 672{,}87 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\( S_p = 9^2 = 81 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = 972 \,\text{cm}^3 \).

Výška jehlanu:

\( v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 972}{81} = \frac{2916}{81} = 36 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 12^2 = 144 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 6^2 = 36 \,\text{cm}^2 \).

Objem komolého jehlanu:

\( V = \frac{v}{3} \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}) = \frac{15}{3} \cdot (144 + 36 + \sqrt{144 \cdot 36}) \).

\( \sqrt{144 \cdot 36} = \sqrt{5184} = 72 \).

\( V = 5 \cdot (180 + 72) = 5 \cdot 252 = 1260 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy rovnostranného trojúhelníku:

\( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).

Dolní podstava:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = 25 \sqrt{3} \approx 43{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Horní podstava:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9 \sqrt{3} \approx 15{,}59 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{20}{3} \cdot (43{,}30 + 15{,}59 + \sqrt{43{,}30 \cdot 15{,}59}) \).

\( \sqrt{43{,}30 \cdot 15{,}59} \approx \sqrt{675} = 25{,}98 \).

\( V = \frac{20}{3} \cdot (58{,}89 + 25{,}98) = \frac{20}{3} \cdot 84{,}87 \approx 566{,}47 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolnej podstavy:

\( S_1 = 12 \cdot 8 = 96 \,\text{cm}^2 \).

Obsah hornej podstavy:

\( S_2 = 6 \cdot 4 = 24 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{18}{3} \cdot (96 + 24 + \sqrt{96 \cdot 24}) = 6 \cdot (120 + \sqrt{2304}) \).

\( \sqrt{2304} = 48 \).

\( V = 6 \cdot (120 + 48) = 6 \cdot 168 = 1008 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 14^2 = 49 \sqrt{3} \approx 84{,}87 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = 16 \sqrt{3} \approx 27{,}71 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 14 = 42 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 8 = 24 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot \text{výška boční stěny} = \frac{42 + 24}{2} \cdot 25 = 33 \cdot 25 = 825 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = S_1 + S_2 + S_b = 84{,}87 + 27{,}71 + 825 = 937{,}58 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolnej podstavy:

\( S_1 = 15^2 = 225 \,\text{cm}^2 \).

Obsah hornej podstavy:

\( S_2 = 9^2 = 81 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{20}{3} \cdot (225 + 81 + \sqrt{225 \cdot 81}) \).

\( \sqrt{225 \cdot 81} = \sqrt{18225} = 135 \).

\( V = \frac{20}{3} \cdot (306 + 135) = \frac{20}{3} \cdot 441 = 2940 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolnej podstavy:

\( S_1 = 16 \cdot 10 = 160 \,\text{cm}^2 \).

Obsah hornej podstavy:

\( S_2 = 8 \cdot 5 = 40 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{24}{3} \cdot (160 + 40 + \sqrt{160 \cdot 40}) = 8 \cdot (200 + \sqrt{6400}) \).

\( \sqrt{6400} = 80 \).

\( V = 8 \cdot (200 + 80) = 8 \cdot 280 = 2240 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = 16 \sqrt{3} \approx 27{,}71 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 12 = 36 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 8 = 24 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot 20 = 30 \cdot 20 = 600 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = S_1 + S_2 + S_b = 62{,}35 + 27{,}71 + 600 = 690{,}06 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolnej podstavy:

\( S_1 = 10^2 = 100 \,\text{cm}^2 \).

Obsah hornej podstavy:

\( S_2 = 4^2 = 16 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolnej podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 10 = 40 \,\text{cm} \).

Obvod hornej podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 4 = 16 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{(40 + 16)}{2} \cdot 13 = 28 \cdot 13 = 364 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = S_1 + S_2 + S_b = 100 + 16 + 364 = 480 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolnej podstavy:

\( S_1 = 18 \cdot 6 = 108 \,\text{cm}^2 \).

Obsah hornej podstavy:

\( S_2 = 12 \cdot 4 = 48 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{14}{3} \cdot (108 + 48 + \sqrt{108 \cdot 48}) \).

\( \sqrt{108 \cdot 48} = \sqrt{5184} = 72 \).

\( V = \frac{14}{3} \cdot (156 + 72) = \frac{14}{3} \cdot 228 = 14 \cdot 76 = 1064 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 15^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 225 = 56{,}25 \sqrt{3} \approx 97{,}36 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 81 = 20{,}25 \sqrt{3} \approx 35{,}06 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 15 = 45 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 9 = 27 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{(45 + 27)}{2} \cdot 33 = 36 \cdot 33 = 1188 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = S_1 + S_2 + S_b = 97{,}36 + 35{,}06 + 1188 = 1320{,}42 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 14^2 = 196 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 6^2 = 36 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{10}{3} \cdot (196 + 36 + \sqrt{196 \cdot 36}) \).

\( \sqrt{196 \cdot 36} = \sqrt{7056} = 84 \).

\( V = \frac{10}{3} \cdot (232 + 84) = \frac{10}{3} \cdot 316 = \frac{3160}{3} \approx 1053{,}33 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 20 \cdot 10 = 200 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 14 \cdot 6 = 84 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (20 + 10) = 60 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (14 + 6) = 40 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{60 + 40}{2} \cdot 17 = 50 \cdot 17 = 850 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = S_1 + S_2 + S_b = 200 + 84 + 850 = 1134 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 18^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 324 = 81 \sqrt{3} \approx 140{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{25}{3} \cdot \left(81 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} + \sqrt{81 \sqrt{3} \cdot 36 \sqrt{3}} \right) \).

\( \sqrt{81 \sqrt{3} \cdot 36 \sqrt{3}} = \sqrt{81 \cdot 36 \cdot 3} = \sqrt{8748} \approx 93{,}54 \).

\( V \approx \frac{25}{3} \cdot (140{,}30 + 62{,}35 + 93{,}54) = \frac{25}{3} \cdot 296{,}19 = 8{,}33 \cdot 296{,}19 \approx 2468{,}24 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 10^2 = 150 \sqrt{3} \approx 259{,}81 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 6^2 = 54 \sqrt{3} \approx 93{,}53 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 6 \cdot 10 = 60 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 6 \cdot 6 = 36 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{60 + 36}{2} \cdot 20 = 48 \cdot 20 = 960 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = 259{,}81 + 93{,}53 + 960 = 1313{,}34 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 25 \cdot 15 = 375 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 18 \cdot 9 = 162 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{20}{3} \cdot (375 + 162 + \sqrt{375 \cdot 162}) \).

\( \sqrt{375 \cdot 162} = \sqrt{60750} \approx 246{,}48 \).

\( V \approx \frac{20}{3} \cdot (537 + 246{,}48) = \frac{20}{3} \cdot 783{,}48 = 6{,}67 \cdot 783{,}48 \approx 5223{,}16 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 24^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 576 = 144 \sqrt{3} \approx 249{,}48 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 256 = 64 \sqrt{3} \approx 110{,}85 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 24 = 72 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 16 = 48 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{72 + 48}{2} \cdot 33 = 60 \cdot 33 = 1980 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = 249{,}48 + 110{,}85 + 1980 = 2340{,}33 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 16^2 = 256 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 10^2 = 100 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{12}{3} \cdot (256 + 100 + \sqrt{256 \cdot 100}) \).

\( \sqrt{256 \cdot 100} = \sqrt{25600} = 160 \).

\( V = 4 \cdot (356 + 160) = 4 \cdot 516 = 2064 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 30 \cdot 8 = 240 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 20 \cdot 4 = 80 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (30 + 8) = 76 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (20 + 4) = 48 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{76 + 48}{2} \cdot 18 = 62 \cdot 18 = 1116 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = 240 + 80 + 1116 = 1436 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 18^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 324 = 81 \sqrt{3} \approx 140{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 18 = 54 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 12 = 36 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{54 + 36}{2} \cdot 28 = 45 \cdot 28 = 1260 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = 140{,}30 + 62{,}35 + 1260 = 1462{,}65 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 25 \cdot 10 = 250 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 15 \cdot 6 = 90 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{20}{3} \cdot (250 + 90 + \sqrt{250 \cdot 90}) \).

\( \sqrt{250 \cdot 90} = \sqrt{22500} = 150 \).

\( V = \frac{20}{3} \cdot (340 + 150) = \frac{20}{3} \cdot 490 = \frac{9800}{3} \approx 3266{,}67 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 20^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 400 = 100 \sqrt{3} \approx 173{,}21 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25 \sqrt{3} \approx 43{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 20 = 60 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 10 = 30 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{60 + 30}{2} \cdot 20 = 45 \cdot 20 = 900 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = 173{,}21 + 43{,}30 + 900 = 1116{,}51 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 18^2 = 324 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 12^2 = 144 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{15}{3} \cdot (324 + 144 + \sqrt{324 \cdot 144}) \).

\( \sqrt{324 \cdot 144} = \sqrt{46656} = 216 \).

\( V = 5 \cdot (468 + 216) = 5 \cdot 684 = 3420 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 28 \cdot 14 = 392 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 18 \cdot 8 = 144 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (28 + 14) = 84 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (18 + 8) = 52 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{84 + 52}{2} \cdot 22 = 68 \cdot 22 = 1496 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = 392 + 144 + 1496 = 2032 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 15^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 225 = 56{,}25 \sqrt{3} \approx 97{,}44 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 81 = 20{,}25 \sqrt{3} \approx 35{,}07 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{16}{3} \cdot (97{,}44 + 35{,}07 + \sqrt{97{,}44 \cdot 35{,}07}) \).

\( \sqrt{97{,}44 \cdot 35{,}07} \approx \sqrt{3415{,}63} \approx 58{,}46 \).

\( V = \frac{16}{3} \cdot (132{,}51 + 58{,}46) = \frac{16}{3} \cdot 190{,}97 \approx 1018{,}50 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 22^2 = 484 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 14^2 = 196 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 22 = 88 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 14 = 56 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{88 + 56}{2} \cdot 21 = 72 \cdot 21 = 1512 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = 484 + 196 + 1512 = 2192 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 35 \cdot 12 = 420 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 25 \cdot 8 = 200 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{22}{3} \cdot (420 + 200 + \sqrt{420 \cdot 200}) \).

\( \sqrt{420 \cdot 200} = \sqrt{84000} \approx 289{,}83 \).

\( V = \frac{22}{3} \cdot (620 + 289{,}83) = \frac{22}{3} \cdot 909{,}83 \approx 6672{,}08 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 24^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 576 = 144 \sqrt{3} \approx 249{,}48 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 18^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 324 = 81 \sqrt{3} \approx 140{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 24 = 72 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 18 = 54 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{72 + 54}{2} \cdot 23 = 63 \cdot 23 = 1449 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = 249{,}48 + 140{,}30 + 1449 = 1838{,}78 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 20^2 = 400 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 14^2 = 196 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{17}{3} \cdot (400 + 196 + \sqrt{400 \cdot 196}) \).

\( \sqrt{400 \cdot 196} = \sqrt{78400} = 280 \).

\( V = \frac{17}{3} \cdot (596 + 280) = \frac{17}{3} \cdot 876 = 4964 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 30 \cdot 10 = 300 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 20 \cdot 6 = 120 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (30 + 10) = 80 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (20 + 6) = 52 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{80 + 52}{2} \cdot 20 = 66 \cdot 20 = 1320 \,\text{cm}^2 \).

Povrch celkem:

\( S = 300 + 120 + 1320 = 1740 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 21^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 441 = 110{,}25 \sqrt{3} \approx 190{,}96 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 15^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 225 = 56{,}25 \sqrt{3} \approx 97{,}44 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{19}{3} \cdot (190{,}96 + 97{,}44 + \sqrt{190{,}96 \cdot 97{,}44}) \).

\( \sqrt{190{,}96 \cdot 97{,}44} \approx \sqrt{18617} \approx 136{,}42 \).

\( V = \frac{19}{3} \cdot (288{,}4 + 136{,}42) = \frac{19}{3} \cdot 424{,}82 \approx 2694{,}43 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 14^2 = 196 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 8^2 = 64 \,\text{cm}^2 \).

Objem komolého jehlanu:

\( V = \frac{12}{3} \cdot (196 + 64 + \sqrt{196 \cdot 64}) \Rightarrow \)

\( \sqrt{196 \cdot 64} = \sqrt{12544} = 112 \Rightarrow \)

\( V = 4 \cdot (196 + 64 + 112) = 4 \cdot 372 = 1488 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 25 \cdot 15 = 375 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 10 \cdot 5 = 50 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (25 + 15) = 80 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (10 + 5) = 30 \,\text{cm} \).

Povrch bočních stěn:

\( S_b = \frac{o_1 + o_2}{2} \cdot 12 = \frac{80 + 30}{2} \cdot 12 = 55 \cdot 12 = 660 \,\text{cm}^2 \).

Celkový povrch:

\( S = 375 + 50 + 660 = 1085 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 18^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 324 = 81 \sqrt{3} \approx 140{,}3 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 81 = 20{,}25 \sqrt{3} \approx 35{,}07 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{14}{3} \cdot (140{,}3 + 35{,}07 + \sqrt{140{,}3 \cdot 35{,}07}) \Rightarrow \)

\( \sqrt{140{,}3 \cdot 35{,}07} \approx \sqrt{4919{,}12} \approx 70{,}14 \Rightarrow \)

\( V = \frac{14}{3} \cdot (175{,}37 + 70{,}14) = \frac{14}{3} \cdot 245{,}51 \approx 1144{,}32 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \pi \cdot 10^2 = 100 \pi \approx 314{,}16 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \pi \cdot 4^2 = 16 \pi \approx 50{,}27 \,\text{cm}^2 \).

Objem komolého jehlanu:

\( V = \frac{15}{3} \cdot (314{,}16 + 50{,}27 + \sqrt{314{,}16 \cdot 50{,}27}) \Rightarrow \)

\( \sqrt{314{,}16 \cdot 50{,}27} \approx \sqrt{15787{,}54} \approx 125{,}63 \Rightarrow \)

\( V = 5 \cdot (364{,}43 + 125{,}63) = 5 \cdot 490{,}06 = 2450{,}3 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah pravidelného šestiúhelníku:

\( S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \).

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 6^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 54 \sqrt{3} \approx 93{,}53 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 3^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 9 = 13{,}5 \sqrt{3} \approx 23{,}38 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{9}{3} \cdot (93{,}53 + 23{,}38 + \sqrt{93{,}53 \cdot 23{,}38}) \Rightarrow \)

\( \sqrt{93{,}53 \cdot 23{,}38} \approx \sqrt{2187{,}3} \approx 46{,}78 \Rightarrow \)

\( V = 3 \cdot (116{,}91 + 46{,}78) = 3 \cdot 163{,}69 = 491{,}07 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 24^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 576 = 144 \sqrt{3} \approx 249{,}48 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}37 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 24 = 72 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 12 = 36 \,\text{cm} \).

Výška boční stěny není dána, ale délka boční hrany je 20 cm.

Povrch bočních stěn vypočteme jako průměr obvodů krát délka boční hrany:

\( S_b = \frac{o_1 + o_2}{2} \cdot 20 = \frac{72 + 36}{2} \cdot 20 = 54 \cdot 20 = 1080 \,\text{cm}^2 \).

Celkový povrch:

\( S = S_1 + S_2 + S_b = 249{,}48 + 62{,}37 + 1080 = 1391{,}85 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 40 \cdot 20 = 800 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 25 \cdot 10 = 250 \,\text{cm}^2 \).

Objem komolého jehlanu:

\( V = \frac{16}{3} \cdot (800 + 250 + \sqrt{800 \cdot 250}) \Rightarrow \)

\( \sqrt{800 \cdot 250} = \sqrt{200000} = 447{,}21 \Rightarrow \)

\( V = \frac{16}{3} \cdot (1050 + 447{,}21) = \frac{16}{3} \cdot 1497{,}21 \approx 7990{,}48 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah pravidelného pětiúhelníku:

\( S = \frac{5 a^2}{4 \tan(\pi/5)} \).

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{5 \cdot 10^2}{4 \tan(36^\circ)} = \frac{500}{4 \cdot 0{,}7265} = \frac{500}{2{,}906} \approx 171{,}97 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{5 \cdot 6^2}{4 \tan(36^\circ)} = \frac{180}{2{,}906} \approx 61{,}93 \,\text{cm}^2 \).

Objem:

\( V = \frac{14}{3} \cdot (171{,}97 + 61{,}93 + \sqrt{171{,}97 \cdot 61{,}93}) \Rightarrow \)

\( \sqrt{171{,}97 \cdot 61{,}93} \approx \sqrt{10651{,}9} \approx 103{,}21 \Rightarrow \)

\( V = \frac{14}{3} \cdot (233{,}9 + 103{,}21) = \frac{14}{3} \cdot 337{,}11 \approx 1571{,}72 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 18^2 = 324 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 12^2 = 144 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dol

Řešení příkladu:

Obsah rovnostranného trojúhelníku lze spočítat podle vzorce:

\( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 15^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 225 = 56{,}25 \sqrt{3} \approx 97{,}43 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 81 = 20{,}25 \sqrt{3} \approx 35{,}07 \,\text{cm}^2 \).

Objem komolého jehlanu vypočítáme podle vzorce:

\( V = \frac{18}{3} \cdot \left( S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2} \right) \Rightarrow \)

\( \sqrt{S_1 \cdot S_2} = \sqrt{97{,}43 \cdot 35{,}07} \approx \sqrt{3416{,}13} \approx 58{,}47 \).

\( V = 6 \cdot (97{,}43 + 35{,}07 + 58{,}47) = 6 \cdot 190{,}97 = 1145{,}82 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 20^2 = 400 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 10^2 = 100 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 20 = 80 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 10 = 40 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 17 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 400 + 100 + \frac{80 + 40}{2} \cdot 17 = 500 + 60 \cdot 17 = 500 + 1020 = 1520 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 12 \cdot 8 = 96 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 6 \cdot 4 = 24 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (12 + 8) = 40 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (6 + 4) = 20 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 15 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 96 + 24 + \frac{40 + 20}{2} \cdot 15 = 120 + 30 \cdot 15 = 120 + 450 = 570 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah rovnostranného trojúhelníku:

\( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 18^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 324 = 81 \sqrt{3} \approx 140{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 18 = 54 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 12 = 36 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 18 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 140{,}30 + 62{,}35 + \frac{54 + 36}{2} \cdot 18 = 202{,}65 + 45 \cdot 18 = 202{,}65 + 810 = 1012{,}65 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 14 \cdot 10 = 140 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 8 \cdot 4 = 32 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (14 + 10) = 48 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (8 + 4) = 24 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 22 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 140 + 32 + \frac{48 + 24}{2} \cdot 22 = 172 + 36 \cdot 22 = 172 + 792 = 964 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 25^2 = 625 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 15^2 = 225 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 25 = 100 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 15 = 60 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 20 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 625 + 225 + \frac{100 + 60}{2} \cdot 20 = 850 + 80 \cdot 20 = 850 + 1600 = 2450 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah rovnostranného trojúhelníku:

\( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 21^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 441 = 110{,}25 \sqrt{3} \approx 190{,}96 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 14^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 196 = 49 \sqrt{3} \approx 84{,}87 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 21 = 63 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 14 = 42 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 21 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 190{,}96 + 84{,}87 + \frac{63 + 42}{2} \cdot 21 = 275{,}83 + 52{,}5 \cdot 21 = 275{,}83 + 1102{,}5 = 1378{,}33 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 16^2 = 256 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 8^2 = 64 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 16 = 64 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 8 = 32 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 15 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 256 + 64 + \frac{64 + 32}{2} \cdot 15 = 320 + 48 \cdot 15 = 320 + 720 = 1040 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 15 \cdot 9 = 135 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 10 \cdot 6 = 60 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (15 + 9) = 48 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (10 + 6) = 32 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 19 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 135 + 60 + \frac{48 + 32}{2} \cdot 19 = 195 + 40 \cdot 19 = 195 + 760 = 955 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 22^2 = 484 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 12^2 = 144 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 22 = 88 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 12 = 48 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 24 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 484 + 144 + \frac{88 + 48}{2} \cdot 24 = 628 + 68 \cdot 24 = 628 + 1632 = 2260 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah rovnostranného trojúhelníku:

\( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 24^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 576 = 144 \sqrt{3} \approx 249{,}48 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 18^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 324 = 81 \sqrt{3} \approx 140{,}30 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 24 = 72 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 18 = 54 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 25 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 249{,}48 + 140{,}30 + \frac{72 + 54}{2} \cdot 25 = 389{,}78 + 63 \cdot 25 = 389{,}78 + 1575 = 1964{,}78 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 18^2 = 324 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 10^2 = 100 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 18 = 72 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 10 = 40 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 18 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 324 + 100 + \frac{72 + 40}{2} \cdot 18 = 424 + 56 \cdot 18 = 424 + 1008 = 1432 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 20 \cdot 12 = 240 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 14 \cdot 8 = 112 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (20 + 12) = 64 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (14 + 8) = 44 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 20 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 240 + 112 + \frac{64 + 44}{2} \cdot 20 = 352 + 54 \cdot 20 = 352 + 1080 = 1432 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 24^2 = 576 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 14^2 = 196 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 24 = 96 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 14 = 56 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 21 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 576 + 196 + \frac{96 + 56}{2} \cdot 21 = 772 + 76 \cdot 21 = 772 + 1596 = 2368 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah rovnostranného trojúhelníku:

\( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 30^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 900 = 225 \sqrt{3} \approx 389{,}71 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 20^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 400 = 100 \sqrt{3} \approx 173{,}21 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 3 \cdot 30 = 90 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 3 \cdot 20 = 60 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 27 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 389{,}71 + 173{,}21 + \frac{90 + 60}{2} \cdot 27 = 562{,}92 + 75 \cdot 27 = 562{,}92 + 2025 = 2587{,}92 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 26^2 = 676 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 16^2 = 256 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 26 = 104 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 16 = 64 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 25 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 676 + 256 + \frac{104 + 64}{2} \cdot 25 = 932 + 84 \cdot 25 = 932 + 2100 = 3032 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 25 \cdot 15 = 375 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 18 \cdot 10 = 180 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (25 + 15) = 80 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (18 + 10) = 56 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 22 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 375 + 180 + \frac{80 + 56}{2} \cdot 22 = 555 + 68 \cdot 22 = 555 + 1496 = 2051 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 20^2 = 400 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 12^2 = 144 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 20 = 80 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 12 = 48 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 19 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 400 + 144 + \frac{80 + 48}{2} \cdot 19 = 544 + 64 \cdot 19 = 544 + 1216 = 1760 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 30 \cdot 12 = 360 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 22 \cdot 8 = 176 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (30 + 12) = 84 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (22 + 8) = 60 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 20 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 360 + 176 + \frac{84 + 60}{2} \cdot 20 = 536 + 72 \cdot 20 = 536 + 1440 = 1976 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 24^2 = 576 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 14^2 = 196 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 24 = 96 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 14 = 56 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 23 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 576 + 196 + \frac{96 + 56}{2} \cdot 23 = 772 + 76 \cdot 23 = 772 + 1748 = 2520 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 28 \cdot 14 = 392 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 20 \cdot 10 = 200 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (28 + 14) = 84 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (20 + 10) = 60 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 21 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 392 + 200 + \frac{84 + 60}{2} \cdot 21 = 592 + 72 \cdot 21 = 592 + 1512 = 2104 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 22^2 = 484 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 10^2 = 100 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 22 = 88 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 10 = 40 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 20 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 484 + 100 + \frac{88 + 40}{2} \cdot 20 = 584 + 64 \cdot 20 = 584 + 1280 = 1864 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 26 \cdot 16 = 416 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 20 \cdot 12 = 240 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (26 + 16) = 84 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (20 + 12) = 64 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 23 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 416 + 240 + \frac{84 + 64}{2} \cdot 23 = 656 + 74 \cdot 23 = 656 + 1702 = 2358 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 18^2 = 324 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 8^2 = 64 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 18 = 72 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 8 = 32 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 18 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 324 + 64 + \frac{72 + 32}{2} \cdot 18 = 388 + 52 \cdot 18 = 388 + 936 = 1324 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 24 \cdot 14 = 336 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 18 \cdot 10 = 180 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (24 + 14) = 76 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (18 + 10) = 56 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 21 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 336 + 180 + \frac{76 + 56}{2} \cdot 21 = 516 + 66 \cdot 21 = 516 + 1386 = 1902 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 26^2 = 676 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 18^2 = 324 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 26 = 104 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 18 = 72 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 24 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 676 + 324 + \frac{104 + 72}{2} \cdot 24 = 1000 + 88 \cdot 24 = 1000 + 2112 = 3112 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 32 \cdot 18 = 576 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 24 \cdot 12 = 288 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (32 + 18) = 100 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (24 + 12) = 72 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 25 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 576 + 288 + \frac{100 + 72}{2} \cdot 25 = 864 + 86 \cdot 25 = 864 + 2150 = 3014 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 20^2 = 400 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 12^2 = 144 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 20 = 80 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 12 = 48 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 19 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 400 + 144 + \frac{80 + 48}{2} \cdot 19 = 544 + 64 \cdot 19 = 544 + 1216 = 1760 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 28 \cdot 20 = 560 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 22 \cdot 16 = 352 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (28 + 20) = 96 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (22 + 16) = 76 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 22 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 560 + 352 + \frac{96 + 76}{2} \cdot 22 = 912 + 86 \cdot 22 = 912 + 1892 = 2804 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 30^2 = 900 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 16^2 = 256 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 4 \cdot 30 = 120 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 4 \cdot 16 = 64 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 26 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 900 + 256 + \frac{120 + 64}{2} \cdot 26 = 1156 + 92 \cdot 26 = 1156 + 2392 = 3548 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy:

\( S_1 = 34 \cdot 22 = 748 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy:

\( S_2 = 26 \cdot 18 = 468 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy:

\( o_1 = 2 \cdot (34 + 22) = 112 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy:

\( o_2 = 2 \cdot (26 + 18) = 88 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu:

\( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 27 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 748 + 468 + \frac{112 + 88}{2} \cdot 27 = 1216 + 100 \cdot 27 = 1216 + 2700 = 3916 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 25^2 = 625 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 15^2 = 225 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 25 = 100 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 15 = 60 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 20 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 625 + 225 + \frac{100 + 60}{2} \cdot 20 = 850 + 80 \cdot 20 = 850 + 1600 = 2450 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 30 \cdot 18 = 540 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 22 \cdot 12 = 264 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (30 + 18) = 96 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (22 + 12) = 68 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 18 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 540 + 264 + \frac{96 + 68}{2} \cdot 18 = 804 + 82 \cdot 18 = 804 + 1476 = 2280 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 28^2 = 784 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 14^2 = 196 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 28 = 112 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 14 = 56 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 24 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 784 + 196 + \frac{112 + 56}{2} \cdot 24 = 980 + 84 \cdot 24 = 980 + 2016 = 2996 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 36 \cdot 24 = 864 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 28 \cdot 18 = 504 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (36 + 24) = 120 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (28 + 18) = 92 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 22 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 864 + 504 + \frac{120 + 92}{2} \cdot 22 = 1368 + 106 \cdot 22 = 1368 + 2332 = 3700 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 32^2 = 1024 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 18^2 = 324 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 32 = 128 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 18 = 72 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 21 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1024 + 324 + \frac{128 + 72}{2} \cdot 21 = 1348 + 100 \cdot 21 = 1348 + 2100 = 3448 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 40 \cdot 26 = 1040 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 34 \cdot 20 = 680 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (40 + 26) = 132 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (34 + 20) = 108 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 23 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1040 + 680 + \frac{132 + 108}{2} \cdot 23 = 1720 + 120 \cdot 23 = 1720 + 2760 = 4480 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 35^2 = 1225 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 20^2 = 400 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 35 = 140 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 20 = 80 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 25 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1225 + 400 + \frac{140 + 80}{2} \cdot 25 = 1625 + 110 \cdot 25 = 1625 + 2750 = 4375 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 38 \cdot 30 = 1140 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 32 \cdot 24 = 768 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (38 + 30) = 136 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (32 + 24) = 112 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 24 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1140 + 768 + \frac{136 + 112}{2} \cdot 24 = 1908 + 124 \cdot 24 = 1908 + 2976 = 4884 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 42 \cdot 28 = 1176 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 36 \cdot 22 = 792 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (42 + 28) = 140 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (36 + 22) = 116 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 22 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1176 + 792 + \frac{140 + 116}{2} \cdot 22 = 1968 + 128 \cdot 22 = 1968 + 2816 = 4784 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 38^2 = 1444 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 25^2 = 625 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 38 = 152 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 25 = 100 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 26 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1444 + 625 + \frac{152 + 100}{2} \cdot 26 = 2069 + 126 \cdot 26 = 2069 + 3276 = 5345 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 45 \cdot 32 = 1440 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 39 \cdot 27 = 1053 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (45 + 32) = 154 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (39 + 27) = 132 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 27 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1440 + 1053 + \frac{154 + 132}{2} \cdot 27 = 2493 + 143 \cdot 27 = 2493 + 3861 = 6354 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 40^2 = 1600 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 22^2 = 484 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 40 = 160 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 22 = 88 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 25 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1600 + 484 + \frac{160 + 88}{2} \cdot 25 = 2084 + 124 \cdot 25 = 2084 + 3100 = 5184 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 50 \cdot 35 = 1750 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 44 \cdot 30 = 1320 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (50 + 35) = 170 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (44 + 30) = 148 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 29 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1750 + 1320 + \frac{170 + 148}{2} \cdot 29 = 3070 + 159 \cdot 29 = 3070 + 4611 = 7681 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 42^2 = 1764 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 28^2 = 784 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 42 = 168 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 28 = 112 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 28 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1764 + 784 + \frac{168 + 112}{2} \cdot 28 = 2548 + 140 \cdot 28 = 2548 + 3920 = 6468 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 48 \cdot 33 = 1584 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 40 \cdot 26 = 1040 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (48 + 33) = 162 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (40 + 26) = 132 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 26 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1584 + 1040 + \frac{162 + 132}{2} \cdot 26 = 2624 + 147 \cdot 26 = 2624 + 3822 = 6446 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 45^2 = 2025 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 32^2 = 1024 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 45 = 180 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 32 = 128 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 29 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 2025 + 1024 + \frac{180 + 128}{2} \cdot 29 = 3049 + 154 \cdot 29 = 3049 + 4466 = 7515 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 52 \cdot 36 = 1872 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 44 \cdot 30 = 1320 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (52 + 36) = 176 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (44 + 30) = 148 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 30 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1872 + 1320 + \frac{176 + 148}{2} \cdot 30 = 3192 + 162 \cdot 30 = 3192 + 4860 = 8052 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 45 \cdot 28 = 1260 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 38 \cdot 22 = 836 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (45 + 28) = 146 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (38 + 22) = 120 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 26 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1260 + 836 + \frac{146 + 120}{2} \cdot 26 = 2096 + 133 \cdot 26 = 2096 + 3458 = 5554 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 42^2 = 1764 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 27^2 = 729 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 42 = 168 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 27 = 108 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 27 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1764 + 729 + \frac{168 + 108}{2} \cdot 27 = 2493 + 138 \cdot 27 = 2493 + 3726 = 6219 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 50 \cdot 32 = 1600 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 44 \cdot 26 = 1144 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (50 + 32) = 164 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (44 + 26) = 140 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 30 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1600 + 1144 + \frac{164 + 140}{2} \cdot 30 = 2744 + 152 \cdot 30 = 2744 + 4560 = 7304 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 40^2 = 1600 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 30^2 = 900 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 40 = 160 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 30 = 120 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 28 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1600 + 900 + \frac{160 + 120}{2} \cdot 28 = 2500 + 140 \cdot 28 = 2500 + 3920 = 6420 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 42 \cdot 29 = 1218 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 36 \cdot 24 = 864 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (42 + 29) = 142 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (36 + 24) = 120 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 25 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1218 + 864 + \frac{142 + 120}{2} \cdot 25 = 2082 + 131 \cdot 25 = 2082 + 3275 = 5357 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 38^2 = 1444 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 23^2 = 529 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 38 = 152 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 23 = 92 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 24 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1444 + 529 + \frac{152 + 92}{2} \cdot 24 = 1973 + 122 \cdot 24 = 1973 + 2928 = 4901 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 48 \cdot 30 = 1440 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 42 \cdot 26 = 1092 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (48 + 30) = 156 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (42 + 26) = 136 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 29 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1440 + 1092 + \frac{156 + 136}{2} \cdot 29 = 2532 + 146 \cdot 29 = 2532 + 4234 = 6766 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 44^2 = 1936 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 32^2 = 1024 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 44 = 176 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 32 = 128 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 28 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1936 + 1024 + \frac{176 + 128}{2} \cdot 28 = 2960 + 152 \cdot 28 = 2960 + 4256 = 7216 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 46 \cdot 34 = 1564 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 40 \cdot 28 = 1120 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (46 + 34) = 160 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (40 + 28) = 136 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 31 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1564 + 1120 + \frac{160 + 136}{2} \cdot 31 = 2684 + 148 \cdot 31 = 2684 + 4588 = 7272 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 50 \cdot 32 = 1600 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 44 \cdot 28 = 1232 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (50 + 32) = 164 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (44 + 28) = 144 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 30 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1600 + 1232 + \frac{164 + 144}{2} \cdot 30 = 2832 + 154 \cdot 30 = 2832 + 4620 = 7452 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 46^2 = 2116 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 38^2 = 1444 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 46 = 184 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 38 = 152 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 29 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 2116 + 1444 + \frac{184 + 152}{2} \cdot 29 = 3560 + 168 \cdot 29 = 3560 + 4872 = 8432 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 52 \cdot 36 = 1872 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 46 \cdot 30 = 1380 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 2 \cdot (52 + 36) = 176 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 2 \cdot (46 + 30) = 152 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 32 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 1872 + 1380 + \frac{176 + 152}{2} \cdot 32 = 3252 + 164 \cdot 32 = 3252 + 5248 = 8500 \,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah dolní podstavy: \( S_1 = 48^2 = 2304 \,\text{cm}^2 \).

Obsah horní podstavy: \( S_2 = 40^2 = 1600 \,\text{cm}^2 \).

Obvod dolní podstavy: \( o_1 = 4 \cdot 48 = 192 \,\text{cm} \).

Obvod horní podstavy: \( o_2 = 4 \cdot 40 = 160 \,\text{cm} \).

Povrch komolého jehlanu: \( S = S_1 + S_2 + \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot v \), kde \( v = 33 \,\text{cm} \) je výška boční stěny.

\( S = 2304 + 1600 + \frac{192 + 160}{2} \cdot 33 = 3904 + 176 \cdot 33 = 3904 + 5808 = 9712 \,\text{cm}^2 \).