Kombinace s opakovanim

Řešení příkladu:

Jedná se o kombinace s opakováním, protože vybíráme bonbony bez ohledu na pořadí a stejné druhy se mohou opakovat.

Vzorec pro počet kombinací s opakováním je:

\( K(k, n) = \frac{(n + k – 1)!}{k!(n – 1)!} \)

Kde \( n = 8 \) (druhů bonbonů), \( k = 5 \) (vybíráme 5 kusů).

Dosadíme:

\( K(5, 8) = \frac{(8 + 5 – 1)!}{5!(8 – 1)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \)

Spočítáme faktoriály:

\( 12! = 479001600, 5! = 120, 7! = 5040 \)

\( \Rightarrow \frac{479001600}{120 \cdot 5040} = \frac{479001600}{604800} = 792 \)

Odpověď: Existuje \(792\) různých možností.

Řešení příkladu:

Knihy jsou sice různé, ale protože si může zvolit libovolnou i víckrát, jedná se o kombinaci s opakováním.

Počet možností je dán vzorcem:

\( K(6, 10) = \frac{(10 + 6 – 1)!}{6!(10 – 1)!} = \frac{15!}{6! \cdot 9!} \)

Faktoriály:

\( 15! = 1307674368000, 6! = 720, 9! = 362880 \)

\( \Rightarrow \frac{1307674368000}{720 \cdot 362880} = \frac{1307674368000}{261273600} = 5005 \)

Odpověď: Existuje \(5005\) různých možností.

Řešení příkladu:

Rozdělení nerozlišitelných objektů (mincí) mezi rozlišitelné objekty (děti), kde počet může být libovolný (i nula), se řeší jako kombinace s opakováním:

\( K(7, 4) = \frac{(4 + 7 – 1)!}{7!(4 – 1)!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} \)

\( 10! = 3628800, 7! = 5040, 3! = 6 \)

\( \Rightarrow \frac{3628800}{5040 \cdot 6} = \frac{3628800}{30240} = 120 \)

Odpověď: Existuje \(120\) různých způsobů rozdělení.

Řešení příkladu:

Opět jde o kombinaci s opakováním: 4 kopečky z 9 druhů.

\( K(4, 9) = \frac{(9 + 4 – 1)!}{4!(9 – 1)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} \)

\( 12! = 479001600, 4! = 24, 8! = 40320 \)

\( \Rightarrow \frac{479001600}{24 \cdot 40320} = \frac{479001600}{967680} = 495 \)

Odpověď: Existuje \(495\) různých pohárů.

Řešení příkladu:

Rozdělení stejných objektů do různých skupin se řeší pomocí kombinací s opakováním:

\( K(6, 3) = \frac{(6 + 3 – 1)!}{6!(3 – 1)!} = \frac{8!}{6! \cdot 2!} \)

\( 8! = 40320, 6! = 720, 2! = 2 \)

\( \Rightarrow \frac{40320}{720 \cdot 2} = \frac{40320}{1440} = 28 \)

Odpověď: Existuje \(28\) různých způsobů rozdělení koulí.

Řešení příkladu:

Protože typy korálků se mohou opakovat a pořadí nerozlišujeme, jedná se o kombinaci s opakováním.

\( K(5, 7) = \frac{(7 + 5 – 1)!}{5!(7 – 1)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \)

\( 11! = 39916800, 5! = 120, 6! = 720 \)

\( \Rightarrow \frac{39916800}{120 \cdot 720} = \frac{39916800}{86400} = 462 \)

Odpověď: Existuje \(462\) různých náhrdelníků.

Řešení příkladu:

Jedná se o kombinaci s opakováním: výběr 8 prvků z 12 typů.

\( K(8, 12) = \frac{(12 + 8 – 1)!}{8!(12 – 1)!} = \frac{19!}{8! \cdot 11!} \)

\( 19! = 121645100408832000, 8! = 40320, 11! = 39916800 \)

\( \Rightarrow \frac{121645100408832000}{40320 \cdot 39916800} = \frac{121645100408832000}{1605138022400} = 7581 \)

Odpověď: Existuje \(7581\) různých kombinací čajových sáčků.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním, protože se druhy mohou opakovat:

\( K(3, 5) = \frac{(5 + 3 – 1)!}{3!(5 – 1)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \)

\( 7! = 5040, 3! = 6, 4! = 24 \)

\( \Rightarrow \frac{5040}{6 \cdot 24} = \frac{5040}{144} = 35 \)

Odpověď: Existuje \(35\) různých možností výběru.

Řešení příkladu:

Jde o kombinace s opakováním: 6 dávek z 4 druhů.

\( K(6, 4) = \frac{(4 + 6 – 1)!}{6!(4 – 1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \)

\( 9! = 362880, 6! = 720, 3! = 6 \)

\( \Rightarrow \frac{362880}{720 \cdot 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \)

Odpověď: Existuje \(84\) různých směsí.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním: výběr \(3\) z \(6\) s možností opakování.

\( K(3, 6) = \frac{(6 + 3 – 1)!}{3!(6 – 1)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \)

\( 8! = 40320, 3! = 6, 5! = 120 \)

\( \Rightarrow \frac{40320}{6 \cdot 120} = \frac{40320}{720} = 56 \)

Odpověď: Existuje \(56\) různých možností sestavení rozvrhu.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním: výběr \(4\) z \(7\) s možností opakování.

\( K(4, 7) = \frac{(7 + 4 – 1)!}{4!(7 – 1)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \)

\( 10! = 3628800, 4! = 24, 6! = 720 \)

\( \Rightarrow \frac{3628800}{24 \cdot 720} = \frac{3628800}{17280} = 210 \)

Odpověď: Lze vytvořit \(210\) různých kombinací květin.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním: výběr \(5\) z \(8\) s možností opakování.

\( K(5, 8) = \frac{(8 + 5 – 1)!}{5!(8 – 1)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \)

\( 12! = 479001600, 5! = 120, 7! = 5040 \)

\( \Rightarrow \frac{479001600}{120 \cdot 5040} = \frac{479001600}{604800} = 792 \)

Odpověď: Zákazník si může vybrat \(792\) různých kombinací bonbónů.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním: výběr \(2\) z \(5\) s možností opakování.

\( K(2, 5) = \frac{(5 + 2 – 1)!}{2!(5 – 1)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \)

\( 6! = 720, 2! = 2, 4! = 24 \)

\( \Rightarrow \frac{720}{2 \cdot 24} = \frac{720}{48} = 15 \)

Odpověď: Existuje \(15\) různých možností pro přípravu bylinné směsi.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním: výběr \(6\) z \(9\) s možností opakování.

\( K(6, 9) = \frac{(9 + 6 – 1)!}{6!(9 – 1)!} = \frac{14!}{6! \cdot 8!} \)

\( 14! = 87178291200, 6! = 720, 8! = 40320 \)

\( \Rightarrow \frac{87178291200}{720 \cdot 40320} = \frac{87178291200}{29030400} = 3003 \)

Odpověď: Existuje \(3003\) různých možností výběru přísad na pizzu.

Řešení příkladu:

Jedná se o výběr \(4\) bonbonů z \(5\) druhů s opakováním. Použijeme vzorec pro kombinace s opakováním:

\( K(4, 5) = \frac{(5 + 4 – 1)!}{4!(5 – 1)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} \)

\( 8! = 40320, 4! = 24 \)

\( \Rightarrow \frac{40320}{24 \cdot 24} = \frac{40320}{576} = 70 \)

Odpověď: Zákazník může sestavit balíček \(70\) různými způsoby.

Řešení příkladu:

Jde o kombinace \(2\) prvků z \(8\) s opakováním:

\( K(2, 8) = \frac{(8 + 2 – 1)!}{2!(8 – 1)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} \)

\( 9! = 362880, 2! = 2, 7! = 5040 \)

\( \Rightarrow \frac{362880}{2 \cdot 5040} = \frac{362880}{10080} = 36 \)

Odpověď: Může vzniknout \(36\) různých kombinací příchutí.

Řešení příkladu:

Rozdělení \(6\) nerozlišitelných objektů (židlí) do \(3\) rozlišitelných skupin (místností) je ekvivalentní kombinaci s opakováním:

\( K(6, 3) = \frac{(3 + 6 – 1)!}{6!(3 – 1)!} = \frac{8!}{6! \cdot 2!} \)

\( 8! = 40320, 6! = 720, 2! = 2 \)

\( \Rightarrow \frac{40320}{720 \cdot 2} = \frac{40320}{1440} = 28 \)

Odpověď: Existuje \(28\) různých způsobů rozdělení židlí.

Řešení příkladu:

Jde o počet kombinací s opakováním: vybíráme 5 položek do 4 skupin (děti):

\( K(5, 4) = \frac{(5 + 4 – 1)!}{5!(4 – 1)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \)

\( 8! = 40320, 5! = 120, 3! = 6 \)

\( \Rightarrow \frac{40320}{120 \cdot 6} = \frac{40320}{720} = 56 \)

Odpověď: Existuje \(56\) různých způsobů rozdělení dárků.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním: výběr \(3\) z \(7\) s opakováním.

\( K(3, 7) = \frac{(7 + 3 – 1)!}{3!(7 – 1)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} \)

\( 9! = 362880, 3! = 6, 6! = 720 \)

\( \Rightarrow \frac{362880}{6 \cdot 720} = \frac{362880}{4320} = 84 \)

Odpověď: Lze namíchat \(84\) různých nápojů.

Řešení příkladu:

Rozdělení \(4\) nerozlišitelných květin do \(6\) rozlišitelných váz je kombinace s opakováním:

\( K(4, 6) = \frac{(6 + 4 – 1)!}{4!(6 – 1)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \)

\( 9! = 362880, 4! = 24, 5! = 120 \)

\( \Rightarrow \frac{362880}{24 \cdot 120} = \frac{362880}{2880} = 126 \)

Odpověď: Lze vytvořit \(126\) různých aranžmá.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním: výběr \(3\) z \(5\).

\( K(3, 5) = \frac{(5 + 3 – 1)!}{3!(5 – 1)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \)

\( 7! = 5040, 3! = 6, 4! = 24 \)

\( \Rightarrow \frac{5040}{6 \cdot 24} = \frac{5040}{144} = 35 \)

Odpověď: Dort lze ozdobit \(35\) různými způsoby.

Řešení příkladu:

Výběr \(6\) z \(4\) prvků s opakováním: kombinace s opakováním:

\( K(6, 4) = \frac{(6 + 4 – 1)!}{6!(4 – 1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \)

\( 9! = 362880, 6! = 720, 3! = 6 \)

\( \Rightarrow \frac{362880}{720 \cdot 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \)

Odpověď: Existuje \(84\) různých kombinací kartiček.

Řešení příkladu:

Kombinace \(3\) z \(9\) s opakováním:

\( K(3, 9) = \frac{(9 + 3 – 1)!}{3!(9 – 1)!} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} \)

\( 11! = 39916800, 3! = 6, 8! = 40320 \)

\( \Rightarrow \frac{39916800}{6 \cdot 40320} = \frac{39916800}{241920} = 165 \)

Odpověď: Lze vytvořit \(165\) různých koktejlů.

Řešení příkladu:

Jde o kombinace s opakováním: výběr \(4\) z \(10\).

\( K(4, 10) = \frac{(10 + 4 – 1)!}{4!(10 – 1)!} = \frac{13!}{4! \cdot 9!} \)

\( 13! = 6227020800, 4! = 24, 9! = 362880 \)

\( \Rightarrow \frac{6227020800}{24 \cdot 362880} = \frac{6227020800}{8709120} = 715 \)

Odpověď: Lze vytvořit \(715\) různých losů.

Řešení příkladu:

Jedná se o kombinaci s opakováním: výběr \(5\) z \(4\).

\( K(5, 4) = \frac{(4 + 5 – 1)!}{5!(4 – 1)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \)

\( 8! = 40320, 5! = 120, 3! = 6 \)

\( \Rightarrow \frac{40320}{120 \cdot 6} = \frac{40320}{720} = 56 \)

Odpověď: Existuje \(56\) způsobů rozdělení koulí.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním: výběr \(7\) z \(5\) příchutí.

\( K(7, 5) = \frac{(5 + 7 – 1)!}{7!(5 – 1)!} = \frac{11!}{7! \cdot 4!} \)

\( 11! = 39916800, 7! = 5040, 4! = 24 \)

\( \Rightarrow \frac{39916800}{5040 \cdot 24} = \frac{39916800}{120960} = 330 \)

Odpověď: Existuje \(330\) různých kombinací zmrzlinových kopečků.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním: výběr \(6\) z \(4\).

\( K(6, 4) = \frac{(4 + 6 – 1)!}{6!(4 – 1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \)

\( 9! = 362880, 6! = 720, 3! = 6 \)

\( \Rightarrow \frac{362880}{720 \cdot 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \)

Odpověď: Pekař má \(84\) možností výběru.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním: výběr \(3\) z \(10\).

\( K(3, 10) = \frac{(10 + 3 – 1)!}{3!(10 – 1)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \)

\( 12! = 479001600, 3! = 6, 9! = 362880 \)

\( \Rightarrow \frac{479001600}{6 \cdot 362880} = \frac{479001600}{2177280} = 220 \)

Odpověď: Existuje \(220\) různých možností výběru karet.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním: výběr \(2\) z \(6\).

\( K(2, 6) = \frac{(6 + 2 – 1)!}{2!(6 – 1)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} \)

\( 7! = 5040, 2! = 2, 5! = 120 \)

\( \Rightarrow \frac{5040}{2 \cdot 120} = \frac{5040}{240} = 21 \)

Odpověď: Pacient má \(21\) možností.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním: výběr \(8\) z \(3\).

\( K(8, 3) = \frac{(3 + 8 – 1)!}{8!(3 – 1)!} = \frac{10!}{8! \cdot 2!} \)

\( 10! = 3628800, 8! = 40320, 2! = 2 \)

\( \Rightarrow \frac{3628800}{40320 \cdot 2} = \frac{3628800}{80640} = 45 \)

Odpověď: Existuje \(45\) způsobů rozdělení koulí.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním: výběr \(4\) z \(6\).

\( K(4, 6) = \frac{(6 + 4 – 1)!}{4!(6 – 1)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \)

\( 9! = 362880, 4! = 24, 5! = 120 \)

\( \Rightarrow \frac{362880}{24 \cdot 120} = \frac{362880}{2880} = 126 \)

Odpověď: Student má \(126\) různých možností výběru.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním: výběr \(5\) z \(4\).

\( K(5, 4) = \frac{(4 + 5 – 1)!}{5!(4 – 1)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \)

\( 8! = 40320, 5! = 120, 3! = 6 \)

\( \Rightarrow \frac{40320}{120 \cdot 6} = \frac{40320}{720} = 56 \)

Odpověď: Existuje \(56\) způsobů zasazení rostlin.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním: výběr \(6\) z \(7\).

\( K(6, 7) = \frac{(7 + 6 – 1)!}{6!(7 – 1)!} = \frac{12!}{6! \cdot 6!} \)

\( 12! = 479001600, 6! = 720 \)

\( \Rightarrow \frac{479001600}{720 \cdot 720} = \frac{479001600}{518400} = 924 \)

Odpověď: Lze vytvořit \(924\) různých kombinací čísel.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním: výběr \(4\) z \(6\).

\( K(4, 6) = \frac{(6 + 4 – 1)!}{4!(6 – 1)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \)

\( 9! = 362880, 4! = 24, 5! = 120 \)

\( \Rightarrow \frac{362880}{24 \cdot 120} = \frac{362880}{2880} = 126 \)

Odpověď: Dort lze ozdobit \(126\) různými způsoby.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním znamenají, že vybíráme \(k\) prvků z \(n\) prvků, přičemž se jednotlivé prvky mohou opakovat a zároveň na pořadí nezáleží.

Krok 1: Definice problému

Máme množinu o velikosti \(n = 9\) prvků a chceme vytvořit všechny možné kombinace o velikosti \(k = 7\) prvků s opakováním.

Krok 2: Použití vzorce pro kombinace s opakováním

Vzorec pro počet kombinací s opakováním je:

\(\displaystyle \frac{(n + k – 1)!}{k! \, (n – 1)!} \)

Dosadíme hodnoty:

\(\displaystyle \frac{(9 + 7 – 1)!}{7! \, (9 – 1)!} = \frac{15!}{7! \, 8!} \)

Krok 3: Výpočet hodnoty kombinace \(\frac{15!}{7! \, 8!}\)

Pro usnadnění výpočtu použijeme fakt, že \(\frac{15!}{7! \, 8!} = \frac{15!}{8! \, 7!}\), což je totéž jako kombinace \(15\) nad \(8\).

Rozepíšeme:

\(\displaystyle \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)

Krok 4: Výpočet čitatele

• 15 × 14 = 210
• 210 × 13 = 2730
• 2730 × 12 = 32760
• 32760 × 11 = 360360
• 360360 × 10 = 3 603 600
• 3 603 600 × 9 = 32 432 400
• 32 432 400 × 8 = 259 459 200

Krok 5: Výpočet jmenovatele (8!)

• 8 × 7 = 56
• 56 × 6 = 336
• 336 × 5 = 1680
• 1680 × 4 = 6720
• 6720 × 3 = 20160
• 20160 × 2 = 40320
• 40320 × 1 = 40320

Krok 6: Výpočet výsledku

\(\displaystyle \frac{259\,459\,200}{40\,320} = 6435\)

Krok 7: Interpretace výsledku

Existuje tedy \(6435\) různých \(7\)-prvkových kombinací s opakováním z množiny \(9\) prvků.

Řešení příkladu:

Krok 1: Definice

Množina má \(n = 14\) prvků, vybíráme \(k = 5\) prvků s možností opakování.

Krok 2: Vzorec pro kombinace s opakováním

Vzorec pro počet kombinací s opakováním je:

\(\displaystyle \frac{(n + k – 1)!}{k! \, (n – 1)!}\)

Krok 3: Dosazení hodnot

\(\displaystyle \frac{(14 + 5 – 1)!}{5! \, (14 – 1)!} = \frac{18!}{5! \, 13!}\)

Krok 4: Zkrácení faktoriálů

\(\displaystyle \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

Krok 5: Výpočet čitatele

• 18 × 17 = 306
• 306 × 16 = 4896
• 4896 × 15 = 73 440
• 73 440 × 14 = 1 028 160

Krok 6: Výpočet jmenovatele

5! = 120

Krok 7: Výpočet výsledku

\(\displaystyle \frac{1\,028\,160}{120} = 8568\)

Krok 8: Interpretace

Existuje \(8568\) různých \(5\)-prvkových kombinací s opakováním z množiny \(14\) prvků.

Řešení příkladu:

Krok 1: Data problému

Počet prvků v množině: \(n = 5\)

Počet vybíraných prvků: \(k = 8\)

Krok 2: Vzorec pro kombinace s opakováním

\(\displaystyle \frac{(n + k – 1)!}{k! \, (n – 1)!}\)

Krok 3: Dosazení hodnot

\(\displaystyle \frac{(5 + 8 – 1)!}{8! \, (5 – 1)!} = \frac{12!}{8! \, 4!}\)

Krok 4: Zkrácení faktoriálů

\(\displaystyle \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

Krok 5: Výpočet čitatele

• 12 × 11 = 132
• 132 × 10 = 1320
• 1320 × 9 = 11 880

Krok 6: Výpočet jmenovatele

4! = 24

Krok 7: Výpočet výsledku

\(\displaystyle \frac{11\,880}{24} = 495\)

Krok 8: Interpretace

Existuje tedy \(495\) různých \(8\)-prvkových kombinací s opakováním z množiny \(5\) prvků.

Řešení příkladu:

Krok 1: Parametry problému

Počet prvků: \( n = 7 \)

Velikost kombinace: \( k = 10 \)

Kombinace s opakováním počítáme pomocí vzorce:

\( \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} = \frac{(7 + 10 – 1)!}{10! \cdot (7 – 1)!} = \frac{16!}{10! \cdot 6!} \)

Krok 2: Úprava výpočtu

\( \frac{16!}{10! \cdot 6!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)

Krok 3: Výpočet čitatele

• \(16 \times 15 = 240\)
• \(240 \times 14 = 3360\)
• \(3360 \times 13 = 43680\)
• \(43680 \times 12 = 524160\)
• \(524160 \times 11 = 5765760\)

Krok 4: Výpočet jmenovatele

\(6! = 720\)

Krok 5: Výpočet výsledku

\( \frac{5765760}{720} = 8008 \)

Krok 6: Výklad

Existuje \(8008\) různých \(10\)-prvkových kombinací s opakováním z množiny \(7\) prvků.

Řešení příkladu:

Krok 1: Základní údaje

Počet prvků: \( n = 12 \)

Velikost kombinace: \( k = 6 \)

Kombinace s opakováním se počítají podle vzorce:

\( \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} = \frac{(12 + 6 – 1)!}{6! \cdot (12 – 1)!} = \frac{17!}{6! \cdot 11!} \)

Krok 2: Úprava výpočtu

\( \frac{17!}{6! \cdot 11!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)

Krok 3: Výpočet čitatele

• \(17 \times 16 = 272\)
• \(272 \times 15 = 4080\)
• \(4080 \times 14 = 57120\)
• \(57120 \times 13 = 742560\)
• \(742560 \times 12 = 8910720\)

Krok 4: Výpočet jmenovatele

\(6! = 720\)

Krok 5: Výpočet výsledku

\( \frac{8910720}{720} = 12376 \)

Krok 6: Výklad výsledku

Počet \(6\)-prvkových kombinací s opakováním z množiny \(12\) prvků je \(12376\).

Řešení příkladu:

V tomto příkladu hledáme počet různých posloupností délky 5, kde vybíráme z 4 prvků {A, B, C, D}, přičemž každý prvek může být použit vícekrát (opakováním). Toto je příklad variací s opakováním, protože pořadí záleží a prvky se mohou opakovat.

Krok 1: Identifikace typu úlohy

Počet variací s opakováním je dán vzorcem:

\( V^{k}_n = n^k \), kde

• \( n = 4 \) (počet různých prvků)
• \( k = 5 \) (délka posloupnosti)

Krok 2: Výpočet

\( V^{5}_4 = 4^5 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 1024 \)

Krok 3: Podrobné vysvětlení

Každá pozice v posloupnosti může být obsazena libovolným z \(4\) znaků. Protože opakování je dovoleno, počet možností na každé pozici je \(4\), a proto celkový počet je součin možností na jednotlivých pozicích, tedy \(4^5 = 1024\).

Řešení příkladu:

Zde hledáme počet \(3\)-prvkových kombinací s opakováním z \(5\) prvků, tj. výběr bez pořadí, ale s možností opakování prvků.

Krok 1: Vzorec pro kombinace s opakováním

\( \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \), kde \( n = 5 \), \( k = 3 \).

Krok 2: Dosazení do vzorce

\( \frac{(5 + 3 – 1)!}{3! \cdot (5 – 1)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \)

Krok 3: Úprava výpočtu

\( \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \)

Krok 4: Výpočet

• \(7 \times 6 = 42\)
• \(42 \times 5 = 210\)
• \(3 \times 2 \times 1 = 6\)
• \( \frac{210}{6} = 35 \)

Krok 5: Výklad

Existuje \(35\) různých \(3\)-prvkových kombinací s opakováním z \(5\) prvků.

Řešení příkladu:

Kombinace s opakováním pro \( n = 26 \), \( k = 4 \).

Krok 1: Použijeme vzorec

\( \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)

Krok 2: Dosazení do vzorce

\( \frac{(26 + 4 – 1)!}{4! \cdot (26 – 1)!} = \frac{29!}{4! \cdot 25!} \)

Krok 3: Úprava výpočtu

\( \frac{29 \times 28 \times 27 \times 26}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \)

Krok 4: Výpočet

• \(29 \times 28 = 812\)
• \(812 \times 27 = 21924\)
• \(21924 \times 26 = 570024\)
• \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
• \( \frac{570024}{24} = 23751 \)

Krok 5: Interpretace výsledku

Existuje \(23751\) různých \(4\)-prvkových kombinací s opakováním z \(26\) písmen anglické abecedy.

Řešení příkladu:

Výběr \(5\) květin z \(7\) druhů, opakování dovoleno, pořadí nerozhoduje → kombinace s opakováním.

Krok 1: Vzorec

\( \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)

Krok 2: Dosazení do vzorce

\( \frac{(7 + 5 – 1)!}{5! \cdot (7 – 1)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \)

Krok 3: Úprava výpočtu

\( \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)

Krok 4: Výpočet

• \(11 \times 10 = 110\)
• \(110 \times 9 = 990\)
• \(990 \times 8 = 7920\)
• \(7920 \times 7 = 55440\)
• \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
• \( \frac{55440}{120} = 462 \)

Krok 5: Interpretace

Lze vytvořit \(462\) různých kytic sestavených ze \(5\) květin, kde druhy se mohou opakovat.

Řešení příkladu:

Variace s opakováním, protože pořadí záleží a opakování je možné.

Krok 1: Vzorec:

\( V^{4}_6 = 6^4 = 1296 \).

Krok 2: Výklad

Každá pozice může být vyplněna libovolným z \(6\) typů, celkem tedy \(6^4 = 1296\) možností.

Řešení příkladu:

Krok 1: Definujeme parametry:

Máme 9 druhů ovoce (n = 9), vybíráme délku kombinace 4 (k = 4), opakování je povoleno.

Krok 2: Vzorec pro počet kombinací s opakováním je

\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)

Dosadíme hodnoty:

\( K(4,9) = \frac{(9 + 4 – 1)!}{4! \cdot (9 – 1)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} \)

Krok 3: Vypočítáme faktoriály:

\( 12! = 479001600, \quad 4! = 24, \quad 8! = 40320 \)

Krok 4: Dosadíme do vzorce:

\( \frac{479001600}{24 \cdot 40320} = \frac{479001600}{967680} = 495 \)

Závěr: Existuje \(495\) různých kombinací délky \(4\) z \(9\) druhů ovoce s opakováním.

Řešení příkladu:

Krok 1: Parametry úlohy:

n = 7 (druhů ingrediencí), k = 5 (počet vybraných ingrediencí), opakování povoleno.

Krok 2: Použijeme vzorec pro kombinace s opakováním:

\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)

Dosadíme:

\( K(5,7) = \frac{(7 + 5 – 1)!}{5! \cdot (7 – 1)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \)

Krok 3: Spočítáme faktoriály:

\( 11! = 39916800, \quad 5! = 120, \quad 6! = 720 \)

Krok 4: Výpočet hodnoty:

\( \frac{39916800}{120 \cdot 720} = \frac{39916800}{86400} = 462 \)

Závěr: Existuje \(462\) způsobů, jak vybrat \(5\) ingrediencí z \(7\) druhů s opakováním.

Řešení příkladu:

Krok 1: Zadané hodnoty:

\(n = 4\) (druhů barev), \(k = 6\) (délka kombinace), opakování povoleno.

Krok 2: Vzorec kombinací s opakováním:

\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)

Dosadíme:

\( K(6,4) = \frac{(4 + 6 – 1)!}{6! \cdot (4 – 1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \)

Krok 3: Výpočet faktoriálů:

\( 9! = 362880, \quad 6! = 720, \quad 3! = 6 \)

Krok 4: Výpočet hodnoty:

\( \frac{362880}{720 \cdot 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \)

Závěr: Existuje \(84\) různých kombinací délky \(6\) z \(4\) druhů barev s opakováním.

Řešení příkladu:

Krok 1: Parametry:

\(n = 5, k = 7\), opakování povoleno.

Krok 2: Použijeme vzorec pro kombinace s opakováním:

\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)

Dosadíme hodnoty:

\( K(7,5) = \frac{(5 + 7 – 1)!}{7! \cdot (5 – 1)!} = \frac{11!}{7! \cdot 4!} \)

Krok 3: Výpočet faktoriálů:

\( 11! = 39916800, \quad 7! = 5040, \quad 4! = 24 \)

Krok 4: Výpočet hodnoty:

\( \frac{39916800}{5040 \cdot 24} = \frac{39916800}{120960} = 330 \)

Závěr: Existuje \(330\) způsobů, jak sestavit \(7\)-členný výběr z \(5\) druhů nástrojů s opakováním.

Řešení příkladu:

Krok 1: Zadání:

\(n = 10, k = 2\), opakování povoleno.

Krok 2: Vzorec pro kombinace s opakováním:

\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)

Dosadíme hodnoty:

\( K(2,10) = \frac{(10 + 2 – 1)!}{2! \cdot (10 – 1)!} = \frac{11!}{2! \cdot 9!} \)

Krok 3: Výpočet faktoriálů:

\( 11! = 39916800, \quad 2! = 2, \quad 9! = 362880 \)

Krok 4: Výpočet hodnoty:

\( \frac{39916800}{2 \cdot 362880} = \frac{39916800}{725760} = 55 \)

Závěr: Existuje \(55\) různých kombinací délky \(2\) z \(10\) druhů čokolád s opakováním.

Řešení příkladu:

Krok 1: Parametry:

\(n = 8, k = 3\), opakování povoleno.

Krok 2: Použijeme vzorec pro kombinace s opakováním:

\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)

Dosadíme hodnoty:

\( K(3,8) = \frac{(8 + 3 – 1)!}{3! \cdot (8 – 1)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \)

Krok 3: Výpočet faktoriálů:

\( 10! = 3628800, \quad 3! = 6, \quad 7! = 5040 \)

Krok 4: Výpočet hodnoty:

\( \frac{3628800}{6 \cdot 5040} = \frac{3628800}{30240} = 120 \)

Závěr: Existuje \(120\) způsobů, jak vybrat \(3\) položky z \(8\) druhů ovoce s opakováním.

Řešení příkladu:

Krok 1: Pochopení zadání a definice proměnných

Máme \(6\) druhů ovoce (označíme jako \(n=6\)) a chceme vytvořit kombinace délky \(5\) (\(k=5\)). Kombinace s opakováním znamená, že každý druh ovoce můžeme vybrat více než jednou, ale záleží jen na počtu kusů každého druhu, ne na pořadí, ve kterém je vybíráme.

Krok 2: Vzorec pro počet kombinací s opakováním

Počet všech možných kombinací s opakováním je dán vzorcem:

\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)

To vyjadřuje počet uspořádaných multisetů délky \(k\) z \(n\) druhů prvků.

Krok 3: Dosazení hodnot

\( K(5,6) = \frac{(6 + 5 – 1)!}{5! \cdot (6 – 1)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} \)

Krok 4: Výpočet faktoriálů

\( 10! = 3628800 \), \( 5! = 120 \)

Krok 5: Dosazení do vzorce

\( K(5,6) = \frac{3628800}{120 \times 120} = \frac{3628800}{14400} = 252 \)

Krok 6: Interpretace výsledku

Existuje tedy \(252\) různých kombinací délky \(5\) z \(6\) druhů ovoce, pokud se druhy ovoce mohou opakovat.

Krok 7: Podrobné vysvětlení principu

Tento vzorec odpovídá problému rozdělení \(k=5\) identických předmětů do \(n=6\) různých „skupin“ (druhů ovoce). Představte si \(5\) stejných kuliček, které chcete rozdělit do \(6\) různých krabiček. Počet způsobů, jak to provést, odpovídá počtu kombinací s opakováním, které hledáme.

Řešení příkladu:

Krok 1: Identifikace parametrů úlohy

Počet druhů ovoce \(n=8\), délka výběru \(k=4\), opakování povoleno.

Krok 2: Použití vzorce kombinací s opakováním

\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! (n – 1)!} \)

Dosadíme hodnoty:

\( K(4,8) = \frac{(8 + 4 – 1)!}{4! \cdot (8 – 1)!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!} \)

Krok 3: Výpočet faktoriálů

\( 11! = 39916800 \), \( 4! = 24 \), \( 7! = 5040 \)

Krok 4: Dosazení do vzorce a výpočet

\( K(4,8) = \frac{39916800}{24 \times 5040} = \frac{39916800}{120960} = 330 \)

Krok 5: Interpretace výsledku

Existuje \(330\) způsobů, jak vybrat \(4\) prvky z \(8\) druhů ovoce s opakováním.

Krok 6: Další vysvětlení

Vzorec je založený na kombinacích s opakováním, kde nás nezajímá pořadí, ale pouze jaké druhy a kolikrát jsou zvoleny. Představme si situaci, kdy vybíráme \(4\) kusy ovoce a každý druh může být zvolen vícekrát.

Řešení příkladu:

Krok 1: Parametry

\(n=5\), \(k=7\), opakování povoleno.

Krok 2: Vzorec

\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!} \)

Dosazení:

\( K(7,5) = \frac{(5+7-1)!}{7! \cdot (5-1)!} = \frac{11!}{7! \cdot 4!} \)

Krok 3: Faktoriály

\( 11! = 39916800, 7! = 5040, 4! = 24 \)

Krok 4: Výpočet

\( \frac{39916800}{5040 \times 24} = \frac{39916800}{120960} = 330 \)

Krok 5: Závěr

Existuje \(330\) různých kombinací délky \(7\) z \(5\) druhů barev s opakováním.

Krok 6: Intuice problému

Představme si sedm stejných kuliček rozdělených do pěti košíků (barev), počet způsobů jak to provést je právě \(330\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Zadané hodnoty:

\( n=10 \), \( k=3 \), opakování povoleno.

Krok 2: Vzorec pro kombinace s opakováním:

\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)

Dosadíme:

\( K(3,10) = \frac{(10+3-1)!}{3! \cdot (10-1)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \)

Krok 3: Výpočet faktoriálů:

\( 12! = 479001600 \), \( 3! = 6 \), \( 9! = 362880 \)

Krok 4: Výpočet hodnoty:

\( \frac{479001600}{6 \times 362880} = \frac{479001600}{2177280} = 220 \)

Krok 5: Závěr

Existuje \(220\) různých kombinací délky \(3\) z \(10\) druhů čokolád s opakováním.

Krok 6: Vysvětlení

Tento výsledek odpovídá počtu možností, jak vybrat \(3\) kusy čokolád z \(10\) druhů, přičemž některé druhy mohou být vybrány vícekrát, a nezáleží na pořadí výběru.

Řešení příkladu:

Krok 1: Parametry úlohy

\( n=4 \), \( k=6 \), opakování povoleno.

Krok 2: Použití vzorce kombinací s opakováním

\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)

Dosazení hodnot:

\( K(6,4) = \frac{(4+6-1)!}{6! (4-1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \)

Krok 3: Výpočet faktoriálů:

\( 9! = 362880 \), \( 6! = 720 \), \( 3! = 6 \)

Krok 4: Výpočet hodnoty:

\( \frac{362880}{720 \times 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \)

Krok 5: Interpretace

Existuje \(84\) způsobů, jak vybrat 6 položek z \(4\) druhů nápojů s opakováním.

Krok 6: Vysvětlení principu

To odpovídá počtu řešení rovnice \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6 \), kde \(x_i\) značí počet vybraných kusů daného druhu.

Řešení příkladu:

Krok 1: Parametry

\( n=12 \), \( k=2 \), opakování povoleno.

Krok 2: Vzorec

\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)

Dosazení:

\( K(2,12) = \frac{(12+2-1)!}{2! (12-1)!} = \frac{13!}{2! \cdot 11!} \)

Krok 3: Faktoriály:

\( 13! = 6227020800 \), \( 2! = 2 \), \( 11! = 39916800 \)

Krok 4: Výpočet:

\( \frac{6227020800}{2 \times 39916800} = \frac{6227020800}{79833600} = 78 \)

Krok 5: Výsledek

Existuje \(78\) kombinací délky \(2\) z \(12\) druhů ovoce s opakováním.

Krok 6: Vysvětlení

Počet kombinací s opakováním zde odpovídá tomu, kolik různých dvojic můžeme vybrat, přičemž některý druh může být vybrán dvakrát.

Řešení příkladu:

Krok 1: Parametry

\( n=3 \), \( k=4 \), opakování povoleno.

Krok 2: Použití vzorce

\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)

Dosazení:

\( K(4,3) = \frac{(3+4-1)!}{4! (3-1)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} \)

Krok 3: Faktoriály:

\( 6! = 720 \), \( 4! = 24 \), \( 2! = 2 \)

Krok 4: Výpočet:

\( \frac{720}{24 \times 2} = \frac{720}{48} = 15 \)

Krok 5: Výsledek

Existuje \(15\) kombinací délky \(4\) z \(3\) druhů zeleniny s opakováním.

Krok 6: Vysvětlení

Tento výsledek odpovídá počtu možností, jak rozdělit \(4\) identické položky mezi \(3\) kategorie.

Řešení příkladu:

Krok 1: Parametry úlohy

\( n=15 \), \( k=1 \), opakování povoleno.

Krok 2: Použití vzorce

\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)

Dosazení:

\( K(1,15) = \frac{(15+1-1)!}{1! (15-1)!} = \frac{15!}{1! \cdot 14!} \)

Krok 3: Výpočet faktoriálů

\( 15! = 1307674368000 \), \( 14! = 87178291200 \), \( 1! = 1 \)

Krok 4: Výpočet hodnoty

\( \frac{1307674368000}{1 \times 87178291200} = 15 \)

Krok 5: Výsledek

Existuje přesně \(15\) kombinací délky \(1\) z \(15\) druhů oříšků s opakováním, což dává smysl, protože vybereme vždy jeden druh.

Krok 6: Vysvětlení

Při výběru jednoho prvku je kombinace s opakováním totéž co klasický výběr, proto je výsledek rovný počtu druhů.

Řešení příkladu:

Krok 1: Parametry

\( n=7 \), \( k=9 \), opakování povoleno.

Krok 2: Vzorec

\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)

Dosazení:

\( K(9,7) = \frac{(7+9-1)!}{9! (7-1)!} = \frac{15!}{9! \cdot 6!} \)

Krok 3: Faktoriály

\( 15! = 1307674368000 \), \( 9! = 362880 \), \( 6! = 720 \)

Krok 4: Výpočet

\( \frac{1307674368000}{362880 \times 720} = \frac{1307674368000}{261273600} = 5005 \)

Krok 5: Interpretace výsledku

Existuje \(5005\) kombinací délky \(9\) z \(7\) druhů sladkostí s opakováním.

Krok 6: Vysvětlení

To odpovídá počtu způsobů, jak rozdělit \(9\) identických prvků do \(7\) kategorií.

Řešení příkladu:

Krok 1: Zadání

\( n=8 \), \( k=5 \), kombinace s opakováním.

Krok 2: Vzorec pro kombinace s opakováním

\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)

Krok 3: Dosazení

\( K(5,8) = \frac{(8+5-1)!}{5! (8-1)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \)

Krok 4: Výpočet faktoriálů

\( 12! = 479001600 \), \( 5! = 120 \), \( 7! = 5040 \)

Krok 5: Výpočet hodnoty

\( \frac{479001600}{120 \times 5040} = \frac{479001600}{604800} = 792 \)

Krok 6: Výsledek

Existuje \(792\) kombinací délky \(5\) z \(8\) druhů sušenek s opakováním.

Krok 7: Vysvětlení

Počet odpovídá možnostem, jak rozdělit \(5\) identických prvků do \(8\) kategorií bez ohledu na pořadí výběru.

Řešení příkladu:

Krok 1: Vypočítáme celkový počet kombinací s opakováním délky \(7\) z \(5\) prvků.

Počet všech kombinací je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:

(n + k – 1) nad k = (5 + 7 – 1) nad 7 = (11 nad 7)

Krok 2: Vypočítáme počet kombinací, kde žádný druh není vybrán více než \(2\)-krát (tj. žádný druh není vybrán alespoň \(3\)-krát).

Pro tento výpočet použijeme princip inkluze a exkluze.

Nechť A_i je množina kombinací, kde i-tý druh je vybrán alespoň \(3\)-krát.

Potřebujeme spočítat počet kombinací, které nejsou v žádné z A_i, tedy:

Celkový počet – počet průniku množin \(A_i\)

Krok 3: Vypočítáme počet kombinací v \(A_i\) (tzn. i-tý druh vybrán alespoň \(3\)-krát).

Odebereme \(3\) kusy \(i\)-tého druhu, zbyde nám tedy sestavit kombinaci délky 7 – 3 = 4 z \(5\) druhů, kde tento druh může být vybrán i nadále (protože opakování jsou povolena).

Počet kombinací v \(A_i\) je tedy (5 + 4 – 1) nad 4 = (8 nad 4).

Krok 4: Vypočítáme počet kombinací v průniku dvou množin \(A_i\) ∩ \(A_j\) (tedy \(i\)-tý i \(j\)-tý druh vybrány alespoň \(3krát).

Odebereme \(3\) kusy \(i\)-tého a \(3\) kusy \(j\)-tého druhu, zbydou \(7 – 6 = 1\) kus k výběru z \(5\) druhů.

Počet těchto kombinací je \((5 + 1 – 1)\) nad \(1 = (5 nad 1) = 5\).

Krok 5: V průniku tří a více množin již není možné vytvořit kombinaci, protože odečteme minimálně \(3\) kusy od každého druhu a \(3 * 3 = 9 > 7\).

Krok 6: Použijeme princip inkluze a exkluze:

Počet kombinací s alespoň jedním druhem opakujícím se \(3\)-krát nebo více =

= počet všech kombinací – počet kombinací bez žádného druhu se \(3\) a více kusy =

= (11 nad 7) – (počet kombinací bez žádného druhu ≥ 3)

= (11 nad 7) – (počet všech kombinací – Σ |A_i| + Σ |A_i ∩ A_j|)

= (11 nad 7) – ( (11 nad 7) – 5 * (8 nad 4) + (10 nad 2) * 5 )

Upozornění: počet dvojic i,j je C(5,2) = 10.

Tedy počet hledaných kombinací je:

= 5 * (8 nad 4) – 10 * 5

Krok 7: Dosadíme hodnoty:

(11 nad 7) = 330

(8 nad 4) = 70

Počet = 5 * 70 – 10 * 5 = 350 – 50 = 300

Odpověď: Existuje 300\) různých kombinací délky \(7\) z \(5\) druhů, ve kterých alespoň jeden druh je vybrán alespoň \(3\)-krát.

Řešení příkladu:

Krok 1: Určíme celkový počet kombinací s opakováním délky \(6\) z \(4\) druhů květin.

Počet všech kombinací bez omezení je:

\((4 + 6 – 1)\) nad \(6 = (9\) nad \(6)\)

Krok 2: Podmínka omezení, že žádný druh nemůže být vybrán více než \(3\)-krát, znamená vyloučit kombinace, kde alespoň jeden druh je vybrán \(4\)-krát nebo více.

Definujeme množiny \(B_i\), kde i-tý druh je vybrán alespoň 4krát.

Krok 3: Vypočítáme počet kombinací v \(B_i\):

Odebereme \(4\) kusy \(i\)-tého druhu, zbývá tedy sestavit kombinaci délky \(6 – 4 = 2\) z \(4\) druhů.

Počet kombinací v \(B_i\) je \((4 + 2 – 1)\) nad \(2 = (5\) nad \(2)\)

Krok 4: Vypočítáme počet kombinací v průniku dvou množin \(B_i ∩ B_j\):

Odebereme \(4\) kusy z \(i\)-tého i \(j\)-tého druhu, tedy \(8\) celkem, ale to není možné, protože délka kombinace je \(6\).

Průnik je prázdný, počet je \(0\).

Krok 5: Použijeme princip inkluze a exkluze pro výpočet kombinací bez porušení omezení:

Počet kombinací splňujících podmínku =

= počet všech kombinací – \(Σ |B_i| + Σ |B_i ∩ B_j|\)

= \((9\) nad \(6) – 4 * (5\) nad \(2) + 0\)

Krok 6: Dosadíme hodnoty:

\((9\) nad \(6) = 84\)

\((5\) nad \(2) = 10\)

Počet = \(84 – 4 * 10 = 84 – 40 = 44\)

Odpověď: Existuje \(44\) kombinací délky \(6\) z \(4\) druhů květin, kde žádný druh není vybrán více než \(3\)-krát.

Řešení příkladu:

Krok 1: Kombinace musí obsahovat právě \(3\) druhy knoflíků, z celkových \(6\) druhů.

Krok 2: Nejprve vybereme, které \(3\) druhy budou v kombinaci použity. Počet možností výběru \(3\) druhů z \(6\) je:

\(\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right) = 20\)

Krok 3: Nyní rozdělíme délku \(8\) mezi právě vybrané \(3\) druhy s opakováním.

To znamená, že počet kladných celočíselných řešení rovnice:

\(x_1 + x_2 + x_3 = 8\), kde \(x_i \ge 1\)

Je dán vzorcem pro kombinace s opakováním, kde každé \(x_i\) je alespoň \(1\):

Počet řešení = \((8 – 1)\) nad \((3 – 1)\) = \(\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right) = 21\)

Krok 4: Celkový počet kombinací je součin počtu výběrů druhů a počtu rozdělení:

= \(20 \cdot 21 = 420\)

Odpověď: Existuje \(420\) různých kombinací délky \(8\), které obsahují právě \(3\) druhy knoflíků z \(6\) druhů.

Řešení příkladu:

Krok 1: Celkový počet všech kombinací délky \(10\) z \(7\) druhů barev je:

\(\left(\begin{matrix}7 + 10 – 1\\10\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)\)

Krok 2: Vypočítáme počet kombinací, kde je vybráno méně než \(4\) druhy, tj. \(1\), \(2\) nebo \(3\) druhy.

Krok 3: Pro každou hodnotu \(k = 1, 2, 3\) spočítáme počet kombinací obsahujících právě \(k\) druhů barev:

Vybereme \(k\) druhů z \(7\): \(\left(\begin{matrix}7\\k\end{matrix}\right)\)

Rozdělíme \(10\) kusů mezi \(k\) druhů, každý s alespoň \(1\) (protože musí být právě \(k\) druhů):

Počet rozdělení je \((10 – 1)\) nad \((k – 1)\) = \(\left(\begin{matrix}9\\k-1\end{matrix}\right)\)

Krok 4: Celkový počet kombinací s méně než \(4\) druhy je součet:

\(\sum_{k=1}^{3} \left(\begin{matrix}7\\k\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}9\\k-1\end{matrix}\right)\)

Krok 5: Spočítáme jednotlivé členy:

Pro \(k=1\): \(\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right) = 7 \cdot 1 = 7\)

Pro \(k=2\): \(\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right) = 21 \cdot 9 = 189\)

Pro \(k=3\): \(\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right) = 35 \cdot 36 = 1260\)

Krok 6: Součet je \(7 + 189 + 1260 = 1456\)

Krok 7: Počet kombinací s alespoň \(4\) druhy barev je tedy:

\(\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right) – 1456\)

\(\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right) = 8008\)

Výsledek = \(8008 – 1456 = 6552\)

Odpověď: Existuje \(6552\) kombinací délky \(10\) z \(7\) druhů barev, které obsahují alespoň \(4\) druhy barev.

Řešení příkladu:

Krok 1: Každý druh čokolády musí být zastoupen alespoň \(2\) kusy, tedy celkem minimálně \(2 * 4 = 8\) kusů.

Krok 2: Zbývá rozdělit zbylé \(12 – 8 = 4\) kusy libovolně mezi \(4\) druhy.

Krok 3: Počet kombinací s opakováním délky \(4\) z \(4\) druhů je (4 + 4 – 1) nad 4 = (7 nad 4).

Krok 4: Vypočítáme hodnotu:

(7 nad 4) = 35

Odpověď: Existuje \(35\) různých balíčků s \(12\) kusy čokolád, pokud každý druh je zastoupen alespoň \(2\) kusy.

Řešení příkladu:

Krok 1: Kombinace musí obsahovat alespoň \(2\) druhy, délka je \(5\).

Krok 2: Spočítáme počet kombinací pro \(k = 2\) a \(k = 3\) druhy.

Krok 3: Pro \(k = 2\) vybereme \(2\) druhy z \(3\):

\(\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right) = 3\)

Rozdělíme \(5\) kusů mezi \(2\) druhy, přičemž každý druh může mít maximálně \(3\) kusy.

Možnosti rozdělení \((x_1, x_2)\) tak, že \(x_1 + x_2 = 5\), \(0 \leq x_i \leq 3\) a oba \(x_i > 0\) (protože musí být oba druhy vybrány):

Možné rozdělení: \((2,3), (3,2)\)

Počet je \(2\).

Celkem pro \(k=2\): \(3 \cdot 2 = 6\)

Krok 4: Pro \(k=3\) (všechny \(3\) druhy vybrány):

\(\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right) = 1\)

Počet řešení \(x_1 + x_2 + x_3 = 5\), kde \(1 \leq x_i \leq 3\)

Upravíme na neomezené řešení změnou proměnných \(y_i = x_i – 1\):

\(y_1 + y_2 + y_3 = 5 – 3 = 2\), kde \(0 \leq y_i \leq 2\)

Počet řešení bez omezení je \(\left(\begin{matrix}2 + 3 – 1\\2\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right) = 6\)

Musíme odečíst řešení, kde některý \(y_i > 2\), ale protože celkový součet je \(2\), žádné \(y_i\) nemůže být větší než \(2\).

Počet řešení je tedy \(6\).

Celkem pro \(k=3\): \(1 \cdot 6 = 6\)

Krok 5: Celkový počet kombinací je \(6 + 6 = 12\)

Odpověď: Existuje \(12\) různých kombinací délky \(5\) z \(3\) druhů ovoce s alespoň \(2\) druhy a maximálně \(3\) kusy od každého druhu.

Řešení příkladu:

Krok 1: Vybereme přesně \(2\) druhy z \(4\):

\(\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right) = 6\)

Krok 2: Počet rozdělení \(9\) kusů mezi \(2\) druhy, kde žádný druh nemůže mít více než \(6\) kusů:

Rovnice \(x_1 + x_2 = 9\), s podmínkami \(0 \leq x_i \leq 6\), a \(x_i \geq 1\), protože musí být oba druhy v kombinaci.

Možné hodnoty \((x_1, x_2)\):

Protože \(x_1 \leq 6\), \(x_2 = 9 – x_1 \leq 6 \Rightarrow x_1 \geq 3\)

Oběma podmínkám vyhovují \(x_1 = 3, 4, 5, 6\) (a odpovídající \(x_2 = 6, 5, 4, 3\))

Počet možností = \(4\)

Krok 3: Celkový počet kombinací:

\(6 \cdot 4 = 24\)

Odpověď: Existuje \(24\) různých kombinací délky \(9\) z \(4\) druhů perel, které obsahují přesně \(2\) druhy s maximálně \(6\) kusy každého druhu.

Řešení příkladu:

Krok 1: Nejprve vybereme přesně \(4\) druhy ovoce z \(5\) možných. Počet způsobů výběru je dán kombinací bez opakování:

(5 nad 4) = 5

Krok 2: Nyní rozdělíme \(7\) kusů ovoce mezi těchto \(4\) vybraných druhů. Podmínky jsou:

• Každý druh může být vybrán maximálně \(3\)-krát.
• Každý druh musí být vybrán alespoň jednou, protože vybíráme přesně \(4\) druhy.

Krok 3: Formálně řešíme rovnici pro nezáporná celá čísla \(x_1, x_2, x_3, x_4\):

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7\), kde \(1 \leq x_i \leq 3\)

Krok 4: Protože každý \(x_i \geq 1\), zavedeme nové proměnné \(y_i = x_i – 1\), takže \(y_i \geq 0\) a

\(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 7 – 4 = 3\), přičemž \(y_i \leq 2\) (protože \(x_i \leq 3\))

Krok 5: Spočítáme počet řešení rovnice \(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 3\) pro \(0 \leq y_i \leq 2\).

Bez omezení by bylo řešení dáno vzorcem pro kombinace s opakováním:

Celkový počet řešení bez omezení: \(C(3+4-1, 4-1) = C(6,3) = 20\)

Krok 6: Nyní použijeme princip inkluze-exkluze pro omezení \(y_i \leq 2\).

Definujme množiny:

• A_i = { řešení kde \(y_i \geq 3\) }

Musíme odečíst řešení, kde některý \(y_i\) přesahuje \(2\).

Počet řešení s \(y_i \geq 3\) pro pevné \(i\):

Označíme \(z_i = y_i – 3 \geq 0\), pak

\(z_i + \sum_{j \neq i} y_j = 3 – 3 = 0\)

Počet řešení: \(C(0 + 4 – 1, 4 – 1) = C(3,3) = 1\)

Existuje 4 takové množiny (pro každý index \(i\))

Krok 7: Protože nelze, aby dva \(y_i\) byly zároveň větší nebo rovné \(3\) (protože součet je jen \(3\)), není třeba počítat průniky více množin.

Krok 8: Použijeme princip inkluze-exkluze:

Počet platných řešení = \(20 – 4 = 16\)

Krok 9: Nakonec počet kombinací je:

Počet výběrů \(4\) druhů * počet rozdělení \(7\) kusů = \(5 * 16 = 80\)

Odpověď: Existuje \(80\) různých kombinací délky \(7\) z \(5\) druhů ovoce, kde jsou vybrány právě \(4\) druhy, každý nejvýše \(3\)-krát.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počet vybraných položek jednotlivých typů jako \(x_1, x_2, x_3\), kde \(x_i \geq 1\) a

\(x_1 + x_2 + x_3 = 10\)

Krok 2: Protože každý typ musí být zastoupen alespoň jednou, zavádíme proměnné \(y_i = x_i – 1\), tedy \(y_i \geq 0\), a platí

\(y_1 + y_2 + y_3 = 10 – 3 = 7\)

Krok 3: Počet nezáporných celočíselných řešení rovnice je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:

\(C(7 + 3 – 1, 3 – 1) = C(9, 2) = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36\)

Krok 4: Výsledek je tedy \(36\) různých kombinací délky \(10\), které obsahují všechny \(3\) typy alespoň jednou.

Řešení příkladu:

Krok 1: Celkový počet kombinací délky \(8\) z \(4\) prvků bez omezení je:

\(C(8+4-1,4-1) = C(11,3) = 165\)

Krok 2: Zjistíme počet kombinací, kde každý prvek je vybrán více než \(5\)-krát.

Krok 3: Pokud je každý prvek vybrán nejvýše \(5\)-krát, vyjádříme to jako omezení: \(x_i \leq 5\) pro všechny \(i\).

Krok 4: Použijeme princip inkluze-exkluze pro výpočet počtu kombinací, kde je alespoň jeden prvek vybrán více než \(5\)-krát (tedy \(x_i \geq 6\)):

Počet kombinací s \(x_i \geq 6\) pro pevné \(i\) spočítáme odečtením:

Zaveďme \(y_i = x_i – 6 \geq 0\), potom

\(y_i + \sum_{j \neq i} x_j = 8 – 6 = 2\)

Počet řešení rovnice \(y_i + x_j + x_k + x_l = 2\) s \(y_i, x_j, x_k, x_l \geq 0\) je

\(C(2+4-1, 4-1) = C(5,3) = 10\)

Krok 5: Pro \(4\) prvky existuje \(4\) takové množiny, tedy počet kombinací s alespoň jedním \(x_i \geq 6\) je maximálně \(4 * 10 = 40\).

Krok 6: Nemůže nastat situace, kdy dva prvky současně překročí \(5\) \((\)protože součet je \(8)\), tedy není potřeba řešit průniky.

Krok 7: Počet kombinací, kde každý prvek je vybrán maximálně \(5\)-krát, je

\(165 – 40 = 125\)

Odpověď: Existuje \(125\) takových kombinací.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty kuliček jednotlivých barev jako \(x_1, x_2, …, x_6\), kde platí:

\(x_1 + x_2 + … + x_6 = 9\), s podmínkou \(0 \leq x_i \leq 2\)

Krok 2: Nejprve spočítáme počet řešení bez omezení horní meze:

\(C(9+6-1, 6-1) = C(14,5) = 2002\)

Krok 3: Použijeme princip inkluze-exkluze k odečtení řešení, kde je některý \(x_i \geq 3\).

Pro fixní \(i\) označíme \(y_i = x_i – 3 \geq 0\), pak:

\(y_i + \sum_{j \neq i} x_j = 9 – 3 = 6\)

Počet řešení této rovnice je:

\(C(6+6-1, 6-1) = C(11,5) = 462\)

Krok 4: Počet prvků, kde může nastat překročení, je \(6\), takže součet přes jednotlivé množiny je:

\(6 * 462 = 2772\)

Krok 5: Nyní vypočítáme počet řešení pro průnik dvou množin, tj. dvě \(x_i \geq 3\).

Pro dva indexy \(i,j\) zavedeme \(y_i = x_i – 3\), \(y_j = x_j – 3\), pak

\(y_i + y_j + \sum_{k \neq i,j} x_k = 9 – 6 = 3\)

Počet řešení je:

\(C(3+6-1,6-1) = C(8,5) = 56\)

Počet dvojic je \(C(6,2) = 15\), tedy:

\(15 * 56 = 840\)

Krok 6: Průniky tří nebo více množin nemohou nastat, protože by součet byl záporný.

Krok 7: Použijeme princip inkluze-exkluze:

Počet platných řešení = \(2002 – 2772 + 840 = 70\)

Odpověď: Existuje \(70\) kombinací, kde každá barva je vybrána maximálně \(2\)-krát.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počet výskytů prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\), kde

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 12\), s podmínkou \(x_1 \geq 3\)

Krok 2: Zavedeme novou proměnnou \(y_1 = x_1 – 3 \geq 0\), ostatní \(x_i\) zůstanou nezměněné.

Krok 3: Rovnice se přepíše na:

\(y_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 12 – 3 = 9\)

Krok 4: Počet nezáporných celočíselných řešení této rovnice je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:

\(C(9 + 5 – 1, 5 – 1) = C(13, 4) = 715\)

Odpověď: Existuje \(715\) kombinací délky \(12\) z \(5\) prvků, kde první prvek je vybrán nejméně \(3\)-krát.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty jednotlivých prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) a platí:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6\), s podmínkou \(x_1 + x_2 \leq 4\)

Krok 2: Vyjádříme kombinace podle hodnot \(k = x_1 + x_2\), kde \(k = 0,1,2,3,4\).

Krok 3: Pro pevné \(k\) je počet rozdělení \(k\) mezi \(x_1, x_2\) dán vzorcem:

\(k + 2 – 1 \choose 2 – 1 = k + 1\)

Krok 4: Pro zbývající \(6 – k\) rozdělení mezi \(x_3, x_4\) platí počet řešení:

\(6 – k + 2 – 1 \choose 2 – 1 = 7 – k\)

Krok 5: Celkový počet kombinací je součtem přes \(k=0\) až \(4\):

\(\sum_{k=0}^4 (k+1)(7-k) = \sum_{k=0}^4 (7k + 7 – k^2 – k) = \sum_{k=0}^4 (6k + 7 – k^2)\)

Vypočítáme jednotlivé členy:

\(k=0: 0 + 7 – 0 = 7\)

\(k=1: 6 + 7 – 1 = 12\)

\(k=2: 12 + 7 – 4 = 15\)

\(k=3: 18 + 7 – 9 = 16\)

\(k=4: 24 + 7 – 16 = 15\)

Součet: \(7 + 12 + 15 + 16 + 15 = 65\)

Odpověď: Existuje \(65\) takových kombinací.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) a platí:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 9\), kde každý \(x_i\) je sudé číslo, tj. \(x_i = 2y_i\) pro \(y_i \geq 0\).

Krok 2: Dosadíme do rovnice:

\(2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) = 9\)

Krok 3: Jelikož \(9\) je liché číslo, rovnice nemá řešení v nezáporných celých číslech \(y_i\).

Odpověď: Neexistuje žádná kombinace délky \(9\), kde by všechny prvky byly zastoupeny sudým počtem.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty výskytů jednotlivých prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) s podmínkou:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10\), kde každý \(x_i \geq 1\).

Krok 2: Protože každý musí být zastoupen alespoň jednou, zavedeme substituci \(y_i = x_i – 1 \geq 0\).

Krok 3: Rovnice se přepíše na:

\(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 10 – 4 = 6\).

Krok 4: Počet nezáporných celočíselných řešení je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:

\(C(6 + 4 – 1, 4 – 1) = C(9, 3)\).

Krok 5: Výpočet \(C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\).

Odpověď: Existuje \(84\) kombinací délky \(10\) z \(4\) prvků, kde každý prvek je zastoupen alespoň jednou.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\) s podmínkami:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 8\), kde \(0 \leq x_i \leq 3\).

Krok 2: Nejprve spočítáme počet všech řešení bez omezení horní meze:

\(C(8 + 5 – 1, 5 – 1) = C(12, 4) = 495\).

Krok 3: Použijeme princip inkluze-exkluze pro omezení \(x_i \leq 3\).

Krok 4: Označíme množiny \(A_i\), kde \(x_i \geq 4\). Pro fixní \(i\) zavedeme \(y_i = x_i – 4 \geq 0\).

Pak platí:

\(y_i + \sum_{j \neq i} x_j = 8 – 4 = 4\).

Počet řešení této rovnice je:

\(C(4 + 5 – 1, 5 – 1) = C(8, 4) = 70\).

Krok 5: Počet množin \(A_i\) je \(5\), součet je tedy \(5 \times 70 = 350\).

Krok 6: Průnik dvou množin \(A_i \cap A_j\) znamená \(x_i \geq 4\) a \(x_j \geq 4\), pak:

Zavedeme \(y_i = x_i – 4 \geq 0\), \(y_j = x_j – 4 \geq 0\), rovnice je:

\(y_i + y_j + \sum_{k \neq i,j} x_k = 8 – 8 = 0\).

Počet řešení je:

\(C(0 + 5 – 1, 5 – 1) = C(4, 4) = 1\).

Počet dvojic je \(C(5, 2) = 10\), tedy součet je \(10\).

Krok 7: Průnik tří nebo více množin nemůže nastat, protože by součet byl záporný.

Krok 8: Použijeme princip inkluze-exkluze:

Počet platných řešení = \(495 – 350 + 10 = 155\).

Odpověď: Existuje \(155\) kombinací délky \(8\) z \(5\) prvků s podmínkou, že žádný prvek není zastoupen více než třikrát.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3\), kde platí:

\(x_1 + x_2 + x_3 = 7\), přičemž \(x_1\) je sudé, \(x_2\) je liché a \(x_3 \geq 0\).

Krok 2: Zapišme \(x_1 = 2a\), \(a \geq 0\), a \(x_2 = 2b + 1\), \(b \geq 0\).

Krok 3: Dosadíme do rovnice:

\(2a + (2b + 1) + x_3 = 7 \Rightarrow 2a + 2b + x_3 = 6\).

Krok 4: Přepíšeme jako:

\(x_3 = 6 – 2a – 2b\), kde \(a,b,x_3 \geq 0\).

Krok 5: Podmínka \(x_3 \geq 0\) znamená:

\(6 – 2a – 2b \geq 0 \Rightarrow a + b \leq 3\).

Krok 6: Počet nezáporných celočíselných dvojic \((a,b)\) takových, že \(a+b \leq 3\) je počet řešení rovnice \(a + b + c = 3\), kde \(c \geq 0\).

Krok 7: Počet řešení této rovnice je:

\(C(3 + 2, 2) = C(5, 2) = 10\).

Krok 8: Každé řešení \((a,b)\) odpovídá právě jednomu \(x_3\), proto je počet hledaných kombinací \(10\).

Odpověď: Existuje \(10\) takových kombinací.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) s podmínkami:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 5\), \(x_1 + x_3 = 3\).

Krok 2: Z podmínky \(x_1 + x_3 = 3\) určíme \(x_3 = 3 – x_1\), kde \(0 \leq x_1 \leq 3\).

Krok 3: Dosadíme do první rovnice:

\(x_1 + x_2 + (3 – x_1) + x_4 = 5 \Rightarrow x_2 + x_4 = 2\).

Krok 4: Počet řešení rovnice \(x_2 + x_4 = 2\), kde \(x_2, x_4 \geq 0\), je:

\(2 + 2 – 1\) vybereme \(2 – 1\) neboli \(C(3,1) = 3\).

Krok 5: Pro každou hodnotu \(x_1 = 0,1,2,3\) existují \(3\) řešení pro \(x_2, x_4\).

Krok 6: Celkem je tedy počet kombinací:

\(4 \times 3 = 12\).

Odpověď: Existuje \(12\) takových kombinací.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6\), kde platí:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 12\), každý \(x_i\) je sudé číslo.

Krok 2: Zavedeme \(x_i = 2 y_i\), kde \(y_i \geq 0\).

Krok 3: Dosadíme do rovnice:

\(2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6) = 12 \Rightarrow y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 6\).

Krok 4: Počet řešení je počet nezáporných celočíselných řešení této rovnice, což je:

\(C(6 + 6 – 1, 6 – 1) = C(11, 5)\).

Krok 5: Výpočet \(C(11, 5) = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462\).

Odpověď: Existuje \(462\) takových kombinací.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3\) s podmínkou:

\(x_1 + x_2 + x_3 = 9\), kde \(x_2 < x_1\).

Krok 2: Jelikož \(x_2 < x_1\), můžeme iterovat přes možné hodnoty \(x_1\) a spočítat počet \(x_2\).

Krok 3: Hodnoty \(x_1\) mohou být od \(1\) do \(9\) (protože \(x_2 < x_1\), \(x_1\) musí být alespoň 1).

Krok 4: Pro pevné \(x_1 = k\) je \(x_2\) v intervalu \(0 \leq x_2 \leq k-1\), \(x_3 = 9 – k – x_2 \geq 0\).

Krok 5: Pro dané \(k\) je počet možných \(x_2\) takových, že \(x_3 \geq 0\) roven počtu celých \(x_2\) splňujících:

\(0 \leq x_2 \leq k-1\) a \(x_2 \leq 9 – k\).

Krok 6: Protože \(x_2 \leq k-1\) a \(x_2 \leq 9 – k\), maximální možná hodnota \(x_2\) je \(\min(k-1, 9-k)\).

Krok 7: Počet možností pro \(x_2\) je tedy \(\min(k-1, 9-k) + 1\).

Krok 8: Spočítáme sumu přes \(k = 1\) až \(9\):

k: 1, max \(x_2 = \min(0,8) = 0 \Rightarrow 1\) možnost

k: 2, max \(x_2 = \min(1,7) = 1 \Rightarrow 2\) možnosti

k: 3, max \(x_2 = \min(2,6) = 2 \Rightarrow 3\)

k: 4, max \(x_2 = \min(3,5) = 3 \Rightarrow 4\)

k: 5, max \(x_2 = \min(4,4) = 4 \Rightarrow 5\)

k: 6, max \(x_2 = \min(5,3) = 3 \Rightarrow 4\)

k: 7, max \(x_2 = \min(6,2) = 2 \Rightarrow 3\)

k: 8, max \(x_2 = \min(7,1) = 1 \Rightarrow 2\)

k: 9, max \(x_2 = \min(8,0) = 0 \Rightarrow 1\)

Krok 9: Součet možností:

\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25\).

Odpověď: Existuje \(25\) takových kombinací.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\) s podmínkami:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 11\), \(x_5 = 4\).

Krok 2: Dosadíme \(x_5 = 4\), zbývá:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7\), kde \(x_i \geq 0\).

Krok 3: Počet řešení této rovnice je:

\(C(7 + 4 – 1, 4 – 1) = C(10, 3)\).

Krok 4: Výpočet \(C(10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\).

Odpověď: Existuje \(120\) takových kombinací.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) s podmínkami:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 14\), \(x_1\) sudé, \(x_2\) liché, \(x_3 \geq 2\), \(x_4 = 0\).

Krok 2: Zavedeme \(x_1 = 2y_1\), \(x_2 = 2y_2 + 1\), \(x_3 = y_3 + 2\), \(x_4 = 0\).

Krok 3: Dosadíme do rovnice:

\(2y_1 + 2y_2 + 1 + y_3 + 2 = 14 \Rightarrow 2y_1 + 2y_2 + y_3 = 11\).

Krok 4: Budeme hledat nezáporná celočíselná řešení rovnice \(2y_1 + 2y_2 + y_3 = 11\).

Krok 5: Zvolíme hodnoty \(y_3 = k\) od \(0\) do \(11\), potom:

\(2y_1 + 2y_2 = 11 – k\).

Krok 6: Pravá strana musí být sudá, tedy \(11 – k\) je sudé \Rightarrow \(k\) liché.

Krok 7: Hodnoty \(k\) jsou liché čísla od \(1\) do \(11: 1, 3, 5, 7, 9, 11\).

Krok 8: Pro každé \(k\) spočítáme počet řešení rovnice \(y_1 + y_2 = \frac{11 – k}{2}\), což je:

\(\frac{11 – k}{2} + 2 – 1\) vybereme \(2 – 1\) neboli \(C(\frac{11 – k}{2} + 1, 1) = \frac{11 – k}{2} + 1\).

Krok 9: Spočítáme součet pro \(k = 1, 3, 5, 7, 9, 11\):

\(\sum_{k=1,3,5,7,9,11} \left(\frac{11 – k}{2} + 1\right) = (5+1) + (4+1) + (3+1) + (2+1) + (1+1) + (0+1) = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.\)

Odpověď: Existuje 21\) takových kombinací.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3\), kde platí:

\(x_1 + x_2 + x_3 = 10\), \(0 \leq x_i \leq 5\).

Krok 2: Budeme počítat počet řešení této rovnice za omezení pomocí inkluze-exkluze.

Krok 3: Nejprve spočítáme počet všech řešení bez omezení, což je:

\(C(10 + 3 – 1, 3 – 1) = C(12, 2) = 66\).

Krok 4: Dále spočítáme počet řešení, kde alespoň jeden \(x_i > 5\).

Krok 5: Pro \(x_1 > 5\) zavádíme \(x_1′ = x_1 – 6 \geq 0\), pak:

\(x_1′ + x_2 + x_3 = 10 – 6 = 4\), počet řešení:

\(C(4 + 3 – 1, 3 – 1) = C(6, 2) = 15\).

Krok 6: Stejně pro \(x_2 > 5\) a \(x_3 > 5\) také 15 řešení.

Krok 7: Počet řešení, kde alespoň dva \(x_i > 5\), spočítáme:

Pro \(x_1 > 5\) a \(x_2 > 5\) zavádíme \(x_1′ = x_1 – 6\), \(x_2′ = x_2 – 6\), pak:

\(x_1′ + x_2′ + x_3 = 10 – 12 = -2\), žádné řešení.

Krok 8: Stejně pro ostatní dvojice žádná řešení.

Krok 9: Počet řešení je tedy:

\(66 – 3 \times 15 = 66 – 45 = 21\).

Odpověď: Existuje \(21\) takových kombinací.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) s podmínkami:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8\), \(0 \leq x_1 \leq 3\), \(x_2 \geq 2\), \(x_3, x_4 \geq 0\).

Krok 2: Zavedeme \(y_2 = x_2 – 2 \geq 0\), pak:

\(x_1 + y_2 + x_3 + x_4 = 8 – 2 = 6\), kde \(0 \leq x_1 \leq 3\), ostatní nezáporná.

Krok 3: Budeme počítat počet řešení pro každou hodnotu \(x_1 = 0, 1, 2, 3\).

Krok 4: Pro pevné \(x_1 = k\) platí:

\(y_2 + x_3 + x_4 = 6 – k\).

Krok 5: Počet řešení pro pevné \(k\) je:

\(C(6 – k + 3 – 1, 3 – 1) = C(8 – k, 2)\).

Krok 6: Spočítáme sumu pro \(k = 0\) až 3:

\(C(8, 2) + C(7, 2) + C(6, 2) + C(5, 2)\).

Krok 7: Výpočty jednotlivých hodnot:

\(C(8, 2) = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28\)

\(C(7, 2) = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21\)

\(C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15\)

\(C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\)

Krok 8: Celkový počet kombinací je:

\(28 + 21 + 15 + 10 = 74\).

Odpověď: Existuje \(74\) takových kombinací.

Řešení příkladu:

Krok 1: Označíme počty výskytů jednotlivých prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\), kde každý \(x_i\) představuje počet výskytů prvku \(i\).

Krok 2: Podmínky jsou:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 12\),

\(0 \leq x_i \leq 4\) pro \(i = 1, 2, 3, 4, 5\).

Krok 3: Bez omezení na maximální počet opakování by počet kombinací byl:

\(\displaystyle \frac{(12 + 5 – 1)!}{(5 – 1)! \cdot 12!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!}\).

Krok 4: Musíme odečíst případy, kdy nějaký prvek je použit alespoň \(5\)-krát. Označíme tuto množinu jako \(A_i\).

Krok 5: Princip inkluze a exkluze:

Celkový počet platných kombinací = všechny kombinace bez omezení − případy s alespoň jedním prvkem opakovaným \(5\) a vícekrát + případy s alespoň dvěma takovými prvky − atd.

Krok 6: Výpočet \(|A_i|\):

Odečteme \(5\) od \(x_i\), tedy \(x_i‘ = x_i – 5 \geq 0\).

\(x_i‘ + \sum_{j \neq i} x_j = 12 – 5 = 7\).

Počet řešení: \(\displaystyle \frac{(7 + 5 – 1)!}{(5 – 1)! \cdot 7!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!}\).

Krok 7: Výpočet \(|A_i \cap A_j|\):

Odečteme \(5\) od obou proměnných: \(12 – 10 = 2\).

Počet řešení: \(\displaystyle \frac{(2 + 5 – 1)!}{(5 – 1)! \cdot 2!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!}\).

Krok 8: Trojité průniky: \(12 – 15 < 0\) → žádná řešení.

Krok 9: Sestavení vzorce:

\(\text{počet} = \frac{16!}{4! \cdot 12!} – 5 \cdot \frac{11!}{4! \cdot 7!} + \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{6!}{4! \cdot 2!}\).

Krok 10: Výpočet hodnot:

\(\frac{16!}{4! \cdot 12!} = 1820\),

\(\frac{11!}{4! \cdot 7!} = 330\),

\(\frac{6!}{4! \cdot 2!} = 15\),

\(\frac{5 \cdot 4}{2} = 10\).

Krok 11: Dosazení:

\(1820 – 5 \cdot 330 + 10 \cdot 15 = 1820 – 1650 + 150 = 320\).

Výsledek: Existuje \(320\) kombinací délky \(12\) z \(5\) prvků, kde každý prvek je zastoupen maximálně \(4\)-krát.

Řešení příkladu:

Krok 1: Uspořádané kombinace s opakováním odpovídají variacím s opakováním, protože záleží na pořadí a prvky se mohou opakovat.

Krok 2: Počet takových kombinací délky \(k=8\) z \(n=3\) prvků je \(3^8\).

Krok 3: Vypočítáme:

\(3^8 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 6561\).

Výsledek je \(6561\) uspořádaných kombinací délky \(8\) z \(3\) prvků s opakováním.

Řešení příkladu:

Úloha je o kombinacích s opakováním, protože vybíráme \(5\) znaků z \(8\), přičemž se znaky mohou opakovat.

Počet kombinací s opakováním je dán vzorcem:

\[ \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \]

kde \(n = 8\) (počet různých znaků) a \(k = 5\) (počet vybíraných znaků).

Dosadíme:

\[ \text{Počet} = \frac{(8 + 5 – 1)!}{5! \cdot (8 – 1)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]

Vypočítáme hodnotu:

\[ \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792 \]

Tedy lze sestavit \(792\) různých \(5\)-místných kódů z \(8\) znaků s opakováním.

Řešení příkladu:

Znovu použijeme vzorec pro kombinace s opakováním, protože vybíráme \(4\) prvky z \(6\) a opakování je dovoleno.

Počet kombinací s opakováním je dán vzorcem:

\[ \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \]

kde \(n = 6\), \(k = 4\).

Dosadíme:

\[ \text{Počet} = \frac{(6 + 4 – 1)!}{4! \cdot (6 – 1)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \]

Vypočítáme hodnotu:

\[ \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \]

Tedy lze vytvořit \(126\) různých \(4\)-členných skupin s opakováním z \(6\) druhů ovoce.

Řešení příkladu:

Zde vybíráme \(3\) dorty z \(10\) druhů, opakování dortů je povoleno.

Počet kombinací s opakováním je dán vzorcem:

\[ \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \]

kde \(n = 10\), \(k = 3\).

Dosadíme:

\[ \text{Počet} = \frac{(10 + 3 – 1)!}{3! \cdot (10 – 1)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \]

Vypočítáme hodnotu:

\[ \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 \]

Tedy lze vytvořit \(220\) různých objednávek po \(3\) kusech dortů s opakováním.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním pro výběr \(7\) koulí z \(5\) barev je:

\[ \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \]

kde \(n = 5\), \(k = 7\).

Dosadíme:

\[ \text{Počet} = \frac{(5 + 7 – 1)!}{7! \cdot (5 – 1)!} = \frac{11!}{7! \cdot 4!} \]

Vypočítáme hodnotu:

\[ \frac{11!}{7! \cdot 4!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330 \]

Tedy existuje \(330\) různých způsobů výběru \(7\) koulí z \(5\) barev s opakováním.

Řešení příkladu:

Úloha je o kombinacích s opakováním. Vybíráme \(6\) znaků z \(4\) možností, znaky se mohou opakovat.

Vzorec pro počet kombinací s opakováním je:

\[ \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \]

kde \(n = 4\), \(k = 6\).

Dosadíme:

\[ \text{Počet} = \frac{(4 + 6 – 1)!}{6! \cdot (4 – 1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \]

Vypočítáme:

\[ \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \]

Tedy lze vytvořit \(84\) různých \(6\)-místných hesel z \(4\) znaků s opakováním.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním vybíraných \(k = 4\) z \(n = 7\) prvků je:

\[ \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \]

Dosadíme:

\[ \text{Počet} = \frac{(7 + 4 – 1)!}{4! \cdot (7 – 1)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]

Vypočítáme:

\[ \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Tedy existuje \(210\) různých čtyřčíselných kombinací s opakováním z \(7\) číslic.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním je:

\[ \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \]

kde \(n = 9\), \(k = 5\).

Dosadíme:

\[ \text{Počet} = \frac{(9 + 5 – 1)!}{5! \cdot (9 – 1)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} \]

Vypočítáme:

\[ \frac{13!}{5! \cdot 8!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1287 \]

Tedy lze sestavit \(1287\) různých výběrů \(5\) knih s opakováním z \(9\) druhů.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním vybíraných \(k = 3\) z \(n = 5\) je:

\[ \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \]

Dosadíme:

\[ \text{Počet} = \frac{(5 + 3 – 1)!}{3! \cdot (5 – 1)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \]

Vypočítáme:

\[ \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]

Tedy existuje \(35\) různých tříprvků s opakováním z \(5\) barev.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním vybíraných \(k = 8\) z \(n = 3\) je:

\[ \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} = \frac{(3 + 8 – 1)!}{8! \cdot (3 – 1)!} = \frac{10!}{8! \cdot 2!} \]

Vypočítáme:

\[ \frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \]

Tedy lze vytvořit \(45\) různých \(8\)-místných kombinací z \(3\) písmen s opakováním.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním je:

\[ \text{Počet} = \frac{(10 + 2 – 1)!}{2! \cdot (10 – 1)!} = \frac{11!}{2! \cdot 9!} \]

Vypočítáme:

\[ \frac{11!}{2! \cdot 9!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55 \]

Tedy existuje \(55\) různých \(2\)-prvků s opakováním z \(10\) druhů ovoce.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním je:

\[ \text{Počet} = \frac{(4 + 7 – 1)!}{7! \cdot (4 – 1)!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} \]

Vypočítáme:

\[ \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

Tedy lze vytvořit \(120\) různých \(7\)-květinových kytic s opakováním z \(4\) druhů květin.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním:

\[ \text{Počet} = \frac{(8 + 5 – 1)!}{5! \cdot (8 – 1)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]

Vypočítáme:

\[ \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792 \]

Tedy existuje \(792\) různých \(5\)-prvků s opakováním z \(8\) druhů bonbónů.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním pro \(k = 9\) a \(n = 5\) je:

\[ \text{Počet} = \frac{(5 + 9 – 1)!}{9! \cdot (5 – 1)!} = \frac{13!}{9! \cdot 4!} \]

Vypočítáme:

\[ \frac{13!}{9! \cdot 4!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 715 \]

Tedy lze vytvořit \(715\) různých \(9\)-místných kombinací z \(5\) písmen s opakováním.

Řešení příkladu:

Počet kombinací s opakováním pro \(k = 10\) a \(n = 6\) je:

\[ \text{Počet} = \frac{(6 + 10 – 1)!}{10! \cdot (6 – 1)!} = \frac{15!}{10! \cdot 5!} \]

Vypočítáme:

\[ \frac{15!}{10! \cdot 5!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003 \]

Tedy lze vybrat \(3003\) různých \(10\)-prvků s opakováním z \(6\) druhů ovoce.