1. Určete součet komplexních čísel \( z_1 = 3 + 2i \) a \( z_2 = -5 + 7i \).
Řešení příkladu:
Máme dvě komplexní čísla \( z_1 = 3 + 2i \) a \( z_2 = -5 + 7i \).
Součet komplexních čísel se provádí tak, že se sčítají jejich reálné části zvlášť a imaginární části zvlášť.
Reálné části jsou \( 3 \) a \( -5 \), jejich součet je:
\( 3 + (-5) = 3 – 5 = -2 \)
Imaginární části jsou \( 2i \) a \( 7i \), jejich součet je:
\( 2i + 7i = 9i \)
Tedy výsledkem součtu je komplexní číslo, jehož reálná část je \(-2\) a imaginární část \(9i\):
\( z = -2 + 9i \)
Výsledek: \( z = -2 + 9i \)
2. Vypočítejte rozdíl komplexních čísel \( z_1 = -4 + 3i \) a \( z_2 = 2 – 5i \).
Řešení příkladu:
Rozdíl komplexních čísel \( z = z_1 – z_2 \) se počítá odečtením reálných a imaginárních částí zvlášť.
Máme:
\( z_1 = -4 + 3i \), \( z_2 = 2 – 5i \)
Nejprve odečteme reálné části:
\( -4 – 2 = -6 \)
Dále odečteme imaginární části:
\( 3i – (-5i) = 3i + 5i = 8i \)
Celkový rozdíl je tedy:
\( z = -6 + 8i \)
Výsledek: \( z = -6 + 8i \)
3. Vypočítejte součin \( z_1 = 2 + 3i \) a \( z_2 = 1 – 4i \).
Řešení příkladu:
Součin komplexních čísel je dán vzorcem:
\( (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i \)
Kde \( a = 2, b = 3, c = 1, d = -4 \).
Vypočítáme jednotlivé části:
- Reálná část: \( ac – bd = 2 \cdot 1 – 3 \cdot (-4) = 2 + 12 = 14 \)
- Imaginární část: \( ad + bc = 2 \cdot (-4) + 3 \cdot 1 = -8 + 3 = -5 \)
Tedy výsledný součin je:
\( z = 14 – 5i \)
Výsledek: \( z = 14 – 5i \)
4. Určete podíl komplexních čísel \( z_1 = 4 + i \) a \( z_2 = 1 – 2i \).
Řešení příkladu:
Pro výpočet podílu komplexních čísel použijeme komplexně sdružené číslo ve jmenovateli, abychom odstranili imaginární část z jmenovatele.
Máme:
\( \frac{4 + i}{1 – 2i} \)
Vynásobíme čitatel i jmenovatel sdruženým číslem jmenovatele \( 1 + 2i \):
\( \frac{4 + i}{1 – 2i} \cdot \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = \frac{(4 + i)(1 + 2i)}{(1 – 2i)(1 + 2i)} \)
Nejprve spočítáme čitatel:
\( (4 + i)(1 + 2i) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2i + i \cdot 1 + i \cdot 2i = 4 + 8i + i + 2i^2 \)
Pamatujeme, že \( i^2 = -1 \), takže:
\( 2i^2 = 2 \cdot (-1) = -2 \)
Čitatel tedy je:
\( 4 + 8i + i – 2 = (4 – 2) + (8i + i) = 2 + 9i \)
Nyní jmenovatel, který je součin sdružených čísel:
\( (1 – 2i)(1 + 2i) = 1^2 – (2i)^2 = 1 – 4i^2 = 1 – 4(-1) = 1 + 4 = 5 \)
Výsledek podílu je tedy:
\( \frac{2 + 9i}{5} = \frac{2}{5} + \frac{9}{5}i \)
Výsledek: \( z = \frac{2}{5} + \frac{9}{5}i \)
5. Určete modul komplexního čísla \( z = -3 + 4i \).
Řešení příkladu:
Modul komplexního čísla je vzdálenost tohoto čísla od počátku v komplexní rovině a vypočítá se jako:
\( |z| = \sqrt{(\text{reálná část})^2 + (\text{imaginární část})^2} \)
Pro \( z = -3 + 4i \) je reálná část \( -3 \) a imaginární část \( 4 \).
Dosadíme do vzorce:
\( |z| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Výsledek: \( |z| = 5 \)
6. Určete komplexně sdružené číslo k \( z = 6 – 7i \).
Řešení příkladu:
Komplexně sdružené číslo se získá změnou znaménka imaginární části, reálná část zůstává stejná.
Pro \( z = 6 – 7i \) je reálná část \( 6 \) a imaginární část \( -7 \).
Komplexně sdružené číslo je tedy:
\( \overline{z} = 6 + 7i \)
Výsledek: \( \overline{z} = 6 + 7i \)
7. Ukažte, že součin komplexního čísla a jeho sdruženého je reálné číslo: \( z = 5 – 2i \).
Řešení příkladu:
Nejdříve najdeme komplexně sdružené číslo \( \overline{z} \):
\( \overline{z} = 5 + 2i \)
Vypočítáme součin \( z \cdot \overline{z} \):
\( (5 – 2i)(5 + 2i) = 5 \cdot 5 + 5 \cdot 2i – 2i \cdot 5 – 2i \cdot 2i = 25 + 10i – 10i – 4i^2 \)
Členy \( +10i \) a \( -10i \) se navzájem vyruší, zbývá:
\( 25 – 4i^2 \)
Připomínáme, že \( i^2 = -1 \), takže:
\( -4i^2 = -4 \cdot (-1) = +4 \)
Celkový součin je tedy:
\( 25 + 4 = 29 \)
Toto je reálné číslo.
Výsledek: Součin \( z \cdot \overline{z} = 29 \) je reálné číslo.
8. Vyjádřete komplexní číslo \( z = 7 – 24i \) v goniometrickém tvaru.
Řešení příkladu:
Goniometrický tvar komplexního čísla je:
\( z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \), kde \( r = |z| \) je modul a \( \varphi = \arg(z) \) je argument komplexního čísla.
Nejdříve spočítáme modul \( r \):
\( r = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \)
Nyní určíme argument \( \varphi \). Argument je úhel, který svírá vektor reprezentující komplexní číslo s kladnou osou reálných čísel. Vzorec pro argument je:
\( \varphi = \arctan\left(\frac{\text{imaginární část}}{\text{reálná část}}\right) = \arctan\left(\frac{-24}{7}\right) \)
Protože reálná část je kladná a imaginární záporná, leží číslo v 4. kvadrantu, tedy úhel bude záporný:
\( \varphi \approx \arctan(-3.42857) \approx -1.2925 \) rad (přibližně -74,05°)
Goniometrický tvar je tedy:
\( z = 25(\cos(-1.2925) + i \sin(-1.2925)) \)
Výsledek: \( z = 25 \left( \cos(-1{,}29) + i \sin(-1{,}29) \right) \)
9. Určete mocninu komplexního čísla \( z = 1 + i \) na druhou \( z^2 \) v algebraickém tvaru.
Řešení příkladu:
Máme komplexní číslo \( z = 1 + i \). Vypočítáme \( z^2 = (1 + i)^2 \).
Použijeme vzorec pro druhou mocninu součtu:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Kde \( a = 1 \), \( b = i \).
Dosadíme:
\( (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i + i^2 \)
Připomínáme, že \( i^2 = -1 \), takže:
\( 1 + 2i + (-1) = 2i \)
Tedy \( z^2 = 2i \).
V algebraickém tvaru je to:
\( 0 + 2i \)
Výsledek: \( z^2 = 2i \)
10. Najděte reálnou a imaginární část komplexního čísla \( z = \frac{3 + 4i}{2 – i} \).
Řešení příkladu:
Pro výpočet podílu komplexních čísel je potřeba vynásobit čitatel i jmenovatel sdruženým číslem jmenovatele, aby se odstranila imaginární část ve jmenovateli.
Máme:
\( z = \frac{3 + 4i}{2 – i} \)
Komplexně sdružené číslo k jmenovateli \( 2 – i \) je \( 2 + i \).
Vynásobíme čitatel i jmenovatel \( 2 + i \):
\( z = \frac{(3 + 4i)(2 + i)}{(2 – i)(2 + i)} \)
Vypočítáme čitatel:
\( (3 + 4i)(2 + i) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot i + 4i \cdot 2 + 4i \cdot i = 6 + 3i + 8i + 4i^2 \)
Opět víme, že \( i^2 = -1 \), takže:
\( 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 \)
Čitatel je tedy:
\( 6 + 3i + 8i – 4 = (6 – 4) + (3i + 8i) = 2 + 11i \)
Vypočítáme jmenovatel:
\( (2 – i)(2 + i) = 2^2 – i^2 = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5 \)
Podíl je tedy:
\( z = \frac{2 + 11i}{5} = \frac{2}{5} + \frac{11}{5}i \)
Reálná část: \( \frac{2}{5} \)
Imaginární část: \( \frac{11}{5} \)
11. Vyjádřete komplexní číslo \( z = -5 + 12i \) v goniometrickém tvaru.
Řešení příkladu:
Goniometrický tvar komplexního čísla je:
\( z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \), kde \( r = |z| \) je modul a \( \varphi = \arg(z) \) je argument.
Nejdříve spočítáme modul \( r \):
\( r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)
Nyní určíme argument \( \varphi \):
\( \varphi = \arctan\left(\frac{12}{-5}\right) \)
Reálná část je záporná, imaginární kladná — číslo leží ve 2. kvadrantu, proto:
\( \varphi = \pi + \arctan\left(\frac{12}{-5}\right) = \pi – \arctan\left(\frac{12}{5}\right) \)
Vypočítáme:
\( \arctan\left(\frac{12}{5}\right) \approx 1.176 \) rad (67,38°)
Argument je tedy:
\( \varphi \approx \pi – 1.176 = 1.965 \) rad (112,62°)
Goniometrický tvar:
\( z = 13(\cos 1.965 + i \sin 1.965) \)
Výsledek: \( z = 13 \left( \cos 1{,}97 + i \sin 1{,}97 \right) \)
12. Vypočítejte součet komplexních čísel \( z_1 = 4 – 3i \) a \( z_2 = -2 + 7i \) a určete modul výsledku.
Řešení příkladu:
Součet komplexních čísel je součet reálných a imaginárních částí zvlášť:
\( z = z_1 + z_2 = (4 – 3i) + (-2 + 7i) = (4 – 2) + (-3i + 7i) = 2 + 4i \)
Modul výsledku je:
\( |z| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Výsledek: Součet je \( 2 + 4i \) a jeho modul je \( 2\sqrt{5} \).
13. Najděte komplexně sdružené číslo k \( z = -3 – 8i \) a vypočítejte \( z \cdot \overline{z} \).
Řešení příkladu:
Komplexně sdružené číslo k \( z = -3 – 8i \) je \( \overline{z} = -3 + 8i \).
Vypočítáme součin:
\( z \cdot \overline{z} = (-3 – 8i)(-3 + 8i) \)
Využijeme vzorec pro rozdíl čtverců:
\( (a – bi)(a + bi) = a^2 + b^2 \), protože \( i^2 = -1 \).
Dosadíme:
\( (-3)^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73 \)
Tento součin je reálné číslo rovné kvadrátu modulu komplexního čísla.
Výsledek: \( z \cdot \overline{z} = 73 \)
14. Vyjádřete komplexní číslo \( z = 2 + 2\sqrt{3}i \) v goniometrickém tvaru.
Řešení příkladu:
Spočítáme modul \( r \):
\( r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \)
Určíme argument \( \varphi \):
\( \varphi = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \)
Goniometrický tvar je:
\( z = 4(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) \)
Výsledek: \( z = 4 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \)
15. Vypočtěte \( (1 – i)^3 \) a vyjádřete výsledek v algebraickém tvaru.
Řešení příkladu:
Nejprve rozepíšeme \( (1 – i)^3 = (1 – i)^2 \cdot (1 – i) \).
Vypočítáme \( (1 – i)^2 \):
\( (1 – i)^2 = 1^2 – 2i + i^2 = 1 – 2i – 1 = -2i \)
Pak vynásobíme \( -2i \) a \( (1 – i) \):
\( -2i \cdot (1 – i) = -2i + 2i^2 = -2i + 2(-1) = -2i – 2 = -2 – 2i \)
Výsledek: \( (1 – i)^3 = -2 – 2i \)
16. Najděte reálnou a imaginární část komplexního čísla \( z = \frac{5 – i}{3 + 4i} \).
Řešení příkladu:
Vynásobíme čitatel i jmenovatel sdruženým číslem jmenovatele \( 3 – 4i \):
\( z = \frac{(5 – i)(3 – 4i)}{(3 + 4i)(3 – 4i)} \)
Vypočítáme jmenovatel:
\( (3 + 4i)(3 – 4i) = 3^2 – (4i)^2 = 9 – (-16) = 25 \)
Vypočítáme čitatel:
\( (5 – i)(3 – 4i) = 5 \cdot 3 – 5 \cdot 4i – i \cdot 3 + i \cdot 4i = 15 – 20i – 3i + 4i^2 = 15 – 23i + 4(-1) = 15 – 23i – 4 = 11 – 23i \)
Tedy:
\( z = \frac{11 – 23i}{25} = \frac{11}{25} – \frac{23}{25}i \)
Reálná část je \( \frac{11}{25} \), imaginární část je \( -\frac{23}{25} \).
17. Určete komplexní číslo \( z \), jestliže \( z^2 = -7 + 24i \).
Řešení příkladu:
Chceme najít \( z = a + bi \), kde \( a, b \in \mathbb{R} \), tak aby platilo:
\( (a + bi)^2 = -7 + 24i \)
Rozepíšeme levou stranu:
\( (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2 i^2 = a^2 – b^2 + 2ab i \)
Porovnáme reálné a imaginární části:
- Reálná: \( a^2 – b^2 = -7 \)
- Imaginární: \( 2ab = 24 \)
Z rovnice \( 2ab = 24 \) dostaneme:
\( ab = 12 \Rightarrow b = \frac{12}{a} \) (za předpokladu, že \( a \neq 0 \))
Dosadíme do reálné části:
\( a^2 – \left(\frac{12}{a}\right)^2 = -7 \)
\( a^2 – \frac{144}{a^2} = -7 \)
Násobíme celou rovnici \( a^2 \):
\( a^4 – 144 = -7 a^2 \)
Převedeme na tvar kvadratické rovnice v \( x = a^2 \):
\( a^4 + 7a^2 – 144 = 0 \Rightarrow x^2 + 7x – 144 = 0 \)
Vyřešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 576}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-7 \pm 25}{2} \)
Dvě řešení:
- \( x_1 = \frac{-7 + 25}{2} = 9 \)
- \( x_2 = \frac{-7 – 25}{2} = -16 \) (zamítáme, protože \( a^2 \geq 0 \))
Tedy \( a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3 \)
Pro \( a = 3 \), platí \( b = \frac{12}{3} = 4 \)
Pro \( a = -3 \), platí \( b = \frac{12}{-3} = -4 \)
Řešení: \( z = 3 + 4i \) nebo \( z = -3 – 4i \)
18. Najděte všechny komplexní kořeny rovnice \( z^4 = 16 \).
Řešení příkladu:
Zapíšeme číslo 16 v goniometrickém tvaru:
\( 16 = 16(\cos 0 + i \sin 0) \)
Hledáme komplexní čísla \( z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \), která splňují:
\( z^4 = r^4 (\cos 4\varphi + i \sin 4\varphi) = 16 (\cos 0 + i \sin 0) \)
Porovnáním dostaneme:
- \( r^4 = 16 \Rightarrow r = \sqrt[4]{16} = 2 \)
- \( 4\varphi = 2k\pi, \quad k = 0, 1, 2, 3 \)
Argumenty:
\( \varphi_k = \frac{2k\pi}{4} = \frac{k\pi}{2}, \quad k = 0,1,2,3 \)
Kořeny jsou:
- \( z_0 = 2(\cos 0 + i \sin 0) = 2 \)
- \( z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = 2i \)
- \( z_2 = 2(\cos \pi + i \sin \pi) = -2 \)
- \( z_3 = 2(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}) = -2i \)
Výsledek: Kořeny rovnice jsou \( 2, 2i, -2, -2i \)
19. Určete součet a součin komplexních kořenů rovnice \( z^2 + z + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice je kvadratická s koeficienty \( a=1, b=1, c=1 \).
Diskriminant:
\( D = b^2 – 4ac = 1 – 4 = -3 < 0 \)
Kořeny jsou komplexní:
\( z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \)
Součet kořenů podle vzorce:
\( z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} = -1 \)
Součin kořenů podle vzorce:
\( z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a} = 1 \)
Výsledek: Součet kořenů je \( -1 \), součin kořenů je \( 1 \)
20. Vypočítejte hodnotu výrazu \( \left| \frac{1 + i}{1 – i} \right| \).
Řešení příkladu:
Modul zlomku je roven podílu modulů:
\( \left| \frac{1 + i}{1 – i} \right| = \frac{|1 + i|}{|1 – i|} \)
Modul \( |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
Modul \( |1 – i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \)
Podíl modulů:
\( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \)
Výsledek: \( 1 \)
21. Určete všechny komplexní kořeny rovnice \( z^4 + 1 = 0 \) a napište jejich součet a součin.
Řešení příkladu:
Rovnice \( z^4 + 1 = 0 \) lze přepsat jako \( z^4 = -1 \).
Komplexní číslo \(-1\) lze vyjádřit v goniometrickém tvaru jako:
\( -1 = \cos \pi + i \sin \pi \).
Kořeny čtvrté odmocniny tedy jsou:
\( z_k = \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \), kde \( k = 0,1,2,3 \).
Konkrétně:
- \( z_0 = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( z_1 = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( z_2 = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( z_3 = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Součet kořenů:
Součet kořenů rovnice \( z^n + a = 0 \) je nulový (platí i z Vieta), tedy
\( z_0 + z_1 + z_2 + z_3 = 0 \).
Součin kořenů:
Součin všech kořenů rovnice \( z^4 + 1 = 0 \) je dán vzorcem \( (-1)^n \cdot \frac{c}{a} = (-1)^4 \cdot 1 = 1 \).
Protože je stupeň sudý a koeficient u nejvyššího členu je 1, součin kořenů je \( 1 \).
Výsledek: Kořeny jsou uvedené výše, součet je \( 0 \), součin je \( 1 \).
22. Najděte všechny komplexní kořeny rovnice \( z^3 = 8i \) a vyjádřete je v algebraickém tvaru.
Řešení příkladu:
Zapíšeme číslo \( 8i \) v goniometrickém tvaru:
\( 8i = 8(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) \).
Obecný tvar kořenů třetí odmocniny:
\( z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3} \right) \), \( k=0,1,2 \).
\( \sqrt[3]{8} = 2 \).
Vypočítáme jednotlivé kořeny:
- \( z_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi/2}{3} + i \sin \frac{\pi/2}{3} \right) = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i \)
- \( z_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi/2 + 2\pi}{3} + i \sin \frac{\pi/2 + 2\pi}{3} \right) = 2(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}) = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + i \)
- \( z_2 = 2 \left( \cos \frac{\pi/2 + 4\pi}{3} + i \sin \frac{\pi/2 + 4\pi}{3} \right) = 2(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}) = 2(0 – i) = -2i \)
Výsledek: Kořeny jsou \( \sqrt{3} + i \), \( -\sqrt{3} + i \), a \( -2i \).
23. Určete hodnotu výrazu \( (1 + i)^{10} \) v tvaru \( a + bi \).
Řešení příkladu:
Nejprve vyjádříme \(1+i\) v goniometrickém tvaru:
\( |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).
Argument \( \theta = \arctan \frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} \).
Pak
\( 1 + i = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) \).
Podle Moivreovy věty:
\( (1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \left( \cos 10 \cdot \frac{\pi}{4} + i \sin 10 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = (2^{5}) (\cos \frac{10\pi}{4} + i \sin \frac{10\pi}{4}) \).
\( 2^{5} = 32 \).
Zjednodušení úhlu:
\( \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \).
Proto
\( \cos \frac{5\pi}{2} = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \), \( \sin \frac{5\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
Výsledek:
\( (1+i)^{10} = 32 (0 + i \cdot 1) = 32i \).
24. Určete reálnou a imaginární část komplexního čísla \( \frac{3+4i}{1-2i} \).
Řešení příkladu:
Vydělíme komplexní čísla:
\( \frac{3+4i}{1-2i} \cdot \frac{1+2i}{1+2i} = \frac{(3+4i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} \).
Vypočítáme čitatel:
\( (3+4i)(1+2i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 1 + 4i \cdot 2i = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \).
Pamatujeme, že \( i^2 = -1 \), tedy:
\( 3 + 6i + 4i – 8 = (3 – 8) + (6i + 4i) = -5 + 10i \).
Vypočítáme jmenovatel:
\( (1-2i)(1+2i) = 1^2 – (2i)^2 = 1 – 4i^2 = 1 – 4(-1) = 1 + 4 = 5 \).
Výsledek dělení je:
\( \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i \).
Reálná část je \( -1 \), imaginární část je \( 2 \).
25. Najděte modul a argument komplexního čísla \( z = -1 – i \sqrt{3} \) a vyjádřete \( z \) v goniometrickém tvaru.
Řešení příkladu:
Modul komplexního čísla:
\( |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \).
Argument \( \theta \) je úhel mezi kladnou reálnou osou a vektorem:
Protože \( x = -1 \), \( y = -\sqrt{3} \), nacházíme se ve třetím kvadrantu.
Úhel referenční k ose x je:
\( \alpha = \arctan \frac{|\sqrt{3}|}{|1|} = \arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \).
V třetím kvadrantu je argument:
\( \theta = \pi + \alpha = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \).
Goniometrický tvar:
\( z = 2 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) \).
26. Vyřešte rovnici \( |z – 1 + 2i| = 3 \) a popište množinu všech řešení v komplexní rovině.
Řešení příkladu:
Rovnice \( |z – (1 – 2i)| = 3 \) znamená, že vzdálenost komplexního čísla \( z \) od čísla \( 1 – 2i \) je 3.
Komplexní číslo \( z = x + iy \).
Vzdálenost od \( 1 – 2i \) je:
\( |(x + iy) – (1 – 2i)| = |(x-1) + i(y+2)| = \sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2} \).
Podmínka rovnice je:
\( \sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2} = 3 \Rightarrow (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9 \).
Jedná se o kružnici se středem v bodě \( (1, -2) \) a poloměrem 3 v rovině reálné a imaginární části komplexních čísel.
Popis množiny řešení:
Množina všech komplexních čísel \( z \), jejichž graf leží na kružnici se středem \( (1, -2) \) a poloměrem 3.
27. Určete všechny komplexní kořeny rovnice \( z^3 – 1 = 0 \) a ověřte, že jejich součet je \( 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( z^3 – 1 = 0 \) znamená \( z^3 = 1 \).
Jednička v goniometrickém tvaru: \( 1 = \cos 0 + i \sin 0 \).
Kořeny třetí odmocniny:
\( z_k = \cos \frac{2k\pi}{3} + i \sin \frac{2k\pi}{3} \), \( k=0,1,2 \).
- \( z_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1 \)
- \( z_1 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( z_2 = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Součet kořenů:
\( z_0 + z_1 + z_2 = 1 + \left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 – \frac{1}{2} – \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \).
28. Najděte všechny komplexní kořeny rovnice \( z^4 + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice je \( z^4 + 4 = 0 \) což můžeme přepsat jako \( z^4 = -4 \).
Vyjádříme pravou stranu v komplexním tvaru v polárních souřadnicích: \(-4 = 4(\cos \pi + i \sin \pi)\).
Kořeny se hledají podle vzorce:
\( z_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right), k=0,1,2,3 \).
Modul je \(\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\).
Kořeny jsou tedy:
- \( z_0 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 + i \)
- \( z_1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 + i \)
- \( z_2 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 – i \)
- \( z_3 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 – i \)
Tedy všechny kořeny jsou \( 1 + i, -1 + i, -1 – i, 1 – i \).
29. Určete hodnotu komplexního výrazu \( (1 + i)^6 \) a vyjádřete ji v tvaru \( a + bi \).
Řešení příkladu:
Nejprve převedeme komplexní číslo \(1 + i\) do goniometrického tvaru.
Modul: \( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).
Argument: \( \varphi = \arctan \frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} \).
Podle Moivreovy věty platí:
\( (1 + i)^6 = r^6 \left( \cos 6\varphi + i \sin 6\varphi \right) \).
Vypočítáme:
\( r^6 = (\sqrt{2})^6 = (2)^{3} = 8 \).
\( 6\varphi = 6 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \).
Výraz tedy je:
\( 8 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) \).
Hodnoty funkcí:
\( \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \), \( \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \).
Výsledek:
\( 8 \cdot (0 – i) = -8i \).
Tedy \( (1 + i)^6 = 0 – 8i = -8i \).
30. Vyřešte rovnici \( |z – (2 – 3i)| = 5 \) a popište geometricky množinu jejích řešení v komplexní rovině.
Řešení příkladu:
Rovnice \( |z – (2 – 3i)| = 5 \) znamená, že vzdálenost komplexního čísla \( z \) od pevného komplexního čísla \( 2 – 3i \) je rovna 5.
Označíme \( z = x + yi \), kde \( x, y \in \mathbb{R} \).
Potom:
\( |z – (2 – 3i)| = |(x + yi) – (2 – 3i)| = |(x – 2) + (y + 3)i| \).
Modul je:
\( \sqrt{(x – 2)^2 + (y + 3)^2} = 5 \).
Vyjádříme rovnici kružnice v rovině \(xy\):
\( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \).
Tedy množina řešení tvoří kružnici se středem v bodě \( S = (2, -3) \) a poloměrem \( r = 5 \).
Geometricky jde o všechny body v komplexní rovině vzdálené od bodu \( 2 – 3i \) právě o 5 jednotek.