51. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n n^3}{(n!)^2} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{5^n n^3}{(n!)^2} \).
Určíme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{5^{n+1}(n+1)^3}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{5^n n^3} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{5 (n+1)^3}{(n+1)^2 n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{5(n+1)}{n^3} \).
\( \lim_{n \to \infty} \frac{5(n+1)}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{5(n+1)}{n^3} = 0 \).
\( L = 0 < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
52. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln n)^3}{n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{(\ln n)^3}{n!} \).
Spočítáme:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(\ln(n+1))^3}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(\ln n)^3} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(\ln(n+1))^3}{(n+1)(\ln n)^3} \).
\( \lim_{n \to \infty} \frac{(\ln(n+1))^3}{(n+1)(\ln n)^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 \).
\( L = 0 < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
53. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 7^n}{(n+2)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( a_n = \frac{n^2 7^n}{(n+2)!} \).
Potom:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2 7^{n+1}}{(n+3)!} \cdot \frac{(n+2)!}{n^2 7^n} = 7 \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n+3} \).
Limitně:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{7(n+1)^2}{n^2(n+3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{7(1 + \frac{1}{n})^2}{n + 3} = 0 \).
\( L < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
54. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Počítáme podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{1} = \frac{n^n}{(n+1)^n} \).
\( L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
55. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{3^n}{n^n} \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n} = 3 \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \frac{1}{n+1} \).
Limitně:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = 0 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
56. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Spočítáme podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} \Rightarrow \) použijeme Stirlingovo přiblížení nebo fakt, že \((2n+2)! \gg (2n)!\) a \( (n+1)^{n+1}/n^n \approx e n \).
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{e n}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{e n}{4n^2} = \frac{e}{4} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
57. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n + n^4} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{n^3}{2^n + n^4} \), asymptoticky \( 2^n \gg n^4 \Rightarrow a_n \sim \frac{n^3}{2^n} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1)^3}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{2 n^3} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{2 n^3} = \frac{1}{2} \).
\( L = \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
58. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n e^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{n!}{n^n e^n} \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1} e^{n+1}} \cdot \frac{n^n e^n}{n!} = \frac{n+1}{e} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Limitně \( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e} \), takže:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{e} \cdot \frac{1}{(n+1)} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e^2} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
59. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n + n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Dominantní je \( n! \) v jmenovateli, tedy \( a_n \sim \frac{n^2}{n!} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{(n+1) n^2} = \frac{n+1}{n^2} \Rightarrow L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2} = 0 < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
60. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n! + n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Pro velká \( n \) dominuje \( n^n \) ve jmenovateli, tedy \( a_n \sim \frac{2^n}{n^n} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)^n} \cdot \frac{n^n}{2^n} = 2 \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} \Rightarrow L = \frac{2}{e} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
61. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n + n^5} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Pro velká \( n \) dominuje \( 5^n \) ve jmenovateli, tedy \( a_n \sim \frac{n!}{5^n} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{n!} = \frac{(n+1)}{5} \Rightarrow L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} = \infty > 1 \Rightarrow \) řada diverguje.
62. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n + 1}{n \cdot 4^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Pro velká \( n \) je \( a_n \sim \frac{3^n}{n \cdot 4^n} = \frac{1}{n} \left( \frac{3}{4} \right)^n \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1} \cdot \frac{n}{\left( \frac{3}{4} \right)^n} = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{3}{4} \Rightarrow L = \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
63. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n \cdot 7^n}{(n+1)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{n \cdot 7^n}{(n+1)!} \), spočteme poměr:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1) \cdot 7^{n+1}}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{n \cdot 7^n} = \frac{(n+1)^2 \cdot 7}{(n+2) n} \)
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 \cdot 7}{(n+2) n} = 7 \Rightarrow \) řada diverguje.
64. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n + n^3} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Pro velká \( n \) dominuje \( 2^n \), tedy \( a_n \sim \frac{n^3}{2^n} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{2 n^3} \Rightarrow L = \frac{1}{2} \cdot \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
65. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{\sqrt{n!}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{n}{\sqrt{n!}} \), tedy
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{\sqrt{(n+1)!}} \cdot \frac{\sqrt{n!}}{n} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{(n+1)!}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1}} \Rightarrow L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}} = 0 < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
66. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n + 2^n}{6^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Pro velká \( n \): \( a_n \sim \frac{5^n}{6^n} = \left( \frac{5}{6} \right)^n \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{5}{6} \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{6}{5} \right)^n = \frac{5}{6} \Rightarrow L = \frac{5}{6} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
67. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 + 1}{2^n + 1} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n \sim \frac{n^2}{2^n} \), neboť \( 2^n \) dominuje ve jmenovateli.
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{2 n^2} \Rightarrow L = \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
68. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! + n^3}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Dominantní člen ve jmenovateli je \( n^n \), v čitateli \( n! \), tedy \( a_n \sim \frac{n!}{n^n} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \Rightarrow L = \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
69. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n + n^2} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Pro velká \( n \) dominuje \( 3^n \), takže \( a_n \sim \frac{n}{3^n} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{3n} \Rightarrow L = \frac{1}{3} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
70. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Označíme si obecný člen řady jako \( a_n = \frac{n}{2^n} \).
Spočítáme podíl sousedních členů:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n}.
\]
Nyní určíme limitu tohoto výrazu pro \( n \to \infty \):
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1.
\]
Protože limita podílu je menší než 1, D’Alembertovo kritérium říká, že řada konverguje absolutně.
71. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( a_n = \frac{5^n}{n!} \). Spočítáme podíl sousedních členů:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{5^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{5^n}{n!}} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5^n} = \frac{5}{n+1}.
\]
Limita podílu je:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n+1} = 0 < 1.
\]
Díky tomu řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
72. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{10^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen řady je \( a_n = \frac{n!}{10^n} \). Spočítáme podíl:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{10^{n+1}}}{\frac{n!}{10^n}} = \frac{(n+1)!}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{n!} = \frac{n+1}{10}.
\]
Limita podílu je:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{10} = \infty > 1,
\]
což znamená, že řada diverguje.
73. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen je \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \). Spočítáme podíl:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{3^n}{n^n}} = 3 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 3 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)}.
\]
Vyjádříme podíl \( \frac{n^n}{(n+1)^n} \) pomocí exponenciály:
\[
\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n.
\]
Pro velká \( n \) platí aproximace:
\[
\left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-\frac{n}{n+1}} \to e^{-1}.
\]
Proto:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} \approx 3 \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} \to 0 \quad \text{pro} \quad n \to \infty.
\]
Tedy limita podílu je 0, což je méně než 1, takže řada konverguje absolutně.
74. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen je \( a_n = \frac{n!}{n^n} \). Spočítáme podíl:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n.
\]
Převedeme výraz:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \frac{n+1}{(n+1)^{n}} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{n+1}{(n+1)^n} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n.
\]
Aproximujeme \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \approx e^{-1}\) a také \(\frac{n+1}{(n+1)^n} = (n+1)^{1-n}\), což klesá k 0.
Tedy celý výraz konverguje k 0, což znamená:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 < 1,
\]
řada tedy konverguje absolutně.
75. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n + 1} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen je \( a_n = \frac{2^n}{3^n + 1} \). Spočítáme podíl:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+1}}{\frac{2^n}{3^n+1}} = 2 \cdot \frac{3^n+1}{3^{n+1}+1} = 2 \cdot \frac{3^n + 1}{3 \cdot 3^n + 1}.
\]
Pro velká \( n \) převládají mocniny:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} \approx 2 \cdot \frac{3^n}{3 \cdot 3^n} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} < 1.
\]
Limita podílu je tedy menší než 1, řada konverguje absolutně.
76. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{4^n n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen je \( a_n = \frac{n^n}{4^n n!} \). Spočítáme podíl:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{4^{n+1} (n+1)!}}{\frac{n^n}{4^n n!}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{4^{n+1} (n+1)!} \cdot \frac{4^n n!}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{4 (n+1) n^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^n}{4 n^n}.
\]
A protože \( \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \), tak:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{e}{4} < 1.
\]
Tedy řada konverguje absolutně.
77. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 3^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen je \( a_n = \frac{n! \cdot 3^n}{(2n)!} \). Spočítáme podíl:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)! \cdot 3^{n+1}}{(2(n+1))!}}{\frac{n! \cdot 3^n}{(2n)!}} = \frac{(n+1)! \cdot 3^{n+1} \cdot (2n)!}{(2n+2)! \cdot n! \cdot 3^n} = 3 (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}.
\]
Vyjádříme faktoriály v čitateli a jmenovateli:
\[
(2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!,
\]
takže:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{3 (n+1)}{(2n+2)(2n+1)}.
\]
Limita podílu je:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{3 (n+1)}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 3}{4n^2 + 6n + 2} = 0 < 1,
\]
proto řada konverguje absolutně.
78. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{10^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen je \( a_n = \frac{10^n}{(2n)!} \). Podíl sousedních členů je:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{10^{n+1}}{(2n+2)!}}{\frac{10^n}{(2n)!}} = 10 \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}.
\]
Vyjádříme faktoriály:
\[
(2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!,
\]
takže:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{10}{(2n+2)(2n+1)}.
\]
Limita podílu je:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{10}{(2n+2)(2n+1)} = 0 < 1,
\]
proto řada konverguje absolutně.
79. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{5^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen \( a_n = \frac{n^3}{5^n} \). Podíl sousedních členů:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^3}{5^{n+1}}}{\frac{n^3}{5^n}} = \frac{(n+1)^3}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{5 n^3}.
\]
Limita:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{5 n^3} = \frac{1}{5} < 1.
\]
Řada tedy konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
80. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 5^{n+1} / (2(n+1))!}{n! \cdot 5^n / (2n)!} = 5 (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}.
\]
Rozepíšeme faktoriály v jmenovateli:
\[
(2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!,
\]
takže:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5 (n+1)}{(2n+2)(2n+1)}.
\]
Limita pro \( n \to \infty \):
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{5 (n+1)}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 n + 5}{4 n^2 + 6 n + 2} = 0 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
81. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n \cdot n^2}{2^{2n}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen je \( a_n = \frac{3^n n^2}{2^{2n}} = \frac{3^n n^2}{4^n} \). Spočítáme podíl:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)^2 / 4^{n+1}}{3^n n^2 / 4^n} = \frac{3 (n+1)^2}{4 n^2}.
\]
Limita pro \( n \to \infty \):
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{3 (n+1)^2}{4 n^2} = \frac{3}{4} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = \frac{3}{4} < 1.
\]
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
82. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen: \( a_n = \frac{2^n n!}{n^n} \). Spočítáme podíl:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} (n+1)! / (n+1)^{n+1}}{2^n n! / n^n} = 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}.
\]
Přepíšeme výraz:
\[
\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n.
\]
Dosadíme zpět:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = 2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n}.
\]
Limita:
\[
L = 2 \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0.7357 < 1.
\]
Řada tedy konverguje absolutně.
83. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{5^n \cdot n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n^n}{5^n n!} \). Spočítáme podíl:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} / (5^{n+1} (n+1)!)}{n^n / (5^n n!)} = \frac{(n+1)^{n+1} n! 5^n}{5^{n+1} (n+1)! n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{5 (n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{5 n^n}.
\]
Přepíšeme jako:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{5} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.
\]
Limita:
\[
L = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{5} e < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
84. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 \cdot 4^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Obecný člen je \( a_n = \frac{n^3 \cdot 4^n}{(2n)!} \). Spočítáme podíl:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 4^{n+1} / (2n+2)!}{n^3 4^n / (2n)!} = 4 \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}.
\]
Vyjádříme faktoriály:
\[
(2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!,
\]
proto:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
\]
Limita:
\[
L = \lim_{n \to \infty} 4 \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = 4 \cdot 1 \cdot 0 = 0 < 1.
\]
Řada konverguje absolutně podle D’Alemberta.
85. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n \cdot (2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{5^n (2n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (2(n+1))!} \cdot \frac{5^n (2n)!}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5 (2n+2)(2n+1)}.
\]
Vyjádříme jmenovatele:
\( (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \).
Limita tedy je
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5 (4n^2 + 6n + 2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{20 n^2 + 30 n + 10} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{20 n + 30 + \frac{10}{n}} = 0 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
86. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n \cdot n!}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n n!}{(2n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{3^n n!} = \lim_{n \to \infty} 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 (n+1)}{(2n+2)(2n+1)}.
\]
Vyjádříme jmenovatele:
\( (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \).
Limita:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{3 (n+1)}{4 n^2 + 6 n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 n}{4 n^2 + 6 n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{4 n + 6 + \frac{2}{n}} = 0 < 1.
\]
Řada konverguje absolutně podle D’Alemberta.
87. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2 7^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 7^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2 7^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 7^n}{(2n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2 (n!)^2 7 \cdot 7^n} \cdot \frac{(n!)^2 7^n}{(2n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{7 (n+1)^2}.
\]
Vyjádříme:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{7 (n+1)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 6n + 2}{7 (n^2 + 2n + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}}{7 + \frac{14}{n} + \frac{7}{n^2}} = \frac{4}{7} < 1.
\]
Řada konverguje absolutně podle D’Alemberta.
88. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n^n}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n^n}{(3n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{2^n n^n} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}.
\]
Vyjádříme faktor v závorce:
\[
\frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}.
\]
Dále:
\[
\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n \to \infty]{} (n+1) e.
\]
Limita tedy je:
\[
L = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot (n+1) e \cdot \frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}.
\]
Jmenovatel při velkých \( n \) je přibližně \( 27 n^3 \), takže
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{2 e (n+1)}{27 n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 e}{27 n^2} = 0 < 1.
\]
Řada tedy konverguje absolutně podle D’Alemberta.
89. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2n}}{(4n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^{2n}}{(4n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(4(n+1))!} \cdot \frac{(4n)!}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{2n}} \cdot \frac{(4n)!}{(4n+4)!}.
\]
Vyjádříme faktor s faktoriály:
\[
\frac{(4n)!}{(4n+4)!} = \frac{1}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)}.
\]
Dále upravíme mocniny:
\[
\frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{2n}} = (n+1)^2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} n^{2n} / n^{2n} = (n+1)^2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}.
\]
Limita exponentu je
\[
\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} = \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^2 \xrightarrow[n \to \infty]{} e^2.
\]
Jmenovatel pro velká \( n \) je přibližně \( (4n)^4 = 256 n^4 \).
Celkově tedy
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 e^2}{256 n^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^2 (n+1)^2}{256 n^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^2}{256} \cdot \frac{(n+1)^2}{n^4} = 0 < 1.
\]
Řada konverguje absolutně podle D’Alemberta.
90. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vyjádříme podíl mocnin:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Dosadíme zpět:
\( L = 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = 2 \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Limitou známého tvaru je:
\( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \).
Proto:
\( L = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}7357 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
91. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \sqrt{n}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n! \sqrt{n}} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)! \sqrt{n+1}} \cdot \frac{n! \sqrt{n}}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \).
Pro \( n \to \infty \) platí \( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \to 1 \), takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
92. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{5^n \cdot n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{5^n \cdot n!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1} (n+1)!} \cdot \frac{5^n n!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{5 (n+1) n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{5 n^n} \).
Vyjádříme podíl mocnin:
\( \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \).
Proto:
\( L = \frac{e}{5} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
93. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2 6^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 6^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2 6^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 6^n}{(2n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{6} \cdot \frac{(n!)^2}{(n+1)^2 (n!)^2} \cdot \frac{1}{1} \).
To lze zjednodušit na:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{6 (n+1)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 6n + 2}{6 (n^2 + 2n + 1)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
94. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n \cdot n!}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{5^n \cdot n!}{(2n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{n+1} (n+1)!}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{5^n n!} = \lim_{n \to \infty} 5 \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \).
Zjednodušíme:
\( L = \lim_{n \to \infty} 5 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 (n+1)}{4 n^2 + 6 n + 2} \).
Pro \( n \to \infty \) platí:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{5 n}{4 n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{4 n} = 0 < 1 \).
Řada konverguje absolutně.
95. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{4^n (n+1)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{4^n (n+1)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{4^{n+1} (n+2)!} \cdot \frac{4^n (n+1)!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{4 (n+2) (n+1)!} \cdot \frac{(n+1)!}{n^n} \).
Zkrátíme \( (n+1)! \) a upravíme:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{4 (n+2) n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n (n+1)}{4 (n+2) n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{4} \).
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = 1 \) a \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \), takže
\( L = 1 \cdot e \cdot \frac{1}{4} = \frac{e}{4} < 1 \).
Řada konverguje absolutně.
96. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n \cdot n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n!}{2^n n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{2^n n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vyjádříme:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \).
Pro velká \( n \) platí \( \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} \), tedy
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} = \frac{1}{2e} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
97. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{5^n n!}{n^n} \).
Podíl členů je:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1} (n+1)! / (n+1)^{n+1}}{5^n n! / n^n} = 5 \cdot (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vyjádříme podobně jako v předchozím příkladu:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to \frac{e^{-1}}{n+1} \) pro \( n \to \infty \).
Takže
\( L = \lim_{n \to \infty} 5 \cdot (n+1) \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} = \frac{5}{e} > 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada diverguje.
98. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{4^{n+1} ((n+1)!)^2} \cdot \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4} \cdot \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} \).
Protože \( (n+1)! = (n+1) n! \), máme
\( \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2} \).
Dosadíme:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4 (n+1)^2} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{4 (n+1)^2} = \frac{2n+1}{2(n+1)} \).
Limita pro \( n \to \infty \):
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2(n+1)} = \frac{2n}{2n} = 1 \).
Protože limita je 1, D’Alembertovo kritérium není přímo rozhodující, ale řada je známa jako binomická a roste podobně jako \( \binom{2n}{n} \approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} \). Členy tedy nevyhovují podmínce absolutní konvergence, řada diverguje.
99. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{(3n)!} \).
Spočítáme podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{n^n} \).
Využijeme Stirlingovu aproximaci pro faktoriály: \( k! \approx \sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k \).
Podíl faktoriálů:
\( \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)} \approx \frac{1}{27 n^3} \).
Podíl mocnin:
\( \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx (n+1) e \).
Celkově tedy
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} \approx \frac{(n+1) e}{27 n^3} = \frac{e}{27} \cdot \frac{n+1}{n^3} \to 0 \) pro \( n \to \infty \).
Tedy
\( L = 0 < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
100. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \sqrt{n}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n! \sqrt{n}} \).
Podíl je
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)! \sqrt{n+1}} \cdot \frac{n! \sqrt{n}}{3^n} = 3 \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{1}{n+1} \).
Limita pro \( n \to \infty \):
\( L = \lim_{n \to \infty} 3 \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{1}{n+1} = 3 \cdot 1 \cdot 0 = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
Str.:
1 2 3 4
