151. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n^2}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n n^2}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} (n+1)^2}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{3^n n^2} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \).
Zjednodušujeme:
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = 3 \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \).
Protože \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = 0\), tak
\( L = 3 \cdot 1 \cdot 0 = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
152. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n!}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \text{ (zjednodušeno dále) } \).
Zjednodušme pečlivě:
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^n} \cdot (n+1) = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n / n^n \) – zde bylo nutné pozorně upravit.
Správně tedy:
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^n} \cdot (n+1) = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \).
Protože \((n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1)\), tak
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^n (n+1)} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(n+1)^n} = 2 \lim_{n \to \infty} (n+1)^{1-n} \).
Protože \( (n+1)^{1-n} = \frac{1}{(n+1)^{n-1}} \to 0 \), platí
\( L = 2 \cdot 0 = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
153. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2n}}{(4n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^{2n}}{(4n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(4(n+1))!} \cdot \frac{(4n)!}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{2n}} \cdot \frac{(4n)!}{(4n+4)!} \).
Upravíme faktorialy:
\( \frac{(4n)!}{(4n+4)!} = \frac{1}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)} \).
Vyjádříme mocniny:
\( \frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{2n}} = (n+1)^2 \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2n} = (n+1)^2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} \).
Protože \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\), platí
\( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} = e^2 \).
Dále
\( L = \lim_{n \to \infty} (n+1)^2 e^2 \cdot \frac{1}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)} \).
Pro velká \( n \) platí
\( (4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4) \approx (4n)^4 = 256 n^4 \).
Vyjádříme limitu:
\( L = e^2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{256 n^4} = e^2 \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 (1 + \frac{1}{n})^2}{256 n^4} = e^2 \lim_{n \to \infty} \frac{(1 + \frac{1}{n})^2}{256 n^2} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
154. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n n!}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{5^n n!}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{n+1} (n+1)!}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{5^n n!} = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} \).
Protože
\( (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \approx 4n^2 \), tak
\( L = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4 n^2} = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4 n} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
155. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n \cdot (2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{5^n \cdot (2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (2(n+1))!} \cdot \frac{5^n (2n)!}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}
\]
Vyjádříme faktor \( \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \), tedy
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{1}{4n^2 + 6n + 2}
\]
Pro velká \( n \) dominují členy nejvyššího řádu, tedy
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{5} \cdot \frac{1}{4n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4n} = 0 < 1
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
156. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}
\]
Vyjádříme:
\[
\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n
\]
Pro limitu známe, že \( \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} \), tedy
\[
L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} e^{-1} = 0 < 1
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
157. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}
\]
Vyjádříme faktor \( \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \).
Dále máme
\[
\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot n^n / n^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
\]
Limita \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\), tedy
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) e}{(2n+1)(2n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{e (n+1)}{4n^2 + 6n + 2} = 0 < 1
\]
Řada podle D’Alembertova kritéria konverguje absolutně.
158. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}
\]
Vyjádříme \(\frac{(n+1)!}{n!} = n+1\) a
\[
\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n
\]
Limita \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}\), takže
\[
L = 2 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} = 2 e^{-1} = \frac{2}{e} < 1
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
159. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n! \cdot 2^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{5^n}{n! \cdot 2^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{n+1}}{(n+1)! \cdot 2^{n+1}} \cdot \frac{n! \cdot 2^n}{5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{2} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{n+1} = 0 < 1
\]
Řada podle D’Alembertova kritéria konverguje absolutně.
160. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \).
Pro D’Alembertovo kritérium spočítáme limitu podílu \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \right.
\]
Vyjádříme faktorial jako \( (n+1)! = (n+1) \cdot n! \), tedy
\[
L = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} 2 (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n
\]
Protože \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n\), tak platí
\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}.
\]
Tedy
\[
L = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}7357 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
161. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{(3n)!} \).
Pro D’Alembertovo kritérium počítáme
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{n^n}.
\]
Vyjádříme faktor \( (3(n+1))! = (3n + 3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)! \), takže
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!} \cdot \frac{(3n)!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (3n+3)(3n+2)(3n+1)}.
\]
Přepíšeme
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{27 n^3 + \text{(nižší mocniny)}}
\]
Vyjádříme první zlomek jako
\[
\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n n^n / n^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.
\]
Protože \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\), platí
\[
L = \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot e \cdot \frac{1}{27 n^3 + \cdots} = \lim_{n \to \infty} \frac{e (n+1)}{27 n^3 + \cdots} = 0 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
162. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n! \cdot 2^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{5^n}{n! \cdot 2^n} \).
Podíl členů je
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)! 2^{n+1}} \cdot \frac{n! 2^n}{5^n} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{n+1}.
\]
Limita tohoto výrazu při \( n \to \infty \) je
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{2 (n+1)} = 0 < 1.
\]
Řada tedy podle D’Alembertova kritéria konverguje absolutně.
163. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 \cdot 4^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy \( a_n = \frac{n^3 4^n}{(2n)!} \).
Podíl členů je
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 4^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^3 4^n} = 4 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}.
\]
Protože \( (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \), máme
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
\]
Limita je tedy
\[
L = \lim_{n \to \infty} 4 \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = 4 \cdot 1 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4 n^2 + \cdots} = 0 < 1.
\]
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
164. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{5^n n^n} \).
Podíl členů je
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{5^n n^n}{n!} = \frac{n+1}{5} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}.
\]
Upravíme výraz
\[
\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \cdot \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n.
\]
Limita výrazu \( \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} \), proto
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} = \frac{e^{-1}}{5} = \frac{1}{5e} \approx 0{,}0736 < 1.
\]
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
165. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n \cdot n!}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} \cdot (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n \cdot n!} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}}.
\]
Vyjádříme výraz pod limitem:
\[
\frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n.
\]
To lze přepsat jako:
\[
\frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n.
\]
Pro lepší pochopení můžeme použít rozklad:
\[
\frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n.
\]
Limita této části je známá:
\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}.
\]
Dále je potřeba vyřešit výraz:
\[
\frac{n+1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n+1}.
\]
Celkově tedy
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} \cdot \frac{1}{n+1} = e^{-1} \cdot 0 = 0.
\]
Tedy
\[
L = 3 \cdot 0 = 0 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
166. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^n}{5^{n} (n-1)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{5^{n} (n-1)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1} n!} \cdot \frac{5^n (n-1)!}{n^n} = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(n-1)!}{n!}.
\]
Protože \( \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n} \), dostaneme
\[
L = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{n}.
\]
Vyjádříme výraz \(\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\) jako:
\[
(n+1)^{n+1} = (n+1)^n \cdot (n+1) = (n+1)^n (n+1).
\]
Proto
\[
\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.
\]
Limita \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \) pro \( n \to \infty \), tedy
\[
L = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot e \cdot \frac{1}{n} = \frac{e}{5} \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = \frac{e}{5} \cdot 1 = \frac{e}{5} \approx 0.543 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
167. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^{2n}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n \cdot n!}{n^{2n}} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{2(n+1)}} \cdot \frac{n^{2n}}{2^n n!} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot n^{2n}}{(n+1)^{2(n+1)}}.
\]
Rozložíme jmenovatel:
\[
(n+1)^{2(n+1)} = (n+1)^{2n + 2} = (n+1)^2 \cdot (n+1)^{2n}.
\]
Tedy
\[
L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot n^{2n}}{(n+1)^2 (n+1)^{2n}} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+1}} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}} \cdot \frac{1}{n+1}.
\]
Vypočítáme limitu části s exponenty:
\[
\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^{2n}.
\]
Limita této části je:
\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^{2n} = e^{-2}.
\]
Dále
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0.
\]
Celkově tedy
\[
L = 2 \cdot e^{-2} \cdot 0 = 0 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
168. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{7^n \cdot n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{7^n \cdot n!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{7^{n+1} (n+1)!} \cdot \frac{7^n n!}{n^n} = \frac{1}{7} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!}.
\]
Protože \( \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \), dostaneme
\[
L = \frac{1}{7} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{1}{7} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n^n}.
\]
Vyjádříme výraz:
\[
\frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.
\]
Limita je známá:
\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e.
\]
Tedy
\[
L = \frac{e}{7} \approx 0.389 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
169. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2n}}{10^{n^2}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^{2n}}{10^{n^2}} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{10^{(n+1)^2}} \cdot \frac{10^{n^2}}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{n^{2n}} \cdot \frac{1}{10^{2n+1}}.
\]
Vyjádříme čitatele:
\[
(n+1)^{2(n+1)} = (n+1)^{2n + 2} = (n+1)^2 \cdot (n+1)^{2n}.
\]
Celkově tedy
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 \cdot (n+1)^{2n}}{n^{2n}} \cdot \frac{1}{10^{2n+1}} = \lim_{n \to \infty} (n+1)^2 \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n} \cdot \frac{1}{10^{2n+1}}.
\]
Vyjádříme limitu s exponentem:
\[
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} \to e^2.
\]
Podívejme se na limitu celého výrazu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} (n+1)^2 \cdot e^{2} \cdot \frac{1}{10^{2n+1}} = e^2 \lim_{n \to \infty} (n+1)^2 \cdot \frac{1}{10^{2n+1}}.
\]
Protože \( 10^{2n+1} \) roste mnohem rychleji než polynomiální výraz \( (n+1)^2 \), limit je
\[
0 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
170. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 \cdot 5^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^2 \cdot 5^n}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 5^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^2 5^n} = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \).
Zjednodušme výraz:
\( L = 5 \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = 5 \cdot 1 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
171. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot 2^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot 2^n} = \frac{(3/2)^n}{n!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(3/2)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(3/2)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3/2}{n+1} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
172. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{4^n \cdot n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{4^n \cdot n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{4^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{4^n n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vyjádříme:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \).
Pro \( n \to \infty \) platí \( \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} \), takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4} \cdot \frac{1}{n+1} e^{-1} = \frac{1}{4 e} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
173. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n!}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = 2 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Upravíme výraz podobně jako v předchozím příkladu:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to \frac{e^{-1}}{n+1} \).
Dosadíme:
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} = \frac{2}{e} < 1 \).
Proto řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
174. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{5^n \cdot n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{5^n \cdot n!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1} (n+1)!} \cdot \frac{5^n n!}{n^n} = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \).
Upravíme:
\( \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \), tedy
\( L = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \frac{1}{5} e \).
Protože \( \frac{e}{5} < 1 \), řada konverguje podle D'Alembertova kritéria.
175. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 \cdot 2^n}{(n!)^2} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 2^n}{(n!)^2} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 2^{n+1}}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{n^3 2^n} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} \).
Vyjádříme:
\( \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{(n!)^2}{(n+1)^2 (n!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2} \), takže
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^3} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
175. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^3 \cdot 5^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 \cdot 5^n}{(2n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 \cdot 5^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^3 \cdot 5^n} = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \).
Po zjednodušení dostaneme:
\( L = 5 \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = 5 \cdot 1 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n^2 + 6n + 2} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), podle D'Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
176. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) n!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} \).
Po úpravě dostáváme:
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} \cdot \frac{1}{(n+1)^0} = 2 \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \), takže
\( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} \).
Tedy
\( L = 2 \cdot \frac{1}{e} = \frac{2}{e} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
177. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot 2^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot 2^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)! 2^{n+1}} \cdot \frac{n! 2^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{n+1} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), podle D'Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
178. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{5^n n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Rozepíšeme členy:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \), tedy
\( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} \).
Tedy
\( L = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{5e} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
179. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(4n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{(4n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(4(n+1))!} \cdot \frac{(4n)!}{n^n} \).
Faktoriál \( (4(n+1))! = (4n + 4)! = (4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1)(4n)! \).
Proto
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1)} \).
Vyjádříme poměr:
\( \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n \to \infty]{} (n+1) e \).
Součin ve jmenovateli roste jako \( (4n)^4 = 256 n^4 \).
Tedy
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) e}{256 n^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{e (n+1)}{256 n^4} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
180. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 \cdot 5^n}{7^n + 2^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 \cdot 5^n}{7^n + 2^n} \). Pro velká \( n \) platí \( 7^n + 2^n \approx 7^n \), takže se chová jako \( \frac{n^3 5^n}{7^n} = n^3 \left(\frac{5}{7}\right)^n \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 5^{n+1}}{7^{n+1} + 2^{n+1}} \cdot \frac{7^n + 2^n}{n^3 5^n} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 5^{n+1}}{7^{n+1}} \cdot \frac{7^n}{n^3 5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{5}{7} \).
Vyjádříme poměr polynomů:
\( \frac{(n+1)^3}{n^3} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \to 1 \) pro \( n \to \infty \).
Tedy \( L = 1 \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{7} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
181. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot 4^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot 4^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)! 4^{n+1}} \cdot \frac{n! 4^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{4} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{n+1} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
182. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{10^n n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{10^n n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{10^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{10^n n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) n^n}{10 (n+1)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{10 (n+1)^n} \).
Vyjádříme poměr jako
\( \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} \) pro \( n \to \infty \).
Tedy \( L = \frac{1}{10} \cdot e^{-1} = \frac{1}{10 e} < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
183. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{2^n n!} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = 2 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)} \).
Pro velká \( n \) máme přibližně
\( (3n+1)(3n+2)(3n+3) \approx 27 n^3 \), takže
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{27 n^3} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n}{27 n^3} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{27 n^2} = 0 \).
Tedy \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně.
184. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n n!}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{3^n n!} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = 3 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \).
Pro velká \( n \) platí
\( (2n+1)(2n+2) \approx 4 n^2 \), tedy
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4 n^2} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n}{4 n^2} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4 n} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně.
185. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \).
Vyjádříme členy zvlášť:
\( \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to \infty \cdot e = \infty \).
Současně
\( \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \approx \frac{1}{4 n^2} \).
Celkově tedy
\( L \approx \infty \cdot \frac{1}{4 n^2} \to \infty \cdot 0 \). Přesněji ale porovnáme rychlosti:
\( (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \) roste přibližně jako \( n e \), tedy lineárně v \( n \).
Celkově \( L \approx \frac{n}{4 n^2} = \frac{1}{4 n} \to 0 \).
Oprava: správnější je rozepsat jako
\( L = \lim_{n \to \infty} (n+1) e \cdot \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \lim_{n \to \infty} (n+1) e \cdot \frac{1}{4 n^2} = e \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4 n^2} = 0 \).
Tedy \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
186. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 + 3}{2^n + n^3} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{n^2 + 3}{2^n + n^3} \).
Pro velká \( n \) platí \( 2^n \gg n^3 \), tedy \( 2^n + n^3 \approx 2^n \), takže \( a_n \approx \frac{n^2}{2^n} \).
Počítáme limitu:
\( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 + 3}{2^{n+1} + (n+1)^3} \cdot \frac{2^n + n^3}{n^2 + 3} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2 n^2} \).
Počítáme limitu výrazu:
\( L = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
187. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n! + n^2} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{5^n}{n! + n^2} \).
Pro velká \( n \) je \( n! \gg n^2 \), takže \( a_n \approx \frac{5^n}{n!} \).
Spočítáme limitu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{5^{n+1}}{(n+1)! + (n+1)^2} \cdot \frac{n! + n^2}{5^n} \right| \approx \lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot 5^n}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n+1} = 0 \).
Protože \( L < 1 \), řada konverguje absolutně.
188. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Spočítáme:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1) n!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} \).
\( L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} < 1 \).
Řada tedy konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
189. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln n)^2}{n} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{(\ln n)^2}{n} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \).
Spočítáme:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(\ln(n+1))^2}{n+1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \cdot \frac{n}{(\ln n)^2} \cdot 2^n = \frac{n}{n+1} \cdot \left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} \).
Každý člen míří k 1, takže:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \cdot \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^2 \cdot \frac{1}{2} \right) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 1 \).
Řada tedy konverguje absolutně.
190. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n + 2^n}{5^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Člen \( a_n = \frac{3^n + 2^n}{5^n} \). Dominantní člen v čitateli je \( 3^n \), takže \( a_n \approx \left(\frac{3}{5}\right)^n \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} + 2^{n+1}}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{3^n + 2^n} = \frac{3 \cdot 3^n + 2 \cdot 2^n}{5 \cdot (3^n + 2^n)} \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{3}{5} < 1 \).
Řada konverguje absolutně.
191. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{(n+1)^3 \cdot 2^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( a_n = \frac{n^3}{(n+1)^3 \cdot 2^n} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3}{(n+2)^3 \cdot 2^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)^3 \cdot 2^n}{n^3} = \frac{(n+1)^6}{(n+2)^3 n^3} \cdot \frac{1}{2} \).
Pro limitu platí:
\( L = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^6}{(n+2)^3 n^3} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} < 1 \).
Řada konverguje absolutně.
192. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{3^n + n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{n!}{3^n + n!} \Rightarrow a_n \approx 1 \) pro velká \( n \), ale musíme spočítat podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{3^{n+1} + (n+1)!} \cdot \frac{3^n + n!}{n!} \Rightarrow \frac{(n+1)}{1 + \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}} \cdot \left(1 + \frac{3^n}{n!}\right) \).
Protože \( \frac{3^n}{n!} \to 0 \), \( \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \to 0 \), dostáváme:
\( L = \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot 1 = \infty \Rightarrow L > 1 \Rightarrow \) řada diverguje.
193. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \Rightarrow a_{n+1} = \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+1} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+1} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \).
Bereme logaritmus a přecházíme k limitě, dostáváme \( L = \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
194. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \Rightarrow a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+2}} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+2}} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = \frac{(n+1)^{2n+2}}{(n+2)^{n+2} \cdot n^n} \).
Dominantní chování určuje exponenciální výraz – po přepisu a limitě dostáváme \( L = \frac{1}{e^2} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
195. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \cdot 2^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{1}{n \cdot 2^n} \Rightarrow a_{n+1} = \frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1}} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n \cdot 2^n}{(n+1) \cdot 2^{n+1}} = \frac{n}{2(n+1)} \Rightarrow L = \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
196. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n + n^2}{6^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{5^n + n^2}{6^n} \). Pro velká \( n \) dominuje v čitateli \( 5^n \), ve jmenovateli \( 6^n \), takže chování podobné \( \left(\frac{5}{6}\right)^n \).
Určíme podíl:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{n+1} + (n+1)^2}{6^{n+1}} \cdot \frac{6^n}{5^n + n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot 5^n + (n+1)^2}{6 \cdot 6^n} \cdot \frac{6^n}{5^n + n^2}.
\( = \frac{1}{6} \lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot 5^n + (n+1)^2}{5^n + n^2} = \frac{1}{6} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{(n+1)^2}{5^n}}{1 + \frac{n^2}{5^n}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{5 + 0}{1 + 0} = \frac{5}{6} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
197. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Spočteme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) n!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} \).
\( = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to \frac{1}{e} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
198. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln n}{n} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme \( a_n = \frac{\ln n}{n} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n \).
Určíme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n+1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} \cdot \frac{2^n \cdot n}{\ln n} = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
199. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Spočteme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} \).
Upravíme:
\( \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot (n+1) \to e \cdot \infty = \infty \), ale zároveň \( \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \to 0 \).
Celý výraz tedy \( \to 0 \Rightarrow L = 0 < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
200. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2n+3}{3n+2} \right)^n \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \left( \frac{2n+3}{3n+2} \right)^n \).
Vypočítáme:
\( a_{n+1} = \left( \frac{2(n+1)+3}{3(n+1)+2} \right)^{n+1} = \left( \frac{2n+5}{3n+5} \right)^{n+1} \).
Podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{2n+5}{3n+5} \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{3n+2}{2n+3} \right)^n \).
Přepíšeme:
\( = \left( \frac{2n+5}{3n+5} \cdot \frac{3n+2}{2n+3} \right)^n \cdot \left( \frac{2n+5}{3n+5} \right) \).
Limitní poměr uvnitř mocniny: \( \frac{2n+5}{3n+5} \cdot \frac{3n+2}{2n+3} \to \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 \), takže celý výraz je \( 1^n \to 1 \).
Poslední faktor \( \frac{2n+5}{3n+5} \to \frac{2}{3} \Rightarrow L = \frac{2}{3} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
Str.:
1 2 3 4
