51. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(21n)}{n^{0.4}} \).
Řešení příkladu 51:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(21n)}{n^{0.4}}. \)
1. Identifikace posloupností:
\( a_n = (-1)^n \sin(21n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.4}}. \)
2. Vlastnosti \( b_n \):
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a má limitu nula.
3. Omezenost parciálních součtů \( A_N \):
Pomocí komplexního vyjádření \( a_n \) jako imaginární části komplexního čísla s kvocientem na jednotkové kružnici s \( q = e^{i(\pi + 21)} \), parciální součty jsou omezené.
4. Dirichletovo kritérium je splněno, tudíž řada konverguje.
5. Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{0.4}} \), která diverguje.
Řada tedy nekonverguje absolutně.
52. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(23n)}{n^{0.9}} \).
Řešení příkladu 52:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(23n)}{n^{0.9}}. \)
1. Posloupnosti:
\( a_n = (-1)^n \cos(23n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.9}}. \)
2. Vlastnosti \( b_n \):
Posloupnost je kladná, klesající a konverguje k nule.
3. Omezenost parciálních součtů \( A_N \):
Vyjádříme \( a_n \) jako reálnou část komplexní exponenciály a použijeme známý vzorec pro parciální součet geometrické řady na jednotkové kružnici mimo 1, takže součet je omezený.
4. Dirichletovo kritérium je splněno, řada tedy konverguje.
5. Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot je \( \sum \frac{|\cos(23n)|}{n^{0.9}} \), která diverguje, jelikož \( 0.9 < 1 \).
53. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(25n)}{n^{0.7}} \).
Řešení příkladu 53:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(25n)}{n^{0.7}}. \)
1. Posloupnosti:
\( a_n = (-1)^n \sin(25n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.7}}. \)
2. Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a limitně nulová.
3. Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) jsou omezené, protože \( a_n \) lze vyjádřit pomocí komplexní exponenciály a jejich parciální součty odpovídají omezeným sumám geometrické řady na jednotkové kružnici mimo 1.
4. Dirichletovo kritérium tedy platí a řada konverguje.
5. Absolutní konvergence není splněna, jelikož \( \sum \frac{1}{n^{0.7}} \) diverguje.
54. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(27n)}{n^{0.5}} \) konverguje.
Řešení příkladu 54:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(27n)}{n^{0.5}}. \)
1. Posloupnosti:
\( a_n = (-1)^n \cos(27n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.5}}. \)
2. Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
3. Parciální součty \( A_N \) jsou omezené, protože \( a_n \) je reálnou částí komplexní exponenciální posloupnosti s kvocientem na jednotkové kružnici mimo 1.
4. Dirichletovo kritérium je splněno, tedy řada konverguje.
5. Absolutní konvergence není splněna, protože \( \sum \frac{1}{n^{0.5}} \) diverguje.
55. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(29n)}{n^{0.65}} \).
Řešení příkladu 55:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(29n)}{n^{0.65}}. \)
Úkolem je posoudit její konvergenci pomocí Dirichletova kritéria.
Krok 1: Rozpoznání posloupností
Vzhledem k tvaru řady můžeme napsat
\( a_n = (-1)^n \sin(29n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.65}}. \)
Krok 2: Kontrola vlastností posloupnosti \( b_n \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, protože mocnina s kladným základem a kladným exponentem vždy dává kladné hodnoty. Dále je monotónně klesající, protože funkce \( f(x) = \frac{1}{x^{0.65}} \) je pro \( x > 0 \) klesající a navíc
\( \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{0.65}} = 0. \)
Tedy první podmínka Dirichletova kritéria je splněna.
Krok 3: Posouzení omezenosti parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Pro \( a_n = (-1)^n \sin(29n) \) využijeme Eulerovu formuli:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \sin(29n) = \frac{e^{i29n} – e^{-i29n}}{2i}. \)
Tedy
\( a_n = \Im \left( (-1)^n e^{i29n} \right) = \Im \left( e^{i n (\pi + 29)} \right). \)
Parciální součet
\( A_N = \sum_{n=1}^N a_n = \Im \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 29)} \right). \)
Suma v závorce je geometrická řada s kvocientem \( q = e^{i(\pi + 29)} \), kde \( |q| = 1 \), ale \( q \neq 1 \).
Parciální součet geometrické řady je
\( \sum_{n=1}^N q^n = q \frac{1 – q^N}{1 – q}. \)
Tento výraz je omezený pro všechna \( N \), protože jmenovatel \( 1 – q \) není nulový (fáze není násobkem \( 2\pi \)).
Tudíž je \( A_N \) omezená posloupnost.
Krok 4: Závěr podle Dirichletova kritéria
Protože \( b_n \to 0 \), \( b_n \) je monotónně klesající a parciální součty \( A_N \) jsou omezené, podle Dirichletova kritéria řada konverguje.
Krok 5: Absolutní konvergence
Řada absolutních hodnot je
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(29n)|}{n^{0.65}}. \)
Protože \( |\sin(29n)| \leq 1 \), je řada srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{0.65}} \), která diverguje (protože \( 0.65 < 1 \)).
Tedy řada nekonverguje absolutně.
56. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(31n)}{n^{0.75}} \).
Řešení příkladu 56:
Řada má tvar
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(31n)}{n^{0.75}}. \)
Krok 1: Identifikace posloupností
Posloupnosti jsou
\( a_n = (-1)^n \cos(31n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.75}}. \)
Krok 2: Ověření vlastností \( b_n \)
Funkce \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Krok 3: Omezenost parciálních součtů \( A_N \)
Využijeme, že
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \cos(31n) = \frac{e^{i31n} + e^{-i31n}}{2}. \)
Pak
\( a_n = \frac{1}{2} \left( e^{i n(\pi + 31)} + e^{i n(\pi – 31)} \right). \)
Parciální součet je tedy součet dvou geometrických řad s kvocienty na jednotkové kružnici mimo bod 1, a proto jsou jejich parciální součty omezené.
Krok 4: Aplikace Dirichletova kritéria
Protože jsou splněny podmínky na \( b_n \) a \( A_N \), řada konverguje.
Krok 5: Absolutní konvergence
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\cos(31n)|}{n^{0.75}} \) diverguje, protože \( 0.75 < 1 \).
Závěr: řada konverguje podmíněně.
57. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(33n)}{n^{0.55}} \).
Řešení příkladu 57:
Řada
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(33n)}{n^{0.55}} \)
splňuje podmínky Dirichletova kritéria, protože:
- \( b_n = \frac{1}{n^{0.55}} \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
- Parciální součty \( A_N = \sum (-1)^n \sin(33n) \) jsou omezené, jelikož \( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 33)} \right) \) a suma komplexních exponenciál je omezená.
Řada tedy konverguje, ale absolutně nekonverguje.
58. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(35n)}{n^{0.85}} \).
Řešení příkladu 58:
Posloupnosti jsou \( a_n = (-1)^n \cos(35n) \), \( b_n = \frac{1}{n^{0.85}} \).
Protože \( b_n \to 0 \) a je monotónně klesající, a parciální součty \( A_N = \sum a_n \) jsou omezené (geometrické řady s kvocientem na jednotkové kružnici), platí Dirichletovo kritérium.
Řada tedy konverguje, ale neabsolutně, protože \( 0.85 < 1 \).
59. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(37n)}{n^{0.95}} \).
Řešení příkladu 59:
Posloupnosti jsou \( a_n = (-1)^n \sin(37n) \), \( b_n = \frac{1}{n^{0.95}} \).
Protože \( b_n \to 0 \), \( b_n \) je monotónně klesající a parciální součty \( A_N = \sum a_n \) jsou omezené, řada konverguje podle Dirichletova kritéria.
Absolutní konvergence neplatí, protože \( 0.95 < 1 \).
60. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(39n)}{n^{0.7}} \).
Řešení příkladu 60:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(39n)}{n^{0.7}}. \)
Krok 1: Identifikace posloupností
V rovnici rozebereme řadu na dvě posloupnosti:
\( a_n = (-1)^n \sin(39n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.7}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná a klesající, což je důležité pro použití Dirichletova kritéria.
Krok 2: Ověření vlastností posloupnosti \( b_n \)
Funkce \( b_n = \frac{1}{n^{0.7}} \) je spojitá, klesající a splňuje
\( \lim_{n \to \infty} b_n = 0. \)
Tedy jedna podmínka Dirichletova kritéria je splněna.
Krok 3: Posouzení parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \sin(39n) \) je složitější, protože kombinuje oscilující funkce.
Vyjádříme \( a_n \) pomocí komplexních exponentů:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \sin(39n) = \frac{e^{i39n} – e^{-i39n}}{2i}. \)
Tedy
\( a_n = \Im \left( e^{i \pi n} \cdot e^{i 39 n} \right) = \Im \left( e^{i n(\pi + 39)} \right). \)
Parciální součet \( A_N \) je tedy
\( A_N = \Im \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 39)} \right). \)
Jedná se o parciální součet geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 39)} \), který leží na jednotkové kružnici, ale není roven 1.
Parciální součet geometrické řady je
\( S_N = \frac{q (1 – q^N)}{1 – q}. \)
Tento výraz je omezený, protože jmenovatel \( 1 – q \neq 0 \).
Z toho vyplývá, že posloupnost parciálních součtů \( A_N \) je omezená.
Krok 4: Závěr dle Dirichletova kritéria
Splněny jsou podmínky Dirichletova kritéria:
- Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a konverguje k nule.
- Parciální součty \( A_N \) jsou omezené.
Tedy řada konverguje.
Krok 5: Posouzení absolutní konvergence
Řada absolutních hodnot je
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(39n)|}{n^{0.7}}. \)
Protože \( |\sin(39n)| \leq 1 \), tato řada je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{0.7}} \), která diverguje (protože exponent 0.7 je menší než 1).
Tedy řada nekonverguje absolutně, ale podmíněně.
61. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(41n)}{n^{0.8}} \).
Řešení příkladu 61:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(41n)}{n^{0.8}}. \)
Krok 1: Rozklad řady na posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
Identifikujeme posloupnosti jako
\( a_n = (-1)^n \cos(41n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.8}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Krok 2: Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \cos(41n) \) lze vyjádřit pomocí komplexních exponenciál, protože
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \) a \( \cos(41n) = \frac{e^{i41n} + e^{-i41n}}{2} \).
Takže
\( a_n = \Re \left( e^{i \pi n} \cdot e^{i 41 n} \right) = \Re \left( e^{i n (\pi + 41)} \right). \)
Parciální součet je tedy
\( A_N = \Re \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 41)} \right). \)
Jedná se o parciální součet geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 41)} \), který leží na jednotkové kružnici a není roven 1.
Parciální součet geometrické řady je omezený, protože jmenovatel \( 1 – q \neq 0 \).
Tedy posloupnost \( A_N \) je omezená.
Krok 3: Aplikace Dirichletova kritéria
Protože \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a konverguje k nule a parciální součty \( A_N \) jsou omezené, můžeme podle Dirichletova kritéria tvrdit, že řada konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Absolutní hodnota členů řady je
\( \left| (-1)^n \frac{\cos(41n)}{n^{0.8}} \right| = \frac{|\cos(41n)|}{n^{0.8}} \leq \frac{1}{n^{0.8}}. \)
Protože řada \( \sum \frac{1}{n^{0.8}} \) diverguje (exponent je menší než 1), řada není absolutně konvergentní, ale konverguje podmíněně.
62. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n} \).
Řešení příkladu 62:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n}. \)
Krok 1: Identifikace posloupností
Vymezíme posloupnosti
\( a_n = (-1)^n \sin(7n), \quad b_n = \frac{1}{n}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Krok 2: Parciální součty posloupnosti \( a_n \)
Opět vyjádříme \( a_n \) pomocí komplexních exponentů:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \sin(7n) = \frac{e^{i7n} – e^{-i7n}}{2i}. \)
Tedy
\( a_n = \Im \left( e^{i n(\pi + 7)} \right). \)
Parciální součet
\( A_N = \Im \left( \sum_{n=1}^N e^{i n(\pi + 7)} \right) \)
je omezený, protože jde o parciální součet geometrické řady s kvocientem na jednotkové kružnici, který není 1.
Krok 3: Aplikace Dirichletova kritéria
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a jde k nule, parciální součty \( A_N \) jsou omezené, tedy řada konverguje podle Dirichletova kritéria.
Krok 4: Absolutní konvergence
Řada absolutních hodnot odpovídá harmonické řadě, která diverguje, proto řada nekonverguje absolutně, ale podmíněně.
63. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(5n)}{n^{1.2}} \).
Řešení příkladu 63:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(5n)}{n^{1.2}}. \)
Krok 1: Posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
\( a_n = (-1)^n \cos(5n), \quad b_n = \frac{1}{n^{1.2}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Krok 2: Posouzení parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Vyjádříme \( a_n \) pomocí komplexních exponentů:
\( a_n = \Re \left( e^{i n(\pi + 5)} \right). \)
Parciální součty geometrické řady jsou omezené.
Krok 3: Konvergence řady
Protože \( b_n \) splňuje požadavky Dirichletova kritéria a parciální součty \( A_N \) jsou omezené, řada konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Protože \( b_n = \frac{1}{n^{1.2}} \) a \( 1.2 > 1 \), řada absolutních hodnot je konvergentní (přirozená řada s exponentem větším než 1), tedy řada je absolutně konvergentní.
64. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(13n)}{n^{0.9}} \).
Řešení příkladu 64:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(13n)}{n^{0.9}}. \)
Krok 1: Posloupnosti
\( a_n = (-1)^n \sin(13n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.9}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Krok 2: Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Vyjádříme \( a_n \) komplexně:
\( a_n = \Im \left( e^{i n(\pi + 13)} \right). \)
Parciální součty geometrické řady jsou omezené, tedy posloupnost \( A_N \) je omezená.
Krok 3: Závěr podle Dirichletova kritéria
Podmínky jsou splněné, řada tedy konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Protože řada absolutních hodnot je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{0.9}} \), která diverguje, řada nekonverguje absolutně, ale podmíněně.
65. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(17n)}{n^{1}} \).
Řešení příkladu 65:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(17n)}{n} \).
Krok 1: Posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
\( a_n = (-1)^n \cos(17n), \quad b_n = \frac{1}{n}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Krok 2: Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Opět pomocí komplexních exponentů
\( a_n = \Re \left( e^{i n (\pi + 17)} \right), \)
parciální součty jsou omezené.
Krok 3: Závěr podle Dirichletova kritéria
Splněny jsou všechny podmínky, řada tedy konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Řada absolutních hodnot odpovídá harmonické řadě, která diverguje, proto řada konverguje podmíněně.
66. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(3n)}{n^{0.95}} \).
Řešení příkladu 66:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(3n)}{n^{0.95}}. \)
Krok 1: Identifikace posloupností \(a_n\) a \(b_n\)
Určíme posloupnosti
\( a_n = (-1)^n \sin(3n) \), což je oscillující posloupnost složená z funkcí sinus a faktoru \((-1)^n\),
a \( b_n = \frac{1}{n^{0.95}} \), což je kladná, monotonně klesající posloupnost konvergující k nule.
Krok 2: Zkoumání omezenosti parciálních součtů \(A_N = \sum_{n=1}^N a_n\)
Posloupnost \(a_n\) lze zapsat pomocí komplexních exponentů:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \sin(3n) = \frac{e^{i3n} – e^{-i3n}}{2i} \).
Tedy
\( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 3)} \right), \)
kde \(\Im\) značí imaginární část.
Parciální součet \(A_N\) je imaginární částí geometrické řady s kvocientem \(q = e^{i (\pi + 3)}\).
Protože \(q\) leží na jednotkové kružnici, ale \(q \neq 1\), je známé, že geometrická řada má omezené parciální součty.
Konkrétně platí
\( \sum_{n=1}^N q^n = q \frac{1 – q^N}{1 – q} \),
což je omezené v absolutní hodnotě vzhledem k \(N\).
Omezenost parciálních součtů \(A_N\) tedy plyne z omezenosti parciálních součtů této geometrické řady a z linearity operace imaginární části.
Krok 3: Aplikace Dirichletova kritéria
Dirichletovo kritérium říká, že pokud posloupnost \(b_n\) je kladná, monotonně klesající a konverguje k nule, a parciální součty posloupnosti \(a_n\) jsou omezené, pak řada \(\sum a_n b_n\) konverguje.
Podmínky jsou splněny: \(b_n\) je kladná, klesající, \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\) a parciální součty \(A_N\) jsou omezené.
Tedy řada konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Absolutní hodnota členu je
\( |(-1)^n \frac{\sin(3n)}{n^{0.95}}| = \frac{|\sin(3n)|}{n^{0.95}} \leq \frac{1}{n^{0.95}}. \)
Řada \( \sum \frac{1}{n^{0.95}} \) diverguje (protože exponent je menší než 1), řada tedy není absolutně konvergentní, ale pouze podmíněně.
67. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(8n)}{n^{1.1}} \).
Řešení příkladu 67:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(8n)}{n^{1.1}}. \)
Krok 1: Rozdělení na posloupnosti \(a_n\) a \(b_n\)
\( a_n = (-1)^n \cos(8n) \),
\( b_n = \frac{1}{n^{1.1}} \).
Posloupnost \(b_n\) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Krok 2: Omezenost parciálních součtů \(A_N = \sum_{n=1}^N a_n\)
Vyjádříme \(a_n\) pomocí komplexních exponentů:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \cos(8n) = \frac{e^{i8n} + e^{-i8n}}{2} \).
Tedy
\( a_n = \Re \left( e^{i n (\pi + 8)} \right). \)
Parciální součet
\( A_N = \Re \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 8)} \right) \),
kde geometrická řada má kvocient \(q = e^{i (\pi + 8)} \neq 1\), což zaručuje omezenost součtů.
Krok 3: Dirichletovo kritérium
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, takže řada konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Protože \(b_n = \frac{1}{n^{1.1}}\) s exponentem větším než 1, řada absolutních hodnot
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\cos(8n)|}{n^{1.1}} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.1}} \)
je konvergentní, tedy řada je absolutně konvergentní.
68. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(19n)}{n} \).
Řešení příkladu 68:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(19n)}{n} \).
Krok 1: Posloupnosti
\( a_n = (-1)^n \sin(19n) \),
\( b_n = \frac{1}{n} \).
Posloupnost \(b_n\) je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Krok 2: Parciální součty \(A_N\)
\( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 19)} \right) \),
protože \( (-1)^n = e^{i \pi n} \) a \( \sin(19n) = \Im(e^{i19n}) \).
Parciální součet geometrické řady
\( S_N = \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 19)} = e^{i(\pi+19)} \frac{1 – e^{i N (\pi + 19)}}{1 – e^{i (\pi + 19)}} \),
který je omezený pro všechna \(N\).
Parciální součty \(A_N\) jsou imaginární částí \(S_N\), tedy také omezené.
Krok 3: Dirichletovo kritérium
Podmínky jsou splněny, řada konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Řada absolutních hodnot odpovídá harmonické řadě a diverguje, tedy řada konverguje pouze podmíněně.
69. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(4n)}{n^{0.8}} \).
Řešení příkladu 69:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(4n)}{n^{0.8}} \).
Krok 1: Rozdělení posloupností
\( a_n = (-1)^n \cos(4n) \),
\( b_n = \frac{1}{n^{0.8}} \).
Posloupnost \(b_n\) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Krok 2: Parciální součty \(A_N\)
Vyjádříme \(a_n\) komplexně jako
\( a_n = \Re \left( e^{i n (\pi + 4)} \right). \)
Parciální součet geometrické řady s kvocientem \(q = e^{i(\pi + 4)} \neq 1\) je omezený, tedy i \(A_N\) jsou omezené.
Krok 3: Dirichletovo kritérium
Podmínky splněny, řada konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Řada absolutních hodnot je srovnatelná s \(\sum \frac{1}{n^{0.8}}\), která diverguje, takže řada je podmíněně konvergentní.
70. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{1.2}} \).
Řešení příkladu 70:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{1.2}} \).
Krok 1: Posloupnosti \(a_n\) a \(b_n\)
\( a_n = (-1)^n \sin(7n) \),
\( b_n = \frac{1}{n^{1.2}} \).
Posloupnost \(b_n\) je kladná, monotonně klesající a \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\).
Krok 2: Omezenost parciálních součtů \(A_N\)
Vyjádříme
\( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 7)} \right), \)
kde \(\Im\) je imaginární část.
Parciální součty geometrické řady s kvocientem \(q = e^{i(\pi + 7)} \neq 1\) jsou omezené, tedy \(A_N\) jsou omezené.
Krok 3: Dirichletovo kritérium
Podmínky splněny, řada konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Protože \(b_n = \frac{1}{n^{1.2}}\) je absolutně konvergentní řadou, řada konverguje absolutně.
71. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n^{0.9}} \).
Řešení příkladu 71:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n^{0.9}} \).
Krok 1: Rozdělení na posloupnosti \(a_n\) a \(b_n\)
Posloupnost \(a_n = (-1)^n \sin(5n)\) je oscilující, protože \(\sin(5n)\) je periodická funkce a faktor \((-1)^n\) střídá znaménko. Posloupnost \(b_n = \frac{1}{n^{0.9}}\) je kladná a monotonně klesající, přičemž \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\).
Krok 2: Omezenost parciálních součtů \(A_N = \sum_{n=1}^N a_n\)
Vyjádříme \(a_n\) pomocí komplexních exponentů:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \sin(5n) = \frac{e^{i5n} – e^{-i5n}}{2i} \).
Proto je
\( a_n = (-1)^n \sin(5n) = \Im \left( e^{i \pi n} \cdot e^{i 5 n} \right) = \Im \left( e^{i n (\pi + 5)} \right) \),
kde \(\Im\) značí imaginární část komplexního čísla.
Parciální součet \(A_N\) je tedy imaginární částí geometrické řady s kvocientem \(q = e^{i(\pi + 5)}\). Jelikož \(q\) leží na jednotkové kružnici a \(q \neq 1\), je známé, že parciální součty geometrické řady jsou omezené. Tedy existuje číslo \(M\), takové, že pro všechna \(N\) platí \(|A_N| \leq M\).
Krok 3: Aplikace Dirichletova kritéria
Dirichletovo kritérium říká, že pokud má posloupnost \(b_n\) uvedené vlastnosti (kladná, monotonně klesající, \(\lim b_n = 0\)) a parciální součty \(A_N\) posloupnosti \(a_n\) jsou omezené, pak řada \(\sum a_n b_n\) konverguje.
V našem případě jsou tyto podmínky splněny, proto řada konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Pro absolutní hodnotu členu platí
\( |(-1)^n \frac{\sin(5n)}{n^{0.9}}| = \frac{|\sin(5n)|}{n^{0.9}} \leq \frac{1}{n^{0.9}} \).
Řada \( \sum \frac{1}{n^{0.9}} \) diverguje, protože exponent je menší než 1, tedy řada není absolutně konvergentní, ale pouze podmíněně konvergentní.
72. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(3n)}{n^{1.3}} \).
Řešení příkladu 72:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(3n)}{n^{1.3}} \).
Krok 1: Definice posloupností
Posloupnost \(a_n = (-1)^n \cos(3n)\) je oscilující, složená z kosinusové funkce a faktoru \((-1)^n\). Posloupnost \(b_n = \frac{1}{n^{1.3}}\) je kladná, monotonně klesající a \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\).
Krok 2: Omezenost parciálních součtů \(A_N\)
Vyjádříme \(a_n\) komplexně:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \cos(3n) = \frac{e^{i3n} + e^{-i3n}}{2} \).
Takže
\( a_n = \Re \left( e^{i n (\pi + 3)} \right) \),
kde \(\Re\) značí reálnou část komplexního čísla.
Parciální součty \(A_N = \Re \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 3)} \right) \) jsou reálnou částí geometrické řady s kvocientem \(q = e^{i(\pi + 3)} \neq 1\). Proto jsou parciální součty omezené.
Krok 3: Dirichletovo kritérium
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, a proto řada konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Protože \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.3}} \) konverguje (exponent > 1), řada je absolutně konvergentní.
73. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(2n)}{n} \).
Řešení příkladu 73:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(2n)}{n} \).
Krok 1: Definice posloupností
\(a_n = (-1)^n \sin(2n)\), \(b_n = \frac{1}{n}\). Posloupnost \(b_n\) je kladná, klesající a \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\).
Krok 2: Omezenost parciálních součtů \(A_N\)
Vyjádříme \(a_n\):
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \sin(2n) = \Im (e^{i 2 n}) \),
takže
\( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 2)} \right) \).
Parciální součty jsou imaginární částí geometrické řady s kvocientem \(q = e^{i(\pi + 2)} \neq 1\), která má omezené parciální součty.
Krok 3: Aplikace Dirichletova kritéria
Posloupnost \(b_n = \frac{1}{n}\) je kladná, monotonně klesající a \(\lim b_n = 0\), což spolu s omezeností parciálních součtů posloupnosti \(a_n\) splňuje podmínky Dirichletova kritéria, a proto řada konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Řada \( \sum \frac{|\sin(2n)|}{n} \) neabsolutně konverguje, protože \( \sum \frac{1}{n} \) diverguje. Tudíž řada není absolutně konvergentní, ale pouze podmíněně konvergentní.
74. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n)}{\sqrt{n}} \).
Řešení příkladu 74:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n)}{\sqrt{n}} \).
Krok 1: Rozdělení na \(a_n\) a \(b_n\)
Posloupnost \(a_n = (-1)^n \cos(n)\) je oscilující, \(b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\) je kladná, monotonně klesající a \(\lim b_n = 0\).
Krok 2: Omezenost parciálních součtů \(A_N\)
Opět využijeme komplexní vyjádření:
\(a_n = \Re \left( e^{i n (\pi + 1)} \right)\).
Parciální součty geometrické řady s kvocientem \(q = e^{i(\pi + 1)} \neq 1\) jsou omezené, tedy existuje \(M\) tak, že \(|A_N| \leq M\).
Krok 3: Dirichletovo kritérium
Podmínky jsou splněny, řada tedy konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Protože \( \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \) diverguje (exponent < 1), řada není absolutně konvergentní, ale pouze podmíněně konvergentní.
75. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{1.1}} \).
Řešení příkladu 75:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{1.1}} \).
Krok 1: Definice posloupností
\(a_n = (-1)^n \sin(7n)\), \(b_n = \frac{1}{n^{1.1}}\). Posloupnost \(b_n\) je kladná, monotonně klesající, \(\lim b_n = 0\).
Krok 2: Omezenost parciálních součtů \(A_N\)
\(a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 7)} \right)\). Parciální součty geometrické řady s kvocientem na jednotkové kružnici jsou omezené.
Krok 3: Dirichletovo kritérium
Podmínky jsou splněny, řada tedy konverguje.
Krok 4: Absolutní konvergence
Protože řada \( \sum \frac{1}{n^{1.1}} \) konverguje (exponent > 1), řada je absolutně konvergentní.
76. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(4n)}{n^{0.95}} \).
Řešení příkladu 76:
Řada má obecný člen \( (-1)^n \frac{\sin(4n)}{n^{0.95}} \). Pro zkoumání její konvergence použijeme Dirichletovo kritérium.
Nejprve si stanovíme dvě posloupnosti:
1) \( a_n = (-1)^n \sin(4n) \), která je oscilující.
2) \( b_n = \frac{1}{n^{0.95}} \), která je kladná, monotonně klesající a má limitu 0.
Pro použití Dirichletova kritéria je zásadní, zda parciální součty posloupnosti \( a_n \), tedy \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \), jsou omezené.
Vyjádříme \( a_n \) pomocí komplexních exponentů:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \sin(4n) = \frac{e^{i4n} – e^{-i4n}}{2i} \).
Takže
\( a_n = (-1)^n \sin(4n) = \Im \left( e^{i \pi n} e^{i4n} \right) = \Im \left( e^{i n (\pi + 4)} \right) \).
Parciální součet \( A_N \) je tedy
\( A_N = \Im \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 4)} \right) \).
Vzhledem k tomu, že \( q = e^{i (\pi + 4)} \) leží na jednotkové kružnici a \( q \neq 1 \), můžeme použít vzorec pro geometrickou řadu:
\( \sum_{n=1}^N q^n = q \frac{1 – q^N}{1 – q} \).
Odtud je jasné, že tato suma je omezena v absolutní hodnotě konstantou závislou na \( q \), ne na \( N \). Tudíž existuje \( M > 0 \) tak, že pro všechna \( N \) platí \( |A_N| \leq M \).
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^{0.95}} \) je kladná, klesající a má limitu 0.
Dirichletovo kritérium říká, že pokud je posloupnost parciálních součtů \( A_N \) omezená a \( b_n \) splňuje uvedené vlastnosti, pak řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
Proto řada konverguje.
Co se týče absolutní konvergence, řada absolutních hodnot je
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(4n)|}{n^{0.95}} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{0.95}} \), která diverguje, protože exponent \( 0.95 < 1 \).
Tedy řada není absolutně konvergentní, ale pouze podmíněně.
77. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(2n)}{n^{1.2}} \).
Řešení příkladu 77:
Řada má obecný člen \( (-1)^n \frac{\cos(2n)}{n^{1.2}} \). Posloupnosti jsou:
1) \( a_n = (-1)^n \cos(2n) \), oscilující.
2) \( b_n = \frac{1}{n^{1.2}} \), kladná, monotonně klesající, \(\lim b_n = 0\).
Pro Dirichletovo kritérium je třeba ověřit omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \).
Vyjádříme \( a_n \) komplexně:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \cos(2n) = \frac{e^{i2n} + e^{-i2n}}{2} \).
Takže
\( a_n = \Re \left( e^{i n (\pi + 2)} \right) \).
Parciální součty geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 2)} \neq 1 \) jsou omezené konstantou nezávislou na \( N \).
Posloupnost \( b_n \) splňuje podmínky Dirichletova kritéria, tedy řada konverguje.
Pro absolutní konvergenci:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\cos(2n)|}{n^{1.2}} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.2}} \), což je konvergentní řada, protože \( 1.2 > 1 \).
Řada je tedy absolutně konvergentní.
78. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(3n)}{n} \).
Řešení příkladu 78:
Máme řadu s členem \( (-1)^n \frac{\sin(3n)}{n} \).
Posloupnosti jsou:
1) \( a_n = (-1)^n \sin(3n) \), oscilující.
2) \( b_n = \frac{1}{n} \), kladná, monotonně klesající a \(\lim b_n = 0\).
Omezenost parciálních součtů \( A_N \):
\( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 3)} \right) \).
Parciální součty jsou imaginární částí geometrické řady s kvocientem na jednotkové kružnici, tedy jsou omezené.
Dirichletovo kritérium je splněno, řada konverguje.
Řada absolutních hodnot je \( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(3n)|}{n} \), která diverguje (podobně jako harmonická řada), proto řada není absolutně konvergentní, ale pouze podmíněně.
79. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(5n)}{n^{2}} \).
Řešení příkladu 79:
Člen řady je \( (-1)^n \frac{\cos(5n)}{n^{2}} \).
Posloupnosti:
1) \( a_n = (-1)^n \cos(5n) = \Re \left( e^{i n (\pi + 5)} \right) \),
2) \( b_n = \frac{1}{n^{2}} \), kladná, monotonně klesající, \(\lim b_n = 0\).
Parciální součty \( A_N \) jsou omezené díky geometrické řadě s kvocientem \( e^{i(\pi + 5)} \neq 1 \).
Dirichletovo kritérium tedy platí, řada konverguje.
Absolutní konvergence je také splněna, protože \( \sum \frac{1}{n^2} \) konverguje.
80. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n^2)}{n^{1.5}} \).
Řešení příkladu 80:
Člen řady je \( (-1)^n \frac{\sin(n^2)}{n^{1.5}} \).
Posloupnosti:
1) \( a_n = (-1)^n \sin(n^2) \), oscilující a nejednoduše vyjádřitelná jako geometrická posloupnost, ale omezená (jelikož sinus je omezený).
2) \( b_n = \frac{1}{n^{1.5}} \), kladná, monotonně klesající, \(\lim b_n = 0\).
Zde Dirichletovo kritérium nelze přímo použít, protože parciální součty \( a_n \) nemusí být omezené kvůli kvadratickému argumentu v sinu.
Nicméně řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(n^2)|}{n^{1.5}} \) je menší než \( \sum \frac{1}{n^{1.5}} \), která konverguje.
Tedy řada je absolutně konvergentní a tedy i konvergentní.
81. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n^{0.8}} \).
Řešení příkladu 81:
Máme řadu s členem \( (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n^{0.8}} \).
Pro zkoumání konvergence použijeme Dirichletovo kritérium, které vyžaduje rozdělení na dvě posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \).
Zvolíme \( a_n = (-1)^n \sin(5n) \) a \( b_n = \frac{1}{n^{0.8}} \).
Prvním krokem je ověření, zda posloupnost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) je omezená.
Pro posloupnost \( a_n \) využijeme Eulerovu formuli a komplexní čísla:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
\( \sin(5n) = \frac{e^{i 5 n} – e^{-i 5 n}}{2i} \).
Tedy
\( a_n = (-1)^n \sin(5n) = \Im \left( e^{i \pi n} e^{i 5 n} \right) = \Im \left( e^{i n (\pi + 5)} \right) \).
Parciální součet
\( A_N = \Im \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 5)} \right) \).
Součet geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 5)} \neq 1 \) je dán vzorcem
\( \sum_{n=1}^N q^n = q \frac{1 – q^N}{1 – q} \), což je omezené pro všechna \( N \).
Tedy posloupnost parciálních součtů \( A_N \) je omezená.
Dále zkoumáme \( b_n = \frac{1}{n^{0.8}} \), která je kladná, klesající a má limitu 0.
Dirichletovo kritérium tedy říká, že řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
Pro absolutní konvergenci zkoumáme řadu absolutních hodnot
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(5n)|}{n^{0.8}} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{0.8}} \), která diverguje, protože \( 0.8 < 1 \).
Řada není absolutně konvergentní, ale pouze podmíněně.
82. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(3n)}{n^{1.1}} \).
Řešení příkladu 82:
Člen řady je \( (-1)^n \frac{\cos(3n)}{n^{1.1}} \).
Rozdělíme na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \cos(3n) \) a \( b_n = \frac{1}{n^{1.1}} \).
Prvním krokem ověříme omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \).
Posloupnost \( a_n \) lze vyjádřit jako reálnou část komplexního čísla:
\( a_n = \Re \left( e^{i n (\pi + 3)} \right) \).
Součet geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i(\pi + 3)} \neq 1 \) je omezený.
Tedy parciální součty \( A_N \) jsou omezené.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k 0.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\cos(3n)|}{n^{1.1}} \leq \sum \frac{1}{n^{1.1}} \) je konvergentní, protože \( 1.1 > 1 \).
Řada je tedy absolutně konvergentní.
83. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n)}{n} \).
Řešení příkladu 83:
Člen řady je \( (-1)^n \frac{\sin(n)}{n} \).
Zvolíme \( a_n = (-1)^n \sin(n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Ověříme omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \).
Pomocí komplexního zápisu:
\( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 1)} \right) \).
Součet geometrické řady \( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 1)} \) je omezený, protože \( q = e^{i(\pi + 1)} \neq 1 \).
Tedy \( A_N \) jsou omezené.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a má limitu 0.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(n)|}{n} \) diverguje podobně jako harmonická řada, tudíž řada není absolutně konvergentní, ale podmíněně.
84. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n^2)}{n^{1.3}} \).
Řešení příkladu 84:
Uvažujeme řadu s členy \( (-1)^n \frac{\cos(n^2)}{n^{1.3}} \). Pro zkoumání konvergence využijeme Dirichletovo kritérium, které se vztahuje na řady tvaru \( \sum a_n b_n \), kde je potřeba, aby parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) byly omezené, a posloupnost \( (b_n) \) byla klesající, kladná a konvergovala k nule.
Vybereme si tedy \( a_n = (-1)^n \cos(n^2) \) a \( b_n = \frac{1}{n^{1.3}} \).
Prvním krokem je ověřit, zda je posloupnost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) omezená.
Funkce \( \cos(n^2) \) je oscilující a hodnoty nejsou pravidelné, ale víme, že každé \( a_n \) je omezené hodnotami mezi -1 a 1. Navíc faktor \( (-1)^n \) způsobuje změnu znaménka, což může přispívat k omezení součtů.
Pro přesnější analýzu můžeme využít fakt, že parciální součty řady \( \sum (-1)^n e^{i n^2 \theta} \) jsou omezené díky kvadratické fázi a vlastnostem Gaussových sum.
Tedy lze předpokládat omezenost \( A_N \), neboť tyto sumy oscilují, ale jejich absolutní hodnota je omezená konstantou nezávislou na \( N \).
Dále ověříme vlastnosti posloupnosti \( b_n = \frac{1}{n^{1.3}} \): je kladná, monotonně klesající a konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny, což znamená, že řada \( \sum (-1)^n \frac{\cos(n^2)}{n^{1.3}} \) konverguje.
Pro absolutní konvergenci zkoumáme řadu absolutních hodnot
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\cos(n^2)|}{n^{1.3}} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.3}} \), která je konvergentní, protože \( 1.3 > 1 \).
Řada je tedy absolutně konvergentní.
85. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(2n)}{\sqrt{n}} \).
Řešení příkladu 85:
Analyzujeme řadu \( \sum (-1)^n \frac{\sin(2n)}{\sqrt{n}} \).
Rozdělíme na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \sin(2n) \) a \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \).
Prvním krokem je zjistit, zda je posloupnost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) omezená.
Využijeme komplexní zápis:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \) a \( \sin(2n) = \frac{e^{i 2 n} – e^{-i 2 n}}{2i} \).
Tedy
\( a_n = \Im \left( e^{i \pi n} e^{i 2 n} \right) = \Im \left( e^{i n (\pi + 2)} \right) \).
Součet geometrické řady \( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 2)} \) je omezený, protože kvocient \( q = e^{i (\pi + 2)} \neq 1 \).
To implikuje omezenost parciálních součtů \( A_N \).
Dále \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, tedy řada konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(2n)|}{\sqrt{n}} \) diverguje, protože \( \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \) diverguje.
Řada tedy není absolutně konvergentní, ale konverguje podmíněně.
86. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(5n)}{n^{0.9}} \).
Řešení příkladu 86:
Člen řady: \( (-1)^n \frac{\cos(5n)}{n^{0.9}} \).
Rozdělíme na \( a_n = (-1)^n \cos(5n) \) a \( b_n = \frac{1}{n^{0.9}} \).
Ověříme omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \).
Opět pomocí komplexního zápisu:
\( a_n = \Re \left( e^{i n (\pi + 5)} \right) \).
Součet geometrické řady \( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 5)} \) je omezený.
Tedy \( A_N \) jsou omezené.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\cos(5n)|}{n^{0.9}} \) diverguje, protože \( 0.9 < 1 \).
Řada není absolutně konvergentní, ale podmíněně.
87. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n)}{n^{1.5}} \).
Řešení příkladu 87:
Člen řady: \( (-1)^n \frac{\sin(n)}{n^{1.5}} \).
Zvolíme \( a_n = (-1)^n \sin(n) \), \( b_n = \frac{1}{n^{1.5}} \).
Ověříme omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \).
Pomocí komplexního zápisu je
\( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 1)} \right) \).
Součet geometrické řady \( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 1)} \) je omezený.
Tedy \( A_N \) omezené.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Dirichletovo kritérium tedy platí, řada konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(n)|}{n^{1.5}} \) je konvergentní, protože \( 1.5 > 1 \).
Řada je tedy absolutně konvergentní.
88. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(4n)}{n} \).
Řešení příkladu 88:
Člen řady je \( (-1)^n \frac{\cos(4n)}{n} \).
Zvolíme \( a_n = (-1)^n \cos(4n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) jsou omezené, protože \( a_n = \Re \left( e^{i n (\pi + 4)} \right) \) a součet geometrické řady je omezený.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je kladná, klesající, konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\cos(4n)|}{n} \) diverguje, protože jde o harmonickou řadu s modifikací.
Řada není absolutně konvergentní, ale podmíněně konverguje.
89. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(3n)}{n^{1.1}} \).
Řešení příkladu 89:
Řada má členy \( (-1)^n \frac{\sin(3n)}{n^{1.1}} \). Pro ověření konvergence použijeme Dirichletovo kritérium, které vyžaduje rozdělení na součin dvou posloupností \( a_n \) a \( b_n \) s následujícími vlastnostmi:
- Posloupnost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) musí být omezená.
- Posloupnost \( b_n \) musí být kladná, klesající a konvergovat k nule.
Zvolíme \( a_n = (-1)^n \sin(3n) \) a \( b_n = \frac{1}{n^{1.1}} \).
Nejprve prozkoumáme omezenost parciálních součtů \( A_N \). Jelikož \( \sin(3n) \) je oscilující funkce s hodnotami v intervalu \([-1,1]\), a zároveň \( (-1)^n \) střídá znaménka, je vhodné použít komplexní exponentiální tvar.
Připomeneme, že \( (-1)^n = e^{i \pi n} \) a \( \sin(3n) = \frac{e^{i 3n} – e^{-i 3n}}{2i} \). Tedy můžeme vyjádřit člen \( a_n \) jako imaginární část komplexního čísla:
\( a_n = \Im \left( e^{i \pi n} \cdot e^{i 3 n} \right) = \Im \left( e^{i n (\pi + 3)} \right) \).
Parciální součet \( A_N \) odpovídá součtu řady geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 3)} \), která není rovna 1 a proto má omezené parciální součty. Konkrétně platí:
\( \left| \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 3)} \right| \leq \frac{2}{|1 – e^{i (\pi + 3)}|} = \text{konstanta} \), nezávislá na \( N \).
Tím jsme ukázali, že \( A_N \) jsou omezené.
Dále posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^{1.1}} \) je kladná, klesající a konverguje k nule, protože exponent 1.1 je větší než 0.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny a řada konverguje.
Pro absolutní konvergenci zkoumáme řadu absolutních hodnot \( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(3n)|}{n^{1.1}} \). Vzhledem k tomu, že \( |\sin(3n)| \leq 1 \), platí
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(3n)|}{n^{1.1}} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.1}} \), což je konvergentní p-řada s exponentem větším než 1.
Řada je tedy absolutně konvergentní.
90. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n)}{\sqrt{n}} \).
Řešení příkladu 90:
Analyzujeme řadu \( \sum (-1)^n \frac{\cos(n)}{\sqrt{n}} \), kde členy jsou \( a_n = (-1)^n \cos(n) \) a \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \).
Prvním krokem je ověřit omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \).
Použijeme komplexní zápis: \( (-1)^n = e^{i \pi n} \) a \( \cos(n) = \frac{e^{i n} + e^{-i n}}{2} \), takže
\( a_n = \Re \left( e^{i \pi n} \cdot e^{i n} \right) = \Re \left( e^{i n (\pi + 1)} \right) \).
Součet \( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 1)} \) je geometrická řada s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 1)} \neq 1 \), což znamená, že má omezené parciální součty.
Tím je ověřena omezenost posloupnosti \( A_N \).
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada tedy konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\cos(n)|}{\sqrt{n}} \) diverguje, protože \( \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \) diverguje (p-řada s exponentem 0.5 < 1).
Řada není absolutně konvergentní, ale podmíněně konverguje.
91. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n} \).
Řešení příkladu 91:
Řada je \( \sum (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n} \). Rozdělíme na \( a_n = (-1)^n \sin(5n) \) a \( b_n = \frac{1}{n} \).
Pomocí komplexního zápisu:
\( a_n = \Im \left( e^{i \pi n} \cdot e^{i 5 n} \right) = \Im \left( e^{i n (\pi + 5)} \right) \).
Parciální součty \( A_N \) odpovídají součtu geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 5)} \neq 1 \), proto jsou omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Dirichletovo kritérium je splněno, řada konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(5n)|}{n} \) diverguje, protože jde o harmonickou řadu s modifikací.
Řada není absolutně konvergentní, ale podmíněně.
92. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(7n)}{n^{0.8}} \).
Řešení příkladu 92:
Člen řady: \( (-1)^n \frac{\cos(7n)}{n^{0.8}} \).
Zvolíme \( a_n = (-1)^n \cos(7n) \), \( b_n = \frac{1}{n^{0.8}} \).
Pro \( a_n \) použijeme komplexní tvar: \( a_n = \Re \left( e^{i \pi n} e^{i 7 n} \right) = \Re \left( e^{i n (\pi + 7)} \right) \).
Parciální součty \( A_N \) odpovídají geometrické řadě s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 7)} \neq 1 \), jsou tedy omezené.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající, konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria splněny, řada konverguje.
Absolutní hodnota členů je \( \frac{|\cos(7n)|}{n^{0.8}} \), a protože \( \sum \frac{1}{n^{0.8}} \) diverguje (p-řada s exponentem menším než 1), řada není absolutně konvergentní.
93. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n^2)}{n^{1.5}} \).
Řešení příkladu 93:
Řada má členy \( (-1)^n \frac{\sin(n^2)}{n^{1.5}} \). Zvolíme \( a_n = (-1)^n \sin(n^2) \), \( b_n = \frac{1}{n^{1.5}} \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule, protože exponent 1.5 > 1.
Pro \( a_n \) je potřeba ověřit omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \). Přestože \( \sin(n^2) \) není periodická, hodnoty oscilují mezi -1 a 1 a násobení \( (-1)^n \) ještě střídá znaménko.
Protože \( \sin(n^2) \) není harmonická funkce, nelze přímo použít geometrickou řadu. Nicméně díky rychlému růstu fáze \( n^2 \) a střídání znaménka lze předpokládat, že parciální součty jsou omezené (v souladu s vlastnostmi oscilujících řad a teorií Dirichletova kritéria).
Protože \( b_n \) splňuje požadavky a \( A_N \) jsou omezené, Dirichletovo kritérium platí, řada konverguje.
Absolutní hodnota členů \( \frac{|\sin(n^2)|}{n^{1.5}} \leq \frac{1}{n^{1.5}} \) a protože řada \( \sum \frac{1}{n^{1.5}} \) konverguje, řada je absolutně konvergentní.
94. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n^3)}{n} \).
Řešení příkladu 94:
Členy jsou \( (-1)^n \frac{\cos(n^3)}{n} \). Volíme \( a_n = (-1)^n \cos(n^3) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Ověření omezenosti parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) je náročnější, protože \( \cos(n^3) \) není periodická, nicméně díky oscilující povaze a střídání znaménka \( (-1)^n \) lze předpokládat omezenost.
Řada tedy splňuje podmínky Dirichletova kritéria a konverguje.
Absolutní hodnoty členů odpovídají \( \frac{|\cos(n^3)|}{n} \leq \frac{1}{n} \), což je harmonická řada a diverguje, tedy řada není absolutně konvergentní.
95. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(2n)}{n^{0.9}} \).
Řešení příkladu 95:
Členy jsou \( (-1)^n \frac{\sin(2n)}{n^{0.9}} \). Zvolíme \( a_n = (-1)^n \sin(2n) \), \( b_n = \frac{1}{n^{0.9}} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) jsou omezené díky tomu, že \( a_n = \Im \left( e^{i \pi n} e^{i 2 n} \right) = \Im \left( e^{i n (\pi + 2)} \right) \) a součet geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 2)} \neq 1 \) je omezený.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^{0.9}} \) je kladná, klesající, konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(2n)|}{n^{0.9}} \) diverguje, protože \( \sum \frac{1}{n^{0.9}} \) diverguje (p-řada s exponentem menším než 1).
Řada tedy není absolutně konvergentní, ale podmíněně konverguje.
96. Posuďte konvergenci řady ∑_{n=1}^∞ (-1)^n sin(4n) / n.
Řešení příkladu 96:
Máme řadu ∑ (-1)^n sin(4n) / n. Uvažujeme rozklad na dvě posloupnosti: a_n = (-1)^n sin(4n), b_n = 1/n.
Nejdříve ověříme omezenost parciálních součtů A_N = ∑_{k=1}^N a_k.
Členy a_n lze vyjádřit pomocí komplexních čísel: (-1)^n = e^{i π n} a sin(4n) = (e^{i 4n} – e^{-i 4n})/(2i). Tedy
a_n = Im(e^{i π n} e^{i 4n}) = Im(e^{i n (π + 4)}).
Parciální součet A_N je tedy imaginární částí součtu geometrické řady s kvocientem q = e^{i (π + 4)}. Protože q ≠ 1, součet má omezené parciální součty a tedy existuje konstanta M taková, že |A_N| ≤ M pro všechna N.
Posloupnost b_n = 1/n je kladná, klesající a konverguje k nule.
Tím jsou splněny podmínky Dirichletova kritéria a řada konverguje.
Zároveň absolutní hodnota členů je |sin(4n)|/n ≤ 1/n. Protože harmonická řada ∑ 1/n diverguje, řada není absolutně konvergentní, ale konverguje podmíněně.
97. Posuďte konvergenci řady ∑_{n=1}^∞ (-1)^n cos(5n) / n^{1.2}.
Řešení příkladu 97:
Řada je ∑ (-1)^n cos(5n) / n^{1.2}. Rozdělíme členy na a_n = (-1)^n cos(5n) a b_n = 1 / n^{1.2}.
Nejprve ověříme omezenost parciálních součtů A_N = ∑_{k=1}^N a_k.
Použijeme komplexní zápis: (-1)^n = e^{i π n}, cos(5n) = (e^{i 5n} + e^{-i 5n})/2.
Takže a_n = Re(e^{i n (π + 5)}).
Parciální součet A_N je reálnou částí součtu geometrické řady s kvocientem q = e^{i (π + 5)}, který není roven 1. Parciální součty tedy jsou omezené.
Posloupnost b_n je kladná, klesající a konverguje k nule, protože exponent 1.2 > 1.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada tedy konverguje.
Navíc řada absolutních hodnot ∑ |cos(5n)| / n^{1.2} konverguje, protože je menší než ∑ 1 / n^{1.2}, což je konvergentní p-řada s exponentem větším než 1.
Řada je tedy absolutně konvergentní.
98. Posuďte konvergenci řady ∑_{n=1}^∞ (-1)^n sin(n) / sqrt(n).
Řešení příkladu 98:
Členy řady jsou (-1)^n sin(n) / sqrt(n), kde a_n = (-1)^n sin(n), b_n = 1 / sqrt(n).
Nejprve ověříme omezenost parciálních součtů A_N = ∑_{k=1}^N a_k.
Pomocí komplexního zápisu: (-1)^n = e^{i π n}, sin(n) = (e^{i n} – e^{-i n}) / (2i), tedy
a_n = Im(e^{i n (π + 1)}).
Součet ∑ e^{i n (π + 1)} je geometrická řada s kvocientem q = e^{i (π + 1)} ≠ 1, takže má omezené parciální součty. Tím je splněna první podmínka Dirichletova kritéria.
Posloupnost b_n je kladná, klesající a konverguje k nule, protože n^{−1/2} → 0 pro n → ∞.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada tedy konverguje.
Absolutní hodnota členů je ≤ 1 / sqrt(n), a protože ∑ 1 / sqrt(n) diverguje (p-řada s exponentem 1/2 < 1), řada není absolutně konvergentní, ale podmíněně konverguje.
99. Posuďte konvergenci řady ∑_{n=1}^∞ (-1)^n cos(3n^2) / n^2.
Řešení příkladu 99:
Členy řady jsou (-1)^n cos(3n^2) / n^2, kde a_n = (-1)^n cos(3n^2), b_n = 1 / n^2.
Posloupnost b_n je kladná, klesající a konverguje k nule rychle, protože exponent 2 je větší než 1.
Omezenost parciálních součtů A_N = ∑_{k=1}^N a_k není přímočará, protože cos(3n^2) není periodická, ale díky oscilující povaze funkce cos a střídání znaménka (-1)^n lze předpokládat, že součty nevyrostou neomezeně.
Tento předpoklad je podložen zkušeností s podobnými oscilujícími řadami a Dirichletovým kritériem, které umožňuje tuto konvergenci u oscilujících řad s omezenými parciálními součty.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
Řada absolutních hodnot ∑ |cos(3n^2)| / n^2 ≤ ∑ 1 / n^2 konverguje, takže řada je absolutně konvergentní.
100. Posuďte konvergenci řady ∑_{n=1}^∞ (-1)^n sin(n) / n^{0.95}.
Řešení příkladu 100:
Členy řady jsou (-1)^n sin(n) / n^{0.95}, tedy a_n = (-1)^n sin(n), b_n = 1 / n^{0.95}.
Pro omezenost parciálních součtů A_N = ∑_{k=1}^N a_k použijeme komplexní zápis: a_n = Im(e^{i n (π + 1)}), kde q = e^{i (π + 1)} není rovno 1, takže součet geometrické řady je omezený.
Posloupnost b_n je kladná, klesající a konverguje k nule, protože 0.95 > 0.
Splnění podmínek Dirichletova kritéria vede k závěru, že řada konverguje.
Řada absolutních hodnot ∑ |sin(n)| / n^{0.95} je větší nebo rovna ∑ 1 / n^{0.95}, což diverguje, protože exponent 0.95 je menší než 1.
Řada tedy není absolutně konvergentní, ale konverguje podmíněně.