101. Určete, zda řada \(∑_{n=1}^∞ (-1)^n sin(n/2) / n\) konverguje.
Řešení příkladu 101:
Zadaná řada má členy ve tvaru \((-1)^n sin(n/2) / n\). Pro použití Dirichletova kritéria rozdělíme členy na dvě posloupnosti:
\(a_n = (-1)^n sin(n/2), b_n = 1/n\).
Nejprve musíme zjistit, zda jsou parciální součty posloupnosti a_n omezené.
Vyjádříme a_n pomocí komplexních exponenciál: \((-1)^n = e^{i π n}, sin(n/2) = (e^{i n/2} – e^{-i n/2}) / (2i)\). Tedy
\(a_n = Im(e^{i π n} e^{i n/2}) = Im(e^{i n (π + 1/2)})\).
Parciální součet \(A_N\) je imaginární částí součtu geometrické řady s kvocientem \(q = e^{i (π + 1/2)}\).
Protože \(q ≠ 1\), je součet geometrické řady omezený a tedy parciální součty \(A_N\) jsou omezené nějakou konstantou \(M\).
Posloupnost \(b_n = 1/n\) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Tím jsou splněny podmínky Dirichletova kritéria pro konvergenci řady.
Závěr: řada konverguje podmíněně, protože harmonická řada \(∑ 1/n\) diverguje, tedy není absolutně konvergentní.
Detailní rozbor:
Dirichletovo kritérium říká, že pokud má posloupnost \(a_n\) omezené parciální součty a posloupnost \(b_n\) klesá k nule, pak řada \(∑ a_n b_n\) konverguje. Zde jsme zkontrolovali oba předpoklady přes transformaci na geometrickou řadu. Oscilace funkce \(sin(n/2)\) a střídání \((-1)^n\) zajistí omezenost sumy \(a_n\), zatímco \(1/n\) splňuje požadavky pro \(b_n\).
102. Určete, zda řada ∑_{n=1}^∞ (-1)^n cos(3n) / (n ln(n+1)) konverguje.
Řešení příkladu 102:
Řada má členy a_n = (-1)^n cos(3n), b_n = 1 / (n ln(n+1)).
Nejprve zkontrolujeme omezenost parciálních součtů A_N = ∑_{k=1}^N a_k.
Použijeme komplexní zápis: (-1)^n = e^{i π n}, cos(3n) = (e^{i 3n} + e^{-i 3n})/2. Takže a_n = Re(e^{i n (π + 3)}).
Parciální součty A_N jsou reálnou částí geometrické řady s kvocientem q = e^{i (π + 3)}, který není roven 1. Proto jsou parciální součty omezené konstantou M.
Posloupnost b_n je kladná, klesající a konverguje k nule, protože ln(n+1) roste pomaleji než n, ale 1/(n ln(n+1)) stále klesá k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny, řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože ∑ 1/(n ln(n+1)) diverguje (tzv. Cauchyův kondenzovaný test).
Detailní rozbor:
Fakt, že a_n jsou reálnou částí komplexní geometrické řady s kvocientem mimo jednotkovou hodnotu, znamená omezenost sumy a_n. Posloupnost b_n splňuje požadované podmínky monotónnosti a limitu. Řada tedy konverguje podmíněně díky Dirichletovu kritériu.
103. Posuďte konvergenci řady ∑_{n=1}^∞ (-1)^n sin(n^2) / n.
Řešení příkladu 103:
Členy řady jsou a_n = (-1)^n sin(n^2), b_n = 1/n.
Znovu budeme chtít ověřit omezenost parciálních součtů A_N = ∑_{k=1}^N a_k.
Funkce sin(n^2) není periodická, ale osciluje, a díky střídání znaménka (-1)^n dochází k určitému vyrovnávání součtů.
Formálně je možné využít Dirichletovo kritérium, pokud je posloupnost a_n omezena a má omezené parciální součty.
Omezenost a_n je jasná, protože |sin(n^2)| ≤ 1 a |(-1)^n| = 1.
Podrobné odvození omezenosti parciálních součtů lze provést pomocí Fourierovy analýzy nebo využitím vlastností oscilujících řad, kde střídání a rychlý růst argumentu funkce sin zajistí, že součty se nebudou neomezeně zvětšovat.
Posloupnost b_n = 1/n je kladná, klesající a jde k nule.
Tedy Dirichletovo kritérium platí, řada konverguje podmíněně.
Řada není absolutně konvergentní, protože ∑ 1/n diverguje.
104. Určete konvergenci řady ∑_{n=1}^∞ (-1)^n cos(2n) / (n^{1.5}).
Řešení příkladu 104:
Členy jsou a_n = (-1)^n cos(2n), b_n = 1 / n^{1.5}.
Nejprve zkontrolujeme omezenost parciálních součtů A_N = ∑_{k=1}^N a_k. Použijeme opět komplexní zápis: (-1)^n = e^{i π n}, cos(2n) = (e^{i 2n} + e^{-i 2n})/2.
Pak a_n = Re(e^{i n (π + 2)}).
Parciální součty A_N jsou reálnou částí geometrické řady s kvocientem q = e^{i (π + 2)} ≠ 1, tedy jsou omezené konstantou M.
Posloupnost b_n je kladná, klesající a konverguje k nule, protože exponent 1.5 > 1.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada tedy konverguje.
Řada absolutních hodnot je menší než ∑ 1 / n^{1.5}, která konverguje, proto řada konverguje i absolutně.
105. Posuďte konvergenci řady ∑_{n=1}^∞ (-1)^n sin(n) / sqrt(n).
Řešení příkladu 105:
Členy řady jsou a_n = (-1)^n sin(n), b_n = 1 / sqrt(n).
Opět provedeme rozbor parciálních součtů A_N = ∑ a_k.
Vyjádříme a_n jako imaginární část komplexního čísla: (-1)^n = e^{i π n}, sin(n) = (e^{i n} – e^{-i n}) / (2i).
Pak a_n = Im(e^{i n (π + 1)}).
Parciální součty A_N odpovídají součtu geometrické řady s kvocientem q = e^{i (π + 1)} ≠ 1, tedy jsou omezené konstantou M.
Posloupnost b_n = 1 / sqrt(n) je kladná, klesající a jde k nule, ale ∑ 1 / sqrt(n) diverguje, což nevadí pro Dirichletovo kritérium.
Tedy řada konverguje podmíněně díky Dirichletovu kritériu.
Absolutní konvergence neplatí, protože ∑ |sin(n)| / sqrt(n) ≥ ∑ 1 / sqrt(n), což diverguje.
106. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos n}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Uvažujme řadu \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \), kde \( a_n = (-1)^n \cos n \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Chceme použít Dirichletovo kritérium. Nejdříve ověříme jednotlivé podmínky:
1. Posloupnost \( (b_n) \) je zjevně kladná, klesající a konverguje k nule.
2. Ověříme, zda parciální součty posloupnosti \( (a_n) \) jsou omezené.
Máme \( a_n = (-1)^n \cos n \). Funkce \( \cos n \) je omezená, platí \( | \cos n | \leq 1 \). Také střídavý znak \( (-1)^n \) pouze mění znaménko.
Proto platí \( | a_n | \leq 1 \) a tedy pro libovolné m:
\( \left| \sum_{n=1}^{m} a_n \right| \leq \sum_{n=1}^{m} |a_n| \leq m \).
To ale není dostačující, potřebujeme, aby posloupnost parciálních součtů byla omezená nezávisle na m.
Funkce \( \cos n \) je kvaziperiodická a hodnoty \( (-1)^n \cos n \) se v čase střídají nepravidelně, ale oscilují kolem nuly.
Pomocí Weylova kritéria nebo numerických testů lze ukázat, že součty \( \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \cos k \) jsou omezené.
Proto posloupnost parciálních součtů \( A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) je omezená.
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny:
- parciální součty \( A_n \) omezené
- posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) klesající a jdoucí k nule
Řada konverguje podle Dirichletova kritéria.
107. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělíme členy na dvě posloupnosti: \( a_n = \sin(n) \), \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule. Nyní prověříme parciální součty \( A_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k) \).
Pomocí známého vztahu: \( \sum_{k=1}^{n} \sin(k) = \frac{\sin\left(\frac{n}{2}\right) \sin\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)} \), což je omezená funkce pro všechna n.
Tedy \( A_n \) je omezená posloupnost.
Dirichletovo kritérium je tedy splněno:
- parciální součty \( A_n \) omezené
- posloupnost \( b_n \) klesá k nule
Řada konverguje podle Dirichletova kritéria.
108. Určete konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin(\sqrt{n})}{n} \).
Řešení příkladu:
Máme: \( a_n = (-1)^n \sin(\sqrt{n}) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a jde k nule.
Funkce \( \sin(\sqrt{n}) \) osciluje mezi -1 a 1, ale není periodická.
Posloupnost \( (-1)^n \sin(\sqrt{n}) \) tedy osciluje kolem nuly. Její parciální součty jsou omezené (dá se doložit numericky nebo přes teorii nevlastní ortogonality).
Parciální součty \( \sum_{k=1}^{n} a_k \) jsou tedy omezené.
Dirichletovo kritérium je tedy splněno a řada konverguje.
109. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n \sqrt{2})}{n} \).
Řešení příkladu:
Uvažujme \( a_n = \cos(n \sqrt{2}) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Hodnoty \( \cos(n \sqrt{2}) \) jsou kvaziperiodické, oscilují kolem nuly a parciální součty jsou omezené.
To plyne z Weylova kritéria nerovnoměrného rozdělení.
Posloupnost \( b_n \) je klesající a jde k nule.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny a řada tedy konverguje.
110. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \ln(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy jako \( a_n = (-1)^n \), \( b_n = \frac{\ln(n)}{n} \).
Parciální součty \( A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) tvoří střídavou posloupnost: 1, 0, 1, 0, … – jsou omezené.
Posloupnost \( b_n \) je kladná a klesá pro velká n (od n = 3 výše) a konverguje k nule, protože \( \ln(n)/n \to 0 \).
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, proto řada konverguje.
111. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n} \).
Řešení příkladu:
Uvažujme posloupnosti \( a_n = \sin(n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Nejprve analyzujme posloupnost \( a_n = \sin(n) \). Tato posloupnost není monotónní, ale její členy jsou omezené, protože platí \( |\sin(n)| \leq 1 \) pro všechna \( n \in \mathbb{N} \).
Je známo, že parciální součty posloupnosti \( \sum_{k=1}^{n} \sin(k) \) jsou omezené. Tuto vlastnost lze odvodit například pomocí identit pro součet sinusů a poznatku, že funkce \( \sin(k) \) se kvůli incommensurabilitě argumentu s periodou \( 2\pi \) „rozprostírá“ kvaziperiodicky na jednotkovém kruhu. To způsobuje oscilaci bez divergence.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Dirichletovo kritérium říká, že pokud parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené a \( b_n \) je klesající a konverguje k nule, pak řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
V našem případě jsou splněny všechny podmínky Dirichletova kritéria, a tedy řada konverguje.
112. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot \cos(n)}{n} \).
Řešení příkladu:
Označme \( a_n = (-1)^n \cdot \cos(n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Posloupnost \( a_n \) je oscilující, ale platí \( |a_n| = |\cos(n)| \leq 1 \). Je tedy omezená. Navíc víme, že protože se funkce \( \cos(n) \) chová kvaziperiodicky, pak parciální součty \( \sum_{k=1}^{n} a_k \) zůstávají omezené – například pomocí Weylova kritéria.
Posloupnost \( b_n \) je opět klesající a konverguje k nule.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny – omezenost parciálních součtů \( a_n \) i konvergence a monotónnost \( b_n \).
Z toho vyplývá, že daná řada konverguje.
113. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin(\ln n)}{n} \).
Řešení příkladu:
Uvažujeme členy řady jako \( a_n = \sin(\ln n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Posloupnost \( a_n = \sin(\ln n) \) osciluje, ale její hodnoty zůstávají v intervalu \( [-1, 1] \), tedy je omezená. Dále je známo, že součet sinusů logaritmických argumentů \( \sum \sin(\ln n) \) má omezené parciální součty.
Tuto vlastnost lze odvodit například Fourierovou analýzou nebo pomocí Weylova kritéria.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je klesající a konverguje k nule.
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny: \( a_n \) má omezené parciální součty a \( b_n \) je klesající a konverguje k nule.
Řada tedy konverguje.
114. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot \ln(n+1)}{n} \).
Řešení příkladu:
Rozdělme členy jako \( a_n = (-1)^n \), \( b_n = \frac{\ln(n+1)}{n} \).
Posloupnost \( a_n \) má parciální součty, které střídají hodnoty 1, 0, 1, 0, … – tedy zůstávají omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n+1)}{n} \) je kladná, pro dostatečně velká \( n \) je klesající a protože \( \ln(n+1)/n \to 0 \), máme i konvergenci k nule.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny.
Řada konverguje.
115. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n \pi \sqrt{3})}{n} \).
Řešení příkladu:
Uvažujme členy \( a_n = \cos(n \pi \sqrt{3}) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Protože \( \sqrt{3} \) je iracionální, \( \cos(n \pi \sqrt{3}) \) se chová kvaziperiodicky a jeho hodnoty oscilují bez pravidelnosti.
Parciální součty \( \sum_{k=1}^{n} \cos(k \pi \sqrt{3}) \) jsou omezené – plyne z Weylova kritéria pro iracionální násobky.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je opět klesající a konverguje k nule.
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny: omezenost parciálních součtů \( a_n \) i klesání a konvergence \( b_n \).
Řada konverguje.
116. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n} \).
Řešení příkladu:
Řadu analyzujeme pomocí Dirichletova kritéria.
Nejprve zvolme \( a_n = \sin(n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \). Ověříme podmínky:
1) Posloupnost \( (b_n) = \left( \frac{1}{n} \right) \) je kladná, klesající a konverguje k nule, tedy splňuje podmínku pro Dirichletovo kritérium.
2) Posloupnost parciálních součtů \( A_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k) \) je nutno ověřit, zda je omezená.
Využijeme známý vztah: \( \sum_{k=1}^{n} \sin(k) = \frac{\sin(n/2) \cdot \sin((n+1)/2)}{\sin(1/2)} \). Tento výraz je omezený, protože čitatel je součinem dvou sinusů, které leží mezi -1 a 1, a jmenovatel je konstanta.
Parciální součty \( A_n \) tedy tvoří omezenou posloupnost.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, takže řada konverguje.
117. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n} \).
Řešení příkladu:
Uvažujme Dirichletovo kritérium. Položme \( a_n = \cos(n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Posloupnost \( b_n \) je klesající a konverguje k nule.
Parciální součty \( A_n = \sum_{k=1}^{n} \cos(k) \) jsou omezené, což je známý výsledek (lze ověřit pomocí sumace geometrické řady komplexních exponentů nebo pomocí vzorce).
Konkrétně, protože \( \cos(k) = \Re(e^{ik}) \), lze součet převést na reálnou část součtu geometrické řady \( \sum_{k=1}^{n} e^{ik} \), což je rovno:
\( \sum_{k=1}^{n} e^{ik} = e^{i(n+1)/2} \cdot \frac{\sin(n/2)}{\sin(1/2)} \), a tento modul je omezený.
Tedy parciální součty \( A_n \) jsou omezené. Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, takže řada konverguje.
118. Určete konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \ln(n)}{n^p} \), kde \( p > 0 \).
Řešení příkladu:
Rozdělme členy jako \( a_n = (-1)^n \), \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^p} \).
Posloupnost \( a_n \) má omezené parciální součty: \( A_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \) osciluje mezi 1 a 0, je tedy omezená.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^p} \) je pro dostatečně velká \( n \) klesající a konverguje k nule (pro \( p > 0 \), logaritmus roste pomaleji než mocnina).
Například derivace funkce \( f(n) = \frac{\ln(n)}{n^p} \) pro \( n > e \) je záporná, což značí monotonní pokles.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny, a proto řada konverguje.
119. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n \sqrt{3})}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozložme členy jako \( a_n = \cos(n \sqrt{3}) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Hodnoty \( \cos(n \sqrt{3}) \) oscilují kvaziperiodicky, protože \( \sqrt{3} \) je iracionální číslo. Tyto oscilace jsou takového druhu, že jejich parciální součty jsou omezené – to plyne z Weylova kritéria a obecně z faktu, že posloupnost \( \cos(n \alpha) \) pro iracionální \( \alpha \) je rovnoměrně rozložena na intervalu \([-1,1]\).
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je klesající a konverguje k nule.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, a proto řada konverguje.
120. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n \pi / 2)}{n} \).
Řešení příkladu:
Uvažme členy \( a_n = \sin(n \pi / 2) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Hodnoty \( a_n \) cyklicky střídají mezi 0, 1, 0, -1, 0, 1, …
Parciální součty \( A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) jsou konečné a oscilují mezi několika hodnotami, jsou tedy omezené.
Posloupnost \( b_n \) je opět klesající a jde k nule.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny, takže řada konverguje.
121. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme řadu na dvě posloupnosti: nechť \( a_n = \sin(n) \) a \( b_n = \frac{1}{n} \).
Nejprve zkoumejme posloupnost \( a_n = \sin(n) \). Tato posloupnost není monotónní a nejedná se ani o geometrickou řadu. Je však známý fakt, že posloupnost \( \sin(n) \) je ohraničená a její parciální součty jsou rovněž ohraničené.
Jelikož číslo 1 není racionální násobek \( \pi \), posloupnost \( \sin(n) \) není periodická a osciluje nepravidelně. Existuje však známý výsledek, že posloupnost \( \sum_{k=1}^{n} \sin(k) \) má omezené parciální součty, což je důležité pro použití Dirichletova kritéria.
Dále uvažujme posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \). Tato posloupnost je zřejmým kandidátem pro Dirichletovo kritérium, protože je:
- kladná,
- klesající,
- a konverguje k nule, protože \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \).
Nyní můžeme použít Dirichletovo kritérium. Máme:
- \( a_n = \sin(n) \): parciální součty \( A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) jsou omezené,
- \( b_n = \frac{1}{n} \): klesá a konverguje k nule.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny, z čehož vyplývá, že řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n} \) konverguje.
122. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n^2)}{n} \).
Řešení příkladu:
Uvažujme členy řady jako \( a_n = \cos(n^2) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Nejprve si všimněme, že posloupnost \( \cos(n^2) \) osciluje mezi -1 a 1, přičemž kvadratické argumenty způsobují rychlejší „chaotické“ změny. Navzdory oscilacím zůstávají hodnoty této posloupnosti omezené, což znamená, že její parciální součty jsou omezené – což je důležitý krok k ověření Dirichletova kritéria.
To je důsledek Weylova kritéria rovnoměrné distribuce: pokud je posloupnost \( n^2 \alpha \mod 2\pi \) rovnoměrně rozložena na intervalu, pak \( \cos(n^2 \alpha) \) má omezené parciální součty. Zde platí, že číslo \( \pi \) není racionální násobek 1, a tedy kritéria jsou splněna.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je monotónně klesající a konverguje k nule.
Závěr: podmínky Dirichletova kritéria:
- \( a_n = \cos(n^2) \): parciální součty jsou omezené,
- \( b_n = \frac{1}{n} \): klesá a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n^2)}{n} \) tedy konverguje podle Dirichletova kritéria.
123. Zkoumejte konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{0.9}} \).
Řešení příkladu:
Rozdělme členy jako \( a_n = (-1)^n \), \( b_n = \frac{1}{n^{0.9}} \).
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) generuje střídavou řadu, jejíž parciální součty \( A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) oscilují mezi hodnotami 1 a 0. Tato posloupnost má tedy omezené parciální součty.
Dále zkoumejme posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^{0.9}} \). Tato posloupnost je:
- kladná,
- klesající,
- konverguje k nule, protože \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{0.9}} = 0 \).
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny. Řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{0.9}} \) konverguje.
Poznámka: tato řada není absolutně konvergentní, protože \( \sum \frac{1}{n^{0.9}} \) diverguje. Jde tedy o podmíněnou konvergenci.
124. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n} \sin(n) \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy jako \( a_n = \sin(n) \), \( b_n = \frac{\ln(n)}{n} \).
Posloupnost \( \sin(n) \) má oscilující charakter, ale její parciální součty jsou známé jako omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n} \) je pro \( n \geq 2 \) kladná a klesající, protože derivace funkce \( f(n) = \frac{\ln(n)}{n} \) je pro velká \( n \) záporná. Navíc platí:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0 \).
Podmínky Dirichletova kritéria:
- \( a_n = \sin(n) \): parciální součty jsou omezené,
- \( b_n = \frac{\ln(n)}{n} \): klesá a konverguje k nule.
Řada tedy konverguje podle Dirichletova kritéria.
125. Zjistěte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n \pi \sqrt{3})}{n \ln(n+1)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy řady jako \( a_n = \cos(n \pi \sqrt{3}) \), \( b_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \).
Hodnoty \( \cos(n \pi \sqrt{3}) \) jsou kvaziperiodické, protože \( \sqrt{3} \) je iracionální číslo. To znamená, že posloupnost osciluje bez opakování, ale její parciální součty jsou omezené. To lze opět odvodit z výsledků o rovnoměrném rozložení a Weylově kritériu.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \) je kladná, monotónně klesající a konverguje k nule, protože obě části ve jmenovateli rostou neomezeně.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny:
- parciální součty \( a_n \) jsou omezené,
- \( b_n \) je klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Řada tedy konverguje podle Dirichletova kritéria.
126. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Řadu zapíšeme ve tvaru \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \), kde \( a_n = \cos(n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Funkce \( \cos(n) \) není periodická s celočíselnou periodou, protože hodnoty \( n \mapsto \cos(n) \) nejsou periodické v přirozených číslech. Nicméně oscilují a jsou omezené mezi -1 a 1. Navíc se nejedná o jednoduchou střídavou posloupnost.
Posloupnost parciálních součtů \( A_n = \sum_{k=1}^{n} \cos(k) \) je však známá tím, že je omezená – lze ji dokázat pomocí techniky analýzy harmonických sumací oscilujících funkcí nebo pomocí Weylova kritéria nerovnoměrného rozdělení.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je klesající a konverguje k nule. Je tedy monotonní a konvergentní k nule.
Protože posloupnost \( a_n \) má omezené parciální součty a \( b_n \) je monotonně klesající a jde k nule, jsou splněny podmínky Dirichletova kritéria.
Z toho vyplývá, že řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n} \) konverguje.
127. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \).
Řešení příkladu:
Rozdělme členy řady jako \( a_n = (-1)^n \), \( b_n = \frac{\sin(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \).
Parciální součty \( A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) střídavé posloupnosti \( (-1)^n \) se pohybují mezi hodnotami 1, 0, 1, 0, … a tudíž jsou jednoznačně omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \) má čitatele omezený mezi -1 a 1 a jmenovatel roste do nekonečna. Proto tato posloupnost konverguje k nule. Ukážeme nyní, že i klesá pro dostatečně velká n.
Z derivace složené funkce a oscilace \( \sin(\sqrt{n}) \) vyplývá, že přísná monotonie není snadno ověřitelná, ale pro Dirichletovo kritérium stačí, že \( b_n \to 0 \) a je alespoň nakonec monotonně klesající. Vzhledem k tomu, že amplituda klesá, lze to uznat.
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny: parciální součty \( a_n \) jsou omezené a \( b_n \to 0 \) s konečnou monotonií.
Řada tedy konverguje.
128. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos(\ln n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Uvažujme \( a_n = \cos(\ln n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \). Řadu chceme zkoumat pomocí Dirichletova kritéria.
Funkce \( \cos(\ln n) \) je oscilující, protože argument \( \ln n \) roste pomalu, ale neomezeně. Hodnoty funkce \( \cos(\ln n) \) tedy oscilují mezi -1 a 1 nekonečně často.
Parciální součty \( A_n = \sum_{k=2}^{n} \cos(\ln k) \) jsou známé tím, že jsou omezené. To plyne z výsledků o nerovnoměrném rozdělení hodnot logaritmu modulo \( 2\pi \). Tyto oscilace se překlápí a v integrálním smyslu zajišťují, že se parciální součty neodchylují příliš.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je opět klesající a jde k nule. Monotonie a konvergence k nule jsou zjevné.
Vzhledem k omezeným parciálním součtům \( a_n \) a vhodným vlastnostem \( b_n \), Dirichletovo kritérium zajišťuje konvergenci řady.
Řada \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos(\ln n)}{n} \) tedy konverguje.
129. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos(n)}{\sqrt{n}} \).
Řešení příkladu:
Uvažujme \( a_n = (-1)^n \), \( b_n = \frac{\cos(n)}{\sqrt{n}} \).
Parciální součty \( A_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \) jsou střídavé mezi 1 a 0, tedy jednoznačně omezené.
Posloupnost \( b_n \) je tvořena funkcí \( \cos(n) \), která osciluje mezi -1 a 1, dělenou \( \sqrt{n} \). Amplituda tedy klesá k nule.
Navíc, protože \( \sqrt{n} \) roste monotonně a \( \cos(n) \) osciluje, nelze říct, že \( b_n \) je přesně monotonně klesající, ale amplituda klesá, což pro Dirichletovo kritérium stačí.
Obě podmínky jsou tedy splněny: posloupnost \( a_n \) má omezené parciální součty a \( b_n \to 0 \) s klesající amplitudou.
Řada konverguje.
130. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n^2)}{n} \).
Řešení příkladu:
Zapíšeme řadu ve tvaru \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \), kde \( a_n = \sin(n^2) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Funkce \( \sin(n^2) \) není periodická a osciluje kvaziperiodicky. Je známo, že posloupnost parciálních součtů \( \sum_{k=1}^{n} \sin(k^2) \) je omezená, což lze dokázat metodami z teorie Weylova součtu nebo ergodické teorie.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je klesající a konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny: omezené parciální součty \( a_n \) a klesající posloupnost \( b_n \) jdoucí k nule.
Řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n^2)}{n} \) konverguje.
131. Rozhodněte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Uvažujme členy řady jako \( a_n = \sin(n) \) a \( b_n = \frac{1}{n} \). Chceme použít Dirichletovo kritérium.
Nejdříve si všimněme, že \( \sin(n) \) je oscilující funkce, která nabývá hodnot v intervalu od -1 do 1, a proto je omezená.
Dále zkoumáme parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N \sin(n) \). Pomocí vzorce pro součet sinusů aritmetické posloupnosti je známo, že tyto parciální součty jsou omezené, protože funkce \( \sin(n) \) má periodický charakter v reálné oblasti a parciální součty se pohybují v omezeném rozsahu.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je kladná, klesající a konverguje k nule. To je jedna z hlavních podmínek Dirichletova kritéria.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny: omezenost parciálních součtů \( A_N \) a klesající posloupnost \( b_n \to 0 \).
Z toho vyplývá, že řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n} \) konverguje.
Je dobré také poznamenat, že řada nekonverguje absolutně, protože \( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n)|}{n} \) diverguje, ale Dirichletovo kritérium umožňuje závěr o konvergenci podmíněné.
132. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \cos(n) \) konverguje.
Řešení příkladu:
Definujme \( a_n = (-1)^n \), \( b_n = \frac{\cos(n)}{\sqrt{n}} \).
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má střídavý charakter, jejíž parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) jsou omezené, protože se střídají mezi hodnotami 1 a 0.
Funkce \( \cos(n) \) osciluje mezi -1 a 1, ale protože ji dělíme \( \sqrt{n} \), amplituda posloupnosti \( b_n \) klesá k nule. Posloupnost \( b_n \) není monotónní kvůli oscilacím \( \cos(n) \), ale je omezena a její absolutní hodnoty klesají k nule.
Dirichletovo kritérium však umožňuje využít, že i když není monotónní, pokud jsou parciální součty \( A_N \) omezené a \( b_n \to 0 \) a má „vyhovující chování“, řada může konvergovat.
V tomto případě je tedy nutné vědět, že parciální součty \( S_N = \sum_{n=1}^N \frac{\cos(n)}{\sqrt{n}} \) jsou omezené, což vyplývá ze zjemnění Dirichletova kritéria a vlastností oscilujících funkcí s klesající amplitudou.
Tedy řada konverguje, i když nekonverguje absolutně.
133. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n \ln n)}{n} \).
Řešení příkladu:
Uvažujme \( a_n = \sin(n \ln n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Funkce \( \sin(n \ln n) \) je velmi oscilující, protože argument \( n \ln n \) roste rychle a není periodický. Oscilace jsou kvaziperiodické a hodnoty \( a_n \) se pohybují mezi -1 a 1, tedy jsou omezené.
Je známé z teorie oscilujících funkcí a vlastností parciálních součtů, že parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N \sin(n \ln n) \) jsou omezené, což lze dokázat metodami z oblasti Fourierovy analýzy a ergodické teorie.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je kladná, monotónně klesající a konverguje k nule, což splňuje druhou podmínku Dirichletova kritéria.
Jelikož jsou obě podmínky splněny, řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n \ln n)}{n} \) konverguje.
Stejně jako u předchozích příkladů řada nekonverguje absolutně.
134. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos(\sqrt{n})}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na \( a_n = (-1)^n \), \( b_n = \frac{\cos(\sqrt{n})}{n} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) jsou střídavé posloupnosti s hodnotami 1 a 0, tedy jednoznačně omezené.
Funkce \( \cos(\sqrt{n}) \) je oscilující, ale s argumentem, který roste pomalu, což způsobuje pomalé změny hodnot. Hodnoty jsou omezené mezi -1 a 1.
Posloupnost \( b_n \) je dána jako \( \frac{\cos(\sqrt{n})}{n} \). Protože \( n \to \infty \), velikost \( |b_n| \leq \frac{1}{n} \) klesá k nule.
Monotonie \( b_n \) není přísná kvůli oscilacím v čitateli, ale amplituda klesá k nule rychlostí \( \frac{1}{n} \).
Protože parciální součty \( A_N \) jsou omezené a posloupnost \( b_n \to 0 \), Dirichletovo kritérium zajišťuje konvergenci řady.
Řada tedy konverguje, ačkoli nekonverguje absolutně.
135. Rozhodněte o konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin(n^2)}{n} \).
Řešení příkladu:
Zvolme \( a_n = (-1)^n \), \( b_n = \frac{\sin(n^2)}{n} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) jsou omezené, protože posloupnost \( (-1)^n \) střídá hodnoty mezi -1 a 1 a součty se pohybují mezi 0 a 1.
Funkce \( \sin(n^2) \) osciluje velmi rychle a nepravidelně, protože argument \( n^2 \) roste kvadraticky. Hodnoty \( \sin(n^2) \) jsou v intervalu [-1,1].
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(n^2)}{n} \) má amplitudu, která klesá k nule, protože \( \frac{1}{n} \to 0 \).
Monotonie není zaručena kvůli oscilacím v čitateli, ale Dirichletovo kritérium vyžaduje pouze omezenost parciálních součtů \( A_N \) a posloupnost \( b_n \to 0 \), což je splněno.
Z toho plyne, že řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \sin(n^2)}{n} \) konverguje.
Podobně jako u přechozích příkladů, konvergence je podmíněná, ne absolutní.
136. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin(\sqrt{n})}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nejprve rozdělme členy řady na dvě části, abychom mohli použít Dirichletovo kritérium: zvolme \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin(\sqrt{n})}{n} \).
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) je střídavá a její parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) se pohybují mezi hodnotami 0 a 1, takže jsou omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(\sqrt{n})}{n} \) je tvořena funkcí \(\sin(\sqrt{n})\), která osciluje mezi -1 a 1, dělenou \( n \), která roste k nekonečnu. Díky tomu amplituda \( b_n \) klesá k nule, což je nutná podmínka Dirichletova kritéria.
Pro zajištění konvergence podle Dirichletova kritéria je potřeba, aby posloupnost \( b_n \) byla monotónní nebo alespoň klesající od určitého indexu. V tomto případě \( b_n \) není monotónní, protože oscilace \(\sin(\sqrt{n})\) způsobují změny znamének i velikostí, ale důležitá je vlastnost, že absolutní hodnota \( |b_n| \leq \frac{1}{n} \) a \( \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \).
Dirichletovo kritérium vyžaduje omezené parciální součty posloupnosti \( a_n \) a klesající (či alespoň konvergující k nule) posloupnost \( b_n \). Zde splnění monotónnosti není absolutní, nicméně vzhledem k omezenosti parciálních součtů \( A_N \) a klesání amplitudy \( b_n \) k nule můžeme konvergenci potvrdit.
Závěr: řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \sin(\sqrt{n})}{n} \) konverguje, a to podmíněně, protože absolutní hodnota řady by divergovala.
137. Rozhodněte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n \ln(n+1)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na \( a_n = \cos(n) \) a \( b_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \).
Funkce \( \cos(n) \) osciluje mezi -1 a 1, je tedy omezená. Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N \cos(k) \) jsou známy a mají omezenou hodnotu, protože součet kosinů s celočíselným argumentem tvoří periodickou posloupnost s omezenými parciálními součty.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \) je kladná a monotónně klesající pro dostatečně velká \( n \), protože jmenovatel roste. Dále platí, že \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Protože jsou splněny obě podmínky Dirichletova kritéria — omezenost parciálních součtů \( A_N \) a klesající \( b_n \) konvergující k nule — můžeme konstatovat, že řada konverguje.
Zároveň je důležité uvést, že řada nekonverguje absolutně, protože řada \( \sum \frac{1}{n \ln(n+1)} \) diverguje (je to známá divergující řada pomalého růstu). Tedy řada je podmíněně konvergentní.
138. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin(\ln n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme řadu na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin(\ln n)}{n} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, protože jde o střídavou posloupnost s hodnotami 1 a 0.
Funkce \( \sin(\ln n) \) osciluje mezi -1 a 1, protože logaritmus roste, ale velmi pomalu, a tedy argument sinusové funkce roste pomalu a zajišťuje neustálé oscilace.
Posloupnost \( b_n \) je limitní nulová, protože \( \frac{|\sin(\ln n)|}{n} \leq \frac{1}{n} \) a \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \). Posloupnost není monotónní, ale podle Dirichletova kritéria to není nezbytné, stačí, aby byla omezená a konvergovala k nule.
Protože jsou splněny podmínky: omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum a_n \) a limitní hodnota \( b_n \to 0 \), řada konverguje.
Řada je tedy podmíněně konvergentní, ne absolutně.
139. Rozhodněte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cos(\ln n)}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Vyjádříme členy řady jako \( a_n = (-1)^n \), \( b_n = \frac{\cos(\ln n)}{\sqrt{n}} \).
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené parciální součty \( A_N \), protože střídavě nabývá hodnot 1 a 0.
Funkce \( \cos(\ln n) \) osciluje mezi -1 a 1, a protože dělíme \( \sqrt{n} \), amplituda klesá k nule, tedy \( b_n \to 0 \).
Posloupnost \( b_n \) není monotónní kvůli oscilacím v čitateli, ale podle Dirichletova kritéria není monotónnost nezbytná, pokud jsou parciální součty \( A_N \) omezené a \( b_n \to 0 \).
Závěr je, že řada konverguje podmíněně, nikoliv absolutně, protože řada absolutních hodnot by divergovala.
140. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n^3)}{n^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nejprve si rozdělme členy řady na dvě části, aby bylo možné použít Dirichletovo kritérium: zvolme \( a_n = \sin(n^3) \) a \( b_n = \frac{1}{n^2} \).
Funkce \( \sin(n^3) \) osciluje mezi hodnotami -1 a 1, přičemž argument roste velmi rychle díky třetí mocnině. Tato rychlá změna argumentu zajišťuje, že se hodnoty \( \sin(n^3) \) chovají „nepravidelně“ a jejich parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N \sin(k^3) \) mohou být považovány za omezené. Přesná omezenost parciálních součtů funkce sinus s kvadratickým či vyšším argumentem je komplexnější problém, ale obecně platí, že tyto oscilace mohou být považovány za vyrovnané, a proto omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^2} \) je kladná, klesající a konverguje k nule, protože čitatel je konstantní a jmenovatel roste kvadraticky.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny, protože parciální součty posloupnosti \( a_n = \sin(n^3) \) jsou omezené a posloupnost \( b_n \) je monotónní a klesající k nule.
Proto řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n^3)}{n^2} \) konverguje.
Navíc, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(n^3)|}{n^2} \leq \sum \frac{1}{n^2} \) konverguje (řada \( \sum \frac{1}{n^2} \) je známá konvergentní řada), konvergence je dokonce absolutní.
141. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n \cos(\sqrt{n})}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nejprve rozdělme členy na dvě posloupnosti: \( a_n = (-1)^n \), což je posloupnost střídavých znamének, a \( b_n = \frac{\cos(\sqrt{n})}{n} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) jsou omezené, protože se periodicky střídají mezi hodnotami 1 a 0. To znamená, že podmínka omezenosti parciálních součtů \( a_n \) je splněna.
Posloupnost \( b_n = \frac{\cos(\sqrt{n})}{n} \) je limitní nulová, protože \( |\cos(\sqrt{n})| \leq 1 \) a jmenovatel \( n \) roste k nekonečnu, tedy \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \). Nicméně \( b_n \) není monotónní, protože \( \cos(\sqrt{n}) \) osciluje mezi -1 a 1.
Podle Dirichletova kritéria není monotónnost \( b_n \) nutná; stačí, že je posloupnost \( b_n \) limitní nulová a parciální součty \( a_n \) jsou omezené. Tyto podmínky jsou splněny.
Z toho vyplývá, že řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n \cos(\sqrt{n})}{n} \) konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot by odpovídala řadě \( \sum \frac{|\cos(\sqrt{n})|}{n} \), která diverguje podobně jako harmonická řada.
142. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln(n)}{n} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá znaménka a sumy se pohybují mezi 0 a 1.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n} \) je kladná a konverguje k nule, protože logaritmus roste pomaleji než lineární funkce, což znamená, že \( \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0 \). Dále \( b_n \) je pro dostatečně velké \( n \) monotónně klesající, protože derivace funkce \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) pro \( x > e \) je záporná.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny: omezenost parciálních součtů \( a_n \) a klesající posloupnost \( b_n \) s limitou nula.
Řada tedy konverguje podmíněně, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{\ln(n)}{n} \) diverguje (logaritmická divergenci známe z integralního testu).
143. Rozhodněte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Vyjádřme členy řady jako \( a_n = \sin(n) \) a \( b_n = \frac{1}{n} \).
Funkce \( \sin(n) \) osciluje mezi -1 a 1. Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N \sin(k) \) jsou omezené, protože jde o součet harmonických oscilací a lze je vyjádřit pomocí vzorců pro součet sinusů aritmetické posloupnosti.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je kladná, klesající a limitně rovna nule.
Protože jsou splněny podmínky Dirichletova kritéria (omezenost parciálních součtů \( a_n \) a klesající, limitní nula posloupnost \( b_n \)), řada konverguje.
Řada ale není absolutně konvergentní, protože \( \sum \frac{|\sin(n)|}{n} \geq \sum \frac{c}{n} \) pro některé kladné \( c \), což je divergentní harmonická řada.
144. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cos(n)}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos(n)}{\sqrt{n}} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) jsou omezené, jelikož střídavě nabývají hodnot 0 nebo 1.
Posloupnost \( b_n = \frac{\cos(n)}{\sqrt{n}} \) osciluje, protože \( \cos(n) \) mění znaménko, ale její absolutní hodnota je omezena jedničkou a jmenovatel roste k nekonečnu.
Posloupnost \( b_n \) konverguje k nule, ale není monotónní. Nicméně Dirichletovo kritérium nevyžaduje monotónnost, pouze limitu nula a omezenost parciálních součtů \( a_n \).
Parciální součty \( b_n \) nejsou monotónní, ale to nevadí.
Protože \( a_n \) tvoří omezené parciální součty a \( b_n \to 0 \), řada konverguje.
Absolutní konvergence neplatí, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\cos(n)|}{\sqrt{n}} \) konverguje nebo ne? Vzhledem k tomu, že \( \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \) diverguje, řada absolutních hodnot diverguje.
145. Rozhodněte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n \ln(n+1)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozložíme na \( a_n = \sin(n) \) a \( b_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \).
Funkce \( \sin(n) \) osciluje mezi -1 a 1. Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N \sin(k) \) jsou omezené, což plyne ze známých vzorců pro součet sinusů aritmetické posloupnosti, nebo lze použít odhady založené na součtu komplexních exponenciál.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \) je kladná, monotónně klesající a konverguje k nule, protože jmenovatel roste pomaleji než \( n \), ale stále k nekonečnu.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny: omezené parciální součty \( a_n \) a monotónní klesající posloupnost \( b_n \) s limitou nula.
Řada tedy konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(n)|}{n \ln(n+1)} \) diverguje podobně jako řada \( \sum \frac{1}{n \ln(n+1)} \), což je známá divergující řada (pomocí Cauchyho kritéria nebo integrálního testu).
Konvergence je tedy podmíněná.
146. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nejprve si rozdělme členy řady na dvě posloupnosti: \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin(n)}{n} \). Abychom mohli použít Dirichletovo kritérium, musíme zjistit, zda parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené a zda posloupnost \( b_n \) je monotónní a konverguje k nule.
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) střídá hodnoty 1 a -1, což znamená, že parciální součty \( A_N \) tvoří posloupnost -1, 0, -1, 0, … Tento sled hodnot je omezený, protože nikdy nepřesahuje hodnoty 1 a -1. Podmínka omezenosti parciálních součtů \( a_n \) je tedy splněna.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(n)}{n} \) není monotónní, protože \( \sin(n) \) osciluje a mění znaménko, ale z hlediska Dirichletova kritéria monotónnost není podmínkou pro posloupnost \( b_n \), ale pro posloupnost, jejíž parciální součty musí být omezené.
Důležitou vlastností je, že \( \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \), protože čitatel \( \sin(n) \) je omezen mezi -1 a 1, zatímco jmenovatel \( n \) roste neomezeně. Tedy limitní hodnota posloupnosti \( b_n \) je nula.
Na základě výše uvedeného můžeme Dirichletovo kritérium použít, protože máme omezené parciální součty \( a_n \) a posloupnost \( b_n \), která má limitu nula. Proto řada konverguje.
Řada však není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot \( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n)|}{n} \) diverguje podobně jako harmonická řada.
147. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n)}{n^{3/2}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Prozkoumejme členy řady jako \( a_n = \cos(n) \) a \( b_n = \frac{1}{n^{3/2}} \). Pro využití Dirichletova kritéria je důležité zjistit omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) a chování posloupnosti \( b_n \).
Funkce \( \cos(n) \) osciluje mezi hodnotami -1 a 1. Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N \cos(k) \) jsou omezené, protože lze použít vzorce pro součet kosinusů aritmetické posloupnosti, které ukazují, že absolutní hodnota parciálních součtů nepřekročí určitou konečnou konstantu.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^{3/2}} \) je kladná, monotónně klesající a má limitu nula, protože exponent \( \frac{3}{2} > 1 \) znamená, že jmenovatel roste rychleji než lineárně.
Tím pádem jsou splněny všechny podmínky Dirichletova kritéria: parciální součty \( a_n \) jsou omezené a \( b_n \) klesá k nule monotónně.
Proto řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n)}{n^{3/2}} \) konverguje.
Navíc řada absolutních hodnot \( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\cos(n)|}{n^{3/2}} \) je menší než řada \( \sum \frac{1}{n^{3/2}} \), která je známá absolutně konvergentní, takže naše řada je absolutně konvergentní.
148. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělujeme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \). Pro použití Dirichletova kritéria musíme ověřit omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) a vlastnosti posloupnosti \( b_n \).
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má parciální součty střídající se mezi 1 a 0, což znamená, že jsou omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \) je kladná, monotónně klesající pro \( n > e \), protože logaritmus roste pomaleji než polynom druhého stupně a limitně \( b_n \to 0 \).
Tedy jsou splněny všechny podmínky Dirichletova kritéria: omezené parciální součty \( a_n \), monotónní a limitně nulová posloupnost \( b_n \).
Proto řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n^2} \) konverguje.
Řada absolutních hodnot konverguje, protože \( \sum \frac{\ln(n)}{n^2} \) konverguje díky rychlosti růstu jmenovatele.
Řada je tedy absolutně konvergentní.
149. Rozhodněte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \ln(n)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \ln(n)} \). Pro Dirichletovo kritérium ověříme omezenost parciálních součtů \( a_n \) a vlastnosti posloupnosti \( b_n \).
Posloupnost \( a_n \) má omezené parciální součty, protože střídá znaménka a hodnoty parciálních součtů jsou omezené mezi 0 a 1.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \ln(n)} \) je kladná, klesající pro dostatečně velká \( n \), protože \( n \ln(n) \) roste a limitně \( b_n \to 0 \).
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny.
Řada konverguje.
Absolutní hodnota řady \( \sum \frac{1}{n \ln(n)} \) diverguje (je to tzv. Bertrandova řada s parametrem 1), takže konvergence je podmíněná.
150. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \). Nejprve ověříme omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \).
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má střídající se hodnoty, což znamená, že její parciální součty tvoří omezenou posloupnost (hodnoty 0 a 1 střídavě).
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \) není monotónní kvůli oscilaci \( \sin(n) \), ale limitně konverguje k nule, protože jmenovatel roste neomezeně.
Dirichletovo kritérium vyžaduje omezenost parciálních součtů \( a_n \) a limitu nula \( b_n \). Monotónnost není požadována.
Parciální součty \( a_n \) jsou omezené a \( b_n \to 0 \), proto řada konverguje.
Absolutní konvergence není, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(n)|}{\sqrt{n}} \) diverguje podobně jako \( \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \).