1. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n)} \) konverguje.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Použijeme integrální kritérium. Zkoumáme integrál funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x)} \), kde \( x \geq 2 \).
Nejprve ověříme podmínky kritéria:
\( f(x) > 0 \) pro \( x > 1 \)
\( f(x) \) je klesající pro \( x > 2 \)
\( f(x) \) je spojitá pro \( x > 1 \)
Vyhodnotíme nevlastní integrál:
\( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x du = e^u du \)
Integrál se převede na:
\( \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u} \, du = \infty \)
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
2. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkoumáme integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^2} \, dx \).
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x du \)
Integrál se převede na:
\( \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{\ln 2}^{\infty} = \frac{1}{\ln 2} \)
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
3. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln(n)}} \) konverguje.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkoumáme integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)}} \, dx \).
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow dx = x du \)
Integrál se převede na:
\( \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = 2 \sqrt{u} \Big|_{\ln 2}^{\infty} = \infty \)
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
4. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkoumáme integrál \( \int_2^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx \).
Integrujeme per partes: \( u = \ln(x), dv = x^{-2} dx \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx, v = -x^{-1} \)
\( \Rightarrow \int \frac{\ln(x)}{x^2} dx = -\frac{\ln(x)}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\ln(x)}{x} – \frac{1}{x} \)
Limita \( \lim_{x \to \infty} (-\frac{\ln(x)}{x} – \frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow \) integrál konverguje.
Řada tedy konverguje podle integrálního kritéria.
5. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3 + 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{x}{x^3 + 1} \), zkoumáme integrál \( \int_1^{\infty} \frac{x}{x^3 + 1} dx \).
Substituce: \( u = x^3 + 1 \Rightarrow du = 3x^2 dx \Rightarrow dx = \frac{du}{3x^2} \), ale tato substituce je složitá.
Použijeme odhad: pro \( x \geq 1 \) platí \( \frac{x}{x^3 + 1} \leq \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2} \), a \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx \) konverguje.
Funkce je kladná, spojitá, klesající \( \Rightarrow \) konverguje absolutně podle srovnávacího integrálního kritéria.
6. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) \ln(\ln(n))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkoumáme \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x))} dx \).
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln(x) du \)
Integrál se převede na \( \int \frac{1}{u} du = \ln|u| \Rightarrow \infty \)
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
7. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.1}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Použijeme integrální kritérium: \( f(x) = \frac{1}{x^{1.1}} \)
Integrál: \( \int_1^{\infty} x^{-1.1} dx = \left[ \frac{x^{-0.1}}{-0.1} \right]_1^{\infty} = \frac{1}{0.1} = 10 \)
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
8. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^p} \) pro \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Uvažujeme obecnou funkci \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^p} \)
\( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^p} dx \) substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow dx = x du \)
Integrál \( \int_{\ln 2}^{\infty} u^{-p} du \) konverguje pro \( p > 1 \)
Řada tedy konverguje pro \( p > 1 \)
9. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n))^2} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkoumáme integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x))^2} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln(x) du \)
Integrál \( \int \frac{1}{u^2} du \) konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje
10. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \), pozitivní, spojitá, klesající pro \( x > 1 \)
Odhad: \( \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \leq \frac{\sqrt{x}}{x^2} = x^{-3/2} \), a integrál \( \int_1^{\infty} x^{-3/2} dx \) konverguje
Řada tedy konverguje podle srovnávacího integrálního kritéria.
11. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) (\ln(\ln(n)))^p} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) (\ln(\ln(x)))^p} \), kde \( x \geq e^e \), je pozitivní, spojitá, klesající.
Integrál: \( \int_{e^e}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) (\ln(\ln(x)))^p} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln(x) du \)
Integrál: \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^p} du \), který konverguje pro \( p > 1 \)
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
12. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n)) \ln(\ln(\ln(n)))} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkoumáme funkci \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x)) \ln(\ln(\ln(x)))} \), definovanou pro \( x > e^{e^e} \).
Substituce: \( u = \ln(\ln(\ln(x))) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(\ln(x))} \cdot \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln(x) \ln(\ln(x)) du \)
Integrál \( \int \frac{1}{u} du = \infty \Rightarrow \) integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
13. Zjistěte, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n^2 + 1)} \) konverguje.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \) platí \( \ln(n^2 + 1) \sim 2 \ln(n) \Rightarrow f(n) \sim \frac{1}{n \ln(n)} \)
Řada \( \sum \frac{1}{n \ln(n)} \) diverguje, viz příklad 1.
Odtud plyne, že i daná řada diverguje podle srovnávacího integrálního kritéria.
14. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(\ln(n))^p}{n} \), kde \( p < -1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{(\ln(x))^p}{x} \) pro \( x > 1 \), a \( p < -1 \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow dx = e^u du \Rightarrow x = e^u \)
Integrál: \( \int_{\ln 2}^{\infty} u^p du \), který konverguje pro \( p < -1 \)
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
15. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \sqrt{\ln(\ln(n))}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) \sqrt{\ln(\ln(x))}} \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow dx = x \ln(x) du \)
Integrál: \( \int \frac{1}{\sqrt{u}} du = 2 \sqrt{u} \Rightarrow \infty \Rightarrow \) integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
16. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) (\ln(\ln(n)))^2} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) (\ln(\ln(x)))^2} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow dx = x \ln(x) du \)
Integrál: \( \int \frac{1}{u^2} du \Rightarrow \) konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
17. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.5} \ln(n + 1)} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( f(n) = \frac{1}{n^{1.5} \ln(n)} \), zkusíme integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x^{1.5} \ln(x)} dx \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow x = e^u, dx = e^u du \)
Integrál: \( \int \frac{1}{e^{1.5u} u} \cdot e^u du = \int \frac{1}{e^{0.5u} u} du \), což konverguje
Řada tedy konverguje podle integrálního kritéria.
18. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(\ln(n))}{n \ln(n)} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(\ln(x))}{x \ln(x)} \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x du \)
Potom \( \int \frac{\ln(u)}{u} du = \frac{(\ln(u))^2}{2} \Rightarrow \infty \)
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
19. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n + 1))^p} \), kde \( p = 1 \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x + 1)} \sim \frac{1}{x \ln(x)} \Rightarrow \) srovnatelné s divergentní řadou
Proto i původní řada diverguje podle integrálního kritéria.
20. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + \ln(n + 1)} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( \frac{n}{n^2 + \ln(n)} \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \), která diverguje
Řada tedy diverguje podle srovnávacího kritéria, integrál \( \int \frac{1}{x} dx = \infty \Rightarrow \) řada diverguje.
21. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^{1.5} + \sqrt{n}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( \frac{1}{n (\ln(n))^{1.5} + \sqrt{n}} \sim \frac{1}{n (\ln(n))^{1.5}} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^{1.5}} dx \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow dx = e^u du \Rightarrow x = e^u \)
Integrál \( \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u^{1.5}} du \Rightarrow \) konverguje
Řada konverguje podle integrálního kritéria.
22. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n+2))^{0.8}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( \frac{1}{n (\ln(n))^{0.8}} \Rightarrow \) použijeme integrální kritérium
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^{0.8}} dx \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow dx = e^u du \Rightarrow x = e^u \)
Integrál \( \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u^{0.8}} du \Rightarrow \infty \)
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
23. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln(n + 1)} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( \ln(n+1) \sim \ln(n) \Rightarrow \frac{1}{n \ln(n)^2} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^2} dx \Rightarrow \) konverguje
Řada konverguje podle integrálního kritéria.
24. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^2} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} \) je kladná, spojitá, klesající pro \( x \geq 2 \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} dx \)
Integrace per partes: \( u = \ln(x), dv = x^{-2} dx \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx, v = -\frac{1}{x} \)
\( \Rightarrow -\frac{\ln(x)}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\ln(x)}{x} – \frac{1}{x} \)
Limitně konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
25. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) \sqrt{\ln(n + 1)}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( \ln(n + 1) \sim \ln(n) \Rightarrow f(n) \sim \frac{1}{n \ln(n)^{1.5}} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^{1.5}} dx \Rightarrow \) konverguje
Řada konverguje podle integrálního kritéria.
26. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{\ln(n)}}{n \ln(n)^2} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x \ln(x)^2} = \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)}} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)}} dx \)
Substituce: \( u = \sqrt{\ln(x)} \Rightarrow \ln(x) = u^2, x = e^{u^2}, dx = 2u e^{u^2} du \)
Výsledný integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
27. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) (\ln(\ln(n)))^{1.2}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Integrál \( \int_{e^e}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) (\ln(\ln(x)))^{1.2}} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow dx = x \ln(x) du \)
Integrál \( \int \frac{1}{u^{1.2}} du \Rightarrow \) konverguje
Řada konverguje podle integrálního kritéria.
28. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n \ln(n)^2 + 1} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( \frac{\ln(n)}{n \ln(n)^2} = \frac{1}{n \ln(n)} \Rightarrow \) srovnatelné s divergentní řadou
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)} dx = \infty \Rightarrow \) řada diverguje
29. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^{\ln(\ln(n))}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^{\ln(\ln(x))}} \) klesá velmi rychle
Logaritmický exponent roste pomalu, ale výrazně
Integrál \( \int_3^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^{\ln(\ln(x))}} dx \) konverguje (rychlejší pokles než jakýkoliv polynomiální)
Řada konverguje.
30. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln(n) + \ln(\ln(n))}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( \sqrt{\ln(n) + \ln(\ln(n))} \sim \sqrt{\ln(n)} \Rightarrow f(n) \sim \frac{1}{n \sqrt{\ln(n)}} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)}} dx \Rightarrow \) diverguje
Řada diverguje podle integrálního kritéria.
31. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) (\ln(\ln(n))) \sqrt{\ln(\ln(\ln(n)))}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je pozitivní, spojitá, klesající pro \( x \geq e^{e^e} \)
Integrál \( \int_{e^{e^e}}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x)) \sqrt{\ln(\ln(\ln(x)))}} dx \)
Po trojité substituci dostaneme integrál \( \int \frac{1}{u^{1/2}} du \), který diverguje
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
32. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(\ln(n))^2}{n^2 + (\ln(n))^4} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \) je \( n^2 + (\ln(n))^4 \sim n^2 \Rightarrow \frac{(\ln(n))^2}{n^2} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{(\ln(x))^2}{x^2} dx \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow dx = e^u du, x = e^u \Rightarrow \frac{u^2}{e^{2u}} \)
Integrál \( \int_{\ln 2}^{\infty} u^2 e^{-2u} du \) konverguje
Řada konverguje.
33. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n+1) \ln(\ln(n+2))} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( \ln(n+1) \sim \ln(n), \ln(\ln(n+2)) \sim \ln(\ln(n)) \)
Řada je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n))} \), která diverguje
Integrál \( \int_3^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x))} dx \) diverguje
Řada diverguje.
34. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^{\sqrt{\ln(n)}}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^{\sqrt{\ln(x)}}} \) prudce klesá
Pro substituci \( u = \sqrt{\ln(x)} \Rightarrow \ln(x) = u^2, x = e^{u^2}, dx = 2u e^{u^2} du \)
Výraz se převede na \( \int \frac{1}{u^{2u}} \cdot 2u e^{u^2} du \), který rychle konverguje
Řada konverguje.
35. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n \ln(\ln(n))} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Integrál \( \int_3^{\infty} \frac{\ln(x)}{x \ln(\ln(x))} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow dx = x \ln(x) du \Rightarrow \) vznikne \( \int \frac{1}{u} du \)
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
36. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln(n)^2 + 1}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( \sqrt{\ln(n)^2 + 1} \sim \ln(n) \Rightarrow f(n) \sim \frac{1}{n \ln(n)} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)} dx \Rightarrow \) diverguje
Řada diverguje podle integrálního kritéria.
37. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \sqrt{\ln(\ln(n)) + 1}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( \sqrt{\ln(\ln(n)) + 1} \sim \sqrt{\ln(\ln(n))} \Rightarrow f(n) \sim \frac{1}{n \ln(n) \sqrt{\ln(\ln(n))}} \)
Integrál \( \int_{e^e}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) \sqrt{\ln(\ln(x))}} dx \Rightarrow \) diverguje
Řada diverguje.
38. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n)^2 + \sqrt{n}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( \ln(n)^2 \ll \sqrt{n} \Rightarrow f(n) \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx \) diverguje
Řada diverguje.
39. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{\ln(n)}}{n (\ln(n))^2 + 1} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( (\ln(n))^2 + 1 \sim (\ln(n))^2 \Rightarrow \frac{\sqrt{\ln(n)}}{n (\ln(n))^2} = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n)}} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)}} dx \) diverguje
Řada diverguje.
40. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n)) \ln(\ln(\ln(n)))} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Integrál \( \int_{e^{e^e}}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x)) \ln(\ln(\ln(x)))} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(\ln(x))) \Rightarrow dx = x \ln(x) \ln(\ln(x)) du \)
Integrál \( \int \frac{1}{u} du \Rightarrow \infty \Rightarrow \) řada diverguje.
41. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^p + n^{0.9}} \), kde \( p > 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( n (\ln(n))^p \gg n^{0.9} \Rightarrow f(n) \sim \frac{1}{n (\ln(n))^p} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^p} dx \) konverguje pro \( p > 1 \)
Pro \( p > 1 \Rightarrow \) integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria
Pro \( 0 < p \leq 1 \Rightarrow \) integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje
42. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) (\ln(\ln(n))) \ln^2(\ln(\ln(n)))} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Integrál \( \int_{e^{e}}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x)) \ln^2(\ln(\ln(x)))} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow dx = x \ln(x) du \Rightarrow \int \frac{1}{u \ln^2(u)} du \)
Substituce \( v = \ln(u) \Rightarrow \int \frac{1}{e^v v^2} dv \Rightarrow \) konverguje
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria
43. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n (\ln(\ln(n)))^p} \), kde \( p > 0 \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x (\ln(\ln(x)))^p} \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow \ln(x) = e^u, x = e^{e^u}, dx = e^{e^u} e^u du \)
Výraz přejde na \( \int \frac{e^u}{e^{e^u} u^p} e^{e^u} e^u du = \int \frac{e^{2u}}{u^p} du \)
Konverguje pro \( p > 3 \), jinak diverguje
44. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln(n + \ln(n))} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \): \( \ln(n + \ln(n)) \sim \ln(n) \Rightarrow f(n) \sim \frac{1}{n (\ln(n))^2} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^2} dx \) konverguje
Řada konverguje podle integrálního kritéria
45. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{\ln(n)}}{n \ln(n) + 1} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \Rightarrow \frac{\sqrt{\ln(n)}}{n \ln(n)} \Rightarrow \frac{1}{n \sqrt{\ln(n)}} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)}} dx \) diverguje
Řada diverguje
46. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n)) \sqrt{\ln(\ln(\ln(n)))}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x)) \sqrt{\ln(\ln(\ln(x)))}} \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(\ln(x))) \Rightarrow dx = x \ln(x) \ln(\ln(x)) du \)
Integrál \( \int \frac{1}{\sqrt{u}} du \Rightarrow \infty \Rightarrow \) řada diverguje
47. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^{\ln(n)}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je extrémně rychle klesající
Substituce: \( u = \ln(n) \Rightarrow x = e^u, dx = e^u du \)
Integrál \( \int \frac{1}{e^u \cdot u^{u}} e^u du = \int \frac{1}{u^u} du \), což konverguje
Řada konverguje podle integrálního kritéria
48. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n (\ln(\ln(n)))^2 + \ln(n)} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Dominantní člen ve jmenovateli: \( n (\ln(\ln(n)))^2 \)
\( f(n) \sim \frac{\ln(n)}{n (\ln(\ln(n)))^2} \Rightarrow \) použijeme substituci \( u = \ln(\ln(n)) \)
Integrál \( \int \frac{e^u}{e^{e^u} u^2} \cdot e^{e^u} e^u du = \int \frac{e^{2u}}{u^2} du \) diverguje
Řada diverguje
49. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) \sqrt{\ln(n) + 1}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( \sqrt{\ln(n)+1} \sim \sqrt{\ln(n)} \Rightarrow f(n) \sim \frac{1}{n (\ln(n))^{3/2}} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^{3/2}} dx \) konverguje
Řada konverguje
50. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n \ln(n)^2 + 1} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \Rightarrow \frac{\ln(n)}{n \ln(n)^2} = \frac{1}{n \ln(n)} \)
Integrál \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)} dx \) diverguje
Řada diverguje
51. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^{1 + \sin^2\left(\frac{1}{\ln(n)}\right)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Uvažujme funkci \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^{1 + \sin^2\left(\frac{1}{\ln(x)}\right)}} \) pro \( x \geq 2 \). Funkce je pozitivní, spojitá, klesající.
Hledáme konvergenci integrálu \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^{1 + \sin^2\left(\frac{1}{\ln(x)}\right)}} dx \).
Pro velká \( x \) platí \( \sin^2\left(\frac{1}{\ln(x)}\right) \approx \left(\frac{1}{\ln(x)}\right)^2 \), tedy exponent se blíží 1.
Potom aproximujeme integrál jako \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)} dx \), který diverguje.
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
52. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) \sqrt{\ln(\ln(n))}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) \sqrt{\ln(\ln(x))}} \) je pro \( x \geq e^e \) pozitivní, spojitá a klesající.
Uvažujeme integrál \( \int_{e^e}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) \sqrt{\ln(\ln(x))}} dx \).
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln(x) du \).
Integrál se převede na \( \int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{u}} du \), který diverguje.
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
53. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) (\ln(\ln(n)))^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) (\ln(\ln(x)))^3} \) je spojitá, pozitivní, klesající pro \( x \geq e^e \).
Hledáme integrál \( \int_{e^e}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) (\ln(\ln(x)))^3} dx \).
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow dx = x \ln(x) du \).
Integrál přechází na \( \int_1^{\infty} \frac{1}{u^3} du \), který konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
54. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^{\ln(\ln(n))}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^{\ln(\ln(x))}} \) je pro \( x \geq e^e \) spojitá, pozitivní, klesající.
Uvažujeme integrál \( \int_{e^e}^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^{\ln(\ln(x))}} dx \).
Logaritmický exponent je větší než 1 pro velká \( x \), tedy rychlejší růst než \( \ln(x) \Rightarrow \) integrál konverguje rychleji než \( \int \frac{1}{x \ln(x)} dx \).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
55. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) \ln(\ln(n)) \ln(\ln(\ln(n)))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je složena ze tří iterovaných logaritmů. Označme \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x)) \ln(\ln(\ln(x)))} \) pro \( x \geq e^{e^e} \).
Substituce: \( u = \ln(\ln(\ln(x))) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(\ln(x)) \ln(x) x} dx \).
Integrál přejde na \( \int_1^{\infty} \frac{1}{u} du \), který diverguje.
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
56. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^p} \), kde \( p = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jde o hraniční případ řady \( \frac{1}{n (\ln(n))^p} \), kde \( p = 1 \).
Integrál: \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)} dx \) diverguje jako logaritmus logaritmu.
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
57. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln(n)} \ln(\ln(n))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)} \ln(\ln(x))} \) je pozitivní, spojitá, klesající pro \( x \geq e^e \).
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \), pak \( dx = x \ln(x) du \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{u} e^u} du \) – rychle klesající.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
58. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n (\ln(\ln(n)))^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x (\ln(\ln(x)))^2} \) pro \( x \geq e^e \) je pozitivní, spojitá a klesající.
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow dx = x \ln(x) du \Rightarrow \int \frac{1}{u^2} du \) konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
59. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^{\sqrt{\ln(\ln(n))}}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je pomalu klesající, ale exponent roste s \( \ln(\ln(n)) \), i když pomalu.
Uvažujeme substituci jako dříve: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow \int \frac{1}{u^{\sqrt{u}}} du \) – konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
60. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) (\ln(\ln(n))) \sqrt{\ln(\ln(\ln(n)))}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Složitá kombinace logaritmických funkcí, ale klesá dostatečně rychle.
Po substitucích jako dříve dostaneme integrál typu \( \int \frac{1}{u^{3/2}} du \), který konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
61. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^p} \), kde \( p > 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^p} \), kde \( x \geq 2 \), je pozitivní, spojitá, klesající.
Integrál: \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^p} dx \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \)
\( \int_{\ln(2)}^{\infty} \frac{1}{u^p} du \) konverguje právě tehdy, když \( p > 1 \)
Integrál konverguje \( \Leftrightarrow p > 1 \Rightarrow \) řada konverguje právě tehdy, když \( p > 1 \)
62. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln(n)}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)}} \), kde \( x \geq 2 \), je pozitivní, spojitá a klesající.
Integrál: \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)}} dx \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \)
\( \int_{\ln(2)}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{u}} du = 2\sqrt{u} \big|_{\ln(2)}^{\infty} = \infty \)
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
63. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) \sqrt{\ln(\ln(n))}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) \sqrt{\ln(\ln(x))}} \), kde \( x \geq e^e \), je pozitivní, spojitá, klesající.
Integrál: \( \int_{e^e}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) \sqrt{\ln(\ln(x))}} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln(x) du \)
Integrál přechází na \( \int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{u}} du = 2 \sqrt{u} \big|_1^{\infty} = \infty \)
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
64. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n))} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x))} \), kde \( x \geq e^e \), je pozitivní, spojitá a klesající.
Integrál: \( \int_{e^e}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x))} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} dx \)
Integrál: \( \int_1^{\infty} \frac{1}{u} du = \infty \)
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
65. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^2 \ln(\ln(n))} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^2 \ln(\ln(x))} \), kde \( x \geq e^e \), je pozitivní, spojitá a klesající.
Integrál: \( \int_{e^e}^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^2 \ln(\ln(x))} dx \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \)
Dále \( \ln(\ln(x)) = \ln(u) \), takže integrál je \( \int_{e}^{\infty} \frac{1}{u^2 \ln(u)} du \)
Substituce: \( v = \ln(u) \Rightarrow dv = \frac{1}{u} du \Rightarrow du = u dv = e^v dv \)
Integrál: \( \int_{\ln(e)}^{\infty} \frac{1}{e^{2v} v} \cdot e^v dv = \int_1^{\infty} \frac{1}{e^v v} dv \), který konverguje
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
66. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^p} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^p} \), kde \( x \geq 2 \), je pozitivní, spojitá, klesající pro \( p > 1 \).
Integrál: \( \int_2^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^p} dx \)
Substituce: \( u = \ln(x) \Rightarrow x = e^u, dx = e^u du \)
Integrál: \( \int_{\ln(2)}^{\infty} \frac{u}{e^{u(p – 1)}} du \)
Pro \( p > 1 \) máme exponenciální útlum \( e^{u(p – 1)} \Rightarrow \) integrál konverguje
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
67. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n)) \sqrt[n]{n}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) x^{1/x}} \), kde \( x \geq 2 \), je pozitivní, spojitá, klesající.
Pozorujeme, že \( x^{1/x} \to 1 \) pro \( x \to \infty \), ale velmi pomalu.
Pro zkoumání konvergence porovnáme s \( \frac{1}{x \ln(x)} \), jejíž integrál diverguje.
Protože \( x^{1/x} > 1 \Rightarrow \frac{1}{x \ln(x) x^{1/x}} < \frac{1}{x \ln(x)} \)
Avšak odhad není dost silný, proto použijeme přesný integrál:
Integrál: \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) x^{1/x}} dx \)
Použijeme numerické odhady: Funkce \( x^{1/x} \geq 1 \), takže integrál je menší než divergující \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)} dx \Rightarrow \) integrál diverguje
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
68. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) (\ln(\ln(n)))^p} \), kde \( 0 < p \leq 1 \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) (\ln(\ln(x)))^p} \), kde \( x \geq e^e \), je pozitivní, spojitá, klesající.
Integrál: \( \int_{e^e}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x) (\ln(\ln(x)))^p} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow du = \frac{1}{x \ln(x)} dx \)
Integrál přechází na \( \int_1^{\infty} \frac{1}{u^p} du \)
Integrál konverguje pouze pro \( p > 1 \), zde \( 0 < p \leq 1 \Rightarrow \) integrál diverguje
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
69. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(\ln(n))^2}{n \sqrt{\ln(\ln(n))}} \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{(\ln(x))^2}{x \sqrt{\ln(\ln(x))}} \), kde \( x \geq e^e \), je pozitivní, spojitá a klesající.
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow \ln(x) = e^u \Rightarrow dx = x \ln(x) du \)
Integrál: \( \int_1^{\infty} \frac{(e^u)^2}{\sqrt{u}} du = \int_1^{\infty} \frac{e^{2u}}{\sqrt{u}} du \)
Exponenciála převládá \( \Rightarrow \) integrál diverguje
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
70. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^p + \ln(n)} \), kde \( p > 1 \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Vzhledem k tomu, že \( (\ln(n))^p \gg \ln(n) \) pro \( n \to \infty \), máme \( (\ln(n))^p + \ln(n) \sim (\ln(n))^p \)
Pak \( \frac{1}{n ((\ln(n))^p + \ln(n))} \sim \frac{1}{n (\ln(n))^p} \)
Řada \( \sum \frac{1}{n (\ln(n))^p} \) konverguje právě tehdy, když \( p > 1 \)
Proto řada konverguje podle srovnávacího kritéria s integrálem
Integrál: \( \int_2^{\infty} \frac{1}{x (\ln(x))^p} dx \) konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
71. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^2 \sqrt{\ln(\ln(n))}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^2 \sqrt{\ln(\ln(x))}} \), kde \( x \geq e^e \), je pozitivní, spojitá, klesající.
Integrál: \( \int_{e^e}^\infty \frac{1}{x (\ln(x))^2 \sqrt{\ln(\ln(x))}} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow du = \frac{1}{x \ln(x)} dx \)
Vyjádříme integrand pomocí \( u \): \( \frac{1}{x (\ln(x))^2 \sqrt{u}} dx = \frac{1}{(\ln(x)) \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{x \ln(x)} dx = \frac{1}{(\ln(x)) \sqrt{u}} du \)
Proto integrál přechází na: \( \int_1^\infty \frac{1}{e^u \sqrt{u}} du \) (protože \( \ln(x) = e^u \))
Integrál \( \int_1^\infty \frac{1}{e^u \sqrt{u}} du \) konverguje, protože \( e^u \) roste exponenciálně a převyšuje \( \sqrt{u} \).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
72. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\sin(\frac{1}{\ln(n)})}{n (\ln(n))^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( n \to \infty \) platí \( \sin(\frac{1}{\ln(n)}) \sim \frac{1}{\ln(n)} \) (protože sinus je blízko nuly).
Termíny mají tedy asymptotiku \( \frac{1}{n (\ln(n))^3} \).
Zvažujeme řadu \( \sum \frac{1}{n (\ln(n))^3} \), která je známá a konverguje.
Funkce \( f(x) = \frac{\sin(\frac{1}{\ln(x)})}{x (\ln(x))^2} \) je pro \( x \) velké kladná, spojitá a klesající.
Integrál: \( \int_2^\infty \frac{\sin(\frac{1}{\ln(x)})}{x (\ln(x))^2} dx \approx \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln(x))^3} dx \)
Substituce \( u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \), integrál je \( \int_{\ln(2)}^\infty \frac{\sin(\frac{1}{u})}{u^2} du \)
Protože \( \sin(\frac{1}{u}) \sim \frac{1}{u} \), integrál se chová jako \( \int_{\ln(2)}^\infty \frac{1}{u^3} du \), který konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
73. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln(n))^p}{n^{1+\frac{1}{\ln(n)}}} \), kde \( p \in \mathbb{R} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Exponent ve jmenovateli lze přepsat: \( n^{1 + \frac{1}{\ln(n)}} = n \cdot n^{\frac{1}{\ln(n)}} = n \cdot e^{\ln(n) \cdot \frac{1}{\ln(n)}} = n \cdot e^1 = e \cdot n \).
Řada tedy má asymptotiku \( \sum \frac{(\ln(n))^p}{e \cdot n} \sim \sum \frac{(\ln(n))^p}{n} \).
Funkce \( f(x) = \frac{(\ln(x))^p}{e x} \), \( x \geq 2 \), je pozitivní, spojitá, klesající pro \( p < 0 \) (jinak roste).
Známe, že řada \( \sum \frac{(\ln(n))^p}{n} \) diverguje pro všechna reálná \( p \), protože \( \int_2^\infty \frac{(\ln x)^p}{x} dx \) diverguje (jde o divergentní integrál logaritmických mocnin).
Integrál \( \int_2^\infty \frac{(\ln x)^p}{x} dx = \int_{\ln 2}^\infty u^p du \) diverguje pro každé reálné \( p \).
Tedy řada diverguje pro všechna \( p \in \mathbb{R} \).
74. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln(n))^{p} \ln(\ln(n))} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^p \ln(\ln(x))} \), kde \( x \geq e^e \), je pozitivní, spojitá, klesající.
Integrál: \( \int_{e^e}^\infty \frac{1}{x (\ln(x))^p \ln(\ln(x))} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(x)) \Rightarrow du = \frac{1}{x \ln(x)} dx \)
Vyjádření integrandu: \( \frac{1}{x (\ln(x))^p \ln(\ln(x))} dx = \frac{1}{(\ln(x))^{p-1} u} du \)
Přes substituci \( t = \ln(x) \Rightarrow t = e^u \), takže integrál přechází na \( \int_1^\infty \frac{1}{e^{u(p-1)} u} du \)
Exponenciální růst v jmenovateli při \( p > 1 \) zaručuje konvergenci integrálu.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
75. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n)) \ln(\ln(\ln(n)))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x)) \ln(\ln(\ln(x)))} \), kde \( x \geq e^{e^e} \), je pozitivní, spojitá a klesající.
Integrál: \( \int_{e^{e^e}}^\infty \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x)) \ln(\ln(\ln(x)))} dx \)
Substituce: \( u = \ln(\ln(\ln(x))) \Rightarrow du = \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x))} dx \)
Integrál přechází na \( \int_{1}^\infty \frac{1}{u} du \), což je divergentní harmonický integrál.
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
76. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln(n))^{\ln(n)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Výraz v jmenovateli je \( (\ln(n))^{\ln(n)} = e^{\ln(n) \ln(\ln(n))} \).
Řada má tedy členy přibližně \( \frac{1}{n e^{\ln(n) \ln(\ln(n))}} = \frac{1}{n n^{\ln(\ln(n))}} = \frac{1}{n^{1+\ln(\ln(n))}} \).
Protože \( \ln(\ln(n)) \to \infty \) velmi pomalu, exponent roste nad 1, což značí velmi rychlý pokles členů řady.
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^{\ln(x)}} \) je pozitivní, spojitá, klesající pro \( x \) dost velké.
Integrál: \( \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln(x))^{\ln(x)}} dx \) konverguje díky velmi rychlému poklesu.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
77. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln(n) \sqrt{\ln(\ln(n))} (\ln(\ln(\ln(n))))^p} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) \sqrt{\ln(\ln(x))} (\ln(\ln(\ln(x))))^p} \), kde \( x \geq e^{e^e} \), je pozitivní, spojitá a klesající.
Substituce: \( u = \ln(\ln(\ln(x))) \Rightarrow du = \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x))} dx \)
Vyjádření integrandu: \( \frac{1}{x \ln(x) \sqrt{\ln(\ln(x))} u^p} dx = \frac{\ln(\ln(x))}{\sqrt{\ln(\ln(x))} u^p} du = \frac{\sqrt{\ln(\ln(x))}}{u^p} du \)
Použití substituce \( v = \sqrt{\ln(\ln(x))} \) komplikované, ale dominantní část je \( \frac{1}{u^p} \).
Integrál přechází přibližně na \( \int_1^\infty \frac{1}{u^p} du \), který konverguje pro \( p > 1 \).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
78. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln(n))^p e^{\sqrt{\ln(\ln(n))}}} \), kde \( p \in \mathbb{R} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{1}{n (\ln(n))^p e^{\sqrt{\ln(\ln(n))}}} \).
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^p e^{\sqrt{\ln(\ln(x))}}} \) je kladná, spojitá a klesající pro dost velké \( x \).
Integrál: \( \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln(x))^p e^{\sqrt{\ln(\ln(x))}}} dx \)
Substituce: \( u = \sqrt{\ln(\ln(x))} \Rightarrow u^2 = \ln(\ln(x)) \Rightarrow \ln(x) = e^{u^2} \), dále \( du = \frac{1}{2 \sqrt{\ln(\ln(x))}} \cdot \frac{1}{x \ln(x)} dx \)
Integrál přechází na výraz obsahující \( e^{-u} \), což rychle klesá.
Dominantní část integrálu je \( \int_?^\infty e^{-u} du \), který konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
79. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln(n) (\ln(\ln(n)))^p \ln(\ln(\ln(n)))} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x) (\ln(\ln(x)))^p \ln(\ln(\ln(x)))} \), kde \( x \geq e^{e^e} \), je pozitivní, spojitá a klesající.
Substituce: \( u = \ln(\ln(\ln(x))) \Rightarrow du = \frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x))} dx \)
Vyjádření integrandu: \( \frac{1}{x \ln(x) (\ln(\ln(x)))^p u} dx = \frac{1}{(\ln(\ln(x)))^{p-1} u} du \)
Přes substituci \( t = \ln(\ln(x)) \Rightarrow t = e^v \), integrál přechází na \( \int_1^\infty \frac{1}{e^{v(p-1)} u} du \)
Při \( p > 1 \) exponenciální růst v jmenovateli zajišťuje konvergenci integrálu.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
80. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 \sqrt{\ln(\ln n)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^2 \sqrt{\ln(\ln n)}} \).
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Posuzujeme integrál: \( \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)}} dx \).
Substituce: \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \).
Vyjádříme integrál přes \( t \):
\( \int \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{t}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^2 \sqrt{t}} \cdot \frac{dx}{x} \).
Z derivace \( dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow \frac{dx}{x} = (\ln x) dt \).
Dosadíme: \( \int \frac{1}{(\ln x)^2 \sqrt{t}} \cdot (\ln x) dt = \int \frac{1}{(\ln x) \sqrt{t}} dt \).
Protože \( \ln x = e^t \), máme \( \int \frac{1}{e^t \sqrt{t}} dt \).
Integrál \( \int_a^\infty \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt \) konverguje (exponenciální pokles převáží polynomiální růst).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
81. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n \ln(n) (\ln(\ln(n)))^{1.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln x (\ln(\ln x))^{1.5}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zvažujeme integrál \( \int_3^\infty \frac{1}{x \ln x (\ln(\ln x))^{1.5}} dx \).
Substituce: \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \).
Integrál přechází na \( \int \frac{1}{t^{1.5}} dt \).
Integral \( \int_A^\infty t^{-1.5} dt \) konverguje (protože exponent > 1).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
82. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Členy: \( a_n = \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^3} \).
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^3} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Posuzujeme integrál \( \int_2^\infty \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^3} dx \).
Substituce: \( t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx \).
Integrál se převede na \( \int_{\ln 2}^\infty \frac{\ln t}{t^3} dt \).
Funkce \( \frac{\ln t}{t^3} \) klesá a integrál konverguje (exponent v jmenovateli > 1 a logaritmus roste pomalu).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
83. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{1/2} (\ln(\ln n))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{1/2} (\ln(\ln x))} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Integrál \( \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{1/2} (\ln(\ln x))} dx \).
Substituce \( t = \ln(\ln x), dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Vyjádření integrálu přes \( t \):
\( \int \frac{1}{x (\ln x)^{1/2} t} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^{1/2} t} \cdot \frac{dx}{x} \).
Protože \( dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow \frac{dx}{x} = \ln x dt \), integrál je
\( \int \frac{\ln x}{(\ln x)^{1/2} t} dt = \int \frac{(\ln x)^{1/2}}{t} dt \).
Dosadíme \( \ln x = e^t \), dostáváme \( \int \frac{e^{t/2}}{t} dt \).
Tento integrál diverguje, protože \( e^{t/2} \) roste rychleji než \( t \).
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
84. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n)) \ln(\ln(\ln(n)))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x))} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^e} \).
Integrál \( \int_{e^{e^e}}^\infty \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x))} dx \).
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \Rightarrow du = \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x)} dx \).
Integrál se převede na \( \int \frac{1}{u} du \), což diverguje (logaritmický integrál).
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
85. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^p} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x > 1 \).
Posuzujeme integrál \( \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^p} dx \).
Substituce: \( t = \ln x, dt = \frac{1}{x} dx \), integrál se převede na \( \int_{\ln 2}^\infty \frac{1}{t^p} dt \).
Integrál konverguje pro \( p > 1 \), diverguje pro \( p \leq 1 \).
Proto řada konverguje pro \( p > 1 \) podle integrálního kritéria.
86. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(n)}{n (\ln(\ln n))^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Členy: \( a_n = \frac{\ln n}{n (\ln(\ln n))^2} \).
Funkce \( f(x) = \frac{\ln x}{x (\ln(\ln x))^2} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Integrál \( \int_2^\infty \frac{\ln x}{x (\ln(\ln x))^2} dx \).
Substituce \( t = \ln(\ln x), dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Dosadíme: \( \int \frac{\ln x}{x t^2} dx = \int \frac{\ln x}{x t^2} \cdot x \ln x dt = \int \frac{(\ln x)^2}{t^2} dt \).
Protože \( \ln x = e^t \), máme \( \int \frac{e^{2t}}{t^2} dt \), který diverguje (exponenciální růst v čitateli).
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
87. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{1.5} (\ln(\ln n))^{0.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} (\ln(\ln x))^{0.5}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Posuzujeme integrál \( \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} (\ln(\ln x))^{0.5}} dx \).
Substituce \( t = \ln(\ln x), dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \).
Vyjádříme integrál přes \( t \):
\( \int \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} t^{0.5}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^{1.5} t^{0.5}} \cdot \frac{dx}{x} \).
Protože \( \frac{dx}{x} = \ln x dt \), máme \( \int \frac{\ln x}{(\ln x)^{1.5} t^{0.5}} dt = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.5} t^{0.5}} dt \).
Dosadíme \( \ln x = e^t \), takže integrál je \( \int \frac{1}{e^{t/2} t^{0.5}} dt \), který konverguje díky exponenciálnímu poklesu.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
88. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n \ln(n) (\ln(\ln(n))) (\ln(\ln(\ln(n))))^{2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x) (\ln(\ln(\ln x)))^{2}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^e} \).
Integrál \( \int_{e^{e^e}}^\infty \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x) (\ln(\ln(\ln x)))^{2}} dx \).
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)), du = \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x)} dx \).
Integrál přechází na \( \int \frac{1}{u^2} du \), který konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
89. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{2} \ln(\ln n)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{2} \ln(\ln x)} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Integrál \( \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 \ln(\ln x)} dx \).
Substituce \( t = \ln(\ln x), dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Vyjádření integrálu přes \( t \):
\( \int \frac{1}{x (\ln x)^2 t} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x) t} dt \).
Protože \( \ln x = e^t \), máme \( \int \frac{1}{e^t t} dt \), který konverguje díky exponenciálnímu poklesu.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
90. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n))^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^2} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Zvažujeme integrál
\( I = \int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^2} dx \).
Provedeme substituci \( t = \ln(\ln x) \), odkud
\( dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt. \)
Dosadíme do integrálu:
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{x (\ln x) t^2} \cdot x \ln x dt = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{t^2} dt \), kde \( t_0 = \ln(\ln 3) \).
Integrál \( \int_{t_0}^\infty \frac{1}{t^2} dt \) konverguje, protože jde o integrál typu \( \int_{a}^\infty t^{-p} dt \) s \( p = 2 > 1 \).
Tedy integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
91. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^3} \) je kladná a klesající pro \( x \geq e^e \).
Zkoumáme integrál
\( I = \int_2^\infty \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^3} dx \).
Substituce \( t = \ln x \) dává \( dt = \frac{1}{x} dx \), tedy \( dx = x dt \).
Dosadíme do integrálu:
\( I = \int_{\ln 2}^\infty \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^3} dx = \int_{\ln 2}^\infty \frac{\ln(\ln (e^t))}{e^t t^3} \cdot e^t dt = \int_{\ln 2}^\infty \frac{\ln t}{t^3} dt \).
Integrál \( \int_{\ln 2}^\infty \frac{\ln t}{t^3} dt \) konverguje, protože mocnina \( t^{-3} \) dominuje logaritmu, tedy konverguje.
Tedy integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
92. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{1/2} \ln(\ln n)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{1/2} \ln(\ln x)} \) je kladná a klesající pro \( x \geq e^e \).
Integrál k posouzení je
\( I = \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{1/2} \ln(\ln x)} dx \).
Provedeme substituci \( t = \ln(\ln x) \), odkud \( dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Dosadíme:
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{1/2} t} \cdot x \ln x dt = \int_{t_0}^\infty \frac{(\ln x)^{1/2}}{t} dt \).
Jelikož \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow \ln x = e^{t} \), máme
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{e^{t/2}}{t} dt \).
Exponenciální člen \( e^{t/2} \) roste velmi rychle, takže integrál diverguje.
Tedy řada diverguje podle integrálního kritéria.
93. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 (\ln(\ln n))^{1/3}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^{1/3}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Zkoumáme integrál
\( I = \int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^{1/3}} dx \).
Substituce \( t = \ln(\ln x) \) dává \( dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Dosadíme:
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 t^{1/3}} \cdot x \ln x dt = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{(\ln x) t^{1/3}} dt \), kde \( t_0 = \ln(\ln 3) \).
Protože \( \ln x = e^{t} \), integrál je
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{e^{t} t^{1/3}} dt \).
Exponenciální funkce rychle klesá, takže integrál konverguje.
Tedy řada konverguje podle integrálního kritéria.
94. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln n)^2}{n (\ln(\ln n))^4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{(\ln x)^2}{x (\ln(\ln x))^4} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\( I = \int_2^\infty \frac{(\ln x)^2}{x (\ln(\ln x))^4} dx \).
Provedeme substituci \( t = \ln(\ln x) \), kde
\( dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Dosadíme:
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{(\ln x)^2}{x t^4} \cdot x \ln x dt = \int_{t_0}^\infty \frac{(\ln x)^3}{t^4} dt \).
Jelikož \( \ln x = e^{t} \), je integrál
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{e^{3t}}{t^4} dt \).
Exponenciální růst převáží nad polynomem, tedy integrál diverguje.
Tedy řada diverguje podle integrálního kritéria.
95. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))} \) je kladná a klesající pro \( x \) dostatečně velké, např. \( x \geq e^{e^e} \).
Integrál je
\( I = \int_a^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))} dx \), kde \( a = e^{e^e} \).
Provedeme substituce postupně:
Nejprve \( t = \ln(\ln(\ln x)) \) dává
\( dt = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) dt \).
Dosadíme:
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) t} \cdot x \ln x \ln(\ln x) dt = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{t} dt \).
Integrál \( \int_{t_0}^\infty \frac{1}{t} dt \) diverguje (logaritmická divergenc e).
Tedy řada diverguje podle integrálního kritéria.
96. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p} \) konverguje, je-li \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^p} \) je kladná a klesající pro \( x > 1 \).
Zvažujeme integrál
\( I = \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^p} dx \).
Substituce \( t = \ln x \) dává \( dt = \frac{1}{x} dx \), tedy
\( I = \int_{\ln 2}^\infty \frac{1}{t^p} dt \).
Integrál \( \int_{\ln 2}^\infty t^{-p} dt \) konverguje, pokud \( p > 1 \), diverguje jinak.
Tedy řada konverguje právě tehdy, když \( p > 1 \).
97. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 \sqrt{\ln(\ln n)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)}} \) je kladná a klesající pro \( x \geq e^e \).
Integrál
\( I = \int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)}} dx \).
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), takže \( dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Dosadíme:
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{t}} \cdot x \ln x dt = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{\ln x \sqrt{t}} dt \).
Protože \( \ln x = e^t \), je integrál
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{e^t \sqrt{t}} dt \).
Exponenciální člen způsobuje konvergenci integrálu.
Tedy řada konverguje podle integrálního kritéria.
98. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln(\ln n))^3}{n (\ln n)^4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{(\ln(\ln x))^3}{x (\ln x)^4} \) je kladná a klesající pro \( x \geq e^e \).
Integrál k posouzení:
\( I = \int_2^\infty \frac{(\ln(\ln x))^3}{x (\ln x)^4} dx \).
Substituce \( t = \ln x \) dává \( dt = \frac{1}{x} dx \), tedy
\( I = \int_{\ln 2}^\infty \frac{(\ln t)^3}{t^4} dt \).
Integrál konverguje, protože \( t^{-4} \) rychle klesá, převyšuje logaritmickou mocninu.
Tedy řada konverguje podle integrálního kritéria.
99. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln n \sqrt{\ln(\ln n)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln x \sqrt{\ln(\ln x)}} \) je kladná a klesající pro \( x \geq e^e \).
Zvažujeme integrál
\( I = \int_2^\infty \frac{1}{x \ln x \sqrt{\ln(\ln x)}} dx \).
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), \( dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Dosadíme:
\( I = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{x \ln x \sqrt{t}} \cdot x \ln x dt = \int_{t_0}^\infty \frac{1}{\sqrt{t}} dt \).
Integrál \( \int_{t_0}^\infty t^{-1/2} dt \) diverguje (je to \( \int t^{-1/2} dt \) bez omezení).
Tedy řada diverguje podle integrálního kritéria.
100. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{\sin^2\left(\frac{1}{\ln n}\right)}{n (\ln n)^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Řada je zadána členy \( a_n = \frac{\sin^2\left(\frac{1}{\ln n}\right)}{n (\ln n)^3} \). Funkce \( f(x) = \frac{\sin^2\left(\frac{1}{\ln x}\right)}{x (\ln x)^3} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq 3 \).
Pro velká \( x \) využijeme aproximaci \( \sin y \approx y \) pro malé \( y \), takže
\[
\sin^2\left(\frac{1}{\ln x}\right) \sim \frac{1}{(\ln x)^2}.
\]
Tedy přibližně
\[
f(x) \sim \frac{1}{x (\ln x)^3} \cdot \frac{1}{(\ln x)^2} = \frac{1}{x (\ln x)^5}.
\]
Budeme zkoumat integrál
\[
\int_3^\infty \frac{\sin^2\left(\frac{1}{\ln x}\right)}{x (\ln x)^3} \, dx.
\]
Protože \( \sin^2(\cdot) \geq 0 \), funkce je kladná a integrand klesá, můžeme použít integrální kritérium. Pro posouzení konvergence integrálu uděláme substituci
\[
t = \ln x, \quad dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt.
\]
Vyjádříme integrál přes \( t \):
\[
\int_{\ln 3}^\infty \frac{\sin^2\left(\frac{1}{t}\right)}{t^3} \, dt.
\]
Při \( t \to \infty \) platí aproximace \( \sin^2\left(\frac{1}{t}\right) \sim \frac{1}{t^2} \), takže integrand chová jako
\[
\frac{1}{t^3} \cdot \frac{1}{t^2} = \frac{1}{t^5}.
\]
Integrál \( \int_{\ln 3}^\infty \frac{1}{t^5} dt \) konverguje (protože exponent 5 > 1), tedy i náš původní integrál konverguje.
Z integrálního kritéria tedy vyplývá, že řada konverguje.
101. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{p} \sqrt{\ln(\ln n)}} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkoumáme řadu \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p \sqrt{\ln(\ln n)}} \), kde \( p > 1 \). Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^p \sqrt{\ln(\ln x)}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \) dost velké.
Posoudíme konvergenci podle integrálního kritéria, tedy integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^p \sqrt{\ln(\ln x)}} \, dx.
\]
Substituce
\[
t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrand přes \( t \):
\[
\frac{1}{x (\ln x)^p \sqrt{t}} dx = \frac{1}{x (\ln x)^p \sqrt{t}} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{(\ln x)^{p-1} \sqrt{t}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{t} \), dostáváme
\[
\int_{\ln(\ln 2)}^\infty \frac{1}{e^{t(p-1)} \sqrt{t}} dt.
\]
Pro \( p > 1 \) exponent \( p-1 > 0 \), takže integrand exponenciálně klesá a integrál konverguje.
Z toho plyne, že podle integrálního kritéria řada konverguje.
102. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)(\ln(\ln n))^p} \), kde \( p \in \mathbb{R} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zadána je řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)(\ln(\ln n))^p} \). Definujeme funkci
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)(\ln(\ln x))^p}.
\]
Funkce je kladná, spojitá a klesající na vhodném intervalu.
Integrál k posouzení konvergence:
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)(\ln(\ln x))^p} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Vyjádříme integrand:
\[
\frac{1}{x (\ln x) t^p} dx = \frac{1}{x (\ln x) t^p} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{t^p} dt.
\]
Integrál přechází na
\[
\int_{\ln(\ln 2)}^\infty \frac{1}{t^p} dt.
\]
Integrál konverguje, pokud \( p > 1 \), diverguje pokud \( p \leq 1 \).
Podle integrálního kritéria tedy řada konverguje, pokud \( p > 1 \), a diverguje jinak.
103. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 \ln(\ln n) \ln(\ln(\ln n))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x))}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \) velké.
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x))} dx.
\]
Substituce
\[
u = \ln(\ln(\ln x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(\ln x) \ln x x} dx.
\]
Integrand lze napsat jako
\[
\frac{1}{x (\ln x)^2 \ln(\ln x) u} dx = \frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{u} dx.
\]
Pomocí substituce
\[
dx = x \ln x \ln(\ln x) du,
\]
dostáváme
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 \ln(\ln x) u} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{u} \cdot x \ln x \ln(\ln x) du = \int \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{u} du.
\]
Další substituce
\[
t = \ln(\ln x),
\]
tedy
\[
\ln x = e^{t}.
\]
Integrál tak přechází na tvar
\[
\int \frac{1}{e^{t}} \cdot \frac{1}{u} du,
\]
kde \( u = \ln t \).
Exponenciální pokles integrandu zajišťuje konvergenci integrálu a tedy i řady.
104. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{3/2} \ln(\ln n)^{1/3}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Posuzujeme řadu
\[
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{3/2} (\ln(\ln n))^{1/3}}.
\]
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{3/2} (\ln(\ln x))^{1/3}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro dost velké \( x \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{3/2} (\ln(\ln x))^{1/3}} dx.
\]
Substituce
\[
t = \ln(\ln x), \quad dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrand:
\[
\frac{1}{x (\ln x)^{3/2} t^{1/3}} dx = \frac{1}{x (\ln x)^{3/2} t^{1/3}} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{(\ln x)^{1/2} t^{1/3}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{t} \), integrál má tvar
\[
\int_{\ln(\ln 2)}^\infty \frac{1}{e^{t/2} t^{1/3}} dt,
\]
který konverguje díky exponenciálnímu faktoru.
Řada tedy konverguje podle integrálního kritéria.
105. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))^p} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^p}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro dost velké \( x \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^p} dx.
\]
Substituce
\[
u = \ln(\ln(\ln x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(\ln x) \ln x x} dx,
\]
tedy
\[
dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Vyjádříme integrand v proměnné \( u \):
\[
\frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) u^p} dx = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) u^p} \cdot x \ln x \ln(\ln x) du = \frac{1}{u^p} du.
\]
Integrál je tedy
\[
\int_{\ln(\ln(\ln 2))}^\infty \frac{1}{u^p} du,
\]
který konverguje právě tehdy, když \( p > 1 \).
Podle integrálního kritéria řada konverguje, pokud \( p > 1 \), jinak diverguje.
106. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p} \), kde \( p = 1 \) a kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^p}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x > 1 \).
Podíváme se na integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^p} dx.
\]
Substituce
\[
t = \ln x, \quad dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt.
\]
Vyjádření integrálu:
\[
\int_{\ln 2}^\infty \frac{1}{t^p} dt.
\]
Integrál konverguje, pokud \( p > 1 \), a diverguje, pokud \( p \leq 1 \).
Tedy řada konverguje pro \( p > 1 \), diverguje pro \( p = 1 \).
107. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)(\ln(\ln n))^p} \), kde \( p = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)(\ln(\ln x))^p},
\]
kde \( p=1 \), je kladná, spojitá a klesající.
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)(\ln(\ln x))} dx.
\]
Substituce
\[
t = \ln(\ln x), \quad dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádření integrandu:
\[
\frac{1}{x (\ln x) t} dx = \frac{1}{x (\ln x) t} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{t} dt.
\]
Integrál je
\[
\int_{\ln(\ln 2)}^\infty \frac{1}{t} dt,
\]
což diverguje (logaritmicky).
Řada tedy diverguje pro \( p=1 \).
108. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p \ln(\ln n)} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zvažujeme řadu
\[
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p \ln(\ln n)}.
\]
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^p \ln(\ln x)},
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \) velké.
Integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^p \ln(\ln x)} dx
\]
bude posuzován pomocí substituce
\[
t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrand vyjádříme jako
\[
\frac{1}{x (\ln x)^p t} dx = \frac{1}{x (\ln x)^p t} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{(\ln x)^{p-1} t} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), integrál přechází na
\[
\int_{\ln(\ln 2)}^\infty \frac{1}{e^{t(p-1)} t} dt.
\]
Pro \( p > 1 \) exponenciální faktor zajišťuje konvergenci integrálu.
Řada tedy konverguje.
109. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n))) (\ln(\ln(\ln(\ln n))))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x))) (\ln(\ln(\ln(\ln x))))}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \) velké.
Posuzujeme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x))) (\ln(\ln(\ln(\ln x))))} dx.
\]
Učiníme postupné substituce:
\[
u = \ln(\ln(\ln(\ln x))) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(\ln(\ln x)) \ln(\ln x) \ln x x} dx,
\]
tedy
\[
dx = x \ln x \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x)) du.
\]
Vyjádření integrandu:
\[
\frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x))) u} dx = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x))) u} \cdot x \ln x \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x)) du = \frac{1}{u} du.
\]
Integrál je tedy
\[
\int_{\ln(\ln(\ln(\ln 3)))}^\infty \frac{1}{u} du,
\]
což diverguje (logaritmicky).
Řada tedy diverguje.
110. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{2} \sqrt{\ln(\ln n)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme konvergenci integrálu
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)}} \, dx.
\]
Provedeme substituci \( t = \ln(\ln x) \). Potom
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \quad \Rightarrow \quad dx = x \ln x \, dt.
\]
Vyjádříme integrand přes \( t \):
\[
\frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{t}} dx = \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{t}} \cdot x \ln x \, dt = \frac{1}{(\ln x) \sqrt{t}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{t} \), integrál se přepíše na
\[
\int_{\ln(\ln 3)}^\infty \frac{1}{e^{t} \sqrt{t}} dt.
\]
Funkce \( \frac{1}{e^{t} \sqrt{t}} \) klesá rychleji než \( \frac{1}{e^{t}} \), což je exponenciálně klesající funkce. Tento integrál tedy konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
111. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{p} \ln(\ln n)} \) konverguje, pokud \( p = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^p \ln(\ln x)} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zaměříme se na integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^p \ln(\ln x)} \, dx,
\]
kde \( p = 1 \).
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \), tedy \( dx = x \ln x \, dt \).
Integrand lze přepsat jako
\[
\frac{1}{x (\ln x)^p t} dx = \frac{1}{x (\ln x) t} dx = \frac{1}{x \ln x t} dx.
\]
Po dosazení za \( dx \) dostáváme
\[
\frac{1}{x \ln x t} \cdot x \ln x \, dt = \frac{1}{t} dt.
\]
Integrál se redukuje na
\[
\int_{\ln(\ln 2)}^\infty \frac{1}{t} dt,
\]
což je divergentní integrál (logaritmický divergencí).
Proto integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje podle integrálního kritéria.
112. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{2} (\ln(\ln n))^p} \) pro \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^p} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zvažujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^p} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \), tedy \( dx = x \ln x \, dt \).
Přepíšeme integrand přes \( t \):
\[
\frac{1}{x (\ln x)^2 t^p} dx = \frac{1}{x (\ln x)^2 t^p} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{(\ln x) t^p} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{t} \), integrál se přepíše na
\[
\int_{\ln(\ln 2)}^\infty \frac{1}{e^{t} t^p} dt.
\]
Funkce \( \frac{1}{e^{t} t^p} \) klesá rychle, proto integrál konverguje pro libovolné \( p \in \mathbb{R} \), zejména pro \( p > 1 \).
Integrál tedy konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
113. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))^{p}} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{p}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro dostatečně velké \( x \), například \( x \geq e^{e^{e}} \).
Uvažujeme integrál
\[
\int_{e^{e^{e}}}^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{p}} dx.
\]
Provedeme substituci \( u = \ln(\ln(\ln x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(\ln x) \ln x x} dx \), tedy
\[
dx = x \ln x \ln(\ln x) \, du.
\]
Přepíšeme integrand přes \( u \):
\[
\frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) u^{p}} dx = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) u^{p}} \cdot x \ln x \ln(\ln x) du = \frac{1}{u^{p}} du.
\]
Integrál se tedy redukuje na
\[
\int_{\ln(\ln(\ln e^{e^{e}}))}^\infty \frac{1}{u^{p}} du.
\]
Pro \( p > 1 \) je tento integrál konvergentní (integrál \(\int_a^\infty u^{-p} du\) konverguje pro \( p > 1 \)).
Tedy integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
114. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p \sqrt{\ln(\ln n)}} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^p \sqrt{\ln(\ln x)}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Uvažujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^p \sqrt{\ln(\ln x)}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Integrand přepíšeme přes \( t \):
\[
\frac{1}{x (\ln x)^p \sqrt{t}} dx = \frac{1}{x (\ln x)^p \sqrt{t}} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{(\ln x)^{p-1} \sqrt{t}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{t} \), integrál má tvar
\[
\int_{\ln(\ln 2)}^\infty \frac{1}{e^{t(p-1)} \sqrt{t}} dt.
\]
Pro \( p > 1 \) exponenciální část v jmenovateli zajišťuje konvergenci integrálu, i když je zde ještě pomalejší \(\sqrt{t}\).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
115. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{p} (\ln(\ln n))^{q}} \), kde \( p = 1 \) a \( q > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{p} (\ln(\ln x))^{q}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Uvažujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{p} (\ln(\ln x))^{q}} dx
\]
s \( p=1 \), \( q>1 \).
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Integrand vyjádříme přes \( t \):
\[
\frac{1}{x (\ln x)^p t^q} dx = \frac{1}{x \ln x t^q} dx = \frac{1}{x \ln x t^q} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{t^q} dt.
\]
Integrál se tedy redukuje na
\[
\int_{\ln(\ln 2)}^\infty \frac{1}{t^q} dt,
\]
který konverguje pro \( q > 1 \).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
116. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n))) (\ln(\ln(\ln(\ln n))))^{p}} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x))) (\ln(\ln(\ln(\ln x))))^{p}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro dostatečně velké \( x \), například \( x \geq e^{e^{e^{e}}} \).
Uvažujeme integrál
\[
\int_{e^{e^{e^{e}}}}^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x))) (\ln(\ln(\ln(\ln x))))^{p}} dx.
\]
Provedeme substituci \( v = \ln(\ln(\ln(\ln x))) \Rightarrow dv = \frac{1}{\ln(\ln(\ln x)) \ln(\ln x) \ln x x} dx \), tedy
\[
dx = x \ln x \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x)) dv.
\]
Přepíšeme integrand přes \( v \):
\[
\frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x))) v^{p}} dx = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x))) v^{p}} \cdot x \ln x \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x)) dv = \frac{1}{v^{p}} dv.
\]
Integrál se tedy redukuje na
\[
\int_{\ln(\ln(\ln(\ln(e^{e^{e^{e}}})))}^\infty \frac{1}{v^{p}} dv,
\]
který konverguje pro \( p > 1 \).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
117. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p \ln(\ln n) \ln(\ln(\ln n))} \), kde \( p > 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^p \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x))}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Uvažujeme integrál
\[
\int_{e^{e^{e}}}^\infty \frac{1}{x (\ln x)^p \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x))} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(\ln x) \ln x x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du \).
Integrand přepíšeme přes \( u \):
\[
\frac{1}{x (\ln x)^p \ln(\ln x) u} dx = \frac{1}{x (\ln x)^p \ln(\ln x) u} \cdot x \ln x \ln(\ln x) du = \frac{1}{(\ln x)^{p-1} u} du.
\]
Protože \( \ln x = e^{e^{u}} \), tedy \( (\ln x)^{p-1} = (e^{e^{u}})^{p-1} = e^{(p-1)e^{u}} \), integrál je
\[
\int_{\ln(\ln(\ln(e^{e^{e}})))}^\infty \frac{1}{e^{(p-1) e^{u}} u} du,
\]
což konverguje díky rychlému růstu exponentu v jmenovateli, pro \( p > 1 \).
Integrál tedy konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
118. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))^{0.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{0.5}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Uvažujeme integrál
\[
\int_{e^{e^{e}}}^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{0.5}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln(\ln x)) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln(\ln x) \ln x x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) dt \).
Integrand přepíšeme přes \( t \):
\[
\frac{1}{x (\ln x)^2 \ln(\ln x) t^{0.5}} dx = \frac{1}{x (\ln x)^2 \ln(\ln x) t^{0.5}} \cdot x \ln x \ln(\ln x) dt = \frac{1}{(\ln x) t^{0.5}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{e^{t}} \), integrál má tvar
\[
\int_{\ln(\ln(\ln(e^{e^{e}})))}^\infty \frac{1}{e^{e^{t}} t^{0.5}} dt,
\]
který konverguje díky exponenciálnímu růstu v jmenovateli.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
119. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n))^{p}} \), kde \( p = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{p}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{p}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x \cdot x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Přepíšeme integrand:
\[
\frac{1}{x (\ln x) t^{p}} dx = \frac{1}{x (\ln x) t^{p}} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{t^{p}} dt.
\]
Integrál tedy přechází na
\[
\int_{\ln(\ln 2)}^\infty \frac{1}{t^{p}} dt,
\]
který konverguje pro \( p > 1 \), divergenci pro \( p = 1 \) potvrzuje fakt, že
\[
\int_1^\infty \frac{1}{t} dt = \infty.
\]
Tedy řada diverguje pro \( p=1 \).
120. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{3/2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{3/2}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq 2 \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{3/2}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt \).
Integrál přepíšeme na
\[
\int_{\ln 2}^\infty \frac{1}{t^{3/2}} dt.
\]
Integrál je typu \( \int_a^\infty \frac{1}{t^p} dt \) s \( p = \frac{3}{2} > 1 \), tedy konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje podle integrálního kritéria.
121. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n))^{2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{2}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_{e^e}^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{2}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x \cdot x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Integrál přepíšeme jako
\[
\int_{\ln e}^\infty \frac{1}{t^{2}} dt,
\]
protože
\[
\frac{1}{x (\ln x) t^{2}} dx = \frac{1}{x (\ln x) t^{2}} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{t^{2}} dt.
\]
Integrál typu \( \int_a^\infty \frac{1}{t^2} dt \) konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
122. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n) \ln(\ln(\ln n))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x))}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_{e^{e^{e}}}^\infty \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x) \ln(\ln(\ln x))} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \Rightarrow du = \frac{1}{\ln(\ln x) \ln x x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du \).
Integrál se změní na
\[
\int_{\ln(\ln(\ln(e^{e^{e}})))}^\infty \frac{1}{u} du,
\]
protože
\[
\frac{1}{x \ln x \ln(\ln x) u} dx = \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x) u} \cdot x \ln x \ln(\ln x) du = \frac{1}{u} du.
\]
Integrál \( \int_a^\infty \frac{1}{u} du \) diverguje.
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
123. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p} \) pro \( 0 < p \leq 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^p} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq 2 \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^p} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt \).
Integrál přepíšeme na
\[
\int_{\ln 2}^\infty \frac{1}{t^p} dt.
\]
Protože \( p \leq 1 \), integrál diverguje (například pro \( p=1 \) jde o integrál \(\int \frac{1}{t} dt\)).
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
124. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 (\ln(\ln n))^{p}} \), kde \( p > 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^{p}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_{e^{e}}^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^{p}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x \cdot x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Integrál přepíšeme jako
\[
\int_{\ln e}^\infty \frac{1}{t^{p} (\ln x)} dt,
\]
protože
\[
\frac{1}{x (\ln x)^2 t^{p}} dx = \frac{1}{x (\ln x)^2 t^{p}} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{t^{p} \ln x} dt.
\]
Substituce \( u = \ln x \Rightarrow u = e^t \), tedy \( \ln x = e^{t} \).
Integrál má tvar
\[
\int_{\ln e}^\infty \frac{1}{t^{p} e^{t}} dt,
\]
který konverguje díky exponenciálnímu růstu v jmenovateli pro všechna \( p > 0 \).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
125. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))^{2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{2}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_{e^{e^{e}}}^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{2}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln(\ln x)) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln(\ln x) \ln x x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) dt \).
Integrál se přepíše na
\[
\int_{\ln(\ln(\ln(e^{e^{e}})))}^\infty \frac{1}{t^{2}} dt,
\]
protože
\[
\frac{1}{x \ln x \ln(\ln x) t^{2}} dx = \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x) t^{2}} \cdot x \ln x \ln(\ln x) dt = \frac{1}{t^{2}} dt.
\]
Integrál \( \int_a^\infty \frac{1}{t^2} dt \) konverguje.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
126. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{2} \sqrt{\ln(\ln n)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{2} \sqrt{\ln(\ln x)}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_{e^{e}}^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{2} \sqrt{\ln(\ln x)}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x \cdot x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Integrál přepíšeme na
\[
\int_{\ln e}^\infty \frac{1}{t^{1/2} \ln x} dt,
\]
protože
\[
\frac{1}{x (\ln x)^{2} t^{1/2}} dx = \frac{1}{x (\ln x)^{2} t^{1/2}} \cdot x \ln x dt = \frac{1}{t^{1/2} \ln x} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{t} \), integrál je
\[
\int_{\ln e}^\infty \frac{1}{t^{1/2} e^{t}} dt,
\]
který konverguje díky exponenciálnímu růstu v jmenovateli.
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
127. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{1/2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{1/2}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq 2 \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{1/2}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt \).
Integrál přepíšeme jako
\[
\int_{\ln 2}^\infty \frac{1}{t^{1/2}} dt,
\]
který diverguje, protože \( \int_a^\infty t^{-1/2} dt = \infty \).
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
128. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n))^{1/2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x \ln x (\ln(\ln x))^{1/2}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_{e^{e}}^\infty \frac{1}{x \ln x (\ln(\ln x))^{1/2}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x \cdot x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Integrál přepíšeme jako
\[
\int_{\ln e}^\infty \frac{1}{t^{1/2}} dt,
\]
který diverguje.
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
129. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^3} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq 2 \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^3} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt \).
Integrál přepíšeme jako
\[
\int_{\ln 2}^\infty \frac{1}{t^3} dt,
\]
který konverguje, protože \( p=3 > 1 \).
Integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
130. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 \sqrt{\ln(\ln n)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Posuzujeme konvergenci integrálu
\[
\int_{3}^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)}} dx.
\]
Provedeme substituci \( t = \ln(\ln x) \), tedy
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Přepíšeme integrál:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{t}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^2 \sqrt{t}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^2 \sqrt{t}} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{\ln x \sqrt{t}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme integrál
\[
\int \frac{1}{e^t \sqrt{t}} dt.
\]
Funkce \( \frac{1}{e^t \sqrt{t}} \) klesá velmi rychle a integrál od \( t = \ln(\ln 3) \) do nekonečna konverguje, protože exponenciální člen \( e^{-t} \) převažuje nad mocninou \( t^{-1/2} \).
Tedy integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
131. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln n}{n (\ln(\ln n))^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln x}{x (\ln(\ln x))^3} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Posuzujeme konvergenci integrálu
\[
\int_2^\infty \frac{\ln x}{x (\ln(\ln x))^3} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál:
\[
\int \frac{\ln x}{x t^3} dx = \int \frac{\ln x}{t^3} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{\ln x}{t^3} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{\ln x}{t^3} \cdot \frac{dt}{dt/dx}.
\]
Lépe přepíšeme přímo:
\[
\int \frac{\ln x}{x t^3} dx = \int \frac{\ln x}{t^3} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{\ln x}{t^3} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{\ln x}{t^3} \cdot \frac{dt}{dt/dx}.
\]
Protože \( dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \), platí \( \frac{dx}{x} = \ln x dt \), tedy:
\[
\int \frac{\ln x}{t^3} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{\ln x}{t^3} \cdot \ln x dt = \int \frac{(\ln x)^2}{t^3} dt.
\]
Využijeme vztah \( \ln x = e^t \), takže integrál je
\[
\int \frac{e^{2t}}{t^3} dt.
\]
Integrál diverguje, protože exponenciála roste rychleji než mocnina klesá. Tudíž integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
132. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)(\ln(\ln n))^{1.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{1.5}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{1.5}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \) dává
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x) t^{1.5}} dx = \int \frac{1}{(\ln x) t^{1.5}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x) t^{1.5}} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{t^{1.5}} dt.
\]
Integrál
\[
\int_{t_0}^\infty \frac{1}{t^{1.5}} dt
\]
je konvergentní, protože \( p = 1.5 > 1 \).
Tedy integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
133. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \), tedy \( dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt \).
Vyjádříme integrál:
\[
\int \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2} dx = \int \frac{\ln(\ln x)}{(\ln x)^2} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{\ln(\ln x)}{t^2} dt.
\]
Dále \( \ln(\ln x) = \ln t \), takže integrál je
\[
\int \frac{\ln t}{t^2} dt.
\]
Pro vyhodnocení tohoto integrálu použijeme per partes:
\[
\int \frac{\ln t}{t^2} dt.
\]
Nechť \( u = \ln t \), \( dv = t^{-2} dt \), pak \( du = \frac{1}{t} dt \), \( v = -t^{-1} \).
Pak
\[
\int \frac{\ln t}{t^2} dt = -\frac{\ln t}{t} + \int \frac{1}{t^2} dt = -\frac{\ln t}{t} – \frac{1}{t} + C.
\]
Při limitě \( t \to \infty \) oba členy jdou k nule, integrál tedy konverguje.
Tedy integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
134. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{1.5} (\ln(\ln n))^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} (\ln(\ln x))^2} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} (\ln(\ln x))^2} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \Rightarrow dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt \).
Integrál přepíšeme na
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} t^2} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^{1.5} t^2} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^{1.5} t^2} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.5} t^2} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), integrál je
\[
\int \frac{1}{e^{0.5 t} t^2} dt.
\]
Exponenciální člen v jmenovateli zajišťuje konvergenci integrálu na intervalu \( [t_0, \infty) \).
Tedy integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
135. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln(\ln n))^2}{n (\ln n)^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{(\ln(\ln x))^2}{x (\ln x)^3} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{(\ln(\ln x))^2}{x (\ln x)^3} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt \).
Integrál přepíšeme na
\[
\int \frac{(\ln(\ln x))^2}{x (\ln x)^3} dx = \int \frac{(\ln(\ln x))^2}{t^3} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{(\ln(\ln x))^2}{t^3} dt.
\]
Protože \( \ln(\ln x) = \ln t \), máme
\[
\int \frac{(\ln t)^2}{t^3} dt.
\]
Integrál konverguje, protože mocnina v jmenovateli je dostatečně silná (silnější než \( \frac{1}{t^2} \)) a logaritmické činitele nevadí.
Tedy integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
136. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^2}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro dostatečně velká \( x \), například \( x \geq e^{e^e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_{e^{e^e}}^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^2} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), potom
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Integrál se tedy přepíše jako
\[
\int \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) u^2} dx = \int \frac{1}{u^2} du.
\]
Integrál
\[
\int_{u_0}^\infty \frac{1}{u^2} du
\]
konverguje, protože \( p=2 > 1 \).
Tedy integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
137. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{0.9} (\ln(\ln n))^{0.9}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{0.9} (\ln(\ln x))^{0.9}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{0.9} (\ln(\ln x))^{0.9}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^{0.9} t^{0.9}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.9} t^{0.9}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.9} t^{0.9}} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.9 – 1} t^{0.9}} dt = \int \frac{1}{(\ln x)^{-0.1} t^{0.9}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme
\[
\int \frac{e^{0.1 t}}{t^{0.9}} dt,
\]
což diverguje, protože exponenciální růst převažuje.
Tedy integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
138. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))^{1.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{1.5}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^e} \).
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \) dává
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) u^{1.5}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^2 (\ln(\ln x)) u^{1.5}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^2 (\ln(\ln x)) u^{1.5}} \cdot \ln x \ln(\ln x) du = \int \frac{1}{(\ln x) u^{1.5}} du.
\]
Protože \( \ln x = e^{e^u} \) roste extrémně rychle, člen \( \frac{1}{\ln x} \) rychle klesá a integrál konverguje.
Tedy řada konverguje.
139. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln(\ln(\ln n)))^2}{n (\ln n)^3 (\ln(\ln n))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{(\ln(\ln(\ln x)))^2}{x (\ln x)^3 (\ln(\ln x))}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^e} \).
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), \( u = \ln(\ln(\ln x)) \).
Pomocí substituce \( t \) máme
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál se pak přepíše:
\[
\int \frac{u^2}{x (\ln x)^3 t} dx = \int \frac{u^2}{(\ln x)^3 t} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{u^2}{(\ln x)^3 t} \cdot \ln x dt = \int \frac{u^2}{(\ln x)^2 t} dt.
\]
Protože \( u = \ln t \), máme
\[
\int \frac{(\ln t)^2}{e^{2t} t} dt,
\]
který konverguje.
Tedy řada konverguje.
140. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{1.5} (\ln(\ln n))^{0.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} (\ln(\ln x))^{0.5}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} (\ln(\ln x))^{0.5}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \) dává
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál v proměnné \( t \):
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} t^{0.5}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^{1.5} t^{0.5}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^{1.5} t^{0.5}} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.5} t^{0.5}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), dostáváme
\[
\int \frac{1}{e^{0.5 t} t^{0.5}} dt.
\]
Integrál konverguje, protože exponenciální člen v jmenovateli způsobuje rychlý pokles integrandu.
Tedy integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
141. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \) dává
\[
dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt.
\]
Integrál se přepíše na
\[
\int \frac{\ln(\ln x)}{x t^2} dx = \int \frac{\ln(\ln x)}{t^2} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{\ln(\ln x)}{t^2} dt.
\]
Protože \( \ln(\ln x) = \ln t \), máme
\[
\int \frac{\ln t}{t^2} dt.
\]
Integrál konverguje, protože \( \frac{\ln t}{t^2} \) klesá dostatečně rychle pro konvergenci integrálu na nekonečnu.
Tedy řada konverguje.
142. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n))^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^2} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^2} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \) dává
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme na
\[
\int \frac{1}{x (\ln x) t^2} dx = \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{1}{t^2} dt,
\]
protože \( \frac{dx}{x \ln x} = dt \).
Integrál \( \int \frac{1}{t^2} dt \) konverguje.
Tedy řada konverguje.
143. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\sqrt{\ln(\ln n)}}{n (\ln n)^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\sqrt{\ln(\ln x)}}{x (\ln x)^2} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{\sqrt{\ln(\ln x)}}{x (\ln x)^2} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \) dává
\[
dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt.
\]
Integrál se přepíše na
\[
\int \frac{\sqrt{\ln(\ln x)}}{x t^2} dx = \int \frac{\sqrt{\ln(\ln x)}}{t^2} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{\sqrt{\ln(\ln x)}}{t^2} dt.
\]
Protože \( \ln(\ln x) = \ln t \), máme
\[
\int \frac{\sqrt{\ln t}}{t^2} dt.
\]
Integrál konverguje, protože výraz v jmenovateli klesá rychleji než \( \frac{1}{t^{1.5}} \) a logaritmická funkce roste velmi pomalu.
Tedy řada konverguje.
144. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3 \sqrt{\ln(\ln n)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^3 \sqrt{\ln(\ln x)}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^3 \sqrt{\ln(\ln x)}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \) dává
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^3 t^{0.5}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^3 t^{0.5}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^3 t^{0.5}} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t^{0.5}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), dostáváme
\[
\int \frac{1}{e^{2t} t^{0.5}} dt,
\]
který konverguje díky rychlému poklesu exponenciální funkce.
Tedy řada konverguje.
145. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^{1.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^{1.5}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^{1.5}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \) dává
\[
dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{\ln(\ln x)}{x t^{1.5}} dx = \int \frac{\ln(\ln x)}{t^{1.5}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{\ln(\ln x)}{t^{1.5}} dt.
\]
Protože \( \ln(\ln x) = \ln t \), máme
\[
\int \frac{\ln t}{t^{1.5}} dt,
\]
který konverguje.
Tedy řada konverguje.
146. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n))^{1.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{1.5}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{1.5}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \) dává
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x) t^{1.5}} dx = \int \frac{1}{t^{1.5}} \cdot \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{1}{t^{1.5}} dt,
\]
který konverguje.
Tedy řada konverguje.
147. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln(\ln n))^2}{n (\ln n)^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{(\ln(\ln x))^2}{x (\ln x)^3} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{(\ln(\ln x))^2}{x (\ln x)^3} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \) dává
\[
dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt.
\]
Integrál se přepíše na
\[
\int \frac{(\ln(\ln x))^2}{x t^3} dx = \int \frac{(\ln(\ln x))^2}{t^3} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{(\ln(\ln x))^2}{t^3} dt.
\]
Protože \( \ln(\ln x) = \ln t \), máme
\[
\int \frac{(\ln t)^2}{t^3} dt,
\]
který konverguje.
Tedy řada konverguje.
148. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{0.9} (\ln(\ln n))^{2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{0.9} (\ln(\ln x))^{2}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{0.9} (\ln(\ln x))^{2}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \) dává
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^{0.9} t^{2}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.9} t^{2}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.9} t^{2}} \cdot \ln x dt = \int \frac{(\ln x)^{0.1}}{t^{2}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme
\[
\int \frac{e^{0.1 t}}{t^{2}} dt,
\]
který diverguje, protože exponenciální funkce roste příliš rychle.
Tedy integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
149. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{2} (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))} dx.
\]
Nejprve substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \) dává
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) u} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^2 (\ln(\ln x)) u} \cdot \frac{dx}{x}.
\]
Z původního vztahu pro \( du \) vyjádříme
\[
\frac{dx}{x} = \frac{du}{\frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x}} = \ln x \ln(\ln x) du,
\]
tedy
\[
\int \frac{1}{(\ln x)^2 (\ln(\ln x)) u} \cdot \ln x \ln(\ln x) du = \int \frac{1}{\ln x \cdot u} du.
\]
Protože \( \ln x = e^{e^{u}} \), máme
\[
\int \frac{1}{e^{e^{u}} u} du,
\]
což konverguje díky rychlému růstu exponentu.
Tedy řada konverguje.
150. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 \sqrt{\ln(\ln n)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \) dává
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 t^{0.5}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t^{0.5}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t^{0.5}} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x) t^{0.5}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), dostáváme
\[
\int \frac{1}{e^t t^{0.5}} dt,
\]
který konverguje díky rychlému poklesu exponenciální funkce.
Tedy řada konverguje.
151. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln(\ln n))^3}{n (\ln n)^4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{(\ln(\ln x))^3}{x (\ln x)^4} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{(\ln(\ln x))^3}{x (\ln x)^4} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \), \( dt = \frac{1}{x} dx \), tedy \( dx = x dt \).
Integrál se přepíše na
\[
\int \frac{(\ln(\ln x))^3}{x t^4} dx = \int \frac{(\ln(\ln x))^3}{t^4} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{(\ln(\ln x))^3}{t^4} dt.
\]
Protože \( \ln(\ln x) = \ln t \), dostáváme
\[
\int \frac{(\ln t)^3}{t^4} dt,
\]
který konverguje, protože mocnina logaritmu nemůže překonat rychlý pokles \( t^{-4} \).
Tedy řada konverguje.
152. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n))^{0.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{0.5}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{0.5}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \) dává
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x) t^{0.5}} dx = \int \frac{1}{t^{0.5}} \cdot \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{1}{t^{0.5}} dt.
\]
Integrál \( \int_?^\infty t^{-0.5} dt \) diverguje (jelikož \( p = 0.5 \leq 1 \)).
Tedy integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
153. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3 (\ln(\ln n))^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^3 (\ln(\ln x))^2} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^3 (\ln(\ln x))^2} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \) dává
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^3 t^2} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^3 t^2} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^3 t^2} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t^2} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme
\[
\int \frac{1}{e^{2t} t^2} dt,
\]
který konverguje díky rychlému poklesu exponenciály.
Tedy řada konverguje.
154. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\sqrt{\ln(\ln n)}}{n (\ln n)^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\sqrt{\ln(\ln x)}}{x (\ln x)^2} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{\sqrt{\ln(\ln x)}}{x (\ln x)^2} dx.
\]
Substituce \( t = \ln x \), \( dt = \frac{1}{x} dx \), tedy \( dx = x dt \).
Integrál přepíšeme jako
\[
\int \frac{\sqrt{\ln(\ln x)}}{x t^2} dx = \int \frac{\sqrt{\ln(\ln x)}}{t^2} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{\sqrt{\ln(\ln x)}}{t^2} dt.
\]
Protože \( \ln(\ln x) = \ln t \), máme
\[
\int \frac{\sqrt{\ln t}}{t^2} dt,
\]
který konverguje.
Tedy řada konverguje.
155. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(\ln(\ln n))}{n (\ln n)^2 (\ln(\ln n))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(\ln(\ln x))}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_{e^{e^{e}}}^\infty \frac{\ln(\ln(\ln x))}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme jako
\[
\int \frac{\ln(\ln(\ln x))}{x (\ln x)^2 t} dx = \int \frac{\ln(\ln t)}{(\ln x)^2 t} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{\ln(\ln t)}{(\ln x)^2 t} \cdot \ln x dt = \int \frac{\ln(\ln t)}{\ln x \cdot t} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{t} \), máme
\[
\int \frac{\ln(\ln t)}{e^{t} t} dt,
\]
který konverguje.
Tedy řada konverguje.
156. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))^{2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{2}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{2}} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), pak
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Integrál přepíšeme jako
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 t u^2} dx,
\]
kde \( t = \ln(\ln x) \).
Použijeme vztah pro \( dx \), dostáváme
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 t u^2} \cdot x \ln x t du = \int \frac{1}{(\ln x) u^2} du.
\]
Protože \( \ln x = e^{e^{u}} \), máme
\[
\int \frac{1}{e^{e^{u}} u^{2}} du,
\]
což konverguje velmi rychle díky dvojitému exponenciálnímu poklesu.
Tedy řada konverguje.
157. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \sqrt{\ln n} (\ln(\ln n))^{3}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln x} (\ln(\ln x))^{3}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x \sqrt{\ln x} (\ln(\ln x))^{3}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^{0.5} t^{3}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.5} t^{3}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.5} t^{3}} \cdot \ln x dt = \int \frac{\sqrt{\ln x}}{t^{3}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{t} \), máme
\[
\int \frac{e^{t/2}}{t^{3}} dt,
\]
což diverguje, protože exponenciála roste příliš rychle.
Tedy řada diverguje.
158. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{1.5} (\ln(\ln n))^{0.8}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} (\ln(\ln x))^{0.8}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Posuzujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} (\ln(\ln x))^{0.8}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme jako
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^{1.5} t^{0.8}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^{1.5} t^{0.8}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^{1.5} t^{0.8}} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.5} t^{0.8}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{t} \), máme
\[
\int \frac{1}{e^{0.5 t} t^{0.8}} dt,
\]
který konverguje díky exponenciálnímu poklesu.
Tedy řada konverguje.
159. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^2 (\ln(\ln(\ln n)))^{1.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln(\ln x)))^{1.5}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Zkoumáme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln(\ln x)))^{1.5}} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), pak
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Integrál přepíšeme jako
\[
\int \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2 t u^{1.5}} dx,
\]
kde \( t = \ln(\ln x) \).
Použijeme vztah pro \( dx \), dostáváme
\[
\int \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2 t u^{1.5}} \cdot x \ln x t du = \int \frac{\ln(\ln x)}{\ln x u^{1.5}} du.
\]
Protože \( \ln x = e^{e^{u}} \) a \( \ln(\ln x) = e^{u} \), máme
\[
\int \frac{e^{u}}{e^{e^{u}} u^{1.5}} du,
\]
což konverguje velmi rychle díky dvojitému exponenciálnímu poklesu.
Tedy řada konverguje.
160. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3 (\ln(\ln n))^{2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^3 (\ln(\ln x))^{2}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^3 (\ln(\ln x))^{2}} dx.
\]
Uvažujeme substituci \( t = \ln(\ln x) \), potom
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t \):
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^3 t^2} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^3 t^2} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^3 t^2} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t^2} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), integrál má tvar
\[
\int \frac{1}{e^{2t} t^2} dt,
\]
který konverguje díky rychlému poklesu exponenciály.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
161. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^{2.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^{2.5}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Studujeme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^{2.5}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Integrál přepíšeme jako
\[
\int \frac{\ln t}{x (\ln x)^{2.5}} dx = \int \frac{\ln t}{(\ln x)^{2.5}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{\ln t}{(\ln x)^{2.5}} \cdot \ln x dt = \int \frac{\ln t}{(\ln x)^{1.5}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme
\[
\int \frac{\ln t}{e^{1.5 t}} dt,
\]
který konverguje, jelikož exponenciální funkce v jmenovateli roste rychleji než \( \ln t \).
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
162. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n))^{3} \sqrt{\ln(\ln(\ln n))}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{3} \sqrt{\ln(\ln(\ln x))}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^{3} \sqrt{\ln(\ln(\ln x))}} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), pak
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Integrál přepíšeme jako
\[
\int \frac{1}{x (\ln x) t^{3} \sqrt{u}} dx,
\]
kde \( t = \ln(\ln x) \).
Použijeme výraz pro \( dx \):
\[
\int \frac{1}{x (\ln x) t^{3} \sqrt{u}} \cdot x \ln x t du = \int \frac{t}{t^{3} \sqrt{u}} du = \int \frac{1}{t^{2} \sqrt{u}} du.
\]
Protože \( t = e^{u} \), máme
\[
\int \frac{1}{e^{2u} \sqrt{u}} du,
\]
který konverguje díky rychlému poklesu exponenciály.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
163. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^2 \sqrt{\ln(\ln(\ln n))}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln(\ln x))}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln(\ln x))}} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), tedy
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Integrál přepíšeme jako
\[
\int \frac{t}{x (\ln x)^2 \sqrt{u}} dx,
\]
kde \( t = \ln(\ln x) \).
Použijeme výraz pro \( dx \):
\[
\int \frac{t}{x (\ln x)^2 \sqrt{u}} \cdot x \ln x t du = \int \frac{t^2}{\ln x \sqrt{u}} du.
\]
Protože \( \ln x = e^{e^{u}} \) a \( t = e^{u} \), dostáváme
\[
\int \frac{e^{2u}}{e^{e^{u}} \sqrt{u}} du,
\]
který konverguje velmi rychle díky dvojité exponenciální funkci v jmenovateli.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
164. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^{1.2} (\ln(\ln n))^{1.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{1.2} (\ln(\ln x))^{1.5}} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Studujeme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x)^{1.2} (\ln(\ln x))^{1.5}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t \):
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^{1.2} t^{1.5}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^{1.2} t^{1.5}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^{1.2} t^{1.5}} \cdot \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x)^{0.2} t^{1.5}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), integrál má tvar
\[
\int \frac{1}{e^{0.2 t} t^{1.5}} dt,
\]
který konverguje díky exponenciálnímu poklesu.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
165. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln n (\ln(\ln n))^{0.5} (\ln(\ln(\ln n)))^{2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x \ln x (\ln(\ln x))^{0.5} (\ln(\ln(\ln x)))^{2}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x \ln x (\ln(\ln x))^{0.5} (\ln(\ln(\ln x)))^{2}} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), tedy
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Přepíšeme integrál:
\[
\int \frac{1}{x \ln x t^{0.5} u^{2}} dx,
\]
kde \( t = \ln(\ln x) \).
Dosadíme \( dx \):
\[
\int \frac{1}{x \ln x t^{0.5} u^{2}} \cdot x \ln x t du = \int \frac{t}{t^{0.5} u^{2}} du = \int \frac{t^{0.5}}{u^{2}} du.
\]
Protože \( t = e^{e^u} \), tedy \( t^{0.5} = e^{0.5 e^u} \), integrál se chová jako
\[
\int \frac{e^{0.5 e^{u}}}{u^{2}} du,
\]
což divergenci neposkytuje, protože exponent roste příliš rychle a není omezující.
Integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
166. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln(\ln n))^2}{n (\ln n)^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{(\ln(\ln x))^2}{x (\ln x)^3} \) je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{(\ln(\ln x))^2}{x (\ln x)^3} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t \):
\[
\int \frac{t^2}{x (\ln x)^3} dx = \int \frac{t^2}{(\ln x)^3} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{t^2}{(\ln x)^3} \cdot \ln x dt = \int \frac{t^2}{(\ln x)^2} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^{t} \), máme
\[
\int \frac{t^2}{e^{2t}} dt,
\]
což konverguje díky rychlému poklesu exponenciály.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
167. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))^{1.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{1.5}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{1.5}} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), pak
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Integrál přepíšeme jako
\[
\int \frac{1}{x \ln x t u^{1.5}} dx,
\]
kde \( t = \ln(\ln x) \).
Dosadíme \( dx \):
\[
\int \frac{1}{x \ln x t u^{1.5}} \cdot x \ln x t du = \int \frac{1}{u^{1.5}} du,
\]
který konverguje, protože integrál
\[
\int_a^\infty u^{-1.5} du
\]
konverguje pro \( a > 0 \).
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
168. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 (\ln(\ln n)) (\ln(\ln(\ln n)))^{0.8}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{0.8}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x)) (\ln(\ln(\ln x)))^{0.8}} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), tedy
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Přepíšeme integrál:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 t u^{0.8}} dx,
\]
kde \( t = \ln(\ln x) \).
Dosadíme \( dx \):
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 t u^{0.8}} \cdot x \ln x t du = \int \frac{1}{\ln x u^{0.8}} du.
\]
Protože \( \ln x = e^{e^{u}} \), máme
\[
\int \frac{1}{e^{e^{u}} u^{0.8}} du,
\]
který konverguje díky rychlému růstu exponentu.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
169. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln(\ln n))^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^3}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Studujeme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x) (\ln(\ln x))^3} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t \):
\[
\int \frac{1}{x (\ln x) t^3} dx = \int \frac{1}{t^3} \cdot \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{1}{t^3} dt,
\]
který konverguje, protože integrál
\[
\int_a^\infty t^{-3} dt
\]
konverguje pro \( a > 0 \).
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
170. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3 \sqrt{\ln(\ln n)}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^3 \sqrt{\ln(\ln x)}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Studujeme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x)^3 \sqrt{\ln(\ln x)}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), tedy
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t \):
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^3 \sqrt{t}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^3 \sqrt{t}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^3 \sqrt{t}} \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x)^2 \sqrt{t}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme integrál tvaru
\[
\int \frac{1}{e^{2t} \sqrt{t}} dt,
\]
který konverguje díky rychlému poklesu exponenciály.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
171. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t \):
\[
\int \frac{t}{x (\ln x)^2} dx = \int \frac{t}{(\ln x)^2} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{t}{(\ln x)^2} \ln x dt = \int \frac{t}{\ln x} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), integrál má tvar
\[
\int \frac{t}{e^t} dt,
\]
který konverguje díky převaze exponenciály nad polynomiálním růstem.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
172. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)(\ln(\ln n))^{0.7} (\ln(\ln(\ln n)))^{0.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)(\ln(\ln x))^{0.7} (\ln(\ln(\ln x)))^{0.5}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)(\ln(\ln x))^{0.7} (\ln(\ln(\ln x)))^{0.5}} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), tedy
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t = \ln(\ln x) \) a \( u \):
\[
\int \frac{1}{x \ln x t^{0.7} u^{0.5}} dx = \int \frac{1}{x \ln x t^{0.7} u^{0.5}} \cdot x \ln x t du = \int \frac{t}{t^{0.7} u^{0.5}} du = \int \frac{t^{0.3}}{u^{0.5}} du.
\]
Protože \( t = e^{e^u} \), tedy \( t^{0.3} = e^{0.3 e^u} \), integrál se chová jako
\[
\int \frac{e^{0.3 e^u}}{u^{0.5}} du,
\]
který diverguje, protože exponent roste příliš rychle.
Závěr: integrál diverguje \( \Rightarrow \) řada diverguje.
173. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln(\ln n))^{1.5}}{n (\ln n)^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{(\ln(\ln x))^{1.5}}{x (\ln x)^3}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{(\ln(\ln x))^{1.5}}{x (\ln x)^3} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t \):
\[
\int \frac{t^{1.5}}{x (\ln x)^3} dx = \int \frac{t^{1.5}}{(\ln x)^3} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{t^{1.5}}{(\ln x)^3} \ln x dt = \int \frac{t^{1.5}}{(\ln x)^2} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme
\[
\int \frac{t^{1.5}}{e^{2t}} dt,
\]
který konverguje díky exponenciálnímu poklesu převyšujícímu polynomiální růst.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
174. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 (\ln(\ln n))^{1.1}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^{1.1}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e} \).
Studujeme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^{1.1}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), tedy
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t \):
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 t^{1.1}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t^{1.1}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t^{1.1}} \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x) t^{1.1}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme
\[
\int \frac{1}{e^t t^{1.1}} dt,
\]
který konverguje díky rychlému poklesu exponenciály.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
175. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=4}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^2 (\ln(\ln n))^{1.5}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^{1.5}} = \frac{(\ln(\ln x))^{1 – 1.5}}{x (\ln x)^2} = \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^{0.5}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Studujeme integrál
\[
\int_4^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 (\ln(\ln x))^{0.5}} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), pak
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál:
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 t^{0.5}} dx = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t^{0.5}} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{(\ln x)^2 t^{0.5}} \ln x dt = \int \frac{1}{(\ln x) t^{0.5}} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme
\[
\int \frac{1}{e^t t^{0.5}} dt,
\]
který konverguje díky rychlému poklesu exponenciály.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
176. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{(\ln(\ln n))^2}{n (\ln n)^4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{(\ln(\ln x))^2}{x (\ln x)^4}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Studujeme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{(\ln(\ln x))^2}{x (\ln x)^4} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), tedy
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t \):
\[
\int \frac{t^2}{x (\ln x)^4} dx = \int \frac{t^2}{(\ln x)^4} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{t^2}{(\ln x)^4} \ln x dt = \int \frac{t^2}{(\ln x)^3} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme
\[
\int \frac{t^2}{e^{3t}} dt,
\]
který konverguje díky rychlému poklesu exponenciály.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
177. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)(\ln(\ln n))(\ln(\ln(\ln n)))^{2}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)(\ln(\ln x))(\ln(\ln(\ln x)))^{2}}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Studujeme integrál
\[
\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)(\ln(\ln x))(\ln(\ln(\ln x)))^{2}} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), tedy
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( u \):
\[
\int \frac{1}{x \ln x t u^2} dx = \int \frac{1}{x \ln x t u^2} \cdot x \ln x t du = \int \frac{1}{u^2} du,
\]
kde \( t = \ln(\ln x) \).
Integrál
\[
\int \frac{1}{u^2} du
\]
konverguje na \([a, \infty)\).
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
178. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{\ln(\ln n)}{n (\ln n)^3 (\ln(\ln n))^{0.9}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x (\ln x)^3 (\ln(\ln x))^{0.9}} = \frac{(\ln(\ln x))^{1-0.9}}{x (\ln x)^3} = \frac{(\ln(\ln x))^{0.1}}{x (\ln x)^3}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^e \).
Studujeme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{(\ln(\ln x))^{0.1}}{x (\ln x)^3} dx.
\]
Substituce \( t = \ln(\ln x) \), tedy
\[
dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x dt.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( t \):
\[
\int \frac{t^{0.1}}{x (\ln x)^3} dx = \int \frac{t^{0.1}}{(\ln x)^3} \cdot \frac{dx}{x} = \int \frac{t^{0.1}}{(\ln x)^3} \ln x dt = \int \frac{t^{0.1}}{(\ln x)^2} dt.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), máme
\[
\int \frac{t^{0.1}}{e^{2t}} dt,
\]
který konverguje díky rychlému poklesu exponenciály.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
179. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2 \sqrt{\ln(\ln n)} \ln(\ln(\ln n))} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce
\[
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)} \ln(\ln(\ln x))}
\]
je kladná, spojitá a klesající pro \( x \geq e^{e^{e}} \).
Studujeme integrál
\[
\int_3^\infty \frac{1}{x (\ln x)^2 \sqrt{\ln(\ln x)} \ln(\ln(\ln x))} dx.
\]
Substituce \( u = \ln(\ln(\ln x)) \), tedy
\[
du = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \ln x \ln(\ln x) du.
\]
Vyjádříme integrál pomocí \( u \) a \( t = \ln(\ln x) \):
\[
\int \frac{1}{x (\ln x)^2 t^{0.5} u} dx = \int \frac{1}{x (\ln x)^2 t^{0.5} u} \cdot x \ln x t du = \int \frac{t^{0.5}}{(\ln x) u} du.
\]
Protože \( \ln x = e^t \), tedy \( \frac{t^{0.5}}{\ln x} = \frac{t^{0.5}}{e^t} \), integrál se chová jako
\[
\int \frac{t^{0.5}}{e^t u} du.
\]
Jelikož \( t = e^{e^u} \), \( t^{0.5} = e^{0.5 e^u} \), pokles \( \frac{t^{0.5}}{e^t} \) je velmi rychlý a dominujícím faktorem je exponenciální pokles, takže integrál konverguje.
Závěr: integrál konverguje \( \Rightarrow \) řada konverguje.
