Konvergence řad – Leibnizovo kritérium

Řešení příkladu:

Máme alternující řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \). Označíme \( a_n = \frac{1}{n} \).

Ověříme podmínky Leibnizova kritéria:

1) \( a_n \geq 0 \) pro všechna \( n \in \mathbb{N} \) \(\Rightarrow\) splněno.

2) \( a_n \) je klesající: \( a_{n+1} = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} = a_n \) \(\Rightarrow\) splněno.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \) \(\Rightarrow\) splněno.

Všechny podmínky Leibnizova kritéria jsou splněny \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Máme \( a_n = \frac{\ln n}{n} \), chceme použít Leibnizovo kritérium.

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \) \(\Rightarrow\) splněno.

2) Ověříme klesání posloupnosti \( a_n \):

Podíváme se na derivaci funkce \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \), kde \( x \geq 2 \):

\( f'(x) = \frac{1 \cdot x – \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 – \ln x}{x^2} \).

Pro \( x \geq 3 \) je \( \ln x > 1 \) \(\Rightarrow\) \( f'(x) < 0 \) \(\Rightarrow\) funkce klesá \(\Rightarrow\) posloupnost klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = 0 \) (pomocí L’Hospitalova pravidla).

Všechny podmínky jsou splněny pro \( n \geq 3 \) \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \).

1) \( a_n > 0 \) \(\Rightarrow\) splněno.

2) \( a_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}} = a_n \) \(\Rightarrow\) posloupnost je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \).

Podmínky Leibnizova kritéria jsou splněny \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označme \( a_n = \frac{1}{\ln(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{\ln(x+1)} \) je klesající pro \( x \geq 1 \), protože derivace je záporná.

3) \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0 \).

Všechny podmínky Leibnizova kritéria jsou splněny \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n}{n^2 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) \(\Rightarrow\) splněno.

2) Zkoumáme klesání: spočteme \( a_{n+1} – a_n \).

Ukážeme, že posloupnost \( a_n \) je klesající pro \( n \geq 1 \) výpočtem derivace funkce \( f(x) = \frac{x}{x^2+1} \):

\( f'(x) = \frac{(1)(x^2+1) – x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 – 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 – x^2}{(x^2+1)^2} \).

Funkce klesá pro \( x \geq 2 \) \(\Rightarrow\) od určitého indexu je posloupnost klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} \ln n} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} \ln x} \) je klesající pro \( x \geq 2 \), což lze doložit derivací.

3) \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} \ln n} = 0 \).

Podmínky Leibnizova kritéria splněny \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^{1/3}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) \( a_n \) je zjevně klesající, protože s rostoucím \( n \) roste jmenovatel.

3) \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/3}} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

\( \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n!}{(n+1)n!} = \frac{1}{n+1} \) \(\Rightarrow\) \( a_n = \frac{1}{n+1} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) \( a_n = \frac{1}{n+1} \) je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^2 + 5} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) \( a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2 + 5} < \frac{1}{n^2 + 5} = a_n \).

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{\ln(n)}{n+1} \).

1) Pro \( n \geq 2 \): \( a_n > 0 \).

2) Zkoumáme funkci \( f(x) = \frac{\ln x}{x+1} \), její derivace je záporná pro \( x \geq 3 \) \(\Rightarrow\) klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n+1} = 0 \) (L’Hospital).

Leibnizovo kritérium je splněno \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Máme danou řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n \), kde \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + 1} \).

Ověříme Leibnizovo kritérium:

1. \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \in \mathbb{N} \) platí.

2. Ověříme, zda \( a_n \) je klesající posloupnost:

Porovnáme \( a_n \) a \( a_{n+1} \):

\( \frac{1}{\sqrt{n} + 1} > \frac{1}{\sqrt{n+1} + 1} \(\Rightarrow\) a_n > a_{n+1} \).

3. Ověříme \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1} = 0 \).

Všechny podmínky Leibnizova kritéria jsou splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{\ln n}{n} \), tedy řada má tvar \( \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n a_n \).

1. \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2. Určíme monotónnost \( a_n \):

Definujeme funkci \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) a najdeme její derivaci:

\( f'(x) = \frac{1 – \ln x}{x^2} \).

Funkce je klesající pro \( x > e \Rightarrow \) pro \( n \geq 3 \) je \( a_n \) klesající.

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = 0 \).

Podmínky Leibnizova kritéria jsou splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{1}{\ln(n+1)} \), tedy máme alternující řadu.

1. \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \geq 1 \).

2. Porovnáme \( a_n \) a \( a_{n+1} \):

\( \ln(n+1) < \ln(n+2) \Rightarrow \frac{1}{\ln(n+1)} > \frac{1}{\ln(n+2)} \Rightarrow a_n > a_{n+1} \).

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0 \).

Podmínky Leibnizova kritéria jsou splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{1}{n \ln n} \), definováno pro \( n \geq 3 \).

1. \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 3 \).

2. Funkce \( f(n) = \frac{1}{n \ln n} \) je klesající pro \( n \geq 3 \).

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln n} = 0 \).

Podmínky Leibnizova kritéria jsou splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{n}{n^2 + 1} \).

1. \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \in \mathbb{N} \).

2. Derivujeme funkci \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \):

\( f'(x) = \frac{(x^2 + 1)(1) – x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} \).

Funkce je klesající pro \( x > 1 \Rightarrow a_n \) klesá pro \( n \geq 2 \).

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = 0 \).

Podmínky Leibnizova kritéria splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n+1} \).

1. \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \geq 1 \).

2. Funkce \( f(n) = \frac{\ln(n+1)}{n+1} \) je klesající pro \( n \geq 3 \).

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n+1} = 0 \).

Všechny podmínky splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Platí pro \( n \geq 2 \): \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} \ln n} \).

1. \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2. Funkce \( f(n) = \frac{1}{\sqrt{n} \ln n} \) je klesající pro dostatečně velká \( n \).

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} \ln n} = 0 \).

Podmínky Leibnizova kritéria jsou splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} \).

1. \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2. Funkce je klesající pro dostatečně velké \( n \) (dá se ověřit derivací).

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} = 0 \).

Podmínky Leibnizova kritéria splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{1}{n^{0.8}} \).

1. \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \in \mathbb{N} \).

2. \( a_n \) je klesající, protože derivace funkce \( f(x) = x^{-0.8} \) je záporná.

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{0.8}} = 0 \).

Podmínky Leibnizova kritéria splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{\arctan n}{n^2} \).

1. \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2. Funkce \( f(n) = \frac{\arctan n}{n^2} \) je klesající pro \( n \geq 1 \).

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{\arctan n}{n^2} = 0 \), neboť \( \arctan n \to \frac{\pi}{2} \).

Podmínky Leibnizova kritéria jsou splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln n}{n^2} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2) Ukážeme, že \( a_n \) je klesající. Zkoumáme funkci \( f(n) = \frac{\ln n}{n^2} \).

Derivujeme: \( f'(n) = \frac{1 \cdot n^2 – \ln n \cdot 2n}{n^4} = \frac{n – 2\ln n}{n^3} \).

Pro \( n \geq 4 \) je \( f'(n) < 0 \), takže \( a_n \) je klesající pro \( n \geq 4 \).

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( \ln n \ll n^2 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n}{n^3 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \in \mathbb{N} \).

2) Zkoumáme klesání: \( a_n = \frac{1}{n^2 + \frac{1}{n}} \), což je zjevně klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \ln n} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 3 \).

2) Funkce \( f(n) = \frac{1}{n \ln n} \) je klesající pro \( n \geq 3 \), protože derivace je záporná.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln n}{n \sqrt{n}} = \frac{\ln n}{n^{3/2}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Derivací funkce \( f(n) = \frac{\ln n}{n^{3/2}} \) zjistíme, že je klesající pro \( n \geq 3 \).

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože logaritmus roste pomaleji než mocnina.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + 1} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Jelikož \( \sqrt{n} \) roste, pak \( \sqrt{n} + 1 \) roste a \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\ln(n)^2} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2) \( \ln(n) \) roste \(\Rightarrow\) \( \ln(n)^2 \) roste \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \ln(n)^2} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Funkce \( f(n) = \frac{1}{n \ln(n)^2} \) je klesající pro \( n \geq 3 \).

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^{0.9}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Mocninná funkce s exponentem menším než 1 je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} \ln n} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Obě části jmenovatele rostou \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^{1.1}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Mocninná funkce s exponentem větším než 1 je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln n}{n \ln(n+1)} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Funkce v čitateli i jmenovateli roste, ale jmenovatel roste rychleji, protože obsahuje dvě rostoucí funkce. Numerická kontrola ukazuje, že posloupnost je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n \ln(n+1)} = 0 \), protože jmenovatel diverguje rychleji než čitatel.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Derivací funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} \) zjistíme, že je klesající pro \( x \geq 3 \).

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( \sqrt{\ln n} \to \infty \) pomalu, ale jistě.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^{0.7} + \ln(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \geq 1 \).

2) Funkce v jmenovateli roste \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) Jelikož jmenovatel diverguje \(\Rightarrow\) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Zkoumáme klesání: čitatel roste jako \( n^{1/2} \), jmenovatel jako \( n^2 \) \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože růst jmenovatele dominuje.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Definujeme \( a_n = \frac{n \ln n}{n^3 + 1} \), pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Čitatel roste jako \( n \ln n \), jmenovatel jako \( n^3 \) \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( \frac{n \ln n}{n^3} = \frac{\ln n}{n^2} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\ln n + \sqrt{n}} \), \( a_n > 0 \).

2) Jmenovatel roste \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože obě části jmenovatele divergují.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Definujeme \( a_n = \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n)} \), pro \( n \geq 3 \) je \( a_n > 0 \).

2) Všechny funkce v jmenovateli rostou \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n^2}{n^3 + 7} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) \( a_n = \frac{1}{n + \frac{7}{n^2}} \), což je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(\ln n)}{n} \).

1) \( a_n > 0 \), protože obě části jsou kladné.

2) Derivací lze ukázat, že \( a_n \) je klesající pro \( n \geq 5 \).

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože logaritmy rostou pomaleji než lineární jmenovatel.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Definujeme \( a_n = \frac{\arctan n}{n^2 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \), protože obě části jsou kladné.

2) Čitatel se blíží k \( \frac{\pi}{2} \), ale jmenovatel diverguje \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože jmenovatel roste neomezeně.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \ln^2 n} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Funkce \( f(n) = \frac{1}{n \ln^2 n} \) je klesající, protože jmenovatel roste.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2 + 1} \).

1) Pro \( n \geq 1 \) je \( a_n > 0 \).

2) Čitatel roste pomalu, jmenovatel rychleji \(\Rightarrow\) \( a_n \) je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože jmenovatel dominuje růstu čitatele.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{n}{n^3 + n + 1} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Roste jmenovatel rychleji než čitatel \(\Rightarrow\) posloupnost \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( a_n \sim \frac{1}{n^2} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \ln(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Jmenovatel roste \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože obě části jmenovatele divergují.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Definujme \( a_n = \frac{\ln n}{n^2 + n} \), \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2) Roste jmenovatel kvadraticky, čitatel logaritmicky \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože růst jmenovatele převažuje.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{n \ln n}{n^3 + 4} \), platí \( a_n > 0 \).

2) Roste čitatel jako \( n \ln n \), jmenovatel jako \( n^3 \) \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( \frac{\ln n}{n^2} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{\sqrt{\ln(n+1)}}{n} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Jelikož \( n \) roste rychleji než \( \sqrt{\ln(n+1)} \), posloupnost \( a_n \) je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože jmenovatel roste rychleji.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{1}{n^{0.9} + \sqrt{n}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Obě části jmenovatele rostou \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože jmenovatel diverguje.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Definujeme \( a_n = \frac{\ln(\ln n)}{n \ln n} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 3 \).

2) Funkce \( f(n) \) je klesající, protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n^2 + 1}{n^4 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Růst jmenovatele převažuje růst čitatele \(\Rightarrow\) \( a_n \) je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( a_n \sim \frac{1}{n^2} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n+2)}{n(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Čitatel roste pomalu, jmenovatel kvadraticky \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( \ln(n+2) \sim \ln n \), zatímco \( n(n+1) \sim n^2 \(\Rightarrow\) a_n \sim \frac{\ln n}{n^2} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(\ln n)}{n} \).

1) Pro \( n \geq 3 \) platí \( a_n > 0 \).

2) Čitatel roste velmi pomalu, jmenovatel lineárně \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( \frac{\ln(\ln n)}{n} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{n}{n^3 + \ln(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Dominantní člen ve jmenovateli je \( n^3 \) \(\Rightarrow\) \( a_n \sim \frac{1}{n^2} \), tedy klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{1}{\ln n \cdot \sqrt{n}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2) Funkce \( \ln n \cdot \sqrt{n} \) roste \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{n+1}{n^2 + n + 1} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Jmenovatel roste kvadraticky, čitatel lineárně \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), neboť \( a_n \sim \frac{1}{n} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Definujeme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \ln^2(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Jmenovatel roste \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože obě části jmenovatele divergují.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{\ln n}{n \ln(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Čitatel i jmenovatel rostou, ale jmenovatel rychleji \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n \ln(n+1)}{n^3 + 2n + 1} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Jmenovatel roste rychleji než čitatel \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( \frac{\ln n}{n^2} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Definujeme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} \cdot \ln n} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2) Jmenovatel roste \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{n^2 + \ln(n+1)}{n^3 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Čitatel roste jako \( n^2 \), jmenovatel jako \( n^3 \) \(\Rightarrow\) \( a_n \sim \frac{1}{n} \), ale funkce je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{\sqrt{\ln n}}{n} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2) Funkce \( \sqrt{\ln n} \) roste pomalu a \( n \) lineárně \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože čitatel roste pomalu a jmenovatel rychle \(\Rightarrow\) zlomek konverguje k nule.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Definujeme \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Čitatel roste logaritmicky, jmenovatel kvadraticky \(\Rightarrow\) \( a_n \) je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( \ln(n+1) \ll n^2 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 3 \).

2) Všechny tři faktory ve jmenovateli rostou \(\Rightarrow\) \( a_n \) je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože jmenovatel diverguje.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n^2}{n^3 + 5} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Lze psát \( a_n = \frac{1}{n + \frac{5}{n^2}} \), což je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( a_n \sim \frac{1}{n} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{1}{\ln n + \sqrt{n}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2) Jmenovatel roste \(\Rightarrow\) \( a_n \) je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( \ln n + \sqrt{n} \to \infty \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{1}{n^{0.9} + 1} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Funkce \( n^{0.9} + 1 \) roste \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( n^{0.9} \to \infty \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Definujeme \( a_n = \frac{1}{n \ln(n)^2} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 3 \).

2) Jmenovatel roste \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( n \ln(n)^2 \to \infty \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{n \ln(n+1)}{n^3 + 2} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Čitatel roste pomaleji než jmenovatel \(\Rightarrow\) \( a_n \) klesá.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), neboť \( a_n \sim \frac{\ln n}{n^2} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln n}{n \sqrt{n}} = \frac{\ln n}{n^{3/2}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Čitatel roste logaritmicky, jmenovatel rychleji \(\Rightarrow\) \( a_n \) je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( \frac{\ln n}{n^{3/2}} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{1 + \ln(n+1)}{n^2 + 3} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Čitatel roste pomalu, jmenovatel kvadraticky \(\Rightarrow\) \( a_n \) je klesající.

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^2 + 1} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) platí \( a_n > 0 \), protože \( \ln(n) > 0 \) a \( n^2 + 1 > 0 \).

2) Pro ověření monotónnosti zjistíme, zda \( a_{n+1} < a_n \). Porovnáme tedy:

\( a_{n+1} = \frac{\ln(n+1)}{(n+1)^2 + 1} \) a \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^2 + 1} \).

Všimneme si, že jmenovatel roste rychleji než čitatel, protože \( (n+1)^2 + 1 > n^2 + 1 \) a \( \ln(n+1) > \ln(n) \), ale růst kvadratické funkce převyšuje růst logaritmu.

Ukážeme, že \( a_n \) klesá:

\( a_{n+1} < a_n \iff \frac{\ln(n+1)}{(n+1)^2 + 1} < \frac{\ln(n)}{n^2 + 1} \).

Vynásobením křížem (vše kladné):

\( \ln(n+1)(n^2 + 1) < \ln(n)((n+1)^2 + 1) \).

Rozepíšeme \( (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \):

\( \ln(n+1)(n^2 + 1) < \ln(n)(n^2 + 2n + 2) \).

Tato nerovnost platí pro dostatečně velká \( n \) díky pomalejšímu růstu \( \ln(n) \), takže \( a_n \) je klesající od určitého indexu.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n^2 + 1} = 0 \), protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + n^{1/3}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Ukážeme, že \( a_n \) je klesající:

Protože \( \sqrt{n} \) a \( n^{1/3} \) rostou, jejich součet roste, takže \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + n^{1/3}} \) klesá.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{n}{n^3 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Ukážeme, že \( a_n \) klesá:

Funkce \( f(n) = \frac{n}{n^3 + 1} \) pro \( n \geq 1 \) má derivaci zápornou, protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^3 + 1} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \).

Pro \( n \to \infty \) platí \( \sin\left(\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n} \), tedy přibližně \( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \).

1) \( a_n > 0 \), protože \( \sin(x) > 0 \) pro malé \( x > 0 \).

2) \( a_n \) klesá, protože \( \sin\left(\frac{1}{n}\right) \) klesá a dělíme rostoucím \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^{3/2}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 3 \).

2) Funkce \( f(n) = \frac{\ln(n)}{n^{3/2}} \) je klesající pro \( n \) dostatečně velká, protože mocnina v jmenovateli převyšuje růst logaritmu.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \cdot \ln(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 1 \), protože \( \ln(n+1) > 0 \).

2) Funkce \( a_n \) je klesající, protože \( n \) i \( \ln(n+1) \) rostou.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Pro \( n \) velká platí \( \sqrt{n^2 + n} \sim n \), tedy \( a_n \sim \frac{1}{n} \).

3) Funkce \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n + \sin(n)} \).

1) Protože \( -1 \leq \sin(n) \leq 1 \), platí \( n-1 \leq n + \sin(n) \leq n+1 \) a tedy \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Funkce \( a_n \) je asymptoticky podobná \( \frac{1}{n} \), a protože \( n + \sin(n) \) roste na dlouhých úsecích, \( a_n \) klesá asymptoticky.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) \( a_n \) klesá, protože \( n \) i \( \sqrt{n+1} \) rostou.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)}{n} \).

1) Pro \( n \to \infty \) platí \( \arctan\left(\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n} \), tedy \( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \).

2) \( a_n > 0 \), protože \( \arctan(x) > 0 \) pro \( x > 0 \).

3) \( a_n \) je klesající díky klesajícímu čitateli a rostoucímu jmenovateli.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2} \).

1) Pro \( n \geq 1 \) platí \( a_n > 0 \), protože \( \ln(n+1) > 0 \) a \( n^2 > 0 \).

2) Ukážeme, že \( a_n \) je klesající pro dostatečně velká \( n \).

Vypočítáme derivaci funkce \( f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x^2} \) pro \( x > 0 \):

\( f'(x) = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot x^2 – \ln(x+1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2}{(x+1)x^4} – \frac{2x \ln(x+1)}{x^4} = \frac{x}{(x+1)x^3} – \frac{2 \ln(x+1)}{x^3} \).

Pro velká \( x \) dominuje záporná část, tedy \( f'(x) < 0 \), tedy \( a_n \) klesá.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n^2} = 0 \), protože \( n^2 \) roste rychleji než \( \ln(n+1) \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) platí \( a_n > 0 \), protože \( \ln(n+1) > 0 \) a \( n > 0 \).

2) Ukážeme, že \( a_n \) je klesající.

Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln(x+1)}} \) je klesající pro \( x \geq 2 \), protože jmenovatel roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( n \to \infty \) a \( \ln(n+1) \to \infty \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\arcsin(\frac{1}{n})}{n} \).

1) Pro \( n \geq 1 \) platí \( a_n > 0 \), protože \( \arcsin(x) > 0 \) pro \( x > 0 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \arcsin\left(\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n} \), tedy \( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \).

3) Funkce \( a_n \) je klesající, protože \( \arcsin\left(\frac{1}{n}\right) \) klesá a zároveň \( n \) roste.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^2} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \), protože \( \ln n > 0 \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2} \) je klesající pro \( x > e \) (v našem případě \( n \geq 3 \)).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \) pro \( x > 0 \) má derivaci zápornou pro dostatečně velká \( x \), protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože čitatel roste pomaleji než jmenovatel.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n + \sqrt{n}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Jmenovatel roste, proto \( a_n \) klesá.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sin\frac{1}{n}}{n} \).

1) Pro \( n \) dost velká platí \( a_n > 0 \), protože \( \sin\frac{1}{n} \approx \frac{1}{n} > 0 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \), tedy \( a_n \) klesá.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{\ln(n+1)}}{n} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Ukážeme, že \( a_n \) je klesající pro velká \( n \).

Derivace \( f(x) = \frac{\sqrt{\ln(x+1)}}{x} \) je záporná pro dostatečně velká \( x \), protože \( x \) v jmenovateli dominuje růstu čitatele.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^2 + (-1)^n n} \).

1) Pro všechna \( n \geq 1 \) platí \( a_n > 0 \), protože \( n^2 > |(-1)^n n| \).

2) Posuzujeme monotónnost \( a_n \). Pro velká \( n \) platí \( a_n \approx \frac{1}{n^2} \), která klesá.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \cdot \ln(n+2)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x+2)} \) je klesající pro \( x \geq 1 \), protože jmenovatel roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) platí \( a_n > 0 \), protože \( \ln(n) > 0 \) a \( n^2 > 0 \).

2) Ukážeme, že \( a_n \) je klesající. Porovnáme \( a_{n+1} \) a \( a_n \):

\( a_{n+1} = \frac{\ln(n+1)}{(n+1)^2} \), \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \).

Zkoumáme podíl:

\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \).

Protože \( \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \to 1 \) a \( \frac{n^2}{(n+1)^2} < 1 \), pro velká \( n \) platí \( a_{n+1} < a_n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n^2} = 0 \), protože \( n^2 \) roste rychleji než \( \ln(n) \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{x+1}} \) je klesající, protože jak \( x \) roste, jmenovatel roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( n \sqrt{n+1} \to \infty \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\arctan(\frac{1}{n})}{n} \).

1) Pro \( n \geq 1 \) je \( a_n > 0 \), protože \( \arctan(x) > 0 \) pro \( x > 0 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \arctan\left(\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n} \), tedy \( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \).

3) Ukážeme, že \( a_n \) klesá. Protože \( \arctan\left(\frac{1}{n}\right) \) je klesající funkce v \( n \) a \( n \) v jmenovateli roste, \( a_n \) klesá.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^{3/2}} \).

1) Pro \( n \geq 3 \) je \( a_n > 0 \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{3/2}} \) je klesající, protože oba faktory v jmenovateli rostou.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^2 + n} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + x} \) je klesající, protože jmenovatel roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n (1 + \frac{1}{n})^n} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Víme, že \( (1 + \frac{1}{n})^n \to e \) a pro rostoucí \( n \) se blíží \( e \), tedy jmenovatel roste.

Proto \( a_n \) je klesající, protože \( n \) roste a \( (1+\frac{1}{n})^n \) konverguje k \( e \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n e} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{n} \).

1) \( a_n > 0 \), protože \( \sqrt{n+1} > \sqrt{n} \) a \( n > 0 \).

2) Vypočteme limitu \( a_n \) pomocí zjednodušení:

\( \sqrt{n+1} – \sqrt{n} = \frac{(n+1) – n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \).

Takže \( a_n = \frac{1}{n (\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \).

Pro velká \( n \) platí \( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \sim 2 \sqrt{n} \), tedy

\( a_n \sim \frac{1}{n \cdot 2 \sqrt{n}} = \frac{1}{2 n^{3/2}} \).

3) Posuzujeme monotónnost \( a_n \). Jelikož \( a_n \sim \frac{1}{n^{3/2}} \) a tato posloupnost klesá, \( a_n \) je pro velká \( n \) klesající.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n+1) – \ln n}{n} \).

1) \( a_n > 0 \), protože \( \ln(n+1) > \ln n \) a \( n > 0 \).

2) Zjednodušení rozdílu logaritmů:

\( \ln(n+1) – \ln n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \).

Pro velká \( n \) platí \( \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n} \), tedy

\( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \).

3) Ukážeme, že \( a_n \) klesá, protože \( \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \) klesá s rostoucím \( n \) a jmenovatel roste.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} \) je klesající, protože jak \( x \) roste, jmenovatel roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\cos\frac{1}{n}}{n^2} \).

1) Pro velká \( n \) platí \( \cos\frac{1}{n} \approx 1 > 0 \), tedy \( a_n > 0 \).

2) \( a_n \sim \frac{1}{n^2} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 1} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \).

2) Zkoumáme, zda je \( a_n \) klesající. Pro velká \( n \) je \( a_n \sim \frac{n^{1/2}}{n^3} = \frac{1}{n^{5/2}} \), což je klesající posloupnost.

Porovnáním přímo: \( a_{n+1} < a_n \) pro dostatečně velké \( n \), protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože mocnina v jmenovateli převyšuje mocninu v čitateli.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \( \sin(\frac{1}{n}) > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Pro velká \( n \) platí aproximace \( \sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} \), tedy

\( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \).

3) Ukážeme, že \( a_n \) je klesající. Funkce \( \sin(\frac{1}{n}) \) klesá, když \( n \) roste, a zároveň dělení \( n \) roste, takže \( a_n \) klesá.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^2} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2} \) je klesající, protože \( x \) i \( \ln x \) rostou a exponent v jmenovateli zvyšuje rychlost růstu.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n + \sqrt{n}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x}} \) je klesající, protože \( x + \sqrt{x} \) roste monotónně.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n!} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n! \) roste velmi rychle, tedy \( \frac{1}{n!} \) klesá.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \cdot 2^n} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) \( a_n \) je klesající, protože \( n \) i \( 2^n \) rostou, přičemž \( 2^n \) roste exponenciálně.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) klesá, protože jmenovatel roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n (\ln n + 1)} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x + 1)} \) je klesající, protože \( x \) i \( \ln x \) rostou.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^3 + \sqrt{n}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{1}{n^3} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\arctan\frac{1}{n}}{n} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \( \arctan x > 0 \) pro \( x > 0 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \arctan\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} \), tedy

\( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \( \ln(n+1) > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Zkoumáme, zda je \( a_n \) klesající. Vzhledem k tomu, že \( n^2 \) roste rychleji než \( \ln(n+1) \), platí, že pro dostatečně velké \( n \) je \( a_{n+1} < a_n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n^2} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\cos\frac{1}{n}}{n^2} \).

1) Protože \( \cos\frac{1}{n} > 0 \) pro všechna \( n \), platí \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( \frac{1}{n^2} \) klesá a \( \cos\frac{1}{n} \to 1 \) zespodu.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\cos\frac{1}{n}}{n^2} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln(x+1)}} \) je klesající, protože \( x \) i \( \sqrt{\ln(x+1)} \) rostou.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\arctan(1/n)}{n} \).

1) \( a_n > 0 \), protože \( \arctan(1/n) > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \arctan(1/n) \sim \frac{1}{n} \), tedy \( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n}{n^3 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n (1 + \sin \frac{1}{n})} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \( \sin \frac{1}{n} > 0 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} \), tedy jmenovatel je přibližně \( n (1 + \frac{1}{n}) = n + 1 \), což roste.

Posloupnost \( a_n \) je klesající pro velká \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^2 + \ln(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) \( a_n \) je klesající, protože \( n^2 + \ln(n+1) \) roste monotonně.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{n^{1/2}}{n^3} = \frac{1}{n^{5/2}} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{\ln(n+1)}}{n^2} \).

1) Pro všechna \( n \geq 1 \) platí \( a_n > 0 \), protože logaritmus je kladný a \( n^2 > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste rychleji než čitatel, navíc

\( a_{n+1} = \frac{\sqrt{\ln(n+2)}}{(n+1)^2} < \frac{\sqrt{\ln(n+1)}}{n^2} = a_n \) pro velká \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{\ln(n+1)}}{n^2} = 0 \), protože \( n^2 \) roste rychleji než \( \sqrt{\ln(n+1)} \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \).

1) Protože \( \sin(\frac{1}{n}) > 0 \) pro všechna \( n \), platí \( a_n > 0 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \sin(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n} \), tedy

\( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \), což je posloupnost klesající.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost je klesající, protože jmenovatel \( n \sqrt{n+1} \) roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3/2}} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^3} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) platí \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost je klesající, protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n}{(n+1)^4} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{n}{n^4} = \frac{1}{n^3} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n + \sqrt{n}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost je klesající, protože jmenovatel roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^2 + \sqrt{n}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\arctan(n)}{n^3} \).

1) \( a_n > 0 \), protože \( \arctan(n) > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Posloupnost je klesající, protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\pi}{2}}{n^3} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{n} \).

1) Všechny členy jsou kladné, protože \( \sqrt{n+1} > \sqrt{n} \) a \( n > 0 \).

2) Spočítáme limitu rozdílu:

\( \sqrt{n+1} – \sqrt{n} = \frac{(n+1) – n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \).

Tedy

\( a_n = \frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \approx \frac{1}{n \cdot 2\sqrt{n}} = \frac{1}{2 n^{3/2}} \), což je posloupnost klesající.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) platí \( a_n > 0 \), protože \( \ln(n+1) > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jak \( n \) tak \( \ln(n+1) \) rostou.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2 + n} \).

1) Pro \( n \geq 1 \) platí \( a_n > 0 \), protože logaritmus a jmenovatel jsou kladné.

2) Zkoumáme, zda je posloupnost klesající:

Porovnáme \( a_{n+1} \) a \( a_n \):

\( a_{n+1} = \frac{\ln(n+2)}{(n+1)^2 + (n+1)} \), \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2 + n} \).

Pro velká \( n \) je \( \ln(n+2) > \ln(n+1) \) ale jmenovatel roste rychleji kvadraticky.

Zjednodušeně \( a_n \sim \frac{\ln n}{n^2} \), což je klesající posloupnost pro velká \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n^2 + n} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n^2}{n^3+1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{n^2}{n^3} = \frac{1}{n} \).

Zkoumáme, zda \( a_n \) je klesající:

Vypočteme \( a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)^3 + 1} \), což pro velká \( n \) bude menší než \( a_n \), protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sin(1/n)}{n^{1.5}} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \( \sin(1/n) > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \sin(1/n) \sim 1/n \), tedy \( a_n \sim \frac{1/n}{n^{1.5}} = \frac{1}{n^{2.5}} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n(2 + \frac{1}{n})} = \frac{1}{2n + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost je klesající, protože jmenovatel \( 2n + 1 \) roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^2 \cosh(n)} \).

1) \( a_n > 0 \) protože \( n^2 > 0 \) a \( \cosh(n) > 0 \).

2) Posloupnost je klesající, protože jmenovatel roste exponenciálně.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{n^{0.5}}{n^3} = \frac{1}{n^{2.5}} \), což je posloupnost klesající.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{e^{-n}}{n} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost je klesající, protože exponent i jmenovatel rostou.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{n} \).

1) Nejprve upravíme čitatel pomocí rozdílu odmocnin:

\( \sqrt{n+1} – \sqrt{n} = \frac{(n+1) – n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \).

2) Tedy \( a_n = \frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \).

3) Pro \( n \geq 1 \) je \( a_n > 0 \).

4) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste (součet odmocnin roste a násobení \( n \) také roste).

5) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n + \sin^2(n)} \).

1) Pro všechna \( n \) platí \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je asymptoticky podobná \( \frac{1}{n} \), protože \( \sin^2(n) \) je omezené mezi 0 a 1.

3) Posloupnost \( a_n \) je pro velká \( n \) klesající, protože jmenovatel roste (i když je přidaná periodická část, celkově roste).

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\arctan(n)}{n^2} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \).

2) Funkce \( \arctan(n) \) je rostoucí a omezená limitem \( \frac{\pi}{2} \), proto pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{\pi/2}{n^2} \).

3) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel \( n^2 \) roste rychleji než čitatel.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^{0.9} + \ln(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Pro velká \( n \) dominuje \( n^{0.9} \), posloupnost je tedy klesající.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sin(1/n)}{\sqrt{n}} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \( \sin(1/n) > 0 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \sin(1/n) \sim 1/n \), tedy \( a_n \sim \frac{1/n}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{1.5}} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n}{n^3 + \cos(n)} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \( n^3 \) dominuje nad \( \cos(n) \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^3} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste rychleji než logaritmus.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost je klesající, protože jmenovatel roste s \( n^{1.5} \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n + e^n} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost je klesající, protože exponenciální člen dominuje a roste velmi rychle.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2 + 1} \).

1) Pro všechna \( n \geq 1 \) platí \( a_n > 0 \), protože logaritmus i jmenovatel jsou kladné.

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, neboť \( n^2 + 1 \) roste rychleji než \(\ln(n+1)\), a proto výraz postupně klesá.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n^2 + 1} = 0 \), protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n^{1/3}}{n^2 + 1} \).

1) Pro všechna \( n \) platí \( a_n > 0 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{n^{1/3}}{n^2} = \frac{1}{n^{5/3}} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n+2} – \sqrt{n}}{n} \).

1) Nejprve upravíme čitatel:

\( \sqrt{n+2} – \sqrt{n} = \frac{(n+2) – n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} \).

2) Tedy \( a_n = \frac{2}{n(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})} \).

3) Posloupnost \( a_n > 0 \) a pro velká \( n \) je klesající, protože jmenovatel roste.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n(2\sqrt{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2n^{3/2}} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n + \cos(\sqrt{n})} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \( n + \cos(\sqrt{n}) > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je asymptoticky podobná \( \frac{1}{n} \), protože \( \cos(\sqrt{n}) \) je omezené mezi -1 a 1.

3) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n \) roste a přírůstek v jmenovateli dominuje.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sin(1/n)}{n} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \( \sin(1/n) > 0 \) pro \( n \geq 1 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \sin(1/n) \sim \frac{1}{n} \), takže \( a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n + \sqrt{n}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost je klesající, protože \( n + \sqrt{n} \) roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^2 + n} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost je klesající, protože jmenovatel roste rychleji než logaritmus.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n^{1/4}}{n^{5/2} + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{n^{1/4}}{n^{5/2}} = \frac{1}{n^{9/4}} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\arctan(n)}{n^3 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \arctan(n) \to \frac{\pi}{2} \), takže \( a_n \sim \frac{\pi/2}{n^3} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n \) i \(\sqrt{\ln(n+1)}\) rostou.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 2} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože jmenovatel i čitatel jsou kladné.

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{n^{1/2}}{n^3} = \frac{1}{n^{5/2}} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Prokázali jsme, že \( a_n \) je kladná, klesající a \( \lim a_n = 0 \), tedy podle Leibnizova kritéria řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2 + n} \).

1) Pro \( n \geq 1 \) je \( a_n > 0 \), protože logaritmus i jmenovatel jsou kladné.

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{\ln(n)}{n^2} \), což je klesající posloupnost, jelikož \( n^2 \) roste rychleji než \(\ln(n)\).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jak \( n \), tak \(\sqrt{n+1}\) rostou.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Podle Leibnizova kritéria řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{e^{-n}}{n^{1/3}} \).

1) Pro všechna \( n \) platí \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože exponenciála \( e^{-n} \) klesá velmi rychle a dominujě i růst \( n^{1/3} \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Podle Leibnizova kritéria řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\arctan(\sqrt{n})}{n^2 + 1} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \(\arctan\) i jmenovatel jsou kladné.

2) Pro velká \( n \) platí \( \arctan(\sqrt{n}) \to \frac{\pi}{2} \), takže \( a_n \sim \frac{\pi/2}{n^2} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Podle Leibnizova kritéria řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n (\ln(n+1))^2} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \), protože \( n > 0 \) a \(\ln(n+1) > 0\).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože rostou \( n \) i \(\ln(n+1)\).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Podle Leibnizova kritéria řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{\ln(n+2)}}{n^2 + n} \).

1) Pro \( n \geq 1 \) je \( a_n > 0 \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{\sqrt{\ln(n)}}{n^2} \), což je klesající posloupnost, protože \( n^2 \) roste rychleji než \(\sqrt{\ln(n)}\).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+3}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n \) i \( \sqrt{n+3} \) rostou.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n^2} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \(\sin(\frac{1}{n}) \approx \frac{1}{n} > 0\) pro velká \( n \).

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{n} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože čitatel je rozdíl dvou větších kladných odmocnin, který je kladný, a jmenovatel je kladný.

2) Upravíme čitatele: \(\sqrt{n+1} – \sqrt{n} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\).

Tedy \( a_n = \frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \).

3) Posloupnost \( a_n \) je kladná a klesající, protože jmenovatel roste s \( n \).

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = 0 \), protože jmenovatel roste jako přibližně \( n^{3/2} \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^3 + 1} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \), protože \(\ln(n) > 0\) a jmenovatel je kladný.

2) Pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{\ln(n)}{n^3} \), což je klesající posloupnost, protože \( n^3 \) roste rychleji než \(\ln(n)\).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n^2 + 1}} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste se vzrůstajícím \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \sqrt{n^2+1}} = 0 \), protože jmenovatel roste jako \( n^2 \).

4) Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sin(\frac{1}{\sqrt{n}})}{n} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \), protože \(\sin(x) > 0\) pro malé kladné \( x \).

2) Pro velká \( n \) platí \( \sin(\frac{1}{\sqrt{n}}) \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \), tedy

\( a_n \sim \frac{1/\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{n^{3/2}} \), což je klesající posloupnost.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \ln(n+2)} \).

1) Pro \( n \geq 1 \) je \( a_n > 0 \), protože \( n > 0 \) a \(\ln(n+2) > 0\).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože roste jmenovatel \( n \ln(n+2) \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} (n+1)} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^2 + \sqrt{n}} \).

1) Pro všechna \( n \) je \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

4) Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 1} \).

1) Pro všechna \( n \) platí \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože

\( a_{n+1} = \frac{\sqrt{n+1}}{(n+1)^3 + 1} < \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 1} = a_n \) pro dostatečně velká \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 1} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) platí \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \).

1) Pro všechna \( n \) platí \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) platí \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n \ln(n+1) \) roste s \( n \) a tedy \( a_{n+1} < a_n \) pro dostatečně velká \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože \( n \to \infty \) a \( \ln(n+1) \to \infty \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n} \).

1) Pro \( n \to \infty \), \( \sin(\frac{1}{n}) \approx \frac{1}{n} \), takže \( a_n \approx \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože čitatel \( \sin(\frac{1}{n}) \) klesá a jmenovatel roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n}(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( \sqrt{n}(n+1) \) roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^{3/2}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro \( n \geq 2 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože exponent v jmenovateli je větší než 1 a \(\ln(n)\) roste pomaleji.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) platí \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^2 + \sin^2(n)} \).

1) Protože \( \sin^2(n) \geq 0 \), \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n^2 \) roste rychleji než oscilace \( \sin^2(n) \), tedy \( a_{n+1} < a_n \) pro dostatečně velká \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel \( n^3 + 1 \) roste rychleji než čitatel \( \sqrt{n} \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{n^3 + 1} = 0 \) protože \( n^{1/2} / n^3 = n^{-5/2} \to 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^2} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n(\ln n)^2 \) roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), protože jmenovatel roste k nekonečnu.

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\arctan(n)}{n^2} \).

1) Pro všechna \( n \) platí \( a_n > 0 \), protože \( \arctan(n) > 0 \) a \( n^2 > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( \arctan(n) \) je rostoucí, ale omezená a jmenovatel \( n^2 \) roste rychle.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\arctan(n)}{n^2} = 0 \), protože \( \arctan(n) \to \frac{\pi}{2} \) a \( n^2 \to \infty \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \sqrt{n+1}} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \geq 1 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n^2 + 1 \) roste rychleji než \( \ln(n+1) \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n (2 + (-1)^n)} \).

1) Posloupnost \( a_n \) má kladné členy, protože \( 2 + (-1)^n \) je buď 1 (pro sudé \( n \)) nebo 3 (pro liché \( n \)), tedy vždy kladné.

2) Musíme ověřit, zda \( a_n \) klesá.

Pro lichá \( n \) je \( a_n = \frac{1}{3n} \), pro sudá \( n \) je \( a_n = \frac{1}{n} \).

Všimneme si, že mezi lichými a sudými členy je střídání, ale posloupnost \( a_n \) jako celek není monotónní.

Proto Leibnizovo kritérium přímo nepoužijeme na celou posloupnost.

Rozdělíme řadu na dvě podřady podle parity:

\( \sum (-1)^n \frac{1}{3n} \) pro lichá \( n \) a \( \sum (-1)^n \frac{1}{n} \) pro sudá \( n \).

Obě tyto řady splňují Leibnizovo kritérium.

Protože obě podřady konvergují, konverguje i původní řada.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \ln(n+2)} \).

1) Pro \( n \geq 1 \) platí \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n \ln(n+2) \) roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\cos(\frac{1}{n})}{n} \).

1) Pro všechna \( n \) platí \( \cos(\frac{1}{n}) > 0 \), protože \( \frac{1}{n} \to 0 \) a \( \cos(x) \) je kladná v okolí nuly.

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste a \( \cos(\frac{1}{n}) \) se blíží 1 zleva.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\cos(\frac{1}{n})}{n} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{n} \).

1) Nejprve ověříme, že \( a_n > 0 \), protože \( \sqrt{n+1} > \sqrt{n} \) a \( n > 0 \).

2) Upravením čitatele:

\( \sqrt{n+1} – \sqrt{n} = \frac{(n+1) – n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \).

Tedy

\( a_n = \frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \).

3) Posloupnost \( a_n \) je kladná a klesající, protože jmenovatel roste s \( n \).

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \cdot 2\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n^{3/2}} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) platí \( a_n > 0 \), protože \( \ln(n) > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n^2 \) roste rychleji než \( \ln(n) \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n^2} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{n}{n^3 + 1} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože čitatel roste lineárně, ale jmenovatel kubicky.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^3 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + \frac{1}{n}} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n}(n+1)} \).

1) \( a_n > 0 \) pro všechna \( n \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože obě složky \( \sqrt{n} \) i \( n+1 \) rostou s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}(n+1)} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{n} \).

1) Pro \( n \) dostatečně velká je \( \sin\left(\frac{1}{n}\right) > 0 \), tedy \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( \sin\left(\frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n} \) a celkově \( a_n \approx \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \), která klesá.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) platí \( a_n > 0 \), protože \( \ln(n+1) > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n \) a \( \sqrt{\ln(n+1)} \) rostou s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n + \sin^2(n)} \).

1) Protože \( \sin^2(n) \geq 0 \), máme \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n + \sin^2(n) \geq n \) roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n^{1.5}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n^{1.5} \) roste.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\sqrt{n+2} – \sqrt{n}}{\ln(n+3)} \).

1) Pro \( n \geq 1 \) platí \( a_n > 0 \), protože čitatel i jmenovatel jsou kladné.

2) Čitatel upravíme:

\( \sqrt{n+2} – \sqrt{n} = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} \), což klesá s rostoucím \( n \).

3) Jmenovatel \( \ln(n+3) \) roste, proto \( a_n \) klesá.

4) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{(\sqrt{n+2} + \sqrt{n}) \ln(n+3)} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^3} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože \( n^3 \) roste rychleji než \( \ln(n+1) \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{n (n+2)} \).

1) \( a_n > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jmenovatel roste s \( n \).

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} \, \ln(n+1)} \).

1) Pro \( n \geq 2 \) je \( a_n > 0 \), protože \( \sqrt{n} > 0 \) a \( \ln(n+1) > 0 \).

2) Posloupnost \( a_n \) je klesající, protože jak \( \sqrt{n} \), tak \( \ln(n+1) \) rostou s \( n \), tedy jmenovatel roste a celá posloupnost klesá.

3) Limita:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} \, \ln(n+1)} = 0 \).

Leibnizovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.