1. Koule má poloměr \( 7\,\text{cm} \). Vypočítej její objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule spočítáme podle vzorce: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \).
Dosadíme: \( V = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 457,33 \pi \approx 1437,44\,\text{cm}^3 \).
2. Koule má objem \( 288 \pi\,\text{ cm}^3 \). Urči její poloměr.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule je \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 288 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 288 \Rightarrow r^3 = \frac{288 \cdot 3}{4} = 216 \Rightarrow r = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{cm} \).
3. Vypočítej povrch koule o poloměru \( 10\,\text{cm} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule je: \( S = 4 \pi r^2 \).
Dosadíme: \( S = 4 \pi \cdot 10^2 = 4 \pi \cdot 100 = 400 \pi \approx 1256,64\,\text{cm}^2 \).
4. Koule má povrch \( 256 \pi\,\text{ cm}^2 \). Urči její průměr.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule: \( 4 \pi r^2 = 256 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 256 \Rightarrow r^2 = 64 \Rightarrow r = 8\,\text{cm} \).
Průměr je: \( d = 2r = 16\,\text{cm} \).
5. Koule má objem \( 500 \pi\,\text{ cm}^3 \). Urči její povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 500 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 500 \Rightarrow r^3 = \frac{500 \cdot 3}{4} = 375 \Rightarrow r = \sqrt[3]{375} \approx 7{,}21\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (7{,}21)^2 = 4 \pi \cdot 52{,}02 \approx 208{,}08 \pi \approx 653,54\,\text{cm}^2 \).
6. Vypočítej poloměr koule, která má stejný objem jako válec o poloměru \( 5\,\text{cm} \) a výšce \( 12\,\text{cm} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem válce: \( V = \pi r^2 v = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \pi \cdot 25 \cdot 12 = 300 \pi \).
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 300 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 300 \Rightarrow r^3 = \frac{300 \cdot 3}{4} = 225 \Rightarrow r = \sqrt[3]{225} \approx 6{,}08\,\text{cm} \).
7. Koule má průměr \( 14\,\text{ cm} \). Vypočítej délku jejího poloměru a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{14}{2} = 7\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 7^2 = 4 \pi \cdot 49 = 196 \pi \approx 615,75\,\text{cm}^2 \).
8. Koule má povrch \( 36 \pi\,\text{ cm}^2 \). Urči objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 36 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 36 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36 \pi \approx 113,10\,\text{cm}^3 \).
9. Vypočítej objem koule, která má stejný povrch jako koule s poloměrem \( 6\,\text{cm} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule s poloměrem \( 6\,\text{cm} \) je: \( S = 4 \pi \cdot 6^2 = 144 \pi \).
Objem koule se stejným povrchem platí \( S = 4 \pi r^2 = 144 \pi \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6\,\text{cm} \), tedy stejný poloměr, takže objem je:
\( V = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288 \pi \approx 904,32\,\text{cm}^3 \).
10. Určete průměr koule, která má objem \( 500 \pi\,\text{ cm}^3 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 500 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 500 \Rightarrow r^3 = 375 \Rightarrow r = \sqrt[3]{375} \approx 7{,}21\,\text{cm} \).
Průměr: \( d = 2r = 14{,}42\,\text{cm} \).
11. Koule má poloměr \( 9\,\text{cm} \). Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule spočítáme podle vzorce: \( S = 4 \pi r^2 \).
Dosadíme: \( S = 4 \pi \cdot 9^2 = 4 \pi \cdot 81 = 324 \pi \approx 1017{,}88\,\text{cm}^2 \).
Objem koule spočítáme podle vzorce: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \).
Dosadíme: \( V = \frac{4}{3} \pi \cdot 9^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 729 = 972 \pi \approx 3053{,}63\,\text{cm}^3 \).
12. Koule má objem \( 1131 \pi\,\text{ cm}^3 \). Urči její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 1131 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 1131 \Rightarrow r^3 = \frac{1131 \cdot 3}{4} = 848{,}25 \Rightarrow r = \sqrt[3]{848{,}25} \approx 9{,}45\,\text{cm} \).
Povrch koule: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (9{,}45)^2 = 4 \pi \cdot 89{,}30 \approx 357{,}20 \pi \approx 1121{,}31\,\text{cm}^2 \).
13. Vypočítej objem koule, jestliže její průměr je o \( 4\,\text{cm} \) větší než poloměr.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr je dvojnásobek poloměru, tedy \( d = 2r \). Podle zadání je průměr o \( 4\,\text{cm} \) větší než poloměr, tedy:
\( d = r + 4 \Rightarrow 2r = r + 4 \Rightarrow r = 4\,\text{cm} \).
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 64 = \frac{256}{3} \pi \approx 268{,}08\,\text{cm}^3 \).
14. Koule má stejný objem jako krychle s hranou délky \( 8\,\text{cm} \). Urči poloměr koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem krychle: \( V = a^3 = 8^3 = 512\,\text{cm}^3 \).
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 512 \Rightarrow r^3 = \frac{512 \cdot 3}{4 \pi} = \frac{1536}{4 \pi} = \frac{384}{\pi} \approx 122{,}29 \Rightarrow r = \sqrt[3]{122{,}29} \approx 4{,}96\,\text{cm} \).
15. Koule má povrch \( 196 \pi\,\text{ cm}^2 \). Vypočítej délku jejího poloměru a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule: \( 4 \pi r^2 = 196 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 196 \Rightarrow r^2 = 49 \Rightarrow r = 7\,\text{cm} \).
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 457{,}33 \pi \approx 1437{,}44\,\text{cm}^3 \).
16. Koule má poloměr \(12\) cm. Vypočítej délku jejího průměru, povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr: \( d = 2r = 2 \cdot 12 = 24\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 12^2 = 4 \pi \cdot 144 = 576 \pi \approx 1809{,}56\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 12^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1728 = 2304 \pi \approx 7238{,}23\,\text{cm}^3 \).
17. Urči poloměr koule, jestliže její povrch je \(25\) % povrchu koule o poloměru 8 cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch větší koule: \( S_1 = 4 \pi \cdot 8^2 = 256 \pi \).
Povrch menší koule je 25 % z \( S_1 \), tedy:
\( S_2 = 0{,}25 \cdot 256 \pi = 64 \pi \Rightarrow 4 \pi r^2 = 64 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 64 \Rightarrow r^2 = 16 \Rightarrow r = 4\,\text{cm} \).
18. Koule má poloměr \(3\) cm. Vypočítej, jaký objem zabírá ve válci s poloměrem 3 cm a výškou 10 cm, jestliže koule je ve válci vložena tak, že se dotýká dna i vrchu válce.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule: \( V_k = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^3 \).
Objem válce: \( V_v = \pi r^2 v = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90 \pi \approx 282{,}74\,\text{cm}^3 \).
Koule zabírá \( \frac{36 \pi}{90 \pi} = \frac{36}{90} = 0{,}4 = 40\% \) objemu válce.
19. Koule je umístěna uvnitř krychle o hraně délky \(16\) cm tak, že se dotýká všech stěn krychle. Urči poloměr koule a její objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr koule je polovina délky hrany krychle, protože koule se dotýká všech stěn:
\( r = \frac{16}{2} = 8\,\text{cm} \).
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 512 = \frac{2048}{3} \pi \approx 2144{,}66 \pi \approx 6731{,}68\,\text{cm}^3 \).
20. Koule má poloměr \(15 \) cm . Vypočítej, jaký je poměr jejího povrchu k povrchu koule o poloměru \(5 cm\) .
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch první koule: \( S_1 = 4 \pi \cdot 15^2 = 4 \pi \cdot 225 = 900 \pi \).
Povrch druhé koule: \( S_2 = 4 \pi \cdot 5^2 = 4 \pi \cdot 25 = 100 \pi \).
Poměr povrchů: \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{900 \pi}{100 \pi} = 9 \).
21. Koule má objem \( 500 \pi \,\text{ cm}^3 \). Vypočítej její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 500 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 500 \Rightarrow r^3 = \frac{500 \cdot 3}{4} = 375 \Rightarrow r = \sqrt[3]{375} \approx 7{,}22\,\text{cm} \).
Povrch koule: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (7{,}22)^2 = 4 \pi \cdot 52{,}13 \approx 208{,}52 \pi \approx 655{,}02\,\text{cm}^2 \).
22. Koule o poloměru \(10\) cm je přenesena do koule o poloměru \(20\) cm. Urči poměr jejich objemů a povrchů.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poměr poloměrů: \( \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \).
Poměr objemů je poměr třetích mocnin poloměrů: \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \).
Poměr povrchů je poměr druhých mocnin poloměrů: \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).
Objem větší koule je tedy 8krát větší než menší a povrch je 4krát větší.
23. Koule má povrch \( 36 \pi \,\text{cm}^2 \). Vypočítej poloměr a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule: \( 4 \pi r^2 = 36 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 36 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3\,\text{cm} \).
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^3 \).
24. Koule má průměr \(14\) cm. Urči povrch a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{14}{2} = 7\,\text{cm} \).
Povrch koule: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 7^2 = 4 \pi \cdot 49 = 196 \pi \approx 615{,}75\,\text{cm}^2 \).
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 1436{,}76\,\text{cm}^3 \).
25. Koule je vložena do válce o poloměru \(6\) cm a výšce \(12\) cm. Poloměr koule je stejný jako poloměr válce. Vypočítej, jaký je poměr objemu koule k objemu válce.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule: \( V_k = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288 \pi \approx 904{,}78\,\text{cm}^3 \).
Objem válce: \( V_v = \pi r^2 v = \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = \pi \cdot 36 \cdot 12 = 432 \pi \approx 1357{,}17\,\text{cm}^3 \).
Poměr objemů: \( \frac{V_k}{V_v} = \frac{288 \pi}{432 \pi} = \frac{288}{432} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667 \).
26. Urči délku poloměru koule, pokud její povrch je \(81\) cm² (bez \( \pi \)).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule je dán vzorcem \( S = 4 \pi r^2 \). Pokud je povrch 81 (bez \( \pi \)), máme:
\( 4 r^2 = 81 \Rightarrow r^2 = \frac{81}{4} = 20{,}25 \Rightarrow r = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\,\text{cm} \).
27. Koule má objem \(36\) cm³ (bez \( \pi \)). Vypočítej její poloměr.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule je dán vzorcem \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \). Pokud je objem 36 (bez \( \pi \)), máme:
\( \frac{4}{3} r^3 = 36 \Rightarrow r^3 = \frac{36 \cdot 3}{4} = 27 \Rightarrow r = \sqrt[3]{27} = 3\,\text{cm} \).
28. Koule má poloměr \(5\) cm. Vypočítej délku jejího obvodu největšího kruhu na kouli (tj. obvod kruhu, který je průřezem koule její středovou rovinou).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Největší kruh na kouli má stejný poloměr jako koule, tedy \( r = 5\,\text{cm} \).
Obvod tohoto kruhu je: \( o = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 5 = 10 \pi \approx 31{,}42\,\text{cm} \).
29. Koule je rozdělena rovinou na dvě části tak, že menší část má výšku \(4\) cm. Poloměr koule je \(7\) cm. Vypočítej objem menší části koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem segmentu koule (menší část) se vypočítá podle vzorce:
\( V = \frac{\pi h^2}{3} (3r – h) \), kde \( r = 7\,\text{cm} \) a \( h = 4\,\text{cm} \).
Dosadíme: \( V = \frac{\pi \cdot 4^2}{3} (3 \cdot 7 – 4) = \frac{\pi \cdot 16}{3} (21 – 4) = \frac{16 \pi}{3} \cdot 17 = \frac{272 \pi}{3} \approx 285{,}31\,\text{cm}^3 \).
30. Koule má povrch \( 100 \pi \,\text{cm}^2 \). Vypočítej poloměr a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule je dán vzorcem \( 4 \pi r^2 = 100 \pi \). Po zjednodušení:
\( 4 r^2 = 100 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5\,\text{cm} \).
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \approx 523{,}60\,\text{cm}^3 \).
31. Koule má poloměr \(8\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule se vypočítá podle vzorce \( S = 4 \pi r^2 \):
\( S = 4 \pi \cdot 8^2 = 4 \pi \cdot 64 = 256 \pi \approx 804{,}25\,\text{cm}^2 \).
Objem koule se vypočítá podle vzorce \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \):
\( V = \frac{4}{3} \pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 512 = \frac{2048}{3} \pi \approx 2144{,}66\,\text{cm}^3 \).
32. Koule má objem \( 288 \pi \,\text{cm}^3 \). Vypočítej její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule je dán vzorcem \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 288 \pi \). Po zjednodušení:
\( \frac{4}{3} r^3 = 288 \Rightarrow r^3 = \frac{288 \cdot 3}{4} = 216 \Rightarrow r = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{cm} \).
Povrch koule: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 6^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144 \pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^2 \).
33. Koule má povrch \( 196 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči poloměr a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule je dán vzorcem \( S = 4 \pi r^2 = 196 \pi \). Po zjednodušení:
\( 4 r^2 = 196 \Rightarrow r^2 = 49 \Rightarrow r = 7\,\text{cm} \).
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 1436{,}76\,\text{cm}^3 \).
34. Koule má průměr \(12\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr koule je \( r = \frac{12}{2} = 6\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 6^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144 \pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288 \pi \approx 904{,}78\,\text{cm}^3 \).
35. Koule má poloměr \(9\) cm. Vypočítej délku jejího největšího kruhu (obvod kruhu v rovině procházející středem koule).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Největší kruh koule má poloměr stejný jako koule, tedy \( r = 9\,\text{cm} \).
Obvod kruhu je: \( o = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 9 = 18 \pi \approx 56{,}55\,\text{cm} \).
36. Koule má objem \( 81 \pi \,\text{cm}^3 \). Vypočítej její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule je \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 81 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 81 \Rightarrow r^3 = \frac{81 \cdot 3}{4} = 60{,}75 \Rightarrow r = \sqrt[3]{60{,}75} \approx 3{,}93\,\text{cm} \).
Povrch koule je \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (3{,}93)^2 = 4 \pi \cdot 15{,}45 \approx 61{,}80 \pi \approx 194{,}15\,\text{cm}^2 \).
37. Koule má povrch \(50\) cm² bez \( \pi \). Urči poloměr a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 50 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 50 \Rightarrow r^2 = 12{,}5 \Rightarrow r = \sqrt{12{,}5} \approx 3{,}54\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (3{,}54)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 44{,}34 = 59{,}12 \pi \approx 185{,}68\,\text{cm}^3 \).
38. Koule má průměr \(16\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{16}{2} = 8\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 8^2 = 4 \pi \cdot 64 = 256 \pi \approx 804{,}25\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 512 = \frac{2048}{3} \pi \approx 2144{,}66\,\text{cm}^3 \).
39. Koule je rozdělena rovinou ve výšce \(3\) cm od vrcholu. Poloměr koule je \(7\) cm. Vypočítej objem menší části koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem segmentu koule se vypočítá podle vzorce:
\( V = \frac{\pi h^2}{3} (3r – h) \), kde \( r = 7\,\text{cm} \) a \( h = 3\,\text{cm} \).
Dosadíme: \( V = \frac{\pi \cdot 3^2}{3} (3 \cdot 7 – 3) = \frac{\pi \cdot 9}{3} (21 – 3) = 3 \pi \cdot 18 = 54 \pi \approx 169{,}65\,\text{cm}^3 \).
40. Koule má objem \( 36 \pi \,\text{cm}^3 \). Vypočítej poloměr a povrch koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 36 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 36 \Rightarrow r^3 = \frac{36 \cdot 3}{4} = 27 \Rightarrow r = \sqrt[3]{27} = 3\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 3^2 = 4 \pi \cdot 9 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
41. Koule má průměr \(10\) cm. Vypočítej povrch a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr koule je \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \).
Povrch koule: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 5^2 = 4 \pi \cdot 25 = 100 \pi \approx 314{,}16\,\text{cm}^2 \).
Objem koule: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \approx 523{,}60\,\text{cm}^3 \).
42. Koule má povrch \( 81 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 81 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 81 \Rightarrow r^2 = \frac{81}{4} = 20{,}25 \Rightarrow r = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (4{,}5)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 91{,}125 = 121{,}5 \pi \approx 381{,}70\,\text{cm}^3 \).
43. Koule má objem \( 500 \pi \,\text{cm}^3 \). Vypočítej její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 500 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 500 \Rightarrow r^3 = \frac{500 \cdot 3}{4} = 375 \Rightarrow r = \sqrt[3]{375} \approx 7{,}21\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (7{,}21)^2 = 4 \pi \cdot 52{,}02 = 208{,}08 \pi \approx 653{,}42\,\text{cm}^2 \).
44. Koule má poloměr \(3\) cm. Vypočítej délku jejího největšího kruhu a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Největší kruh koule má poloměr 3 cm, jeho délka je \( o = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 3 = 6 \pi \approx 18{,}85\,\text{cm} \).
Povrch koule: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 3^2 = 4 \pi \cdot 9 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
45. Koule má průměr \(14\) cm. Vypočítej objem a povrch koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{14}{2} = 7\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 1436{,}76\,\text{cm}^3 \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 7^2 = 4 \pi \cdot 49 = 196 \pi \approx 615{,}75\,\text{cm}^2 \).
46. Koule má povrch \( 32 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči poloměr a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 32 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 32 \Rightarrow r^2 = 8 \Rightarrow r = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \approx 2{,}83\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (2 \sqrt{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 16 \sqrt{2} = \frac{64 \sqrt{2}}{3} \pi \approx 94{,}84 \pi \approx 297{,}65\,\text{cm}^3 \).
47. Koule má objem \( 113{,}1 \,\text{cm}^3 \). Vypočítej její poloměr a povrch (výsledek zaokrouhli).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 113{,}1 \Rightarrow r^3 = \frac{113{,}1 \cdot 3}{4 \pi} = \frac{339{,}3}{12{,}57} \approx 27 \Rightarrow r = \sqrt[3]{27} = 3\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 3^2 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
48. Koule má povrch \( 100 \pi \,\text{cm}^2 \). Vypočítej poloměr a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 100 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 100 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \approx 523{,}60\,\text{cm}^3 \).
49. Koule má průměr \(18\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{18}{2} = 9\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 9^2 = 4 \pi \cdot 81 = 324 \pi \approx 1017{,}88\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 9^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 729 = 972 \pi \approx 3053{,}63\,\text{cm}^3 \).
50. Koule má objem \( 904,32 \,\text{cm}^3 \). Urči poloměr a povrch koule (zaokrouhli).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 904{,}32 \Rightarrow r^3 = \frac{904{,}32 \cdot 3}{4 \pi} = \frac{2712{,}96}{12{,}57} \approx 216 \Rightarrow r = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 6^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144 \pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^2 \).
51. Koule má poloměr \(8\) cm. Vypočítej délku jejího největšího kruhu a obsah tohoto kruhu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Největší kruh koule má stejný poloměr jako koule, tedy \( r = 8\,\text{cm} \).
Délka kruhu (obvod): \( o = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 8 = 16 \pi \approx 50{,}27\,\text{cm} \).
Obsah kruhu: \( S = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64 \pi \approx 201{,}06\,\text{cm}^2 \).
52. Koule má objem \( 36 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči poloměr a povrch koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 36 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 36 \Rightarrow r^3 = \frac{36 \cdot 3}{4} = 27 \Rightarrow r = \sqrt[3]{27} = 3\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 3^2 = 4 \pi \cdot 9 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
53. Koule má povrch \( 196 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči poloměr a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 196 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 196 \Rightarrow r^2 = 49 \Rightarrow r = 7\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 1436{,}76\,\text{cm}^3 \).
54. Koule má průměr \(12\) cm. Vypočítej povrch a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{12}{2} = 6\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 6^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144 \pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288 \pi \approx 904{,}78\,\text{cm}^3 \).
55. Koule má objem \( 1131 \,\text{cm}^3 \). Vypočítej její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 1131 \Rightarrow r^3 = \frac{1131 \cdot 3}{4 \pi} \approx \frac{3393}{12{,}57} \approx 270 \Rightarrow r = \sqrt[3]{270} \approx 6{,}47\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (6{,}47)^2 = 4 \pi \cdot 41{,}87 = 167{,}48 \pi \approx 525{,}99\,\text{cm}^2 \).
56. Koule má poloměr \(4\) cm. Vypočítej délku jejího největšího kruhu a obsah tohoto kruhu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Délka kruhu (obvod): \( o = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 4 = 8 \pi \approx 25{,}13\,\text{cm} \).
Obsah kruhu: \( S = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16 \pi \approx 50{,}27\,\text{cm}^2 \).
57. Koule má povrch \( 288 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 288 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 288 \Rightarrow r^2 = 72 \Rightarrow r = \sqrt{72} \approx 8{,}49\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (8{,}49)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 609{,}53 = 812{,}71 \pi \approx 2559{,}35\,\text{cm}^3 \).
58. Koule má průměr \(16\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{16}{2} = 8\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 8^2 = 4 \pi \cdot 64 = 256 \pi \approx 804{,}25\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 512 = \frac{2048}{3} \pi \approx 2144{,}66\,\text{cm}^3 \).
59. Koule má povrch \( 100 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 100 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 100 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \approx 523{,}60\,\text{cm}^3 \).
60. Koule má objem \( 36 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 36 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 36 \Rightarrow r^3 = 27 \Rightarrow r = \sqrt[3]{27} = 3\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 3^2 = 4 \pi \cdot 9 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
61. Koule má poloměr \(10\) cm. Vypočítej délku jejího největšího kruhu a obsah tohoto kruhu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Největší kruh koule má poloměr stejný jako koule, tedy \( r = 10\,\text{cm} \).
Délka kruhu (obvod): \( o = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 10 = 20 \pi \approx 62{,}83\,\text{cm} \).
Obsah kruhu: \( S = \pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100 \pi \approx 314{,}16\,\text{cm}^2 \).
62. Koule má objem \( 500 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči poloměr a povrch koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem koule je dán vztahem \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), tedy:
\( \frac{4}{3} \pi r^3 = 500 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 500 \Rightarrow r^3 = \frac{500 \cdot 3}{4} = 375 \Rightarrow r = \sqrt[3]{375} \approx 7{,}22\,\text{cm} \).
Povrch koule spočítáme podle vzorce \( S = 4 \pi r^2 \):
\( S = 4 \pi (7{,}22)^2 = 4 \pi \cdot 52{,}13 = 208{,}52 \pi \approx 655{,}14\,\text{cm}^2 \).
63. Koule má povrch \( 81 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 81 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 81 \Rightarrow r^2 = \frac{81}{4} = 20{,}25 \Rightarrow r = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (4{,}5)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 91{,}13 = 121{,}5 \pi \approx 381{,}70\,\text{cm}^3 \).
64. Koule má průměr \(14\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{14}{2} = 7\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 7^2 = 4 \pi \cdot 49 = 196 \pi \approx 615{,}75\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 1436{,}76\,\text{cm}^3 \).
65. Koule má objem \( 36 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 36 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 36 \Rightarrow r^3 = 27 \Rightarrow r = \sqrt[3]{27} = 3\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 3^2 = 4 \pi \cdot 9 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
66. Koule má poloměr \(9\) cm. Vypočítej délku jejího největšího kruhu a obsah tohoto kruhu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Délka kruhu: \( o = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 9 = 18 \pi \approx 56{,}55\,\text{cm} \).
Obsah kruhu: \( S = \pi r^2 = \pi \cdot 9^2 = 81 \pi \approx 254{,}47\,\text{cm}^2 \).
67. Koule má povrch \( 400 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 400 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 400 \Rightarrow r^2 = 100 \Rightarrow r = 10\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 10^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1000 = \frac{4000}{3} \pi \approx 4188{,}79\,\text{cm}^3 \).
68. Koule má průměr \(6\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{6}{2} = 3\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 3^2 = 4 \pi \cdot 9 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^3 \).
69. Koule má povrch \( 64 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 64 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 64 \Rightarrow r^2 = 16 \Rightarrow r = 4\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 64 = \frac{256}{3} \pi \approx 268{,}08\,\text{cm}^3 \).
70. Koule má objem \( 288 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 288 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 288 \Rightarrow r^3 = \frac{288 \cdot 3}{4} = 216 \Rightarrow r = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 6^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144 \pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^2 \).
71. Koule má poloměr \(8\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr koule je \( r = 8\,\text{cm} \).
Povrch koule spočítáme podle vzorce:
\( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 8^2 = 4 \pi \cdot 64 = 256 \pi \approx 804{,}25\,\text{cm}^2 \).
Objem koule spočítáme podle vzorce:
\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 512 = \frac{2048}{3} \pi \approx 2144{,}66\,\text{cm}^3 \).
72. Koule má povrch \( 100 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch koule je \( S = 4 \pi r^2 = 100 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 100 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5\,\text{cm} \).
Objem koule spočítáme:
\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \approx 523{,}60\,\text{cm}^3 \).
73. Koule má objem \( 113{,}1 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči poloměr a povrch koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem je \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 113{,}1 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 113{,}1 \Rightarrow r^3 = \frac{113{,}1 \cdot 3}{4} = 84{,}825 \Rightarrow r = \sqrt[3]{84{,}825} \approx 4{,}4\,\text{cm} \).
Povrch spočítáme podle vzorce:
\( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (4{,}4)^2 = 4 \pi \cdot 19{,}36 = 77{,}44 \pi \approx 243{,}11\,\text{cm}^2 \).
74. Koule má průměr \(20\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr je \( r = \frac{20}{2} = 10\,\text{cm} \).
Povrch koule spočítáme:
\( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 10^2 = 400 \pi \approx 1256{,}64\,\text{cm}^2 \).
Objem koule spočítáme:
\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 10^3 = \frac{4000}{3} \pi \approx 4188{,}79\,\text{cm}^3 \).
75. Koule má povrch \( 50 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 50 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 50 \Rightarrow r^2 = 12{,}5 \Rightarrow r = \sqrt{12{,}5} \approx 3{,}54\,\text{cm} \).
Objem:
\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (3{,}54)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 44{,}33 = 59{,}11 \pi \approx 185{,}62\,\text{cm}^3 \).
76. Koule má průměr \(12\) cm. Vypočítej délku jejího největšího kruhu a obsah tohoto kruhu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr kruhu: \( r = \frac{12}{2} = 6\,\text{cm} \).
Délka kruhu (obvod): \( o = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 6 = 12 \pi \approx 37{,}70\,\text{cm} \).
Obsah kruhu:
\( S = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
77. Koule má objem \( 33{,}51 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( \frac{4}{3} \pi r^3 = 33{,}51 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 33{,}51 \Rightarrow r^3 = \frac{33{,}51 \cdot 3}{4} = 25{,}13 \Rightarrow r = \sqrt[3]{25{,}13} \approx 2{,}96\,\text{cm} \).
Povrch spočítáme:
\( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (2{,}96)^2 = 4 \pi \cdot 8{,}77 = 35{,}07 \pi \approx 110{,}05\,\text{cm}^2 \).
78. Koule má povrch \( 324 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 324 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 324 \Rightarrow r^2 = 81 \Rightarrow r = 9\,\text{cm} \).
Objem:
\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 9^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 729 = 972 \pi \approx 3053{,}63\,\text{cm}^3 \).
79. Koule má průměr \(18\) cm. Vypočítej povrch a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{18}{2} = 9\,\text{cm} \).
Povrch:
\( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 9^2 = 4 \pi \cdot 81 = 324 \pi \approx 1017{,}88\,\text{cm}^2 \).
Objem:
\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 9^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 729 = 972 \pi \approx 3053{,}63\,\text{cm}^3 \).
80. Koule má povrch \( 16 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 16 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 16 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2\,\text{cm} \).
Objem:
\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 2^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32}{3} \pi \approx 33{,}51\,\text{cm}^3 \).
81. Koule má objem \( 288 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 288 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 288 \Rightarrow r^3 = \frac{288 \cdot 3}{4} = 216 \Rightarrow r = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{cm} \).
Povrch spočítáme podle vzorce:
\( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 6^2 = 144 \pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^2 \).
82. Koule má povrch \( 200 \pi \,\text{cm}^2 \). Vypočítej její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 200 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 200 \Rightarrow r^2 = 50 \Rightarrow r = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm} \).
Objem:
\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (5 \sqrt{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 \cdot 2 \sqrt{2} = \frac{4}{3} \pi \cdot 250 \sqrt{2} \approx 471{,}40 \pi \approx 1479{,}50\,\text{cm}^3 \).
83. Koule má poloměr \(3\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 3^2 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^3 \).
84. Koule má objem \( 500 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( \frac{4}{3} \pi r^3 = 500 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 500 \Rightarrow r^3 = \frac{500 \cdot 3}{4} = 375 \Rightarrow r = \sqrt[3]{375} \approx 7{,}21\,\text{cm} \).
Povrch:
\( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (7{,}21)^2 = 4 \pi \cdot 52{,}02 = 208{,}08 \pi \approx 653{,}28\,\text{cm}^2 \).
85. Koule má průměr \(14\) cm. Vypočítej její povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{14}{2} = 7\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 7^2 = 196 \pi \approx 615{,}75\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 1436{,}76\,\text{cm}^3 \).
86. Koule má povrch \( 288 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 288 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 288 \Rightarrow r^2 = 72 \Rightarrow r = \sqrt{72} \approx 8{,}49\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (8{,}49)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 483{,}47 \approx 644{,}62 \pi \approx 2027{,}47\,\text{cm}^3 \).
87. Koule má objem \( 36 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči poloměr a povrch koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( \frac{4}{3} \pi r^3 = 36 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 36 \Rightarrow r^3 = \frac{36 \cdot 3}{4} = 27 \Rightarrow r = \sqrt[3]{27} = 3\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 3^2 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
88. Koule má poloměr \(10\) cm. Vypočítej povrch a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 10^2 = 400 \pi \approx 1256{,}64\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1000 = \frac{4000}{3} \pi \approx 4188{,}79\,\text{cm}^3 \).
89. Koule má povrch \( 18 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 18 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 18 \Rightarrow r^2 = 4{,}5 \Rightarrow r = \sqrt{4{,}5} \approx 2{,}12\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (2{,}12)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 9{,}54 = 12{,}72 \pi \approx 39{,}94\,\text{cm}^3 \).
90. Koule má průměr \(4\) cm. Vypočítej povrch a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{4}{2} = 2\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 2^2 = 16 \pi \approx 50{,}27\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32}{3} \pi \approx 33{,}51\,\text{cm}^3 \).
91. Koule má objem \( 1024 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( \frac{4}{3} \pi r^3 = 1024 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 1024 \Rightarrow r^3 = \frac{1024 \cdot 3}{4} = 768 \Rightarrow r = \sqrt[3]{768} \approx 9{,}14\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (9{,}14)^2 = 4 \pi \cdot 83{,}53 = 334{,}12 \pi \approx 1049{,}00\,\text{cm}^2 \).
92. Koule má povrch \( 98 \pi \,\text{cm}^2 \). Vypočítej její poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 98 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 98 \Rightarrow r^2 = 24{,}5 \Rightarrow r = \sqrt{24{,}5} \approx 4{,}95\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (4{,}95)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 121{,}36 = 161{,}81 \pi \approx 508{,}22\,\text{cm}^3 \).
93. Koule má průměr \(18\) cm. Urči povrch a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{18}{2} = 9\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 9^2 = 324 \pi \approx 1017{,}88\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 729 = 972 \pi \approx 3053{,}63\,\text{cm}^3 \).
94. Koule má povrch \( 50 \pi \,\text{cm}^2 \). Vypočítej poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 50 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 50 \Rightarrow r^2 = 12{,}5 \Rightarrow r = \sqrt{12{,}5} \approx 3{,}54\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (3{,}54)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 44{,}29 = 59{,}05 \pi \approx 185{,}44\,\text{cm}^3 \).
95. Koule má objem \( 972 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( \frac{4}{3} \pi r^3 = 972 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 972 \Rightarrow r^3 = \frac{972 \cdot 3}{4} = 729 \Rightarrow r = \sqrt[3]{729} = 9\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 9^2 = 324 \pi \approx 1017{,}88\,\text{cm}^2 \).
96. Koule má průměr \(6\) cm. Vypočítej povrch a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{6}{2} = 3\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 3^2 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36 \pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^3 \).
97. Koule má povrch \( 162 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči poloměr a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 162 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 162 \Rightarrow r^2 = 40{,}5 \Rightarrow r = \sqrt{40{,}5} \approx 6{,}36\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (6{,}36)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 257{,}01 = 342{,}68 \pi \approx 1076{,}23\,\text{cm}^3 \).
98. Koule má objem \( 288 \pi \,\text{cm}^3 \). Urči její poloměr a povrch.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Objem: \( \frac{4}{3} \pi r^3 = 288 \pi \Rightarrow \frac{4}{3} r^3 = 288 \Rightarrow r^3 = \frac{288 \cdot 3}{4} = 216 \Rightarrow r = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 6^2 = 144 \pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^2 \).
99. Koule má průměr \(12\) cm. Vypočítej povrch a objem koule.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloměr: \( r = \frac{12}{2} = 6\,\text{cm} \).
Povrch: \( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 6^2 = 144 \pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^2 \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288 \pi \approx 904{,}78\,\text{cm}^3 \).
100. Koule má povrch \( 18 \pi \,\text{cm}^2 \). Urči poloměr a objem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Povrch: \( 4 \pi r^2 = 18 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 18 \Rightarrow r^2 = 4{,}5 \Rightarrow r = \sqrt{4{,}5} \approx 2{,}12\,\text{cm} \).
Objem: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (2{,}12)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 9{,}54 = 12{,}72 \pi \approx 39{,}94\,\text{cm}^3 \).
