Kovariance

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme střední hodnoty \(E(X)\) a \(E(Y)\). Střední hodnota \(E(X)\) je dána vztahem \[ E(X) = \sum_x x \cdot P(X = x). \] Proto musíme nejprve určit marginální pravděpodobnosti \(P(X=x)\) z tabulky: \[ P(X=1) = 0.06 + 0.10 + 0.04 = 0.20, \] \[ P(X=2) = 0.12 + 0.20 + 0.18 = 0.50, \] \[ P(X=3) = 0.12 + 0.10 + 0.08 = 0.30. \] Nyní spočítáme \(E(X)\): \[ E(X) = 1 \times 0.20 + 2 \times 0.50 + 3 \times 0.30 = 0.20 + 1.00 + 0.90 = 2.10. \] Podobně spočítáme \(E(Y)\). Nejprve marginální pravděpodobnosti \(P(Y=y)\): \[ P(Y=4) = 0.06 + 0.12 + 0.12 = 0.30, \] \[ P(Y=5) = 0.10 + 0.20 + 0.10 = 0.40, \] \[ P(Y=6) = 0.04 + 0.18 + 0.08 = 0.30. \] Pak \[ E(Y) = 4 \times 0.30 + 5 \times 0.40 + 6 \times 0.30 = 1.20 + 2.00 + 1.80 = 5.00. \]

Nyní spočítáme \(E(XY)\): \[ E(XY) = \sum_x \sum_y x y P(X=x, Y=y). \] Dosadíme hodnoty: \[ E(XY) = 1 \times 4 \times 0.06 + 1 \times 5 \times 0.10 + 1 \times 6 \times 0.04 + 2 \times 4 \times 0.12 + 2 \times 5 \times 0.20 + 2 \times 6 \times 0.18 + 3 \times 4 \times 0.12 + 3 \times 5 \times 0.10 + 3 \times 6 \times 0.08. \] Vypočteme jednotlivé členy: \[ 1 \times 4 \times 0.06 = 0.24, \quad 1 \times 5 \times 0.10 = 0.50, \quad 1 \times 6 \times 0.04 = 0.24, \] \[ 2 \times 4 \times 0.12 = 0.96, \quad 2 \times 5 \times 0.20 = 2.00, \quad 2 \times 6 \times 0.18 = 2.16, \] \[ 3 \times 4 \times 0.12 = 1.44, \quad 3 \times 5 \times 0.10 = 1.50, \quad 3 \times 6 \times 0.08 = 1.44. \] Sečteme všechny členy: \[ E(XY) = 0.24 + 0.50 + 0.24 + 0.96 + 2.00 + 2.16 + 1.44 + 1.50 + 1.44 = 10.48. \]

Kovariance je definována jako \[ \mathrm{cov}(X,Y) = E(XY) – E(X) E(Y). \] Dosadíme vypočtené hodnoty: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 10.48 – 2.10 \times 5.00 = 10.48 – 10.50 = -0.02. \]

Kovariance je velmi malá záporná hodnota, což naznačuje, že náhodné veličiny \(X\) a \(Y\) jsou téměř nezkorelované. Tento výpočet ukazuje podrobné kroky zahrnující výpočet marginálních pravděpodobností, středních hodnot, očekávané hodnoty součinu a nakonec samotné kovariance.

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že přidání konstanty nemění kovarianci, protože kovariance měří závislost odchylek od středních hodnot, tedy \[ \mathrm{cov}(Z, W) = \mathrm{cov}(3X – 2Y + 5, W) = \mathrm{cov}(3X – 2Y, W). \] Proto nás bude zajímat pouze lineární kombinace \(3X – 2Y\).

Chceme vypočítat \(\mathrm{Var}(Z)\), tedy rozptyl náhodné veličiny \(Z\), ale jelikož se ptáme na kovarianci samotné \(Z\) (tedy vůči sobě samému), máme \[ \mathrm{Var}(Z) = \mathrm{Var}(3X – 2Y). \]

Rozptyl lineární kombinace je dán vztahem \[ \mathrm{Var}(aX + bY) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + 2ab \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme \(a=3\), \(b=-2\): \[ \mathrm{Var}(Z) = 3^2 \times 4 + (-2)^2 \times 9 + 2 \times 3 \times (-2) \times 3 = 9 \times 4 + 4 \times 9 – 36 = 36 + 36 – 36 = 36. \]

Výsledek znamená, že rozptyl náhodné veličiny \(Z\) je 36.

Řešení příkladu:

Kovariance dvou lineárních kombinací \(U = aX + bY\) a \(V = cX + dY\) je dána vzorcem: \[ \mathrm{cov}(U,V) = ac\,\mathrm{Var}(X) + bd\,\mathrm{Var}(Y) + (ad + bc)\,\mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme hodnoty: \(a=2\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=4\).

Počítáme jednotlivé členy: \[ ac\,\mathrm{Var}(X) = 2 \cdot 1 \cdot 20 = 40, \] \[ bd\,\mathrm{Var}(Y) = (-1) \cdot 4 \cdot 30 = -120, \] \[ (ad + bc)\,\mathrm{cov}(X,Y) = (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 1) \cdot 7 = (8 – 1) \cdot 7 = 7 \cdot 7 = 49. \]

Sečteme: \(40 – 120 + 49 = -31\).

Kovariance náhodných veličin \(U\) a \(V\) je \(-31\).

Řešení příkladu:

Ukažme příklad náhodných veličin \(X\) a \(Y\), které nejsou nezávislé, ale mají kovarianci rovnu nule.

Nechť \(X\) je náhodná veličina, která s pravděpodobností \(\frac{1}{2}\) nabývá hodnoty \(1\) a s pravděpodobností \(\frac{1}{2}\) hodnoty \(-1\). Definujme \(Y = X^2\).

Jelikož \(Y\) je deterministicky určeno \(X\), veličiny nejsou nezávislé. Spočítejme kovarianci: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y). \] Nejprve: \[ E(X) = 1 \times \frac{1}{2} + (-1) \times \frac{1}{2} = 0, \] \[ E(Y) = E(X^2) = 1^2 \times \frac{1}{2} + (-1)^2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1, \] \[ E(XY) = E(X \cdot X^2) = E(X^3) = 1^3 \times \frac{1}{2} + (-1)^3 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} – \frac{1}{2} = 0. \]

Tedy \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 0 – 0 \times 1 = 0. \]

Kovariance je nulová, ale \(X\) a \(Y\) nejsou nezávislé, protože \(Y\) je funkce \(X\). To dokazuje, že kovariance rovná nule neimplikuje nezávislost.

Řešení příkladu:

Kovariance mezi lineárními kombinacemi je \[ \mathrm{cov}(Y,Z) = \mathrm{cov}(3X_1 – X_2, 2X_1 + 5X_2). \] Vyjádříme ji jako součet: \[ \mathrm{cov}(Y,Z) = 3 \times 2 \, \mathrm{cov}(X_1,X_1) + 3 \times 5 \, \mathrm{cov}(X_1,X_2) – 1 \times 2 \, \mathrm{cov}(X_2,X_1) – 1 \times 5 \, \mathrm{cov}(X_2,X_2). \] Víme, že \(\mathrm{cov}(X_i,X_i) = \mathrm{Var}(X_i)\), tedy: \[ \mathrm{cov}(X_1,X_1) = 4, \quad \mathrm{cov}(X_2,X_2) = 9, \quad \mathrm{cov}(X_1,X_2) = \mathrm{cov}(X_2,X_1) = 2. \]

Dosadíme: \[ \mathrm{cov}(Y,Z) = 6 \times 4 + 15 \times 2 – 2 \times 2 – 5 \times 9 = 24 + 30 – 4 – 45. \]

Sečteme: \[ 24 + 30 = 54, \quad 54 – 4 = 50, \quad 50 – 45 = 5. \]

Kovariance je tedy rovna 5.

Řešení příkladu:

Korelační koeficient je definován jako \[ \rho = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}}. \] Dosadíme: \[ \rho = \frac{-4}{\sqrt{16 \times 25}} = \frac{-4}{\sqrt{400}} = \frac{-4}{20} = -0{,}2. \]

Interpretace: Hodnota \(\rho = -0{,}2\) naznačuje slabou negativní lineární závislost mezi \(X\) a \(Y\). To znamená, že při růstu jedné veličiny má druhá tendenci mírně klesat, ale vztah není silný.

Řešení příkladu:

Kovarianci lineárních kombinací lze vyjádřit takto:

\[ \mathrm{cov}(aX + bY + c, dX + eY + f) = a d \, \mathrm{Var}(X) + b e \, \mathrm{Var}(Y) + (a e + b d)\, \mathrm{cov}(X,Y), \] konstanty \(c\) a \(f\) se do kovariance nezapočítávají.

Pro námi zadané veličiny platí \(a = 4\), \(b = -3\), \(d = -1\), \(e = 1\), takže

\[ \mathrm{cov}(W,V) = 4 \cdot (-1) \, \mathrm{Var}(X) + (-3) \cdot 1 \, \mathrm{Var}(Y) + (4 \cdot 1 + (-3) \cdot (-1)) \cdot \mathrm{cov}(X,Y) \]

Dosadíme \(\mathrm{cov}(X,Y) = 10\): \[ \mathrm{cov}(W,V) = -4 \, \mathrm{Var}(X) – 3 \, \mathrm{Var}(Y) + (4 + 3) \cdot 10 = -4 \, \mathrm{Var}(X) – 3 \, \mathrm{Var}(Y) + 70 \]

Bez znalosti \(\mathrm{Var}(X)\) a \(\mathrm{Var}(Y)\) nelze určit přesnou číselnou hodnotu kovariance.

Řešení příkladu:

Protože \(X\) a \(Y\) jsou nezávislé, platí \(\mathrm{cov}(X,Y) = 0\).

Lineární kombinace \(Z = 5X – 2Y\) a \(W = 3X + Y\): \[ \mathrm{cov}(Z,W) = 5\cdot3\,\mathrm{Var}(X) + (-2)\cdot1\,\mathrm{Var}(Y) + (5\cdot1 + (-2)\cdot3)\cdot \mathrm{cov}(X,Y) \] \[ = 15 \cdot 1 – 2 \cdot 1 + (5 – 6)\cdot 0 = 15 – 2 + 0 = 13. \]

Kovariance mezi \(Z\) a \(W\) je \(13\).

Řešení příkladu:

Kovariance je dána vzorcem: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \rho \sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}. \] Dosadíme hodnoty: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = -0{,}8 \cdot \sqrt{9 \cdot 16} = -0{,}8 \cdot \sqrt{144} = -0{,}8 \cdot 12 = -9{,}6. \]

Kovariance je \(-9{,}6\), což odpovídá silné negativní lineární závislosti mezi \(X\) a \(Y\).

Řešení příkladu:

Korelační koeficient je dán vztahem \[ \rho = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}}. \] Dosadíme hodnoty: \[ \rho = \frac{3}{\sqrt{4 \times 9}} = \frac{3}{\sqrt{36}} = \frac{3}{6} = 0{,}5. \]

Hodnota \(\rho = 0{,}5\) je kladná, což znamená, že existuje středně silná pozitivní lineární závislost mezi \(X\) a \(Y\). Korelační koeficient vždy nabývá hodnot v intervalu \([-1, 1]\), což potvrzuje, že jeho hodnota je platná.

Řešení příkladu:

Vzorec pro korelační koeficient je \[ \rho = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}}. \] Po úpravě vyjádříme kovarianci \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \rho \sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}. \]

Dosadíme hodnoty: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = -0{,}8 \times \sqrt{9 \times 16} = -0{,}8 \times \sqrt{144} = -0{,}8 \times 12 = -9{,}6. \]

Kovariance je tedy rovna \(-9,6\), což znamená silnou negativní lineární závislost mezi \(X\) a \(Y\).

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme základní vztahy pro rozptyl a kovarianci. Rozptyl náhodné veličiny \(X\) je definován jako \[ \mathrm{Var}(X) = E(X^2) – (E(X))^2. \] Analogicky pro \(Y\): \[ \mathrm{Var}(Y) = E(Y^2) – (E(Y))^2. \] Kovariance dvou veličin \(X\) a \(Y\) je definována jako \[ \mathrm{cov}(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y). \] Dosadíme zadané hodnoty: \[ \mathrm{Var}(X) = 5 – (1)^2 = 5 – 1 = 4, \] \[ \mathrm{Var}(Y) = 10 – (2)^2 = 10 – 4 = 6, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 6 – (1)(2) = 6 – 2 = 4. \] Výsledky nám říkají, že rozptyl \(X\) je \(4\), rozptyl \(Y\) je \(6\) a kovariance mezi nimi je \(4\). Kovariance kladná značí, že když \(X\) nabývá vyšších hodnot, i \(Y\) má tendenci být větší, což naznačuje přímou lineární závislost mezi veličinami.

Řešení příkladu:

Korelační koeficient \(\rho\) se počítá podle vzorce: \[ \rho = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}}. \] Nejprve dosadíme hodnoty: \[ \rho = \frac{-6}{\sqrt{9 \times 4}} = \frac{-6}{\sqrt{36}} = \frac{-6}{6} = -1. \] Výsledek \(\rho = -1\) znamená perfektní negativní lineární závislost mezi veličinami \(X\) a \(Y\). To znamená, že pokud se hodnota \(X\) zvětší, hodnota \(Y\) bude přesně klesat v přímé úměrnosti, což je nejsilnější možná negativní lineární korelace.

Řešení příkladu:

Z definice korelačního koeficientu máme: \[ \rho = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}}. \] Pro vypočet kovariance upravíme: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \rho \times \sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}. \] Dosadíme známé hodnoty: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 0{,}6 \times \sqrt{16 \times 25} = 0{,}6 \times \sqrt{400} = 0{,}6 \times 20 = 12. \] Kovariance je tedy rovna \(12\). Jelikož korelační koeficient je kladný, naznačuje to přímou závislost mezi \(X\) a \(Y\), a její síla je střední až silná vzhledem k hodnotě \(0,6\).

Řešení příkladu:

Rozptyl lineární kombinace náhodných veličin se počítá podle vzorce: \[ \mathrm{Var}(aX + bY) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + 2ab\, \mathrm{cov}(X,Y). \] V našem případě je \(a = 2\), \(b = -1\). Dosadíme hodnoty: \[ \mathrm{Var}(Z) = 2^2 \times 3 + (-1)^2 \times 4 + 2 \times 2 \times (-1) \times 1 = 4 \times 3 + 1 \times 4 – 4 = 12 + 4 – 4 = 12. \] Výsledný rozptyl veličiny \(Z\) je tedy \(12\). Tento výpočet demonstruje, jak kovariance ovlivňuje celkovou variabilitu lineární kombinace.

Řešení příkladu:

Kovariance nulová znamená, že mezi veličinami není lineární závislost, ale nezávislost je silnější pojem, který zahrnuje i všechny druhy závislosti, nejen lineární.

Příklad: Nechť \(X\) je náhodná veličina, která nabývá hodnot \(+1\) a \(-1\) s pravděpodobností \(0{,}5\). Definujme \(Y = X^2\). Pak platí:

• \(E(X) = 0\) (protože \(+1\) a \(-1\) jsou symetrické hodnoty).
• \(E(Y) = E(X^2) = 1\).
• \(\mathrm{cov}(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = E(X^3) – 0 \times 1 = E(X) = 0\), protože \(X^3 = X\).

Vidíme, že \(\mathrm{cov}(X,Y) = 0\), ale \(Y\) je funkce \(X\), takže nejsou nezávislé. To znamená, že nulová kovariance neimplikuje nezávislost.

Řešení příkladu:

Podle definice korelačního koeficientu platí: \[ \rho = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}}. \] Z matice \(\Sigma\) vyčteme: \[ \mathrm{Var}(X) = 9, \quad \mathrm{Var}(Y) = 4, \quad \mathrm{cov}(X,Y) = 3. \] Dosadíme do vzorce: \[ \rho = \frac{3}{\sqrt{9 \times 4}} = \frac{3}{\sqrt{36}} = \frac{3}{6} = 0{,}5. \] Hodnota korelačního koeficientu \(0{,}5\) znamená středně silnou pozitivní lineární závislost mezi veličinami.

Řešení příkladu:

Kovariance a korelační koeficient jsou propojeny vztahem: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \rho \sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}. \] Dosadíme: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = -0{,}8 \times \sqrt{5 \times 7} = -0{,}8 \times \sqrt{35}. \] Vypočteme odmocninu: \[ \sqrt{35} \approx 5{,}916, \] takže \[ \mathrm{cov}(X,Y) \approx -0{,}8 \times 5{,}916 = -4{,}733. \] Kovariance tedy přibližně činí \(-4{,}733\), což odpovídá silné negativní lineární závislosti.

Řešení příkladu:

Protože \(X\) a \(Y\) jsou nezávislé, jejich kovariance je nulová: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 0. \] Rozptyl lineární kombinace je tedy \[ \mathrm{Var}(W) = 3^2 \mathrm{Var}(X) + 4^2 \mathrm{Var}(Y) + 2 \times 3 \times 4 \times 0 = 9 \times 2 + 16 \times 3 + 0 = 18 + 48 = 66. \] Rozptyl veličiny \(W\) je \(66\).

Řešení příkladu:

Korelační koeficient spočítáme podle vzorce: \[ \rho = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}} = \frac{5}{\sqrt{20 \times 8}} = \frac{5}{\sqrt{160}}. \] Vypočteme odmocninu: \[ \sqrt{160} = \sqrt{16 \times 10} = 4 \sqrt{10} \approx 4 \times 3{,}1623 = 12{,}649. \] Dosadíme zpět: \[ \rho = \frac{5}{12{,}649} \approx 0{,}395. \] Hodnota korelačního koeficientu je přibližně \(0,395\), což znamená slabší až střední pozitivní lineární závislost. Jelikož \(|\rho| < 1\), veličiny nejsou lineárně závislé v přesném smyslu, tedy nejsou navzájem lineárně jednoznačně závislé.

Řešení příkladu:

Rozptyl součtu náhodných veličin je dán vztahem: \[ \mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\, \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme zadané hodnoty: \[ \mathrm{Var}(Z) = 1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2} = 2 + 1 = 3. \] Rozptyl veličiny \(Z\) je tedy \(3\), což ukazuje, že závislost mezi \(X\) a \(Y\) \((\)položená kovariancí \(0,5)\) zvětšuje rozptyl jejich součtu oproti nezávislému případě.

Řešení příkladu:

Nejdříve si připomeneme vztah mezi kovariancí a korelačním koeficientem: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \rho \sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}. \] Dosadíme známé hodnoty: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 0{,}6 \times \sqrt{4 \times 9}. \] Vypočítáme součin pod odmocninou: \[ 4 \times 9 = 36. \] Odmocnina z 36 je: \[ \sqrt{36} = 6. \] Nyní dosadíme zpět: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 0{,}6 \times 6 = 3{,}6. \] Kovariance je tedy \(3,6\). Interpretace: Pozitivní hodnota kovariance značí, že pokud se hodnota veličiny \(X\) zvyšuje nad svůj střední aritmetický průměr, obecně i veličina \(Y\) má tendenci být větší než svůj průměr. Hodnota \(3,6\) není sama o sobě příliš informativní bez kontextu jednotek nebo škály veličin, ale vzhledem k velikosti rozptylů a kladnému korelačnímu koeficientu indikujeme, že mezi veličinami existuje mírná až střední pozitivní lineární závislost.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme korelační koeficient podle definice: \[ \rho = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}}. \] Dosadíme hodnoty: \[ \rho = \frac{-20}{\sqrt{16 \times 25}}. \] Vypočítáme součin v odmocnině: \[ 16 \times 25 = 400. \] Odmocnina z 400 je: \[ \sqrt{400} = 20. \] Dosadíme zpět: \[ \rho = \frac{-20}{20} = -1. \] Hodnota korelačního koeficientu \(-1\) znamená perfektní negativní lineární závislost mezi veličinami \(X\) a \(Y\). To znamená, že \(Y\) lze vyjádřit jako lineární funkci \(X\) s přesnou zápornou úměrností, tedy jestliže \(X\) roste, \(Y\) přesně klesá tak, že všechny body leží na přímce. Tato situace je extrémní a v praxi je velmi vzácná, ale pokud nastane, znamená to přesnou deterministickou lineární závislost s opačným směrem.

Řešení příkladu:

Korelační koeficient \(\rho\) je definován jako \[ \rho = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}}. \] Pokud \(\rho = 0\), znamená to \[ \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{10 \times 15}} = 0. \] Proto musí být kovariance \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 0. \] Význam korelačního koeficientu rovného nule je takový, že mezi veličinami \(X\) a \(Y\) neexistuje žádná lineární závislost. To ale neznamená, že mezi nimi není žádná závislost vůbec – mohou být například nelineárně závislé, ale korelace (která měří pouze lineární vztah) je nulová. Takže: – Kovariance je \(0\), – není lineární závislost mezi \(X\) a \(Y\), – závislost jiné než lineární ale může existovat.

Řešení příkladu:

Pro výpočet rozptylu lineární kombinace platí vzorec: \[ \mathrm{Var}(aX + bY) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + 2ab\, \mathrm{cov}(X,Y). \] V našem případě: \[ a = 2, \quad b = -3, \] takže: \[ \mathrm{Var}(Z) = 2^2 \times 9 + (-3)^2 \times 16 + 2 \times 2 \times (-3) \times 12. \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ 2^2 \times 9 = 4 \times 9 = 36, \] \[ (-3)^2 \times 16 = 9 \times 16 = 144, \] \[ 2 \times 2 \times (-3) \times 12 = 2 \times 2 \times (-3) \times 12 = -144. \] Sečteme všechny hodnoty: \[ 36 + 144 – 144 = 36. \] Rozptyl veličiny \(Z\) je tedy \(36\). V tomto příkladu vidíme, že kvůli záporné hodnotě součinu \(ab\) a kladné kovarianci došlo k výraznému snížení rozptylu výsledné kombinace, což je důsledek korelace mezi \(X\) a \(Y\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme střední hodnotu \(E(W)\) podle lineárnosti očekávání: \[ E(W) = E(X + 2Y) = E(X) + 2 E(Y) = 3 + 2 \times 5 = 3 + 10 = 13. \] Dále rozptyl \(W\) počítáme podle vzorce pro rozptyl lineární kombinace: \[ \mathrm{Var}(W) = \mathrm{Var}(X + 2Y) = \mathrm{Var}(X) + 2^2 \mathrm{Var}(Y) + 2 \times 1 \times 2 \times \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme hodnoty: \[ \mathrm{Var}(W) = 4 + 4 \times 9 + 2 \times 1 \times 2 \times 6 = 4 + 36 + 24 = 64. \] Výsledkem je: \[ E(W) = 13, \quad \mathrm{Var}(W) = 64. \] To znamená, že náhodná veličina \(W\) má střední hodnotu \(13\) a rozptyl \(64\), přičemž kladná kovariance mezi \(X\) a \(Y\) zvětšuje rozptyl kombinace oproti případu, kdy by byly nezávislé.

Řešení příkladu:

Rozptyl lineární kombinace je dán vzorcem: \[ \mathrm{Var}(aX + bY) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + 2ab \, \mathrm{cov}(X,Y). \] Zde je \(a = 5\), \(b = -2\), dosadíme tedy: \[ \mathrm{Var}(Z) = 5^2 \times 1 + (-2)^2 \times 4 + 2 \times 5 \times (-2) \times (-1). \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ 25 + 4 \times 4 + 2 \times 5 \times (-2) \times (-1) = 25 + 16 + 20. \] Sečteme: \[ 25 + 16 + 20 = 61. \] Rozptyl veličiny \(Z\) je \(61\). Interpretace: Negativní kovariance znamená, že \(X\) a \(Y\) mají tendenci se pohybovat v opačných směrech, což pro tuto kombinaci výrazně zvýšilo rozptyl, protože koeficienty \(a\) a \(b\) mají různé znaménka, a proto záporná kovariance přispěla kladně (díky \(- \times – = +\)) k rozptylu výsledné kombinace.

Řešení příkladu:

Víme, že: \[ Y = 3X + \varepsilon, \] kde \(\varepsilon\) je nezávislá na \(X\). Kovariance \(\mathrm{cov}(X,Y)\) je podle definice: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \mathrm{cov}(X, 3X + \varepsilon) = \mathrm{cov}(X,3X) + \mathrm{cov}(X,\varepsilon). \] Protože \(\varepsilon\) je nezávislá na \(X\), platí: \[ \mathrm{cov}(X,\varepsilon) = 0. \] Dále víme, že: \[ \mathrm{cov}(X,3X) = 3\, \mathrm{cov}(X,X) = 3 \mathrm{Var}(X). \] Dosadíme hodnotu \(\mathrm{Var}(X) = 5\): \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 3 \times 5 = 15. \] Pro rozptyl \(Y\) využijeme vzorec pro rozptyl součtu nezávislých veličin: \[ \mathrm{Var}(Y) = \mathrm{Var}(3X + \varepsilon) = 3^2 \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(\varepsilon) = 9 \times 5 + 4 = 45 + 4 = 49. \] Shrnutí: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 15, \quad \mathrm{Var}(Y) = 49. \] Tento příklad ukazuje, jak se kovariance chová při lineární transformaci a jak nezávislá složka \(\varepsilon\) přidává k celkovému rozptylu \(Y\).

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme vzorec pro kovarianci lineárních kombinací: \[ \mathrm{cov}(aX + bY, cX + dY) = ac \mathrm{Var}(X) + bd \mathrm{Var}(Y) + (ad + bc) \mathrm{cov}(X,Y). \] V našem případě: \[ U = 2X – Y \Rightarrow a=2, b=-1, \] \[ V = X + 3Y \Rightarrow c=1, d=3. \] Dosadíme do vzorce: \[ \mathrm{cov}(U,V) = (2)(1) \times 3 + (-1)(3) \times 8 + (2 \times 3 + (-1) \times 1) \times 4. \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ 2 \times 1 \times 3 = 6, \] \[ (-1) \times 3 \times 8 = -24, \] \[ (2 \times 3 + (-1) \times 1) = 6 – 1 = 5, \] \[ 5 \times 4 = 20. \] Nyní sečteme všechny hodnoty: \[ 6 – 24 + 20 = 2. \] Kovariance veličin \(U\) a \(V\) je tedy \(2\). Tento výsledek znamená, že i když původní veličiny \(X\) a \(Y\) měly kladnou kovarianci, lineární kombinace mohou mít i menší kovarianci, v tomto případě \(2\), což ukazuje, jak lineární transformace ovlivňují závislost mezi novými veličinami.

Řešení příkladu:

Pro výpočet rozptylu kombinace \(W = X – 2Y + 3Z\) použijeme vzorec pro rozptyl lineární kombinace náhodných veličin:

\[ \mathrm{Var}(aX + bY + cZ) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + c^2 \mathrm{Var}(Z) + 2ab\,\mathrm{cov}(X,Y) + 2ac\,\mathrm{cov}(X,Z) + 2bc\,\mathrm{cov}(Y,Z) \]

V našem případě jsou koeficienty \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 3\). Dosadíme do vzorce:

\[ \mathrm{Var}(W) = 1^2 \cdot 4 + (-2)^2 \cdot 9 + 3^2 \cdot 16 + 2 \cdot 1 \cdot (-2) \cdot 3 + 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) \cdot 3 \cdot (-4) \]

Nyní spočítáme jednotlivé členy:

• \(1^2 \cdot 4 = 4\)
• \((-2)^2 \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36\)
• \(3^2 \cdot 16 = 9 \cdot 16 = 144\)
• \(2 \cdot 1 \cdot (-2) \cdot 3 = -12\)
• \(2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 = 12\)
• \(2 \cdot (-2) \cdot 3 \cdot (-4) = 48\)

Sečteme všechny členy:

\[ 4 + 36 + 144 – 12 + 12 + 48 = 232 \]

Tedy rozptyl kombinace je

\(\mathrm{Var}(W) = 232\)

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme rozptyl \(Z = 4X – 5Y\): \[ \mathrm{Var}(Z) = 4^2 \mathrm{Var}(X) + (-5)^2 \mathrm{Var}(Y) + 2 \times 4 \times (-5) \times \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme hodnoty: \[ \mathrm{Var}(Z) = 16 \times 2 + 25 \times 3 + 2 \times 4 \times (-5) \times 1 = 32 + 75 – 40 = 67. \] Dále spočítáme korelační koeficient: \[ \rho = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X) \mathrm{Var}(Y)}} = \frac{1}{\sqrt{2 \times 3}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0{,}408. \] Interpretace korelace: Hodnota kolem 0,4 znamená slabou až mírnou pozitivní lineární závislost mezi veličinami \(X\) a \(Y\). Shrnutí: \[ \mathrm{Var}(Z) = 67, \quad \rho \approx 0{,}408. \]

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme definici kovariance lineárních kombinací náhodných veličin. Pro veličiny \(U = aX + bY\) a \(V = cX + dY\) platí: \[ \mathrm{cov}(U,V) = a c \mathrm{Var}(X) + b d \mathrm{Var}(Y) + (a d + b c) \mathrm{cov}(X,Y). \] Nyní dosadíme hodnoty: \[ a = 2, \quad b = -1, \quad c = -1, \quad d = 4. \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ a c \mathrm{Var}(X) = 2 \times (-1) \times 5 = -10, \] \[ b d \mathrm{Var}(Y) = (-1) \times 4 \times 7 = -28, \] \[ (a d + b c) \mathrm{cov}(X,Y) = (2 \times 4 + (-1) \times (-1)) \times 3 = (8 + 1) \times 3 = 9 \times 3 = 27. \] Nyní sečteme všechny členy: \[ -10 – 28 + 27 = -11. \] Výsledkem je: \[ \mathrm{cov}(U,V) = -11. \] Interpretace: Kovariance je záporná, což znamená, že lineární kombinace \(U\) a \(V\) jsou v určité míře negativně závislé – když se hodnota jedné zvyšuje, druhá má tendenci klesat.

Řešení příkladu:

Kovariance dvou lineárních kombinací náhodných veličin se počítá podle vzorce: \[ \mathrm{cov}(A,B) = \sum_{i} \sum_{j} a_i b_j \mathrm{cov}(X_i, X_j), \] kde \(A = \sum_i a_i X_i\), \(B = \sum_j b_j X_j\), a \(X_i, X_j \in \{X,Y,Z\}\). V našem případě: \[ A = 1 \times X + 2 \times Y + (-1) \times Z, \] \[ B = 3 \times X + (-1) \times Y + 4 \times Z. \] Koeficienty tedy jsou: \[ a_X = 1, \quad a_Y = 2, \quad a_Z = -1, \] \[ b_X = 3, \quad b_Y = -1, \quad b_Z = 4. \] Nyní si vypočítáme všechny členy součtu: 1) \(a_X b_X \mathrm{cov}(X,X) = 1 \times 3 \times \mathrm{Var}(X) = 3 \times 10 = 30,\) 2) \(a_X b_Y \mathrm{cov}(X,Y) = 1 \times (-1) \times 4 = -4,\) 3) \(a_X b_Z \mathrm{cov}(X,Z) = 1 \times 4 \times 6 = 24,\) 4) \(a_Y b_X \mathrm{cov}(Y,X) = 2 \times 3 \times 4 = 24,\) 5) \(a_Y b_Y \mathrm{cov}(Y,Y) = 2 \times (-1) \times 15 = -30,\) 6) \(a_Y b_Z \mathrm{cov}(Y,Z) = 2 \times 4 \times (-5) = -40,\) 7) \(a_Z b_X \mathrm{cov}(Z,X) = (-1) \times 3 \times 6 = -18,\) 8) \(a_Z b_Y \mathrm{cov}(Z,Y) = (-1) \times (-1) \times (-5) = -5,\) 9) \(a_Z b_Z \mathrm{cov}(Z,Z) = (-1) \times 4 \times 20 = -80.\) Sečteme všechny členy: \[ 30 – 4 + 24 + 24 – 30 – 40 – 18 – 5 – 80 = (30 + 24 + 24) – (4 + 30 + 40 + 18 + 5 + 80). \] Počítáme kladné části: \[ 30 + 24 + 24 = 78, \] a záporné části: \[ 4 + 30 + 40 + 18 + 5 + 80 = 177. \] Celkem tedy: \[ 78 – 177 = -99. \] Výsledek: \[ \mathrm{cov}(A,B) = -99. \] Tento záporný výsledek naznačuje, že tyto lineární kombinace jsou silně negativně korelované, což může mít význam například v portfoliovém riziku nebo dalších aplikacích.

Řešení příkladu:

Nejprve si vypočítáme kovarianci veličin \(M\) a \(N\). Veličiny jsou: \[ M = 3X + 5Y, \] \[ N = -2X + Y. \] Kovariance dvou lineárních kombinací \(M\) a \(N\) se počítá podle vzorce: \[ \mathrm{cov}(M,N) = a c \mathrm{Var}(X) + b d \mathrm{Var}(Y) + (a d + b c) \mathrm{cov}(X,Y), \] kde \(a=3\), \(b=5\), \(c=-2\), \(d=1\). Spočítáme jednotlivé členy: \[ a c \mathrm{Var}(X) = 3 \times (-2) \times 12 = -72, \] \[ b d \mathrm{Var}(Y) = 5 \times 1 \times 8 = 40, \] \[ (a d + b c) \mathrm{cov}(X,Y) = (3 \times 1 + 5 \times (-2)) \times (-2) = (3 – 10) \times (-2) = (-7) \times (-2) = 14. \] Sečteme všechny hodnoty: \[ -72 + 40 + 14 = -18. \] Kovariance je tedy: \[ \mathrm{cov}(M,N) = -18. \] Nyní vypočítáme rozptyl veličiny \(P = M – N\). Nejprve upravíme výraz: \[ P = M – N = (3X + 5Y) – (-2X + Y) = 3X + 5Y + 2X – Y = (3+2)X + (5-1)Y = 5X + 4Y. \] Rozptyl \(P\) spočítáme podle vzorce: \[ \mathrm{Var}(P) = 5^2 \mathrm{Var}(X) + 4^2 \mathrm{Var}(Y) + 2 \times 5 \times 4 \times \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme: \[ = 25 \times 12 + 16 \times 8 + 40 \times (-2) = 300 + 128 – 80 = 348. \] Výsledky: \[ \mathrm{cov}(M,N) = -18, \] \[ \mathrm{Var}(P) = 348. \] Tento příklad ukazuje, jak záporná kovariance mezi základními veličinami může ovlivnit celkový rozptyl složené veličiny.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme rozptyl veličiny \(Z = 2X – 3Y\). Použijeme vzorec: \[ \mathrm{Var}(aX + bY) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + 2ab \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme hodnoty: \[ \mathrm{Var}(Z) = 2^2 \times 7 + (-3)^2 \times 9 + 2 \times 2 \times (-3) \times 2 = 4 \times 7 + 9 \times 9 – 24 = 28 + 81 – 24 = 85. \] Nyní určíme kovarianci veličin \(Z\) a \(W = X + Y\). Opět použijeme lineární vlastnost kovariance: \[ \mathrm{cov}(Z,W) = \mathrm{cov}(2X – 3Y, X + Y) = 2 \mathrm{cov}(X,X) + 2 \mathrm{cov}(X,Y) – 3 \mathrm{cov}(Y,X) – 3 \mathrm{cov}(Y,Y). \] Víme, že \(\mathrm{cov}(X,X) = \mathrm{Var}(X)\) a \(\mathrm{cov}(Y,Y) = \mathrm{Var}(Y)\), a že \(\mathrm{cov}(X,Y) = \mathrm{cov}(Y,X) = 2\). Dosadíme: \[ = 2 \times 7 + 2 \times 2 – 3 \times 2 – 3 \times 9 = 14 + 4 – 6 – 27 = (14 + 4) – (6 + 27) = 18 – 33 = -15. \] Výsledky: \[ \mathrm{Var}(Z) = 85, \] \[ \mathrm{cov}(Z,W) = -15. \] Tento příklad ukazuje, jak kovariance mezi základními veličinami ovlivňuje závislost i mezi složenými veličinami.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme rozptyl veličiny \(T = 2X – Y + Z\). Použijeme vzorec: \[ \mathrm{Var}(T) = 2^2 \mathrm{Var}(X) + (-1)^2 \mathrm{Var}(Y) + 1^2 \mathrm{Var}(Z) + 2 \times 2 \times (-1) \mathrm{cov}(X,Y) + 2 \times 2 \times 1 \mathrm{cov}(X,Z) + 2 \times (-1) \times 1 \mathrm{cov}(Y,Z). \] Dosadíme známé hodnoty: \[ = 4 \times 3 + 1 \times 6 + 1 \times 12 + 2 \times 2 \times (-1) \times 1 + 2 \times 2 \times 1 \times 4 + 2 \times (-1) \times 1 \times (-2). \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ 4 \times 3 = 12, \] \[ 1 \times 6 = 6, \] \[ 1 \times 12 = 12, \] \[ 2 \times 2 \times (-1) \times 1 = -4, \] \[ 2 \times 2 \times 1 \times 4 = 16, \] \[ 2 \times (-1) \times 1 \times (-2) = 4. \] Sečteme vše: \[ 12 + 6 + 12 – 4 + 16 + 4 = (12 + 6 + 12) + ( -4 + 16 + 4 ) = 30 + 16 = 46. \] Takže: \[ \mathrm{Var}(T) = 46. \] Nyní spočítáme kovarianci veličin \(T\) a \(S = -X + 3Y – 2Z\). Podle vzorce: \[ \mathrm{cov}(T,S) = \sum_i \sum_j a_i c_j \mathrm{cov}(X_i, X_j), \] kde \(a_i\) jsou koeficienty z \(T\) a \(c_j\) koeficienty z \(S\). Koeficienty: \[ T: a_X = 2, a_Y = -1, a_Z = 1, \] \[ S: c_X = -1, c_Y = 3, c_Z = -2. \] Nyní spočítáme všechny členy: 1) \(2 \times (-1) \times \mathrm{Var}(X) = 2 \times (-1) \times 3 = -6,\) 2) \(2 \times 3 \times \mathrm{cov}(X,Y) = 2 \times 3 \times 1 = 6,\) 3) \(2 \times (-2) \times \mathrm{cov}(X,Z) = 2 \times (-2) \times 4 = -16,\) 4) \((-1) \times (-1) \times \mathrm{cov}(Y,X) = 1 \times 1 = 1 \times \mathrm{cov}(Y,X) = 1 \times 1 = 1\), ale pozor, \(\mathrm{cov}(Y,X) = \mathrm{cov}(X,Y) = 1\), tedy \[ (-1) \times (-1) \times 1 = 1. \] 5) \((-1) \times 3 \times \mathrm{Var}(Y) = -3 \times 6 = -18,\) 6) \((-1) \times (-2) \times \mathrm{cov}(Y,Z) = 2 \times (-2) = 4,\) zde je chyba, opravíme správně: \[ (-1) \times (-2) = 2, \] \[ 2 \times \mathrm{cov}(Y,Z) = 2 \times (-2) = -4, \] tedy správně: \[ (-1) \times (-2) \times (-2) = 2 \times (-2) = -4. \] Takže tento člen je \(-4\). 7) \(1 \times (-1) \times \mathrm{cov}(Z,X) = 1 \times (-1) \times 4 = -4,\) 8) \(1 \times 3 \times \mathrm{cov}(Z,Y) = 3 \times (-2) = -6,\) 9) \(1 \times (-2) \times \mathrm{Var}(Z) = -2 \times 12 = -24.\) Sečteme všechny hodnoty: \[ -6 + 6 – 16 + 1 – 18 – 4 – 4 – 6 – 24. \] Počítáme součet krok za krokem: \[ (-6 + 6) = 0, \] \[ 0 – 16 = -16, \] \[ -16 + 1 = -15, \] \[ -15 – 18 = -33, \] \[ -33 – 4 = -37, \] \[ -37 – 4 = -41, \] \[ -41 – 6 = -47, \] \[ -47 – 24 = -71. \] Výsledek: \[ \mathrm{cov}(T,S) = -71. \] Závěr: \[ \mathrm{Var}(T) = 46, \] \[ \mathrm{cov}(T,S) = -71. \] Tento příklad ukazuje, jak kombinace různých kovariancí a rozptylů ovlivňuje složené veličiny a jejich vzájemnou závislost.

Řešení příkladu:

Nejprve určíme kovarianci veličin \(R = 4X – Y\) a \(S = X + 2Y\). Koeficienty: \[ R: a = 4, b = -1, \] \[ S: c = 1, d = 2. \] Kovariance je: \[ \mathrm{cov}(R,S) = a c \mathrm{Var}(X) + b d \mathrm{Var}(Y) + (a d + b c) \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme: \[ 4 \times 1 \times 16 + (-1) \times 2 \times 25 + (4 \times 2 + (-1) \times 1) \times 10 = 64 – 50 + (8 – 1) \times 10. \] Spočítáme: \[ 64 – 50 + 7 \times 10 = 14 + 70 = 84. \] Takže: \[ \mathrm{cov}(R,S) = 84. \] Nyní spočítáme rozptyl veličiny \(R + S\): \[ R + S = (4X – Y) + (X + 2Y) = (4 + 1)X + (-1 + 2)Y = 5X + Y. \] Rozptyl: \[ \mathrm{Var}(R + S) = 5^2 \mathrm{Var}(X) + 1^2 \mathrm{Var}(Y) + 2 \times 5 \times 1 \times \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme: \[ 25 \times 16 + 1 \times 25 + 10 \times 10 = 400 + 25 + 100 = 525. \] Výsledky: \[ \mathrm{cov}(R,S) = 84, \] \[ \mathrm{Var}(R + S) = 525. \] Tato úloha ukazuje, jak se kovariance a rozptyl mění při sčítání a kombinování náhodných veličin.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \[ U: a_X=1, a_Y=-2, a_Z=1, \] \[ V: b_X=3, b_Y=1, b_Z=-4. \] Kovariance se počítá podle vzorce: \[ \mathrm{cov}(U,V) = \sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{cov}(X_i,X_j). \] Vypočítáme jednotlivé členy: 1) \(1 \times 3 \times \mathrm{Var}(X) = 3 \times 9 = 27,\) 2) \(1 \times 1 \times \mathrm{cov}(X,Y) = 1 \times 2 = 2,\) 3) \(1 \times (-4) \times \mathrm{cov}(X,Z) = -4 \times (-3) = 12,\) 4) \((-2) \times 3 \times \mathrm{cov}(Y,X) = -6 \times 2 = -12,\) 5) \((-2) \times 1 \times \mathrm{Var}(Y) = -2 \times 4 = -8,\) 6) \((-2) \times (-4) \times \mathrm{cov}(Y,Z) = 8 \times 1 = 8,\) 7) \(1 \times 3 \times \mathrm{cov}(Z,X) = 3 \times (-3) = -9,\) 8) \(1 \times 1 \times \mathrm{cov}(Z,Y) = 1 \times 1 = 1,\) 9) \(1 \times (-4) \times \mathrm{Var}(Z) = -4 \times 16 = -64.\) Sečteme: \[ 27 + 2 + 12 – 12 – 8 + 8 – 9 + 1 – 64. \] Spočítáme postupně: \[ 27 + 2 = 29, \] \[ 29 + 12 = 41, \] \[ 41 – 12 = 29, \] \[ 29 – 8 = 21, \] \[ 21 + 8 = 29, \] \[ 29 – 9 = 20, \] \[ 20 + 1 = 21, \] \[ 21 – 64 = -43. \] Výsledek: \[ \mathrm{cov}(U,V) = -43. \] Tento příklad demonstruje, jak různorodé kombinace koeficientů a kovariancí ovlivňují výsledek mezi dvěma složenými veličinami.

Řešení příkladu:

Nejprve určíme rozptyl veličiny \(W = 5X – 3Y\): \[ \mathrm{Var}(W) = 5^2 \mathrm{Var}(X) + (-3)^2 \mathrm{Var}(Y) + 2 \times 5 \times (-3) \times \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme: \[ 25 \times 7 + 9 \times 10 + 2 \times 5 \times (-3) \times 4 = 175 + 90 – 120 = 145. \] Rozptyl \(W\) je tedy 145. Dále vypočítáme kovarianci veličin \(W\) a \(X + Y\). Koeficienty: \[ W: 5, -3, \] \[ X + Y: 1, 1. \] Kovariance: \[ \mathrm{cov}(W, X + Y) = 5 \times 1 \times \mathrm{Var}(X) + (-3) \times 1 \times \mathrm{cov}(Y,X) + 5 \times 1 \times \mathrm{cov}(X,Y) + (-3) \times 1 \times \mathrm{Var}(Y). \] Pozor, \( \mathrm{cov}(X,Y) = \mathrm{cov}(Y,X) \), takže upravíme výraz: \[ = 5 \times \mathrm{Var}(X) – 3 \times \mathrm{cov}(X,Y) + 5 \times \mathrm{cov}(X,Y) – 3 \times \mathrm{Var}(Y). \] Dosadíme hodnoty: \[ 5 \times 7 – 3 \times 4 + 5 \times 4 – 3 \times 10 = 35 – 12 + 20 – 30 = 13. \] Výsledky: \[ \mathrm{Var}(W) = 145, \] \[ \mathrm{cov}(W, X + Y) = 13. \] Tento příklad ukazuje, jak pracovat s rozptylem a kovariancí u lineárních kombinací náhodných veličin.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \[ P: 2, 1, -1, \] \[ Q: -1, 3, 2. \] Kovariance se počítá jako součet všech kombinací koeficientů a kovariancí: \[ \mathrm{cov}(P,Q) = 2 \times (-1) \times \mathrm{Var}(X) + 2 \times 3 \times \mathrm{cov}(X,Y) + 2 \times 2 \times \mathrm{cov}(X,Z) + 1 \times (-1) \times \mathrm{cov}(Y,X) + 1 \times 3 \times \mathrm{Var}(Y) + 1 \times 2 \times \mathrm{cov}(Y,Z) + (-1) \times (-1) \times \mathrm{cov}(Z,X) + (-1) \times 3 \times \mathrm{cov}(Z,Y) + (-1) \times 2 \times \mathrm{Var}(Z). \] Dosadíme známé hodnoty: \[ 2 \times (-1) \times 11 + 2 \times 3 \times (-3) + 2 \times 2 \times 4 + 1 \times (-1) \times (-3) + 1 \times 3 \times 5 + 1 \times 2 \times 0 + (-1) \times (-1) \times 4 + (-1) \times 3 \times 0 + (-1) \times 2 \times 8. \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ -22 – 18 + 16 + 3 + 15 + 0 + 4 + 0 – 16. \] Sečteme postupně: \[ -22 – 18 = -40, \] \[ -40 + 16 = -24, \] \[ -24 + 3 = -21, \] \[ -21 + 15 = -6, \] \[ -6 + 0 = -6, \] \[ -6 + 4 = -2, \] \[ -2 + 0 = -2, \] \[ -2 – 16 = -18. \] Výsledek: \[ \mathrm{cov}(P,Q) = -18. \] Tento příklad zdůrazňuje, jak se liší kovariance při složení náhodných veličin s různými koeficienty.

Řešení příkladu:

Koeficienty lineárních kombinací: \[ M: 3, -2 \] \[ N: -1, 4 \]

Nejprve vypočítáme kovarianci veličin \(M\) a \(N\): \[ \mathrm{cov}(M,N) = 3 \cdot (-1) \cdot \mathrm{Var}(X) + 3 \cdot 4 \cdot \mathrm{cov}(X,Y) + (-2) \cdot (-1) \cdot \mathrm{cov}(Y,X) + (-2) \cdot 4 \cdot \mathrm{Var}(Y) \]

Dosadíme hodnoty: \[ = 3 \cdot (-1) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-1) \cdot (-4) + (-2) \cdot 4 \cdot 9 \]

Počítáme člen po členu: \[ -15 – 48 – 8 – 72 \]

Sečteme: \[ -15 – 48 = -63, \quad -63 – 8 = -71, \quad -71 – 72 = -143 \]

Takže: \[ \mathrm{cov}(M,N) = -143 \]

Nyní spočítáme rozptyl veličiny \(M – N\): \[ M – N = (3X – 2Y) – (-X + 4Y) = 3X – 2Y + X – 4Y = 4X – 6Y \]

Rozptyl: \[ \mathrm{Var}(M – N) = 4^2 \cdot \mathrm{Var}(X) + (-6)^2 \cdot \mathrm{Var}(Y) + 2 \cdot 4 \cdot (-6) \cdot \mathrm{cov}(X,Y) \]

Dosadíme hodnoty: \[ 16 \cdot 5 + 36 \cdot 9 + 2 \cdot 4 \cdot (-6) \cdot (-4) = 80 + 324 + 192 \]

Sečteme: \[ 80 + 324 + 192 = 596 \]

Výsledky: \[ \mathrm{cov}(M,N) = -143, \] \[ \mathrm{Var}(M – N) = 596 \]

Tento příklad ukazuje, jak se kovariance a rozptyl počítají u lineárních kombinací náhodných veličin a jak se u rozptylu uplatňuje i kovariance mezi složkami.

Řešení příkladu:

Máme dvě lineární kombinace náhodných veličin: \[ A = 2X – Y + 3Z, \] \[ B = -X + 4Y – Z. \] Kovariance lineárních kombinací je dána vztahem: \[ \mathrm{cov}(A,B) = \mathrm{cov}(2X – Y + 3Z, -X + 4Y – Z). \] Protože kovariance je bilineární, můžeme rozložit na jednotlivé členy: \[ \mathrm{cov}(A,B) = 2 \cdot (-1) \mathrm{cov}(X,X) + 2 \cdot 4 \mathrm{cov}(X,Y) + 2 \cdot (-1) \mathrm{cov}(X,Z) \] \[ -1 \cdot (-1) \mathrm{cov}(Y,X) -1 \cdot 4 \mathrm{cov}(Y,Y) -1 \cdot (-1) \mathrm{cov}(Y,Z) \] \[ + 3 \cdot (-1) \mathrm{cov}(Z,X) + 3 \cdot 4 \mathrm{cov}(Z,Y) + 3 \cdot (-1) \mathrm{cov}(Z,Z). \] Protože \(\mathrm{cov}(X,Y) = \mathrm{cov}(Y,X)\) a tak dále (kovariance je symetrická), a známe rozptyly, kde \(\mathrm{Var}(X) = \mathrm{cov}(X,X)\), platí: \[ \mathrm{cov}(X,X) = 6, \quad \mathrm{cov}(Y,Y) = 8, \quad \mathrm{cov}(Z,Z) = 10, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 3, \quad \mathrm{cov}(Y,Z) = -2, \quad \mathrm{cov}(X,Z) = 5. \] Dosadíme: \[ \mathrm{cov}(A,B) = 2 \cdot (-1) \cdot 6 + 2 \cdot 4 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) \cdot 5 \] \[ -1 \cdot (-1) \cdot 3 – 1 \cdot 4 \cdot 8 -1 \cdot (-1) \cdot (-2) \] \[ + 3 \cdot (-1) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot (-2) + 3 \cdot (-1) \cdot 10. \] Nyní spočítáme jednotlivé členy: \[ 2 \cdot (-1) \cdot 6 = -12, \] \[ 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24, \] \[ 2 \cdot (-1) \cdot 5 = -10, \] \[ -1 \cdot (-1) \cdot 3 = 3, \] \[ -1 \cdot 4 \cdot 8 = -32, \] \[ -1 \cdot (-1) \cdot (-2) = -2, \] \[ 3 \cdot (-1) \cdot 5 = -15, \] \[ 3 \cdot 4 \cdot (-2) = -24, \] \[ 3 \cdot (-1) \cdot 10 = -30. \] Sečteme všechny hodnoty: \[ -12 + 24 – 10 + 3 – 32 – 2 – 15 – 24 – 30 = -98. \] Výsledná kovariance lineárních kombinací \(A\) a \(B\) je tedy: \[ \mathrm{cov}(A,B) = -98. \]

Řešení příkladu:

Máme lineární kombinace: \[ U = 3X – 2Y, \] \[ V = 5X + Y. \] Cílem je vypočítat: \[ \mathrm{cov}(U,V) = \mathrm{cov}(3X – 2Y, 5X + Y). \] Kovariance je bilineární a symetrická, takže: \[ \mathrm{cov}(U,V) = 3 \cdot 5 \mathrm{cov}(X,X) + 3 \cdot 1 \mathrm{cov}(X,Y) – 2 \cdot 5 \mathrm{cov}(Y,X) – 2 \cdot 1 \mathrm{cov}(Y,Y). \] Víme, že: \[ \mathrm{cov}(X,X) = \mathrm{Var}(X) = 4, \] \[ \mathrm{cov}(Y,Y) = \mathrm{Var}(Y) = 9, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \mathrm{cov}(Y,X) = 3. \] Dosadíme: \[ \mathrm{cov}(U,V) = 15 \cdot 4 + 3 \cdot 3 – 10 \cdot 3 – 2 \cdot 9 = 60 + 9 – 30 – 18. \] Spočítáme součet: \[ 60 + 9 = 69, \] \[ 69 – 30 = 39, \] \[ 39 – 18 = 21. \] Výsledná kovariance je: \[ \mathrm{cov}(U,V) = 21. \]

Řešení příkladu:

Zadány jsou veličiny: \[ M = 4X + 3, \] \[ N = 2Y – 5. \] Připomeňme si, že přidání nebo odečtení konstanty nemění kovarianci, protože kovariance závisí pouze na rozptylu a společné variabilitě náhodných veličin, nikoli na jejich posunutí. Tedy: \[ \mathrm{cov}(M,N) = \mathrm{cov}(4X, 2Y). \] Kovariance násobení náhodné veličiny konstantou platí: \[ \mathrm{cov}(aX, bY) = ab \cdot \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme: \[ \mathrm{cov}(M,N) = 4 \cdot 2 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56. \] Výsledná kovariance je tedy: \[ \mathrm{cov}(M,N) = 56. \]

Řešení příkladu:

Mějme: \[ P = X + 2Y, \] \[ Q = 3X – Y. \] Kovariance je bilineární a symetrická, takže: \[ \mathrm{cov}(P,Q) = \mathrm{cov}(X + 2Y, 3X – Y) = \mathrm{cov}(X, 3X – Y) + 2 \cdot \mathrm{cov}(Y, 3X – Y). \] Rozepíšeme jednotlivé členy: \[ \mathrm{cov}(X, 3X) – \mathrm{cov}(X,Y) + 2 \left(\mathrm{cov}(Y, 3X) – \mathrm{cov}(Y,Y)\right). \] Použijeme vlastnosti kovariance: \[ \mathrm{cov}(X,3X) = 3 \mathrm{Var}(X) = 3 \cdot 5 = 15, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 2, \] \[ \mathrm{cov}(Y,3X) = 3 \mathrm{cov}(Y,X) = 3 \cdot 2 = 6, \] \[ \mathrm{cov}(Y,Y) = \mathrm{Var}(Y) = 7. \] Dosadíme do výrazu: \[ \mathrm{cov}(P,Q) = 15 – 2 + 2 (6 – 7) = 13 + 2 (-1) = 13 – 2 = 11. \] Výsledná kovariance je tedy: \[ \mathrm{cov}(P,Q) = 11. \]

Řešení příkladu:

Lineární kombinace jsou: \[ S = X – 2Y + Z, \] \[ T = 3X + Y – 4Z. \] Kovariance těchto kombinací je \[ \mathrm{cov}(S,T) = \mathrm{cov}(X – 2Y + Z, 3X + Y – 4Z). \] Rozepíšeme podle bilinearity: \[ \mathrm{cov}(S,T) = \mathrm{cov}(X,3X) + \mathrm{cov}(X,Y) – 4 \mathrm{cov}(X,Z) – 2\mathrm{cov}(Y,3X) – 2 \mathrm{cov}(Y,Y) + 8 \mathrm{cov}(Y,Z) + \mathrm{cov}(Z,3X) + \mathrm{cov}(Z,Y) – 4 \mathrm{cov}(Z,Z). \] Dosadíme známé hodnoty: \[ \mathrm{cov}(X,3X) = 3 \cdot 10 = 30, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 4, \] \[ \mathrm{cov}(X,Z) = 0, \] \[ \mathrm{cov}(Y,3X) = 3 \cdot 4 = 12, \] \[ \mathrm{cov}(Y,Y) = 6, \] \[ \mathrm{cov}(Y,Z) = -1, \] \[ \mathrm{cov}(Z,3X) = 3 \cdot 0 = 0, \] \[ \mathrm{cov}(Z,Y) = -1, \] \[ \mathrm{cov}(Z,Z) = 9. \] Dosadíme: \[ \mathrm{cov}(S,T) = 30 + 4 – 0 – 2 \cdot 12 – 2 \cdot 6 + 8 \cdot (-1) + 0 -1 – 4 \cdot 9. \] Spočítáme postupně: \[ 30 + 4 = 34, \] \[ – 2 \cdot 12 = -24, \] \[ – 2 \cdot 6 = -12, \] \[ 8 \cdot (-1) = -8, \] \[ -1 – 4 \cdot 9 = -1 – 36 = -37. \] Sečteme všechny členy: \[ 34 – 24 – 12 – 8 – 37 = -47. \] Výsledná kovariance je: \[ \mathrm{cov}(S,T) = -47. \]

Řešení příkladu:

Máme: \[ R = 5X – 3Y, \] \[ S = 2X + 4Y. \] Kovariance je lineární: \[ \mathrm{cov}(R,S) = \mathrm{cov}(5X – 3Y, 2X + 4Y) = 5 \cdot 2 \mathrm{cov}(X,X) + 5 \cdot 4 \mathrm{cov}(X,Y) – 3 \cdot 2 \mathrm{cov}(Y,X) – 3 \cdot 4 \mathrm{cov}(Y,Y). \] Víme, že: \[ \mathrm{cov}(X,X) = \mathrm{Var}(X) = 16, \] \[ \mathrm{cov}(Y,Y) = \mathrm{Var}(Y) = 25, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \mathrm{cov}(Y,X) = 10. \] Dosadíme: \[ \mathrm{cov}(R,S) = 10 \cdot 16 + 20 \cdot 10 – 6 \cdot 10 – 12 \cdot 25. \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ 10 \cdot 16 = 160, \] \[ 20 \cdot 10 = 200, \] \[ -6 \cdot 10 = -60, \] \[ -12 \cdot 25 = -300. \] Sečteme: \[ 160 + 200 – 60 – 300 = 360 – 360 = 0. \] Výsledná kovariance je tedy: \[ \mathrm{cov}(R,S) = 0. \]

Řešení příkladu:

Máme: \[ U = X + Y, \] \[ V = 2X – 3Y. \] Kovariance je: \[ \mathrm{cov}(U,V) = \mathrm{cov}(X + Y, 2X – 3Y) = \mathrm{cov}(X, 2X – 3Y) + \mathrm{cov}(Y, 2X – 3Y). \] Rozepíšeme: \[ \mathrm{cov}(X, 2X) – \mathrm{cov}(X, 3Y) + \mathrm{cov}(Y, 2X) – \mathrm{cov}(Y, 3Y). \] Víme, že: \[ \mathrm{cov}(X,2X) = 2 \mathrm{Var}(X) = 2 \cdot 3 = 6, \] \[ \mathrm{cov}(X,3Y) = 3 \mathrm{cov}(X,Y) = 3 \cdot 1 = 3, \] \[ \mathrm{cov}(Y,2X) = 2 \mathrm{cov}(Y,X) = 2 \cdot 1 = 2, \] \[ \mathrm{cov}(Y,3Y) = 3 \mathrm{Var}(Y) = 3 \cdot 6 = 18. \] Dosadíme a spočítáme: \[ \mathrm{cov}(U,V) = 6 – 3 + 2 – 18 = (6 – 3) + (2 – 18) = 3 – 16 = -13. \] Výsledná kovariance je: \[ \mathrm{cov}(U,V) = -13. \]

Řešení příkladu:

Máme: \[ A = X + 2Y – Z, \] \[ B = 3X – Y + 4Z. \] Kovariance lineárních kombinací je: \[ \mathrm{cov}(A,B) = \mathrm{cov}(X, 3X – Y + 4Z) + 2 \cdot \mathrm{cov}(Y, 3X – Y + 4Z) – \mathrm{cov}(Z, 3X – Y + 4Z). \] Rozepíšeme jednotlivé části: \[ \mathrm{cov}(X,3X) – \mathrm{cov}(X,Y) + 4 \mathrm{cov}(X,Z) + 2 ( \mathrm{cov}(Y,3X) – \mathrm{cov}(Y,Y) + 4 \mathrm{cov}(Y,Z) ) – ( \mathrm{cov}(Z,3X) – \mathrm{cov}(Z,Y) + 4 \mathrm{cov}(Z,Z) ). \] Dosadíme hodnoty: \[ \mathrm{cov}(X,3X) = 3 \cdot 7 = 21, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 1, \] \[ \mathrm{cov}(X,Z) = 0, \] \[ \mathrm{cov}(Y,3X) = 3 \cdot 1 = 3, \] \[ \mathrm{cov}(Y,Y) = 5, \] \[ \mathrm{cov}(Y,Z) = 2, \] \[ \mathrm{cov}(Z,3X) = 3 \cdot 0 = 0, \] \[ \mathrm{cov}(Z,Y) = 2, \] \[ \mathrm{cov}(Z,Z) = 4. \] Dosadíme do výrazu: \[ 21 – 1 + 4 \cdot 0 + 2 (3 – 5 + 4 \cdot 2) – (0 – 2 + 4 \cdot 4). \] Spočítáme uvnitř závorek: \[ 3 – 5 + 8 = 6, \] \[ 0 – 2 + 16 = 14. \] Dosadíme: \[ 21 – 1 + 0 + 2 \cdot 6 – 14. \] Postupně: \[ 21 – 1 = 20, \] \[ 2 \cdot 6 = 12, \] \[ 20 + 12 – 14 = 18. \] Výsledná kovariance je: \[ \mathrm{cov}(A,B) = 18. \]

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme rozptyl \(Z\): \[ Z = 2X – Y. \] Rozptyl lineární kombinace: \[ \mathrm{Var}(Z) = \mathrm{Var}(2X – Y) = 4 \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) – 4 \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme: \[ 4 \cdot 10 + 15 – 4 \cdot 5 = 40 + 15 – 20 = 35. \] Nyní kovariance \(Z\) a \(X + Y\): \[ \mathrm{cov}(Z, X + Y) = \mathrm{cov}(2X – Y, X + Y). \] Rozepíšeme podle linearity: \[ 2 \mathrm{cov}(X, X) + 2 \mathrm{cov}(X, Y) – \mathrm{cov}(Y, X) – \mathrm{cov}(Y, Y). \] Použijeme známé hodnoty: \[ \mathrm{cov}(X, X) = \mathrm{Var}(X) = 10, \] \[ \mathrm{cov}(X, Y) = 5, \] \[ \mathrm{cov}(Y, X) = 5, \] \[ \mathrm{cov}(Y, Y) = \mathrm{Var}(Y) = 15. \] Dosadíme a spočítáme: \[ 2 \cdot 10 + 2 \cdot 5 – 5 – 15 = 20 + 10 – 5 – 15 = 10. \] Výsledky jsou: \[ \mathrm{Var}(Z) = 35, \] \[ \mathrm{cov}(Z, X + Y) = 10. \]

Řešení příkladu:

Nejprve rozepíšeme výraz pro rozptyl \(W\): \[ \mathrm{Var}(W) = \mathrm{Var}(3X – 2Y + Z). \] Využijeme vzorec pro rozptyl lineární kombinace: \[ \mathrm{Var}(aX + bY + cZ) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + c^2 \mathrm{Var}(Z) + 2ab \mathrm{cov}(X,Y) + 2ac \mathrm{cov}(X,Z) + 2bc \mathrm{cov}(Y,Z). \] Dosadíme koeficienty: \[ a = 3, \quad b = -2, \quad c = 1. \] Dosadíme hodnoty: \[ 3^2 \cdot 12 + (-2)^2 \cdot 18 + 1^2 \cdot 7 + 2 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) \cdot 1 \cdot 2. \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ 9 \cdot 12 = 108, \] \[ 4 \cdot 18 = 72, \] \[ 1 \cdot 7 = 7, \] \[ 2 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot 3 = -36, \] \[ 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4 = 24, \] \[ 2 \cdot (-2) \cdot 1 \cdot 2 = -8. \] Sečteme: \[ 108 + 72 + 7 – 36 + 24 – 8 = 167. \] Výsledný rozptyl: \[ \mathrm{Var}(W) = 167. \] Nyní vypočítáme kovarianci \(\mathrm{cov}(W,V)\), kde \[ V = X + Y – Z. \] Kovariance lineárních kombinací: \[ \mathrm{cov}(W,V) = \mathrm{cov}(3X – 2Y + Z, X + Y – Z). \] Rozepíšeme: \[ 3 \mathrm{cov}(X,X) + 3 \mathrm{cov}(X,Y) – 3 \mathrm{cov}(X,Z) – 2 \mathrm{cov}(Y,X) – 2 \mathrm{cov}(Y,Y) + 2 \mathrm{cov}(Y,Z) + \mathrm{cov}(Z,X) + \mathrm{cov}(Z,Y) – \mathrm{cov}(Z,Z). \] Dosadíme hodnoty: \[ \mathrm{cov}(X,X) = 12, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 3, \] \[ \mathrm{cov}(X,Z) = 4, \] \[ \mathrm{cov}(Y,X) = 3, \] \[ \mathrm{cov}(Y,Y) = 18, \] \[ \mathrm{cov}(Y,Z) = 2, \] \[ \mathrm{cov}(Z,X) = 4, \] \[ \mathrm{cov}(Z,Y) = 2, \] \[ \mathrm{cov}(Z,Z) = 7. \] Dosadíme do výrazu: \[ 3 \cdot 12 + 3 \cdot 3 – 3 \cdot 4 – 2 \cdot 3 – 2 \cdot 18 + 2 \cdot 2 + 4 + 2 – 7. \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ 36 + 9 – 12 – 6 – 36 + 4 + 4 + 2 – 7. \] Postupně sčítáme: \[ 36 + 9 = 45, \] \[ 45 – 12 = 33, \] \[ 33 – 6 = 27, \] \[ 27 – 36 = -9, \] \[ -9 + 4 = -5, \] \[ -5 + 4 = -1, \] \[ -1 + 2 = 1, \] \[ 1 – 7 = -6. \] Výsledná kovariance: \[ \mathrm{cov}(W,V) = -6. \]

Řešení příkladu:

Máme dané veličiny a jejich rozptyly a kovarianci: \[ \mathrm{Var}(X) = 8, \quad \mathrm{Var}(Y) = 12, \quad \mathrm{cov}(X,Y) = 4. \] Nejprve určíme rozptyl veličiny \[ Z = 3X – 2Y. \] Využijeme vzorec pro rozptyl lineární kombinace náhodných veličin: \[ \mathrm{Var}(aX + bY) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + 2ab \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme hodnoty koeficientů: \[ a = 3, \quad b = -2. \] Po dosazení: \[ \mathrm{Var}(Z) = 3^2 \cdot 8 + (-2)^2 \cdot 12 + 2 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot 4. \] Vypočítáme jednotlivé části: \[ 3^2 \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72, \] \[ (-2)^2 \cdot 12 = 4 \cdot 12 = 48, \] \[ 2 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot 4 = 2 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot 4 = -48. \] Sečteme výsledky: \[ 72 + 48 – 48 = 72. \] Tedy: \[ \mathrm{Var}(Z) = 72. \] Nyní vypočítáme kovarianci veličin \(Z\) a \(W = 2X + Y\). Kovariance lineárních kombinací je dána vzorcem: \[ \mathrm{cov}(aX + bY, cX + dY) = ac \mathrm{Var}(X) + bd \mathrm{Var}(Y) + (ad + bc) \mathrm{cov}(X,Y). \] Koeficienty jsou: \[ a=3, \quad b=-2, \quad c=2, \quad d=1. \] Dosadíme: \[ \mathrm{cov}(Z,W) = 3 \cdot 2 \cdot 8 + (-2) \cdot 1 \cdot 12 + (3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2) \cdot 4. \] Nejprve vypočítáme jednotlivé části: \[ 3 \cdot 2 \cdot 8 = 48, \] \[ (-2) \cdot 1 \cdot 12 = -24, \] \[ (3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2) \cdot 4 = (3 – 4) \cdot 4 = (-1) \cdot 4 = -4. \] Celkem: \[ 48 – 24 – 4 = 20. \] Výsledkem je, že \[ \mathrm{cov}(Z, W) = 20. \] Shrnutí: \[ \mathrm{Var}(Z) = 72, \quad \mathrm{cov}(Z, 2X + Y) = 20. \]

Řešení příkladu:

Máme tři náhodné veličiny a jejich rozptyly a kovariance: \[ \mathrm{Var}(X) = 5, \quad \mathrm{Var}(Y) = 7, \quad \mathrm{Var}(Z) = 10, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 2, \quad \mathrm{cov}(Y,Z) = -1, \quad \mathrm{cov}(X,Z) = 4. \] Nejprve určíme rozptyl veličiny \[ W = 2X – Y + 3Z. \] Použijeme vzorec pro rozptyl lineární kombinace: \[ \mathrm{Var}(aX + bY + cZ) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + c^2 \mathrm{Var}(Z) + 2ab \mathrm{cov}(X,Y) + 2ac \mathrm{cov}(X,Z) + 2bc \mathrm{cov}(Y,Z). \] Dosadíme koeficienty: \[ a=2, \quad b=-1, \quad c=3. \] Dosadíme do vzorce: \[ 2^2 \cdot 5 + (-1)^2 \cdot 7 + 3^2 \cdot 10 + 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) \cdot 3 \cdot (-1). \] Spočítáme jednotlivé části: \[ 4 \cdot 5 = 20, \] \[ 1 \cdot 7 = 7, \] \[ 9 \cdot 10 = 90, \] \[ 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot 2 = -8, \] \[ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 48, \] \[ 2 \cdot (-1) \cdot 3 \cdot (-1) = 6. \] Sečteme všechny členy: \[ 20 + 7 + 90 – 8 + 48 + 6 = 163. \] Tedy: \[ \mathrm{Var}(W) = 163. \] Nyní spočítáme kovarianci veličin \[ W = 2X – Y + 3Z, \] a \[ V = X + 2Y – Z. \] Kovariance lineárních kombinací je dána: \[ \mathrm{cov}(aX + bY + cZ, dX + eY + fZ) = ad \mathrm{Var}(X) + be \mathrm{Var}(Y) + cf \mathrm{Var}(Z) + (ae + bd) \mathrm{cov}(X,Y) + (af + cd) \mathrm{cov}(X,Z) + (bf + ce) \mathrm{cov}(Y,Z). \] Koeficienty: \[ a=2, \quad b=-1, \quad c=3, \] \[ d=1, \quad e=2, \quad f=-1. \] Dosadíme: \[ 2 \cdot 1 \cdot 5 + (-1) \cdot 2 \cdot 7 + 3 \cdot (-1) \cdot 10 + (2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1) \cdot 2 + (2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1) \cdot 4 + ((-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 2) \cdot (-1). \] Spočítáme postupně: \[ 2 \cdot 1 \cdot 5 = 10, \] \[ (-1) \cdot 2 \cdot 7 = -14, \] \[ 3 \cdot (-1) \cdot 10 = -30, \] \[ (2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1) \cdot 2 = (4 – 1) \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6, \] \[ (2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1) \cdot 4 = (-2 + 3) \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4, \] \[ ((-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 2) \cdot (-1) = (1 + 6) \cdot (-1) = 7 \cdot (-1) = -7. \] Sečteme všechny členy: \[ 10 – 14 – 30 + 6 + 4 – 7 = -31. \] Výsledkem je: \[ \mathrm{cov}(W, V) = -31. \]

Řešení příkladu:

Dané hodnoty: \[ \mathrm{Var}(X) = 6, \quad \mathrm{Var}(Y) = 9, \quad \mathrm{cov}(X,Y) = -3. \] Nejprve rozptyl veličiny \[ Z = 4X + 5Y. \] Použijeme vzorec pro rozptyl lineární kombinace: \[ \mathrm{Var}(aX + bY) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + 2ab \mathrm{cov}(X,Y). \] Koeficienty jsou \(a=4\), \(b=5\). Dosadíme: \[ \mathrm{Var}(Z) = 4^2 \cdot 6 + 5^2 \cdot 9 + 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (-3). \] Spočítáme členy: \[ 16 \cdot 6 = 96, \] \[ 25 \cdot 9 = 225, \] \[ 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (-3) = -120. \] Sečteme: \[ 96 + 225 – 120 = 201. \] Tedy: \[ \mathrm{Var}(Z) = 201. \] Nyní kovariance veličin \[ Z = 4X + 5Y, \quad W = 3X – Y. \] Kovariance lineárních kombinací: \[ \mathrm{cov}(aX + bY, cX + dY) = ac \mathrm{Var}(X) + bd \mathrm{Var}(Y) + (ad + bc) \mathrm{cov}(X,Y). \] Koeficienty: \[ a=4, \quad b=5, \quad c=3, \quad d=-1. \] Dosadíme: \[ 4 \cdot 3 \cdot 6 + 5 \cdot (-1) \cdot 9 + (4 \cdot (-1) + 5 \cdot 3) \cdot (-3). \] Vypočítáme jednotlivé členy: \[ 12 \cdot 6 = 72, \] \[ -5 \cdot 9 = -45, \] \[ ( -4 + 15 ) \cdot (-3) = 11 \cdot (-3) = -33. \] Sečteme: \[ 72 – 45 – 33 = -6. \] Výsledkem je: \[ \mathrm{cov}(Z, W) = -6. \]

Řešení příkladu:

Dané veličiny: \[ \mathrm{Var}(X) = 14, \quad \mathrm{Var}(Y) = 10, \quad \mathrm{Var}(Z) = 9, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 3, \quad \mathrm{cov}(X,Z) = 5, \quad \mathrm{cov}(Y,Z) = 2. \] Rozptyl lineární kombinace \[ U = -X + 4Y – 2Z, \] je dán vzorcem: \[ \mathrm{Var}(U) = (-1)^2 \cdot 14 + 4^2 \cdot 10 + (-2)^2 \cdot 9 + 2 \cdot (-1) \cdot 4 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot (-2) \cdot 2. \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ 1 \cdot 14 = 14, \] \[ 16 \cdot 10 = 160, \] \[ 4 \cdot 9 = 36, \] \[ 2 \cdot (-1) \cdot 4 \cdot 3 = -24, \] \[ 2 \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot 5 = 20, \] \[ 2 \cdot 4 \cdot (-2) \cdot 2 = -32. \] Sečteme všechny: \[ 14 + 160 + 36 – 24 + 20 – 32 = 174. \] Tedy \[ \mathrm{Var}(U) = 174. \] Nyní kovariance veličin \[ U = -X + 4Y – 2Z, \] a \[ M = 3X – Y + Z. \] Kovariance lineárních kombinací je: \[ \mathrm{cov}(aX + bY + cZ, dX + eY + fZ) = ad \mathrm{Var}(X) + be \mathrm{Var}(Y) + cf \mathrm{Var}(Z) + (ae + bd) \mathrm{cov}(X,Y) + (af + cd) \mathrm{cov}(X,Z) + (bf + ce) \mathrm{cov}(Y,Z). \] Koeficienty: \[ a = -1, \quad b = 4, \quad c = -2, \] \[ d = 3, \quad e = -1, \quad f = 1. \] Dosadíme: \[ (-1) \cdot 3 \cdot 14 + 4 \cdot (-1) \cdot 10 + (-2) \cdot 1 \cdot 9 + ((-1) \cdot (-1) + 4 \cdot 3) \cdot 3 + ((-1) \cdot 1 + (-2) \cdot 3) \cdot 5 + (4 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1)) \cdot 2. \] Postupně: \[ -3 \cdot 14 = -42, \] \[ -4 \cdot 10 = -40, \] \[ -2 \cdot 9 = -18, \] \[ (1 + 12) \cdot 3 = 13 \cdot 3 = 39, \] \[ (-1 – 6) \cdot 5 = -7 \cdot 5 = -35, \] \[ (4 + 2) \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12. \] Sečteme: \[ -42 – 40 – 18 + 39 – 35 + 12 = -84. \] Výsledek: \[ \mathrm{cov}(U,M) = -84. \]

Řešení příkladu:

Máme hodnoty: \[ \mathrm{Var}(X) = 11, \quad \mathrm{Var}(Y) = 15, \quad \mathrm{cov}(X,Y) = 6. \] Koeficienty: \[ A = 2X – Y \Rightarrow a=2, b=-1, \] \[ B = -X + 4Y \Rightarrow c=-1, d=4. \] Vzorec pro kovarianci: \[ \mathrm{cov}(aX + bY, cX + dY) = ac \mathrm{Var}(X) + bd \mathrm{Var}(Y) + (ad + bc) \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme: \[ 2 \cdot (-1) \cdot 11 + (-1) \cdot 4 \cdot 15 + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-1)) \cdot 6. \] Výpočty: \[ -22 + (-60) + (8 + 1) \cdot 6 = -22 – 60 + 9 \cdot 6 = -82 + 54 = -28. \] Výsledek je: \[ \mathrm{cov}(A,B) = -28. \]

Řešení příkladu:

Dané jsou veličiny: \[ \mathrm{Var}(X) = 4, \quad \mathrm{Var}(Y) = 9, \quad \mathrm{Var}(Z) = 16, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 2, \quad \mathrm{cov}(Y,Z) = 3, \quad \mathrm{cov}(X,Z) = 1. \] Koeficienty: \[ P = 1 \cdot X + (-2) \cdot Y + 1 \cdot Z, \] \[ Q = 2 \cdot X + 1 \cdot Y + (-3) \cdot Z. \] Vzorec pro kovarianci lineárních kombinací tří veličin: \[ \mathrm{cov}(P,Q) = a d \mathrm{Var}(X) + b e \mathrm{Var}(Y) + c f \mathrm{Var}(Z) + (a e + b d) \mathrm{cov}(X,Y) + (a f + c d) \mathrm{cov}(X,Z) + (b f + c e) \mathrm{cov}(Y,Z). \] Dosadíme: \[ a=1, b=-2, c=1, \quad d=2, e=1, f=-3. \] Spočítáme jednotlivé části: \[ 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8, \] \[ (-2) \cdot 1 \cdot 9 = -18, \] \[ 1 \cdot (-3) \cdot 16 = -48, \] \[ (1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2) \cdot 2 = (1 – 4) \cdot 2 = -3 \cdot 2 = -6, \] \[ (1 \cdot (-3) + 1 \cdot 2) \cdot 1 = (-3 + 2) \cdot 1 = -1, \] \[ (-2 \cdot (-3) + 1 \cdot 1) \cdot 3 = (6 + 1) \cdot 3 = 7 \cdot 3 = 21. \] Sečteme všechny hodnoty: \[ 8 – 18 – 48 – 6 – 1 + 21 = -44. \] Výsledná kovariance je tedy \[ \mathrm{cov}(P,Q) = -44. \]

Řešení příkladu:

Máme: \[ \mathrm{Var}(X) = 20, \quad \mathrm{Var}(Y) = 25, \quad \mathrm{cov}(X,Y) = 10. \] Nejprve vypočítáme rozptyl veličiny \[ Z = 5X – 3Y. \] Použijeme vzorec pro rozptyl lineární kombinace: \[ \mathrm{Var}(aX + bY) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + 2ab \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme: \[ a=5, b=-3, \] \[ \mathrm{Var}(Z) = 25 \cdot 20 + 9 \cdot 25 + 2 \cdot 5 \cdot (-3) \cdot 10. \] Vypočítáme jednotlivé členy: \[ 25 \cdot 20 = 500, \] \[ 9 \cdot 25 = 225, \] \[ 2 \cdot 5 \cdot (-3) \cdot 10 = -300. \] Sečteme: \[ 500 + 225 – 300 = 425. \] Rozptyl veličiny \(Z\) je tedy \[ \mathrm{Var}(Z) = 425. \] Nyní spočítáme kovarianci veličin \[ Z = 5X – 3Y, \] a \[ W = X + Y. \] Kovariance lineárních kombinací: \[ \mathrm{cov}(aX + bY, cX + dY) = ac \mathrm{Var}(X) + bd \mathrm{Var}(Y) + (ad + bc) \mathrm{cov}(X,Y). \] Koeficienty: \[ a=5, b=-3, c=1, d=1. \] Dosadíme: \[ 5 \cdot 1 \cdot 20 + (-3) \cdot 1 \cdot 25 + (5 \cdot 1 + (-3) \cdot 1) \cdot 10. \] Postupně: \[ 100 – 75 + (5 – 3) \cdot 10 = 100 – 75 + 20 = 45. \] Výsledek je \[ \mathrm{cov}(Z,W) = 45. \]

Řešení příkladu:

Dané rozptyly a kovariance: \[ \mathrm{Var}(X) = 5, \quad \mathrm{Var}(Y) = 8, \quad \mathrm{Var}(Z) = 12, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 1, \quad \mathrm{cov}(Y,Z) = 4, \quad \mathrm{cov}(X,Z) = 3. \] Nejprve spočítáme rozptyl veličiny \[ S = 3X – 2Y + Z. \] Vzorec pro rozptyl lineární kombinace tří veličin je \[ \mathrm{Var}(S) = 3^2 \mathrm{Var}(X) + (-2)^2 \mathrm{Var}(Y) + 1^2 \mathrm{Var}(Z) + 2 \cdot 3 \cdot (-2) \mathrm{cov}(X,Y) + 2 \cdot 3 \cdot 1 \mathrm{cov}(X,Z) + 2 \cdot (-2) \cdot 1 \mathrm{cov}(Y,Z). \] Dosadíme: \[ 9 \cdot 5 + 4 \cdot 8 + 1 \cdot 12 + 2 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) \cdot 1 \cdot 4. \] Spočítáme jednotlivé členy: \[ 45 + 32 + 12 – 12 + 18 – 16. \] Sečteme: \[ 45 + 32 + 12 – 12 + 18 – 16 = 79. \] Rozptyl veličiny \(S\) je tedy \[ \mathrm{Var}(S) = 79. \] Nyní kovariance veličin \[ S = 3X – 2Y + Z, \] a \[ T = -X + 5Y – 2Z. \] Použijeme vzorec pro kovarianci lineárních kombinací: \[ \mathrm{cov}(S,T) = a d \mathrm{Var}(X) + b e \mathrm{Var}(Y) + c f \mathrm{Var}(Z) + (a e + b d) \mathrm{cov}(X,Y) + (a f + c d) \mathrm{cov}(X,Z) + (b f + c e) \mathrm{cov}(Y,Z), \] kde \[ a=3, b=-2, c=1, \quad d=-1, e=5, f=-2. \] Dosadíme: \[ 3 \cdot (-1) \cdot 5 + (-2) \cdot 5 \cdot 8 + 1 \cdot (-2) \cdot 12 + (3 \cdot 5 + (-2) \cdot (-1)) \cdot 1 + (3 \cdot (-2) + 1 \cdot (-1)) \cdot 3 + ((-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 5) \cdot 4. \] Vypočítáme postupně: \[ -15 – 80 – 24 + (15 + 2) \cdot 1 + (-6 – 1) \cdot 3 + (4 + 5) \cdot 4. \] Pokračujeme: \[ -15 – 80 – 24 + 17 – 21 + 36. \] Sečteme všechny členy: \[ -119 + 17 – 21 + 36 = -119 + 32 = -87. \] Výsledná kovariance je \[ \mathrm{cov}(S,T) = -87. \]

Řešení příkladu:

Nejprve uvedeme dané hodnoty: \[ \mathrm{Var}(X) = 7, \quad \mathrm{Var}(Y) = 12, \quad \mathrm{cov}(X,Y) = -4. \] Rozptyl veličiny \(W = 4X – 5Y\) spočítáme podle vzorce pro rozptyl lineární kombinace: \[ \mathrm{Var}(aX + bY) = a^2 \mathrm{Var}(X) + b^2 \mathrm{Var}(Y) + 2ab \mathrm{cov}(X,Y). \] Dosadíme: \[ a = 4, \quad b = -5, \] \[ \mathrm{Var}(W) = 16 \cdot 7 + 25 \cdot 12 + 2 \cdot 4 \cdot (-5) \cdot (-4). \] Vypočítáme jednotlivé členy: \[ 112 + 300 + 160 = 572. \] Rozptyl veličiny \(W\) je tedy \[ \mathrm{Var}(W) = 572. \] Nyní kovarianci veličin \(W = 4X – 5Y\) a \(V = -X + 3Y\) spočítáme podle vzorce: \[ \mathrm{cov}(aX + bY, cX + dY) = ac \mathrm{Var}(X) + bd \mathrm{Var}(Y) + (ad + bc) \mathrm{cov}(X,Y). \] Koeficienty jsou: \[ a=4, \quad b=-5, \quad c=-1, \quad d=3. \] Dosadíme: \[ 4 \cdot (-1) \cdot 7 + (-5) \cdot 3 \cdot 12 + (4 \cdot 3 + (-5) \cdot (-1)) \cdot (-4). \] Výpočty: \[ -28 – 180 + (12 + 5) \cdot (-4) = -208 – 68 = -276. \] Kovariance je tedy \[ \mathrm{cov}(W,V) = -276. \]

Řešení příkladu:

Máme dané hodnoty: \[ \mathrm{Var}(X) = 6, \quad \mathrm{Var}(Y) = 10, \quad \mathrm{Var}(Z) = 15, \] \[ \mathrm{cov}(X,Y) = 3, \quad \mathrm{cov}(Y,Z) = -2, \quad \mathrm{cov}(X,Z) = 1. \] Nejprve spočítáme rozptyl veličiny \[ R = -2X + 3Y – Z. \] Použijeme vzorec pro rozptyl lineární kombinace tří veličin: \[ \mathrm{Var}(R) = (-2)^2 \mathrm{Var}(X) + 3^2 \mathrm{Var}(Y) + (-1)^2 \mathrm{Var}(Z) + 2 \cdot (-2) \cdot 3 \mathrm{cov}(X,Y) + 2 \cdot (-2) \cdot (-1) \mathrm{cov}(X,Z) + 2 \cdot 3 \cdot (-1) \mathrm{cov}(Y,Z). \] Dosadíme: \[ 4 \cdot 6 + 9 \cdot 10 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot (-2) \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot (-1) \cdot (-2). \] Vypočítáme jednotlivé členy: \[ 24 + 90 + 15 – 36 + 4 – 12. \] Sečteme: \[ 24 + 90 + 15 – 36 + 4 – 12 = 85. \] Rozptyl veličiny \(R\) je tedy \[ \mathrm{Var}(R) = 85. \] Nyní spočítáme kovarianci veličin \[ R = -2X + 3Y – Z, \] a \[ S = X – Y + 2Z. \] Koeficienty jsou: \[ a = -2, b = 3, c = -1, \] \[ d = 1, e = -1, f = 2. \] Použijeme vzorec pro kovarianci: \[ \mathrm{cov}(R,S) = a d \mathrm{Var}(X) + b e \mathrm{Var}(Y) + c f \mathrm{Var}(Z) + (a e + b d) \mathrm{cov}(X,Y) + (a f + c d) \mathrm{cov}(X,Z) + (b f + c e) \mathrm{cov}(Y,Z). \] Dosadíme: \[ (-2) \cdot 1 \cdot 6 + 3 \cdot (-1) \cdot 10 + (-1) \cdot 2 \cdot 15 + ((-2) \cdot (-1) + 3 \cdot 1) \cdot 3 + ((-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 1) \cdot 1 + (3 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1)) \cdot (-2). \] Postupně spočítáme: \[ -12 – 30 – 30 + (2 + 3) \cdot 3 + (-4 – 1) \cdot 1 + (6 + 1) \cdot (-2). \] Pokračujeme: \[ -12 – 30 – 30 + 15 – 5 – 14 = -76. \] Výsledek je tedy \[ \mathrm{cov}(R,S) = -76. \]