Kruh a kružnice

Řešení příkladu:

Průměr kružnice je dvojnásobek poloměru.

\( d = 2 \cdot r = 2 \cdot 3 = 6\,\text{cm} \)

Průměr kružnice tedy měří \( 6\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obvod kruhu se počítá podle vzorce \( o = \pi \cdot d \).

\( o = \pi \cdot 10 \approx 3{,}14 \cdot 10 = 31{,}4\,\text{cm} \)

Obvod kruhu je přibližně \( 31{,}4\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah kruhu se počítá podle vzorce \( S = \pi \cdot r^2 \).

\( S = \pi \cdot 7^2 = \pi \cdot 49 \approx 3{,}14 \cdot 49 = 153{,}86\,\text{cm}^2 \)

Obsah kruhu je přibližně \( 153{,}86\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro obvod kruhu je \( o = \pi \cdot d \Rightarrow d = \frac{o}{\pi} \).

\( d = \frac{62{,}8}{3{,}14} = 20\,\text{cm} \)

Průměr kružnice je \( 20\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro obsah kruhu je \( S = \pi \cdot r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{S}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \).

\( r = \sqrt{\frac{314}{3{,}14}} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm} \)

Poloměr kruhu je \( 10\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Průměr prochází středem kružnice. Pokud tětiva \( AB \) neprochází bodem \( O \), není to průměr.

Stačí tedy narýsovat tětivu, která nevede středem. Např. ve vzdálenosti 2 cm od středu. Taková tětiva je kratší než průměr a neprochází středem.

Řešení příkladu:

V pravoúhlém trojúhelníku je jedna strana polovina tětivy (\( 4\,\text{cm} \)), druhá strana je vzdálenost od středu (\( 3\,\text{cm} \)), přepona je poloměr.

Použijeme Pythagorovu větu:

\( r = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm} \)

Poloměr kružnice je \( 5\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = \frac{12}{2} = 6\,\text{cm} \)

Obvod: \( o = 2 \pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6 = 37{,}68\,\text{cm} \)

Obsah: \( S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04\,\text{cm}^2 \)

Obvod je \( 37{,}68\,\text{cm} \) a obsah \( 113{,}04\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Celý obvod kružnice: \( o = 2 \pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 8 = 50{,}24\,\text{cm} \)

Čtvrtina kruhu: \( \frac{1}{4} \cdot 50{,}24 = 12{,}56\,\text{cm} \)

Délka oblouku je \( 12{,}56\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Poloměr \( OA \) spojuje střed kružnice s bodem na kružnici. Podle geometrické vlastnosti je tečna ke kružnici v bodě \( A \) kolmá na poloměr \( OA \).

To znamená, že úhel mezi tečnou a poloměrem je pravý, tedy \( 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Obsah mezikruží je rozdíl obsahů dvou kruhů.

\( S = \pi r_l^2 – \pi r_k^2 = \pi (6^2 – 4^2) = \pi (36 – 16) = \pi \cdot 20 \approx 3{,}14 \cdot 20 = 62{,}8\,\text{cm}^2 \)

Obsah mezikruží je přibližně \( 62{,}8\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Původní obsah: \( S = \pi r^2 \)

Nový poloměr: \( 2r \Rightarrow S‘ = \pi (2r)^2 = \pi \cdot 4r^2 = 4 \pi r^2 \)

Nový obsah je čtyřnásobný.

Obsah se tedy zvětší 4krát.

Řešení příkladu:

Vytvoříme pravoúhlý trojúhelník s přeponou \( 10\,\text{cm} \) (poloměr) a výškou \( 6\,\text{cm} \) (vzdálenost od středu k tětivě).

Polovina tětivy: \( x = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm} \)

Celá tětiva: \( 2x = 2 \cdot 8 = 16\,\text{cm} \)

Tětiva měří \( 16\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( S = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{S}{\pi} = \frac{50{,}24}{3{,}14} = 16 \Rightarrow r = \sqrt{16} = 4\,\text{cm} \)

Poloměr kruhu je \( 4\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah celého kruhu: \( S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04\,\text{cm}^2 \)

Výseč tvoří \( \frac{60}{360} = \frac{1}{6} \) celku

\( S_v = \frac{1}{6} \cdot 113{,}04 \approx 18{,}84\,\text{cm}^2 \)

Obsah výseče je přibližně \( 18{,}84\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nový poloměr: \( r‘ = 1{,}5r \Rightarrow S‘ = \pi (1{,}5r)^2 = \pi \cdot 2{,}25r^2 \Rightarrow S‘ = 2{,}25 \cdot S \)

\( S‘ = 2{,}25 \cdot 78{,}5 = 176{,}625\,\text{cm}^2 \)

Nový obsah bude přibližně \( 176{,}63\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( 25\% = \frac{1}{4} \) celého kruhu

Celý kruh má \( 360^\circ \Rightarrow \frac{1}{4} \cdot 360 = 90^\circ \)

Úhel výseče je \( 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Obvod: \( o = 2 \pi r \Rightarrow r = \frac{o}{2\pi} = \frac{94{,}2}{2 \cdot 3{,}14} = \frac{94{,}2}{6{,}28} \approx 15\,\text{cm} \)

Poloměr je přibližně \( 15\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obvod celého kruhu: \( o = 2 \pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 9 = 56{,}52\,\text{cm} \)

\( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \Rightarrow \text{délka oblouku} = \frac{1}{3} \cdot 56{,}52 = 18{,}84\,\text{cm} \)

Délka oblouku je \( 18{,}84\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obvod kruhu: \( o = \pi d \)

Nový průměr: \( d‘ = 0{,}8d \Rightarrow o‘ = \pi \cdot 0{,}8d = 0{,}8 \pi d = 0{,}8 o \)

Obvod se zmenší o \( 20\% \), tedy bude tvořit \( 80\% \) původního obvodu.

Řešení příkladu:

Délka oblouku: \( l = \frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi r \)

\( 31{,}4 = \frac{72}{360} \cdot 2 \pi r \Rightarrow 31{,}4 = \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot r = \frac{6{,}28}{5} \cdot r = 1{,}256 \cdot r \)

\( r = \frac{31{,}4}{1{,}256} \approx 25\,\text{cm} \)

Poloměr kruhu je přibližně \( 25\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obvod kola: \( o = \pi d = 3{,}14 \cdot 70 = 219{,}8\,\text{cm} \)

Ujetá vzdálenost: \( 11\,\text{m} = 1100\,\text{cm} \)

Počet otáček: \( \frac{1100}{219{,}8} \approx 5 \)

Kolo udělá přibližně 5 otáček.

Řešení příkladu:

Původní obsah: \( S = \pi r^2 \)

Nový poloměr: \( r‘ = 1{,}4r \Rightarrow S‘ = \pi (1{,}4r)^2 = \pi \cdot 1{,}96r^2 \)

Zvětšení: \( \frac{S‘ – S}{S} \cdot 100 = \frac{1{,}96\pi r^2 – \pi r^2}{\pi r^2} \cdot 100 = (1{,}96 – 1) \cdot 100 = 96\% \)

Obsah se zvětší o \( 96\% \).

Řešení příkladu:

Původní obvod: \( o = \pi d \Rightarrow d = \frac{o}{\pi} = \frac{62{,}8}{3{,}14} = 20\,\text{cm} \)

Nový průměr: \( 1{,}5 \cdot 20 = 30\,\text{cm} \Rightarrow o‘ = \pi \cdot 30 = 94{,}2\,\text{cm} \)

Zvětšení: \( 94{,}2 – 62{,}8 = 31{,}4\,\text{cm} \)

Obvod se zvětší o \( 31{,}4\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obvod kola: \( o = \pi d = 3{,}14 \cdot 80 = 251{,}2\,\text{cm} \)

Dráha: \( 15 \cdot 251{,}2 = 3768\,\text{cm} = 37{,}68\,\text{m} \)

Dítě ujede přibližně \( 37{,}68\,\text{m} \).

Řešení příkladu:

Zlomek: \( \frac{54}{360} = \frac{3}{20} \)

Výseč tvoří \( \frac{3}{20} \) kruhu.

Řešení příkladu:

Polovina tětivy: \( 6\,\text{cm} \), tvoříme pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami \( 5\,\text{cm} \) a \( 6\,\text{cm} \)

Přepona: \( r = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \approx 7{,}81\,\text{cm} \)

Poloměr je přibližně \( 7{,}81\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Úhlopříčka čtverce je rovna průměru kruhu: \( u = 10\,\text{cm} \)

Strana: \( a = \frac{u}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \)

Obsah: \( S = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50\,\text{cm}^2 \)

Obsah čtverce je \( 50\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Větší poloměr: \( R = \frac{3r}{2} \)

Obsah mezikruží: \( S = \pi R^2 – \pi r^2 = \pi \left( \left( \frac{3r}{2} \right)^2 – r^2 \right) = \pi \left( \frac{9r^2}{4} – r^2 \right) = \pi \cdot \frac{5r^2}{4} \)

Obsah mezikruží je \( \frac{5}{4} \pi r^2 \).

Řešení příkladu:

\( S = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{154}{3{,}14} = 49 \Rightarrow r = 7\,\text{cm} \)

\( o = 2 \pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 7 = 43{,}96\,\text{cm} \)

Obvod je přibližně \( 43{,}96\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( S = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{201{,}06}{3{,}14} = 64 \Rightarrow r = 8\,\text{cm} \)

Průměr: \( d = 2r = 2 \cdot 8 = 16\,\text{cm} \)

Průměr kruhu je \( 16\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( o = 2 \pi r \Rightarrow r = \frac{75{,}36}{2 \cdot 3{,}14} = \frac{75{,}36}{6{,}28} = 12\,\text{cm} \)

Obsah většího kruhu: \( \pi \cdot 12^2 = 3{,}14 \cdot 144 = 452{,}16\,\text{cm}^2 \)

Obsah menšího kruhu: \( \pi \cdot 6^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04\,\text{cm}^2 \)

Rozdíl: \( 452{,}16 – 113{,}04 = 339{,}12\,\text{cm}^2 \)

Obsah je větší o \( 339{,}12\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 \Rightarrow 62{,}8 = \frac{\alpha}{360} \cdot 3{,}14 \cdot 100 \)

\( 62{,}8 = \frac{\alpha}{360} \cdot 314 \Rightarrow \alpha = \frac{62{,}8 \cdot 360}{314} \approx 72^\circ \)

Středový úhel je přibližně \( 72^\circ \).

Řešení příkladu:

Délka celého obvodu: \( 2 \pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 14 = 87{,}92\,\text{cm} \)

Čtvrtina kruhu: \( \frac{1}{4} \cdot 87{,}92 = 21{,}98\,\text{cm} \)

Délka oblouku je \( 21{,}98\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Strana rovnostranného trojúhelníka vepsaného do kruhu: \( a = \sqrt{3} \cdot r \)

\( r = \frac{20}{2} = 10 \Rightarrow a = \sqrt{3} \cdot 10 \approx 17{,}32\,\text{cm} \)

Délka strany trojúhelníka je přibližně \( 17{,}32\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Počet bodů: \( \frac{94{,}2}{18{,}84} = 5 \)

Na kružnici bude označeno 5 bodů.

Řešení příkladu:

Obvod výseče: \( o = l + 2r = \frac{1}{6} \cdot 2 \pi r + 2r = \frac{\pi r}{3} + 2r \)

\( 18{,}84 = \frac{3{,}14r}{3} + 2r = 1{,}047r + 2r = 3{,}047r \Rightarrow r = \frac{18{,}84}{3{,}047} \approx 6{,}18\,\text{cm} \)

Poloměr kruhu je přibližně \( 6{,}18\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{60}{360} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{6} \cdot 3{,}14 \cdot r^2 \Rightarrow 50 = \frac{3{,}14}{6} r^2 = 0{,}523 r^2 \)

\( r^2 = \frac{50}{0{,}523} \approx 95{,}6 \Rightarrow r \approx 9{,}78\,\text{cm} \)

Poloměr kruhu je přibližně \( 9{,}78\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle věty o kružnici opsané pravoúhlému trojúhelníku platí: pokud jeden úhel trojúhelníka je pravý, pak přepona je průměrem kružnice, která trojúhelník opisuje.

Proto platí: přepona = průměr kruhu.

Řešení příkladu:

Délka oblouku: \( l = \frac{225}{360} \cdot 2 \pi r = \frac{5}{8} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6 = \frac{5}{8} \cdot 37{,}68 = 23{,}55\,\text{cm} \)

Délka oblouku je přibližně \( 23{,}55\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obvod: \( o = 2 \pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5{,}5 = 34{,}54\,\text{cm} \)

Obsah: \( S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot (5{,}5)^2 = 3{,}14 \cdot 30{,}25 = 94{,}99\,\text{cm}^2 \)

Obvod je \( 34{,}54\,\text{cm} \), obsah je \( 94{,}99\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Poloměry: \( r_1 = 6\,\text{cm} \), \( r_2 = 4\,\text{cm} \)

Obsahy: \( S_1 = \pi \cdot 6^2 = 113{,}04\,\text{cm}^2 \), \( S_2 = \pi \cdot 4^2 = 50{,}24\,\text{cm}^2 \)

Rozdíl: \( 113{,}04 – 50{,}24 = 62{,}8 \)

Procento: \( \frac{62{,}8}{50{,}24} \cdot 100 \approx 125\% \)

Obsah většího kruhu je o 125 % větší.

Řešení příkladu:

\( S = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{78{,}5}{3{,}14} = 25 \Rightarrow r = 5 \Rightarrow d = 10\,\text{cm} \)

Průměr je \( 10\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obvod výseče: \( o = \frac{1}{4} \cdot 2 \pi r + 2r = \frac{\pi r}{2} + 2r = 18{,}85 \)

\( \frac{3{,}14r}{2} + 2r = 18{,}85 \Rightarrow 1{,}57r + 2r = 3{,}57r = 18{,}85 \)

\( r = \frac{18{,}85}{3{,}57} \approx 5{,}28\,\text{cm} \)

Poloměr kruhu je přibližně \( 5{,}28\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( o = 2 \pi r \Rightarrow r = \frac{31{,}4}{2 \cdot 3{,}14} = 5 \)

\( S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5\,\text{cm}^2 \)

Obsah je \( 78{,}5\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( r = \frac{12}{2} = 6 \)

\( l = \frac{135}{360} \cdot 2 \pi r = \frac{3}{8} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6 = \frac{3}{8} \cdot 37{,}68 = 14{,}13\,\text{cm} \)

Délka oblouku je \( 14{,}13\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( \frac{\alpha}{360} \cdot 314 = 78{,}5 \Rightarrow \alpha = \frac{78{,}5 \cdot 360}{314} = 90^\circ \)

Středový úhel je \( 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Úhlopříčka čtverce = průměr kruhu = \( 24\,\text{cm} \)

\( d = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{24}{\sqrt{2}} = \frac{24 \sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97\,\text{cm} \)

Délka strany čtverce je přibližně \( 16{,}97\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( o = l + 2r \Rightarrow 15 = 6{,}28 + 2r \Rightarrow 2r = 8{,}72 \Rightarrow r = 4{,}36\,\text{cm} \)

Poloměr kruhu je \( 4{,}36\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( o_1 = \pi \cdot 30 = 3{,}14 \cdot 30 = 94{,}2\,\text{cm} \)

\( o_2 = \pi \cdot 25 = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5\,\text{cm} \)

Rozdíl: \( 94{,}2 – 78{,}5 = 15{,}7\,\text{cm} \)

Obvod většího kruhu je o \( 15{,}7\,\text{cm} \) větší.

Řešení příkladu:

Přímka, která protíná kružnici ve dvou bodech, se nazývá sečna. Každá sečna má s kružnicí právě dva průsečíky.

Počet průsečíků je tedy \( 2 \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost přímky od středu kružnice je větší než poloměr:

\( 7\,\text{cm} > 5\,\text{cm} \Rightarrow \) přímka je s kružnicí rovnoběžná a nemá žádný průsečík. Nazývá se vnější přímka.

Řešení příkladu:

Pokud je vzdálenost přímky od středu rovna poloměru, pak přímka se kružnice dotýká právě v jednom bodě.

Taková přímka se nazývá tečna. Má s kružnicí právě jeden společný bod.

Řešení příkladu:

Každá sečna protíná kružnici ve dvou bodech, takže dvě různé sečny mohou mít dohromady až:

\( 2 + 2 = 4 \) průsečíky s kružnicí.

Řešení příkladu:

Poloměr vedený do bodu dotyku je na tečnu kolmý.

To znamená, že svírají pravý úhel: \( 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Úsečka \( AB \) je sečnou částí přímky a současně je to tětiva kružnice.

Tětiva je úsečka spojující dva body kružnice. Pokud prochází středem, nazývá se průměr.

Řešení příkladu:

Přímka je kolmá na poloměr vedený do bodu na kružnici, což znamená, že se jedná o tečnu kružnice.

Tečna se dotýká kružnice v jednom bodě a je na poloměr kolmá.

Řešení příkladu:

Z bodu mimo kružnici lze ke kružnici vést právě dvě různé tečny.

Obě se dotýkají kružnice v jiném bodě a vytvářejí s poloměry pravoúhlé trojúhelníky.

Řešení příkladu:

Přímka, která prochází středem kružnice a dvěma body na kružnici, je průměr nebo její nosič.

Jedná se o speciální sečnu, která je nejdelší možnou tětivou kružnice.

Řešení příkladu:

Najdeme vzdálenost středu kružnice od přímky:

Vzdálenost bodu \( (x_0, y_0) \) od přímky \( ax + by + c = 0 \):

Přímka: \( y = 2x – 7 \Rightarrow 2x – y – 7 = 0 \)

Dosadíme do vzorce:

\( d = \frac{|2 \cdot 3 – 1 \cdot 2 – 7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 – 2 – 7|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1{,}34 \)

Protože \( 1{,}34 < 5 \), přímka protíná kružnici ve dvou bodech (je to sečna).

Řešení příkladu:

Bod \( T=(3,4) \) leží na kružnici, protože platí:

\( \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 = r \Rightarrow T \in \text{kružnici} \).

Tečna je kolmá na poloměr vedený do bodu dotyku \( T \), tedy vektoru \( \vec{ST} = (3,4) \).

Směrnice poloměru je:

\( m_{ST} = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3} \).

Směrnice tečny je negativní převrácená hodnota:

\( m_t = -\frac{3}{4} \).

Rovnice tečny prochází bodem \( T=(3,4) \), tedy:

\( y – 4 = m_t (x – 3) \Rightarrow y – 4 = -\frac{3}{4}(x – 3) \).

Úpravou dostaneme:

\( y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + 4 = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4} \).

Rovnice tečny je tedy \( y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4} \).

Řešení příkladu:

Převeďme přímku na tvar \( ax + by + c = 0 \):

\( y = x + 1 \Rightarrow x – y + 1 = 0 \)

Vzdálenost středu \( S=(2,3) \) od přímky:

\( d = \frac{|2 – 3 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|0|}{\sqrt{2}} = 0 \)

Vzdálenost je 0, což znamená, že střed leží na přímce.

Protože \( d = 0 < r = 4 \), přímka kružnici protíná.

Řešení příkladu:

Vzdálenost tětivy od středu je \( d = 4\,\text{cm} \), poloměr kružnice \( r = 6\,\text{cm} \).

Délka tětivy \( c \) je dána vztahem:

\( c = 2 \sqrt{r^2 – d^2} = 2 \sqrt{6^2 – 4^2} = 2 \sqrt{36 – 16} = 2 \sqrt{20} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4 \sqrt{5} \,\text{cm} \).

Délka tětivy je \( 4 \sqrt{5} \,\text{cm} \approx 8{,}94\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Rovnice přímky ve tvaru \( ax + by + c = 0 \):

\( y = -\frac{1}{2}x + 3 \Rightarrow \frac{1}{2}x + y – 3 = 0 \) (násobíme 2, abychom se zbavili zlomku):

\( x + 2y – 6 = 0 \)

Vzdálenost středu \( S=(2,1) \) od přímky:

\( d = \frac{|2 + 2\cdot1 – 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 2 – 6|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0{,}89 \)

Protože přímka je tečnou, vzdálenost je rovna poloměru kružnice:

\( r = d = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0{,}89 \)

Řešení příkladu:

První přímka je tečna, protože je vzdálená od středu přesně \( 8\,\text{cm} = r \).

Druhá přímka není tečna, protože vzdálenost \( 5\,\text{cm} < r \) (protíná kružnici ve dvou bodech).

Pokud by obě přímky byly tečny, vzdálenost mezi nimi by byla \( 2r = 16\,\text{cm} \).

Jelikož druhá přímka není tečnou, vzdálenost mezi nimi je méně než \( 2r \).

Pro přesné určení vzdálenosti by bylo třeba znát jejich přesnou polohu.

Řešení příkladu:

Rovnici přímky převedeme do tvaru \( ax + by + c = 0 \):

\( y = 3x + 2 \Rightarrow 3x – y + 2 = 0 \)

Vypočteme vzdálenost středu \( S = (1,1) \) od přímky:

\( d = \frac{|3\cdot1 – 1 + 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 – 1 + 2|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{10}} \approx 1{,}26 \)

Porovnáme vzdálenost s poloměrem:

\( d = 1{,}26 < r = 5 \Rightarrow \) přímka protíná kružnici ve dvou bodech (sečna).

Řešení příkladu:

Bod \( P = (6,0) \) je mimo kružnici \( r=4 \).

Rovnice obecné přímky procházející bodem \( P \) má tvar:

\( y = m(x – 6) \).

Musíme najít hodnoty \( m \), pro které je vzdálenost přímky od středu rovna poloměru.

Přímku přepíšeme do tvaru \( ax + by + c = 0 \):

\( y = m(x – 6) \Rightarrow y – m x + 6 m = 0 \Rightarrow -m x + y + 6 m = 0 \).

Vzdálenost středu \( (0,0) \) od přímky:

\( d = \frac{| -m \cdot 0 + 0 + 6 m |}{\sqrt{(-m)^2 + 1^2}} = \frac{|6 m|}{\sqrt{m^2 + 1}} \).

Podmínka tečny: \( d = r = 4 \), tedy:

\( \frac{6 |m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4 \Rightarrow 6 |m| = 4 \sqrt{m^2 + 1} \Rightarrow 36 m^2 = 16 (m^2 + 1) \Rightarrow 36 m^2 = 16 m^2 + 16 \Rightarrow 20 m^2 = 16 \Rightarrow m^2 = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \).

Vyřešíme pro \( m \):

\( m = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} \).

Rovnice tečen jsou tedy:

\( y = \frac{2 \sqrt{5}}{5} (x – 6) \quad \text{a} \quad y = -\frac{2 \sqrt{5}}{5} (x – 6) \).

Řešení příkladu:

Rovnice přímky ve tvaru \( ax + by + c = 0 \):

\( y = -x + b \Rightarrow x + y – b = 0 \)

Vzdálenost středu \( (1,2) \) od přímky:

\( d = \frac{|1 + 2 – b|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3 – b|}{\sqrt{2}} \).

Podmínka tečny: \( d = r = 3 \), tedy:

\( \frac{|3 – b|}{\sqrt{2}} = 3 \Rightarrow |3 – b| = 3 \sqrt{2} \Rightarrow 3 – b = \pm 3 \sqrt{2} \Rightarrow b = 3 \mp 3 \sqrt{2} \).

Hodnoty \( b \) jsou tedy:

\( b_1 = 3 – 3 \sqrt{2} \), \( b_2 = 3 + 3 \sqrt{2} \).

Řešení příkladu:

Střed kružnice je průsečík os tětiv segmentů \( AB \) a \( BC \).

Sestrojíme osy tětiv \( AB \) a \( BC \):

Střed tětivy \( AB \): \( M_{AB} = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (3,3) \)

Sklon tětivy \( AB \):

\( m_{AB} = \frac{4-2}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Směrnice osy tětivy je negativní převrácená hodnota:

\( m_{oAB} = -2 \)

Rovnice osy tětivy \( AB \):

\( y – 3 = -2 (x – 3) \Rightarrow y = -2x + 6 + 3 = -2x + 9 \)

Střed tětivy \( BC \): \( M_{BC} = \left(\frac{5+3}{2}, \frac{4+6}{2}\right) = (4,5) \)

Sklon tětivy \( BC \):

\( m_{BC} = \frac{6-4}{3-5} = \frac{2}{-2} = -1 \)

Směrnice osy tětivy:

\( m_{oBC} = 1 \)

Rovnice osy tětivy \( BC \):

\( y – 5 = 1 (x – 4) \Rightarrow y = x + 1 \)

Průsečík os tětiv je střed kružnice, vyřešíme soustavu:

\( \begin{cases} y = -2x + 9 \\ y = x + 1 \end{cases} \Rightarrow -2x + 9 = x + 1 \Rightarrow 9 – 1 = 3x \Rightarrow 8 = 3x \Rightarrow x = \frac{8}{3} \)

\( y = \frac{8}{3} + 1 = \frac{8}{3} + \frac{3}{3} = \frac{11}{3} \)

Střed kružnice je \( S = \left(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}\right) \).

Poloměr kružnice je vzdálenost středu od jednoho z bodů, např. \( A \):

\( r = \sqrt{\left(1 – \frac{8}{3}\right)^2 + \left(2 – \frac{11}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{5 \sqrt{2}}{3} \).

Řešení příkladu:

Přímka má směrnici \( m_1 = 2 \).

Přímky kolmé mají směrnici \( m_2 = -\frac{1}{2} \).

Rovnice obecné přímky kolmé k \( y = 2x – 1 \):

\( y = -\frac{1}{2} x + b \).

Podmínka, aby byla přímka tečnou ke kružnici \( (1,1), r=3 \), je, že vzdálenost středu od přímky je rovna poloměru.

Ve tvaru \( ax + by + c = 0 \):

\( y = -\frac{1}{2} x + b \Rightarrow \frac{1}{2} x + y – b = 0 \) (násobíme 2):

\( x + 2y – 2b = 0 \).

Vzdálenost středu \( (1,1) \) od přímky:

\( d = \frac{|1 + 2 \cdot 1 – 2b|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|3 – 2b|}{\sqrt{5}} \).

Podmínka tečny:

\( d = 3 \Rightarrow \frac{|3 – 2b|}{\sqrt{5}} = 3 \Rightarrow |3 – 2b| = 3 \sqrt{5} \Rightarrow 3 – 2b = \pm 3 \sqrt{5} \Rightarrow 2b = 3 \mp 3 \sqrt{5} \Rightarrow b = \frac{3 \mp 3 \sqrt{5}}{2} \).

Rovnice přímek jsou:

\( y = -\frac{1}{2} x + \frac{3 + 3 \sqrt{5}}{2} \quad \text{a} \quad y = -\frac{1}{2} x + \frac{3 – 3 \sqrt{5}}{2} \).

Řešení příkladu:

Délka oblouku \( l \) je dána vztahem \( l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \), kde \( \alpha \) je středový úhel v stupních.

Dosadíme: \( \alpha = 75^\circ \), \( r = 12\,cm \), \( \pi = 3{,}14 \).

\( l = \frac{75}{360} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 12 = \frac{75}{360} \cdot 75{,}36 \)

\( l = 0{,}2083 \cdot 75{,}36 = 15{,}7\,cm \)

Délka oblouku je přibližně \( 15{,}7\,cm \).

Řešení příkladu:

Poloměr kruhu je polovina průměru: \( r = \frac{20}{2} = 10\,cm \).

Obsah kruhu \( S \) je dán vzorcem \( S = \pi r^2 \).

Dosadíme: \( \pi = 3{,}1416 \), \( r = 10\,cm \).

\( S = 3{,}1416 \cdot 10^2 = 3{,}1416 \cdot 100 = 314{,}16\,cm^2 \).

Obsah kruhu je \( 314{,}16\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

Obvod kruhu je \( o = 2 \pi r \).

Dosadíme: \( o = 31{,}4\,cm \), \( \pi = 3{,}14 \).

\( 31{,}4 = 2 \cdot 3{,}14 \cdot r \Rightarrow 31{,}4 = 6{,}28 \cdot r \)

Vypočítáme poloměr:

\( r = \frac{31{,}4}{6{,}28} = 5\,cm \)

Poloměr kružnice je \( 5\,cm \).

Řešení příkladu:

Obsah výseče \( S_v \) je část obsahu kruhu odpovídající středovému úhlu:

\( S_v = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \).

Dosadíme: \( \alpha = 90^\circ \), \( r = 7\,cm \), \( \pi = 3{,}14 \).

\( S_v = \frac{90}{360} \cdot 3{,}14 \cdot 7^2 = \frac{1}{4} \cdot 3{,}14 \cdot 49 = 0{,}25 \cdot 153{,}86 = 38{,}465\,cm^2 \).

Obsah výseče je přibližně \( 38{,}47\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

První kruh má poloměr \( R = 15\,cm \), druhý kruh má poloměr \( r = 5\,cm \).

Dotyk v jednom bodě znamená, že vzdálenost středů je rovna součtu poloměrů:

\( d = R + r = 15 + 5 = 20\,cm \).

Vzdálenost středů je tedy \( 20\,cm \).

Řešení příkladu:

Kružnice opsaná čtverci má poloměr rovnající se polovině délky úhlopříčky čtverce.

Délka úhlopříčky je \( d = a \sqrt{2} \), kde \( a = 8\,cm \).

Dosadíme: \( d = 8 \cdot \sqrt{2} \approx 8 \cdot 1{,}4142 = 11{,}3137\,cm \).

Poloměr kružnice opsané je tedy \( r = \frac{d}{2} = \frac{11{,}3137}{2} = 5{,}6569\,cm \).

Obvod kružnice je \( o = 2 \pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5{,}6569 \approx 35{,}52\,cm \).

Obvod kružnice opsané čtverci je přibližně \( 35{,}52\,cm \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost tětivy od středu je kolmá vzdálenost \( d = 6\,cm \).

Poloměr kruhu je \( r = 10\,cm \).

Tětiva se dá vypočítat pomocí pravoúhlého trojúhelníku, kde poloměr je přepona, vzdálenost tětivy od středu je odvěsna a polovina tětivy je druhá odvěsna.

Polovina délky tětivy je tedy \( t = \sqrt{r^2 – d^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8\,cm \).

Délka celé tětivy je \( 2t = 2 \cdot 8 = 16\,cm \).

Tětiva má délku \( 16\,cm \).

Řešení příkladu:

Délka oblouku \( l \) je \( l = r \alpha \), kde \( \alpha \) je středový úhel v radiánech.

Dosadíme: \( l = 5\pi\,cm \), \( r = 10\,cm \).

\( 5\pi = 10 \cdot \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} \) radiánů.

Převod na stupně: \( \alpha = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 90^\circ \).

Velikost středového úhlu je \( 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Obsah výseče \( S_v = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \), délka oblouku \( l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \).

Dosadíme: \( \alpha = 60^\circ \), \( r = 14\,cm \), \( \pi = 3{,}14 \).

Obsah výseče:

\( S_v = \frac{60}{360} \cdot 3{,}14 \cdot 14^2 = \frac{1}{6} \cdot 3{,}14 \cdot 196 = 0{,}1667 \cdot 615{,}44 = 102{,}57\,cm^2 \).

Délka oblouku:

\( l = \frac{60}{360} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 14 = \frac{1}{6} \cdot 87{,}92 = 14{,}65\,cm \).

Obsah výseče je přibližně \( 102{,}57\,cm^2 \) a délka oblouku \( 14{,}65\,cm \).

Řešení příkladu:

Poloměry kružnic jsou \( r_1 = 10\,cm \), \( r_2 = 14\,cm \), vzdálenost středů \( d = 24\,cm \).

Zkoumáme vztah mezi \( d \), \( r_1 \) a \( r_2 \):

• Pokud \( d > r_1 + r_2 \), kružnice jsou od sebe vzdálené.
• Pokud \( d = r_1 + r_2 \), kružnice se dotýkají v jednom bodě (vnější dotyk).
• Pokud \( |r_1 – r_2| < d < r_1 + r_2 \), kružnice se protínají v dvou bodech.
• Pokud \( d = |r_1 – r_2| \), kružnice se dotýkají uvnitř (vnitřní dotyk).
• Pokud \( d < |r_1 - r_2| \), jedna kružnice je uvnitř druhé bez průniku.

Spočítáme součet poloměrů:

\( r_1 + r_2 = 10 + 14 = 24\,cm \).

Porovnáme s \( d = 24\,cm \Rightarrow d = r_1 + r_2 \).

Kružnice se tedy dotýkají v jednom bodě – jde o vnější dotyk.

Řešení příkladu:

Délka oblouku \( l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \).

Dosadíme: \( \alpha = 120^\circ \), \( r = 9\,cm \), \( \pi = 3{,}1416 \).

\( l = \frac{120}{360} \cdot 2 \cdot 3{,}1416 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 56{,}5488 = 18{,}8496\,cm \).

Délka oblouku je přibližně \( 18{,}85\,cm \).

Řešení příkladu:

Obvod kruhu je \( o = 2 \pi r \).

Dosadíme \( o = 62{,}8\,cm \), \( \pi = 3{,}14 \).

\( 62{,}8 = 2 \cdot 3{,}14 \cdot r \Rightarrow r = \frac{62{,}8}{6{,}28} = 10\,cm \).

Obsah kruhu je \( S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 10^2 = 314\,cm^2 \).

Obsah kruhu je tedy \( 314\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

Polovina tětivy je odvěsna v pravoúhlém trojúhelníku, kde přepona je poloměr \( r = 13\,cm \) a druhá odvěsna je vzdálenost od středu \( d = 5\,cm \).

Polovina délky tětivy:

\( t = \sqrt{r^2 – d^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\,cm \).

Délka celé tětivy je \( 2t = 24\,cm \).

Tětiva má délku \( 24\,cm \).

Řešení příkladu:

Poloměr kružnice opsané rovnostrannému trojúhelníku je \( r = \frac{a}{\sqrt{3}} \), kde \( a = 10\,cm \).

\( r = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx \frac{10}{1{,}732} = 5{,}77\,cm \).

Obvod kružnice je \( o = 2 \pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5{,}77 \approx 36{,}22\,cm \).

Obvod kružnice opsané je přibližně \( 36{,}22\,cm \).

Řešení příkladu:

Obsah výseče \( S_v = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \).

Dosadíme: \( \alpha = 150^\circ \), \( r = 11\,cm \), \( \pi = 3{,}1416 \).

\( S_v = \frac{150}{360} \cdot 3{,}1416 \cdot 11^2 = \frac{5}{12} \cdot 3{,}1416 \cdot 121 = 0{,}4167 \cdot 379{,}94 = 158{,}3\,cm^2 \).

Obsah výseče je přibližně \( 158{,}3\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

Délka oblouku \( l = r \alpha \), kde \( \alpha \) je středový úhel v radiánech.

Dosadíme: \( l = 9{,}42\,cm \), \( r = 6\,cm \).

\( 9{,}42 = 6 \cdot \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{9{,}42}{6} = 1{,}57 \) radiánů.

Převod na stupně:

\( \alpha = 1{,}57 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 1{,}57 \cdot 57{,}296 = 90^\circ \).

Středový úhel je \( 1{,}57 \) radiánů nebo \( 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Obsah kruhu je \( S = \pi r^2 \).

Dosadíme: \( S = 452{,}16\,cm^2 \), \( \pi = 3{,}1416 \).

\( 452{,}16 = 3{,}1416 \cdot r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{452{,}16}{3{,}1416} = 144 \).

Poloměr \( r = \sqrt{144} = 12\,cm \).

Poloměr kruhu je \( 12\,cm \).

Řešení příkladu:

Délka oblouku \( l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \).

Dosadíme: \( \alpha = 45^\circ \), \( r = 8\,cm \), \( \pi = 3{,}14 \).

\( l = \frac{45}{360} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 8 = \frac{1}{8} \cdot 50{,}24 = 6{,}28\,cm \).

Délka oblouku je \( 6{,}28\,cm \).

Řešení příkladu:

Polovina tětivy je \( 6\,cm \).

V pravoúhlém trojúhelníku platí: \( r^2 = d^2 + t^2 \), kde \( d = 5\,cm \), \( t = 6\,cm \).

\( r^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \Rightarrow r = \sqrt{61} \approx 7{,}81\,cm \).

Poloměr kružnice je přibližně \( 7{,}81\,cm \).

Řešení příkladu:

Obsah výseče \( S_v = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \).

Dosadíme: \( \alpha = 90^\circ \), \( r = 15\,cm \), \( \pi = 3{,}1416 \).

\( S_v = \frac{90}{360} \cdot 3{,}1416 \cdot 15^2 = \frac{1}{4} \cdot 3{,}1416 \cdot 225 = 0{,}25 \cdot 706{,}86 = 176{,}72\,cm^2 \).

Obsah výseče je přibližně \( 176{,}72\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

Délka oblouku se počítá podle vzorce \( l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \).

Dosadíme: \( \alpha = 135^\circ \), \( r = 14\,cm \), \( \pi = 3{,}1416 \).

\( l = \frac{135}{360} \cdot 2 \cdot 3{,}1416 \cdot 14 = \frac{3}{8} \cdot 87{,}9648 = 32{,}987 \, cm \).

Délka oblouku je přibližně \( 32{,}99\,cm \).

Řešení příkladu:

Poloměr kruhu je polovina průměru: \( r = \frac{24}{2} = 12\,cm \).

Obsah kruhu se počítá jako \( S = \pi r^2 \).

Dosadíme: \( S = 3{,}14 \cdot 12^2 = 3{,}14 \cdot 144 = 452{,}16\,cm^2 \).

Obsah kruhu je tedy \( 452{,}16\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

Polovina délky tětivy \( t \) je odvěsna v pravoúhlém trojúhelníku, kde přepona je poloměr \( r = 10\,cm \) a druhá odvěsna je vzdálenost od středu \( d = 6\,cm \).

Polovina tětivy: \( t = \sqrt{r^2 – d^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8\,cm \).

Celková délka tětivy je \( 2t = 16\,cm \).

Délka tětivy je \( 16\,cm \).

Řešení příkladu:

Poloměr kružnice opsané čtverci je polovina jeho úhlopříčky.

Úhlopříčka čtverce: \( d = a \sqrt{2} = 7 \cdot \sqrt{2} \approx 7 \cdot 1{,}414 = 9{,}898\,cm \).

Poloměr kružnice je \( r = \frac{d}{2} = \frac{9{,}898}{2} = 4{,}949\,cm \).

Obvod kružnice je \( o = 2 \pi r = 2 \cdot 3{,}1416 \cdot 4{,}949 \approx 31{,}07\,cm \).

Obvod kružnice opsané je přibližně \( 31{,}07\,cm \).

Řešení příkladu:

Obsah výseče se vypočítá jako \( S_v = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \).

Dosadíme: \( \alpha = 60^\circ \), \( r = 9\,cm \), \( \pi = 3{,}14 \).

\( S_v = \frac{60}{360} \cdot 3{,}14 \cdot 9^2 = \frac{1}{6} \cdot 3{,}14 \cdot 81 = 0{,}1667 \cdot 254{,}34 = 42{,}39\,cm^2 \).

Obsah výseče je přibližně \( 42{,}39\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

Délka oblouku \( l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \).

Dosadíme: \( \alpha = 72^\circ \), \( r = 20\,cm \), \( \pi = 3{,}1416 \).

\( l = \frac{72}{360} \cdot 2 \cdot 3{,}1416 \cdot 20 = \frac{1}{5} \cdot 125{,}664 = 25{,}133\,cm \).

Délka oblouku je přibližně \( 25{,}13\,cm \).

Řešení příkladu:

Obvod kruhu je \( o = 2 \pi r \).

Dosadíme: \( o = 62{,}8\,cm \), \( \pi = 3{,}14 \).

\( 62{,}8 = 2 \cdot 3{,}14 \cdot r \Rightarrow r = \frac{62{,}8}{6{,}28} = 10\,cm \).

Poloměr kruhu je \( 10\,cm \).

Řešení příkladu:

Polovina tětivy je \( 4\,cm \).

V pravoúhlém trojúhelníku platí: \( r^2 = d^2 + t^2 \), kde \( r = 5\,cm \), \( t = 4\,cm \).

\( d^2 = r^2 – t^2 = 5^2 – 4^2 = 25 – 16 = 9 \Rightarrow d = \sqrt{9} = 3\,cm \).

Vzdálenost tětivy od středu je \( 3\,cm \).

Řešení příkladu:

Obsah výseče \( S_v = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \).

Dosadíme: \( \alpha = 72^\circ \), \( r = 18\,cm \), \( \pi = 3{,}1416 \).

\( S_v = \frac{72}{360} \cdot 3{,}1416 \cdot 18^2 = \frac{1}{5} \cdot 3{,}1416 \cdot 324 = 0{,}2 \cdot 1017{,}88 = 203{,}58\,cm^2 \).

Obsah výseče je přibližně \( 203{,}58\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

Délka oblouku \( l = r \alpha \), kde \( \alpha \) je středový úhel v radiánech.

Dosadíme: \( l = 15{,}7\,cm \), \( r = 10\,cm \).

\( 15{,}7 = 10 \cdot \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{15{,}7}{10} = 1{,}57 \) radiánů.

Převod na stupně:

\( \alpha = 1{,}57 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 1{,}57 \cdot 57{,}296 = 90^\circ \).

Středový úhel je \( 1{,}57 \) radiánů nebo \( 90^\circ \).