Kužel

Řešení příkladu:

Objem kužele se vypočítá podle vzorce \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \).

Dosadíme hodnoty: \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 \Rightarrow V = \frac{1}{3} \pi \cdot 300 = 100\pi \).

Objem kužele je \( 100\pi\,\text{cm}^3 \approx 314{,}16\,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Poloměr podstavy je \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \).

Povrch kužele je dán vzorcem \( S = \pi r^2 + \pi r s \).

Dosadíme: \( S = \pi \cdot 5^2 + \pi \cdot 5 \cdot 13 = \pi \cdot 25 + \pi \cdot 65 = \pi (25 + 65) = 90\pi \).

Povrch kužele je \( 90\pi\,\text{cm}^2 \approx 282{,}74\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Objem je \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \Rightarrow 150\pi = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot v \).

Vyjádříme \( v \): \( 150\pi = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot v \Rightarrow 150\pi = 3\pi v \Rightarrow v = \frac{150\pi}{3\pi} = 50 \).

Výška kužele je \( 50\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Strana kužele je přepona pravoúhlého trojúhelníku: \( s = \sqrt{r^2 + v^2} \Rightarrow s = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \).

Délka strany kužele je \( 15\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Povrch: \( S = \pi r^2 + \pi r s \Rightarrow 180\pi = \pi \cdot 6^2 + \pi \cdot 6 \cdot s \).

Rozdělíme obě strany rovnice \( \pi \): \( 180 = 36 + 6s \Rightarrow 6s = 144 \Rightarrow s = 24 \).

Vypočítáme výšku: \( v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{24^2 – 6^2} = \sqrt{576 – 36} = \sqrt{540} \approx 23{,}24 \).

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 23{,}24 \approx \frac{1}{3} \pi \cdot 836{,}64 \approx 278{,}88\pi \approx 876{,}02\,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Poloměr \( r = 5\,\text{cm} \), strana \( s = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \approx 9{,}43 \).

Plášť: \( S = \pi r s = \pi \cdot 5 \cdot 9{,}43 \approx \pi \cdot 47{,}15 \approx 148{,}13\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Poloměr \( r = 7\,\text{cm} \), objem \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot 30 = \frac{1}{3} \pi \cdot 1470 = 490\pi \approx 1539{,}38\,\text{cm}^3 \).

Hmotnost = hustota × objem \( = 2{,}4 \cdot 1539{,}38 \approx 3694{,}51\,\text{g} \approx 3{,}69\,\text{kg} \).

Řešení příkladu:

Vzorec: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \Rightarrow 200\pi = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot 10 \Rightarrow 200 = \frac{10}{3} r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{600}{10} = 60 \Rightarrow r = \sqrt{60} \approx 7{,}75 \).

Průměr = \( 2r \approx 15{,}5\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Poloměr \( r = 6\,\text{cm} \), tangens úhlu: \( \tan \alpha = \frac{r}{v} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \).

\( \alpha = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx 33{,}69^\circ \).

Řešení příkladu:

Rozvinutý plášť kužele je kruhový výsek s poloměrem \( s = 10\,\text{cm} \).

Obvod podstavy kužele: \( o = 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \).

Délka oblouku výseku = obvod podstavy = \( 8\pi \), tedy platí \( \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 10 = 8\pi \).

Zkrátíme \( \pi \): \( \frac{\alpha}{360} \cdot 20 = 8 \Rightarrow \alpha = \frac{8 \cdot 360}{20} = 144^\circ \).

Poloměr výseku je \( 10\,\text{cm} \), úhel je \( 144^\circ \).

Řešení příkladu:

Objem kuželu se počítá podle vzorce: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \)

Dosadíme hodnoty: \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 10 = \frac{90}{3} \pi = 30\pi \)

Objem je přibližně: \( V \approx 30 \cdot 3{,}1416 = 94{,}248\,\text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \)

Nejprve spočítáme délku strany kuželu (tvořící): \( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,\text{cm} \)

Povrch kuželu: \( S = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 5^2 + \pi \cdot 5 \cdot 13 = 25\pi + 65\pi = 90\pi \)

Přibližně: \( S \approx 90 \cdot 3{,}1416 = 282{,}744\,\text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \)

Povrch kuželu: \( S = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 25 + \pi \cdot 5 \cdot s = 25\pi + 5\pi s = \pi(25 + 5s) \)

Dosadíme: \( \pi(25 + 5s) = 150\pi \Rightarrow 25 + 5s = 150 \Rightarrow 5s = 125 \Rightarrow s = 25\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Povrch kuželu: \( S = \pi r^2 + \pi r s = \pi(r^2 + r s) = 100\pi \Rightarrow r^2 + r s = 100 \)

Neznáme \( r \), ale \( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{r^2 + 36} \)

Dosadíme do rovnice: \( r^2 + r \sqrt{r^2 + 36} = 100 \)

Tato rovnice se řeší numericky, přibližně zjistíme, že \( r \approx 3 \)

Pak \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 6 = \frac{54}{3} \pi = 18\pi \approx 56{,}55\,\text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Vzorec pro objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \Rightarrow 200\pi = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot v \Rightarrow 200 = \frac{25}{3} v \Rightarrow v = \frac{600}{25} = 24\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Převedeme jednotky: \( r = 20\,\text{cm} = 0{,}2\,\text{m}, v = 1{,}5\,\text{m} \)

Objem kuželu: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 0{,}2^2 \cdot 1{,}5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 0{,}04 \cdot 1{,}5 = \frac{1}{3} \cdot 0{,}06 \pi = 0{,}02\pi \)

V litrech: \( V \approx 0{,}02 \cdot 3{,}1416 = 0{,}0628\,\text{m}^3 = 62{,}8\,\text{l} \)

Řešení příkladu:

Obvod podstavy: \( o = 2\pi r = 8\pi\,\text{cm} \)

Oblouk výseče má délku rovnou obvodu podstavy kuželu: \( 8\pi\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Poloměr koule \( r_k = 3\,\text{cm} \), výška kuželu bude dvojnásobná: \( v = 6\,\text{cm} \)

Poloměr podstavy kuželu = poloměr koule: \( r = 3\,\text{cm} \)

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 6 = \frac{54}{3} \pi = 18\pi \approx 56{,}55\,\text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Poloměr \( r = 7\,\text{cm} \), výška \( v = 24\,\text{cm} \)

Tvořící strana: \( s = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\,\text{cm} \)

Povrch = podstava + plášť = \( \pi r^2 + \pi r s = \pi(49 + 175) = \pi \cdot 224 \approx 703{,}74\,\text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Pomocí Pythagorovy věty: \( r = \sqrt{10^2 – 8^2} = \sqrt{100 – 64} = \sqrt{36} = 6\,\text{cm} \)

Povrch: \( S = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 36 + \pi \cdot 6 \cdot 10 = 36\pi + 60\pi = 96\pi \approx 301{,}59\,\text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Použijeme vzorec pro objem kužele: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \)

Dosadíme: \( r = 5 \), \( v = 12 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = \frac{300}{3} \pi = 100\pi \)

\( \Rightarrow V \approx 314{,}16\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Vzorec: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \)

\( 150\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 6 \Rightarrow 150\pi = 2\pi r^2 \Rightarrow r^2 = 75 \Rightarrow r = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \)

\( \Rightarrow r \approx 8{,}66\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = 3 \), výška: \( v = 8 \)

Nejprve dopočítáme stranu: \( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \)

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 3 (3 + \sqrt{73}) \)

\( \Rightarrow S \approx \pi \cdot 3 \cdot 11{,}544 \approx 108{,}77\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Vzorec: \( s^2 = r^2 + v^2 \Rightarrow v = \sqrt{s^2 – r^2} \)

\( v = \sqrt{15^2 – 9^2} = \sqrt{225 – 81} = \sqrt{144} = 12 \)

\( \Rightarrow v = 12\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = 5 \), výška: \( v = 7 \)

\( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \approx 8{,}60\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Použijeme Pythagorovu větu: \( s^2 = r^2 + v^2 \Rightarrow r = \sqrt{s^2 – v^2} \)

\( r = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \Rightarrow \text{průměr} = 2 \cdot 8 = 16\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = 200 \)

Dosadíme \( s = 10 \): \( \pi r (r + 10) = 200 \Rightarrow r (r + 10) = \frac{200}{\pi} \approx 63{,}66 \)

Řešíme kvadratickou rovnici: \( r^2 + 10r – 63{,}66 = 0 \Rightarrow r \approx 4{,}9 \)

Výšku dopočítáme: \( v = \sqrt{s^2 – r^2} \approx \sqrt{100 – 24} = \sqrt{76} \approx 8{,}7 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \approx \frac{1}{3} \pi \cdot 24 \cdot 8{,}7 \approx 219{,}5\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Obvod: \( o = 2\pi r \Rightarrow r = \frac{o}{2\pi} = \frac{31{,}4}{2\pi} = 5 \)

\( \Rightarrow r = 5\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Vzorec: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \)

\( 84\pi = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot v \Rightarrow 84 = 3v \Rightarrow v = 28\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = 5 \), výška: \( v = 24 \)

\( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{25 + 576} = \sqrt{601} \approx 24{,}52 \)

\( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 5 (5 + 24{,}52) = \pi \cdot 5 \cdot 29{,}52 \approx 464{,}2\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = 7 \), výška: \( v = 10 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot 10 = \frac{490}{3} \pi \Rightarrow V \approx 513{,}13\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

\( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 6 (6 + 10) = \pi \cdot 6 \cdot 16 = 96\pi \Rightarrow S \approx 301{,}59\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

\( r = \sqrt{s^2 – v^2} = \sqrt{625 – 400} = \sqrt{225} = 15 \Rightarrow \text{průměr} = 2 \cdot 15 = 30\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( S = \pi r (r + s) = 150\pi \Rightarrow 5(r + s) = 150 \Rightarrow r + s = 30 \Rightarrow s = 25 \)

\( v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{625 – 25} = \sqrt{600} \approx 24{,}5 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 24{,}5 \approx 641{,}15\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

\( S = \pi r (r + s) = 100\pi \Rightarrow 4(r + s) = 100 \Rightarrow r + s = 25 \Rightarrow s = 21 \)

\( \Rightarrow s = 21\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 60\pi \Rightarrow r^2 = \frac{180}{10} = 18 \Rightarrow r = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \Rightarrow \text{průměr} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = 4 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 50\pi \Rightarrow \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot v = 50\pi \Rightarrow \frac{16}{3} v = 50 \Rightarrow v = \frac{150}{16} = 9{,}375 \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = 5 \), výška: \( v = 15 \Rightarrow s = \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \)

\( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 5 (5 + 5\sqrt{10}) = 5\pi (5 + 5\sqrt{10}) \approx 397{,}6\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

\( r = 5 \), \( s = 13 \Rightarrow v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12 \)

Řešení příkladu:

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot 18 = 294\pi \Rightarrow V \approx 923{,}63\ \text{cm}^3 \)

Strana: \( s = \sqrt{49 + 324} = \sqrt{373} \approx 19{,}3 \)

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 7 (7 + 19{,}3) = \pi \cdot 7 \cdot 26{,}3 \approx 577{,}92\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = 5 \), výška: \( v = 24 \)

Strana: \( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{25 + 576} = \sqrt{601} \approx 24{,}52 \)

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 24 = 200\pi \Rightarrow V \approx 628{,}32\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \Rightarrow r^2 = \frac{300}{6} = 50 \Rightarrow r = \sqrt{50} \approx 7{,}07 \)

\( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{50 + 36} = \sqrt{86} \approx 9{,}27 \)

\( S = \pi r (r + s) \approx \pi \cdot 7{,}07 (7{,}07 + 9{,}27) \approx \pi \cdot 7{,}07 \cdot 16{,}34 \approx 362{,}73\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

\( S = \pi r (r + s) = 120\pi \Rightarrow 4(r + s) = 120 \Rightarrow r + s = 30 \Rightarrow s = 26 \)

\( v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{676 – 16} = \sqrt{660} \approx 25{,}69\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 250\pi \Rightarrow r^2 = \frac{750}{15} = 50 \Rightarrow r = \sqrt{50} \approx 7{,}07 \Rightarrow d = 2r \approx 14{,}14\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( r = 6 \), \( s = 10 \Rightarrow v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \)

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \approx 301{,}59\ \text{cm}^3 \)

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 6 (6 + 10) = 96\pi \approx 301{,}59\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

\( r = 6 \), \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \Rightarrow \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot v = 144\pi \Rightarrow 12v = 144 \Rightarrow v = 12\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( r = 6{,}5 \Rightarrow S = \pi r (r + s) = 169\pi \Rightarrow 6{,}5(r + s) = 169 \Rightarrow r + s = 26 \Rightarrow s = 19{,}5\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \Rightarrow r^2 = \frac{1296}{12} = 108 \Rightarrow r = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \Rightarrow d = 2r = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( r = 4 \), \( s = 10 \Rightarrow v = \sqrt{100 – 16} = \sqrt{84} \approx 9{,}17 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 9{,}17 \approx 153{,}12\pi \approx 481{,}06\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 54\pi \Rightarrow r^2 = \frac{162}{6} = 27 \Rightarrow r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \)

\( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{27 + 36} = \sqrt{63} \approx 7{,}94 \)

\( S = \pi r (r + s) \approx \pi \cdot 5{,}2 \cdot (5{,}2 + 7{,}94) \approx \pi \cdot 5{,}2 \cdot 13{,}14 \approx 215{,}2\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = 8 \), výška: \( v = 20 \)

Strana: \( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{64 + 400} = \sqrt{464} \approx 21{,}54 \)

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 8 (8 + 21{,}54) \approx \pi \cdot 8 \cdot 29{,}54 \approx 743{,}3\ \text{cm}^2 \)

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 20 = \frac{1280}{3} \pi \approx 1340{,}41\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Předpokládáme poloměr \( r \), výška \( v \), strana \( s = 5 \). Vztah: \( s^2 = r^2 + v^2 \Rightarrow v^2 = 25 – r^2 \)

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 80\pi \Rightarrow r^2 v = 240 \)

Dosadíme: \( r^2 \sqrt{25 – r^2} = 240 \). Numericky řešením zjistíme, že \( r \approx 3 \Rightarrow v = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = 255\pi \Rightarrow r (r + \sqrt{r^2 + 225}) = 255 \)

Numericky řešením dostáváme \( r \approx 5 \Rightarrow s = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} \approx 15{,}81 \)

Řešení příkladu:

\( r = 9 \), \( v = 24 \Rightarrow s = \sqrt{81 + 576} = \sqrt{657} \approx 25{,}63 \)

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 \cdot 24 = 648\pi \approx 2036{,}73\ \text{cm}^3 \)

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 9 (9 + 25{,}63) \approx \pi \cdot 9 \cdot 34{,}63 \approx 978{,}72\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

\( r = 5 \), \( s = 13 \Rightarrow v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( r = 6 \), \( s = 10 \Rightarrow v = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \approx 301{,}59\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

\( r = 7 \), \( v = 30 \Rightarrow s = \sqrt{49 + 900} = \sqrt{949} \approx 30{,}81 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot 30 = 490\pi \approx 1539{,}38\ \text{cm}^3 \)

\( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 7 (7 + 30{,}81) \approx \pi \cdot 7 \cdot 37{,}81 \approx 831{,}26\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

\( r = 6 \Rightarrow V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 360\pi \Rightarrow 12v = 360 \Rightarrow v = 30\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( S = \pi r (r + s) = 294\pi \Rightarrow 7(r + s) = 294 \Rightarrow r + s = 42 \Rightarrow s = 35\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Nechť \( r \) je poloměr, pak \( s = \sqrt{r^2 + 100} \)

\( \pi r (r + \sqrt{r^2 + 100}) = 169\pi \Rightarrow r (r + \sqrt{r^2 + 100}) = 169 \)

Numerickým řešením dostáváme \( r = 5 \Rightarrow V = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 10 = \frac{250}{3} \pi \approx 261{,}8\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = 5 \)

Vzorec: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 150\pi \Rightarrow \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot v = 150\pi \Rightarrow \frac{25}{3} v = 150 \Rightarrow v = 18\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( r = 7 \), \( v = 24 \Rightarrow s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( S = \pi r (r + s) = 260\pi \Rightarrow r + s = 26 \Rightarrow s = 16 \)

\( s^2 = r^2 + v^2 \Rightarrow 256 = 100 + v^2 \Rightarrow v = \sqrt{156} \approx 12{,}49 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 \cdot 12{,}49 \approx 416{,}33\pi \approx 1307{,}91\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

\( S = \pi r (r + s) = 180\pi \Rightarrow r(r + \sqrt{r^2 + 144}) = 180 \)

Numerickým řešením: \( r \approx 6 \Rightarrow \text{průměr} = 2r = 12\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( r = 6 \Rightarrow \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot v = 384\pi \Rightarrow 12v = 384 \Rightarrow v = 32\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( r = 8 \), \( s = 17 \Rightarrow S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 8 (8 + 17) = \pi \cdot 8 \cdot 25 = 200\pi \approx 628{,}32\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

\( s = 30 \), \( v = 18 \Rightarrow r = \sqrt{s^2 – v^2} = \sqrt{900 – 324} = \sqrt{576} = 24 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 576 \cdot 18 = \frac{10368}{3} \pi = 3456\pi \approx 10858{,}41\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

\( r = 3 \Rightarrow r + s = 39 \div 3 = 13 \Rightarrow s = 10 \)

\( s^2 = v^2 + r^2 \Rightarrow v^2 = 100 – 9 = 91 \Rightarrow v \approx 9{,}54\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 14 = 294\pi \Rightarrow r^2 = \frac{294 \cdot 3}{14} = 63 \Rightarrow r = \sqrt{63} \approx 7{,}94 \Rightarrow d \approx 15{,}88\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 108\pi \Rightarrow r^2 \cdot 9 = 324 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6 \)

\( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} \approx 10{,}82 \)

\( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 6 (6 + 10{,}82) = \pi \cdot 6 \cdot 16{,}82 \approx 317{,}04\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Vzorec: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \Rightarrow \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 27 = 432\pi \Rightarrow 9r^2 = 432 \Rightarrow r^2 = 48 \Rightarrow r = \sqrt{48} \approx 6{,}93 \)

\( d = 2r \approx 13{,}86\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( r = 10 \), \( v = 21 \Rightarrow s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{100 + 441} = \sqrt{541} \approx 23{,}26\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( s = 15 \), \( r = 9 \Rightarrow v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{225 – 81} = \sqrt{144} = 12 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 \cdot 12 = 324\pi \approx 1017{,}88\ \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

\( S = \pi r (r + s) = 108\pi \Rightarrow r(r + \sqrt{r^2 + 36}) = 108 \)

Numericky: \( r \approx 6 \Rightarrow d \approx 12\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( r = 12 \), \( v = 20 \Rightarrow s = \sqrt{144 + 400} = \sqrt{544} \approx 23{,}32 \)

\( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 12 (12 + 23{,}32) = \pi \cdot 12 \cdot 35{,}32 \approx 1330{,}99\ \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

\( r = 5 \Rightarrow \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot v = 250\pi \Rightarrow 25v = 750 \Rightarrow v = 30\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( S = \pi r (r + s) \), \( s = \sqrt{r^2 + 64} \Rightarrow \pi r(r + \sqrt{r^2 + 64}) = 96\pi \Rightarrow r(r + \sqrt{r^2 + 64}) = 96 \)

Numericky: \( r \approx 4 \)

Řešení příkladu:

\( \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 15 = 300\pi \Rightarrow 5r^2 = 300 \Rightarrow r^2 = 60 \Rightarrow r = \sqrt{60} \approx 7{,}75 \Rightarrow d \approx 15{,}5\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( S = \pi r (r + s) = 150\pi \Rightarrow r + s = 30 \Rightarrow s = 25 \)

\( s^2 = r^2 + v^2 \Rightarrow v^2 = 625 – 25 = 600 \Rightarrow v \approx 24{,}49\ \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Neznáme r ani v, ale víme \( s = 13 \), hledejme r:

Nechť \( r = x \Rightarrow v = \sqrt{169 – x^2} \Rightarrow V = \frac{1}{3} \pi x^2 \cdot \sqrt{169 – x^2} = 169\pi \)

Numerickým řešením: \( x = 7 \Rightarrow v = \sqrt{169 – 49} = \sqrt{120} \approx 10{,}95 \)

Řešení příkladu:

Poloměr podstavy: \( r = \frac{16}{2} = 8\,\text{cm} \)

Pomocí Pythagorovy věty: \( s^2 = r^2 + v^2 \Rightarrow v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{20^2 – 8^2} = \sqrt{400 – 64} = \sqrt{336} \approx 18{,}33\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Nejdříve vypočítáme délku strany kužele: \( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\,\text{cm} \)

Povrch kužele je: \( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 7 (7 + 25) = \pi \cdot 7 \cdot 32 = 224 \pi \approx 703{,}72\,\text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Objem kužele: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \Rightarrow \frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot v = 400 \pi \Rightarrow \frac{100}{3} v = 400 \Rightarrow v = \frac{400 \cdot 3}{100} = 12\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = \frac{18}{2} = 9\,\text{cm} \)

Délka strany: \( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{9^2 + 24^2} = \sqrt{81 + 576} = \sqrt{657} \approx 25{,}63\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = 150 \pi \Rightarrow r (r + 13) = 150 \)

Rovnice: \( r^2 + 13 r – 150 = 0 \)

Diskriminant: \( \Delta = 13^2 + 4 \cdot 150 = 169 + 600 = 769 \)

Kořeny: \( r = \frac{-13 \pm \sqrt{769}}{2} \)

Vybereme kladný kořen: \( r \approx \frac{-13 + 27{,}73}{2} = 7{,}37\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = \frac{6}{2} = 3\,\text{cm} \)

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 9 = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 = 27 \pi \approx 84{,}82\,\text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Délka strany \( s = 26 \), výška \( v = 10 \Rightarrow r = \sqrt{s^2 – v^2} = \sqrt{676 – 100} = \sqrt{576} = 24\,\text{cm} \)

Průměr: \( d = 2r = 48\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = \frac{14}{2} = 7\,\text{cm} \)

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 7 (7 + 15) = \pi \cdot 7 \cdot 22 = 154 \pi \approx 483{,}78\,\text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 128 \pi \Rightarrow \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 12 = 128 \pi \Rightarrow 4 r^2 = 128 \Rightarrow r^2 = 32 \Rightarrow r = \sqrt{32} \approx 5{,}66 \)

Průměr: \( d = 2r \approx 11{,}31\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Délka strany \( s = 10 \), poloměr \( r = 6 \Rightarrow v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Podle Pythagorovy věty platí: \( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Poloměr podstavy spočítáme pomocí Pythagorovy věty: \( r = \sqrt{s^2 – v^2} = \sqrt{17^2 – 15^2} = \sqrt{289 – 225} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm} \).

Obvod podstavy je: \( O = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 8 = 16 \pi \approx 50{,}27\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Poloměr podstavy: \( r = \frac{12}{2} = 6\,\text{cm} \).

Objem kužele spočítáme vzorcem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 18 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 18 = \frac{1}{3} \pi \cdot 648 = 216 \pi \approx 678{,}58\,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Povrch kužele je: \( S = \pi r (r + s) = 225 \pi \Rightarrow 9 (9 + s) = 225 \Rightarrow 81 + 9 s = 225 \Rightarrow 9 s = 144 \Rightarrow s = 16\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Poloměr spočítáme: \( r = \sqrt{s^2 – v^2} = \sqrt{26^2 – 24^2} = \sqrt{676 – 576} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm} \).

Obsah podstavy je: \( S_p = \pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100 \pi \approx 314{,}16\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \).

Objem kužele: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 500 \pi \Rightarrow \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot v = 500 \pi \Rightarrow \frac{25}{3} v = 500 \Rightarrow v = \frac{500 \cdot 3}{25} = 60\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \).

Výška: \( v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Délka strany: \( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\,\text{cm} \).

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 12 (12 + 15) = \pi \cdot 12 \cdot 27 = 324 \pi \approx 1017{,}88\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 9 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 9 = 48 \pi \approx 150{,}80\,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Poloměr: \( r = \frac{16}{2} = 8\,\text{cm} \).

Délka strany: \( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{8^2 + 30^2} = \sqrt{64 + 900} = \sqrt{964} \approx 31{,}05\,\text{cm} \).

Povrch: \( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 8 (8 + 31{,}05) = \pi \cdot 8 \cdot 39{,}05 = 312{,}4 \pi \approx 980{,}69\,\text{cm}^2 \).