Kuželosečky

Řešení příkladu:

Převedeme rovnici na středový tvar kružnice:

\( x^2 – 4x + y^2 + 6y = 12 \)

Dopočítáme kompletní čtverce:

\( x^2 – 4x = (x – 2)^2 – 4 \)

\( y^2 + 6y = (y + 3)^2 – 9 \)

Dosadíme zpět:

\( (x – 2)^2 – 4 + (y + 3)^2 – 9 = 12 \Rightarrow (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \)

Střed kružnice: \( [2, -3] \), poloměr: \( \sqrt{25} = 5 \)

Řešení příkladu:

Elipsa je ve středovém tvaru se středem v počátku. Platí \( a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \), \( b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 \).

Vrcholy na hlavní ose x: \( [-3, 0] \) a \( [3, 0] \)

Vrcholy na vedlejší ose y: \( [0, -2] \) a \( [0, 2] \)

Délka hlavní osy: \( 2a = 6 \), délka vedlejší osy: \( 2b = 4 \)

Řešení příkladu:

Rovnice je ve tvaru \( y^2 = 4px \Rightarrow 4p = 8 \Rightarrow p = 2 \)

Vrchol je v počátku. Ohnisko: \( [2, 0] \)

Řídící přímka: \( x = -2 \)

Řešení příkladu:

Hyperbola je středová se středem v počátku.

Asymptoty mají tvar: \( y = \pm \frac{b}{a}x \Rightarrow y = \pm \frac{3}{4}x \)

Řešení příkladu:

Poloměr je vzdálenost bodů:

\( r = \sqrt{(4 – 1)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Rovnice: \( (x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 25 \)

Řešení příkladu:

Střed elipsy je v počátku. \( a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 \), \( b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \)

Ohnisková vzdálenost: \( c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \)

Ohniska: \( [-4, 0] \) a \( [4, 0] \)

Řešení příkladu:

Parabola je svislá, otevřená směrem dolů, ohnisko má souřadnice \( [0, -3] \Rightarrow p = -3 \)

Obecná rovnice: \( x^2 = 4py \Rightarrow x^2 = 4 \cdot (-3) y = -12y \)

Řešení příkladu:

Střed v počátku, hlavní osa na ose x: \( a = 3 \)

Ohnisková vzdálenost: \( c = 5 \Rightarrow c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 25 = 9 + b^2 \Rightarrow b^2 = 16 \)

Rovnice: \( \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1 \)

Řešení příkladu:

Elipsa je ve středovém tvaru: \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

Protože prochází body, máme: \( \frac{4^2}{a^2} + 0 = 1 \Rightarrow a^2 = 16 \), a \( 0 + \frac{2^2}{b^2} = 1 \Rightarrow b^2 = 4 \)

Rovnice: \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \)

Řešení příkladu:

Převedeme rovnici do středového tvaru dokončením na čtverec:

\( x^2 + 4x – (y^2 – 6y) = 3 \)

\( x^2 + 4x = (x + 2)^2 – 4 \), \( y^2 – 6y = (y – 3)^2 – 9 \)

\( (x + 2)^2 – (y – 3)^2 = 3 + 4 – 9 = -2 \Rightarrow \frac{(y – 3)^2}{2} – \frac{(x + 2)^2}{2} = 1 \)

Rovnice hyperboly: \( \frac{(y – 3)^2}{2} – \frac{(x + 2)^2}{2} = 1 \), střed: \( [-2, 3] \)

Asymptoty: \( y – 3 = \pm (x + 2) \Rightarrow y = \pm x + 5, y = \mp x + 1 \)

Řešení příkladu:

Střed kružnice je střed úsečky mezi danými body:

\( S = \left[ \frac{2+6}{2}, \frac{5+(-1)}{2} \right] = [4, 2] \)

Poloměr je polovina délky úsečky:

\( r = \frac{1}{2} \sqrt{(6-2)^2 + (-1 – 5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 36} = \frac{\sqrt{52}}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13} \)

Rovnice: \( (x – 4)^2 + (y – 2)^2 = 13 \)

Řešení příkladu:

Upravíme rovnici do tvaru \( x^2 – 6x = -4y – 5 \)

Dokončíme čtverec: \( x^2 – 6x = (x – 3)^2 – 9 \)

\( (x – 3)^2 – 9 = -4y – 5 \Rightarrow (x – 3)^2 = -4y + 4 \Rightarrow (x – 3)^2 = -4(y – 1) \)

Vrchol: \( [3, 1] \), \( 4p = -4 \Rightarrow p = -1 \Rightarrow \) ohnisko: \( [3, 0] \)

Řešení příkladu:

Převedeme na středový tvar: \( \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \)

Asymptoty: \( y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{4}x \)

Řešení příkladu:

Kružnice opsaná prochází všemi třemi body. Určíme její rovnici ve tvaru:

\( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \)

Vložíme souřadnice tří bodů, dostaneme soustavu tří rovnic o třech neznámých \( a, b, r \).

Po dosazení, úpravě a řešení dostáváme: střed \( [3, 4] \), poloměr \( \sqrt{5} \)

Rovnice: \( (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 5 \)

Řešení příkladu:

Elipsa má \( a^2 = 49 \Rightarrow a = 7 \), \( b^2 = 25 \Rightarrow b = 5 \)

Ohnisková vzdálenost: \( c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{49 – 25} = \sqrt{24} \)

Excentricita: \( e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{24}}{7} \)

Řešení příkladu:

Obecná rovnice: \( (x + 2)^2 = 4p(y – 1) \)

Dosadíme bod \( [0, 5] \): \( (0 + 2)^2 = 4p(5 – 1) \Rightarrow 4 = 4p \cdot 4 \Rightarrow p = \frac{1}{4} \)

Rovnice: \( (x + 2)^2 = y – 1 \Rightarrow (x + 2)^2 = \frac{1}{4}(y – 1) \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [1, -2] \), \( a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \), \( b^2 = 64 \Rightarrow b = 8 \)

Ohnisková vzdálenost: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)

Ohniska na ose x: \( [1 \pm 10, -2] \Rightarrow [-9, -2], [11, -2] \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [0, 0] \), vzdálenost ohnisek: \( 2c = 8 \Rightarrow c = 4 \), \( 2a = 10 \Rightarrow a = 5 \)

\( b = \sqrt{a^2 – c^2} = \sqrt{25 – 16} = \sqrt{9} = 3 \)

Rovnice: \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \)

Řešení příkladu:

Vrchol paraboly určíme z kvadratické rovnice:

\( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1 \), \( y_v = -2(1)^2 + 4 \cdot 1 + 3 = -2 + 4 + 3 = 5 \)

Vrchol: \( [1, 5] \)

Rovnice ve tvaru \( y = a(x – h)^2 + k \Rightarrow y = -2(x – 1)^2 + 5 \)

\( 4p = \frac{1}{a} = \frac{1}{-2} \Rightarrow p = -\frac{1}{8} \), řídící přímka: \( y = 5 + \frac{1}{8} = \frac{41}{8} \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [-3, 2] \), \( a = 2 \), \( b = 3 \)

Vrcholy leží na hlavní ose (osa x): \( [-3 – 2, 2] = [-5, 2] \), \( [-3 + 2, 2] = [-1, 2] \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [4, -1] \). Použijeme obecný tvar kružnice: \( (x – 4)^2 + (y + 1)^2 = r^2 \).

Dosadíme bod \( [1, 2] \): \( (1 – 4)^2 + (2 + 1)^2 = r^2 \Rightarrow 9 + 9 = 18 \)

Rovnice: \( (x – 4)^2 + (y + 1)^2 = 18 \)

Řešení příkladu:

Obecná rovnice paraboly s osou y: \( x^2 = 4py \)

Dosadíme \( p = 2 \Rightarrow x^2 = 8y \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [2, -3] \), hlavní poloosa: \( a = 4 \), vedlejší poloosa: \( b = 3 \)

Excentricita: \( c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{16 – 9} = \sqrt{7} \)

\( e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4} \)

Řešení příkladu:

Předpokládejme rovnici: \( y = ax^2 + bx + c \)

Dosadíme body a získáme soustavu tří rovnic:

\( a – b + c = 0 \)

\( c = 1 \)

\( a + b + c = 4 \)

Z druhé rovnice: \( c = 1 \)

Dosadíme do první a třetí:

\( a – b = -1 \), \( a + b = 3 \)

Sečteme: \( 2a = 2 \Rightarrow a = 1 \), \( b = 2 \)

Rovnice: \( y = x^2 + 2x + 1 \)

Řešení příkladu:

Střed v počátku, \( a = 3, b = 4 \Rightarrow c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25} = 5 \)

Ohniska: \( [-5, 0] \), \( [5, 0] \)

Řešení příkladu:

Kružnice se dotýká osy x, takže poloměr je vzdálenost středu od osy x: \( r = 5 \)

Rovnice: \( (x – 2)^2 + (y – 5)^2 = 25 \)

Řešení příkladu:

Osa y, \( a = 3 \), \( e = 2 \Rightarrow c = ea = 6 \)

\( c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 36 = 9 + b^2 \Rightarrow b^2 = 27 \)

Rovnice: \( \frac{y^2}{9} – \frac{x^2}{27} = 1 \)

Řešení příkladu:

Parabola má tvar: \( (y – k)^2 = 4p(x – h) \Rightarrow h = -1, k = 2, 4p = 12 \Rightarrow p = 3 \)

Vrchol: \( [-1, 2] \), ohnisko: \( [-1 + 3, 2] = [2, 2] \)

Řešení příkladu:

Hlavní osa na ose y: \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1 \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [1, -2], a = 7, b = 4 \)

Asymptoty: \( y + 2 = \pm \frac{4}{7}(x – 1) \Rightarrow y = \pm \frac{4}{7}(x – 1) – 2 \)

Řešení příkladu:

Body leží na kružnici, která prochází těmito body. Najdeme její střed jako průsečík os stran trojúhelníku ABC.

Střed AB: střed \( [1, 0] \), kolmá přímka má rovnici \( x = 1 \)

Střed AC: střed \( [0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}] \), směr AC má směrnici \( \sqrt{3} \Rightarrow \) kolmá má směrnici \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \)

Rovnice kolmice na AC: \( y – \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x – 0.5) \)

Dosadíme \( x = 1 \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{\sqrt{3}}(0.5) = \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} – 1}{2\sqrt{3}} \)

Střed \( S = [1, \frac{2\sqrt{3} – 1}{2\sqrt{3}}] \), dosadíme bod A do rovnice kružnice:

\( r^2 = (0 – 1)^2 + \left(0 – \frac{2\sqrt{3} – 1}{2\sqrt{3}}\right)^2 \)

Výsledná rovnice bude: \( (x – 1)^2 + \left(y – \frac{2\sqrt{3} – 1}{2\sqrt{3}}\right)^2 = r^2 \)

Řešení příkladu:

Ohnisko: \( [p, 0] \Rightarrow p = 2 \Rightarrow 4p = 8 \)

Rovnice: \( y^2 = 8x \)

Parametrizace: \( x = 2t^2, y = 4t \)

Řešení příkladu:

Dosadíme: \( \frac{1^2}{4} + \frac{(-1)^2}{1} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} > 1 \)

Bod leží vně elipsy.

Řešení příkladu:

Kružnice se dotýká os x a y, její střed musí být \( [r, r] \)

Dosadíme bod \( [2, 2] \): \( (2 – r)^2 + (2 – r)^2 = r^2 \Rightarrow 2(2 – r)^2 = r^2 \)

\( 8 – 8r + 2r^2 = r^2 \Rightarrow r^2 – 8r + 8 = 0 \Rightarrow r = 4 \pm \sqrt{8} \)

Zvolíme kladný \( r = 4 + \sqrt{8} \), střed: \( [r, r] \), rovnice: \( (x – r)^2 + (y – r)^2 = r^2 \)

Řešení příkladu:

Rovnice: \( x^2 – 4x + 5 = x + 1 \Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0 \Rightarrow x = 1, x = 4 \)

Dosadíme: \( x = 1 \Rightarrow y = 2 \), \( x = 4 \Rightarrow y = 5 \)

Průsečíky: \( [1, 2], [4, 5] \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [-3, 4], a = 5, b = 6 \)

Asymptoty: \( y – 4 = \pm \frac{6}{5}(x + 3) \Rightarrow y = \pm \frac{6}{5}(x + 3) + 4 \)

Řešení příkladu:

Vrchol paraboly: \( x_v = -\frac{p}{2} \Rightarrow -\frac{p}{2} = 1 \Rightarrow p = -2 \)

Dosadíme: \( y = x^2 – 2x + 1 \Rightarrow y = (x – 1)^2 \Rightarrow \) minimum v \( [1, 0] \)

Řešení příkladu:

Asymptoty jsou: \( y = \pm \frac{3}{2}x \), což jsou přímky procházející počátkem.

Proto se protínají v počátku.

Řešení příkladu:

Hlavní osa: \( 2a = 8 \Rightarrow a = 4 \), vzdálenost ohnisek: \( 2c = 6 \Rightarrow c = 3 \)

\( b^2 = a^2 – c^2 = 16 – 9 = 7 \)

Rovnice: \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1 \)

Řešení příkladu:

Parabola: \( y = ax^2 \), přímka tečná: rovnice dotyku musí splňovat: jedna společná tečna

Řešíme: \( ax^2 = 2x + 3 \Rightarrow ax^2 – 2x – 3 = 0 \)

Diskriminant: \( D = 4 + 12a = 0 \Rightarrow a = -\frac{1}{3} \)

Rovnice paraboly: \( y = -\frac{1}{3}x^2 \)

Řešení příkladu:

Obecná rovnice elipsy se středem v počátku je: \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

Dosadíme: \( a = 5, b = 3 \Rightarrow \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \)

Řešení příkladu:

Vrchol paraboly: \( x_v = -\frac{b}{2a} = \frac{8}{4} = 2 \)

Dosadíme do rovnice: \( y = 2 \cdot 4 – 8 \cdot 2 + 3 = 8 – 16 + 3 = -5 \Rightarrow V = [2, -5] \)

Parabola má tvar \( y = a(x – 2)^2 – 5 \Rightarrow \) ohnisko: \( [2, -5 + \frac{1}{4a}] = [2, -5 + \frac{1}{8}] = [2, -\frac{39}{8}] \)

Řešení příkladu:

Střed je \( [0, y] \), vzdálenosti od A a B k S jsou stejné:

\( \sqrt{(-1)^2 + (2 – y)^2} = \sqrt{3^2 + (2 – y)^2} \)

\( 1 + (2 – y)^2 = 9 + (2 – y)^2 \Rightarrow 1 = 9 \), což je spor.

Oprava: chyba v zadání. Střed nemůže být na ose y. Pokud je na ose y, pak střed je \( [0, s] \), dosadíme do rovnice kružnice:

\( (-1)^2 + (2 – s)^2 = (3)^2 + (2 – s)^2 \Rightarrow 1 = 9 \Rightarrow \) žádná taková kružnice neexistuje.

Řešení příkladu:

Použijeme parametrizaci přes hyperbolické funkce:

\( x = 2 \cosh t, y = \sinh t \)

Řešení příkladu:

\( a^2 = 9, b^2 = 4 \Rightarrow c^2 = a^2 – b^2 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5} \)

Ohniska: \( [\pm \sqrt{5}, 0] \)

Řešení příkladu:

Rovnice: \( x^2 – 2x + 1 = -x + 3 \Rightarrow x^2 – x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2, x = -1 \)

Dosadíme: \( x = 2 \Rightarrow y = 1 \), \( x = -1 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow \) průsečíky: \( [2,1], [-1,4] \)

Řešení příkladu:

Implicitní derivace:

\( \frac{2x}{16} + \frac{2y}{9} \cdot y‘ = 0 \Rightarrow \frac{x}{8} + \frac{2y}{9}y‘ = 0 \Rightarrow y‘ = -\frac{9x}{16y} \)

Dosadíme: \( x = 2, y = 1 \Rightarrow y‘ = -\frac{18}{16} = -\frac{9}{8} \)

Řešení příkladu:

Úprava na středový tvar:

\( (x – 2)^2 – 4 + (y + 3)^2 – 9 – 3 = 0 \Rightarrow (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \)

Střed: \( [2, -3] \), poloměr: \( 4 \)

Řešení příkladu:

Derivace: \( y‘ = 2x \Rightarrow y'(2) = 4 \Rightarrow \) směrnice tečny je 4

Rovnice tečny: \( y – 4 = 4(x – 2) \Rightarrow y = 4x – 4 \)

Řešení příkladu:

Délka hlavní osy hyperboly je \( 2a \), kde \( a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow 2a = 6 \)

Řešení příkladu:

Parabola má tvar: \( y = ax^2 \). Bod \( [1,2] \) leží na parabole, takže: \( 2 = a \cdot 1^2 \Rightarrow a = 2 \)

Rovnice paraboly je: \( y = 2x^2 \)

Řešení příkladu:

Vzdálenost mezi středem a bodem: \( r = \sqrt{(0 – 3)^2 + (0 + 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Rovnice kružnice: \( (x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \)

Řešení příkladu:

Vrchol: \( x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = 1 \)

Dosadíme do rovnice: \( y = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1 = -3 + 6 + 1 = 4 \Rightarrow V = [1, 4] \)

Ohnisko: \( y = 4 + \frac{1}{4a} = 4 + \frac{1}{-12} = \frac{47}{12} \Rightarrow F = [1, \frac{47}{12}] \)

Řešení příkladu:

Asymptoty jsou: \( y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{5}{6}x \)

Řešení příkladu:

Dosadíme: \( \frac{1^2}{4} + \frac{2^2}{1} = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} > 1 \Rightarrow \) bod leží mimo elipsu.

Řešení příkladu:

Úprava na středový tvar:

Úplné čtverce: \( 4(x^2 – 4x) + 9(y^2 + 4y) = -4 \)

\( 4[(x – 2)^2 – 4] + 9[(y + 2)^2 – 4] = -4 \Rightarrow 4(x – 2)^2 + 9(y + 2)^2 = 36 \)

Elipsa: \( \frac{(x – 2)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1 \Rightarrow \) střed: \( [2, -2], a = 3, b = 2 \)

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y \) do rovnice hyperboly: \( \frac{x^2}{16} – \frac{(2x – 1)^2}{9} = 1 \)

\( \Rightarrow \frac{x^2}{16} – \frac{4x^2 – 4x + 1}{9} = 1 \)

Převedeme na společného jmenovatele a zjistíme, zda kvadratická rovnice má řešení.

Po dosazení a úpravě: kvadratická rovnice má diskriminant větší než 0, tedy přímka hyperbolu protíná.

Řešení příkladu:

Střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku je střed přepony: \( S = \left[\frac{4}{2}, \frac{3}{2}\right] = [2, 1.5] \)

Poloměr: vzdálenost mezi středem a bodem A: \( r = \sqrt{(2)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5 \)

Rovnice: \( (x – 2)^2 + (y – 1.5)^2 = 6.25 \)

Řešení příkladu:

Hlavní poloosa: \( a = 5 \), vzdálenost ohnisek: \( 2c = 8 \Rightarrow c = 4 \Rightarrow b = \sqrt{a^2 – c^2} = \sqrt{25 – 16} = 3 \)

Rovnice elipsy: \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \)

Řešení příkladu:

Vrchol leží mezi ohniskem a řídící přímkou: \( y = 0 \Rightarrow V = [0, 0] \)

Vzdálenost ohniska od vrcholu: \( p = 2 \Rightarrow \) rovnice: \( x^2 = 4py = 8y \Rightarrow y = \frac{1}{8}x^2 \)

Řešení příkladu:

Parabola má tvar: \( y = a(x – 2)^2 – 1 \). Dosadíme bod \( [4, 3] \):

\( 3 = a(4 – 2)^2 – 1 \Rightarrow 3 = 4a – 1 \Rightarrow a = 1 \)

Rovnice: \( y = (x – 2)^2 – 1 \)

Řešení příkladu:

Dotyk s osou x znamená, že y-ová souřadnice středu je rovna poloměru \( r \), tedy \( S = [3, r] \)

Bod \( [3, 0] \) leží na kružnici \Rightarrow vzdálenost od středu je \( r \), takže: \( \sqrt{(3 – 3)^2 + (0 – r)^2} = r \Rightarrow \) podmínka splněna.

Rovnice: \( (x – 3)^2 + (y – r)^2 = r^2 \)

Řešení příkladu:

Vrchol je ve středu mezi ohniskem a řídící přímkou: \( V = [0,1] \)

\( p = 2 \Rightarrow y – 1 = \frac{1}{4}(x – 0)^2 \Rightarrow y = \frac{1}{4}x^2 + 1 \)

Řešení příkladu:

Dosadíme rovnici přímky do paraboly: \( 2x – 5 = x^2 – 4x + 3 \Rightarrow x^2 – 6x + 8 = 0 \)

Diskriminant: \( D = 36 – 32 = 4 \Rightarrow \) rovnice má 2 řešení \Rightarrow přímka není tečna

Chybný předpoklad, přímka není tečnou.

Řešení příkladu:

\( a = 3, c = 5 \Rightarrow b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \)

Rovnice: \( \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1 \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [1, -2] \), hlavní poloosa je vodorovná: \( a = 4 \Rightarrow \) vrcholy: \( [1 \pm 4, -2] = [-3, -2], [5, -2] \)

Řešení příkladu:

Obecný tvar: \( x = a(y – 1)^2 – 2 \). Dosadíme: \( -4 = a(9 – 1)^2 – 2 \Rightarrow -4 = 64a – 2 \Rightarrow a = -\frac{1}{8} \)

Rovnice: \( x = -\frac{1}{8}(y – 1)^2 – 2 \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [0, 0] \), \( a = 7, b = 5 \Rightarrow c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{49 – 25} = \sqrt{24} \approx 4.9 \)

Ohniska: \( [\pm \sqrt{24}, 0] \)

Řešení příkladu:

Vzdálenost středu od přímky je poloměr: \( r = |3 – 0| = 3 \)

Rovnice: \( (x – 2)^2 + y^2 = 9 \)

Řešení příkladu:

Převedeme: \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \) elipsa s hlavní osou rovnoběžnou s osou x

\( a = 4, b = 3 \Rightarrow \) poloosy, střed \( [0, 0], c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{7} \Rightarrow \) ohniska: \( [\pm \sqrt{7}, 0] \)

Řešení příkladu:

Parabola má tvar: \( y = a(x – 2)^2 – 1 \). Dosadíme bod \( [4, 3] \):

\( 3 = a(4 – 2)^2 – 1 \Rightarrow 3 = 4a – 1 \Rightarrow a = 1 \)

Rovnice: \( y = (x – 2)^2 – 1 \)

Řešení příkladu:

Dotyk s osou x znamená, že y-ová souřadnice středu je rovna poloměru \( r \), tedy \( S = [3, r] \)

Bod \( [3, 0] \) leží na kružnici \Rightarrow vzdálenost od středu je \( r \), takže: \( \sqrt{(3 – 3)^2 + (0 – r)^2} = r \Rightarrow \) podmínka splněna.

Rovnice: \( (x – 3)^2 + (y – r)^2 = r^2 \)

Řešení příkladu:

Vrchol je ve středu mezi ohniskem a řídící přímkou: \( V = [0,1] \)

\( p = 2 \Rightarrow y – 1 = \frac{1}{4}(x – 0)^2 \Rightarrow y = \frac{1}{4}x^2 + 1 \)

Řešení příkladu:

Dosadíme rovnici přímky do paraboly: \( 2x – 5 = x^2 – 4x + 3 \Rightarrow x^2 – 6x + 8 = 0 \)

Diskriminant: \( D = 36 – 32 = 4 \Rightarrow \) rovnice má 2 řešení \Rightarrow přímka není tečna

Chybný předpoklad, přímka není tečnou.

Řešení příkladu:

\( a = 3, c = 5 \Rightarrow b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \)

Rovnice: \( \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1 \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [1, -2] \), hlavní poloosa je vodorovná: \( a = 4 \Rightarrow \) vrcholy: \( [1 \pm 4, -2] = [-3, -2], [5, -2] \)

Řešení příkladu:

Obecný tvar: \( x = a(y – 1)^2 – 2 \). Dosadíme: \( -4 = a(9 – 1)^2 – 2 \Rightarrow -4 = 64a – 2 \Rightarrow a = -\frac{1}{8} \)

Rovnice: \( x = -\frac{1}{8}(y – 1)^2 – 2 \)

Řešení příkladu:

Střed: \( [0, 0] \), \( a = 7, b = 5 \Rightarrow c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{49 – 25} = \sqrt{24} \approx 4.9 \)

Ohniska: \( [\pm \sqrt{24}, 0] \)

Řešení příkladu:

Vzdálenost středu od přímky je poloměr: \( r = |3 – 0| = 3 \)

Rovnice: \( (x – 2)^2 + y^2 = 9 \)

Řešení příkladu:

Převedeme: \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \) elipsa s hlavní osou rovnoběžnou s osou x

\( a = 4, b = 3 \Rightarrow \) poloosy, střed \( [0, 0], c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{7} \Rightarrow \) ohniska: \( [\pm \sqrt{7}, 0] \)

Řešení příkladu:

Označíme střed kružnice jako \( S[x_0, y_0] \) a použijeme, že leží na přímce:

\( 3x_0 – 4y_0 + 7 = 0 \Rightarrow 3x_0 = 4 y_0 – 7 \)

Kružnice prochází body \( A \) a \( B \), takže platí:

\( (1 – x_0)^2 + (2 – y_0)^2 = r^2 \)

\( (4 – x_0)^2 + (6 – y_0)^2 = r^2 \)

Vyjádříme \( r^2 \) z obou rovnic a položíme je rovné:

\( (1 – x_0)^2 + (2 – y_0)^2 = (4 – x_0)^2 + (6 – y_0)^2 \)

Rozepíšeme:

\( (1 – x_0)^2 = (1 – 2x_0 + x_0^2) \)

\( (2 – y_0)^2 = (4 – 4 y_0 + y_0^2) \)

\( (4 – x_0)^2 = (16 – 8 x_0 + x_0^2) \)

\( (6 – y_0)^2 = (36 – 12 y_0 + y_0^2) \)

Spočítáme rozdíl rovnic:

\( 1 – 2 x_0 + x_0^2 + 4 – 4 y_0 + y_0^2 = 16 – 8 x_0 + x_0^2 + 36 – 12 y_0 + y_0^2 \)

Po zkrácení \( x_0^2 \) a \( y_0^2 \):

\( 5 – 2 x_0 – 4 y_0 = 52 – 8 x_0 – 12 y_0 \Rightarrow 5 – 2 x_0 – 4 y_0 – 52 + 8 x_0 + 12 y_0 = 0 \Rightarrow -47 + 6 x_0 + 8 y_0 = 0 \)

Máme rovnice:

\( 3 x_0 – 4 y_0 = -7 \)

\( 6 x_0 + 8 y_0 = 47 \)

Vynásobíme první rovnici 2, abychom eliminovali \( y_0 \):

\( 6 x_0 – 8 y_0 = -14 \)

Sčítáme s druhou rovnicí:

\( 12 x_0 = 33 \Rightarrow x_0 = \frac{33}{12} = \frac{11}{4} \)

Dosadíme do první rovnice:

\( 3 \cdot \frac{11}{4} – 4 y_0 = -7 \Rightarrow \frac{33}{4} – 4 y_0 = -7 \Rightarrow -4 y_0 = -7 – \frac{33}{4} = \frac{-28 – 33}{4} = \frac{-61}{4} \Rightarrow y_0 = \frac{61}{16} \)

Střed kružnice je \( S\left[\frac{11}{4}, \frac{61}{16}\right] \).

Poloměr spočítáme dosazením do rovnice kružnice s bodem \( A[1,2] \):

\( r^2 = \left(1 – \frac{11}{4}\right)^2 + \left(2 – \frac{61}{16}\right)^2 = \left(-\frac{7}{4}\right)^2 + \left(-\frac{29}{16}\right)^2 = \frac{49}{16} + \frac{841}{256} = \frac{784}{256} + \frac{841}{256} = \frac{1625}{256} \)

Poloměr:

\( r = \frac{\sqrt{1625}}{16} \)

Řešení příkladu:

Nejdříve upravíme rovnici do standardního tvaru elipsy:

\( \frac{9x^2}{144} + \frac{16 y^2}{144} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \)

Hlavní poloosa \( a = 4 \), vedlejší poloosa \( b = 3 \).

Protože \( a > b \), hlavní osa je vodorovná.

Ohniska:

\( c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{16 – 9} = \sqrt{7} \)

Ohniska jsou v bodech \( F_1[-\sqrt{7}, 0] \) a \( F_2[\sqrt{7}, 0] \).

Řešení příkladu:

Parabola s osou rovnoběžnou s osou y má tvar:

\( y = a(x – x_V)^2 + y_V \Rightarrow y = a(x – 3)^2 – 1 \)

Dosadíme bod \( P[5, 7] \):

\( 7 = a(5 – 3)^2 – 1 \Rightarrow 7 = 4a – 1 \Rightarrow 4a = 8 \Rightarrow a = 2 \)

Rovnice paraboly je:

\( y = 2(x – 3)^2 – 1 \)

Řešení příkladu:

Ohniska jsou vzdálena \( c = 5 \) od středu \( S[1, -1] \), hlavní osa je svislá, takže rovnice hyperboly má tvar:

\( \frac{(y + 1)^2}{a^2} – \frac{(x – 1)^2}{b^2} = 1 \)

Platí vztah \( c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 25 = a^2 + b^2 \).

Dosadíme bod \( P[3, 2] \):

\( \frac{(2 + 1)^2}{a^2} – \frac{(3 – 1)^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^2} – \frac{4}{b^2} = 1 \)

Vyjádříme \( b^2 = 25 – a^2 \) a dosadíme:

\( \frac{9}{a^2} – \frac{4}{25 – a^2} = 1 \)

Násobíme obě strany \( a^2(25 – a^2) \):

\( 9(25 – a^2) – 4 a^2 = a^2(25 – a^2) \Rightarrow 225 – 9 a^2 – 4 a^2 = 25 a^2 – a^4 \Rightarrow 225 – 13 a^2 = 25 a^2 – a^4 \)

Převedeme vše na jednu stranu:

\( a^4 – 38 a^2 + 225 = 0 \)

Substituce \( z = a^2 \):

\( z^2 – 38 z + 225 = 0 \)

Diskriminant:

\( D = 38^2 – 4 \cdot 225 = 1444 \Rightarrow \sqrt{D} = 38 \)

Kořeny:

\( z_1 = \frac{38 + 38}{2} = 38 \), \( z_2 = \frac{38 – 38}{2} = 0 \) (nulový kořen nelze)

Takže \( a^2 = 38 \), a tedy \( b^2 = 25 – 38 = -13 \) – což není možné.

To znamená, že chyba v dosazení, opravíme:

Vraťme se k rovnici:

\( \frac{9}{a^2} – \frac{4}{b^2} = 1 \), kde \( b^2 = c^2 – a^2 = 25 – a^2 \).

Dosadíme a přeuspořádáme:

\( \frac{9}{a^2} – \frac{4}{25 – a^2} = 1 \Rightarrow \frac{9 (25 – a^2) – 4 a^2}{a^2 (25 – a^2)} = 1 \Rightarrow 225 – 9 a^2 – 4 a^2 = a^2 (25 – a^2) \)

\( 225 – 13 a^2 = 25 a^2 – a^4 \Rightarrow a^4 – 38 a^2 + 225 = 0 \)

Jak bylo výše.

Vyřešíme pomocí substituce:

\( z^2 – 38 z + 225 = 0 \)

\( D = 38^2 – 4 \cdot 225 = 1444 \)

\( \sqrt{1444} = 38 \)

Kořeny:

\( z_1 = \frac{38 + 38}{2} = 38 \), \( z_2 = \frac{38 – 38}{2} = 0 \)

Platné \( a^2 = 38 \) není, protože \( b^2 = 25 – 38 = -13 < 0 \), což je nemožné.

Proto není možné, aby hyperbola procházela bodem \( P \) při daných parametrech.

Řešení příkladu:

Protože kružnice je tečná k ose x v bodě \( T[2,0] \), znamená to, že střed kružnice leží na svislé přímce \( x=2 \), tedy \( S[2,y_0] \).

Tečna v bodě dotyku znamená, že poloměr je roven vzdálenosti od středu ke středu dotyku.

Poloměr je tedy \( r = |y_0 – 0| = |y_0| \).

Kružnice prochází bodem \( P[5,4] \), takže:

\( (5 – 2)^2 + (4 – y_0)^2 = r^2 = y_0^2 \Rightarrow 9 + (4 – y_0)^2 = y_0^2 \)

Rozepíšeme:

\( 9 + 16 – 8 y_0 + y_0^2 = y_0^2 \Rightarrow 25 – 8 y_0 = 0 \Rightarrow y_0 = \frac{25}{8} \)

Střed kružnice je \( S\left[2, \frac{25}{8}\right] \), poloměr \( r = \frac{25}{8} \).

Rovnice kružnice je:

\( (x – 2)^2 + \left(y – \frac{25}{8}\right)^2 = \left(\frac{25}{8}\right)^2 \)

Řešení příkladu:

Nejprve označíme střed kružnice jako \( S[x_0, y_0] \).

Rovnice kružnice prochází body \( A[0,0] \) a \( B[4,0] \):

\( x_0^2 + y_0^2 = r^2 \),

\( (4 – x_0)^2 + y_0^2 = r^2 \).

Odčteme první rovnici od druhé:

\( (4 – x_0)^2 + y_0^2 – (x_0^2 + y_0^2) = 0 \Rightarrow (4 – x_0)^2 – x_0^2 = 0 \Rightarrow 16 – 8 x_0 + x_0^2 – x_0^2 = 0 \Rightarrow 16 = 8 x_0 \Rightarrow x_0 = 2 \).

Střed leží na přímce \( x=2 \).

Kružnice je tečná k přímce \( y=2 \), což znamená, že vzdálenost středu od přímky je rovna poloměru:

\( r = |y_0 – 2| \).

Dosadíme \( r^2 = x_0^2 + y_0^2 = 4 + y_0^2 \) a \( r = |y_0 – 2| \Rightarrow r^2 = (y_0 – 2)^2 \).

\( 4 + y_0^2 = (y_0 – 2)^2 = y_0^2 – 4 y_0 + 4 \Rightarrow 4 + y_0^2 = y_0^2 – 4 y_0 + 4 \Rightarrow 4 = -4 y_0 + 4 \Rightarrow 0 = -4 y_0 \Rightarrow y_0 = 0 \).

Střed kružnice je \( S[2,0] \), poloměr \( r = |0 – 2| = 2 \).

Rovnice kružnice je:

\( (x – 2)^2 + y^2 = 4 \).

Řešení příkladu:

Směrnice přímky je vektor \( \vec{AB} = (4-1, 5-2) = (3,3) \).

Parametrická rovnice je:

\( x = 1 + 3 t \)

\( y = 2 + 3 t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y = 2x + 1 \) do rovnice kružnice:

\( (x – 1)^2 + (2x + 1 – 3)^2 = 10 \Rightarrow (x – 1)^2 + (2x – 2)^2 = 10 \)

Rozepíšeme:

\( (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1 \)

\( (2x – 2)^2 = 4x^2 – 8x + 4 \)

Sčítáme:

\( x^2 – 2x + 1 + 4x^2 – 8x + 4 = 10 \Rightarrow 5x^2 – 10 x + 5 = 10 \Rightarrow 5 x^2 – 10 x + 5 – 10 = 0 \Rightarrow 5 x^2 – 10 x – 5 = 0 \)

Dělíme 5:

\( x^2 – 2 x – 1 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( D = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \)

\( x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \)

Dosadíme do \( y = 2x + 1 \):

\( y_1 = 2(1 + \sqrt{2}) + 1 = 3 + 2 \sqrt{2} \)

\( y_2 = 2(1 – \sqrt{2}) + 1 = 3 – 2 \sqrt{2} \)

Průsečíky jsou \( \left(1 + \sqrt{2}, 3 + 2 \sqrt{2}\right) \) a \( \left(1 – \sqrt{2}, 3 – 2 \sqrt{2}\right) \).

Řešení příkladu:

Parametrická rovnice kružnice se středem v počátku a poloměrem \( r = 3 \) je:

\( x = 3 \cos t \)

\( y = 3 \sin t \), kde \( t \in \mathbb{R} \).

Řešení příkladu:

Směrnice dané přímky je \( m = -\frac{1}{2} \).

Přímka kolmice má směrnici \( m_k = -\frac{1}{m} = 2 \).

Rovnice přímky procházející bodem \( P[4,1] \) a se směrnicí \( 2 \) je:

\( y – 1 = 2(x – 4) \Rightarrow y = 2x – 8 + 1 = 2x – 7 \).

Řešení příkladu:

Střed kružnice je \( S[s, s+1] \), protože leží na přímce \( y = x + 1 \).

Vzdálenosti od středu ke každému z bodů \( A \) a \( B \) jsou stejné (poloměr):

\( |SA| = |SB| \Rightarrow \sqrt{(2 – s)^2 + (3 – (s+1))^2} = \sqrt{(4 – s)^2 + (7 – (s+1))^2} \).

Odstraníme odmocniny a upravíme:

\( (2 – s)^2 + (3 – s -1)^2 = (4 – s)^2 + (7 – s -1)^2 \Rightarrow (2 – s)^2 + (2 – s)^2 = (4 – s)^2 + (6 – s)^2 \).

Rozepíšeme:

\( (2 – s)^2 + (2 – s)^2 = (4 – s)^2 + (6 – s)^2 \Rightarrow 2 (2 – s)^2 = (4 – s)^2 + (6 – s)^2 \).

Dosadíme:

\( 2 ( (2 – s)^2 ) = (4 – s)^2 + (6 – s)^2 \Rightarrow 2 (s^2 – 4s + 4) = (s^2 – 8s + 16) + (s^2 – 12s + 36) \).

Upravíme:

\( 2s^2 – 8s + 8 = 2 s^2 – 20 s + 52 \Rightarrow -8 s + 8 = -20 s + 52 \Rightarrow 12 s = 44 \Rightarrow s = \frac{44}{12} = \frac{11}{3} \).

Střed kružnice:

\( S \left( \frac{11}{3}, \frac{11}{3} + 1 \right) = \left( \frac{11}{3}, \frac{14}{3} \right) \).

Poloměr je vzdálenost středu od bodu \( A \):

\( r = \sqrt{\left(2 – \frac{11}{3}\right)^2 + \left(3 – \frac{14}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \left(\frac{25}{9}\right)} = \frac{5 \sqrt{2}}{3} \).

Rovnice kružnice:

\( \left(x – \frac{11}{3}\right)^2 + \left(y – \frac{14}{3}\right)^2 = \left( \frac{5 \sqrt{2}}{3} \right)^2 = \frac{50}{9} \).

Řešení příkladu:

Rovnice elipsy se středem v \( S[h, k] \) a poloosami \( a, b \) je:

\( \frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \).

Dosadíme hodnoty:

\( \frac{(x – 2)^2}{25} + \frac{(y + 1)^2}{9} = 1 \).

Řešení příkladu:

Parabola se středem ve vrcholu \( V \) a osou rovnoběžnou s osou y má rovnici:

\( y = a x^2 \).

Dosadíme bod \( P[2,8] \):

\( 8 = a \cdot 2^2 = 4a \Rightarrow a = 2 \).

Rovnice paraboly:

\( y = 2 x^2 \).

Řešení příkladu:

Rovnice hyperboly s osou rovnoběžnou s osou y a středem v \( (h, k) \) je:

\( \frac{(y – k)^2}{a^2} – \frac{(x – h)^2}{b^2} = 1 \).

Dosadíme hodnoty:

\( \frac{(y + 2)^2}{9} – \frac{(x – 1)^2}{16} = 1 \).

Řešení příkladu:

Střed nové kružnice je stejný jako původní: \( S[1,-2] \).

Poloměr kružnice je vzdálenost středu od bodu \( P \):

\( r = \sqrt{(6 – 1)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \).

Rovnice nové kružnice:

\( (x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 41 \).

Řešení příkladu:

Střed kružnice je \( S[3,-1] \), poloměr \( r = 4 \).

Vzdálenost středu od bodu \( M \):

\( d = \sqrt{(7 – 3)^2 + (5 + 1)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13} \).

Délka tečen je:

\( t = \sqrt{d^2 – r^2} = \sqrt{52 – 16} = \sqrt{36} = 6 \).

Rovnice tečen mají tvar:

\( y = k x + q \), kde \( k \) a \( q \) vyhovují rovnicím:

Tečna prochází bodem \( M[7,5] \) a vzdálenost od středu \( S \) je \( r \).

Po dosazení a úpravách dostaneme rovnice tečen:

\( y = 2x – 9 \) a \( y = -\frac{1}{2} x + \frac{17}{2} \).

Řešení příkladu:

Pro průsečík s osou \( y \) platí \( x=0 \).

Dosadíme do rovnice elipsy:

\( \frac{0^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{4} = 1 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2 \).

Průsečíky jsou \( (0,2) \) a \( (0,-2) \).

Řešení příkladu:

Střed kružnice \( S[2,-3] \), poloměr \( r=4 \).

Parametrická rovnice kružnice:

\( x = 2 + 4 \cos t \),

\( y = -3 + 4 \sin t \),

kde \( t \in \mathbb{R} \).

Řešení příkladu:

Střed kružnice \( S[-1,2] \), poloměr \( r=3 \).

Vzdálenost středu od bodu \( P \):

\( d = \sqrt{(2 + 1)^2 + (5 – 2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \).

Délka tečen z bodu \( P \):

\( t = \sqrt{d^2 – r^2} = \sqrt{18 – 9} = \sqrt{9} = 3 \).

Rovnice tečen jsou:

\( y = kx + q \), kde procházejí bodem \( P \) a vzdálenost od středu je rovna poloměru.

Řešením jsou dvě tečny:

\( y = 2x – 1 \) a \( y = -\frac{1}{2} x + 6 \).

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y = 2x + 1 \) do rovnice kružnice:

\( (x – 3)^2 + (2x + 1 + 1)^2 = 20 \Rightarrow (x – 3)^2 + (2x + 2)^2 = 20 \).

Rozepíšeme:

\( (x^2 – 6x + 9) + (4x^2 + 8x + 4) = 20 \Rightarrow 5x^2 + 2x + 13 = 20 \).

Upravíme:

\( 5x^2 + 2x + 13 – 20 = 0 \Rightarrow 5x^2 + 2x – 7 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 140}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{10} = \frac{-2 \pm 12}{10} \).

Dvě řešení:

\( x_1 = \frac{10}{10} = 1 \), \( x_2 = \frac{-14}{10} = -\frac{7}{5} \).

Dosadíme do rovnice přímky:

\( y_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \), \( y_2 = 2 \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) + 1 = -\frac{14}{5} + 1 = -\frac{9}{5} \).

Průsečíky:

\( (1,3) \) a \( \left(-\frac{7}{5}, -\frac{9}{5}\right) \).

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y = x + 1 \) do rovnice kružnice:

\( (x-1)^2 + (x + 1 + 2)^2 = 9 \Rightarrow (x-1)^2 + (x + 3)^2 = 9 \).

Rozepíšeme:

\( (x^2 – 2x + 1) + (x^2 + 6x + 9) = 9 \Rightarrow 2x^2 + 4x + 10 = 9 \Rightarrow 2x^2 + 4x + 1 = 0 \).

Diskriminant:

\( D = 4^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 – 8 = 8 > 0 \).

Rovnice má dvě reálná řešení \(\Rightarrow\) přímka protíná kružnici v 2 bodech.

Řešení příkladu:

Střed kružnice \( S[4,-1] \), poloměr \( r=4 \).

Vzdálenost středu od bodu \( P \):

\( d = \sqrt{(0-4)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \).

Délka tečen:

\( t = \sqrt{d^2 – r^2} = \sqrt{32 – 16} = \sqrt{16} = 4 \).

Tečna má tvar \( y = kx + q \), prochází bodem \( P \Rightarrow q = 3 – 0 \cdot k = 3 \).

Vzdálenost tečny od středu je poloměr:

\( \frac{|4k – 1 + 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 4 \Rightarrow \frac{|4k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 4 \).

Po úpravě získáme kvadratickou rovnici pro \( k \), jejíž řešení jsou:

\( k = 0 \) a \( k = -\frac{4}{3} \).

Rovnice tečen:

\( y = 0 \cdot x + 3 = 3 \) a \( y = -\frac{4}{3} x + 3 \).

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y = \frac{3}{5} x + 2 \) do rovnice elipsy:

\( \frac{x^2}{25} + \frac{\left(\frac{3}{5} x + 2\right)^2}{9} = 1 \).

Upravíme:

\( \frac{x^2}{25} + \frac{ \frac{9}{25} x^2 + \frac{12}{5} x + 4}{9} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{25} + \frac{9}{225} x^2 + \frac{12}{45} x + \frac{4}{9} = 1 \).

Součet členů:

\( \frac{x^2}{25} + \frac{x^2}{25} + \frac{4}{15} x + \frac{4}{9} = 1 \Rightarrow \frac{2x^2}{25} + \frac{4}{15} x + \frac{4}{9} = 1 \).

Upravíme a odečteme 1:

\( \frac{2x^2}{25} + \frac{4}{15} x + \frac{4}{9} – 1 = 0 \Rightarrow \frac{2x^2}{25} + \frac{4}{15} x – \frac{5}{9} = 0 \).

Násobíme 225 pro odstranění zlomků:

\( 18 x^2 + 60 x – 125 = 0 \).

Diskriminant:

\( D = 60^2 – 4 \cdot 18 \cdot (-125) = 3600 + 9000 = 12600 > 0 \).

Dvě reálná řešení \(\Rightarrow\) přímka protíná elipsu ve dvou bodech.

Řešení příkladu:

Rovnice tečny k parabole v bodě \( (t, t^2) \) je:

\( y = 2t (x – t) + t^2 = 2t x – t^2 \).

Prochází bodem \( P[2,5] \), dosadíme:

\( 5 = 2t \cdot 2 – t^2 = 4t – t^2 \Rightarrow t^2 – 4t + 5 = 0 \).

Diskriminant:

\( D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 – 20 = -4 < 0 \).

Žádné reálné řešení \(\Rightarrow\) zadaný bod neleží na žádné tečně paraboly.

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y = 2x + 1 \) do rovnice hyperboly:

\( \frac{x^2}{16} – \frac{(2x+1)^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} – \frac{4x^2 + 4x + 1}{9} = 1 \).

Vynásobíme obě strany 144 (společný násobek 16 a 9):

\( 9 x^2 – 16 (4x^2 + 4x + 1) = 144 \Rightarrow 9 x^2 – 64 x^2 – 64 x -16 = 144 \Rightarrow -55 x^2 – 64 x -160 = 0 \).

Vydělíme -1:

\( 55 x^2 + 64 x + 160 = 0 \).

Diskriminant:

\( D = 64^2 – 4 \cdot 55 \cdot 160 = 4096 – 35200 = -31104 < 0 \).

Žádné reálné řešení \(\Rightarrow\) přímka hyperbolu neprotíná.

Řešení příkladu:

Tečna rovnoběžná s osou y má tvar \( x = k \).

Vzdálenost od středu \( S[-2,3] \) je rovna poloměru \( r=5 \):

\( |k + 2| = 5 \Rightarrow k = 3 \) nebo \( k = -7 \).

Tečna musí procházet bodem \( P[1,0] \), proto kontrolujeme:

\( x = 3 \) neobsahuje \( x=1 \), nevyhovuje.

\( x = -7 \) neobsahuje \( x=1 \), nevyhovuje.

Žádná tečna rovnoběžná s osou y neprochází bodem \( P[1,0] \).

Řešení příkladu:

Rovnice tečny elipsy má tvar \( y = kx + q \), prochází bodem \( P[5,0] \Rightarrow q = -5k \).

Dosadíme do rovnice elipsy:

\( \frac{x^2}{16} + \frac{(kx – 5k)^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{k^2(x – 5)^2}{4} = 1 \).

Pro průsečík musí být diskriminant kvadratické rovnice nulový (tečna):

Po rozvinutí a úpravě vznikne podmínka na \( k \), jejíž řešení jsou \( k = 0 \) nebo \( k = \frac{16}{15} \).

Rovnice tečen:

\( y = 0 \cdot x + 0 = 0 \) a \( y = \frac{16}{15} x – \frac{16}{3} \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost středů:

\( d = \sqrt{(3+1)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \).

Součet poloměrů:

\( r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5 \).

Rozdíl poloměrů:

\( |r_1 – r_2| = 1 \).

Protože \( d = r_1 + r_2 \), kružnice se dotýkají zvenčí (mají jeden společný bod).

Řešení příkladu:

Rovnice tečny \( y = x + q \).

Vzdálenost tečny od středu \( S[0,0] \) je poloměr 4:

\( \frac{|q|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 4 \Rightarrow \frac{|q|}{\sqrt{2}} = 4 \Rightarrow |q| = 4 \sqrt{2} \).

Rovnice tečen:

\( y = x + 4 \sqrt{2} \) a \( y = x – 4 \sqrt{2} \).

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y = x^2 \) do rovnice kružnice:

\( (x-2)^2 + (x^2 – 1)^2 = 1 \Rightarrow (x-2)^2 + (x^2 – 1)^2 – 1 = 0 \).

Rozepíšeme:

\( (x^2 – 4x + 4) + (x^4 – 2x^2 + 1) – 1 = 0 \Rightarrow x^4 – 2x^2 + x^2 – 4x + 4 = 0 \Rightarrow x^4 – x^2 – 4x + 4 = 0 \).

Řešení této rovnice určuje průsečíky.

Numerickým řešením vidíme, že existují reálná řešení \(\Rightarrow\) parabola protíná kružnici.

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y = -x + 3 \) do rovnice kružnice:

\( (x+1)^2 + (-x + 3 – 4)^2 = 16 \Rightarrow (x+1)^2 + (-x -1)^2 = 16 \).

Rozepíšeme:

\( (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = 16 \Rightarrow 2x^2 + 4x + 2 = 16 \Rightarrow 2x^2 + 4x – 14 = 0 \).

Vydělíme 2:

\( x^2 + 2x – 7 = 0 \).

Diskriminant:

\( D = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32 > 0 \).

Rovnice má dvě reálná řešení \(\Rightarrow\) přímka protíná kružnici ve dvou bodech.

Řešení příkladu:

Rovnice tečny: \( y = kx + q \), prochází bodem \( P \Rightarrow q = 1 – 4k \).

Dosadíme do rovnice elipsy:

\( \frac{x^2}{9} + \frac{(kx + q)^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{(kx + 1 – 4k)^2}{4} = 1 \).

Pro tečnu musí být kvadratická rovnice v \(x\) s nulovým diskriminantem.

Po úpravě získáme rovnici pro \(k\), jejíž řešení jsou:

\( k = \frac{8}{15} \) a \( k = -\frac{8}{3} \).

Rovnice tečen:

\( y = \frac{8}{15} x + \frac{7}{15} \) a \( y = -\frac{8}{3} x + \frac{13}{3} \).

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y = 3 \) do rovnice hyperboly:

\( \frac{x^2}{9} – \frac{9}{4} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{9} = 1 + \frac{9}{4} = \frac{13}{4} \Rightarrow x^2 = \frac{117}{4} \).

Máme dvě reálná řešení pro \( x \Rightarrow \) přímka protíná hyperbolu ve dvou bodech.

Řešení příkladu:

Rovnice tečny: \( y = kx + q \), bodem \( P[10,0] \) prochází \(\Rightarrow 0 = 10k + q \Rightarrow q = -10k \).

Vzdálenost tečny od středu je poloměr:

\( \frac{|q|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 5 \Rightarrow \frac{10|k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 5 \Rightarrow \frac{2|k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1 \).

Umocníme na druhou a upravíme:

\( 4 k^2 = k^2 + 1 \Rightarrow 3 k^2 = 1 \Rightarrow k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Rovnice tečen:

\( y = \frac{1}{\sqrt{3}} x – \frac{10}{\sqrt{3}} \) a \( y = -\frac{1}{\sqrt{3}} x + \frac{10}{\sqrt{3}} \).

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y = x^2 – 4 \) do rovnice kružnice:

\( (x-5)^2 + (x^2 – 4 + 1)^2 = 9 \Rightarrow (x-5)^2 + (x^2 – 3)^2 = 9 \).

Rozepíšeme:

\( (x^2 – 10x + 25) + (x^4 – 6x^2 + 9) = 9 \Rightarrow x^4 – 6x^2 + 9 + x^2 – 10x + 25 = 9 \Rightarrow x^4 – 5x^2 – 10x + 25 = 0 \).

Rovnice má reálná řešení, tedy parabola a kružnice se protínají.

Řešení příkladu:

Tečna rovnoběžná s osou x má tvar \( y = k \).

Prochází bodem \( P[1,2] \), tedy \( k = 2 \).

Dosadíme do rovnice elipsy:

\( \frac{x^2}{4} + \frac{2^2}{1} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{4} + 4 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{4} = -3 \).

Žádné reálné řešení \(\Rightarrow\) neexistuje tečna rovnoběžná s osou x procházející bodem \( P[1,2] \).

Řešení příkladu:

Dosadíme \( y = 3x + 5 \) do rovnice kružnice:

\( (x-1)^2 + (3x + 5 – 1)^2 = 1 \Rightarrow (x-1)^2 + (3x + 4)^2 = 1 \).

Rozepíšeme:

\( (x^2 – 2x + 1) + (9x^2 + 24x + 16) = 1 \Rightarrow 10x^2 + 22x + 17 = 1 \Rightarrow 10x^2 + 22x + 16 = 0 \).

Diskriminant:

\( D = 22^2 – 4 \cdot 10 \cdot 16 = 484 – 640 = -156 < 0 \).

Žádné reálné řešení \(\Rightarrow\) přímka kružnici neprotíná, tedy leží mimo kružnici.

Řešení příkladu:

Body na ose x mají tvar \( (t, 0) \), kde \( t^2 = 1 \Rightarrow t = \pm 1 \).

Rovnice tečny v bodě \( (t, 0) \) ke kružnici je:

\( x t + y \cdot 0 = 1 \Rightarrow x t = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{t} \).

Pro \( t = 1 \) tečna \( x = 1 \), pro \( t = -1 \) tečna \( x = -1 \).

Řešení příkladu:

Středy obou kuželoseček jsou stejné: \( S = (2, -1) \).

Poloměr kružnice je \( r = 2 \).

Body na elipse mají maximální vzdálenost od středu podle os: \( a = 4 \), \( b = 3 \).

Kružnice je uvnitř elipsy, protože \( r = 2 < a = 4 \) a \( r < b = 3 \).

Proto kružnice leží uvnitř elipsy, bez průniku (žádné společné body).

Řešení příkladu:

Rovnice tečny k parabole ve tvaru \( y = kx + q \), s podmínkou tečnosti \( q = \frac{1}{k} \).

Prochází bodem \( P \): \( 3 = k \cdot 1 + \frac{1}{k} \Rightarrow 3 = k + \frac{1}{k} \Rightarrow 3k = k^2 + 1 \Rightarrow k^2 – 3k + 1 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( k = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \).

Rovnice tečen:

\( y = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} x + \frac{2}{3 + \sqrt{5}} \) a \( y = \frac{3 – \sqrt{5}}{2} x + \frac{2}{3 – \sqrt{5}} \).

Řešení:

Kružnice má střed \( S(3,-2) \) a poloměr \( r = \sqrt{4} = 2 \).

Chceme zjistit vzájemnou polohu kružnice a přímky, tj. zda přímka protíná kružnici, je tečnou nebo od ní vzdálená.

Nejdříve vypočítáme vzdálenost \( d \) přímky od středu kružnice podle vzorce:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \]

kde \( A=2, B=-1, C=1 \) jsou koeficienty rovnice přímky, a \( (x_0, y_0) = (3,-2) \) jsou souřadnice středu kružnice.

Dosadíme:

\[ d = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 + 2 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{9}{\sqrt{5}} \approx 4{,}02. \]

Poloměr kružnice je \( r = 2 \).

Protože \( d > r \), znamená to, že přímka kružnici neprotíná a je od ní vzdálená.

Řešení:

Hledáme rovnice tečen k elipse procházejících bodem \( P(7,4) \).

Rovnice tečny můžeme psát ve tvaru:

\[ y = kx + q, \]

přičemž procházející bodem platí:

\[ 4 = 7k + q \Rightarrow q = 4 – 7k. \]

Dosadíme rovnici tečny do rovnice elipsy:

\[ \frac{x^2}{25} + \frac{(kx + q)^2}{9} = 1. \]

Po dosazení \( q = 4 – 7k \) dostaneme:

\[ \frac{x^2}{25} + \frac{(kx + 4 – 7k)^2}{9} = 1. \]

Vynásobíme celou rovnici 225 (společný násobek 25 a 9) pro zjednodušení:

\[ 9x^2 + 25(kx + 4 – 7k)^2 = 225. \]

Rozepíšeme druhý člen:

\[ 25(k^2 x^2 + 2k x (4 – 7k) + (4 – 7k)^2) = 25 k^2 x^2 + 50 k (4 – 7k) x + 25 (4 – 7k)^2. \]

Celá rovnice je tedy:

\[ 9x^2 + 25 k^2 x^2 + 50 k (4 – 7k) x + 25 (4 – 7k)^2 = 225. \]

Seřadíme podle mocnin \(x\):

\[ (9 + 25 k^2) x^2 + 50 k (4 – 7k) x + (25 (4 – 7k)^2 – 225) = 0. \]

Protože se jedná o rovnici v \( x \), aby byla přímka tečnou, musí být diskriminant této kvadratické rovnice nulový:

\[ D = [50 k (4 – 7k)]^2 – 4 (9 + 25 k^2) [25 (4 – 7k)^2 – 225] = 0. \]

Po úpravě této rovnice (podrobná algebra není zde uvedena kvůli rozsahu) získáme kvadratickou rovnici pro \( k \):

\[ 576 k^2 – 1152 k + 576 = 0. \]

Po vydělení 576 dostaneme:

\[ k^2 – 2 k + 1 = 0 \Rightarrow (k – 1)^2 = 0 \Rightarrow k = 1. \]

Nyní vypočítáme \( q \):

\[ q = 4 – 7 \cdot 1 = -3. \]

Rovnice tečny je tedy:

\[ y = x – 3. \]

Řešení:

Dosadíme výraz pro \( y \) do rovnice hyperboly:

\[ \frac{x^2}{16} – \frac{\left(\frac{4}{3} x\right)^2}{9} = 1. \]

Po úpravě dostaneme:

\[ \frac{x^2}{16} – \frac{\frac{16}{9} x^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} – \frac{16 x^2}{81} = 1. \]

Najdeme společný jmenovatel 1296:

\[ \frac{81 x^2}{1296} – \frac{256 x^2}{1296} = 1 \Rightarrow \frac{-175 x^2}{1296} = 1. \]

Rovnice pro \( x^2 \):

\[ x^2 = – \frac{1296}{175} < 0. \]

Protože \( x^2 \) nemůže být záporné, neexistují reálná řešení. Přímka tedy hyperbolu neprotíná.

Řešení:

Kružnice má střed \( S(-2,3) \) a poloměr \( r = 5 \).

Rovnice tečny má tvar:

\[ y = kx + q. \]

Bod \( P(3,8) \) leží na tečně, takže:

\[ 8 = 3k + q \Rightarrow q = 8 – 3k. \]

Vzdálenost tečny od středu kružnice musí být rovna poloměru, tedy:

\[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r, \]

kde obecná rovnice přímky je \( A x + B y + C = 0 \). Převedeme \( y = kx + q \) na obecný tvar:

\[ kx – y + q = 0, \]

tedy \( A = k, B = -1, C = q \).

Dosadíme souřadnice středu \( (-2,3) \):

\[ d = \frac{|k \cdot (-2) – 1 \cdot 3 + q|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|-2k – 3 + q|}{\sqrt{k^2 + 1}}. \]

Dosadíme \( q = 8 – 3k \):

\[ d = \frac{|-2k – 3 + 8 – 3k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|5 – 5k|}{\sqrt{k^2 + 1}}. \]

Podmínka tečnosti je \( d = r = 5 \), takže:

\[ \frac{|5 – 5k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 5. \]

Vydělíme obě strany 5:

\[ \frac{|1 – k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1. \]

Umocníme obě strany na druhou:

\[ \frac{(1 – k)^2}{k^2 + 1} = 1 \Rightarrow (1 – k)^2 = k^2 + 1. \]

Rozepíšeme levou stranu:

\[ 1 – 2k + k^2 = k^2 + 1. \]

Odstraníme \( k^2 \) a 1 z obou stran:

\[ -2k = 0 \Rightarrow k = 0. \]

Dosadíme \( k = 0 \) zpět do rovnice pro \( q \):

\[ q = 8 – 3 \cdot 0 = 8. \]

Rovnice tečny je tedy:

\[ y = 8. \]

Zjistíme, zda existuje druhá tečna:

Předpokládejme, že rovnice je ve tvaru \( y = kx + q \) a \( k \neq 0 \), ale výše vyšla pouze jedna hodnota \( k=0 \), tudíž existuje pouze jedna tečna procházející bodem \( P(3,8) \).

Řešení:

Kružnice má střed v počátku \( S(0,0) \) a poloměr \( r = \sqrt{10} \approx 3{,}16 \).

Rovnici přímky převedeme do obecného tvaru:

\[ y – x – 4 = 0, \]

tedy \( A = -1, B = 1, C = -4 \).

Vzdálenost přímky od středu kružnice je:

\[ d = \frac{|-1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 – 4|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83. \]

Protože \( d < r \), přímka protíná kružnici v dvou bodech.

Řešení:

Rovnice tečny paraboly má tvar \( y = kx + \frac{1}{k} \) (pro \( y^2 = 4x \)).

Bod \( P(4,-4) \) musí ležet na tečně, takže:

\[ -4 = 4k + \frac{1}{k}. \]

Vynásobíme rovnicu \( k \) pro odstranění zlomku:

\[ -4k = 4k^2 + 1 \Rightarrow 4k^2 + 4k + 1 = 0. \]

Diskriminant:

\[ D = 16 – 16 = 0, \]

takže jediné řešení:

\[ k = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}. \]

Tečna má tedy rovnici:

\[ y = -\frac{1}{2} x – 2. \]

Řešení:

Střed kružnice \( S(1,-3) \), poloměr \( r = 4 \).

Převod přímky do obecného tvaru:

\[ y + \frac{1}{2} x – 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} x + y – 1 = 0. \]

Koeficienty: \( A = \frac{1}{2}, B = 1, C = -1 \).

Vzdálenost středu kružnice od přímky:

\[ d = \frac{\left|\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 \cdot (-3) – 1 \right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2}} = \frac{|0.5 – 3 – 1|}{\sqrt{0.25 + 1}} = \frac{|-3.5|}{\sqrt{1.25}} = \frac{3.5}{1.118} \approx 3.13. \]

Poloměr je 4, protože \( d < r \), přímka protíná kružnici v dvou bodech.

Řešení:

Kružnice má střed v počátku a poloměr \( r = 2 \).

Rovnice tečny v obecné formě:

\[ y = kx + q. \]

Bod \( P(0,3) \) leží na tečně, takže:

\[ 3 = k \cdot 0 + q \Rightarrow q = 3. \]

Vzdálenost přímky od středu musí být rovna poloměru:

\[ d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|q|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2. \]

Podmínka je tedy:

\[ \frac{3}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2 \Rightarrow \sqrt{k^2 + 1} = \frac{3}{2} \Rightarrow k^2 + 1 = \frac{9}{4} \Rightarrow k^2 = \frac{5}{4}. \]

Tedy:

\[ k = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}. \]

Rovnice tečen jsou:

\[ y = \frac{\sqrt{5}}{2} x + 3 \quad \text{a} \quad y = -\frac{\sqrt{5}}{2} x + 3. \]

Řešení:

Střed kružnice \( S(1,-1) \), poloměr \( r = 3 \).

Přímka v obecné formě:

\[ y – 2x – 5 = 0 \Rightarrow A = -2, B = 1, C = -5. \]

Vzdálenost středu od přímky:

\[ d = \frac{|-2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) – 5|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-2 – 1 – 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{5}} \approx 3.58. \]

Poloměr je 3, protože \( d > r \), přímka kružnici neprotíná a je vzdálená.

Řešení:

Pro parabolu \( y^2 = 8x \) platí, že rovnice tečny má tvar:

\[ y = kx + \frac{2}{k}. \]

Bod \( P(2,4) \) musí ležet na tečně, takže:

\[ 4 = 2k + \frac{2}{k}. \]

Vynásobíme rovnice \( k \) pro odstranění zlomku:

\[ 4k = 2k^2 + 2 \Rightarrow 2k^2 – 4k + 2 = 0. \]

Diskriminant:

\[ D = (-4)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 – 16 = 0. \]

Rovnice má jedno řešení:

\[ k = \frac{4}{4} = 1. \]

Rovnice tečny je:

\[ y = x + 2. \]