Kvartil

Řešení příkladu:

1. Data jsou již vzestupně uspořádána: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25.
2. Počet hodnot je \( n = 11 \).
3. Medián (druhý kvartil \(Q_2\)) je hodnota na pozici \(\frac{n+1}{2} = 6\), tedy 12.
4. Dolní polovina je prvních 5 hodnot: 4, 6, 8, 9, 10.
5. Medián dolní poloviny (první kvartil \(Q_1\)) je hodnota na pozici 3, tedy 8.
6. Horní polovina je posledních 5 hodnot: 15, 18, 20, 22, 25.
7. Medián horní poloviny (třetí kvartil \(Q_3\)) je hodnota na pozici 3, tedy 20.
8. Interkvartilové rozpětí je \(IQR = Q_3 – Q_1 = 20 – 8 = 12\).
9. Kvartily rozdělují data do čtyř stejně velkých částí, což pomáhá pochopit rozložení hodnot a rozsah variability v datech.

Řešení příkladu:

1. Data jsou seřazena: 2, 4, 7, 7, 8, 10, 13, 15, 18, 20, 22, 25.
2. Počet hodnot je \( n = 12 \).
3. Medián je průměr 6. a 7. hodnoty: \( \frac{10 + 13}{2} = 11.5 \).
4. Dolní polovina: prvních 6 hodnot: 2, 4, 7, 7, 8, 10.
5. Medián dolní poloviny (první kvartil \(Q_1\)) je průměr 3. a 4. hodnoty: \( \frac{7 + 7}{2} = 7 \).
6. Horní polovina: posledních 6 hodnot: 13, 15, 18, 20, 22, 25.
7. Medián horní poloviny (třetí kvartil \(Q_3\)) je průměr 3. a 4. hodnoty: \( \frac{18 + 20}{2} = 19 \).
8. Opakující se hodnoty 7 znamenají, že první kvartil přesně koresponduje s touto hodnotou, což ukazuje stabilitu v dolní části datového souboru.

Řešení příkladu:

1. Data jsou vzestupně: 5, 6, 8, 10, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 24, 27.
2. Počet hodnot je \( n = 13 \).
3. Medián je hodnota na pozici 7, tedy 13.
4. Dolní polovina je prvních 6 hodnot: 5, 6, 8, 10, 10, 11.
5. Medián dolní poloviny (první kvartil \(Q_1\)) je průměr 3. a 4. hodnoty: \( \frac{8 + 10}{2} = 9 \).
6. Horní polovina je posledních 6 hodnot: 14, 15, 18, 20, 24, 27.
7. Medián horní poloviny (třetí kvartil \(Q_3\)) je průměr 3. a 4. hodnoty: \( \frac{18 + 20}{2} = 19 \).
8. Interkvartilové rozpětí je \(IQR = 19 – 9 = 10\), což udává rozsah střední poloviny dat a pomáhá identifikovat variabilitu.

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot je \( n = 15 \).
2. Medián je hodnota na pozici \(\frac{n+1}{2} = 8\), tedy 15.
3. Dolní polovina je prvních 7 hodnot: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
4. Medián dolní poloviny (první kvartil \(Q_1\)) je hodnota na pozici 4, tedy 7.
5. Horní polovina je posledních 7 hodnot: 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 (včetně mediánu do horní poloviny při lichém počtu hodnot).
6. Ve standardním rozdělení kvartilů horní polovina zahrnuje hodnoty od 16. do 30. pozice, ale pro náš případ zahrneme horní polovinu jako hodnoty 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29.
7. Medián horní poloviny (třetí kvartil \(Q_3\)) je hodnota na pozici 4 v horní polovině, tedy 23.
8. Interkvartilové rozpětí je \(IQR = 23 – 7 = 16\), což odpovídá rozptylu středních 50 % dat v rovnoměrném rozložení.

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \( n = 11 \).
2. Medián je hodnota na pozici \(\frac{n+1}{2} = 6\), tedy 21.
3. Dolní polovina jsou prvních 5 hodnot: 12, 14, 16, 18, 20.
4. Medián dolní poloviny (první kvartil \(Q_1\)) je hodnota na pozici 3, tedy 16.
5. Horní polovina jsou posledních 5 hodnot: 24, 27, 30, 34, 38.
6. Medián horní poloviny (třetí kvartil \(Q_3\)) je hodnota na pozici 3, tedy 30.
7. Interkvartilové rozpětí je \(IQR = 30 – 16 = 14\).
8. Medián je přibližně ve středu mezi kvartily, což naznačuje relativně symetrické rozložení, i když horní kvartil je vzdálenější od mediánu než dolní.

Řešení příkladu:

1. Data jsou vzestupně: 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 50, 60.
2. Počet hodnot \( n = 11 \).
3. Medián je hodnota na pozici 6, tedy 10.
4. Dolní polovina jsou prvních 5 hodnot: 3, 5, 7, 8, 9.
5. Medián dolní poloviny (první kvartil \(Q_1\)) je hodnota na pozici 3, tedy 7.
6. Horní polovina jsou posledních 5 hodnot: 11, 12, 15, 50, 60.
7. Medián horní poloviny (třetí kvartil \(Q_3\)) je hodnota na pozici 3, tedy 15.
8. Extrémní hodnoty 50 a 60 nemají výrazný vliv na medián a kvartily, protože ty jsou založeny na pořadí hodnot, nikoli na jejich velikosti. To ukazuje, že kvartily jsou odolné vůči extrémům.

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \( n = 14 \).
2. Medián je průměr 7. a 8. hodnoty: \( \frac{20 + 22}{2} = 21 \).
3. Dolní polovina jsou prvních 7 hodnot: 10, 12, 15, 15, 15, 18, 20.
4. Medián dolní poloviny (první kvartil \(Q_1\)) je hodnota na pozici 4, tedy 15.
5. Horní polovina jsou posledních 7 hodnot: 22, 25, 30, 35, 40, 45, 50.
6. Medián horní poloviny (třetí kvartil \(Q_3\)) je hodnota na pozici 4, tedy 35.
7. Opakující se hodnoty 15 ovlivňují první kvartil, která odpovídá právě této časté hodnotě, což znamená, že první kvartil je stabilní a dobře reprezentuje spodní hranici vyšší četnosti dat.

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \( n = 10 \).
2. Medián je průměr 5. a 6. hodnoty: \( \frac{9 + 10}{2} = 9.5 \).
3. Dolní polovina: prvních 5 hodnot: 3, 6, 7, 7, 9.
4. Medián dolní poloviny (první kvartil \(Q_1\)) je hodnota na pozici 3, tedy 7.
5. Horní polovina: posledních 5 hodnot: 10, 13, 15, 17, 20.
6. Medián horní poloviny (třetí kvartil \(Q_3\)) je hodnota na pozici 3, tedy 15.
7. První kvartil je nižší než medián, třetí kvartil je vyšší než medián, což odpovídá tomu, že kvartily jsou body, které rozdělují data do čtvrtin.

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \( n = 13 \).
2. Medián je hodnota na pozici 7, tedy 14.
3. Dolní polovina jsou prvních 6 hodnot: 8, 9, 10, 11, 12, 13.
4. Medián dolní poloviny (první kvartil \(Q_1\)) je průměr 3. a 4. hodnoty: \( \frac{10 + 11}{2} = 10.5 \).
5. Horní polovina jsou posledních 6 hodnot: 15, 16, 17, 18, 19, 20.
6. Medián horní poloviny (třetí kvartil \(Q_3\)) je průměr 3. a 4. hodnoty: \( \frac{17 + 18}{2} = 17.5 \).
7. Interkvartilové rozpětí je \( IQR = 17.5 – 10.5 = 7 \).
8. Symetrie dat lze hodnotit podle umístění mediánu vůči kvartilům, v tomto případě je medián téměř uprostřed mezi \(Q_1\) a \(Q_3\), což naznačuje relativní symetrii.

Řešení příkladu:

Data jsou seřazena vzestupně, počet hodnot je \( n = 16 \).

Výpočet pozic kvartilů:

Q1: \( \frac{1}{4}(n+1) = \frac{1}{4} \times 17 = 4.25 \)

Q2: \( \frac{1}{2}(n+1) = \frac{1}{2} \times 17 = 8.5 \)

Q3: \( \frac{3}{4}(n+1) = \frac{3}{4} \times 17 = 12.75 \)

Interpolace Q1 mezi 4. a 5. hodnotou (8 a 12):

\( Q1 = 8 + 0.25 \times (12 – 8) = 8 + 1 = 9 \)

Interpolace Q2 mezi 8. a 9. hodnotou (21 a 23):

\( Q2 = 21 + 0.5 \times (23 – 21) = 21 + 1 = 22 \)

Interpolace Q3 mezi 12. a 13. hodnotou (35 a 40):

\( Q3 = 35 + 0.75 \times (40 – 35) = 35 + 3.75 = 38.75 \)

Mezikvartilové rozpětí \( IQR = Q3 – Q1 = 38.75 – 9 = 29.75 \).

Pro identifikaci odlehlých hodnot se používá pravidlo:

Hranice pro spodní odlehlé hodnoty: \( Q1 – 1.5 \times IQR = 9 – 1.5 \times 29.75 = 9 – 44.625 = -35.625 \)

Hranice pro horní odlehlé hodnoty: \( Q3 + 1.5 \times IQR = 38.75 + 44.625 = 83.375 \)

Všechna data jsou v intervalu \(-35.625, 83.375\), tudíž žádná hodnota není odlehlá podle tohoto pravidla.

Kvartily tedy pomáhají identifikovat rozsah typických hodnot a odlehlé body mimo tento rozsah.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 9 \).

Data jsou již seřazena: 12, 15, 18, 22, 25, 27, 30, 35, 40.

Střední hodnota (medián) je prostřední hodnota v uspořádaném seznamu, tedy hodnota na pozici \(\frac{n+1}{2} = \frac{9+1}{2} = 5\), což je 25.

Dolní kvartil \(Q_1\) je medián dolní poloviny dat (prvních 4 hodnot): 12, 15, 18, 22.

Počet hodnot v dolní polovině je 4, což je sudé číslo, proto je \(Q_1\) průměr hodnot na pozicích 2 a 3:

\(Q_1 = \frac{15 + 18}{2} = 16.5\).

Horní kvartil \(Q_3\) je medián horní poloviny dat (posledních 4 hodnot): 27, 30, 35, 40.

Opět sudý počet hodnot, proto je \(Q_3\) průměr hodnot na pozicích 2 a 3 v této polovině:

\(Q_3 = \frac{30 + 35}{2} = 32.5\).

Rozdíl mezi horním a dolním kvartilem (interkvartilové rozpětí) je \(IQR = Q_3 – Q_1 = 32.5 – 16.5 = 16\).

Pro posouzení symetrie se porovnávají vzdálenosti mezi mediánem a kvartily:

Rozdíl mezi mediánem a dolním kvartilem: \(25 – 16.5 = 8.5\).

Rozdíl mezi horním kvartilem a mediánem: \(32.5 – 25 = 7.5\).

Protože tyto rozdíly nejsou stejné, rozdělení není dokonale symetrické, je mírně nakloněné doprava (pravostranně šikmé).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 10 \).

Data jsou již seřazena.

Medián je průměr hodnot na pozicích \(\frac{n}{2} = 5\) a \(\frac{n}{2} + 1 = 6\), tedy hodnot 13 a 14:

\(Med = \frac{13 + 14}{2} = 13.5\).

Dolní polovina jsou první 5 hodnot: 3, 7, 8, 12, 13.

Medián dolní poloviny je hodnota na pozici \(\frac{5+1}{2} = 3\), tedy 8, což je první kvartil \(Q_1 = 8\).

Horní polovina jsou posledních 5 hodnot: 14, 18, 21, 23, 27.

Medián horní poloviny je hodnota na pozici 3, tedy 21, což je třetí kvartil \(Q_3 = 21\).

Rozdíly od mediánu jsou:

\(Med – Q_1 = 13.5 – 8 = 5.5\),

\(Q_3 – Med = 21 – 13.5 = 7.5\).

Medián je blíže dolnímu kvartilu než hornímu.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 11 \).

Medián je hodnota na pozici \(\frac{n+1}{2} = 6\), tedy 15.

Dolní polovina obsahuje prvních 5 hodnot: 5, 5, 7, 9, 10.

Medián dolní poloviny je hodnota na pozici 3, což je 7, takže \(Q_1 = 7\).

Horní polovina obsahuje posledních 5 hodnot: 15, 18, 21, 24, 28.

Medián horní poloviny je hodnota na pozici 3, tedy 21, takže \(Q_3 = 21\).

Interkvartilové rozpětí je \(IQR = Q_3 – Q_1 = 21 – 7 = 14\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 12 \).

Medián je průměr hodnot na pozicích 6 a 7: \(15\) a \(18\), tedy:

\(Med = \frac{15 + 18}{2} = 16.5\).

Dolní polovina: první 6 hodnot: 2, 4, 7, 10, 15, 15.

Medián dolní poloviny je průměr hodnot na pozicích 3 a 4: \(7\) a \(10\), tedy:

\(Q_1 = \frac{7 + 10}{2} = 8.5\).

Horní polovina: posledních 6 hodnot: 18, 20, 23, 30, 35, 40.

Medián horní poloviny je průměr hodnot na pozicích 3 a 4: \(23\) a \(30\), tedy:

\(Q_3 = \frac{23 + 30}{2} = 26.5\).

Extrémní hodnoty (30, 35, 40) posouvají horní kvartil výše, což ukazuje, že kvartily jsou méně citlivé na extrémy než například průměr, ale vliv tam je.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 13 \).

Medián je hodnota na pozici \(\frac{n+1}{2} = 7\), tedy 16.

Dolní polovina jsou prvních 6 hodnot: 8, 12, 12, 13, 14, 15.

Medián dolní poloviny je průměr hodnot na pozicích 3 a 4: \(12\) a \(13\), tedy:

\(Q_1 = \frac{12 + 13}{2} = 12.5\).

Horní polovina jsou posledních 6 hodnot: 18, 19, 21, 23, 25, 30.

Medián horní poloviny je průměr hodnot na pozicích 3 a 4: \(21\) a \(23\), tedy:

\(Q_3 = \frac{21 + 23}{2} = 22\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 14 \).

Medián je průměr hodnot na pozicích 7 a 8: \(18\) a \(21\), tedy:

\(Med = \frac{18 + 21}{2} = 19.5\).

Dolní polovina: prvních 7 hodnot: 5, 7, 9, 12, 12, 15, 18.

Medián dolní poloviny je hodnota na pozici 4, tedy 12, což je \(Q_1\).

Horní polovina: posledních 7 hodnot: 21, 24, 27, 30, 33, 35, 38.

Medián horní poloviny je hodnota na pozici 4, tedy 30, což je \(Q_3\).

Interkvartilové rozpětí je \(IQR = 30 – 12 = 18\).

Ve srovnání s příkladem s 10 hodnotami je \(IQR\) větší, což ukazuje, že data jsou více rozptýlená.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 13 \).

Medián je hodnota na pozici 7, tedy 9.

Dolní polovina: prvních 6 hodnot: 1, 3, 3, 4, 6, 8.

Medián dolní poloviny je průměr hodnot na pozicích 3 a 4: \(3\) a \(4\), tedy \(Q_1 = \frac{3 + 4}{2} = 3.5\).

Horní polovina: posledních 6 hodnot: 10, 12, 13, 15, 18, 21.

Medián horní poloviny je průměr hodnot na pozicích 3 a 4: \(13\) a \(15\), tedy \(Q_3 = \frac{13 + 15}{2} = 14\).

U nerovnoměrně rozložených dat kvartily ukazují míru asymetrie a pomáhají identifikovat, jak jsou data soustředěna v různých částech distribuce.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 15 \).

Medián je hodnota na pozici \(\frac{15+1}{2} = 8\), tedy 15.

Dolní polovina: prvních 7 hodnot: 2, 5, 7, 8, 10, 11, 14.

Medián dolní poloviny je hodnota na pozici 4, tedy 8, což je \(Q_1\).

Horní polovina: posledních 7 hodnot: 15, 18, 22, 24, 27, 29, 33, 35 (tady je chyba, je 8 hodnot, opravme: posledních 7 hodnot je od pozice 9 do 15: 18, 22, 24, 27, 29, 33, 35).

Medián horní poloviny je hodnota na pozici 4, tedy 27, což je \(Q_3\).

Interkvartilové rozpětí je \(IQR = Q_3 – Q_1 = 27 – 8 = 19\).

Interkvartilové rozpětí ukazuje šíři středu dat a pomáhá při odhalování odlehlých hodnot a porovnání rozptýlení mezi různými soubory dat.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 14 \).

Medián je průměr hodnot na pozicích 7 a 8: \(15\) a \(18\), tedy:

\(Med = \frac{15 + 18}{2} = 16.5\).

Dolní polovina: prvních 7 hodnot: 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15.

Medián dolní poloviny je hodnota na pozici 4, tedy 9, což je \(Q_1\).

Horní polovina: posledních 7 hodnot: 18, 20, 21, 22, 25, 30, 34.

Medián horní poloviny je hodnota na pozici 4, tedy 22, což je \(Q_3\).

Quartily ukazují, že 50 % dat je mezi hodnotami 9 a 22, což představuje střední pásmo rozdělení dat kolem mediánu 16.5.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 16 \).

Medián je průměr hodnot na pozicích 8 a 9: \(14\) a \(15\), tedy:

\(Med = \frac{14 + 15}{2} = 14.5\).

Dolní polovina: prvních 8 hodnot: 6, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 14.

Medián dolní poloviny je průměr hodnot na pozicích 4 a 5: \(8\) a \(9\), tedy:

\(Q_1 = \frac{8 + 9}{2} = 8.5\).

Horní polovina: posledních 8 hodnot: 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 25.

Medián horní poloviny je průměr hodnot na pozicích 4 a 5: \(19\) a \(21\), tedy:

\(Q_3 = \frac{19 + 21}{2} = 20\).

Symetrie dat je poměrně dobrá, protože medián je blízko středu interkvartilového rozpětí \(IQR = 20 – 8.5 = 11.5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 11 \).

Data jsou již seřazena: \( 4, 6, 8, 11, 14, 17, 19, 21, 23, 25, 28 \).

Určíme medián (druhý kvartil) \( Q_2 \). Medián je hodnota na pozici \( \frac{n+1}{2} = \frac{11+1}{2} = 6 \), tedy šestý prvek:

\( Q_2 = 17 \).

Určíme první kvartil \( Q_1 \) jako medián dolní poloviny (prvních 5 hodnot): \( 4, 6, 8, 11, 14 \).

Počet hodnot v dolní polovině je \( 5 \), medián je na pozici \( \frac{5+1}{2} = 3 \), třetí prvek:

\( Q_1 = 8 \).

Určíme třetí kvartil \( Q_3 \) jako medián horní poloviny (posledních 5 hodnot): \( 19, 21, 23, 25, 28 \).

Počet hodnot v horní polovině je \( 5 \), medián je na pozici \( 3 \), tedy třetí prvek:

\( Q_3 = 23 \).

Vypočítáme mezikvartilové rozpětí \( IQR = Q_3 – Q_1 = 23 – 8 = 15 \).

Symetrii posoudíme porovnáním vzdáleností kvartilů od mediánu:

\( Q_2 – Q_1 = 17 – 8 = 9 \), \( Q_3 – Q_2 = 23 – 17 = 6 \).

Protože \( Q_2 – Q_1 \neq Q_3 – Q_2 \), data nejsou zcela symetrická, náklon je směrem k vyšším hodnotám (pravostranná asymetrie).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 12 \).

Data jsou již seřazena.

Medián (druhý kvartil) \( Q_2 \) se určí jako průměr hodnot na pozicích \( \frac{n}{2} = 6 \) a \( \frac{n}{2} + 1 = 7 \):

\( Q_2 = \frac{10 + 11}{2} = 10.5 \).

Dolní polovina dat: prvních 6 hodnot \( 5, 7, 7, 8, 9, 10 \).

První kvartil \( Q_1 \) je medián dolní poloviny, tj. průměr 3. a 4. hodnoty:

\( Q_1 = \frac{7 + 8}{2} = 7.5 \).

Horní polovina dat: posledních 6 hodnot \( 11, 11, 12, 13, 15, 16 \).

Třetí kvartil \( Q_3 \) je medián horní poloviny, průměr 3. a 4. hodnoty této části:

\( Q_3 = \frac{12 + 13}{2} = 12.5 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 9 \).

Data jsou již seřazena.

Medián je prvek na pozici \( \frac{9+1}{2} = 5 \): \( Q_2 = 10 \).

Dolní polovina jsou prvních 4 hodnoty: \( 3, 6, 7, 8 \).

První kvartil \( Q_1 \) je medián dolní poloviny, tj. průměr 2. a 3. hodnoty:

\( Q_1 = \frac{6 + 7}{2} = 6.5 \).

Horní polovina jsou poslední 4 hodnoty: \( 13, 15, 18, 21 \).

Třetí kvartil \( Q_3 \) je medián horní poloviny, průměr 2. a 3. hodnoty:

\( Q_3 = \frac{15 + 18}{2} = 16.5 \).

Mezikvartilový rozsah \( IQR = Q_3 – Q_1 = 16.5 – 6.5 = 10 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 12 \).

Seřazená data jsou zadána.

Pozice kvartilů jsou určeny vzorcem: \( Q_k = \) hodnota na pozici \( p_k = (n+1) \cdot \frac{k}{4} \), kde \( k = 1, 2, 3 \).

Pro první kvartil \( Q_1 \):

\( p_1 = (12 + 1) \cdot \frac{1}{4} = 13 \cdot 0.25 = 3.25 \).

Hodnota na pozici 3 je 17, na pozici 4 je 19.

Interpolace: \( Q_1 = 17 + 0.25 \cdot (19 – 17) = 17 + 0.5 = 17.5 \).

Pro druhý kvartil \( Q_2 \):

\( p_2 = 13 \cdot 0.5 = 6.5 \).

Hodnota na pozici 6 je 23, na pozici 7 je 24.

Interpolace: \( Q_2 = 23 + 0.5 \cdot (24 – 23) = 23 + 0.5 = 23.5 \).

Pro třetí kvartil \( Q_3 \):

\( p_3 = 13 \cdot 0.75 = 9.75 \).

Hodnota na pozici 9 je 30, na pozici 10 je 34.

Interpolace: \( Q_3 = 30 + 0.75 \cdot (34 – 30) = 30 + 3 = 33 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 13 \).

Data jsou již seřazena.

Medián \( Q_2 \) je hodnota na pozici \( \frac{n+1}{2} = 7 \):

\( Q_2 = 14 \).

Dolní polovina: prvních 6 hodnot \( 2, 4, 6, 9, 10, 11 \).

První kvartil \( Q_1 \) je medián dolní poloviny, tj. průměr 3. a 4. hodnoty:

\( Q_1 = \frac{6 + 9}{2} = 7.5 \).

Horní polovina: posledních 6 hodnot \( 16, 20, 25, 30, 35, 40 \).

Třetí kvartil \( Q_3 \) je medián horní poloviny, průměr 3. a 4. hodnoty:

\( Q_3 = \frac{25 + 30}{2} = 27.5 \).

Kontrola symetrie:

\( Q_2 – Q_1 = 14 – 7.5 = 6.5 \), \( Q_3 – Q_2 = 27.5 – 14 = 13.5 \).

Data jsou pravostranně nakloněná (asymetrická).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 9 \).

Data jsou seřazena.

Medián \( Q_2 \) je prvek na pozici \( \frac{9+1}{2} = 5 \):

\( Q_2 = 16 \).

Dolní polovina: prvních 4 hodnoty \( 8, 9, 11, 15 \).

První kvartil \( Q_1 \) je průměr 2. a 3. hodnoty:

\( Q_1 = \frac{9 + 11}{2} = 10 \).

Horní polovina: poslední 4 hodnoty \( 18, 22, 27, 29 \).

Třetí kvartil \( Q_3 \) je průměr 2. a 3. hodnoty:

\( Q_3 = \frac{22 + 27}{2} = 24.5 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 13 \).

Data jsou seřazena.

Medián \( Q_2 \) je hodnota na pozici \( 7 \):

\( Q_2 = 10 \).

Dolní polovina: prvních 6 hodnot \( 1, 3, 4, 7, 8, 9 \).

První kvartil \( Q_1 \) je průměr 3. a 4. hodnoty:

\( Q_1 = \frac{4 + 7}{2} = 5.5 \).

Horní polovina: posledních 6 hodnot \( 13, 15, 16, 20, 22, 25 \).

Třetí kvartil \( Q_3 \) je průměr 3. a 4. hodnoty:

\( Q_3 = \frac{16 + 20}{2} = 18 \).

Rozptyl kvartilů \( V = \frac{(Q_1 – Q_2)^2 + (Q_3 – Q_2)^2}{2} = \frac{(5.5 – 10)^2 + (18 – 10)^2}{2} = \frac{20.25 + 64}{2} = 42.125 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 10 \).

Data jsou seřazena.

Medián \( Q_2 \) je průměr 5. a 6. hodnoty:

\( Q_2 = \frac{15 + 16}{2} = 15.5 \).

Dolní polovina: prvních 5 hodnot \( 7, 8, 10, 12, 15 \).

První kvartil \( Q_1 \) je medián dolní poloviny, tedy 3. hodnota:

\( Q_1 = 10 \).

Horní polovina: posledních 5 hodnot \( 16, 18, 19, 21, 25 \).

Třetí kvartil \( Q_3 \) je medián horní poloviny, 3. hodnota:

\( Q_3 = 19 \).

Mezikvartilový rozsah \( IQR = Q_3 – Q_1 = 19 – 10 = 9 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 11 \).

Data jsou seřazena.

Medián \( Q_2 \) je hodnota na pozici \( 6 \):

\( Q_2 = 17 \).

Dolní polovina: prvních 5 hodnot \( 5, 6, 9, 10, 14 \).

První kvartil \( Q_1 \) je medián dolní poloviny, 3. hodnota:

\( Q_1 = 9 \).

Horní polovina: posledních 5 hodnot \( 20, 22, 25, 28, 30 \).

Třetí kvartil \( Q_3 \) je medián horní poloviny, 3. hodnota:

\( Q_3 = 25 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 15 \).

Data jsou seřazena.

Medián \( Q_2 \) je hodnota na pozici \( \frac{15+1}{2} = 8 \):

\( Q_2 = 25 \).

Dolní polovina: prvních 7 hodnot \( 10, 15, 18, 20, 22, 23, 24 \).

První kvartil \( Q_1 \) je hodnota na pozici \( \frac{7+1}{2} = 4 \):

\( Q_1 = 20 \).

Horní polovina: posledních 7 hodnot \( 27, 30, 33, 35, 38, 40, 42 \).

Třetí kvartil \( Q_3 \) je hodnota na pozici \( 4 \):

\( Q_3 = 35 \).

Metoda interpolace:

Pro \( Q_1 \): pozice \( P = \frac{1}{4} \times (n+1) = 4 \), přesná hodnota \( 20 \).

Pro \( Q_3 \): pozice \( P = \frac{3}{4} \times (n+1) = 12 \), hodnota mezi 12. a 13. prvkem:

12. hodnota \( = 40 \), 13. hodnota \( = 42 \).

Interpolace \( Q_3 = 40 + 0.0 \times (42 – 40) = 40 \).

Rozdíl mezi metodami je v \( Q_3 \), interpolace dává vyšší hodnotu než klasický výpočet.

Řešení příkladu:

Máme \(n = 10\) hodnot, ktoré sú usporiadané od najmenšej po najväčšiu.

Medián \(Q_2\) sa nachádza medzi hodnotami na pozíciách \(\frac{n}{2} = 5\) a \(\frac{n}{2} + 1 = 6\), teda medzi \(15\) a \(17\).

Vypočítame medián: \(Q_2 = \frac{15 + 17}{2} = 16\).

Dolná polovica dát sú hodnoty na pozíciách 1 až 5: \(4, 7, 9, 11, 15\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je medián dolnej polovice, teda hodnota na pozícii \(\frac{5 + 1}{2} = 3\), čo je \(9\).

Horná polovica dát sú hodnoty na pozíciách 6 až 10: \(17, 19, 22, 24, 28\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je medián hornej polovice, teda hodnota na pozícii \(\frac{5 + 1}{2} = 3\) v tejto podmnožine, teda \(22\).

Záver: \(Q_1 = 9\), \(Q_2 = 16\), \(Q_3 = 22\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt je \(n = 9\), ktoré sú usporiadané.

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii \(\frac{n+1}{2} = 5\), teda \(14\).

Dolná polovica sú hodnoty na pozíciách 1 až 4: \(3, 5, 8, 12\).

Pre sudý počet prvkov v dolnej polovici nájdeme medián medzi hodnotami na pozíciách 2 a 3, teda \(5\) a \(8\).

Prvý kvartil \(Q_1 = \frac{5 + 8}{2} = 6.5\).

Horná polovica sú hodnoty na pozíciách 6 až 9: \(16, 20, 21, 24\).

Pre sudý počet prvkov v hornej polovici nájdeme medián medzi hodnotami na pozíciách 2 a 3, teda \(20\) a \(21\).

Tretí kvartil \(Q_3 = \frac{20 + 21}{2} = 20.5\).

Záver: \(Q_1 = 6.5\), \(Q_2 = 14\), \(Q_3 = 20.5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt je \(n = 11\), usporiadaných.

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii \(\frac{n+1}{2} = 6\), teda \(12\).

Dolná polovica sú hodnoty na pozíciách 1 až 5: \(2, 4, 6, 8, 10\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je hodnota na pozícii \(\frac{5+1}{2} = 3\), teda \(6\).

Horná polovica sú hodnoty na pozíciách 7 až 11: \(14, 16, 18, 20, 22\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je hodnota na pozícii \(\frac{5+1}{2} = 3\) v tejto časti, teda \(18\).

Medzikvartilové rozpätie (IQR) je \(Q_3 – Q_1 = 18 – 6 = 12\).

Záver: \(Q_1 = 6\), \(Q_2 = 12\), \(Q_3 = 18\), IQR = 12.

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n = 12\).

Medián je priemer hodnôt na pozíciách 6 a 7: \(\frac{15 + 18}{2} = 16.5\).

Dolná polovica: 5, 6, 8, 10, 11, 15.

Prvý kvartil je medián dolnej polovice: priemer hodnôt na pozíciách 3 a 4, teda \(\frac{8 + 10}{2} = 9\).

Horná polovica: 18, 20, 22, 25, 30, 35.

Tretí kvartil je medián hornej polovice: priemer hodnôt na pozíciách 3 a 4, teda \(\frac{22 + 25}{2} = 23.5\).

Záver: \(Q_1 = 9\), \(Q_2 = 16.5\), \(Q_3 = 23.5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt je \(n = 13\).

Medián je hodnota na pozícii \(\frac{13+1}{2} = 7\), teda \(12\).

Dolná polovica sú hodnoty na pozíciách 1 až 6: \(3, 4, 6, 6, 7, 8\).

Prvý kvartil je medián dolnej polovice, ktorá má 6 hodnôt, takže medián je priemer hodnôt na pozíciách 3 a 4: \(\frac{6 + 6}{2} = 6\).

Horná polovica sú hodnoty na pozíciách 8 až 13: \(14, 15, 18, 21, 23, 25\).

Tretí kvartil je medián hornej polovice, tiež 6 hodnôt, medián je priemer hodnôt na pozíciách 3 a 4: \(\frac{18 + 21}{2} = 19.5\).

Záver: \(Q_1 = 6\), \(Q_2 = 12\), \(Q_3 = 19.5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=10\).

Medián \(Q_2\) je priemer hodnôt na pozíciách 5 a 6: \(\frac{22 + 26}{2} = 24\).

Dolná polovica: \(10, 12, 15, 18, 22\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je hodnota na pozícii \(\frac{5+1}{2} = 3\), teda \(15\).

Horná polovica: \(26, 28, 30, 35, 40\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je hodnota na pozícii 3 v hornej polovici, teda \(30\).

Rozptyl kvartilov (interquartile range) je \(Q_3 – Q_1 = 30 – 15 = 15\).

Záver: \(Q_1 = 15\), \(Q_2 = 24\), \(Q_3 = 30\), rozptyl kvartilov = 15.

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n = 11\).

Medián je hodnota na pozícii 6: \(8\).

Dolná polovica: \(1, 3, 3, 6, 7\).

Prvý kvartil je hodnota na pozícii 3 v dolnej polovici: \(3\).

Horná polovica: \(9, 10, 13, 15, 18\).

Tretí kvartil je hodnota na pozícii 3 v hornej polovici: \(13\).

Symetria dát sa dá posúdiť porovnaním vzdialeností mediánu od kvartilov:

\(Q_2 – Q_1 = 8 – 3 = 5\), \(Q_3 – Q_2 = 13 – 8 = 5\).

Tieto vzdialenosti sú rovnaké, čo naznačuje, že dáta sú približne symetrické.

Záver: \(Q_1 = 3\), \(Q_2 = 8\), \(Q_3 = 13\), dáta sú približne symetrické.

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=14\).

Medián je priemer hodnôt na pozíciách 7 a 8: \(\frac{13 + 14}{2} = 13.5\).

Dolná polovica: \(2, 4, 5, 7, 9, 10, 13\).

Prvý kvartil je medián dolnej polovice, hodnota na pozícii 4: \(7\).

Horná polovica: \(14, 18, 21, 23, 25, 28, 30\).

Tretí kvartil je medián hornej polovice, hodnota na pozícii 4: \(23\).

Medzikvartilové rozpätie je \(Q_3 – Q_1 = 23 – 7 = 16\).

Záver: \(Q_1 = 7\), \(Q_2 = 13.5\), \(Q_3 = 23\), IQR = 16.

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=15\).

Pre kvartil \(Q_k\) používame vzorec pozície: \(L_k = k \times \frac{n+1}{4}\), kde \(k=1,2,3\).

Pre \(Q_1\): \(L_1 = 1 \times \frac{16}{4} = 4\). Hodnota na 4. pozícii je \(18\), takže \(Q_1=18\).

Pre \(Q_2\): \(L_2 = 2 \times \frac{16}{4} = 8\). Hodnota na 8. pozícii je \(27\), teda \(Q_2=27\).

Pre \(Q_3\): \(L_3 = 3 \times \frac{16}{4} = 12\). Hodnota na 12. pozícii je \(38\), takže \(Q_3=38\).

Záver: \(Q_1 = 18\), \(Q_2 = 27\), \(Q_3 = 38\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=16\).

Medián je priemer hodnôt na pozíciách 8 a 9: \(\frac{15 + 17}{2} = 16\).

Dolná polovica: \(5, 7, 7, 9, 10, 12, 13, 15\).

Prvý kvartil je priemer hodnôt na pozíciách 4 a 5 dolnej polovice: \(\frac{9 + 10}{2} = 9.5\).

Horná polovica: \(17, 20, 22, 23, 25, 27, 29, 30\).

Tretí kvartil je priemer hodnôt na pozíciách 4 a 5 hornej polovice: \(\frac{23 + 25}{2} = 24\).

Medzikvartilové rozpätie je \(Q_3 – Q_1 = 24 – 9.5 = 14.5\).

Záver: \(Q_1 = 9.5\), \(Q_2 = 16\), \(Q_3 = 24\), IQR = 14.5.

Řešení příkladu:

Počet hodnôt v súbore je \(n = 14\).

Medián \(Q_2\) je stredná hodnota, keďže \(n\) je párne, je to priemer hodnôt na pozíciách \(\frac{n}{2} = 7\) a \(\frac{n}{2} + 1 = 8\).

Hodnoty na týchto pozíciách sú \(18\) a \(21\).

Preto platí: \(Q_2 = \frac{18 + 21}{2} = 19.5\).

Dolná polovica pozostáva z prvých 7 hodnôt: \(4, 7, 9, 11, 13, 15, 18\).

Keďže dolná polovica má \(7\) hodnôt (nepárne), medián dolnej polovice (prvý kvartil \(Q_1\)) je hodnota na pozícii \(\frac{7+1}{2} = 4\).

Táto hodnota je \(11\), teda \(Q_1 = 11\).

Horná polovica pozostáva z posledných 7 hodnôt: \(21, 24, 28, 31, 35, 39, 42\).

Pre \(Q_3\) platí rovnaký princíp ako pre \(Q_1\), hodnota na pozícii 4 horného súboru, teda \(31\).

Teda \(Q_3 = 31\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt je \(n = 13\).

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii \(\frac{n+1}{2} = 7\).

Teda \(Q_2 = 23\).

Dolná polovica je prvých 6 hodnôt: \(5, 8, 12, 14, 17, 19\).

Pre kvartil \(Q_1\) nájdeme medián dolnej polovice.

Pre párny počet hodnôt v dolnej polovici (\(6\)) je medián priemer hodnôt na pozíciách \(\frac{6}{2} = 3\) a \(\frac{6}{2} + 1 = 4\).

Hodnoty na týchto pozíciách sú \(12\) a \(14\).

Preto: \(Q_1 = \frac{12 + 14}{2} = 13\).

Horná polovica je posledných 6 hodnôt: \(26, 30, 33, 37, 41, 45\).

Pre kvartil \(Q_3\) platí rovnaký výpočet ako pre \(Q_1\).

Medián hornej polovice je priemer hodnôt na pozíciách 3 a 4 tejto polovice: \(33\) a \(37\).

Teda \(Q_3 = \frac{33 + 37}{2} = 35\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n = 15\).

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii \(\frac{15+1}{2} = 8\).

Táto hodnota je \(15\), teda \(Q_2 = 15\).

Dolná polovica sú prvých 7 hodnôt: \(2, 3, 6, 8, 10, 11, 13\).

Pre \(Q_1\) je medián dolnej polovice, hodnota na pozícii \(\frac{7+1}{2} = 4\), teda \(8\).

Horná polovica sú posledných 7 hodnôt: \(18, 20, 23, 27, 30, 33, 35\).

Pre \(Q_3\) je medián hornej polovice, hodnota na pozícii 4, teda \(27\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=14\).

Medián \(Q_2\) je priemer hodnôt na pozíciách 7 a 8: \(18\) a \(20\).

Teda \(Q_2 = \frac{18 + 20}{2} = 19\).

Dolná polovica: prvých 7 hodnôt: \(3, 6, 9, 11, 13, 15, 18\).

Pre \(Q_1\) je hodnota na pozícii \(\frac{7+1}{2} = 4\), teda \(11\).

Horná polovica: posledných 7 hodnôt: \(20, 22, 26, 29, 32, 35, 39\).

Pre \(Q_3\) je hodnota na pozícii 4, teda \(29\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=15\).

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii \(\frac{15+1}{2} = 8\), teda \(25\).

Dolná polovica: prvých 7 hodnôt: \(1, 4, 7, 10, 14, 17, 21\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je hodnota na pozícii \(\frac{7+1}{2} = 4\), teda \(10\).

Horná polovica: posledných 7 hodnôt: \(25, 28, 31, 34, 38, 42, 45, 49\), ale pozor, medián je zaradený medzi dolnú a hornú polovicu a do hornej polovice ide prvých 7 hodnôt po mediáne, teda \(28, 31, 34, 38, 42, 45, 49\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je hodnota na pozícii 4 horného súboru, teda \(38\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt je \(n=14\).

Medián \(Q_2\) je priemer hodnôt na pozíciách 7 a 8: \(23\) a \(27\).

Teda \(Q_2 = \frac{23 + 27}{2} = 25\).

Dolná polovica: prvých 7 hodnôt: \(6, 9, 11, 14, 18, 21, 23\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je hodnota na pozícii \(\frac{7+1}{2} = 4\), teda \(14\).

Horná polovica: posledných 7 hodnôt: \(27, 30, 34, 37, 40, 44, 48\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je hodnota na pozícii 4 horného súboru, teda \(37\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=15\).

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii \(\frac{15+1}{2} = 8\), teda \(29\).

Dolná polovica: prvých 7 hodnôt: \(10, 13, 15, 18, 20, 24, 26\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je hodnota na pozícii 4 dolného súboru, teda \(18\).

Horná polovica: posledných 7 hodnôt: \(29, 33, 36, 38, 41, 44, 47, 50\) (prvých 7 po mediáne je \(33, 36, 38, 41, 44, 47, 50\)).

Tretí kvartil \(Q_3\) je hodnota na pozícii 4 horného súboru, teda \(41\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=14\).

Medián \(Q_2\) je priemer hodnôt na pozíciách 7 a 8: \(25\) a \(29\).

Teda \(Q_2 = \frac{25 + 29}{2} = 27\).

Dolná polovica: prvých 7 hodnôt: \(5, 8, 11, 15, 18, 22, 25\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je hodnota na pozícii 4, teda \(15\).

Horná polovica: posledných 7 hodnôt: \(29, 31, 35, 39, 43, 47, 50\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je hodnota na pozícii 4 horného súboru, teda \(39\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=13\).

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii \(\frac{13+1}{2} = 7\), teda \(26\).

Dolná polovica: prvých 6 hodnôt: \(7, 10, 13, 16, 20, 23\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je priemer hodnôt na pozíciách 3 a 4: \(13\) a \(16\).

Teda \(Q_1 = \frac{13 + 16}{2} = 14.5\).

Horná polovica: posledných 6 hodnôt: \(30, 33, 37, 40, 44, 48\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je priemer hodnôt na pozíciách 3 a 4 horného súboru: \(37\) a \(40\).

Teda \(Q_3 = \frac{37 + 40}{2} = 38.5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \(n = 11\).

Druhý kvartil (medián) je středná hodnota na pozici \(\frac{n+1}{2} = \frac{11+1}{2} = 6\).

Teda \(Q_2 = 22\).

Dolná polovica obsahuje prvých 5 hodnôt: \(12, 15, 17, 19, 21\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je medián dolnej polovice, teda hodnota na pozícii \(\frac{5+1}{2} = 3\), čiže \(Q_1 = 17\).

Horná polovica obsahuje posledných 5 hodnôt: \(25, 28, 30, 34, 38\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je medián hornej polovice, hodnota na pozícii 3, teda \(Q_3 = 30\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=12\).

Medián \(Q_2\) je priemer hodnôt na pozíciách 6 a 7: \(\frac{14 + 18}{2} = 16\).

Dolná polovica je prvých 6 hodnôt: \(3, 7, 8, 12, 13, 14\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je medián dolnej polovice, priemer 3. a 4. hodnoty: \(\frac{8 + 12}{2} = 10\).

Horná polovica je posledných 6 hodnôt: \(18, 21, 22, 27, 33, 35\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je medián hornej polovice, priemer 3. a 4. hodnoty: \(\frac{22 + 27}{2} = 24.5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=13\).

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii \(\frac{n+1}{2} = 7\), teda \(Q_2 = 27\).

Dolná polovica je prvých 6 hodnôt: \(5, 8, 12, 15, 18, 22\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je medián dolnej polovice, priemer 3. a 4. hodnoty: \(\frac{12 + 15}{2} = 13.5\).

Horná polovica je posledných 6 hodnôt: \(30, 34, 40, 43, 46, 50\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je medián hornej polovice, priemer 3. a 4. hodnoty: \(\frac{40 + 43}{2} = 41.5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=11\).

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii 6, teda \(Q_2 = 12\).

Dolná polovica: \(2, 4, 7, 9, 10\), prvých 5 hodnôt.

Prvý kvartil \(Q_1\) je medián dolnej polovice, hodnota na pozícii 3, teda \(Q_1 = 7\).

Horná polovica: \(15, 18, 21, 23, 25\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je medián hornej polovice, hodnota na pozícii 3, teda \(Q_3 = 21\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=12\).

Medián \(Q_2\) je priemer 6. a 7. hodnoty: \(\frac{18 + 22}{2} = 20\).

Dolná polovica: \(6, 9, 11, 13, 16, 18\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je medián dolnej polovice, priemer 3. a 4. hodnoty: \(\frac{11 + 13}{2} = 12\).

Horná polovica: \(22, 24, 27, 31, 34, 36\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je medián hornej polovice, priemer 3. a 4. hodnoty: \(\frac{27 + 31}{2} = 29\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=11\).

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii 6, teda \(Q_2 = 24\).

Dolná polovica: \(10, 14, 15, 18, 22\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je hodnota na pozícii 3, teda \(Q_1 = 15\).

Horná polovica: \(29, 33, 37, 41, 44\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je hodnota na pozícii 3, teda \(Q_3 = 37\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=13\).

Medián \(Q_2\) je hodnota na pozícii 7, teda \(Q_2 = 17\).

Dolná polovica: \(4, 6, 7, 11, 13, 17\) (prvých 6 hodnôt bez mediánu).

Prvý kvartil \(Q_1\) je medián dolnej polovice, priemer 3. a 4. hodnoty: \(\frac{7 + 11}{2} = 9\).

Horná polovica: \(19, 21, 23, 28, 32, 35\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je medián hornej polovice, priemer 3. a 4. hodnoty: \(\frac{23 + 28}{2} = 25.5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \(n=14\).

Medián \(Q_2\) je priemer hodnôt na pozíciách 7 a 8: \(\frac{30 + 33}{2} = 31.5\).

Dolná polovica: prvých 7 hodnôt: \(5, 10, 14, 18, 22, 26, 30\).

Prvý kvartil \(Q_1\) je medián dolnej polovice, hodnota na pozícii 4, teda \(Q_1 = 18\).

Horná polovica: posledných 7 hodnôt: \(33, 37, 40, 42, 45, 49, 52\).

Tretí kvartil \(Q_3\) je medián hornej polovice, hodnota na pozícii 4, teda \(Q_3 = 42\).

Řešení příkladu:

1. Data jsou již uspořádána vzestupně: 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 18, 21, 23, 25, 28.
2. Počet hodnot je \( n = 12 \).
3. Pro výpočet kvartilů použijeme metodu pozice kvartilu \( Q_k = \frac{k(n+1)}{4} \), kde \( k \) je číslo kvartilu.
4. První kvartil (\( Q_1 \)) má pozici \( \frac{1 \cdot (12+1)}{4} = \frac{13}{4} = 3{,}25 \). To znamená, že \( Q_1 \) leží mezi 3. a 4. hodnotou.
5. Hodnota na 3. pozici je 7, na 4. pozici je 9. Vypočítáme lineární interpolaci: \[ Q_1 = 7 + 0{,}25 \times (9 – 7) = 7 + 0{,}5 = 7{,}5 \]
6. Třetí kvartil (\( Q_3 \)) má pozici \( \frac{3 \cdot (12+1)}{4} = \frac{39}{4} = 9{,}75 \). Leží tedy mezi 9. a 10. hodnotou.
7. Hodnota na 9. pozici je 21, na 10. pozici je 23. Opět použijeme interpolaci: \[ Q_3 = 21 + 0{,}75 \times (23 – 21) = 21 + 1{,}5 = 22{,}5 \]
8. Výsledkem je první kvartil \( Q_1 = 7{,}5 \) a třetí kvartil \( Q_3 = 22{,}5 \).
9. Počet hodnot \( n \) ovlivňuje pozici kvartilů, proto při změně \( n \) se pozice a výsledné hodnoty kvartilů mohou lišit, a to i když se data mírně nezmění.

Řešení příkladu:

1. Nejprve seřadíme data vzestupně: 10, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 25.
2. Počet hodnot je \( n = 9 \).
3. Pozice prvního kvartilu: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (9+1)}{4} = \frac{10}{4} = 2{,}5 \] což leží mezi 2. a 3. hodnotou (12 a 14).
4. Lineární interpolace pro \( Q_1 \): \[ Q_1 = 12 + 0{,}5 \times (14 – 12) = 12 + 1 = 13 \]
5. Pozice třetího kvartilu: \[ Q_3 = \frac{3 \cdot (9+1)}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5 \] leží mezi 7. a 8. hodnotou (20 a 22).
6. Lineární interpolace pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = 20 + 0{,}5 \times (22 – 20) = 20 + 1 = 21 \]
7. Rozdíl mezi třetím a prvním kvartilem je \[ Q_3 – Q_1 = 21 – 13 = 8. \]

Řešení příkladu:

1. Seřadíme data (jsou již vzestupná): 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.
2. Počet hodnot je \( n = 11 \).
3. Pozice kvartilu \( Q_k \) podle vzorce: \[ Q_k = \frac{k (n+1)}{4}. \]
4. Pro \( Q_1 \): \[ Q_1 = \frac{1 \cdot 12}{4} = 3, \] což znamená, že \( Q_1 \) je 3. hodnota, tj. 5.
5. Pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = \frac{3 \cdot 12}{4} = 9, \] což znamená, že \( Q_3 \) je 9. hodnota, tj. 89.
6. Metoda bez zahrnutí střední hodnoty jednoduše vybírá hodnotu na pozici \( Q_k \), pokud je celé číslo.
7. Metoda se zahrnutím střední hodnoty by v případě necelého indexu použila interpolaci mezi sousedními hodnotami, což dává přesnější výsledky u datasetů, kde \( Q_k \) není celé číslo.

Řešení příkladu:

1. Data jsou vzestupná: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
2. Počet hodnot \( n = 10 \).
3. Pozice prvního kvartilu: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (10 + 1)}{4} = \frac{11}{4} = 2{,}75, \] což znamená, že \( Q_1 \) je mezi 2. a 3. hodnotou (3 a 5).
4. Interpolace pro \( Q_1 \): \[ Q_1 = 3 + 0{,}75 \times (5 – 3) = 3 + 1{,}5 = 4{,}5. \]
5. Pozice třetího kvartilu: \[ Q_3 = \frac{3 \cdot (10 + 1)}{4} = \frac{33}{4} = 8{,}25, \] mezi 8. a 9. hodnotou (15 a 17).
6. Interpolace pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = 15 + 0{,}25 \times (17 – 15) = 15 + 0{,}5 = 15{,}5. \]
7. Mezikvartilové rozpětí je rozdíl: \[ Q_3 – Q_1 = 15{,}5 – 4{,}5 = 11. \]

Řešení příkladu:

1. Data jsou vzestupná: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36.
2. Počet hodnot \( n = 14 \).
3. Pozice kvartilů: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (14 + 1)}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75, \] mezi 3. a 4. hodnotou (14 a 16).
4. Interpolace pro \( Q_1 \): \[ Q_1 = 14 + 0{,}75 \times (16 – 14) = 14 + 1{,}5 = 15{,}5. \]
5. Pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = \frac{3 \cdot (14 + 1)}{4} = \frac{45}{4} = 11{,}25, \] mezi 11. a 12. hodnotou (30 a 32).
6. Interpolace pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = 30 + 0{,}25 \times (32 – 30) = 30 + 0{,}5 = 30{,}5. \]

Řešení příkladu:

1. Data jsou vzestupná: 8, 9, 12, 15, 18, 20, 23, 27, 30, 33, 36, 40.
2. Počet hodnot \( n = 12 \).
3. Pozice kvartilů vypočteme podle vzorce: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (n + 1)}{4} = \frac{1 \cdot 13}{4} = 3{,}25, \] což znamená, že první kvartil leží mezi 3. a 4. hodnotou (12 a 15).
4. Pro výpočet hodnoty \( Q_1 \) použijeme lineární interpolaci: \[ Q_1 = 12 + 0{,}25 \times (15 – 12) = 12 + 0{,}75 = 12{,}75. \]
5. Pro třetí kvartil platí: \[ Q_3 = \frac{3 \cdot (n + 1)}{4} = \frac{3 \cdot 13}{4} = 9{,}75, \] což znamená, že leží mezi 9. a 10. hodnotou (30 a 33).
6. Interpolací získáme: \[ Q_3 = 30 + 0{,}75 \times (33 – 30) = 30 + 2{,}25 = 32{,}25. \]
7. Interpretace: První kvartil dělí data tak, že 25 % hodnot je menších nebo rovno 12,75, zatímco třetí kvartil určuje hranici, pod kterou leží 75 % hodnot. Kvartily tedy rozdělují data na čtyři části, což umožňuje lépe pochopit rozložení a variabilitu souboru dat.

Řešení příkladu:

1. Data jsou vzestupná: 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 25, 27, 30, 33, 35, 37, 40.
2. Počet hodnot \( n = 20 \).
3. Pozice kvartilů: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (20 + 1)}{4} = \frac{21}{4} = 5{,}25, \] což znamená, že \( Q_1 \) leží mezi 5. a 6. hodnotou (12 a 14).
4. Interpolací: \[ Q_1 = 12 + 0{,}25 \times (14 – 12) = 12 + 0{,}5 = 12{,}5. \]
5. Pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = \frac{3 \cdot (20 + 1)}{4} = \frac{63}{4} = 15{,}75, \] což znamená, že leží mezi 15. a 16. hodnotou (27 a 30).
6. Interpolace pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = 27 + 0{,}75 \times (30 – 27) = 27 + 2{,}25 = 29{,}25. \]
7. Mezikvartilové rozpětí: \[ IQR = Q_3 – Q_1 = 29{,}25 – 12{,}5 = 16{,}75. \]
8. Mezikvartilové rozpětí popisuje rozsah hodnot mezi prvními a třetími kvartily, což je středních 50 % dat, a pomáhá identifikovat variabilitu a možné odlehlé hodnoty v datech.

Řešení příkladu:

1. Data vzestupná: 2, 4, 7, 8, 10, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 29, 31, 33.
2. Počet hodnot \( n = 15 \).
3. Pozice kvartilů: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (15 + 1)}{4} = \frac{16}{4} = 4, \] což odpovídá 4. hodnotě, tedy 8.
4. \[ Q_3 = \frac{3 \cdot (15 + 1)}{4} = \frac{48}{4} = 12, \] což odpovídá 12. hodnotě, tedy 26.
5. V tomto případě je kvartil přesně na pozici, není třeba interpolace.
6. Diskuse: Čím větší datový soubor, tím přesnější může být výpočet kvartilů, protože interpolace umožňuje nalézt hodnoty mezi datovými body. U menších souborů jsou kvartily omezeny na existující data, což může ovlivnit přesnost a interpretaci.

Řešení příkladu:

1. Data vzestupná: 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 18.
2. Počet hodnot \( n = 11 \).
3. Pozice kvartilů: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (11 + 1)}{4} = \frac{12}{4} = 3, \] což je 3. hodnota, tedy 4.
4. \[ Q_3 = \frac{3 \cdot (11 + 1)}{4} = \frac{36}{4} = 9, \] což je 9. hodnota, tedy 13.
5. Medián je hodnota na pozici: \[ \frac{n + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6, \] což odpovídá 6. hodnotě, tedy 8.
6. Vztah kvartilů k mediánu: První kvartil je hodnota, pod kterou leží 25 % dat, třetí kvartil hodnota, pod kterou leží 75 % dat a medián rozděluje data na dvě poloviny. Tyto tři hodnoty společně poskytují detailní informace o rozdělení dat.

Řešení příkladu:

1. Data jsou vzestupná: 3, 5, 7, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 23, 25, 27, 30, 32, 35, 38.
2. Počet hodnot \( n = 16 \).
3. Pozice kvartilů: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (16 + 1)}{4} = \frac{17}{4} = 4{,}25, \] což leží mezi 4. a 5. hodnotou (10 a 12).
4. Interpolace pro \( Q_1 \): \[ Q_1 = 10 + 0{,}25 \times (12 – 10) = 10 + 0{,}5 = 10{,}5. \]
5. Pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = \frac{3 \cdot (16 + 1)}{4} = \frac{51}{4} = 12{,}75, \] což leží mezi 12. a 13. hodnotou (27 a 30).
6. Interpolace pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = 27 + 0{,}75 \times (30 – 27) = 27 + 2{,}25 = 29{,}25. \]
7. Mezikvartilový rozsah: \[ IQR = Q_3 – Q_1 = 29{,}25 – 10{,}5 = 18{,}75. \]
8. Mezikvartilový rozsah pomáhá odhadnout šíři střední poloviny dat a odhaluje variabilitu bez vlivu extrémních hodnot.

Řešení příkladu:

1. Data jsou vzestupná: 4, 5, 7, 9, 12, 13, 14, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 27.
2. Počet hodnot \( n = 15 \).
3. První kvartil: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (15 + 1)}{4} = 4, \] což odpovídá 4. hodnotě, tedy 9.
4. Třetí kvartil: \[ Q_3 = \frac{3 \cdot (15 + 1)}{4} = 12, \] což odpovídá 12. hodnotě, tedy 23.
5. Rozdíl mezi kvartily a percentily je v jejich počtu a použití. Kvartily rozdělují data na 4 stejné části (každá po 25 %), zatímco percentily dělí data na 100 částí (každý percentile odpovídá 1 % dat).

Řešení příkladu:

1. Data vzestupná, \( n = 20 \).
2. Pozice kvartilů: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (20 + 1)}{4} = 5{,}25, \quad Q_3 = \frac{3 \cdot (20 + 1)}{4} = 15{,}75. \]
3. Interpolace pro \( Q_1 \): \[ Q_1 = 12 + 0{,}25 \times (15 – 12) = 12 + 0{,}75 = 12{,}75. \]
4. Interpolace pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = 32 + 0{,}75 \times (35 – 32) = 32 + 2{,}25 = 34{,}25. \]
5. Medián je na pozici: \[ \frac{20 + 1}{2} = 10{,}5, \] což znamená mezi 10. a 11. hodnotou (21 a 23): \[ Med = 21 + 0{,}5 \times (23 – 21) = 21 + 1 = 22. \]
6. Medián 22 leží mezi \( Q_1 = 12{,}75 \) a \( Q_3 = 34{,}25 \), což je očekávané, protože kvartily ohraničují středních 50 % dat.

Řešení příkladu:

1. Data vzestupná: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
2. Počet hodnot \( n = 9 \).
3. Pozice kvartilů: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (9 + 1)}{4} = \frac{10}{4} = 2{,}5, \quad Q_3 = \frac{3 \cdot (9 + 1)}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5. \]
4. Interpolace pro \( Q_1 \): \[ Q_1 = 6 + 0{,}5 \times (7 – 6) = 6 + 0{,}5 = 6{,}5. \]
5. Interpolace pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = 11 + 0{,}5 \times (12 – 11) = 11 + 0{,}5 = 11{,}5. \]
6. Medián na pozici: \[ \frac{9 + 1}{2} = 5, \] což je 5. hodnota, tedy 9.
7. Symetrie dat lze pozorovat tak, že medián 9 je střední hodnotou a kvartily jsou přibližně stejně vzdáleny od mediánu (6,5 do 9 a 9 do 11,5).

Řešení příkladu:

1. Data vzestupná, \( n = 11 \).
2. Pozice kvartilů: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (11 + 1)}{4} = 3, \quad Q_3 = \frac{3 \cdot (11 + 1)}{4} = 9. \]
3. První kvartil je 3. hodnota, což je 6.
4. Třetí kvartil je 9. hodnota, což je 18.
5. Medián je na pozici: \[ \frac{11 + 1}{2} = 6, \] což je 6. hodnota, tedy 12.
6. Data jsou symetrická vzhledem k mediánu 12, kvartily jsou vzdáleny stejně od mediánu (6 do 12 a 12 do 18).

Řešení příkladu:

1. Data jsou vzestupná, \( n = 12 \).
2. Pozice kvartilů: \[ Q_1 = \frac{1 \cdot (12 + 1)}{4} = 3{,}25, \quad Q_3 = \frac{3 \cdot (12 + 1)}{4} = 9{,}75. \]
3. Interpolace pro \( Q_1 \): \[ Q_1 = 5 + 0{,}25 \times (7 – 5) = 5 + 0{,}5 = 5{,}5. \]
4. Interpolace pro \( Q_3 \): \[ Q_3 = 17 + 0{,}75 \times (19 – 17) = 17 + 1{,}5 = 18{,}5. \]
5. Význam kvartilů spočívá v tom, že rozdělují data na čtyři stejné části, což umožňuje lépe pochopit variabilitu a rozložení dat bez vlivu extrémních hodnot.

Řešení příkladu:

1. Seřadíme data vzestupně (je již seřazeno): \(3, 5, 7, 8, 12, 14, 15, 18, 22, 25, 28, 30, 33, 37, 40\).
2. Počet datových hodnot je \(n = 15\).
3. Pro výpočet kvartilů použijeme pozice:
   • První kvartil \(Q_1\) je hodnota na pozici \(\frac{1}{4}(n+1) = \frac{1}{4}(16) = 4\), tedy čtvrtý prvek datového souboru.
   • Třetí kvartil \(Q_3\) je hodnota na pozici \(\frac{3}{4}(n+1) = \frac{3}{4}(16) = 12\), tedy dvanáctý prvek datového souboru.
4. Z dat víme, že: \[ Q_1 = 8, \quad Q_3 = 30. \]
5. Mezikvartilový rozsah (IQR) je rozdíl třetího a prvního kvartilu: \[ IQR = Q_3 – Q_1 = 30 – 8 = 22. \]
6. Význam mezikvartilového rozsahu:
   • IQR popisuje střední 50 % dat, tedy rozptyl hodnot mezi dolní a horní polovinou dat.
   • Je odolný vůči extrémním hodnotám, na rozdíl od rozsahu celého souboru, a proto je spolehlivější mírou variability pro nevyvážená nebo obsahující extrémy data.

Řešení příkladu:

1. Druhý kvartil \(Q_2\) je medián, tedy prostřední hodnota rozdělující data na dvě poloviny, v tomto případě \(50\).
2. Třetí kvartil \(Q_3\) je hodnota na pozici \(\frac{3}{4}(n+1) = \frac{3}{4} (13) = 9.75\), ale v zadání je daná hodnota \(80\).
3. Rozsah hodnot mezi druhým a třetím kvartilem je rozdíl: \[ Q_3 – Q_2 = 80 – 50 = 30. \]
4. Tento rozsah představuje šíři horní poloviny dat nad mediánem, tedy ukazuje variabilitu nebo rozptyl hodnot od mediánu k horním 25 % dat.
5. Tímto způsobem lze posoudit symetrii a rozložení dat okolo mediánu.

Řešení příkladu:

1. První kvartil \(Q_1 = 15\), třetí kvartil \(Q_3 = 45\).
2. Mezikvartilový rozsah (IQR) je: \[ IQR = Q_3 – Q_1 = 45 – 15 = 30. \]
3. Mezikvartilová odchylka je definována jako polovina IQR: \[ \text{Mezikvartilová odchylka} = \frac{IQR}{2} = \frac{30}{2} = 15. \]
4. Interpretace: Polovina rozptylu dat mezi prvním a třetím kvartilem je 15, což značí, že průměrná vzdálenost střední poloviny dat od mediánu je 15 jednotek.
5. Tento ukazatel je méně citlivý na extrémy než směrodatná odchylka.

Řešení příkladu:

1. První kvartil \(Q_1 = 70\), třetí kvartil \(Q_3 = 160\), medián \(Q_2 = 100\).
2. Mezikvartilový rozsah je: \[ IQR = Q_3 – Q_1 = 160 – 70 = 90. \]
3. Polovina dat, tedy 50 % hodnot, leží právě mezi \(Q_1\) a \(Q_3\).
4. Tento rozsah vyjadřuje variabilitu středních 50 % dat, protože odstraňuje vliv extrémních hodnot.
5. V tomto případě je rozptyl středních hodnot poměrně široký (90 jednotek), což značí větší variabilitu dat v centrální oblasti.

Řešení příkladu:

1. Data jsou vzestupně seřazena: \(4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25\).
2. Počet dat: \(n = 10\).
3. První kvartil je na pozici: \[ p = \frac{1}{4} (n+1) = \frac{1}{4} \times 11 = 2.75. \]
4. Hodnota na pozici 2 je \(6\), na pozici 3 je \(7\).
5. Interpolace mezi \(6\) a \(7\): \[ Q_1 = 6 + 0.75 \times (7 – 6) = 6 + 0.75 = 6.75. \]
6. Třetí kvartil je na pozici: \[ p = \frac{3}{4} (n+1) = \frac{3}{4} \times 11 = 8.25. \]
7. Hodnota na pozici 8 je \(20\), na pozici 9 je \(22\).
8. Interpolace mezi \(20\) a \(22\): \[ Q_3 = 20 + 0.25 \times (22 – 20) = 20 + 0.5 = 20.5. \]
9. Výsledkem je: \[ Q_1 = 6.75, \quad Q_3 = 20.5. \]

Řešení příkladu:

1. Data jsou symetrická kolem mediánu, což znamená, že vzdálenost mediánu od prvního kvartilu je stejná jako vzdálenost mediánu od třetího kvartilu.
2. První kvartil je \(Q_1 = 22\), třetí kvartil \(Q_3 = 45\).
3. Medián \(Q_2\) je střed mezi \(Q_1\) a \(Q_3\): \[ Q_2 = \frac{Q_1 + Q_3}{2} = \frac{22 + 45}{2} = \frac{67}{2} = 33.5. \]
4. Tento výpočet vychází z předpokladu symetrie, kdy medián leží uprostřed mezi kvartily.

Řešení příkladu:

1. Data jsou seřazena vzestupně (dané): \(10, 15, 18, 20, 23, 24, 25, 30, 33, 35, 38, 40, 42\).
2. Počet dat je \(n=13\).
3. První kvartil na pozici: \[ p = \frac{1}{4}(n+1) = \frac{1}{4} \times 14 = 3.5. \]
4. Hodnota na pozici 3 je 18, na pozici 4 je 20.
5. Interpolace: \[ Q_1 = 18 + 0.5 \times (20 – 18) = 18 + 1 = 19. \]
6. Třetí kvartil na pozici: \[ p = \frac{3}{4}(n+1) = \frac{3}{4} \times 14 = 10.5. \]
7. Hodnota na pozici 10 je 35, na pozici 11 je 38.
8. Interpolace: \[ Q_3 = 35 + 0.5 \times (38 – 35) = 35 + 1.5 = 36.5. \]
9. Mezikvartilový rozsah je: \[ IQR = Q_3 – Q_1 = 36.5 – 19 = 17.5. \]
10. Změna extrémní hodnoty 42 na 70 ovlivní maximum, ale kvartily a IQR zůstanou téměř nezměněné, protože kvartily jsou odolné vůči extrémním hodnotám.

Řešení příkladu:

1. První kvartil \(Q_1 = 40\), třetí kvartil \(Q_3 = 65\).
2. Mezikvartilový rozsah: \[ IQR = 65 – 40 = 25. \]
3. Meze pro odlehlé hodnoty jsou: \[ \text{dolní mez} = Q_1 – 1.5 \times IQR = 40 – 1.5 \times 25 = 40 – 37.5 = 2.5, \] \[ \text{horní mez} = Q_3 + 1.5 \times IQR = 65 + 1.5 \times 25 = 65 + 37.5 = 102.5. \]
4. Odlehlé hodnoty jsou tedy hodnoty menší než 2.5 nebo větší než 102.5.
5. Data mimo tento rozsah se považují za extrémní nebo odlehlé.

Řešení příkladu:

1. První kvartil \(Q_1 = 5\), medián \(Q_2 = 10\), třetí kvartil \(Q_3 = 15\).
2. Kvartilový koeficient asymetrie je definován jako: \[ K = \frac{(Q_3 – 2Q_2 + Q_1)}{Q_3 – Q_1}. \]
3. Dosadíme hodnoty: \[ K = \frac{(15 – 2 \times 10 + 5)}{15 – 5} = \frac{(15 – 20 + 5)}{10} = \frac{0}{10} = 0. \]
4. Výsledek \(K = 0\) značí symetrické rozdělení dat kolem mediánu.

Řešení příkladu:

1. První kvartil \(Q_1 = 18\), medián \(Q_2 = 25\), třetí kvartil \(Q_3 = 40\).
2. Mezikvartilový rozsah (IQR) je: \[ IQR = Q_3 – Q_1 = 40 – 18 = 22. \]
3. Zvýšení první kvartilové hodnoty na 22 změní IQR na: \[ IQR_{nové} = 40 – 22 = 18. \]
4. Snížení IQR znamená menší rozptyl prostředních 50 % dat, což indikuje, že data jsou více koncentrována kolem mediánu.
5. Tato změna by mohla znamenat menší variabilitu a větší homogenitu v této střední části datového souboru.

Řešení příkladu:

1. Data jsou již seřazena vzestupně:
2. Určíme pozice kvartilů pomocí vzorce pro metodu interpolace: \(Q_1\) je na pozici \(\frac{1}{4}(n+1) = \frac{1}{4}(15+1) = 4\), \(Q_3\) na pozici \(\frac{3}{4}(n+1) = \frac{3}{4} \times 16 = 12\).
3. Hodnota na 4. pozici je \(7\), takže \(Q_1 = 7\).
4. Hodnota na 12. pozici je \(21\), takže \(Q_3 = 21\).
5. Výsledkem jsou první kvartil \(Q_1 = 7\) a třetí kvartil \(Q_3 = 21\).

Řešení příkladu:

1. Nejprve zjistíme, že data jsou rovnoměrně rozložena od 10 do 35, tedy s intervalem šířky \(35 – 10 = 25\).
2. U rovnoměrného rozdělení jsou kvartily určeny podle pozic: první kvartil je na \(\frac{1}{4}(n+1) = \frac{1}{4}(20+1) = 5.25\) pozici, třetí kvartil na \(\frac{3}{4}(n+1) = 15.75\) pozici.
3. Protože je rozdělení rovnoměrné, rozdíl mezi hodnotami je konstantní: krok \(k = \frac{35 – 10}{20 – 1} = \frac{25}{19} \approx 1.3158\).
4. První kvartil leží mezi 5. a 6. hodnotou:
• Hodnota na 5. pozici: \(10 + (5 – 1) \times k = 10 + 4 \times 1.3158 = 10 + 5.2632 = 15.2632\)
• Interpolace pro pozici 5.25 znamená přičíst 0.25 kroku: \(15.2632 + 0.25 \times 1.3158 = 15.2632 + 0.3289 = 15.5921\)
5. Takže \(Q_1 \approx 15.59\).
6. Třetí kvartil je mezi 15. a 16. hodnotou:
• Hodnota na 15. pozici: \(10 + (15 – 1) \times k = 10 + 14 \times 1.3158 = 10 + 18.4211 = 28.4211\)
• Interpolace pro pozici 15.75 znamená přičíst 0.75 kroku: \(28.4211 + 0.75 \times 1.3158 = 28.4211 + 0.9868 = 29.4079\)
7. Takže \(Q_3 \approx 29.41\).

Řešení příkladu:

1. Data jsou již seřazena vzestupně, počet hodnot je \(n = 15\).
2. Pozice prvního kvartilu: \(\frac{1}{4}(n+1) = \frac{1}{4} \times 16 = 4\), hodnota na 4. pozici je \(10\).
3. Pozice třetího kvartilu: \(\frac{3}{4}(n+1) = 12\), hodnota na 12. pozici je \(32\).
4. Rozsah mezi kvartily (IQR) je \(Q_3 – Q_1 = 32 – 10 = 22\).
5. Tento rozsah ukazuje, jak jsou data rozprostřena ve střední polovině, tedy 50 % hodnot je mezi 10 a 32.

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=11\).
2. Pozice \(Q_1 = \frac{1}{4}(n+1) = \frac{1}{4} \times 12 = 3\), což je celé číslo, takže \(Q_1\) je hodnota na 3. pozici: 7.
3. Pozice \(Q_3 = \frac{3}{4}(n+1) = 9\), hodnota na 9. pozici je 15, tedy \(Q_3 = 15\).
4. Protože pozice jsou celé číslo, není třeba interpolace.
5. Pokud by pozice nebyla celé číslo, např. \(3.5\), vypočteme \(Q_1 = \text{hodnota na pozici 3} + 0.5 \times (\text{hodnota na pozici 4} – \text{hodnota na pozici 3})\).

Řešení příkladu:

1. Původní data jsou seřazena, \(n = 15\).
2. Pozice kvartilů v původních datech: \(Q_1 = 4\), \(Q_3 = 12\), tj. hodnoty \(8\) a \(40\).
3. Odstraníme 3 nejnižší hodnoty: 4, 6, 7, a 3 nejvyšší hodnoty: 45, 50, 55.
4. Zůstane 9 hodnot: 8, 12, 15, 18, 22, 25, 30, 35, 40.
5. Nové kvartily jsou na pozicích \(Q_1 = \frac{1}{4}(9+1) = 2.5\) a \(Q_3 = \frac{3}{4}(10) = 7.5\).
6. Pro \(Q_1\) interpolujeme mezi 2. (12) a 3. (15) hodnotou: \(12 + 0.5 \times (15 – 12) = 12 + 1.5 = 13.5\).
7. Pro \(Q_3\) interpolujeme mezi 7. (30) a 8. (35) hodnotou: \(30 + 0.5 \times (35 – 30) = 30 + 2.5 = 32.5\).
8. První kvartil se změnil z 8 na 13.5, třetí z 40 na 32.5.
9. Toto ilustruje, že odstraněním krajních hodnot se kvartily mohou posunout a soustředit na střední data.

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=18\).
2. První kvartil na pozici \(\frac{1}{4}(18+1) = 4.75\).
3. Interpolace mezi 4. (8) a 5. (10) hodnotou: \(8 + 0.75 \times (10 – 8) = 8 + 1.5 = 9.5\).
4. Medián na pozici \(\frac{1}{2}(18+1) = 9.5\), mezi 9. (14) a 10. (14) hodnotou: \(14\).
5. První kvartil 9.5 není rovno mediánu 14, podmínka není splněna. Pravděpodobně došlo k chybě v zadání.
6. Třetí kvartil na pozici \(\frac{3}{4}(19) = 14.25\), interpolace mezi 14. (20) a 15. (22): \(20 + 0.25 \times (22 – 20) = 20 + 0.5 = 20.5\).

Řešení příkladu:

1. Data jsou seřazena, \(n=9\).
2. Pozice \(Q_1 = \frac{1}{4}(9+1) = 2.5\), interpolace mezi 2. (12) a 3. (14): \(12 + 0.5 \times (14 – 12) = 13\).
3. Pozice \(Q_3 = \frac{3}{4} \times 10 = 7.5\), interpolace mezi 7. (20) a 8. (22): \(20 + 0.5 \times (22 – 20) = 21\).
4. Extrémní hodnota 100 ovlivňuje průměr výrazně, ale kvartily méně, protože se zaměřují na pozice uvnitř dat, nikoli na extrémy.
5. Ukazuje to odolnost kvartilů proti extrémním hodnotám.

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=13\).
2. \(Q_1\) na pozici \(\frac{1}{4}(13+1) = 3.5\), interpolace mezi 3. (8) a 4. (8): \(8\).
3. \(Q_3\) na pozici \(\frac{3}{4} \times 14 = 10.5\), interpolace mezi 10. (14) a 11. (16): \(14 + 0.5 \times (16 – 14) = 15\).
4. IQR = \(Q_3 – Q_1 = 15 – 8 = 7\).
5. Celkový rozptyl dat je \(20 – 5 = 15\), což je více než dvojnásobek IQR, ukazuje to, že střední polovina dat je koncentrovanější než celý rozsah.

Řešení příkladu:

1. \(n=12\).
2. První kvartil pozice: \(k_1 = (12 + 1) \times 0.25 = 13 \times 0.25 = 3.25\).
3. Hodnota na 3. pozici je 7, na 4. pozici 8.
4. Interpolace: \(Q_1 = 7 + 0.25 \times (8 – 7) = 7 + 0.25 = 7.25\).
5. Třetí kvartil pozice: \(k_3 = 13 \times 0.75 = 9.75\).
6. Hodnota na 9. pozici je 18, na 10. pozici 20.
7. Interpolace: \(Q_3 = 18 + 0.75 \times (20 – 18) = 18 + 1.5 = 19.5\).

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=21\).
2. Seřadíme data (v tomto případě jsou již seřazena).
3. Pozice \(Q_1 = \frac{1}{4}(n+1) = \frac{1}{4} \times 22 = 5.5\).
4. Hodnota na 5. pozici je 21, na 6. pozici 23.
5. Interpolace: \(Q_1 = 21 + 0.5 \times (23 – 21) = 22\).
6. Pozice \(Q_3 = \frac{3}{4} \times 22 = 16.5\).
7. Hodnota na 16. pozici je 43, na 17. pozici 45.
8. Interpolace: \(Q_3 = 43 + 0.5 \times (45 – 43) = 44\).
9. Pokud data nejsou seřazena, nejprve je třeba data seřadit vzestupně před výpočtem kvartilů.

Řešení příkladu:

1. Původní data jsou: 8, 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 27, \(n=9\).
2. První kvartil pozice: \(\frac{1}{4}(9+1) = 2.5\), interpolace mezi 2. (10) a 3. (12): \(10 + 0.5 \times (12 – 10) = 11\).
3. Třetí kvartil pozice: \(\frac{3}{4} \times 10 = 7.5\), interpolace mezi 7. (22) a 8. (25): \(22 + 0.5 \times (25 – 22) = 23.5\).
4. Přidáme hodnotu 5, nová data: 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 27, \(n=10\).
5. Nový první kvartil pozice: \(\frac{1}{4}(10+1) = 2.75\), interpolace mezi 2. (8) a 3. (10): \(8 + 0.75 \times (10 – 8) = 9.5\).
6. Nový třetí kvartil pozice: \(\frac{3}{4} \times 11 = 8.25\), interpolace mezi 8. (22) a 9. (25): \(22 + 0.25 \times (25 – 22) = 22.75\).
7. První kvartil se snížil z 11 na 9.5 a třetí kvartil mírně poklesl z 23.5 na 22.75.

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=25\).
2. Pozice prvního kvartilu: \(\frac{1}{4}(25+1) = \frac{26}{4} = 6.5\).
3. Hodnoty na 6. a 7. pozici jsou 7 a 7.
4. Interpolace: \(Q_1 = 7 + 0.5 \times (7 – 7) = 7\).
5. Pozice třetího kvartilu: \(\frac{3}{4} \times 26 = 19.5\).
6. Hodnoty na 19. a 20. pozici jsou 16 a 17.
7. Interpolace: \(Q_3 = 16 + 0.5 \times (17 – 16) = 16.5\).

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=14\).
2. První kvartil pozice: \(\frac{1}{4}(14+1) = 3.75\).
3. Hodnoty na 3. a 4. pozici jsou 10 a 10.
4. Interpolace: \(Q_1 = 10 + 0.75 \times (10 – 10) = 10\).
5. Třetí kvartil pozice: \(\frac{3}{4} \times 15 = 11.25\).
6. Hodnoty na 11. a 12. pozici jsou 27 a 28.
7. Interpolace: \(Q_3 = 27 + 0.25 \times (28 – 27) = 27.25\).

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=11\).
2. První kvartil pozice: \(\frac{1}{4}(11+1) = 3\).
3. Hodnota na 3. pozici je 5, tedy \(Q_1 = 5\).
4. Třetí kvartil pozice: \(\frac{3}{4} \times 12 = 9\).
5. Hodnota na 9. pozici je 23, tedy \(Q_3 = 23\).
6. Medián je hodnota na pozici \(\frac{1}{2}(11+1) = 6\), tedy 13.
7. Rozložení dat ukazuje, že medián je mezi kvartily a data jsou pravděpodobně pravostranně asymetrická (vyšší hodnoty nad mediánem jsou více rozprostřené).

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=17\).
2. První kvartil pozice: \(\frac{1}{4}(17+1) = 4.5\).
3. Hodnoty na 4. a 5. pozici jsou 6 a 7.
4. Interpolace: \(Q_1 = 6 + 0.5 \times (7 – 6) = 6.5\).
5. Třetí kvartil pozice: \(\frac{3}{4} \times 18 = 13.5\).
6. Hodnoty na 13. a 14. pozici jsou 15 a 16.
7. Interpolace: \(Q_3 = 15 + 0.5 \times (16 – 15) = 15.5\).

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=14\).
2. První kvartil pozice: \(\frac{1}{4}(14+1) = 3.75\).
3. Hodnoty na 3. a 4. pozici jsou 24 a 25.
4. Interpolace: \(Q_1 = 24 + 0.75 \times (25 – 24) = 24.75\).
5. Třetí kvartil pozice: \(\frac{3}{4} \times 15 = 11.25\).
6. Hodnoty na 11. a 12. pozici jsou 34 a 35.
7. Interpolace: \(Q_3 = 34 + 0.25 \times (35 – 34) = 34.25\).
8. Medián pozice: \(\frac{1}{2}(14+1) = 7.5\), interpolace mezi 7. (29) a 8. (30): \(29 + 0.5 \times (30 – 29) = 29.5\).
9. U sudého počtu hodnot medián je průměrem prostředních hodnot a kvartily jsou od mediánu vzdáleny symetricky.

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=12\).
2. Medián rozděluje data na dvě poloviny: první polovina jsou hodnoty na pozicích 1 až 6 (4, 7, 8, 10, 10, 11), druhá polovina na pozicích 7 až 12 (13, 15, 16, 18, 20, 21).
3. První kvartil je medián první poloviny, tedy medián dat 4, 7, 8, 10, 10, 11.
4. První kvartil pozice v první polovině: \(\frac{1}{2}(6+1) = 3.5\).
5. Hodnoty na 3. a 4. pozici jsou 8 a 10.
6. Interpolace: \(Q_1 = 8 + 0.5 \times (10 – 8) = 9\).
7. Třetí kvartil je medián druhé poloviny: data 13, 15, 16, 18, 20, 21.
8. Třetí kvartil pozice: \(\frac{1}{2}(6+1) = 3.5\).
9. Hodnoty na 3. a 4. pozici jsou 16 a 18.
10. Interpolace: \(Q_3 = 16 + 0.5 \times (18 – 16) = 17\).

Řešení příkladu:

1. Počet hodnot \(n=9\).
2. Medián je hodnota na pozici \(\frac{1}{2}(9+1) = 5\), tedy 10.
3. Spodní polovina bez mediánu: hodnoty na pozicích 1 až 4 (2, 4, 6, 8).
4. První kvartil je medián spodní poloviny: pozice \(\frac{1}{2}(4+1) = 2.5\).
5. Hodnoty na 2. a 3. pozici jsou 4 a 6.
6. Interpolace: \(Q_1 = 4 + 0.5 \times (6 – 4) = 5\).
7. Horní polovina bez mediánu: hodnoty na pozicích 6 až 9 (12, 14, 16, 18).
8. Třetí kvartil je medián horní poloviny: pozice \(\frac{1}{2}(4+1) = 2.5\).
9. Hodnoty na 2. a 3. pozici horní poloviny jsou 14 a 16.
10. Interpolace: \(Q_3 = 14 + 0.5 \times (16 – 14) = 15\).