Lineární lomená funkce

Řešení příkladu:

Funkce je definována všude, kde jmenovatel není nulový.

Určíme nulové body jmenovatele: \( x – 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \)

Definiční obor: \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{5\} \)

Asymptota: svislá asymptota je v bodě \( x = 5 \), protože v tomto bodě funkce není definována.

Funkce má předpis \( y = \frac{2x + 3}{x – 5} \). Pro načrtnutí grafu určíme pár bodů:

Např.:

\( f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 – 5} = \frac{3}{-5} = -0{,}6 \)

\( f(1) = \frac{2 + 3}{1 – 5} = \frac{5}{-4} = -1{,}25 \)

\( f(6) = \frac{12 + 3}{6 – 5} = \frac{15}{1} = 15 \)

Funkce má horizontální asymptotu \( y = 2 \), protože podíl hlavních koeficientů je \( \frac{2}{1} \)

Na základě bodů a asymptot načrtneme graf funkce.

Řešení příkladu:

Nejprve určíme definiční obor: \( x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2 \)

Řešíme nerovnici: \( \frac{3x – 1}{x + 2} > 1 \)

Převedeme na společného jmenovatele: \( \frac{3x – 1}{x + 2} – 1 > 0 \Rightarrow \frac{3x – 1 – (x + 2)}{x + 2} > 0 \)

Spočítáme čitatel: \( 3x – 1 – x – 2 = 2x – 3 \)

Nerovnice: \( \frac{2x – 3}{x + 2} > 0 \)

Určíme nulové body čitatele a jmenovatele:

\( 2x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \)

\( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)

Určíme intervaly: \( (-\infty, -2), (-2, \frac{3}{2}), (\frac{3}{2}, \infty) \)

Otestujeme znaménka v intervalech:

• Pro \( x = -3 \): \( \frac{2 \cdot (-3) – 3}{-3 + 2} = \frac{-6 – 3}{-1} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0 \)
• Pro \( x = 0 \): \( \frac{-3}{2} = -1{,}5 < 0 \)
• Pro \( x = 2 \): \( \frac{1}{4} > 0 \)

Řešení: \( x \in (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, \infty \right) \)

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( 2x – 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{2} \)

Průsečík s osou \( y \): Dosadíme \( x = 0 \):

\( f(0) = \frac{0 + 4}{-1} = -4 \Rightarrow (0, -4) \)

Průsečík s osou \( x \): \( \frac{x + 4}{2x – 1} = 0 \Rightarrow x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \Rightarrow (-4, 0) \)

Odpověď: Průsečíky jsou \( (0, -4) \) a \( (-4, 0) \)

Řešení příkladu:

Svislá asymptota: jmenovatel nesmí být 0: \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)

Horizontální asymptota: stupeň čitatele i jmenovatele je 1, proto:

Podíl hlavních koeficientů: \( \frac{-1}{1} = -1 \Rightarrow y = -1 \)

Nulový bod: \( 5 – x = 0 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow (5, 0) \)

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x \ne -1 \)

Odvodíme funkci: Použijeme derivaci lomené funkce:

\( f'(x) = \frac{(2)(x + 1) – (2x)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 – 2x}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2} \)

Derivace je vždy kladná (jmenovatel kladný kromě bodu -1, kde není definována).

Funkce je tedy rostoucí na intervalech \( (-\infty, -1) \cup (-1, \infty) \)

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x \ne 2 \)

Svislá asymptota: \( x = 2 \)

Horizontální asymptota: \( y = 1 \)

Funkce má tvar posunuté základní funkce \( \frac{1}{x} \), posunuté o 2 doprava a o 1 nahoru.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme hodnotu funkce: \( f(2) = \frac{3}{1} = 3 \)

Derivace: \( f'(x) = \frac{(1)(x – 1) – (x + 1)(1)}{(x – 1)^2} = \frac{x – 1 – x – 1}{(x – 1)^2} = \frac{-2}{(x – 1)^2} \)

V bodě \( x = 2 \): \( f'(2) = \frac{-2}{1^2} = -2 \)

Tečna: \( y – 3 = -2(x – 2) \Rightarrow y = -2x + 7 \)

Řešení příkladu:

Obecný tvar: \( f(x) = \frac{a}{x – 1} + 3 \)

Dosadíme bod \( (2, 6) \): \( 6 = \frac{a}{2 – 1} + 3 \Rightarrow 6 = a + 3 \Rightarrow a = 3 \)

Rovnice: \( f(x) = \frac{3}{x – 1} + 3 \)

Řešení příkladu:

Dosadíme \( x = 1 \) a \( f(1) = 2 \): \( \frac{a \cdot 1 + 1}{1 + 2} = 2 \Rightarrow \frac{a + 1}{3} = 2 \Rightarrow a + 1 = 6 \Rightarrow a = 5 \)

Řešení příkladu:

Spočítáme: \( \frac{x^2 – 4}{x – 2} = \frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} \)

Pro \( x \ne 2 \): \( f(x) = x + 2 \), což je lineární funkce

Nicméně, funkce není definována v bodě \( x = 2 \), kde má nespojitost

Funkce tedy není striktně lomená, protože se zkrátí na lineární mimo bod, kde není definována

Řešení příkladu:

Definiční obor určíme tak, že jmenovatel nesmí být roven nule:

\( x^2 – 9 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 9 \Rightarrow x \neq \pm3 \)

Definiční obor je tedy: \( \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\} \)

Nulové body hledáme tak, že funkci položíme rovnu nule:

\( \frac{2x + 5}{x^2 – 9} = 0 \Rightarrow 2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2} \)

Protože \( -\frac{5}{2} \notin \{-3, 3\} \), je to platné řešení.

Řešení příkladu:

Obecný tvar funkce je: \( f(x) = \frac{a(x + 2)}{x – 1} \), protože má nulový bod v \( x = -2 \) a pól v \( x = 1 \).

Dosadíme podmínku: \( f(0) = -1 \Rightarrow \frac{a(0 + 2)}{0 – 1} = -1 \Rightarrow \frac{2a}{-1} = -1 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \)

Hledaná funkce je: \( f(x) = \frac{\frac{1}{2}(x + 2)}{x – 1} \)

Řešení příkladu:

Průsečík s osou x: \( f(x) = 0 \Rightarrow 3x – 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \)

Průsečík s osou y: \( x = 0 \Rightarrow f(0) = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \)

Průsečíky jsou tedy: s osou x v bodě \( [2, 0] \), s osou y v bodě \( [0, -\frac{3}{2}] \)

Řešení příkladu:

Svislá asymptota: \( x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)

Šikmá asymptota: Vydělíme čitatele jmenovatelem:

\( \frac{4x + 1}{x – 2} = 4 + \frac{9}{x – 2} \Rightarrow y = 4 \) je šikmá asymptota

Řešení příkladu:

Derivujeme funkci: \( f(x) = \frac{2x}{x + 3} \Rightarrow f'(x) = \frac{2(x + 3) – 2x}{(x + 3)^2} = \frac{6}{(x + 3)^2} \)

Protože jmenovatel je vždy kladný (kromě pólů) a čitatel je 6, je derivace vždy kladná.

Funkce je tedy rostoucí na každém intervalu svého definičního oboru: \( \mathbb{R} \setminus \{-3\} \)

Řešení příkladu:

Rozložíme čitatele i jmenovatele:

\( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3),\quad x^2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) \)

\( \frac{(x – 3)(x + 3)}{(x – 2)(x + 3)} = \frac{x – 3}{x – 2} \), ale musíme určit definiční obor:

Jmenovatel nesmí být nula: \( x – 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \), \( x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \)

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-3, 2\} \)

Řešení příkladu:

Dosadíme do rovnice:

\( f(1) = \frac{a \cdot 1 + 4}{1 + 2} = 3 \Rightarrow \frac{a + 4}{3} = 3 \Rightarrow a + 4 = 9 \Rightarrow a = 5 \)

Řešení příkladu:

\( \frac{3x – 2}{x + 1} = 2 \Rightarrow 3x – 2 = 2(x + 1) \Rightarrow 3x – 2 = 2x + 2 \Rightarrow x = 4 \)

Zkontrolujeme, zda \( x = 4 \) je v definičním oboru: \( x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \Rightarrow \text{OK} \)

Řešení příkladu:

Provedeme dělení: \( \frac{2x + 3}{x – 4} = 2 + \frac{11}{x – 4} \)

Proto: \( f(x) = 2 + \frac{11}{x – 4} \)

Řešení příkladu:

Rozklad:

Čitatel: \( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \), Jmenovatel: \( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \)

Výraz: \( \frac{(x + 1)^2}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{x + 1}{x – 1} \) (pro \( x \neq -1 \))

Svislá asymptota: \( x = 1 \)

Šikmá asymptota: \( y = 1 \)

Řešení příkladu:

Průsečík s osou \( y \): nastavíme \( x = 0 \)

\( f(0) = \frac{3 \cdot 0 – 4}{2 \cdot 0 + 1} = \frac{-4}{1} = -4 \Rightarrow \) Průsečík s osou \( y \) je bod \( [0, -4] \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( x \), pro které \( f(x) = 0 \Rightarrow \frac{3x – 4}{2x + 1} = 0 \)

Lomená funkce je nulová, když čitatel je nula:

\( 3x – 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \Rightarrow \) Průsečík s osou \( x \) je bod \( \left[ \frac{4}{3}, 0 \right] \).

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme nerovnici na společný jmenovatel:

\( \frac{5x – 2}{x + 4} \leq 1 \Rightarrow \frac{5x – 2}{x + 4} – 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{5x – 2 – (x + 4)}{x + 4} \leq 0 \Rightarrow \frac{4x – 6}{x + 4} \leq 0 \)

Nyní určíme nulové body čitatele a jmenovatele:

\( 4x – 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}, \quad x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)

Označíme intervaly: \( (-\infty, -4), (-4, \frac{3}{2}), (\frac{3}{2}, \infty) \)

Testujeme znaménko ve zlomku na jednotlivých intervalech:

• pro \( x = -5 \): \( \frac{4(-5) – 6}{-5 + 4} = \frac{-26}{-1} = 26 > 0 \)
• pro \( x = 0 \): \( \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} < 0 \)
• pro \( x = 2 \): \( \frac{8 – 6}{6} = \frac{1}{3} > 0 \)

Nerovnice platí tam, kde je zlomek menší nebo roven nule: \( \left\langle -4, \frac{3}{2} \right\rangle \), ale \( x \neq -4 \), protože ve jmenovateli nesmí být nula.

Řešením je: \( x \in (-4, \frac{3}{2}] \)

Řešení příkladu:

Svislá asymptota je určena nulou jmenovatele:

\( x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow \) Svislá asymptota je \( x = 2 \).

Šikmá asymptota: provádíme dělení mnohočlenu \( \frac{4x + 1}{x – 2} \)

Dělíme: \( 4x + 1 : x – 2 \)

První člen: \( \frac{4x}{x} = 4 \), vynásobíme: \( 4(x – 2) = 4x – 8 \), odečteme: \( (4x + 1) – (4x – 8) = 9 \)

Výsledek: \( f(x) = 4 + \frac{9}{x – 2} \Rightarrow \) Šikmá asymptota je přímka \( y = 4 \)

Řešení příkladu:

Najdeme derivaci pomocí podílu dvou funkcí:

\( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), kde \( u(x) = 2x + 1, v(x) = x + 3 \)

Platí: \( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{v(x)^2} \)

\( f'(x) = \frac{2(x + 3) – (2x + 1)(1)}{(x + 3)^2} = \frac{2x + 6 – 2x – 1}{(x + 3)^2} = \frac{5}{(x + 3)^2} \)

Jelikož jmenovatel je kladný (kromě bodu \( x = -3 \), kde není definována) a čitatel je konstantní kladné číslo, pak:

Derivace je kladná na každém intervalu definičního oboru \( \Rightarrow \) Funkce je rostoucí na \( (-\infty, -3) \cup (-3, \infty) \)

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x \neq 1 \)

Svislá asymptota: \( x = 1 \)

Šikmá asymptota: provádíme dělení: \( \frac{x + 2}{x – 1} = 1 + \frac{3}{x – 1} \Rightarrow \) asymptota \( y = 1 \)

Průsečík s osou \( y \): \( x = 0 \Rightarrow f(0) = \frac{2}{-1} = -2 \Rightarrow [0, -2] \)

Průsečík s osou \( x \): \( f(x) = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow [-2, 0] \)

Na základě těchto informací můžeme zakreslit asymptoty, průsečíky a tvar grafu podle klasického vzhledu lomené funkce s jedním nesoudělným jmenovatelem.

Řešení příkladu:

Nejprve přeneseme pravou stranu na levou:

\( \frac{x + 5}{2x – 1} – 3 > 0 \Rightarrow \frac{x + 5 – 3(2x – 1)}{2x – 1} > 0 \)

Spočíteme čitatel: \( x + 5 – 6x + 3 = -5x + 8 \)

Získáme nerovnici: \( \frac{-5x + 8}{2x – 1} > 0 \)

Najdeme nulové body čitatele a jmenovatele:

• čitatel: \( -5x + 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{5} \)
• jmenovatel: \( 2x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \)

Rozdělíme reálnou osu na intervaly: \( (-\infty, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \frac{8}{5}), (\frac{8}{5}, \infty) \)

Testujeme znaménko výrazu na každém intervalu:

• pro \( x = 0 \): \( \frac{8}{-1} = -8 \Rightarrow \text{záporné} \)
• pro \( x = 1 \): \( \frac{-5 + 8}{2 – 1} = \frac{3}{1} = 3 > 0 \)
• pro \( x = 2 \): \( \frac{-10 + 8}{4 – 1} = \frac{-2}{3} < 0 \)

Nerovnice platí pro interval \( \left( \frac{1}{2}, \frac{8}{5} \right) \)

Řešení příkladu:

Funkce není definovaná tam, kde je jmenovatel roven nule:

\( x^2 – 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3 \)

Definiční obor tedy je všechna reálná čísla kromě těchto hodnot:

\( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ -3, 3 \} \)

Řešení příkladu:

Začneme rovnicí \( y = \frac{2x + 3}{x – 4} \), cílem je vyjádřit \( x \) pomocí \( y \).

Přepíšeme: \( y = \frac{2x + 3}{x – 4} \Rightarrow y(x – 4) = 2x + 3 \)

Roznásobíme: \( yx – 4y = 2x + 3 \)

Přeneseme členy s \( x \) na jednu stranu: \( yx – 2x = 4y + 3 \Rightarrow x(y – 2) = 4y + 3 \Rightarrow x = \frac{4y + 3}{y – 2} \)

Prohodíme \( x \leftrightarrow y \): \( f^{-1}(x) = \frac{4x + 3}{x – 2} \)

Řešení příkladu:

Dosadíme do jmenovatele: \( x – 5 \to 0 \Rightarrow \text{v okolí 5} \) funkce diverguje.

Pro \( x \to 5^- \): \( \frac{3x + 2}{x – 5} \to \frac{17}{0^-} = -\infty \)

Pro \( x \to 5^+ \): \( \frac{3x + 2}{x – 5} \to \frac{17}{0^+} = +\infty \)

Limita neexistuje, protože jednostranné limity nejsou stejné.

Řešení příkladu:

Nejprve zjednodušíme: \( f(x) = \frac{x – 1}{1 – x} = \frac{x – 1}{-(x – 1)} = -1 \), pro \( x \neq 1 \)

Funkce je tedy konstantní rovna \( -1 \) kromě jednoho bodu. Konstantní funkce je sudá, protože:

\( f(-x) = -1 = f(x) \Rightarrow \) funkce je sudá.

Řešení příkladu:

Nejprve určíme, kde není funkce definována: jmenovatel nesmí být nula.

\( x^2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3) \Rightarrow x \neq 1, x \neq 3 \)

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{1,3\} \)

Svislé asymptoty v bodech \( x = 1 \) a \( x = 3 \).

Pro horizontální nebo šikmou asymptotu porovnáme stupeň čitatele (1) a jmenovatele (2).

Stupeň čitatele je nižší, proto horizontální asymptota je \( y = 0 \).

Výsledek: definiční obor, svislé asymptoty a horizontální asymptota.

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme na společného jmenovatele:

\( \frac{2x – 1}{x – 2} + 1 < 0 \Rightarrow \frac{2x - 1 + (x - 2)}{x - 2} < 0 \Rightarrow \frac{3x - 3}{x - 2} < 0 \)

Zjednodušíme: \( \frac{3(x – 1)}{x – 2} < 0 \)

Čitatel je nula pro \( x = 1 \), jmenovatel pro \( x = 2 \).

Intervaly: \( (-\infty,1), (1,2), (2,\infty) \)

Testujeme znaménko:

• pro \( x=0 \): čitatel -3, jmenovatel -2, celkově kladné
• pro \( x=1{,}5 \): čitatel +1{,}5, jmenovatel -0{,}5, celkově záporné
• pro \( x=3 \): čitatel +6, jmenovatel +1, celkově kladné

Nerovnice platí na intervalu \( (1,2) \).

Řešení příkladu:

Obecný tvar: \( f(x) = \frac{a(x + 3)}{x – 2} + b \), kde \( b = 4 \).

Proto: \( f(x) = \frac{a(x + 3)}{x – 2} + 4 \).

Horizontální asymptota je \( y = 4 \Rightarrow \) podíl hlavných koeficientů čitatele a jmenovatele se projeví jen v lomeném členu.

Funkce nemá další omezení, takže a je libovolné nenulové reálné číslo.

Například pro \( a = 5 \) dostaneme \( f(x) = \frac{5(x + 3)}{x – 2} + 4 \).

Řešení příkladu:

Začneme rovnicí \( y = \frac{3x – 2}{x + 1} \Rightarrow y(x + 1) = 3x – 2 \).

Roznásobíme: \( yx + y = 3x – 2 \Rightarrow yx – 3x = -y – 2 \Rightarrow x(y – 3) = -y – 2 \Rightarrow x = \frac{-y – 2}{y – 3} \).

Prohodíme proměnné: \( f^{-1}(x) = \frac{-x – 2}{x – 3} \).

Definiční obor původní funkce je \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \), obraz je \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \), což odpovídá definičnímu oboru inverzní funkce.

Řešení příkladu:

Čitatel rozložíme: \( x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2 \).

Funkce: \( \frac{(x – 2)^2}{x – 2} = x – 2 \), pro \( x \neq 2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

Funkce je lineární s vyděleným bodem, tedy graf je přímka \( y = x – 2 \) bez bodu \( x = 2 \).

Svislá asymptota neexistuje, horizontální ani šikmá také neexistují (graf je přímka).

Řešení příkladu:

Převedeme na společný jmenovatel: \( \frac{4x – 5}{x – 3} – 2 \geq 0 \Rightarrow \frac{4x – 5 – 2(x – 3)}{x – 3} \geq 0 \Rightarrow \frac{4x – 5 – 2x + 6}{x – 3} \geq 0 \Rightarrow \frac{2x + 1}{x – 3} \geq 0 \).

Čitatel je nula pro \( x = -\frac{1}{2} \), jmenovatel pro \( x = 3 \).

Intervaly: \( (-\infty, -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, 3), (3, \infty) \).

Testujeme znaménko:

• pro \( x=-1 \): čitatel -1, jmenovatel -4, celkem kladné
• pro \( x=0 \): čitatel +1, jmenovatel -3, celkem záporné
• pro \( x=4 \): čitatel +9, jmenovatel +1, celkem kladné

Řešení: \( x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup (3, \infty) \).

Řešení příkladu:

Protože stupeň čitatele (2) je o 1 vyšší než stupeň jmenovatele (1), očekáváme šikmou asymptotu.

Polynomické dělení: \( 6x^2 + 3x + 1 \) děleno \( x + 2 \).

První krok: \( 6x^2 : x = 6x \), násobíme zpět: \( 6x(x + 2) = 6x^2 + 12x \), rozdíl: \( (6x^2 + 3x + 1) – (6x^2 + 12x) = -9x + 1 \).

Dále: \( -9x : x = -9 \), násobíme: \( -9(x + 2) = -9x -18 \), rozdíl: \( (-9x + 1) – (-9x -18) = 19 \).

Výsledek: \( f(x) = 6x – 9 + \frac{19}{x + 2} \).

Šikmá asymptota: \( y = 6x – 9 \).

Řešení příkladu:

Začneme s rovnicí \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \Rightarrow y(cx + d) = ax + b \Rightarrow cyx + dy = ax + b \).

Přesuneme členy s \( x \): \( cyx – ax = b – dy \Rightarrow x(cy – a) = b – dy \Rightarrow x = \frac{b – dy}{cy – a} \).

Prohodíme \( x \leftrightarrow y \): \( f^{-1}(x) = \frac{b – dx}{cx – a} \).

Zjistíme definiční obor inverzní funkce: \( cx – a \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{a}{c} \), což odpovídá obrazu původní funkce.

Řešení příkladu:

Pro limitu pro \( x \to \infty \) vydělíme čitatel i jmenovatel hlavním členem \( x \):

\( \frac{3 – \frac{1}{x}}{2 + \frac{5}{x}} \Rightarrow \) pro \( x \to \infty \) se členy s \( \frac{1}{x} \) a \( \frac{5}{x} \) blíží nule.

Limita je tedy \( \frac{3}{2} \).

To znamená horizontální asymptota \( y = \frac{3}{2} \).

Řešení příkladu:

Čitatel rozdělíme: \( x^2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) \).

Funkci zapíšeme jako \( \frac{(x + 3)(x – 2)}{x – 2} = x + 3 \), pro \( x \neq 2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

Graf je přímka \( y = x + 3 \) bez bodu \( x = 2 \), kde je dělení nulou.

Svislá asymptota neexistuje, horizontální ani šikmá také neexistují.

Průsečík s osou \( y \): pro \( x = 0 \) platí \( y = 3 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor určíme podle jmenovatele: \( x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \), tedy \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Pro lepší pochopení provedeme dělení polynomů: vydělíme \( 3x^2 – 2x + 1 \) polynomem \( x – 1 \).

První krok: \( \frac{3x^2}{x} = 3x \). Vynásobíme: \( 3x(x – 1) = 3x^2 – 3x \). Odečteme:

\( (3x^2 – 2x + 1) – (3x^2 – 3x) = x + 1 \).

Druhý krok: \( \frac{x}{x} = 1 \). Vynásobíme: \( 1 \cdot (x – 1) = x – 1 \). Odečteme:

\( (x + 1) – (x – 1) = 2 \).

Celý podíl je tedy \( 3x + 1 \) se zbytkem 2.

Funkci můžeme tedy vyjádřit jako:

\( f(x) = 3x + 1 + \frac{2}{x – 1} \), \( x \neq 1 \).

Průsečík s osou y najdeme dosazením \( x=0 \):

\( f(0) = \frac{3\cdot 0 – 0 + 1}{0 – 1} = \frac{1}{-1} = -1 \), průsečík je tedy v bodě \( (0, -1) \).

Průsečík s osou x určíme řešením rovnice \( f(x) = 0 \):

\( \frac{3x^2 – 2x + 1}{x – 1} = 0 \Rightarrow 3x^2 – 2x + 1 = 0 \).

Vypočítáme diskriminant:

\( D = (-2)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 – 12 = -8 < 0 \), tedy rovnice nemá reálné kořeny.

Funkce nemá průsečíky s osou x.

Svislá asymptota je v bodě, kde jmenovatel nulový, tedy \( x=1 \).

Šikmá asymptota je dána polynomem z dělení, tedy rovnice \( y = 3x + 1 \).

Vodorovná asymptota neexistuje, protože stupeň čitatele je větší než stupeň jmenovatele.

Řešení příkladu:

Definiční obor stanovíme z podmínky, že jmenovatel není nulový:

\( x^2 – 1 \neq 0 \Rightarrow (x – 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1 \).

Definiční obor je tedy \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).

Čitatel rozložíme:

\( x^2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) \).

Průsečíky s osou x získáme řešením \( f(x) = 0 \), což je ekvivalentní \( x^2 + 4x + 3 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( D = 16 – 12 = 4 \), kořeny:

\( x_1 = \frac{-4 – 2}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \).

Při \( x=-1 \) je však jmenovatel nulový, proto není \( x=-1 \) v definičním oboru a není průsečíkem.

Průsečík s osou x je tedy pouze \( (-3, 0) \).

Průsečík s osou y je při \( x=0 \):

\( f(0) = \frac{0 + 0 + 3}{0 – 1} = \frac{3}{-1} = -3 \), bod \( (0, -3) \).

Svislé asymptoty jsou v bodech, kde jmenovatel je nulový, tedy \( x = -1 \) a \( x = 1 \).

Určíme limitu funkce pro \( x \to \pm \infty \) pro vodorovnou asymptotu:

Protože stupeň čitatele a jmenovatele je stejný, asymptota je poměr koeficientů u \( x^2 \):

\( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{1}{1} = 1 \), tedy \( y = 1 \) je vodorovná asymptota.

Řešení příkladu:

Definiční obor určíme podle podmínky, že jmenovatel není nulový:

\( x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \), tedy \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Průsečík s osou y najdeme dosazením \( x=0 \):

\( f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 – 1} = \frac{3}{-1} = -3 \), průsečík v bodě \( (0, -3) \).

Průsečík s osou x získáme řešením rovnice \( f(x) = 0 \):

\( \frac{2x + 3}{x – 1} = 0 \Rightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \), průsečík v bodě \( \left(-\frac{3}{2}, 0\right) \).

Svislá asymptota je tam, kde jmenovatel je nulový, tedy v \( x = 1 \).

Pro určení horizontální asymptoty se podíváme na limitu pro \( x \to \pm \infty \):

\( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 3}{x – 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x(2 + \frac{3}{x})}{x(1 – \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 – \frac{1}{x}} = \frac{2}{1} = 2 \).

Horizontální asymptota je tedy \( y = 2 \).

Funkci můžeme také zapsat pomocí dělení polynomů:

Dělením \( 2x + 3 \) polynomem \( x – 1 \) dostaneme kvocient \( 2 \) a zbytek \( 5 \), protože:

\( 2 \cdot (x – 1) = 2x – 2 \), takže zbytek je \( (2x + 3) – (2x – 2) = 5 \).

Funkce tedy může být zapsána jako \( f(x) = 2 + \frac{5}{x – 1} \), \( x \neq 1 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: jmenovatel nesmí být nula, tedy

\( 2x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{2} \), tedy \( D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2} \right\} \).

Průsečík s osou y nalezneme dosazením \( x = 0 \):

\( f(0) = \frac{0 – 5}{0 + 1} = \frac{-5}{1} = -5 \), bod \( (0, -5) \).

Průsečík s osou x: řešíme \( f(x) = 0 \):

\( \frac{4x – 5}{2x + 1} = 0 \Rightarrow 4x – 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{4} \), průsečík v \( \left(\frac{5}{4}, 0\right) \).

Svislá asymptota je v místě, kde je jmenovatel nulový, tedy \( x = -\frac{1}{2} \).

Horizontální asymptotu určíme limitou pro \( x \to \pm \infty \):

\( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4x – 5}{2x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x(4 – \frac{5}{x})}{x(2 + \frac{1}{x})} = \frac{4}{2} = 2 \), asymptota je \( y = 2 \).

Rozepíšeme pomocí dělení polynomů:

Dělíme \( 4x – 5 \) polynomem \( 2x + 1 \).

První krok: \( \frac{4x}{2x} = 2 \), vynásobíme: \( 2 \cdot (2x + 1) = 4x + 2 \).

Zbytek: \( (4x – 5) – (4x + 2) = -7 \).

Funkce tedy lze vyjádřit jako:

\( f(x) = 2 + \frac{-7}{2x + 1} = 2 – \frac{7}{2x + 1} \), \( x \neq -\frac{1}{2} \).

Řešení příkladu:

Definiční obor je daný podmínkou \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \).

Průsečík s osou y nalezneme dosazením \( x=0 \):

\( f(0) = \frac{0 + 4}{0 + 2} = \frac{4}{2} = 2 \), bod \( (0, 2) \).

Průsečík s osou x řešíme rovnicí:

\( \frac{3x + 4}{x + 2} = 0 \Rightarrow 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3} \).

Svislá asymptota je v \( x = -2 \).

Pro horizontální asymptotu počítáme limitu:

\( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x + 4}{x + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x(3 + \frac{4}{x})}{x(1 + \frac{2}{x})} = \frac{3}{1} = 3 \), asymptota je \( y = 3 \).

Pro rozpis použijeme dělení:

Dělíme \( 3x + 4 \) polynomem \( x + 2 \).

\( \frac{3x}{x} = 3 \), vynásobíme \( 3(x+2) = 3x + 6 \).

Zbytek: \( (3x + 4) – (3x + 6) = -2 \).

Funkce je tedy:

\( f(x) = 3 + \frac{-2}{x + 2} = 3 – \frac{2}{x + 2} \), \( x \neq -2 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor určíme podle podmínky, že jmenovatel není nulový:

\( 3x – 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{4}{3} \), tedy \( D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{4}{3} \right\} \).

Průsečík s osou \( y \) získáme dosazením \( x=0 \):

\( f(0) = \frac{5\cdot 0 – 1}{3\cdot 0 – 4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \), průsečík je v bodě \( (0, \frac{1}{4}) \).

Průsečík s osou \( x \) hledáme řešením rovnice \( f(x) = 0 \):

\( \frac{5x – 1}{3x – 4} = 0 \Rightarrow 5x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{5} \), průsečík v bodě \( \left( \frac{1}{5}, 0 \right) \).

Svislá asymptota je tam, kde je jmenovatel nulový, tedy v \( x = \frac{4}{3} \).

Horizontální asymptotu určíme limitem pro \( x \to \pm \infty \):

\( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{5x – 1}{3x – 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x(5 – \frac{1}{x})}{x(3 – \frac{4}{x})} = \frac{5}{3} \), asymptota je \( y = \frac{5}{3} \).

Rozepišme funkci pomocí dělení polynomů:

Dělíme \( 5x – 1 \) polynomem \( 3x – 4 \).

První krok: \( \frac{5x}{3x} = \frac{5}{3} \), vynásobíme \( \frac{5}{3} \cdot (3x – 4) = 5x – \frac{20}{3} \).

Zbytek je tedy: \( (5x – 1) – \left(5x – \frac{20}{3}\right) = -1 + \frac{20}{3} = \frac{17}{3} \).

Funkce můžeme zapsat jako:

\( f(x) = \frac{5}{3} + \frac{\frac{17}{3}}{3x – 4} = \frac{5}{3} + \frac{17}{3(3x – 4)} \), pro \( x \neq \frac{4}{3} \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: jmenovatel \( x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \).

Pro průsečíky s osou \( y \) dosadíme \( x=0 \):

\( f(0) = \frac{0 + 0 – 2}{0 + 1} = \frac{-2}{1} = -2 \), průsečík v bodě \( (0, -2) \).

Průsečík s osou \( x \) získáme řešením rovnice \( f(x) = 0 \), tedy čitatel rovný nule:

\( 2x^2 + 3x – 2 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu:

\( D = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).

Kořeny:

\( x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4} \Rightarrow x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \).

Průsečíky s osou \( x \) jsou tedy v bodech \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) a \( (-2, 0) \).

Svislá asymptota je v \( x = -1 \) (kde je jmenovatel nulový).

Pro šikmou asymptotu použijeme polynomické dělení:

Dělíme \( 2x^2 + 3x – 2 \) polynomem \( x + 1 \).

První krok: \( \frac{2x^2}{x} = 2x \), vynásobíme \( 2x(x+1) = 2x^2 + 2x \).

Odečteme: \( (2x^2 + 3x – 2) – (2x^2 + 2x) = x – 2 \).

Druhý krok: \( \frac{x}{x} = 1 \), vynásobíme \( 1(x+1) = x + 1 \).

Odečteme: \( (x – 2) – (x + 1) = -3 \).

Zbytek je tedy \( -3 \), kvocient \( 2x + 1 \).

Funkce se dá zapsat jako:

\( f(x) = 2x + 1 + \frac{-3}{x + 1} = 2x + 1 – \frac{3}{x + 1} \), \( x \neq -1 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor určíme podmínkou \( 2x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{2} \).

Průsečík s osou \( y \): dosadíme \( x=0 \):

\( f(0) = \frac{0 – 3}{0 + 5} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5} \), bod \( (0, -\frac{3}{5}) \).

Průsečík s osou \( x \) získáme řešením rovnice \( 7x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{7} \).

Svislá asymptota je v \( x = -\frac{5}{2} \).

Horizontální asymptota je podle limitního poměru koeficientů u nejvyšších mocnin:

\( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{7x – 3}{2x + 5} = \frac{7}{2} \), asymptota \( y = \frac{7}{2} \).

Dělením polynomů:

\( \frac{7x – 3}{2x + 5} = ? \)

První krok: \( \frac{7x}{2x} = \frac{7}{2} \), vynásobíme \( \frac{7}{2}(2x + 5) = 7x + \frac{35}{2} \).

Zbytek: \( (7x – 3) – \left(7x + \frac{35}{2}\right) = -3 – \frac{35}{2} = -\frac{6}{2} – \frac{35}{2} = -\frac{41}{2} \).

Funkce tedy je:

\( f(x) = \frac{7}{2} + \frac{-\frac{41}{2}}{2x + 5} = \frac{7}{2} – \frac{41}{2(2x + 5)} \), \( x \neq -\frac{5}{2} \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \).

Průsečík s osou \( y \) je pro \( x=0 \):

\( f(0) = \frac{0 – 4}{0 – 1} = \frac{-4}{-1} = 4 \), bod \( (0,4) \).

Průsečíky s osou \( x \) jsou řešení rovnice čitatele \( x^2 – 4 = 0 \):

\( (x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x=2, x=-2 \), body \( (2,0) \) a \( (-2,0) \).

Svislá asymptota v \( x=1 \).

Pro šikmou asymptotu použijeme dělení polynomů:

Dělíme \( x^2 – 4 \) polynomem \( x – 1 \).

První krok: \( \frac{x^2}{x} = x \), vynásobíme \( x(x-1) = x^2 – x \).

Odečteme: \( (x^2 – 4) – (x^2 – x) = x – 4 \).

Druhý krok: \( \frac{x}{x} = 1 \), vynásobíme \( 1 \cdot (x – 1) = x – 1 \).

Odečteme: \( (x – 4) – (x – 1) = -3 \).

Kvocient je \( x + 1 \), zbytek \(-3\).

Funkce tedy:

\( f(x) = x + 1 + \frac{-3}{x – 1} = x + 1 – \frac{3}{x – 1} \), pro \( x \neq 1 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor je omezen jmenovatelem: \( 2x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2} \).

Průsečík s osou \( y \) pro \( x=0 \):

\( f(0) = \frac{0 + 0 + 1}{0 + 3} = \frac{1}{3} \), bod \( (0, \frac{1}{3}) \).

Průsečík s osou \( x \) získáme řešením \( 4x^2 + 2x + 1 = 0 \).

Diskriminant:

\( D = 2^2 – 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 – 16 = -12 < 0 \), žádné reálné kořeny, tudíž žádné průsečíky s osou \( x \).

Svislá asymptota v \( x = -\frac{3}{2} \).

Pro šikmou asymptotu dělíme \( 4x^2 + 2x + 1 \) polynomem \( 2x + 3 \):

První krok: \( \frac{4x^2}{2x} = 2x \), vynásobíme \( 2x(2x + 3) = 4x^2 + 6x \).

Odečteme: \( (4x^2 + 2x + 1) – (4x^2 + 6x) = -4x + 1 \).

Druhý krok: \( \frac{-4x}{2x} = -2 \), vynásobíme \( -2(2x + 3) = -4x – 6 \).

Odečteme: \( (-4x + 1) – (-4x – 6) = 7 \).

Kvocient: \( 2x – 2 \), zbytek \( 7 \).

Funkce se dá zapsat jako:

\( f(x) = 2x – 2 + \frac{7}{2x + 3} \), \( x \neq -\frac{3}{2} \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: jmenovatel nesmí být nula, tedy \( x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \).

Průsečík s osou \( y \) získáme dosazením \( x=0 \):

\( f(0) = \frac{3 \cdot 0 + 5}{0 – 1} = \frac{5}{-1} = -5 \), průsečík v bodě \( (0, -5) \).

Průsečík s osou \( x \) najdeme řešením rovnice čitatele \( 3x + 5 = 0 \):

\( 3x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{3} \), průsečík v bodě \( \left(-\frac{5}{3}, 0\right) \).

Svislá asymptota vzniká, kde je jmenovatel nula, tedy v \( x = 1 \).

Pro nalezení šikmé asymptoty vydělíme čitatel jmenovatelem:

Vydělení: \(\frac{3x+5}{x-1}\)

Dělíme: \(3x \div x = 3\), vynásobíme \(3(x-1) = 3x – 3\).

Odečteme: \((3x+5) – (3x – 3) = 8\).

Výsledek dělení: \(3 + \frac{8}{x – 1}\).

Funkci lze tedy zapsat jako \( f(x) = 3 + \frac{8}{x – 1} \), \( x \neq 1 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \).

Průsečík s osou \( y \):

\( f(0) = \frac{0 – 1}{0 + 4} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4} \), bod \( (0, -\frac{1}{4}) \).

Průsečík s osou \( x \) je řešení rovnice \( 2x – 1 = 0 \):

\( 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \), bod \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \).

Svislá asymptota: \( x = -4 \).

Dělení polynomů \( \frac{2x – 1}{x + 4} \):

\( 2x \div x = 2 \), vynásobíme \( 2(x + 4) = 2x + 8 \).

Odečteme: \( (2x – 1) – (2x + 8) = -9 \).

Funkce: \( f(x) = 2 – \frac{9}{x + 4} \), \( x \neq -4 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( 2x – 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2} \).

Průsečík s osou \( y \):

\( f(0) = \frac{0 + 7}{0 – 3} = \frac{7}{-3} = -\frac{7}{3} \), bod \( (0, -\frac{7}{3}) \).

Průsečík s osou \( x \):

\( x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7 \), bod \( (-7, 0) \).

Svislá asymptota: \( x = \frac{3}{2} \).

Dělení polynomů \( \frac{x + 7}{2x – 3} \):

\( x \div 2x = \frac{1}{2} \), vynásobíme \( \frac{1}{2}(2x – 3) = x – \frac{3}{2} \).

Odečteme: \( (x + 7) – \left(x – \frac{3}{2}\right) = 7 + \frac{3}{2} = \frac{17}{2} \).

Funkce: \( f(x) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{17}{2}}{2x – 3} = \frac{1}{2} + \frac{17}{2(2x – 3)} \), \( x \neq \frac{3}{2} \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \).

Průsečík s osou \( y \):

\( f(0) = \frac{0 – 3}{0 + 2} = \frac{-3}{2} \), bod \( (0, -\frac{3}{2}) \).

Průsečík s osou \( x \):

\( 4x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4} \), bod \( \left(\frac{3}{4}, 0\right) \).

Svislá asymptota: \( x = -2 \).

Dělení polynomů \( \frac{4x – 3}{x + 2} \):

\( 4x \div x = 4 \), vynásobíme \( 4(x + 2) = 4x + 8 \).

Odečteme: \( (4x – 3) – (4x + 8) = -11 \).

Funkce: \( f(x) = 4 – \frac{11}{x + 2} \), \( x \neq -2 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( 3x – 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3} \).

Průsečík s osou \( y \):

\( f(0) = \frac{0 + 1}{0 – 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \), bod \( (0, -\frac{1}{2}) \).

Průsečík s osou \( x \):

\( 5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{5} \), bod \( \left(-\frac{1}{5}, 0\right) \).

Svislá asymptota: \( x = \frac{2}{3} \).

Dělení polynomů \( \frac{5x + 1}{3x – 2} \):

\( 5x \div 3x = \frac{5}{3} \), vynásobíme \( \frac{5}{3}(3x – 2) = 5x – \frac{10}{3} \).

Odečteme: \( (5x + 1) – \left(5x – \frac{10}{3}\right) = 1 + \frac{10}{3} = \frac{13}{3} \).

Funkce: \( f(x) = \frac{5}{3} + \frac{\frac{13}{3}}{3x – 2} = \frac{5}{3} + \frac{13}{3(3x – 2)} \), \( x \neq \frac{2}{3} \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( 4x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{4} \).

Průsečík s osou \( y \):

\( f(0) = \frac{0 – 7}{0 + 1} = \frac{-7}{1} = -7 \), bod \( (0, -7) \).

Průsečík s osou \( x \):

\( 6x – 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{6} \), bod \( \left(\frac{7}{6}, 0\right) \).

Svislá asymptota: \( x = -\frac{1}{4} \).

Dělení polynomů \( \frac{6x – 7}{4x + 1} \):

\( 6x \div 4x = \frac{3}{2} \), vynásobíme \( \frac{3}{2}(4x + 1) = 6x + \frac{3}{2} \).

Odečteme: \( (6x – 7) – \left(6x + \frac{3}{2}\right) = -7 – \frac{3}{2} = -\frac{17}{2} \).

Funkce: \( f(x) = \frac{3}{2} – \frac{\frac{17}{2}}{4x + 1} = \frac{3}{2} – \frac{17}{2(4x + 1)} \), \( x \neq -\frac{1}{4} \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5 \).

Průsečík s osou \( y \):

\( f(0) = \frac{0 – 2}{0 + 5} = \frac{-2}{5} = -\frac{2}{5} \), bod \( (0, -\frac{2}{5}) \).

Průsečík s osou \( x \):

\( x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \), bod \( (2, 0) \).

Svislá asymptota: \( x = -5 \).

Dělení polynomů \( \frac{x – 2}{x + 5} \):

\( x \div x = 1 \), vynásobíme \( 1 \cdot (x + 5) = x + 5 \).

Odečteme: \( (x – 2) – (x + 5) = -7 \).

Funkce: \( f(x) = 1 – \frac{7}{x + 5} \), \( x \neq -5 \).

Řešení příkladu:

Vydělíme polynom: dělení \( 2x^2 + 3x – 5 \) děleno \( x + 1 \).

Dělení: \( 2x^2 : x = 2x \), vynásobíme \( 2x(x + 1) = 2x^2 + 2x \), odečteme od čitatele:

\( (2x^2 + 3x – 5) – (2x^2 + 2x) = x – 5 \).

Dále \( x : x = 1 \), vynásobíme \( 1 \cdot (x + 1) = x + 1 \), odečteme:

\( (x – 5) – (x + 1) = -6 \).

Výsledek dělení: \( 2x + 1 + \frac{-6}{x + 1} \).

Funkce lze tedy vyjádřit jako \( f(x) = 2x + 1 – \frac{6}{x + 1} \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).

Svislá asymptota je \( x = -1 \) (dělitel nulou).

Šikmá asymptota je lineární část dělení: \( y = 2x + 1 \).

Průsečík s osou \( y \): dosadíme \( x=0 \Rightarrow f(0) = \frac{0 + 0 – 5}{0 + 1} = -5 \).

Průsečík s osou \( x \) hledáme řešením \( f(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x^2 + 3x – 5}{x + 1} = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3x – 5 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici: diskriminant \( \Delta = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \).

Kořeny: \( x = \frac{-3 \pm 7}{4} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -\frac{5}{2} \).

Průsečíky s osou \( x \) jsou tedy v \( (1,0) \) a \( \left(-\frac{5}{2}, 0\right) \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 3x^2 – 4x + 1 \) děleno \( x – 2 \):

\( 3x^2 : x = 3x \), vynásobíme \( 3x(x – 2) = 3x^2 – 6x \), odečteme:

\( (-4x + 1) – (-6x) = 2x + 1 \).

Dále \( 2x : x = 2 \), vynásobíme \( 2(x – 2) = 2x – 4 \), odečteme:

\( (2x + 1) – (2x – 4) = 5 \).

Výsledek dělení: \( 3x + 2 + \frac{5}{x – 2} \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

Svislá asymptota: \( x = 2 \).

Šikmá asymptota: \( y = 3x + 2 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x = 0 \) platí \( f(0) = \frac{0 – 0 + 1}{-2} = -\frac{1}{2} \).

Průsečík s osou \( x \) hledáme z rovnice \( 3x^2 – 4x + 1 = 0 \).

Diskriminant \( \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 – 12 = 4 \).

Kořeny: \( x = \frac{4 \pm 2}{6} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{3} \).

Průsečíky s osou \( x \) jsou v \( (1,0) \) a \( \left(\frac{1}{3}, 0\right) \).

Řešení příkladu:

Čitatel faktorizujeme: \( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \).

Funkce je tedy \( f(x) = \frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3 \), pro \( x \neq 3 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \).

Svislá asymptota neexistuje, protože faktor \( x-3 \) se vykrátil.

Horizontální ani šikmá asymptota neexistuje, graf je přímka s dírou v \( x=3 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( y=3 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( x+3=0 \Rightarrow x = -3 \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 4x^2 + 5x – 6 \) děleno \( x + 2 \):

\( 4x^2 : x = 4x \), vynásobíme \( 4x(x + 2) = 4x^2 + 8x \), odečteme:

\( (5x – 6) – (8x) = -3x – 6 \).

Dále \( -3x : x = -3 \), vynásobíme \( -3(x + 2) = -3x – 6 \), odečteme:

\( (-3x – 6) – (-3x – 6) = 0 \).

Výsledek dělení: \( 4x – 3 \).

Funkce lze tedy zapsat jako \( f(x) = 4x – 3 \), pro \( x \neq -2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

Svislá asymptota: \( x = -2 \).

Horizontální ani šikmá asymptota neexistuje, protože je to přímka s dírou.

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( y = \frac{0 + 0 – 6}{2} = -3 \) (po ověření přes původní funkci).

Průsečík s osou \( x \) hledáme z \( 4x^2 + 5x – 6 = 0 \).

Diskriminant: \( \Delta = 25 + 96 = 121 \).

Kořeny: \( x = \frac{-5 \pm 11}{8} \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -2 \) (x = -2 není v definičním oboru, takže průsečík je jen \( \frac{3}{2} \)).

Řešení příkladu:

Dělení: \( 5x^2 : x = 5x \), vynásobíme \( 5x(x – 1) = 5x^2 – 5x \), odečteme:

\( (-7x + 2) – (-5x) = -2x + 2 \).

Dále \( -2x : x = -2 \), vynásobíme \( -2(x – 1) = -2x + 2 \), odečteme:

\( (-2x + 2) – (-2x + 2) = 0 \).

Výsledek dělení: \( 5x – 2 \).

Funkce lze tedy vyjádřit jako \( f(x) = 5x – 2 \), pro \( x \neq 1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Svislá asymptota: \( x = 1 \).

Horizontální ani šikmá asymptota neexistuje.

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( y = \frac{0 – 0 + 2}{-1} = -2 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( 5x^2 – 7x + 2 = 0 \).

Diskriminant: \( \Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 – 40 = 9 \).

Kořeny: \( x = \frac{7 \pm 3}{10} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{5} \) (x=1 není v definičním oboru).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 2x^2 + 4x + 2 \) děleno \( x + 1 \):

\( 2x^2 : x = 2x \), vynásobíme \( 2x(x + 1) = 2x^2 + 2x \), odečteme:

\( (4x + 2) – (2x) = 2x + 2 \).

Dále \( 2x : x = 2 \), vynásobíme \( 2(x + 1) = 2x + 2 \), odečteme:

\( (2x + 2) – (2x + 2) = 0 \).

Výsledek dělení: \( 2x + 2 \).

Funkce lze zapsat jako \( f(x) = 2x + 2 \), pro \( x \neq -1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).

Svislá asymptota: \( x = -1 \).

Horizontální ani šikmá asymptota neexistuje.

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( y = \frac{0 + 0 + 2}{1} = 2 \).

Průsečík s osou \( x \) hledáme z rovnice \( 2x^2 + 4x + 2 = 0 \).

Diskriminant: \( \Delta = 16 – 16 = 0 \).

Kořen: \( x = \frac{-4}{4} = -1 \) (není v definičním oboru).

Průsečík s osou \( x \) neexistuje.

Řešení příkladu:

Vydělíme čitatel jmenovatelem pomocí dělení mnohočlenů:

\( \frac{2x^2 + 3x – 2}{x + 1} \Rightarrow \)

První člen: \( 2x^2 : x = 2x \), vynásobíme \( 2x(x+1) = 2x^2 + 2x \), odečteme od čitatele:

\( (2x^2 + 3x – 2) – (2x^2 + 2x) = x – 2 \).

Druhý člen: \( x : x = 1 \), vynásobíme \( 1 \cdot (x+1) = x + 1 \), odečteme:

\( (x – 2) – (x + 1) = -3 \).

Zbytek je \(-3\), tedy

\( f(x) = 2x + 1 + \frac{-3}{x + 1} = 2x + 1 – \frac{3}{x+1} \), \( x \neq -1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).

Svislá asymptota: \( x = -1 \) (místo, kde je jmenovatel 0).

Horizontální asymptota neexistuje (protože stupeň čitatele je vyšší o 1 než jmenovatele).

Šikmá asymptota je dána funkcí \( y = 2x + 1 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x = 0 \) platí \( f(0) = \frac{0 + 0 – 2}{0 + 1} = \frac{-2}{1} = -2 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( f(x) = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3x – 2 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( \Delta = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \Rightarrow \)

\( x = \frac{-3 \pm 5}{4} \Rightarrow x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \).

Průsečíky s osou \( x \) jsou v bodech \( \left(\frac{1}{2},0\right) \) a \( (-2,0) \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 3x^2 – 5x + 2 \) výrazem \( x – 2 \):

První člen: \( 3x^2 : x = 3x \), vynásobíme \( 3x(x – 2) = 3x^2 – 6x \), odečteme:

\( (3x^2 – 5x + 2) – (3x^2 – 6x) = x + 2 \).

Druhý člen: \( x : x = 1 \), vynásobíme \( 1 \cdot (x – 2) = x – 2 \), odečteme:

\( (x + 2) – (x – 2) = 4 \).

Zbytek je 4, tedy

\( f(x) = 3x + 1 + \frac{4}{x – 2} \), \( x \neq 2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

Svislá asymptota: \( x = 2 \).

Šikmá asymptota: \( y = 3x + 1 \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 – 0 + 2}{0 – 2} = \frac{2}{-2} = -1 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 3x^2 – 5x + 2 = 0 \).

\( \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 – 24 = 1 \Rightarrow \)

\( x = \frac{5 \pm 1}{6} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{3} \).

Průsečíky s osou \( x \): \( (1,0) \) a \( \left(\frac{2}{3},0\right) \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( x^2 – 4x + 3 \) výrazem \( x – 3 \):

První člen: \( x^2 : x = x \), vynásobíme \( x(x – 3) = x^2 – 3x \), odečteme:

\( (x^2 – 4x + 3) – (x^2 – 3x) = -x + 3 \).

Druhý člen: \( -x : x = -1 \), vynásobíme \( -1 \cdot (x – 3) = -x + 3 \), odečteme:

\( (-x + 3) – (-x + 3) = 0 \).

Zbytek je 0, tedy

\( f(x) = x – 1 \), \( x \neq 3 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \).

Svislá asymptota neexistuje, protože zbytek je 0.

Horizontální ani šikmá asymptota neexistují, graf je přímka \( y = x – 1 \) bez bodu \( x = 3 \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 – 0 + 3}{0 – 3} = \frac{3}{-3} = -1 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( f(x) = 0 \Rightarrow x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 4x^2 – 1 \) výrazem \( 2x – 1 \):

První člen: \( 4x^2 : 2x = 2x \), vynásobíme \( 2x(2x – 1) = 4x^2 – 2x \), odečteme:

\( (4x^2 – 1) – (4x^2 – 2x) = 2x – 1 \).

Druhý člen: \( 2x : 2x = 1 \), vynásobíme \( 1 \cdot (2x – 1) = 2x – 1 \), odečteme:

\( (2x – 1) – (2x – 1) = 0 \).

Zbytek je 0, tedy

\( f(x) = 2x + 1 \), \( x \neq \frac{1}{2} \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} \).

Svislá asymptota: \( x = \frac{1}{2} \).

Horizontální a šikmá asymptota neexistují.

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 – 1}{0 – 1} = 1 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( 4x^2 – 1 = 0 \Rightarrow 4x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \).

Řešení příkladu:

Čitatel je kvadratický tvar: \( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \).

Funkci zapíšeme jako \( \frac{(x + 1)^2}{x + 1} = x + 1 \), pro \( x \neq -1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).

Graf je přímka \( y = x + 1 \) bez bodu \( x = -1 \).

Svislá asymptota neexistuje.

Horizontální a šikmá asymptota neexistují.

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = 1 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \), což není v definičním oboru, tedy žádný průsečík.

Řešení příkladu:

Dělíme \( 5x^2 – 7x + 2 \) výrazem \( x – 1 \):

První člen: \( 5x^2 : x = 5x \), vynásobíme \( 5x(x – 1) = 5x^2 – 5x \), odečteme:

\( (5x^2 – 7x + 2) – (5x^2 – 5x) = -2x + 2 \).

Druhý člen: \( -2x : x = -2 \), vynásobíme \( -2(x – 1) = -2x + 2 \), odečteme:

\( (-2x + 2) – (-2x + 2) = 0 \).

Zbytek je 0, tedy

\( f(x) = 5x – 2 \), \( x \neq 1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Svislá asymptota: \( x = 1 \).

Horizontální a šikmá asymptota neexistují.

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 – 0 + 2}{0 – 1} = \frac{2}{-1} = -2 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 5x^2 – 7x + 2 = 0 \).

\( \Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 – 40 = 9 \Rightarrow \)

\( x = \frac{7 \pm 3}{10} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \).

Průsečík v \( x = 1 \) není v definičním oboru, takže průsečík je pouze v \( \left(\frac{2}{5}, 0\right) \).

Řešení příkladu:

Vydělíme polynom ve čitateli polynomem ve jmenovateli:

\( \frac{2x^2 + 3x – 2}{x + 1} \Rightarrow \)

První člen: \( \frac{2x^2}{x} = 2x \), vynásobíme \( 2x(x+1) = 2x^2 + 2x \).

Odečteme: \( (2x^2 + 3x – 2) – (2x^2 + 2x) = x – 2 \).

Dále: \( \frac{x}{x} = 1 \), vynásobíme \( 1 \cdot (x+1) = x + 1 \).

Odečteme: \( (x – 2) – (x + 1) = -3 \).

Zbytek je \( -3 \), proto:

\( f(x) = 2x + 1 – \frac{3}{x+1} \), pro \( x \neq -1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).

Svislá asymptota: \( x = -1 \).

Šikmá asymptota: \( y = 2x + 1 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \Rightarrow f(0) = \frac{0 + 0 – 2}{0+1} = \frac{-2}{1} = -2 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( f(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x^2 + 3x – 2}{x + 1} = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3x – 2 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

Diskriminant: \( \Delta = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).

Kořeny: \( x = \frac{-3 \pm 5}{4} \Rightarrow x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \).

Průsečíky s osou \( x \) jsou \( x = \frac{1}{2} \) a \( x = -2 \), oba v definičním oboru.

Řešení příkladu:

Vydělíme: \( \frac{x^2 – 4}{x – 3} \).

První člen: \( \frac{x^2}{x} = x \), vynásobíme \( x(x – 3) = x^2 – 3x \).

Odečteme: \( (x^2 – 4) – (x^2 – 3x) = 3x – 4 \).

Dále: \( \frac{3x}{x} = 3 \), vynásobíme \( 3(x – 3) = 3x – 9 \).

Odečteme: \( (3x – 4) – (3x – 9) = 5 \).

Zbytek je 5, proto:

\( f(x) = x + 3 + \frac{5}{x – 3} \), pro \( x \neq 3 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \).

Svislá asymptota: \( x = 3 \).

Šikmá asymptota: \( y = x + 3 \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 – 4}{0 – 3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( x^2 – 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 2, -2 \).

Řešení příkladu:

Vydělíme: \( \frac{3x^2 – x + 2}{x + 2} \).

První člen: \( \frac{3x^2}{x} = 3x \), vynásobíme \( 3x(x+2) = 3x^2 + 6x \).

Odečteme: \( (3x^2 – x + 2) – (3x^2 + 6x) = -7x + 2 \).

Dále: \( \frac{-7x}{x} = -7 \), vynásobíme \( -7(x + 2) = -7x – 14 \).

Odečteme: \( (-7x + 2) – (-7x – 14) = 16 \).

Zbytek je 16, tedy:

\( f(x) = 3x – 7 + \frac{16}{x + 2} \), pro \( x \neq -2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

Svislá asymptota: \( x = -2 \).

Šikmá asymptota: \( y = 3x – 7 \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 – 0 + 2}{0 + 2} = \frac{2}{2} = 1 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( 3x^2 – x + 2 = 0 \).

Diskriminant: \( \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 – 24 = -23 < 0 \), žádné reálné kořeny.

Funkce nemá průsečíky s osou \( x \).

Řešení příkladu:

Vydělíme: \( \frac{x^2 + 4x + 3}{x – 1} \).

První člen: \( \frac{x^2}{x} = x \), vynásobíme \( x(x-1) = x^2 – x \).

Odečteme: \( (x^2 + 4x + 3) – (x^2 – x) = 5x + 3 \).

Dále: \( \frac{5x}{x} = 5 \), vynásobíme \( 5(x-1) = 5x – 5 \).

Odečteme: \( (5x + 3) – (5x – 5) = 8 \).

Zbytek je 8, tedy:

\( f(x) = x + 5 + \frac{8}{x – 1} \), pro \( x \neq 1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Svislá asymptota: \( x = 1 \).

Šikmá asymptota: \( y = x + 5 \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 + 0 + 3}{0 – 1} = \frac{3}{-1} = -3 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( x^2 + 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -1, -3 \).

Řešení příkladu:

Vydělíme: \( \frac{4x^2 – x – 3}{x + 2} \).

První člen: \( \frac{4x^2}{x} = 4x \), vynásobíme \( 4x(x + 2) = 4x^2 + 8x \).

Odečteme: \( (4x^2 – x – 3) – (4x^2 + 8x) = -9x – 3 \).

Dále: \( \frac{-9x}{x} = -9 \), vynásobíme \( -9(x + 2) = -9x – 18 \).

Odečteme: \( (-9x – 3) – (-9x – 18) = 15 \).

Zbytek je 15, tedy:

\( f(x) = 4x – 9 + \frac{15}{x + 2} \), pro \( x \neq -2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

Svislá asymptota: \( x = -2 \).

Šikmá asymptota: \( y = 4x – 9 \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 – 0 – 3}{0 + 2} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2} \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( 4x^2 – x – 3 = 0 \).

Diskriminant: \( \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \).

Kořeny: \( x = \frac{1 \pm 7}{8} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -\frac{3}{4} \).

Řešení příkladu:

Vydělíme: \( \frac{x^2 + 2x – 8}{x – 4} \).

První člen: \( \frac{x^2}{x} = x \), vynásobíme \( x(x – 4) = x^2 – 4x \).

Odečteme: \( (x^2 + 2x – 8) – (x^2 – 4x) = 6x – 8 \).

Dále: \( \frac{6x}{x} = 6 \), vynásobíme \( 6(x – 4) = 6x – 24 \).

Odečteme: \( (6x – 8) – (6x – 24) = 16 \).

Zbytek je 16, tedy:

\( f(x) = x + 6 + \frac{16}{x – 4} \), pro \( x \neq 4 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{4\} \).

Svislá asymptota: \( x = 4 \).

Šikmá asymptota: \( y = x + 6 \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 + 0 – 8}{0 – 4} = \frac{-8}{-4} = 2 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( x^2 + 2x – 8 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-2) = 0 \Rightarrow x = -4, 2 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x \neq 1 \), protože v jmenovateli nesmí být nula.

Průsečík s osou \( y \): pro \( x = 0 \) je \( f(0) = \frac{3}{-1} = -3 \), tedy bod \( (0, -3) \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( \frac{2x + 3}{x – 1} = 0 \Rightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \), tedy bod \( \left(-\frac{3}{2}, 0\right) \).

Svislá asymptota: vzniká, když jmenovatel je nula, tedy \( x = 1 \).

Šikmá asymptota: protože stupeň čitatele a jmenovatele jsou 1, provedeme dělení:

\( \frac{2x + 3}{x – 1} = 2 + \frac{5}{x – 1} \Rightarrow \) šikmá asymptota je \( y = 2 \).

Horizontální asymptota neexistuje (nahrazuje ji šikmá asymptota).

Řešení příkladu:

Čitatel rozložíme: \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \).

Funkci zjednodušíme na \( \frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = x + 2 \), pro \( x \neq 2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

Graf je přímka \( y = x + 2 \) bez bodu \( x = 2 \), kde je dělení nulou.

Svislá asymptota neexistuje.

Horizontální a šikmá asymptota neexistují.

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = 2 \), tedy bod \( (0, 2) \).

Průsečík s osou \( x \): \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \), tedy bod \( (-2, 0) \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x \neq -4 \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4} \), bod \( (0, -\frac{1}{4}) \).

Průsečík s osou \( x \): \( \frac{3x – 1}{x + 4} = 0 \Rightarrow 3x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \), bod \( \left(\frac{1}{3}, 0\right) \).

Svislá asymptota: \( x = -4 \).

Šikmá asymptota: dělením \( \frac{3x – 1}{x + 4} \) získáme:

\( 3x – 1 = 3(x + 4) – 13 \Rightarrow \frac{3x – 1}{x + 4} = 3 – \frac{13}{x + 4} \Rightarrow \) šikmá asymptota \( y = 3 \).

Řešení příkladu:

Čitatel rozložíme: \( x^2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) \).

Funkci zjednodušíme na \( \frac{(x – 3)(x + 2)}{x – 3} = x + 2 \), pro \( x \neq 3 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \).

Graf je přímka \( y = x + 2 \) bez bodu \( x = 3 \).

Svislá asymptota neexistuje.

Horizontální a šikmá asymptota neexistují.

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = 2 \), bod \( (0, 2) \).

Průsečík s osou \( x \): \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \), bod \( (-2, 0) \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x \neq \frac{1}{2} \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{5}{-1} = -5 \), bod \( (0, -5) \).

Průsečík s osou \( x \): \( \frac{4x + 5}{2x – 1} = 0 \Rightarrow 4x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{4} \), bod \( \left(-\frac{5}{4}, 0\right) \).

Svislá asymptota: \( x = \frac{1}{2} \).

Šikmá asymptota: dělením \( \frac{4x + 5}{2x – 1} \) dostaneme:

\( 4x + 5 = 2(2x – 1) + 7 \Rightarrow \frac{4x + 5}{2x – 1} = 2 + \frac{7}{2x – 1} \), tedy šikmá asymptota je \( y = 2 \).

Řešení příkladu:

Čitatel rozložíme: \( x^2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) \).

Funkci zjednodušíme na \( \frac{(x + 3)(x + 2)}{x + 2} = x + 3 \), pro \( x \neq -2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

Graf je přímka \( y = x + 3 \) bez bodu \( x = -2 \).

Svislá asymptota neexistuje.

Horizontální a šikmá asymptota neexistují.

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = 3 \), bod \( (0, 3) \).

Průsečík s osou \( x \): \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \), bod \( (-3, 0) \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x \neq -1 \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{-2}{1} = -2 \), bod \( (0, -2) \).

Průsečík s osou \( x \): \( \frac{5x – 2}{x + 1} = 0 \Rightarrow 5x – 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} \), bod \( \left(\frac{2}{5}, 0\right) \).

Svislá asymptota: \( x = -1 \).

Šikmá asymptota: dělením získáme:

\( 5x – 2 = 5(x + 1) – 7 \Rightarrow \frac{5x – 2}{x + 1} = 5 – \frac{7}{x + 1} \), šikmá asymptota je \( y = 5 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: \( x \neq 1 \).

Dělíme polynom: provádíme dělení \( 2x^2 + 3x – 2 \) děleno \( x – 1 \).

1. krok: \( 2x^2 : x = 2x \), násobíme \( 2x(x – 1) = 2x^2 – 2x \).

Odečteme: \( (2x^2 + 3x – 2) – (2x^2 – 2x) = 5x – 2 \).

2. krok: \( 5x : x = 5 \), násobíme \( 5(x – 1) = 5x – 5 \).

Odečteme: \( (5x – 2) – (5x – 5) = 3 \).

Zbytek je 3, tedy \( \frac{2x^2 + 3x – 2}{x – 1} = 2x + 5 + \frac{3}{x – 1} \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 + 0 – 2}{-1} = 2 \), bod \( (0, 2) \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 2x^2 + 3x – 2 = 0 \).

Diskriminant: \( \Delta = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).

Kořeny: \( x = \frac{-3 \pm 5}{4} \Rightarrow x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \).

Průsečíky jsou \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) a \( (-2, 0) \).

Svislá asymptota: \( x = 1 \).

Šikmá asymptota: \( y = 2x + 5 \).

Řešení příkladu:

Provedeme dělení mnohočlenů \( 5x^2 – 7x + 2 \) výrazem \( x – 2 \):

\( 5x^2 \div x = 5x \), násobíme \( 5x(x – 2) = 5x^2 – 10x \).

Odečteme: \( (5x^2 – 7x + 2) – (5x^2 – 10x) = 3x + 2 \).

\( 3x \div x = 3 \), násobíme \( 3(x – 2) = 3x – 6 \).

Odečteme: \( (3x + 2) – (3x – 6) = 8 \).

Celý podíl je tedy \( 5x + 3 + \frac{8}{x – 2} \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

Svislá asymptota je na \( x = 2 \).

Šikmá asymptota je přímka \( y = 5x + 3 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \) je \( f(0) = \frac{0 – 0 + 2}{0 – 2} = \frac{2}{-2} = -1 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 5x^2 – 7x + 2 = 0 \).

Diskriminant: \( \Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 – 40 = 9 \).

Kořeny: \( x = \frac{7 \pm 3}{10} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = \frac{4}{10} = 0{,}4 \).

Oba kořeny jsou v definičním oboru, průsečíky jsou tedy v bodech \( (1, 0) \) a \( \left(0{,}4, 0\right) \).

Řešení příkladu:

Čitatel rozložíme: \( x^2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) \).

Funkce je tedy \( f(x) = \frac{(x + 3)(x – 1)}{x – 1} = x + 3 \), pro \( x \neq 1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

V bodě \( x=1 \) je dělení nulou, ale čitatel i jmenovatel mají faktor \( (x – 1) \), takže jde o odstranitelné nespojitosti – žádná svislá asymptota.

Horizontální či šikmá asymptota neexistuje, protože funkce je lineární s dírou v \( x=1 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = 0 + 3 = 3 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \), což je platné.

Řešení příkladu:

Dělíme \( 2x^2 + 3x – 2 \) jmenovatelem \( x + 2 \):

\( 2x^2 \div x = 2x \), \( 2x \cdot (x + 2) = 2x^2 + 4x \).

Odečteme: \( (2x^2 + 3x – 2) – (2x^2 + 4x) = -x – 2 \).

\( -x \div x = -1 \), \(-1 \cdot (x + 2) = -x – 2 \).

Odečteme: \( (-x – 2) – (-x – 2) = 0 \).

Zbytek 0, tedy

\( f(x) = 2x – 1 \), pro \( x \neq -2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

V \( x = -2 \) je dělení nulou, ale protože je zbytek 0, jde o odstranitelné nespojitosti, asymptota neexistuje.

Horizontální i šikmá asymptota neexistují, je to lineární funkce s dírou.

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = 2\cdot0 -1 = -1 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 2x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \).

Řešení příkladu:

Dělíme polynom \( 3x^2 – x + 2 \) jmenovatelem \( x – 3 \):

\( 3x^2 \div x = 3x \), \( 3x \cdot (x – 3) = 3x^2 – 9x \).

Odečteme: \( (3x^2 – x + 2) – (3x^2 – 9x) = 8x + 2 \).

\( 8x \div x = 8 \), \( 8 \cdot (x – 3) = 8x – 24 \).

Odečteme: \( (8x + 2) – (8x – 24) = 26 \).

Zbytek \( 26 \), tedy

\( f(x) = 3x + 8 + \frac{26}{x – 3} \), pro \( x \neq 3 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \).

Svislá asymptota: \( x = 3 \).

Šikmá asymptota: \( y = 3x + 8 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = \frac{0 – 0 + 2}{0 – 3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 3x^2 – x + 2 = 0 \).

Diskriminant: \( (-1)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 – 24 = -23 < 0 \), tedy žádné průsečíky s osou \( x \).

Řešení příkladu:

Dělíme polynom \( 5x^2 – 4x + 1 \) jmenovatelem \( x + 1 \):

\( 5x^2 \div x = 5x \), \( 5x \cdot (x + 1) = 5x^2 + 5x \).

Odečteme: \( (5x^2 – 4x + 1) – (5x^2 + 5x) = -9x + 1 \).

\( -9x \div x = -9 \), \( -9 \cdot (x + 1) = -9x – 9 \).

Odečteme: \( (-9x + 1) – (-9x – 9) = 10 \).

Zbytek 10, tedy

\( f(x) = 5x – 9 + \frac{10}{x + 1} \), pro \( x \neq -1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).

Svislá asymptota: \( x = -1 \).

Šikmá asymptota: \( y = 5x – 9 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = \frac{0 – 0 + 1}{0 + 1} = 1 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 5x^2 – 4x + 1 = 0 \).

Diskriminant: \( (-4)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16 – 20 = -4 < 0 \), tedy žádné průsečíky s osou \( x \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 6x^2 + x – 5 \) jmenovatelem \( 2x – 3 \):

\( 6x^2 \div 2x = 3x \), \( 3x \cdot (2x – 3) = 6x^2 – 9x \).

Odečteme: \( (6x^2 + x – 5) – (6x^2 – 9x) = 10x – 5 \).

\( 10x \div 2x = 5 \), \( 5 \cdot (2x – 3) = 10x – 15 \).

Odečteme: \( (10x – 5) – (10x – 15) = 10 \).

Zbytek 10, tedy

\( f(x) = 3x + 5 + \frac{10}{2x – 3} \), pro \( x \neq \frac{3}{2} \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\} \).

Svislá asymptota: \( x = \frac{3}{2} \).

Šikmá asymptota: \( y = 3x + 5 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = \frac{0 + 0 – 5}{0 – 3} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 6x^2 + x – 5 = 0 \).

Diskriminant: \( 1^2 – 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 1 + 120 = 121 \).

Kořeny: \( x = \frac{-1 \pm 11}{12} \Rightarrow x_1 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}, x_2 = \frac{-12}{12} = -1 \).

Řešení příkladu:

Rozložíme čitatel: \( x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) \).

Funkce je tedy \( f(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{x – 2} = x – 1 \), pro \( x \neq 2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

V bodě \( x=2 \) je odstranitelné singularita (díra), asymptota neexistuje.

Horizontální ani šikmá asymptota neexistují, protože jde o lineární funkci s dírou.

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = 0 – 1 = -1 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 2x^2 + 7x + 3 \) jmenovatelem \( x + 3 \):

\( 2x^2 \div x = 2x \), \( 2x \cdot (x + 3) = 2x^2 + 6x \).

Odečteme: \( (2x^2 + 7x + 3) – (2x^2 + 6x) = x + 3 \).

\( x \div x = 1 \), \( 1 \cdot (x + 3) = x + 3 \).

Odečteme: \( (x + 3) – (x + 3) = 0 \).

Výsledek: \( f(x) = 2x + 1 \), pro \( x \neq -3 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-3\} \).

V \( x = -3 \) je odstranitelné singularita, žádná asymptota.

Horizontální či šikmá asymptota neexistují.

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = 1 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 4x^2 – x – 6 \) jmenovatelem \( 2x + 3 \):

\( 4x^2 \div 2x = 2x \), \( 2x \cdot (2x + 3) = 4x^2 + 6x \).

Odečteme: \( (4x^2 – x – 6) – (4x^2 + 6x) = -7x – 6 \).

\( -7x \div 2x = -\frac{7}{2} \), \( -\frac{7}{2} \cdot (2x + 3) = -7x – \frac{21}{2} \).

Odečteme: \( (-7x – 6) – (-7x – \frac{21}{2}) = \frac{21}{2} – 6 = \frac{9}{2} \).

Zbytek \( \frac{9}{2} \), tedy

\( f(x) = 2x – \frac{7}{2} + \frac{\frac{9}{2}}{2x + 3} = 2x – \frac{7}{2} + \frac{9}{2(2x + 3)} \), pro \( x \neq -\frac{3}{2} \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{3}{2} \right\} \).

Svislá asymptota: \( x = -\frac{3}{2} \).

Šikmá asymptota: \( y = 2x – \frac{7}{2} \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = \frac{0 – 0 – 6}{0 + 3} = \frac{-6}{3} = -2 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 4x^2 – x – 6 = 0 \).

Diskriminant: \( (-1)^2 – 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 1 + 96 = 97 \).

Kořeny: \( x = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{8} \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 3x^2 + 2x + 1 \) jmenovatelem \( x – 1 \):

\( 3x^2 \div x = 3x \), \( 3x \cdot (x – 1) = 3x^2 – 3x \).

Odečteme: \( (3x^2 + 2x + 1) – (3x^2 – 3x) = 5x + 1 \).

\( 5x \div x = 5 \), \( 5 \cdot (x – 1) = 5x – 5 \).

Odečteme: \( (5x + 1) – (5x – 5) = 6 \).

Zbytek 6, tedy

\( f(x) = 3x + 5 + \frac{6}{x – 1} \), pro \( x \neq 1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Svislá asymptota: \( x = 1 \).

Šikmá asymptota: \( y = 3x + 5 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = \frac{0 + 0 + 1}{0 – 1} = -1 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 3x^2 + 2x + 1 = 0 \).

Diskriminant: \( 2^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 – 12 = -8 \), žádné reálné kořeny.

Funkce nemá průsečíky s osou \( x \).

Řešení příkladu:

Rozložíme čitatel: \( x^2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) \).

Funkce je tedy \( f(x) = \frac{(x + 3)(x + 1)}{x + 1} = x + 3 \), pro \( x \neq -1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).

V \( x = -1 \) je odstranitelné singularita (díra), asymptota neexistuje.

Horizontální ani šikmá asymptota neexistují, protože jde o lineární funkci s dírou.

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = 3 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 5x^2 – 7x + 2 \) jmenovatelem \( x – 2 \):

\( 5x^2 \div x = 5x \), \( 5x \cdot (x – 2) = 5x^2 – 10x \).

Odečteme: \( (5x^2 – 7x + 2) – (5x^2 – 10x) = 3x + 2 \).

\( 3x \div x = 3 \), \( 3 \cdot (x – 2) = 3x – 6 \).

Odečteme: \( (3x + 2) – (3x – 6) = 8 \).

Zbytek 8, tedy

\( f(x) = 5x + 3 + \frac{8}{x – 2} \), pro \( x \neq 2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

Svislá asymptota: \( x = 2 \).

Šikmá asymptota: \( y = 5x + 3 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \), \( f(0) = \frac{0 – 0 + 2}{0 – 2} = -1 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 5x^2 – 7x + 2 = 0 \).

Diskriminant: \( (-7)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 – 40 = 9 \).

Kořeny: \( x = \frac{7 \pm 3}{10} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).

Řešení příkladu:

Vydělíme \( 2x^2 + 3x – 2 \) výrazem \( x + 1 \) pomocí dělení mnohočlenů.

\( 2x^2 \div x = 2x \), násobíme \( 2x(x+1) = 2x^2 + 2x \).

Odečteme: \( (2x^2 + 3x – 2) – (2x^2 + 2x) = x – 2 \).

\( x \div x = 1 \), násobíme \( 1 \cdot (x+1) = x + 1 \).

Odečteme: \( (x – 2) – (x + 1) = -3 \).

Celý podíl: \( 2x + 1 + \frac{-3}{x+1} \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).

Svislá asymptota je na \( x = -1 \).

Šikmá asymptota je \( y = 2x + 1 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \) je \( y = \frac{0+0-2}{0+1} = -2 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( \frac{2x^2 + 3x – 2}{x+1} = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3x – 2 = 0 \).

Diskriminant: \( \Delta = 9 + 16 = 25 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm 5}{4} \Rightarrow x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \).

Řešení příkladu:

Čitatel rozložíme: \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \).

Funkci zapíšeme jako \( \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \), pro \( x \neq 2 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

Svislá asymptota neexistuje, protože členy \( x – 2 \) se zkrátí.

Horizontální asymptota také neexistuje, protože graf je přímka s dírou v \( x=2 \).

Průsečík s osou \( y \): pro \( x=0 \) je \( y = 2 \).

Průsečík s osou \( x \): hledáme \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \).

Řešení příkladu:

Dělíme \( 3x^2 + x + 1 \) výrazem \( x – 1 \):

\( 3x^2 \div x = 3x \), násobíme \( 3x(x-1) = 3x^2 – 3x \).

Odečteme: \( (3x^2 + x + 1) – (3x^2 – 3x) = 4x + 1 \).

\( 4x \div x = 4 \), násobíme \( 4(x – 1) = 4x – 4 \).

Odečteme: \( (4x + 1) – (4x – 4) = 5 \).

Celý podíl: \( 3x + 4 + \frac{5}{x-1} \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Svislá asymptota: \( x = 1 \).

Šikmá asymptota: \( y = 3x + 4 \).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{0 + 0 + 1}{0 – 1} = -1 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 3x^2 + x + 1 = 0 \), diskriminant je \( \Delta = 1 – 12 = -11 < 0 \), žádné reálné průsečíky s osou \( x \).

Řešení příkladu:

Čitatel je \( (x – 1)^2 \), takže funkce je \( \frac{(x-1)^2}{x-1} = x – 1 \) pro \( x \neq 1 \).

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Funkce je lineární s dírou v \( x=1 \), žádné svislé asymptoty.

Horizontální a šikmá asymptota neexistuje.

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = -1 \).

Průsečík s osou \( x \): \( x – 1 = 0 \Rightarrow x=1 \), ale \( x=1 \) není v definičním oboru, tedy průsečík není.

Řešení příkladu:

Vydělíme \( 4x^2 – 9 \) výrazem \( 2x – 3 \):

\( 4x^2 \div 2x = 2x \), násobíme \( 2x (2x – 3) = 4x^2 – 6x \).

Odečteme: \( (4x^2 – 9) – (4x^2 – 6x) = 6x – 9 \).

\( 6x \div 2x = 3 \), násobíme \( 3 (2x – 3) = 6x – 9 \).

Odečteme: \( (6x – 9) – (6x – 9) = 0 \).

Podíl je \( 2x + 3 \), zbytek 0.

Definiční obor: \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\} \).

Svislá asymptota je \( x = \frac{3}{2} \).

Horizontální ani šikmá asymptota neexistují (protože zbytek je 0 a funkce je polynom mimo díru).

Průsečík s osou \( y \): \( f(0) = \frac{-9}{-3} = 3 \).

Průsečík s osou \( x \): řešíme \( 4x^2 – 9 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{3}{2} \), ale \( x = \frac{3}{2} \) není v definičním oboru, tedy průsečík je pouze \( x = -\frac{3}{2} \).