Lineární nerovnice

Řešení:

Nejprve přičteme 5 na obě strany:

\[ 3x – 5 + 5 > 7 + 5 \Rightarrow 3x > 12 \]

Poté vydělíme obě strany číslem 3:

\[ x > \frac{12}{3} \Rightarrow x > 4 \]

Řešení:

Odečteme 8 od obou stran:

\[ -2x + 8 – 8 \leq 4 – 8 \Rightarrow -2x \leq -4 \]

Vydělíme obě strany číslem -2. Při dělení záporným číslem se nerovnost obrací:

\[ x \geq 2 \]

Řešení:

Odečteme 1:

\[ \frac{x}{4} < 2 \]

Vynásobíme 4:

\[ x < 8 \]

Řešení:

Přesuneme všechny členy na jednu stranu:

\[ 5 – x – 2x – 8 \geq 0 \Rightarrow -3x – 3 \geq 0 \]

Přičteme 3:

\[ -3x \geq 3 \]

Vydělíme -3 (obracíme znaménko):

\[ x \leq -1 \]

Řešení:

Rozečteme závorku:

\[ 2x – 6 < x + 1 \]

Odečteme x:

\[ x – 6 < 1 \]

Přičteme 6:

\[ x < 7 \]

Řešení:

Rozečteme pravou stranu:

\[ 4x + 1 \geq 2x + 6 \]

Odečteme 2x a 1:

\[ 2x \geq 5 \Rightarrow x \geq \frac{5}{2} \]

Řešení:

Vynásobíme 3:

\[ 2x – 1 \leq 3 \]

Přičteme 1:

\[ 2x \leq 4 \]

Vydělíme 2:

\[ x \leq 2 \]

Řešení:

Odečteme 3x a přičteme 4:

\[ 4x < 12 \Rightarrow x < 3 \]

Řešení:

Odečteme 3:

\[ -\frac{x}{2} > -2 \]

Vynásobíme -2 (obracíme znaménko):

\[ x < 4 \]

Řešení:

Rozečteme závorky:

\[ 3x – 6 \geq 2x + 2 + 1 \Rightarrow 3x – 6 \geq 2x + 3 \]

Odečteme 2x a přičteme 6:

\[ x \geq 9 \]

Řešení:

Nejprve roznásobíme výrazy v závorce:

\[ 2(3x – 4) = 6x – 8 \]

Celá levá strana je tedy:

\[ 6x – 8 – x = 5x – 8 \]

Máme tedy nerovnici:

\[ 5x – 8 > 5x + 1 \]

Odečteme \(5x\) z obou stran:

\[ -8 > 1 \]

To není pravda. Nerovnice nemá řešení.

Řešení: Nerovnice je nesplnitelná, nemá žádné řešení.

Řešení:

Nejprve odstraníme zlomky vynásobením obou stran nejmenším společným násobkem jmenovatelů, tedy číslem 12:

\[ 12 \cdot \left(\frac{3x – 2}{4}\right) \leq 12 \cdot \left(\frac{2x + 1}{3}\right) \]

Po úpravě dostáváme:

\[ 3 \cdot (3x – 2) \leq 4 \cdot (2x + 1) \Rightarrow 9x – 6 \leq 8x + 4 \]

Odečteme \(8x\) a přičteme 6:

\[ x \leq 10 \]

Řešení:

Rozeznásobíme závorky:

\[ 5x + 10 – 3x + 3 = 2x + 13 \]

Dosadíme zpět do nerovnice:

\[ 2x + 13 < 4x + 10 \]

Odečteme \(2x\) a \(10\):

\[ 3 < 2x \Rightarrow x > \frac{3}{2} \]

Řešení:

Nejprve najdeme společný jmenovatel, kterým je 15:

\[ \frac{2x + 1}{5} = \frac{3(2x + 1)}{15},\quad \frac{x – 2}{3} = \frac{5(x – 2)}{15},\quad \frac{1}{15} = \frac{1}{15} \]

Dosadíme do nerovnice:

\[ \frac{3(2x + 1) – 5(x – 2)}{15} \geq \frac{1}{15} \]

Roznásobíme čitatele:

\[ \frac{6x + 3 – 5x + 10}{15} \geq \frac{1}{15} \Rightarrow \frac{x + 13}{15} \geq \frac{1}{15} \]

Protože jmenovatele jsou stejné, porovnáme čitatele:

\[ x + 13 \geq 1 \Rightarrow x \geq -12 \]

Řešení:

Máme složenou nerovnici, kterou rozdělíme na dvě části:

1. \( 2x – 3 < 4 - x \)

2. \( 4 – x \leq 3x + 1 \)

Řešíme první část:

\[ 2x + x < 4 + 3 \Rightarrow 3x < 7 \Rightarrow x < \frac{7}{3} \]

Řešíme druhou část:

\[ 4 – x \leq 3x + 1 \Rightarrow 4 – 1 \leq 3x + x \Rightarrow 3 \leq 4x \Rightarrow x \geq \frac{3}{4} \]

Spojením dostaneme výsledek:

\[ \frac{3}{4} \leq x < \frac{7}{3} \]

Řešení:

Nejprve upravíme pravou stranu:

\[ 2(x + 1) – 4 = 2x + 2 – 4 = 2x – 2 \]

Nerovnice je pak:

\[ 3x – 2 > 2x – 2 \]

Odečteme \(2x\):

\[ x > 0 \]

Řešení:

Najdeme společný jmenovatel, tedy 4:

\[ \frac{5 – x}{2} = \frac{2(5 – x)}{4} = \frac{10 – 2x}{4} \]

Máme tedy:

\[ \frac{10 – 2x + 3x}{4} < 3 \Rightarrow \frac{10 + x}{4} < 3 \]

Vynásobíme 4:

\[ 10 + x < 12 \Rightarrow x < 2 \]

Řešení:

Nejprve upravíme levou stranu:

\[ 4 – 2x – 2 = 2 – 2x \]

Nerovnice je:

\[ 2 – 2x \geq x – 1 \]

Přičteme \(2x\) a \(1\):

\[ 3 \geq 3x \Rightarrow x \leq 1 \]

Řešení:

Uvědomíme si, že výraz není definovaný pro \(x = 1\), protože bychom dělili nulou.

Odečteme 1 z obou stran:

\[ \frac{x + 2}{x – 1} – 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{x + 2 – (x – 1)}{x – 1} \leq 0 \Rightarrow \frac{3}{x – 1} \leq 0 \]

To znamená, že jmenovatel musí být záporný:

\[ x – 1 < 0 \Rightarrow x < 1 \]

Řešení je: \( x < 1 \), \( x \neq 1 \)

Řešení:

Rozdělíme absolutní hodnotu na dvě nerovnice:

\[ 2x – 3 > 5 \quad \text{nebo} \quad 2x – 3 < -5 \]

Řešíme obě:

První:

\[ 2x > 8 \Rightarrow x > 4 \]

Druhá:

\[ 2x < -2 \Rightarrow x < -1 \]

Výsledek je:

\[ x < -1 \quad \text{nebo} \quad x > 4 \]

Řešení:

Odčítame \(3x\):

\[ x – 7 > 2 \Rightarrow x > 9 \]

Řešení:

Nájdeme spoločný menovateľ, vynásobíme rovnicu číslom 6:

\[ 6 \cdot \left( \frac{2x – 1}{3} + 1 \right) < 6 \cdot \frac{x + 4}{2} \Rightarrow 2(2x - 1) + 6 < 3(x + 4) \]

\[ 4x – 2 + 6 < 3x + 12 \Rightarrow 4x + 4 < 3x + 12 \Rightarrow x < 8 \]

Řešení:

Roznásobíme zátvorku:

\[ 7 – 2x – 6 \geq x – 1 \Rightarrow 1 – 2x \geq x – 1 \Rightarrow 2 \geq 3x \Rightarrow x \leq \frac{2}{3} \]

Řešení:

Spoločný menovateľ je 4:

\[ 2(x + 5) > 2x – 3 \Rightarrow 2x + 10 > 2x – 3 \Rightarrow 10 > -3 \quad \text{vždy pravda} \]

Riešenie: Nerovnica platí pre všetky reálne čísla.

Řešení:

Roznásobíme:

\[ 3x – 12 + 2 \leq 2x + 1 \Rightarrow 3x – 10 \leq 2x + 1 \Rightarrow x \leq 11 \]

Řešení:

Spoločný násobok je 6, vynásobíme:

\[ 2(4x + 1) \leq 3(2x – 2) \Rightarrow 8x + 2 \leq 6x – 6 \Rightarrow 2x \leq -8 \Rightarrow x \leq -4 \]

Řešení:

\[ 5 – x < 2 - 2x \Rightarrow 5 + x < 2 \Rightarrow x < -3 \]

Řešení:

Podmienka: \( x \neq -1 \)

Odčítame 1: \( \frac{2x – 3}{x + 1} – 1 > 0 \Rightarrow \frac{2x – 3 – (x + 1)}{x + 1} > 0 \Rightarrow \frac{x – 4}{x + 1} > 0 \)

Určíme nulové body: čitateľ 0 pri \(x = 4\), menovateľ 0 pri \(x = -1\)

Analyzujeme intervaly: riešenie je \( -1 < x < 4 \)

Řešení:

Rozdelíme absolútnu hodnotu:

\[ -3 \leq x + 2 \leq 3 \Rightarrow -5 \leq x \leq 1 \]

Řešení:

Rozdelíme absolútnu hodnotu:

\[ 3x – 2 > 7 \quad \text{alebo} \quad 3x – 2 < -7 \]

Prvá: \( x > 3 \), druhá: \( x < -\frac{5}{3} \)

Výsledok: \( x < -\frac{5}{3} \quad \text{alebo} \quad x > 3 \)

Řešení:

Nejprve se snažíme převést všechny členy s neznámou na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ 4x – 7 \leq 2x + 5 \]

Odečteme \(2x\) z obou stran:

\[ 2x – 7 \leq 5 \]

Poté přičteme 7 k oběma stranám:

\[ 2x \leq 12 \]

Vydělíme obě strany 2:

\[ x \leq 6 \]

Výsledek: \( x \leq 6 \)

Řešení:

Nejprve roznásobíme závorky:

\[ 3x + 6 > 2x – 2 + 4 \]

Sečteme členy na pravé straně:

\[ 3x + 6 > 2x + 2 \]

Odečteme \(2x\) z obou stran:

\[ x + 6 > 2 \]

Odečteme 6:

\[ x > -4 \]

Výsledek: \( x > -4 \)

Řešení:

Najdeme společný jmenovatel, což je 4, a vynásobíme celou nerovnici 4:

\[ 4 \cdot \left( \frac{2x – 5}{4} + 1 \right) \geq 4 \cdot \frac{x + 3}{2} \]

\[ (2x – 5) + 4 \geq 2(x + 3) \]

Sečteme levou stranu:

\[ 2x – 1 \geq 2x + 6 \]

Odečteme \(2x\) z obou stran:

\[ -1 \geq 6 \]

Toto není pravda – nerovnice nemá žádné řešení.

Výsledek: Nerovnice nemá řešení.

Řešení:

Nejprve roznásobíme závorky:

\[ -2x + 8 < 3x + 3 \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

Odečteme \(3x\):

\[ -5x + 8 < 3 \]

Odečteme 8:

\[ -5x < -5 \]

Vydělíme obě strany -5. POZOR! Při dělení záporným číslem obracíme znaménko nerovnosti:

\[ x > 1 \]

Výsledek: \( x > 1 \)

Řešení:

Společný jmenovatel je 6. Vynásobíme celou nerovnici 6:

\[ 6 \cdot \frac{5x + 2}{3} \leq 6 \cdot \frac{3x – 4}{2} \Rightarrow 2(5x + 2) \leq 3(3x – 4) \]

Roznásobíme závorky:

\[ 10x + 4 \leq 9x – 12 \]

Odečteme \(9x\):

\[ x + 4 \leq -12 \]

Odečteme 4:

\[ x \leq -16 \]

Výsledek: \( x \leq -16 \)

Řešení:

Převedeme členy s neznámou na jednu stranu:

\[ 6x – 2x > 12 + 4 \]

\[ 4x > 16 \]

Vydělíme 4:

\[ x > 4 \]

Výsledek: \( x > 4 \)

Řešení:

Nejprve roznásobíme pravou stranu:

\[ 7 – 3x \leq 2 – 2x \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ -3x + 2x \leq 2 – 7 \Rightarrow -x \leq -5 \]

Vydělíme -1 a obrátíme znaménko:

\[ x \geq 5 \]

Výsledek: \( x \geq 5 \)

Řešení:

Najdeme společný jmenovatel (6) a upravíme zlomky:

\[ \frac{3(x + 5) – 2(x – 3)}{6} < 4 \]

Roznásobíme čitateľ:

\[ \frac{3x + 15 – 2x + 6}{6} < 4 \Rightarrow \frac{x + 21}{6} < 4 \]

Vynásobíme 6:

\[ x + 21 < 24 \Rightarrow x < 3 \]

Výsledek: \( x < 3 \)

Řešení:

Roznásobíme závorku:

\[ 2x – 2 + 5 \geq x + 4 \Rightarrow 2x + 3 \geq x + 4 \]

Odečteme \(x\):

\[ x + 3 \geq 4 \Rightarrow x \geq 1 \]

Výsledek: \( x \geq 1 \)

Řešení:

Společný jmenovatel je 10, vynásobíme:

\[ 10 \cdot \frac{2x + 1}{5} \leq 10 \cdot \frac{x – 4}{2} \Rightarrow 2(2x + 1) \leq 5(x – 4) \]

\[ 4x + 2 \leq 5x – 20 \]

Odečteme \(4x\):

\[ 2 \leq x – 20 \Rightarrow x \geq 22 \]

Výsledek: \( x \geq 22 \)

Řešení:

Roznásobíme závorku:

\[ 3 – 2x + 8 < 4x - 5 \Rightarrow -2x + 11 < 4x - 5 \]

Převedeme vše na jednu stranu:

\[ 11 + 5 < 4x + 2x \Rightarrow 16 < 6x \Rightarrow x > \frac{8}{3} \]

Výsledek: \( x > \frac{8}{3} \)

Řešení:

Roznásobíme pravou stranu:

\[ 4x + 1 \geq 4x – 6 + 7 \Rightarrow 4x + 1 \geq 4x + 1 \]

Nerovnost je vždy pravdivá pro všechna \(x\).

Výsledek: \( x \in \mathbb{R} \)

Řešení:

Najdeme společný jmenovatel – 12:

\[ \frac{3(x – 1) + 2(2x + 3)}{12} > 3 \]

\[ \frac{3x – 3 + 4x + 6}{12} > 3 \Rightarrow \frac{7x + 3}{12} > 3 \]

Vynásobíme 12:

\[ 7x + 3 > 36 \Rightarrow 7x > 33 \Rightarrow x > \frac{33}{7} \]

Výsledek: \( x > \frac{33}{7} \)

Řešení:

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu:

\[ 2x + x < 7 + 5 \Rightarrow 3x < 12 \Rightarrow x < 4 \]

Výsledek: \( x < 4 \)

Řešení:

Roznásobíme závorky:

\[ 5x – 10 – 3x \geq 2x – 2 + x \Rightarrow 2x – 10 \geq 3x – 2 \]

Odečteme \(2x\):

\[ -10 \geq x – 2 \Rightarrow -8 \geq x \Rightarrow x \leq -8 \]

Výsledek: \( x \leq -8 \)

Řešení:

Převedeme všechny členy s neznámou na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ 4x – 3x < 10 - 7 \Rightarrow x < 3 \]

Výsledek: \( x < 3 \)

Řešení:

Společný jmenovatel je 4, vynásobíme obě strany nerovnice:

\[ 4 \cdot \frac{3x – 2}{4} \geq 4 \cdot \frac{x + 5}{2} \Rightarrow 3x – 2 \geq 2(x + 5) \]

\[ 3x – 2 \geq 2x + 10 \Rightarrow x \geq 12 \]

Výsledek: \( x \geq 12 \)

Řešení:

Nejprve roznásobíme závorky:

\[ 2x + 6 – x < 3x - 3 + 4 \Rightarrow x + 6 < 3x + 1 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu:

\[ 6 – 1 < 3x - x \Rightarrow 5 < 2x \Rightarrow x > \frac{5}{2} \]

Výsledek: \( x > \frac{5}{2} \)

Řešení:

Roznásobíme závorku:

\[ 8 – 2x + 2 \leq x + 5 \Rightarrow -2x + 10 \leq x + 5 \]

Převedeme členy:

\[ 10 – 5 \leq x + 2x \Rightarrow 5 \leq 3x \Rightarrow x \geq \frac{5}{3} \]

Výsledek: \( x \geq \frac{5}{3} \)

Řešení:

Najdeme společný jmenovatel – 12:

\[ \frac{4(x – 2) + 3(2x + 1)}{12} > 2 \Rightarrow \frac{4x – 8 + 6x + 3}{12} > 2 \Rightarrow \frac{10x – 5}{12} > 2 \]

Vynásobíme 12:

\[ 10x – 5 > 24 \Rightarrow 10x > 29 \Rightarrow x > \frac{29}{10} \]

Výsledek: \( x > \frac{29}{10} \)