1. Dané je zobrazení \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), které je definováno předpisem \( f(x,y) = (2x + y, 3x – y) \). Určete, zda je \( f \) lineární zobrazení. Pokud ano, najděte matici zobrazení vzhledem k standardní bázi a určete jádro a obraz zobrazení.
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme linearitu zobrazení \( f \). Lineární zobrazení musí splňovat pro všechna \( u,v \in \mathbb{R}^2 \) a skalár \( \alpha \in \mathbb{R} \) podmínky:
Jádro zobrazení je množina všech \( (x,y) \) takových, že \( A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \):
\[
\begin{cases}
2x + y = 0 \\
3x – y = 0
\end{cases}
\]
Sčítáním rovnic dostaneme \( 5x = 0 \Rightarrow x = 0 \), tedy \( y = 0 \). Jádro je tedy \(\{0\}\).
Obraz zobrazení je sloupcový prostor matice \( A \), tedy množina všech lineárních kombinací sloupců \( (2,3) \) a \( (1,-1) \). Tyto vektory jsou lineárně nezávislé, takže obraz je celé \( \mathbb{R}^2 \).
Lineární zobrazení je tedy injektivní a surjektivní.
2. Mějme zobrazení \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) definované předpisem \( f(x,y,z) = (x – y + 2z, 3x + y – z) \). Určete, zda je \( f \) lineární, určete matici, jádro a obraz zobrazení.
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme linearitu. Pro libovolné \( u,v \in \mathbb{R}^3 \) a \( \alpha \in \mathbb{R} \):
Jádro jsou řešení homogenní soustavy \( A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), tj.
\[
\begin{cases}
x – y + 2z = 0 \\
3x + y – z = 0
\end{cases}
\]
Z první rovnice vyjádříme \( y = x + 2z \).
Druhá rovnice dosadíme:
\( 3x + (x + 2z) – z = 0 \Rightarrow 4x + z = 0 \Rightarrow z = -4x \).
Dále \( y = x + 2(-4x) = x – 8x = -7x \).
Jádro je tedy jednorozměrné, tvořené vektory tvaru
\( (x, y, z) = x(1, -7, -4), x \in \mathbb{R} \).
Obraz zobrazení je sloupcový prostor matice \( A \). Jelikož jsou sloupce lineárně nezávislé nebo ne, zkoumáme jejich linearitu.
Rank matice je \(2\) (protože druhý řádek není násobkem prvního a vektory nezávislé). Obraz je tedy celé \( \mathbb{R}^2 \).
3. Definujte zobrazení \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \), \( f(x,y) = (x+y, 2x – y, 3y) \). Pro toto zobrazení určete, zda je lineární, matici vzhledem ke standardním bázím, a nalezněte rozměr jádra a obrazu.
Řešení příkladu:
Zobrazení ověříme na linearitu, která je splněna vzhledem k předpisu (součet a násobení skalárem jsou zachovány).
Matice zobrazení vzhledem ke standardním bázím je dána obrazy bází:
Jádro hledáme z rovnice \( A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \), což dává soustavu:
\[
\begin{cases}
x + y = 0 \\
2x – y = 0 \\
0x + 3y = 0
\end{cases}
\]
Z první rovnice \( y = -x \).
Druhá rovnice: \( 2x – (-x) = 3x = 0 \Rightarrow x = 0 \), tedy \( y=0 \).
Třetí rovnice je splněna automaticky.
Jádro je tedy nulový vektor. Rozměr jádra je \(0\).
Rank matice je \(2\), protože sloupce jsou lineárně nezávislé.
Obraz má rozměr \(2\).
4. Uvažujte zobrazení \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \), definované jako \( f(x,y,z) = (x + 2y, y + z, x – z) \). Určete, zda je \( f \) lineární, najděte matici zobrazení a určete, zda je \( f \) invertibilní.
Řešení příkladu:
Ověříme linearitu – lineární je, protože předpis je lineární kombinací souřadnic.
Dimenze obrazu je rovna hodnosti: \( \dim(\mathrm{Im}(f)) = 3 \).
Dimenze jádra je \( \dim(\ker(f)) = \dim(\mathbb{R}^4) – \dim(\mathrm{Im}(f)) = 4 – 3 = 1 \).
7. Uvažujte zobrazení \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) definované předpisem \( f(x,y) = (x + 2y, 4x + 8y) \). Určete, zda je \( f \) invertibilní a pokud ne, určete jeho jádro a obraz.
Pak \( z = y – x = -\frac{3}{2}x – x = -\frac{5}{2}x \).
Jádro je vektory tvaru \( x(1, -\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}) \), tedy jednorozměrné.
Obraz je podprostor \( \mathbb{R}^2 \), a protože matice má hodnost \(2\), je obraz celé \( \mathbb{R}^2 \).
Zobrazení je surjektivní.
10. Uvažujte zobrazení \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \) definované jako \( f(x,y) = (x + y, 2x – y, 0) \). Určete, zda je \( f \) injektivní, surjektivní, a najděte jeho jádro a obraz.
Báze jádra jsou vektory \( (-2, 6, 1, 0) \) a \( (1, -7, 0, 1) \).
Dimenze jádra je \(2\).
Hodnost matice je \( 4 – 2 = 2 \).
Dimenze obrazu je tedy \(2\), což je dimenze cílového prostoru.
Zobrazení je surjektivní.
13. Definujte lineární zobrazení \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) pomocí \( f(x,y,z) = (x + y, y + z, x + z) \). Najděte matici zobrazení, jádro, obraz a rozhodněte, zda je zobrazení injektivní.
Jádro je tedy množina všech vektorů tvaru \( (-2t, -3t, t, 0) \), kde \( t \in \mathbb{R} \).
Báze jádra: \(\{ (-2, -3, 1, 0) \} \).
Hodnost matice odpovídá dimenzi cílového prostoru (\(3\)), zobrazení je tedy surjektivní.
15. Zobrazení \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je definováno předpisem \( f(x,y) = (3x – y, 2x + ky) \), kde \( k \in \mathbb{R} \) je parametr. Najděte hodnoty \( k \), pro které je zobrazení invertibilní, a určete jádro pro případ, kdy není invertibilní.
Řešení příkladu:
Matice zobrazení je
\[
A = \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
2 & k
\end{pmatrix}
\]
Druhá rovnice: \( -3y – 6z = 0 \Rightarrow y = -2z \).
Dosadíme do první:
\( x + 2(-2z) + 3z = x – 4z + 3z = x – z = 0 \Rightarrow x = z \).
Jádro je množina všech vektorů tvaru
\( (t, -2t, t) \), \( t \in \mathbb{R} \).
18. Nechť \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) je lineární zobrazení s maticí \( A \) o rozměru \( m \times n \). Ukažte, že jádro \( f \) je podprostorem \( \mathbb{R}^n \) a obraz \( f \) je podprostorem \( \mathbb{R}^m \).
Řešení příkladu:
Nechť \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) je lineární zobrazení.
Pro určení, zda je \( (3,1,2) \) v obrazu zobrazení, hledáme \( \mathbf{x} = (x,y,z) \), že \( A \mathbf{x} = (3,1,2) \).
Soustava rovnic:
\[
\begin{cases}
0 \cdot x + 1 \cdot y + 2 \cdot z = 3 \\
2 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = 1 \\
1 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z = 2
\end{cases}
\]
Z první rovnice:
\( y + 2 z = 3 \Rightarrow y = 3 – 2 z \).
Z druhé rovnice:
\( 2 x + y = 1 \Rightarrow 2 x + 3 – 2 z = 1 \Rightarrow 2 x = 1 – 3 + 2 z = -2 + 2 z \Rightarrow x = -1 + z \).
Z třetí rovnice:
\( x + z = 2 \Rightarrow (-1 + z) + z = 2 \Rightarrow -1 + 2 z = 2 \Rightarrow 2 z = 3 \Rightarrow z = \frac{3}{2} \).
Popište geometrický význam zobrazení \( f \) a ukažte, že \( f \) je izometrie.
Řešení příkladu:
Matice odpovídá rotaci o úhel \( \theta \) kolem počátku v rovině.
Geometrický význam: \( f \) otáčí každý vektor o úhel \( \theta \) kolem počátku.
Izometrii ověříme tak, že ukážeme, že délka vektoru se zachovává, tj. \( \| f(\mathbf{v}) \| = \| \mathbf{v} \| \) pro každý \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2 \).
Pro libovolný vektor \( \mathbf{v} = (x,y) \) platí:
\( f(\mathbf{v}) = (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta) \).
Najděte jádro a obraz zobrazení \( f \), určete dimenzi jádra a obrazu.
Řešení příkladu:
Jádro zobrazení je množina všech \( \mathbf{x} = (x,y,z) \), pro která platí
\[
A \mathbf{x} = \mathbf{0} \Rightarrow
\begin{cases}
x + z = 0 \\
y = 0 \\
z = 0
\end{cases}
\]
Z poslední rovnice \( z = 0 \), dosadíme do první \( x + 0 = 0 \Rightarrow x = 0 \), druhá říká \( y = 0 \).
Jádro obsahuje pouze nulový vektor, dimenze jádra je \(0\).
Obraz zobrazení je tvořen všemi vektory tvaru
\( (x + z, y, z) \), kde \( x,y,z \in \mathbb{R} \).
Zvolíme parametry \( x,y,z \), ale výraz \( x + z \) může nabývat libovolné hodnoty, protože \( x \) a \( z \) jsou volné.
Obraz je tedy celá \( \mathbb{R}^3 \), dimenze obrazu je \(3\).
31. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení – zrcadlení podle přímky procházející počátkem, která svírá s kladnou poloosou \( x \) úhel \( \varphi \in \mathbb{R} \). Sestrojte matici tohoto zobrazení ve standardní bázi, ověřte, že jde o izometrii, určete determinant a charakteristická čísla a vlastní prostory.
Řešení příkladu:
Nechť jednotkový směrový vektor přímky je \( u = (\cos \varphi, \sin \varphi) \). Zrcadlení podle této přímky má obecný zápis
\[
f(\mathbf{x}) = 2 \langle \mathbf{x}, u \rangle\, u – \mathbf{x},
\]
kde \( \langle \cdot,\cdot \rangle \) je skalární součin v \( \mathbb{R}^2 \).
Ověření izometrie: Pro každý vektor \( \mathbf{v} \) platí \( \|f(\mathbf{v})\| = \|\mathbf{v}\| \), což se algebraicky ukáže z podmínky ortogonality \( A^{\mathsf T} A = I \).
Výpočet determinant: \(\det A = -1\), což odpovídá zrcadlení (změna orientace soustavy souřadnic).
Tedy vlastní čísla jsou \( \lambda_1 = 1 \) a \( \lambda_2 = -1 \).
Vlastní prostor pro \( \lambda_1 = 1 \): odpovídá směru přímky zrcadlení, tedy vektoru \( (\cos \varphi, \sin \varphi) \).
Vlastní prostor pro \( \lambda_2 = -1 \): odpovídá směru kolmému k přímce, tedy vektoru \( (-\sin \varphi, \cos \varphi) \).
32. Nechť \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) je lineární zobrazení – ortogonální projekce na rovinu s normálovým vektorem \( \mathbf{n} = (1,2,2) \). Sestrojte matici projekce, určete její hodnost, jádro a obraz, a popište geometrický význam.
Řešení příkladu:
Projekce na rovinu kolmou na jednotkový normál \( \mathbf{u} \) má obecný zápis
\[
P = I – \mathbf{u}\mathbf{u}^{\mathsf T}.
\]
Ověření vlastností: Projekční matice splňuje \( P^2 = P \) a je symetrická, což odpovídá ortogonální projekci.
Hodnost projekce: Protože se promítá na rovinu, hodnost \( P \) je \( 2 \).
Jádro projekce: Obsahuje všechny násobky normálového vektoru \( \mathbf{n} = (1,2,2) \), tj.
\[
\ker P = \{ t(1,2,2) \,|\, t \in \mathbb{R} \}.
\]
Obraz projekce: Je rovina
\[
\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \,|\, x + 2y + 2z = 0 \}.
\]
Geometrický význam: Každý vektor z \( \mathbb{R}^3 \) se promítne kolmo na rovinu kolmou k \( \mathbf{n} \), takže složka rovnoběžná s \( \mathbf{n} \) se odstraní.
33. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení dané předpisem \( f(x,y) = (3x + 2y, \, x – y) \). Najděte matici tohoto zobrazení, určete jeho determinant, ověřte, zda je prosté a na, a vypočtěte inverzní zobrazení, pokud existuje.
Řešení příkladu:
Podle definice lineárního zobrazení ve standardní bázi mají obrazy bázových vektorů tvar:
\[
f(1,0) = (3,1), \quad f(0,1) = (2,-1).
\]
Matice zobrazení \( A \) má tyto vektory jako sloupce:
\[
A =
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
1 & -1
\end{pmatrix}.
\]
Protože determinant je nenulový, zobrazení je prosté (injektivní) a na (surjektivní), tedy jde o isomorfismus \( \mathbb{R}^2 \) na \( \mathbb{R}^2 \).
Tedy vlastní čísla jsou \( \lambda_1 = 2 \) (jednonásobné) a \( \lambda_2 = 3 \) (dvojnásobné).
Vlastní prostor pro \( \lambda_1 = 2 \):
\[
(A – 2I)\mathbf{x} = 0 \Rightarrow
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
= \mathbf{0}.
\]
Z poslední rovnice \( z = 0 \), z druhé \( y + 4z = y = 0 \), tedy \( x \) volné. Vlastní prostor:
\[
E_{2} = \mathrm{span}\{(1,0,0)\}.
\]
Vlastní prostor pro \( \lambda_2 = 3 \):
\[
(A – 3I)\mathbf{x} = 0 \Rightarrow
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
= \mathbf{0}.
\]
Z první rovnice \( x = 0 \), z druhé \( 4z = 0 \Rightarrow z = 0 \), \( y \) volné. Vlastní prostor:
\[
E_{3} = \mathrm{span}\{(0,1,0)\}.
\]
Protože pro \( \lambda_2 = 3 \) má vlastní prostor dimenzi \(1\) \((\)menší než algebraická násobnost \(2)\), matice není diagonalizovatelná.
35. Nechť \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení, pro které platí:
\[
f(1,0,0) = (2,1), \quad f(0,1,0) = (0,3), \quad f(0,0,1) = (1,-1).
\]
Najděte matici tohoto zobrazení, určete hodnost, jádro a obraz.
Řešení příkladu:
Matice má sloupce tvořené obrazy bázových vektorů:
\[
A =
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
1 & 3 & -1
\end{pmatrix}.
\]
Hodnost matice určíme z její redukované řádkové podoby:
Jádro: Řešíme \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \):
\[
\begin{cases}
2x + 0y + z = 0 \\
x + 3y – z = 0
\end{cases}
\]
Z první rovnice \( z = -2x \), z druhé \( x + 3y + 2x = 3x + 3y = 0 \Rightarrow x + y = 0 \Rightarrow y = -x \).
Potom \( z = -2x \). Parametrizace: \( (x,y,z) = t(1,-1,-2) \).
\[
\ker A = \mathrm{span}\{(1,-1,-2)\}.
\]
Obraz: Tvořen všemi lineárními kombinacemi vektorů \( (2,1) \), \( (0,3) \), \( (1,-1) \). Protože hodnost je \(2\), obraz je celé \( \mathbb{R}^2 \).
36. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení – rotace o úhel \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) v kladném (proti směru hodinových ručiček) směru kolem počátku. Určete matici tohoto zobrazení ve standardní bázi, ověřte, že jde o izometrii, a určete jeho vlastní čísla a vlastní vektory.
Řešení příkladu:
Matice rotace o úhel \( \alpha \) ve standardní bázi je
\[
R_\alpha =
\begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{pmatrix}.
\]
Ověření izometrie: Matice \( A \) je ortogonální, tj. \( A^{\mathsf T}A = I \), a \(\det A = 1\), což znamená, že zachovává délky i orientaci.
Vlastní čísla: Rotace v reálné rovině o nenulový úhel nemá netriviální reálné vlastní vektory. Komplexní vlastní čísla jsou
\[
\lambda_{1,2} = \cos \alpha \pm i \sin \alpha = e^{\pm i\alpha} = e^{\pm i\pi/4}.
\]
Vlastní vektory tedy existují pouze v komplexním rozšíření prostoru, nikoli v \(\mathbb{R}^2\).
37. Nechť \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) je lineární zobrazení – posunutí vektorů do roviny \( x + y + z = 0 \) pomocí ortogonální projekce. Najděte matici projekce a určete její hodnost, jádro a obraz.
Řešení příkladu:
Normálový vektor roviny je \( \mathbf{n} = (1,1,1) \). Jeho délka je
\[
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.
\]
Hodnost matice \( P \) je \( 2 \), jádro je \(\ker P = \mathrm{span}\{(1,1,1)\}\), obraz je rovina \( x + y + z = 0 \).
38. Nechť \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) je lineární zobrazení dané maticí
\[
A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Najděte jádro, obraz, hodnost, mocniny matice a určete, zda je matice diagonalizovatelná.
Řešení příkladu:
Jádro: Řešíme \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \):
\[
\begin{cases}
y = 0, \\
z = 0, \\
0 = 0
\end{cases}
\]
tedy \( \ker A = \mathrm{span}\{(1,0,0)\} \).
Obraz: Sloupce matice tvoří bázi obrazu. Protože první sloupec je nulový, vektorový prostor obrazu generují vektory \( (1,0,0) \) a \( (0,1,0) \). Ověříme: První nenulový sloupec je druhý = \( (1,0,0) \), třetí = \( (0,1,0) \), které jsou lineárně nezávislé. Tedy \(\mathrm{Im}\,A = \mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\).
Diagonalizovatelnost: Nilpotentní matice s nenulovou hodností není diagonalizovatelná, protože má jediné vlastní číslo \( 0 \) a jeho geometrická násobnost \((1)\) je menší než algebraická násobnost \((3)\).
39. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení dané maticí
\[
A =
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}.
\]
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory, určete, zda je matice diagonalizovatelná, a pokud ano, napište diagonalizační rozklad.
Vlastní prostor pro \( \lambda_1 = 5 \):
\[
(A – 5I)\mathbf{x} = 0 \Rightarrow
\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
1 & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
= \mathbf{0}.
\]
Rovnice \( -x + 2y = 0 \Rightarrow x = 2y \), vlastní vektor např. \( (2,1) \).
Vlastní prostor pro \( \lambda_2 = 2 \):
\[
(A – 2I)\mathbf{x} = 0 \Rightarrow
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
= \mathbf{0}.
\]
Rovnice \( 2x + 2y = 0 \Rightarrow x = -y \), vlastní vektor např. \( (-1,1) \).
Protože máme dva různé vlastní vektory, matice je diagonalizovatelná.
Diagonalizační rozklad:
\[
P =
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}, \quad
D =
\begin{pmatrix}
5 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}, \quad
A = P D P^{-1}.
\]
40. Nechť \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) je lineární zobrazení dané maticí
\[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Najděte vlastní čísla, vlastní vektory, rozhodněte, zda je matice diagonalizovatelná, a pokud ne, určete její Jordanovu formu.
Vlastní prostor pro \( \lambda_1 = 1 \):
\[
(A – I)\mathbf{x} = 0 \Rightarrow
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
= \mathbf{0}.
\]
Z první rovnice \( y = 0 \), z třetí \( z = 0 \), \( x \) volné. Tedy
\[
E_1 = \mathrm{span}\{(1,0,0)\}.
\]
Vlastní prostor pro \( \lambda_2 = 2 \):
\[
(A – 2I)\mathbf{x} = 0 \Rightarrow
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
= \mathbf{0}.
\]
Z druhé rovnice \( y = 0 \), z první \( -x + y = -x = 0 \Rightarrow x = 0 \), \( z \) volné. Tedy
\[
E_2 = \mathrm{span}\{(0,0,1)\}.
\]
Pro \( \lambda_1 = 1 \) má vlastní prostor dimenzi \(1\), ale algebraickou násobnost \(2\), takže matice není diagonalizovatelná.
Lineární zobrazení zachovává lineární závislosti vektoru, protože je to lineární zobrazení. Pokud jsou vektory lineárně závislé, jejich obrazy jsou také lineárně závislé a naopak.
47. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení dané maticí
Najděte jádro lineárního zobrazení \( f \), tj. množinu všech vektorů \( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \), pro které platí \( f(x, y, z) = (0,0) \).
Řešení příkladu:
Jádro zobrazení \( f \) je množina všech vektorů \( v \in \mathbb{R}^3 \), které se zobrazí na nulový vektor v \( \mathbb{R}^2 \). Tedy hledáme řešení homogenní soustavy:
\[
\begin{cases}
x – 2y + 4z = 0 \\
3y – z = 0
\end{cases}
\]
Ze druhé rovnice vyjádříme \( z \):
\[
z = 3y
\]
Dosadíme do první rovnice:
\[
x – 2y + 4(3y) = 0 \Rightarrow x – 2y + 12y = 0 \Rightarrow x + 10y = 0 \Rightarrow x = -10y
\]
Dostáváme tedy obecné řešení:
\[
(x, y, z) = (-10t, t, 3t), \quad t \in \mathbb{R}
\]
Jádro zobrazení je tedy jednorozměrný podprostor vektorového prostoru \( \mathbb{R}^3 \), generovaný vektorem \( (-10, 1, 3) \).
52. Nechť \( f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 \) je lineární zobrazení s maticí
53. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení, které rotuje každý vektor v rovině o úhel \( \frac{\pi}{2} \) proti směru hodinových ručiček. Najděte matici tohoto zobrazení vzhledem ke standardní bázi.
Řešení příkladu:
Rotace vektoru o úhel \( \theta = \frac{\pi}{2} \) proti směru hodinových ručiček má matici
56. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení, které zrcadlí vektory podle osy \( y \). Najděte matici tohoto zobrazení a určete, zda je prosté.
Řešení příkladu:
Zrcadlení podle osy \( y \) znamená, že \( x \)-ová složka se změní na opačné číslo a \( y \)-ová složka zůstane zachována:
Najděte dimenzi jádra a dimenzi obrazu zobrazení \( f \).
Řešení příkladu:
Matice \( A \) má rozměry \( 2 \times 3 \), což znamená, že \( f \) zobrazuje z trojrozměrného prostoru \( \mathbb{R}^3 \) do dvojrozměrného prostoru \( \mathbb{R}^2 \).
Krok 1 – určení hodnosti matice (dimenze obrazu)
Dimenze obrazu zobrazení \( f \) je rovna hodnosti matice \( A \), tedy počtu lineárně nezávislých řádků (nebo sloupců). Hodnost určíme pomocí Gaussovy eliminace.
V této matici už první prvek v prvním řádku (pivot) je 1 a pod ním je nula, což je ideální. Nyní se zaměříme na druhý pivot ve druhém sloupci, který už je také 1 a má pod sebou i nad sebou čísla, která můžeme upravit:
Od prvního řádku odečteme druhý řádek, abychom v prvním řádku ve druhém sloupci dostali nulu:
Vidíme, že oba řádky jsou nenulové a lineárně nezávislé. To znamená:
\[
\mathrm{rank}(A) = 2
\]
Proto dimenze obrazu je:
\[
\dim(\mathrm{im}\, f) = 2
\]
Obraz tedy tvoří dvourozměrný podprostor prostoru \( \mathbb{R}^2 \), což v tomto případě znamená, že obraz je celý prostor \( \mathbb{R}^2 \).
Krok 2 – určení dimenze jádra
Podle věty o dimenzi platí pro libovolné lineární zobrazení \( f: V \to W \):
\[
\dim(\ker f) + \dim(\mathrm{im}\, f) = \dim(V)
\]
kde \( V \) je definiční prostor zobrazení.
Zobrazení má dvourozměrné jádro a dvourozměrný obraz.
65. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení, které otočí každý vektor o úhel \( \frac{\pi}{2} \) proti směru hodinových ručiček. Určete matici tohoto zobrazení.
Řešení příkladu:
Matice lineárního zobrazení odpovídající rotaci v rovině o úhel \( \theta \) proti směru hodinových ručiček je dána vzorcem:
Najdeme bázi jádra. Hledáme vektory \(\mathbf{x} = (x,y,z)^T\) takové, že \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\), tedy
\[
\begin{cases}
x – y + 2z = 0 \\
3x + 0 \cdot y – z = 0
\end{cases}
\]
Z druhé rovnice:
\[
3x – z = 0 \Rightarrow z = 3x
\]
Dosadíme do první rovnice:
\[
x – y + 2(3x) = 0 \Rightarrow x – y + 6x = 0 \Rightarrow 7x – y = 0 \Rightarrow y = 7x
\]
Obecný vektor jádra je tedy
\[
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad x \in \mathbb{R}
\]
Báze jádra je tedy vektor \(\{(1,7,3)^T\}\).
74. Nechť \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) je lineární zobrazení, které zobrazí každý vektor do jeho projekce na přímku generovanou vektorem \(\mathbf{u} = (1,2,2)^T\). Najděte matici zobrazení vzhledem k standardní bázi.
Řešení příkladu:
Projekce vektoru \(\mathbf{v}\) na vektor \(\mathbf{u}\) je dána vzorcem:
76. Nechť \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) je lineární zobrazení definované jako rotace kolem osy \(z\) o úhel \(\frac{\pi}{3}\) ve směru proti směru hodinových ručiček. Najděte matici tohoto zobrazení.
Řešení příkladu:
Rotace kolem osy \(z\) o úhel \(\theta\) má matici
Pro nalezení jádra zobrazení řešíme homogenní rovnici
\[
A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
což odpovídá soustavě
\[
\begin{cases}
x = 0 \\
– x + 2 y = 0 \\
3 x + 4 y = 0
\end{cases}
\]
Dosadíme \(x=0\) z první rovnice do druhé a třetí:
\[
-0 + 2 y = 0 \Rightarrow y = 0
\]
\[
3 \cdot 0 + 4 y = 0 \Rightarrow y = 0
\]
Jádro je tedy triviální: \( \ker f = \{(0,0)\} \).
79. Nechť \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) je lineární zobrazení, které první dvě souřadnice vektoru vynásobí číslem \( 2 \) a třetí souřadnici vymaže, tj.
\[
f(x,y,z) = (2x, 2y, 0)
\]
Najděte matici zobrazení a stanovte dimenzi obrazu a jádra.
Řešení příkladu:
Krok 1 – určení matice zobrazení
Vzhledem ke standardní bázi \( \{ e_1, e_2, e_3 \} \), kde
\[
e_1 = (1,0,0), \quad e_2 = (0,1,0), \quad e_3 = (0,0,1),
\]
zjistíme, jak \( f \) zobrazuje jednotlivé báze:
Obrazem zobrazení jsou všechny vektory, které lze zapsat jako lineární kombinace sloupců matice \( A \). Jelikož třetí sloupec je nulový, obraz generují první dva sloupce:
\[
(2,0,0) \quad \text{a} \quad (0,2,0)
\]
Tyto dva vektory jsou zjevně lineárně nezávislé, proto:
\[
\mathrm{im}\, f = \{ (a,b,0) \mid a,b \in \mathbb{R} \}
\]
což je rovina v \( \mathbb{R}^3 \) rovnoběžná s rovinou \( xy \) a procházející počátkem.
Dimenze obrazu je:
\[
\dim(\mathrm{im}\, f) = 2
\]
Krok 3 – určení jádra zobrazení
Jádro jsou všechny vektory \( (x,y,z) \), které se zobrazí na nulový vektor:
\[
f(x,y,z) = (0,0,0)
\]
Podle definice \( f \) to znamená:
\[
2x = 0, \quad 2y = 0, \quad 0 = 0
\]
Z prvních dvou rovnic dostáváme:
\[
x = 0, \quad y = 0
\]
Souřadnice \( z \) je libovolná reálná hodnota, tedy:
\[
\ker f = \{ (0,0,z) \mid z \in \mathbb{R} \}
\]
Dimenze jádra je:
\[
\dim(\ker f) = 1
\]
Jádro je tedy přímka podél osy \( z \).
Výsledek:
Matice zobrazení je:
\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\[
\dim(\mathrm{im}\, f) = 2, \quad \dim(\ker f) = 1
\]
Obraz je rovina \((a,b,0)\) a jádro je přímka \((0,0,z)\).
80. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení, které vektory rotuje o úhel \(\theta = \frac{\pi}{4}\) a pak zmenšuje jejich délku o faktor \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Najděte matici tohoto zobrazení a určete, zda je invertibilní.
81. Nechť \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení definované jako
\[
f(x,y,z) = (2x – y + 3z, -x + 4y – 2z)
\]
Najděte matici zobrazení vzhledem ke standardním bázím a ověřte, že \( f \) je lineární zobrazení.
Řešení příkladu:
Prvním krokem je určit matici lineárního zobrazení \( f \) vzhledem ke standardním bázím v \(\mathbb{R}^3\) a \(\mathbb{R}^2\). Standardní báze v \(\mathbb{R}^3\) je \(\{ e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) \}\) a v \(\mathbb{R}^2\) je \(\{ u_1=(1,0), u_2=(0,1) \}\).
Abychom získali matici, spočítáme obrazy bázových vektorů v \(\mathbb{R}^3\) pod zobrazením \( f \):
Určete, zda je zobrazení \( f \) bijektivní, a pokud ano, najděte matici inverzního zobrazení.
Řešení příkladu:
Aby bylo lineární zobrazení bijektivní, musí být matice \( A \) regulární, tedy mít nenulový determinant. Nejprve tedy spočítáme determinant matice \( A \).
Protože \(\det A = 3 \neq 0\), matice je regulární, a zobrazení \( f \) je bijektivní (injektivní i surjektivní).
Nyní určíme inverzní matici \( A^{-1} \). Pro matici \( 3 \times 3 \) je postup složitější, použijeme metodu adjungované matice nebo Gaussovu eliminaci.
Využijeme metodu adjungované matice:
1. Vypočítáme matici algebraických doplňků (minory s vhodným znaménkem):
Tím máme matici inverzního zobrazení \( f^{-1} \).
85. Nechť \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) je lineární zobrazení, které zobrazuje vektor \( (1,0) \) na \( (2,3) \) a vektor \( (0,1) \) na \( (-1,4) \). Najděte matici zobrazení \( f \) vzhledem ke standardním bázím a spočítejte obraz vektoru \( (3, -2) \).
Řešení příkladu:
Protože lineární zobrazení \( f \) je určeno hodnotami na bázových vektorech, můžeme přímo napsat matici \( A \), která reprezentuje \( f \) vzhledem ke standardním bázím:
Báze v \(\mathbb{R}^2\) je \( e_1 = (1,0) \), \( e_2 = (0,1) \).
Provedeme násobení matice vektorem podle pravidel maticové algebry. První složka výsledného vektoru vznikne jako skalární součet součinů prvního řádku matice s jednotlivými složkami vektoru:
\[
4 \cdot 5 + (-2) \cdot 1 = 20 – 2 = 18
\]
Druhá složka vznikne obdobně z druhého řádku matice:
\[
1 \cdot 5 + 3 \cdot 1 = 5 + 3 = 8
\]
Obraz vektoru je tedy:
\[
f(5,1) = (18, 8)
\]
Krok 2: Určení invertibility zobrazení
Invertibilita lineárního zobrazení závisí na invertibilitě matice \( A \), konkrétně na jejím determinantě. Spočítáme determinant:
Tímto jsme získali inverzní matici, která odpovídá inverznímu lineárnímu zobrazení \( f^{-1} \).
Krok 4: Shrnutí
Obrazem vektoru \( (5,1) \) je \( (18,8) \). Zobrazení \( f \) je invertibilní, protože determinant matice je nenulový, a inverzní zobrazení je dáno maticí \( A^{-1} \) výše.
Spočítejte obraz vektoru \( \mathbf{v} = (2, -1, 0) \). Zjistěte, zda je zobrazení surjektivní.
Řešení příkladu:
Krok 1: Výpočet obrazu vektoru \( \mathbf{v} \)
Vektor \( \mathbf{v} = (2, -1, 0) \) je v prostoru \( \mathbb{R}^3 \). Pro získání jeho obrazu pod zobrazením \( f \) vynásobíme matici \( A \) s tímto vektorem:
Obrazem vektoru \( (2,-1,0) \) je tedy vektor \( (2, -5) \) v \( \mathbb{R}^2 \).
Krok 2: Zjištění surjektivity zobrazení
Surjektivita znamená, že obrazem zobrazení je celý cílový prostor, tedy že \( \mathrm{Im} f = \mathbb{R}^2 \). Proto musíme zjistit hodnost matice \( A \).
Oba řádky jsou lineárně nezávislé, takže hodnost matice \( A \) je 2.
Protože dimenze cílového prostoru \( \mathbb{R}^2 \) je také 2, platí, že hodnost matice \( A \) je rovna dimenzi cílového prostoru. To znamená, že zobrazení \( f \) je surjektivní, protože jeho obraz pokrývá celý \( \mathbb{R}^2 \).
Krok 3: Shrnutí
Obrazem vektoru \( (2,-1,0) \) je \( (2,-5) \). Zobrazení \( f \) je surjektivní, protože hodnost matice je rovna dimenzi cílového prostoru.
Najděte jádro zobrazení \( f \) a určete jeho dimenzi.
Řešení příkladu:
Krok 1: Definice jádra
Jádro lineárního zobrazení \( f \) je množina všech vektorů \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 \), které zobrazí na nulový vektor v cílovém prostoru \( \mathbb{R}^3 \). Formálně:
Určete, zda je zobrazení \( f \) izomorfismem. Pokud ano, najděte obraz vektoru \( (1,2,3) \) a matici inverzního zobrazení.
Řešení příkladu:
Krok 1: Kontrola invertibility matice
Zobrazení \( f \) je izomorfismem, pokud je invertibilní, tedy pokud matice \( A \) je regulární. Pro regulárnost musíme zjistit, zda má matice nenulový determinant.
Zobrazení \( f \) je izomorfismem, protože matice je regulární. Obrazem vektoru \( (1,2,3) \) je vektor \( (-1,7,12) \). Inverzní zobrazení je určeno maticí \( A^{-1} \) výše.
Určete matici zobrazení \( f \) vzhledem k standardním bázím, zjistěte, zda je zobrazení injektivní, surjektivní, nebo izomorfní.
Řešení příkladu:
Krok 1: Určení matice zobrazení vzhledem ke standardní bázi
Standardní báze prostoru \( \mathbb{R}^2 \) je \( e_1 = (1,0)^T \), \( e_2 = (0,1)^T \). Matice lineárního zobrazení \( f \) je složená ze sloupců, které jsou obrazy těchto bází.
Matice je regulární, tedy zobrazení je surjektivní.
Krok 4: Závěr o izomorfismu
Protože zobrazení je injektivní i surjektivní, je izomorfismem.
91. Lineární zobrazení: Určete, zda je zobrazení \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), definované předpisem \( f(x,y) = (2x – y, x + 3y) \), izomorfismem. Pokud ano, najděte inverzní zobrazení.
Řešení příkladu 91:
Krok 1: Pochopení zadání a význam pojmů
Máme lineární zobrazení \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), které každému vektoru \((x,y)\) přiřazuje nový vektor podle vzorce \( f(x,y) = (2x – y, x + 3y) \). Cílem je zjistit, zda je \( f \) izomorfismem, což znamená, že \( f \) musí být bijektivní, tedy současně injektivní (jednoznačné) i surjektivní (na celý cílový prostor). Pokud je tomu tak, chceme také najít inverzní zobrazení \( f^{-1} \), které „vrací“ obraz zpět na původní vektor.
Krok 2: Určení matice zobrazení vzhledem ke standardní bázi
Standardní báze prostoru \( \mathbb{R}^2 \) je složená ze dvou vektorů \( e_1 = (1,0) \) a \( e_2 = (0,1) \). Matice zobrazení je určena obrazy těchto bází, kde každý sloupec matice je obrazem jednoho základního vektoru.
Krok 3: Kontrola bijektivnosti – injektivita a surjektivita
Pro zobrazení mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory stejného rozměru stačí, aby matice byla regulární, což znamená, že její determinant je různý od nuly. Pokud je determinant nenulový, zobrazení je invertibilní, tedy izomorfismem.
Zobrazení \( f \) je lineární izomorfismus, protože matice zobrazení je regulární (má nenulový determinant). Inverzní zobrazení \( f^{-1} \) je dáno lineárním předpisem uvedeným výše.
92. Lineární zobrazení: Mějme \( f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \), definované jako \( f(x,y,z) = (x + 2y – z, 3x – y + 4z) \). Určete, zda je \( f \) injektivní, surjektivní, a popište jádro a obraz zobrazení.
Řešení příkladu 92:
Krok 1: Porozumění zobrazení a dimenzím
Zobrazení \( f \) je z prostoru \( \mathbb{R}^3 \) do prostoru \( \mathbb{R}^2 \). To znamená, že původní prostor má dimenzi 3, cílový prostor dimenzi 2. Jelikož je dimenze zdrojového prostoru větší než dimenze cílového, nelze, aby \( f \) bylo injektivní – na některých prvcích bude zobrazení stejné (neboli jádro nebude triviální). Naopak surjektivita je možná, záleží, zda obraz pokrývá celý \( \mathbb{R}^2 \).
Krok 2: Určení matice zobrazení
Matice \( A \) má 2 řádky a 3 sloupce, kde sloupce odpovídají obrazům standardních bází \( e_1 = (1,0,0) \), \( e_2 = (0,1,0) \), \( e_3 = (0,0,1) \):
Jádro je tedy jednorozměrný podprostor generovaný vektorem \( (-1, 1, 1) \).
Krok 5: Určení obrazu zobrazení
Obraz zobrazení \( \mathrm{Im}\, f \) je lineární obal vektorů \( f(e_1), f(e_2), f(e_3) \) v \( \mathbb{R}^2 \). Jelikož cíl je 2-rozměrný prostor, obraz může být buď celý \( \mathbb{R}^2 \), nebo podprostor nižší dimenze.
Zkontrolujeme lineární závislost vektorů:
\( f(e_1) = (1, 3) \)
\( f(e_2) = (2, -1) \)
\( f(e_3) = (-1, 4) \)
Zkusíme vyjádřit \( f(e_3) \) jako kombinaci \( f(e_1) \) a \( f(e_2) \):
Tedy \( f(e_1), f(e_2) \) tvoří bázi obrazu a \( \dim \mathrm{Im} f = 2 \).
Krok 6: Shrnutí
Zobrazení není injektivní, protože jádro obsahuje všechny vektory tvaru \( t(-1,1,1) \), \( t \neq 0 \).
Zobrazení je surjektivní, protože obraz pokrývá celý prostor \( \mathbb{R}^2 \).
Jádro je jednorozměrný podprostor \( \{ t(-1,1,1) : t \in \mathbb{R} \} \).
Obraz je celý \( \mathbb{R}^2 \), tedy dvourozměrný.
93. Lineární zobrazení: Mějme \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \), definované jako \( f(x,y) = (x – y, 2x + y, 3y) \). Určete, zda je \( f \) injektivní, surjektivní, a popište jádro a obraz zobrazení.
Řešení příkladu 93:
Krok 1: Porozumění zobrazení a dimenzím
Zobrazení \( f \) je z prostoru \( \mathbb{R}^2 \) do prostoru \( \mathbb{R}^3 \). Dimenze zdrojového prostoru je 2, cílového 3. Zobrazování z menšího do většího prostoru může být injektivní, ale nemůže být surjektivní, protože obraz nemůže pokrýt celý prostor o vyšší dimenzi.
Krok 2: Určení matice zobrazení
Matice zobrazení \( A \) má 3 řádky a 2 sloupce, kde sloupce odpovídají obrazům standardních bází \( e_1 = (1,0) \), \( e_2 = (0,1) \):
Jádro \( \ker f \) je množina všech vektorů \( (x,y) \), které jsou zobrazeny na nulový vektor \( (0,0,0) \), tedy řešíme
\[
A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
což odpovídá soustavě rovnic:
\[
\begin{cases}
x – y = 0 \\
2x + y = 0 \\
3y = 0
\end{cases}
\]
Krok 4: Řešení soustavy pro jádro
Z třetí rovnice plyne \( 3y = 0 \Rightarrow y = 0 \).
Dosadíme do první rovnice: \( x – 0 = 0 \Rightarrow x = 0 \).
Druhá rovnice je pak automaticky splněna.
Jádro obsahuje pouze nulový vektor, tedy \( \ker f = \{(0,0)\} \).
Krok 5: Určení obrazu zobrazení
Obraz \( \mathrm{Im} f \) je lineární obal vektorů \( f(e_1) \) a \( f(e_2) \), tedy
\[
\mathrm{Im} f = \mathrm{span} \{ (1,2,0), (-1,1,3) \}
\]
Tyto dva vektory jsou lineárně nezávislé (nemají násobek), proto obraz má dimenzi 2.
Krok 6: Shrnutí
Zobrazení je injektivní, protože jádro je triviální.
Zobrazení není surjektivní, protože obraz je 2-rozměrný podprostor \( \mathbb{R}^3 \), nikoliv celý prostor.
Jádro je nulový podprostor.
Obraz je 2-rozměrný podprostor generovaný vektory \( (1,2,0) \) a \( (-1,1,3) \).
94. Lineární zobrazení: Mějme \( f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \), definované jako \( f(x,y,z) = (x + y, y + z, x + z) \). Určete, zda je \( f \) invertibilní, popište jádro a obraz zobrazení.
Řešení příkladu 94:
Krok 1: Určení matice zobrazení
Matice \( A \) zobrazení \( f \) v bázi standardních vektorů je
Jádro \( \ker f \) je množina všech \( (x,y,z) \), které jsou zobrazeny na nulový vektor:
\[
A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
což znamená řešit soustavu
\[
\begin{cases}
x + y = 0 \\
y + z = 0 \\
x + z = 0
\end{cases}
\]
Z první rovnice: \( y = -x \).
Dosadíme do druhé: \( -x + z = 0 \Rightarrow z = x \).
Dosadíme do třetí: \( x + z = x + x = 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \).
Odtud \( y = 0 \), \( z = 0 \).
Jádro obsahuje pouze nulový vektor.
Krok 3: Určení invertibility zobrazení
Protože jádro je triviální a zdrojový i cílový prostor mají stejnou dimenzi 3, je zobrazení injektivní i surjektivní, tedy invertibilní.
Krok 4: Určení obrazu
Obraz \( \mathrm{Im} f \) je celý \( \mathbb{R}^3 \).
Krok 5: Shrnutí
Zobrazení je invertibilní.
Jádro je nulový podprostor.
Obraz je celý prostor \( \mathbb{R}^3 \).
95. Lineární zobrazení: Mějme \( f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \), definované jako \( f(x,y,z) = (x + y + z, 2x – y + 3z) \). Najděte bázi jádra a určete dimenzi jádra a obrazu.
\[
A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\Rightarrow
\begin{cases}
x + y + z = 0 \\
2x – y + 3z = 0
\end{cases}
\]
Z první rovnice vyjádříme \( x = -y – z \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\[
2(-y – z) – y + 3z = 0 \Rightarrow -2y – 2z – y + 3z = 0 \Rightarrow -3y + z = 0
\]
Báze jádra je tedy vektor \( (-4,1,3) \), dimenze jádra je 1.
Krok 3: Dimenze obrazu
Dimenze zdrojového prostoru je 3, dimenze jádra je \(1\), podle věty o dimenzi lineárního zobrazení platí
\[
\dim \mathrm{Im} f = 3 – 1 = 2
\]
Obraz je tedy 2-rozměrný podprostor \( \mathbb{R}^2 \), což je celý prostor \( \mathbb{R}^2 \).
Krok 4: Shrnutí
Jádro je jednorozměrný podprostor generovaný vektorem \( (-4,1,3) \).
Dimenze jádra je \(1\).
Dimenze obrazu je \(2\), obraz je celý \( \mathbb{R}^2 \).
96. Lineární zobrazení: Mějme \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \), definované jako \( f(x,y) = (x – y, 2x + y, 3y) \). Určete jádro a obraz zobrazení a rozhodněte, zda je \( f \) injektivní a/nebo surjektivní.
Řešení příkladu 96:
Krok 1: Porozumění problému a dimenzím
Zobrazení \( f \) je z prostoru \( \mathbb{R}^2 \) do prostoru \( \mathbb{R}^3 \). To znamená, že zdrojový prostor má dimenzi \(2\) a cílový prostor dimenzi \(3\). Injektivita a surjektivita závisí na vlastnostech tohoto zobrazení, přičemž vždy platí, že lineární zobrazení z nižšího do vyššího rozměru nemůže být surjektivní (protože obraz bude vždy podprostorem, maximálně dvourozměrným).
Krok 2: Vyjádření matice zobrazení
Pro lepší pochopení sestavíme matici zobrazení \( A \), kde sloupce odpovídají obrazům standardních bází \( e_1 = (1,0) \), \( e_2 = (0,1) \):
Jádro \( \ker f \) je množina všech vektorů \( (x,y) \in \mathbb{R}^2 \), které zobrazení pošle na nulový vektor v \( \mathbb{R}^3 \), tedy splňují soustavu
\[ A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
což rozepíšeme na soustavu rovnic:
\[
\begin{cases}
x – y = 0 \\
2x + y = 0 \\
0 \cdot x + 3y = 0
\end{cases}
\]
Krok 4: Řešení soustavy rovnic pro jádro
Z první rovnice plyne \( x = y \). Dosadíme do druhé:
\[ 2x + y = 2y + y = 3y = 0 \Rightarrow y = 0 \]
Tím pádem \( x = 0 \). Třetí rovnice je pak také splněna (protože \( 3y = 0 \)).
Závěr: Jádro obsahuje pouze nulový vektor, tedy \( \ker f = \{ (0,0) \} \). To znamená, že zobrazení je injektivní.
Krok 5: Určení obrazu zobrazení
Obraz \( \mathrm{Im} f \) je lineární obal vektorů \( f(e_1) = (1,2,0) \) a \( f(e_2) = (-1,1,3) \) v \( \mathbb{R}^3 \). Protože máme dva vektory, jejich lineární nezávislost rozhodne o dimenzi obrazu.
Zkontrolujeme, zda jsou vektory lineárně nezávislé:
Předpokládejme existenci \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \), takových že
Z třetí rovnice: \( 3 \beta = 0 \Rightarrow \beta = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \).
Z druhé rovnice plyne \( 2\alpha + \beta = 0 \Rightarrow 0 + 0 = 0 \) je splněna.
Protože jediným řešením je \( \alpha = \beta = 0 \), vektory jsou lineárně nezávislé.
Krok 6: Shrnutí dimenzí a vlastností
Dimenze jádra je \(0\), protože \( \ker f = \{0\} \).
Dimenze obrazu je \(2\), protože vektory \( f(e_1) \) a \( f(e_2) \) jsou lineárně nezávislé.
Protože \( \dim \mathrm{Im} f = 2 \) a cílový prostor má dimenzi 3, zobrazení není surjektivní.
Zobrazení je injektivní.
Krok 7: Význam výsledku
Lineární zobrazení z \( \mathbb{R}^2 \) do \( \mathbb{R}^3 \) s danou maticí je vložením \(2\)-rozměrného prostoru do \(3\)-rozměrného, tedy jeho obraz je \(2\)-rozměrný podprostor v \( \mathbb{R}^3 \). Jádro je triviální, takže žádné dva různé vektory nejsou zobrazeny na stejný obraz, tedy zobrazení je injektivní.
97. Lineární zobrazení: Mějme \( f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \), definované jako \( f(x,y,z) = (x + y, y + z, x + z) \). Určete jádro, obraz a rozhodněte o injektivnosti a surjektivnosti.
Řešení příkladu 97:
Krok 1: Porozumění zadání
Zobrazení \( f \) je z \( \mathbb{R}^3 \) do \( \mathbb{R}^3 \). Matici zobrazení lze odvodit z hodnot na standardních bázových vektorech \( e_1, e_2, e_3 \).
