1. Vyřeš rovnici: \( \log_2(x – 1) = 3 \)
Řešení příkladu:
Použijeme definici logaritmu: \( \log_a b = c \Rightarrow a^c = b \)
\( \log_2(x – 1) = 3 \Rightarrow x – 1 = 2^3 = 8 \)
\( x = 8 + 1 = 9 \)
Podmínka: \( x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \), což je splněno.
Výsledek: \( x = 9 \)
2. Vyřeš rovnici: \( \log_3(x) + \log_3(x – 2) = 1 \)
Řešení příkladu:
Sečteme logaritmy: \( \log_3(x(x – 2)) = 1 \Rightarrow \log_3(x^2 – 2x) = 1 \)
Převedeme na exponenciální tvar: \( x^2 – 2x = 3^1 = 3 \)
\( x^2 – 2x – 3 = 0 \Rightarrow (x – 3)(x + 1) = 0 \)
Možná řešení: \( x = 3 \) nebo \( x = -1 \)
Podmínky: \( x > 0 \) a \( x – 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \), takže platí jen \( x = 3 \)
Výsledek: \( x = 3 \)
3. Vyřeš rovnici: \( \log_5(2x + 1) = \log_5(7) \)
Řešení příkladu:
Protože logaritmy mají stejný základ, můžeme rovnici zjednodušit:
\( 2x + 1 = 7 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \)
Podmínka: \( 2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -0.5 \), což je splněno.
Výsledek: \( x = 3 \)
4. Vyřeš rovnici: \( \log(x^2 – 4) = 1 \)
Řešení příkladu:
Základ desítkového logaritmu: \( \log(x^2 – 4) = 1 \Rightarrow x^2 – 4 = 10 \)
\( x^2 = 14 \Rightarrow x = \pm\sqrt{14} \)
Podmínka: \( x^2 – 4 > 0 \Rightarrow x^2 > 4 \Rightarrow x < -2 \) nebo \( x > 2 \)
Platné řešení: \( x = \sqrt{14} \), protože \( \sqrt{14} > 2 \)
Výsledek: \( x = \sqrt{14} \)
5. Vyřeš rovnici: \( \log_4(x + 3) = 2 \)
Řešení příkladu:
\( \log_4(x + 3) = 2 \Rightarrow x + 3 = 4^2 = 16 \Rightarrow x = 13 \)
Podmínka: \( x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3 \), což je splněno.
Výsledek: \( x = 13 \)
6. Vyřeš rovnici: \( \log_2(x + 1) + \log_2(x – 1) = 4 \)
Řešení příkladu:
Sečteme logaritmy: \( \log_2((x + 1)(x – 1)) = 4 \Rightarrow \log_2(x^2 – 1) = 4 \)
\( x^2 – 1 = 2^4 = 16 \Rightarrow x^2 = 17 \Rightarrow x = \pm\sqrt{17} \)
Podmínky: \( x + 1 > 0 \), \( x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
Platné řešení: \( x = \sqrt{17} \)
Výsledek: \( x = \sqrt{17} \)
7. Vyřeš rovnici: \( \log_7(3x – 5) = \log_7(2x + 1) \)
Řešení příkladu:
Protože logaritmy mají stejný základ, rovná se i jejich argument:
\( 3x – 5 = 2x + 1 \Rightarrow x = 6 \)
Podmínky: \( 3x – 5 > 0 \Rightarrow x > \frac{5}{3} \) a \( 2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -0.5 \)
Obě podmínky splněny.
Výsledek: \( x = 6 \)
8. Vyřeš rovnici: \( \log_{10}(x) = \frac{1}{2} \)
Řešení příkladu:
\( x = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} \)
Podmínka: \( x > 0 \), což je splněno.
Výsledek: \( x = \sqrt{10} \)
9. Vyřeš rovnici: \( \log_2(5x + 4) – \log_2(x + 1) = 3 \)
Řešení příkladu:
Rozdíl logaritmů: \( \log_2\left(\frac{5x + 4}{x + 1}\right) = 3 \)
Převedeme na exponenciální tvar: \( \frac{5x + 4}{x + 1} = 8 \)
\( 5x + 4 = 8x + 8 \Rightarrow -3x = 4 \Rightarrow x = -\frac{4}{3} \)
Podmínky: \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \), což není splněno.
Řešení je nepřípustné – rovnice nemá řešení.
Výsledek: Rovnice nemá řešení.
10. Vyřeš rovnici: \( \log_3(x + 2) + \log_3(2x – 1) = \log_3(21) \)
Řešení příkladu:
Sečteme logaritmy: \( \log_3((x + 2)(2x – 1)) = \log_3(21) \)
\( (x + 2)(2x – 1) = 21 \Rightarrow 2x^2 + 3x – 2 = 21 \)
\( 2x^2 + 3x – 23 = 0 \)
Diskriminant: \( D = 9 + 184 = 193 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{193}}{4} \)
Přibližně \( x \approx 1.34 \) nebo \( x \approx -8.59 \)
Podmínky: \( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \), \( 2x – 1 > 0 \Rightarrow x > 0.5 \)
Platné řešení: \( x \approx 1.34 \)
Výsledek: \( x = \frac{-3 + \sqrt{193}}{4} \)
11. Vyřeš rovnici: \( \log_2(x + 3) + \log_2(2x – 1) = 5 \)
Řešení příkladu:
\( \log_2((x + 3)(2x – 1)) = 5 \Rightarrow (x + 3)(2x – 1) = 2^5 = 32 \)
\( 2x^2 + 5x – 3 = 32 \Rightarrow 2x^2 + 5x – 35 = 0 \)
\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 280}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{305}}{4} \)
Jen kladné řešení přibližně \( x \approx 2.07 \) vyhovuje podmínkám.
Výsledek: \( x = \frac{-5 + \sqrt{305}}{4} \)
12. Vyřeš rovnici: \( \log_3(x^2 – 2x) = \log_3(3x – 4) \)
Řešení příkladu:
\( x^2 – 2x = 3x – 4 \Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x – 4)(x – 1) = 0 \)
Možnosti: \( x = 4 \), \( x = 1 \)
Podmínky: \( x^2 – 2x > 0 \) a \( 3x – 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{3} \)
Platí pouze \( x = 4 \)
Výsledek: \( x = 4 \)
13. Vyřeš rovnici: \( \log(x^2 + 2x + 1) = 2 \)
Řešení příkladu:
\( x^2 + 2x + 1 = 10^2 = 100 \Rightarrow (x + 1)^2 = 100 \)
\( x + 1 = \pm10 \Rightarrow x = 9 \) nebo \( x = -11 \)
Podmínka: \( x^2 + 2x + 1 > 0 \) platí vždy kromě \( x = -1 \)
Obě řešení vyhovují.
Výsledek: \( x = -11 \) nebo \( x = 9 \)
14. Vyřeš rovnici: \( \log_5(x + 2) – \log_5(x – 3) = 1 \)
Řešení příkladu:
\( \log_5\left(\frac{x + 2}{x – 3}\right) = 1 \Rightarrow \frac{x + 2}{x – 3} = 5 \)
\( x + 2 = 5x – 15 \Rightarrow -4x = -17 \Rightarrow x = \frac{17}{4} \)
Podmínky: \( x > 3 \), což je splněno.
Výsledek: \( x = \frac{17}{4} \)
15. Vyřeš rovnici: \( 2\log_2(x) – \log_2(4) = 3 \)
Řešení příkladu:
\( 2\log_2(x) – 2 = 3 \Rightarrow 2\log_2(x) = 5 \Rightarrow \log_2(x) = \frac{5}{2} \)
\( x = 2^{2.5} = \sqrt{32} \)
Výsledek: \( x = \sqrt{32} \)
16. Vyřeš rovnici: \( \log_{1/2}(x – 2) = -3 \)
Řešení příkladu:
\( x – 2 = (1/2)^{-3} = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 10 \)
Podmínka: \( x – 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)
Výsledek: \( x = 10 \)
17. Vyřeš rovnici: \( \log_4(x^2 – 5x + 6) = 0 \)
Řešení příkladu:
\( x^2 – 5x + 6 = 1 \Rightarrow x^2 – 5x + 5 = 0 \)
\( x = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} \)
Obě řešení vyhovují podmínce \( x^2 – 5x + 6 > 0 \)
Výsledek: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} \)
18. Vyřeš rovnici: \( \log_6(2x + 1)^2 = 2 \)
Řešení příkladu:
\( (2x + 1)^2 = 6^2 = 36 \Rightarrow 2x + 1 = \pm6 \)
\( 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2} \) nebo \( 2x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} \)
Podmínka: \( 2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -0.5 \), takže jen \( x = \frac{5}{2} \)
Výsledek: \( x = \frac{5}{2} \)
19. Vyřeš rovnici: \( \log_2(\log_2(x)) = 1 \)
Řešení příkladu:
\( \log_2(x) = 2 \Rightarrow x = 4 \)
Podmínka: \( \log_2(x) > 0 \Rightarrow x > 1 \), splněno.
Výsledek: \( x = 4 \)
20. Vyřeš rovnici: \( \log_9(x) + \log_3(x) = 4 \)
Řešení příkladu:
\( \log_9(x) = \frac{\log_3(x)}{\log_3(9)} = \frac{\log_3(x)}{2} \)
\( \frac{\log_3(x)}{2} + \log_3(x) = 4 \Rightarrow \frac{3\log_3(x)}{2} = 4 \)
\( \log_3(x) = \frac{8}{3} \Rightarrow x = 3^{8/3} \)
Výsledek: \( x = 3^{8/3} \)
21. Vyřeš rovnici: \( \log_2(x^2 – 4x + 5) = \log_2(3x – 2) \)
Řešení příkladu:
\( x^2 – 4x + 5 = 3x – 2 \Rightarrow x^2 – 7x + 7 = 0 \)
\( x = \frac{7 \pm \sqrt{49 – 28}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2} \)
Obě hodnoty jsou přibližně větší než 2, splňují podmínky.
Výsledek: \( x = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2} \)
22. Vyřeš rovnici: \( \log_3(x + 1) + \log_3(2x – 3) = \log_3(15) \)
Řešení příkladu:
\( \log_3((x + 1)(2x – 3)) = \log_3(15) \Rightarrow (x + 1)(2x – 3) = 15 \)
\( 2x^2 – x – 3 = 15 \Rightarrow 2x^2 – x – 18 = 0 \)
\( x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 144}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{4} \)
Jen kladné řešení vyhovuje podmínkám.
Výsledek: \( x = \frac{1 + \sqrt{145}}{4} \)
23. Vyřeš rovnici: \( \log_{x}(16) = 4 \)
Řešení příkladu:
\( x^4 = 16 \Rightarrow x = \sqrt[4]{16} = \sqrt{2^2} = \sqrt{4} = 2 \)
Výsledek: \( x = 2 \)
24. Vyřeš rovnici: \( \log_5(x^2 – 6x + 10) = 2 \log_5(x – 1) \)
Řešení příkladu:
\( \log_5(x^2 – 6x + 10) = \log_5((x – 1)^2) \)
\( x^2 – 6x + 10 = x^2 – 2x + 1 \Rightarrow -6x + 10 = -2x + 1 \)
\( -4x = -9 \Rightarrow x = \frac{9}{4} \)
Podmínka: \( x > 1 \) je splněna.
Výsledek: \( x = \frac{9}{4} \)
25. Vyřeš rovnici: \( \log_2(\log_3(x)) = 2 \)
Řešení příkladu:
\( \log_3(x) = 2^2 = 4 \Rightarrow x = 3^4 = 81 \)
Výsledek: \( x = 81 \)
26. Vyřeš rovnici: \( \log_4(3x + 1) = \log_2(x + 5) \)
Řešení příkladu:
\( \frac{\log_2(3x + 1)}{2} = \log_2(x + 5) \Rightarrow \log_2(3x + 1) = 2\log_2(x + 5) \)
\( \log_2(3x + 1) = \log_2((x + 5)^2) \Rightarrow 3x + 1 = (x + 5)^2 \)
\( 3x + 1 = x^2 + 10x + 25 \Rightarrow x^2 + 7x + 24 = 0 \)
Diskriminant záporný, rovnice nemá řešení.
Výsledek: Rovnice nemá řešení
27. Vyřeš rovnici: \( \log_{0.1}(2x – 1) = -2 \)
Řešení příkladu:
\( 2x – 1 = 0.1^{-2} = 100 \Rightarrow 2x = 101 \Rightarrow x = \frac{101}{2} \)
Výsledek: \( x = \frac{101}{2} \)
28. Vyřeš rovnici: \( \log_2(x – 1) + \log_2(x + 1) = 3 \)
Řešení příkladu:
\( \log_2((x – 1)(x + 1)) = 3 \Rightarrow \log_2(x^2 – 1) = 3 \Rightarrow x^2 – 1 = 8 \)
\( x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm3 \), ale podmínka: \( x > 1 \)
Výsledek: \( x = 3 \)
29. Vyřeš rovnici: \( \log_5(x) = \log_{25}(x^2 + 6x + 9) \)
Řešení příkladu:
\( \log_5(x) = \frac{\log_5((x + 3)^2)}{\log_5(25)} = \frac{2\log_5(x + 3)}{2} = \log_5(x + 3) \)
\( x = x + 3 \Rightarrow 0 = 3 \), nesmysl
Výsledek: Rovnice nemá řešení
30. Vyřeš rovnici: \( \log(x + 2) + \log(3 – x) = 1 \)
Řešení příkladu:
\( \log((x + 2)(3 – x)) = 1 \Rightarrow (x + 2)(3 – x) = 10 \)
\( -x^2 + x + 6 = 10 \Rightarrow x^2 – x + 4 = 0 \)
Diskriminant záporný, rovnice nemá řešení
Výsledek: Rovnice nemá řešení
