1. Zadání: Zkrať výraz \( \frac{4x^2y}{2xy^2} \).
Řešení:
\( \frac{4x^2y}{2xy^2} = \frac{4}{2} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y^2} = 2x \cdot \frac{1}{y} = \frac{2x}{y} \)
2. Zadání: Vypočítej: \( \frac{3x}{5} + \frac{2x}{5} \)
Řešení:
\( \frac{3x}{5} + \frac{2x}{5} = \frac{5x}{5} = x \)
3. Zadání: Zjednoduš výraz: \( \frac{x^2 – 9}{x – 3} \)
Řešení:
Rozklad v čitateli: \( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \)
\( \Rightarrow \frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3 \) (pro \( x \ne 3 \))
4. Zadání: Vypočítej: \( \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} \)
Řešení:
\( \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{ab}{ba} = 1 \) (pro \( a \ne 0, b \ne 0 \))
5. Zadání: Zkrať výraz: \( \frac{6x^2 – 12x}{3x} \)
Řešení:
Čitatel: \( 6x^2 – 12x = 6x(x – 2) \)
\( \Rightarrow \frac{6x(x – 2)}{3x} = 2(x – 2) \)
6. Zadání: Sečti: \( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \)
Řešení:
Společný jmenovatel: \( x^2 \)
\( \Rightarrow \frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2} = \frac{2x + 3}{x^2} \)
7. Zadání: Rozděl a zjednoduš: \( \frac{x^2 + x}{x} \)
Řešení:
\( \frac{x^2 + x}{x} = \frac{x(x + 1)}{x} = x + 1 \) (pro \( x \ne 0 \))
8. Zadání: Vypočítej: \( \frac{x + 2}{x – 1} \cdot \frac{x – 1}{x + 2} \)
Řešení:
Výraz se zkrátí celý: výsledek je \( 1 \) (pro \( x \ne -2, x \ne 1 \))
9. Zadání: Uprav složený zlomek: \( \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{1} \)
Řešení:
Výraz lze zapsat jako: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy} \)
10. Zadání: Uprav výraz: \( \frac{x^2 – 4}{x^2 – x – 6} \)
Řešení:
Čitatel: \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \)
Jmenovatel: \( x^2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) \)
Výraz: \( \frac{(x – 2)(x + 2)}{(x – 3)(x + 2)} = \frac{x – 2}{x – 3} \) (pro \( x \ne -2, 3 \))
11. Zadání: Uprav výraz \( \frac{x^2 – 16}{x^2 + 4x + 4} \).
Řešení:
Čitatel: \( x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4) \)
Jmenovatel: \( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \)
Výraz nelze dále krátit. Výsledek: \( \frac{(x – 4)(x + 4)}{(x + 2)^2} \)
12. Zadání: Rozděl zlomek: \( \frac{2x + 6}{x} \)
Řešení:
\( \frac{2x + 6}{x} = \frac{2x}{x} + \frac{6}{x} = 2 + \frac{6}{x} \)
13. Zadání: Uprav složený výraz: \( \frac{\frac{x+1}{x-1}}{\frac{x^2 – 1}{x^2}} \)
Řešení:
Rozklad: \( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \)
Celý výraz: \( \frac{x+1}{x-1} \cdot \frac{x^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2}{(x – 1)^2} \)
14. Zadání: Vypočítej: \( \frac{a^2 – b^2}{a – b} \)
Řešení:
Rozklad: \( a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \)
\( \Rightarrow \frac{(a – b)(a + b)}{a – b} = a + b \) (pro \( a \ne b \))
15. Zadání: Zkrať: \( \frac{5x^2y – 10xy^2}{5xy} \)
Řešení:
Rozklad čitatele: \( 5xy(x – 2y) \)
\( \Rightarrow \frac{5xy(x – 2y)}{5xy} = x – 2y \)
16. Zadání: Vypočítej: \( \frac{3}{x + 2} – \frac{1}{x + 2} \)
Řešení:
\( \frac{3 – 1}{x + 2} = \frac{2}{x + 2} \)
17. Zadání: Uprav a zkrať: \( \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} \)
Řešení:
Čitatel: \( (x + 1)^2 \)
\( \Rightarrow \frac{(x + 1)^2}{x + 1} = x + 1 \)
18. Zadání: Sečti: \( \frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} \)
Řešení:
Společný jmenovatel: \( x(x + 1) \)
\( \Rightarrow \frac{(x + 1) + 2x}{x(x + 1)} = \frac{3x + 1}{x(x + 1)} \)
19. Zadání: Zkrať: \( \frac{2x^2 + 4x}{2x} \)
Řešení:
Čitatel: \( 2x(x + 2) \)
\( \Rightarrow \frac{2x(x + 2)}{2x} = x + 2 \)
20. Zadání: Uprav: \( \frac{1}{x} – \frac{x}{x^2} \)
Řešení:
\( \frac{1}{x} – \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} – \frac{1}{x} = 0 \)
21. Zadání: Uprav složený zlomek: \( \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 – \frac{2}{x}} \)
Řešení:
Společný jmenovatel ve zlomku je \( x \):
\( \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 – \frac{2}{x}} = \frac{\frac{x + 2}{x}}{\frac{x – 2}{x}} = \frac{x + 2}{x – 2} \)
22. Zadání: Zkrať výraz: \( \frac{x^3 – x}{x^2 – 1} \)
Řešení:
Rozklad: \( x^3 – x = x(x^2 – 1) = x(x – 1)(x + 1) \)
Jmenovatel: \( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \)
\( \Rightarrow \frac{x(x – 1)(x + 1)}{(x – 1)(x + 1)} = x \)
23. Zadání: Rozlož a zkrať: \( \frac{2x^2 + 8x + 8}{2x + 4} \)
Řešení:
Čitatel: \( 2x^2 + 8x + 8 = 2(x^2 + 4x + 4) = 2(x + 2)^2 \)
Jmenovatel: \( 2x + 4 = 2(x + 2) \)
\( \Rightarrow \frac{2(x + 2)^2}{2(x + 2)} = x + 2 \)
24. Zadání: Sečti: \( \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x – 1} \)
Řešení:
Společný jmenovatel: \( (x + 1)(x – 1) \)
Po úpravě: \( \frac{2(x – 1) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x – 1)} = \frac{2x – 2 + 3x + 3}{x^2 – 1} = \frac{5x + 1}{x^2 – 1} \)
25. Zadání: Uprav: \( \frac{x^2 – 9}{x^2 – 6x + 9} \cdot \frac{x – 3}{x + 3} \)
Řešení:
Rozklad: \( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \), \( x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2 \)
\( \Rightarrow \frac{(x – 3)(x + 3)}{(x – 3)^2} \cdot \frac{x – 3}{x + 3} = \frac{(x – 3)(x + 3)(x – 3)}{(x – 3)^2(x + 3)} = x – 3 \)
26. Zadání: Odečti: \( \frac{x^2 + x}{x} – \frac{2x + 1}{x} \)
Řešení:
Sečti čitatele: \( \frac{x^2 + x – 2x – 1}{x} = \frac{x^2 – x – 1}{x} \)
27. Zadání: Uprav: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} – \frac{2x + 1}{x(x + 1)} \)
Řešení:
První dva zlomky sečteme: \( \frac{(x + 1) + x}{x(x + 1)} = \frac{2x + 1}{x(x + 1)} \)
\( \Rightarrow \frac{2x + 1}{x(x + 1)} – \frac{2x + 1}{x(x + 1)} = 0 \)
28. Zadání: Rozlož: \( \frac{x^3 + x^2 – x – 1}{x + 1} \)
Řešení:
Seskupování: \( (x^3 + x^2) – (x + 1) = x^2(x + 1) -1(x + 1) = (x^2 – 1)(x + 1) \)
\( \Rightarrow \frac{(x + 1)(x^2 – 1)}{x + 1} = x^2 – 1 \)
29. Zadání: Uprav: \( \frac{x^2 – 4x + 4}{x^2 – 2x} \)
Řešení:
Čitatel: \( (x – 2)^2 \), jmenovatel: \( x(x – 2) \)
\( \Rightarrow \frac{(x – 2)^2}{x(x – 2)} = \frac{x – 2}{x} \)
30. Zadání: Zkrať: \( \frac{4x^2 – 25y^2}{2x + 5y} \)
Řešení:
Rozklad čitatele: \( (2x – 5y)(2x + 5y) \)
\( \Rightarrow \frac{(2x – 5y)(2x + 5y)}{2x + 5y} = 2x – 5y \)
