Mnohočleny

Řešení příkladu 1:

Máme dva mnohočleny:

\( P(x) = 3x^2 + 5x – 7 \)

\( Q(x) = 2x^2 – 3x + 4 \)

Chceme spočítat součet \( P(x) + Q(x) \):

\( (3x^2 + 5x – 7) + (2x^2 – 3x + 4) = (3x^2 + 2x^2) + (5x – 3x) + (-7 + 4) \)

\( = 5x^2 + 2x – 3 \)

Tedy součet je \( 5x^2 + 2x – 3 \).

Řešení příkladu 2:

Mnohočleny jsou:

\( P(x) = 4x^3 – x + 6 \)

\( Q(x) = x^3 + 2x – 3 \)

Rozdíl je \( P(x) – Q(x) \):

\( (4x^3 – x + 6) – (x^3 + 2x – 3) = 4x^3 – x + 6 – x^3 – 2x + 3 \)

Sečteme podobné členy:

\( (4x^3 – x^3) + (-x – 2x) + (6 + 3) = 3x^3 – 3x + 9 \)

Tedy rozdíl je \( 3x^3 – 3x + 9 \).

Řešení příkladu 3:

Máme:

\( A(x) = x + 3 \)

\( B(x) = 2x^2 – x + 4 \)

Vynásobíme každý člen prvního mnohočlenu každým členem druhého:

\( (x)(2x^2) = 2x^3 \)

\( (x)(-x) = -x^2 \)

\( (x)(4) = 4x \)

\( (3)(2x^2) = 6x^2 \)

\( (3)(-x) = -3x \)

\( (3)(4) = 12 \)

Sečteme všechny členy:

\( 2x^3 + (-x^2 + 6x^2) + (4x – 3x) + 12 = 2x^3 + 5x^2 + x + 12 \)

Tedy součin je \( 2x^3 + 5x^2 + x + 12 \).

Řešení příkladu 4:

Máme:

\( P(x) = x^2 – 4 \)

\( Q(x) = x + 2 \)

Vynásobíme každý člen \( P(x) \) členem \( Q(x) \):

\( (x^2)(x) = x^3 \)

\( (x^2)(2) = 2x^2 \)

\( (-4)(x) = -4x \)

\( (-4)(2) = -8 \)

Sečteme výsledky:

\( x^3 + 2x^2 – 4x – 8 \)

Tedy součin je \( x^3 + 2x^2 – 4x – 8 \).

Řešení příkladu 5:

Mnohočlen \( x^2 – 9 \) je rozdíl dvou druhých mocnin, protože:

\( x^2 = (x)^2 \) a \( 9 = (3)^2 \)

Rozklad pomocí vzorce pro rozdíl druhých mocnin:

\( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \)

Tedy rozklad na součin je \( (x – 3)(x + 3) \).

Řešení příkladu 6:

Dosadíme \( x = 2 \) do výrazu:

\( 2(2)^3 – 5(2)^2 + (2) – 7 \)

Nejprve spočítáme mocniny:

\( 2^3 = 8 \), \( 2^2 = 4 \)

Dosadíme:

\( 2 \cdot 8 – 5 \cdot 4 + 2 – 7 = 16 – 20 + 2 – 7 \)

Vypočítáme postupně:

\( 16 – 20 = -4 \)

\( -4 + 2 = -2 \)

\( -2 – 7 = -9 \)

Tedy hodnota mnohočlenu pro \( x = 2 \) je \( -9 \).

Řešení příkladu 7:

Mnohočlen je kvadratický:

\( x^2 – 5x + 6 = 0 \)

Hledáme \( x \), které splňují tuto rovnici.

Nejprve rozložíme na součin:

Hledáme dva čísla, jejichž součin je \( 6 \) a součet \( -5 \). Jsou to \( -2 \) a \( -3 \).

Tedy:

\( x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) = 0 \)

Podmínka pro součin nulový:

\( x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)

\( x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)

Tedy kořeny jsou \( x = 2 \text{ a } x = 3 \).

Řešení příkladu 8:

Máme výraz:

\( (x^2 + 3x – 4) – (2x^2 – x + 5) \)

Rozepíšeme odečítání člen po členu:

\( x^2 + 3x – 4 – 2x^2 + x – 5 \)

Sečteme podobné členy:

\( (x^2 – 2x^2) + (3x + x) + (-4 – 5) = -x^2 + 4x – 9 \)

Tedy zjednodušený výraz je \( -x^2 + 4x – 9 \).

Řešení příkladu 9:

Máme:

\( (x – 1)(x^2 + x + 1) \)

Vynásobíme každý člen prvního mnohočlenu každým členem druhého:

\( x \cdot x^2 = x^3 \)

\( x \cdot x = x^2 \)

\( x \cdot 1 = x \)

\( -1 \cdot x^2 = -x^2 \)

\( -1 \cdot x = -x \)

\( -1 \cdot 1 = -1 \)

Sečteme členy:

\( x^3 + x^2 + x – x^2 – x – 1 = x^3 + (x^2 – x^2) + (x – x) – 1 = x^3 – 1 \)

Tedy součin je \( x^3 – 1 \).

Řešení příkladu 10:

Mnohočlen \( x^3 – 8 \) je rozdíl dvou třetích mocnin, protože:

\( x^3 = (x)^3 \), \( 8 = 2^3 \)

Vzorec pro rozdíl třetích mocnin je:

\( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \)

Dosadíme \( a = x \), \( b = 2 \):

\( x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4) \)

Tedy rozklad na součin je \( (x – 2)(x^2 + 2x + 4) \).

Řešení:

Nejprve hledáme největší společný faktor u všech členů mnohočlenu \(3x^3 – 6x^2 + 9x\).

Čísla: \(3, -6, 9\) mají největší společný dělitel 3. Každý člen obsahuje také proměnnou \(x\) v minimální mocnině \(x^1\).

Vyjmeme tedy \(3x\):

\(3x^3 – 6x^2 + 9x = 3x(x^2 – 2x + 3)\).

Polynom v závorce \(x^2 – 2x + 3\) není snadno faktorizovatelný (je kvadratický s diskriminantem \(\Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 – 12 = -8 < 0\)), takže nemá reálné kořeny.

Tedy rozklad na součin je:

\(3x(x^2 – 2x + 3)\).

Řešení:

Sečteme mnohočleny člen po členu podle stejných mocnin:

\( (2x^2 + 3x – 5) + (x^3 – 4x^2 + 7) = x^3 + (2x^2 – 4x^2) + 3x + (-5 + 7) \)

Upravíme jednotlivé části:

\(2x^2 – 4x^2 = -2x^2\), \quad \(-5 + 7 = 2\).

Celý výraz tedy je:

\(x^3 – 2x^2 + 3x + 2\).

Řešení:

Použijeme rozklad podle distributivního zákona (násobení jednoho členu mnohočlenu s každým členem druhého):

\((x – 2)(x^2 + 3x + 4) = x \cdot (x^2 + 3x + 4) – 2 \cdot (x^2 + 3x + 4)\).

Rozepíšeme jednotlivé části:

\(x \cdot x^2 = x^3\), \quad \(x \cdot 3x = 3x^2\), \quad \(x \cdot 4 = 4x\).

\(-2 \cdot x^2 = -2x^2\), \quad \(-2 \cdot 3x = -6x\), \quad \(-2 \cdot 4 = -8\).

Sečteme všechny členy:

\(x^3 + 3x^2 + 4x – 2x^2 – 6x – 8\).

Upravíme podobné členy:

\(3x^2 – 2x^2 = x^2\), \quad \(4x – 6x = -2x\).

Výsledný mnohočlen je:

\(x^3 + x^2 – 2x – 8\).

Řešení:

Pro kvadratický mnohočlen \(2x^2 – 7x + 3\) je vzorec pro kořeny:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\), kde \(a=2\), \(b=-7\), \(c=3\).

Nejprve spočítáme diskriminant:

\(\Delta = b^2 – 4ac = (-7)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 – 24 = 25\).

Diskriminant je kladný, tedy existují dva reálné kořeny:

\(x_1 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3\),

\(x_2 = \frac{7 – 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Kořeny mnohočlenu jsou \(x_1 = 3\) a \(x_2 = \frac{1}{2}\).

Řešení:

Nejprve vyjmeme \(x\):

\(x^3 – 4x = x(x^2 – 4)\).

Výraz \(x^2 – 4\) je rozdíl čtverců, což rozložíme jako:

\(x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)\).

Tedy celkový rozklad je:

\(x(x – 2)(x + 2)\).

Řešení:

Sčítáme jednotlivé členy podle mocnin:

\(4x^3 – 2x^3 = 2x^3\),

\(0 + 3x^2 = 3x^2\) (v prvním mnohočlenu není člen \(x^2\)),

\(-x + 0 = -x\),

\(5 – 7 = -2\).

Výsledný mnohočlen je:

\(2x^3 + 3x^2 – x – 2\).

Řešení:

Vynásobíme každý člen prvního mnohočlenu každým členem druhého mnohočlenu:

\(2x \cdot x^2 = 2x^3\), \(2x \cdot (-x) = -2x^2\), \(2x \cdot 4 = 8x\).

\(3 \cdot x^2 = 3x^2\), \(3 \cdot (-x) = -3x\), \(3 \cdot 4 = 12\).

Sčteme všechny členy:

\(2x^3 + (-2x^2 + 3x^2) + (8x – 3x) + 12\).

Upravíme podobné členy:

\(-2x^2 + 3x^2 = x^2\), \(8x – 3x = 5x\).

Výsledný mnohočlen je:

\(2x^3 + x^2 + 5x + 12\).

Řešení:

Nejprve zkusíme najít kořen dosazením jednoduchých hodnot (zkoušíme \(x=1, 2, 3, …\)):

Pro \(x=3\):

\(3^3 – 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 – 12 = 27 – 27 + 12 – 12 = 0\).

Tedy \(x=3\) je kořen.

Rozložíme mnohočlen dělením:\(x^3 – 3x^2 + 4x – 12 : (x-3)\).

Polynom vydělíme:

1) Vydělíme \(x^3\) členem \(x\), dostaneme \(x^2\).

2) Násobíme \(x^2(x – 3) = x^3 – 3x^2\), odečteme od polynomu a zůstane \(4x – 12\).

3) Vydělíme \(4x\) členem \(x\), dostaneme \(+4\).

4) Násobíme \(4(x – 3) = 4x – 12\), odečteme a zbytek je 0.

Výsledkem dělení je \(x^2 + 4\), tedy:

\(x^3 – 3x^2 + 4x – 12 = (x – 3)(x^2 + 4)\).

Kvadratický člen \(x^2 + 4\) nemá reálné kořeny (diskriminant \(\Delta = 0 – 16 < 0\)), proto jsou reálné kořeny pouze \(x = 3\).

Řešení:

Výraz \(x^4 – 16\) je rozdíl dvou čtverců, protože \(x^4 = (x^2)^2\) a \(16 = 4^2\).

První krok:

\(x^4 – 16 = (x^2 – 4)(x^2 + 4)\).

Dále rozložíme \(x^2 – 4\) opět jako rozdíl čtverců:

\(x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)\).

Výraz \(x^2 + 4\) nelze rozložit v reálných číslech.

Celkový rozklad je tedy:

\((x – 2)(x + 2)(x^2 + 4)\).

Řešení:

Nejprve hledáme kořen dosazením jednoduchých čísel:

Pro \(x=1\): \(1 + 2 – 1 – 2 = 0\), tedy \(x=1\) je kořen.

Pro dělení použijeme Hornerovu metodu:

Koeficienty polynomu: \(1\) (pro \(x^3\)), \(2\) (pro \(x^2\)), \(-1\) (pro \(x\)), \(-2\) (konstanta).

Postup:

• Se sepíše první koeficient: 1
• Vynásobíme kořen 1, dostaneme 1, přičteme k druhému koeficientu: \(2 + 1 = 3\)
• Vynásobíme 3 kořenem 1, dostaneme 3, přičteme k třetímu koeficientu: \(-1 + 3 = 2\)
• Vynásobíme 2 kořenem 1, dostaneme 2, přičteme ke konstantě: \(-2 + 2 = 0\)

Zbytek je 0, tedy polynom lze rozložit:

\(x^3 + 2x^2 – x – 2 = (x – 1)(x^2 + 3x + 2)\).

Dále rozložíme kvadratický člen:

\(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\) (protože \(1 \cdot 2 = 2\) a \(1 + 2 = 3\)).

Celkový rozklad je:

\((x – 1)(x + 1)(x + 2)\).

Kořeny jsou tedy \(x = 1, -1, -2\).

Řešení:
Nejprve zkusíme najít racionální kořeny pomocí racionálního pravidla: možné kořeny jsou dělitele konstantního členu 3 dělené koeficientem u \(x^3\), tedy \(\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}\).

Zkusíme dosadit \(x=1\):
\(f(1) = 2(1)^3 – 3(1)^2 – 2(1) + 3 = 2 – 3 – 2 + 3 = 0\) → tedy \(x=1\) je kořen.

Pro dělení polynomem použijeme dělení mnohočlenu:\
\[ \frac{2x^3 – 3x^2 – 2x + 3}{x – 1} = 2x^2 – x – 3 \]

Teď vyřešíme kvadratickou rovnici \(2x^2 – x – 3 = 0\). Použijeme vzorec pro kořeny:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4} \]

Kořeny jsou:
\[ x_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{1 – 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Celkem tedy kořeny jsou: \(x = 1, \; x = \frac{3}{2}, \; x = -1\).

Řešení:
Pro \(x=2\):
\[ f(2) = 2^4 – 5 \cdot 2^2 + 6 = 16 – 5 \cdot 4 + 6 = 16 – 20 + 6 = 2 \]

Pro \(x = -1\):
\[ f(-1) = (-1)^4 – 5 \cdot (-1)^2 + 6 = 1 – 5 \cdot 1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2 \]

Hodnoty mnohočlenu jsou pro obě hodnoty \(x\) stejné a rovny \(2\).

Řešení:
Nejprve hledáme racionální kořeny podle dělitelů konstantního členu 10:
možní kořeni: \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\).

Zkusíme dosadit \(x=1\):
\(1 – 4 – 7 + 10 = 0\), takže \(x=1\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x-1)\):
\[ \frac{x^3 – 4x^2 – 7x + 10}{x – 1} = x^2 – 3x – 10 \]

Kvadratický mnohočlen rozložíme:
\[ x^2 – 3x – 10 = (x – 5)(x + 2) \]

Celkové rozložení:
\[ f(x) = (x – 1)(x – 5)(x + 2) \]

Řešení:
Mnohočlen je třetího stupně, tedy kořenů je maximálně 3. Součet kořenů podle Vieteových vzorců:
\[ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3} \]

Součin kořenů (při třetím stupni a kladném vedoucím koeficientu):
\[ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{4}{3} \]

Výsledky:
Součet kořenů je \(\frac{2}{3}\), součin kořenů je \(-\frac{4}{3}\).

Řešení:
Předpokládejme, že lze rozložit na součin dvou kvadratických mnohočlenů:
\[ (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \]
Násobení dává:
\[ x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd \]

Porovnáme s původním mnohočlenem:
\[ \begin{cases} a + c = -5 \\ ac + b + d = 8 \\ ad + bc = -5 \\ bd = 1 \end{cases} \]

Z poslední rovnice: \(b\) a \(d\) jsou dělitelé 1, tedy buď \((b,d) = (1,1)\) nebo \((-1,-1)\).
Zkoušíme \(b = 1, d = 1\):
\[ \begin{cases} a + c = -5 \\ ac + 1 + 1 = 8 \Rightarrow ac = 6 \\ a + c = -5 \end{cases} \]
Kvadratická rovnice pro \(a\) a \(c\) s podmínkami \(a + c = -5\) a \(ac=6\) je splněna pro kořeny \(a = -2\), \(c = -3\) (nebo naopak).

Tedy rozklad je:
\[ (x^2 – 2x + 1)(x^2 – 3x + 1) \]

Řešení:
Dosadíme \(x=3\):
\[ f(3) = (3-1)^2 \cdot (3+2) = 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20 \]

Řešení:
Rovnice je tvaru \(x^4 – 1 = (x^2)^2 – 1^2\), tedy rozdíl čtverců:
\[ (x^2 – 1)(x^2 + 1) = 0 \]

Dále rozložíme \(x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)\).
Rovnice \(x^2 + 1 = 0\) má komplexní kořeny \(x = \pm i\).

Celkový rozklad na lineární činitele:
\[ (x – 1)(x + 1)(x – i)(x + i) \] Kořeny jsou tedy \(x = \pm 1, \pm i\).

Řešení:
Podmínka dělitelnosti je, že \( f(2) = 0 \). Dosadíme:
\[ 2^3 + k \cdot 2^2 – 5 \cdot 2 + 6 = 0 \Rightarrow 8 + 4k – 10 + 6 = 0 \]

Spočítáme:
\[ 4k + 4 = 0 \Rightarrow 4k = -4 \Rightarrow k = -1 \]

Řešení:
Možní racionální kořeni jsou \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12\).
Zkusíme dosadit \(x=2\):
\(8 + 12 – 8 – 12 = 0\), tedy \(x=2\) je kořen.

Vydělíme mnohočlen \((x – 2)\):
\[ \frac{x^3 + 3x^2 – 4x – 12}{x – 2} = x^2 + 5x + 6 \]

Kvadratický člen rozložíme:
\[ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \]

Celý rozklad:
\[ (x – 2)(x + 2)(x + 3) \]

Řešení:
Předpokládáme substituci \( y = x^2 \), pak:
\[ 4y^2 – 25y + 9 = 0 \]

Vypočítáme diskriminant:
\[ D = (-25)^2 – 4 \cdot 4 \cdot 9 = 625 – 144 = 481 \]

Kořeny \(y\) jsou:
\[ y = \frac{25 \pm \sqrt{481}}{8} \]

Protože \(y = x^2\), kořeny \(x\) jsou:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{25 + \sqrt{481}}{8}}, \quad x = \pm \sqrt{\frac{25 – \sqrt{481}}{8}} \]

Řešení:
Hledáme kořeny pomocí racionálních kořenů \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\).
Dosadíme \(x=1\): \(1 – 6 + 11 – 6 = 0\), takže \(x=1\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x-1)\):
\[ \frac{x^3 – 6x^2 + 11x – 6}{x – 1} = x^2 – 5x + 6 \]

Kvadratický člen rozložíme:
\[ x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]

Celkový rozklad:
\[ (x-1)(x-2)(x-3) \]

Řešení:
Zkusíme racionální kořeny: dělitele \(3\) a \(2\), tj. \(\pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm3, \pm\frac{3}{2}\).
Dosadíme \(x=1\): \(2 + 3 – 2 – 3 = 0\), takže \(x=1\) je kořen.

Vydělíme \((x-1)\):
\[ \frac{2x^3 + 3x^2 – 2x – 3}{x – 1} = 2x^2 + 5x + 3 \]

Kvadratický člen rozložíme:
\[ 2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1) \]

Celý rozklad:
\[ (x – 1)(2x + 3)(x + 1) \]

Řešení:
Použijeme substituci \( y = x^2 \), pak:
\[ y^2 – 5y + 4 = 0 \]

Kořeny \(y\) jsou:
\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]

Takže \( y_1 = 4, y_2 = 1 \), tedy:
\[ (x^2 – 4)(x^2 – 1) \]

Rozložíme na lineární činitele:
\[ (x – 2)(x + 2)(x – 1)(x + 1) \]

Řešení:
Možné kořeny: \(\pm1, \pm2, \pm4\).
Dosadíme \(x= -1\): \(-1 + 1 + 4 – 4 = 0\), tedy \(x = -1\) je kořen.

Vydělíme \((x + 1)\):
\[ \frac{x^3 + x^2 – 4x – 4}{x + 1} = x^2 – 4 \]

Rozložíme kvadratický člen:
\[ x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \]

Celý rozklad:
\[ (x + 1)(x – 2)(x + 2) \]

Řešení:
Nejprve vytkneme 3:
\[ 3(x^3 – 2x^2 – x + 2) \]

Zkusíme kořen \(x=1\):
\(1 – 2 – 1 + 2 = 0\), kořen je \(x=1\).

Vydělíme \((x-1)\):
\[ x^3 – 2x^2 – x + 2 = (x – 1)(x^2 – x – 2) \]

Rozložíme kvadratický člen:
\[ x^2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1) \]

Celkový rozklad:
\[ 3(x – 1)(x – 2)(x + 1) \]

Řešení:
Polynom odpovídá vzorci \((x + 1)^4\):
\[ x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = (x + 1)^4 \]

Řešení:
Možné kořeny: \(\pm1, \pm2\).
Dosadíme \(x=1\): \(1 – 2 – 1 + 2 = 0\), kořen je \(x=1\).

Vydělíme \((x – 1)\):
\[ \frac{x^3 – 2x^2 – x + 2}{x – 1} = x^2 – x – 2 \]

Rozložíme kvadratický člen:
\[ x^2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1) \]

Celkový rozklad:
\[ (x – 1)(x – 2)(x + 1) \]

Řešení:
Je to rozdíl čtverců:
\[ 4x^4 – 1 = (2x^2)^2 – 1^2 = (2x^2 – 1)(2x^2 + 1) \]

Řešení:
Možné kořeny: \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\).
Dosadíme \(x=1\): \(1 + 4 + 1 – 6 = 0\), tedy kořen \(x=1\).

Vydělíme \((x – 1)\):
\[ \frac{x^3 + 4x^2 + x – 6}{x – 1} = x^2 + 5x + 6 \]

Rozložíme kvadratický člen:
\[ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \]

Celkový rozklad:
\[ (x – 1)(x + 2)(x + 3) \]

Řešení:
Je to rozdíl čtverců:
\[ x^4 – 16 = (x^2)^2 – 4^2 = (x^2 – 4)(x^2 + 4) \]

Dále rozložíme \(x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)\).
Člen \(x^2 + 4\) nemá reálné kořeny.

Celkový rozklad:
\[ (x – 2)(x + 2)(x^2 + 4) \]

Řešení:
Hledáme kořeny polynomu pomocí racionálních kořenů (dělitelé konstantního členu \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12\)):
Dosadíme \(x=1\): \(1 – 4 – 7 + 20 – 12 = -2 \neq 0\)
Dosadíme \(x=2\): \(16 – 32 – 28 + 40 – 12 = -16 \neq 0\)
Dosadíme \(x=3\): \(81 – 108 – 63 + 60 – 12 = -42 \neq 0\)
Dosadíme \(x=4\): \(256 – 256 – 112 + 80 – 12 = -44 \neq 0\)
Dosadíme \(x=6\): \(1296 – 864 – 252 + 120 – 12 = 288 \neq 0\)
Dosadíme \(x=-1\): \(1 + 4 – 7 – 20 – 12 = -34 \neq 0\)
Dosadíme \(x=-2\): \(16 + 32 – 28 – 40 – 12 = -32 \neq 0\)
Dosadíme \(x=-3\): \(81 + 108 – 63 – 60 – 12 = 54 \neq 0\)
Dosadíme \(x=-4\): \(256 + 256 – 112 – 80 – 12 = 308 \neq 0\)
Dosadíme \(x=-6\): \(1296 + 864 – 252 – 120 – 12 = 1776 \neq 0\)

Nejsou žádné racionální kořeny, proto zkusíme rozklad na součin dvou kvadratických:
\[ x^4 – 4x^3 – 7x^2 + 20x – 12 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \]

Rozepíšeme:
\[ x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd \]

Porovnáme koeficienty:
\[ \begin{cases} a + c = -4 \\ ac + b + d = -7 \\ ad + bc = 20 \\ bd = -12 \end{cases} \]

Zkusíme možnosti pro \(bd = -12\), např. \(b=3, d=-4\) nebo \(b=-3, d=4\) atd.
Zvolme \(b=3, d=-4\). Pak:
\[ ac + 3 – 4 = ac – 1 = -7 \Rightarrow ac = -6 \]

Dále:
\[ ad + bc = a(-4) + 3c = -4a + 3c = 20 \]
Z první rovnice: \(c = -4 – a\)
Dosadíme do rovnice pro \(ac\):
\[ a(-4 – a) = -6 \Rightarrow -4a – a^2 = -6 \Rightarrow a^2 + 4a – 6 = 0 \]

Vyřešíme kvadratickou rovnici:
\[ a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10} \]

Pro \(a = -2 + \sqrt{10}\), potom \(c = -4 – a = -4 – (-2 + \sqrt{10}) = -2 – \sqrt{10}\)
Spočítáme \(ad + bc = -4a + 3c\):
\[ -4(-2 + \sqrt{10}) + 3(-2 – \sqrt{10}) = 8 – 4\sqrt{10} – 6 – 3\sqrt{10} = 2 – 7\sqrt{10} \neq 20 \]

Pro \(a = -2 – \sqrt{10}\), podobně:
\[ -4a + 3c = 2 + 7\sqrt{10} \neq 20 \]

Žádná možnost nevede na 20, zkusíme jinou kombinaci \(b, d\), např. \(b=6, d=-2\):
\[ ac + 6 – 2 = ac + 4 = -7 \Rightarrow ac = -11 \]

\(bd = 6 \times (-2) = -12\) je správně.
Dále:
\[ ad + bc = a(-2) + 6c = -2a + 6c = 20 \]
Z \(a + c = -4\) dostaneme \(c = -4 – a\)
Dosadíme do \(ad + bc\):
\[ -2a + 6(-4 – a) = -2a – 24 – 6a = -8a – 24 = 20 \Rightarrow -8a = 44 \Rightarrow a = -\frac{44}{8} = -5.5 \]

Pak \(c = -4 – (-5.5) = 1.5\)
Zkontrolujeme \(ac = (-5.5)(1.5) = -8.25 \neq -11\), chyba.

Zkusíme \(b = -6, d=2\):
\[ ac – 6 + 2 = ac -4 = -7 \Rightarrow ac = -3 \]
\[ ad + bc = 2a – 6c = 20 \]
\(c = -4 – a\)
Dosadíme:
\[ 2a – 6(-4 – a) = 2a + 24 + 6a = 8a + 24 = 20 \Rightarrow 8a = -4 \Rightarrow a = -\frac{1}{2} \]
\(c = -4 – (-\frac{1}{2}) = -4 + \frac{1}{2} = -\frac{7}{2} = -3.5\)
Zkontrolujeme \(ac = (-\frac{1}{2})(-3.5) = 1.75 \neq -3\), nevyhovuje.

Po několika pokusech zjistíme, že rozklad na dva kvadratické členy s racionálními koeficienty není možný.
Polynom tedy zřejmě rozložitelný není bez použití komplexních čísel nebo numerických metod.

Závěr: Tento mnohočlen je ireducibilní nad reálnými čísly (nelze rozložit na jednodušší mnohočleny s reálnými koeficienty).

Řešení:
Hledáme racionální kořeny: dělitelé 12 jsou \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12\).
Dosadíme \(x=1\): \(1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0\) → kořen \(x=1\).
Vydělíme polynom \((x-1)\):
\[ \frac{x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12}{x – 1} = x^3 + 3x^2 – 4x – 12 \]
Hledáme kořeny dalšího polynomu:
Dosadíme \(x=2\): \(8 + 12 – 8 – 12 = 0\) → kořen \(x=2\).
Vydělíme \((x-2)\):
\[ \frac{x^3 + 3x^2 – 4x – 12}{x – 2} = x^2 + 5x + 6 \]
Rozložíme kvadratický člen:
\[ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \]

Celý rozklad:
\[ x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12 = (x – 1)(x – 2)(x + 2)(x + 3) \]

Řešení:
Polynom je čtvrtého stupně bez členů \(x^3\) a \(x\), což naznačuje substituci \(y = x^2\).
Pak:
\[ x^4 – 5x^2 + 6 = y^2 – 5y + 6 \]
Rozložíme kvadratický výraz:
\[ y^2 – 5y + 6 = (y – 2)(y – 3) \]
Dosadíme zpět \(y = x^2\):
\[ (x^2 – 2)(x^2 – 3) \]

Řešení:
Tento mnohočlen je známý jako \((x + 1)^4\) (binomický vzorec):
\[ (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \]

Řešení:
Použijeme substituci \(y = x^2\):
\[ x^4 – 10x^2 + 9 = y^2 – 10y + 9 \]
Najdeme kořeny kvadratické rovnice:
\[ y^2 – 10y + 9 = 0 \]
Diskriminant:
\[ \Delta = 100 – 36 = 64 \]
Kořeny:
\[ y_1 = \frac{10 – 8}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9 \]
Dosadíme zpět:
\[ (x^2 – 1)(x^2 – 9) = (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) \]

Řešení:
Zkusíme rozklad na dva kvadratické členy:
\[ x^4 – 8x^3 + 18x^2 – 16x + 5 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \]

Porovnání koeficientů:
\[ \begin{cases} a + c = -8 \\ ac + b + d = 18 \\ ad + bc = -16 \\ bd = 5 \end{cases} \]

Zkoušíme rozklady čísla 5: \(b=1, d=5\) nebo \(b=5, d=1\) nebo \(b=-1, d=-5\) atd.
Zkusíme \(b=1, d=5\):
\[ ac + 1 + 5 = 18 \Rightarrow ac = 12 \]
\[ a + c = -8 \]
\[ ad + bc = 5a + 1c = 5a + c = -16 \]

Dosadíme \(c = -8 – a\):
\[ ac = a(-8 – a) = -8a – a^2 = 12 \Rightarrow a^2 + 8a + 12 = 0 \]

Vyřešíme kvadratickou rovnici:
\[ a = \frac{-8 \pm \sqrt{64 – 48}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 \pm 4}{2} \]
\[ a_1 = -2, \quad a_2 = -6 \]

Pro \(a=-2\), \(c = -8 – (-2) = -6\)
Zkontrolujeme \(5a + c = 5(-2) + (-6) = -10 – 6 = -16\) → splněno.

Celý rozklad je:
\[ (x^2 – 2x + 1)(x^2 – 6x + 5) \]

Řešení:
Použijeme substituci \(y = x^2\):
\[ x^4 + 4x^2 + 4 = y^2 + 4y + 4 = (y + 2)^2 = (x^2 + 2)^2 \]

Řešení:
Zkusíme rozklad na dva kvadratické členy:
\[ x^4 – 2x^3 + 3x^2 – 2x + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \]

Porovnání koeficientů:
\[ \begin{cases} a + c = -2 \\ ac + b + d = 3 \\ ad + bc = -2 \\ bd = 1 \end{cases} \]

Možnosti pro \(bd=1\): \(b=1, d=1\) nebo \(b=-1, d=-1\)
Zkusíme \(b=1, d=1\):
\[ ac + 2 = 3 \Rightarrow ac = 1 \]
\[ ad + bc = a + c = -2 \]
Z první rovnice \(a + c = -2\)
Druhá rovnice je tedy stejná.
Z rovnic máme:
\[ a + c = -2, \quad ac = 1 \]
To je kvadratická rovnice pro \(a\):
\[ t^2 + 2t + 1 = 0 \]
\[ (t+1)^2 = 0 \Rightarrow t = -1 \]
\[ a = c = -1 \]

Rozklad:
\[ (x^2 – x + 1)^2 \]

Řešení:
Pokusíme se o rozklad na dva kvadratické členy:
\[ x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 12x + 4 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \]

Porovnání koeficientů:
\[ \begin{cases} a + c = -6 \\ ac + b + d = 13 \\ ad + bc = -12 \\ bd = 4 \end{cases} \]

Možnosti pro \(bd = 4\) jsou \(b=1,d=4; b=2,d=2; b=4,d=1\), i záporné hodnoty.
Zkusíme \(b=1, d=4\):
\[ ac + 5 = 13 \Rightarrow ac = 8 \]
\[ ad + bc = 4a + 1c = 4a + c = -12 \]
Z \(a + c = -6\) → \(c = -6 – a\)
Dosadíme do \(4a + c = -12\):
\[ 4a + (-6 – a) = 3a – 6 = -12 \Rightarrow 3a = -6 \Rightarrow a = -2 \]
\(c = -6 – (-2) = -4\)
Zkontrolujeme \(ac = (-2)(-4) = 8\) → OK

Celý rozklad:
\[ (x^2 – 2x + 1)(x^2 – 4x + 4) = (x – 1)^2 (x – 2)^2 \]

Řešení:
Hledáme racionální kořeny polynomu s konstantním členem 6:
\(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)
Dosadíme \(x=1\): \(1 + 1 – 7 – 1 + 6 = 0\) → kořen \(x=1\).
Vydělíme polynom \((x-1)\):
\[ \frac{x^4 + x^3 – 7x^2 – x + 6}{x – 1} = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \]
Hledáme kořeny nového polynomu:
Dosadíme \(x=2\): \(8 + 8 – 10 – 6 = 0\) → kořen \(x=2\).
Vydělíme \((x-2)\):
\[ \frac{x^3 + 2x^2 – 5x – 6}{x – 2} = x^2 + 4x + 3 \]
Rozložíme kvadratický člen:
\[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \]
Celý rozklad:
\[ (x – 1)(x – 2)(x + 1)(x + 3) \]