Množiny bodů dané vlastnosti

Vzdálenost od osy \(y\) je \(|x|\), vzdálenost od přímky \(x = 4\) je \(|x – 4|\).

Platí: \(|x| = |x – 4|\)

Řešíme: dvě rovnice: \(x = x – 4 \Rightarrow 0 = -4\), neřeší se;
\(-x = x – 4 \Rightarrow -2x = -4 \Rightarrow x = 2\)

Množinou je přímka \(x = 2\).

Vzdálenost bodu \([x;y]\) od \(A\) je \(\sqrt{x^2 + (y – 3)^2}\).

Vzdálenost od přímky \(y = -3\) je \(|y + 3|\).

Položíme rovnost: \(\sqrt{x^2 + (y – 3)^2} = |y + 3|\)

Umocníme: \(x^2 + (y – 3)^2 = (y + 3)^2\)

Roznásobíme: \(x^2 + y^2 – 6y + 9 = y^2 + 6y + 9\)

Po úpravě: \(x^2 – 12y = 0 \Rightarrow x^2 = 12y\)

Množinou je parabola otočená vzhůru s vrcholem v počátku.

Vzdálenost od \(B\): \(\sqrt{(x – 2)^2 + y^2}\), vzdálenost od osy \(x\): \(|y|\)

Položíme: \(\sqrt{(x – 2)^2 + y^2} = 2|y|\)

Umocníme: \((x – 2)^2 + y^2 = 4y^2\)

Úprava: \((x – 2)^2 = 3y^2\)

Výsledkem je rovnice rotované paraboly.

Takové body tvoří přímku, která je rovnoběžná s těmito přímkami a leží uprostřed mezi nimi.

Střed mezi 1 a 5 je \((1 + 5)/2 = 3\)

Množinou je přímka \(y = 3\).

Takové body tvoří osu úsečky \(PQ\).

Střed \(PQ\): \([0;0]\), osa je přímka kolmice na osu \(x\): \(x = 0\)

Množinou je osa \(y\), tedy přímka \(x = 0\).

Vzdálenost od bodu \(R\): \(\sqrt{(x – 1)^2 + (y – 2)^2}\)

Vzdálenost od přímky \(y = 2\): \(|y – 2|\)

Rovnice: \(\sqrt{(x – 1)^2 + (y – 2)^2} = |y – 2|\)

Umocníme: \((x – 1)^2 + (y – 2)^2 = (y – 2)^2\)

Zkrátíme: \((x – 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1\)

Množinou je přímka \(x = 1\).

Takové body leží ve vzdálenosti 3 od přímky \(x = -2\), tj. na přímkách \(x = 1\) a \(x = -5\).

Vzdálenost od \(y = x\): \(\frac{|x – y|}{\sqrt{2}}\)

Vzdálenost od osy \(x\): \(|y|\)

Rovnost: \(\frac{|x – y|}{\sqrt{2}} = |y|\)

Řešení dává dvě přímky v rovině, záleží na případech absolutní hodnoty.

Poloměr: \(r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)

Rovnice: \(x^2 + y^2 = 25\)

Vzdálenost bodu \((x, y)\) od přímek \(x – y + 1 = 0\) a \(x + y + 1 = 0\) je stejná, pokud platí:

\[ \frac{|x – y + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x + y + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \Rightarrow |x – y + 1| = |x + y + 1|. \]

Tato rovnost nastane ve dvou případech:

• \(x – y + 1 = x + y + 1 \Rightarrow y = 0\),
• \(x – y + 1 = -(x + y + 1) \Rightarrow x = -1\).

Čili množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od obou přímek, jsou dvě přímky:

\[ y = 0 \quad \text{a} \quad x = -1. \]

Hledáme množinu bodů \( X[x; y] \), pro které platí: \( |XA| = 2 \cdot |XB| \).

Vzdálenosti vyjádříme pomocí souřadnic:

\( \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 3)^2} = 2 \cdot \sqrt{(x – 6)^2 + (y + 1)^2} \)

Umocníme obě strany:

\( (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 4 \cdot [(x – 6)^2 + (y + 1)^2] \)

Rozepíšeme a upravíme rovnici:

\( x^2 – 4x + 4 + y^2 – 6y + 9 = 4(x^2 – 12x + 36 + y^2 + 2y + 1) \)

\( x^2 + y^2 – 4x – 6y + 13 = 4x^2 + 4y^2 – 48x + 8y + 148 \)

Převedeme vše na jednu stranu a upravíme:

\( -3x^2 -3y^2 + 44x -14y -135 = 0 \)

Výsledná množina bodů je kuželosečka – konkrétně elipsa (obecná rovnice).

Vzdálenost bodu \( X[x; y] \) od osy \( y \) je \( |x| \), od přímky \( x = 5 \) je \( |x – 5| \).

Máme tedy rovnici: \( |x| = |x – 5| \)

Řešíme podle definice absolutní hodnoty:

1) Pokud \( x \geq 0 \): \( x = x – 5 \Rightarrow 0 = -5 \) (neplatí)

2) Pokud \( x < 0 \): \( -x = |x - 5| \)

Rozvětvení podle hodnoty \( x – 5 \):

a) Pokud \( x – 5 \geq 0 \): \( -x = x – 5 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2} \), ale \( x < 0 \) neplatí

b) Pokud \( x – 5 < 0 \): \( -x = -x + 5 \Rightarrow 0 = 5 \) – opět neplatí

Řešením je přímka \( x = \frac{5}{2} \)

Nechť bod \( X[x; y] \). Vzdálenost od bodu \( A \): \( \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 2)^2} \)

Vzdálenost od přímky \( y = 4 \): \( |y – 4| \)

Píšeme rovnici: \( \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 2)^2} = |y – 4| \)

Umocníme: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = (y – 4)^2 \)

\( x^2 – 2x + 1 + y^2 – 4y + 4 = y^2 – 8y + 16 \)

Zkrátíme \( y^2 \):

\( x^2 – 2x + 1 -4y + 4 = -8y + 16 \)

\( x^2 – 2x + 5 + 4y = -8y + 16 \)

\( x^2 – 2x + 12y = 11 \Rightarrow \) rovnice křivky, množina bodů leží na křivce zadané touto rovnicí.

Nechť \( X[x; y] \) je hledaný bod.

Vzdálenost od bodu \( A \) je \( \sqrt{x^2 + y^2} \).

Vzdálenost od přímky \( y = x \) je \( \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} \).

Dostáváme rovnici: \( \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} \)

Umocníme: \( x^2 + y^2 = \frac{(x – y)^2}{2} \)

Pravá strana: \( \frac{x^2 – 2xy + y^2}{2} \)

Dosadíme: \( x^2 + y^2 = \frac{x^2 – 2xy + y^2}{2} \)

Vynásobíme 2: \( 2x^2 + 2y^2 = x^2 – 2xy + y^2 \)

\( x^2 + y^2 + 2xy = 0 \Rightarrow (x + y)^2 = 0 \Rightarrow x = -y \)

Řešením je přímka \( y = -x \).

Vzdálenost bodu \( X[x; y] \) od přímky \( y = -2x + 1 \) je:

\( \frac{|-2x – y + 1|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-2x – y + 1|}{\sqrt{5}} \)

Tato vzdálenost má být 3:

\( \frac{|-2x – y + 1|}{\sqrt{5}} = 3 \Rightarrow |-2x – y + 1| = 3\sqrt{5} \)

Dvě rovnice:

1) \( -2x – y + 1 = 3\sqrt{5} \Rightarrow y = -2x + 1 – 3\sqrt{5} \)

2) \( -2x – y + 1 = -3\sqrt{5} \Rightarrow y = -2x + 1 + 3\sqrt{5} \)

Řešením jsou dvě přímky rovnoběžné s danou přímkou ve vzdálenosti 3 jednotek.

Nechť \( X[x; y] \). Vzdálenost od bodu \( A \): \( \sqrt{x^2 + (y – 4)^2} \)

Vzdálenost od osy \( x \): \( |y| \)

Rovnice: \( \sqrt{x^2 + (y – 4)^2} = |y| \)

Umocníme: \( x^2 + (y – 4)^2 = y^2 \)

\( x^2 + y^2 – 8y + 16 = y^2 \Rightarrow x^2 – 8y + 16 = 0 \)

\( x^2 = 8y – 16 \Rightarrow y = \frac{x^2 + 16}{8} \)

Řešením je parabola.

Vzdálenost bodu \( X[x; y] \) od přímky je:

\( \frac{|3x – 4y + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x – 4y + 12|}{5} \)

Rovnice: \( \frac{|3x – 4y + 12|}{5} = 5 \Rightarrow |3x – 4y + 12| = 25 \)

1) \( 3x – 4y + 12 = 25 \Rightarrow 3x – 4y = 13 \)

2) \( 3x – 4y + 12 = -25 \Rightarrow 3x – 4y = -37 \)

Řešením jsou dvě přímky rovnoběžné s původní ve vzdálenosti 5 jednotek.

Vzdálenost od osy \( x \): \( |y| \)

Vzdálenost od \( y = 6 \): \( |y – 6| \)

Rovnice: \( |y| = 2|y – 6| \)

Rozvětvíme případově:

1) \( y \geq 0 \): \( y = 2(y – 6) \Rightarrow y = 2y – 12 \Rightarrow y = 12 \)

2) \( y < 0 \): \( -y = 2(-y - 6) \Rightarrow -y = -2y -12 \Rightarrow y = 12 \)

Řešením je přímka \( y = 12 \).

Vzdálenost od \( A \): \( \sqrt{x^2 + y^2} \), vzdálenost od přímky \( x = 6 \): \( |x – 6| \)

Rovnice: \( \sqrt{x^2 + y^2} = |x – 6| \Rightarrow x^2 + y^2 = (x – 6)^2 \)

\( x^2 + y^2 = x^2 – 12x + 36 \Rightarrow y^2 + 12x – 36 = 0 \Rightarrow y^2 = 36 – 12x \)

Řešením je parabola otevřená doleva.

Vzdálenost od \( x + y = 0 \): \( \frac{|x + y|}{\sqrt{2}} \), od \( x – y = 0 \): \( \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} \)

\( \frac{|x + y|}{\sqrt{2}} = \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} \Rightarrow |x + y| = |x – y| \)

Řešíme případově. Buď:

1) \( x + y = x – y \Rightarrow y = 0 \)

2) \( x + y = -(x – y) \Rightarrow x + y = -x + y \Rightarrow x = -x \Rightarrow x = 0 \)

Řešením je průsečík os \( x = 0 \) a \( y = 0 \) → bod \( [0; 0] \).