Modus a Medián

Řešení:

Nejprve data uspořádáme vzestupně: \( 2, 3, 5, 7, 9 \).

Počet prvků \( n = 5 \) (liché číslo).

Medián je prvek uprostřed uspořádaného souboru, tedy prvek na pozici \( \frac{n+1}{2} = \frac{5+1}{2} = 3 \).

Třetí prvek je \( 5 \), tedy medián je \( 5 \).

Řešení:

Data seřadíme vzestupně: \( 4, 6, 8, 10, 12, 14 \).

Počet prvků \( n = 6 \) (sudé číslo).

Medián je průměr dvou prostředních hodnot, tedy průměr 3. a 4. prvku:

\( \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

Tedy medián je \( 9 \).

Řešení:

Seřadíme data: \( 14, 15, 16, 17, 19, 20, 22 \).

Počet \( n = 7 \) (liché).

Medián je prvek na pozici \( \frac{7+1}{2} = 4 \), což je \( 17 \).

Tedy medián je \( 17 \).

Řešení:

Seřadíme data: \( 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \).

Počet \( n = 8 \) (sudé).

Medián je průměr hodnot na pozicích 4 a 5:

\( \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2} = 5{,}5 \).

Tedy medián je \( 5{,}5 \).

Řešení:

Data jsou již seřazena: \( 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 \).

Počet \( n = 7 \) (liché).

Medián je prvek na pozici \( \frac{7+1}{2} = 4 \), což je hodnota \( 3 \).

Medián rozděluje soubor na dvě poloviny, kde polovina hodnot je menší nebo rovna mediánu a druhá polovina je větší nebo rovna mediánu.

Tedy medián je \( 3 \).

Řešení:

Data jsou již seřazena.

Počet \( n = 9 \) (liché).

Medián je prvek na pozici \( \frac{9+1}{2} = 5 \), tedy hodnota \( 16 \).

Tedy medián je \( 16 \).

Řešení:

Data jsou seřazena a jejich počet je \( n = 10 \) (sudé).

Medián je průměr 5. a 6. hodnoty:

\( \frac{45 + 50}{2} = \frac{95}{2} = 47{,}5 \).

Tedy medián je \( 47{,}5 \).

Řešení:

Seřazená data: \( 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 \). Počet \( n = 8 \) (sudé).

Medián je průměr 4. a 5. hodnoty:

\( \frac{11 + 13}{2} = 12 \).

Přidáním hodnoty 100 dostaneme nový soubor: \( 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 100 \).

Nový počet \( n = 9 \) (liché).

Medián je prvek na pozici \( \frac{9+1}{2} = 5 \), což je hodnota \( 13 \).

Implikuje to, že medián je robustní vůči extrémním hodnotám a nezměnil se zásadně.

Tedy medián původně \( 12 \), po přidání hodnoty 100 \( 13 \).

Řešení:

Data jsou seřazena, počet \( n = 10 \) (sudé).

Medián je průměr 5. a 6. hodnoty:

\( \frac{7 + 8}{2} = 7{,}5 \).

Tedy medián je \( 7{,}5 \).

Řešení:

Medián je hodnota, která dělí uspořádaný soubor dat na dvě stejně početné části, tedy polovina hodnot je menší nebo rovna mediánu a druhá polovina větší nebo rovna mediánu.

Data jsou seřazena: \( 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32 \).

Počet \( n = 7 \) (liché).

Medián je prvek na pozici \( \frac{7+1}{2} = 4 \), tedy hodnota \( 26 \).

Tedy medián je \( 26 \).

Řešení příkladu:

Data seřadíme: \( 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5 \).

Počet hodnot je \( n = 10 \), což je sudé číslo.

Pro sudý počet hodnot hledáme průměr hodnot na pozici 5 a 6.

Pátá hodnota je \( 2 \), šestá také \( 2 \).

Průměr: \( \frac{2 + 2}{2} = 2 \)

Výsledkem je tedy medián rovný \( 2 \).

Řešení příkladu:

Nejprve data seřadíme: \( 55, 55, 58, 60, 60, 60, 70, 72, 74 \).

Počet prvků je \( n = 9 \), což je liché číslo.

Medián je hodnota na pozici \( \frac{n+1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

Pátá hodnota je \( 60 \).

Tedy medián denních zisků je \( 60 \) tisíc Kč.

Řešení příkladu:

Seřazení dat: \( 98, 99, 100, 101, 102, 103, 105 \).

Lichý počet hodnot: \( n = 7 \).

Střední hodnota je na pozici \( \frac{7+1}{2} = 4 \), tedy \( 101 \).

Medián délek dětí je \( 101 \) cm.

Řešení příkladu:

Seřadíme data: \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \).

\( n = 7 \Rightarrow \) lichý počet hodnot.

Střední hodnota je na pozici 4, tedy \( 3 \).

Medián počtu hodin učení je \( 3 \).

Řešení příkladu:

Data jsou seřazena: \( 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 15 \).

Počet \( n = 9 \), lichý počet prvků.

Střední hodnota je na pozici 5, což je \( 4 \).

Medián je tedy \( 4 \).

Extrémní hodnota \( 15 \) nemá vliv na výpočet mediánu, protože se nachází až na konci a medián závisí pouze na střední hodnotě uspořádaného souboru.

To dokládá robustnost mediánu vůči odlehlým hodnotám.

Řešení příkladu:

Data jsou již seřazena.

Počet \( n = 6 \), sudý počet.

Střední hodnoty jsou na pozicích 3 a 4: \( 23000 \) a \( 24000 \).

Medián je \( \frac{23000 + 24000}{2} = 23500 \).

I když poslední hodnota \( 100000 \) je velmi vysoká, medián ji nereflektuje, což opět ukazuje jeho odolnost vůči extrémům.

Řešení příkladu:

Počet \( n = 9 \Rightarrow \) liché číslo.

Po seřazení: \( 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 \).

Medián je přímo hodnota uprostřed, tedy 5. prvek, což je \( 65 \).

Řešení příkladu:

Máme 30 hodnot \( 2 \), 40 hodnot \( 3 \) a 30 hodnot \( 4 \).

Celkem \( n = 30 + 40 + 30 = 100 \).

Střední pozice jsou 50. a 51. hodnoty.

Prvních 30 jsou \( 2 \), dalších 40 jsou \( 3 \) \( \Rightarrow \) pozice 50 a 51 leží mezi třetími.

Obě hodnoty tedy jsou \( 3 \) \( \Rightarrow \) medián je \( 3 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot: \( n = 9 \), liché číslo.

Uspořádaná data: \( 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 100 \).

Střední prvek je 5. v pořadí, což je \( 3 \).

Medián je tedy \( 3 \).

Extrémní hodnota \( 100 \) má opět minimální vliv na medián.

Řešení příkladu:

Soubor: 50x \( 0 \), 1x \( 1 \), 49x \( 2 \). Celkem \( n = 100 \).

Střední hodnoty: pozice 50 a 51.

50. hodnota je \( 0 \), 51. je \( 1 \).

Medián je \( \frac{0 + 1}{2} = 0.5 \).

Řešení příkladu:

Data uspořádáme vzestupně: \( 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8 \).

Počet hodnot je \( n = 11 \), lichý počet.

Medián je hodnota na pozici \( \frac{11 + 1}{2} = 6 \).

Šestá hodnota je \( 4 \).

Medián hmotností zásilek je \( 4 \) kg.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 20 \), sudý počet.

Data jsou již seřazena.

Střední hodnoty jsou na pozicích 10 a 11: \( 175 \) a \( 180 \).

Medián je \( \frac{175 + 180}{2} = 177.5 \).

Medián denního prodeje obědů je \( 177.5 \) obědů.

Řešení příkladu:

Uspořádané hodnoty: \( 20, 30, 40, 45, 50, 55, 60 \).

\( n = 7 \), lichý počet \( \Rightarrow \) medián je 4. hodnota.

Medián je \( 45 \) minut.

Řešení příkladu:

Rozložení počtu:

A: \( 10 \times 100 \) Kč, B: \( 5 \times 200 \) Kč, C: \( 15 \times 150 \) Kč, D: \( 20 \times 180 \) Kč.

Celkem \( n = 10 + 5 + 15 + 20 = 50 \) položek.

Medián = průměr 25. a 26. hodnoty.

Počet do 10: A \( \Rightarrow \) 1.–10. (\( 100 \))

11.–15.: B (\( 200 \))

16.–30.: C (\( 150 \))

25. a 26. položky tedy spadají do typu C \( \Rightarrow \) \( 150 \) Kč.

Medián ceny je \( 150 \) Kč.

Řešení příkladu:

Rozpis:

8×0, 12×1, 6×2, 4×3 \( \Rightarrow \) celkem \( n = 30 \) studentů.

Hledáme průměr 15. a 16. hodnoty.

1.–8.: 0, 9.–20.: 1 \( \Rightarrow \) 15. i 16. hodnota je \( 1 \).

Medián = \( 1 \).

Řešení příkladu:

Uspořádané hodnoty: \( a-2, a-1, a, a+1, a+2, a+3, a+4 \).

\( n = 7 \Rightarrow \) lichý počet.

Medián je 4. hodnota, tedy \( a+1 \).

Řešení příkladu:

Seřazené hodnoty: \( 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 22 \).

\( n = 14 \Rightarrow \) sudý počet.

Medián = průměr 7. a 8. hodnoty → \( 18 \) a \( 18 \).

Medián = \( \frac{18 + 18}{2} = 18 \).

Řešení příkladu:

Seřazené hodnoty: \( 120, 140, 160, 180, 900 \).

\( n = 5 \Rightarrow \) lichý počet.

Medián = 3. hodnota = \( 160 \).

I když poslední hodnota (\( 900 \)) je extrémně vysoká, medián se nemění, protože závisí pouze na střední hodnotě. Průměr by byl mnohem vyšší.

Řešení příkladu:

Celkem hodnot: \( n = 5 + 10 + 20 + 10 + 5 = 50 \).

Medián je průměr 25. a 26. hodnoty.

Do 15. hodnoty sečteno: 5 (\( 0-10 \)) + 10 (\( 10-20 \)) = 15.

Hodnoty 16.–35. leží v intervalu \( 20-30 \).

Hodnoty 25 a 26 leží uvnitř tohoto intervalu.

Odhad mediánu: střed intervalu \( 20-30 \) = \( 25 \).

Řešení příkladu:

Seřazená data: \( 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 10 \).

\( n = 8 \Rightarrow \) sudý počet hodnot.

Střední jsou 4. a 5. hodnota: \( 2 \) a \( 3 \).

Medián = \( \frac{2 + 3}{2} = 2.5 \).

I když se hodnota \( 10 \) výrazně liší, medián ji prakticky neovlivní. Hodnoty \( 1–4 \) převažují.

Řešení příkladu:

Počet hodnot je \( 11 \), což je liché číslo.

Data jsou seřazena: \( 5, 6, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 14 \).

Medián je hodnota na pozici \( \frac{11 + 1}{2} = 6 \).

Šestá hodnota je \( 10 \).

Medián výsledků je \( 10 \) bodů.

Řešení příkladu:

Výšky: \( 8 \times 170, 2 \times 190 \) → celkem \( 10 \) hodnot.

Seřazeno: \( 170, 170, 170, 170, 170, 170, 170, 170, 190, 190 \).

Medián je průměr \( 5. \) a \( 6. \) hodnoty: obě jsou \( 170 \).

Medián = \( \frac{170 + 170}{2} = 170 \).

Medián výšek je \( 170 \) cm.

Řešení příkladu:

Aritmetická posloupnost s prvním členem \( 2 \) a diferencí \( 3 \).

Poslední člen: \( 29 \Rightarrow \) zjistíme počet členů:

\( a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d \Rightarrow 29 = 2 + (n – 1) \cdot 3 \Rightarrow (n – 1) = 9 \Rightarrow n = 10 \).

Počet členů je \( 10 \) → sudý počet.

Střední členy: \( 5. \) a \( 6. \) hodnota.

5. člen: \( 2 + 4 \cdot 3 = 14 \), 6. člen: \( 2 + 5 \cdot 3 = 17 \).

Medián = \( \frac{14 + 17}{2} = 15.5 \).

Řešení příkladu:

Soubor má \( 9 \) hodnot včetně neznámé, tedy lichý počet → medián je \( 5. \) hodnota po seřazení.

Seznam známých hodnot: \( 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20 \) (\( 8 \) hodnot).

Doplníme neznámou hodnotu \( x \), a seřadíme.

Musí platit: \( 5. \) hodnota po seřazení je \( 17 \).

Možnosti pro \( x \): pokud \( x \leq 15 \), posune se medián pod \( 17 \) → nelze.

Pokud \( x = 17 \), nový seznam: \( 12, 13, 15, 16, 17, 17, 18, 19, 20 \) → medián = \( 17 \) → platí.

Řešením je \( x = 17 \).

Řešení příkladu:

Seřazené hodnoty: \( 5.5, 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 9 \).

\( n = 7 \Rightarrow \) lichý počet → medián je \( 4. \) hodnota.

Medián = \( 7 \) hodin.

Řešení příkladu:

Rozložení: \( 20 \times 100 \), \( 15 \times 150 \), \( 5 \times 200 \) → celkem \( 40 \) kusů.

Medián = průměr \( 20. \) a \( 21. \) hodnoty.

Počítáme:

1.–20. hodnoty → \( 100 \) Kč

21.–35. → \( 150 \) Kč

20. hodnota = \( 100 \), 21. = \( 150 \) → medián = \( \frac{100 + 150}{2} = 125 \).

Řešení příkladu:

Uspořádané hodnoty: \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8} \).

\( n = 5 \Rightarrow \) lichý počet → medián = \( 3. \) hodnota.

Medián = \( \frac{3}{4} \).

Řešení příkladu:

Celkem \( n = 25 \) hodnot → lichý počet.

Střední hodnota: \( 13 \).

Kumulace:

Do 0–10: \( 4 \), do 10–20: \( 6 \) → kumulativně \( 4 + 6 = 10 \).

13. hodnota spadá do intervalu \( 20–30 \).

Odhad mediánu = střed intervalu \( 20–30 \) = \( 25 \).

Řešení příkladu:

Seřazené hodnoty: \( 3, 7, 35, 36, 38 \).

\( n = 5 \Rightarrow \) lichý počet → medián = \( 3. \) hodnota.

Medián = \( 35 \).

Medián leží uprostřed věkového rozptylu, ale nevystihuje přítomnost malých dětí ani seniorů – je třeba ho doplnit dalšími ukazateli.

Řešení příkladu:

Počet hodnot: \( 6 \) → medián = průměr \( 3. \) a \( 4. \) hodnoty po seřazení.

Seznam bez \( x \): \( 5, 7, 9, 11, 13 \).

Dle pozice \( x \) určíme \( 3. \) a \( 4. \) hodnotu → požadovaný průměr = \( 10 \).

Zkusme \( x = 8 \): seřazeno → \( 5, 7, 8, 9, 11, 13 \) → medián = \( \frac{8 + 9}{2} = 8.5 \)

\( x = 10 \): seřazeno → \( 5, 7, 9, 10, 11, 13 \) → medián = \( \frac{9 + 10}{2} = 9.5 \)

\( x = 11 \): seřazeno → \( 5, 7, 9, 11, 11, 13 \) → medián = \( \frac{9 + 11}{2} = 10 \) → vyhovuje.

Další řešení: \( x = 12 \): \( 5, 7, 9, 11, 12, 13 \) → medián = \( \frac{9 + 11}{2} = 10 \) → také vyhovuje.

Řešením je každé \( x \), které po seřazení způsobí, že \( 3. \) a \( 4. \) hodnota jsou \( 9 \) a \( 11 \Rightarrow x \) může být \( 11 \) nebo \( 12 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot je \( 7 \) → lichý počet → medián je \( 4. \) hodnota po seřazení.

Seznam: \( 2, 4, 7, 10, 12, 15, x \).

Možné pozice \( x \) ovlivní pořadí. Chceme, aby \( 4. \) hodnota byla \( 9 \).

Zkusíme \( x = 8 \): seznam → \( 2, 4, 7, 8, 10, 12, 15 \) → medián = \( 4. \) hodnota = \( 8 \) → nevyhovuje.

Zkusíme \( x = 9 \): \( 2, 4, 7, 9, 10, 12, 15 \) → medián = \( 9 \) → vyhovuje.

Zkusíme \( x = 14 \): \( 2, 4, 7, 10, 12, 14, 15 \) → medián = \( 10 \) → nevyhovuje.

Řešením je \( x = 9 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot: \( 5 \) → lichý → medián = prostřední hodnota po seřazení.

Seznam bez seřazení: \( -3, -1, 2, x, 5 \).

Musíme určit \( x \), aby medián byl \( 0 \) → tedy \( 3. \) hodnota po seřazení = \( 0 \).

Zkusíme \( x = 0 \): seznam → \( -3, -1, 0, 2, 5 \) → medián = \( 0 \) → vyhovuje.

Další možnosti: Pokud \( x < -1 \), pak je \( 3. \) hodnota \( -1 \) nebo méně → nevyhovuje.

Pokud \( x > 2 \), seznam je \( -3, -1, 2, 5, x \) → \( 3. \) hodnota = \( 2 \) → nevyhovuje.

Řešením je \( x = 0 \).

Řešení příkladu:

Označme počet původních hodnot jako \( n \).

Přidáním \( 50 \) vznikne nová sada s \( n+1 \) hodnotami.

Nový medián = \( 22 \).

Předpokládejme, že \( n \) je liché → původní medián je prostřední hodnota.

Po přidání jedné hodnoty bude sudý počet → nový medián = průměr dvou středních hodnot.

Aby se medián zvýšil z \( 20 \) na \( 22 \), muselo být více čísel menších než \( 50 \).

Označme \( n = 5 \): nový seznam má \( 6 \) hodnot → medián = průměr \( 3. \) a \( 4. \) hodnoty.

Vyzkoušíme konkrétně: \( 10, 15, 20, 20, 25 \) → medián = \( 20 \).

Přidáme \( 50 \): \( 10, 15, 20, 20, 25, 50 \) → \( 3. \) a \( 4. \) hodnota = \( 20, 20 \) → medián = \( 20 \) → málo.

Zkusíme \( 6 \) hodnot: \( 15, 18, 20, 21, 22, 23 \) → medián = \( \frac{20+21}{2} = 20.5 \).

Zkusíme \( 7 \) hodnot: \( 15, 18, 19, 20, 22, 25, 26 \) → medián = \( 20 \).

Přidáme \( 50 \) → \( 8 \) hodnot: medián = \( \frac{20 + 22}{2} = 21 \) → stále málo.

Zkusíme \( 9 \) hodnot: \( 10, 15, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26 \) → medián = \( 20 \).

Přidáme \( 50 \) → \( 10 \) hodnot: \( 5. \) a \( 6. \) hodnoty = \( 20 \) a \( 22 \) → medián = \( \frac{20 + 22}{2} = 21 \).

Až pro \( n = 11 \) máme: \( 10, 14, 16, 18, 19, 20, 22, 24, 25, 28, 30 \) → medián = \( 20 \).

Přidáme \( 50 \) → \( 12 \) hodnot → \( 6. \) a \( 7. \) hodnoty = \( 20 \) a \( 22 \) → medián = \( \frac{20 + 22}{2} = 21 \).

Pro \( n = 13 \): přidání \( 50 \) → medián = \( \frac{21 + 23}{2} = 22 \).

Správná odpověď je \( n = 13 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot: \( 6 \) → sudý počet → medián = průměr \( 3. \) a \( 4. \) hodnoty po seřazení.

Musíme zjistit, kde se \( x \) nachází, a která dvě hodnoty budou \( 3. \) a \( 4. \).

Seřazení závisí na hodnotě \( x \).

Zkusíme \( x = 5 \): \( 1, 3, 4, 5, 10, 12 \) → medián = \( \frac{4 + 5}{2} = 4.5 \)

Zkusíme \( x = 6 \): \( 1, 3, 4, 6, 10, 12 \) → \( \frac{4 + 6}{2} = 5 \)

\( x = 8 \): \( 1, 3, 4, 8, 10, 12 \) → \( \frac{4 + 8}{2} = 6 \) → vyhovuje.

Řešením je \( x = 8 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot: \( 6 \) → sudý počet → medián = průměr \( 3. \) a \( 4. \) hodnoty = \( 5 \).

Aritmetický průměr = \( 6 \) → součet všech hodnot = \( 6 \cdot 6 = 36 \).

Navrhneme čísla: \( 2, 4, 5, 5, x, y \).

Doplníme \( x \) a \( y \) tak, aby byl součet \( 36 \).

Dosud: \( 2 + 4 + 5 + 5 = 16 \) → \( x + y = 20 \).

Např. \( x = 9, y = 11 \).

Konečná množina: \( 2, 4, 5, 5, 9, 11 \).

Řešení příkladu:

Označme pět čísel: \( a \leq b \leq c \leq d \leq e \).

Původní medián = 3. hodnota = \( c = 7 \).

Po odebrání nejmenší hodnoty \( a \), zůstává: \( b, c, d, e \).

Medián = průměr \( c \) a \( d \) → \( \frac{7 + d}{2} = 8 \Rightarrow 7 + d = 16 \Rightarrow d = 9 \).

Takže: \( c = 7, d = 9 \).

Čísla jsou: \( a, b, 7, 9, e \).

Po odebrání \( a \) zůstává: \( b, 7, 9, e \).

Z toho plyne: \( b = 7 \), protože po odebrání \( a \) musí být \( 7 \) druhé číslo.

Takže dvě hodnoty jsou \( 7 \) a \( 7 \), třetí je \( 9 \) → poslední neznáme.

Původní sada: \( a, 7, 7, 9, e \) → medián = \( 7 \).

Řešení: nejmenší hodnota je \( a \), může být např. \( 6 \) nebo méně.

Jediná hodnota, která neovlivní pozici mediánu = libovolná menší než \( 7 \).

Např. \( a = 5 \).

Řešení příkladu:

Čísla: \( -10, -9, \ldots, 0, \ldots, 9, 10 \).

Počet hodnot: od \( -10 \) do \( 10 \) je \( 21 \) čísel.

\( 21 \) je liché → medián = \( 11. \) hodnota.

Střed = \( 0 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot: \( 7 \) → lichý počet → medián = \( 4. \) hodnota.

Musí platit, že čtvrtá hodnota po seřazení = \( 12 \).

Seznam: \( 6, 8, 9, x, 13, 15, 18 \).

Po seřazení musí být čtvrtá hodnota \( 12 \) → \( x = 12 \).

Řešení příkladu:

Celkem hodnot: \( 2 + 4 + 3 + 1 = 10 \).

Potřebujeme \( 5. \) a \( 6. \) hodnotu.

Rozložení: \( 3, 3, 5, 5, 5, 5, 8, 8, 8, 9 \).

\( 5. \) a \( 6. \) hodnota: obě \( 5 \) → medián = \( 5 \).

Řešení příkladu:

Pět hodnot → lichý počet → medián = prostřední hodnota.

Hodnoty: \( x, x+2, x+4, x+6, x+8 \) → prostřední hodnota = \( x+4 \).

Rovnice: \( x + 4 = 11 \Rightarrow x = 7 \).

Řešení příkladu:

Sečteme výskyty:

2 – \( 1 \times \), 5 – \( 2 \times \), 7 – \( 1 \times \), 8 – \( 3 \times \), 10 – \( 2 \times \).

Číslo s největší četností je \( 8 \) → modus je \( 8 \).

Řešení příkladu:

Současná četnost: \( 3 \) – \( 1 \times \), \( 4 \) – \( 2 \times \), \( 6 \) – \( 1 \times \), \( 7 \) – \( 1 \times \) → modus = \( 4 \).

Aby byl modus \( 6 \), musí mít vyšší četnost než ostatní.

\( 4 \) se vyskytuje \( 2 \times \) → \( 6 \) musí být alespoň \( 3 \times \).

Už máme jedno \( 6 \) → přidáme dvě další: \( 6, 6 \).

Minimálně tedy přidat dvě čísla \( 6 \).

Řešení příkladu:

14 má četnost \( 2 \), ostatní hodnoty mají četnost \( 1 \).

Pokud \( x = 14 \), četnost \( 14 \) bude \( 3 \) → stále modus.

Pokud \( x \ne 14 \), vznikne maximálně další hodnota s četností \( 2 \) → modus zůstane \( 14 \).

Výjimka: pokud \( x \) je jiné číslo, které se už v množině vyskytuje jednou → vznikne sdílený modus (např. pokud \( x = 16 \) → \( 14 \) i \( 16 \) budou mít četnost \( 2 \)).

Pak by modus nebyl jednoznačný.

Výrok není pravdivý.

Řešení příkladu:

Hodnoty \( 2 \) a \( 3 \) mají stejnou nejvyšší četnost – obě po \( 6 \) výskytech.

Modus není jednoznačný → množina má dva mody: \( 2 \) a \( 3 \).

Řešení příkladu:

Výskyty:

4 – \( 3 \times \), 5 – \( 2 \times \), 6 – \( 3 \times \), 7 – \( 2 \times \).

Hodnoty \( 4 \) a \( 6 \) mají stejnou maximální četnost.

Modus = \( 4 \) a \( 6 \).

Řešení příkladu:

Nechť počet devítek je \( a \), počet osmiček \( b \).

Modus je \( 9 \) → \( a > b \).

Po odebrání jedné devítky: \( a – 1 \leq b \) → nový modus = \( 8 \).

Musí tedy platit: \( a = b + 1 \).

Příklad: pokud \( b = 3 \), pak \( a = 4 \).

Odebráním jedné devítky → zůstane \( 3 \times 9 \), \( 3 \times 8 \) → modus není jednoznačný.

Potřebujeme \( b = 4, a = 5 \). Odebráním → \( 4 \times 8 \), \( 4 \times 9 \) → modus je sdílený.

Musíme mít: \( a = 4, b = 3 \) → po odebrání: \( 3 \times 9 \), \( 3 \times 8 \) → modus není jednoznačný.

Správné je: \( a = 3, b = 2 \) → po odebrání: \( 2 \times 9 \), \( 2 \times 8 \) → ale zase sdílené.

Nejmenší hodnoty vyhovující podmínce: \( a = 2, b = 1 \) → po odebrání: \( 1 \times 9 \), \( 1 \times 8 \) → modus žádný.

Správně je: \( a = 3, b = 2 \).

Řešení příkladu:

Počet výskytů:

2 – \( 3 \times \), 5 – \( 3 \times \).

Modus = \( 2 \) (ale sdílený s \( 5 \)).

Aby modus zůstal \( 2 \), nesmí být \( 5 \) přidán znovu → nesmí být modus s vyšší četností.

Zakázáno: přidat další \( 5 \) → měl by četnost \( 4 \) → stal by se jednoznačným modem.

Takže \( x \ne 5 \).

Povoleny všechny hodnoty kromě \( 5 \) a \( 2 \) (přidáním \( 2 \) by se modus zpevnil, což nevadí).

Možné hodnoty \( x \): \( 1, 2, 3, 4, 6, \dots \) kromě \( 5 \).

Řešení příkladu:

Pokud jsou všechna čísla různá, žádné se neopakuje.

Žádná hodnota nemá vyšší četnost než ostatní → modus neexistuje.

Příklad: \( 1, 3, 5, 7, 9 \).

Řešení příkladu:

Známky \( 2 \) a \( 4 \) mají stejnou nejvyšší četnost (\( 3 \times \)).

Modus = \( 2 \) a \( 4 \).

Řešení příkladu:

Četnosti:

\( -2 \) – \( 1 \times \), \( -1 \) – \( 2 \times \), \( 0 \) – \( 2 \times \), \( 1 \) – \( 1 \times \), \( 2 \) – \( 3 \times \), \( 3 \) – \( 1 \times \).

Modus = \( 2 \) (nejčastější hodnota).

Řešení příkladu:

Aktuálne četnosti: \( 5 \) – \( 1 \times \), \( 6 \) – \( 2 \times \), \( 7 \) – \( 2 \times \), \( 8 \) – \( 2 \times \), \( 9 \) – \( 1 \times \).

Momentálne nie je jednoznačný modus, pretože \( 6 \), \( 7 \) a \( 8 \) sa vyskytujú po \( 2 \)-krát.

Aby sa modus stal \( 7 \), musí mať najvyššiu četnosť → viac než \( 2 \).

Musíme pridať aspoň \( 1 \) ďalšiu hodnotu \( 7 \) → četnosť \( 3 \) → modus = \( 7 \).

Odpoveď: Stačí pridať jedno číslo \( 7 \).

Řešení příkladu:

Všetky hodnoty sa vyskytujú iba raz.

Neexistuje žiadna hodnota s vyššou četnosťou ako ostatné.

Modus teda neexistuje.

Řešení příkladu:

Četnosti: \( 4 \) – \( 3 \times \), \( 6 \) – \( 2 \times \), \( 8 \) – \( 3 \times \), \( 10 \) – \( 3 \times \).

Hodnoty \( 4 \), \( 8 \) a \( 10 \) majú rovnakú najvyššiu četnosť (\( 3 \)).

Modus = \( 4 \), \( 8 \), \( 10 \).

Řešení příkladu:

Hodnoty \( 5 \) a \( 9 \) majú najvyššiu četnosť (\( 7 \)).

Modus = \( 5 \) a \( 9 \).

Řešení příkladu:

Četnosti: \( 4 \) – \( 2 \times \), ostatné – \( 1 \times \).

Ak modus má zostať \( 4 \), \( x \) nesmie zvýšiť četnosť inej hodnoty na \( 2 \) alebo viac.

\( x \) teda nesmie byť z množiny: \( 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 4 \).

Ak \( x = 4 \) → modus sa spevní, to nevadí.

Ak \( x \notin \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \) → napr. \( 0 \) alebo \( 9 \) → neovplyvní modus.

Odpoveď: \( x \in \{4\} \cup \mathbb{R} \setminus \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \).

Řešení příkladu:

Dve triedy majú rovnakú najvyššiu četnosť: \( 10 \)–\( 19 \) a \( 20 \)–\( 29 \) (po \( 7 \) výskytov).

Nie je jednoznačný modus → modus = intervaly \( 10 \)–\( 19 \) a \( 20 \)–\( 29 \).

Řešení příkladu:

Nech výskyty: \( 15 \) – \( a \), \( 12 \) – \( b \).

Pred zmenou: \( a > b \).

Po odobratí jednej pätnástky: \( a – 1 \leq b \) → modus = \( 12 \).

Z podmienok: \( a = b + 1 \).

Minimálne \( b = 2 \) → \( a = 3 \).

Odpoveď: \( 15 \) sa vyskytovalo \( 3 \times \), \( 12 \) sa vyskytovalo \( 2 \times \).

Řešení příkladu:

Odstránením modusu sa jeho četnosť stane nulová.

Nový modus bude určený ďalšou najčastejšou hodnotou.

Ak neexistuje žiadna hodnota s vyššou četnosťou než ostatné, modus nemusí existovať alebo môže byť nejednoznačný.

Záver: modus sa zmení alebo prestane existovať.

Řešení příkladu:

Súčasný modus = \( 5 \) (\( 3 \times \)), \( 2 \) je iba \( 2 \times \).

Potrebujeme \( 2 \) → \( 3 \times \) a \( 5 \) → max. \( 2 \times \).

Nahradíme jednu známku \( 5 \) známkou \( 2 \).

Nové výskyty: \( 2 \) → \( 3 \times \), \( 5 \) → \( 2 \times \) → modus = \( 2 \).

Odpoveď: stačí jedna zmena – nahradiť jednu známku \( 5 \) známkou \( 2 \).

Řešení příkladu:

Četnosti:

\( -5 \) – \( 2 \times \), \( -3 \) – \( 3 \times \), \( -1 \) – \( 1 \times \), \( 0 \) – \( 3 \times \), \( 2 \) – \( 1 \times \), \( 4 \) – \( 2 \times \).

Najvyššia četnosť: \( 3 \) → hodnoty \( -3 \) a \( 0 \).

Modus = \( -3 \) a \( 0 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnôt \( 6 \): \( 8 \), počet hodnôt \( 3 \): \( 4 \). Spolu: \( 8 + 4 = 12 \) hodnôt.

Do \( 20 \) čísel chýba ešte \( 8 \) hodnôt → tie musia byť hodnota \( 9 \).

Chceme, aby modus neexistoval, t.j. žiadna hodnota nemá najvyššiu četnosť.

To nastane, ak dve alebo viac hodnôt majú rovnakú najvyššiu četnosť.

Hodnota \( 6 \) sa vyskytuje \( 8 \)-krát, preto musí mať aj \( 9 \) rovnakú četnosť → \( 9 \) musí byť tiež \( 8 \)-krát.

Odpoveď: Hodnota \( 9 \) sa musí vyskytovať \( 8 \)-krát, aby modus neexistoval.

Řešení příkladu:

Počet žiakov: \( 5 \) (\( 10 \) bodov), \( 6 \) (\( 8 \) bodov), \( 4 \) (\( 6 \) bodov), \( 2 \) (neznáme rôzne hodnoty).

Nech tých dvoch žiakov získalo napr. \( 4 \) a \( 2 \) body. Ich četnosť je len \( 1 \).

Najvyššiu četnosť má hodnota \( 8 \) (\( 6 \) výskytov).

Ostatné: \( 10 \) – \( 5 \times \), \( 6 \) – \( 4 \times \), \( 4 \) – \( 1 \times \), \( 2 \) – \( 1 \times \).

Modus = \( 8 \).

Řešení příkladu:

Nech počet výskytov čísla \( 5 \) je \( b \), počet výskytov čísla \( 7 \) je \( a \).

Pred odstránením: \( a > b \Rightarrow \) modus = \( 7 \).

Po odstránení \( 7 \): \( b \geq \) všetky ostatné četnosti \( \Rightarrow \) modus = \( 5 \).

Minimálny \( b \) musí byť taký, aby po odstránení \( 7 \)-čiek sa stal modusom.

Nech \( b = 3 \), ostatné hodnoty sa vyskytujú maximálne \( 2 \)-krát.

Potom \( a > 3 \) → minimálne \( a = 4 \).

Odpoveď: číslo \( 5 \) sa muselo vyskytovať minimálne \( 3 \times \), číslo \( 7 \) minimálne \( 4 \times \).

Řešení příkladu:

Četnosti:

\( 1 \) – \( 2 \times \), \( 2 \) – \( 1 \times \), \( 3 \) – \( 3 \times \), \( 4 \) – \( 2 \times \), \( 5 \) – \( 2 \times \), \( 6 \) – \( 3 \times \), \( 7 \) – \( 1 \times \), \( 8 \) – \( 1 \times \).

Najvyššiu četnosť (\( 3 \)) majú hodnoty \( 3 \) a \( 6 \).

Modus = \( 3 \) a \( 6 \).

Nie je jednoznačný, pretože existujú dve hodnoty s rovnakou maximálnou četnosťou.

Řešení příkladu:

Hodnota \( 0 \) sa vyskytuje \( 10 \)-krát.

Ostatných hodnôt je \( 25 – 10 = 15 \) → každá raz.

Četnosť \( 0 \) = \( 10 \), ostatné = \( 1 \).

Modus je hodnota s najvyššou četnosťou.

\( 0 \) má najvyššiu četnosť → modus = \( 0 \).

Odpoveď: Áno, modus je nula.

Řešení příkladu:

Modus predstavuje najčastejšie sa vyskytujúci počet detí v rodinách.

Četnosti:

\( 0 \) – \( 1 \)×, \( 1 \) – \( 2 \)×, \( 2 \) – \( 3 \)×, \( 3 \) – \( 3 \)×, \( 4 \) – \( 1 \)×, \( 5 \) – \( 1 \)×.

Najviac sa vyskytujú hodnoty \( 2 \) a \( 3 \) (po \( 3 \)×).

Modus = \( 2 \) a \( 3 \).

Interpretácia: najčastejšie sú rodiny s \( 2 \) alebo \( 3 \) deťmi.

Řešení příkladu:

Aktuálne četnosti: \( 1 \) – \( 1 \)×, \( 2 \) – \( 2 \)×, \( 3 \) – \( 3 \)×, \( x \) – \( 3 \)×, \( y \) – \( 2 \)×.

Aby modus bol \( 3 \), žiadna iná hodnota nesmie mať viac ako \( 3 \) výskyty.

\( x \) sa nesmie rovnať \( 3 \) → inak by četnosť \( 3 \) stúpla na \( 6 \) → nový modus.

\( x \) môže byť ľubovoľná hodnota okrem \( 3 \).

Rovnako \( y \neq 3 \).

Ak \( x = 2 \) → četnosť \( 2 \) bude \( 5 \) → nový modus → neprípustné.

Rovnako, ak \( x = y = 1 \) → četnosť \( 1 \) = \( 6 \) → neprípustné.

Záver: \( x \) a \( y \) musia byť také, že ich kombináciou sa nezvýši četnosť žiadnej hodnoty nad \( 3 \).

Řešení příkladu:

\( a \) – \( 3 \)×, \( b \) – \( 2 \)×, \( c \) – \( 2 \)×, \( d \) – \( 2 \)×, \( e \) – \( 1 \)×.

Hodnota \( a \) má najvyššiu četnosť → modus = \( a \).

Modus bude jednoznačný, ak žiadna iná hodnota nebude mať viac ako \( 3 \) výskyty.

Zároveň \( a \) musí byť rôzne od \( b \), \( c \), \( d \), \( e \), aby nedochádzalo k spočítaniu četností.

Záver: modus bude jednoznačný práve vtedy, ak \( a \neq b \neq c \neq d \neq e \).

Řešení příkladu:

Aktuálne četnosti:

\( 2 \) – \( 1 \)×, \( 4 \) – \( 2 \)×, \( 6 \) – \( 3 \)×, \( 8 \) – \( 1 \)×, \( 10 \) – \( 1 \)×.

Modus = \( 6 \).

Ak odstránime jedno číslo \( 6 \) → zostane \( 6 \) – \( 2 \)×, rovnako ako \( 4 \).

Potom najvyššia četnosť bude zdieľaná → modus nebude jednoznačný.

Ak modus nemá existovať, všetky hodnoty musia mať rovnakú četnosť alebo byť rôzne.

Po odstránení jednej \( 6 \) → hodnoty \( 4 \) a \( 6 \) budú mať po \( 2 \) výskyty, ostatné po \( 1 \) → modus = \( 4 \) a \( 6 \).

Ak však odstránime jednu \( 6 \) A jednu \( 4 \) → všetky hodnoty budú po \( 1 \) → modus nebude existovať.

V pôvodnom zadaní môžeme odstrániť jednu \( 6 \) a modus prestane byť jednoznačný, ale bude existovať.

Ak požadujeme, aby modus úplne prestal existovať, musíme odstrániť jednu \( 6 \) a jednu \( 4 \).

Odpoveď: modus prestane existovať, ak sa odstráni jedno číslo \( 6 \) a jedno číslo \( 4 \).

Řešení příkladu:

Četnosti: \( 7 \) – \( 3 \)×, \( 5 \) – \( 3 \)×, \( 3 \) – \( 2 \)×, \( 1 \) – \( 1 \)×.

Modus = \( 5 \) a \( 7 \) (nejednoznačný).

Potrebujeme zvýšiť počet \( 5 \) alebo znížiť počet \( 7 \).

Napr. zmeňme jedno číslo \( 7 \) na \( 5 \) a druhé číslo \( 7 \) na \( 1 \):

Nové četnosti: \( 5 \) – \( 4 \)×, \( 7 \) – \( 1 \)×, \( 3 \) – \( 2 \)×, \( 1 \) – \( 2 \)×.

Modus = \( 5 \).

Odpoveď: napr. zmeňme dve hodnoty \( 7 \) na \( 5 \) a \( 1 \) → modus bude jednoznačne \( 5 \).

Řešení příkladu:

Celkový počet hodnôt je \( 30 \).

Modus \( 12 \) sa vyskytuje \( 9 \)-krát a hodnota \( 10 \) sa vyskytuje \( 7 \)-krát.

Počet hodnôt, ktoré sa vyskytujú viac než raz, je teda \( 9 + 7 = 16 \).

Zostáva \( 30 – 16 = 14 \) hodnôt, ktoré sa vyskytujú práve raz.

Počet rôznych hodnôt je súčet unikátnych hodnôt z každej kategórie:

• 1 hodnota (\( 12 \)), ktorá sa vyskytuje \( 9 \)-krát
• 1 hodnota (\( 10 \)), ktorá sa vyskytuje \( 7 \)-krát
• 14 rôznych hodnôt, každá sa vyskytuje \( 1 \)-krát

Spolu teda \( 1 + 1 + 14 = 16 \) rôznych hodnôt.

Řešení příkladu:

Počet výskytov hodnôt:

• \( 5 \) sa vyskytuje \( 4 \)-krát
• \( 7 \) sa vyskytuje \( 6 \)-krát
• \( 9 \) sa vyskytuje \( 6 \)-krát

Modus je hodnota s najväčším počtom výskytov. Tu majú \( 7 \) a \( 9 \) rovnaký najväčší počet \( 6 \).

Teda modus súboru je dvojmodálny: \( 7 \) a \( 9 \).

Celkový počet prvkov je \( 25 \).

Súčet výskytov \( 5 \), \( 7 \) a \( 9 \) je \( 4 + 6 + 6 = 16 \).

Zostáva \( 25 – 16 = 9 \) prvkov, ktoré sa vyskytujú každý len raz.

Počet rôznych hodnôt je:

• 3 hodnoty (\( 5 \), \( 7 \), \( 9 \))
• 9 ďalších rôznych hodnôt, každá sa vyskytuje raz

Spolu \( 3 + 9 = 12 \) rôznych hodnôt.

Řešení příkladu:

Počet výskytov hodnôt:

• \( 4 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát
• \( 5 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát
• \( 6 \) sa vyskytuje \( 1 \)-krát
• \( 7 \) sa vyskytuje \( 3 \)-krát
• \( 8 \) sa vyskytuje \( 1 \)-krát
• \( 9 \) sa vyskytuje \( 4 \)-krát

Najväčší počet výskytov má hodnota \( 9 \) (\( 4 \)-krát).

Modus je teda \( 9 \).

Aj keď hodnota \( 7 \) sa vyskytuje \( 3 \)-krát, čo je tiež vysoký počet, modus je jediný, pretože \( 9 \) sa vyskytuje najviac.

V tomto prípade nie je modus viacnásobný, pretože iba hodnota \( 9 \) má najvyšší počet výskytov.

Řešení příkladu:

Počet výskytov hodnôt:

• \( 2 \) sa vyskytuje \( 1 \)-krát
• \( 3 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát
• \( 4 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát
• \( 5 \) sa vyskytuje \( 3 \)-krát
• \( 6 \) sa vyskytuje \( 3 \)-krát
• \( 7 \) sa vyskytuje \( 1 \)-krát

Hodnoty \( 5 \) a \( 6 \) sa vyskytujú najčastejšie, každá \( 3 \)-krát.

Modus je teda dvojmodálny: \( 5 \) a \( 6 \).

Modus nie je jednoznačný, pretože existujú dve hodnoty s rovnakým najvyšším počtom výskytov.

Řešení příkladu:

Modus je hodnota s najväčším počtom výskytov, teda \( 10 \) (\( 8 \)-krát).

Hodnota \( 15 \) sa vyskytuje \( 3 \)-krát.

Počet prvkov s výskytom raz je \( 20 – 8 – 3 = 9 \).

Počet rôznych hodnôt je:

• 1 hodnota (\( 10 \))
• 1 hodnota (\( 15 \))
• 9 rôznych hodnôt, každá sa vyskytuje raz

Spolu teda \( 1 + 1 + 9 = 11 \) rôznych hodnôt.

Řešení příkladu:

Každá hodnota sa vyskytuje presne \( 2 \)-krát.

Počet výskytov je rovnaký pre všetky hodnoty.

Modus neexistuje jednoznačne, pretože neexistuje hodnota s výskytom väčším ako ostatné.

Tento súbor je teda multimodálny so všetkými hodnotami ako modmi.

Řešení příkladu:

Počet výskytov hodnôt:

• \( 1 \) sa vyskytuje \( 1 \)-krát
• \( 2 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát
• \( 3 \) sa vyskytuje \( 3 \)-krát
• \( 4 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát
• \( 5 \) sa vyskytuje \( 4 \)-krát

Modus je \( 5 \), pretože sa vyskytuje najviac (\( 4 \)-krát).

Ak pridáme ďalší výskyt hodnoty \( 3 \), počet jej výskytov bude \( 4 \).

Teraz budú hodnoty \( 3 \) a \( 5 \) mať rovnaký počet výskytov, teda \( 4 \).

Modus sa zmení z jednoznačného na dvojmodálny: \( 3 \) a \( 5 \).

Řešení příkladu:

Modus je hodnota s najväčším počtom výskytov, teda \( 20 \) (\( 12 \)-krát).

Ostatných hodnôt je \( 25 – 12 = 13 \), každá jedinečná.

Počet rôznych hodnôt je teda \( 1 \) (hodnota \( 20 \)) + \( 13 \) (jedinečné hodnoty) = \( 14 \).

Řešení příkladu:

Každá hodnota sa vyskytuje \( 2 \)-krát.

Nie je jednoznačný modus, pretože všetky hodnoty majú rovnaký počet výskytov.

Takýto súbor nemá jednoznačný modus, hovoríme o multimodálnom súbore.

Řešení příkladu:

Počet výskytov známych hodnôt:

• \( 7 \) sa vyskytuje \( 5 \)-krát
• \( 8 \) sa vyskytuje \( 7 \)-krát
• \( 9 \) sa vyskytuje \( 7 \)-krát

Modus je hodnota s najväčším výskytom, tu majú \( 8 \) a \( 9 \) rovnaký najvyšší počet \( 7 \).

Teda súbor je dvojmodálny s modmi \( 8 \) a \( 9 \).

Počet prvkov so známymi výskytmi je \( 5 + 7 + 7 = 19 \).

Zostáva \( 30 – 19 = 11 \) hodnôt, ktoré sú jedinečné.

Počet rôznych hodnôt je \( 3 \) (\( 7 \), \( 8 \), \( 9 \)) + \( 11 = 14 \).

Řešení příkladu:

Hodnoty \( 2 \) a \( 3 \) majú najvyšší počet výskytov, každý \( 5 \)-krát.

Teda modus je dvojmodálny: \( 2 \) a \( 3 \).

Počet prvkov, ktoré nie sú medzi modmi:

\( 20 – 5 – 5 = 10 \), a tieto hodnoty sú jedinečné.

Počet rôznych hodnôt je \( 2 \) (mody) + \( 10 \) = \( 12 \).

Řešení příkladu:

Počet výskytov jednotlivých hodnôt:

• \( 1 \) sa vyskytuje \( 1 \)-krát
• \( 2 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát
• \( 3 \) sa vyskytuje \( 1 \)-krát
• \( 4 \) sa vyskytuje \( 3 \)-krát
• \( 5 \) sa vyskytuje \( 4 \)-krát
• \( 6 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát

Najvyšší počet výskytov má hodnota \( 5 \) (\( 4 \)-krát).

Modus je teda jednoznačný a je to \( 5 \).

Řešení příkladu:

Hodnoty \( 8 \) a \( 9 \) majú najvyšší počet výskytov, každý \( 10 \)-krát.

Modus je teda dvojmodálny: \( 8 \) a \( 9 \).

Počet jedinečných hodnôt je \( 40 – 10 – 10 = 20 \), každá sa vyskytuje raz.

Celkový počet rôznych hodnôt je \( 2 \) (mody) + \( 20 \) = \( 22 \).

Řešení příkladu:

Modus je hodnota \( 12 \), ktorá sa vyskytuje \( 7 \)-krát.

Počet ostatných prvkov je \( 25 – 7 – 5 = 13 \), ktoré sú jedinečné.

Počet rôznych hodnôt je \( 1 \) (hodnota \( 12 \)) + \( 1 \) (hodnota \( 15 \)) + \( 13 \) = \( 15 \).

Řešení příkladu:

Každá hodnota (\( 3 \), \( 4 \), \( 5 \), \( 6 \), \( 7 \)) sa vyskytuje \( 3 \)-krát.

Všetky hodnoty majú rovnaký počet výskytov.

Súbor je teda multimodálny s piatimi modmi.

Modus nie je jednoznačný, lebo všetky hodnoty majú rovnakú frekvenciu.

Řešení příkladu:

Výskyt hodnôt:

• \( 10 \) sa vyskytuje \( 3 \)-krát
• \( 12 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát
• \( 15 \) sa vyskytuje \( 4 \)-krát
• \( 20 \) sa vyskytuje \( 1 \)-krát

Modus je hodnota s najväčším počtom výskytov, teda \( 15 \).

Řešení příkladu:

Modus je hodnota \( 8 \), ktorá má najvyšší počet výskytov: \( 6 \)-krát.

Počet prvkov s ostatnými hodnotami je \( 25 – 4 – 6 – 5 = 10 \), ktoré sú jedinečné.

Počet rôznych hodnôt je \( 3 \) (hodnoty \( 7 \), \( 8 \), \( 9 \)) + \( 10 \) = \( 13 \).

Řešení příkladu:

Počet výskytov jednotlivých hodnôt:

• \( 1 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát
• \( 2 \) sa vyskytuje \( 3 \)-krát
• \( 3 \) sa vyskytuje \( 2 \)-krát
• \( 4 \) sa vyskytuje \( 4 \)-krát
• \( 5 \) sa vyskytuje \( 1 \)-krát

Najvyšší počet výskytov má hodnota \( 4 \) (\( 4 \)-krát).

Modus je jednoznačný a je to hodnota \( 4 \).

Řešení příkladu:

Každá hodnota sa vyskytuje \( 2 \)-krát.

Všetky hodnoty majú rovnaký počet výskytov.

Modus nie je jednoznačný, pretože nie je hodnota s vyšším výskytom.

Ide o multimodálny súbor, kde všetky hodnoty sú modom.

Řešení příkladu:

Hodnoty \( 12 \) a \( 13 \) majú rovnaký najvyšší počet výskytov, každý \( 5 \)-krát.

Modus je teda dvojmodálny: \( 12 \) a \( 13 \).

Počet ostatných hodnôt je celkový počet minus \( 3 \) (hodnota \( 11 \)) minus \( 5 \) (hodnota \( 12 \)) minus \( 5 \) (hodnota \( 13 \)).

Ak nepoznáme celkový počet, nemôžeme presne určiť počet rôznych hodnôt, ale vieme, že modus súboru sú hodnoty \( 12 \) a \( 13 \).