1. Pokud prší, pak je mokro. Nepřší-li mokro, lze usoudit, že neprší. Ukažte to pomocí modus tollens.
Řešení příkladu:
Nechť máme implikaci:
\( P \Rightarrow Q \)
a také negaci následku:
\( \neg Q \)
Podle pravidla modus tollens můžeme odvodit negaci předpokladu:
\( \neg P \)
Formálně tedy:
Pokud platí „Jestliže prší, je mokro“ (\( P \Rightarrow Q \)) a zároveň „Není mokro“ (\( \neg Q \)), můžeme usoudit, že „Nepřší“ (\( \neg P \)).
Tento princip lze zobecnit na libovolné logické výroky, kde negace důsledku implikace vede k negaci předpokladu.
2. Jestliže osoba je student, pak má průkaz studenta. Osoba však nemá průkaz studenta. Co můžeme usoudit o této osobě pomocí modus tollens?
Řešení příkladu:
Mějme implikaci:
\( P \Rightarrow Q \)
a negaci následku:
\( \neg Q \)
Podle modus tollens odvodíme negaci předpokladu:
\( \neg P \)
Tedy pokud osoba nemá průkaz studenta (\( \neg Q \)), pak to znamená, že není studentem (\( \neg P \)).
3. Pokud je číslo sudé, pak je dělitelné dvěma. Číslo však není dělitelné dvěma. Co platí o tomto čísle?
Řešení příkladu:
Máme implikaci:
\( P \Rightarrow Q \)
Negaci následku:
\( \neg Q \)
Podle modus tollens usuzujeme negaci předpokladu:
\( \neg P \)
Tedy pokud číslo není dělitelné dvěma (\( \neg Q \)), znamená to, že není sudé (\( \neg P \)).
4. Pokud je člověk dospělý, může řídit auto. Člověk však auto řídit nemůže. Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Negace následku:
\( \neg Q \)
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \)
Tedy pokud člověk nemůže řídit auto, není dospělý.
5. Pokud je rostlina kaktus, vydrží sucho. Rostlina však sucho nevydrží. Co platí?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Negace následku:
\( \neg Q \)
Podle modus tollens platí:
\( \neg P \)
Tedy rostlina není kaktus, pokud nevydrží sucho.
6. Pokud je číslo prvočíslo větší než \(2\), pak je liché. Číslo není liché. Jaký je závěr?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Negace následku:
\( \neg Q \)
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \)
Tedy číslo není prvočíslo větší než \(2\), pokud není liché.
7. Pokud je zvíře kočka, umí mňoukat. Zvíře však nemňouká. Co platí?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Negace následku:
\( \neg Q \)
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \)
Zvíře není kočka, pokud nemňouká.
8. Pokud je člověk občanem ČR, má platný občanský průkaz. Člověk však platný průkaz nemá. Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Negace následku:
\( \neg Q \)
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \)
Člověk není občanem ČR, pokud nemá platný občanský průkaz.
9. Pokud je funkce diferencovatelná, je spojitá. Funkce však spojitá není. Co lze říct o její diferencovatelnosti?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Negace následku:
\( \neg Q \)
Podle modus tollens platí:
\( \neg P \)
Funkce není diferencovatelná, pokud není spojitá.
10. Pokud má student složený zápočet, může nastoupit ke zkoušce. Student však ke zkoušce nenastoupil. Co platí?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Negace následku:
\( \neg Q \)
Podle modus tollens plyne negace předpokladu:
\( \neg P \)
Student nemá složený zápočet, pokud ke zkoušce nenastoupil.
11. Pokud matice \( A \) je regulární (invertovatelná), pak její determinant je různý od nuly. Matice \( A \) je regulární. Co platí o jejím determinantu?
Řešení příkladu:
Máme implikaci:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \) je „matice \( A \) je regulární“
\( Q \) je „determinant matice \( A \) je různý od nuly“
Dále víme, že \( P \) je pravdivé (matice \( A \) je regulární).
Podle pravidla modus ponens z implikace a pravdivosti předpokladu \( P \) plyne, že musí být pravdivý i následek \( Q \):
\( P \Rightarrow Q, \quad P \Rightarrow Q \)
Tedy determinant matice \( A \) je různý od nuly.
12. Pokud funkce \( f \) je spojitá na intervalu \( [a,b] \), pak podle věty o mezihodnotě nabývá všechny hodnot mezi \( f(a) \) a \( f(b) \). Funkce \( f \) je spojitá na intervalu \( [a,b] \). Jaký závěr lze učinit o hodnotách, které \( f \) nabývá?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): funkce \( f \) je spojitá na intervalu \( [a,b] \)
\( Q \): funkce \( f \) nabývá všech hodnot mezi \( f(a) \) a \( f(b) \)
Jsme dále informováni, že \( P \) platí (funkce \( f \) je spojitá na \( [a,b] \)).
Podle modus ponens tedy platí:
\( Q \)
Tedy funkce \( f \) skutečně nabývá všech hodnot mezi \( f(a) \) a \( f(b) \) na daném intervalu.
13. Pokud je vektor \( \mathbf{v} \) v jádru lineárního zobrazení \( T \), pak \( T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \). Vektor \( \mathbf{v} \) je v jádru \( T \). Co plyne o obrazu vektoru \( \mathbf{v} \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): \( \mathbf{v} \in \ker(T) \)
\( Q \): \( T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \)
Zadané je, že \( P \) platí (vektor \( \mathbf{v} \) je v jádru zobrazení \( T \)).
Podle modus ponens plyne, že \( Q \) platí:
Obraz vektoru \( \mathbf{v} \) je nulový vektor.
14. Pokud je posloupnost \( (a_n) \) monotónně rostoucí a omezená shora, pak konverguje. Posloupnost \( (a_n) \) je monotónně rostoucí a omezená shora. Co plyne o její limitě?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): posloupnost \( (a_n) \) je monotónně rostoucí a omezená shora
\( Q \): posloupnost \( (a_n) \) konverguje
Je dáno, že \( P \) platí.
Podle modus ponens tedy plyne, že \( Q \) platí:
Posloupnost \( (a_n) \) skutečně konverguje k nějaké limitě \( L \in \mathbb{R} \).
15. Pokud je číslo \( x \) řešením rovnice \( x^2 – 5x + 6 = 0 \), pak platí, že \( x = 2 \) nebo \( x = 3 \). Číslo \( x \) je řešením této rovnice. Jaké hodnoty \( x \) může nabývat?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): \( x \) řeší rovnici \( x^2 – 5x + 6 = 0 \)
\( Q \): \( x = 2 \) nebo \( x = 3 \)
Je dáno, že \( P \) platí.
Podle modus ponens plyne \( Q \):
Řešením je \( x = 2 \) nebo \( x = 3 \).
16. Pokud v pravděpodobnostním modelu platí, že náhodná veličina \( X \) má rozdělení s hustotou \( f_X \), která je spojitá, pak pravděpodobnost, že \( X \) nabývá konkrétní hodnoty, je nula. Veličina \( X \) má spojitou hustotu \( f_X \). Jaká je pravděpodobnost, že \( X = x_0 \) pro dané \( x_0 \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): \( X \) má spojitou hustotu \( f_X \)
\( Q \): \( P(X = x_0) = 0 \)
Je dáno, že \( P \) platí.
Podle modus ponens plyne, že \( Q \) platí:
Pravděpodobnost, že náhodná veličina \( X \) nabývá konkrétní hodnoty \( x_0 \), je nulová.
17. Pokud matice \( A \) je symetrická, pak má reálné vlastní čísla. Matice \( A \) je symetrická. Co plyne o jejích vlastních číslech?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): matice \( A \) je symetrická
\( Q \): vlastní čísla \( A \) jsou reálná
Dále víme, že \( P \) platí.
Podle modus ponens plyne, že \( Q \) platí:
Matice \( A \) má pouze reálná vlastní čísla.
18. Pokud je posloupnost \( (b_n) \) Cauchyovská, pak je v kompletním metrickém prostoru konvergentní. Posloupnost \( (b_n) \) je Cauchyovská. Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): posloupnost \( (b_n) \) je Cauchyovská
\( Q \): \( (b_n) \) je konvergentní v kompletním metrickém prostoru
Dále je dáno, že \( P \) platí.
Podle modus ponens plyne \( Q \):
Posloupnost \( (b_n) \) konverguje.
19. Pokud číslo \( n \) je sudé, pak \( n^2 \) je také sudé. Číslo \( n \) je sudé. Co platí o \( n^2 \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): \( n \) je sudé
\( Q \): \( n^2 \) je sudé
Dále platí \( P \).
Podle modus ponens platí \( Q \):
Číslo \( n^2 \) je sudé.
20. Pokud je posloupnost \( (c_n) \) aritmetická, pak rozdíl mezi po sobě jdoucími členy je konstantní. Posloupnost \( (c_n) \) je aritmetická. Co platí o rozdílu mezi členy?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): \( (c_n) \) je aritmetická posloupnost
\( Q \): rozdíl mezi po sobě jdoucími členy je konstantní
Dále platí \( P \).
Podle modus ponens plyne \( Q \):
Rozdíl \( c_{n+1} – c_n = d \) je konstantní pro všechna \( n \).
21. Pokud matice \( A \) je regulární (invertovatelná), pak její determinant je různý od nuly. Matice \( A \) má determinant nulový. Co plyne o regulárnosti matice \( A \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): matice \( A \) je regulární
\( Q \): \( \det(A) \neq 0 \)
Negace následku:
\( \neg Q \): \( \det(A) = 0 \)
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \): matice \( A \) není regulární (není invertovatelná).
22. Pokud posloupnost \( (a_n) \) konverguje k limitě \( L \), pak každá její podposloupnost také konverguje k \( L \). Existuje podposloupnost \( (a_{n_k}) \), která nekonverguje k \( L \). Co plyne o posloupnosti \( (a_n) \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): posloupnost \( (a_n) \) konverguje k \( L \)
\( Q \): každá podposloupnost konverguje k \( L \)
Negace následku:
\( \neg Q \): existuje podposloupnost nekonvergující k \( L \)
Podle modus tollens platí:
\( \neg P \): posloupnost \( (a_n) \) nekonverguje k \( L \).
23. Pokud je funkce \( f \) spojitá na intervalu \( \langle a,b \rangle \) a \( f(a) \cdot f(b) < 0 \), pak existuje alespoň jedno \( c \in (a,b) \), pro které \( f(c) = 0 \). Neexistuje \( c \in (a,b) \), pro které by \( f(c) = 0 \). Co platí o součinu \( f(a) \cdot f(b) \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): funkce \( f \) je spojitá a \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)
\( Q \): existuje \( c \in (a,b) \), že \( f(c) = 0 \)
Negace následku:
\( \neg Q \): neexistuje žádné \( c \in (a,b) \) s \( f(c) = 0 \)
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \): tedy \( f(a) \cdot f(b) \geq 0 \) nebo \( f \) není spojitá na \( \langle a,b \rangle \).
24. Pokud je množina \( M \subset \mathbb{R} \) omezená a uzavřená, pak je kompakt. Množina \( M \) není kompakt. Co lze říct o množině \( M \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): množina \( M \) je omezená a uzavřená
\( Q \): množina \( M \) je kompakt
Negace následku:
\( \neg Q \): \( M \) není kompakt
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \): množina \( M \) není omezená nebo není uzavřená.
25. Pokud je vektorový prostor \( V \) konečněrozměrný, pak každá báze \( V \) obsahuje právě \( n \) vektorů. Existuje báze \( V \), která neobsahuje \( n \) vektorů. Co platí o rozměru \( V \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): prostor \( V \) je konečněrozměrný
\( Q \): každá báze obsahuje \( n \) vektorů
Negace následku:
\( \neg Q \): existuje báze, která neobsahuje \( n \) vektorů
Podle modus tollens plyne negace předpokladu:
\( \neg P \): prostor \( V \) není konečněrozměrný.
26. Pokud funkce \( f \) má derivaci v bodě \( x_0 \), pak je spojitá v tomto bodě. Funkce \( f \) není spojitá v \( x_0 \). Co platí o existenci derivace v \( x_0 \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): \( f \) má derivaci v \( x_0 \)
\( Q \): \( f \) je spojitá v \( x_0 \)
Negace následku:
\( \neg Q \): \( f \) není spojitá v \( x_0 \)
Podle modus tollens plyne negace předpokladu:
\( \neg P \): \( f \) nemá derivaci v \( x_0 \).
27. Pokud je \( n \) prvočíslo, pak \( \mathbb{Z}_n \) je těleso. \( \mathbb{Z}_n \) není těleso. Co lze říct o \( n \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): \( n \) je prvočíslo
\( Q \): \( \mathbb{Z}_n \) je těleso
Negace následku:
\( \neg Q \): \( \mathbb{Z}_n \) není těleso
Podle modus tollens plyne negace předpokladu:
\( \neg P \): \( n \) není prvočíslo.
28. Pokud funkce \( f \) je sudá, pak \( f(-x) = f(x) \). Pro nějaké \( x_0 \) platí \( f(-x_0) \neq f(x_0) \). Co platí o funkci \( f \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): \( f \) je sudá funkce
\( Q \): \( f(-x) = f(x) \) pro všechna \( x \)
Negace následku:
\( \neg Q \): existuje \( x_0 \), pro které \( f(-x_0) \neq f(x_0) \)
Podle modus tollens plyne negace předpokladu:
\( \neg P \): \( f \) není sudá.
29. Pokud integrál \( \int_a^b f(x) \, dx \) existuje, pak funkce \( f \) je omezená na intervalu \( \langle a,b \rangle \). Funkce \( f \) není omezená na \( \langle a,b \rangle \). Co plyne o existenci integrálu?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): integrál \( \int_a^b f(x) \, dx \) existuje
\( Q \): \( f \) je omezená na \( \langle a,b \rangle \)
Negace následku:
\( \neg Q \): \( f \) není omezená na \( \langle a,b \rangle \)
30. Pokud je posloupnost \( (x_n) \) monotonní a omezená, pak konverguje. Posloupnost \( (x_n) \) nekonverguje. Co plyne o monotónnosti nebo omezenosti posloupnosti?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): posloupnost \( (x_n) \) je monotonní a omezená
\( Q \): \( (x_n) \) konverguje
Negace následku:
\( \neg Q \): \( (x_n) \) nekonverguje
Podle modus tollens plyne negace předpokladu:
\( \neg P \): posloupnost \( (x_n) \) není monotónní nebo není omezená.
31. Pokud je číslo prvočíslem větším než \(2\), pak je liché. Číslo \(17\) je prvočíslo větší než \(2\). Co z toho vyplývá?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \) je „Číslo je prvočíslem větším než \(2\)“
\( Q \) je „Číslo je liché“
Máme pravdivé \( P \) (číslo \(17\) je prvočíslo větší než \(2\)).
Podle modus ponens tedy platí \( Q \), tj. číslo \(17\) je liché.
Závěr: Číslo \(17\) je liché.
32. Pokud je funkce diferencovatelná, pak je spojitá. Funkce \( f(x) = x^2 \) je diferencovatelná na \( \mathbb{R} \). Co tedy platí?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): „Funkce je diferencovatelná“
\( Q \): „Funkce je spojitá“
Platí \( P \) pro \( f(x) = x^2 \), protože je diferencovatelná na \( \mathbb{R} \).
Podle modus ponens tedy platí \( Q \), tedy funkce \( f \) je spojitá na \( \mathbb{R} \).
Závěr: Funkce \( f(x) = x^2 \) je spojitá na reálné ose.
33. Pokud je nějaký student úspěšný v kurzu, má dostatečný počet bodů. Pavel má dostatečný počet bodů. Co z toho vyplývá?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): „Student je úspěšný v kurzu“
\( Q \): „Student má dostatečný počet bodů“
Je dáno \( Q \), že Pavel má dostatečný počet bodů.
Modus ponens neumožňuje vyvodit \( P \) ze znalosti \( Q \).
Závěr: Nelze určit, zda je Pavel úspěšný pouze na základě informace o dostatečném počtu bodů.
34. Pokud prší, zem je mokrá. Prší. Co lze říci o stavu země?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): „Prší“
\( Q \): „Zem je mokrá“
Platí \( P \), prší.
Podle modus ponens platí \( Q \), tedy zem je mokrá.
Závěr: Země je mokrá.
35. Pokud je systém zabezpečen, nemůže dojít k průniku. K průniku však došlo. Co to znamená?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): „Systém je zabezpečen“
\( Q \): „Nedojde k průniku“
Víme, že \( \neg Q \) (k průniku došlo).
Podle modus tollens plyne \( \neg P \), tedy systém není zabezpečen.
Závěr: Systém není zabezpečen.
36. Pokud je číslo sudé, je dělitelné dvěma. Číslo \(24\) je sudé. Co z toho vyplývá?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): „Číslo je sudé“
\( Q \): „Číslo je dělitelné dvěma“
Platí \( P \) (\(24\) je sudé číslo).
Podle modus ponens platí \( Q \), tedy 24 je dělitelné dvěma.
Závěr: Číslo \(24\) je dělitelné dvěma.
37. Pokud je rovnoběžník čtverec, má všechny strany stejně dlouhé. Rovnoběžník je čtverec. Co tedy platí o délkách stran?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): „Rovnoběžník je čtverec“
\( Q \): „Všechny strany jsou stejně dlouhé“
Platí \( P \), rovnoběžník je čtverec.
Podle modus ponens platí \( Q \), tedy všechny strany rovnoběžníku jsou stejně dlouhé.
Závěr: Všechny strany rovnoběžníku jsou stejně dlouhé.
38. Pokud je člověk lékařem, absolvoval lékařskou fakultu. Jana je lékařka. Co z toho vyplývá?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): „Člověk je lékař“
\( Q \): „Absolvoval lékařskou fakultu“
Platí \( P \), Jana je lékařka.
Podle modus ponens platí \( Q \), Jana absolvovala lékařskou fakultu.
Závěr: Jana absolvovala lékařskou fakultu.
39. Pokud se jedná o liché číslo, není dělitelné dvěma. Číslo \(15\) je liché. Co z toho plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde
\( P \): „Číslo je liché“
\( Q \): „Číslo není dělitelné dvěma“
Platí \( P \), číslo \(15\) je liché.
Podle modus ponens platí \( Q \), tedy \(15\) není dělitelné dvěma.
Závěr: Číslo \(15\) není dělitelné dvěma.
40. Pokud je funkce monotónně rostoucí, pak platí, že pokud \( x_1 < x_2 \), pak \( f(x_1) \leq f(x_2) \). Funkce \( f(x) = 3x + 2 \) je monotónně rostoucí. Co tedy platí pro \( f(1) \) a \( f(3) \)?
Funkce \( f(x) = 3x + 2 \) je lineární se kladným koeficientem, tedy monotónně rostoucí, takže platí \( P \).
Podle modus ponens platí \( Q \), tedy pro \( 1 < 3 \) platí \( f(1) \leq f(3) \).
Konkrétně:
\( f(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \)
\( f(3) = 3 \cdot 3 + 2 = 11 \)
Závěr: \( f(1) \leq f(3) \), tedy \( 5 \leq 11 \), což platí.
41. Pokud je číslo dělitelné \(6\), pak je dělitelné \(3\). Číslo je dělitelné \(6\). Co plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Kde \(P\) znamená „číslo je dělitelné \(6\)“ a \(Q\) znamená „číslo je dělitelné \(3\)“.
Platí předpoklad:
\( P \)
Podle modus ponens platí následně:
\( Q \)
Tedy číslo je dělitelné \(3\).
42. Pokud je rovina kolmice na přímku, pak úhel mezi nimi je \(90°\). Rovina je kolmice na přímku. Jaký úhel mezi nimi vzniká?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Kde \(P\) znamená „rovina je kolmice na přímku“ a \(Q\) znamená „úhel je \(90°\)“.
Je dán předpoklad:
\( P \)
Podle modus ponens platí následně:
\( Q \)
Úhel mezi rovinou a přímkou je tedy \(90°\).
43. Pokud nějaké tvrzení je tautologie, pak je pravdivé v každé interpretaci. Tvrzení je tautologie. Jaký je jeho pravdivostní status?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Kde \(P\) je „tvrzení je tautologie“ a \(Q\) je „tvrzení je pravdivé v každé interpretaci“.
Platí předpoklad:
\( P \)
Modus ponens tedy umožňuje vyvodit:
\( Q \)
Tvrzení je pravdivé v každé interpretaci.
44. Pokud číslo je prvočíslo větší než \(2\), pak je liché. Číslo je prvočíslo a větší než \(2\). Jaký je jeho typ?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Kde \(P\) je „číslo je prvočíslo větší než \(2\)“ a \(Q\) je „číslo je liché“.
Platí předpoklad:
\( P \)
Modus ponens umožňuje vyvodit:
\( Q \)
Číslo je tedy liché.
45. Pokud je funkce spojitá, pak nemá žádné nespojitosti. Funkce je spojitá. Co z toho vyplývá?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Kde \(P\) znamená „funkce je spojitá“ a \(Q\) znamená „funkce nemá žádné nespojitosti“.
Platí předpoklad:
\( P \)
Podle modus ponens platí:
\( Q \)
Funkce tedy nemá žádné nespojitosti.
46. Pokud je tvrzení matematicky dokázané, pak je pravdivé. Tvrzení bylo matematicky dokázané. Jaký je závěr?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Kde \(P\) je „tvrzení je matematicky dokázané“ a \(Q\) je „tvrzení je pravdivé“.
Platí předpoklad:
\( P \)
Podle modus ponens plyne:
\( Q \)
Tvrzení je pravdivé.
47. Pokud člověk dokončí vysokou školu, získá akademický titul. Člověk dokončil vysokou školu. Co to znamená?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Kde \(P\) znamená „člověk dokončil vysokou školu“ a \(Q\) znamená „člověk získal akademický titul“.
Platí předpoklad:
\( P \)
Podle modus ponens plyne:
\( Q \)
Člověk získal akademický titul.
48. Pokud je číslo záporné, pak jeho druhá mocnina je kladná. Číslo je záporné. Jaké je znaménko jeho druhé mocniny?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Kde \(P\) znamená „číslo je záporné“ a \(Q\) znamená „druhá mocnina čísla je kladná“.
Platí předpoklad:
\( P \)
Podle modus ponens plyne:
\( Q \)
Druhá mocnina čísla je kladná.
49. Pokud má trojúhelník dva stejné úhly, pak je rovnoramenný. Trojúhelník má dva stejné úhly. Jaký je typ trojúhelníku?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Kde \(P\) znamená „trojúhelník má dva stejné úhly“ a \(Q\) znamená „trojúhelník je rovnoramenný“.
Platí předpoklad:
\( P \)
Podle modus ponens plyne:
\( Q \)
Trojúhelník je rovnoramenný.
50. Pokud je číslo sudé, pak jeho dělitelnost \(2\) je pravdivá. Číslo je sudé. Co lze tedy tvrdit?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Kde \(P\) znamená „číslo je sudé“ a \(Q\) znamená „číslo je dělitelné \(2\)“.
Platí předpoklad:
\( P \)
Podle modus ponens platí:
\( Q \)
Číslo je dělitelné \(2\).
51. Pokud v množině existuje prvek s vlastností \(P\), pak tato vlastnost platí i pro jeho obraz při zobrazení \(f\). V množině tedy existuje prvek s vlastností \(P\). Jaký závěr můžeme udělat o obraze tohoto prvku?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „v množině existuje prvek s vlastností \(P\)“
\( Q \): „v obraze tohoto prvku platí vlastnost \(P\)“
Podmínka je:
\( P \Rightarrow Q \)
Platí předpoklad \(P\), tedy podle modus ponens plyne:
\( Q \)
Obraz prvku má tedy vlastnost \(P\).
52. Pokud je posloupnost \( (a_n) \) konvergentní k limitě \(L\), pak pro každé \(\varepsilon > 0\) existuje index \(N\), že pro všechna \(n > N\) platí \(|a_n – L| < \varepsilon\). Posloupnost je konvergentní k limitě \(L\). Co platí pro \(\varepsilon = 0{,}01\)?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „posloupnost je konvergentní k limitě \(L\)“
\( Q \): „pro \(\varepsilon = 0{,}01\) existuje \(N\), že \(\forall n > N: |a_n – L| < 0{,}01\)"
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Je dán předpoklad \(P\), proto modus ponens umožňuje vyvodit \(Q\).
Pro \(\varepsilon = 0{,}01\) tedy najdeme index \(N\), po kterém jsou všechny členy posloupnosti od limitní hodnoty vzdáleny méně než \(0,01\).
53. Pokud je matice \(A\) regulární, pak existuje matice \(A^{-1}\), že \(AA^{-1} = I\). Matice \(A\) je regulární. Co lze říci o matici \(A^{-1}\)?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „matice \(A\) je regulární“
\( Q \): „existuje matice \(A^{-1}\), že \(AA^{-1} = I\)“
Platí implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Je dán předpoklad \(P\), takže modus ponens umožňuje vyvodit \(Q\).
Tedy k regulární matici \(A\) existuje inverzní matice \(A^{-1}\), která při násobení s \(A\) dává jednotkovou matici \(I\).
54. Pokud tvrzení o konečnosti množiny platí, pak je možné tuto množinu vyjmenovat jako posloupnost. Tvrzení o konečnosti platí. Co to znamená?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „množina je konečná“
\( Q \): „množinu lze vyjmenovat jako posloupnost“
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Podle předpokladu platí \(P\), tedy modus ponens implikuje \(Q\).
Množinu je tedy možné uspořádat do posloupnosti jejích prvků.
55. Pokud funkce \(f\) je diferencovatelná na intervalu \((a,b)\), pak je spojitá na \((a,b)\). Funkce \(f\) je diferencovatelná na \((a,b)\). Co to znamená pro spojitost?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „funkce \(f\) je diferencovatelná na \((a,b)\)“
\( Q \): „funkce \(f\) je spojitá na \((a,b)\)“
Platí implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Je dán předpoklad \(P\), proto modus ponens dovoluje vyvodit \(Q\).
Funkce \(f\) je tedy spojitá na intervalu \((a,b)\).
56. Pokud je tvrzení ve formálním systému dokazatelné, pak je pravdivé v tomto systému. Tvrzení je dokazatelné. Jaký je závěr?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „tvrzení je dokazatelné v systému“
\( Q \): „tvrzení je pravdivé v systému“
Platí:
\( P \Rightarrow Q \)
Je-li dáno \(P\), modus ponens umožňuje vyvodit \(Q\).
Tvrzení je tedy pravdivé v rámci daného formálního systému.
57. Pokud je prvek \(x\) prvkem jádra homomorfismu, pak je zobrazen na neutrální prvek. Prvek \(x\) je v jádře homomorfismu. Jaký je jeho obraz?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „prvek \(x\) je v jádře homomorfismu“
\( Q \): „obraz prvku \(x\) je neutrální prvek“
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Platí \(P\), proto modus ponens implikuje \(Q\).
Obraz prvku \(x\) je tedy neutrální prvek v cílové struktuře.
58. Pokud je posloupnost \( (b_n) \) monotonní a omezená, pak je konvergentní. Posloupnost je monotonní a omezená. Co platí?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „posloupnost \( (b_n) \) je monotonní a omezená“
\( Q \): „posloupnost \( (b_n) \) je konvergentní“
Platí:
\( P \Rightarrow Q \)
Platí předpoklad \(P\), tedy modus ponens dovoluje vyvodit \(Q\).
Posloupnost \( (b_n) \) je konvergentní.
59. Pokud je jazyk formální gramatiky regulární, pak existuje konečný automat, který jej přijímá. Jazyk je regulární. Co to znamená?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „jazyk je regulární“
\( Q \): „existuje konečný automat, který jazyk přijímá“
Platí implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Je dán předpoklad \(P\), modus ponens dovoluje vyvodit \(Q\).
Existuje tedy konečný automat přijímající daný regulární jazyk.
60. Pokud je výrok \(A\) platný v logice predikátů, pak je pravdivý ve všech modelech. Výrok \(A\) je platný. Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „výrok \(A\) je platný v logice predikátů“
\( Q \): „výrok \(A\) je pravdivý ve všech modelech“
Platí:
\( P \Rightarrow Q \)
Je dán předpoklad \(P\), tedy modus ponens implikuje \(Q\).
Výrok \(A\) je tedy pravdivý ve všech modelech logiky predikátů.
61. Pokud vektorový prostor \(V\) nad tělesem \(\mathbb{K}\) obsahuje bázi o konečném počtu prvků, pak je každý prvek \(v \in V\) lineární kombinací této báze. Mějme vektor \(v \in V\), který je lineární kombinací prvků báze. Co z toho plyne?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „vektor \(v\) je lineární kombinací prvků báze“
\( Q \): „vektor \(v\) patří do vektorového prostoru \(V\)“
Platí implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Je dán předpoklad \(P\), modus ponens dovoluje vyvodit \(Q\).
Tedy vektor \(v\) skutečně patří do vektorového prostoru \(V\).
62. Pokud má matice \(A\) inverzní matici, pak je lineárně nezávislá množina jejích sloupců. Matice \(A\) má inverzní matici. Co můžeme říci o sloupcích matice \(A\)?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „matice \(A\) má inverzní matici“
\( Q \): „sloupce matice \(A\) tvoří lineárně nezávislou množinu“
Platí implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Předpokládáme \(P\), modus ponens implikuje \(Q\).
Sloupce matice \(A\) jsou tedy lineárně nezávislé.
63. Pokud je množina \(S\) uzavřená vzhledem k operaci složení a obsahuje neutrální prvek, pak je \(S\) semigroupou s jednotkou. Mějme množinu \(S\), která splňuje tyto podmínky. Jaký závěr lze udělat?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „množina \(S\) je uzavřená vůči složení a obsahuje neutrální prvek“
\( Q \): „množina \(S\) je semigroupa s jednotkou“
Platí:
\( P \Rightarrow Q \)
Předpoklad \(P\) umožňuje modus ponens vyvodit \(Q\).
Tedy \(S\) je semigroupa s jednotkou.
64. Pokud posloupnost funkcí \((f_n)\) konverguje uniformně k funkci \(f\) a každá \(f_n\) je spojitá, pak je \(f\) také spojitá. Posloupnost \((f_n)\) konverguje uniformně k \(f\) a všechny \(f_n\) jsou spojité. Co z toho plyne?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „posloupnost \((f_n)\) konverguje uniformně k \(f\) a všechny \(f_n\) jsou spojité“
\( Q \): „funkce \(f\) je spojitá“
Platí implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Předpoklad \(P\) dovoluje vyvodit \(Q\) pomocí modus ponens.
Funkce \(f\) je tedy spojitá.
65. Pokud je funkce \(f\) diferencovatelná v bodě \(a\) a derivace \(f'(a)\) je nenulová, pak je \(f\) lokálně invertibilní v okolí bodu \(a\). Funkce \(f\) je diferencovatelná v bodě \(a\) a \(f'(a) \neq 0\). Co to znamená?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „funkce \(f\) je diferencovatelná v bodě \(a\) a \(f'(a) \neq 0\)“
\( Q \): „funkce \(f\) je lokálně invertibilní v okolí bodu \(a\)“
Platí:
\( P \Rightarrow Q \)
Předpoklad \(P\) umožňuje modus ponens vyvodit \(Q\).
Funkce \(f\) je tedy lokálně invertibilní v okolí \(a\).
66. Pokud je množina \(A\) otevřená v metrickém prostoru \((X,d)\), pak pro každý bod \(a \in A\) existuje \(\varepsilon > 0\), takové že otevřená koule \(B(a,\varepsilon)\) je podmnožinou \(A\). Mějme množinu \(A\) otevřenou. Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „množina \(A\) je otevřená v metrickém prostoru \((X,d)\)“
\( Q \): „pro každý \(a \in A\) existuje \(\varepsilon > 0\), že \(B(a,\varepsilon) \subseteq A\)“
Platí:
\( P \Rightarrow Q \)
Předpoklad \(P\) dovoluje modus ponens vyvodit \(Q\).
Tedy pro každý bod \(a \in A\) existuje taková otevřená koule v \(A\).
67. Pokud v grupě \(G\) platí, že prvek \(g \in G\) má inverzní prvek \(g^{-1}\), pak platí \(g \cdot g^{-1} = e\), kde \(e\) je neutrální prvek. Prvek \(g\) má inverzi. Co z toho vyplývá?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „prvek \(g\) má inverzní prvek \(g^{-1}\)“
\( Q \): „platí \(g \cdot g^{-1} = e\)“
Platí:
\( P \Rightarrow Q \)
Předpoklad \(P\) umožňuje modus ponens vyvodit \(Q\).
Tedy \(g \cdot g^{-1} = e\).
68. Pokud posloupnost reálných čísel \((x_n)\) je konvergentní a její limitní hodnota je \(L\), pak pro každé \(\varepsilon > 0\) existuje index \(N\), že pro všechny \(n > N\) platí \(|x_n – L| < \varepsilon\). Posloupnost \((x_n)\) konverguje k \(L\). Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „posloupnost \((x_n)\) konverguje k \(L\)“
\( Q \): „pro každé \(\varepsilon > 0\) existuje \(N\) tak, že \(\forall n > N: |x_n – L| < \varepsilon\)"
Platí implikace:
\( P \Rightarrow Q \)
Předpoklad \(P\) umožňuje modus ponens vyvodit \(Q\).
Tedy posloupnost splňuje definici konvergence k \(L\).
69. Pokud je graf \(G\) souvislý a má \(n\) vrcholů, pak existuje cesta spojující libovolné dva vrcholy grafu. Graf \(G\) je souvislý. Co z toho plyne?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „graf \(G\) je souvislý“
\( Q \): „existuje cesta spojující libovolné dva vrcholy grafu \(G\)“
Platí:
\( P \Rightarrow Q \)
Předpoklad \(P\) dovoluje modus ponens vyvodit \(Q\).
Tedy mezi libovolnými dvěma vrcholy existuje cesta.
70. Pokud je \(f\) konvexní funkce na intervale \([a,b]\) a \(x_0 \in (a,b)\), pak existuje tečna ke grafu \(f\) v bodě \(x_0\) a funkce je spojitá. Funkce \(f\) je konvexní na \([a,b]\). Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Definujeme:
\( P \): „funkce \(f\) je konvexní na \([a,b]\)“
\( Q \): „existuje tečna ke grafu \(f\) v \(x_0\) a \(f\) je spojitá“
Platí:
\( P \Rightarrow Q \)
Předpoklad \(P\) dovoluje modus ponens vyvodit \(Q\).
Tedy funkce má tečnu v \(x_0\) a je spojitá.
71. Pokud je daný systém lineárních rovnic konzistentní, má alespoň jedno řešení. Systém však nemá žádné řešení. Jaký závěr plyne o konzistenci systému?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „systém je konzistentní“, \( Q \) = „systém má alespoň jedno řešení“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „systém nemá žádné řešení“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „systém není konzistentní“
Závěr: Systém není konzistentní, pokud nemá žádné řešení.
72. Pokud číslo \( x \) je prvočíslo větší než \(2\), je liché. Číslo \( x \) však není liché. Co z toho vyplývá?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „\( x \) je prvočíslo větší než \(2\)“, \( Q \) = „\( x \) je liché číslo“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „\( x \) není liché číslo“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „\( x \) není prvočíslo větší než \(2\)“
Závěr: Číslo \( x \) není prvočíslo větší než \(2\), pokud není liché.
73. Pokud je funkce \( f \) spojitá na uzavřeném intervalu \([a,b]\), pak dosahuje na tomto intervalu maximum. Funkce \( f \) však maximum na intervalu \([a,b]\) nemá. Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „funkce \( f \) je spojitá na \([a,b]\)“, \( Q \) = „funkce \( f \) dosahuje maximum na \([a,b]\)“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „funkce \( f \) na \([a,b]\) maximum nemá“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „funkce \( f \) není spojitá na \([a,b]\)“
Závěr: Funkce \( f \) není spojitá na intervalu \([a,b]\), pokud na něm nedosahuje maxima.
74. Pokud je matice regulární (invertovatelná), její determinant je nenulový. Determinant matice však je nulový. Co to znamená?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „matice je regulární“, \( Q \) = „determinant matice je nenulový“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „determinant matice je nulový“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „matice není regulární“
Závěr: Matice není invertovatelná, pokud má nulový determinant.
75. Pokud člověk splnil maturitu, může pokračovat na vysoké škole. Člověk však nemůže pokračovat na vysoké škole. Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „člověk splnil maturitu“, \( Q \) = „člověk může pokračovat na vysoké škole“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „člověk nemůže pokračovat na vysoké škole“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „člověk nesplnil maturitu“
Závěr: Člověk nesplnil maturitu, pokud nemůže pokračovat na vysoké škole.
76. Pokud má funkce \( g \) derivaci v bodě \( c \), je v tomto bodě spojitá. Funkce však v bodě \( c \) spojitá není. Co můžeme říct o derivaci v tomto bodě?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „funkce \( g \) má derivaci v bodě \( c \)“, \( Q \) = „funkce \( g \) je spojitá v bodě \( c \)“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „funkce \( g \) není spojitá v bodě \( c \)“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „funkce \( g \) nemá derivaci v bodě \( c \)“
Závěr: Funkce nemá derivaci v bodě \( c \), pokud není spojitá.
77. Pokud je číslo \( n \) sudé, je dělitelné \(2\). Číslo \( n \) však není dělitelné \(2\). Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „číslo \( n \) je sudé“, \( Q \) = „číslo \( n \) je dělitelné \(2\)“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „číslo \( n \) není dělitelné \(2\)“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „číslo \( n \) není sudé“
Závěr: Číslo \( n \) není sudé, pokud není dělitelné \(2\).
78. Pokud je těleso kovové, vede elektrický proud. Těleso však nevede elektrický proud. Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „těleso je kovové“, \( Q \) = „těleso vede elektrický proud“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „těleso nevede elektrický proud“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „těleso není kovové“
Závěr: Těleso není kovové, pokud nevede elektrický proud.
79. Pokud je funkce \( h \) klesající na intervalu \((a,b)\), pak pro každé \( x_1, x_2 \in (a,b) \) takové, že \( x_1 < x_2 \), platí \( h(x_1) > h(x_2) \). Pro funkci \( h \) na intervalu \((a,b)\) však existují \( x_1 < x_2 \), kde \( h(x_1) \leq h(x_2) \). Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „funkce \( h \) je klesající na \((a,b)\)“, \( Q \) = „pro každé \( x_1 < x_2 \) platí \( h(x_1) > h(x_2) \)“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „existují \( x_1 < x_2 \) taková, že \( h(x_1) \leq h(x_2) \)"
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „funkce \( h \) není klesající na \((a,b)\)“
Závěr: Funkce není klesající na intervalu \((a,b)\), pokud existují taková \( x_1, x_2 \), že \( h(x_1) \leq h(x_2) \).
81. Pokud je matice \( A \) regulární (invertovatelná), pak rovnice \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) má pro každé \(\mathbf{b}\) jednoznačné řešení. Pro matici \( A \) však existuje vektor \(\mathbf{b}\), pro který rovnice nemá řešení. Co platí o matici \( A \)?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „matice \( A \) je regulární“, \( Q \) = „rovnice \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) má pro každé \(\mathbf{b}\) jednoznačné řešení“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „existuje \(\mathbf{b}\), pro které rovnice nemá řešení“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „matice \( A \) není regulární“
Závěr: Matice \( A \) není invertovatelná.
82. Pokud má funkce spojitou derivaci na intervalu \([a,b]\), pak je na tomto intervalu Lipschitzovsky spojitá. Funkce však není Lipschitzovsky spojitá na \([a,b]\). Co platí?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „funkce má spojitou derivaci na \([a,b]\)“, \( Q \) = „funkce je Lipschitzovsky spojitá na \([a,b]\)“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „funkce není Lipschitzovsky spojitá na \([a,b]\)“
Podle modus tollens:
\( \neg P \), tedy „funkce nemá spojitou derivaci na \([a,b]\)“
Závěr: Funkce nemá spojitou derivaci na zadaném intervalu.
83. Pokud je posloupnost konvergentní, pak je omezená. Posloupnost však není omezená. Co lze říct o její konvergenci?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „posloupnost je konvergentní“, \( Q \) = „posloupnost je omezená“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „posloupnost není omezená“
Podle modus tollens:
\( \neg P \), tedy „posloupnost není konvergentní“
Závěr: Posloupnost nekonverguje.
84. Pokud je číslo prvočíslem, pak má právě dva různé dělitele. Číslo má více než dva různé dělitele. Co můžeme říci o tom čísle?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „číslo je prvočíslem“, \( Q \) = „má právě dva různé dělitele“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „číslo má více než dva různé dělitele“
Podle modus tollens:
\( \neg P \), tedy „číslo není prvočíslem“
Závěr: Číslo není prvočíslem.
85. Pokud je funkce monotónní, pak je téměř všude diferencovatelná. Funkce však není téměř všude diferencovatelná. Co plyne o monotónnosti?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „funkce je monotónní“, \( Q \) = „funkce je téměř všude diferencovatelná“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „funkce není téměř všude diferencovatelná“
Podle modus tollens:
\( \neg P \), tedy „funkce není monotónní“
Závěr: Funkce není monotónní.
86. Pokud je graf funkce spojitý, pak neobsahuje žádné skokové nespojitosti. Graf však obsahuje skokovou nespojitost. Co lze o spojitosti říci?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „graf funkce je spojitý“, \( Q \) = „graf neobsahuje skokové nespojitosti“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „graf obsahuje skokovou nespojitost“
Podle modus tollens:
\( \neg P \), tedy „graf není spojitý“
Závěr: Funkce není spojitá.
87. Pokud je posloupnost klesající a omezená zdola, pak konverguje. Posloupnost však nekonverguje. Co plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „posloupnost je klesající a omezená zdola“, \( Q \) = „posloupnost konverguje“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „posloupnost nekonverguje“
Podle modus tollens:
\( \neg P \), tedy „posloupnost není klesající nebo není omezená zdola“
Závěr: Posloupnost nesplňuje podmínky klesání a omezenosti zdola.
88. Pokud je funkce parciálně diferencovatelná na otevřeném množině, pak má parciální derivace. Funkce však některé parciální derivace nemá. Co platí?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „funkce je parciálně diferencovatelná na otevřeném množině“, \( Q \) = „funkce má všechny parciální derivace“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „funkce některé parciální derivace nemá“
Podle modus tollens:
\( \neg P \), tedy „funkce není parciálně diferencovatelná na otevřeném množině“
Závěr: Funkce není parciálně diferencovatelná na daném množině.
89. Pokud je číslo celé a sudé, pak je dělitelné dvěma. Číslo však není dělitelné dvěma. Jaký závěr plyne?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „číslo je celé a sudé“, \( Q \) = „číslo je dělitelné dvěma“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „číslo není dělitelné dvěma“
Podle modus tollens:
\( \neg P \), tedy „číslo není celé a sudé“
Závěr: Číslo není sudé celé číslo.
90. Pokud má funkce inverzní funkci, pak je prostá. Funkce však není prostá. Co platí o inverzní funkci?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „funkce má inverzní funkci“, \( Q \) = „funkce je prostá“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „funkce není prostá“
Podle modus tollens:
\( \neg P \), tedy „funkce nemá inverzní funkci“
Závěr: Funkce nemá inverzní funkci.
91. Pokud je matice čtvercová a invertibilní, pak její determinant je nenulový. Matice má nulový determinant. Co lze tedy říct o její invertibilitě?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „matice je invertibilní“, \( Q \) = „její determinant je nenulový“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „determinant matice je nulový“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „matice není invertibilní“
Závěr: Matice s nulovým determinantem není invertibilní.
92. Pokud je posloupnost monotónně rostoucí a omezená, pak je konvergentní. Posloupnost však není konvergentní. Co lze tedy říci o její monotónnosti nebo omezenosti?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „posloupnost je monotónně rostoucí a omezená“, \( Q \) = „posloupnost je konvergentní“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „posloupnost není konvergentní“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „posloupnost není monotónně rostoucí a omezená“
Závěr: Posloupnost buď není monotónní, nebo není omezená, nebo obojí.
93. Pokud je množina uzavřená a omezená v \(\mathbb{R}^n\), pak je kompaktni. Množina však není kompaktni. Co lze tedy říci o její uzavřenosti nebo omezenosti?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „množina je uzavřená a omezená“, \( Q \) = „množina je kompaktni“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „množina není kompaktni“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „množina není uzavřená nebo není omezená“
Závěr: Množina není uzavřená, nebo není omezená, nebo obojí.
94. Pokud je graf funkce spojitý na uzavřeném intervalu, pak je ohraničený. Funkce však není ohraničená na tomto intervalu. Jaký závěr plyne o spojitosti?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „funkce je spojitá na uzavřeném intervalu“, \( Q \) = „funkce je ohraničená na tomto intervalu“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „funkce není ohraničená na daném intervalu“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „funkce není spojitá na uzavřeném intervalu“
Závěr: Funkce není spojitá na daném uzavřeném intervalu.
95. Pokud matice soustavy lineárních rovnic má plnou hodnost, pak soustava má právě jedno řešení. Systém však nemá právě jedno řešení. Co lze říci o hodnosti matice?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „matice má plnou hodnost“, \( Q \) = „soustava má právě jedno řešení“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „soustava nemá právě jedno řešení“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „matice nemá plnou hodnost“
Závěr: Hodnost matice není plná, tedy soustava má buď nekonečně mnoho řešení, nebo žádné řešení.
96. Pokud je spojitá funkce na intervalu derivovatelná uvnitř intervalu, pak má spojitou derivaci. Funkce však nemá spojitou derivaci. Co lze říci o její derivovatelnosti?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „funkce je derivovatelná uvnitř intervalu“, \( Q \) = „má spojitou derivaci“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „funkce nemá spojitou derivaci“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „funkce není derivovatelná v některém bodě uvnitř intervalu“
Závěr: Funkce není derivovatelná ve všech bodech intervalu.
97. Pokud je posloupnost aritmetická, pak je její difference konstantní. Posloupnost však nemá konstantní differenci. Co lze říci o posloupnosti?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „posloupnost je aritmetická“, \( Q \) = „difference je konstantní“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „difference není konstantní“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „posloupnost není aritmetická“
Závěr: Posloupnost není aritmetická.
98. Pokud je vektorový prostor konečně generovaný, pak je jeho báze konečná. Vektorový prostor však nemá konečnou bázi. Co lze tedy říci o jeho generování?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „vektorový prostor je konečně generovaný“, \( Q \) = „má konečnou bázi“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „vektorový prostor nemá konečnou bázi“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „vektorový prostor není konečně generovaný“
Závěr: Vektorový prostor není konečně generovaný.
99. Pokud je posloupnost konvergentní, pak je omezená. Posloupnost však není omezená. Co lze tedy říci o její konvergenci?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „posloupnost je konvergentní“, \( Q \) = „posloupnost je omezená“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „posloupnost není omezená“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „posloupnost není konvergentní“
Závěr: Posloupnost není konvergentní.
100. Pokud je funkce jednoznačně invertibilní, pak je prostá. Funkce však není prostá. Co plyne o invertibilitě funkce?
Řešení příkladu:
Implikace:
\( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „funkce je jednoznačně invertibilní“, \( Q \) = „funkce je prostá“
Negace následku:
\( \neg Q \), tedy „funkce není prostá“
Podle modus tollens platí negace předpokladu:
\( \neg P \), tedy „funkce není jednoznačně invertibilní“
